Jean-Marie Monier MathéMatiueslivre21.com/LIVREF/F12/F012042.pdfMéthodes et exercices MathéMatiues Jean-Marie Monier mp Les méthodes à retenir Plus de 600 énoncés d’exercices

Méthodes et exercicesMathéMati ues

Jean-Marie Monier

mp

Les méthodes à retenir Plus de 600 énoncés d’exercices

Indications pour bien démarrer

Tous les corrigés détaillés

Jean-Marie Monier

MATHÉMATIQUESMPMÉTHODES ET EXERCICES

Professeur en classe de Spéciales

au lycée La Martinière-Monplaisirà Lyon

Table des matières

IV

Table des matières

1. Espaces vectoriels normés 1

Les méthodes à retenir 2

Énoncés des exercices 8

Du mal à démarrer ? 16

Corrigés des exercices 20

2. Fonctions vectorielles d’une variable réelle 43





3. Intégration sur un intervalle quelconque 77





4. Séries 135





5. Suites et séries d’applications 185





6. Séries entières 247





7. Séries de Fourier 311





8. Équations différentielles 335





Table des matières

V

9. Fonctions de plusieurs variables réelles 377





10. Compléments d’algèbre linéaire 397





11. Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 427





12. Algèbre bilinéaire 471





13. Algèbre sesquilinéaire 519





14. Compléments d’algèbre générale 527





15. Géométrie 545





Index alphabétique 557

VI

Pour bien utiliser cet ouvrage

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−

−

La page d’entrée de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, lesthèmes abordés dans les exercices, ainsiqu’un rappel des points essentiels du courspour la résolution des exercices.

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Les méthodes à retenir

Cette rubrique constitue une synthèse des prin-cipales méthodes à connaître,détaillées étape parétape, et indique les exercices auxquels elles serapportent.

VII

Énoncés des exercices

De nombreux exercices de difficulté croissantesont proposés pour s’entraîner. La difficulté dechaque exercice est indiquée sur une échelle de1 à 4.

Corrrigés des exercices

Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée.

( ) ( )(

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Du mal à démarrer ?

Des conseils méthodologiques sont proposéspour bien aborder la résolution des exercices.

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Préface

VIII

Préface

Alors que, récemment, je feuilletais l’un des manuels de mathématiques qui servait de référence lorsque – voiciquelques décennies ! – j’étais en prépa, me revinrent en mémoire certaines sensations : à la lecture des énoncés desexercices que j’avais jadis cochés, d’une concision à la fois élégante et provocante, je me rappelais le plaisir que j’avaiséprouvé à la résolution de quelques-uns d’entre eux mais aussi, cette étrange amertume, pas encore totalement estom-pée aujourd’hui, que j’avais ressentie en abandonnant la recherche de quelques-uns, pourtant signalés d’un simple asté-risque, après de vains efforts et plusieurs tentatives avortées.

Les volumes Méthodes et Exercices (pour MP d’une part, PC-PSI-PT d’autre part) que J.-M. Monier nous présenteaujourd’hui semblent tout spécialement écrits pour éviter ce traumatisme aux étudiants d’aujourd’hui et de demain.

Chacun de ces ouvrages se compose de deux parties éminemment complémentaires :

• Les méthodes constituent ce guide précieux qui permet à l’étudiant de passer, confiant, efficacement « coaché », ducours qu’il apprend à la recherche nécessaire et fructueuse des exercices. Si les théorèmes du cours sont les outils del’artisan-étudiant, les méthodes et techniques proposées ici en sont les modes d’emploi. Évidemment, ces conseilssont particulièrement soignés et pertinents : ne sont-ils pas le fruit de la longue et multiple expérience de J.-M.Monier, pédagogue avéré, interrogateur recherché et auteur apprécié de maints ouvrages reconnus ?

Pour une aide encore plus précise, chaque méthode est assortie de la liste des exercices dans lesquels sa mise en œuvreest souhaitable.

• Les exercices, nombreux, variés et souvent originaux, couvrent la totalité du programme, chapitre après chapitre. Ilsrépondent parfaitement à un triple objectif :� permettre d’assurer, d’approfondir et d’affiner, pendant son apprentissage, la compréhension du cours ;� consolider et enrichir ses connaissances par la résolution d’exercices plus substantiels et de questions plus déli-

cates ;� réaliser des révisions efficaces et ciblées lors de la préparation des épreuves écrites ou orales des concours.

Ces exercices sont judicieusement classés en quatre niveaux de difficulté croissante, permettant ainsi aussi bien au néo-phyte de se mettre en confiance en traitant une application directe du cours (niveau 1) qu’à l’étudiant chevronné de semesurer à des exercices plus difficiles et délicieusement subtils (niveau 4). On notera avec plaisir que chaque chapitreest couvert par des exercices des quatre niveaux. L’abandon douloureux devant une question trop abruptement posée,dont je parlais au début, ne saurait se produire avec l’ouvrage de J.-M. Monier : en effet, dans la rubrique « Du mal àdémarrer », il apporte à l’étudiant(e) qui le souhaite une aide discrète, rappelant ici la méthode adéquate, donnant làune indication précieuse, ouvrant ailleurs une piste de recherche…

Pour chaque exercice, l’auteur s’est imposé la rédaction complète et appliquée d’un corrigé clair, précis, détaillé, osonsle mot, exemplaire. S’il est louable et formateur de chercher, il est plus gratifiant de trouver ! Et, ici encore, le manuelpermet à chacun, soit de constater que sa solution est celle qui est fournie (et il en éprouve un indicible plaisir !), soitde s’aider du corrigé pour parvenir, rassuré et guidé, à cette solution.

Qu’il me soit aussi permis d’insister sur l’ampleur de ces volumes, liée à la grande variété des exercices choisis, et quiest rare à ce niveau d’études, en même temps que sur leur prix très modique !

Préface

IX

Ces ouvrages de consultation particulièrement agréable constituent l’outil efficace et complet qui permettra à chacun,à son rythme mais en magnifiant ses propres aptitudes, de développer son goût pour les mathématiques et ses compé-tences et, tout à la fois, de forger son succès.

Quant à moi, un regret est en train de m’assaillir : pourquoi n’ai-je pas attendu la rentrée prochaine pour commencerma prépa ?

H. Durand,professeur en Mathématiques Spéciales PT*au lycée La Martinière Monplaisir à Lyon.

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Index alphabétique

X

Remerciements

Je tiens ici à exprimer ma gratitude aux nombreux collègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit :

Bruno Arsac, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin, Jean-Paul Charroin, Jean-Paul Christin, Carine Courant, HerminDurand, Jean Feyler, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, Daniel Genoud, André Laffont, Cécile Lardon, IbrahimRihaoui, René Roy, Marie-Dominique Siéfert, Marie-Pascale Thon, Audrey Verdier.

Jean-Marie Monier

1

1CHAPITRE 1Espaces vectorielsnormés

Thèmes abordés dans les exercices

• Montrer qu'une application est une norme

• Obtention d’inégalités portant sur des normes

• Montrer que deux normes sont (ne sont pas) équivalentes

• Montrer qu’une partie d’un evn est (n’est pas) fermée, est (n’est pas) ouverte

• Manipulation d’adhérences, d’intérieurs, de fermés, d’ouverts

• Calcul de la distance d’un point à une partie

• Utilisation de la continuité, de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien

• Montrer qu’une application linéaire f est continue, calculer ||| f |||• Montrer qu’une partie est (n’est pas) compacte, manipulation de parties com-

pactes

• Utilisation d’une suite de Cauchy

• Montrer qu’une partie est (n’est pas) complète, manipulation de parties com-plètes

• Montrer qu’une partie est (n’est pas) connexe par arcs, manipulation de partiesconnexes par arcs

• Montrer qu’une application est un produit scalaire

• Déterminer l’orthogonal d’une partie d’un espace préhilbertien

Points essentiels du cours pour la résolution des exercices

• Définition de norme, espace vectoriel normé, distance associée à une norme,inégalité triangulaire renversée, normes équivalentes

• Définition de boule ouverte, boule fermée, parties bornées

• Définition et propriétés de : ouvert, fermé, adhérence, intérieur, point adhérent,point intérieur

• Définition de la distance d’un point x à une partie A d’un evn E, caractérisa-tion de d(x,A) = 0

• Définition et propriétés de la convergence des suites, suites extraites, valeursd’adhérence d’une suite




Corrigés 20

Plan

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Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés

2


• Définition et propriétés des limites, de la continuité en un point, de la conti-nuité sur une partie

• Définition de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien, liens entrecontinue, uniformément continue, lipschitzienne

• Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applicationslinéaires, définition et propriétés de la norme |||.|||

• Définition séquentielle de la compacité, liens entre compact et fermé, liensentre compact et fermé borné, produit cartésien de deux compacts, imagecontinue d’un compact, théorème de Heine, équivalence des normes endimension finie

• Définition d’une suite de Cauchy, d’une partie complète, lien entre compact etcomplet, liens entre complet et fermé, tout evn de dimension finie est complet

• Définition de connexe par arcs, lien avec la convexité, connexes par arcs de R ,image continue d’un connexe par arcs, théorème des valeurs intermédiaires

• Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien,inégalité de Cauchy et Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski et casd’égalité

• Définition et propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théo-rème de Pythagore, procédé d’orthogonalisation de Schmidt, théorème de pro-jection orthogonale sur un sev de dimension finie.

On abrège :espace vectoriel en evsous-espace vectoriel en sevespace vectoriel normé en evn.

Pour montrer qu’une applicationN : E −→ R est une norme sur unK-espace vectoriel E

Pour exprimer la distance dassociée à une norme sur un K-ev Eà partir de cette norme, ou pourexprimer une norme à partir de ladistance associée d sur E

Revenir à la définition.Ne pas oublier de montrer que, pour tout x ∈ E , N (x) existe, en par-ticulier lorsque N (x) est donnée par une borne supérieure ou uneintégrale.

➥ Exercices 1.28 a), 1.32, 1.46.

Utiliser les formules :

∀(x,y) ∈ E2, d(x,y) = N (x − y),∀x ∈ E, N (x) = d(0,x).


3

Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire :

∀ (x,y) ∈ E2, ||x + y|| � ||x || + ||y||,ou l’inégalité triangulaire renversée :

∀ (x,y) ∈ E2, ∣∣||x || − ||y||∣∣ � ||x − y||.➥ Exercices 1.1, 1.44.

Pour établir une inégalité faisant intervenir une norme ||.|| sur un K-ev

Pour montrer que deux normesN, N′ sur un K-espace vectoriel Esont équivalentes

Pour montrer que deux normesN, N′ sur un K-espace vectoriel Ene sont pas équivalentes

Pour montrer qu’une partie A d’un evn Eest fermée dans E

• Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à ladéfinition, c’est-à-dire montrer :

∃ (α,β) ∈ (R∗+)2, ∀,x ∈ E, αN (x) � N ′(x) � βN (x).➥ Exercices 1.4, 1.32, 1.46

• Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes sur E sont équivalentes.

Chercher une suite ( fn)n dans E − {0} telle que :N ′( fn)N ( fn)

−−→n ∞

+ ∞ ou N ( fn)N ′( fn)

−−→n ∞

+ ∞.

➥ Exercices 1.18, 1.46.

• Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisa-tion séquentielle des fermés :la partie A de E est fermée dans E si et seulement si, pour toute suite(an)n dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x ∈ A.

➥ Exercices 1.3 a), 1.16, 1.17, 1.48

• Essayer de montrer que :∗ A est une intersection de fermés de E∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés

• Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par uneapplication continue.

