ISFAInstitut de Sciences Financière et d’Assurance

Mémoire d’Actuariat

Construction d’une table d’experience sur lemaintien en invalidite

Elias Claire

AXA France, Nanterre Préfecture2013

Résumé

Dans une perspective d’optimisation de son provisionnement, le groupe AXA Francesouhaite avoir une meilleure connaissance de son portefeuille prévoyance individuelle surle risque Invalidité. L’objectif de ce mémoire est donc la construction d’une table d’ex-périence sur le maintien en Invalidité afin de refléter au maximum le comportement dela population assurée et de calculer des provisions plus adaptées par rapport aux risquessupportés par la compagnie.

Dans un premier temps, un portefeuille constitué de Rentes Invalidité suffisammenthomogène et volumineux est sélectionné. Une analyse à la fois descriptive et statistique(test des Log Rank, test du modèle de Cox) est ensuite effectuée pour avoir une meilleureconnaissance du risque, étudier l’homogénéité de la base de données construite, et identi-fier les variables qui influencent la durée du maintien. Cette étape a permis de conclureque la base d’AXA est bien exploitable pour construire une loi de maintien en invaliditéet que celle-ci serait établie sur une seule dimension, l’âge.

Lors de la construction de la table, l’estimateur de Kaplan Meier a été appliqué auxdonnées pour calculer les taux bruts de décès. Ces taux présentant des irrégularités ontensuite été ajustés avec trois méthodes : le modèle de Gompertz, le modèle de Makehamet le modèle de Brass. Le test du χ2 ayant confirmé l’adéquation entre les taux bruts et lestaux lissés, les espérances de maintien résiduel ont été calculées pour comparer les troismodèles.

Après avoir retenu le modèle de Brass pour des raisons techniques, des back tests sonteffectués pour valider la loi d’expérience créée. La fidélité par rapport aux données réellesde la loi est testée, ainsi que la suffisance des provisions par rapport aux prestations ver-sées. Ces back tests se sont révélés positifs.La table d’expérience a ensuite été comparée à la table réglementaire du BCAC ainsiqu’à la future loi du BCAC qui devrait être mise en vigueur en 2015. Cette comparaisonmontre que la table d’expérience est plus prudente que la table du BCAC en vigueur etpréconise d’augmenter les provisions. Elle met aussi en évidence que la table d’expérienceconduit à des provisionnements proches de la nouvelle loi du BCAC.

Mots clés : Table d’expérience, risque invalidité, modèle de Cox, test des Log Rank,estimateur de Kaplan Meier, modèle de Gompertz, modèle de Makeham, modèle de Brass.

4

Abstract

In order to optimize its amount of reserves, AXA France wishes to improve its longterm Disability Risk knowledge. The aim of this document is to build an experience tablein the maintenance of the disabled allowing to model the specific behaviour of the insuredpopulation and to calculate the most accurate reserves for the risk.

In a first stage, a homogeneous database composed by Disability Annuities with asignificant volume has been selected. A statistical and descriptive analysis (Log Rank andCox tests) has been performed in order to map the risk, to check the table homogeneityand to identify the variables that have an influence on the maintenance duration. Thisstep led to the conclusion that the AXA database was usable to create a disability conti-nuation model with only one dimension, the age.

In order to develop this model, the Kaplan Meier approach has been applied to thedata to calculate gross death rates. Since these rates presented some irregularities, theyhave been smoothen with three models : Gompertz, Makeham and Brass. The χ2 test hasconfirmed the matching of gross and smoothen rates, so residual continuation expectancywere calculated to compare the last three models.

Finally, the Brass model was chosen because of technical reasons. Back tests were thenperformed to validate the new experience table. The model fidelity with real data has beentested. Sufficiency of provisions has been checked as well.These tests being positive, the experience table has been compared to the BCAC nationaltable and to the future BCAC table which will be used as of 2015. This comparison hasshown that the experience table is more conservative than the current BCAC table andadvocate to increase reserves. Moreover, it highlights the experience table has reserveswhich are close to the future BCAC table.

Keywords : Experience table, disability risk, Cox model, Log Rank test, KaplanMeier approach, Gompertz model, Makeham model, Brass model.

5

Remerciements

Du 10 septembre 2012 au 30 septembre 2013, j’ai eu l’opportunité d’effectuer mon al-ternance au sein de la Direction de Santé Prévoyance Dépendance d’AXA France, et plusparticulièrement au sein de l’équipe Prévoyance du département Technique et Produits.

Je remercie tout d’abord Monsieur Xavier Piketty, mon tuteur, pour le temps qu’ilm’a accordé, l’intérêt qu’il a porté à mes missions, les conseils qu’il m’a prodigué ainsique pour ses qualités humaines.

Je veux également remercier Madame Valérie Gabot, responsable de l’équipe Pré-voyance, pour m’avoir accueillie au sein de son équipe, pour le temps qu’elle m’a accordépour le suivi de mon travail.

Enfin je tiens à remercier tout le département Technique et Produits et l’ensemblede l’équipe Prévoyance pour leur gentillesse et leur esprit d’équipe. Ils ont facilité monintégration à l’équipe et ont rendu mon stage d’alternance parmi eux très enrichissant etconvivial.

6

Sommaire

Résumé 4

Abstract 5

Remerciements 6

Introduction 8

I Présentation de l’étude 10

1 La Prévoyance 111.1 La Prévoyance en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 La couverture Invalidité au sein d’AXA France . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Table réglementaire et table d’expérience 142.1 Généralités sur la table réglementaire de maintien en invalidité . . . . . . . 142.2 Les motivations de la construction de la table d’expérience . . . . . . . . . 16

II Sélection et analyse du portefeuille 18

3 La construction de la base Invalidité 193.1 Sélection & description des données hors système 4 . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Sélection des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.2 Cartographie des produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Les données du Système 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Sélection des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Les variables qui constituent la clé unique . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2 Les variables obligatoires à la construction de la loi . . . . . . . . . 273.3.3 Les variables explicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.1 Gestion des multi-détenteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2 Gestion des données manquantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7

3.5 Les règles appliquées aux dates de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Analyse statistique de la base 354.1 Étude des sorties et de la sinistralité du portefeuille . . . . . . . . . . . . . 354.2 Analyse de la mortalité du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 L’homogénéité de la base de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Le test des Log Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 L’influence de la variable ancienneté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.1 Le modèle de Cox à risque proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 L’influence de la variable Sexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

III Construction de la loi de maintien en invalidité 55

5 La construction des taux bruts de maintien en invalidité 565.1 Les censures et les troncatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Le choix de la période d’observation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3 Principe de l’estimateur par la méthode de Kaplan Meier . . . . . . . . . . 585.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 L’ajustement des taux bruts 636.1 Ajustement des taux avec un modèle de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1 Validation de l’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1.3 Vérification de l’adéquation statistique de l’ajustement . . . . . . . 68

6.2 Ajustement des taux avec un modèle de Makeham . . . . . . . . . . . . . . 696.2.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2.2 Validation de l’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 Raccordement par la méthode de Brass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.3.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7 Choix final de la méthode 767.1 L’ajustement du test du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 L’indicateur espérance de maintien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV Confirmation de la loi d’expérience 79

8 Comparaison entre la loi d’expérience et la loi du BCAC 808.1 Fidélité de la loi d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.2 Les espérances de maintien résiduel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.2.1 Loi d’expérience vs Loi du BCAC en vigueur . . . . . . . . . . . . . 81

8

8.2.2 Loi d’expérience vs nouvelle loi du BCAC . . . . . . . . . . . . . . 82

9 Le provisionnent en Invalidité 849.1 Le cadre réglementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.2 Méthode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Conclusion 88

9

Introduction

La couverture contre le risque Invalidité a été créée en 1928 dans le but de protégerles individus contre la perte de revenus suite à un état de santé dégradé. Si le principe apeu évolué depuis, la définition de la couverture est aujourd’hui plus cadrée. Elle vise àprotéger les travailleurs ainsi que leur famille de la perte totale ou partielle de leurs re-venus suite à un accident ou une maladie réduisant leurs capacités à exercer une activitéprofessionnelle. Un travailleur sinistré bénéficie du maintien partiel de ses revenus à l’aidedes prestations versées par son régime obligatoire tel que la CPAM. Il peut compléter sesprestations en souscrivant un contrat auprès d’une compagnie d’assurance, d’une mutuelleou d’un institut de Prévoyances.

L’augmentation du nombre d’invalides s’est accélérée en 2002 pour se stabiliser en 2007en raison des baby-boomers qui ont atteint dans cette période un âge où la probabilitéd’entrée en invalidité est maximale. Les prestations attribuées par les régimes de baseétant insuffisantes, il devient intéressant pour les assureurs de modéliser ce risque et d’enproposer des couvertures.

Le tarif d’une telle garantie et son mécanisme de provisionnement reposent sur desprobabilités provenant d’une table réglementaire construite par le Bureau Commun d’As-surance des Collectives (BCAC) et créée à partir de portefeuilles de grandes compagniesd’assurance. Une compagnie d’assurance a la possibilité de construire ses propres tables,ce qui permet de refléter au maximum le comportement de la population assurée. En effet,la table est construite à partir des propres caractéristiques de la compagnie, que ce soitses produits, ses garanties, ou sa clientèle. L’assureur aura alors la capacité d’établir untarif plus juste et de prévoir aux mieux les indemnités versées aux sinistrés. Ses positionsconcurrentielles seront meilleures par rapport aux compagnies qui utilisent les tables ré-glementaires.

10

Dans ce contexte, le groupe AXA France souhaite construire sa propre table de main-tien en invalidité. La table d’expérience obtenue sera positionnée par rapport à la tableréglementaire en vigueur du BCAC et par rapport à la nouvelle table du BCAC qui de-vrait entrer en vigueur en 2015.

La problématique de ce mémoire est la suivante : Comment construire une table d’ex-périence sur le maintien en invalidité ? Et plus particulièrement, comment gérer un petitvolume de données dans ce type de travail qui en est demandeur ?

Ce mémoire se divise en quatre parties :

1. Une première partie présentera le contexte de l’étude à savoir, la Prévoyance etle risque Invalidité et explicitera les motivations de la construction d’une tabled’expérience.

2. Une seconde partie détaillera l’élaboration de la base Invalidité, support de laconstruction de la table, à savoir la sélection des données et des variables ainsique leur traitement. Une analyse à la fois descriptive et statistique sera effectuéepour avoir une meilleure connaissance du risque, étudier l’homogénéité de la baseconstruite ainsi que les variables qui influencent la durée du maintien. Le test desLog Rank ainsi que le modèle à hasard proportionnel de Cox seront appliqués.

3. Une troisième partie à la fois théorique et pratique traitera la construction de laloi de maintien. Les taux seront estimés par la méthode de Kaplan Meier, méthodeadaptée en présence de nombreuses données censurées. Trois méthodes d’ajuste-ment seront ensuite réalisées puis comparées, à savoir le modèle de Gompertz, lemodèle de Makeham et le modèle de Brass.

4. Une quatrième partie aura pour but de valider la table d’expérience avec des back-tests. Des Boni Mali seront calculés, afin de comparer les prévisions avec les pres-tations réelles. En amont, la loi d’expérience sera comparée avec les lois du BCACen utilisant l’indicateur de l’espérance de maintien résiduel.

N.B : Pour des raisons de confidentialité, les axes des graphiques ont parfoisété retirés.

11

Première partie

Présentation de l’étude

12

Chapitre 1

La Prévoyance

La Prévoyance est l’assurance qui couvre principalement les risques Décès, Invalidité,Incapacité de travail ou Santé.

1.1 La Prévoyance en France

Une couverture de Prévoyance peut être souscrite pour le salarié par le biais des ré-gimes collectifs ou de l’employeur : la Prévoyance collective. Elle peut être souscriteaussi de manière facultative individuellement : la Prévoyance individuelle.

Selon l’organisme d’assurance qui la commercialise, pour ces deux types de Prévoyance,le contrat sera régi soit par le code des assurances (groupe d’assureurs), ou par le codedes mutuelles (mutuelles), ou encore par le code de la Sécurité Sociale (institut de Pré-voyance).Ces types d’assurance s’ajoutent au régime obligatoire, en général un régime de basecomme la Sécurité Sociale, ou un régime complémentaire comme les Conventions Col-lectives Nationales. Les prestations versées par le régime obligatoire sont généralementinsuffisantes et ne compensent pas les pertes occasionnées par le sinistre. Cette insuf-fisance est encore plus forte chez les travailleurs non salariés qui ne bénéficient pas derégime complémentaire. Cette population a donc un besoin plus important de souscrireun contrat de Prévoyance et représente généralement la principale cible des assureurs pourla Prévoyance individuelle.

L’étude sera focalisée sur le risque Invalidité.

13

1.2 La couverture Invalidité au sein d’AXA France

Les garanties Invalidité proposées par le groupe AXA France peuvent être principalesou optionnelles, sous forme de capital ou de rente, fonction de la nature du sinistre (acci-dent ou maladie), fonction du degrés d’invalidité, ou encore fonction du type d’invalidité(Invalidité fonctionnelle ou professionnelle).

Ci-dessous, les définitions de ces termes :

L’Invalidité fonctionnelle : Invalidité qui rend un individu incapable d’exercer de ma-nière partielle ou totale une profession ou une activité susceptible de lui procurerun gain pour cause de maladie ou d’accident. Elle est chiffrée selon le barème desaccidents du travail de la Sécurité Sociale. Cette évaluation ne tient pas compte del’activité professionnelle de l’assuré.

