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Introduction à La Démarche Scientifique
Composition du module 8 heures de Cours / TD 4 séances de Travaux Pratiques de 3 heures
Sommaire du cours/td Sciences et Méthodes Outils Métrologie Exploitation
Travaux Pratiques (Les rapports sont à rendre au début de la séance suivante)
Pendule simple Calorimétrie Lois de Kirchhoff Oscilloscope
Remerciements: Olivier Durand-Drouhin, René Moreau, Robert Bouzerar, Annick Razet.
La Démarche Scientifique 1
Métrologie : Grandeur physique Grandeur physique
=Propriété observable qui caractérise un objet, un ensemble d’objets ou un
état physique. Exemples: masse, longueur, température, …
James C. Maxwell (1831-1879)« L’expression d’une grandeur est le produit de 2 facteurs dont l’un, qui
est une grandeur de même nature prise comme référence, s’appelle unité, et dont l’autre, qui est le nombre de fois que l’unité est contenue
dans la grandeur, s’appelle sa valeur numérique »
Toute mesure est nécessairement entachée d'erreurs pour différentes raisons. Une mesure expérimentale n'a donc de valeur que si on lui associe une estimation de l'erreur (ex : « la poutre mesure 1 m de long à 5 mm près »).
Métrologie : Dimensions du SI
La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux 7 unités de base du Système International.
Métrologie: l’incertitude d’un point de vue statistique (à partir d’un exemple)
Un fabricant de voltmètres contrôle sa production en mesurant systématiquement la fem d’une pile étalon de 5.000 V avec chaque voltmètre fabriqué.
La courbe donnant la densité de probabilité montre que :- 68% des résultats appartiennent à l’intervalle : (50.1) V - 95% des mesures donnent une valeur appartenant à l’intervalle (50.2) V Conventionnellement, c’est ce dernier intervalle qui sera pris comme domained’incertitude et précisé dans la notice d’utilisation des voltmètres commercialisés.
4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Volts
Nombre d’observations
Métrologie: Loi Normaleloi de probabilité
= écart type = valeur moyenne
68% des valeurs se trouvent dans ±
95% des valeurs se trouvent dans ±2
x
N
xN
i 1
2)(
])(exp[2
1)( 2
2
1
µx
xf
Métrologie :Ecrire un résultat
* soit la valeur exacte (inconnue) = G* écrire le résultat d’une mesure = (g ± Δg) unité
- g est une estimation de G - Δg est l’incertitude sur la mesure de G,
elle est telle que la probabilité:PG [g - Δg, g + Δg] = 0,95
Intervalle de confiance niveau de
confiance
Incertitude absolue (>0)
Métrologie : quand estimer une incertitude ?
Il existe 3 principales occasions d’estimer une incertitude: Incertitude sur une mesure à partir d’un appareil x
(incertitude sur l’intensité mesuré avec un ampèremètre) Incertitude sur le résultat d’un calcul f(x) où x a été mesuré:
xx f (incertitude sur la résistance R=u/i où u et i ont été mesurés et R calculé)
Incertitude sur la pente a et l’ordonnée à l’origine b d’une droite y = ax + b à partir d’une collection de mesures où x varie a, b (par exemple, on trace la tension u mesurée aux bornes d’une résistance R inconnue en fonction du courant i qui la traverse, u=Ri, la pente donne R et l’incertitude sur la pente donne R)u
i
Remarque: une situation plus générale et plus fréquente est celle où la variable de sortie y ne dépend pas linéairement de la variable contrôlée x. On fait alors un changement de variable afin d’obtenir une représentation linéaire ou, quand ce n’est pas possible on utilise des méthodes issues des statistiques et de l’analyse numérique. De nombreux logiciels scientifiques les mettent en œuvre de façon conviviale et automatique
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (1/4)
Bien comprendre comment fonctionne l’appareil
3 questions de base
• Est-ce le bon appareil ?
• Est-il bien calibré ? (problème du 0)
• La gamme de mesure est elle en accord avec ce que je vais mesurer ?
réglage du 0
ampèremètrevoltmètreohmmètretesteur de composant
courant continu ou altenatif ?
tarage d’une balance
avoir une idée sur une mesure avant de la faire
C’est particulièrement important quand on doit choisir le calibre d’un appareil
Exemple : ~10V dans ~1000 donne une intensité ~10 mA
Si on a aucune idée des calibres, commencer par le plus grand (le moins risqué) et affiner ensuite.
