L3 Physique et M ecanique - perso.limsi.fr · 5.2 Force de Lorentz et equations de Maxwell ... r esulte de l’acceptation que la force qui s’exerce entre deux corps ne d epend

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L3 Physique et Mecanique

Mecanique Lagrangienne

(Version du 23 mars 2016)

Luc PASTUR

Table des matieres

1 Reperes historiques 31.1 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Un nouveau principe fondamental en mecanique 102.1 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Exemple : la particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Deplacements et travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Principe de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Systemes sous contraintes 153.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Une classification des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Forme d’une corde pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Fonction dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Theoremes de conservation 214.1 Lagrangiens equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Moment conjugue et variable cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Energie et translation dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Impulsion et translation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Moment cinetique et rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Un principe fondamental en physique 255.1 Vers une theorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Force de Lorentz et equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

Chapitre 1

Reperes historiques

Si c’est une convention de dire que la Terre tourne, c’est egalementune convention de dire qu’elle existe, et ces deux conventions se jus-tifient par des raisons identiques.

Paul PAINLEVE

Sommaire1.1 Cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Cinematique

La cinematique est la science qui permet de decrire le mouvement (position, vitesse, acceleration)des corps, relativement a d’autres corps qui servent de referentiel (le sol, le soleil, les etoiles fixes),tandis que la dynamique s’attache a expliquer le mouvement des corps et les causes qui lui ontdonne jour. On se donne un repere, pour la mesure des longueurs, et une horloge, pour la mesuredes durees. Selon le probleme considere, on utilise l’un ou l’autre des reperes suivants :

• Le systeme de coordonnees cartesiennes (ex, ey, ez), fixe dans le referentiel choisi.

• Le systeme de coordonnees cylindriques (eρ, eθ, ez), particulierement adapte lorsque lesysteme presente un axe de symetrie. C’est le cas par exemple du mouvement des corpscelestes dans le plan de l’ecliptique.

• Le systeme de coordonnees spheriques (er, eθ, eφ), adapte pour les problemes qui presententune symetrie spherique.

• Le systeme de coordonnees curvilignes, attache au corps solide et qui l’accompagne dansson mouvement.

L’etude du mouvement des corps, par la determination de leur acceleration, suggere deja leprincipe fondamental de Newton et permet de reveler des constantes du mouvement.

L’etude de la chute libre des corps, laches suivant la verticale ou sur un rail incline, permet de

3

CHAPITRE 1. REPERES HISTORIQUES 4

mettre en evidence les mouvement uniformement acceleres, tels que

a(t) = a0v(t) = v0 + a0(t− t0)x(t) = x0 + v0(t− t0) + 1

2a0(t− t0)2

Il apparaıt en outre une constante du mouvement G = 12v

2 − a0x qui n’est autre que l’energiemecanique du systeme :

dG

dt= v

(dv

dt− a0

)= 0.

L’etude du mouvement des planetes permet egalement d’etablir empiriquement les lois du mou-vement qui deviendront par la suite des consequences du principe fondamental de la dynamiquelorsque la force appliquee est centrale et inversement proportionnelle au carre de la distance entrele Soleil et la planete. Johannes Kepler, reprenant plus precisement l’analyse du mouvement dela planete Mars commencee par son maıtre et ami Tycho Brahe, et supposant que la trajectoirede la Terre est circulaire autour du Soleil, etablit par l’observation les lois suivantes :

Premiere loi : les centres des planetes decrivent des ellipses dont l’un des foyers estoccupe par le soleilSeconde loi : les rayons vecteurs balaient en des temps egaux des aires egalesTroisieme loi : les cubes des grands axes des orbites sont proportionnels aux carres destemps de revolution.

Du point de vue de la Dynamique, les deux premieres lois impliquent une force centrale varianten 1/r2 ; la troisieme loi permet quant a elle d’etablir que la constante de gravitation ne dependpas des planetes.

1.2 Dynamique

On peut raisonnablement considerer le principe de causalite comme la base de la science mo-derne [9]. Dans son expression la plus simple, ce principe peut s’enoncer de la maniere suivante :

(A) “Si a deux instants, les memes conditions sont realisees, transportees seulementdans l’espace et le temps, les memes phenomenes se reproduiront, transportes seulementdans l’espace et le temps.”

Cet enonce “intuitif” repose en fait sur notre habilete a definir l’espace et le temps, et notrecapacite a mesurer des longueurs et des durees. Cette mesure ne peut porter, en pratique, que surdes quantites relatives, c’est-a-dire rapportees a un etalon, de longueur ou de temps. Ainsi, si laregle utilisee se racourcit ou s’allonge quand on se deplace dans l’espace (par rapport au metre-etalon), ou qu’on mesure le temps a l’aide d’une horloge qui prend de l’avance ou du retard (parrapport a l’horloge siderale), les deux phenomenes compares, identiques dans le premier systemede mesure, apparaıtront differents dans le second. En langage positif, le principe s’enoncerait ainsid’une maniere legerement remaniee :

“On peut mesurer la distance et le temps de telle facon que l’enonce (A) soit vrai.”

Implicitement, le principe de causalite suppose l’existence d’un systeme de reference absolu dansl’espace et le temps, par rapport auquel les lois de la mecanique doivent etre rapportees. C’est surce postulat fondamental — que les mouvements absolus satisfont rigoureusement au principe decausalite — que s’est construite la Mecanique. Du principe de causalite, il devait resulter que l’etatinitial du systeme suffisait a determiner son mouvement. Les scolastiques 1 et les coperniciens 2

acceptaient le principe de causalite ; les premiers pensaient que l’etat initial du systeme etait

1. Ecole de pensee reposant sur les idees aristoteliciennes, integrees au dogme de l’Eglise.2. Adeptes de la doctrine de Copernic dans laquelle le Soleil occupe le centre du monde et les planetes tournent

autour de lui.


entierement donne par les positions de ses elements a un instant donne, les seconds que les positionsseules ne suffisent pas et que les vitesses initiales de chacun des elements doivent etre egalementconnues. La prise en compte des vitesses initiales du systeme, resulte de cette observation quele mouvement d’un corps isole tend a rester le meme. Le principe de causalite ainsi interpreteconduit donc a la conclusion qu’un element materiel infiniment eloigne de tous les autres resteabsolument fixe si la vitesse initiale est nulle, et decrit une droite s’il est anime d’une vitesseinitiale. Pour certaines raisons de simplicite, appuyees sur des observations astronomiques, lescoperniciens admettaient de plus que le mouvement absolu du systeme est non seulement rectiligne,mais egalement uniforme, qui donnera le principe de l’inertie repris par Galilee puis pose commepremiere loi par Newton. La force se definit alors comme l’action qui fait devier un corps de sonmouvement rectiligne uniforme. La grandeur dirigee qui represente mathematiquement la force doitdonc avoir le sens de la deviation et etre proportionnelle a la fois a la grandeur de cette deviationet a la quantite de matiere deviee. Le changement de la vitesse d’un corps par une force, durantun temps infiniment petit, conduit Galilee a definir la notion d’acceleration et ses successeursa “inventer” le calcul differentiel. L’operation de differentiation est ainsi capable de resoudre lesphenomenes les plus complexes du mouvement en actions elementaires, c’est-a-dire en actions quis’exercent entre elements de matiere pendant un temps infinitesimal. A l’inverse, le calcul integralpermet d’effectuer l’operation inverse et de calculer le mouvement fini d’un coprs materiel a partirde la connaissance des forces qui s’exercent sur lui a chaque instant, et des conditions initialesproprement definies. Le principe de composition des forces, etabli en Statique depuis l’antiquite,Galillee et Newton l’admettent pour la Dynamique ; elle permet de decomposer la force totalequ’un corps quelconque S exerce sur un element materiel P en forces exercees sur P par les diverselements de S. La troisieme loi, dite de l’action et de la reaction, resulte de l’acceptation que laforce qui s’exerce entre deux corps ne depend que de leurs positions et non de leur vitesses absolues.Cette hypothese, acceptee comme “evidente” par Galilee, n’est pas dictee par l’experience maisest heritee des anciens principes scholastiques. Ce postulat a neanmoins singulierement contribueau developpement de la Mecanique.