L’Invalidité professionnelle : Invalidité qui rend un individu incapable d’exercer demanière partielle ou totale l’activité professionnelle qu’il exerçait au moment dusinistre, pour cause de maladie ou d’accident. Elle est évaluée par expertise amiable.Cette évaluation ne tient pas compte des possibilités d’exercice d’une autre profes-sion.

Le taux d’invalidité : Il existe trois barèmes pour l’évaluer :— le barème fonctionnel— le barème croisé— le barème professionnel.Généralement, le taux d’invalidité pour les produits d’AXA est déterminé par lebarème croisé. Par exemple, à partir du taux d’invalidité fonctionnelle et du tauxd’invalidité professionnelle, le tableau 1.1 pourrait déterminer le taux d’invaliditéretenu par l’assureur.

A partir de ces taux, les assureurs proposent des garanties d’Invalidité partielle etdes garanties d’Invalidité totale :

— Invalidité partielle : Généralement, le taux d’invalidité doit être supérieur à33 % et inférieur à 66 % pour ouvrir le droit à une indemnité partielle.

— Invalidité totale : Généralement, le taux d’invalidité doit être supérieur à 66% pour ouvrir le droit à une indemnité totale.

14

Taux d’Invalidité FonctionnelleTaux d’Invalidité Professionnelle 30 40 50 60 70 80 90 100

10 0 0 0 0 0 0 0 3320 0 0 0 0 0 0 0 3330 0 0 0 33 33 33 33 3340 0 36 37 38 39 40 41 4250 0 37 50 52 53 55 56 5860 0 38 52 78 80 81 83 8570 0 39 53 80 100 100 100 10080 33 40 55 81 100 100 100 10090 33 41 56 83 100 100 100 100100 33 42 58 85 100 100 100 100

Table 1.1 – Exemple taux d’indemnisation croisés

La rente : C’est l’engagement de l’assureur de verser en cas d’invalidité, un arrérage àl’assuré dans les conditions déterminées lors de la souscription du contrat jusqu’àla fin de la garantie.

Les produits du groupe AXA qui entrent dans le cadre de cette étude proposentgénéralement des rentes temporaires trimestrielles, c’est-à-dire des rentes verséestant que le rentier invalide est en vie pendant une certaine période. La périodeétant pour les garanties Invalidité de la date de consolidation de l’invalidité à ladate du 65ième anniversaire du rentier ou à l’âge de la retraite si celle-ci est priseavant.

A partir de 65 ans, les invalides deviennent des personnes dépendantes et reçoiventdes pensions.

15

Chapitre 2

Table réglementaire et tabled’expérience

2.1 Généralités sur la table réglementaire de maintien

en invalidité

La table réglementaire de maintien en invalidité a été créée dans les années 90 par leBureau Commun d’Assurances des Collectives (BCAC). A sa création, elle a été élaboréeà partir de portefeuilles de grandes compagnies d’assurance, telles que l’AGF, AXA, GANet UAP. L’utilité de ces tables est principalement pour la tarification et le provisionne-ment d’un produit.

Une table de maintien en invalidité est une table qui détermine les probabilités demaintien calculées suivant deux dimensions qui sont l’âge d’entrée en invalidité et sonancienneté passée dans cet état.

La Figure 2.1 représente la table réglementaire sur le maintien en invalidité du BCAC.Pour chaque âge d’entrée x en invalidité à l’ancienneté t = 0, la table part de 10 000individus. Lxt représente le nombre d’individus entrés en invalidité à l’âge x et survivantsà l’âge x+ t, il est estimé pour tout âge x et pour toute ancienneté t.

Pour tenir compte des réformes sur le recul de l’âge de la retraite, la table du BCACa été ajustée en 2010 pour s’arrêter à l’âge de 62 ans. Une rupture est alors observée àcet âge qui représente l’âge de fin de garantie de l’invalidité.

16

A l’aide de cette table, pour un rentier entré en invalidité à l’âge x et d’ancienneté t,l’assureur peut estimer la durée résiduelle probable de versement de la rente. L’assureurpeut alors calculer ses provisions.

0

10

20

30

40 2025

3035

4045

5055

60

0

0.5

1

·104

Ancienneté(t)âge entrée(x)

Lxt

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1·104

Figure 2.1 – Loi de maintien en invalidité du BCAC

Une nouvelle table de maintien en invalidité, qui devrait entrer en vigueur en 2015,a été récemment construite afin d’actualiser l’ancienne table et de prendre en compte lesévolutions du risque Arrêt de travail.Cette table est élaborée sur le même schéma que l’ancienne table avec un âge de survenancede l’invalidité allant de 20 à 64 ans, et des anciennetés allant de 0 à 45 ans. Par rapportà l’ancienne table, une augmentation des durées résiduelles en invalidité est observée.

17

2.2 Les motivations de la construction de la table d’ex-

périence

Les tables d’expérience sont construites sur la base de données du portefeuille de lacompagnie alors que les tables réglementaires sont construites sur la base de données dela population française.

Utiliser sa propre table d’expérience permet aux assureurs de provisionner et de tariferde la façon la plus optimale. En effet, la base brute de départ de l’étude est constituée desdonnées issues de la propre gamme de produits de la compagnie, ainsi que de sa propreclientèle. Les probabilités de maintien sont alors construites à partir de l’historique de lacompagnie ce qui permet de mieux prendre en compte les risques qu’elle supporte.

Par ailleurs, les tables réglementaires ne proposent pas de segmentation du risque. Or,ces segmentations peuvent permettre une modélisation la plus fine possible du maintienen invalidité. Dans cette étude, l’influence et la significativité sur le maintien en invaliditédes différentes données disponibles caractérisant l’assuré tel que le sexe seront analysées.

La réalisation d’une table d’expérience se fait en 3 étapes qui sont :

1. La construction de la table

2. La certification de la table par un actuaire agréé et indépendant de la compagnie

3. Le suivi annuel de la table.

Le groupe AXA souhaite créer sa propre table d’expérience afin de connaître et demaitriser son risque Invalidité. Les étapes 2 et 3 sont nécessaires dans une perspective deprovisionnement et/ou de tarification à partir de la table d’expérience. La certificationsera alors envisagée selon les résultats obtenus lors de l’étape 1.

18

Lors de cette étude, différentes problématiques devront être gérées pour construire unmodèle exploitable. Deux caractéristiques majeures à étudier sont :

— Le volume de données— L’homogénéité du portefeuille.

Un volume de données restreint associé à une hétérogénéité du portefeuille empêche-rait la construction d’un modèle assez robuste. En revanche, un volume limité peut êtrecompensé par un portefeuille homogène et une hétérogénéité par un volume important.

La partie suivante a pour objectif de déterminer si le groupe AXA a un portefeuilleassez robuste afin de construire sa propre table d’expérience.

19

Deuxième partie

Sélection et analyse du portefeuille

20

Chapitre 3

La construction de la base Invalidité

Pour étudier le maintien en invalidité, il est nécessaire d’observer les individus sinis-trés sur toute leur période d’invalidité. Les personnes invalides touchant un capital nepeuvent pas être prises en compte car, dans le cas général, l’assureur ne dispose d’aucuneinformation sur leur maintien en état d’invalidité. L’étude démarre ainsi par la sélectiondes personnes qui ont été reconnues invalides et qui reçoivent des prestations sous formede rente.

Les produits Prévoyance qui ont des garanties Rente Invalidité sont sélectionnés. Lesrentes associées à ces différents produits sont issues de deux périmètres de données :

Le périmètre 1 : Ce sont des rentes gérées par les systèmes RCV, NOVA et AXAPACqui sont des systèmes informatiques de gestion provenant d’anciennes entités quiont fusionnées avec la compagnie AXA. En effet, le groupe AXA résulte de la fu-sion de nombreuses entités, ce qui engendre la présence de plusieurs systèmes degestion des contrats. Les systèmes RCV, NOVA et AXAPAC seront respectivementnommés par la suite les systèmes 1, 2 et 3.

Le périmètre 2 : Ce sont des rentes issues d’un portefeuille de contrats proposés parl’AGIPI, une association d’assurés pour la retraite, la prévoyance et la santé. L’as-sociation AGIPI sera nommée par la suite système 4.

Les parties suivantes présentent les données de chaque périmètre.

21

3.1 Sélection & description des données hors système 4

3.1.1 Sélection des données

A partir d’une base brute fournie par les équipes de gestion des rentes, les produitsPrévoyance qui ont des garanties Rente Invalidité sont sélectionnés.

Tout d’abord, un premier tri est effectué pour retirer les rentes qui n’entrent pas dansle cadre de l’étude. Les rentes ayant les caractéristiques ci-dessous sont supprimées.

— Les rentes dont la date de survenance du sinistre précède l’année 1980 car lescontrats sont estimés trop anciens.

— Les rentes dont la prestation est versée au conjoint ou à l’enfant du sinistré, cequi n’apporte pas d’information sur son maintien en état d’invalidité. Les rentes"Veuves" et "Educ" sont ainsi supprimées.

— Les Rentes Incapacité, puisqu’une période d’incapacité précédant une période d’in-validité n’influence pas, en général, le maintien en état d’invalidité d’une personne.

— Le produit "Garantie Accident Vie" qui n’entre pas dans le cadre de l’étude. Eneffet, la définition de l’invalidité et les garanties proposées par ce produit diffèrentde l’invalidité traitée dans cette étude.

Le tableau 3.1 résume la sélection du périmètre.

Nombre de lignessélectionnées

Base initiale 1919

Retrait vieux contrats 1674

Retrait Rentes Educ Conjointes Incap 1567

Retrait Garantie Accident Vie 1564

Table 3.1 – Sélection du périmètre

A ce stade, toutes les Rentes Invalidité sont susceptibles de constituer le support dela table de maintien en invalidité.Comme cela a été dit dans la partie précédente, l’homogénéité des données doit être étu-diée. En effet, une hétérogénéité constatée sur une variable ayant une influence sur lemaintien en invalidité devra faire l’objet d’une étude afin de la contrôler. En particulier,

22

la définition de l’invalidité donnée par chaque garantie, ainsi que les taux d’invalidité,pourraient rendre la base hétérogène.Pour évaluer l’homogénéité des données, une cartographie des produits du périmètre sé-lectionné doit être établie.

3.1.2 Cartographie des produits

Pour effectuer la cartographie des rentes sélectionnées précédemment, tous les produitsassociés aux rentes doivent être connus. Cependant, la variable "Produit" est en réalitéun groupe de produits dans le système de gestion des rentes car elle est agrégée selonla nature de la revalorisation des rentes. Elle ne restitue donc pas toujours le produitcommercial, il est alors primordial de retrouver les informations manquantes. A l’aide decroisements de bases de données, une grande partie des noms des produits associés auxrentes a été retrouvée.

Les figures 3.1, 3.2, 3.3 sont des diagrammes circulaires présentant la répartition desproduits par système. La figure 3.4 présente la répartition des systèmes de la base dedonnées sélectionnée.

19%

Produit 12%

Produit 2

20%

Produit 3

14%Produit 4

8%

Produit 5 8%

Produit 6

29%

Produit système 1

Figure 3.1 – Répartition des produits du Système 1

23

29%

Produit 7

5%

Produit 8

8%

Produit 9

7%Produit 10

0%Produit 11

8%Produit 12

4%

Produit 131%

Produit 1432%

Produit 15

6%Produit système 2

Figure 3.2 – Répartition des produits du Système 2

6%Produit 16

12%

Produit 177%

Produit 18

37%Produit 19

14%

Produit 20

24%

Produit système 3

Figure 3.3 – Répartition des produits du Système 3

24

26%

Système 1

45%Système 2

29%

Système 3

Figure 3.4 – Répartition des systèmes

La base de données contient de nombreux produits. Six produits composent le système1, neuf produits le système 2 et cinq produits le système 3.

Dans les différents diagrammes, les produits appelés "Produit système 1", "Produitsystème 2" et "Produit système 3" représentent la part des rentes pour lesquelles il n’a pasété possible d’attribuer un nom Produit. Ces rentes pourraient provenir de produits quin’entrent pas dans le cadre de l’étude. Cette hypothèse est écartée pour différentes raisons :

— Tout d’abord, les produits du système 1 possèdent une seule garantie Invaliditécommune à tous les produits. La connaissance du produit n’est donc pas nécessaire.

— Les produits "Produit système 2" et "Produit système 3" avaient des numéros decontrat incomplets, ce qui n’a pas permis de les associer à un produit avec unniveau de fiabilité suffisant.En revanche, la base contient un code identifiant la typologie de la rente. Il estutilisé pour reconstituer les caractéristiques des contrats incomplets par rappro-chement avec les contrats connus. Ce rapprochement a permis de confirmer que cesrentes appartiennent bien au périmètre d’étude.

25

A ce stade, une cartographie des produits peut être établie afin d’observer si les don-nées sont homogènes malgré le grand nombre de produits présents dans la base.