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (2/4) Ordre de grandeur :
g = r + d
Résolution = ½ graduation (ou digit)
Ex : un double-décimètre gradué en mm donnera une incertitude de résolution égale à ½ mm.
Dispersion = 2 (niveau de confiance à 95%)
Les constructeurs précisent la « classe » des appareils qui est égale en pourcentage du calibre à l’incertitude de dispersion :
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (3/4)
Ne pas oublier que dans tous les cas, le calcul d’incertitude est une estimation
calibrex100
classeΔd
Aujourd’hui, le plus souvent l’incertitude totale est donnée par le constructeur sous la forme : g = pourcentage de la valeur lue + n digits .
En l’absence de la notice de l’appareil, on prendra g = ½ digit + 2% du calibre .
Juste = proche valeur vraieFidèle = dispersion faible
Une mesure directe à l’aide d’un appareil (4/4)
Relation entre dérivée et incertitude
le résultat d’un calcul (1/6): Dérivée partielle
Soit x une grandeur physique mesurée et y une grandeur calculée à partir d’une formule dépendant de x. On a y = f(x).
Soit le point M de coordonnées (x, y). Si x a été mesurée avec une incertitude x, alors on donne à y l’incertitude y = |f ’(x)| x
Ex: On mesure le courant électrique i = (0.010 ± 0.002) A traversant une résistance étalon R=100 Ω. Quelle est la puissance P dissipée dans R ?P = Ui = Ri2 P = 100x10-4 = 0.01 W = 10 mWP = P(i) P’(i) = 2Ri = 2x100x10-2 = 2 W.A-1 = 2 VP = P’ x i = 2 x 2.10-3 = 4 10-3 WFinalement: P = (0.010 ± 0.004) W
),,(),,(
0
lim),,()2(
)()(
0
lim)(1
zyxgzyxg
y
zyxg
xfxf
dx
xdf
Soit f=f(x) une fonction à une variable, sa dérivée au point (x) est rappelée ci-dessous par la relation (1). De manière similaire, soit maintenant g=g(x, y, z) une fonction à 3 variables indépendantes, on définit sa dérivée partielle par rapport à sa 2ième variable au point (x, y, z) par la relation (2) qu’on peut aussi noter g’y(x, y, z).
le résultat d’un calcul (2/6): Dérivée partielle
Exemple : f(x, y, z) = x²yz3 - 2xz + 4xy² - 2xyz
z,yx
f
z,xy
f
y,xz
f
la fonction devient f(x) = ax² - bx + cx - dx avec a = yz3, b = 2z, c = 4y², d = 2yz
on dérive f’(x) = 2ax – b + c - d = 2yz3x - 2z + 4y² - 2yz
= 2yz3x - 2z + 4y² - 2yz
dérivée partielle de f par rapport à x (y et z constants)
dérivée partielle de f par rapport à y (x et z constants)
dérivée partielle de f par rapport à z
= a-0+2cy-d= x²z3 + 8xy - 2xz
= 3x²yz² - 2x - 2xy
f(y)=ay-b+cy²-dyavec a=x²z3, b=2xz, c=4y², d=2xz
on dérive
le résultat d’un calcul (3/6): Dérivée partielle
V
nRTTVP ),( 2V
nRT
V
P
V
nR
T
P
yxyxf ),( 11
y
f
x
f
xyyxf ),( xy
fy
x
f
zyxzyxf 24),,( yz
fz
y
fx
x
f
8
le résultat d’un calcul (4/6): Dérivée partielle
le résultat d’un calcul (5/6): ISO= Organisation Internationale de Normalisation
GUM= Guide pour l’Expression de l’incertitude de Mesure http://www.ukas.com/Library/downloads/publications/M3003.pdf http://www.bipm.org/fr/publications/guides/
Ancienne méthode (avant 1995):On envisageait le pire, l’incertitude était surévaluée :
Nouvelle méthode (GUM 1995):On a un effet de compensation et on peut montrer que :
nxxx xfxfxffn
'
2
'
1
' ...21
2'2
2
'2
1
' ...21 nxxx xfxfxff
n
Une mesure à partir d’autres mesuresSoit f’Xi la dérivée partielle de f par rapport à la variable Xi, au point (X1, X2, ….Xn)
On a:
le résultat d’un calcul (6/6): Dérivée partielle
n
ix
nxxx
xff
xfxfxff
i
n
1
2'2
2'2
2
'2
1
'2 ...21
),...,,( 21 nxxxff
),...,,( 21
'n
i
xxxix x
ff
Pente et ordonnée à l’origine d’une droite (1/2)
a) Utiliser une calculatrice scientifique ou un PC muni d’un programme de régression et d’évaluation des incertitudes sur a et b: y = ax + b
Un programme Matlab est disponible ici:http://www.u-picardie.fr/~dellis/Matlab_Licence/polyreg.m
b) Les points expérimentaux étant munis de leur rectangle d’incertitude, on trace les droites extrêmes en X comme ci-dessous …
Pente et ordonnée à l’origine d’une droite (2/2)
2y
2x
… elles ont pour équation:y = (a+a) x + (b-b), ety = (a-a) x + (b+b)On en déduit a et b
b-b
b
b+b
Métrologie : Incertitude (résumé)
1/ Sur une mesure directe à l’aide d’un appareil (notice): y = r + d (r = ½ graduation, d = (classe/100) x calibre)
2/ Sur un calcul à partir d’autres mesures (formule):
3/ Sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite:
- Régression linéaire, ou- Droites extrêmes
n
ix xffi
1
2'2
Exploitation : Chiffres significatifs
Les zéros avant le premier chiffre ne sont pas significatifs. Les zéros après le premier chiffre sont significatifs.
