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K-THEORIE ALGEBRIqUE DE CERTAINES ALGEBRES D'OPERATEURS
Max KAROUBI
Dans cet article neus ~tudions la K-th~orie alg~brique de
l'alg~bre~des op@rateurs compacts dans un espace de Hilbert complexe
separable et de certaines C*-alg~bres qui Iui sont naturellement asso-
ci6es comme~ A o~ A est une C*-alg~bre quelconque. On peut ~noncer
la conjecture suivante :
Conjecture : Les @roupes Kn(~ A), n e ~ , sont p@riodiques de
pSriode 2 par rapport d net sont isomorphes aux groupes Kntopolo-
gique8 de l'algCbre de Banach A.
Puisque~A n'a pas d'~l@ment unit~, les groupes
Kn(~(~A) doivent 8tre interpr~t6s comme ceux figurant dans la suite
exacte
0 = Kn+l( ~ ~ A) ~Kn+I(~A ) ~ Kn(~(~ A) > Kn( ~ ~ A) = 0
Donc Kn(~ A) ~ Kn+I(~/~A). Dans cette formule ~ est l'alg~bre de
tousles op~rateurs continus dans l'espace de Hilbert et ~/~ est
l'alg~bre unitaire quotient (qu'on d~signe souvent par "alg~bre de
Calkin").
A l'appui d~ cette conjecture on peut citer le th~or~me de
Brown et Schochet [41KI(~) = 0 ainsi que le th~or~me suivant que
nous d~montrons dans cet article :
Th~or~me. La conjecture est vraie pour n ~ O. En outre, pour n
quelconque, l'homomorphisme naturel
^ Ktop Kt°P(A) Kn(~®A) ~ n (~ ~ A) z n
est surjectif, le noyau ~tant un facteur direct dans Kn(~ ~ A).
En consid~rant des limites inductives d'anneaux convenables,
on peut comme application du th6or~me pr~c@dent construire des exem-
ples d'anneaux unitaires tels que Kn(A ) ~ K~°P(A). En particulier
Kn(A) ~ Kn+2(A) pour tout n E ~ .
255
2.
Voici maintenant le d~tail de l'organisation de cet
article. Dans les trois premiers paragraphes on rappelle des
d~finitions et des r~sultats bien connus en K-th~orie alg~brique
ou topologique. Le seul r~sultat nouveau qui m~rite d'etre signal~
est peut 8tre le th6or~me 3.6. qui figure d'ailleurs dans [iO] de
mani~re implicite.
Le quatri~me paragraphe esquisse les grandes lignes d'une
th6orie des structures multiplicatives en K-th~orie. La seule chose
nouvelle qui a ~t~ ajout@e ~ la presentation traditionnelle (cf.[l]
[iS]) est le traitement un peu plus d@taill~ que d'habitude des
structures multiplicatives dans le cas des anneaux sans ~l~ment unit@.
En particulier, si
: A× B ~ C
est une application ~ -bilin@aire telle que # (aa',bb)= ~ (a,b)~(a',b'),
on peut d6finir un "cup-produit"
K i(A) × Kj(B) ~ Ki+ j(C)
pour iet j~ g condition que i+j %0.
Dans le cinqui~me paragraphe nous d@montrons le th~or~me
cit~ plus haut. A vrai dire, nous d~montrons un r~sultat un peu plus
fort avec une d6finition l@g~rement diff~rente de Kn~A).
Ce groupe est ici d@fini comme le noyau de l'homomorphisme
K n (~7( + ~ A) > K n (A)
o~ ~ + d6signe l'alg~bre~ laquelle on a ajout~ un ~l~ment unit6.
Si nous d~signons par K~(~A) le groupe not~ Kn(~ A) plus haut
et qui est en fait Kn+I~fi~A), on peut d~finir des homomorphismes
successifs
Kn(~A) > K~(,~® A) >K~°P(~A) ~ Kt°Pn (A).
Alors Kn~ $ A) ~ K'(~ A) pour n<O mais nous n'avons pas pu n =
d~terminer si Kn( ~ ~ A) ~ K~(~ ~ A) pour n >0 (mSme pour n = i).
C'est avec eette d@finition de Kn(~.~ A) que nous d~montrons le
th6or~me cit~ plus haut. Ii est clair que le mSme th~or~me pour le
groupe K~(~ ~ A) s'en d~duit.
256
3.
Enfin dans le paragraphe 6 nous donnons la description expli-
cite de l'anneau A tel que Kn(A ) ~ K~°P(A) pour tout n ~ ~ .
I. RAPPELS SUR LE GROUPE K 0
i.i. Pour tout anneau unitaire Ale groupe Ko(A ) [2][16] est le
groupe de Grothendieck de la cat~gorie ~(A) des A-modules projectifs
de type fini (I). Une d~finition ~quivalente est la suivante.
D~signons par Proj(A n) l'ensemble des matrices p d'ordre net
coefficients dans A telles que p2= P. Soit Pro~(A n) l'ensemble
quotient de Proj(A n) par la relation d'6quivalence
p -p' <->3~c GLn(A ) tel que~ p~-l= p,. Alors Ko(A )peut d'iden-
tifier ~ la limite inductive
i n Pr°~(A2) ~ Pr°J(A4) ).o. ~Pro~(A 2n) ~Proj(A2n+2)__.~...
L'application i nest induite par p, ~ P Q PO o~ PO est le projecteur
de A 2 d~fini par la matrice
(i 0) O O
L'isomorphisme entre Ko(A ) et cette limite inductive est induite par
l'application de Proj(A 2n) dans Ko(A ) d~finie par
Pl ~[Im p] - [Im PO ~D ... (D po ].
Cette d~finition de Ko(A ) est 6videmment fonctorielle en A. De
mani~re pr@cise, si f : A ,Best un homomorphisme, f d@finit un
foncteur ~ (A) >~(B) donc un homomorphisme Ko(A ) ~ Ko(B) par
la correspondance M, >M ®A B. En termes de projecteurs, f d~finit
une application Proj(A n ) )Proj(B n) par la formule
p = (Pji) , > p' = (f(Pji)).
(i) Pour fixer les id6es on consid~rera par exemple la cat~gorie des
A-modules ~ droite. Cependant,on montre ais~ment que la cat6gorie des A-modules ~ gauche a un groupe K O isomorphe.
257
4.
1.2. Soit A un "pseudo-anneau" (c'est-~-dire un anneau n'ayant pas
n~cessairement d'~l~ment unit~) muni d'une structure de k-alg~bre, +
k ~tant un anneau commutatif. On d~finit l'anneau A k comme le groupe
AQk muni de la multiplication d~finie par la formule
(a, ~).(a',~') = (aa' + ~a' + ~'a, ~'). Cet anneau a comme ~l~ment
unit@ le couple (O,i) et on d~finit Ko(A)k comme le noyau de
l'homomorphisme naturel
+
K0(A k) ~_Ko(k)
Ii n'est pas difficile de voir que l'inclusion A~ ~A k induit un
isomorphisme K0(A) E ~ Ko(A)k [14]. On ~crira donc simplement
Ko(A ) au lieu de Ko(A)~ z Ko(A)k. Cette d~finition est fonctorielle
vis-a-vis des homomorphismes d'anneaux n'ayant pas n~cessairement
d'61@ment unit~.
÷
La construction de A k peut ~tre g~n~ralis~e au cas oak n'est
pas nScessairement commutatif, par exemple o~ A est un k-bimodule.
La multiplication est alors d~finie par la formule
(a,~).(a',~') = (aa'+ ~a'+ a~', ~')
On en verra des exemples importants dans les paragraphes 5 et 6.
1.3. Exemples. En raison du titre de cet article, nous nous limi-
terons ~ des exemples issus de l'analyse fonctionnelle.
a) A = CF(X ) anneau des fonctions continues sur un espace compact X
valeurs dans F = ~ ou ~ .Dans ce cas il est bien co~nu que
Ko(A) s'identifie ~ la K-th6orie topologique de X (notre KF(X ) ;
cf. [13]). En particulier, K~ (X)~ ~ Q ~2i(x;~) V ~'~ v4i- , H* et K~ (X) ~ ~ ~ H (X;~) d~signant la cohomologie de Cech.
Si X = S n,~ ~ (S n) ~ ~ sin est pair et K~ (S n) = O sin est
impair, KF(X ) d~signant en g@n~ral le groupe
Coker [~ = KF(Point ) ~ KF(X )] (cf.[13]).
b) A = C~(X), anneau des fonctions continues sur l~espace localement
compact X qui tendent vers O ~ l'infini. Alors
Ko(A)~ Ker [KF(X +) ~ KF({~})] , X + d@signant le compactifi~
d'Alexandroff de X.
