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Introduction à la physique du LASER

1. Présentation rapide de la constitution d’un LASER

2. Milieu amplificateur de lumière

2.1. Niveaux énergétiques d’un atome

2.2. Transitions radiatives entre deux niveaux d’énergie

2.3. Probabilités de transition : coefficients d’Einstein

2.4. Nécessité d’une inversion de population – Pompage

2.5. (Limite programme) Largeur de raie

3. Oscillateur électronique : oscillateur à pont de Wien

3.1. Structure générale d’un oscillateur

3.2. Condition d’oscillation – Fréquence d’oscillation – Rôle des non-linéarités

4. Oscillateur optique : le LASER

4.1. Analogie structurelle avec l’oscillateur électronique

4.2. Gain par unité de longueur de la cavité

4.3. Condition d’oscillation

4.4. Origine physique de la saturation du gain

4.5. Spectre de la lumière laser émise

5. Propriétés optiques d’un faisceau spatialement limité

5.1. Description simplifiée d’un faisceau gaussien

5.2. Rôle de la diffraction dans l’ouverture angulaire du faisceau à grande distance

5.3. Transformation d’un faisceau cylindrique en faisceau conique et inversement

Intro : Ce chapitre est essentiellement descriptif. L’effet LASER est fondamentalement une amplification de la

lumière. On commence donc par présenté comment réaliser un milieu amplificateur.

Pour que le dispositif émette sa propre lumière, il doit se mettre « à osciller » spontanément, sans excitation

extérieure. Après présentation de l’oscillateur électronique à pont de Wien, on explique en quoi un appareil laser

est un oscillateur optique.

On termine par une description géométrique du faisceau d’un laser, et de l’effet d’une lentille CV sur la section et

la divergence angulaire du faisceau.

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1. Présentation rapide de la constitution d’un LASER

LASER signifie Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (en français : amplification de la

lumière par émission stimulée de rayonnement). On parle « d’effet laser ». Par abus de langage, on désigne aussi

par « laser » les dispositifs émettant ce type de lumière spatialement et temporellement très cohérente.

Une source laser associe un milieu amplificateur à une cavité optique, encore appelée résonateur, généralement

constituée de deux miroirs, dont au moins l'un des deux est partiellement réfléchissant : une faible partie de la

lumière sort de la cavité et l'autre partie est réfléchie vers l'intérieur de la cavité laser.

Le milieu étant amplificateur, il doit par ailleurs être excité, i.e. recevoir un apport extérieur d’énergie, souvent

par une décharge électrique. Le milieu amplificateur peut être gazeux (laser He-Ne en TP), liquide (laser à

colorant), ou solide (laser à cristaux).

Pour le laser He-Ne du labo, les ordres de grandeur sont :

La puissance surfacique est donc : P = 4 kW.m-2, et le champ électrique de l’ordre de E = 1kV.m-1

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2. Milieu amplificateur de lumière

2.1. Niveaux énergétiques d’un atome

L’énergie des atomes prend des valeurs quantifiées.

Un niveau d’énergie i donné est caractérisé par :

­ son énergie Ei

­ sa dégénérescence gi (nombre d’états quantiques de même énergie, ex : le niveau 2p est dégénéré 3 fois)

­ le nombre d’atomes par unité de volume Ni possédant cette énergie, appelé population ;

­ sa durée de vie 𝜏𝑖

Conformément au programme, on se retreint à des systèmes à deux niveaux, non dégénérés.

A l’équilibre thermodynamique, la population de chacun des deux niveaux est proportionnelle au facteur de

Boltzmann. Ainsi le rapport des populations s’exprime ainsi :

𝑁1

𝑁2= 𝑒

−(𝐸1−𝐸2)𝑘𝐵𝑇

où 𝑘𝐵 est la constante de Boltzmann. Cette loi indique qu’à l’équilibre thermodynamique, ce sont les niveaux

d’énergie les plus bas qui sont les plus peuplés, et que la température tend à homogénéiser les populations des

différents niveaux.

