Chapitre 1 Équilibrage des solides en rotation MP PSI

Cyc

le05

Équilibrage des solides en rotation

Sciences

Industrielles de

l’Ingénieur

PSI?

–M

P

Cours

Chapitre 1

Équilibrage des solides en rotation

Savoirs et compétences :

p Mod2.C16 : torseur cinétiquep Mod2.C17 : torseur dynamiquep Mod2.C17.SF1 : déterminer le torseur dynamique d’un solide, ou d’un ensemble de solides,

par rapport à un autre solidep Mod2.C15 : matrice d’inertiep Res1.C2 : principe fondamental de la dynamiquep Res1.C1.SF1 : proposer une démarche permettant la détermination de la loi de mouvementp Res1.C2.SF1 : proposer une méthode permettant la détermination d’une inconnue de liaison

Turbine à gaz Alstom

Turborécateur Snecma

1 Introduction 21.1 Problématique industrielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Présentation du support de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modélisation du problème 32.1 Paramétrage du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Analyse préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Conditions d’équilibrage 53.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Équilibrage statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Équilibrage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 Conditions d’équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.5 Illustration de l’équilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Réalisation de l’équilibrage 64.1 Présentation de la méthode d’ajout de masses ponctuelles

64.2 Équations de détermination de l’équilibrage . . . . . . . . . 74.3 Mise en oeuvre : machine d’équilibrage industriel . . . . . 7

Émilien DurifPSI? – MP

1 Introduction1.1 Problématique industrielle

Le mise en rotation de rotor à haute vitesse (à partir de quelques centaines de tours par minute) est une confi-guration classique rencontrée dans l’industrie. Si un défaut géométrique existe, cela induit une dissymétrie de larépartition de masse qui provoque des effets vibratoires pouvant aller jusqu’à la rupture des éléments de guidage(paliers, roulements à billes).

Afin d’éviter ces problèmes il convient d’équilibrer dynamiquement ces rotors ce qui implique de rendre lesactions mécaniques au niveau des guidages en rotation constantes au cours du temps.

1.2 Présentation du support de cours

Exemple — Étude d’une pompe turbo-moléculaire. On s’intéresse ici à l’étude d’une pompe à vide destinée àla fabrication de composants électroniques capable d’évacuer des gaz en créant un vide de l’ordre 10−9 mbar dansune chambre blanche. Les conditions du cahier des charges sont très exigeantes et résumées dans le diagrammedes exigences partiel suivant :

Diagramme des exigences partiel de la pompe à vide

Émilien Durif 2 Cycle 05– Équilibrage des solides en rotationChapitre 1 – Cours

Sciences Industriellesde l’Ingénieur

Rotor de la pompe Vue en coupe du guidage par paliers magnétiques de la pompe

2 Modélisation du problème2.1 Paramétrage du problème

La figure ci-dessous représente le paramétrage d’unrotor S3 en mouvement par rapport à S0.

O O3

G3

S0

S3

Paramétrage du problème• Le référentiel R0 associé à S0 est supposé comme

étant galiléen.• Le guidage par paliers magnétiques entre le rotor S3

et le bâti S0 est modélisé par une liaison pivot d’axe(O3,−→z 0,3) avec bâti S0.

• Le paramètre du mouvement de S3/S0 est défini parθ = (−→x0 ,−→x3 ).

• Le rotor S3 est de masse m3, de centre de masse G3

tel que−−−→O3G3 = b−→y3 + c−→z3 .

• Le rotor S3, bien qu’ayant une symétrie théoriquede révolution est en réalité imparfait. Sa matriced’inertie en O3 est donnée par :

I O3(S3) =

A3 −F3 −E3

−F3 B3 −D3

−E3 −D3 C3

R3

• Un moteur, non représenté, entraîne S3 avec uncouple Cm

−→z0,3 à vitesse constante (ω= θ ).• L’accélération de la pesanteur est dirigée selon +−→y0

et vaut g = 9,81 m s−2.

2.2 Analyse préliminaireFaire le bilan des actions mécaniques extérieures pour S3.

• Action du bâti (liaison pivot) : T (S0→ S3)=

X03−→x0 +Y03

−→y0 +Z03−→z0

L03−→x0 +M03

−→y0

∀P∈(O3,−→z0,3)

• Action du moteur : T (moteur→ S3)= −→

0Cm−→z0

∀P

.

• Action de la pesanteur : T (pesanteur→ S3)=

m3g−→y0−→0

G3

=

m3g−→y0−−−→O3G3 ∧

m3g−→y0

=

b−→y3 + c−→z3

∧

m3g−→y0

O3

=

m3g−→y0

m3g

−b sinθ−→z0,3− c−→x0

O3

Déterminer le torseur dynamique D (S3/R0) en O3.


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• Le solide S3 est en mouvement de rotation autour de l’axe

O3,−→z0,3

fixe par rapport à R0.

