le livre du problème, vol.6 géométrie d'incidence

Ce volume porte le numéro ISBN - 2 - 7124 – 0138 – 7 L'ensemble des volumes parus dans la série LE LIVRE DU PROBLEME est

désigné par le numéro ISBN 2 – 7124 – 0103 – (édition complète) © CEDIC 1976

Imprimé en France

Editions CEDIC 93, avenue d'Italie -75013 PARIS

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Table des matières Préface

La géométrie d'incidence au service d'une pédagogie progressive et polyconcrète . . . . . . . . . . . . . .6

Chapitre1 Structure d'incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chapitre II

Premiers pas en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Chapitre III

L'éveil au raisonnement déductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Chapitre IV

Minigéométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Chapitre V

L'emploi des coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Chapitre VI

Quelques structures d'incidence infinies . . . . . . . . . . . . . . . 105 Solutions.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Chapitre I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Chapitre III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Chapitre IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Chapitre V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

SOMMAIRE

PREFACE

LA GEOMETRIE D'INCIDENCE AU SERVICE D'UNE PEDAGOGIE PROGRESSIVE

ET POLYCONCRETE

Voici plus de quatre ans que l'I.R.E.M. de Strasbourg travaille à ce fascicule du "Livre du Problème". Le thème mathématique traité ici - la géométrie finie, la théorie des configurations - est souvent considéré comme une curio-sité qui n'intéresse que quelques mathématiciens hautement spécialisés; s'il offre quelques applications pratiques (la construction de "plans d'expérience", par exemple, cf. chapitre IV, exercice II 12) et s'il se rattache à l'Analyse Combinatoire, science qui connaît depuis une décennie un surprenant rajeunissement, on peut cependant s'étonner qu'un institut de recherche pédagogique consacre tant d'efforts à ce sujet marginal qui ne concerne pas la masse de l'enfance scolarisée.

Mais l'enseignement des mathématiques a d'autres finalités que la transmis-sion de connaissances utiles... Nous visons principalement au développement d'aptitudes intellectuelles… Il ne s'agit pas uniquement de mémoriser des informations, mais de s'habituer à raisonner, à apprendre à manier l'abstrac-tion pour résoudre des difficultés pratiques, à imaginer, à combiner, à faire preuve de créativité tout en respectant des contraintes.

Nous espérons contribuer à prouver que la géométrie d'incidence est un sujet d'étude particulièrement adapté à ces objectifs pédagogiques: on y trouve matière à des problèmes intéressants, à tous les niveaux de difficultés. Ces situations permettent de dégager les concepts les plus importants de la mathé-matique : l'idée de structure, le raisonnement axiomatique, l'invariance par isomorphisme, la notion de groupe, etc...

Que le professeur lise cette brochure en conduisant sa réflexion simultané-ment sur plusieurs plans. Qu'il assimile certes le contenu mathématique, qu'il cherche à résoudre lui-même les problèmes, qu'il s'en pose et qu'il compose des énoncés analogues pour ses élèves. Mais qu'il mesure constamment l'impact que chaque exercice peut avoir sur le développement intellectuel de l'enfant; qu'il analyse les obstacles psychologiques que rencontre l'enfant dans ses premiers balbutiements mathématiques. Et qu'il cherche avec nous des remèdes appropriés !

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SOMMAIRE

L'événement crucial d'une éducation mathématique réussie est la rupture définitive avec la pensée syncrétique : dans les premières phases de son déve-loppement intellectuel, l'enfant ne capte qu'une connaissance globale de son environnement, grâce à des amas de sensations perdus dans une masse d'infor-mations parasites.

L'apprentissage de la pensée déductive – qui est l'un des objectifs de l'ensei-gnement des mathématiques – exige une analyse et une structuration de ce flot d'images: il s'agit d'apprendre à dégager le discours mathématique des "bruits de fond" qui l'enrobent, distinguer la mélodie des grincements du disque.

La pratique pédagogique traditionnelle n'en a pas pris suffisamment conscien-ce. Les instructions officielles et les programmes sont très prolixes sur la liste des détails qu'un élève doit savoir répéter à chaque niveau. Ils ne mentionnent même pas qu'entre dix et quatorze ans, l'élève doit apprendre à déduire, et à imaginer des démonstrations. '

Il doit être capable de suivre une démonstration générale, en se guidant sur des figures ou schémas particuliers: ce faisant, il doit porter son attention sur les éléments du dessin qui relèvent de la structure et ne pas se laisser distraire par les bruits de fond concrets et fortuits.

