Terminale ES

La fonction logarithme népérien

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TES La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur

]0; + [, qui à tout nombre réel x > 0 associe l’unique solution de

l’équation ey = x d’inconnue y.

On note cette solution y = ln x.

Définition

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I Liens avec la fonction exponentielle

On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à

valeurs dans ]0;+ [.

Ainsi, pour tout nombre réel a > 0, il existe un unique nombre réel b tel que eb = a.

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La fonction logarithme népérien

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II Conséquences

Les propriétés suivantes découlent directement de la définition :

1. Pour tous réels x > 0 et y, ex = y x = ln y.

2. Pour tout réel x > 0, eln x = x.

3. Pour tout réel x, ln(ex) = x.

4. ln 1 = 0 (car e0 = 1) ln e = 1 (car e = e1) ln 1

𝑒 = -1 (car

1

𝑒 = e-1)

III Courbe représentative de la fonction ln

Dans un repère orthonormé, les courbes

représentatives des fonctions exponentielle et

logarithme népérien sont symétriques par rapport

à la droite d’équation y = x.

Propriété

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La fonction logarithme népérien

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La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ]0; + [.

Propriété

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Etude de la fonction ln

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IV Fonction dérivée de ln

Pour tout nombre réel x > 0, ln’(x) = 1

𝑥.

Propriété

Démonstration

On note f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = eln x.

Cette fonction est de la forme eu avec u(x) = ln x.

La fonction ln étant dérivable sur ]0; + [ alors la fonction f est aussi dérivable

sur ]0; + [.

Pour tout réel x > 0, f’(x) = u’(x)eu(x) = u’(x) f(x).

Or f(x) = x et f’(x) = 1

Donc u’(x) = ln’(x) = 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)=

1

𝑥

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Etude de la fonction ln

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V Etude des variations de ln

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; + [.

Propriété

Démonstration

Pour tout réel x > 0, ln’(x) = 1

𝑥.

Or, pour x > 0, 1

𝑥 > 0.

Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [.

x 0 1 e +

ln’ +

ln 0

1

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Etude de la fonction ln

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Deux tangentes particulières

On note C la courbe représentative de ln dans un repère.

• Tangente T à C au point A d’abscisse 1

T a pour équation : y = ln’(1)(x – 1) + ln(1) = x – 1.

T est parallèle à la droite d’équation y = x.

• Tangente T’ à C au point B d’abscisse e

T a pour équation : 𝑦 = ln’(𝑒)(𝑥 – 𝑒) + ln (𝑒) .

Soit : 𝑦 = 1

𝑒𝑥 − 𝑒 + 1 =

1

𝑒𝑥

T’ passe par l’origine du repère.

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Etude de la fonction ln

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VI Signe de ln x

x 0 1 +

ln x - 0 +

Comme la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [, alors :

• Pour tous réels a > 0 et b > 0

(1) ln a = ln b a = b (2) ln a < ln b a < b

• L’inéquation ln x 0 équivaut à ln x ln 1 c’est-à-dire à x 1 (d’après (2).

On en déduit le tableau de signes suivant :

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Propriétés algébriques de la fonction ln

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VII Relation fonctionnelle

Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln (b).

Propriété

Démonstration

On sait que pour tous réels x et y, ex+y = ex ey.

On note a et b les nombres strictement positifs tels que x = ln a et y = ln b.

On a alors : eln a + ln b = eln aeln b

On en déduit ln a + ln b = ln(ab).

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Propriétés algébriques de la fonction ln

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VIII Logarithme népérien d’un inverse, d’un quotient

Pour tous réels a > 0 et b > 0,

1 ln1

𝑏= −𝑙𝑛 b (2) ln

𝑎

𝑏= ln 𝑎 − ln 𝑏

Propriétés

Démonstration

(1) Pour tout réel b > 0, b 1

𝑏 = 1 et donc ln 𝑏 ×

1

𝑏= ln 1 = 0

De la relation fonctionnelle, on déduit : ln b + ln 1

𝑏 = 0, soit ln

1

𝑏 = - ln b.

(2) Pour tous réels a > et b > 0, 𝑎

𝑏= 𝑎 ×

1

𝑏 et donc ln

𝑎

𝑏 = ln 𝑎 ×

1

𝑏

De la relation fonctionnelle, on déduit ln 𝑎

𝑏 = ln a + ln

1

𝑏 = ln a – ln b (d’après (1)).

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IX Logarithme népérien d’une puissance

Pour tout réel a > 0 et pour tout entier naturel n, ln(an) = n ln a.

Propriété

En appliquant la relation fonctionnelle, on constate que pour tout réel a > 0 :

ln(a²) = ln(a a) = ln a + ln a = 2 ln a ln(a3) = ln(a²a) = ln(a²) + ln a = 2 ln a + ln a = 3 ln a

On peut ainsi montrer de proche en proche la propriété suivante :

X Résolution d’une équation du type xn = k (n et k )

Exemple : Résolution dans ]0; + [ de l’équation x6 = 105

Les nombres x6 et 105 sont strictement positifs donc :

x6 = 105 ln(x6) = ln(105)

6 ln x = 5 ln 10

ln x = 5

6 ln 10

x = 𝑒5

6 ln 10