➥ Exercice 1.34.

• Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que�E(A) est ouvert dans E .

Pour montrer qu’une partie Ω d’un evn Eest ouverte dans E

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∀x ∈ Ω, ∃ r > 0, B(x ; r) ⊂ �.• Montrer que �E(Ω) est un fermé de E

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4

• Essayer de montrer que :∗ Ω est une réunion d’ouverts de E

➥ Exercice 1.5 b)

∗ Ω est une intersection d’un nombre fini d’ouverts de E∗ Ω est un produit cartésien d’un nombre fini d’ouverts

• Essayer de montrer que Ω est l’image réciproque d’un ouvert parune application continue.

➥ Exercices 1.5 a), 1.33, 1.34.

Pour montrer qu’un point xd’un K-evn E est adhérent à une partie A de E

Pour montrer qu’un point xd’un K-evn E est intérieur à une partie A de E

Pour manipuler des adhérences et/ou des intérieurs de parties d’un K-evn E

• Montrer qu’il existe une suite (an)n dans A convergeant vers x .

➥ Exercices 1.2, 1.29, 1.30 a)

• Montrer, pour tout voisinage V de x dans E : V ∩ A =/ ∅.➥ Exercice 1.31.

Montrer qu’il existe r > 0 tel que : B(x ; r) ⊂ A.➥ Exercices 1.2, 1.29.

• Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) des adhérences et desintérieurs :

1) ∗ A◦ est ouvert dans E∗ si Ω ⊂ A et si Ω est ouvert dans E, alors Ω ⊂ A◦∗ A◦◦ = A◦, E◦ = E, ∅◦ = ∅∗ A ⊂ B �⇒ A◦ ⊂ B◦

2) ∗ A est fermé dans E∗ si A ⊂ F et si F est fermé dans E, alors A ⊂ F∗ A = A, E = E, ∅ = ∅∗ A ⊂ B �⇒ A ⊂ B

3) �E(A) =(�E(A)

)◦, �E(A◦) = �E(A).

➥ Exercice 1.45

• On ne se résoudra à faire intervenir les éléments de E que lorsquedes calculs globaux ne seront pas réalisables.

➥ Exercices 1.15, 1.45.

Pour manipuler la distance d(x,A)d’un point x d’un K-evn Eà une partie non vide A de E

Utiliser la définition : d(x,A) = Infa∈A

d(x,a),ce qui revient à :{∀ a ∈ A, d(x,A) � d(x,a)

∀ k ∈ R+,((∀,a ∈ A, k � d(x,a)) �⇒ k � d(x,A)).

On fera souvent alors intervenir l’inégalité triangulaire ou l’inégalitétriangulaire renversée.

➥ Exercice 1.17.


5

• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la conti-nuité en un point.

➥ Exercice 1.19

• Si f est à valeurs dans un produit cartésien, montrer que chaque fonc-tion-coordonnée de f est continue en a.


∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀x ∈ A,(

dE(x,a) � η �⇒ dF(

f (x), f (a))� ε

).

• Utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité, c’est-à-diremontrer que, pour toute suite (an)n dans A convergeant vers a, lasuite

(f (an)

)n converge vers f (a).

Pour montrer qu’une applicationf : X ⊂ E −→ Fest continue en un point a de X

Pour montrer qu’une applicationf : X ⊂ E −→ Fest continue sur X

• Appliquer les théorèmes généraux (opératoires) relatifs à la conti-nuité sur une partie.

➥ Exercice 1.6

• Montrer que f est continue en chaque point de X, en se ramenant auxméthodes vues plus haut.

• Montrer que l’image réciproque par f de tout ouvert de F est unouvert de X, ou montrer que l’image réciproque par f de tout ferméde F est un fermé de X.

• Se souvenir que le caractère lipschitzien ou l’uniforme continuitéentraînent la continuité.

Pour montrer qu’une applicationf : X ⊂ E −→ Fest uniformément continue sur X

Pour manipuler une applicationf : X ⊂ E −→ F k-lipschitzienne

Pour montrer qu’une applicationlinéaire f ∈ L(E,F) est continue


∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀(x ′,x ′′) ∈ X2,(dE(x

′,x ′′) � η �⇒ dF(

f (x ′), f (x ′′))� ε

).

• Se rappeler que, si f est lipschitzienne, alors f est uniformémentcontinue.

• Se rappeler le théorème de Heine : si f est continue sur X et si X estcompact, alors f est uniformément continue sur X.

Utiliser la définition :

∀ (x1,x2) ∈ X2, dF(

f (x1), f (x2))� k d(x1,x2).

➥ Exercice 1.7

• Exprimer f comme combinaison linéaire ou composée d’applica-tions linéaires continues.

• Montrer qu’il existe M ∈ R+ tel que :∀ x ∈ E, || f (x)||F � M||x ||E .

➥ Exercices 1.8, 1.12, 1.35, 1.36

• Se rappeler que, si E est de dimension finie, alors toute applicationlinéaire f : E −→ F est continue.©

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6

Pour calculer la norme |||f |||d’une application linéaire continuef ∈ LC(E,F)

Montrer d’abord qu’il existe M ∈ R+ tel que :∀ x ∈ E, || f (x)||F � M||x ||E ,

et on a alors ||| f ||| � M, où, par définition :

||| f ||| = Supx∈E−{0}

|| f (x)||F||x ||E = Supx∈B(0 ;1) || f (x)||F .

On peut espérer, si M a été convenablement obtenu, que l’on ait :||| f ||| = M.La borne supérieure définissant ||| f ||| peut être atteinte ou non.Si E est de dimension finie, alors la borne supérieure est atteinte et on

cherchera donc x0 ∈ E − {0} de façon que || f (x0)||F||x0||E = M.Si E n’est pas de dimension finie, la borne supérieure peut être attein-te ou non. Essayer :

∗ soit de chercher x0 ∈ E − {0}) de façon que || f (x0)||F||x0||E = M

➥ Exercices 1.8, 1.20, 1.35, 1.36

∗ soit de chercher une suite (xn)n dans E − {0} de façon que :|| f (xn)||F

||xn||E −→n∞ M.

Dans un contexte de compacité,pour établir une inégalité stricte

Dans un contexte de compacité

Pour montrer qu’une partie X d’un evn Eest compacte

Essayer de faire intervenir une application continue sur un compact età valeurs dans R∗+.

➥ Exercice 1.38.

Un raisonnement par l’absurde peut permettre de construire une suite,puis d’appliquer la compacité pour obtenir une suite convergente etamener une contradiction.

➥ Exercice 1.22.

• Essayer de faire apparaître X comme image directe d’un compactpar une application continue.

➥ Exercice 1.9

• Essayer de montrer que X est fermé dans un compact.• Si E est de dimension finie, montrer que X est fermée et bornée.

➥ Exercices 1.10, 1.21, 1.39, 1.41.


7

Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer :

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, ∀(p,q) ∈ N2, ({ p � Nq � N

�⇒ d(up,uq) � ε).

➥ Exercices 1.11, 1.24, 1.50.

Pour montrer qu’une suite (un)n d’un evn Eest de Cauchy

Pour montrer qu’une partie X d’un evn Eest complète

Pour montrer qu’une partie A d’un evn Eest connexe par arcs

• Montrer que X est fermée et qu’il existe une partie Y de E telle queX ⊂ Y et que Y soit complète.

• Se rappeler que, si X est compacte, alors X est complète.• Se rappeler que, si E est de dimension finie et si X est fermée

dans E, alors X est complète.• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer que toute suite de

Cauchy dans X converge dans X.

• Se rappeler d’abord que :∗ toute partie convexe est connexe par arcs∗ les parties connexes par arcs de R sont les intervalles.

➥ Exercice 1.51.

• Montrer que A est l’image directe d’une partie connexe par arcs parune application continue.

➥ Exercices 1.25, 1.51.

• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer que, pour tout(x,y) ∈ A2, il existe un chemin joignant continument x et y en res-tant dans A, c’est-à-dire montrer qu’il existe une application conti-nue γ : [0 ; 1] −→ A telle que :{

γ(0) = x, γ(1) = y∀ t ∈ [0 ; 1], γ(t) ∈ A.

➥ Exercice 1.26.

Pour exploiter la connexité par arcs

Pour montrer qu’une applicationϕ : E × E −→ R est un produitscalaire, où E est un K-ev

Pour relier un produit scalaireϕ : E × E −→ K et la forme quadratique φ : E −→ R associée

Essayer d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires :si A est connexe par arcs et si f : A −→ R est continue, alors f atteinttout réel entre deux réels qu’elle atteint déjà.

Revenir à la définition.

➥ Exercice 1.43.

Utiliser la formule qui exprime φ à l’aide de ϕ :

∀ x ∈ E, φ(x) = ϕ(x,x),

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8

ou, si K = R , une des formules exprimant ϕ à l’aide de φ :

∀ (x,y) ∈ E2, ϕ(x,y) = 12

(φ(x + y) − φ(x) − φ(y)),

∀ (x,y) ∈ E2, ϕ(x,y) = 14

(φ(x + y) − φ(x − y)).

Pour obtenir des inégalités dans un contexte d’espace préhilbertien

(E,(. | .))

Pour manipuler des orthogonaux de parties dans un espace préhilbertien (E,(. | .))

Utiliser l’inégalité de Cauchy et Schwarz :

∀ (x,y) ∈ E2, |(x | y)| � ||x || ||y||,ou l’inégalité de Minkowski, c’est-à-dire l’inégalité triangulaire pourla norme associée au produit scalaire :

∀ (x,y) ∈ E2, ||x + y|| � ||x || + ||y||.

➥ Exercice 1.52.

• Revenir à la définition de l’orthogonal d’une partie A de E :

A⊥ = {x ∈ E ; ∀ a ∈ A, (x | a) = 0}.• Utiliser les propriétés ensemblistes (globales) de l’orthogonalité :∗ A ⊂ B �⇒ A⊥ ⊃ B⊥∗ A⊥ = (Vect (A))⊥∗ A ⊂ A⊥⊥, E⊥ = {0}, {0}⊥ = E∗ A ∩ A⊥ ⊂ {0}.

➥ Exercice 1.27.

• Se rappeler que, d’après le théorème de projection orthogonale surun sev de dimension finie, si F est de dimension finie, alors :F ⊕ F⊥ = E .


Inégalité sur des normes

Soient (E,||.||) un evn, x,y,z,t ∈ E . Montrer :

||x − y|| + ||z − t || � ||x − z|| + ||y − t || + ||x − t || + ||y − z||.

Adhérence, intérieur d’un produit cartésien de deux parties

Soient E,F deux evn, A ⊂ E, B ⊂ F. Montrer :a) A × B = A × B b) (A × B)◦ = A◦ × B◦.

1.1

1.2


9

Une partie est-elle fermée, est-elle ouverte ?

On note E le R-ev des applications continues bornées de R dans R, muni de ||.||∞.a) Est-ce que F = { f ∈ E ; ∀ x ∈ R, f (x) � 0} est fermée dans E ?b) Est-ce que U =

{f ∈ E ; ∀ x ∈ R, f (x) > 0

}est ouverte dans E ?

Exemple de deux normes équivalentes

On note E = C1([0 ; 1] ; R) et ν1,ν2 les applications de E dans R définies, pour toute f ∈ E ,par : ν1( f ) = | f (0)| + 2

∫ 10

| f ′(t)| dt, ν2( f ) = 2| f (0)| +∫ 1

0| f ′(t)| dt.

Montrer que ν1 et ν2 sont des normes sur E et qu’elles sont équivalentes.