D (S3/R0)=

−→Rd (S3/R0) =m3

−→a (G3 ∈ S3/R0)−−−−−−−−→δ (O3,S3/R0) =

d−−−−−−−−→σ(O3,S3/R0)

dt

R0

O3

• On calcule−→Rd (S3/R0) :

−→Rd (S3/R0) =m3

−→a (G3 ∈ S3/R0) =m3

h

d−→V (G3∈S3/R0)

dt

i

R0

.

Or,−→V (G3 ∈ S3/R0) =

−−−→G3O3 ∧

−→Ω (S3/R0) = (−b−→y 3− c−→z3 )∧ θ−→z0,3 =−b θ−→x3 .

Donc,

−→Rd (S3/R0) =−b m3

θ−→x3 + θ

d−→x3

dt

R0

=−b m3

θ−→x3 + θ2−→y3

=−b m3ω2−→y3 =−b m3ω

2

−sinθ−→x0 + cosθ−→y0

• On calcule−−−−−−−−→σ (O3,S3/R0). O3 est fixe par rapport à R0 :

−−−−−−−−→σ (O3,S3/R0) = I O3

(S3)−→Ω (S3/R0) =

A3 −F3 −E3

−F3 B3 −D3

−E3 −D3 C3

R3

·

00θ

R3

= θ

−E3−→x3 −D3

−→y3 +C3−→z3

• On calcule−−−−−−−→δ (O3, 3/R0) : O3 est fixe par rapport à R0 :

−−−−−−−→δ (O3, 3/R0) =

d−−−−−−−−→σ (O3,S3/R0)

dt

R0

=

−E3 · θ +D3θ2−→x3 +

−D3 · θ −E3θ2−→y3 +C3 · θ−→z0,3

=D3ω2−→x 3−E3ω

2−→y3

=ω2

(D3 · cosθ +E3 · sinθ )−→x0 + (D3 · sinθ −E3 · cosθ )−→y0

• On en déduit D (S3/R0) exprimé dans la base b0 =−→x0 ,−→y0 ,−→z0

:

D (S3/R0)=

−b m3ω2

−sinθ−→x0 + cosθ−→y0

ω2

(D3 · cosθ +E3 · sinθ )−→x0 + (D3 · sinθ −E3 · cosθ )−→y0

O3

Déduire du Principe Fondamental de la Dynamique, les équations de mouvement.Le Principe Fondamental de la dynamique appliqué à S3 par rapport au référentiel R0 donne :

Théorème de la résultante dynamique :

−→x0−→y0−→z0

X03 = b m3ω2 sinθ

Y03+m3g =−b m3ω2 cosθ

Z03 = 0

Théorème du moment dynamique en O0 :

−→x0−→y0−→z0

L03 =ω2 (D3 · cosθ +E3 · sinθ ) + c m3gM03 =ω2 · (D3 · sinθ −E3 · cosθ )

Cm −m3g b sinθ = 0

Propriété — Évolution des efforts au niveau des paliers au cours du temps. Lorsque le rotor n’est pas équilibrédynamiquement (comme dans l’exemple précédent), les actions extérieurs dans la liaison pivot dépendant de laposition angulaire et fluctuent cycliquement.

On donne ci-dessous les évolutions des composantes de l’action mécanique dans la liaison pivot pour unerotation du rotor 3 :

• opérateur d’inertie : E3 = 0 et D3 = 10−4 kg m2 ;• masse et centre de masse : m3 = 10 kg, c = 0 mm et b = 0,05 mm ;• rotation de 3/0 :ω= 30 000 tour/min.



Il apparaît des variations d’efforts de l’ordre de 10 kN et de moment de 2 kNm sur des périodes très brèves(2 ms) ce qui constitue une source importante de vibrations pour la structure. Ces valeurs sont très supérieures àcelles exigées par le cahier des charges puisqu’on ne tolère au maximum que 5 N.

3 Conditions d’équilibrage3.1 Présentation

Définition — Équilibrage d’un solide en rotation. Pour éviter les vibrations, il faut rendre l’action mécaniqueextérieure s’exerçant sur un solide en rotation la plus constante possible. Il faut donc qu’elle soit indépendante dela vitesse de rotation (ω).

• On en tire les conditions de l’équilibrage statique en vérifiant cette définition sur les équations dynamiquesde mouvement en résultante.

• On en tire les conditions de l’équilibrage dynamique en vérifiant cette définition sur les équations dyna-miques de mouvement en moment.

3.2 Équilibrage statique

Exemple — Mise en œuvre de l’équilibrage statique du rotor S3. Déterminer les conditions d’équilibragestatique.

Les équations en résultantes impliquent que le paramètre b doit être nul. Cela revient à dire que le centred’inertie G3 soit sur l’axe de rotation

O3,−→z0,3

de S3 par rapport à S0.

3.3 Équilibrage dynamique

Exemple — Mise en œuvre de l’équilibrage dynamique du rotor S3. Déterminer les conditions d’équilibragedynamique.