258
5.
c) Soit X un espace paracompact quelconque et soit A =~F(X)
l'anneau des fonctions continues born~es sur X. Tout A-module
projectif E de type fini peut ~tre interpr~t~ comme
Im(p(x)) o3 p : X > Proj(Fn)est une famille de projecteurs
born~s. En particulier E peut @tre regard6 comme facteur direct d'un fibr~
yectoriel trivial [13].R~ciproquement,tout fibr@ vectoriel E facteur direct d'un
fibr@ trivial peut s'~crire ainsi. En effet, si on pose E(~)E'=
fibr~ trivial de rang n, on peut toujours @crire que E est l'image
d'une famille de projecteurs auto-ajoints p. Si J d~signe la
famille d'involutions 2p-l, la d~composition polaire de J permet
de montrer que Jest homotope ~ une famille d'involutions J' uni- i ~t . I k
taires donc born@es. Ainsi les fibres Im (w-~)et Im (s-~!2~) \ /
sont homotopes donc isomorphes [19j.
D'autre part, si E et E 1 sont les images de deux familles de
projecteurs auto-adjoints born~s, un isomorphisme entre E et E est 1
homotope ~ un isomorpNsmeunitaire donc born6. Ceci d~montre que
Ko(A ) s'identifie au groupe de Grothendieck de la cat~gorie des
fibres vectoriels sur X qui sont facteurs directs de fibres
triviaux. Par exemple, si X est contractile, Ko(A)~ •
Avant de choisir d'autres exemples, ~nongons un th~or~me qui
nous sera tr~s utile :
1.4. Th@or~me (de densitY) . Soient Aet B deux alg~bres de Banach
unitaires et soit i : A • B une injection continue satisfaisant
aux deux propri~t@s suivantes :
I) i(A) est dense dans B
2) Si on identifie Mn(A ) ~ une sous~alg@bre de Mn(B) au moyen de i,
on a GLn(A) = GLn(B) n Mn(A ) pour tout n.
Alors i induit un isomorphisme Ko(A) ~ Ko(B)-
Esqu~sse de la d~monstration (cf. [12]). Soit E un B-module pro-
jectif de type fini image d'un projecteur p ~Proj(Bn), Puisque A
est dense dans B il existe q' e Mn(A ) tel que IIi{q ') - P]I < ~ . En
outre Spec (q')= Spec(i(q')) est concentr~ autour de O et 1 car
Spec(p) c {O,i}. Le calcul fonctionnel holomorphe permet alors de
construire un projecteur q c Proj(A n) tel que i(q) soit voisin de p.
Ii s'en suit que pet i(q) sont conjugu~s. Donc l'homomorphisme
259
6.
i, : Ko(A ) ) Ko(B) est surjectif. Un raisonnement analogue
permet de d~montrer son injectivit~.
1.5. Remarque. Si Best commutative, la condition 2) du th6or~me
de densit~ est 6videmment 6quivalente ~ la condition
2') A* = B*n A
1.6. G~n@ralisations
a) Le th@or~me pr~c@dent s'applique aussi aux alg~bres de
Banach C sans 61~ment unit~ ~ condition d'interpr6ter GLn(C) comme
Ker [GLn(C ~ ) > GLn(~)]
b) Soit (Ar) une suite croissante d'alg~bres de Banach (l'in-
jection Ar>------->Ar+ 1 ~tant continue). Soit i r : Ar> > B une injec-
dans une alg~bre de Banach B telle que le tion continue de A r
diagramme
r+l B
commute. On suppose en outre que les deux propri~t@s suivantes
sont v@rifi@es :
i) GLn(B ) n Mn(Ar) = GLn(Ar)
2) u A est dense dans B r
Alors Ko(B ) ~ li_m Ko(Ar), La d~monstration de cette g6n~ralisation
est une simple transcription du th6or~me original.
1.7. Exemple. Soit Hun espace de Hilbert s~parable sur le cor~s
de base F = ~ ou (F~ On peut donc 6crire H = F @D ... O F (~) ....
(somme hilbertienne de ~ 0 exemplaires de F). Sous cette forme on
voit imm~diatement que Mr(F ) est une sous~alg~bre de l'alg~bre ~J
des op~rateurs compacts de H. En posant Ar= Mr(F ) et B =~, on
est dans les conditions d'application de la g~n~ralisation pr~c~-
dente. Donc KO(~<)~ l~m Ko(Mr(F))~ d'apT~s le th@or~me de Morita
ou par une application directe de la d@finition de K 0 donn@e en I.i
en termes de projecteurs.
260
7.
1.8. Exemple. Soit X une vari~t~ diff~rentiable compacte et soit
A (resp. B) l'alg~bre des fonctions diff~rentiables de classe C s
(resp. l'alg~bre des fonctions continues CF(X)). Alors l'injection
canonique A BB satisfait aux hypotheses du th~or~me de densitY.
Donc Ko(A)~ Ko(B ).
1.9. Exemple. Soit A une alg~bre de Banach complexe quelconque et
soitA <t, t-l> l'alg~bre de Banach des s@ries laurentiennes
a t n n e ~ n telles que ~Ila nll< + ~ • En posant t = exp(i~), on voit
-i que A < t, t k peut ~tre vue comme une sous-alg~bre de l'alg~bre
A (s I) des fonctions continues sur S 1 ~ valeurs dans A. Par
contre si nous consid~rons l'alg~bre A2(SI) des fonctions diff~ren-
tiables de classe C 2 sur S 1 ~ valeurs dans A , celle-ci peut 8tre
consid~r~e comme une sous-alg~bre deA<t, t'~ d'apr~s l'expression
d'un ~l~ment de A2(SI ) comme somme de sa s~rie de Fourier. Si on
consid~re le diagramme commutatif
A<t, t- 5 ~A(S 1 )
on v o i t que~ e t /~ s a t i s f o n t aux hypotheses du th~or~me de dens i tY. DOnc K o ( A < t , t - l > ) ,.~ K o ( A ( s 1 ) ) ~ K o ( ~ 2 ( S 1 ) ) .
i,i0. Exemple. Soit A l'alg~bre de convolution Ll(~n). La trans-
formation de Fourier permet de d@finir un homomorphisme continu
~: A > B
oO Best l'ag~bre des fonctions continues sur ~n qui tendent vers 0
l'infini. D'apr~s le th~or~me de Wiener, les hypotheses du th~o-
r~me de densit@ sont satisfaites. Donc Ko(LI(R~))~Ko(C ~ (~n)) ~,s ~
pour n pair et = 0 pour n impair.
i.ii. Exemple. Un raisonnement analogue s'applique ~ l'alg~bre de
convolution Ll(~n) ou LI(~ n × ~P ). On trouve alors la K-th~orie
topologique de l'espace localement compact T n × ~ p ~13].
1.12. Exemple. Soit A une alg~bre"flasque" dans le sens de [14].
Alors K0(A ) = O, Un exemple typique @a~bre flasque est l'alg~bre
261
8.
des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension infinie.
1.13. Exemple. Soit~l'alg~bre des op~rateurs continus dans un
espace de Hilbert de dimension infinie H et soit ~l'id6al des
op~rateurs compacts de H. Alors l'alg~bre quotient ~/~ (qui est
l'alg~bre de Calkin") a un groupe K 0 r@duit ~ 0 (cf. [6]) . On
notera cependant que l'alg~bre de Calkin n'est pas flasque.
II. LES GROUPES K i ET KTOrt n POUR i > 0 1
CommenGons p a r r a p p e l e r q u e l q u e s d @ f i n i t i o n s b i e n connues en
K - t h ~ o r i e t o p o l o g i q u e .
2 . 1 . D@finition. Soit A une alg¢bre de Banach, Alors, pour i > 0 ,
on pose
K~°P(A) = ~i_I(GL(A)) = lim ei_l(GLn(A))
2.2. Dans cette dSfinition, le groupe GLn(A ) est muni de sa topo-
Iogie naturelle et le groupe GL(A) = l~m GLn(A) est muni de la topo-
logie limite inductive [noter que tout compact de GL(A) est inclus
dans GLn(A ) pour n assez grand ; ce qui permet de d@montrer l'iso-
morphisme ~i_I(GL(A))~ lim ~i_I(GLn(A))],
Les deux th@or~mes suivants sont dSmontr@s en [14] et [13].
2.3. Th~or~me. Soit
0 ~ A' > A hA" > 0
une "suite exacte" d'alg~bres de Banach (A r ~tant muni de la topo-
logic induite et A" de la topologie quotient). On a alors la suite
exacte Ktop Ktop ..... toP(A, ) ,rtop i+l (A) ~ i+l (~) ~i ~i (A) ~K~°P(A '')
.top pour i ~0 (par convention on pose K 0 = KO)
2.4. Th~or~me. Soit A une alg~bre de Banach complexe (resp. r~elle).
Kt°P(A)) pour i > O. AZors K~°P(A)~ K~(A) [resp. K °P(A)~ i+8 1 ±~
262
9.
2.5. Exemples. Soit A = C~ (X). Alors K~°P(A)~)~ ~) H2i+I(x;~).
Si A = C~ (X), Kt°P(A)@~r ~ H4i~ (X'~,). Si X est un espace
topologique quelconque et si A = ~F(X), on a
K~°P(A)~I~m [X,GLn(F)]~Iim [X,O(n)] si F = m (resp. lim[X,U(n)]
si F = ~ ).