Somme d’une partie et d’un ouvert

Soient E un evn, Ω un ouvert de E .

a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la partie {a} + Ω = {a + x ; x ∈ Ω} est un ouvert de E .b) En déduire que, pour toute partie A de E, la partie A + Ω = {a + x ; (a,x) ∈ A × Ω} est un

ouvert de E .

Fonction continue à deux variables

Soient E,F,G des evn, A ⊂ E telle que A =/ ∅, B ⊂ F telle que B =/ ∅, etf : A −→ G, g : B −→ G deux applications.On note : ϕ : A × B −→ G, (x,y) �−→ ϕ(x,y) = f (x) + g(y).Montrer que ϕ est continue sur A × B si et seulement si : f est continue sur A et g est continue sur B.

Exemple d’application lipschitzienne

Soit (a,b) ∈ (R+)2. On munit R2 de la norme ||.||1 définie, pour tout (x,y) ∈ R2, par :||(x1,x2)||1 = |x1| + |x2|. On note f : R2 −→ R2, (x1,x2) �−→ f (x1,x2) = (ax2, bx1).Montrer que f est lipschitzienne.

Étude d’une application linéaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme

On note E = C([0 ; 1] ; R), muni de ||.||1 définie par : ∀ f ∈ E, || f ||1 = ∫ 10

| f (t)| dt

et on considère l’application : φ : E −→ R, f �−→ φ( f ) =∫ 1

0f (t) dt.

Montrer φ ∈ LC(E,R) et calculer |||φ|||.

Somme de deux compacts

Soient E un evn, K ,L deux compacts de E . Montrer que K + L est compact.

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1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9


10

Une partie est-elle compacte, non compacte ?

On considère l’application f : R −→ R, x �−→ f (x) =

sin x

xsi x =/ 0

1 si x = 0et on note :

A = {x ∈ R ; f (x) = 0}, B = {x ∈ R ; f (x) � 12

}.

Est-ce que A est compacte ? Est-ce que B est compacte ?

Suite proche d’une suite de Cauchy

Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (un)n∈N, (vn)n∈N deux suites dans E tellesque : d(un,vn)−→

n ∞0. Montrer que, si l’une des deux est de Cauchy, alors l’autre l’est aussi.

Exemple d’application diminuant strictement les distances,dans un evn complet, et sans point fixe

Donner un exemple d’application f : R −→ R telle que :

∀ (x,y) ∈ R2, ( x =/ y �⇒ | f (x) − f (y)| < |x − y| )et que, cependant, f n’a pas de point fixe.

Caractérisation de l’égalité de deux boules pour deux normes

Soient E un K -evn, N1,N2 deux normes sur E . On note, pour tout i ∈ {1,2} :

Bi ={x ∈ E ; Ni (x) < 1

}, B ′i =

{x ∈ E ; Ni (x) � 1

},

qui sont la boule ouverte et la boule fermée de E, de centre 0, de rayon 1, pour la norme Ni .Montrer :

a) B ′1 = B ′2 ⇐⇒ N1 = N2 b) B1 = B2 ⇐⇒ N1 = N2.

Intérieur d’un sous-espace vectoriel

a) Soient E un evn, F un sev de E . Montrer que, si ◦F =/ ∅ , alors F = E .

b) On note E le R-ev C([0; 1],R) muni de || · ||∞, E1 (resp. P) la partie de E formée des appli-

cations de classe C1 (resp. polynomiales). Montrer :◦E1 =

◦P = ∅.

Adhérence d’une boule ouverte, intérieur d’une boule fermée

Soient (E,||.||) un evn, a ∈ E, r ∈ R∗+. Montrer :a) B(a ; r) = B ′(a ; r) b) (B ′(a ; r))◦ = B(a ; r).Exemple de partie fermée dans un espace de fonctions

On note E le R-ev des applications de [0 ; 1] dans R bornées, muni de la norme ||.||∞, et on consi-dère A = { f ∈ E ; ∀x ∈ [0 ; 1], e f (x) � 2 + f (x)}.Montrer que A est une partie fermée, non bornée, de E .

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11

Exemple de calcul de la distance d’un point à une partie

On note E = C([0 ; 1] ; R), muni de ||.||∞.a) On note A =

{f ∈ E ; f (0) = 1 et

∫ 10

f = 0}.

1) Montrer que A est une partie fermée de E .

2) Calculer d(0,A). Cette distance est-elle atteinte ?

b) Mêmes questions pour B ={

f ∈ E ; f (0) = 0 et∫ 1

0f = 1

}.

Exemple de trois normes deux à deux non équivalentes

On note E = C2(

[0 ; 1] ; R)

et N∞, N ′∞, N′′∞ les applications de E dans R définies, pour toute

f ∈ E , par :

N∞( f ) = Supx∈[0;1]

| f (x)|, N ′∞( f ) = | f (0)| + Supx∈[0;1]

| f ′(x)|,

N ′′∞( f ) = | f (0)| + | f ′(0)| + Supx∈[0;1]

| f ′′(x)|.

a) Montrer que N∞, N ′∞, N′′∞ sont des normes sur E .

b) Comparer les normes N∞, N ′∞, N′′∞ pour la relation d’équivalence entre normes.

Exemple d’application continue

Soit (E,||.||) un evn. On considère l’application f : E −→ E, x �−→ f (x) = x1 + ||x ||2 .

Montrer : a) f est continue sur E b) f (E) = B ′(

0 ; 12

).

Étude d’une application linéaire continue sur un espace de suites

On note �∞ l’evn formé des suites réelles bornées x = (xn)n∈N , muni de || · ||∞ définie par||x ||∞ = Sup

n∈N|xn|, et on considère l'opérateur de différence � : �∞ −→ �∞ défini par �(x) = y

où y = (yn)n∈N est définie par :

∀n ∈ N, yn = xn+1 − xn .

Montrer � ∈ LC(�∞) , et calculer |||�|||.

Exemple de partie compacte de R2

La partie E ={(x,y) ∈ R2 ; x2(x − 1)(x − 3) + y2(y2 − 4) = 0

}de R2 est-elle compacte ?

Suites, dans un compact, n’ayant qu’une seule valeur d’adhérence

Soient E un evn, K une partie compacte de E , (un)n∈N une suite dans K ; montrer que, si (un)n n’aqu’une seule valeur d’adhérence, alors (un)n converge.

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12

Exemple d’evn non complet

Montrer que C([0 ; 1] ; R), muni de ||.||1, est un evn non complet.

Étude de la distance d’un point fixé aux points d’une suite de Cauchy

Soient (E,||.||) un evn, d la distance associée à ||.||, (un)n∈N une suite de Cauchy dans (E,||.||).a) Montrer que, pour tout a ∈ E, la suite (d(a,un))n∈N converge dans R.On note f : E −→ E, a �−→ f (a) = lim

n∞d(a,un).

b) Montrer Infa∈E

f (a) = 0, et que cette borne inférieure est atteinte si et seulement si la suite(un)n∈N converge.

Somme de deux parties connexes par arcs

Soient E un evn, A,B deux parties connexes par arcs de E . Montrer que A + B est connexe pararcs.

Toute partie étoilée est connexe par arcs, exemple

a) Soient (E,||.||) un evn, A une partie étoilée de E, c’est-à-dire une partie de E telle qu’il exis-te a ∈ E tel que : ∀ x ∈ A, [a ; x] ⊂ A, où [a ; x] = {(1 − t)a + t x ; t ∈ [0 ; 1]} est le seg-ment joignant a et x dans E .

Montrer que A est connexe par arcs.

b) Exemple : l’ensemble D des matrices de Mn(R) diagonalisables dans Mn(R) est connexe pararcs.

Exemple de sev F d’un ev préhilbertien E ,tel que F⊥ ne soit pas un supplémentaire de F dans E

On note E = C([0 ; 1] ; R), muni du produit scalaire ( f,g) �−→< f , g >= ∫ 10

f g et on

considère F = { f ∈ E ; f (0) = 0}.Montrer : a) F⊥ = {0} b) F ⊕ F⊥ =/ E .

Exemple de norme sur R2, détermination d’une boule

On note N : R2 −→ R, (x,y) �−→ Supt∈R

|x + t y|1 + t + t2 .

a) Montrer que N est une norme sur R2.

b) Représenter graphiquement la boule B ′N (0 ; 1) ={(x,y) ∈ R2 ; N (x,y) � 1} dans le plan

usuel.

c) Calculer l’aire (dans le plan usuel) de B ′N (0 ; 1).

Adhérence et intérieur d’une partie convexe d’un evn

Soient E un evn, C une partie convexe de E .

Montrer que C et C◦ sont convexes.

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13

Adhérence de la somme de deux parties

a) Soient E un evn, A,B des parties de E . Montrer : A + B ⊂ A + B.b) Montrer, par un exemple, qu’il peut ne pas y avoir égalité dans l’inclusion de a).

Adhérence d’une intersection

a) Soient E un evn, A un ouvert de E, B une partie de E . Montrer : A ∩ B = A ∩ B.b) Soient E un evn, A une partie de E . On suppose que, pour toute partie B de E, on a

A ∩ B ⊂ A ∩ B. Montrer que A est un ouvert de E .c) Donner un exemple d’ouverts A,B de R tels que les cinq ensembles A ∩ B,

A ∩ B , A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B soient deux à deux distincts.

Exemple de deux normes équivalentes

On note E le R-ev des applications f : [0; 1] −→ R de classe C1 sur [0; 1] et telles que f (0) = 0 . Pour f ∈ E , on note N ( f ) = Sup

x∈[0;1]| f (x)| + Sup

x∈[0;1]| f ′(x)| et

ν( f ) = Supx∈[0;1]

| f (x) + f ′(x)|. Montrer que N et ν sont des normes sur E , et qu’elles sont équi-valentes.

Séparation de deux fermés disjoints par deux ouverts disjoints

Soient E un evn, F,G deux fermés de E tels que F ∩ G = ∅ . Montrer qu’il existe deux ouvertsU,V de E tels que : F ⊂ U, G ⊂ V, U ∩ V = ∅.

Diverses caractérisations de la continuité

Soient E,F deux evn, f : E −→ F une application. Montrer que les propriétés suivantes sontdeux à deux équivalentes :

(i) f est continue

(ii) ∀ A ∈ P(E), f (A) ⊂ f (A)(iii) ∀ B ∈ P(F) , f −1(B) ⊂ f −1(B)(iv) ∀ B ∈ P(F) , f −1( ◦B) ⊂

(f −1(B)

)◦.

Exemple d’application linéaire continue sur un espace de suites, calcul de sa norme

On note �∞ le R-ev des suites réelles bornées (indexées par N∗), muni de ||.||∞. On considère l’ap-plication T : �∞ −→ �∞ qui, à tout élément (un)n�1 de �∞ associe la suite

(unn

)n�1

.

a) Montrer que T est correctement définie, que T ∈ LC(�∞), et calculer |||T |||.b) Déterminer Ker (T ), Im (T ). Est-ce que T est injective ? surjective ?

Exemple d’application linéaire continue sur un espace de fonctions, calcul de sa norme

On note E = C([0 ; 1] ; R), muni de ||.||∞.Soient p ∈ N∗, a1,. . . ,ap ∈ [0 ; 1] deux à deux distincts, λ1,. . . ,λp ∈ R.

On note : φ : E −→ R, f �−→ φ( f ) =p∑

k=1λk f (ak).

Montrer φ ∈ LC(E,R) et calculer |||φ|||.

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14

Somme d’un fermé et d’un compact

Soient E un evn, F est un fermé de E , K un compact de E . Montrer que F + K est fermée dans E .