Toutes les definitions supposent que les elements materiels sont formes d’atomes (au sensethymologique du terme) identiques. Cette hypothese, longtemps restee inverifiable, peut etreremplacee par l’adjonction d’un nombre, defini comme la masse, qui repond aux conditions sui-vantes : i) il reste le meme quelles que soient les transformations subies par l’element, pourvu quecelui-ci ne perde ni n’acquiere aucune parcelle de matiere ; ii) toutes les propositions eneonceesjusqu’ici reste vraies en regardant la masse d’un element comme le nombre de ses atomes. Le corpsdes axiomes de la mecanique se trouve ainsi constitue independamment de toute arriere-penseesur la composition de la matiere.

Newton fait la distinction entre mouvements relatifs — ceux auxquels nous avons acces —,et absolus — rapportes a l’espace absolu. Un referentiel est donc necessaire, par rapport auquelest rapporte le mouvement d’un corps, et dans ce referentiel un repere, fixe ou attache au corps,est choisi qui permet de mesurer les caracteristiques du mouvement au cours du temps. Il s’agitd’enoncer une ou plusieurs lois sur les causes du changement du mouvement. La grandeur fonda-mentale introduite par Descartes est la quantite de mouvement p = mv, qui resulte du produit dela masse de l’objet par sa vitesse. Les lois de la mecanique, selon Newton 3, s’enoncent selon lestrois principes suivants :

3. Robert Hooke revendiquait aussi la paternite de l’enonciation des principes fondamentaux de la Dynamique ;malgre son indeniable contribution aux principes enonces par Newton, ce dernier refusa toujours a Hooke lesremerciements qu’il lui reclamait.


1. Principe d’inertieTout corps isole subsiste dans son etat de repos ou de mouvement rectiligneuniforme.

2. Principe fondamental de la dynamiqueLa variation de la quantite de mouvement d’un corps est directement proportion-nelle a la somme de toutes les forces externes appliquees :

dp

dt=∑

F app (1.1)

3. Principe de reaction mutuelleDeux corps en interaction exercent l’un sur l’autres des actions egales en intensiteet opposees en sens.

Il est utile ici de faire un certain nombre de remarques :

• La masse qui intervient dans le principe fondamental de la dynamique est la masse inerte,qui s’oppose a la mise en mouvement d’un corps ou a un changement de mouvement. Ilest important ici de remarquer que la masse grave, ou masse pesante, qui intervient dansla force d’attraction gravitationnelle, est a priori differente de la masse inerte. C’est unfait d’experience que le rapport des masses graves de deux corps est egal au rapport deleurs masses inertes (a moins de 10−12). La coıncidence de ces deux grandeurs, toujours in-expliquee, est a la base du principe d’equivalence enonce par Einstein en relativite generale.

• L’etat de repos correspond a un mouvement rectiligne uniforme a vitesse nulle, ce qui peutsimplifier encore l’enonce du premier principe.

• Lorsque la masse d’un corps est constante, le second principe se reduit a

ma =∑

F app (1.2)

ou a est le vecteur acceleration. La question de la constance de la masse inerte est a labase des developpements de la Mecanique, en ce que l’on reconnaıt aux corps une qualitequi se conserve au cours du temps, tantot assimilee a sa quantite de matiere (le premier adefinir la masse de cette maniere fut Newton), tantot definie comme le rapport inverse desaccelerations mutuellement induites par deux corps qui interagissent (ce que fit E. Machpour eviter le piege de la quantite de matiere qu’il jugeait vide de sens) [8].

• La force de Lorentz est un cas “etrange”, en ce sens que cette force ne depend plus seulementde la position relative de la particule chargee mais aussi de sa vitesse : F = q(E + v×B).Une consequence est que l’action mutuelle que deux corps charges en mouvement exercentl’un sur l’autre ne se trouve pas portee par l’axe qui relie les deux particules, comme c’estgeneralement le cas des forces gravitationnelle mg ou electrostatique qE. Le principe del’action et de la reaction reste valable, mais dans une forme faible. Une autre consequence estque la force de Lorentz, adjointe aux equations de Maxwell, ne sont pas invariantes lors dupassage d’un referentiel d’inertie a un autre. Woldemar Voigt, George Fitzgerald,Hendrik Lorentz, Henri Poincare et Albert Einstein, ont contribue, a des degresdivers, a developper la theorie nouvelle, (improprement) denommee relativite restreinte [12].La transformation de Lorentz-Poincare laisse les equations de l’electromagnetisme in-variantes par changement de referentiel inertiel [5].

• Bien qu’Ernst Mach reconnaisse pleinement le genie intellectuel d’Isaac Newton, etnotamment des concepts clairement formules dont la Mecanique lui est redevable, il n’enest pas moins tres critique a l’egard de sa formulation des principes de base de la Mecanique.


Ainsi, selon Mach, une formulation appropriee, economique pour reprendre son expression,serait la suivante [8] :

A. Principe experimental. — Deux corps en presence l’un de l’autre determinent l’un surl’autre, dans des circonstances qui doivent etre donnees par la physique experimentale,des accelerations opposees suivant la direction de la droite qui les unit. (Le principe del’inertie se trouve deja inclu dans cette proposition).

B. Definition. — On appelle rapport des masses de deux corps l’inverse, pris en signecontraire, du rapport de leurs accelerations reciproques.

C. Principe experimental. — Les rapports des masses des corps sont independantes des cir-constances physiques (qu’elles soient electriques, magnetiques ou autres) qui determinentleurs accelerations reciproques. Ils restent aussi les memes, que ces accelerations soientacquises directement ou indirectement.

D. Principe experimental. — Les accelerations que plusieurs corps A, B, C, . . . determinentsur un corps K sont independantes les unes des autres. (Le theoreme de la compositiongeometrique des forces est une consequence immediate de ce principe).

E. Definition. — La force motrice est le produit de la valeur de la masse d’un corps parl’acceleration determinee sur ce corps.

1.3 Energie

Une formulation equivalente de la Mecanique repose sur les notions historiques de travail etforce vive, regroupees sous le vocable moderne d’energie. Le premier a en avoir percu la porteefut le physicien neerlandais Christiaan Huygens dans la resolution du “probleme du centred’oscillation”. Par-dela sa pertinence en Mecanique, elle permet en plus de rapprocher differentschamps de la physique en posant comme principe que celle-ci puisse subir des transformations,qui la font changer de qualites, de sorte que la quantite totale d’energie se conserve. Parmi sesformes, la plus subtile et inattendue revelee par les developpements de la science au XXe siecle,reside dans l’equivalence entre masse (inertielle) et energie, liees par une constante fondamentalede la physique, c, qui apparaıt dans la transformation de Lorentz-Poincare et a les dimensionsd’une vitesse 4 :

E = mc2.

Parmi toutes les formes prises par l’energie, il en est une qui recut tres tot la plus grandeattention de la Mecanique. La force vive, aujourd’hui appelee energie cinetique, permet a un corpsanime d’une vitesse de s’elever jusqu’a une hauteur egale (ou legerement inferieure) a celle delaquelle il avait ete lache sans vitesse initiale. Huygens remarqua que la hauteur h variait commele carre de la vitesse du corps. Cette force vive etant par ailleurs proportionnelle a la masseinertielle des corps, elle s’ecrit naturellement mv2. Remarquant que la relation entre la hauteurde chute et la vitesse acquise est exactement h = v2/2, il s’ensuit la definition bien connue del’energie cinetique :

T =1

2mv · v =

1

2mv2, (1.3)

Changer l’etat de mouvement d’un corps sur la distance d` implique l’action d’une force quitravaille selon :

δWF = F · d`, (1.4)

qui a la dimension est celle d’une energie, exprimee en Joule :

[W ] = J =ML2T −2.