2.2. Transitions radiatives entre deux niveaux d’énergie

Le passage d’un électron d’un niveau d’énergie E2 à un niveau d’énergie E1 < E2 donne lieu à l’émission d’un

photon tel que (c’est une simplification, cf. plus loin largeur de raie) :

𝐸2 − 𝐸1 = ℎ𝜈0

Cette émission peut se produire de deux manières :

émission spontanée d’un photon de fréquence 𝜈0 ; un électron passe spontanément (sans intervention

extérieure) du niveau E2 au niveau E1. C’est un processus aléatoire

émission stimulée (ou induite) d’un photon provoquée par un photon incident

Différences entre les émissions spontanée et stimulée

Emission spontanée (ne dépend de l’intensité d’un éventuel rayonnement incident) :

­ direction d’émission aléatoire

­ fréquence aléatoire (très voisine de , cf. plus loin « largeur de raie »)

­ phase et polarisation aléatoires

Emission stimulée (dépend de l’intensité du rayonnement incident) :

­ exactement la même fréquence que le photon incident

­ direction d’émission fixée par la direction du photon incident

­ même phase, même polarisation

C’est évidemment le processus d’émission stimulée qui réalise l’amplification du rayonnement.

Le passage d’un électron d’un niveau d’énergie E1 à un niveau d’énergie E2 > E1 est provoqué par l’absorption

d’un photon tel que :

𝐸2 − 𝐸1 = ℎ𝜈0

On représente les trois types de transition schématiquement par :

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2.3. Probabilités de transition : coefficients d’Einstein

Probabilité par unité de temps d’une transition 𝒂 → 𝒃

Pendant une durée 𝑑𝑡, la variation de population provoquée par une transition 𝑎 → 𝑏

est proportionnelle à la durée 𝒅𝒕 et à la population 𝑵𝒂 du niveau 𝑎 de départ.

Le coefficient de proportionnalité définit la probabilité 𝒑𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 de transition par unité de temps

𝑑𝑁𝑎 ≝ −𝑁𝑎 × 𝒑𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 × 𝑑𝑡

𝑑𝑁𝑏 = −𝑑𝑁𝑎

Décliner cette définition pour les trois transitions possibles, en adaptant les notations

Quelle est l’unité d’une probabilité par unité de temps ?

Coefficient d’Einstein 𝑨𝟐𝟏 𝑩𝟐𝟏 et 𝑩𝟏𝟐

Emission spontanée : 𝑝𝑠𝑝 ≝ 𝑨𝟐𝟏

Emission stimulée : 𝑝𝑠𝑡 ≝ 𝑢(𝜈0)𝑩𝟐𝟏

Absorption : 𝑝𝑎𝑏 ≝ 𝑢(𝜈0)𝑩𝟏𝟐

où 𝑢(𝜈0) est l’énergie électromagnétique par unité de volume et par unité de fréquence

(« densité spectrale d’énergie volumique »)

Dans le cas de niveaux non-dégénérés : 𝑩𝟐𝟏 = 𝑩𝟏𝟐

Justifier l’absence ou la présence du terme 𝑢(𝜈0) dans les définitions des coefficients ci-dessus

Préciser les unités des coefficients d’Einstein

Emission spontanée :

Déterminer l’évolution temporelle de la population 𝑁2(𝑡) du niveau excité dans le cas où seule l’émission

spontanée existe (absence de rayonnement incident par exemple)

En déduire une relation entre le temps de vie 𝜏2 de l’état excité et le coefficient 𝐴21

2.4. Nécessité d’une inversion de population – Pompage

Exprimer la variation 𝑑𝑁𝑝ℎ du nombre de photons par unité de volume, dans la cavité pendant 𝑑𝑡, en fonction

des populations 𝑁1 et 𝑁2, de la densité d’énergie électromagnétique (supposée indépendante de la position)

𝑢(𝜈0) et des coefficients d’Einstein

Si la densité volumique (et spectrale) d’énergie électromagnétique est suffisamment grande dans la cavité (ce que

l’on cherche à réaliser par construction), on peut alors négliger dans l’équation précédente l’émission spontanée

devant les deux autres processus.

