Kit de Survie eDukaty Mathématiques MP-PSI

8/13/2019 Kit de Survie eDukaty Mathmatiques MP-PSI

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Prpa MP

Table des matires

Avant Propos 3

Analyse 4

1 Formulaire 5

2 Sries numriques 83 Espaces vectoriels norms 11

4 Intgrales impropres 13

5 Suites et sries dintgrales 14

6 Suites et sries de fonctions 16

7 Intgrales paramtre 198 Sries entires 22

9 Sries de Fourier 24

10 quations diffrentielles linaires 26

11 Calcul diffrentiel 28

12 quations diffrentielles ordinaires 32

13 Lemmes et rsultats divers 34

Algbre et gomtrie 38

14 Algbre gnrale 40

15 Polynmes 42

16 Algbre linaire 43

www.edukaty.comRsidence Artois 43 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca

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Prpa MP17 Rduction 46

18 Dualit 50

19 Espaces prhilbertiens 51

20 Formes bilinaires symtriques et quadratiques 56

21 Quadriques deR3 58

22 tude afne des courbes et surfaces 60

23 Intgrales curvilignes 61


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Avant Propos

Chers lves,

Lquipe pdagogique deDukaty Prpa, lorganisme desoutien scolaire pour classes prparatoires scientiques etcommerciales, est heureux de publier ce Kit de survie en Mathmatiques, destin aux lves de deuxime anneen classe prparatoire de la lire MP-PSI. Il contient lesprincipaux thormes du cours de deuxime anne, en

Analyse, Algbre et Gomtrie, sans leur dmonstration.Il contient galement certains rsultats classiques, qui bienque ntant pas formellement au programme, se doiventdtre connus par les tudiants des classes prparatoires. Leslves de la lire PC pourront galement sy rfrer, bienque certaines parties de cet ouvrage ne soient pas leurprogramme.Ce rsum de cours ne saurait bien sr se substituer uncours exhaustif, dont ltude est primordiale pour la russiteaux concours. Nanmoins, il peut tre un support de travail

prcieux dans le cadre des rvisions, et permet au lecteurdavoir une vision synthtique du programme.Naturellement tout lecteur qui reprerait une erreur pourranous contacter en nous envoyant un email ladresse suivante :[email protected].

Bonne chance vous tous!

Lquipe pdagogique deDukaty
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Analyse


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1 Formulaire

Proposition 1.1 [Relations usuelles]On a les relations de convexit suivantes :

Formule Domaine de validitsin x x R+sin x

2

x 0; 2

ex x + 1 Rln x x 1 R+ tan x x 0; 2| x y| |x y| (R+ )2|ab|

12 |a|

2 + |b|2 C2

Proposition 1.2 [Trigonomtrie]Toutes les formules suivantes sont valables sur tout domaine o lesfonctions en jeu sont dnies, et on pose u = tan a

2:

cos(a + b) = cos a cos bsin a sin b sin(a + b) = cos a sin b + cos bsin acos2 a =

1 + cos(2a)2

sin2 a = 1cos(2a)

2

cos a cos b = 12

(cos(a + b) + cos( a b)) sin a sin b = 12

(cos(a b) cos(a + b))sin a cos b =

12

(sin(a + b) + sin( a b)) cos p + cos q = 2 cos p + q

2cos

pq 2

cos pcos q = 2sin p + q

2sin

pq 2

sin p + sin q = 2 sin p + q

2cos

pq 2

sin psin q = 2 sin pq 2 cos p + q 2 tan( a + b) = tan a + tan b1 tan a tan bsin a =

2u1 + u2

cosa = 1u21 + u2


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Thorme 1.1 [Formule de Taylor]Soit f : [a, b]R C de classeC n . Alors on a les formules suivantes :

f (b) =n 1

k =0

f (k )(a)k!

(ba)k + ba (bt)n 1(n 1)! f (n )dt Taylor reste intgralef (b)

n 1

k =0

f (k )(a)k!

(ba)k |ba|n

n!f (n ) Taylor-Lagrange

f (x) n 1

k=0

f (k )(a)k!

(x a)k =x a o((x a)n ) Taylor-Young

Proposition 1.3 [Primitive usuelles]I est un intervalle deR

Primitive Domaine de validit

x dtt a ib = ln |x a ib|+ i arctan x ab R, avec (a, b)R R

x dt

cos t = ln tanx2 +

4

2 + n,

2 + n

x tan tdt = ln |cos x| 2 + n, 2 + n x dtt2 a2 = 12a ln x ax + a I ne contenant pas a x dtt2 + a2 = 1a arctan xa R x dt t2 + a2 = 1a arg sinh xa = ln x + x2 + a2 R

x

dt a2 t2= arcsin xa ] |a|, |a|[

x dt t2 a2 = arg cosh xa I ne contenant pas|a|


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Proposition 1.4 [Dveloppement limits usuels]

(1 + x) = 1 + x + ( 1)2! x2 + o(x2).

cos(x) = 1 x2

2! +

x4

4! x6

6! + o(x6).

sin(x) = 1 x3

3! +

x5

5! x7

7! + o(x7).

ex = 1 + x + x2

2! +

x3

3! +

x4

4! + o(x4).

11 x

= 1 + x + x2 + ... + xn + o(xn ).

cosh(x) = 1 +

x2

2! +

x4

4! + ... +

x2n

2n! + o(x2n +1 ).

sinh(x) = 1 + x3

3! +

x5

5! + ... +

x2n +1

(2n + 1)! + o(x2n +1 ).

ln(1 + x) = x x2

2 +

x3

3 + o(x3).


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2 Sries numriques

Dnition 2.1 [Convergences]Soit (un ) une suite relle ou complexe.

1. On dit que la srie de terme gnral (un ) converge si la suite de termegnral

n

k=0uk admet une limite quand n +. Dans le cas

contraire, on dit que la srie diverge.2. On dit que la srie de terme gnral (un ) converge absolument si la

srie de terme gnral (|un |) converge.

Thorme 2.1 [Comparaison avec une intgrale]Soit f : [1, + ] R+ continue par morceaux dcroissante. Alors lasrie de terme gnral (f (n))nN converge si et seulement si + 1 f (t)dtconverge.Thorme 2.2 [Sries de Riemann]Soit R, la srie de terme gnral

1n nN

converge si et seulement si > 1.

Thorme 2.3 [Sries de Bertrand]Soient , R, la srie de terme gnral 1n ln( n ) n 2 converge si etseulement si > 1 ou ( = 1 et > 1).

Proposition 2.1 [Rgle de convergence]Soient (un ) et (vn ) des suites de rels positifs.

Si un =+

O(vn ), alors la srie de terme gnral (un ) converge si la sriede terme gnral (vn ) converge et la srie de terme gnral (vn ) diverge

si la srie de terme gnral (un ) diverge. Si un + vn , alors les deux sries ont mme nature (convergence ou

divergence).


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Thorme 2.4 [Rgle de dAlembert]Soit (un ) une suite de rels strictement positifs tels que

un +1un n + l [0, + ].

Si l < 1, la srie de terme gnral (un ) converge. Si l > 1 un n + + et la srie diverge grossirement. Si l = 1, on ne peut rien dire.

Thorme 2.5 [Rgle de Riemann]Soit (un ) une suite de rels positifs.

1. Si la suite (nu n ) admet une limite non nulle en +, alors la srie determe gnral un diverge.

2. Si il existe > 1 tel que (n un ) admet une limite nie en + , alors lasrie de terme gnral (un ) converge.

Thorme 2.6 [Critre de Leibniz]Soit (an ) une suite de rels positifs qui dcrot vers 0. Alors la srie de terme

gnral ((

1)n an ) converge, et pour tout N

N, le reste RN =+

n = N

(

1)n an

est du signe de son premier terme et vrie

0 (1)N RN aN .Thorme 2.7 [Fubini et suites doubles]Soit (un,m )n,m N2 une suite double telle que :

1. nN, la srie de terme gnral (|un,m |)nN converge ;

2. la srie de terme gnral

+

m =0 |un,m | nN converge.Alors toutes les sries qui suivent sont absolument convergentes et on peutintervertir les sommations :

+

n =0

+

m =0

un,m =+

m =0

+

n =0

un,m .


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Thorme 2.8 [Produit de Cauchy de sries]Si les sries relles ou complexes (un ) et (vn ) sont absolument convergentes,

alors la srie produit de terme gnral cn =n

k=0

uk vn k est aussi

absolument convergente et+

n =0

cn =+

i=0

u i+

j =0

v j

.

