1

Introduction à la Physique des Particules Fondamentales – CHAPITRE 2

Appendice 1.4

- la notion géométrique de la diffusion des particules - les définitions du taux des désintégrations des particules, et de la section efficace des

interactions.

- Pour les interactions entre 2 particules fondamentales, il y a 2 aspects : le cinétique (la conservation de l’impulsion et de l’énergie), et la dynamique de l’interaction.

2

a) Imageons la réaction a + b → c + d, dans le référentiel du laboratoire

Le flux des particules a, dans un faisceau parallèle, à travers la cible b sera

€

Φa = nava où na = # particules/unité de volume va = vitesse des particules a

Si chacune des particules b a une section géométrique efficace, σ , et si nb sera le densité des particules dans le cible, le nombre d’interactions par unité de temps et par unité de surface du cible sera :

€

N =Φa σ nbdx= Lσ où L = luminosité =Φanbdx

Le taux des interactions par particule b sera:

€

W =Φaσ et la section efficace est le taux des interactions par particule du cible, et par unité du flux incident.

3

b) L’unité de mesure est le barn (1 barn = 10-28 m2).

c) On a plusieurs types des interactions exclusives, par exemple :

€

pp→ pp (élastique)pp→ ppπ 0 (inélastique)pp→ ppK +K−

etc

La section efficace totale (ou inclusive) sera

€

σ tot = Σσ i

Pour une cible d’épaisseur δx, la différence du flux, après le passage du faisceau, sera :

€

δΦ = −Φnbσ (δx), donc

Φ = Φ inite-x L où L = 1 n bσ s'appelle la longeur de collision

4

d) La Section Efficace Elastique pour une Sphère de rayon R

Imageons une collision avec valeur d’impact b. Donc,

€

b = Rsinα = Rcos(θ2)

Pour un impact entre b et (b+db), la particule sera déviée par une angle entre

€

θ et (θ + dθ). Donc, nous pouvons écrire

€

dσ = D(θ)dΩdΩ = sinθ.dθ.dφdσ = b.db.dφdonc

D(θ) =dσdΩ

=bsinθ

dbdθ

donc

D(θ) =Rbsin(θ 2)2sinθ

=R2

4et

σ = D(θ)dΩ = πR2∫

5

e) La Section Efficace pour la diffusion classique de Coulomb (diffusion de Rutherford). Si q1 et q2 seront les charges des particules, et se E sera l’energie de la particule incidente:

Dans le cas d’une potentiel centrale, le moment cinétique sera :

€

L = pb = mr2 dφ

dt, donc dt

r2 =dφvb

€

(conservation de moment cinétique autour de l'originr (r = OX)

Si nous considérons maintenant le composant d’impulsion dans la direction, OD à chaque pointe, la changement totale sera de

€

−mvsinθ2

jusqu'à + mvsinθ2

. Donc,

€

2mvsinθ 2 =q1q2

4πε0

1r2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

−∞

∞

∫ cosφ ⋅ dt

=q1q2

4πε0

1vb

cosφ ⋅ dφ−(π −θ ) / 2

(π −θ ) / 2

∫⇒

b =q1q2

2Ecot θ

2⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

€

En introduisant b dans la formule de dσdΩ

,

dσdΩ

=b

sinθ⋅dbdθ

=14q1q2

2E⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2 1sin4 θ 2( )

Dans ce cas,

€

σ tot =∞. La raison est que la force est proportionnelle à 1/r2. Au niveau quantique, le problème sera résolu par le phénomène qu’on appelle “screening” ou “blindage”.

6

f) Pour le cas non relativiste, le taux des interactions du type :

€

A→1+ 2 + .....+ nouA + B→1+ 2 + ....+ n

sera

€

W =2πMif

2ρF où

- Mif est la matrice de transition entre l’état initial i et l’état final - Mif inclut toute la dynamique de l’interaction (Appendix. 2.1)

g) La quantité W est le taux des interactions par unité de temps et si

€

Φ sera le flux incident,

€

W =σ ⋅Φ

Dans ce chapitre, nous traitons seulement le cinétique des interactions (donc

€

Mif2

= 1).

h) La quantité

€

ρF =dNdEtot

est la densité des états finaux dans le sens quantique, par unité de l’énergie

finale, et où l’énergie dans la transition sera conservée.