En déduire que l’amplification du nombre de photons n’est possible que si 𝑁2 > 𝑁1

Inversion de population

Pour que le milieu soit amplificateur de lumière, il faut réaliser une inversion de population : 𝑵𝟐 > 𝑵𝟏

Or à l’équilibre thermodynamique, le niveau 1 est nécessairement le plus peuplé. Pour réaliser une inversion de

population, il faut réaliser un pompage, en apportant de l’énergie sous forme électrique ou optique.

Remarque hors-programme : l’inversion de population est impossible avec un système à deux niveaux, en effet en

régime stationnaire : 𝑁2

𝑁1=

𝑢(𝜈).𝐵

𝑢(𝜈).𝐵+𝐴< 1

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Afin de peupler le niveau E2 du néon, on utilise un autre niveau d’énergie E3

(dans le laser He-Ne, un niveau de l’atome d’He).

Une décharge électrique haute tension provoque le remplissage du niveau E3,

légèrement plus élevé que le niveau E2.

Par collisions, les atomes de néon sont excités au niveau E2 et réalisent

l’inversion de population du néon.

2.5. (Limite programme) Largeur de raie

Les niveaux d’énergie ont en réalité une certaine largeur due :

­ largeur « naturelle » associée à la durée d’un train d’onde, i.e. durée de

vie de l’état excité (en quantique : 4e relation de Heisenberg)

­ aux chocs : un choc provoque l’émission spontanée d’un photon, et raccourcit donc la durée de vie de

l’état excité, donc la largeur naturelle

­ à l’effet Doppler (principal effet dans le laser He-Ne)

En conséquence, la fréquence ν des photons due à la transition entre les deux niveaux n’est pas parfaitement fixée,

mais centrée autour d’une valeur ν0. Il faut pour en tenir compte introduire un profil de raie φ(ν) ; dans les

équations précédentes on travaille alors à fréquence ν fixée (différente mais voisine de ν0) et par unité de

fréquence. Mathématiquement, cela revient à pondérer toutes les probabilités de transition par φ(ν).

Le profil de raie est normé par :

∫ 𝜑(𝜈). 𝑑𝜈 = 1∞

0

Ordre de grandeur : laser He-Ne :

∆ν = 1,5 GHz

3. Oscillateur électronique : oscillateur à pont de Wien

On appelle ici « oscillateur » un dispositif capable de se mettre à osciller seul, sans excitation oscillante

extérieure. Un exemple évident est l’évolution périodique de la trotteuse d’une montre à quartz. La source

d’énergie (la pile) est continue, mais un mécanisme interne se met spontanément à osciller à une fréquence bien

précise, et permet de régler le battement de la trotteuse pour marquer la seconde.

3.1. Structure générale d’un oscillateur

Cet oscillateur se compose :

d’un amplificateur de gain G, admettant une saturation

d’un filtre passe-bande de gain H

Ci-contre est représenté l’oscillateur de Wien, construit à partir d’un montage

amplificateur non-inverseur (bloc de gauche, HPgm, branché à une

alimentation continue), et d’un filtre de Wien (bloc de droite).

En régime linéaire, le gain de l’amplificateur s’écrit 𝐺 = 1 +𝑅2

𝑅1

Montrer que la fonction de transfert du filtre de Wien s’écrit :

𝐻(𝜔) ≝𝑉2

𝑉1=

1

3 + 𝑗(𝑅𝐶𝜔 −1

𝑅𝐶𝜔)

NB : on peut choisir comme sortie de l’oscillateur 𝑣1 ou 𝑣2.

ν

φ(ν)

ν0

∆νD

E

E2

E1

Helium (85%) Neon (15%)

Amplificateur de gain G

⟶

Filtre de fonction de

transfert H

⟵

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3.2. Condition d’oscillation – Fréquence d’oscillation – Rôle des non-linéarités

On se place en notation complexe en supposant l’existence possible d’un régime sinusoïdal.