Le th~or~me de densit~ est aussi valable pour les groupes K~°~ 1
De mani~re precise, on ale th~or~me suivant :
2.6. Th@or¢me. Soient A e t B deux alg¢bres de Banach et
soit i : A ) B une injection continue satisfaisant aux hypotheses
du th6or~me de densit@ 1.4. Afore i induit un isomorphisme
Ktop K~ °p(A) ~ i (B)
pour tout i~ O.
2.7. E__xemples. Nous pouvons reproduire les exemples 1.7-13 adapt~s
aux groupes K~ °p. Ainsi 1
a) K~°P(~)~= pour i pair et K~°P('~4_) = O pour i impair si~est
1 l'alg~bre des op~rateurs compacts dans un espace de Hilbert
complexe. Darts le cas d'un espace de Hilbert r$el, les groupes
sont respectivement ~ ,Z/2,~/2,O~, O,O,O pour i~ O,1,2,3,4,5,6
et 7 mod. 8 ([13]).
b) Les groupes K t°p de l'alg~bre des fonctions diff~rentiables de i
classe C s sont isomorphes aux groupes K~ °p de l'alg~bre des i
fonctions continues (sur une vari~t~ compacte)o
.top (Ll(~nx ~P)) isomorphe au groupe K -I de c) On a ~i
l'espace localement compact T n × ~ p [13],
d) Si A est "topologiquement" flasque (cf. [14]), K~°P(A) = O. C'est
le cas par exemple de l'alg~bre ~ des endomorphismes d'un espace
de Hilbert de dimension infinie.
e) Si A est l'alg~bre de Calkin ~/~, le th~or~me 2.3. appliqu~
la suite exacte
o ~j¢ ) ~ ~ ~/y~ ~ o top to~
montre que K i (~/~t)~Ki_ ~(?() pour i > O.
263
iO.
2.8. Nous allons rappeler maintenant quelques d@finitions classiques
de la K-th~orie alg~brique (valables pour un anneau A unitaire
quelconque). Ces d~finitions sont dues ~ Bass (pour KI) ~ Milnor
(pour K2) et ~ Quillen (pour Ki, i >2).
Ainsi KI(A ) = GL(A)/GL'(A)
GL'(A) ~tant le sous-groupe des commutateurs de GL(A) = lim GLn(A ).
K 2(A) = H 2(GL'(A);2Z)
(deuxi~me groupe d'homologie du groupe discret GL'(A) ~ coefficients
dans ~) .
Ki(A ) = ~i(BGL(A) +)
pour i~l, BGL(A) + ~tant un certain espace obtenu ~ partir de
l'espace classifiant du groupe discret GL(A) (cf. [7][15][17][18]).
Si A est de nouveau une alg~bre de Banach, on peut d@finir un
homomorphisme Ki(A ) )K~°P(A) de la mani~re suivante. Si on d~signe
par GL(A) (resp. GL(A) t°p) le groupe GL(A) muni de la topologie
discrete (resp. de la topologie usuelle) l'application
BGL(A) > BGL(A) t°p
au niveau des espaces classifiants, induit un homomorphisme
Ki(A) ) K~°P(A)
qui joue un r@le fondamental dans cet article. Cet homomorphisme
est par d~finition l'identit~ pour i = O. Pour i = i, on a la propo-
sition suivante
2.9. Proposition. ~n a une suite exacte
A*O ~ ~ KI(A ) a ~ K~°P(A) 70
o~ A *O d~signe la composante neutre du groupe A* des ~l~ments in-
versibles de A. $i A est commutative, l'application A *0 ~K I (A)
est injective.
D~monstration. Ii est bien connu que GL'(A) est engendr~ par les
matrices ~l~mentaires. En d'autres termes, si on d~signe par En(A )
le sous-groupe de GLn(A ) engendr@ par les matrices @l@mentaires,
264
ii.
on a GL'(A) = u En(A). D'autre part, le seul point non @vident dans
la proposition est l'inclusion Ker ~ c ImS. Pour cela, il suffit de
d~montrer par r@currence surn que GL~(A) est engendr~ par En(A) et
A *0 = GL~(A) (GL~(A) ~tant la composante neutre de GLn(A) ). Puisque
GL~(A) est engendr~ par un voisinage arbitraire de l'identit~, on
est ramen~ ~ d6montrer qu'une matrice M de GL~(A) proche de l'iden-
tit~ est produit d'~l~ments de GL~_I(A ) _ et de En(A ). Or, si M est
une telle matrice, le coefficient de M situ~ sur la premiere ligne
et la premiere colonne est inversible. Une succession d 'operations
~l~mentaires permet alors de montrer trivialement que M est congrue
une matrice M' de GLn_I(A ) modulo En(A). Cette matrice ~tant proche
de l'identit@ elle appartient ~ GL~_l(A)[car_ c'est l'exponentielle d'une
matrice ].
2.10. Proposition [16]. Soit A une alg~bre de Banach commutative.
Alors l'homomorphisme
K2(A) ~ K~°P(A) = ~I (GL(A))
a comme image le sous-groupe ~I(SL(A)).
La d6monstration de cette proposition est de nature plus
d~licate que la pr~c~dente. Notons en particulier que l'homomor-
.top(~) ~ ~ est r@duit ~ O. Ceci est un cas phisme K2(~ ) '> ~2
particulier de la th@orie de Chern-Weil. En effet, les classes de
Chern d~un fibr@ plat @tant nulles, l'application
BGL(~) ) BGL(~) top
induit O en cohomologle rationnelle do~en homologie enti~re (car
H,(BGL(~) top) est libre) et en homotople (car l'homomorphisme de
Hurewicz ~i(BGL(~) top) ) Hi(BGL(~ ) top) est injectif).
Si A d~signe l'alg~bre des fonctions continues sur un espace
compact X ~ valeurs r@elles ou complexes, on connait tr~s mal en
g~n~ral l'homomorphisme
Kt°P(A) Ki(A) > i
ni m~me son image pour i > 2.
2.11. Les groupes Ki(A ) ont @t@ d~finis pour un anneau unitaire
quelconque. Dans le cas o~ A n'a pas n@cessairement un ~l~ment
265
12.
unit~ mais o3 A est une k-alg~bre (k anneau commutatif ave¢ ~l~ment
unit~), on peut d~finir Ki(A)k comme le noyau de l'homomorphisme
Ki(A ~) > K i ( k )
( c f . 1 . 2 . ) . I1 f a u t f a i r e a t t e n t i o n que , c o n t r a i r e m e n t au ¢as du
g roupe KO, Ki (A)k d~pend de k. Par e x e m p l e , s i A e s t une a l g ~ b r e
de Banach, on p e u t c h o i s i r k = ~ ou ~ (ou m~me ~ s i A e s t complexe)
A p r i o r i , l e s g r o u p e s Ki (A)k o b t e n u s p e u v e n t ~ t r e d i f f ~ r e n t s .
2 . 1 2 . S o i t
0 > A' > A >A" ~0
une s u i t e e x a c t e de k - a l g ~ b r e s o A l o r s d~apY~s M i l n o r , [ 1 6 ] , on a
une suite exacte
K I ( A ' ) > KI(A) ~ K1 (A") ~Ko(A' ) ~Ko(A) >Ko(A")
o~ les Ki(A ) = Ki(A)k sont d~finis plus haut, Malheureusement, on
ne sait d~finir une suite exacte en g@n6ral
K i ( A ' ) > Ki(A) > Ki(A") > Ki_ l (A ' ) > K i _ I ( A ) ~Ki_I (A") que pour i ~ I. (cf. [14] ou [2]et le ~ 3,2).
Dans le m~me ordre d'id~es, consid~rons un diagramme cart@sien
de k-alg~bres
A - > B
C > D
o@ on suppose ~ surjective par exemple, Alors on a une suite exacte
due essentiellement ~ Milnor [16],
Ki (A) ----~ Ki (B) Q Ki (C) ----~ Ki (D) >Ki_l (A) ~ Ki_l (B) Q Ki_l (C) ~Ki_l (D)
pour i~l (cf.3.2).
266
III. LES GROUPES K. ET KToPt POUR i~O 1 1
13.
3.1. Dans ce court paragraphe nous reproduisons des d~finitions
pos~es essentiellement en [11114]. Pour tout anneau A (~ventuel-
lement sans ~ibment unit@) consid@rons l'ensemble des matrices
infinies (aji), (i,j)~ ~ × ~ , ~ coefficients dans A. Une matrice
est diode type fini s'il existe un entier n tel que
i) Sur chaque ligne et chaque colonne il y a au plus n @l~ments
non nuls.
2) Les coefficients de la matrice sont choisis parmi n ~l~ments
de A.
L'ensemble des matrices de type fini forme @videmment un anneau
pour les lois usuelles d'addition et de multiplication des matrices,
Cet anneau est le c$ne CA de l'anneau A ; c'est un anneau
flasque canoniquement associ~ ~ A (d'autres d~finitions du cSne sont
possibles ; ceci n'alt~re pas la definition des groupes K i pour i < o
d'apr~s la caract~risation axiomatique d~velopp6e en [14].