Proposition 2.2 [Raabe-Duhamel]Soit (an ) une suite de rels strictement positifs. On suppose avoir ledveloppement asymptotique suivant :

an +1an

= 1 + n

+ n ,

o n est le terme gnral dune srie convergente. Alors il existe c > 0 telque an + cn .


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3 Espaces vectoriels norms

Dnition 3.1 [Norme]Soit E un K-espace vectoriel, une norme est une application N : E R+telle que :

1. (positivit)xE, N (x) 0 ;2. (sparation)xE, N (x) = 0x = 0 ;3. (homognit)K, xE, N (x ) = ||N (x) ;4. (ingalit triangulaire)

x, y

E, N (x + y)

N (x) + N (y).

Lemme 3.1 [Construction de normes]Si N est une norme et f une application linaire injective, alors N f est unenorme.

Dnition 3.2 [Distance]On appelle distance sur un ensemble X non-vide une applicationd : X 2 R+ telle que :

1. (positivit)xX, d(x, x ) 0 ;2. (sparation)x, y X, d(x, y) = 0x = y ;3. (symtrie)x, y X, d(x, y) = d(y, x) ;4. (ingalit triangulaire)x,y,z X, d(x, y) d(x, z ) + d(z, y).

Thorme 3.1 [Continuit des applications linaires]Soit (E, E ) et (F, F ) deuxK-espaces vectoriels norms, f LK(E ). Lesassertions suivantes sont quivalentes :

1. f est continue sur E ;2. f est continue en 0E ;3. f est lipschitzienne;4. C > 0 telle quexE, f (x) F C x E .


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Thorme 3.2 [Point xe contractant]Soit (X, d ) un espace mtrique complet non vide, f : X

X contractante,

cest--dire k-lipschitzienne avec k ]0, 1[. Alors :1. il existe un unique x0 X tel que f (x0) = x0 ;2. a X , la suite (un ) dnie par u0 = a et n N, un +1 = f (un )

converge vers x0

Proposition 3.1 [Exponentielle]Soit A une K-algbre de Banach. a A, la srie de terme gnral

an

n!

converge absolument (dAlembert) et on dnit lexponentielle par

exp(a) =+

n =0

an

n!.

On a aussi les proprits suivantes :1. si a et b commutent, alors exp(a + b) = exp( a)exp( b) = exp( b) exp(a) ;2. pour a A, : t (K, +) exp(ta ) (A , ) est un morphisme de

groupesC ettK,(t) = a exp(ta ) = exp( ta )a.

Thorme 3.3 [quivalence de normes en dimension nie]Toutes les normes dun K-espace vectoriel de dimension nie sontquivalentes.

Dnition 3.3 [Connexit par arcs]Soit (X, d ) un espace mtrique. On dit que X est connexe par arcs si

a, bX, : [0, 1] X continue telle que (0) = a et (1) = b.

Proposition 3.2 [Composantes connexes]Soit (X, d ) un espace mtrique, on munit X de la relation binaire

(a, b) X 2, aRb : [0, 1] X continue telle que (0) = a, (1) = b.AlorsRest une relation dquivalence et lesclasses dquivalencedeRsontles composantes connexes de X .


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4 Intgrales impropres

Dnition 4.1 [Convergence, intgrabilit, semi-convergence]Soit f : [a, b[C continue par morceaux.

1. On dit que lintgrale ba f est convergente si lexpression xa f admetune limite lorsque x tend vers b par valeurs infrieures.

2. On dit que f est intgrable en b si ba |f | est convergente.3. Onditque

b

af est semi-convergente si lintgrale converge et sif nest

pas intgrable en b.

Thorme 4.1 [Rgle de Riemann]Soit f : [a, + ] R+ continue par morceaux positive.

1. Si xf (x) x + l ]0, + ] non-nulle, alors f nest pas intgrable en + et

xa f (t)dt x + l.2. Si il existe > 1 tel que x

f (x) x + [0, + [ nie, alors f estintgrable en + .Proposition 4.1 [Convergence de lintgrale et limite]Soit f : R+ R continue par morceaux telle que + 0 f converge. Si f admet une limite l R en +, alors l = 0.Notons que f peut ne pas admettre de limite bien que son intgraleconverge.

Thorme 4.2 [Changement de variable]Un changement de variableC 1-diffomorphisme ne change ni la nature nila valeur dune intgrale impropre.


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5 Suites et sries dintgrales

Thorme 5.1 [Convergence domine]Soit I un intervalle deR, (f n ) une suite dapplications de I dansC etg : I C. On suppose que :

1. les f n et g sont continues par morceaux sur I ;2. (f n ) converge simplement vers g sur I ;3. : I R+ continue par morceaux et intgrable sur I telle que

n

N,tI, |f n (t)| (t).

Alors g et les f n sont intgrables sur I et

limn + I f n (t)dt = I g(t)dt.

Thorme 5.2 [Sommation L1]Soit (un ) une suite de fonctions de I vers C continues par morceaux. Onsuppose que :

1.+

n =0un converge simplement vers g : I C continue par

morceaux ;2. nN, un est intgrable sur I ;3. la srie de terme gnral I |un (t)|dt converge.

Alors g est intgrable et

I

g(t)dt =+

n =0

I

un (t)dt


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Thorme 5.3 [Convergence domine des sommes partielles]Soit (un ) une suite de fonctions de I vers C continues par morceaux. Onsuppose que :

1.+

n =0

un converge simplement vers g : I C continue parmorceaux ;

2. : I R+ continue par morceaux intgrable telle que

nN, tI ,

n

k=0

uk (t) (t).

Alors,n N, un est intgrable, g est intgrable et

I g(t)dt = nk =0 I uk (t)dt.


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Thorme 6.4 [Interversion des limites]Soit (X, d ) un espace mtrique,A

X, x 0

A, (f n ) une suite dapplications

de A vers E , espace de Banach. On suppose que :1. (f n ) converge uniformment sur A vers g : A E ;2. nN, f n (x) x x 0 ln E .

Alors la suite (ln ) admet une limite nie E et

g(x) x x 0 limn + limn x 0 f n (x) = limn x 0 limn + f n (x).Thorme 6.5 [Continuit des limites uniformes]

Une limite uniforme de fonctions continues est continue. Cest toujours vraisi la convergence est uniforme uniquement sur tout compact inclus danslensemble de dpart.

Thorme 6.6 [CaractreC 1 dune limite uniforme]Soit A un intervalle de R, E un espace de Banach, (f n ) une suitedapplicationsC 1 de A dans E . On suppose que :

1. il y a convergence simple en au moins un point : a A/f n (a) n + l

E .

2. il y a convergence uniforme de (f n ) vers h : A E .Alors h est continue sur A, la suite (f n ) converge simplement sur A vers lafonctionC 1

g : xA l + xa h(t)dt.De plus, la convergence de (f n ) vers g est uniforme sur tout compact de A.

Thorme 6.7 [CaractreC p dune limite uniforme]Soit A un intervalle de R, (f n ) une suite de fonctions de classe C p de Avers E , espace de Banach. On suppose quek p, la suite (f

(k )n ) converge

uniformment sur tout compact vers une fonction hk : A E .Alors h0 = lim

n + f n est de classeC p etxA,k p,

h(k )0 (x) = limn + f (k )n (x) = hk (x).

Lemme 6.1 [Convergence uniforme et adhrence]Soit (f n ) une suite dapplications de R dans E espace vectoriel norm quiconverge uniformment sur A

R. Alors elle converge uniformment sur

A.


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Proposition 6.2 [Limite diagonale]Soit (f n ) une suite dapplications de A partie de R dans E espace vectorielnorm, (xn ) AN. On suppose que (f n ) converge uniformment sur A versg, que xn n + et que (f n ) sont continus en . Alors

f n (xn ) n + g().


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7 Intgrales paramtre

Proposition 7.1 [Intgrale dpendant dune borne]Soit I un intervalle deR, f : I C continue et aI . AlorsF : xI xa f (t)dt estC 1 et F = f .Thorme 7.1 [Continuit des intgrales paramtre]Soit (A, d) un espace mtrique, I un intervalle de R, f : A I C telleque :

1.

x

A, t

I

f (x, t ) est continue par morceaux;

2. xA, xA f (x, t ) est continue ;3. : I R+ continue par morceaux intgrable telle que

(x, t ) A I, |f (x, t )| (t).Alors F : xA I f (x, t )dt est dnie et continue sur A.Thorme 7.2 [CaractreC 1 des intgrales paramtre]

Soient A, I deux intervalles deR, f : A I C telle que :1. f est continue par morceaux par rapport t et F : x A I f (x, t )dtexiste;2. f admet une drive partielle f

x : A I C

3. pour xA, tI f x

(x, t ) est continue par morceaux ;

4. pour tI , xA f x

(x, t ) est continue ;

5. pour tout compact K A, il existe K : I R+ continue parmorceaux intgrable telle que

(x, t )K I,f x

(x, t ) K .