Le bouclage des deux blocs impose alors (idem avec 𝑉2) :

𝐺𝐻 × 𝑉1 = 𝑉1

𝐺𝐻 = 1

Déduire de cette dernière ligne la valeur du gain nécessaire, et la fréquence des oscillations

En revenant à la ligne précédente, et en revenant en notation réelle, déterminer l’équation différentielle

vérifiée par 𝑣1(𝑡). Retrouver les conclusions précédentes

L’égalité 𝐺 = 3 ne peut être réalisée parfaitement.

Expliquer pourquoi si 𝐺 > 3, alors le système est instable, i.e. tout

écart de 𝑣1 par rapport à 0 va être exponentiellement amplifié

Manip de cours : on vérifie les aspects suivants :

­ le démarrage des oscillations se fait quand 𝐺 > 3

­ lors de la phase de démarrage, les oscillations sont

exponentiellement amplifiées

­ elles se stabilisent, et sont quasi-sinusoïdales : on peut mettre

en évidence un écart au sinus par une analyse de Fourier

(harmoniques supplémentaires)

Démarrage et stabilisation des oscillations

Démarrage si le gain est supérieur à un certain seuil : l’apport d’énergie extérieur doit compenser les pertes.

Les oscillations démarrent sur du bruit de fond.

Elles se stabilisent grâce à une non-linéarité du bloc amplificateur (saturation généralement).

4. Oscillateur optique : le LASER

4.1. Analogie structurelle avec l’oscillateur électronique

La cavité du laser contient un milieu amplificateur, analogue au bloc amplificateur de l’oscillateur de Wien. On

verra plus loin que l’on peut définir un gain 𝐾 par unité de longueur. La grandeur amplifiée par le milieu est la

puissance transportée par l’onde électromagnétique à travers une section de la cavité (ou de manière équivalente

le débit de photons).

Les miroirs à chaque extrémité permettent à l’onde de traverser à nouveau le milieu amplificateur, et l’ensemble

des deux miroirs constituent donc la chaîne de retour analogue au filtre de Wien. On verra en outre que la

présence des miroirs impose une condition sur les fréquences des ondes admissibles dans la cavité. En ce sens, la

cavité joue le rôle d’un filtre en fréquence.

On verra aussi l’augmentation de l’énergie électromagnétique dans la cavité (régime transitoire au démarrage du

laser) limite l’inversion de population et provoque une saturation du gain : c’est cette non-linéarité qui va fixer

la puissance émise par le laser.

Comme dans le cas de l’oscillateur de Wien, le « démarrage des oscillations optiques » (i.e. l’apparition d’ondes

lumineuses dans la cavité) se fait à partir du bruit de fond existence dans la cavité. C’est l’émission spontanée

d’un photon qui fait démarrer le laser.

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4.2. Gain par unité de longueur de la cavité

Dans le raisonnement suivant, on considère les onde de fréquences comprises entre [𝜐, 𝜐 + 𝑑𝜐] se propageant

selon l’axe 𝑢𝑥⃗⃗⃗⃗ de la cavité (situation 1D). On note Π la projection du vecteur de Poynting selon cet axe.

On n’insistera pas sur cet aspect, mais notons que le raisonnement suivant se fait par unité de volume et par unité

de fréquence, car l’on introduit le profil de raie 𝜑(𝜐) dans l’expression des probabilités de transition.

L’équation locale de conservation de l’énergie appliquée à cette onde s’écrit : 𝜕Π

𝜕𝑥+

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑃𝑒𝑚𝑖𝑠 − 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒

𝑃𝑒𝑚𝑖𝑠 étant la puissance volumique (par unité de fréquence) émise par émissions spontanée et stimulée

𝑃𝑎𝑏𝑠 étant la puissance volumique (par unité de fréquence) perdue par absorption

𝑃𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒 regroupant toutes les pertes subies par l’onde se propageant dans la cavité : lumière qui sort de la cavité

(faisceau laser !), émission spontanée (photons partent dans une mauvaise direction, donc perdus pour l’onde à

amplifier), diffraction due aux dimensions finies des miroirs, etc.