Application diminuant strictement les distances sur un compact

Soient E un evn, K une partie compacte de E , f : K −→ K une application telle que :∀(x,y) ∈ K 2, (x =/ y �⇒ d( f (x), f (y)) < d(x,y))

où d est la distance sur E . Montrer que f admet un point fixe et un seul.

Applications continues de limites infinies en +∞ et en −∞Soit f : R −→ R une application continue. Montrer que les trois propriétés suivantes sont deux àdeux équivalentes :

(i) L’image réciproque par f de tout compact de R est un compact de R

(ii) lim−∞

| f | = +∞ et lim+∞

| f | = +∞

(iii)(

lim−∞ f = −∞ ou lim−∞ f = +∞)

et(

lim+∞ f = −∞ ou lim+∞ f = +∞).

Réunion d’une famille de boules fermées de même rayon indexée par un compact

Soient E un evn, K une partie compacte de E, r ∈ R∗+. On note F =⋃x∈K

B ′(x ; r). Montrer queF est fermé dans E .

Ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite bornée dans un evn de dimension finie

Soient (E,||.||) un evn de dimension finie, (un)n∈N une suite bornée dans E . On note V l’ensembledes valeurs d’adhérence de (un)n∈N dans E . Montrer que V est une partie compacte non vide de E .

Natures différentes pour [0 ; 1]2 et [0 ; 1]Montrer qu’il n’existe aucune application continue injective de [0 ; 1]2 dans [0 ; 1].

Exemple de norme issue d’un produit scalaire

On note E = C1([0 ; 1] ; R) et N : E −→ R l’application définie par :∀ f ∈ E, N ( f ) =

(∫ 10

f′2 + f (0) f (1)

) 12

.

Montrer que N est une norme sur E .

Inégalité sur des normes

Soient (E,||.||) un evn, x,y ∈ E − {0}. Démontrer :∣∣∣∣∣∣∣∣ x||x || − y||y||

∣∣∣∣∣∣∣∣ � 2 ||x − y||Max (||x ||, ||y||) .

Intersection de deux ouverts partout denses

Soit E un evn.

a) Montrer, pour tous ouverts U,V de E : U = V = E �⇒ U ∩ V = E .

b) En déduire, pour tous fermés F,G de E :◦F =

◦G = ∅ �⇒ (F ∪ G)◦ = ∅.

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15

Exemple de norme paramétrée par une fonction

On note E = C([0; 1],R) et, pour ϕ ∈ E, Nϕ : E −→ R l’application définie par :∀ f ∈ E, Nϕ( f ) = || f ϕ||∞.

a) Montrer que Nϕ est une norme sur E si et seulement si (ϕ−1({0}))◦ = ∅ .

b) Montrer que Nϕ et || · ||∞ sont des normes sur E équivalentes si et seulement si ϕ−1({0}) = ∅.

Endomorphismes continus tels que u ◦ v − v ◦ u = eSoit E un evn distinct de {0}. On note e = IdE .

On suppose qu’il existe (u,v) ∈ (LC(E))2 tel que : u ◦ v − v ◦ u = e.a) Montrer : ∀ n ∈ N, u ◦ vn+1 − vn+1 ◦ u = (n + 1)vn .b) En déduire : ∀ n ∈ N, (n + 1)|||vn||| � 2 |||u||| |||v||| |||vn|||.c) Conclure.

Image d’un fermé de C par une application polynomiale

Soit P ∈ C[X]. Montrer que l’image par P de tout fermé de C est un fermé de C.

Image de l’intersection d’une famille décroissante de parties fermées dans un compact,par une application continue

Soient E un evn, K une partie compacte de E, (Fn)n∈N une suite décroissante (pour l’inclusion)de parties fermées de K , et f : K −→ K une application continue. Montrer :

f

( ⋂n∈N

Fn

)=

⋂n∈N

f (Fn).

Théorème du point fixe

Soient (E,||.||) un evn, F ⊂ E , et f : F −→ F une application.On suppose que F est complète et que f est contractante, c’est-à-dire qu’il existe k ∈ [0 ; 1[ telque : ∀ (x,y) ∈ R2, || f (x) − f (y)|| � k ||x − y||.On se propose de montrer que f admet un point fixe et un seul.

a) Montrer l’unicité d’un éventuel point fixe de f.

b) On considère, pour a ∈ F fixé, la suite (un)n∈N définie par u0 = a et : ∀ n ∈ N, un+1 = f (un).Montrer que la suite (un)n∈N converge et que sa limite est un point fixe de f.

c) Conclure que f admet un point fixe et un seul.

Théorème de Darboux

Soient I un intervalle de R, non vide ni réduit à un point, et f : I −→ R une application dérivablesur I. Démontrer que f ′(I ) est un intervalle de R.

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16

Théorème de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel complet d’un espace préhilbertien

Soient (E,< ·,· >) un espace préhilbertien, F un sev complet de E .a) Montrer que, pour tout x de E , il existe un élément z de F et un seul tel que x − z ∈ F⊥.

On note pF : E −→ Ex �−→ z l’application ainsi définie.

b) Montrer : 1) pF ∈ LC(E)2) pF ◦ pF = pF3) pF admet un adjoint, et p∗F = pF .

Ce résultat généralise le théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie, figu-rant dans le cours.

1.52


Appliquer convenablement, plusieurs fois, l’inégalité tri-

angulaire.

a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle de

l’adhérence.

b) Séparer en deux inclusions et, par exemple, utiliser la caracté-

risation d’un point intérieur par l’existence d’ouverts conve-

nables.

a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des

fermés.

b) Montrer que U n’est pas ouvert, en trouvant f ∈ U telle que,pour tout ε ∈ R∗+, B( f ; ε) � U.

1) Montrer que ν1 est une norme sur E en revenant à la

définition d’une norme.

2) De même pour ν2.

3) Remarquer que, pour toute f ∈ E :ν1( f ) � 2ν2( f ) et ν2( f ) � 2ν1( f ).

a) Considérer, par exemple, pour a ∈ E fixé, la translationde vecteur −a :

τ−a : E −→ E, y �−→ y − a.

b) Exprimer A + Ω à l’aide des {a} + Ω, a ∈ A.

1) Si ϕ est continue sur A × B, exprimer f à l’aide de ϕ ,pour déduire que f est continue sur A.

2) Si f est continue sur A et g est continue sur B, exprimer ϕ à

l’aide de f,g et des projections canoniques, pour déduire que ϕ

est continue sur A × B.

Évaluer, pour (x1,x2), (y1,y2) ∈ R2 :|| f (x1,x2) − f (y1,y2)||1.

• Voir d’abord la linéarité de φ.

• Majorer convenablement |φ( f )| à l’aide de || f ||1, pour toutef ∈ E .

• Montrer que la borne supérieure définissant |||φ||| est atteintepar une fonction simple de E .

Considérer l’application

f : E × E −→ E, (x,y) �−→ x + y.

1) A n’est pas bornée.

2) B est fermée et bornée.

Majorer d(vp,vq ) en intercalant up et uq et utiliser les deux

hypothèses : la suite (un)n∈N est de Cauchy et d(un,vn)−→n ∞ 0.

Considérer, par exemple :

f : R −→ R, x �−→√

x2 + 1.

a) • Un sens est immédiat.

• Si B′1 = B′2, pour x ∈ E − {0}, considérer 1

N1(x)x, qui est

dans B′1 , donc dans B′2.

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b) • Un sens est immédiat.

• Si B1 = B2, pour x ∈ E − {0}, considérer 1N1(x)

x, qui n’est

pas dans B1 , donc pas dans B2.

a) Il existe a ∈ E,r ∈ R∗+ tels que B(a ; r) ⊂ F. Soit x ∈ Etel que x �= a. Construire y ∈ E tel que : y − a est colinéaire àx − a et y ∈ B(a ; r). En déduire x − a ∈ F, puis x ∈ F.

b) Appliquer a).

a) 1) Une inclusion est immédiate.

2) Réciproquement, soit x ∈ B′(a ; r). Approcher x par une suited’éléments de B(a ; r).

b) 1) Une inclusion est immédiate.

2) Réciproquement, raisonner sur les complémentaires, de

manière analogue à la résolution de a)2).

1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle des

fermés.

2) Montrer : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, et � 2 + t.

En déduire que toute application constante supérieure ou égale

à 2 est dans A.

a) 1) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle

des fermés.

2) • Montrer : d(0,A) � 1.

• Considérer f : [0 ; 1] −→ R, x �−→ 1 − 2x .

b) 1) Comme en a)1).

2) • Montrer : d(0,B) � 1.• Considérer, pour tout n ∈ N∗, une application gn continue, affi-ne par morceaux, constante égale à 1 sauf près de 0, telle que

gn(0) = 0. Déduire d(0,B) = 1.• Montrer que d(0,B) n’est pas atteinte, en raisonnant par l’ab-

surde.

a) Revenir à la définition d’une norme.

b) 1) Remarquer d’abord :

∀ f ∈ E, N∞( f ) � N ′∞( f ) � N ′′∞( f ),en utilisant l’inégalité des accroissements finis.

2) Trouver une suite ( fn)n dans E − {0} telle que, par exemple,N ′∞( fn)N∞( fn)

−→n ∞ +∞.

b) 1) Remarquer : ∀ t ∈ R+, t1 + t2 �1

2,

et déduire l’inclusion f (E) ⊂ B ′(

0 ; 12

).

2) Réciproquement, pour y ∈ B′(

0 ; 12

)fixé, chercher λ ∈ R

pour que f (λy) = y.

Montrer que ∆ est linéaire et que |||∆||| � 2.

Considérer, par exemple, la suite ((−1)n)n∈N

)pour déduire

|||∆||| = 2.

1) Montrer que E est fermée, comme image réciproque

d’un fermé par une application continue.

2) Montrer que E est bornée, en utilisant les coordonnées

polaires par exemple.

Raisonner par l’absurde : supposer que (un)n n’admette

qu’une seule valeur d’adhérence a et que (un)n diverge.

Montrer l’existence de ε > 0 et d’une extractrice σ tels que :

∀ n ∈ N, d(uσ(n),a) > ε.

Utiliser la compacité de K pour obtenir l’existence de b ∈ Ket d’une extractrice τ tels que : uσ(τ(n)) −→

n ∞ b.Déduire d(a,b) � ε, a �= b, puis une contradiction.

Construire une suite ( fn)n d’applications continues de

[0 ; 1] dans R telle que ( fn)n soit de Cauchy pour ||.||1 et que( fn)n diverge pour ||.||1. On pourra prendre fn affine par mor-ceaux et continue telle que fn(x) = 1 pour 0 � x � 12 et

fn(x) = 0 pour 12 +1

n� x � 1.

a) Montrer que (d(a,un)

)n∈N est de Cauchy dans R, en uti-

lisant l’inégalité triangulaire renversée.

b) 1) Dans la phrase mathématique traduisant que (un)n∈N estde Cauchy, fixer p et faire tendre q vers l’infini.

2) Se rappeler que : d(a,un)−→n ∞ 0 ⇐⇒ un −→n ∞ a.

Si γ joint continument a1 et a2 dans A et δ joint continu-

ment b1 et b2 dans B, construire γ + δ , joignant continumenta1 + b1 et a2 + b2 dans A + B.

a) Joindre x ∈ A et y ∈ A par un chemin formé de deuxsegments successifs, joignant x et a, puis a et y .

b) Montrer que D est étoilé par rapport à 0 et appliquer a).a) Soit g ∈ F⊥. Considérer l’application

f : [0 ; 1] −→ R, x �−→ xg(x)

qui est dans F , et traduire < f,g >= 0.a) • Montrer d’abord, pour tout (x,y) ∈ R2, l’existence de

N (x,y) , en montrant que l’application t �−→ |x + t y|1 + t + t2 est bor-

née sur R.