Alors F est de classeC 1 sur A etxA,

F (x) = I f x (x, t )dt.


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Thorme 7.3 [CaractreC k des intgrales paramtre]Soient A, I deux intervalles de R, f : A

I

C, k

N

{+

}. On

suppose que :1. i k f admet une drive partielle i-ime par rapport

x i f

x i : A I C avec

(i) pour xA x, tI, I i f x i

(x, t ) est continue par morceaux ;

(ii) pour tI x, xA i f x i

(x, t ) est continue ;2. pour tout compact K

A et pour tout i

k il existe i,K : I

R+

continue par morceaux intgrable telle que

(x, t ) K I , i f x i

(x, t ) i,K (t).

Alor F : xA I f (x, t )dt est de classeC k eti k, xA,F (i )(x) = I i f x i (x, t )dt.

Thorme 7.4 [Fubini et intgrales doubles : cas de compacts]Soit f : [a, b][c, d] C globalement continue. Alors

[a,b ] [c,d ] f (x, y)dxdy = I J f (x, y)dx dy = J I f (x, y)dy dx.Le rsultat est aussi valable dans le cas oI J = {(x, y)R2 | x[a, b] et y [h(x), g(x)]},h ,g continues g h.Thorme 7.5 [Fubini et intgrales doubles : cas gnral]Soient I et J deux intervalles deR, f : I J C. On suppose que :

1. I J |f (x, y)|dx dy existe ;2. toutes les fonctions apparaissant dans les calculs sont continues par

morceaux1Alors

I J f (x, y)dx dy = J I f (x, y)dy dx.1. Ceci implique en thorie dtudier 6 fonctions diffrentes.


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Proposition 7.2 [Formule de Gauss]

Pour z C

, on pose (z ) = +

0 tz 1

e t

dt. Alors est dnie sur = {z C|(z ) > 0}, z , (z + 1) = z (z ). Comme(1) = 1 , nN, (n) = ( n 1)!. On a plus la formule de Gauss :z ,

(z ) = limn +

n z n!z (z + 1) (z + n)

.


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8 Sries entires

Thorme 8.1 [Rgle de dAlembert]Soit (an )C

N telle quen0 N/n n0, an = 0 . On suppose quean +1an n + l [0, + ].

Alors le rayon de convergence de+

n =0

an xn est 1l.

Proposition 8.1 [Sries entires usuelles]On a les dveloppements en srie entire suivants :

11 z

=+

n =0

z n = 1 + z + z 2 + z C, |z | < 11

(1 z ) p+1 =

+

n =0

n + pn

z n z C, |z | < 1

(1 + x) =+

n =0

n

xn = 1 + x + ( 1)

2 x2 + xR, |x| < 1

exp(z ) =+

n =0

z n

n! = 1 + z +

z 2

2 + z C

cosh(z ) =+

n =0

z 2n

(2n)! = 1 +

z 2

2 +

z 4

24 + z C

sinh(z ) =+

n =0

z 2n +1

(2n + 1)! = z +

z 3

6 + z C

cos(z ) =+

n =0

(

1)n

z 2n

(2n)! = 1

z 2

2 +

z 4

24 +

z

C

sin(z ) =+

n =0

(1)n z 2n +1

(2n + 1)! = z

z 3

6 +

z 5

120 + z C

ln(1 + x) =+

n =0

(1)n xn +1

n + 1 = x

x2

2 +

x3

3 + xR, |x| < 1

arctan( x) =+

n =0

(1)n x2n +1

2n + 1 = x

x3

3 +

x5

5 + xR, |x| < 1


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Proposition 8.2 [Formule de Cauchy]

On suppose que f (z ) =

+

n =0 an z

n

est la somme dune srie entire de rayonde convergence R > 0. Alorsr ]R, R [,nN,

an r n = 12 20 f (re it )e int dt.

[ Indication :intervertir somme et intgrale grce au thorme de sommation L1]

Lemme 8.1 [Convergence radiale dAbel]

Soit+

n =0

an z n une srie entire et etz 0

Ctel que+

n =0

an z n converge. Alors le

rayon de convergence de la srie est plus grand que|z 0| et la srie convergeuniformment sur [0, z 0] = {tz 0|t[0, 1]}.[Indication : utiliser la transformation dAbel.]

Dnition 8.1 [Caractre analytique]Soit un ouvert deRn ou C, f : C est dite analytique sur six0 , > 0 tel que Df (x0, ) et(an )CN telle quez D f (x0, ),

f (z ) =+

n =0

an (z x0)n ,

srie entire de rayon de convergence au moins gal .

Thorme 8.2 [Caractrisation des sommes de sries entires]Soit R ]0, + [, une application f :]R, R [ C est la somme dune srieentire de rayon de convergence suprieur R si et seulement si f est estC et six]R, R [,

x

0

(x t)nn! f (n +1) (t)dt n + 0.

Dans ce cas, f est somme dune unique srie entire de rayon deconvergence strictement positif, sa srie de Taylor :

xC tel que|x| < R, f (x) =

+

n =0

f (n )(0)n!

xn .


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9 Sries de Fourier

Dnition 9.1 [Coefcients et srie de Fourier]Soit f : R C, 2-priodique continue par morceaux.

1. On pose pour nZ les coefcients de Fourier complexes de f :

cn (f ) = 12 a+2 a f (t)e int dt.

2. Les coefcients de Fourier sont les suites (an )nN et (bn )nN dnies para0 = c0 et pour n

N,

an (f ) = 1 a+2 a f (t) cos(nt )dt et bn (f ) = 1 a+2 a f (t) sin(nt )dt

3. La n-ime somme partielle de la srie de Fourier de f est la fonctionnote S n (f ) dnie parxR,

S n (f )(x) =n

k = n

ck (f )eikx = a0(f ) + 12

n

k =1

ak (f )cos(kx) + bk (f ) sin(kx).

Thorme 9.1 [Parseval et convergence quadratique]Soit f : R C continue par morceaux 2-priodique. Alors la srie determe gnral (|cn (f )|2 + |c n (f )|2)nN converge et on a lgalit deParseval :

nZ|cn (f )|2 = |a0(f )|2 +

12

+

n =1|an (f )|2 + |bn (f )|2 =

12 20 |f (t)|2dt.

De plus, si f est partout continue, on a S n (f ) 2

n + f .

Proposition 9.1 [Parseval sesquilinaire]Soit f, g : R C 2-priodiques continues par morceaux. Alors la srie determe gnral cn (f )cn (g) + c n (f )c n (g) converge et

nZcn (f )cn (g) =

12 20 f (t)g(t)dt

[Indication : dans le cas continu, cette formule dcoule de lidentit de polarisation

associe au produit scalaire f, g

C 0([0, 2], C)

1

2 2

0

fg. ]


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Thorme 9.2 [Convergence normale de Dirichlet]Sif : R

C est 2-priodique,C 1 par morceaux et partout continue, alors

la srie de Fourier de f converge normalement vers f sur R.

Thorme 9.3 [Convergence simple de Dirichlet]Sif : R C est2-priodiqueetC 1 par morceaux, alors la srie de Fourierde f converge simplement vers f sur R vers la fonctionx

R 12

(f (x+ ) + f (x )) .

Dnition 9.2 [Fourier en priode T ]

Soit f : R C T -priodique continue par morceaux, = 2T .

1. On pose pour nZ les coefcients de Fourier complexes de f :

cn (f ) = 1T a+ T a f (t)e int dt.

2. Les coefcients de Fourier sont les suites (an )nN et (an )nN dniespar a0 = c0 et pour nN

,

an (f ) = 2

T a+ T

a

f (t) cos(nt )dt et bn (f ) = 2

T a+ T

a

f (t) sin(nt )dt.

3. La n-ime somme partielle de la srie de Fourier de f est la fonctionnote S n (f ) dnie parxR,

S n (f ) =n

k= n

ck (f )eikx = a0 + 12

n

k =1

ak (f ) cos(kx) + bk (f ) sin(kx).


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10 quations diffrentielles linaires

Dnition 10.1 [quation rsolue dordre 1]Soit E un espace de Banach, I un intervalle deR, a : I Lc(E ) :t I, a (t) est un endormorphisme continu de E et on suppose a continuede I dans (Lc(E ), |||.|||). On se donne aussi b : I E continue. On a alorslquation diffrentielle rsolue du premier ordre

x (t) = a(t)x(t) + b(t) dquation homogne associe x(t) = a(t)x (t).