Interpréter physiquement les termes restants, et justifier les signes

Justifier les expressions ci-dessous :

𝑃𝑒𝑚𝑖𝑠 = −ℎ𝜈 ((𝑑𝑁2

𝑑𝑡)𝑠𝑝

+ (𝑑𝑁2

𝑑𝑡)𝑠𝑡) = ℎ𝜈 × 𝜑(𝜐) × 𝑁2(𝐵𝑢(𝜐) + 𝐴)

𝑃𝑎𝑏𝑠 = −ℎ𝜈 (𝑑𝑁1

𝑑𝑡)𝑎𝑏

= ℎ𝜈 × 𝜑(𝜐) × 𝑁1 × 𝐵𝑢(𝜐)

Dans un milieu dilué (c’est le cas du milieu amplificateur), on a approximativement la même relation que dans le

vide : Π = c × u. En comptant l’émission spontanée dans les pertes (ou en la négligeant), on obtient : 𝜕Π

𝜕𝑥+

1

𝑐

𝜕Π

𝜕𝑡= 𝐾(𝜐)Π − 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒

en définissant le gain de la cavité par unité de longueur :

𝑲(𝝊) ≝ℎ𝜈

𝑐 𝜑(𝜐)𝐵(𝑁2 − 𝑁1)

On voit en effet que le terme où apparaît 𝐾 est un terme source dans l’équation de conservation de l’énergie

électromagnétique, ssi 𝐾 > 0 donc ssi 𝑁2 > 𝑁1… i.e. s’il y a inversion de population. On remarque d’ailleurs que

ce gain est proportionnel à l’inversion de population.

Pour bien comprendre en quoi 𝐾 est un gain par unité de longueur, déterminer l’évolution spatiale de Π(x) en

régime permanent, en supposant les pertes nulles.

4.3. Condition d’oscillation

En intégrant l’expression précédente sur la longueur 𝐿 de la cavité et en remarquant que Π(x = 0) et Π(x = L) sont nuls (sortie du faisceau sur miroir en 𝑥 = 𝐿 prise en compte dans les pertes), en supposant les pertes

uniformes dans la cavité, on établit l’équation vérifiée par la projection du vecteur de Poynting moyenné le long

de la cavité Πm : 1

𝑐

𝑑Πm

𝑑𝑡= 𝐾(𝜐)Πm − 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚

En supposant les pertes proportionnelles à la puissance surfacique : 𝑃𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒 = 𝛼Πm, on trouve que la puissance

surfacique circulant dans la cavité peut être amplifiée si le gain est supérieur au coefficient de perte :

𝐾 > 𝛼

C’est la condition d’oscillation à remplir pour faire démarrer le laser.

Condition de démarrage du laser

Le laser démarre si le gain (initial, non-saturé) est supérieur aux pertes.

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4.4. Origine physique de la saturation du gain

On peut montrer que l’inversion de population est une fonction décroissante de la puissance lumineuse présente

dans la cavité. C’est cette non-linéarité (dépendance du gain avec la grandeur d’entrée) qui provoque une

diminution du gain à mesure que la puissance lumineuse augmente.

Initialement, le gain était supérieur aux pertes. Pendant le démarrage du laser, le gain diminue petit-à-petit,

jusqu’à devenir égal aux pertes, et le système atteint alors le régime stationnaire.

Fonctionnement en régime permanent

Le gain diminue à mesure que la puissance lumineuse augmente (non-linéarité du gain).

Lorsque le gain égale les pertes, le régime permanent est atteint.

La puissance émise par le laser est donc entre autre déterminée par cette non-linéarité.

4.5. Spectre de la lumière laser émise

Pour le moment, tous nos raisonnements ont concerné des ondes de fréquence 𝜐,

voisine de 𝜐0 et comprise dans l’intervalle du profil de raie de la transition 1 → 2.