Le tableau 3.2 représente la cartographie 1 de la base Invalidité sélectionnée :

GENRE GARANTIESYSTEME PRODUITS

Libellé garanties Taux d’invalidité Age de fin degarantie

VOLUME

1 Produit 1 àProduit 6

IFPR : InvaliditéFonctionnellePartielle Rentetoutes causes

(Maladie (MA) /Accident (AC))

Produits 1 à 6 : >33 % 65 ans 317

IPR : InvaliditéProfessionnelleRente toutes

causes (exceptésproduit 5 etproduit 6)

Produits 1 à 4 :Impossibilité totale

d’exercer la profession60 ans

2 Produit 7 àProduit 15

Rente Invaliditétoutes causes

Produit 7 à 15 : >30% ou >33 % 60 ou 65 ans 548

Rente Invaliditéen cas d’accident

(seulementproduit 7)

Produit 7 : >11 %(AC)

3 Produit 16 àProduit 20

Rente Invaliditétoutes causes

Produit 16 : >33 %Produit 17 : >11 %

Produit 18 :MA>10 % AC >33 %Produit 19 : >33 %Produit 20 : >33%

60 ou 65 ans 354

Rente Invaliditéen cas d’accident(Produit 19)

Produit 19 : >66 %(AC)

Table 3.2 – Cartographie des produits Prévoyance de la base Invalidité

1. Le volume indiqué dans le tableau 3.2 est le volume obtenu après avoir ramené les assurés multi-détenteurs sur une ligne (cf. chapitre 3.4.1)

26

A première vue, les garanties proposées par les différents produits issus de systèmesde gestion différents paraissent homogènes.De façon globale, les garanties proposées quelque soit le système sont des Rentes Invaliditétoutes causes (accident ou maladie), à partir d’un taux d’invalidité de 33 %, avec un âgede fin de garantie de 60 ou 65 ans et avec une définition de l’invalidité similaire.

Cependant, quelques hétérogénéités sont présentes et pourraient par la suite perturberl’étude :

— Deux produits du système 1 proposent une définition de l’invalidité qui dépenduniquement de l’invalidité fonctionnelle (produits 5 et 6).

— Des produits des systèmes 2 et 3 possèdent une garantie qui propose des rentesuniquement en cas d’accident avec des taux d’invalidité différents de 33 % (produit7 et 19).

— Les produits 19 et 20 du système 3 possèdent une garantie qui propose des rentesuniquement en cas de maladie.

— Le produit 17 du système 3 propose un taux d’invalidité plus faible que les deuxautres systèmes.

— Les garanties proposées par les différents produits issus des 3 systèmes ont deuxâges de fin de garantie différents : 60 et 65 ans. Cette hétérogénéité sera gérée parla suite à l’aide des notions d’exposition au risque et des censures.

Des tests statistiques seront effectués dans la section suivante pour observer l’impactde ces hétérogénéités.

Par ailleurs, le volume total indiqué ici n’est que de 1 219 Rentes Invalidités. Afind’augmenter la taille de la base, les données du périmètre 2 sont ajoutées.

3.2 Les données du Système 4

Par l’intermédiaire de l’association AGIPI, AXA propose un produit qui comporteune garantie Rente Invalidité toutes causes à partir d’un taux d’invalidité de 33 % et avecun âge de fin de garantie de 60 ou 65 ans. Ce produit présente donc des caractéristiquessimilaires aux produits des systèmes 1, 2 et 3. La base reste alors globalement homogène.

Le volume des rentes gérées par le système 4 est de 1 177 Rentes Invalidité. Ainsi,2 396 Rentes Invalidité constituent la base pour construire la loi de maintien en invalidité.

27

La figure 3.5 est un diagramme circulaire présentant la répartition des systèmes de labase créée. Les données du système 4 ont permis de doubler le volume.

13%

Système 1

23%Système 2

15%

Système 3

49% Système 4

Figure 3.5 – Répartition des systèmes

3.3 Sélection des variables

De nombreuses variables étaient présentes dans la base brute. À partir de cette base,un travail de sélection des variables est nécessaire pour permettre la construction de la loide maintien en invalidité.Dans un premier temps, une clé unique doit être créée à partir de ces variables pour éviterles doublons d’individus. Ensuite, les variables nécessaires pour le calcul de la durée dumaintien en invalidité doivent être sélectionnées. Enfin, les variables qui semblent expliqueret influencer le maintien en invalidité sont extraites pour effectuer des tests et étudier leursignificativité.

28

3.3.1 Les variables qui constituent la clé unique

Les variables qui constituent la clé unique diffèrent selon les périmètres puisque deuxbases brutes différentes ont été fournies : la bases des systèmes 1, 2, 3 et la base du sys-tème 4.

— Clé unique pour les systèmes 1, 2, 3 : la date de Naissance, le Nom, le Prénom, leSexe de l’assuré

— Clé unique pour le système 4 : la date de Naissance, le Sexe et le Libellé travail

Ces clés uniques permettent de repérer les assurés qui ont souscrit plusieurs contrats. Cesrentiers appellés par la suite "rentiers multi-détenteurs" doivent subir un traitement par-ticulier pour ne pas biaiser les estimations dans la suite de l’étude. En effet, une personnene peut pas être comptée plusieurs fois.

Il est à noter que la clé primaire du système 4 peut comporter des risques d’oublis oude faux doublons. Ce risque sera maîtrisé dans la partie suivante.

3.3.2 Les variables obligatoires à la construction de la loi

Les variables indispensables à la construction de la loi sont les variables qui permettentde calculer la durée passée en invalidité d’un individu, ainsi que son âge d’entrée danscet état. Ce sont les variables date de Naissance, date de Jouissance de la rente, datede Clôture de la rente, Âge de Fin Théorique, date de Décès, Motif de Clôture dont lasignification est :

La date de Jouissance de la rente : Date à partir de laquelle l’assuré reçoit les pres-tations Invalidité.

La date de Clôture de la rente : Date à partir de laquelle l’assuré ne reçoit plus deprestations Invalidité.

L’Âge de Fin Théorique : Âge déterminé dans le contrat à partir duquel l’assuré nepeut plus recevoir de prestations (généralement 60 ou 65 ans).

La date de Décès : Date à partir de laquelle les prestations Invalidité sont arrêtées carl’individu est décédé.

29

Le Motif de Clôture : Raison de la clôture de la rente Invalidité (décès, fin de contrat).

Les variables Ageinv, Durée et date de Fin Théorique de la rente ont été créés à partirdes variables obligatoires définies précédemment :

— Ageinv : Âge d’entrée en invalidité en jour

Ageinv = (date de Jouissance de la rente− date de Naissance)

— Durée : temps passé en invalidité en jourEn cas de Fin Théorique du contrat,

Duree = (date de Clôture de la rente− date de Jouissance de la rente)

En cas de décès,

Duree = (date de Décès− date de Jouissance de la rente)

Pour les individus qui perçoivent toujours des prestations au 31 décembre 2012 :

Duree = (date du 31/12/12− date de Jouissance de la rente)

— date de Fin Théorique de la rente : Date à partir de laquelle l’assuré ne peut plusrecevoir de prestations car son âge est supérieur à l’âge de fin théorique déterminédans le contrat (60 ou 65 ans).

3.3.3 Les variables explicatives

Ce sont principalement les deux variables qui segmentent la table réglementaire demaintien en invalidité du BCAC :

— La variable Ageinv qui correspond à l’âge d’entrée en invalidité.— La variable Duree qui correspond à la durée d’un individu passé en invalidité.

Les variables ci-dessous peuvent aussi influencer le maintien en invalidité :— La variable Sexe qui correspond au genre de l’assuré.

Sexe =

{1 pour les hommes2 pour les femmes

30

— La variable taux d’invalidité— Le système de gestion— La profession exercée— L’année de survenance du sinistre

En raison de la volumétrie faible de la base de donnée, la loi ne pourra pas être segmentéeselon chacune de ces variables. Elles seront tout de même analysées à l’aide de testsstatistiques dans le chapitre suivant pour évaluer leur influence ainsi que leur significativitésur le taux de décès.

3.4 Traitement des données

3.4.1 Gestion des multi-détenteurs

Les multi-détenteurs

Les doublons du périmètre 1, du périmètre 2 et de l’intersection des deux périmètresdoivent être identifiés.

1. Les doublons du périmètre 1 : La clé primaire des systèmes 1, 2 et 3 indiquela présence de 154 rentiers multi-détenteurs 2. Pour ne pas biaiser les estimations,ces rentiers doivent être ramenés à une seule ligne dans la base Invalidité créée.

2. Les doublons du périmètre 2 : La clé primaire du système 4 peut comporterdes risques d’oublis de doublons. En effet, d’une part la variable Libellé travail peutne pas être renseignée exactement de la même façon pour un même assuré multi-détenteur, d’autre part un assuré peut changer de profession entre deux contrats.Elle peut aussi comporter des risques de faux doublons si deux assurés ont la mêmedate de naissance, le même sexe et une profession similaire.

En prenant une clé primaire réduite telle que la concaténation de la date de nais-sance et du sexe, on obtiendrait 28 doublons. Ces données ne semblent pas être desdoublons car les dates d’entrée en invalidité sont significativement éloignées, ce quia été confirmé par l’AGIPI par la suite.

2. La plupart des multi-détenteurs sont sur 2 lignes, quelques assurés sont sur 3, 4, 5 ou 6 lignes.

31

Par ailleurs, le clé primaire du système 4 affirme la présence d’un seul doublon. Ils’est avéré après confirmation de l’AGIPI qu’il s’agissait de deux assurés différents.

En conclusion, le système 4 n’a donc aucun multi-détenteur.

3. Les doublons entre les deux systèmes : De la même façon que précédemment,en utilisant la clé réduite date de Naissance-Sexe, il semble n’y avoir aucun doublonentre les deux périmètres de données.

Les règles appliquées

La base Invalidité possède cent cinquante-quatre doublons dans la base AXA (systèmes1, 2 et 3). Deux types de multi-détenteur sont distingués : les individus qui possèdent plu-sieurs contrats de produits différents et ceux qui possèdent plusieurs garanties d’un mêmeproduit.

Ci-dessous, les règles qui ont été appliquées pour ne conserver qu’une seule ligne parmulti-détenteur par rapport à la clé unique Nom, Prénom, date de Naissance, Sexe. Lesrègles sont identiques que l’individu ait plusieurs contrats ou plusieurs garanties.

1. Sélection de la plus grande période d’exposition :La sélection des dates a été faite de sorte que la période d’exposition de l’individusoit la plus grande possible.Ainsi, la date de Jouissance de la rente est égale à la plus antérieure des dates dejouissance des contrats (ou garanties) du multi-détenteur. La date de Clôture de larente est égale à la date la plus postérieure parmi les dates de clôture des contrats(ou garanties) du multi-détenteur. Il en est de même pour le traitement de la datede Fin Théorique de la rente.Remarque : Au préalable, il a été vérifié que les périodes des différents contratsd’un assuré multi-détenteur ne soient pas des périodes disjointes.

2. Choix du taux d’invalidité :Il arrive que les taux d’invalidité évoluent dans le temps et soient différents d’uneligne à une autre pour un même individu. Par prudence, le taux d’invalidité sélec-tionné est le plus grand des taux.

32

3. Choix du produit/garantie :Il est préférable de prendre le premier produit (ou garantie) que l’individu ait sous-crit car il est considéré comme le produit de référence.

Le volume final est donc après avoir retiré les doublons de 2 397 rentes.

3.4.2 Gestion des données manquantes

Maintenant que la base Invalidité est créée, un travail doit être réalisé afin de récupérertoutes les données manquantes.Le but de cette étape est de récupérer le maximum d’informations et de ne pas supprimerde lignes de la base afin de ne pas biaiser notre étude.

Les données manquantes des variables de la clé primaire :

Quarante-huit données relatives à la profession des rentiers du système 4 sont man-quantes. Or, ces lignes ne présentent pas de doublon avec la clé réduite Date de Naissan-ce/Sexe. La récupération des données manquantes de la variable Libellé Profession n’estdonc pas nécessaire.

Données manquantesSystème Variable

Nombre Part

4 Libellé Profession 48 4 %

Table 3.3 – Données manquantes des variables de la clé primaire

33

Les données manquantes des variables obligatoires pour le calcul du maintienen invalidité :

Données manquantesSystème Variable

Nombre Part Solution

1, 2 et 3 date de Décès 11 0,9 % date de Décès=date de Clôture

4 âge de Fin Théorique 108 9 % Par défaut, égal à 65 ans

Table 3.4 – Les données manquantes des variables obligatoires

Motivations des Solutions :

— La variable date de Clôture de la rente représente la date de clôture du sinistrefaite par le gestionnaire. Généralement, les dates de décès et de clôture sont égalesou ont un écart inférieur à 1 an, ce qui est relativement faible. Ainsi, lorsque ladate de Décès est manquante, la date de Clôture de la rente est retenue.

— Dans le périmètre 2, les contrats avec un âge de fin théorique à 60 ans sont rares.En effet, la garantie avec un âge terminal à 60 ans n’est pas la garantie princi-pale, mais optionnelle. Ainsi, prendre la valeur 65 ans par défaut pour les donnéesmanquantes n’est pas une erreur préjudiciable. De plus, ce choix est une hypothèseprudente par rapport au risque de longévité.Remarque : Pour les contrats encore en vigueur, lorsque la variable âge de FinThéorique est renseignée, 78 % des contrats du système 4 ont un âge terminal à 65ans, 5 % à 60 ans et pour 17 % des contrats, la variable n’est pas renseignée (pardéfaut elle vaut 65 ans).

Les données manquantes des variables explicatives :

La part des données manquantes de la variable Taux d’Invalidité étant conséquente,exploiter cette variable n’est pas possible.

En conclusion, aucune ligne n’a été supprimée lors du traitement des données, levolume final est donc toujours de 2 396 rentiers. Celui-ci étant assez restreint, la profondeur

34

Données manquantesSystème Variable

Nombre Part

1, 2, 3 Taux d’invalidité 654 54 %

Table 3.5 – Les données manquantes des variables explicatives

des données est observée pour savoir si la base de données est à première vue exploitable.

3.5 Les règles appliquées aux dates de sortie

Les dates de Sortie pour les quatre systèmes de gestion ont été légèrement modifiéespour deux raisons. Tout d’abord, parce que cela permet d’appliquer les mêmes règles entreles deux périmètres, mais aussi, parce que les gestionnaires inscrivent en principe une datede sortie légèrement postérieure à la date effective de fin de prestation.