Thorme 10.1 [Solution gnrale de X = aX + b]Si a, b : I K sont continues, la solution gnral de lquationdiffrentielle X = aX + b est

X (t) = C + tt 0 exp(A(s))b(s)ds exp(A(t)) A(t) = tt 0 A(s)ds, t 0 I, C KThorme 10.2 [Cauchy pour les EDL]Soit E un espace de Banach, I un intervalle de R, (t0, x0) I E et(E ) X (t) = a(t).X (t) + b(t). Alors le problme de Cauchy ((E ), (t0, x0))

admet une unique solution : I E C 1

.Lemme 10.1 [Gronwall]Soit I = [a, b[ ou I = [a, b] un intervalle deR ferm gauche, u, v : I R+continues positives et telles que t I , u (t) C + ta u(s)v(s)ds. AlorstI ,

u(t) exp ta v(s)ds .[on majore la quantit de droite, pour cela on pose pour t

I

(t) = C + ta u(s)v(s)ds exp ta v(s)ds .On montre ensuite que est dcroissante par le calcul de . ]

Proposition 10.1 [Variation des deux constantes]Soient a, b K, (1,2) une base de solutions de lquation diffrentielle(e) : X (t) = aX (t) + bX, t I .


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Pour rsoudre (E ) : X (t) = aX (t)+ bX + c(t) oc : I K, sixC 2(I, K)on pose , : I K telles que

X (t)X (t)

= 1(t) 2(t)

1(t) 2(t)

R (t ) (t)(t)

et sont uniques et de classeC 1 car R(t) est inversibletI . Alors X estsolution de (E ) si et seulement si

R(t) (t)(t)

= 0c(t)

(t) = c(t)2(t)det(R(t))

(t) = c(t)1(t)det(R(t))

Thorme 10.3 [quations dEuler]Soient a0, . . . , a r C, I = R+ ou I = R,

(E r ) xr y(r ) + ar 1xr 1y(r 1) (x) + + a0y(x) = b(x).On peut lui associer le polynme caractristique dinconnue :

(

) (

1)

(

r + 1) + ar 1(

1)

(

r + 2) +

+ a1 + a0.

Si () se scinde enN

j =1

( j ) avec(i, j ) [1, N ]2, m j Net i = j i = j , alors la famille des

xI (ln |x|k )|x| j k[0,m j 1], j[1,N ]est un systme fondamental de solutions de (E r ).

Proposition 10.2 [Zros isols]Soit f : I K non nulle de classe C 2 solution de y (x) + a(x)y(x) +b(x)y(x) = 0 , a,b : I K continues. Alors{t I |f (t) = 0}est une partiediscrte de I , cest--dire que[a, b]I, {t[a, b] | f (t) = 0}est ni.[Indication : dmontrer la deuxime caractrisation en utilisant une suite de zrosdistincts laquelle on appliquera la proprit de Bolzanno-Weierstrass. f et f ne peuvent sannuler en mme temps (Cauchy).]


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Thorme 11.3 [Formule de la chane]Soit E un espace vectoriel norm de dimension nie n

N,

B E une base

de E,F, G des espaces de Banach, U un ouvert de E, V un ouvert de F, f :U F, g : V G telles que f (U )V , M 0 U, N 0 = f (M 0)V Si f etg sont respectivement diffrentiables en M 0 et N 0, alors g f a des drivespartielles selonB E en M 0 eti[1, n],

( i, BE g f )(M 0) = [(dg)(N 0)](( i, BE f )(M 0)) .Thorme 11.4 [Schwarz]Soit E un espace vectoriel norm de dimension nie, U un ouvert deE, f : U E, B E = ( e1, . . . , e n ) une base de E . On suppose que f admetdes drives partielles dordre 2 continue, cest dire que (i, j ) [1, n]2,( i, BE ( j, BE f )) : U E est dnie et continue sur U . AlorsM U,(i, j )[1, n]2,

( i, BE ( j, BE f ))( M ) = ( j, BE ( i, BE f ))( M ).

Thorme 11.5 [Inversion locale]SoientE, F deux espaces de Banach,U un ouvert deE, f : U

F de classe

C k avec k 1, A U . On suppose que (df )(A) Lc(E, F ) est inversible et bicontinue2. Alors il existe deux ouverts et voisinages respectivementde A et f (A) tels que f | : est unC k-diffomorphisme.[Indication : on peut rduire la problme en supposant E = F = Rn , A = 0 et(df )(A) = I n quitte composer par ((df )(A)) 1. Pour trouver un voisinage surlequel f est injective, on considre une boule dans laquelle la diffrentielle de f nesloigne pas trop de I n puis on montrer que h(t) = f (t) t est

12

-lipschitzienneen drivant (t) = f (ty + (1

t)x).]

Thorme 11.6 [Inversion globale]Soient E, F deux espaces vectoriels norms de dimension nie,U un ouvertde E, V un ouvert de F, f : U V, k N {+ }. f est un C k -diffomorphisme de U sur V si et seulement si :

1. f est C k ;2. AU, det(Jac(f )(A)) ne sannule pas;3. f est bijective de U dans V .

2. Continue de rciproque continue


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Thorme 11.10 [Extrema et hessienne]Soit U un ouvert de Rn , f : U

R de classeC 2, A un point critique de

f ((df )(A) = 0) et q = H (f )(A) la forme quadratique hessienne de f en A.1. Sif prsente un minimum (respectivement maximum) local enA, alors

q est positive (respectivement ngative).2. Si q est dnie ngative (respectivement positive), alors f admet un

maximum (respectivement minimum) local en A.

Thorme 11.11 [tude locale dun point critique]Soit U un ouvert de R2, f : U

R de classe C 2, A

U , on pose les

notations de Monge suivantes :

p = f x

(A), q = f y

(A), r = 2f x 2

, s = 2f xy

, t = 2f y2

1. Si f prsente un extremum local en A, alors p = q = 0 ;2. si p = q = 0 et r t s2 > 0, alors f prsente en A un extremum local

strict :(i) minimum si r 0 ou r + t 0,(ii) maximum si r 0 ou r + t 0 ;

3. si p = q = 0 et rt s2 < 0, alors f prsente un col en A : pour toutvoisinage V de A, il existe M, N V tels que f (M ) f (A) f (N ) ;

4. si p = q = 0 et rt s2 = 0 , on ne peut rien dire.Proposition 11.3 [Convexit et maximum]Soit K un ouvert deRn convexe, f : K R est dite convexe sit [0, 1],

M, N

K , f (tM + (1

t)N )

tf (M ) + (1

t)f (N ). Si de plus K est

compact et f continue, le maximum de f sur K est atteint en un point deK = K \K , en un point A tel que K \A reste convexe.


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12 quations diffrentielles ordinaires

Dnition 12.1 [quation diffrentielle dordre 1]Soit E un espace vectoriel norm de dimension dinie ou un Banach, U unouvert deRE, f : U E continue. Lquation dordre 1 rsolue associe f est

(E ) x(t) = f (t, x (t)) .

Une solution de (E ) est un couple (I ,) o I est un intervalle deR et : I E de classeC 1 telle quetI, (t,(t))U et (t) = f (t,(t)) . Ladonne dune condition initiale x(t0) = x0 pour (E ) constitue un problmede Cauchy.

Lemme 12.1 [Prolongement en une borne]Soit I = [a, b[ ou I =]a, b[, avec a R et b R, (I,) une solution de(E ) x(t) = f (t, x (t)) o f : U R E E continue. On suppose que(t) t b l E avec (b, l)U . Alors si J = I {b}et dnie par | I = et(b) = l, (J, ) est une solution de (E ) qui prolonge strictement (I, ).[Indication : cest le thorme du relvementC 1 ]

Thorme 12.1 [Cauchy-Lipschitz]Soit E un espace vectoriel norm de dimension nie, U un ouvert de R E, f : U E de classeC 1, et (E ) x(t) = f (t, x (t)) . Alors tout problme deCauchy ((E ), (t0, x0)) o (t0, x0) U admet une unique solution maximale(I ,).Deplus,I estun intervalle ouvertdeR et tout autre solution dummeproblme de Cauchy est restriction de cette solution maximale.

Proposition 12.1 [Solution maximale surR]Soit E un espace vectoriel norm de dimension nie, f : R E E declasseC 1 borne. Alors toute solution de (E ) x(t) = f (t, x (t)) est bornesur R[Indication : Cauchy-Lipschitz sapplique, prendre une solution maximale dniesur un intervalle ouvert et supposer par labsurde quune borne est nie. Utiliser le prolongement en une borne.]