Mais toutes les fréquences du profil de raie ne sont pas émises par le laser. Du fait de

la présence des miroirs aux extrémités, et des aller-retours effectués par les ondes

dans la cavité, on peut montrer (admis) que le champ électrique doit être nuls sur les

miroirs. Ces conditions à la limite sont analogues à celles d’une corde fixée à ses

deux extrémités.

Les fréquences possibles doivent donc vérifier (𝑛 indice du milieu) :

𝜐𝑘 = 𝑘𝑐

2𝑛𝐿 , 𝑘 ∈ ℕ∗

Ce sont les modes de la cavité. C’est en cela que la cavité est un filtre en fréquence,

seules certains modes sont autorisées.

Les modes qui sont alors véritablement émis sont ceux pour lesquels le gain est

supérieur aux pertes : le laser peut démarrer sur ces modes. Si plusieurs modes sont

possibles, alors le laser est dit multimode. Lorsqu’un photon est émis, le mode de ce

photon est « choisi » aléatoirement.

NB : la fréquence des modes n’est pas parfaitement fixée, cela dépend du facteur de qualité du filtre constitué par

la cavité. Cela dépend notamment de la réflectivité des miroirs. Pour les lasers monomode, c’est cette largeur du

mode qui fixe la cohérence temporelle du laser (la plus grande des sources de lumière que nous connaissons).

5. Propriétés optiques d’un faisceau spatialement limité

5.1. Description simplifiée d’un faisceau gaussien

L’onde laser est limitée spatialement ; elle ne peut être décrite par une onde plane homogène.

L’amplitude d’une onde se propageant selon Oz peut s’écrire :

E(x,y,z,t) = f(x,y,z).expj(ωt-kz)

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On admet qu’une solution pour l’intensité du faisceau est une gaussienne :

I(x, y, z) = I0(z). e−

2𝑟2

𝑤2(𝑧)

avec :

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 et 𝑤(𝑧) = 𝑤0√1 + (𝑧

𝐿𝑅)2

avec la longueur de Rayleigh :

𝐿𝑅 =𝜋w0

2

𝜆

Ainsi, le spot laser (interception du faisceau par un écran) que l’on

observe en TP correspond à une répartition gaussienne de l’intensité,

décroissante à partir du centre du spot.

Le paramètre 𝑤(𝑧) peut être choisi pour caractériser la largeur du spot. Ce n’est pas une largeur à mi-hauteur,

mais une largeur telle que 𝐼(𝑟 = 𝑤) = 𝐼0/𝑒2. On pourra intuitivement l’assimiler au rayon visible du spot. Ainsi

la fonction 𝒘(𝒛) est représentative du faisceau laser.

Ce rayon est minimal pour z = 0 et sa dimension 𝒘𝟎 se nomme le waist (ceinture en anglais).

AN : pour le laser He-Ne : 𝑤0 = 0,3 𝑚𝑚

Montrer que dans le cas |𝑧| ≪ LR le faisceau 𝑤(𝑧) est alors approximativement cylindrique, de rayon 𝑤0

Montrer que dans le cas |𝑧| ≫ LR le faisceau 𝑤(𝑧) est approximativement conique, centré sur 𝑧 = 0.

Déterminer son demi-angle au sommet

Montrer que l’intersection de ces deux faisceaux asymptotiques à lieu en 𝑧 = LR. Quelle est le rayon du

faisceau en cette position ?

AN de 𝐿𝑅 dans le cas du laser He-Ne

Faisceaux asymptotiques – Longueur de Rayleigh

On définit la longueur de Rayleigh 𝐿𝑅 par 𝑤(𝑧) = 𝑤0√1 + (z

𝐋𝐑)2

En deçà de la longueur de Rayleigh, le faisceau est approximativement cylindrique de rayon égal au waist.

Au-delà, le faisceau est approximativement conique, centré sur 𝒛 = 𝟎 et de demi-angle 𝜽 =𝝀𝒘𝟎

𝑳𝑹.