Ci-dessous, les différentes règles appliquées aux quatre systèmes de gestion pour lescontrats en vigueur à fin 2012, les contrats sortis pour fin théorique et pour les contratssortis pour décès.

Les contrats toujours en vigueur fin 2012 : Pour respecter les conditions généralesdes produits, notamment le fait que les garanties prennent fin le jour du 65ième

anniversaire de l’assuré, la règle suivante a été appliquée pour la date de Fin Théo-rique de la rente :

— Si la variable âge de Fin Théorique est renseignée :année date Fin Théorique = année naissance + âge de Fin Théoriquemois date Fin Théorique = mois naissancejour date Fin Théorique = jour naissance

— Si la variable âge de Fin Théorique n’est pas renseignée :année date Fin Théorique = année naissance + 65

mois date Fin Théorique = mois naissancejour date Fin Théorique = jour naissance

35

Pour rappel, la valeur 65 a été choisie par défaut car elle représente la garantieprincipale.

Les contrats clôturés pour Fin Théorique : La plupart des invalides sortent à l’âgeterminal de 65 ou 60 ans mais certains sortent avant pour cause de retraite préma-turée.— Si l’arrondi ou la partie entière de l’âge de sortie de l’assuré est égal à son âge

terminal, alors,année date sortie = année naissance + âge de Fin Théoriquemois date sortie = mois naissancejour date sortie = jour naissance

— Sinon, la date de sortie du gestionnaire est conservée.

Les contrats clôturés pour Décès : Cette règle concerne seulement les rentiers dusystème 4. Certaines dates de clôture pour décès représentent la date de la pro-chaine échéance anniversaire de la cotisation après le décès du rentier. Un biaisapparait car cette date est supérieure à la date réelle de décès, la règle suivante estalors appliquée :

Que le fractionnement de la rente soit mensuel, trimestriel ou annuel, si un assurédécède l’année N, sa date réelle de décès sera entre la date d’effet du contrat l’année N(jj/mm/N) et la date jj/x/N(ou N+1) avec x représentant le mois du prochain versement.Quelque soit le fractionnement, on peut donc dire que le décès se trouve dans la périodeen rouge sur le schéma 3.6. L’hypothèse faite est la suivante : la date de Décès est la datereprésentant le milieu de la période en rouge.

Période Décès

Date effetContrat jj/mm/N

Date Décèsréelle

Date fournie, représentant laprochaine échéance de

versement après Décès jj/x/Nou jj/x/N+1

Figure 3.6 – La date de Décès

36

Chapitre 4

Analyse statistique de la base

4.1 Étude des sorties et de la sinistralité du portefeuille

Pour se faire une bonne idée du risque que la compagnie supporte, il est importantd’avoir un volume conséquent de données où les individus sont observés sur toute leurpériode d’invalidité.Les motifs de sortie qui mettent fin aux prestations en invalidité sont en général la finthéorique de garantie et le décès.

Le tableau 4.1 présente les motifs de sortie de la base Invalidité créée précédemment :

Système Sortie Décès Sortie Fin Théoriquede garantie

En Vigueur Total

1/2/3 122 675 422 1219

4 144 478 554 1177

Total 266 1153 976 2396

Table 4.1 – Les sorties de la base Invalidité

Les prestations sont soit en vigueur car les rentiers reçoivent toujours des prestationsau 31/12/12, soit clauses pour Décès ou Fin Théorique de garanties.Le tableau met en évidence le fait que pour plus de la moitié des données (59,2 %) , il ya une connaissance intégrale du risque.

37

Lors de l’étude des sorties du portefeuille, plusieurs questions se posent. La populationinvalide a t-elle tendance à se maintenir jusqu’à la fin de la garantie ? A contrario, a-t-elletendance à décéder ?

Pour y répondre, la distribution des durées de maintien (y) en fonction de l’âge d’en-trée en invalidité (x) des rentes clôturées est tracée pour chaque système de gestion endistinguant bien les sorties pour Décès des sorties pour Fin Théorique de garantie.

Figure 4.1 – Durées de maintien en fonction de l’âge d’entrée en invalidité du système 1

25 30 35 40 45 50 55 60

0

5

10

15

20

25

30

Âge entrée en années

Ancien

netéen

années

FTdécès

38

Figure 4.2 – Durées de maintien en fonction de l’âge d’entrée en invalidité du système 2

25 30 35 40 45 50 55 60 65

0

5

10

15

20

25

30

Âge entrée en années

Ancien

netéen

années

FTdécès

Figure 4.3 – Durées de maintien en fonction de l’âge d’entrée en invalidité du système 3

30 35 40 45 50 55 60 65

0

5

10

15

20

25

30

Âge entrée en années

Ancien

netéen

années

FTdécès

39

Figure 4.4 – Durées de maintien en fonction de l’âge d’entrée en invalidité du système 4

25 30 35 40 45 50 55 60 65

0

5

10

15

20

25

30

Âge entrée en années

Ancien

netéen

années

FTdécès

Les graphes 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 indiquent une allure similaire dans les quatre systèmesde gestion. Deux droites représentent les rentiers clôturés pour fin de garantie à 65 ans età 60 ans. En effet, ce sont les droites telles que la somme de l’âge d’entrée en invalidité etl’ancienneté passée en invalidité soit égale à l’âge de fin théorique de garantie .{

x+ y = 65

x+ y = 60

Par ailleurs, la majorité des points des graphes extérieurs aux droites sont des décès :ils sont représentés par des marqueurs rouges. Les autres points représentent des rentierssortis avant l’âge de fin théorique de garantie et correspondent donc à des retraites anti-cipées. Sur la figure 4.1 du système 1 une droite supplémentaire se dessine à 58 ans. Eneffet, le système 1 est le plus ancien des systèmes, d’où la présence d’une proportion plusimportante de retraites anticipées.Cependant, quelques points qui ont un âge de sortie pour Fin Théorique jeune (< 40 ans)semblent aberrants. Ces points n’auront pas un grand impact par la suite car ils seronttraités par la suite comme des données censurées 1.

1. La notion de données censurées sera définie dans la partie 5.1.

40

Pour conclure, la plupart des invalides se maintiennent, la sortie principale autre quela Fin Théorique de garantie est le Décès. Les sorties avant l’âge de Fin Théorique autresque le Décès sont expliquées par les retraites anticipées et leur nombre reste faible.

Les graphes 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 permettent cependant d’attirer l’attention sur plusieursaspects :

1. Malgré le maintien jusqu’à la Fin Théorique de la garantie d’une majorité des inva-lides, il semble y avoir une sur-sinistralité du décès, par rapport à une populationvalide.

2. Le nombre faible de décès du système 1 apparaît surprenant par rapport aux autressystèmes.

3. On aurait pu penser que la mortalité soit plus élevée pour les premières annéesqui suivent l’entrée en invalidité. Or, il semblerait ici que l’ancienneté en invaliditéinflue peu le taux de décès puisque la densité des points rouges (décès) sur lesgraphes augmente avec l’âge.

Les trois prochaines parties vont vérifier ces dires. Les taux de décès des données brutesseront comparés avec des taux de décès théoriques des bases nationales 2 (point 1). Enoutre, des tests statistiques permettront de vérifier si le nombre de décès est homogènequelque soit le système (point 2), et également, d’étudier l’influence de l’ancienneté passéeen invalidité sur le taux de décès (point 3).

4.2 Analyse de la mortalité du portefeuille

Le nombre de décès théoriques Nx est calculé pour chaque âge x, à l’aide des exposi-tions au risque des individus de la base Invalidité et des tables nationales TH 00-02 pourles hommes et TF 00-02 pour les femmes. Ce nombre est ensuite comparé au nombre dedécès empiriques.

Le principe est de calculer dans un premier temps l’exposition au risque sur chaqueâge x compris entre 20 et 65 ans de chaque individu i à l’aide de la formule 4.1 :

2. Ces tables nationales élaborées à partir de la table INSEE 2000-2002 sont les tables réglementairesde mortalité utilisées pour les contrats d’assurance vie. Pour chaque âge, elles fournissent la possibilitéde décéder dans l’année pour un individu.

41

Pour chaque individu i,

expoix = max [0,min(x+ 1, agesortie)−max(x, ageentree)] ∨ x ∈ [20, 65] (4.1)

Dans l’expression 4.1, l’exposition au risque expoix est le calcul en jours pour un individu ide sa présence entre les âges x et x+1. Par exemple, l’exposition expoix vaut 1 si l’individui est vivant et invalide (et reçoit toujours des prestations) dans l’intervalle d’âges [x, x+1[.

Pour chaque âge x ∈ [20, 65] ans, l’exposition totale est calculée en sommant l’ex-position de tous les individus.

expox =∑i

(expoix)

Le nombre de décès théoriques pour chaque âge x ∈ [20, 65] ans s’obtient à l’aide de laformule suivante où Tx représente le taux de décès théorique issu de la base nationale TH00-02 :

Nx = Tx × expox

Le nombre de décès total théoriques des individus de la base Invalidité âgés de 20 à 65ans est obtenu :

N =65∑

x=20

Nx

Cette méthode a été appliquée pour chaque système de gestion et chaque sexe afin deséparer les hommes des femmes puisque leurs taux de décès diffèrent.

Le tableau 4.2 présente les résultats obtenus :

SYSTEME nombre décèsempiriques

nombre décèsthéoriques

(TH/TF 00 02)Taux de variation

1 26 19,54 +33%

2 63 34,48 +83%

3 33 25,81 +28%

Sous total 122 79,83 +53%

4 144 68.23 +111%

Total 266 148,05 +79%

Table 4.2 – Etude décès (exposition × taux)

42

La différence obtenue entre le nombre de décès théoriques et le nombre de décès em-piriques est significative. Selon les systèmes, le nombre de décès réels est de 33 % à plusde 100 % plus grand que le nombre de décès théoriques. Ces taux de variation indiquentclairement une sur-sinistralité des décès de la base Invalidité.

4.3 L’homogénéité de la base de données

L’objectif du test des Log Rank est de comparer les fonctions de survie de deux po-pulations indépendantes.L’intérêt de cette partie est de comparer les fonctions de survie entre deux systèmes degestion. En effet, la base brute possède les données de quatre systèmes de gestion issus deportefeuilles différents. Les définitions des garanties, le segment client diffèrent légèrement,il est donc intéressant de vérifier que la sinistralité entre les systèmes soit homogène.L’utilisation du test des Log Rank permet de comparer les courbes de survie mais nepermet pas de quantifier l’impact de la variable explicative sur la mortalité contrairementau modèle de Cox. Le modèle de Cox, expliqué dans la partie 4.4.1, est ici inexploitablecar l’hypothèse principale de celui-ci n’est pas vérifiée.

4.3.1 Le test des Log Rank

Le test des Log Rank est une généralisation du test de Rank, c’est un test non paramé-trique qui prend en compte les données censurées. La survie entre deux populations peutêtre comparée sans faire d’hypothèse au préalable sur leur distribution. Pour comparerles fonctions de survie, les deux populations doivent être indépendantes.

L’objectif est de tester les hypothèses suivantes :

Hypothèse H0 : Le décès survient avec la même fréquence pour les deux populations,les allures des fonctions de survie sont identiques.

Hypothèse H1 : Le décès ne survient pas avec la même fréquence pour les deux popu-lations, les allures des fonctions de survie diffèrent.

Le principe du test est le suivant : pour chaque population, le nombre de décès observéest comparé avec le nombre de décès espéré qui représente le nombre de décès pour queH0 soit acceptée.Soient :

43

— ti les instants des décès— nAi

le nombre d’individus exposés au risque juste avant ti de la population A— nBi

le nombre d’individus exposés au risque juste avant ti de la population B— mi le nombre de décès total des populations A et B en ti— mAi

le nombre de décès de la population A en ti— mBi

le nombre de décès de la population B en ti— EAi

le nombre de décès estimé en ti de la population A— EBi

le nombre de décès estimé en ti de la population B

Sous H0, la probabilité de décès estimée à chaque ti est identique pour chaque population.Elle vaut,

pi =mi

nAi+ nBi

Ainsi, le nombre de décès estimé dans chaque groupe pour que H0 soit acceptée est :

EAi= pi × nAi

et EBi= pi × nBi

Le nombre de décès total estimé sur toute la période pour chaque population est :

EA =∑i

EAiet EB =

∑i

EBi

Le nombre de décès empiriques sur toute la période pour chaque population est :

OA =∑i

mAiet OB =

∑i

mBi

La statistique de test est

Z =(OA − EA)2

Var(OA − EA)ou Z =

(OB − EB)2

Var(OB − EB)

Il peut être montré qu’il existe une statistique approchée de test plus simple d’usage, quiest

Z =(OA − EA)2

EA+

(OB − EB)2

EB

Elle suit une loi de χ2 à un degré de liberté (nombre de groupe comparé -1) sous H0.

44

4.3.2 Application

Le test des Log Rank n’est pas appliqué directement sur le portefeuille car, pour com-parer les courbes de survie entre les systèmes de gestion, la répartition des âges d’entréeen invalidité des individus entre les systèmes de gestion doit être équivalente. En effet, sila population d’un système est en moyenne plus vieille que celle des autres systèmes, sasurvie sera en principe plus faible et les conclusions du test n’auraient pas d’intérêt.

Le test des Log Rank est appliqué sur les individus dont l’âge d’entrée en invaliditéest supérieur à 40 ans et inférieur à 60 ans.Les motivations du choix de l’intervalle [40, 60] ans sont les suivantes :

1. Les données avant 40 ans ont une répartition des âges d’entrée en invalidité trèsdifférente d’un système à un autre.

2. Il n’y a aucune entrée en invalidité entre 60 et 64 ans pour le système 1 et 71 %des données du système 1 ont une Fin Théorique de garantie inférieure ou égale à60 ans.