Une définition stricte des chiffres significatifs: chiffres apparaissant dans la mantisse de la notation scientifique Y = A.BCDE… x 10n (A≠0 et nZ)
Dans un nombre, les chiffres autres que zéro sont significatifs. Les zéros s’ils sont placés en tête du nombre ne sont pas significatifs.
Exemples : 6,8 2 chiffres significatifs 6,80 3 chiffres significatifs 6800 4 chiffres significatifs 0,68 2 chiffres significatifs
Mantisse Exposant
Exploitation : Ecriture d’un résultat Régle #1:
L’incertitude est écrite avec 2 chiffres significatifs (parfois avec 1 seul)
Régle #2:
On conserve pour Y les chiffres significatifs qui interviennent dans ΔY
F = (2,56712 ± 0,01283) N F = (2,567 ± 0,013) Nm = (98,486 ± 1,573) g m = (98,5 ± 1,6) g ou m = 98,5 g (1.6%)P = (342,05 ± 2,567) W P = (342,0 ± 2,6) W n = 1,50944 ± 0,00039 n = 1,5094 ± 0,0004L = 1.86 m L = 1.860 ± 0,005 mm=11,6 kg = 11,6 103 g (3 chiffres significatifs) 11600 g (5 chiffres significatifs) !V=2,75 m3 = 2,75 106 mL 2 750 000 LArrondis: 0,1,2,3,4 valeur inférieure, exemple : 1.14 peut être arrondi à 1.15,6,7,8,9 valeur supérieure, exemple : 1.15 peut être arrondi à 1.2
Rq: On peut aussi utiliser l’incertitude relative ΔY / YRq: Un résultat donné sans incertitude ΔY= ½ unité du dernier chiffreRq: On peut arrondir ΔY à un chiffre significatif quand cet arrondissement n’affecte pas « trop » ΔY.
Chaque expérience donne lieu à un compte-rendu comportant : titre, introduction, procédure, tableau(x), graphe(s), et discussion.
Le titre doit préciser le sujet présenté et la méthode générale utilisée.
L’ introduction donne i) l'objectif de l'expérience; ii) un bref rappel des connaissances théoriques et/ou expérimentales liées au sujet étudié. Le modèle représenté par une ou des équations liant les variables observées est précisé ainsi que les limites de sa validité; iii) les moyens de tester le modèle; iv) une référence bibliographique où trouver la base théorique du modèle.
La procédure donne i) le schéma du montage global. Il doit être clair et précis; ii) la méthode de mesure de chacune des variables, l'incertitude et les précautions éventuelles.
Les tableaux doivent contenir i) une numérotation si il y a plusieurs tableaux; ii) un titre; iii) le tableau lui-même contenant a) les symboles des paramètres mesurés, b) les unités, c) les incertitudes, d) les valeurs
Le(s) graphe(s) doivent être soigneusement réalisés et permettre d'en extraire des informations précises. Ils permettent aux lecteurs de visualiser le comportement du système de telle façon qu'ils puissent juger par eux mêmes de la validité des conclusions faites dans le dernier paragraphe.
Exploitation : Publier
La discussion présente la comparaison modèle-système, elle est factuelle et ne doit en aucune façon engager le jugement personnel. Dans le cas où le modèle est validé, l'objectif(s) présenté(s) dans l'introduction est atteint(s).