Une matrice est dite finie si elle a un nombre fini de coef-
ficients non nuls. L'ensemble ~des matrices finies forme un ideal
dans CA qui est isomorphe ~ l~m M~(A). L'anneau quotient SA = CA/~ r
est la suspension de A. Pour i > O, on pose par definition
K i(A ) = K0(SiA), Une definition r@currente des K i aet@ propos~e
par Bass [2] et est equivalente ~ celle-ci (cf. [ii])
K_i(A ) = CokerEK i~I(AFt])QK i+l(A[t'l]) ~K i+l(AEt, t-l])].
La relation entre les deux definitions se fait grace ~ l'homomor-
phisme de A It,t -l ]dans SA d~fini par
antn n e~
, >
I O al a2 . . . . .
-1 ao al a2 ' ' ' ' " /
/
267
14.
Cette relation permet de montrer par exemple que K_i(A) = 0 pour
A noeth~rien r~gulier.
3.2. Rappelons la caract~risation axiomatique des groupes K_i:
i) Ko(A ) est le groupe de Grothendieck usuel
2) Pour toute suite exacte d'anneaux
0 > A' ~ A ~A" ~0
on a une suite exacte
K i(A') )K_i(A) ~ K_i(A") ~K i_I(A')----~K_i.I(A) ~ ....
pour i ~ O.
3) K_i(A) = 0 si A est flasque.
4) L'inclusion de A darts ~ induit un isomorphisme
K_i (A)~ K_ i (~)
L'axiome 4 peut ~ t re remplac~ par l ' a x i o m e (p lus f o r t )
s u i v a n t :
K .(lim Ar) ~ lim K i(Ar). -i ÷ + -
On remarquera d'autre part que l'axiome Z n'est pas vrai
pour les groupes K. avec i >0. C'est une des raisons de la diffi-
cult@ de la K~th@orie alg@brique.
3.3. Supposons maintenant que A soit une alg~bre de Banach. Pour
toute matrice (a~i) e CA, on pose
]]MIII = Sup /, llajill , IIMll2 [ItNll Iet ]INII = Sup ( IINIII , IINll2) i j
Alors la compl@tion CA de CA pour la norme MI ~ llMllest une alg~bre
de Banach topologiquement flasque canoniquement associ~e g A.
L'adh~rence ~ de ~ darts CA est un ideal ferm@ dans CA et l'alg~bre
quotient SA = CAI~ est la suspension topologique de A. Comme dans
le cas alg@brique on peut alors d~finir les groupes K t°p par la
formule
Kt?P(A) = Ko(gia )
268
IS.
Ktop Une d~finition r~currente des groupes -i est aussi possible. On
a
Kt~P(A)~Coker [Kt~I(A) )Kt~I(A < t t-i>)]
La relation entre les anneaux A ~ t,t'l> et SA est donn0e par l'ex-
tension aux compl@tions de l'homomorphisme A[t,t "I] ~SA expli-
cit~ en 3.1.(cf. [ii]).
3.4.THEOREME. Soit A une al~bre de Banach r~elle (resp. co~lexe).
On a alors un isom~r~h~zm~ naturel
Kt~P(A) ~ Kt~P8(A ) (resp. Kt~P(A) ~,~. Kt~P2(A))
Ce th~or~me est d@montr~ en [14] . Ii r~sulte essentiellement
de la caract~rization axiomatique des foncteurs Kt? p d~velopp~e -i
en [14]. Dans le cas oN A est une alg~bre de Banach complexe, une
d~monstration plus conceptuelle est possible bas~e sur le fait que
les anneaux A < t, t "I > et A(S I) ont la m@me K-th~orie (cf.l.9
et [ii]).
3.5. Comme dans le cas des groupes K iet Kt°PI' pour i>O, on peut
essayer de comparer les groupes K_i(A ) et K~P(A) par l'homomor- rtop phisme K_i(A ) > ~-i (A) induit par l'homomorphisme SiA >SiA.
Le r~sultat suivant nous sera utile dans le paragraphe 5.
3.6. THE OREME. Solt A une C*-~Z~@bre ~omplex~ Alors
est surjectif.
Ce th~or~me est essentiellement d0montr~ en [i0] bien qu'il
ne soit pas pr@sent0 sous cette forme, Nous allons en donner une
d~monstration ind@pendante.
Pour toute alg~bre de Banach, on a des isomorphismes h,
ktop ~0 't-I (A) ~ • CA < t ~----~ LxjCSA) 1
289
16.
o~ h, est induit par l'homomorphisme A< t,t -I > ~SA. On pose
~o(A<t,t-l>) = Coker [Ko(A ) )Ko(A <t,t-l>)]. En particulier,
si A = ~ <u,u-l> , on a des isomorphismes
K~°P(~ <u,u-l>)~ ~0(~ <U,u-l> <t,t-l>) ~ , K0(g~ <u,u-l>).
Supposonsmaintenantque A soitune C~alg~bre. Alors tout @16ment
de ~op (A) peut @tre repr@sent@ par une matrice aeGLr(A ) telle que llall = 1
(consid@rer la d@composition polaire de ~). Par cons@quent, si
n ~ n anU es t une s@rie formel le t e l l e que ~llanll < +~,l'@l@ment
an ~n e s t b ien d@fini dans Mr(A ) . I1 e x i s t e donc un homo- morphisme
y : ~ <u,u-l> j Mr(A)
tel que y(u) = ~. On ale diagramme commutatif
ktop(~ < u,u-l>) 1
1 Ktop 1" (Mr(A))
Ktop 1 (A) ~ Ko(A<t,t-l> )
qui est ainsi associ@ ~ ~. L'@l@ment de
o. ~ 0 ( ~ <u,u-l> <t,t-l>) r. Ko(~l: < u,u-l> )
I ; Ko(Mr (A) < t , t - l > ) )Ko(gMr (A))
KO (SA)
~0(~ <t,t'l><u,u-l>)~K%(~ <t,u,t'l,u-l>)
associ@ ~ u par a, ne peut 8tre (au signe pros) que celui d@fini
par le g@n@rateur topologique de ~O((F~T2)) d'apr~s le th@or~me de
densit@ (T 2 @tant le tore de dimension 2) c'est-~-dire l'image du
projecteur (J*l)/2 o~ Jest l'involution dans A 2 avec
A = ~ <t,u,t'l,u'l> d@finie par la matrice (cf, [12])
Ix z x * iyl
- i Z -z
270
17. avec
off cos~
sine
2x = i + cos0 + (I - cosO)cos~
2y = (i - cosO)sinO
z = sin01sin ~/21
= (t + t-l)/2 cos@ = (u + u-l)/2
= (t - t-l)/2i sin@ = (u - u-l)2i
Puisque la transposition t4__>u ne change pas (au signe pros) ce
g~n~rateur, on peut 6crire les m@mes formules en intervertissant
les rSles de t et u. Iien r~sulte que l'~l~ment de Ko(SA)~Ko(SMr(A))
a s s o c i 6 ~ a e s t au s i g n e p r o s r e p r 6 s e n t ~ p a r un po l~n~me l a u r e n t i e n
en t . Doric c e t 6 1 6 m e n t a p p a r t i e n t en f a i r a l ' i m a g e de l ' h o m o m o r -
p h i s m e compos~ K o ( A [ t , t - 1 ] ) ) K o ( S A ) - - - - - - ~ K o ( g A ) . A i n s i t o u t 6 1 6 m e n t .top
de Ko(SA)~ ~i (A) appartient ~ l'image de l'homomorphisme
Ko(SA) >Ko(SA). Ceci ach~ve la d~monstration du th@or~me 3.6.
3 . 7 . I1 e s t f a u x en g ~ n ~ r a l que l ' h o m o m o r p h i s m e K2(A) - ; K t 2 P ( A )
s o i t s u r j e c t i f . P a r e x e m p l e K_2(a2 ) = 0 t a n d i s que Kt~P(a2 ) ~ 7z .
A t i t r e d ' e x e r c i c e on p o u r r a v @ r i f i e r c e p e n d a n t que l ' h o m o m o r p h i s m e
>K_~OP(A)- e s t s u r j e c t i f p o u r A = C ' ( X x R~ i - l ) , K_ i (A) a l g ~ b r e i - 1 uo
d e s f o n c t i o n s c o n t i n u e s s u r X × Rt ~ v a l e u r s d a n s a2
qui tendent vers 0 g l'infini.
IV. STRUCTURES MULTIPLICATIVES
4.1. Soient A, Bet C trois anneaux unitaires. On appelle "bimorphisme'
de A × B vers C une application ~ - bilin~aire
¢ : A x B > C
t e l l e que ¢ ( a a ' , b b ' ) = ¢ ( a , b ) ~ ( a ' , b ' ) e t t e l l e que ¢ ( 1 , 1 ) = 1 . I1
r e v i e n t au m@me de d i r e que ~ t n d u i t un h o m o m o r p h i s m e d ' a n n e a u x
A ® B ~C .