7

8

Chapitre 2 Le Taux de Transition Bibliographie: Griffiths Chapitre 6 Perkins Appendix B Halzen et Martin, Chapitre 3.6 et 4.3

2.1 Introduction

Taux de Transition, W (non-rélativiste) Ce traitement est non rélativiste et simplifié, à voir le cours de Mécanique Quantique II pour une discussion plus complète. a) Nous avons un Hamiltonian H0 ayant un ensemble des états propres En avec les fonctions d’ondes φn.

H0 sera perturbé par le potentiel V(x,t).

€

H = H 0 (t) +V (x,t)H 0φn = Enφn où φm

*φnd3x = δm ,n

V∫

Nous devrons résoudre l’équation

€

(H 0 (t) +V (x,t))ψ =i∂ψ∂t

9

pour une particule en mouvement dans un potentiel V(x,t).

b) Nous écrivons

€

ψ = an (t)φn (x)e−iEntn∑ avec =1

si an (t) ne dépend pas sur x. Donc,

i dandt

φn (x)e−iEntn∑ = V (x,t)an (t)φn (x)e−iEnt

n∑

Laissons i) multiplier les 2 côtés par

€

φ f* ;

ii) intégrer les 2 côtés sur la volume V ; et iii) utiliser l’orthonormalité des fonctions d’ondes et on obtient

€

da f

dt= −i an (t) φ f

*Vφnd3x

V∫

n∑ ei(Ef −Ei )t

10

c) Supposons que le potentiel V interagisse sur la particule dans l’état propre initial, i, pendant la période

€

−T2,T2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ . Il faut noter qu’une transition entre états ne modifie pas l’existence de la base orthonormale.

Supposons en plus que l’effet du potentiel V est petit (af<<1).

€

ai −T2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 1

a f −T2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0; f ≠ i

da f

dt= −i d 3x φ f

*Vφ i V∫ ei(E f −Ei )t

Puis,

€

a f = −i dt'−T2

T2

∫ d 3x φ f*Vφ i

V∫ ei(E f −Ei )t + C où C = δfi

et

Tfi = a f (T2 )

= −i dt−T2

T2

∫ d 3x φ f*e− iE f t[ ]V φ ie

− iEi t[ ]V∫ + C

= −i d 4 xφ f* (x)V∫ φ i (x) + C

11

d) Dans le cas d’aucune dépendance en temps de V, V(x,t)=V(x) :

€

Tfi = −iVfi dt −∞

∞

∫ e− i(E f −Ei )t

= −2πi Vfiδ E f − Ei( ) (conservation d'énergie)

Ce résultat reste valable dans le cas rélativiste, et H=H(t). e) Nous définissons Wfi comme la probabilité par unité de temps d’un état i à l’état f. Donc

€

Wfi =ddtTfi

2= lim

t→∞

Tfi2

T = 2π Vfi

2δ E f − Ei)( )

L’équation devra être intégré sur l’ensemble des états initiaux (normalement un état seulement pour la

physique des particules) et les états finaux. Pour un état initial, et une densité des états

€

ρ(E) finaux :

€

Wfi = 2π dE fρ(E f )∫ Vfi

2δ E f − Ei )( )

= 2π Vfi

2ρ(E f )

12

2.2 Espace de Phase, ρF. a) Commençons avec le cas non relativiste. La quantité

€

dN = ρ(E)dEtot = ρ(p) dpdEtot

dEtot

où

€

ρ(p) est le nombre des états dans l’intervalle d’impulsion (« momentum ») (p, p+dp). Dans une dimension de longeur L, a valeur de p sera limité à

€

p =hλ

= 2π nL

avec

€

dn = dp 2πL

Pour un volume V, le nombre des états quantiques dans l’espace d’impulsion (p, p+dp) et région angulaire dΩ, sera

€

dN =Vh3

p2dpdΩ =V

(2π)3p2dpdΩ

Pour assurer une normalisation de volume, il faut en plus un facteur

€

1V

de normalisation pour chacun des fonctions

d’onde, dans la matrice Mfi. b) Pour n particules non relativistes dans un état final,

€

dN =V1

(2π)3 p12dp1dΩ1..........