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Proposition 12.2 [Systme autonome]Soit U un ouvert de Rn , f : U

Rn C 1, (E ) x(t) = f (x(t)) lquation

autonome associe f .1. Pour toute fonction : I Rn , C 1, (I, ) est solution

(respectivement solution maximale) de (E ) si et seulement si

a R, (I a, t I a (t + a)) est solution (respectivementsolution maximale) de (E ).

2. Une solution maximale de (E ) est soit injective soit dnie sur R etpriodique.

Proposition 12.3 [Trajectoires]Soit (E ) x(t) = f (x(t)) une quation autonome dordre 1 avecf : U Rn Rn C 1 et (I) une solution maximale de (E ). La trajectoireassocie la fonction (I,) est le support de la courbe paramtre tI (t). De plus, deux trajectoires associes des solutions maximales sont soitdisjointes, soit confondues.


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13 Lemmes et rsultats divers

Lemme 13.1 [Csaro]Soit (un ) une suite dun espace vectoriel norm E . Si un n + l, alors

1n + 1

n

k =0

un n + l.

[Indication : revenir la dnition de la limite.]

Proposition 13.1 [Drive dune quantit bilinaire]Soient A une partie deR, E 1, E 2, F des espaces vectoriels norms,f : A E 1, g : A E 2 drivables en a et B : E 1 E 2 F bilinairecontinue. Alors h : xA B(f (x), g(x)) est drivable en a et

h (a) = B(f (a), g(a)) + B(f (a), g(a)) .

Proposition 13.2 [Suites sous-additives]Une suite (un ) RN

est sous-additive si m, n N, un + m un + um . Si(un )nN est sous-additive, alors

unn n + l = inf p 1

u p p R{}.

[Indication : montrer quek > l,n0 N tel quen n0, un

n < k. ]

Thorme 13.1 [Sous-groupes de (R, +) ]Les sous-groupes de (R, +) sont soit denses dansR, soit de la forme aZ aveca

R+ .[Indication : si G est le sous-groupe, introduire inf G R+ et discuter sonappartenance G.]


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Proposition 13.3 [Wallis]

Pour nN

on pose W n =

2

0 sinn

(t)dt =

2

0 cosn

(t)dt.On a les proprits suivantes :1. n 1, (n + 1) W n +1 = nW n 1 etn N, (n + 1) W n +1 W n =

2 ;

2. W n est dcroissante positive ;

3. W n + 2n .Indication : tout part dune intgration par parties.]

Proposition 13.4 [Polynmes de Tchebycheff ]Pour nN, il existe un unique polynme T n tel que R,T n (cos ) = cos( n). De plus, T n est de degr n, de coefcient dominant 2n 1,ses racines sont les cos (2k + 1)

2n k[0,n 1]et on a une expression de

T n :

T n =E( n2 )

p=0

(1) p2 pn

(1 X 2) pX n 2 p.

Thorme 13.2 [Baire]Soit (n )nN une suite douverts denses dansR. Alors

nNn est dense dans

R.[Indication : utiliser le thorme des segments embots.]

Proposition 13.5 [Borel-Lebesgue]Soit (E, d ) un espace mtrique. On dit que E vrie la proprit de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement de E par des ouverts on peut en extraireun sous-recouvrement ni. Alors E vrie la proprit de Borel-Lebesgue si

et seulement si on peut lui appliquer le thorme de Bolzanno-Weierstrass ;cest--dire si toute suite de E admet une valeur dadhrence.

Proposition 13.6 [Srie harmonique]

On a le dveloppement limit de la srie harmonique H n =n

k=1

1k

suivant,

avec la constante dEuler :

H n = ln n + + O1n

.

[Indication : utiliser des suites adjacentes.]


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Proposition 13.7 [Ensemble des valeurs dadhrences]Lensemble des valeurs dadhrence de la suite (un ) est le ferm

p 0{un |n p}.

Proposition 13.8 [Stirling]On a lquivalent suivant :

n! + 2nne

n.

Dnition 13.1 [ Module de continuit ]Soit f : I

E o I est un intervalle non-vide deR, E un espace vectoriel

norm. Pour 0 on pose( ) = sup { f (x) f (y) |(x, y )I 2, |x y| }.

Si f est uniformment continue sur I , alors ( ) 0 0.Proposition 13.9 [ Moments]Si f : [a, b] C continue vrienN, ba f (t)tn dt = 0, alors f est nulle.[Indication : Par linarit pour toute fonction polynmiale. Conclure enconstruisant P C[X ] tel que P f est de signe constant ou appliquer le thormedapproximation de Weierstrass.]

Thorme 13.3 [RelvementC 1]Soit I un intervalle de R, f : I U 3 de classe C 1. Alors il existe C 1(I, R) telle quetI, f (t) = ei (t ) .[Indication : procder par analyse et synthse. Il existe aussi un thorme derelvement continu mais plus difcile dmontrer.]

Lemme 13.2 [Riemann-Lebesgue]Soit f : [a, b] R continue par morceaux. Alors

ba f (t)eit dt 0.[Indication : suivre la mthode de construction de lintgrale.]

3. On rappelle queU est lensemble des nombres complexes de module 1.


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Thorme 13.4 [Critre de Weyl]On dit que la suite (un )nN dlments de [0, 1] est quirpartie si

[a, b]

[0, 1], 1n Card{k [1, n] | uk [a, b]} n + b a. Alors cette condition estquivalente au fait que pN

,

1n

n

k =1

e2ipu k n + 0.

[Indication : montrer dabord (un ) est quirpartie si et seulement si pour toute fonction f : [0, 1] C continue par morceaux,

1n

n

k =1

f (un ) n + 1

0f (t)dt.

Conclure en appliquant le thorme de Weirstrass trigonomtrique. ]

Lemme 13.3 [Dini]Soit (X, d ) un espace mtrique compact, E un K-espace vectoriel norm,(f n ), g des applications de X dans E continues. On suppose que x X, f n (x) g(x) E n + 0 en dcroissant. Alors (f n ) convergeuniformment vers g sur X .


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Dans toute la suite, (K, + , ) est un corps. Les thormes dalgbre linaireseront noncs sous leur forme endomorphisme , mais il existe un noncanalogue sous forme matrice .


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14 Algbre gnrale

Dnition 14.1 [quipotence]Deux ensemblesA et B sont dits quipotents sil existe f : A B bijective.

Lquipotence est une relation dquivalence.

Thorme 14.1 [Cantor-Bernstein]Soient A et B deux ensembles tels quil existe f : A B et g : B Ainjectives. Alors A est quipotent B .[Indication : on peut poser X = {C P (A) | g(F \f (C )) E \C }. Montrerque X nest pas vide, puis poser K =

C X

C , montrer que K X et enn queg(B\f (K )) = A\K .]Dnition 14.2 [Dnombrabilit ]Un ensemble est dit dnombrable sil est quipotent N. Par exemple,NN, Q, Q[X ] sont dnombrables, mais pasP (N).Thorme 14.2 [Cantor]R nest pas dnombrable.[Indication : raisonner par labsurde et numroter les lments de

[0, 1]. Enconsidrant les dveloppements dcimaux de ces nombres le procd diagonal de

Cantor fournit un autre nombre de [0, 1] distinct de tous les autres.]

Dnition 14.3 [Sous-groupe]Un sous-groupe du groupe (G,) est une partie H G telle que :

1. 0G H ;2. H est stable par;

3. H est stable par passage linverse pour.Proposition 14.1 [Sous-groupe distingu ]Un sous-groupe distingu H du groupe (G,) est un sous-groupe tel que

h H, g G, ghg 1H . De plus, un sous-groupe H est distingu siet seulement si il existe un morphisme de groupes : (G,) (G ,) telque H = Ker.


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Dnition 14.4 [Sous-anneau]On appelle sous-anneau de (A, + ,

) tout sous-groupe de (A, +) contenant1A et stable par.

Dnition 14.5 [Idal]On appelle idal de lanneau commutatif (A, + ,) tout sous-groupe G de(A, +) tel que(a, g)A G, ag = gaG. De plus,aA, aA = {ax | xA}est un idal.Dnition 14.6 [Sous-espace vectoriel]Soit E un K-espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel de E est une partieF telle que :

1. 0E F ;2. x, y F, K, x + y F .

Dnition 14.7 [Caractristique]La caractristique dun corps K est le plus petit nombre premier p tel que p1K = 0K. Sil nexiste pas de tel entier, on dit queK est de caractristiquenulle.


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15 Polynmes

Dnition 15.1 [Fonctions symtriques lmentaires]Soit n N, x1, . . . , x n K. Pour k [1, n], on dnit par k-ime fonctionsymtrique lmentaire par

k (x1, . . . , x n ) =AP ([1,n ])CardA = k

A

x .