Une force perpendiculaire au mouvement ne peut pas etre a l’origine de ce mouvement.

4. Vitesse qu’on assimile a celle de la lumiere.


Remarque : Le mouvement etant relatif au referentiel choisi, l’energie cinetique ou le travaild’une force sont egalement relatifs a ce referentiel.

L’energie etant une grandeur additive, l’energie d’un systeme est la somme des energies dechacune de ses parties.

La puissance P d’une force est l’energie susceptible d’etre forunie par la force sur une dureeinfinitesimale :

P =δW

dt. (1.5)

L’unite de puissance est le Watt,

[P] = W = J · s−1 =ML2T −3.

Dans le systeme d’unites international, l’unite de temps est la seconde. Si l’on choisit l’heure pourunite de temps, le kW pour l’unite de puissance, alors l’energie s’exprime en kWh — utilisee pourquantifier la consommation d’electricite :

1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3.6 MJ.

Un theoreme extremement important peut etre etabli lorsqu’on s’interesse a la maniere dont letravail d’une force modifie le mouvement d’un corps :

WA→B =

∫ B

A

F · d`

=

∫ B

A

mv

dt· v dt

=

∫ B

A

1

2mv2

dt· dt

=1

2m(v2B − v2A)

La variation d’energie cinetique est egale au travail des forces appliquees au cours du mouvemententre A et B :

∆T = TB − TA = WA→B (1.6)

qui est le theoreme de l’energie cinetique.Certaines forces derivent d’une fonction scalaire, l’energie potentielle V :

F = −∇V. (1.7)

C’est par exemple le cas de la force de pesanteur :

mg = −∇V avec V = mgz.

Dans un tel cas de figure, le travail des forces s’ecrit :

WA→B = −∫ B

A

∇V · d`

= VA − VB= −∆V

La variation d’energie potentielle du corps est egale a l’oppose du travail des forces appliqueesdurant le mouvement. Le theoreme de l’energie cinetique se reduit alors a :

∆T + ∆V = 0


c’est-a-dire que la somme T + V est egale a une constante, que l’on definit comme l’energiemecanique totale du systeme. La force F , dans ce cas, est dite conservative car elle ne dissipe pasl’energie.

Chapitre 2

Un nouveau principe fondamentalen mecanique

L’action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesseet par l’espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne del’Etre supreme : lorsqu’il arrive quelque changement dans la Nature,la quantite d’Action employee pour ce changement est toujours laplus petite qu’il soit possible.

Pierre Louis Moreau de MAUPERTUIS

Sommaire2.1 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Equations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Exemple : la particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Deplacements et travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Principe de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Principe de Hamilton

Dans sa Mechanique Analitique, Lagrange propose de considerer les problemes de mecanique dela facon suivante. Au lieu de determiner la position r(t) et la vitesse v(t) d’une particule a l’instantt connaissant son etat initial r(0), v(0), il demande : quelle est la trajectoire effectivement suiviepar la particule si, partant de r1 a l’instant t1, elle arrive en r2 a t2 ? Pour simplifier, consideronsd’abord le cas d’une seule dimension d’espace. Parmi l’infinite de trajectoires possibles, quelle estla loi qui determine la bonne ? Lagrange sait qu’on peut repondre a cette question par le principed’economie naturelle de Fermat, repris par Maupertuis. Le principe variationnel comme nous lepresentons ici n’a pas la forme utilisee par Lagrange. Il a ete reformule par Hamilton en 1834.Nous l’exposons sous cette forme, plus generale que celle proposee par Lagrange (NB : L dependde coordonnees q et derivees) :

La trajectoire d’un systeme de l’instant t1 a l’instant t2 est tel que l’integrale d’action S

S =

∫ t2

t1

Ldt, (2.1)

ou L = T − V , a une valeur stationnaire pour la trajectoire vraie du mouvement.

10

CHAPITRE 2. UN NOUVEAU PRINCIPE FONDAMENTAL EN MECANIQUE 11

Autrement dit, de tous les chemins possibles que le point-systeme pourrait emprunter entre sespositions aux temps t1 et t2, il empruntera effectivement le chemin qui rend S stationnaire, c’est-a-dire pour lequel S conserve sa valeur, au premier ordre en les differences infinitesimales entretrajectoires voisines, qui different de la trajectoire optimale par des deplacements infinitesimaux.Autrement dit encore, la trajectoire est telle qu’une variation de la ligne integrale S, pour destemps t1 et t2 fixes, est nulle :

δS(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) = δ

∫ t2

t1

L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) dt = 0, (2.2)

2.2 Equations de Lagrange

Le principe de moindre action stipule que le chemin q?(t) emprunte par le systeme est celuiqui optimise l’integrale d’action, c’est-a-dire tel que

δS = δ

∫ t2

t1

L(q?1 , . . . , q?n, q

?1 , . . . , q

?n, t) dt = 0.

On differencie des trajectoires voisines, dans l’espace des configurations, en introduisant un pa-rametre ε tel que q(t) = q(t, ε). La trajectoire optimale est definie par q?(t) = q(t, 0), qui est lechemin solution que l’on cherche. Un chemin voisin du chemin optimal est alors defini par

q1(t, ε) = q1(t, 0) + εη1(t)...

qn(t, ε) = qn(t, 0) + εηn(t)

(2.3)

ou les ηi(t) sont des fonctions arbitraire du temps, independantes, qui s’annulent aux pointsextremes du chemin (en t1 et t2) et sont derivables jusqu’a l’ordre 2. On recherche donc la solutionq(t, 0) ≡ q?(t) pour laquelle

δS ≡(dSdε

)ε=0

dε = 0, (2.4)

qui se traduit par :dSdε

=

∫ t2

t1

(∂L∂q

∂q

∂ε+∂L∂q

∂q

∂ε

)dt = 0. (2.5)

Or, ∫ t2

t1

∂L∂q

∂q

∂εdt =

∫ t2

t1

∂L∂q

∂2q

∂t∂εdt =

[∂L∂q

∂q

∂ε

]t2t1

−∫ t2

t1

d

dt

(∂L∂q

)∂q

∂εdt. (2.6)

c’est-a-diredSdε

=

∫ t2

t1

(∂L∂q− d

dt

∂L∂q

)∂q

∂εdt = 0. (2.7)

La condition de stationarite (2.5) est alors equivalente a :∫ t2

t1

(∂L∂q− d

dt

∂L∂q

)(∂q

∂ε

)ε=0

dt = 0. (2.8)

Ainsi,

δS =

∫ t2

t1

(∂L∂q− d

dt

∂L∂q

)δq dt = 0. (2.9)

en ayant defini le deplacement infinitesimal δq par :

δq ≡(∂q

∂ε

)ε=0

dε. (2.10)


Les fonctions(∂q∂ε

)= η(t), ou δq, etant arbitraires, sauf aux extremites, et continues par hypothese,

l’equation (2.9) est verifiee, sur tout le chemin, si et seulement si

∂L∂q− d

dt

∂L∂q

= 0. (2.11)

qui sont les equations d’Euler-Lagrange. La notation δ est utile pour definir des variationsintegrales lors de la manipulation de familles parametriques de chemins variables tels que definispar l’equation (2.3).

2.3 Exemple : la particule libre

Une particule libre n’etant soumise a aucun potentiel, toute son energie est cinetique et L =mv2/2. En coordonnees cartesiennes, les equations d’Euler-Lagrange se reduisent trivialement a

mx = 0, my = 0, mz = 0.

Nous retrouvons le principe d’inertie : tout corps libre persiste dans son mouvement rectiligneuniforme. Exprime en coordonnees spheriques, le Lagrangien devient :

L =1

2m(r2 + r2θ2 + r2 sin2 θφ2

),

et les equations d’Euler-Lagrange :

r = rθ2 + r sin2 θφ2, θ = φ sin θ cos θ, φ = 0.