Vn

(2π)3 pn2dpndΩn

13

c) Dans la transformation d’un système non relativiste au cas relativiste,

i) La quantité

€

d 3 p sera remplacée par la quantité

€

d 4 p . En effet,

€

d3 p∫ = p2dpdΩ∫⇒d4 p = d3 p dE ⋅ δ(E 2 − p2 −m2)∫∫∫

=d3 p d(E 2 − p2 −m2)

2Eδ(E 2 − p2 −m2)∫

=d3 p2E

δ(E 2 − p2 −m2)∫

ii) La quantité

€

d 3piE

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ est un invariant de Lorentz pour les états libres. Avec les unités c=1

€

px' = γ(px − βE) py

' = py pz' = pz

E ' = γ(E − βpx )

Donc,

€

dpx' =

∂px'

∂pxdpx +

∂px'

∂EdE

= γ 1− β pxE

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dpx

Puisque

€

m 2 = E 2 − px2 − py

2 − pz2 et pour py ,pz fixes pxdpx = EdE :

€

−px2

€

dpx'

E ' =dpxE

et d 3 p '

E ' =d 3 pE

14

iii) Egalement, la normalisation

€

Mif =Tfi = ψ fV∫ Uψ i dV devra être modifiée par la normalisation de

€

ψ f et ψ i

pour assurer l’invariance relativiste (dans la solution de l’équation Klein-Gordon, pour les fonctions

€

ψ = Ne−ip•x , j µ = 2pµ N 2). Par convention, chaque fonction d’onde sera normalisée par un facteur

€

12E

et pour le

cas relativiste avec n particules dans l’état final : iv)

€

W →2π

Mif

2

Πinit

(2Ei )ρF

ρF =d

dEtot

d 3 p1.....d 3 p

n−1∫(2π)3(n−1) Π

fin(2Ei )

; pn

= - pk

k =1

n -1

∑

Pour ce cas,

€

ρF et Mif seront invariantes de Lorentz. La densité des particules (2E par unité de volume dans le référentiel laboratoire et 2m dans le référentiel de repos) sera compensé par la contraction (m/E) de la volume.

15

2.3 Le Règle d’Or de Fermi pour les Désintégrations a) Le taux pour les désintégrations

€

A→1+ 2 + ....+ n sera :

€

dΓ = Mif

2⋅

2πS(2EA )

cd3 p12π( )3 2E1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

...................cd3 pn

2π( )32En

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

. 2π( )3 δ4 pA − p1 − .........pn( )où

pi =Eic

, pi⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

et S = le produit des facteurs 1

j! pour j particules identiques dans

l'état final; Ei = mi pour une désintégration en répos;

et c sont inclus dans l'équation.

EA = l'énergie totale du système = l'énergie de la particule de désintégration = mA si la particule sera en repos.

16

b) Pour le cas

€

=1, c =1 et la désintégration A→1+2,

€

dΓ = Mif2⋅S

2mA

d3 p1

2E1

.d3 p

2

2E2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ . 1

2π( )2 δ4 pA − p1 − p2( )

et

Γ =S

2mA

1(4π )2 Mif

2δ 4 pA − p1 − p2( )∫

d3 p1

E1

.d3 p

2

E2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

c) Laissons nous évaluer un exemple d’une désintégration

€

A→1+2

Pour simplicité, nous prenons le cas

€

π 0 →γγ où mγ = 0. Dans ce cas,

€

pπ = pA = (m,0)

E1 = p1

et E2 = p2

δ 4 pA − p1 − p2( ) =δ m −E1 −E2( ) ⋅δ 3 −p1− p

2( )donc

Γ =S

32mAπ2

Mif2

p1p

2

δ m − p1 − p2( )δ 3 −p1− p

2( )d 3 p1d 3 p

2∫

= KMif

2

p2

2 δ m −2 p2( )d 3p2∫

=S

16πmMif

2; Mif évalué à p

1= −p

2, p

2=m2

et S =12

17

Dans le cas d’une désintégration à 2 corps, la quantité

€

Mif sort de l’intégral puisqu’elle devra ètre évaluée à des valeurs cinématiques fixes.