Thorme 15.1 [Relations racines-coefcients]

Soit P =n

k =0

ak X k

K[X ] scind sur K dont on note x1, . . . , x n les racines

comptes avec multiplicit. Alorsk [[1, n]],k (x1, . . . , x n ) = ( 1)k

an kan

.

Thorme 15.2 [Gauss-Lucas]Soit P C[X ] de racines z 1, . . . , z n . Alors toute racine de P est danslenveloppe convexe des racines de P , cest dire que toute racine de P est barycentre coeffcients positifs de z 1, . . . , z n .

[Indication : dcomposer P

P en lments simples, valuer la relation en les racinesde P et utiliser la quantit conjugue.]

Proposition 15.1 [Interpolation de Lagrange]Soient a0, . . . , a n K, on pose k [[0, n]]

Lk = j =0 j = k

X a jak a j

.

Alors (L0, . . . , L n ) est une base deKn [X ] etP Kn [X ], P =n

k=0P (ak )Lk .

Lemme 15.1 [Polynme minimal etK-algbre engendre]Soit A une K-algbre, a A, K[a] = {P (a) | P K[X ]}. Si a admetun polynme annulateur minimal a , alors K[a] est de dimension nie etdimK(K[a]) = deg a .[Indication : sid = dega , poser : P Kd 1[X ] P (a)K[a] et montrer que est un isomorphisme deK-espaces vectoriels en utilisant notamment une divisioneuclidienne.]


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16 Algbre linaire

Lemme 16.1 [Rang dun projecteur]On supposeK de caractristique nulle.Si pestun projecteur sur unK-espacevectoriel E de dimension nie, alors Tr p = rg p[Indication : E = Ker pIm p, crire la matrice de p dans une base adapte cettedcomposition.]

Proposition 16.1 [Somme directe et projecteurs]Soient F 1, . . . , F q des sous-espaces duK-espace vectoriel E . Alors

E =q

i=1

F i si et seulement si il existe p1, . . . , pq

L (E ) tels que

(i, j ) [[1, p]], pi pi = pi , i = j pi p j = 0 etq

i=1

pi = IdE . Dans ce cas,

i[[1, q ]], pi est le projecteur sur F i paralllement q

i=1 j = i

F j .

Proposition 16.2 [Trace et formes linaires]Pour toute forme linaire : Mn (K) K, il existe une unique matriceA0 Mn (K) telle queX Mn (K), (X ) = Tr(A0X ).[Indication : introduire lapplication linaire adapte : A MK()A oA : X MK Tr(AX ). Montrer que est un isomorphisme.]Thorme 16.1 [Gnration de SLn (K) et de GLn (K)]Pour (i, j ) [[1, n]]2 tels que i = j et K, on dnit la matrice detransvection T i,j () = In + E i,j et la matrice de dilatation D i () la matricediagonale de coefcients diagonaux Di ()[i, i ] = et Di ()[ j, j ] = 1 pour j

= i. On a alors les deux rsultats suivants :1. GLn (K) est engendr par les matrices de transvection et de dilatation,

plus prcismentM GLn (K),M = T i 1 ,j 1 (1) . . . T i p ,j p ( p)Dn (det M );

2. SLn (K) est engendr par les matrices de transvection.[Indication : la dmonstration se faitparun algorithmedoprations lmentaires

sur les matrices que lon interprte comme des produits pas des matrices de

transvection ou de dilatation.]


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Proposition 16.3 [Changement de base]Soient B , B deux bases dun K-espace vectoriel E, P = MatB (B ) lamatrice de passage deB dans B .Prenons xE, X = MatB (x), X

= MatB (x). On a alors la relation

X = P X

Lemme 16.2 [Produit tensoriel]Soient p, q,r, s N, A M p,q (K), B = Mr,s (K). On dnit le produittensoriel de A et de B par

AB =a1,1B a1,n B... ...an, 1B an,n B

M pr,qs (K).

Un calcul par blocs montre alors que A, A M p,q (K)(K), B, B Mr,s (K)(K).

(AB) (AB ) = ( A A)(B B ).Lemme 16.3 [Produit de comatrices]

A, B Mn (C),com(A B) = com(A) comB.

[Indication : faire dabord le cas inversible, puis raisonner par continuit/densit enutilisant la densit de GLn (K) dansMn (C).]Proposition 16.4 [Diagonale dominante]Soit A

Mn (C). Si

i

[[1, n]],

|A[i, i ]| >n

j =1 j = i

|A[i, i ]|,

alors A est inversible.[Indication : prendre un vecteur X tel que AX = 0, et prendre i0 tel que|X [i0]| estmaximale. La ligne i0 du systme dquation fournit X = 0.]


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Lemme 16.4 [Vandermonde]Soit a1, . . . , a n

K,

1 1a1 an... ...

an 11 an 1n=

1 i


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17 Rduction

Proposition 17.1 [Polynme caractristique]SoitAMn (K), on considre la matriceAX In Mn (K[X ]). Le polynme

caractristique de A est A = det( A X In )K[X ]. De plus, A est de degrn et est de la forme.

A = (1)n (X n TrAX n 1 + n 1(A)X n 2 + + 1(A)X + (1)n det A).Les valeurs propres de A sont les racines de A .

Thorme 17.1 [Indpendance des sous-espaces propres]Soit E un K-espace vectoriel, u L (E ). Alors la famille des sous-espacespropres de u est indpendante : des vecteurs propres associs des valeurspropres deux deux distinctes forment un systme libre.

Lemme 17.1 [Gershgorin]

Soit AMn (C), pour i[[1, n]] on pose i =n

j =1 j = i

|A[i, j ]|.

Alors le spectre complexe de A est inclus dansn

i=1

D f (A[i, i ], i ).

[Indication : utiliser la proprit de diagonale dominante.]

Dnition 17.1 [Projecteurs spectraux]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, u L (E ) diagonalisable,1, . . . , p ses valeurs propres. Les projecteurs spectraux de u sont les( i ) i[[1,n ]] o i [[1, n]], i est le projecteur sur E i (u) paralllement la somme des autres sous-espaces propres. On a alors les rsultatssuivants :

(i, j )[[1, n]]2, i j = ij P i ;

p

i=1

i = IdE ;

P K[X ], P (u) = p

i=1

P ( i ) i .


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Thorme 17.2 [Polynmes annulateurs et valeurs propres]Soit E un K-espace vectoriel, u

L (E ) et P

K [X ]. Si P est un polynme

annulateur de u, toute valeur propre de u est racine de P . Si de plus P estle polynme minimal de u, alors lensemble des valeurs propres de u estexactement lensemble des racines de P .[Indication : pour le deuxime point, utiliser le fait quaucun polynme annulateurde u ne peut diviser P minimal pour u.]

Thorme 17.3 [Dcomposition des noyaux]Soit E un K-espace vectoriel, u L (E ), P 1, . . . , P k K[X ] premiers entredeux deux deux. Alors

Ker P 1 . . . P k (u) =k

j =1

Ker P j (u) .

Proposition 17.2 [Polynmes annulateurs et diagonalisation]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, u L (E ). Les assertionssuivantes sont quivalentes4 :

1. u est diagonalisable ;

2. u admet un polynme annulateur scind racines simples ;3. le polynme minimal de u est scind racines simples.

Thorme 17.4 [Cayley-Hamilton]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie nN

, uL (E ). Alors

u (u) = 0 L (E ) .

Proposition 17.3 [Polynmes annulateurs et trigonalisation]

Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, u L (E ). Les assertionssuivantes sont quivalentes :1. u est trigonalisable ;2. u admet un polynme annulateur scind ;3. u est scind.

4. Lquivalence (1) (3) nest pas au programme


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Thorme 17.5 [Sous-espaces caractristiques]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, u

L (E ). On suppose u

scind, u =r

i=1

( i X )m i , les i tant deux deux distincts. On appellesous-espaces caractristiques de u les C i (u) = Ker((u iIdE )m i ). Alors :

les C i (u) sont stables par u ; E est la somme directe des C i (u) et dans une baseB adapte cette

dcomposition,

MatB (u) =

i Im 1 + N 1 0 00 ... ... ..

.... ... ... 00 0 r Im r + N r

ou i [[1, r ]], si on note A i la matrice de u |C i (u ) dans la sous-base deB idoine, N i = A i iIm i et N m ii = 0.

[Indication : on utilise Cayley-Hamilton et le thorme de dcomposition desnoyaux.]