3. La répartition des âges entre les systèmes est plutôt équivalente entre 40 et 60 ans.

Figure 4.5 – Répartition des individus selon le système et la classe d’âge d’entrée

Classe 1 Classe 2 Classe 30

20

40

60

80

100

Proportion

%

système 1système 2système 3système 4

La figure 4.5 est un exemple de répartition des individus selon le système et lesclasses d’âge d’entrée en invalidité :— Classe 1 : 40 <= âge d’entrée <= 45 ans— Classe 2 : 46 <= âge d’entrée <= 52 ans— Classe 3 : 53 <= âge d’entrée <= 60 ans,

45

Entre 15 % et 20 % des populations de chaque système ont un âge d’entrée eninvalidité entre 40 et 45 ans ; environ 40 % entre 46 et 52 ans ; et entre 40 % et 45% entre 53 et 60 ans.La répartition des âges d’entrée en invalidité des populations de chaque systèmeest donc proche. En cas de refus de l’hypothèse H0 du test des Log Rank, l’âged’entrée en invalidité ne sera probablement pas la cause des différences d’allureentre les courbes de survie.

4. La figure 4.6 indique la répartition des individus selon l’âge d’entrée en invalidité dela base Invalidité. 82 % du portefeuille est présent pour ce test, ce qui est acceptable.

Figure 4.6 – Répartition des individus selon l’âge d’entrée en invalidité

20 - 40 ans 40 - 60 ans 60 - 65 ans0

20

40

60

80

100

12

82

6

Proportion

%

L’hypothèse d’homogénéité H0 est acceptée avec un seuil de confiance de 5 % lorsquela p-value associée à statistique de test Z est bien supérieure à 0,05.La p-value du test des Log Rank effectué sur les quatre systèmes de gestion simultanémentest de 0,004 (< 0, 05), ce qui signifie qu’il y a des différences significatives entre au moinsdeux courbes de survie de deux systèmes de gestion. Pour repérer les systèmes concernés,le test des Log Rank est appliqué sur les systèmes de gestion deux à deux.

Le tableau 4.3 présente les p-values obtenues entre deux systèmes. Les p-values in-diquent que l’homogénéité des données est respectée entre les systèmes 1, 2 et 3. Enrevanche, ce n’est pas le cas pour le système 4. La représentation des fonctions de survie(figure 4.7) montre une sur-sinistralité des données de l’AGIPI par rapport aux donnéesdes systèmes 1 et 3.

46

SYSTEME 1 2 3 4

1 0,12 0,6 0,0052

2 0,20 0,10

3 0,004

Table 4.3 – p-values entre les systèmes

Figure 4.7 – Fonction de Survie des systèmes 1 et 4

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Durée (années)

Survie

Survie système 4Survie système 1

Pour conclure, la base Invalidité est en partie homogène. Cependant, le système 4présente une sur-sinistralité par rapport aux systèmes 1 et 3. Le modèle créé par la suitene peut pas gérer cette hétérogénéité. En effet, en raison de la faible volumétrie de la base,il n’est pas possible de construire deux lois : une pour le périmètre AXA et une autre pourle périmètre de l’AGIPI.Cette répartition des décès devra donc être contrôlée tous les ans afin de vérifier quecelle-ci reste identique à l’avenir. Les deux périmètres étant toujours en production, leurpoids dans la base finale Invalidité ne devrait pas trop évoluer, ce qui est rassurant.

47

4.4 L’influence de la variable ancienneté

Etudier la variable Ancienneté c’est, par exemple, se poser la question suivante :un invalide a t-il plus de chance de décéder avec une ancienneté de un an ou de dix ans ?

Il est important de savoir si l’ancienneté en invalidité influence les taux de décès, carle résultat de cette étude jouera un rôle sur la construction des taux. Cela déterminerasi la prise en compte d’une seconde dimension "Ancienneté" est nécessaire en plus de ladimension "âge d’entrée".

Pour étudier l’influence de la variable Ancienneté, le modèle de Cox à risque propor-tionnel est appliqué.

4.4.1 Le modèle de Cox à risque proportionnel

Le modèle de Cox est un modèle de régression linéaire dans lequel des variables expli-catives sont intégrées pour définir la fonction de hasard.

Définition 1 (La fonction de hasard). Par définition, c’est la probabilité que la duréesoit comprise entre t et t+ dt, sachant qu’elle est supérieure à t.

h(t) =f(t)

S(t)=S ′(t)

S(t)=−d lnS(t)

dt

Le modèle est ici appréhendé en ne faisant aucune hypothèse sur l’allure de la fonctionde hasard au cours du temps. Ainsi, la fonction pourra être estimée sans à priori préalable.Dans le cas contraire, le choix d’un modèle s’avèrerait trop restrictif.

Ecriture du modèle

L’écriture du modèle est :

h(t) = β0 + β1X1 + ...+ βkXk

Où,— h(t) représente la fonction de hasard (appelée aussi fonction de risque),

— X = (X1, ..., Xk) les variables explicatives,

48

— β0 le risque de base (il représente l’intensité du risque en l’absence des covariablesX1, ..., Xk c’est-à-dire, la fonction de risque commune à tous les individus),

— β = (β1, ..., βk) les coefficients de régression, à estimer, qui mesurent l’influence desvariables explicatives sur le risque.

Par définition, la fonction de hasard ne peut pas être négative, une autre façon d’écrire lemodèle est :

log h(t) = β0 + β1X1 + ...+ βkXk

Une fois le modèle résolu, (X1, ..., Xk, β1, ..., βk) sont des constantes (donc indépendantesdu temps).Or, h(t) est une fonction du temps, β0 peut alors s’écrire de la façon suivante

β0 = log(h0(t))

d’oùh(t) = h0(t) exp(Xβ′)

La relation entre la fonction de hasard et la fonction de survie S(t) permet d’écrire lemodèle sous la forme

S(t) = S0(t)exp(Xβ′)

Les variables explicatives X

Les variables explicatives peuvent être de deux types :

1. Binaire, Xj =

{1

0

Si Xj est une variable binaire, h0(t) correspond à la valeur de h(t) lorsque Xj = 0,et lorsque Xj = 1, βj = log(h(t,x=1)

h0(t)).

Ainsi, exp(βj) représente l’augmentation du risque pour les sujets appartenant augroupe désigné par Xj = 1 par rapport à ceux appartenant au groupe Xj = 0.

2. Une mesure Numérique,exp(βj) représente l’évolution de risque associé à une augmentation unitaire de Xj.

Par ailleurs, le modèle de Cox obéit à deux hypothèses qu’il faut vérifier au préalable,dont une hypothèse forte.

49

Hypothèse de proportionnalité

Le risque doit être proportionnel au cours du temps entre les différents groupes. Eneffet, un modèle de Cox avec une variable explicative X1 suppose que le hasard a la formede :

h(t) = h0(t) exp(X1β1) (4.2)

Pour une population de n individus, X1 = (x11, ..., x1k, ..., x1n)′ où x1k représente la valeurde la variable explicative X1 prise par l’individu k.La relation 4.2 implique que pour deux individus distincts i et k,

h(t, x1i)

h(t, x1k)= exp(β1(x1i − x1k))⇒ ln

(h(t, x1i)

h(t, x1k)

)= β1(x1i − x1k)

Ce rapport est indépendant du temps.Ainsi, les risques de deux individus i et k ayant des covariables différentes sont propor-tionnels au cours du temps.

Hypothèse de Log linéarité

L’écriture du modèle suppose l’existence d’une relation Log linéaire entre la fonctionde risque instantané et les covariables.

Validation de l’hypothèse de proportionnalité

Le rapport de risque entre les individus ayant des variables explicatives qui diffèrentdoit être constant au cours du temps. L’hypothèse est vérifiée si l’écart entre la surviede deux groupes d’individus reste constant au cours de du temps. Or, la proportionna-lité des risques avec les fonctions de survie S(t) est difficilement observable. Les courbeslog [− log(S(tai))] avec i ∈ [1, ...,m] où m représente le nombre de classes sont mieuxadaptées pour valider l’hypothèse.

L’hypothèse de proportionnalité sera respectée si les courbes sont parallèles entreselles. Par ailleurs, un écart entre elles proche de 0 suppose que la variable explicative n’apas d’influence sur le taux de hasard.

Le but de l’utilisation d’un modèle de Cox est ici de tester la significativité des variablesexplicatives en vérifiant la pertinence du modèle.

50

4.4.2 Application

L’application du modèle de Cox va permettre d’observer la façon dont la survie varieen fonction de l’ancienneté.

Dans cette étude, la fonction de hasard représente le taux instantané de décès à l’âgex, sachant que l’individu a survécu jusqu’à cet âge, Sx représente la survie à l’âge x.

L’influence de l’ancienneté est testée à partir de 4 classes :anc ≤ 1 an

1 an < anc ≤ 2 ans2 ans < anc ≤ 3 ans3 ans < anc ≤ 4 ans

Pour ce faire, la base initiale précédemment créée va être dupliquée quatre fois. Chaqueduplicata comprend l’ensemble des individus de la base initiale. Ainsi, selon la base du-pliquée considérée (base 0, 1, 2 et 3), chaque individu pourra être observé à différentespériodes de son ancienneté :

— La base 0 permet d’observer la base initiale jusqu’à un an d’ancienneté pour chaqueindividu. Le nombre d’individu est N0.

— La base 1 permet d’observer la base initiale pour une période d’observation com-prise entre un et deux ans d’ancienneté pour chaque individu.Le nombre d’individu est N1.

— La base 2 permet d’observer la base initiale pour une période d’observation com-prise entre deux et trois ans d’ancienneté pour chaque individu.Le nombre d’individu est N2.

— La base 3 permet d’observer la base initiale pour une période d’observation com-prise entre trois et quatre ans d’ancienneté pour chaque individu.Le nombre d’individu est N3.

Les classes d’ancienneté ont ici toutes une période de un an. Chaque classe d’ancien-neté doit présenter le même nombre d’année. Dans le cas contraire, la survie sera forcémentplus importante pour la classe avec la plus grande période, ce qui ne permettra pas detester l’impact de l’ancienneté sur la mortalité.

51

Les âges d’entrée et de sortie des individus sont calculés dans ces nouvelles bases :

— L’âge d’entrée pour chaque base est

Ageentrée = Ageentrée initiale + n base

L’âge d’entrée dans la base 0 correspond à l’âge d’entrée dans la base initiale.

— L’âge de sortie pour chaque base est

Agesortie = min(Ageentrée initiale + n base + 1, Agesortie initiale)

Si le sujet décède avant la fin de la période considérée, son âge de sortie correspondà son âge de décès. De plus, il y a censure lorsque l’individu n’est pas décédé,c’est-à-dire lorsque

Agesortie initiale > Agesortie

L’effectif des bases : Les quatre bases n’ont pas les mêmes effectifs, certains sujetsétant décédés avant la date d’entrée dans une base ultérieure. Ainsi,{

Ni+1 = Ni − di ∀ i = 0, 1, 2

N0 = n0

Où di est le nombre d’individus décédés durant la période d’observation de la base i.

Le modèle de Cox testé est le suivant

h(x) = α + β0Anc0 + β1Anc1 + β2Anc2

avec— α le taux de hasard de base qui correspond à la population de référence— βi le coefficient de régression pour la tranche d’ancienneté i

Le test est effectué sur la base de données qui est l’union des quatre bases précédentes. Lesvariables explicatives sont trois variables binaires Anc0, Anc1, Anc2 qui représentent lesclasses d’ancienneté. Les variables Anci définissent la période d’ancienneté dans laquellel’individu est observé. Anci vaut 1 si l’individu est observé dans la période d’anciennetéde la base i. Ainsi,

52

Anc0 =

{1 pour la base 0

0 sinon

Anc1 =

{1 pour la base 1

0 sinon

Anc2 =

{1 pour la base 2

0 sinon

La base 3, choisie arbitrairement, représente la base des individus observés entre trois etquatre ans d’ancienneté est la classe de référence.

Le tableau 4.4 est un extrait de la base sur laquelle le modèle de Cox est effectué :

Base Individus Âge Entrée Anc0 Anc1 Anc2 Censure Âge sortie

1 1 0 0 0 ou 1

... 1 0 0 0 ou 10

N0

âge entrée initiale

1 0 0 0 ou 1

min(âge sortie initial,âge entrée+1)

1 0 1 0 0 ou 1

... 0 1 0 0 ou 11

N1

âge entrée initiale+1

0 1 0 0 ou 1

min(âge sortie initiale,âge entrée+2)

1 0 0 1 0 ou 1

... 0 0 1 0 ou 12

N2

âge entrée initiale+2

0 0 1 0 ou 1

min(âge sortie initiale,âge entrée+3)

1 0 0 0 0 ou 1

... 0 0 0 0 ou 13

N3

âge entrée initiale+3

0 0 0 0 ou 1

min(âge sortie initiale,âge entrée+4)

Table 4.4 – Base appliquée au modèle de Cox

53

Si une des variables Anci est significative, alors il existe une forte association entrela mortalité et l’ancienneté passée en invalidité pour la classe i. En revanche, si Ancin’est pas significatif, c’est qu’il n’existe pas de preuve que la mortalité est influencée parl’ancienneté.

Vérification des hypothèses :

En amont l’hypothèse de proportionnalité est vérifiée en traçant le log(− log(S(xai)))

avec i ∈ (0, ..., 3). ai représente le groupe des individus qui possèdent la caractéristique i,c’est-à-dire les individus qui ont une ancienneté en invalidité durant la période [i, i + 1]

années.