€

Exercice (Griffiths ex. 6.6) :

Montrer que, pour les désintégrations A→1+ 2 avec mA,m1,m2 ≠ 0,

Γ =S p

8πmA2 Mif

2 avec p = p1 = p2

€

Exercice :

R =π− → e−ν

e

π− → µ−ν µ

= (1.267 ± 0.023) ×10−4.

−Comparer l'espace de phase pour chaque cas. Le résultat?

Ce n'est pas la raison.

(A revoir dans la sec tion sur parité )

18

2.4 Le Règle d’Or de Fermi pour la Diffusion

a) Pour les interactions

€

A + B→1+ 2 + ....n

€

dσ = Mif2⋅

2S

4 (pA ⋅ pB )2 − (MAMBc2)2[ ]

c d 3 p1

2π( )3 2E1

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ...................

cd 3 pn

2π( )3 2En

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ .

2π( )4 δ 4 pA + pB − p1 − ......... pn( )

où

pi =Eic

, pi

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

et S = le produit des facteurs 1j!

pour j particules identiques dans

l' état final;

et c sont inclus dans l' équation.

pA

(EA + EB)

c= (pA ⋅ pB )2 − (MAMBc

2)2[ ] dans le centre - de - masse (c.m.s.)

b) Pour le cas simple de l’interaction

€

A + B→1+ 2, nous pouvons évaluer

€

dσ en détail (

€

= c =1).

19

€

Dans le centre de masse, pA

+ pB

= 0 et le facteur de flux incident sera

pA ⋅ pB( )2− mA mB( )2

= EA + EB( ) pA

Nous pouvons écrire la section efficace (avec = 1 et c = 1) comme :

dσ =S

8π( )2 ⋅Mif

2

EA + EB( ) pA

⋅d 3 p

1d 3 p

2

E1E2

⋅δ 4 pA

+ pB− p

1− p

2( )

Maintenant, δ 4 pA + pB - p1 - p2( ) = δ EA + EB − E1 − E2( )δ 3 −p

1− p

2( ) et

Ei = mi2 + pi

2

et faut une intégration sur la quantité p2 (p

2→−p

1)

dσ =S M if

2

8π( )2 EA + EB( ) pA

⋅δ EA + EB( ) − p1

2 + m12( ) − p1

2 + m22( )[ ]d 3 p

1

m12 + p1

2( ) m22 + p1

2( )

20

€

En écrivant ρ = p1,

d 3 p1

=α 2 dα dΩ =α 2 dα d cosθ( )dφ, et en intégrant sur α,

dσdΩ

=S

8π( )2 EA + EB( ) pA

⋅ Mif

2

0

∞

∫δ EA + EB( ) − α 2 + m1

2( ) − α 2 + m22( )[ ]α 2dα

m12 +α 2( ) m2

2 +α 2( )

Il faut ajouter que Mif dépend sur la direction et la magnitude de p1, et

donc nous n'essayons pas d' intégrer Mif sur dΩ. Néanmoins, puisque p

1= -p

2 et p

A= -p

B, Mif sera une fonction seulement de p

A et p

1. Dans

le cas que ne dépend pas explicitement sur p1(p

Aest fixe) :

dσdΩ

=S M if

2

8π( )2 EA + EB( )2 ⋅p

1

pA

c) La section efficace pour une interaction sera spécifiée pour le spin des particules initiales et finales d’une

interaction (ou d’une désintégration). Dans l’absence de la spécification de l’état du spin, chaque amplitude

€

Mif de spin final devra être ajouté, et il faut faire le moyen selon les possibles spins initiaux.