Proposition 17.4 [Sous-espaces stables]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, u L (E ). Une droiteVect(a) avecaE \{0}est stable paru si et seulement sia est vecteur proprede u. SoitB une base de E, H = Ker un hyperplan de E o E \{0}est telle que MatB (u) = ( a1 an ) = t X . Alors H est stable par u si etseulement si X est vecteur propre de t MatB (u).

Lemme 17.2 [Plan stable]Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie, alors tout endomorphisme

de E admet une droite ou un plan stable.

Lemme 17.3 [Commutation et stabilit ]Soit E un K-espace vectoriel, u, v L (E ) tels que v u = u v. Alors toutsous-espace propre de v est stable par u.


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Thorme 17.6 [Diagonalisation simultane]Soit (A )I une famille de matrices de

Mn (K ). Les matrices (A )I

sont simultanment diagonalisables si et seulement si I , A estdiagonalisable et I, A A = A A 5[Indication : pour le sens difcile, procder par rcurrence sur n avec desendomorphismes et isoleru0 qui ne soit pas une homothtie et appliquer lhypothsede rcurrence aux sous-espaces propres de u0.]

Proposition 17.5 [Endomorphismes cycliques]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, u L (E ). u est cycliquesi il existe v0 E tel que E = Vect(u

k(v0))kN. Dans ce cas, le commutant de

u (v L (E )|u v = v u) est K[u] et u = (1)n u o u est le polynmeminimal de u.[Indication : si f commute avec u, alors f (v0) est un polynme en les (uk (v0))kN, gnraliser ce rsultat f (uk (v0)) pour k N.]

5. Il existe un nonc analogue en remplaant diagonalisable par trigonalisable.


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18 Dualit

Dnition 18.1 [Codimension]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie. La codimension dun sous-

espace vectoriel F de E est la dimension de tout supplmentaire de F dansE .

Dnition 18.2 [Crochet de dualit ]Soit E un K-espace vectoriel. Lapplication

< ., . > : E E K(, v)

< ,v >

est bilinaire. Si de plus E est de dimension nie, cest une dualit parfaite.

Thorme 18.1 [Base antduale]Soit E un K-espace vectoriel de dimnension nie n N. Pour toute base(1, . . . ,n ) de E il existe une unique base (e1, . . . , e n ) de E telle que i [[1, n]], i = ei relativement (e1, . . . , e n ). (e1, . . . , e n ) est la base antdualede (1, . . . ,n ).

Lemme 18.1 [Intersection de noyaux]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, 1, . . . ,n , E . Alors Vect(1, . . . ,n ) si et seulement si

p

j =1

Ker j Ker.[Indication : pour le sens difcile, complter un systme libre maximale en base deE , prendre la base antduale et dcomposer sur la base de E .]


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19 Espaces prhilbertiens

Dans toute cette partie,K = R

ouC

.Dnition 19.1 [Produit scalaire]Soit E un K-espace vectoriel, on appelle produit scalaire sur E touteapplication : E E K telle que :

1. est linaire droite ;2. est symtrique siK = R, hermitienne siK = C ;3. est dnie positive.

(E, ) est alors un espace prhilbertien.

Thorme 19.1 [Cauchy-Schwarz]Soit E un espace prhilbertien,x, y E,

|(x|y)| (x|x) (y|y)avec galit si et seulement si (x|y) est lie.[Indication : tudier, pour tR, (x + ty|x + ty).]

Proposition 19.1 [Identit du paralllogramme]Soit E un espace prhilbertien muni de la norme associe au produitscalaire. Alorsx, y E , on a

x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2).Proposition 19.2 [Identit de polarisation]Soit E un espace prhilbertien muni de la norme associe au produitscalaire.

SiK

=R

, alorsx, y E , on a(x|y) =

12

x + y 2 x 2 y 2 . Si K = C, alors la formule prcdente est valable pour la partie relle

du produit scalaire do la formule suivante, pour x, y E ,(x|y) =

12

x + y 2 x 2 y 2 + ix + y 2 x 2 y 2 .


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g(v1, . . . , vn ) = 0 si et seulement si (v1, . . . , vn ) est lie; si (v1, . . . , v p) est une base du sous-espace vectoriel F de E , alorsu

E ,(d(u, F ))2 = g(v1, . . . , v p, u)

g(v1, . . . , v p) .

Lemme 19.1 [Projecteur orthogonal]Soit E un espace prhilbertien, p un projecteur de E . SixE, p(x) x , alors p est orthogonal.

[Indication : utiliser la mthode de glissement.]

Proposition 19.6 [Topologie des matrices]Voici un tableau rcapitulant les diverses proprits topologiques desensembles de matrice relativement la topologie de Mn (R) ou Mn (C)muni dune norme quelconque.K dsigneR ou C.

On (R) compact SOn (R) compactUn (C) compact GLn (K) ouvert denseSLn (K) ferm dintrieur vide {AMn (C) | A diagonalisable} denseS+n (R) ferm S++n (R) ouvert de S+n (R)

Lemme 19.2 [Valeurs propres dune antisymtrique]La seule valeur propre relle dune matrice antisymtrique coefcientscomplexes est 0.[Indication : Multiplier lquation aux lments propres AX = X par tX t A gauche.]

Lemme 19.3 [Valeurs propres dune hermitienne]Si AMn (C) est hermitienne (t A = A), alors SpC(A)R.Lemme 19.4 [Schur]Dans un espace prhilbertien de dimension nie, tout endomorphismetrigonalisable lest en base orthonormale.[Indication : rsulte de Gram-Schmidt.]


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Thorme 19.4 [Spectraux]Les thormes suivants rsultent dune application judicieuse du lemme deSchur :

1. Une matrice A Mn (C) est hermitienne si et seulement si elle estunitairement diagonalisable valeurs propres relles ;

2. Une matrice A Mn (R) est symtrique si et seulement si elle estorthogonalement diagonalisable ;

3. A Mn (C) est unitaire si et seulement si elle est unitairementdiagonalisable valeurs propres de module 1.

Proposition 19.7 [Racine carre]Pour tout A S+n (R), il existe une unique matrice B S+n (R) telle queA = B 2.[Indication : utiliser le thorme spectral pour lexistence, et considrer lesrestrictions aux sous-espaces propres pour lunicit.]

Thorme 19.5 [Dcomposition polaire]Pour toute AGLn (R), il existe un unique couple (S, P )S

++n (R) On (R)

tel que A = SP . Si on a juste A Mn (R), alors il existe un couple (S, P ) S+n (R) On (R) tel que A = SP .[Indication : pour A GLn (R), prendre pour S une racine carre de At A. Pour lecas gnral, utiliser la densit de GLn (R) et le fait que SL+n (R) est ferm.]

Proposition 19.8 [min max]Soit E un espace euclidien, u

L (E ) symtrique, 1 n les valeurspropres de u. Pour d [[0, n]], on pose X d lensemble des sous-espacesvectoriels de E de dimension d et la sphre unit de E . Alors,

k

[[1, n]]

k = inf F X k

supxF

(x|u(x)) = supF X n +1 k inf xF (x|u(x)) .

[Indication : prendre une base (e1, . . . , e n ) de vecteurs propres de u, et considrerles sous-espaces F k = Vect(e1, . . . , e k ) et Gk = Vect(en +1 k , . . . , e n ). ]


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Proposition 19.9 [Formule de rexion]Soit E un espace euclidien, n

E

\{0

}, H =

{n

}. Alors la rexion par

rapport H est lendomorphisme

H : E E x x

2(n|x)nn 2

Thorme 19.6 [Cartan]Soit E un espace euclidien, O(E ) est le sous-groupe de (GL(E ), ) engendrpar les rexions. Plus prcisment, tout u O(E ) peut sexprimer commecompos de n p rexions o p = dimKer(u IdE ).[Indication : montrer dabord que sin = dimE 2, x, y E , il existe une uniquerexion qui change x et y. Procder ensuite par rcurrence sur n p en utilisantle fait que tout endomorphisme dun espace euclidien admet un plan ou une droitestable.]

Proposition 19.10 [Expression intrinsque dune rotation]Soit E un espace euclidien de dimension 3, R la rotation daxe dirig etorient par n

E

\{0

}et dangle . Alors

x

E ,

R(x) = cos x + sin nx

n + (1 cos )

(n|x)n 2

n.

Lemme 19.5 [Famille quasi-orthonormale]Soit E un espace prhilbertien rel, (u1, . . . , u p) des vecteurs de E tels que

xE, x2 = pi=1 (ui |v)2. Alors E = Vect(u1, . . . , u p).