Certes, en s'exerçant au raisonnement, l'élève ne manquera pas d'acquérir des connaissances : une tête bien vide n'est pas une tête bien faite. Mais l'essentiel de l'éducation mathématique ne se réduit pas à cette érudition dont tout ce qui n'est pas outil nécessaire n'est qu'un sous-produit.

Faute d'insister sur le primat du développement de la pensée déductive, la pédagogie traditionnelle ne remarque même pas que quelques habitudes d'en-seignement empêchent les élèves de comprendre. Un seul exemple suffira à le prouver : on expliquait naguère la perpendicularité en agrémentant le discours de dessins où l'horizontal et le vertical étaient constamment privilégiés, sans qu'on en avertisse l'élève. Les triangles étaient dessinés (au tableau et dans les manuels) au dessus d'une base horizontale. La terminologie reçue invitait

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SOMMAIRE l'élève à abaisser une perpendiculaire : on contribuait ainsi à enrober le dis-cours mathématique de bruits de fond nuisibles et on n'invitait pas l'élève à les éliminer: comment s'étonner que des élèves aient du mal à concevoir qu'un triangle ait trois hauteurs ou qu'une perpendiculaire puisse parfois se dessiner obliquement ou même de bas en haut !

Le matériel pédagogique réuni dans cette brochure a été conçu pour éviter de telles erreurs: il s'agit d'atténuer les effets des bruits de fond. Certes, le seul moyen de les éliminer complètement serait d'utiliser un langage mathémati-que qui ne distrairait jamais l'élève par des détails parasites. La maîtrise d'un tel langage est un objectif que l'on espère atteindre. C'est un aboutissement, non un point de départ. Avec des débutants, il faut donc trouver une autre méthode.

Nous utilisons systématiquement une pédagogie polyconcrète, pour s'expri-mer comme André Lichnérowicz. C'est un recours à beaucoup de situations concrètes, suffisamment diversifiées pour que les bruits de fond se neutra-lisent afin qu'émerge l'élément commun: la structure étudiée.

De plus, nous concevons la rupture du syncrétisme et l'initiation à la démons-tration mathématique comme une action pédagogique qui doit être prévue et planifiée quelques années à l'avance.

Si l'on aborde l'axiomatique de la géométrie d'incidence affine, avec – pour toute préparation – quelques séances de dessin à la règle, l'élève aura beau-coup de peine à s'abstraire de l'intuition du pliage et de la mesure. L'occasion, unique dans la vie mathématique de l'enfant, aura été irrémédiablement gâchée.

Au contraire, l'élève doit s'appuyer sur une longue pratique des situations analogues à celles qui sont présentées dans ce fascicule. Dans des contextes très divers où

Par deux… distincts passe une… et une seule

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SOMMAIRE le professeur évitera d'employer le mot "droite" pour que le message ne soit pas prématurément brouillé par tout l'amas de significations que charrie ce mot, et qui relève de structures qui seront étudiées bien plus tard. Et c'est ainsi que l'on comprendra que dans un raisonnement mathématique, le re-cours à l'intuition sensible n'est qu'un 'guide, dont on doit savoir s'abstraire lors de la mise en forme logique.

Le choix du thème: la géométrie d'incidence, présente bien d'autres avantages pédagogiques. Les "modèles d'incidence" (définies au Chap. 1) fournissent l'un des exemples les plus simples, et néanmoins assez riches de l'idée de structure. On peut faire comprendre, sans dissertations inutiles, comment les mathématiques s'intéressent à des relations entre objets mathématiques dont la nature importe peu.

A la "catégorie" des modèles d'incidence est attachée une notion d'isomor-phismes, que les enfants peuvent manipuler, dès l'âge de 10 ans, sur des exemples concrets, en évitant tout langage savant, mais en résolvant néan-moins des problèmes.

Ainsi, s'élabore une pédagogie où l'on fournit aux élèves un grand nombre d'activités formatrices. On ne leur impose pas dogmatiquement des réponses à des questions qu'ils n'auraient même pas l'occasion de se poser.

Signalons enfin que le projet initial prévoyait un dernier chapitre destiné à dégager la notion de groupe, sous la forme de groupes d'automorphismes, à l'aide d'une approche pédagogique apparentée à la conception de M. Wagens-chein [15] ("das exemplarische Unterricht"). Devant l'ampleur prise par ce sujet, il a été décidé d'en faire une publication séparée.