271
18,
Un bimorphlsme Indult une application bilin@aire
¢,: Ko(A ) x Ko(B ) ~ Ko(C )
de la mani~re suivante. Si MEObff(A) et N~Ob ~(B), M ~N est
un A ~)B-module. Par extension des scalaires R = (M~N) ZZ ® C ZZ ~ A~B
est un C-module projectif de type fini. Une facon plus "concrete"
de d~crire le module Rest la suivante. Si M = Imp avec p : A n ~A n
et si N = Im q avec q : B m >B m o~ pet q sont deux projecteurs,
alors R = Im p~q o~ p~q est le projecteur d~fini par la matrice
O(p~, q ) . La cor respendance (M,N): .~R i n d u i t b i e n sQr 1 ' a p p l i -
c a t i o n b i l i n ~ a i r e cherch~e Ko(A ) x Ko(B)-----~ Ko(C ) , Cet homoraorphisme
j o u i t de p r o p r i ~ t ~ s d ' a s s o c i a t i v i t ~ ~v iden te s que nous n ' e x p l i c i t e r o n s
pas .
4.2. Exemple : Si A : B = C est un anneau commutatif et si ~ est le
bimorphisme d~fini par le produit, ~,munit Ko(A ) d~une structure
d'anneau commutatif.
4.3. Exemple. Si k est un anneau commutatif et si A est une
k-alg~bre, le bimorphisme @vident k x A ~A permet de munir le
groupe Ko(A ) d'une structure de Ko(~-alg~bre.
4.4. Supposons maintenant que A,B et C soient trois k-alg~bres
(k-anneau commutatif ~ @l@ment unit~) n'ayant pas n@cessairement
d'61~ment unit~. On appelle bimorphisme
~ : Ax B mC
une application k-bilin@aire telle que ~(aa',bb') = ~(a,b)~(a',b'). +
Si D d~signe le produit fibr@ de A k et de B k au dessus de k
~,k +
B k
on a la suite exacte
O ~ A~B
qui induit la suite exacte
+ +
Ak~B k _ ) D --------~0
272
o ,K o(A@B) + + :b KO (Ak® Bk)---> Ko(D ) ---> 0
(car + + Ki(Ak~)Bk)____~i(D) est ~pi pour i = O,I).
On en d6duit une application bilin~aire
Ko(A ) x .Ko(B)~ Ker [Ko(Ak)---->Ko(k)] × Ker [~(~)
> Ker [Ko(Ak~) >Ko(D)]~Ko(A~)B ).
Le bimorphisme ~ induisant un homomorphisme A~9 B~
bien une application bilin~aire
Ko(A ) x Ko(B ) > Ko(C )
qJijouit de bonnes propri~t~s formelles.
19.
%(k) ]
C, on en d~duit
4.5. Le "cup-produit"pr~c~dent permet de d~finir un cup-produit
Ki(A ) x Kj(B) > Ki+ j(C)
pour i et j _<O. Ce cup-produit est induit par exemple par le bimor-
phisme
s-i(A) × S -j(B) >S -i-j(C)
4.6. Si les anneaux A, Bet C sont unitaires et si ~ est un bimor i
phisme tel que ~(i,i) = i, Loday a d~fini dans [15] un cup-produit
Ki(A ) x Kj(B) ~ Ki+j(C )
pour i et j >O, ~ partir essentiellement du produit tensoriel des
matrices :
GLn(A) × GLp(B) ) GLnp(A~)B ) ~GLnp(C).
Ce cu!o-produit jouit aussi de bonnes propri@t@s formelles, Dans le
cas non unitaire, les theses ne sont pas si simples car rien ne
permet d'affirmer que
~A*~B ~. El÷ ~ (A~B]~ Ker ~Ki÷ j [ k(29 kj-.------~ KI÷ j (D) ]
On ne sait pas en g~n~ral si le dlagramme
BGL ((A ~)B) k )+ > BGL (Ak ebb) +
[ BGL (k) ÷ > BGL(D) ÷
e s t c a r t ~ s i e n ~ h o m o t o p i e p r o s ( n o t e r l e s deux s i g n i f i c a t i o n s d i f f ~ - r e n t e s du s i g n e ÷ ) .
273
Cependant, si i > O et j < 0 avec i + j ~0, on peut
d~finir un accouplement
Ki(A ) x Kj(B) > Ki+ j(C)
car l e diagramme
+
Ki+ j (A•B) k
Ki+ j (k)
Ki+j (A~)B k )
) Ki+ j (D)
e s t cart~sien.
20.
Conclusion. Si ~ : A x B >C est un bimorphisme, on sait d@finir
un cup-produit
Ki(A ) x Kj(B) > Ki+ j(C)
pour toutes valeurs de i et j ~Z (cf. Ill] pour les cas compl~men-
taires) si A,B et C sont unitaires et sl ~(i,i) = i. Dans le cas
g~n~ral off A,B et C sont des k-alg~bres non n~cessairement unitaires,
on ne sait le faire que si i + j ~0. Ce cup-produit jouit de bonnes
propri~t~s formelles (cf. [15]).
4.7. Dans le cas des alg~bres de Banach [suppos@es complexes pour
fixer les id@es ),nous ne consid~rerons que des bimorphismes de ~ -
alg~bres
: A × B ~C
t e l s que [ t ~ ( a , b ) ] [ ~ lla [[ [[b ]] . S i en o u t r e A,B e t C s o n t u n i t a i r e s
e t s i ~ ( 1 , 1 ) = 1, l e s m~mes m@thodes que c e l l e s a p p l i q u @ e s d a n s l e
c a s a l g ~ b r i q u e p e r m e t t e n t de d ~ f i n i r un c u p - p r o d u i t
K t ° p ~ ° P ( B ) ~ ° P ( c ) i .(A) × ~ 1+ 3
On pourra raisonner en effet avec l'espace classifiant des groupes
lin~aires munis de leur topologie usuelle ainsi qu'avec les suspen-
sions topologiques au lleu des suspensions alg~briques. En outre le
diagramme naturel
274
21
Ki(A) i Kj(B) ) Ki]j(C )
K~°P(A)I x K~°P(B) >K~°P(c)I+3
est commutatif.
Si A, B ou C n'a pas d'61~ment unitQ (ou si ¢(i,i) ~ 1 dans
lecas off A,B et C ont des ~l~ments unit~s) on pourra raisonner
comme dans le cadre alg~brique en choisissant k = Cet en consid~rant
des produits tensoriels topologiques. Cependant, comme le th~or~me
d'excision est vrai en K-th@orie tepologique [14][13], on pourra
d6finir le cup-produit
to
sans aueune restriction sur le couple (i,j),
V. PERIODICITE DES GROUPES Kn(Y~ ) ET DES GROUPES K n
DES ALGEBRES TOPOLOGIQUEHENT STABLES.
S.l. Soit ~ l'id@al des op~rateurs compacts dans un espace de
Hilbert complexe s~parable de dimension infinie H. Si on regarde'~a~.
comme une ~-alg~bre, on peut d~finir
Kn(~) = Ker (Kn(~+) ~Kn(C))
off ~ + est l'alg~bre j%~ laquelle on ajoute un @l~ment unit@. Un
des buts de ce paragraphe est la d@monstration du th@or~me suivant :
5.2. THE OREME. Pour n pair l'homomorphisme naturel
¢ : Kn(~(~) > K~°P(~}(~) n
est surjectif. En outre, pour n ~0, Kn(~) = 0 pour n impair et
~n est un ~8omorphisme pour n pair,
La d~monstration de ce th~or~me va nous occuper un certain
temps et nous allons avoir besoin de quelques propositions auxi-
liaires.
275
22.
5.3. PROPOSITION . L'homomorphisme
K_2(~) est surjectif.
) K_~2P (J~) ~, 2~
D$monstration. Soit~l'alg@bre des op~rateurs born~s de H et
soit ~/~ l'alg~bre quotient (l'alg@bre de Calkin). Puisque ~ est
une alg~bre topologiquement flasque [14], on a Ki(~) = K~°P(~) = O.
En outre, on ales suites exactes
O = K_I(~ ) ~K_I(~/~ ) >K_2(~ ) #K_2(~) = O
O = I~_i" top.~B) ~Kt~P(~/~)_ ~'-2" top (3{) ,Kt~P(~B_ ) = 0
Puisque ~/J~est une C!alg~bre, l'homomorphisme K_I (~/~) >Kt~P(~/O~_
est surjectif d~apr~s 3.6, Iien est donc de mame de l'homomorphisme
5.4. Nous nous proposons de d~montrer un r~sukat analogue pour le
groupe K 2. Ii est commode pour cela d'introduire pour tout anneau
unitaire Ale groupe Ki(A;~/n ) [1][3] pour i k2 qui est le
groupe ~i-i de la fibre homotopique de
BGL(A)+ .n ~ BGL(A)+
oO la fl~che est la multiplication par n dans le H-espace BGL(A) +.
Ainsi on a en particulier la suite exacte
.n .n Ki(A) ~ Ki(A) ) Ki(A;Z/n) ,Ki_l(A) ~ Ki_I(A)
De m~me, si A est une alg~bre de Banach on peut d~finir
Kt°P(A;Z/n)i = Vi~l ( top) oO ~top est la fibre homotopique de
BGL(A) top ,n > BGL(A)tO p
5.5. PROPOSITION . L'homomorphisme naturel
K 2 (C ; Z/n) ~ K~ °p (~ ; Z/n)
est un isomorphisme.