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18

• Revenir à la définition d’une norme.

b) Transformer la condition N (x,y) � 1 en :

∀ t ∈ R, −1 � x + t y1 + t + t2 � 1,

puis utiliser les résultats sur les trinômes réels.

c) Calculer l’aire comme intégrale double de la constante 1.

Se rappeler qu’une partie C de E est dite convexe si et

seulement si :

∀λ ∈ [0 ; 1], ∀ (x,y) ∈ C2, λx + (1 − λ)y ∈ C.

a) Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle de

l’adhérence d’une partie de E .

b) Envisager, par exemple :

E = R2, A = {(x,y) ∈ (R∗+)2 ; xy = 1}, B = R× {0}.a) Une inclusion est immédiate.

• Réciproquement, soit x ∈ A ∩ B.

Soit V un voisinage de x dans E .

Montrer l’existence d’un y dans V ∩ (A ∩ B) , puis montrer :(V ∩ A) ∩ B �= ∅.

b) Appliquer l’hypothèse à �E (A) à la place de B.

c) Choisir pour A et B des intervalles ou des réunions d’inter-

valles convenables.

1) Montrer que N et ν sont des normes. Pour montrer l’im-

plication ν ( f ) = 0 �⇒ f = 0, utiliser la résolution d’uneéquation différentielle.

2) • Montrer : ∀ f ∈ E, ν( f ) � N ( f ).

• Pour f ∈ E, considérer g : [0 ; 1] −→ R, x �−→ ex f (x),

exprimer g′ , puis déduire des majorations de |g(x)|,| f (x)|, | f ′(x)|, à l’aide de ν ( f ).


ϕ : E −→ R, x �−→ d(x,G) − d(x,F)

et les parties U = ϕ−1(]0 ;+∞[), V = ϕ−1(] − ∞; 0[) de E .

(i) �⇒ (ii) : Utiliser, par exemple, la caractérisationséquentielle de l’adhérence.

(ii) �⇒ (iii) : Pour B ∈ P (F), appliquer l’hypothèse àA = f −1(B).

(iii) �⇒ (iv) : Pour B ∈ P (F), appliquer l’hypothèse à B et à�F (B).(iv) �⇒ (i) : Pour tout ouvert U de F, appliquer l’hypothèse àB = U.

a) • Montrer que, pour toute (un)n�1 ∈ �∞, on a :(unn

)n�1

∈ �∞.

• Montrer que T est linéaire.

• Montrer : ∀ u ∈ �∞, ||T (u)||∞ � ||u||∞.

• En déduire : T ∈ LC(�∞) et |||T ||| � 1.

• Considérer la suite constante égale à 1, et déduire : |||T ||| = 1.

b) • On obtient : Ker (T ) = {0}.• Montrer que Im (T ) est l’ensemble des suites réelles en

O

(1

n

).

• La linéarité de φ est immédiate.

• Montrer : ∀ f ∈ E, |φ( f )| � M|| f ||∞,

en notant M =p∑

k=1|λk |.

• Considérer une application convenable f de E prenant les

valeurs 1 ou −1 en les ak .

Utiliser la caractérisation séquentielle des fermés et la défi-

nition séquentielle des compacts.

1) L’unicité est immédiate.

2) Pour l’existence, raisonner par l’absurde.


ϕ : K −→ R, x �−→ d(x, f (x)).(i) �⇒ (ii) : Appliquer l’hypothèse au compact [−A ; A],

pour A ∈ R∗+ fixé.

(ii) �⇒ (iii) : Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

(iii) �⇒ (i) : Soit K un compact de R. Il existe A ∈ R∗+ tel que :K ⊂ [−A ; A]. Appliquer l’hypothèse pour déduire que f −1(K )est borné, puis est compact.

Utiliser, par exemple, la caractérisation séquentielle d’un

fermé et la définition séquentielle d’un compact.

1) Montrer que V �= ∅, en utilisant la définition séquen-tielle de la compacité.

2) Montrer que V est bornée.

3) Montrer que V est fermée, en montrant, par exemple, que son

complémentaire est ouvert.

1.29

1.30

1.31

1.32

1.33

1.34

1.35

1.36

1.37

1.38

1.39

1.40

1.41


19

© D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

isée

est

un

délit

.

Raisonner par l’absurde : supposer qu’il existe une appli-

cation f : [0 ; 1]2 −→ [0 ; 1] continue injective.

Considérer a,b,c ∈ [0 ; 1]2 de façon que, par exemple,f (a) < f (b) < f (c), puis considérer un chemin γ joignant

continument a et c dans [0 ; 1]2, sans passer par b, et envisagerf ◦ γ.

Vu l’exposant 12 et le carré dans l’intégrale, on peut conjec-

turer que N soit une norme associée à un produit scalaire.

Montrer que l’application ϕ : E × E −→ R définie, pour tout( f,g) ∈ E × E par :

ϕ( f,g) =∫ 1

0f ′g′ + 1

2

(f (0)g(1) + f (1)g(0))

est un produit scalaire et que N est la norme associée à ϕ.

Dans le premier membre de l’inégalité demandée, inter-

caler, par exemple,x

||y|| , puis utiliser l’inégalité triangulaire etles rôles symétriques de x et y .

a) Soient U,V des ouverts de E tels que U = V = E .Soient x ∈ E et Ω un voisinage ouvert de x dans E . Montrerl’existence d’un y ∈ Ω ∩ U, puis montrer (Ω ∩ U) ∩ V �= ∅.

b) Passer aux complémentaires dans le résultat de a).

a) Montrer que, pour ϕ ∈ E fixée, Nϕ vérifie une partie dela définition d’une norme.

1) Supposer (ϕ−1({0}))◦ = ∅. Montrer qu’alors :∀ f ∈ E, (Nϕ( f ) = 0 �⇒ f = 0).

2) Supposer (ϕ−1({0}))◦ =/ ∅.Construire un élément f de E tel

que : f �= 0 et Nϕ( f ) = 0.

b) Soit ϕ ∈ E fixée.1) Supposer ϕ−1({0}) = ∅. Montrer qu’alors Nϕ et ||.||∞ sontéquivalentes, en faisant intervenir

1

ϕ.

2) Supposer ϕ−1({0}) �= ∅. Construire alors une suite ( fn)n∈N∗dans E − {0} telle que : || fn ||∞

Nϕ( fn)−→n ∞ +∞.

a) Récurrence sur n.

b) Utiliser a) et la sous-multiplicativité de |||.|||.

c) • Montrer, en utilisant a), qu’on ne peut pas avoir :

∀ n ∈ N, vn �= 0.• Considérer l’ensemble {n ∈ N ; vn = 0} , son plus petit élé-ment, et obtenir une contradiction à l’aide de b)}.

On conclut qu’il n’existe pas de tel couple (u,v).

Soit F un fermé de C. Soient (Zn)n une suite dans

P(F), Z ∈ C tels que Zn −→n ∞ Z . Pour chaque n ∈ N, il existe

zn ∈ F tel que P(zn) = Zn . Montrer que (zn)n est bornée. Endéduire l’existence de u ∈ C et d’une extractrice σ tels que :zσ(n) −→

n ∞ u. Déduire Z = P(u) ∈ P(F).

Noter F =⋂n∈N

Fn .

1) L’inclusion f (F) ⊂⋂n∈N

f (Fn) est immédiate.

2) Réciproquement, soit x ∈⋂n∈N

f (Fn).

Pour chaque n ∈ N, il existe xn ∈ Fn tel que x = f (xn).Utiliser la caractérisation séquentielle de la compacité de K .

b) 1) Montrer :

∀ n ∈ N∗, ||un+1 − un || � k||un − un−1||,

puis : ∀ (p,r) ∈ N× N∗, ||up+r − up|| � k p ||u1 − u0||1 − k .

En déduire que (un)n est de Cauchy dans F.

Considérer l’ensemble E ={(x,y) ∈ I 2 ; x < y

}et l’appli-

cation taux d’accroissement :

τ : E −→ R, (x,y) �−→ f (x) − f (y)x − y .

Montrer que E est connexe par arcs, que τ est continue, et en

déduire que τ(E) est un intervalle et que l’on a

τ(E) ⊂ f ′(I ) ⊂ τ(E).

a) 1) Unicité :

Soit x ∈ E .Soient z1,z2 ∈ F tels que : x − z1 ∈ F⊥ et x − z2 ∈ F⊥.Exprimer ||z1||2, < z1 , z2 > , < z2 , z1 > , ||z2||2 et déduire||z1 − z2||2 = 0 , puis z1 = z2.2) Existence :

Soit x ∈ E . Considérer l’application ϕ : F −→ R, u �−→ ||x − u||

et sa borne inférieure α, puis une suite (un)n∈N∗ dans F telle

que : ∀ n ∈ N∗, α � ϕ(un) � α + 1n

.

Montrer que (un)n∈N∗ est de Cauchy dans F. En déduire qu’ilexiste z ∈ F tel que un −→

n ∞ z. Montrer que z minimise ϕ. Établirx − z ∈ F⊥, en considérant, pour y ∈ F et λ ∈ C ,||x − (z + λy)||2.b) 1) • La linéarité de pF est facile.

• Montrer : ∀ x ∈ E, ||pF (x)|| � ||x ||, puis : |||pF ||| = 1.2) L’égalité pF ◦ pF = pF est immédiate.3) Montrer, pour tout (x,y) ∈ E2 :

< pF (x) , y >=< pF (x) , pF (y) > ,

puis : < x , pF (y) >=< pF (x) , y > .

1.42

1.43

1.44

1.45

1.46

1.47

1.48

1.49

1.50

1.51

1.52

20

On applique l’inégalité triangulaire, de deux façons àchaque fois, pour majorer ||x − y|| et pour majorer ||z − t || :{ ||x − y|| � ||x − z|| + ||z − y||

||x − y|| � ||x − t || + ||t − y||{ ||z − t || � ||z − x || + ||x − t ||||z − t || � ||z − y|| + ||y − t ||.

Ensuite, on additionne ces quatre inégalités, on simplifie parun coefficient 2, et on obtient l’inégalité voulue :

||x − y|| + ||z − t ||� ||x − z|| + ||y − t || + ||x − t || + ||y − z||.

a) Soit (x,y) ∈ E × F. On a :(x,y) ∈ A × B

⇐⇒ ∃ (zn)n ∈ (A × B)N, zn −→n ∞

(x,y)

⇐⇒ ∃ (xn)n ∈ AN, ∃ (yn)n ∈ BN,(xn,yn)−→

n ∞(x,y)

⇐⇒

∃ (xn)n ∈ AN, xn −→n ∞

x

∃ (yn)n ∈ BN, yn −→n ∞

y

⇐⇒{

x ∈ Ay ∈ B

⇐⇒ (x,y) ∈ A × B.

On conclut : A × B = A × B.b) 1) Soit (x,y) ∈ (A × B)◦. Il existe un ouvert W de E × Ftel que : (x,y) ∈ W ⊂ A × B. Par définition des ouverts deE × F, il existe alors un ouvert U de E et un ouvert V de Ftels que :

x ∈ U, y ∈ V, U × V ⊂ W.On déduit : x ∈ U ⊂ A et y ∈ V ⊂ B,donc x ∈ A◦ et y ∈ B◦, d’où (x,y) ∈ A◦ × B◦.Ceci montre : (A × B)◦ ⊂ A◦ × B◦.2) Réciproquement, soit (x,y) ∈ A◦ × B◦.Alors : x ∈ A◦ et y ∈ B◦.Il existe donc un ouvert U de E tel que x ∈ U ⊂ A , et un ou-vert V de F tel que y ∈ V ⊂ B.Alors, U × V est un ouvert de E × F et on a :

(x,y) ∈ U × V ⊂ A × B.