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SOMMAIRE

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 Structure d'incidence Nous exposons dans ce chapitre, à l'usage du professeur, les fondements théoriques de cet ouvrage. Les exercices présentés ici peuvent aussi être pro-posés à des .élèves. Mais on évitera d'en prendre prétexte pour donner des développements .théoriques, qui ne peuvent avoir de valeur que si l'élève connaît beaucoup d'exemples. I. UN POINTDE VUE INHABITUEL SUR LES RELATIONS Les thèmes d'exercices proposés dans cette première partie concernent des relations (1) quelconques. Mais pour préparer l'étude qui suivra, on choisira le plus souvent des exemples où les éléments de E seront appelés :

point, ville, station, jeton, sommet etc.. etc...

ceux de F :

alignements, ficelle ou fil, route, autoroute, droite, itinéraire, bloc, arête, etc... .

Tandis que la relation I s'exprimera par des phrases telles que "p est incident à A", "A est incident à p", "p et A sont incidents", "p est sur A", "A passe par p", "A contient p" ; d'autres locutions pourront être utilisées selon le contexte.

Presque tous les exercices qui suivent ont pour but de reconnaître si deux relations données sont ou non isomorphe s: on dira que la relation (E, F, I) est isomorphe à la relation (E', F', I') s'il existe une bijection ϕ de E sur E' et une bijection ψ de F sur F' qui "respectent les relations I et I' de façon précise on demande que :

( )e E, f F, (e,f ) I (e), (f ) I 'ϕ ψ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ⇔ ∈ .

1 Rappelons qu'une relation est un triplet (E, F, I) où E et F sont des ensembles et où I est un sous-ensemble de E × F appelé graphe de relation. On s'autorisera cependant l'abus de langage qui consiste à parler de "la relation I".

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SOMMAIRE On appelle automorphisme tout isomorphisme d'une relation sur elle-même.

On représentera souvent la relation I par son diagramme cartésien, on placera une croix dans la case (e, f) si et seulement si (e, f) ∈ I. On peut aussi y placer le chiffre l, et placer un 0 sur toute case (e, f) telle que (e, f) ∉ I.

Bien entendu, lorsque les deux relations sont représentées par des diagrammes cartésiens, chercher un isomorphisme revient à chercher si on peut écrire les éléments de E et ceux de F de manière à ce que les croix se trouvent dans les mêmes cases pour les relations I et I'.

E. D I.1

On considère un tétraèdre. Soient E ={A,B,C,D} l'ensemble de ses sommets, et F = {X,Y,Z,T} l'ensemble de ses faces. La relation I sera "Le point... appartient au plan. Dresser le diagramme cartésien de cette relation.

Commentaire pédagogique

L'élève, utilisant un tétraèdre de carton, commencera par inscrire les lettres A,B,C,D arbitrairement sur des sommets, et X,Y,Z,T arbitrairement sur des faces. Il obtiendra ainsi une matrice d'incidence comportant un 0 et un seul sur chaque ligne et chaque colonne. Il faudra qu'il découvre lui-même que si le choix des faces désignées par X,Y,Z,T est plus habile, il peut aboutir au diagramme, plus harmonieux :

E.D I.2

On trace quatre cercles A,B,C,D dans le plan de façon que trois quelconques d'entre eux aient un point commun. On pose :

X = B ∩ C ∩ D, Y = C ∩ D ∩ A, Z = D ∩ A ∩ B, T = A ∩ B ∩ C

.Montrer que la relation (E, F, I) où E = {A ,B,C,D}, F = {X,Y,Z,T} et où I est défini par "Le cercle... passe par le point…" est isomorphe à I.1.

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SOMMAIRE

Commentaire: On pourra commencer par présenter aux élèves la figure ci-contre, et on leur de-mandera d'y placer des lettres de façon à ce que le diagramme cartésien de la rela-tion soit le même que dans I.1: en désignant par ϕ la bijection qui à chaque sommet du tétraèdre associe le cercle de même nom, et par ψ la bijection qui à chaque face associe le point du même nom, on réalise l'isomorphisme.