Le faisceau peut être approché par un faisceau cylindrique en-deçà de.

Au-delà de 𝐿𝑅 il peut être approché par un faisceau conique, centré sur 𝑧 = 0

2w0

LR = πw2/λ∼0,5m

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5.2. Rôle de la diffraction dans l’ouverture angulaire du faisceau à grande distance

D’après l’expression de l’angle 𝜃 =𝝀

𝝅𝒘𝟎, on remarque donc que plus le waist est étroit, plus le faisceau diverge.

C’est comme si le faisceau laser passait par un trou de la taille du waist : la divergence du faisceau émergent est

dicté par la diffraction. Cela confirme ce que l’on a déjà dit en optique ondulatoire : la diffraction est toujours

associé à la la limitation transverse d’un faisceau.

Faire une application numérique dans le cas du laser He-Ne

Quelle serait la taille du spot si l’on visait la Lune avec le laser (380 000 km) ?

NB : il semble que le programme stipule de ne retenir qu’une expression du type 𝜃~𝝀

𝒘𝟎

5.3. Transformation d’un faisceau cylindrique en faisceau conique et inversement

On interpose une lentille CV telle que 𝑓1′ ≪ 𝐿𝑅 dans la zone où le faisceau est cylindrique.

On admet alors les propriétés suivantes, qui donnent la méthode à suivre :

­ le faisceau émergent est toujours gaussien

­ son asymptote conique est donnée par l’optique géométrique

­ sa construction graphique permet de positionner le waist et de déterminer son ouverture angulaire

­ en invoquant le retour inverse, on peut en déduire la dimension du waist

Dessiner les faisceaux asymptotiques incident et émergent.

En déduire l’allure des faisceaux gaussiens

Déterminer la position du waist du faisceau émergent

Déterminer son ouverture angulaire 𝜃′ et la dimension 𝑤0′ de son waist

Pour vérifier que la faisceau set bien conique à la sortie de la lentille, déterminer sa longueur de Rayleigh 𝐿𝑅′

Quelle taille minimale peut-on donner au waist émergent ? Pour rester dans les conditions de Gauss, on ne

peut pas réaliser 𝑓1′ < 𝑤0. Au mieux 𝑓1

′~𝑤0. En déduire la valeur minimale de 𝑤0′. Que vaut alors l’ouverture

angulaire ? Et la longueur de Rayleigh ?

Transformer un faisceau cylindrique en faisceau conique

Il suffit d’interposer une lentille CV 𝑓′ ≪ 𝐿𝑅 dans la zone cylindrique du faisceau incident.

Le faisceau émergent est conique à la sortie de la lentille. Son waist est sur le foyer image.

Cela permet par exemple d’obtenir un waist de l’ordre de la longueur d’onde.

En utilisant le retour inverse de la lumière, on voit bien comment transformer un faisceau conique en faisceau

cylindrique : il suffit de placer le waist du faisceau sur le foyer principal 𝐹2 d’une lentille CV telle que 𝑓2′ ≫ 𝐿𝑅.

C’est ce que l’on va étudier à présent, en partant du montage précédent pour réaliser un doublet afocal. On va

montrer que le doublet permet alors de générer un faisceau laser de très faible ouverture angulaire.

En utilisant le retour inverse de la lumière, déterminer 𝜃′′, 𝑤0′′ et 𝐿𝑅′′ du faisceau émergent de la 2nde lentille

Déterminer les rapports 𝜃′′

𝜃, 𝑤0

′′

𝑤0 et

𝐿𝑅′′

𝐿𝑅.

NB : cette technique est utilisée pour réduire la divergence angulaire des lasers pointant vers la lune pour mesurer

la distance Terre-Lune avec précision. Dans cas 𝑓2

′

𝑓1′ = 125. Le spot avant transformation fait 12 mm, la longueur

d’onde 532 nm et 𝜃 = 0,2 𝑚𝑟𝑎𝑑. La taille du spot sur la Lune est de l’ordre du km.

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