[Indication : montrer que E = {0}.]Lemme 19.6 [Similitude surR etC]Soient A, B Mn (R) telles que P GLn (C), A = P 1BP . Alors A et Bsont aussi semblables via une matrice de GLn (R).[Indication : dcomposer P = R + iS o R et S sont coeffcients rels, dduire dela relation de similitude un systme de deux quations. x R : det(R + xS ) est polynmiale en x donc sannule un nombre ni de fois.]


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20 Formes bilinaires symtriques et quadratiques

Dans la suiteK est un corps de caractristique nulle ou plus grande que 2.Dnition 20.1 [Forme quadratique et polaire]Soit E un K-espace vectoriel. une forme bilinaire symtrique de E onassocie la forme quadratique q dnie par q : x E (x, x ) K. On ditaussi que est la forme polaire de q .

Proposition 20.1 [Caractrisation des formes quadratiques]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, q : K E est une formequadratique si et seulement si elle sexprime parun polynme homogne de

degr 2 en les coordonnes de la variable dans une base de E quelconque.Thorme 20.1 [Congruence]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, n N, B , B deux bases de E , P la matrice de passage deB vers B , une forme bilinairesymtrique. Si A = MatB () et A = MatB (), alors

A = tPAP.

Thorme 20.2 [Rduction en carr ]

Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, une forme bilinairesymtrique. Alors il existe une base B de E telle que MatB () soitdiagonale. Autrement dit, siB = ( e1, . . . , e n ), alors il existe e1, . . . , e n telles

que pour tous x =n

i=1

xi ei , y =n

i=1

yi ei , (x, y) =n

i=1

ei xi yi .

[Indication : procder par rcurrence et considrer lhyperplanH = {xE |(x, e1) = 0}o (e1, e1) = 0 .]Dnition 20.2 [Signature]

Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie, Q une forme quadratique.Lindicede positivit p de Q est la dimension maximale des sous-espaces surlesquelsQ est dnie positive. Lindice de ngativit q deQ est la dimensionmaximale des sous-espaces sur lesquels Q est dnie ngative. Le couple( p, q ) est la signature de Q.

Thorme 20.3 [Cauchy-Schwarz pour les FBS positives]Soit E un R-espace vectoriel, une forme bilinaire symtrique positive.Alors

x, y

E

|(x, y)| (x, x ) (y, y).www.edukaty.com

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Dnition 20.3 [Noyau, cne isotrope dune FBS]SoitE unK-espace vectoriel,une forme bilinaire symtrique etq sa formequadratique associe. Le noyau de est le sous-espace vectorielKer = {xE |y E, (x, y) = 0}. Le cne isotrope de q est lensembleK = {xE |q (x) = 0}.Thorme 20.4 [Forme rduite de Sylvester]Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, une forme bilinairesymtrique de signature ( p, q ). Alors il existe une baseB de E dans laquelleon ait, par blocs,

MatB () = I p 0 00 Iq 00 0 0

.

[Indication : utiliser la rduction en carr.]

Dnition 20.4 [Endomorphisme symtrique dune FBS]SoitE un espace euclidien, une forme bilinaire symtrique. Alors il existeun unique L (E ) symtrique tel que x, y E, (x, y) = (( x)|y) =(x

|(y)) . Les matrices de et concident dans nimporte quelle base

orthonorme de E .

Thorme 20.5 [Rduction simultane de deux FBS]Soit E un R-espace vectoriel de dimension n, 1, 2 deux formes bilinairessymtriques telles que 1 est dnie positive. Alors il existe une baseB deE dans laquelle MatB (1) = In et MatB (2) = Diag(1, . . . , n ).[Indication :1 est en fait un produit scalaire surE , prendre une base orthonormale pour 1 qui rduit 2 donne par le thorme spectral.]


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21 Quadriques de R3

Dnition 21.1 [Quadrique]Une quadrique deR3 est une surface dquation

f (x ,y,z ) = ax 2 + by2 + cz 2 + 2 dxy + 2 ezx + 2 fzy

q(x,y,z )+ gx + hy + iz + j = 0,

o a, b, c, d, e, f ,g, h, i, j R.Proposition 21.1 [Quadriques centre]On peut classier les quadriques possdant un centre de symtrie en

fonction de la forme de leur quation rduite dans un repre orthonormal devecteurs propres de la matrice de la forme bilinraire associe lquationde la quadrique et centr sur le centre de symtrie de la quadrique.

quation rduite Nature de la surfacexa

2+

yb

2+

z c

2= 1 ellipsode

xa

2+

yb

2

z c

2= 1 hyperbolode une nappe

x

a

2

y

b

2

+

z

c

2

= 1 hyperbolode deux nappesxa

2+

yb

2= 1 cylindre base elliptique

xa

2

yb

2= 1 cylindre base hyperbolique

xa

2+

yb

2

z c

2= 0 cne de rvolution

Proposition 21.2 [Quadriques asymtriques]Si la quadrique ne prsente pas de centre de symtrie, on peut tout de mme

rduire lquation dans un repre orthonormal qui diagonalise la formequadratique associe lquation de la quadrique.

quation rduite Nature de la surfacexa

2+

yb

2=

z c

paraboilode elliptiquexa

2

yb

2=

z c

parabolode hyperbolique

y = kx2 cylindre parabolique


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-1-2-3-4

-5

012345

-1-2-3-4

-5

0 12 3 4 5

-1-2-3-4

01234

x y

z Parabolode elliptique

-1-2-3-4

-5

012345

-1-2-3-4

-5

0 12 3 4 5

-1-2-3-4

01234

x y

z Parabolode hyperbolique


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22 tude afne des courbes et surfaces

Proposition 22.1 [Branches innies en polaires]Soit : I R o I est un intervalle de R, larc dquation polaire ().Soit 0 R tel que () 0 , alors = 0 est direction asymptotiquecar y()

x() = tan 0 tan 0. Pour tudier lasymptote, on se place dans le

repre mobile (O;u 0 , u 0 + 2 ) et il suft de voir si()sin(0) admet unelimite en 0.

Thorme 22.1 [Position par rapport au plan tangent]

SoitS

une surface de R3

dnie par z = (x, y) avec : U R2

R

de classe C 2. Soit M 0 = ( x0, y0) R2, pose r = 2x 2

(x0, y0), t = 2y2

et

s = 2x 2y2

.

1. Si rt s2 > 0, il existe un voisinage V de M 0 tel queS V \{M 0} estinclus dans un des demi-espaces dlimits par le plan tangent. M 0 estdit elliptique.

2. Si r t s2 < 0, dans tout voisinage de M 0 il existe des points deS depart et dautre du plan tangent. M 0 est dit hyperbolique.

3. Si rt s2 = 0 , on ne peut rien dire sauf que M 0 est dgnr.


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Prpa MP

23 Intgrales curvilignes

Dnition 23.1 [Formes diffrentielles] toute application f : U R o U est un ouvert deRn de classeC k 1 on

peut associer la forme diffrentielle

: U (Rn )M (df )(M )

On dit que f est une primitive de . De plus, si (e1, . . . , en ) est la base canonique de (Rn ), i [[1, n]], on note dxi = ei et on crit(M ) =

n

i=1

pi(M )

dx

i .Rciproquement, on dit que est exacte sil existe f : U R declasseC k 1 telle quei[[1, n]], pi =

f x i

.

Proposition 23.1 [Forme ferme]Une forme diffrentielle

: U Rn RM

n

i=1 pi (M )dxi

de C 1 est dite ferme si elle vrie (i, j ) [[1, n]]2, pix j

= p jx i

. Cest unecondition ncessaire lexactitude de .

Dnition 23.2 [Intgrale curviligne]Soit une forme diffrentielle continue sur U , : [a, b] U continue etC 1 par morceaux, U tant un ouvert deRn . Soit (a0, . . . , a p) une subdivisionadapte au caractre C 1 par morceaux de , on pose alors lintgrale

curviligne de sur le chemin orient comme tant

= p 1 j =0 a j +1a j [((t))]( (t))dtDe plus, si (M ) =

n

i=1

pi (M )dxi et (t) = ( 1(t), . . . , n (t)) , alors

= p 1

j =0

a j +1

aj

n

i=1

pi ((t)) k (t)dt.


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Prpa MP

Thorme 23.1 [Poincar ]Soit U un ouvert toil, : U

Rn

(Rn )une forme diffrentielleC 1

ferme. Alors est exacte et si U est toil par rapport A U , alorslapplication M U [AM ] est une primitive de et toute autreprimitive de diffre de celle-ci dune constante.

Thorme 23.2 [Green-Riemann]Soit U un ouvert de R2 , un compact inclus dans U de frontire oriente, (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy une forme diffrentielle de classeC 1 surU . Alors

= d = Qx Qy dxdy

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Kit de Survie eDukaty Mathématiques MP-PSI