Figure 4.8 – Evaluation graphique de l’Hypothèse de proportionnalité

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Âge (années)

Log

(-Log

S)

Classe 0Classe 1Classe 2Classe 3

La figure 4.8 montre que les courbes sont parallèles entres elles, les résultats du modèlede Cox sont donc exploitables.

54

Résultat du test :

Le test statistique effectué par la procédure "Phreg" sous SAS teste la significativitédes paramètres β0, β1 et β2 . Les hypothèses du test sont :

H0 : βi = 0 ∀ i = 0, 1, 2

H1 : ∃i ∈ {0, 1, 2} tel que βi 6= 0

La p-value obtenue vaut 0, 2, il n’y a donc pas de raison de rejeter l’hypothèse H0. Aucours des quatre premières années en Invalidité, la variable ancienneté n’a pas d’impactstatistiquement significatif sur la durée de vie au risque de 5 %. Il n’existe donc pas depreuve sur l’existence d’une forte association entre la mortalité et l’ancienneté passée envalidité.Les tests effectués avec des classes d’ancienneté de périodes de 2 et 3 ans ont des résultatssimilaires.Cependant, lorsque la période vaut quatre ans, c’est-à-dire lorsque l’influence de l’ancien-neté est testée à partir des quatre classes suivantes :

anc ≤ 4 ans4 ans < anc ≤ 8 ans8 ans < anc ≤ 12 ans12 ans < anc ≤ 16 ans

l’hypothèse H0 est rejetée, il existe alors une association entre la mortalité et l’anciennetépassée en invalidité lorsque les individus sont observés sur toute leur période d’invalidité.

Pour conclure, selon la période testée, l’ancienneté passée en invalidité peut influencerles taux de décès. Toutefois, la volumétrie du portefeuille ne permet pas de segmenter latable à la fois par âge d’entrée et par ancienneté, car les taux de décès obtenus ne seraientpas significatifs. Comme le montrent les tests effectués, l’impact de l’ancienneté existemais n’est pas fort (non significatif sur les périodes courtes).La table d’expérience ne sera pas segmentée selon la variable Ancienneté, comme l’est latable réglementaire du BCAC. La table d’expérience sera établie selon une dimension quiest l’âge.Par ailleurs, de la même façon que pour les systèmes de gestion, l’influence de la variableAncienneté devra être contrôlée régulièrement.

55

4.5 L’influence de la variable Sexe

D’après le diagramme 4.9, la base Invalidité est essentiellement constituée d’hommes.Un modèle de Cox est tout de même créé pour vérifier si la survie varie en fonction dusexe.

77.52%

Hommes

22.48%

Femmes

Figure 4.9 – Répartition du portefeuille selon le sexe des assurés

Le modèle de Cox testé est le suivant

h(x) = α + β0 × Sexe

avec— α le taux de hasard de base qui correspond à la population de référence (ici les

hommes)— βi le coefficient de régression associée à la variable Sexe

L’hypothèse de proportionnalité étant bien vérifiée, la p-value est de 0,11. L’hypothèseH0 est donc acceptée, il n’est pas nécessaire de segmenter selon le sexe. En général, il y aune sur-sinistralité du décès pour les hommes qui n’est pas présente ici, probablement liéà la population observée qui est une population d’invalides. Cependant, le modèle peutne pas être adapté à cause de la faible proportion des femmes (22 %).

56

Troisième partie

Construction de la loi de maintien eninvalidité

57

Chapitre 5

La construction des taux bruts demaintien en invalidité

Dans ce chapitre, la méthode utilisée pour le calcul des taux de décès est détailléeainsi que son application au portefeuille.

Une méthode non paramétrique telle que la méthode de Kaplan-Meier est utilisée pourla construction des taux bruts du maintien en invalidité. En effet, utiliser une méthodenon paramétrique permet d’éviter de faire une hypothèse sur la forme analytique de la loide survie.

Le choix s’est porté sur l’estimateur de Kaplan-Meier car celui-ci tient compte descensures. Le volume des censures étant conséquent, ignorer ces contrats représenteraitune grande perte d’informations.

5.1 Les censures et les troncatures

En pratique, les données qui doivent être conservées sont celles observées sur toutela période c’est-à-dire de l’entrée en invalidité à la chute qui est ici le décès. Or, les ga-ranties en invalidité s’arrêtant à 65 ans, nombreux sont les individus qui survivent et semaintiennent donc jusqu’à 65 ans. L’estimateur de Kaplan-Meier permet de prendre encompte ces individus.

Les individus qui ne sont pas décédés avant la fin de leur garantie sont des donnéesdites censurées. Les censures à droite sont donc les données pour lesquelles le décès

58

n’a pas été observé.

Dans cette étude il y a trois types de censure à droite :— Les individus qui se sont maintenus jusqu’à la fin de leur garantie (65 ans généra-

lement).— Les individus dont le départ à la retraite est anticipé.— Les individus non décédés dont les prestations sont toujours en cours de versement

au 31/12/12.

Les troncatures correspondent à des individus qui arrivent au cours de l’étude etpour lesquels la date de début d’invalidité est inconnue. Il n’y a pas de troncature danscette étude.

5.2 Le choix de la période d’observation

La sinistralité du portefeuille doit être stable au cours du temps pour pouvoir construiredes taux de décès qui ne reflètent pas un risque différent du risque Invalidité actuel. Or,les années de jouissance de la rente des individus qui constituent la base Invalidité sontréparties entre les années 1970 et 2012. Les années 70 semblent trop anciennes pour per-mettre une stabilité de la sinistralité au cours du temps.

Pour vérifier la stabilité de la sinistralité au cours du temps entre deux périodes dis-jointes, des tests des Log Rank sont effectués.

L’objectif est de tester les hypothèses suivantes :

Hypothèse H0 : Le décès survient avec la même fréquence sur les deux périodes.

Hypothèse H1 : Le décès ne survient pas avec la même fréquence sur les deux périodes.

Résultats

L’hypothèse H0 est acceptée sur les périodes [1985, 2000] et [2001, 2012]. En prenantune date antérieure à 1985, une sur-sinistralité semble apparaître sur la période la plusrécente.Les données qui ont une année d’entrée en invalidité précédant l’année 1984 sont alorssupprimées, soit 5 % des données de la base Invalidité. Le volume final est alors de 2 273rentiers.

59

5.3 Principe de l’estimateur par la méthode de Kaplan

Meier

Le principe de la méthode de Kaplan Meier est de diviser la période d’observation desindividus en intervalle sur lesquels les décès suivent une distribution binomiale. Le décou-page du temps t1, ..., tm est choisi par rapport aux dates de décès et l’unité qui mesure letemps est le jour.

Pour un groupe de n assurés, soient :— (X1, ...Xn) le n-échantillon de la variable de durée de vie des individus invalides— (C1, ..., Cn) le n-échantillon des censures à droite, variable qui cape la variable Xi :

si Xi > Ci, alors Xi est censurée— T = min(X,C) la variable qui représente la durée de maintien en invalidité— n, le nombre d’individus exposés au risque en t = 0

— ni, i = 1, ...,m, le nombre d’individus exposés au risque décès juste avant l’instantti

— mi, i = 1, ...,m, le nombre de décès observés en ti— ci, i = 1, ...,m, le nombre d’individus censurés en ti

La fonction de survie pour t > s peut s’écrire :

S(t) = P (T > t | T > s)× P (T > s) = P (T > t | T > s)× S(s)

C’est la probabilité d’avoir survécu au moment t conditionnellement au fait d’êtreen vie juste avant, au moment s. Avec les instants de conditionnement discrétisés où seproduit la chute et en répétant la formule précédente, on obtient :

S(t) = P (T > ti | T > ti−1)× ...× P (T > t1 | T > t0) =∏i,ti<t

τi

Avec τi = P (T > ti | T > ti−1), i ∈ [1, ...,m]

Pour déterminer la fonction de survie, il faut estimer τi , i = 1, ...,m. L’estimationpeut se faire par la méthode du Maximum de Vraisemblance.

60

Méthode du Maximum de Vraisemblance

A l’instant ti, la probabilité d’observer mi décès est aléatoire et suit une loi binomialeB(ni, (1− τi)). La Vraisemblance sur chaque intervalle ]ti−1, ti] pour i = 1, ...,m est donc :

Vrais(mi, τi) =

(mi

ni

)× (1− τi)mi × (τi)

ni−mi

Avec ni = ni−1 − mi−1 − ci−1 qui représente le nombre d’exposés au risque à l’instantti. ni est égal au nombre d’exposés au risque au temps précédent en retirant le nombred’individus décédés et d’individus censurés en ti−1. La Log-vraisemblance est alors surchaque intervalle ]ti−1, ti] pour i = 1, ...,m,

LogVrais(mi, τi) = ln[(

mi

ni

)× (1− τi)mi × (τi)

ni−mi

]= ln

[(mi

ni

)]+mi × ln(1− τi) + (ni −mi)× ln(τi)

Pour maximiser la Log-Vraisemblance, la dérivée est annulée :

∂LogVrais(mi, τi)

∂τi=ni −mi

τi− mi

1− τi= 0

L’estimateur de Kaplan Meier est donc

τi = 1− mi

ni

pour i = 1, ...,m et n0 = n

La fonction de Survie estimée est la suivante :

S(t) =∏i,ti<t

τi =∏i,ti<t

(1− mi

ni

)

La méthode de Kaplan Meier est utilisée ici en remplaçant le temps par l’âge des in-dividus. Selon la méthode de Kaplan Meier, on obtient la probabilité d’être en vie à l’âgex sachant que l’individu était en vie aux âges précédant x.

Pour calculer la probabilité de décès qx pour chaque âge x, On a :

qx = 1− px = 1− P (T > x+ 1|T > x) = 1− S(x+ 1)

S(x)(5.1)

61

Remarque : Soit y l’âge réel de sortie des individus. La mesure du temps étant en jours, lesâges de sortie y ne sont généralement pas entiers. L’estimation choisie de la survie S(x),avec x ∈ N, est le minimum entre les estimations des survies S(y) dont les troncatures ysont égales à x.

5.4 Application

Tout d’abord, le nombre d’individus exposés au risque est observé sur chaque âge pourne pas appliquer la méthode de Kaplan Meier sur un âge où l’exposition est faible. Eneffet, le risque décès estimé sur les âges qui ont une exposition faible ne reflètera alors pasforcément le risque réel.L’histogramme montrant le nombre d’années d’exposition en fonction de l’âge est repré-senté sur la Figure 5.1.

Figure 5.1 – Exposition des individus par âge

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Exposition en année

Âge

62

L’histogramme montre que l’exposition des individus avant 40 ans est plutôt faible.Le choix se porterait donc sur des âges compris entre 40-65 ans aux vues des expositionsdes données. L’analyse de l’estimateur de Greenwood 1 le confirme car il montre que lesâges avant 40 ans sont plutôt volatils.

Sur la figure 5.2, la fonction de survie obtenue par la méthode de Kaplan Meier pourles individus de la base Invalidité.

Figure 5.2 – La fonction de survie en fonction de l’âge

40 45 50 55 60 650.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

Âge en années

Survie

1. V (S(x)) = S(x))2∑

xi<xmxi

nxi(nxi

−mxi)

63

Sont alors déduits de cette courbe les taux bruts estimés par la méthode de Kaplan-Meier de 40 à 65 ans (Figure 5.3).

Figure 5.3 – Les taux de décès selon la méthode de Kaplan Meier

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

Age en années

q x

Les effectifs réduits, et le fait que les taux bruts de Kaplan-Meier soient issus d’ob-servations de la réalité expliquent les irrégularités constatées sur la courbe. Afin de les «effacer », un lissage des taux ou un ajustement sera effectué dans le chapitre suivant.

Par ailleurs, il est naturel que la mortalité augmente avec l’âge. Les taux bruts estimésne tiennent pas compte de cette propriété, le lissage permettra alors d’avoir des tauxcroissants avec l’âge.

64

Chapitre 6

L’ajustement des taux bruts

Lors de l’estimation des taux bruts de décès par la méthode de Kaplan Meier, uneerreur ex est commise par rapport aux taux réels qx :

ex = qx − qx

Le but de l’ajustement est aussi de diminuer cette erreur et de se rapprocher le pluspossible des taux réels.

Le choix de la méthode d’ajustement des données brutes s’établit sur deux types decontraintes :

— La fidélité où les taux ajustés doivent être proches des taux initiaux.— La régularité.

Trois types d’approches permettant d’ajuster les taux bruts sont présentés ici :

1. Les méthodes paramétriques : Il est supposé que la fonction de hasard aitune certaine forme et appartienne à une famille de fonctions mathématiques. Parexemple, la famille des fonctions de type Exponentielle.

2. Les modèles relationnels : Le principe est identique aux principes des méthodesparamétriques, sauf que les taux bruts sont ajustés en les positionnant par rapportà des taux dits de "référence". Par exemple, les taux peuvent être positionnés parrapport aux taux d’une table réglementaire.

3. Les méthodes non paramétriques : Différents traitements sont appliqués auxtaux bruts sans supposer l’existence d’une forme.

65

La courbe des taux de décès (cf. figure 5.3) semble avoir une allure exponentiellelorsque l’âge augmente. De ce fait, l’ajustement des taux de décès peut se faire par unmodèle paramétrique exprimant une tendance exponentielle.Dans un premier temps, les taux vont alors être ajustés par l’un des modèles de référencepour le risque de mortalité, le modèle de Gompertz.