Une solution evidente est φ = 0, θ = 0, r = 0, qui represente bien un mouvement rectiligneuniforme depuis (ou vers) le point O, mais cela n’epuise a priori pas toutes les solutions.

2.4 Deplacements et travaux virtuels

Un deplacement virtuel, infinitesimal, d’un systeme, traduit un changement dans la configu-ration du systeme du a un changement infinitesimal des coordonnees δri coherent avec les forceset les contraintes appliquees au systeme a un instant t. Ce changement est dit virtuel pour ledistinguer d’un deplacement reel du systeme se produisant sur un intervalle de temps dt, durantlequel les forces et les contraintes peuvent changer.

A l’equilibre, la resultante F i des forces appliquee (F(a)i ) et de contraintes (F

(c)i ), sur chaque

particule, est nulle, F i = F(a)i + F

(c)i = 0. Le travail virtuel de la force F i, au cours d’un

deplacement δri, est alors nul. Il en va de meme du travail virtuel total du systeme :∑i

F i · δri =∑i

F(a)i · δri +

∑i

F(c)i · δri = 0. (2.12)

On se restreint alors aux systemes pour lesquels le travail virtuel total des forces de contraintesest nul. Cette condition est valable pour les corps rigides, mais l’est egalement pour de nombreuxautres systemes et contraintes. Ainsi, si une particule est contrainte de se deplacer sur une surface,la force de contrainte est perpendiculaire a la surface, tandis que le deplacement virtuel doitetre tangent a la surface, de telle sorte que le travail virtuel s’annule. Ce n’est plus vrai si desforces de frottement sont presentes, et de tels systemes doivent etre exclus de la formulation.Cette restriction n’est neanmoins pas redhibitoire, puisque le frottement est essentiellement unphenomene macroscopique. D’autre part, les forces de frottement associees au roulement ne violentpas cette condition, puisque ces forces agissent en un point momentanement au repos et ne peutfournir aucun travail durant un deplacement infinitesimal coherent avec la contrainte de roulement.Il est a noter que si le point est contraint sur une surface qui bouge elle-meme dans le temps,


la force de contrainte est instantanement perpendiculaire a la surface et le travail durant undeplacement virtuel reste nul, meme si le travail durant un deplacement dans le temps dt n’estpas necessairement nul. Ainsi, le principe du travail virtuel stipule qu’un systeme est a l’equilibrelorsque le travail virtuel des forces appliquees est nul :∑

i

F(a)i · δri = 0. (2.13)

Les coefficients des δri ne peuvent pas, en general, etre annules, F(a)i 6= 0, car les δri ne sont

pas tous independants. Pour pouvoir annuler les coefficients, il est necessaire d’ecrire le principesous une forme faisant intervenir les deplacements virtuels des qi, qui sont independants. Lesdeplacements virtuels δri et δqi sont relies par :

δri =∑j

∂ri∂qj

δqj . (2.14)

Les variations temporelles dt n’interviennent pas ici puisque les deplacements virtuels, par definition,ne font intervenir que des variations dans les coordonnees. C’est a cette seule condition que ledeplacement virtuel peut etre perpendiculaire a la force de contrainte si celle-ci evolue dans letemps. Le principe du travail virtuel se reecrit, dans le systeme de coordonnees generalisees (qj) :∑

i

F i · δri =∑i,j

F i ·∂ri∂qj

δqj =∑j

Qjδqj , (2.15)

ou les Qj sont les composantes de la force generalisee, definie comme :

Qj =∑i

F i ·∂ri∂qj

. (2.16)

De la meme facon que les q n’ont pas la dimension d’une longueur, les Q n’ont pas necessairementla dimension d’une force. En revanche, le procduit Qjδqj doit toujours avoir la dimension d’untravail.

2.5 Principe de d’Alembert

L’equation (2.13) ne concerne que les equilibres statiques. Le principe du travail virtuel estgeneralise au mouvement general d’un systeme par le principe de d’Alembert. L’equation dumouvement, ecrite sous la forme :

F i −dpidt

= 0. (2.17)

indique que les particules d’un systeme sont a l’equilibre sous l’action d’une force egale a la forceeffective plus une force renversee effective −pi. L’Eq. (2.13) se generalise en∑

i

(F

(a)i − pi

)· δri = 0, (2.18)

en supposant toujours que le travail virtuel des forces de contrainte est nul. L’Eq. (2.18) est souventappelee principe de d’Alembert. Pour l’exprimer en fonction des coordonnees generalisees qj , onfait emploi de l’Eq. (2.18) et on transforme pi · δri en :∑

i

pi · δri =∑i,j

miri ·∂ri∂qj

δqj . (2.19)

Il faut remarquer que∑i

miri ·∂ri∂qj

=∑i

(d

dt

(miri ·

∂ri∂qj

)−miri ·

d

dt

(∂ri∂qj

)). (2.20)


Le dernier terme de cette equation se developpe en :

d

dt

(∂ri∂qj

)=∑k

(∂2ri∂qj∂qk

∂qk∂t

+∂2ri∂t∂qj

)=

∂

∂qj

∑k

(∂ri∂qk

qk +∂ri∂t

). (2.21)

On reconnaıt, dans le dernier terme de cette equation, la vitesse vi de la particule i :

vi =dri(q, t)

dt=∑k

(∂ri∂qk

qk +∂ri∂t

)(2.22)

de laquelle on deduit egalement l’egalite :

∂vi∂qj

=∂ri∂qj

, (2.23)

ce qui permet de transformer encore l’equation (2.20) en :∑i

miri ·∂ri∂qj

=∑i

(d

dt

(mivi ·

∂vi∂qj

)−mivi ·

∂vi∂qj

). (2.24)

Le principe de d’Alembert s’ecrit alors en fonction des coordonnees generalisees sous la forme :∑j

(Qj −

(d

dt

∂

∂qj

∑i

1

2miv

2i −

∂

∂qj

∑i

1

2miv

2i

))δqj = 0. (2.25)

c’est-a-dire, en identifiant∑i12miv

2i a l’energie cinetique T du systeme :∑

j

(Qj −

(d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj

))δqj = 0. (2.26)

Remarque : en coordonnees cartesiennes, la derivee partielle de T par rapport a qj s’annule,de sorte que ce terme resulte de la “courbure” des coordonnees qj . En coordonnees polaires, parexemple, la force centrifuge (acceleration centripete) resulte de la derivation partielle de T parrapport a l’une des coordonnees angulaires.

Les qj etant des variables independantes, tout deplacement virtuel δqj est independant dudeplacement virtuel δqk, si k 6= j, de sorte que la seule maniere de satisfaire l’equation (2.26) estd’annuler chacun de ses coefficients, simultanement :

d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj= Qj , (2.27)

conduisant a n equations independantes. Lorsque les forces F i derivent d’une fonction potentielscalaire V (r1, . . . , rN , t) :

F i = −∇iV (2.28)

les forces generalisees Qj s’ecrivent :

Qj =∑i

F i ·∂ri∂qj

= −∑i

∇iV ·∂ri∂qj

= −∂V∂qj

, (2.29)

et les equations (2.27) se re-ecrivent :

d

dt

∂(T − V )

∂qj− ∂(T − V )

∂qj= 0, (2.30)

dans la mesure ou ∂V/∂qj = 0. On definit alors une nouvelle fonction scalaire, le Lagrangien, par :

L = T − V, (2.31)

et le systeme (2.27) prend la forme des equations de Lagrange :

d

dt

∂L∂qj− ∂L∂qj

= 0. (2.32)

Chapitre 3

Systemes sous contraintes

Il ne faut pas attendre de la mecanique analytique de nou-veaux eclaircissements de principe sur la nature des phenomenesmecaniques. Bien plus, la connaissance de principe doit etre acheveedans ses traits essentiels avant qu’il soit possible de songer a la consti-tution d’une mecanique analytique, dont le seul but est la domina-tion pratique la plus simple de tous les problemes que l’on peutrencontrer. Celui qui meconnaıtrait cette situation ne pourrait com-prendre l’importante contribution de Lagrange, qui est essentielle-ment economique.