276
D~monstration. La s u i t e e x a c t e aP* C*
. n . n K2 (¢) ) K2 (¢) > ~Z (¢ ;~/n) ~x~ (¢) "~l (02)
o~ K2((E ) e s t d i v i s i b l e [16] m o n t r e que K2(02 ;TZ/n)~ Z / n . De m6me
23.
la suite exacte
, ,
!I IT Ir fl T, Z 0 0
montre que K~OP(c;Z/n ) t ~Z/n. Pour d~montrer l'isomorphisme on
consid~re le diagramme
BC* ~ BC* t°P
,, / 1 BGL (G) ~ ~ BGL(G) t°
.n[ BC* .nl , ~ B e * t o p
/ / ~ / /
- j BGL (112) ) BGL ((IZ t o p
Les f l ~ c h e s o b l i q u e s s o n t d ~ f i n i e s p a r l e d ~ t e r m i n a n t . Les f l ~ c h e s
.n s o n t i n d u i t e s p a r l a c o m p o s i t i o n
6L(a2 ) ~ GL(02) × . . . . . 6L(aP) ~+ GL(02) n *
ou z ~ z p o u r 02 . En a p p l i q u a n t i a c o n s t r u c t i o n + ~ ce d i a g r a m m e
on o b t i e n t e n c o r e un d i a g r a m m e c o m m u t a t i f IX + ~ t a n t d ~ f i n i comme +
X kJ BGL(TZ) comme £ans [18]]. £n consid~rant les fibres homo- BGL (PZ)
t o p i q u e s d e s f l ~ c h e s v e r t i c a l e s , on o b t i e n t donc l e d i a g r a m m e com-
m u r a t i f t o p
t o p ~ .. ~_~r n
o / i ~ n t o p <..~ top~ "~n " B(/7 / n ) . P u i s q u e 7 r l ( ~ n ) ~ l , . ~ n '~i((~ "n~" l@~nt°~)la proposition est d~montr~e.
277
24.
5.6. PROPOSITION. Soit Hun espace de Hilbert's6parable dcrit
sous la forme ~ ~)H'. Alors l'inclusion naturelle de ~ dans
l'ensemble ~ des op6rateurs compacts sur H induit un homomorphisme
e : ~*~ KI(C ) ,, KI(~)
qui est rdduit ~ O.
D6monstration. Cette proposition fait penser au th~or~me de Brown
et Schochet KI(~ ) = O avec malheureusement une autre d~finition
du groupe KI(~ ). Voici une d~monstration @l~mentaire de la pro-
position.
Soit a~C* = KI(~). Ecrivons a = Log~ pour un certain 6
et d~finissons J= erL°gBpour r~ ~*. Alors la matrice diagonale
infinie
d = Diag (a,a-l,al/2,~/2,a-i/4,a-i/4,al/4,a -I/4 ..... )
d~finit un @l~ment de KI(~+) qui peut s'interpr~ter de deux
mani@res diff~rentes. Le groupement
( -i, 1/2, i/~, ~I/4, ~i/4 ~i/4,~i/4, ..... ~i/8,.....)
montre que la classe de d dans KI(~ +) est @gale ~ la classe de
e(a ) = (a,l,l,....). Par contre le groupement
-I (e,a , ~ / 2 , ~ / 2 - 1 / 4 / ~ 1 / 4 , -1 /4 , ~1/4 , , . . . . . )
montre que la classe de d dans KI(~ +) est r~duite ~ O. Notons
que l'@nonc~ de Brown et Schochet est ~quivalent au r~sultat
suivant, oh G d@signe le groupe des op@rateurs inversibles sur un
espace de Hilbert qui sont congrus ~ l'identit@ modulo les compacts :
tout ~16ment de G peut s'6crire comme un produit fini de commutateurs
(ABAB'l)llavec A lin~aire born~ inversible et BEG. Ce r~sultat a
~t~ pr@cis~, ind~pendamment par Brown et Schochet (remarque 3 de
[4]) et par de la Harpe (non publi@) : le groupe G est parfait .
5.7. Remarque. Dans cette d@monstration nous avons implicitement
utilis6 le lemme suivant : consid~rons une matrice 2 x2 ~ coef-
ficients complexes
y=(~ O ) 0 ~-i
278
25
Alors si J6-11< E < 1/2, y peut s'6crire comme le produit de
4 matrices ~16mentaires y = YiY2Y3Y4 avec llYi -I jj< 3 ~. En effet
si o est une racine carrie de 6-1, y peut s'~crire
-i
0 i ~ i 0 1 -6o i
5.8. PROPOSITION. L'homomorphisme
K2(~) K~oP( ~ ) =
est surjectif.
D~monstration.
I( 2 (%)
rl ~ K ~ ° P ( % )
~topc~ X ~ 2 "- )
Consid~rons le diagramme
(L ~ g2* Tt Tt
K2 (C ;2~/n) ~ > K1 (¢2) .n
S V
,L l i q vtopr . top ~ K~oP(
~'2 ~ J%; ~/n) ~ ~I (%) 96
~ K~°P (~7 ; Z/n)
Soit Hle sous~groupe de K~°P( ~ ) image de l'homomorphisme
K2(~) ~ K~°P(~) ~ ~. Alors H~n~ pour un certain n. Si
n ~ O, 1 et -i nous allons trouver une contradiction. En effet, soit
xe K2(~ ;X/n)~ ~/n un g@n@rateur. Alors u(x) ~ O car son image dans K~oP(3% top ; ~/n)~K 2 (~;2ffn) est non nulle (5.5). D'autre part,
(vu)(x) = (@~)(x) = O car @ = O (5.6). D~nc il existe y E K2(%)
tel que s(y) = u(x) avec (qr)(y) ~ O. Ainsi r(y)~ r~ d'o~ la contra-
diction. Enfin sin = O, le diagramme pr~c@dent @crit avec un autre
entier n' conduit aussi ~ une contradiction.
La proposition pr@c@dente se g@n@ralise :
279
26.
5.9. THEOREME. L'homomorphisme
K2i(~)
est 8urjectif.
top ,K2i ( 3£)Z Z~
D@monstration . Nous allons d~montrer ce th~or~me par r~currence
sur i en nous inspirant de la d~monstration de la proposition pr~-
c~dente et des structures multiplicatives en K-th6orie mod. n d~ve-
lopp~es par Araki et Toda [l](cf. aussi [3]). Supposons done que
l'homomorphisme ri_ I. K2i.2 (~). .top • AE2i_2L36)~TZ soit surjectif et
soit ~ ~i-i un @l@ment de K2i_2(J%) tel que ri_l(~i_l) = i. Le bi-
morphisme @vident
permet de d@finir un cup-produit
Kzi_2(J%) x K2(C;TZ/n ) > K2i(~;Z/n)
D'autre part, on a aussi un diagramme commutatif analogue au dia-
gramme pr@c~dent en remplaGant 2 par 2i et 1 par 2i~i.
Supposons maintenant que l~image de r = r soit de la forme N~ et
soit y l'@l~ment ~i_iVC~l o~ ~ est un g~n~rateur de K2(~;~/n)(on i
raisonne de nouveau par l~absurde en supposant n ~ O, 1 et -i). Alors
v(~i_iV~l) = ~i_i~3(~) =O.Donc y = s(~) et l'image de ~ dans
top K2i (~)~Z n'appartient pas~n~. Par un raisonnement analogue n ne
peut pas @tre r6duit ~ O.
Consid~rons maintenant une C*-alg~bre unitaire A. Alors ~ ~ A
est un A-bimodule et l'alg~bre augment~e associ@e peut ~tre identifi~e
~ ~+~A. On posera Ki(36~ A) = Ker [Ki(36+~ A) ~ Ki(A)].
5.10. THEOREME. L'homomorphisme
top K2i(3%~A) > K2i (36 ® A)~ K2°P(A)
est surjectif et le noyau est un facteur direct.
D~monstration. Si on pose Bn= Mn(~ ) ® A et B =3£~ A , on volt que
les hypotheses du th~or~me de densit~ sont satlsfaites pour le
280
27.
syst~me inductif des B n, On a donc bien
K t°p "t°P(Bn)~2i ta~A) 2i (A)~l~im ~2i
D'autre part, d'apr~s les th~or~mes de p@riodicit@ de Bott, le cup-
produit par un g~n@rateur de K~P(c) d@finit un isomorphisme de Ko(A)
sur K~P(A). Enfin on ale diagramme commutatif
Ko(A) K2i(~) ) K 2 i ( ~ % A)
Ktop Ko(A) × 2i (36).
Ktop K O(A) x 2i (~Z)
:, K~oP(J¢ "$ A)
> Kt°P (A) I~
v t o P r Puisque l'homomorphisme K2i(~ ) ~ ~2i ~)~Z est surjectif, le
^ A) cup-produit par un ant@c~dent de 1 d~finit un sous-groupe de K2i(~®
isomorphe ~ Ko(A ).