6.1 Ajustement des taux avec un modèle de Gompertz

Créé par le mathématicien Benjamin Gompertz en 1825, le modèle de Gompertz est unmodèle paramétrique simple à deux paramètres. Il établit que les taux de décès dépendentuniquement de l’âge et croient de façon exponentielle. L’hypothèse du modèle de Gompertzest que les taux instantanés de mortalité peuvent s’écrire de la façon suivante :

µx = b× cx (6.1)

Ou b > 0 et c > 1 sont des constantes, b représente le niveau de mortalité et cx expliquele vieillissement.

6.1.1 Validation de l’ajustement

La relation 6.1 est équivalente en utilisant le logarithme népérien à :

ln(µx) = ln(b) + x× ln(c) (6.2)

Ce qui est équivalent, en utilisant le taux de décès qx, à :

ln(qgx) = ln(c)× x+ ln

(b× (1− c)

ln(c)

)En effet, le taux de décès qgx peut s’écrire 1 :

qgx = 1− exp

[− b

ln(c)× cx × (c− 1)

]1. Démonstration dans la partie 6.2.1

66

De plus, l’équivalence ln(1− qx) ∼ −qx, pour qx suffisamment petit, implique :

qgx = bln(c)× cx × (1− c)

= bln(c)× exp (x× ln(c))

⇒ ln(qgx) = ln(c)× x+ ln(b×(1−c)

ln(c)

)= A x+B

Avec {A = ln(c)

B = ln(b×(1−c)

ln(c)

)Ainsi, pour appliquer le modèle de Gompertz aux taux de décès bruts qx, il faut que lelogarithme des taux bruts ln(qx) ait une tendance linéaire en fonction de l’âge x.

Pré requis sur la régression linéaire simple

Le but est de chercher une relation linéaire entre deux variables X et Y, afin que lespoints soient alignés selon la droite Y = β1X+β0 où β1 et β0 sont des paramètres inconnusà estimer.

On a la formule fondamentale suivante :∑i

(Yi − Y

)2=∑i

(Yi − Y

)2

+∑i

(Yi − Yi

)2

Le rapport R2 =∑

i(Yi−Y )2∑

i(Yi−Y )2 appelé coefficient de détermination peut alors être évalué,

il traduit la qualité du modèle. Le modèle est parfait si ce rapport vaut 1, c’est-à-dire sila somme des carrés des erreurs vaut 0. R2 varie entre 0 et 1, plus R2 est proche de 1,meilleur est le modèle.

Lorsqu’une régression linéaire entre deux variables est effectuée, la significativité desparamètres estimés est testée. L’hypothèse nulle βi = 0 est testée contre l’hypothèseβi 6= 0.

67

La régression linéaire du logarithme des taux bruts

Sur la figure 6.1, le graphique présente la régression linéaire du Logarithme des tauxbruts, déterminée par le critère des moindres carrés.

Figure 6.1 – Validation de la méthode de Gompertz

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

−5.5

−5

−4.5

−4

−3.5

Âge en années

ln(qx)

ln(qx)

Régression linéaire (R2 = 0.58432)

Le coefficient de détermination R2 vaut 0,6 ce qui est relativement correct. Les p-values obtenues pour le test de la significativité des paramètres sont < 0, 0001, β1 et β0

sont donc significativement différents de 0. Ainsi, le logarithme des taux bruts ln(qx) abien une tendance linéaire en fonction de l’âge x.

68

6.1.2 Application

En effectuant une régression linéaire du logarithme des taux bruts, les constantes b etc sont déterminées à l’aide du logiciel Excel. Les résultats obtenus sont :{

b = 0, 005

c = 1, 055

Sur la figure 6.2, le graphique présente les taux ajustés par la méthode de Gompertz.L’équation de lissage avec le taux de décès est :

qgx = 1− exp

[− 0, 005

ln(1, 055)× 1, 055x × (1, 055− 1)

]

Figure 6.2 – Taux ajustés par la méthode de Gompertz

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

Âge en années

Tau

xdedécès

qx Kaplan MeierTx lissés Gompertz

69

6.1.3 Vérification de l’adéquation statistique de l’ajustement

Le test du χ2 permet de vérifier l’adéquation entre les taux lissés et les taux bruts.Le principe du test est de calculer la distance d2 entre les données observées Ox et lesdonnées Théoriques Tx (qui proviennent des taux lissés). Plus spécifiquement, le nombrede décès observés et le nombre de décès théoriques vont être comparés pour tous les âges.

La distance d2 est :

d2 =x=xmax∑x=xmin

(Ox − Tx)2

Tx=

x=xmax∑x=xmin

(dx − qgx ×Nx)2

qgx ×Nx

Où dx est le nombre de décès observés à l’âge x, qgx le taux de décès lissés et Nx l’expositionau risque pour l’âge x.

Cette distance, qui est la statistique de test, est ensuite comparée à la valeur du χ2 dedegré (n− p+ 1) où n est le nombre d’observations et p le nombre de paramètres estiméslors du lissage. Sous l’hypothèse H0, l’ajustement entre les taux bruts et les taux lissésest bon et d2 ≤ χ2

n−p+1(α) pour un certain niveau de confiance α.

La valeur d2 entre les taux bruts et les taux ajustés par la méthode de Gompertz vaut14,28 ce qui valide le test car c’est inférieur à la valeur limite d’un χ2 à 24 degrés deliberté pour un niveau de confiance α = 95 %.

Un autre modèle de référence est l’ajustement par le modèle de Makeham. Eneffet, la loi de Gompertz ne permet pas de prendre en compte les décès dont la cause n’apas de lien avec l’âge. La loi de Gompertz peut être améliorée par la loi de Makehamoù un paramètre est ajouté pour exprimer le décès « environnemental », indépendant del’âge. Cette loi permet notamment d’améliorer l’estimation des taux de décès pour lesjeunes adultes.

70

6.2 Ajustement des taux avec un modèle de Makeham

Pour prendre en compte les décès qui ne sont pas directement liés à l’âge, l’hypothèsede Makeham est que le taux instantané de mortalité peut s’écrire avec la forme suivante :

µx = a+ b× cx (6.3)

Où a > 0, b > 0, c > 1.

La constante a, indépendante de l’âge, exprime le décès accidentel, la partie exponen-tielle explique le vieillissement.

6.2.1 Méthode

La relation 6.3 est équivalente à exprimer le taux de mortalité tel que :

qmx = 1− exp

[−a− b

ln(c)× cx × (c− 1)

](6.4)

En effet, on a la relation px = exp(−∫ x+1

xµy × dy

)En intègrant la relation de Makeham sur [x, x+ 1], on obtient :∫ x+1

xµy.dy =

∫ x+1

xa.dy − b×

∫ x+1

xcy.dy

= −a× (x+ 1− x)− bln c

(e(x+1). ln c − ex. ln c

)= −a− b

ln c

(c(x+1) − cx

)A l’exponentielle,

px = e−a.e−b

ln c×cx×(c−1) (6.5)

Avec la relation px = 1− qx la relation 6.4 est bien obtenue.

Dans le cadre du modèle de Makeham, il faut estimer les paramètres θ = (a, b, c). L’esti-mation va se faire par la méthode du Maximum de Vraisemblance.

En appliquant la méthode du Maximum de Vraisemblance, les paramètres s’obtiennent

71

en minimisant l’expression suivante :

C(θ) =x=xmax∑x=xmin

Nx.(qmx (θ)− qx)2

qx(1− qx)

Où qx représente les taux bruts, Nx l’effectif de risque pour chaque âge x et qmx les tauxestimés par la méthode de Makeham.

Pour résoudre cette équation, le solveur d’Excel peut être utilisé à condition de partird’une valeur initiale θ0 = (a0, b0, c0) suffisamment proche de θ. Pour estimer les paramètresinitiaux, la méthode de King et Hardy est appliquée.

La méthode de King et Hardy

Cette méthode découpe l’intervalle [xmin, xmax] en i intervalles de même longueur n.On pose s = exp(−a) et g = exp(−b/ ln c)

On obtient avec l’expression 6.5 l’égalité suivante,

ln px = ln(s) + cx × (c− 1) ln(g)

Soit,

Ax =x+n−1∑

x

ln(py) = n× ln(s) + ln(g)× (cx × (cn − 1)) (6.6)

À partir de 6.6, c, g et s sont estimés :

Estimation de c :

Ax+n − Ax+2n

Ax − Ax+n

= cn ⇒ c =

(Ax+n − Ax+2n

Ax − Ax+n

)1/n

Estimation de g :

Ax − Ax+n = ln(g)× (cn − 1)× (cx − cx+n)⇒ g = exp

(Ax − Ax+n

(cn − 1)× (cx − cx+n)

)

Estimation de s :

s = exp

((Ax − [ln g × (cx × cn − 1)]

n

)

72

6.2.2 Validation de l’ajustement

A partir de la relation 6.4, on a, pour q suffisamment petit :

ln∣∣qmx+1 − qmx

∣∣ = ln

∣∣∣∣ bln c × (c− 1)2

∣∣∣∣+ x× ln |c|

Pour appliquer le modèle de Makeham aux taux bruts, il faut que le logarithmeln |qx+1 − qx| ait une tendance linéaire en fonction de l’âge de x.

Le graphique 6.3 présente la régression linéaire du logarithme déterminée par le critèredes moindres carrés.

Figure 6.3 – Validation de la méthode de Makeham

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Âge en années

ln|qx

+1−q x|

ln |qx+1 − qx|Régression linéaire

Les p-values obtenues indiquent que β1 et β0 sont significativement différents de 0. Lasignificativité des paramètres étant justifiée, le modèle de Makeham peut être appliqué.

73

6.2.3 Application

A l’aide des paramètres initiaux θ0 = (a0, b0, c0) déterminés par la méthode de Kinget Hardy, les résultats obtenus par la méthode du Maximum de Vraisemblance sont

a = 10−7

b = 0, 0008

c = 1, 051

Sur la figure 6.4, le graphique présente les taux ajustés par la méthode de Makeham.L’équation de l’ajustement avec le taux de décès qx est :

qmx = 1− exp

[−10−7 − 0, 0008

ln(1, 051)× 1, 051x × (1, 051− 1)

]

Figure 6.4 – Taux ajustés par la méthode de Makeham

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

Âge en années

Tau

xdedécès

qx Kaplan MeierTx lissés Makeham

Vérification de l’adéquation statistique de l’ajustement : La valeur d2 entre lestaux bruts et les taux ajustés par la méthode de Makeham vaut 14,64 ce qui validele test car c’est inférieur à la valeur limite d’un χ2 à 23 degrés de libertés.

74

Deux méthodes paramétriques où il a été supposé que les taux de décès suivent unefonction appartenant à la famille des fonctions exponentielles ont été testées : l’ajustementpar la méthode de Gompertz et celui par la méthode de Makeham.La valeur du paramètre a du modèle de Makeham est très faible, ce qui le rend peu signifi-catif dans le modèle. Une explication est que ce paramètre qui exprime le décès accidentelconcerne plutôt les jeunes adultes, or, la population étudiée ici a plus de 40 ans. La né-gligence de ce paramètre rend les méthodes de Gompertz et de Makeham équivalentes.

Un autre type de modèle est ensuite testé, le modèle de Brass qui est un modèlerelationnel.

6.3 Raccordement par la méthode de Brass

Cette partie consiste à ajuster les taux bruts de décès en se positionnant sur unetable réglementaire. L’hypothèse faite est qu’il existe un lien entre les deux courbes demortalité. C’est une méthode souvent utilisée pour extrapoler la table d’expérience auxâges où il y a peu de données. Cette méthode est intéressante pour les portefeuilles dontla volumétrie est assez restreinte.

6.3.1 Méthode

La méthode de Brass consiste à effectuer une régression linéaire des Logit des tauxbruts de décès sur les Logit des taux de décès de la table réglementaire.Le modèle s’écrit :

Lg(qx) = a× Lg(qreglx ) + b (6.7)

où a représente la différence de niveau entre les deux tables.

La fonction Logit : C’est la fonction qui est définie de ]0, 1[ dans R, son expressionest

Logit(p) = ln

(p

1− p

)L’avantage de la fonction Logit est que c’est une fonction simple, croissante de ]0,1[ dansR, ce qui est adapté dans le cadre d’utilisation de probabilités. En travaillant avec lafonction Logit qui n’est pas bornée, il est alors possible d’effectuer une régression linéaire.

75

6.3.2 Application

La régression linéaire des Logit des taux bruts de la table d’expérience sur les Logitdes taux de décès d’une table réglementaire est effectuée.

La table réglementaire choisie est la table réglementaire de décès en vigueur, c’est-à-dire la table de décès TH 00-02.

Les coefficients de l’expression 6.7 calculés sont :{a = 0.72

b = −0.88

Sur la figure 6.5, le graphique présente les taux ajustés par la méthode de Brass.

Figure 6.5 – Taux ajustés par la méthode de Brass

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

Âge en années

Tau

xdedécès

qx Kaplan MeierTx lissés Brass

Vérification de l’adéquation statistique de l’ajustement : La valeur d2 entre lestaux bruts et les taux ajustés par la méthode de Brass vaut 14,23 ce qui valide letest car c’est inférieur à la valeur limite d’un χ2 à 24 degrés de libertés.

76

Trois méthodes d’ajustement aux taux bruts ont été réalisées, deux modèles paramé-triques et un modèle relationnel. Ces trois modèles qui ont chacun une bonne adéquationavec les données brutes sont satisfaisants. Il a alors été décidé de ne pas développer deméthode non paramétrique dans ce mémoire.En effet, ces modèles sont généralement très fidèles aux données brutes alors qu’il estpréférable ici de chercher une tendance des taux en raison de la faible volumétrie de baseInvalidité. Par ailleurs, les taux lissés issus d’une méthode non paramétrique ne peuventpas être extrapolés directement aux âges où les taux de décès n’ont pu être estimés, cequi n’est pas intéressant dans cette étude.