Ernst MACH

Sommaire3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Une classification des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Forme d’une corde pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Fonction dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Introduction

Dans certains cas, des contraintes s’appliquent sur le systeme de telle maniere que les coor-donnees ne peuvent pas varier independamment les unes des autres. C’est par exemple ce qui seproduit dans le probleme dit isoperimetrique, qui consiste a chercher dans le plan la courbe fermeequi a la plus grande aire pour un perimetre donne. Dans le plan muni d’un repere cartesien, oncherche donc l’equation y(x) de cette courbe telle que l’aire

A[x, y] =

∮y dx

soit maximale pour un perimetre donne :

p[x, y] =

∮ √1 + y′2 dx.

15

CHAPITRE 3. SYSTEMES SOUS CONTRAINTES 16

3.2 Une classification des contraintes

Il est souvent possible d’etablir des relations entre differentes coordonnees du systeme. Cer-taines sont evidentes, comme dans les corps solides, ou les contraintes imposent aux differentspoints qui composent le solide de rester a une distance constante les uns des autres. D’autres lesont moins, par exemple lorsqu’un principe de conservation s’applique au systeme. En fait, unecertaine habilete et surtout une bonne pratique sont requises pour poser, et resoudre, efficacementun probleme.

Les contraintes peuvent etre classees de differentes manieres. Une contrainte est dite holonomes’il est possible d’etablir une relation entre les coordonnees, et eventuellement le temps, sous laforme :

f(r1, r2, ..., rN , t) = 0 (3.1)

La distance entre deux points A et B d’un corps solide, de cordonnees respectives (xA, yA, zA) et(xB , yB , zB), s’ecrit ainsi (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 = AB2, qui est une contrainte dela forme (3.1).

Les contraintes non holonomes peuvent elles-memes etre de deux natures differentes :— elles sont dites bilaterales lorsqu’elles s’ecrivent sous la forme d’une egalite,— unilaterales lorsqu’elles font intervenir une inegalite.

Les parois d’un recipient imposent une contrainte non holonome aux molecules de gaz contenuesa l’interieur :

r2 − a2 ≤ 0 (3.2)

ou a est le rayon du recipient spherique.Une contrainte ne faisant pas intervenir explicitement le temps :

∂f

∂t= 0 (3.3)

est dite scleronome. Sinon elle est dite rheonome. Un corps tournant a vitesse angulaire Ω constanteautour d’un axe impose la contrainte θ = Ωt, si θ est la coordonnee utilisee pour reperer la positionangulaire du corps dans un plan perpendiculaire a l’axe de rotation. La contrainte est dans ce casholonome rheonome.

Les contraintes introduisent deux types de difficultes dans la resolution de problemes demecanique :

— Les coordonnees ri ne sont plus independantes puisqu’elles sont liees par des equations decontraintes, de sorte que les equations du mouvement ne sont pas independantes ;

— les forces de contraintes ne sont pas donnees a priori. Elles font ainsi partie des inconnueset doivent etre obtenues a partir de la solution recherchee. En effet, imposer des contraintesau systeme est une autre facon de dire que des forces sont presentes dans le probleme qui nepeuvent etre directement specifiees, mais qui sont plutot connues en fonction de leur effetsur le mouvement du systeme.

Dans le cas de contraintes holonomes, la premiere difficulte est resolue par l’introduction descoordonnees generalisees. Pour surmonter le second probleme, on aimerait pouvoir enoncer lamecanique de telle sorte que les forces de contraintes disparaissent, afin de n’avoir plus qu’aconsiderer les forces appliquees connues. Une facon de proceder est de remarquer, par exemple dansle cas de contraintes internes, que le travail des forces internes s’annule. C’est l’idee developpeedans le cadre du travail virtuel du chapitre ??.

3.3 Multiplicateurs de Lagrange

Le principe de Hamilton peut etre etendu, du moins formellement, a certains types de systemesnon holonomes. En derivant les equations de Lagrange soit a partir du principe de Hamilton,soit du principe de d’Alembert, le recours a des contraintes holonomes n’apparaıt qu’a la derniereetape, lorsque les variations des qi sont supposees independantes les unes des autres. Dans le calcul


variationnel, δq represente un deplacement virtuel depuis un point du chemin reel vers un pointdu chemin voisin. Avec des coordonnees independantes, c’est le chemin variationnel final qui estimportant, et pas la facon de le construire. Lorsque les coordonnees ne sont pas independantes,mais liees par des relation de contraintes, il devient important de considerer si le chemin estconstruit en adequation avec les contraintes.

Il s’avere que des systemes non holonomes peuvent etre etudies sur un principe variationnelseulement si les q peuvent etre relies par des relations differentielles de la forme :∑

k

alk dqk + alt dt = 0. (3.4)

Les coefficients alk, alt peuvent etre des fonctions des q et de t. On supposera qu’il existem relationsde ce type, l = 1, 2, . . . ,m. Les deplacements menant aux chemins voisins doivent satisfaire lesequations (3.4). Or, aucun chemin ne peut etre construit selon ces prescriptions, a moins que lesequations (3.4) soient integrables, auquel cas les contraintes sont holonomes. Les equations decontrainte pour des deplacements vituels s’ecrivent :∑

k

alk δqk = 0, (3.5)

et les chemins construits ne verifieront pas en general les equations (3.4). La procedure, pourreduire le nombre de deplacements virtuels afin de les rendre independants les uns des autres, estd’introduire des multiplicateurs de Lagrange, λ. Les equations (3.5) peuvent se re-ecrire :

λl∑k

alk δqk = 0, (3.6)

ou les λl, avec l = 1, 2 . . . ,m, sont des grandeurs indeterminees, fonctions en general des coor-donnees q et du temps t. D’autre part, le principe de Hamilton

δI = δ

∫ t2

t1

L(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t) dt = 0, (3.7)

est suppose rester valable pour les systemes non holonomes, ce qui implique :∫ t2

t1

dt∑k

(∂L∂qk− d

dt

∂L∂qk

)δqk = 0. (3.8)

On peut combiner les equations (3.8) avec les m equations de contrainte sur les deplacementsvirtuels δqk, en sommant les equations (3.6) sur l et en integrant le resultat par rapport au tempsentre les points 1 et 2 : ∫ t2

t1

∑k,l

λlalk δqk = 0. (3.9)

En sommant les equations (3.8) et (3.9), on obtient :∫ t2

t1

dt

n∑k=1

(∂L∂qk− d

dt

∂L∂qk

+∑l

λlalk

)δqk = 0. (3.10)

Les δqk ne sont toujours pas independants : n −m d’entre eux sont independants, tandis que msont relies par les equations (3.5). Neanmoins, les λl etant arbitraires, on peut en choisir certainstels que :

∂L∂qk− d

dt

∂L∂qk

+∑l

λlalk = 0, k = n+m+ 1, n+m+ 2, . . . , n, (3.11)


de sorte que maintenant, seules les n − m coordonnees independantes interviennent dans lesequations (3.10) ∫ t2

t1

dt

n−m∑k=1

(∂L∂qk− d

dt

∂L∂qk

+∑l

λlalk

)δqk = 0. (3.12)

Les δqk sont cette fois independants, ce qui conduit a :

∂L∂qk− d

dt

∂L∂qk

+∑l

λlalk = 0, k = 1, 2, . . . , n−m, (3.13)

soit au final, en combinant les equations (3.11) et (3.13) :

d

dt

∂L∂qk− ∂L∂qk

=∑l

λlalk = Q′k, k = 1, 2, . . . , n, (3.14)

qui sont les equations de Lagrange pour les systemes non holonomes. Nous avons donc n −minconnues, les n coordonnees qk et les m multiplicateurs de Lagrange λl, alors que l’on ne dispose,selon (3.13), que de n equations. Les n−m equations manquantes sont les equations de contrainteliant les qk, (3.4), ecrites sous la forme d’equations differentielles ordinaires du premier ordre :∑

k

alkqk + alt = 0. (3.15)