Il en résulte : (x,y) ∈ (A × B)◦.Ceci montre : A◦ × B◦ ⊂ (A × B)◦.On conclut : (A × B)◦ = A◦ × B◦.

a) Nous allons montrer que F est fermé dans E en uti-lisant la caractérisation séquentielle des fermés.

Soient ( fn)n∈N une suite dans F, et f ∈ E tels que fn −→n∞

f

dans (E,||.||∞).On a : ∀ x ∈ R, | fn(x) − f (x)| � || fn − f ||∞ −→

n ∞0,

donc : ∀ x ∈ R, fn(x)−→n ∞

f (x).

Comme, par hypothèse :

∀ x ∈ R, ∀ n ∈ N, fn(x) � 0,il s’ensuit, par passage à la limite dans une inégalité lorsquel’entier n tend vers l’infini :

∀ x ∈ R, f (x) � 0,et donc : f ∈ F.On conclut que F est fermé dans E .

b) Nous allons montrer que U n’est pas ouvert dans E , en trou-vant f ∈ U telle que, pour tout ε ∈ R∗+, on ait : B( f ; ε) /⊂ U.

Considérons f : R −→ R, x �−→ f (x) = 1x2 + 1 .

Il est clair que f est continue et bornée, donc f ∈ E .Soit ε ∈ R∗+ fixé.Considérons l’application g = f − ε

2.

On a : g ∈ E, || f − g||∞ = ε2 < ε,donc g ∈ B( f ; ε).Mais g /∈ U car g(x) −→

x−→+∞− ε

2< 0, donc g prend des valeurs

� 0.Ceci montre : ∀ ε ∈ R∗+, B( f,ε) /⊂ U,et on conclut que U n’est pas ouvert dans E .

1) • Il est clair que, pour toute f ∈ E, ν1( f ) existe.• On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E :

ν1(α f ) = |(α f )(0)| + 2∫ 1

0|(α f )′(t)| dt

= |α| | f (0)| + 2|α|∫ 1

0| f ′(t)| dt = |α|ν1( f ).

Corrigés des exercices

1.1

1.2

1.3

1.4

21

• On a, pour toutes f,g ∈ E :ν1( f + g)

= |( f + g)(0)| + 2∫ 1

0|( f + g)′(t)| dt

= | f (0) + g(0)| + 2∫ 1

0| f ′(t) + g′(t)| dt

� (| f (0)| + |g(0)|) + 2∫ 1

0

(| f ′(t)| + |g′(t)|) dt=

(| f (0)| + 2

∫ 10

| f ′(t)| dt)

+(

|g(0)| + 2∫ 1

0|g′(t)| dt

)= ν1( f ) + ν1(g).

• Soit f ∈ E telle que ν1( f ) = 0.

On a alors : | f (0)| + 2∫ 1

0| f ′(t)| dt = 0,

donc f (0) = 0 et ∫ 1

0| f ′(t)| dt = 0.

Puisque | f ′| est continue et � 0, il en résulte f ′ = 0, donc fest constante, f = f (0) = 0.Ceci montre que ν1 est une norme sur E .

2) De même, ν2 est aussi une norme sur E .

De manière plus générale, pour tout (a,b) ∈ (R∗+)2 ,

l’application f �−→ a| f (0)| + b∫ 1

0| f ′(t)| dt

est une norme sur E .

3) On a, pour toute f ∈ E : 12ν1( f ) � ν2( f ) � 2ν1( f ),

donc les normes ν1 et ν2 sur E sont équivalentes.

a) Soit a ∈ E .Considérons l’application τ−a : E −→ E, y �−→ y − aqui est la translation de vecteur −a.On a, pour tout y ∈ E : y ∈ {a} +Ω ⇐⇒ y − a ∈ Ω,donc : {a} + Ω = {y ∈ E ; τ−a(y) ∈ Ω} = τ−1−a(Ω).Ainsi, {a} +Ω est l’image réciproque de l’ouvert Ω par l’ap-plication continue τ−a, donc {a} +Ω est un ouvert de E .

b) Soit A ⊂ E . On a : A +Ω =⋃a∈A

({a} +Ω).

Ainsi, A +Ω est une réunion d’ouverts de E, donc est un ou-vert de E .

1) Supposons ϕ continue sur A × B.Puisque B =/ ∅, il existe b ∈ B. On a alors :

∀ x ∈ A, f (x) = ϕ(x,b) − g(b) .Comme ϕ est continue sur A × B, par composition,l’application x �−→ ϕ(x,b) est continue sur A , puis, par addi-tion d’une constante, f est continue sur A .

De même, g est continue sur B .

2) Réciproquement, supposons f continue sur A et g continuesur B .

Notons : pr1 : E × F −→ E, (x,y) �−→ x ,pr2 : E × F −→ F, (x,y) �−→ y

les deux projections canoniques, qui, d’après le cours, sont conti-nues sur E × F .On a alors : ϕ = f ◦ pr1 + g ◦ pr2,donc, par composition, ϕ est continue sur E × F .

Soient (x1,x2), (y1,y2) ∈ R2 . On a :∣∣∣∣ f (x1,x2) − f (y1,y2)∣∣∣∣1 = ∣∣∣∣(ax2,bx1) − (ay2,by1)∣∣∣∣1= ∣∣∣∣(ax2 − ay2, bx1 − by1)∣∣∣∣1

= ∣∣∣∣(a(x2 − y2), b(x1 − y1))∣∣∣∣1= |a(x2 − y2)| + |b(x1 − y1)| = a|x2 − y2| + b|x1 − y1| .

En notant k = Max (a,b) ∈ R+ , on a donc :∣∣∣∣ f (x1,x2) − f (y1,y2)∣∣∣∣1 � k|x2 − y2| + k|x1 − y1|= k∣∣∣∣(x1 − y1, x2 − y2)∣∣∣∣1 = k∣∣∣∣(x1,x2) − (y1,y2)∣∣∣∣1 .

On conclut que f est lipschitzienne.

• La linéarité de φ est immédiate, résultant de la linéa-rité de l’intégration.

• On a :

∀ f ∈ E, |φ( f )| =∣∣∣∣∫ 1

0f (t) dt

∣∣∣∣ �∫ 1

0| f (t)| dt = || f ||1 ,

donc φ , qui est linéaire, est continue, et |||φ||| � 1 .• On a, en notant f0 : [0 ; 1] −→ R, t �−→ 1 l’applicationconstante égale à 1, f0 =/ 0 et :

|| f0||1 =∫ 1

0|1| dt = 1, φ( f0) =

∫ 10

1 dt = 1 ,

donc :|φ( f0)||| f0||1 = 1.

Il en résulte : |||φ||| � 1, et finalement : |||φ||| = 1.

1.5

1.6

1.7

1.8

22

Considérons l’application

f : E × E −→ E, (x,y) �−→ x + y .

On a : K + L = f (K × L) .Puisque K et L sont compacts, d’après le cours, K × L est compact.

D’autre part, par opération, f est continue.

Ainsi, K + L est l’image d’un compact par une applicationcontinue, donc K + L est compact.

Par théorèmes généraux, f est continue sur R∗, et,

comme f (x) = sin xx

−→x−→0

1 = f (0),f est continue en 0, donc f est continue sur R.

Traçons d’abord l’allure de la courbe représentative de f :

D’autre part, puisque (un)n∈N est de Cauchy, il existe N2 ∈ Ntel que :

∀ p � N2, ∀ q � N2, d(up,uq) � ε3 .

Notons N = Max (N1,N2) ∈ N . On a alors, pour tout(p,q) ∈ N2 tel que p � N et q � N :

d(vp,vq) � d(vp,up) + d(up,uq) + d(uq ,vq) � 3 ε3 = ε .

Ceci montre que (vn)n∈N est de Cauchy dans E .

Considérons l’application

f : R −→ R, x �−→ f (x) =√

x2 + 1 .

1) On a, pour tout (x,y) ∈ R2 tel que x =/ y :

| f (x) − f (y)| =∣∣∣√x2 + 1 − √y2 + 1∣∣∣

=∣∣∣∣ x2 − y2√x2 + 1 + √y2 + 1

∣∣∣∣ = |x + y|√x2 + 1 + √y2 + 1 |x − y| .Et :

|x + y|√x2 + 1 + √y2 + 1 � |x | + |y|√x2 + 1 + √y2 + 1 < 1,

car : 0 � |x | <√

x2 + 1 et 0 � |y| <√

y2 + 1.D’où : | f (x) − f (y)| < |x − y| .Ainsi, f diminue strictement les distances.

2) On a, pour tout x ∈ R : f (x) =√

x2 + 1 > |x | � x,donc : ∀ x ∈ R, f (x) =/ x ,donc f n’a pas de point fixe.

a) • L’implication N1 = N2 �⇒ B ′1 = B ′2 est évidente.• Réciproquement, supposons B ′1 = B ′2.Soit x ∈ E tel que x =/ 0.

∗ Considérons y = 1N1(x)

x . On a :

N1(y) = N1(

1

N1(x)x

)= 1

N1(x)N1(x) = 1 ,

donc y ∈ B ′1 = B ′2 , d’où N2(y) � 1.

Mais : N2(y) = N2(

1

N1(x)x

)= 1

N1(x)N2(x).

On a donc :1

N1(x)N2(x) � 1, d’où : N2(x) � N1(x).

∗ Puisque N1 et N2 jouent des rôles symétriques, on a aussiN1(x) � N2(x), d’où : N1(x) = N2(x) .Enfin, pour x = 0, l’égalité N1(x) = N2(x) est triviale.On conclut : N1 = N2 .

1.9

1.10

y

x−π 2ππ−2π O

1

12

B

A

1) On a : A = πZ∗, donc A n’est pas bornée, donc n’est pascompacte.

2) • Puisque B = f −1([

1

2;+∞

[), que f est continue et que[

1

2;+∞

[, est fermé dans R, d’après le cours, B est fermée

dans R.

• On a, pour tout x ∈ R :

|x | > 2 �⇒ | f (x)| =∣∣∣∣ sin xx

∣∣∣∣ � 1x < 12 �⇒ x /∈ B ,donc : B ⊂ [−2 ; 2], donc B est bornée.Ainsi, B est une partie fermée bornée de R, donc B est compacte.

Supposons, par exemple, que (un)n∈N est de Cauchy.

Soit ε > 0.

Puisque d(un,vn)−→n ∞

0, il existe N1 ∈ N tel que :

∀ n � N1, d(un,vn) � ε3 .

1.11

1.12

1.13

23

b) • L’implication N1 = N2 �⇒ B1 = B2 est évidente.• Réciproquement, supposons B1 = B2.Nous allons adopter la même méthode que dans la solution de a).

Soit x ∈ E tel que x =/ 0.

∗ Considérons y = 1N1(x)

x . On a alors N1(y) = 1, doncy /∈ B1 = B2 , d’où N2(y) � 1.

Mais N2(y) = 1N1(x)

N2(x), d’où N2(x) � N1(x).