Le chapitre suivant va permettre de faire un choix entre les trois méthodes d’ajuste-ment appliquées.

77

Chapitre 7

Choix final de la méthode

La Figure (7.1) représente la superposition des courbes des ajustements effectués dansle chapitre précédent :

Figure 7.1 – Ajustement des taux bruts par les méthodes de Gompertz, Makeham etBrass

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64

Age en années

Tau

xqx

qx Kaplan Meierqx Gompertzqx Makehamqx Brass

Le choix du lissage va se faire selon deux critères :— La vérification de l’adéquation statistique du lissage— La pertinence des espérances de maintien obtenues.

78

7.1 L’ajustement du test du χ2

Le tableau 7.1 est un récapitulatif des résultats obtenus précédemment du test de χ2

pour un niveau de confiance α = 95 % :

Méthode d’ajustement p D2 χ2n−p+1 Test valide (ok, ko)

Gompertz 2 14,12 14,28 ok

Makeham 3 14,64 14,85 ok

Brass 2 14,23 14,28 ok

Table 7.1 – Récapitulatif des tests du χ2

p représente le nombre de paramètres estimés par la méthode d’ajustement. Les troisméthodes sont validées par le test du χ2, les taux bruts et les taux lissés ne sont donc passignificativement différents.

7.2 L’indicateur espérance de maintien

Le risque pour l’assureur est le maintien en état d’invalidité. En effet, si un assurédécède, l’assureur arrête de verser les prestations invalidité. La loi ainsi créée ne doit doncpas sur-estimer le décès car les provisions pourraient ne pas être suffisantes pour subveniraux besoins des assurés invalides.

Pour avoir une idée sur la loi la plus prudente, les espérances de maintien pour chaqueâge x compris entre 40 et 65 ans et pour les différentes méthodes d’ajustement appliquéesprécédemment vont être calculées puis comparées.

L’indicateur de l’espérance de vie pour un âge x est

Ex =w∑j=1

lx+j

lx

où w est le dernier âge et lx est le nombre d’individus vivants (et qui se sont maintenusdans l’état d’invalidité) à l’âge x.

79

Les résultats :

Les rapports ci-dessous des espérances de maintien pour chaque âge d’entrée x sontcalculés :

eBrassx /eGompertz

x, e

Brassx /eMakeham

x, e

Makehamx /eGompertz

x

Les rapports entre les espérances de maintien des ajustements réalisés précédemmentsont très faibles, ils sont de l’ordre du pour-cent (< 0.4 %).

Pour conclure, les résultats précédant sur la validation du test de χ2 et les comparai-sons des espérances de maintien entre les lois ajustées indiquent que les trois méthodesappliquées sont assez similaires.Cependant, le choix se porte sur l’ajustement par la méthode de Brass car sur une zonede données (âge de 40 à 65 ans), une relation avec une table réglementaire a été trouvée.Il est ainsi préférable de prolonger la loi d’expérience en tenant compte de la tendanceréglementaire. Positionner les taux de décès d’une sous-population par rapport à une po-pulation générale (la population qui a permis la construction de la table TH 00-02) estintéressant.

80

Quatrième partie

Confirmation de la loi d’expérience

81

Chapitre 8

Comparaison entre la loi d’expérienceet la loi du BCAC

8.1 Fidélité de la loi d’expérience

Au préalable, la loi d’expérience est extrapolée aux âges entre 20 et 39 ans. (cf. figure8.1)

De la même façon que dans la partie 4.2, le nombre de décès observés est comparé aunombre de décès théoriques calculé à partir de la loi d’expérience.Le rapport Dréel/DThéo, entre le nombre de décès réels et le nombre de décès théoriquesest de 0,97. Ce ratio proche de 1 obtenu avec la loi d’expérience indique que celle-ci estfidèle aux données d’AXA. Ce résultat est rassurant car la loi a été construite à partird’un portefeuille d’AXA.

Pour observer ces résultats plus en détail, les espérances de maintien résiduel de laloi d’expérience, de la loi du BCAC en vigueur et de la nouvelle loi du BCAC vont êtrecalculées pour chaque âge x et chaque ancienneté t, puis comparées.

82

Figure 8.1 – Taux de décès extrapolés

20 25 30 35 40 45 50 55 60 650

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4·10−2

Age en années

Tau

xqx

Taux lissés BrassTaux TH 0002

8.2 Les espérances de maintien résiduel

8.2.1 Loi d’expérience vs Loi du BCAC en vigueur

Les espérances de maintien résiduel sont calculées à partir des taux obtenus avec laméthode de Brass puis comparées avec celles de la loi actuelle du BCAC.

Le rapport des espérances de maintien résiduel pour chaque âge d’entrée x et chaqueancienneté t est :

R1(x, t) = eBrassx,t /eBCAC

x,tavec ex,t = 0, 5 +

z∑j=t

lx,jlx,t

où z est la dernière ancienneté.

La courbe (8.2) montre que les espérances de maintien résiduel de la table d’expériencesont supérieures à celles du BCAC, avec des écarts allant jusqu’à 20 % pour l’entrée en

83

invalidité suivi d’une convergence vers le BCAC lorsque l’ancienneté augmente.

A partir de l’âge d’entrée de 56 ans, le rapport R1 est proche de 1, les deux lois ontdes espérances de maintien résiduel équivalentes.

Figure 8.2 – Rapport des espérances de maintien résiduel

0

10

20

30

4020

2530

3540

4550

5560

1

1.1

Ancienneté(t)âge entrée(x)

eBrass

x,k

/ eBCAC

x,k

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

8.2.2 Loi d’expérience vs nouvelle loi du BCAC

De la même façon que précédemment, le rapport des espérances de maintien résiduelest calculé pour chaque âge x et chaque ancienneté t :

R2(x, t) = eBrassx,t /eBCAC2

x,t

Le rapport R2 étant globalement proche de 1, la courbe (8.3) montre que les espérancesde maintien résiduel de la table d’expérience sont proches de celles de la nouvelle loi du

84

Figure 8.3 – Rapport des espérances de maintien résiduel

0

10

20

30

4020

2530

3540

4550

5560

0.95

1

1.05

1.1

1.15

Ancienneté(t)âge entrée(x)

eBrass

x,t

/ eBCAC2

x,t

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

BCAC. La table d’expérience est plus proche de la nouvelle loi du BCAC.

A l’aide d’un back test, le chapitre suivant va illustrer ces résultats avec une visionplus comptable qui consiste à calculer les Boni Mali.

85

Chapitre 9

Le provisionnent en Invalidité

Les back tests ont pour rôle de comparer les prévisions avec ce qui s’est réellementpassé, et conclure ainsi sur la validité de la table. Les prévisions sont effectuées à partirde la loi d’expérience créée précédemment.

9.1 Le cadre réglementaire

La loi exige que les compagnies d’assurance constituent des provisions pour les sinistres.Dans le cadre des Rentes Invalidité des produits de Prévoyance individuelle, l’assureur esttenu de constituer des provisions mathématiques (P.M.) pour des règlements successifs oùle provisionnement n’intervient qu’une fois le risque réalisé.Ces provisions font l’objet d’une mention dans l’article R331-6 du Code des Assurancesintitulé "Provisions techniques (Non Vie)".

9.2 Méthode de calcul

Le calcul de la P.M. de rente en invalidité est comme suit :

PMIPT(x, ancinv, drest, i) =

∑drest−1k=0

12×(Nancinv+k

x ×(1+i)−k+Nancinv+k+1×(1+i)−(k+1)

Nancinvx

)× F

Où— x représente l’âge de l’assuré à l’entrée en invalidité— ancinv, l’ancienneté passée en invalidité de l’assuré à la date de calcul— N t

x , le nombre d’invalide d’âge d’entrée x encore en invalidité après t années

86

— i, le taux d’actualisation— F , l’indemnité annuelle

A partir des provisions, les Boni Mali peuvent être calculés. C’est une mesure del’écart entre la charge de sinistres prévue et la charge de sinistres constatée. La formule9.1 présente le Boni Mali calculé pour l’année N :

BM31/12/N = PMouv − (PMclot + Prest− IT ) (9.1)

Où— PMouv : Provision Mathématique à l’ouverture, au 31/12/N-1— PMclot : Provision Mathématique à la clôture, au 31/12/N— Prest : Les prestations versées durant l’année N— IT = (PMouv+PMclot)/2 × i : les Intérêts Techniques

La PMouv représente la charge prévisionnelle au 31/12/N-1.L’expression PMclot + Prest− IT représente la charge constatée.En cas de Mali (BM < 0), la loi aura tendance à sous-provisionner le maintien en Inva-lidité et en cas de Boni (BM > 0), la loi aura tendance à sur-provisionner.

9.3 Application

Les Boni Mali vont être calculés pour 1 euro de prestation annuelle avec les loissuivantes :

— la loi du BCAC "loi de maintien en invalidité"— la loi d’expérience construite dans cette étude— la nouvelle loi du BCACLa figure 9.1 présente les provisions d’ouverture, les provisions de clôture ainsi que

les Boni Mali calculés avec les trois lois de 2008 à 2012. Les individus pris en comptepour le calcul du Boni Mali pour l’année N sont les individus présents au 31/12/N-1. Lesindividus qui entrent en invalidité au cours de l’année N ne sont donc pas sélectionnés.

La loi la plus prudente, et qui donne les plus grandes P.M. est la loi d’expérience. De2008 à 2012, le calcul des Boni Mali avec la table d’Expérience donne essentiellement desBoni. On constate alors que la loi construite est prudente et permet de constituer desprovisions suffisantes pour payer les prestations des invalides.

87

Ce back test valide alors la table d’expérience.

Comparaison des Boni Mali calculés à partir des lois du BCAC avec ceuxcalculés à partir de la loi d’Expérience :

Le graphe 9.1 permet de constater que les P.M. de la nouvelle loi du BCAC sont prochesdes P.M. de la table d’expérience, alors que la table du BCAC toujours en vigueur estmoins prudente.En outre, de 2008 à 2012, le calcul des Boni Mali à partir des lois du BCAC donne desBoni ou des Mali proches de 0. Ils sont légèrement inférieurs aux Boni Mali calculés àpartir de la loi d’Expérience en raison de l’effet ancienneté qui est intégré dans les lois duBCAC.En effet, avec la loi d’Expérience, seul l’effet décès est pris en compte dans le calculdes P.M. L’effet de l’ancienneté en invalidité qui généralement augmente le maintien estnégligé. La P.M. clôture calculée avec la loi d’Expérience est alors plus faible, d’où lesBoni Mali obtenus plus grands.Toutefois, comparativement aux P.M., les Boni Mali calculés à partir des trois lois sontrelativement faibles.

88

Figure 9.1 – Boni Mali calculés à partir des trois lois de 2008 à 2012

2008 2009 2010 2011 2012−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

Années

Bon

iMali/PM

en%

% Boni Mali EXP% Boni Mali BCAC% Boni Mali BCAC2

4,000

4,500

5,000

5,500

6,000

6,500

7,000

7,500

8,000

Provision

sen

euros

PM ouv EXPPM ouv BCACPM ouv BCAC2

89

Conclusion

Les provisions des Rentes Invalidité sont aujourd’hui calculées à partir de la tableréglementaire du BCAC. Cette table étant construite à partir d’un portefeuille collectif,elle pourrait ne pas être adaptée au portefeuille individuel d’AXA qui est essentiellementcomposé de Travailleurs Non Salariés.L’objectif de ce mémoire était alors la construction d’une table d’expérience de maintienen invalidité. Les probabilités de maintien ont été établies à partir du propre portefeuilled’AXA afin de prendre en compte au maximum son risque supporté.

Le travail effectué dans la seconde partie de ce rapport était une étape préliminaire etincontournable dans le cadre de la construction de la table d’expérience. Elle a consisté àtraiter les données brutes et à montrer que la base obtenue permet la construction d’uneloi d’expérience.La troisième étape consistait à choisir les méthodes pour la construction de la loi. Lestaux bruts de décès ont été estimés par la méthode de Kaplan Meier en raison d’un grandnombre de données censurées. Pour éliminer les imperfections liées aux données expéri-mentales, ces taux ont été ajustés avec trois méthodes : le modèle de Gompertz, le modèlede Makeham et le modèle de Brass.Une dernière partie a permis de valider la table construite avec un test de fidélité et untest sur le provisionnement.

Au cours de cette étude, une nouvelle loi réglementaire qui devrait entrer en vigueuren 2015 a été proposée par le BCAC. La comparaison de la table d’expérience avec leslois règlementaires a montré que la nouvelle loi du BCAC donne des provisions de mêmeordre de grandeur que la loi d’expérience. Le test de Cox ayant établi que l’ancienneté eninvalidité pouvait influencer le maintien, la nouvelle loi du BCAC serait alors plus adaptéepour le calcul des provisions.

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En effet, avec la table d’expérience créée se pose la question de la segmentation parrapport à la variable ancienneté. L’âge est-il vraiment suffisant pour décrire le maintienen invalidité ?

Avec le temps, toute modification de la répartition des anciennetés dans la base Invali-dité pourrait conduire à une loi inappropriée. Un travail plus poussé doit être effectué surla variable ancienneté, à savoir prendre en compte cette dimension malgré la volumétrielimitée de la base de données et construire des taux significatifs. Une approche appliquéeen assurance non Vie tel que le modèle multiplicatif, par exemple, pourrait être testé enmodélisant l’influence de chaque variable explicative séparément.

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Bibliographie

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