De la forme (3.14), on voit que les termes∑l λlalk = Q′k sont les forces generalisees de contrainte :

ces forces ne sont donc pas eliminees de la formulation, mais font partie de la solution.En fait, le principe de Hamilton adopte ici pour les systemes non holonomes requiert que les

contraintes ne travaillent pas lors des deplacements virtuels. Cela peut se voir en re-ecrivant leprincipe de Hamilton sous la forme :

δ

∫ t2

t1

L dt = δ

∫ t2

t1

T dt− δ∫ t2

t1

U dt = 0, (3.16)

qui peut se mettre sous la forme

δ

∫ t2

t1

T dt =

∫ t2

t1

∑k

(∂U

∂qk− d

dt

∂U

∂qk

)δqkdt, (3.17)

ou encore :

δ

∫ t2

t1

T dt = −∫ t2

t1

∑k

Qkδqk dt. (3.18)

Ainsi, la difference dans l’integrale temporelle de l’energie cinetique entre deux chemins voisinsest opposee a l’integrale temporelle du travail fourni lors des deplacements virtuels entre les deuxchemins. Le travail est celui produit par les forces qui derivent du potentiel generalise. Le prin-cipe de Hamilton ne peut rester valide pour les systemes non holonomes que si les forces decontrainte non holonomes ne travaillent pas durant le deplacement virtuel δqk. En pratique, cetterestriction est peu contraignante, car la plupart des problemes dans lesquels le formalisme nonholonome est utilise est liee aux roulements sans glissement, ou les contraintes ne travaillent pas.En fait, si l’hypoyhese de contraintes sans travail est faite des le depart, les arguments phy-siques qui conduisent aux equations (3.14) peuvent etre directement etendus pour deriver la formecomplete des equations de Lagrange non holonomes, cf equations (3.14). La condition de forcesde contraintes a travail nul peut s’ecrire ∑

k

Q′kδqk = 0. (3.19)


Dans le meme temps, les equations de contraintes impliquent que

λ`∑k

alkδqk = 0, l = 1, 2, . . . ,m. (3.20)

Ainsi, l’equation (3.19) est satisfaite si les forces de contrainte sont telles que :

Q′k =∑l

λlalk, (3.21)

ou les λl sont les multiplicateurs de Lagrange. Le reste de l’analyse procede des equations (3.13)et suivantes. Les contraintes non holonomes ne se reduisent pas toutes a la forme (3.4), commec’est le cas par exemple des contraintes qui s’ecrivent sous la forme d’inegalites. D’autre part, laforme (3.4) inclut aussi les contraintes hohlonomes. En effet, une contrainte holonome s’ecrivantsous la forme :

f(q1, q2, ..., qn, t) = 0 (3.22)

est equivalente a la forme differentielle :∑k

∂f

∂qkdqk +

∂f

∂tdt = 0, (3.23)

c’est-a-dire que l’on a ∑k

alk =∂f

∂qk, alt =

∂f

∂t(3.24)

dans l’equation (3.4). Ainsi, la methode des multiplicateurs de Lagrange peut egalement etreemployee pour des contraintes holonomes lorsque i) il n’est pas approprie de rendre toutes lescoordonnees independantes, ii) on veut determiner les forces de contraintes.

3.4 Forme d’une corde pesante

Considerons une corde de masse lineique µ constante et de longueur L, dans le plan (xOz).La corde est fixee a ses extremites en A(0, 0) et B(xB , zB). On veut determiner la forme dela corde a l’equilibre. La corde etant supposee non elastique, on doit imposer la contraintex2B + z2B ≤ L2. La position d’equilibre z(x) de la corde correspond a la configuration d’energiepotentielle gravitationnelle minimale. L’element de longueur de la corde, sur l’intervalle [x, x+dx],est d` =

√dx2 + dz2 =

√1 + z′(x)2dx. L’energie potentielle de la corde est dV = µgzd`, ou g est

l’acceleration de la pesanteur. Il s’agit maintenant de minimiser l’integrale :

V =

∫ xB

0

µgz(x)√

1 + z′(x)2 dx,

sous la contrainte

L =

∫ xB

0

√1 + z′(x)2 dx.

On cherche donc a minimiser la quantite :

V + λL =

∫ xB

0

µg(z − zλ)√

1 + z′2 dx,

ou l’on a introduit le multiplicateur de Lagrange λ = −µgzλ. L’equation d’Euler-Lagrange devient :

(z − zλ)z′′ = 1 + z′2,


dont la solution est du type chaınette :

z(x) = zλ + c cosh

(x− x0c

).

Elle depend des trois parametres zλ, c, et x0, qu’on peut exprimer en terme des conditions auxlimites et de la contrainte sur la longueur L. En effet, z(0) = 0 de sorte que zλ = −c cosh(x0/c) ;z(xB) = zB impose zB = c [cosh((xB − x0)/c)− cosh(x0/c)],

L =

∫ xB

0

√1 + z′(x)2 dx =

∫ xB

0

cosh

(x− x0c

)dx = c sinh

(xB − x0

c

)+ sinh (x0/c) .

La solution presente une symetrie par dilatations : si l’on multiplie toutes les quantites homogenesa une longueur par le meme facteur κ on obtient une solution pour une corde de longueur κLqui passe par les points (0, 0) et (κxB , κzB). Dans ce cas, c est remplace par κc. C’est donc cqui caracterise les unites de longueur choisies. Cette symetrie est due au fait que le lagrangien nedepend pas d’une echelle de longueur explicite. Nous trouvons pour le rapport zB/L :

zB/L =cosh ((xB − x0)/c)− cosh (x0/c)

sinh ((xB − x0)/c) + sinh(x0/c)= tanh

(xB − 2x0

2c

).

Le minimum de la chaınette est situe au point x0 qui peut ou non se trouver dans l’intervalle [0, a].Par ailleurs, pour c = 1, x0 = xB/2− arctanh(zB/L), ce qui implique x0 → −∞ pour zB/L→ 1(corde verticale orientee vers le haut), x0 = xB/2 pour zB = 0 (corde symetrique par rapport axB/2), et x0 → +∞ pour zB/L→ −1.

3.5 Fonction dissipation

Lorsque certaines forces ne peuvent pas etre derivees d’un potentiel, la forme des equations deLagrange est donnee par le systeme d’equation (2.27) :

d

dt


= Qj , (3.25)

ou L contient le potentiel des forces conservatives et Qj represente les forces qui ne derivent pasd’un potentiel. C’est ce qui se produit par exemple en presence de forces de frottement. Neanmoins,lorsque ces forces sont proportionnelles a la vitesse de la particule, c’est-a-dire si :

Ffx = −kxvx,

alors ces forces derivent d’une fonction F , dite fonction de dissipation de Rayleigh, definie par :

F =1

2

∑i

(kxv

2ix + kyv

2iy + kzv

2iz

), (3.26)

ou la sommation s’effectue sur toutes les particules du systemes. Ainsi,

F f = −∇vF (3.27)

Physiquement, le travail fourni par le systeme contre les forces de frottement est

dWf = −F f · dr = −F f · vdt =(kxv

2ix + kyv

2iy + kzv

2iz

)dt

de sorte que 2F represente le taux de dissipation de l’energie due aux frottements. La composantede la force generalisee resultant de la force de frottement est alors donnee par :

Qj =∑i

F if ·∂ri∂qj

= −∑i

∇vF ·∂ri∂qj

= −∑i

∇vF ·∂ri∂qj

= −∂F∂qj

. (3.28)

Les equations de Lagrange deviennent dans ce cas :

d

dt


+∂F∂qj

= 0, (3.29)

et deux fonctions scalaires, L et F , doivent etre specifiees pour obtenir les equations du mouvement.