Dans le cas contraire, il faut préciser dans quelle mesure les résultats sont exploitables. Dans cette étape, l'expérimentateur peut introduire ses propres idées. L'interprétation peut être facile à identifier par exemple en utilisant les limites de validité du modèle déjà précisées dans l'introduction. L'expérimentateur peut émettre des hypothèses ayant une connexion logique avec l'écart observé. La discussion est importante dans la mesure où elle peut aboutir à un "raffinement " du modèle.
Dans certains cas, nous pouvons échouer à donner une interprétation des écarts observés, il faut alors rester honnête en le reconnaissant et laisser aux lecteurs la possibilité d'amorcer une discussion dont pourra émerger de nouvelles idées.
Exploitation : Publier
Exploitation : PublierLes graphes:
Resserrer les points au
voisinage des singularités
Un titre
Symbole et unité sur
chaque axe
Le tracé d'une courbe ne doit pas masquer les
points expérimentaux
Les marques et les nombres sont
régulièrement disposés
Exploitation :
PublierLes graphes:
Modèle y = a x2 + b on pose u=x2, on représente y = au+bModèle y = a sin(x)+b on pose v=sin(x), on représente y = av+bModèle y = a exp(x)+b on pose w=exp(x), on représente y = aw+b
Les changements de variables ne sont pas toujours possibles …
Exploitation :
PublierLes graphes:
Exercice 1Dimensionnez les coefficients A, B et C dans l’équation suivante(où [v] = m/s et [t]=s ): CBtAtv 2
Exercice 1I
22
22ou
y
y
x
x
f
f
y
xfouxyf
yxfyxfyxf
Montrer qu’on a les relations simples ci-dessous :
Exercice IIISupposons que l’on mesure une résistance R en mesurant la tension U à ses bornes quand elle est parcourue par le courant d’intensité i.Les mesures donnent U= 9.35 V et i=11.0 A.On estime que dans les conditions où elles ont été mesurées, U et i sont des variables aléatoires d’écart type U = 45 mV et i = 50 mA.Donner U, i, R et R (intervalle de confiance à 95%).
Exercice IV
On trouve p1 = -20.cm et p2 = 30 cm et l’on sait que l’expérimentateur, avec le matériel dont il dispose, mesure en fait les distances à 1 cm prés. Cela signifie que p1 = p2 = 1 cm. Calculer f’ et f’.
On veut calculer la distance focale f d’une lentille par la relation :
'
111
21 fpp
Exercice V
a) Déterminez approximativement l’incertitude relative de la mesure 8.7 m.
b) Quel est le l’incertitude relative de la mesure (8.86 ± 0.17) s ?
c) Calculez l’incertitude relative du volume d’une sphère dont le rayon est : r = 2.48 ± 0.03 m.
d) Calculer l’aire et l’incertitude des rectangles de côtésR1 : 5.6 ± 0.1 cm et 15.3 ± 0.1 cmR2 : 5.6 ± 0.5 cm et 15.3 ± 0.5 cm
On mesure une longueur avec un pied à coulisse de résolution 0.01 mm. Une première mesure donne L1= 12.88 mm alors qu’une seconde mesure effectuée dans les mêmes conditions donne L2= 12.86 mm. Avec seulement ces 2 mesures, quel résultat et quelle incertitude « raisonnables » peuvent être donnés ?
Exercice VI
La résistance équivalente à 2 résistances R1 et R2 placées en parallèle est donnée par la relation bien connue : Donner les dérivées partielles et .
21
21
RR
RRR
1R
R
2R
R
Exercice VII
Exercice VIII
La mesure d’une tension est effectuée à l’aide d’un voltmètre dont une image est donnée ci-contre. Aprés consultation de la notice « constructeur », l’opérateur note qu’en mode voltmètre courant continu, l’incertitude est donnée par :± 0,8 % valeur lue + 2 digits.Donner la valeur de la tension mesurée et son incertitude.
En étudiant la décharge d'un condensateur C dans une résistance R, on mesure la tension aux bornes de ce condensateur en fonction du temps écoulé après la fermeture du circuit. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-contre :
On suppose une relation de la forme V=V0 exp(-t/) avec V0 et des constantes.Vérifier graphiquement cette hypothèse. Si elle est valide, déterminer la
constante de temps = RC et son incertitude. De même donner V0.
i
VR
C
Exercice IX