∗ Puisque N1 et N2 jouent des rôles symétriques, on a aussiN1(x) � N2(x), d’où : N1(x) = N2(x) .Enfin, pour x = 0, l’égalité N1(x) = N2(x) est triviale.On conclut : N1 = N2 .

a) Soit F un sev de E tel que ◦F =/ ∅ . Il existe donc

a ∈ ◦F, puis r ∈ R∗+ tel que B(a; r) ⊂ F .Soit x ∈ E tel que x =/ a .Notons y = a + r

2||x − a|| (x − a) .

On a alors ||y − a|| = r2

< r , donc y ∈ B(a; r),d’où y ∈ F.Comme F est un sev et que a et y sont dans F ,

il en résulte que x − a = 2||x − a||r

(y − a) ∈ F ,puis x = (x − a) + a ∈ F .Finalement : F = E .b) E1 et P sont des sev de E , distincts de E , car, par exemple,l’application [0; 1] −→ R

x �−→∣∣x− 12 ∣∣ est dans E et non dans E1, et l’ap-

plication [0; 1] −→ Rx �−→ 1x+1

est dans E et non dans P .

Par contre-apposition du résultat de a), on conclut :◦E1 =

◦P = ∅.

a) 1) On a : B(a ; r) ⊂ B ′(a ; r) , d’où, en passant auxadhérences et puisque B ′(a ; r) est fermée :

B(a ; r) ⊂ B ′(a ; r) = B ′(a ; r) .

2) Réciproquement, soit x ∈ B ′(a ; r).

Notons, pour tout n ∈ N∗ : xn = 1n

a +(

1 − 1n

)x .

On a, pour tout n ∈ N∗ :

||xn − a|| =∣∣∣∣∣∣∣∣(

1 − 1n

)(x − a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

=(

1 − 1n

)||x − a|| �

(1 − 1

n

)r < r ,

donc : xn ∈ B(a ; r).D’autre part :

||xn − x || =∣∣∣∣∣∣∣∣ 1n (a − x)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1n ||x − a|| −→n ∞ 0 ,

donc : xn −→n ∞

x .

Ainsi, x est limite d’une suite d’éléments de B(a ; r), doncx ∈ B(a ; r) .Ceci montre : B ′(a ; r) ⊂ B(a ; r).On conclut : B(a ; r) = B ′(a ; r).b) 1) On a : B(a ; r) ⊂ B ′(a ; r) , d’où, en passant aux intérieurset puisque B(a ; r) est ouverte :

B(a ; r) = (B(a ; r))◦ ⊂ (B ′(a ; r))◦ .2) Nous allons montrer l’autre inclusion en raisonnant sur lescomplémentaires, de façon à manipuler des adhérences (au lieud’intérieurs) et à utiliser des suites.

Soit x ∈ �E(B(a ; r)) , donc ||x − a|| � r .

1.14

1.15

a xxn

a x xn

24

Notons, pour tout n ∈ N∗ : x ′n = −1

na +

(1 + 1

n

)x .

On a, pour tout n ∈ N∗ :

||x ′n − a|| =∣∣∣∣∣∣∣∣(

1 + 1n

)(x − a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

=(

1 + 1n

)||x − a|| �

(1 + 1

n

)r > r,

donc x ′n ∈ �E(B ′(a ; r)) .

D’autre part :

||x ′n − x || =∣∣∣∣∣∣∣∣ 1n (x − a)

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1n ||x − a|| −→n ∞ 0 ,

donc : x ′n −→n ∞ x.

Ainsi, x est limite d’une suite d’éléments de �E(B ′(a ; r)) , donc

x ∈ �E(B ′(a ; r)).

Ceci montre :

�E(B(a ; r)) ⊂ �E(B ′(a ; r)) = �E((B ′(a ; r))◦) ,

d’où, en passant aux complémentaires :

B(a ; r) ⊃ (B ′(a ; r))◦ .Finalement :

(B ′(a ; r))◦ = B(a ; r) .

1) Nous allons montrer que A est une partie fermée de Een utilisant la caractérisation séquentielle des parties fermées.

Soient ( fn)n∈N une suite dans A , f ∈ E tels que fn −→n ∞

f dans

(E,||.||∞) .On a, pour tout x ∈ [0 ; 1] :

| fn(x) − f (x)| � || fn − f ||∞ −→n ∞

0 ,

donc : fn(x)−→n ∞

f (x) .

D’autre part :

∀ x ∈ [0 ; 1], ∀ n ∈ N, e fn (x) � 2 + fn(x) .On déduit, par passage à la limite dans une inégalité lorsquel’entier n tend vers l’infini :

∀ x ∈ [0 ; 1], e f (x) � 2 + f (x) ,et donc : f ∈ A .Ceci montre que A est une partie fermée de E .

2) • Montrons : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, et � 2 + t.L’application

ϕ : [2 ;+∞[−→ R, t �−→ ϕ(t) = et − (2 + t)

est dérivable et, pour tout t ∈ [2 ;+∞[ :

ϕ′(t) = et − 1 > 0 ,

donc ϕ est strictement croissante.

De plus : ϕ(2) = e2 − 4 > 0 .On déduit : ∀ t ∈ [2 ;+∞[, ϕ(t) � 0,d’où l’inégalité voulue.

• Soient t ∈ [2 ;+∞[ et ft : [0 ; 1] −→ R, x �−→ t l’applica-tion constante égale à t. On a alors :

∀ t ∈ [2 ;+∞[,(

ft ∈ A et || ft || = |t | = t)

,

ce qui montre que A n’est pas bornée.

a) 1) Nous allons montrer que A est une partie ferméede E , en utilisant la caractérisation séquentielle des fermés.

Soient ( fn)n∈N une suite dans A , f ∈ E tels que fn −→n ∞

f dans

(E,||.||∞) .• On a : | fn(0) − f (0| � || fn − f ||∞ −→

n ∞0,

donc : fn(0)−→n ∞

f (0) .

Mais : ∀ n ∈ N, fn(0) = 1, d’où : f (0) = 1.• On a :

∣∣∣∣∫ 1

0fn −

∫ 10

f

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ 1

0( fn − f )

∣∣∣∣�

∫ 10

| fn − f | � (1 − 0)|| fn − f ||∞ −→n ∞

0,

donc :∫ 1

0fn −→

n ∞

∫ 10

f.

Mais : ∀ n ∈ N,∫ 1

0fn = 0, donc :

∫ 10

f = 0.

On déduit : f ∈ A.On conclut que A est une partie fermée de E .

2) • Soit f ∈ A .On a : || f − 0||∞ = || f ||∞ � | f (0)| = 1,donc : d(0,A) � || f − 0||∞ � 1.• L’application f : [0 ; 1] −→ R, x �−→ 1 − 2xest dans A et : d(0, f ) = || f ||∞ = 1.On conclut : d(0,A) = 1, et cette borne est atteinte, par fci-dessus et représentée graphiquement ci-après.

1.16

1.17

25

b) 1) On montre que B est une partie fermée de E par la mêmeméthode qu’en a) 1).

2) • Soit f ∈ B . On a :

1 =∫ 1

0f �

∫ 10

| f | � (1 − 0)|| f ||∞ = || f − 0||∞ ,

donc : d(0,B) � 1.• Considérons, pour tout n ∈ N∗ , l’applicationgn : [0 ; 1] −→ R définie, pour tout x ∈ [0 ; 1], par :

gn(x) =

nan x si 0 � x �1

n

an si1

n< x � 1

,

où an est à calculer pour que ∫ 1

0gn = 1.

On a :

∫ 10

gn = 1 ⇐⇒ an − an2n = 1 ⇐⇒ an =2n

2n − 1 .

On a alors : ∀ n ∈ N∗, gn ∈ B et :

||gn − 0||∞ = an = 2n2n − 1 −→n ∞ 1 ,

d’où l’on conclut : d(0,B) � 1.

• Supposons qu’il existe f ∈ B telle que d(0,B) = || f ||∞. On a :

0 �∫ 1

0

(|| f ||∞ − f ) = || f ||∞ − ∫ 10

f = 1 − 1 = 0 ,

donc, puisque || f ||∞ − f est continue et � 0, on a :|| f ||∞ − f = 0, f = || f ||∞, f est une constante.

Mais f (0) = 0 , donc f = 0, contradiction avec ∫ 1

0f = 1.

Ceci montre que d(0,B) n’est pas atteinte.

a) • D’abord, E est bien un R-ev, et N∞,N ′∞,N′′∞ sont

définies, car, si f ∈ E , alors f, f ′, f ′′ sont continues sur le seg-ment [0 ; 1] , donc sont bornées, d’où l’existence deN∞( f ), N ′∞( f ), N

′′∞( f ) .

Nous allons montrer que N ′′∞ est une norme sur E , les preuvespour N∞ et N ′∞ étant analogues et plus simples.

• On a, pour toutes f,g ∈ E :

N ′′∞( f + g)

=|( f + g)(0)| + |( f + g)′(0)| + Supx∈[0;1]

|( f + g)′′(x)|

�(| f (0)| + |g(0)|) + (| f ′(0)| + |g′(0)|)+ Sup

x∈[0;1]

(| f ′′(x)| + |g′′(x)|)�(| f (0)| + |g(0)|) + (| f ′(0)| + |g′(0)|)

+ Supx∈[0;1]

| f ′′(x)| + Supx∈[0;1]

|g′′(x)|

=(| f (0)| + | f ′(0)| + Supx∈[0;1]

| f ′′(x)|)+ (|g(0)| + |g′(0)| + Sup

x∈[0;1]|g′′(x)|)

=N ′′∞( f ) + N ′′∞(g).

y

x

y = f(x)

1

1O

− 1

12

y

11 x

n

1

O

a

n

1.18

26

• On a, pour tout α ∈ R et toute f ∈ E :N ′′∞(α f ) = |(α f )(0)| + |(α f )′(0)| + Sup

x∈[0;1]|(α f )′(x)|

= |α| | f (0)| + |α| | f ′(0)| + |α| Supx∈[0;1]

| f ′′(x)| = |α|N ′′∞( f ) .

• Soit f ∈ E telle que N ′′∞( f ) = 0.On a alors : | f (0)|︸︷︷︸

�0

+ | f ′(0)|︸︷︷︸�0

+ Supx∈[0;1]

| f ′′(x)|︸︷︷︸�0

= 0,

donc f (0) = 0, f ′(0) = 0, Supx∈[0;1]

| f ′′(x)| = 0 .

Il en résulte f ′′ = 0. Il existe donc (a,b) ∈ R2 tel que :

∀ x ∈ [0; 1], f (x) = ax + b .

De plus :

{f (0) = 0f ′(0) = 0

⇐⇒{ a = 0

b = 0d’où f = 0.

On conclut : N∞, N ′∞, N′′∞ sont des normes sur E .

b) 1) • Soit f ∈ E .Pour tout x ∈ [0 ; 1], d’après l’inégalité des accroissements finis,appliquée à f sur [0 ; x], on a :

| f (x) − f (0)| � x Supt∈[0;x]

| f ′(t)| � 1 Supx∈[0;1]

| f ′(t)| ,

puis :

| f (x)| = ∣∣ f (0) + ( f (x) − f (0))∣∣� | f (0)| + | f (x) − f (0)|

� | f (0)| + Supt∈[0;1]

| f ′(t)| = N ′∞( f ).

Il en résulte : N∞( f ) � N ′∞( f ).• De même : ∀ f ∈ E, N ′∞( f ) � N ′′∞( f ) .

2) Montrons que les normes N∞, N ′∞, N′′∞ sont deux à deux

non équivalentes :

Considérons la suite ( fn)n∈N∗ d’applications de [0 ; 1] dans Rdéfinies, pour tout n ∈ N∗ , par :

∀ x ∈ [0 ; 1], fn(x) = sin (πnx) .