21

d) Dans l’absence de polarisation des particules initiales d’une interaction, il y a une symétrie cylindrique autour de la direction des particules initiales, et

€

dσd cosθ

= 2π dσdΩ

(exercice)

Egalement, on peut montrer que dans le centre de masse,

€

t = −2 pA2 (1− cosθCM ) et

dσdt

= π

pA

2

dσdΩCM

(exercice)

22

2.4.1 L’Espace de Phase pour 3 particules. a) Laissons nous considérer le cas d’une interaction

€

A + B→1+ 2 + 3, par exemple, l’interaction

€

K +p→K 0pπ + , dans le centre de masse des particules A et B. Dans ce cas, laissons pour l’instant

€

Mif = constant (c’est à dire qu’il y a aucune dynamique dans l’interaction).

La densité des états sera

€

( = c =1) proportionnelle à :

€

ρ∝ R3 où

R 3 = Πi=1

3 d 3 pi

2Ei

∫ δ 4 pA + pB − p1 − p2 − p3( )

= Πi=1

3 d 3 pi

2Ei

∫ δ EA + EB − E1 − E2 − E3( ) δ 3 p1

+ p2

+ p3( )

.

Puisque

€

p3

= − p1

+ p2( ) et d 3 p

i= pi

2 dpi dΩ i ,

€

R3 =d 3p1d

3p28E1E2E3

∫ δ EA + EB − E1 − E2 − E3( )

23

et en intégrant sur

€

dΩ1 et dΩ2 où dΩ1 = 4π , dΩ2 = 2π d(cosθ12 )∫∫∫ , nous devrons écrire :

€

R3 =18

p12

E1

⋅ dp1∫p2

2

E2

dp2

dΩ1dΩ2

E3

δ EA + EB − E1 − E2 − E3( )

= π 2 p12

E1

⋅ dp1∫p2

2

E2

dp2

d cosθ12( )E3

δ EA + EB − E1 − E2 − E3( )

Maintenant,

(i) p3

2= p1

2+ p2

2+ 2 p1 p2 cosθ12 et si p1 , p2 sont fixes,

(ii) p3 d p3 = p1 p2 d cosθ12 , et

(iii) E i d Ei = pi d pi

Avec ces simplifications,

R 3 = π 2 dE1 dE2 dE3 δ∫ E1 + E2 + E3 − EI( ) = π 2 dE1 dE2∫

b) Le résultat est que

€

dρdE1dE2

= constant

Ce résultat importantindique que, dansl’absence des effets de

€

Mif (cinétiqueseulement) la distributiond’E1 et E2 des évènementssera plate

24

c) Pour le cas

€

A + B→1+ 2 + 3,

€

mij2 = pi + p j( )2

= s + mk2 − 2 s Ek

Donc,

dmij2 = −2 s dEk et

dEi dE j =14s

d m jk2 dmki

2

= constant

25

EXEMPLE : L’interaction

€

K +p→K 0pπ +

26

Dans ce cas, il y a 2 importantes résonances (particules), le K*(892) et le Δ(1238). La distribution de

€

mpπ +2 vs. mK 0π +

2 est

Figure : Diagramme de Dalitz pour l’interaction

€

K +p→K 0pπ + , avec

€

pK + = 3 GeV/c.

27

Dans le cas du K*(892), le temps de désintégration est τ = 1.3 x 10-23 secs, caractéristique des interactions fortes. La largeur

€

Γ d’une résonance, et le temps de vie de l’état, sont connectée par la relation

€

Γ = τ . La forme des résonances (Breit-Wigner) est (chapitre 8) :

€

σ ∝Γ2 4

(E − ER )2 + Γ2 4

et cette dépendance en énergie n’est rien d’autre que la transformation de Fourier d’une distribution exponentielle dans le temps.

€

ψ(t) =ψ(0)e− t( iER +Γ 2) avec =1 et c =1

Donc, si ω = E/ = E,

g(ω) = ψ(t)eiωt0

∞

∫ dt

g(E) = ψ(t)eiEt0

∞

∫ dt

=ψ(0) eiEte− t( iER +Γ 2)

0

∞

∫ dt

=K

(ER − E) − iΓ 2