Les équations en moment impliquent que D3 = E3 = 0. Cela revient à dire que l’axe

O0,−→z0,3

soit axe principald’inertie du solide S3.

3.4 Conditions d’équilibrageDéfinition — Condition d’équilibrage d’un solide en rotation. Un solide équilibré doit vérifier les deux conditionssuivantes :

• son centre d’inertie se situe sur son axe de rotation ;• son axe de rotation est axe principal d’inertie : les produits d’inertie sont nul selon cet axe.


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3.5 Illustration de l’équilibrage

Illustration avec deux masses ponctuelles

• (a) : Les 2 masses ne sont pas à la même distance de l’axe de rotation : on n’a ni équilibrage statique ni équilibragedynamique.

• (b) : Les deux masses sont à la même distance de l’axe : on a réalisé l’équilibrage statique.• (c) : Les deux masses sont en face l’une de l’autre : on a réalisé l’équilibrage dynamique.

4 Réalisation de l’équilibrage4.1 Présentation de la méthode d’ajout de masses ponctuelles

On utilise alors deux masses d’équilibrage ponctuelles m1 et m2 localisées sur la jante (rayon r) sur sa partie avant(masse m1) et sur sa partie arrière (masse m2) par les angles Φ1 et Φ2. On définit alors leur position par :

•−−−→O3G1 = r−→x1 +h−→z3

•−−−→O3G2 = r−→x2 −h−→z3

FIGURE 1 – Définition du problème avec la présence de masses d’équilibrage

On considère dorénavant l’ensemble cinématiquement lié E = 1+2+3 :



• Soit G son centre d’inertie ;

• I O3(E ) sont opérateur d’inertie en O3 : I O3(E ) =

A −F −E−F B −D−E −D C

R3

.

Exemple — Détermination de l’équilibrage statique. Traduire la relation donnée par l’équilibrage statique.

• La condition d’équilibrage statique implique :−−→O3G−→x3 = 0 et

−−→O3G−→y3 = 0.

• La formule du barycentre donne :−−→O3G = m1

−−−→O3G1+m1

−−−→O3G2+m3

−−−→O3G3

m1+m2+m3.

• On peut exprimer−−−→O3G1 et

−−−→O3G2 dans la base b3 =

−→x3 ,−→y3 ,−→z0,3

:

−−−→O3G1 = r cosΦ1

−→x3 + r sinΦ1−→x3 +h−→z0,3

−−−→O3G2 = r cosΦ2

−→x3 + r sinΦ2−→x3 −h−→z0,3

•−−→O3G−→x3 = 0 donne : r (m1 cosΦ1+m1 cosΦ1) = 0.

•−−→O3G−→y3 = 0 donne : m3b + r (m1 sinΦ1+m1 sinΦ1) = 0.

Traduire la relation donnée par l’équilibrage dynamique.• L’opérateur d’inertie de E en O3 doit avoir la direction

O3,−→z0,3

comme principale d’inertie d’où D = E = 0.• On obtient alors une relation avec l’expression de D : D = D3 +m1 y1z1 +m2 y2z2 = D3 +m1r sinΦ1h −

m2r sinΦ2h .• On obtient alors une relation avec l’expression de E : E = E3 +m1 x1z1 +m2 x2z2 = E3 +m1r cosΦ1h −

m2r cosΦ2h .

4.2 Équations de détermination de l’équilibrageDéfinition — Équations de détermination de l’équilibrage. En notant,

• xi , yi et zi (i allant de 1 à 2) les coordonnées des deux masselottes dans le repère

O ;−→xs ,−→ys ,−→zs

lié à unsolide S ,

• rs la distance entre le centre d’inertie de S par rapport à

O ,−→zs

,

• Ds , Es et Es les produits d’inertie du solide S dans la base bs =−→xs ,−→ys ,−→zs

L’écriture des condition d’équilibrage d’un solide en rotation autour d’un axe

O ,−→zs

donne :

Centre d’inertie G sur l’axe de rotation Axe de rotation

O ,−→z

axe principal d’iner-tie du solide S

m1 x1+m2 x2 = 0 D =Ds +m1 y1z1+m2 y2z2

m3rs +m1 y1+m2 y2 = 0 E = Es +m1 x1z1+m2 x2z2

4.3 Mise en oeuvre : machine d’équilibrage industrielPropriété — Mise en œuvre de l’équilibrage dynamique.

D’après l’étude précédente, on obtient 4 équations avec 8 inconnues (m1, m2, x1, y1, z1, x2,y2 et z2). Il faut donc imposer 4 variables. Généralement pour des raisons pratiques commedans l’exemple précédent, on impose z1 et z2 puis on impose une relation entre x1 et y1

puis entre x2 et y2 cela revient à fixer une distance entre les masses additionnelles et l’axede rotation. Dans la pratique on utilise une équilibreuse qui mesure les efforts au niveaudes paliers et qui en déduit les variables citées précédemment pour obtenir les conditionsd’équilibrage.


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