On a, pour tout n ∈ N∗, fn ∈ E et, pour tout x ∈ [0 ; 1] :

fn(x) = sin (πnx), f ′n(x) = πn cos (πnx),

f ′′n (x) = −π2n2 sin (πnx) ,

d’où, pour tout n ∈ N∗ :N∞( fn) = 1, N ′∞( fn) = πn, N ′′∞( fn) = πn + π2n2 .

Il s’ensuit :

N ′∞( fn)N∞( fn)

= πn −−−→n ∞

+ ∞, N′′∞( fn)

N ′∞( fn)= 1 + πn −−−→

n ∞+ ∞,

N ′′∞( fn)N∞( fn)

= πn + π2n2 −−−→n ∞

+ ∞ .

Ainsi, les rapports N ′∞( f )N∞( f )

,N ′′∞( f )N ′∞( f )

,N ′′∞( f )N∞( f )

ne sont pas bor-

nés lorsque f décrit E − {0} , donc les normes N∞, N ′∞, N ′′∞sont deux à deux non équivalentes.

a) L’application

f : E −→ E, x �−→ f (x) = x1 + ||x ||2

est continue par opérations sur les applications continues.

b) 1) On a : ∀ x ∈ E, || f (x)|| = ||x ||1 + ||x ||2 �

1

2,

car : ∀ t ∈ R+, t1 + t2 −1

2= −(1 − t)

2

2(1 + t2) � 0.

d’où : f (E) ⊂ B ′(

0 ; 12

).

2) Réciproquement, soit y ∈ B ′(

0 ; 12

).

Cherchons λ ∈ R pour que f (λy) = y. On a :f (λy) = y ⇐⇒ λy

1 + ||λy||2 = y⇐� ||y||2λ2 − λ+ 1 = 0.

Si y = 0, on peut choisir λ = 0.Supposons y =/ 0. L’équation du second degré précédente, d’in-connue λ ∈ R , admet au moins une solution puisque son dis-criminant 1 − 4||y||2 est � 0, car ||y|| � 1

2.

Ceci montre : B ′(

0 ; 12

)⊂ f (E).

On conclut : f (E) = B ′(

0 ; 12

).

Remarque :

Le résultat est apparent dans le cas E = R muni de la norme|.| usuelle :

y

x1

0

On a ici : f (R) =[

− 12

; 12

]= B ′

(0 ; 1

2

).

1.19

Représentation graphique de f : x �→ x1 + x2

27

Remarquons d’abord que, pour toute suite réelle bornéex = (xn)n , la suite réelle y = (yn)n définie dans l’énoncé estbornée ; ainsi, ∆ est bien une application de �∞ dans �∞ .

• La linéarité de ∆ est immédiate.

• Soient x = (xn)n ∈ �∞, y = �(x) = (yn)n .On a : ∀n ∈ N ,|yn| = |xn+1 − xn| � |xn+1| + |xn| � 2||x ||∞ ,donc : ||�(x)||∞ � 2||x ||∞ .Ceci montre que ∆, qui déjà est linéaire, est continue, et que :|||∆||| � 2.• Considérons la suite réelle bornée x = (xn)n définie par :

∀n ∈ N , xn = (−1)n .D’une part : ||x ||∞ = 1.D’autre part : ∀n ∈ N , |xn+1 − xn| = 2,donc : ||∆(x)||∞ = 2.

On a donc : |||∆||| � ||∆(x)||∞||x ||∞ = 2.

Finalement : ∆ ∈ LC (�∞) et |||∆||| = 2

1) L’application

f : R2 −→ R, (x,y) �−→ x2(x − 1)(x − 3) + y2(y2 − 4)est continue et {0} est fermé dans R, donc E = f −1({0}) estfermé dans R2, comme image réciproque d’un fermé par uneapplication continue.

2) Montrons que E est bornée, en utilisant les coordonnées po-laires.

Notons, pour (x,y) ∈ R2 : ρ = √x2 + y2 .On a, pour tout (x,y) ∈ R2 :

(x,y) ∈ E ⇐⇒ x4 − 4x3 + 3x2 + y4 − 4y2 = 0⇐⇒ x4 + y4 = 4x3 − 3x2 + 4y2 ,

d’où, pour tout (x,y) ∈ E :ρ4 = (x2 + y2)2 = x4 + 2x2 y2 + y4 � 2(x4 + y4)

= 2(4x3 − 3x2 + 4y2) � 2(4ρ3 + 4ρ2) = 8ρ3 + 8ρ2 .En supposant ρ � 1, on a donc, si (x,y) ∈ E :ρ4 � 16ρ3, d’où : ρ � 16.Ceci montre : ∀ (x,y) ∈ E,

√x2 + y2 � 16,

donc E est bornée.

Ainsi, E est une partie fermée bornée de R2, qui est un evn dedimension finie, donc E est compacte.

Raisonnons par l’absurde : supposons que (un)n n’ad-mette qu’une seule valeur d’adhérence a, et que (un)n diverge.Puisque un −→/

n ∞a, il existe ε > 0 tel que :

∀N ∈ N, ∃ n ∈ N, (n � N et d(un,a) > ε).Ceci permet de construire une extractrice σ telle que :

∀n ∈ N, d(uσ(n),a) > ε.Puisque K est compact, la suite (uσ(n))n, à éléments dans K,admet au moins une valeur d’adhérence b dans K ; il existe doncun extractrice τ telle que uσ(τ(n)) −−−→

n∞b .

Comme : ∀n ∈ N , d(uσ(τ(n)),a) > ε, on obtient, en passantà la limite d(b,a) � ε , et nécessairement a =/ b .Ainsi, (un)n admet au moins deux valeurs d’adhérence diffé-rentes, a et b, contradiction.

Considérons, pour tout n de N tel que n � 2, l’applica-tion fn : [0; 1] −→ R définie par :

fn(x) =

1 si 0 � x � 12

−nx + n + 22

si1

2� x � 1

2+ 1

n

0 si1

2+ 1

n� x � 1.

1.20

1.21

1.22

y

xO 1

fn

12

12

1n

+

1

Il est clair que, pour tout n � 2, fn est continue sur [0; 1].1) Montrons que ( fn)n�2 est de Cauchy pour || · ||1. Soient p ∈ N− {0,1}, r ∈ N . On a :

|| fp+r − fp||1 =∫ 1

0

∣∣ fp+r (x) − fp(x)∣∣dx=

∫ 12 +

1p

12

(fp(x) − fp+r (x)

)dx

�∫ 1

2 +1p

12

fp(x) dx = 12p .

Il en résulte :

∀ε > 0, ∃N ∈ N− {0,1},∀p � N , ∀r ∈ N, || fp+r − fp||1 � ε,

et donc ( fn)n�2 est de Cauchy pour || · ||1.

1.23

28

Fixons temporairement p tel que p � N . On a, en faisant tendre l’entier q vers l’infini, d’après a) :

d(up,uq)−→q∞

f (up) ,

d’où, par passage à la limite dans une inégalité :

f (up) � ε .Ceci montre, en particulier :

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N, f (uN ) � ε ,

donc : ∀ ε > 0, ∃ a ∈ E, f (a) � ε,et donc : Inf

a∈Ef (a) = 0.

2) On a :

∃ a ∈ E, f (a) = 0

⇐⇒ ∃ a ∈ E, d(a,un) −−−→n ∞

0

⇐⇒ ∃ a ∈ E, un −−−→n ∞

a.

Ainsi, la borne inférieure en question est atteinte si et seule-ment si la suite (un)n∈N converge.

Soit (x1,x2) ∈ (A + B)2 . Il existe (a1,a2) ∈ A2 ,(b1; b2) ∈ B2 tels que : x1 = a1 + b1 et x2 = a2 + b2.Puisque A et B sont connexes par arcs, il existe des applica-tions continues γ,δ : [0; 1] −→ E telles que :{

∀t ∈ [0; 1], (γ(t) ∈ A et δ(t) ∈ B)γ(0) = a1, γ(1) = a2, δ(0) = b1, δ(1) = b2.

L’application γ+ δ : [0; 1] −→ Et �−→γ(t)+δ(t)

est continue, et on a :

∀t ∈ [0; 1], (γ+ δ)(t) = γ(t) + δ(t) ∈ A + B(γ+ δ)(0) = γ(0) + δ(0) = a1 + b1 = x1

et (γ+ δ)(1) = x2.

On conclut que A + B est connexe par arcs.Remarque

On peut aussi montrer que A × B est connexe par arcs, puisremarquer que A + B est l’image de A × B par l’applicationcontinue E × E −→ E

(x,y)�−→x+y, si l’on sait que le produit cartésien de

deux parties connexes par arcs est connexe par arcs

a) Soit (x,y) ∈ A2 .Puisque A est étoilée (par rapport à a), on a :

[a ; x] ⊂ A et [a ; y] ⊂ A .

1.24

1.25

1.26

2) Montrons que ( fn)n�2 ne converge pas dans(C([0; 1],R),|| · ||1

). Raisonnons par l’absurde : supposons

qu’il existe f : [0; 1] −→ R continue telle que|| fn − f ||1 −−−→

n∞0 .

• On a :

∀n � 2,

|| fn − f ||1 �∫ 1

2

0

∣∣ fn(x) − f (x)∣∣dx = ∫ 120

∣∣1 − f (x)∣∣dx,d’où :

∫ 12

0|1 − f (x)|dx = 0 .

Puisque x �−→ |1 − f (x)| est continue et � 0, il en résulte :

∀x ∈[

0; 12

], f (x) = 1.

• Soit x0 ∈]

1

2; 1

]. On a, pour tout n � 2 tel que n � 1

x0 − 12:

|| fn − f ||1 �∫ 1

x0

∣∣ fn(x) − f (x)∣∣ dx = ∫ 1x0

| f (x)| dx,

d’où :∫ 1

x0

| f (x)| dx = 0.

Il en résulte : ∀x ∈ [x0; 1], f (x) = 0,

ce qui montre : ∀x ∈]

1

2; 1

], f (x) = 0.

On obtient ainsi : f (x) =

1 si x ∈[

0; 12

]

0 si x ∈]

1

2; 1

],

et donc f n’est pas continue en 1

2, contradiction.

a) Soit ε > 0.

Puisque (un)n∈N est de Cauchy dans (E,||.||) , il existe N ∈ Ntel que : ∀ p � N , ∀ q � N , d(up,uq) � ε.On a alors, par l’inégalité triangulaire :

∀ p � N , ∀ q � N , ∣∣d(a,up) − d(a,uq)∣∣ � d(up,uq) � ε .Ceci montre que la suite (d(a,un))n∈N est de Cauchy dans R.Comme R est complet, il en résulte que cette suite (d(a,un))n∈Nconverge dans R, vers un élément dépendant de a et noté f (a).

b) 1) Soit ε > 0.

Puisque (un)n∈N est de Cauchy dans (E,||.||) , il existe N ∈ Ntel que :

∀ p � N , ∀ q � N , d(up,uq) � ε .

29

On conclut que A est connexe par arcs.

b) L’ensemble D des matrices de Mn(R) diagonalisables dansMn(R) est étoilé par rapport à 0.

En effet, soient X ∈ D et t ∈ [0 ; 1] .Il existe P ∈ GLn(R),D ∈ Dn(R) telles que X = P D P−1 . On a alors :

(1 − t)0 + t X = t P D P−1 = P(t D)P−1 .Ceci montre que, si X ∈ D , alors le segment [0 ; X] de Mn(R)est inclus dans D, donc D est étoil�

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