Chapitre 4

Theoremes de conservation

Among the successors of those illustrious men, Lagrange has per-haps done more than any other analyst, to give extent and harmonyto such deductive researches, by showing that the most varied conse-quences respecting motions of systems of bodies may be derived fromone radical formula ; the beauty of the method so suiting the dignityof the results, as to make of his great work a kind of scientific poem.

William Rowan HAMILTON

Sommaire4.1 Lagrangiens equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Moment conjugue et variable cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Energie et translation dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 Impulsion et translation dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5 Moment cinetique et rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Lagrangiens equivalents

Pour un systeme d’equations du mouvement donne, il n’existe pas un choix unique du lagran-gien L. En effet, si F (q, t) est une fonction differentiable quelconque des coordonnees generaliseeset du temps, alors

L′(q, q, t) = L(q, q, t) +dF

dt, (4.1)

est un nouveau Lagrangien conduisant aux memes equations du mouvement. En effet,

d

dt

∂L′

∂q− ∂L′

∂q=

d

dt

∂L∂q− ∂L∂q

+d

dt

∂

∂q

dF

dt− ∂

∂q

dF

dt.

4.2 Moment conjugue et variable cyclique

Lorsque le Lagrangien d’un systeme ne depend pas explicitement d’une coordonnee qi, alorsqu’il peut dependre de qi, la coordonnees est dite cyclique ou ignorable. Dans ce cas, les equationsdu mouvement

d

dt

∂L∂q− ∂L∂q

= 0

21

CHAPITRE 4. THEOREMES DE CONSERVATION 22

se reduisent ad

dt

∂L∂q

= 0. (4.2)

En definissant le moment generalise pi, associe a la coordonnee qi, par :

pi =∂L∂q, (4.3)

on voit que l’equation (4.2) impose a pi d’etre une constante du mouvement. Le moment generalisepi est egalement souvent appele moment conjugue ou moment canonique. De sorte que (theoremede Noether 1) :

Le moment generalise conjugue d’une coordonnees cyclique se conserve.

Il est a noter que le moment conjugue d’une coordonnee cartesienne est la quantite de mouvement,dans la direction de la coordonnee 2 ; le moment conjugue d’une coordonnee angulaire est le momentcinetique associe a l’angle autour duquel la variable angulaire permet de decrire la rotation dusysteme, etc. Une telle constante du mouvement peut etre formellement utilisee pour eliminer lacoordonnee cyclique du probleme, qui peut etre entierement resolu en fonction des coordonneesgeneralisees restantes. La procedure, initiee par Routh, consiste a modifier le Lagrangien de tellemaniere qu’il ne depende plus de la vitesse qi associee a la coordonnee cyclique qi, mais de sonmoment conjugue pi. C’est la formulation Hamiltonienne.

4.3 Energie et translation dans le temps

Considerons la derivee totale du Lagrangien par rapport au temps :

dLdt

=∂L∂qi

∂qi∂t

+∂L∂qi

∂qi∂t

+∂L∂t

(4.4)

D’apres l’equation de Lagrange :∂L∂qi

=d

dt

∂L∂qi

d’oudLdt

=∑i

qid

dt

∂L∂qi

+∑i

∂L∂qi

qi +∂L∂t

=∑i

d

dt

(∂L∂qi

qi

)+∂L∂t

Il en resulte :d

dt

(∑i

∂L∂qi

qi − L

)+∂L∂t

= 0. (4.5)

On voit apparaıtre une nouvelle grandeur, souvent definie comme la fonction energie ou invariantde Jacobi :

h(q, q, t) =∑i

∂L∂qi

qi − L, (4.6)

dont la variation temporelle, donnee par :

dh

dt= −∂L

∂t, (4.7)

1. Amalie Emmy Noether (23 mars 1882 - 14 avril 1935) est une mathematicienne allemande specialiste d’algebreet de physique theorique. En physique, le theoreme de Noether explique le lien fondamental entre symetries et loisde conservation.

2. En electromagnetisme, lorsque φ et A ne dependent ni l’un ni l’autre de x, x est une variable cyclique, et lemoment conjugue prend la forme px = mx+ qAx/c.


est nulle si le Lagrangien ne depend pas explicitement du temps : ∂L∂t = 0. Par un changement

de variables approprie, la fonction energie est assimilable au Hamiltonien H du systeme, exprimeen fonction des n variables independantes qj et de leurs derivees qj (le hamiltonien etant definicomme fonction des 2n variables independantes qj et pj). Dans la plupart des cas h peut sereduire a l’energie mecanique du systeme. Notons egalement que, bien que L soit defini commeL = T − V , h depend en amplitude et pour sa forme fonctionnelle du choix specifique des coor-donnees generalisees, de sorte que pour un systeme donne, differents h, de significations physiquesdifferentes, peuvent etre definis. Si par ailleurs les forces dissipatives derivent d’une fonctionnelleF :

Q =∑j

qj∂F∂qj

,

alorsdh

dt+∂L∂t

=∑j

qj∂L∂qj

= −2F (4.8)

si F est quadratique en qj , de sorte que, si ∂L/∂t = 0, alors −2F represente le taux de variationde h.

4.4 Impulsion et translation dans l’espace

Supposons que le probleme est invariant par translation dans l’espace. C’est le cas d’une parti-cule libre, mais c’est egalement le cas d’un systeme de particules dont les interactions ne dependentque des coordonnees relatives : V (|ri − rj |). Dans cette hypothese, pour toute transformation in-finitesimale ri → ri + ε, le lagrangien est invariant

δL =∑i

∂L∂ri· ε = 0 ∀ε,

ce qui implique : ∑i

∂L∂ri

=︸︷︷︸Eq. Euler-Lagrange

d

dt

∑i

∂L∂ri

=d

dt

∑i

pi = 0.

L’invariance par translation dans l’espace implique la conservation de la quantite demouvement totale d’un systeme de particules.

Remarquons que l’invariance par translation dans une direction donnee implique la conservationde la composante de la quantite de mouvement selon cette direction.

4.5 Moment cinetique et rotation

Considerons maintenant les rotations. Une rotation infinitesimale d’un angle δφ autour d’unaxe porte par le vecteur unitaire ez transforme les positions et vitesses comme :

ri → ri + δφ ez ∧ ri, ri → ri + δφ ez ∧ ri.

Dans cette transformation, la variation du lagrangien est :

δL =∑i

(∂L∂ri· (δφ ez ∧ ri) +

∂L∂ri· (δφ ez ∧ ri)

),

ou encore :

δL =

(∑i

ri ∧∂L∂ri

+ ri ∧∂L∂ri

)· ez δφ.


S’il y a invariance par rotation, alors δL = 0 quel que soit ez δφ. En revenant a la definition desmoments conjugues et de leurs derivees, on obtient, en utilisant les equations du mouvement :∑

i

(ri ∧ pi + ri ∧ pi) = 0,

Soit :d

dt

∑i

ri ∧ pi =d

dt

∑i

Ji =d

dtJ = 0,

ou le moment cinetique (generalise) Ji de chaque particule et le moment cinetique (generalise)total J sont definis par

Ji = ri ∧ pi, J =∑i

Ji.

L’invariance par rotation correspond a la conservation du moment cinetique total.

Chapitre 5

Un principe fondamental enphysique

Comme la construction du monde est la plus parfaite possible etqu’elle est due a un createur infinement sage, il n’arrive rien dansle monde qui ne presente des proprietes de maximum ou de mini-mum. C’est pourquoi aucun doute ne peut subsister sur ce qu’il soitegalement possible de determiner tous les effets de l’univers par leurscauses finales, a l’aide de la methode des maxima et des minima,aussi bien que par leurs causes efficientes.

Leonhard EULER

Sommaire5.1 Vers une theorie lagrangienne des champs . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Force de Lorentz et equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.1 Vers une theorie lagrangienne des champs

Il nous faut etendre le formalisme lagrangien aux systemes continus, donc aux systemes a unnombre infini de degres de liberte. Le prototype de systeme physique qui permet d’etudier latransition vers le continu en mecanique est la corde vibrante.