5.11. Les th~or~mes pr@c@dents @crits avec l'alg~bre~ou J~ + peuvent
s'interpr~ter en termes de l'alg~bre unitaire ~/~ . En effet, on a
le diagramme cart~sien d'alg~bres
+
J% $ A ~ A
A > ~/3~ SA
En appliquant le foncteur BGL + ~ ce diagramme on trouve un diagramme
commutatif
BGL(3~+'~ A) + , BGL(~B ~ A) +
l . / % +
BGL (A) * > BGL (~B/j6@ A)
281
28.
Des consid@rations topologiques@l~mentaires permettent d'en
d~duire une application continue entre les fibres homotopiques
F (f) et r(g) des fl~ches verticales f et g. Puisque~est topolo-
giquement flasque,~ ~A est flasque et BGL(~ ~ A) + est contractile.
Par consequent F(g) ale type d'homotopie de ID-BGL(~/~A) +. Donc
on en d~duit finalement un homomorphisme Ki(~ A) ~ Ki~/~ A).
Par le mSme raisonnement on d~finit un homomorphisme Ktop Ktop ^ K~°P(A)~ (96~ A) > i+l(~/~t®A) tel que le diagramme suivant
i i commute
Ki('~{ gA) , Ki+I(~/~%~A)
wtoPr ~ ~j< SA) K~°P(A) ~ K~°P(~®A) , " i+ l ' - ~-
5.11. THEOREME . Soit A une C*-alg@bre unitaire. Alors l'homomorphisme
K2i÷l(~/~ ~ A) ~2i+l't°P (~<~)~KtoP2i (A)
est surjectif pour i = 0,I,... et le noyau est un facteur direct.
D$monstration. Pour i = 1,2,...le th~or~me est une consequence de
ce qui precede et du th@or~me 5.10. Pour i = 0 il r@sulte des suites
exactes 2.3. et 2.12.
5.12, THEOREME. Soit A une C*-alg@bre un~taireo Alors les homomor-
phismes
e t
K i ( ~ A)
Ki(~/e~A)
., K~ °p(~ ~ A)~K. t°pl (A)
to ~ K t°p (A) K i P(21/~®A)~ i-i
sont surjectifs pour i = -1,O,1,2, ....
D~monstration. Pour i pair (dans le premier cas) et i impair > 0
(dans le second cas) le th@or~me a @t@ d@montr@ en 5.10 et 5.11.
D'autre part nous avons d@montr@ en 3.6, la surjectivit@ de l'homo-
morphisme K I(A ) ~ Kt~P(_ A) pour toute C*-alg~bre A .
L'argument de cup-produit d@velopp~ en 5.10 permet d'en d@duire la Ktop surjectivit~ de l'homomorphisme Ki(~ A) ~ i (~ ~ A) pour
i impair.
282
29.
Enfin l'argument utilis6 en 5.11 peut encore se r6p6ter ici pour ^ to
d6montrer la sujectivit6 de l'homomorphisme Ki(~/~®A)---->K i P(~L~A)
pour i pair.
5.13. Exemples. Soit X un espace compact et A = C(X). Alors~ A
(resp.~/~@ A) s'identifie a l'alg~bre des fonctions continues sur X
valeurs dans~(resp. ~/-~). Dans ce cas on a donc un homomorphisme
surjectif des groupes K i de ~ A ou ~DA sur les groupes K-i(x)
de la K-th@orie topologique de X [13].
5.14. A partir de maintenant nous allons essayer d'@tendre les
r6sultats pr~c4dents aux groupes K i pour les valeurs n6gatives de i.
En fait nous obtiendrons des r~sultats plus pr6cis (cf. 5.15 et 5.18).
Le produit tensoriel des op@rateurs compacts d6finit une ap-
plication G-bilin~aire
: %4 (H) × ~ (H) ; LK (H~H)
et on a 6videmment (~B)(a'~ 6') = a~'(g~BB'. D'apr~s les consid6-
rations g6n6rales d6velopp~es dans le paragraphe 4, on en d6duit un
cup-produit
Ki(~-_ (H)) x K j ( ~ ( H ) ) ~ Ki+ j ( ~ ( H ~ H ) )
pour i + j 4 0 . S i on pose H = C ~ H ' , l e diagramme commuta t i f
1 1 ,~t.(n) x ~ ( H ) -~,~(H@H)
peut s'interpr~ter de la mani~re suivante : on ~crit ~L A
H~H ~H ~ (C~H')~(H~G)~(H~H')~H~H ; on en d6duit le
diagramme
~(H) ¢ ~ ( n )
~ ( H ) × ~ ( H ) ) ~ ( H @ H ) ~ ~ (H~H),~M2(~<(H))
o~ o est l'homomorphisme de A dans ~2(A) d6fini par
283
30.
a <: oO) avec A = ~ ( H ) . D ' a p r ~ s l e th@or~me de M o r i t a ( c f . § 1 ) , ~ i n d u i t
un i somorph i sme K i ( ~ i _ ( H ) ~ K i ( ~ ( H ~ H ) ) . En p a r t i c u l i e r , s i on d 6 s i g n e
p a r z l e c u p - p r o d u i t
Ki('JK(H)) x KO('~K(H)) ~ K i ( ~ ( H ~ H ) )
l ' homomorph i sme x b ~ T (x, ¢) e s t un i somorph i sme s i e e s t un
g6n6rateur de KO(=~L(H))~.
5.15 THEOREME. Soit n~O. AZors %('d'().."~ pour n pair et Kn("~) = 0 pour n impair.
D4monstrat ion . Soit u2(res p. u_2 ) un ~16ment de K2(~4)(resp, de K_2(~)) dont
l ' image dans K~oP('~)(resp. Kt~P(~xt))_ es t un g~n~rateur. Alors
u2Uu_2 ¢K O (~t@~) -~Koe2~L)~ est un g6n6rateur de ~.
D6finissons alors :
B : Kn(¢}( (H))--
pour n ~ - 2 et
8' : K n(~(H))
.~ Kn+2 ('~L(H~H)) ~ Kn+2 ('3<~H))
, K_ 2 (':K(H ~H) ) "~ Kn_2 (¢5((H))
pour n__<2 par B(x) = xuu2et 8 ~ (y) = y u u_ 2 Puisque le diagramme d6fini par des
bimorphismes successifs
(~(H) x~(H)) x ~ ( H ) > ~L(H) × ~3< (H)
G4 (H) x "~K (H) ~, ~3{(H)
e s t c o m m u t a t i f ~ i somorph i sme p r o s , on a, h u n au tomorph i sme des g roupes
K i pros, (8'B)(x) = x et (~')(y) = y d~s que ~ et B' sont d~fi~is. On en d~duit donc
que Kn~4~ ) ~ Kn_2(~ ) pour n_<O. Par cons@quent Kn(~4)~ 7z pour n pa i r . Pour n impair, on a Kn(ffK)~K_IGK)
qui se ca lcule par la su i t e exacte
0 = KO(~) _-___.Ko(~?~) ~K_I(" Z) ~ K_I( ~ ) = 0
284
31.
associ@e ~ la suite exacte d'anneaux
0 ~ ~k * ~ • g/~t ~ 0
Puisque KO(~/=~ ) = 0 d'apr~s le th~or~me de Calkin (cf. [6] par
exemple), on a K_l(~t ) = 0 done Kn(~{ ) = 0 pour n impair.
5.16. La p~riodicit~ des groupes Kn('~{ ) pour n~O se g~n~ralise
une classe g@n~rale de ~-alg~bres que nous allons maintenant d~finir.
Soit A une C-alg~bre. Nous dirons que A est 8table si elle est
munie d'un isomorphisme d'anneaux A ~ > M2(A ). Nbus dirons que A
est topolo~iquement stable si elle est stable et si on a d~fini un
bimorphisme
~J~x A . ~ A
t e l q u e
i) Le diagramme
( ~ ×~L) × A~<×(~(× A) • ~< A
D%×A
commute ~ isomorphisme pr~s.
2) Le diagramme
A
> A
~t×A
; A
\ > A~M2 (A)
commute aussi ~ isomorphisme pros, £ ~tant d~fini par
285
32.
5.17. Exemples.
a) Si Best une ~-alg~bre quelconque,~B est topologiquement
stable.
b) Si Best une C*-alg~bre, le produit tensoriel compl6t6 %K~B
est aussi topologiquement stable.
c) L'alg~bre~est topologiquement stable.
d) Consid@rons une suite exacte
O > A' e ~ A >A" ~ O
telle que A' et A soient topologiquement stables, e ~tant
compatible avec les diff~rents morphismes et bimorphismes
de la d@finitlon 5.16. Alors A" est topologiquement stable.
Par exemple ~/~4 est topologiquement stable.
e) Si A est topologiquement stable et si Best une ~-alg~bre
quelconque A~DB est topologiquement stable. Si en outre
A et B sont des C*-alg~bres et si le bimorphisme
"~i. x A ~A est continu ainsi que les diff~rents isomor-
pblsmes de la d~finition 5,16, A~ Best aussi topologi-
quement stable. Par exemple ~/~i~B est topologiquement stable
pour toute C*-alg~bre B.
5.18o THEOREME. Soit A une alg@bre topoloffiquement stable. Alors
Kn(A) ~ Kn~2(A)
pour n <0.
D~monstration. II sufflt de suivre le schema de la d~monstration du
th@or~me 5.15. Le bimorphisme ~ x A ~ A permet de d@flnir un
cup-prodult
Ki(~o<) × Kj (A) ~,Kt+ j (A)
pour i ÷ j __<0 qui est "associatif" ~ isomorphisme pros. En outre
d'apr~s l'axiome 2 des alg~bres topologiquement stables et le th6or~me
de Morita, le cup~produit
K 0(~) x Kj(A) >Kj(A)
286
33.
5.20. COROLLAIRE. Soit
0 ~ A' ~ A > A"~ - 0
une suite exacte de C-alg~bres topologiquement stables. On a alors
la suite exacte~ six termes
Ko(A') ~ Ko(A) ~ Ko(A")
1 1 K_I(A~ x K_I(A) ,( K_I(A' )
(les groupes K 0 et K_I ~tant d@finis de mani~re purement alg@brique
dans les paragraphes iet 3 respectivement).
est simplement (n,k)~ ~ nk, Puisque u2Vu 2 = i, le th~or~me
en r@sulte.
5.19. COROLLAIRE. Soit A une C*-alg~bre. Alors Kn(~i~) A)~ Ko(A)
pour n<O et pair et Kn(~< ~ A)~ KI°P(A) pour n~O et impair.
Seul le dernier point m~rlte un @claircissement. En effet, la
suite exacte
0 ~ ~ ( A ~ A,,. ~ ~ / ~ ® A >0
permet de voir que K i(~ A)~Ko(~B/~A)~ Kt~P(~_ A). D'apr~s
le th@or~me de p~riodicit~ de Bott et le th~or~me de densit~ on s - t o p ~_~Pc~ ~ ~ ~ o p ~ 8 ~ h ~ .
287
34.
Vl - ETUDE DE CERTAINS ANNEAUX TELS QUE Ki(A).~Ki_2(A ) POUR ie ~.
6 . 1 . Dans l e § p r e c e d e n t nous avons ~ t u d i ~ une l a r g e c l a s s e d ' a n n e a u x
A Oes ~ - a l g ~ b r e s t o p o l o g i q u e m e n t s t a b l e s ) t e l s que K i ( A ) ~ K i _ 2 ( A )
pour i ~ O . Nous a l l o n s m a i n t e n a n t d ~ f i n i r des anneaux A t e l s que
Ki(A)f~v Ki_2(A) pour t o u t i ~ Z.
De man i~ re p r e c i s e d ~ s i g n o n s p a r ~ l e p r o d u i t ~ x ~ , l a s t r u c -
t u r e m u l t i p l i c a t i v e ~ t a n t d ~ f i n i e p a r l a £ormule
(k, b) ( k ' , b ' ) = ( k k ' , kb ' + bk ~ + bb ~)
A l o r s % e s t l ' a l g ~ b r e S 4 , augment@e s u r ~ e t on a l a s u i t e e x a c t e
0 ~ ~ t ~ ~ ~ 0
No$ons que~K~peut a u s s i 8 t r e d ~ f i n i e comme l a s o u s - a l g O b r e de l ' a l -
g~bre p r o d u i t ~ × ~ form~e des c o u p l e s ( b , b ' ) t e l s que b - b ' ~ ~ .
De l a s u i t e e x a c t e p r ~ c ~ d e n t e on d ~ d u i t b i e n s t i r que
K ~ ° P ( ~ ) 1 ~ K ~ ° P ( I K ) ~ - Z pour i p a i l e t = 0 pour i i m p a i r . D ' a u t r e
p a r t , l e s images des ~16ments u 2 e t u 2 de K2(IK_ ) e t K_2(~t ) dans
K 2 ( ~ ) e t K _ 2 ( ~ ) s o n t non t r i v i a u x pa r 1 ' a r g u m e n t t o p o l o g i q u e
u t i l i s ~ d~ j~ en 5 . 1 5 . Notons e n f i n que K i ( ~ i ~ t ) ~ K i ( ~ t ) pour i ~ 0
d ' a p r ~ s l e th~or~me d ' e x c i s i o n en K - t h ~ o r i e a l g S b r i q u e .
A p a r t i r de l ' a l g ~ b r e ~ L o n p e u t c o n s t r u i r e un sys t~me i n d u c t i f
off l a f l ~ c h e d e ~ t d a n s ~ l ~ I e s t d @ f i n i e p a r
u ~ ~ u ~ s
o~ s est l~idempotant de~d~fini par l~injection compos~e
~5( ~utilis~e dans le paragraphe precedent. Notons
~ la llmite inductive de ce syst~me, On a
i j i,j i
part, on a un bimorphisme ~vident de _~_x~ [ D' autre 2i
obtenu en identifiant H~H ~ H comme nous l'avons fair dans le
paragraphe 5 et d~fini essentiellement par la formule
(Xl@ x 2 ~ ' ' ' ~ ) x i ) ( Y l @ Y 2 @ " ' ' ~ Yi ) = X l ~ x 2 ~ Y 2 ~ ' ' ~ x i ~ Y i
288
35.
En conclusion on a ainsi d@fini un bimorphisme
Ce bimorphisme satisfait ~ une propri6t6 d'associativit6 ~ iso-
morphisme pr~s. Ii permet donc de d~finir un cup-produit
Ki'('~'.-~) x Kj(~) , Ki÷ j (~)
pour i et jEZ qui est associatif ~ isomorphisme pr~s.
6.2 . THEOREME. P o u r t o u t i ~ Z , o n a K i ( ~ ) ~ ~ p o u r i p a i r e t
Ki( ~ = 0 pour i impair.
D4monstration . C'est la m@me d4monstration formelle que celle du
th4or~me 5.15.
6.3. Consid~rons malntenant une C*-alg~bre A. Alors on peut consi-
d~rer aussi bien la limite inductive du syst~me
~ o A ~ A ~ ~ . . . . . .
qu ' on n o t e r a % ( A ) ~
6 .4 . THEOREME. P o u r t o u t i G = on a K i ( ~ d ~ ( A Y ) ~ K ~ ° P ( A ) . En p a r t i -
c u Z i e r K l ( ~ ( A y ) ~ K i _ 2 ( ~ ( A ~ ,
Ddmonstration , Ce th@or~me se d@montre fo rmel lement comme le
th@or~me 5,18 en u t t l i s a n t l a s t r u c t u r e de "module" d e ~ _ ( A ) * s u r ~
289
R E F E R E N C E S
36.
i.- S. ARAKI et H. TODA : "Multiplicative structures in mod q
cohomology theories, I and II", Osaka J. Math. 2, 71-115 (1965)
et 3, 81-120 (1966).
2.- H. BASS : "Algebraic K-theory". New Fork : Benjamin 1968.
3.- W. BROWDER : "Algebraic K~theory with coefficients Z/p" (~ pa-
raltre).
4.- L.G. BROWN et C. SCHOCHET : "K 1 of the compact operators is zero",
Prec. Amer. Math. Soc. 59, 119-122 (1976).
5. D. GRAYSON : "Higher algebraic K-theory : II (after D. Quillen)",
Lectures Notes in Math. 551, 217-240(1976).
6.- P. de la HARPE et M, KAROUBI : "Perturbations compactes des
representations d'un greupe dans un espace de Hilbert, I", Bull.
Sec. Math. France, M~moire 46, 41-65 (1976).
7.- J.-CI. HAUSMANN et D. HUSEMOLLER : "Acyclic maps" (~ para~tre).
8.- M. KAROUBI : "Alg~bres de Clifford et K-th@orie", Ann. Sc. Ec.
Norm. Sup. (4), I, 161-270 (1968).
9.- M. KAROUBI : S@minaire Caftan-Schwartz 1963-1964, expos@ 16,
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I0.~ M. KAROUB! : "Espace~ classifiants en K-th~orie", Trans. Amer,
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ii.- M. KAROUBI : "La p@riodiclt@ de Bott en K-th~orie g@n@rale",
Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. (4), 4, 63~95 (1971).
12.- M. KAROUBI : "Th@orie de Quillen et homologie du groupe ortho-
gonal" (~ para~tre).
13.- M. KAROUBI : "K-theory. An Introduction ". Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften 226 ~ Springer Verlag - Berlin
Heidelberg New York,
14.- M. KAROUBI et O. VILLAMAYOR : "K-theorie alg@brique et K-th@orie
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37.
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16.- J. MILNOR : "Introduction to algebraic K-theory". Annals of
Math. Studies no 72 - Princeton University Press 1971.
17.- D. QUILLEN : "Algebraic K-theory I", Lectures Notes in Math 34
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18.- J.-B. WAGONER : "Delooping classifying spaces in algebraic
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19. D. HUSEMOLLER. "Fibre bundles'. GT~4, vol. 20, 1975-Springer-Vergag
Berlin - Heidelberg - New York.