On considere une corde elastique tendue horizontalement entre les points d’abscisses x = 0et x = `. Sa masse lineique ρ est uniforme. On ne tient pas compte ici de la pesanteur, et onne considere que les deformations de la corde dans le plan transverse (ondes transversales). Onnote ψ(x, t) l’elongation transverse du point d’abscisse x par rapport a sa position d’equilibre al’instant t. On suppose, pour simplifier, que cette elongation se produit dans une seule direction— l’axe vertical. On peut, par la pensee, considerer la corde comme l’ensemble d’un grand nombred’elements de longueur individuelle d` obeissant chacun aux lois de la dynamique. A la limite, celase transforme en un systeme a nombre infini de degres de liberte. Considerons un element de lacorde de longueur d`. Son energie cinetique est

dT =1

2dmv2 =

1

2ρd`

(∂ψ

∂t

)2

' 1

2ρdx

(∂ψ

∂t

)2

,

lorsque la deformation peut etre consideree comme petite, (∂ψ/∂x)2 1. Notons γ la tension dela corde. La corde est elastique ; d’apres la loi de Hooke, l’energie potentielle dV associee a une

25

CHAPITRE 5. UN PRINCIPE FONDAMENTAL EN PHYSIQUE 26

elongation de la corde est proportionnelle a cette elongation et vaut :

dV = γ(√

ψ(x+ dx)− ψ(x))2 + dx2 − dx)

= γ

√1 +

(∂ψ

∂x

)2

− 1

dx

Dans l’hypothese de petites deformations, l’energie potentielle V de la corde se reecrit :

V =1

2γ

∫ `

0

(∂ψ

∂x

)2

dx.

Le lagrangien de la corde :

L =1

2

∫ `

0

[ρ

(∂ψ

∂t

)2

− γ(∂ψ

∂x

)2]dx.

est la somme des lagrangiens elementaires dL = dT − dV , dans laquelle apparaıt la densite delagrangien L de la corde :

L

(ψ,∂ψ

∂t,∂ψ

∂x

)= ρ

(∂ψ

∂t

)2

− γ(∂ψ

∂x

)2

,

Ici, L ne depend pas de ψ. Nous verrons la signification physique d’une telle independance.L’equation du mouvement de la corde est obtenue en minimisant l’action de la corde :

S =

∫Ldx dt =

1

2

∫dt

∫dx

[ρ

(∂ψ

∂t

)2

− γ(∂ψ

∂x

)2].

Le probleme fait intervenir deux variables x, t, dont depend la fonction inconnue ψ(x, t). Nousconnaissons parfaitement les etats initial, ψ(x, t1) = 0, et final, ψ(x, t2) = 0, de la corde, ainsi queles conditions aux deux extremites, ψ(0, t) = 0 et ψ(L, t) = 0. La solution que nous recherchonsdoit rendre l’action S stationnaire :

δS =

∫dt

∫dx

(∂L

∂ψδψ +

∂L

∂ψtδψt +

∂L

∂ψxδψx

)= 0,

ou ψt = ∂ψ/∂t et ψx = ∂ψ/∂x. En integrant par parties les deux derniers termes de l’integrant,et en annulant les termes de bord, il vient :

δS =

∫dt

∫dx

(∂L

∂ψ− ∂

∂t

∂L

∂ψt− ∂

∂x

∂L

∂ψx

)δψ = 0, ∀ δψ,

de sorte que l’on obtient l’equation d’Euler-Lagrange :

∂L

∂ψ− ∂

∂t

∂L

∂ψt− ∂

∂x

∂L

∂ψx= 0.

Dans le cas present, ∂L/∂ψ = 0, l’equation du mouvement devient donc :

∂2ψ

∂t2− c2 ∂ψ

∂x2= 0,

ou c2 = γ/ρ est la celerite des ondes. L’equation d’onde derive donc du principe variationnelde Hamilton. Notons qu’un terme lineaire en ψ dans L aurait donne un terme constant dans lemembre de droite de cette equation, representant l’action d’une force constante sur la corde.


5.2 Force de Lorentz et equations de Maxwell

La force exercee sur une charge electrique q, en mouvement a la vitesse v dans le referentielchoisi, s’ecrit :

F = q

(E +

1

c(v ×B)

), (5.1)

c’est la force de Lorentz, qui ne derive pas simplement d’une fonction scalaire V . Les equations deLagrange peuvent neanmoins garder leur forme (2.32), meme si la force ne derive pas simplementd’une energie potentielle V : il suffit que les forces generalisees puissent s’ecrire en fonction d’unefonction potentiel generalise U(q, q), ou potentiel dependant des vitesses, tel que :

Qj =d

dt

∂U

∂qj− ∂U

∂qj; (5.2)

Le Lagrangien est alors donne dans ce cas par L =∫D dT − dU . C’est ce qui se produit dans un

champ de force electro-magnetique obeissant aux equations de Maxwell :

∇×E +∂B

∂t= 0 ∇ ·E =

ρ

ε0

∇×B − ε0∂E

∂t= µ0j ∇ ·B = 0

(5.3)

ou E, B sont respectivement les champs electrique et magnetique, ρ la densite de charge et j ladensite de courant electriques. Le produit de la permittivite ε0 et de la permeabilite µ0 du videest egal a l’inverse de la vitesse c de la lumiere. Dans l’expression du Lagrangien, il sera necessairede definir l’energie “cinetique” elementaire dT du champ electromagnetique.

Le champ B etant solenoide, il derive d’un potentiel vecteur A :

B = ∇×A.

La premiere des quatre equations de Maxwell peut donc se mettre sous la forme :

∇×(E +

∂A

∂t

)= 0

c’est-a-dire que du potentiel scalaire φ derive la quantite :

E +∂A

∂t= −∇φ.

Les potentiels scalaire φ et vecteur A sont maintenant les champs fondamentaux de notre formu-lation, les champs E et B etant definis a partir de φ et A par les relations precedentes. La forcede Lorentz s’ecrit en fonction des potentiels φ et A comme :

F = q

(−∇φ− ∂A

∂t+ (v × (∇×A))

). (5.4)

En remarquant que :v × (∇×A) = ∇(v ·A)− (v · ∇)A,

il vient :

F = q

−∇(φ− v ·A)︸︷︷︸U/q

−(∂A

∂t+ (v · ∇)A

)︸︷︷︸

dA/dt

.


La derivee du potentiel generalise U = q (φ− v ·A) par rapport a la vitesse conduit a :

∇vU = −qA,

de sorte que :

−qdA

dt· ej ≡

d

dt

∂U

∂vj

et la force de Lorentz se met bien sous la forme :

F =d

dt∇vU −∇rU.

Les equations de Maxwell peuvent des lors etre derivees du principe de Hamilton. La densite deLagrangien s’ecrit dans ce cas :

L =1

2

(ε0E

2 − B2

µ0

)− dU,

avec dU = ρφ− j ·A. Les coordonnees generalisees sont a present les champs φ et A. L’equationd’Euler-Lagrange pour la variable φ :

∂L

∂φ︸︷︷︸−ρ

− ∂

∂t

∂L

∂φt︸︷︷︸0

− ∂

∂x

∂L

∂φx︸︷︷︸ε0E·ex

= 0,

donne la loi de Gauss :−ρ+ ε0∇ ·E = 0.

De facon analogue, les equations d’Euler-Lagrange pour le potentiel vecteur A conduisent a la loid’Ampere :

j + ε0∂E

∂t− 1

µ0∇×B = 0.

Les deux autres equations de Maxwell proviennent simplement de la definition des champs E etB en fonction des champs φ et A.

Bibliographie

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[5] Jean HLADIK, “Comment le jeune et ambitieux Einstein s’est approprie la relativiterestreinte de Poincare”, editions Ellipses, 2004.

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Documents

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