E.D I.3 Tracer des diagrammes sagittaux pour les relations de I.1 et I.2. Ces diagram-mes peuvent être dessinés de diverses manières. Mais le dessin suivant suggère une troisième relation isomorphe aux précédentes:

E.D I.4 Réaliser une partition de l'ensemble des sommets d'un cube en deux sous-ensembles E et F, tels que la relation 1: "Le sommet... appartenant à E est relié au sommet... appartenant à F par une arête", définisse une relation (E, F, I) isomorphe aux précédentes. Commentaire pédagogique: Bien entendu, on souhaite que les élèves pensent à l'énoncé 1.4 en cherchant l'exercice 1.3. M. I.5 Sur un échiquier Matériel: Un échiquier. Quatre tours blanches et quatre cavaliers noirs. (Pour se rappeler la marche des pièces du jeu d'échecs cf. [12] ou [13]). Soit T, l'ensemble de ces tours et C l'ensemble des cavaliers.

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SOMMAIRE Placer successivement les pièces sur l'échiquier selon la disposition située en haut et à gauche (resp. en bas et à droite) de la fig. 1, ci-dessous.

Montrer que les relations (0, C, p) et (C, '(;, p') où p désigne la locution : "La tour ...menace le cavalier ..."et p' la locution :

"Le cavalier ...menace la tour ..." sont isomorphes entre elles. (On peut ainsi former quatre relations).

Elles ne sont pas isomorphes aux exemples I.

Commentaire:

Les diagrammes d'incidence peuvent tous être représentés par :

On insistera sur le fait que ces quatre relations ne se "ressemblent" pas, et qu'elles sont cependant isomorphes entre elles.

Les diagrammes I.1 et I.5 ne .sont évidemment pas isomorphes, bien qu'il s'agisse dans les deux cas d'un tableau 4 × 4.

Mais dans le premier (resp. dans le second) il y a trois X (resp. deux X) dans chaque ligne ou chaque colonne.

E.D I.6

Prouver que le nombre de croix situées dans les lignes ou les colonnes se conserve par isomorphisme, et donc aussi le nombre total de croix.

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SOMMAIRE

P. I.7 Recherche d'isomorphismes

Voici (à gauche) le diagramme cartésien d'une relation :

Voici d'autre part (à droite) un autre diagramme où les lettres qui désignent les colonnes ou les lignes ne sont pas inscrites. Montrer que l'on peut inscrire des lettres, en sorte que ce second diagramme représente la même relation que le premier. (Solution p. 123)

P. I.8

Composer d'autres exercices sur le thème I.7. Les éléments manquant sur le tableau à compléter pourront être soit des lettres, soit des croix !

Illustration 1.9 Un peu de "géographie" Soit V un ensemble de villes et A un ensemble d'autoroutes; on regarde la relation : "La ville... est desservie par l'autoroute..."

Indiquer parmi les cartes routières suivantes celles qui correspondent à des relations qui sont isomorphes entre elles ou isomorphes à des relations correspondant à des exercices déjà traités.

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SOMMAIRE

Commentaires:

On constate que les réseaux routiers <D et C> sont isomorphes, bien que les autoroutes qui desservent trois villes sur chacun d'eux ne soient pas topologi-quement équivalentes. Le réseau est isomorphe à 1.5 ; voici son diagramme cartésien

La relation 1.7 est isomorphe au réseau routier <iD, lorsqu'on choisit l'ensemble {a,b,c,d,e,f}comme ensemble de villes, et au réseau (J), lorsque c'est {A,B,C,D,E,F} qui représente les villes: ces réseaux ne sont pas isomorphes entre eux (mais "duaux"). (Cf. : II,2)

Remarque: Nous avons constaté que le verbe "desservir" n'était pas compris par tous les élèves de Cinquième. Attention au vocabulaire supposé connu des enfants !

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SOMMAIRE

M I.10

Matériel: un plan du métro de Paris

Soit S l'ensemble des stations et L l'ensemble des lignes. L'observation du plan doit permettre de répondre aux questions suivantes: a) Étant données 2 stations distinctes existe-t-il toujours une ligne et une

seule qui les relie directement? b) Deux lignes distinctes ont-elles toujours au moins (au plus) une station en

commun ? c) Étant données 2 stations distinctes, peut-on toujours se rendre de l'une à

l'autre en changeant une fois au plus. En changeant deux fois (au plus) ? d) Existe-t-il une station s et une ligne 1 telles qu'il passe par s plus d'une

ligne qui ne rencontre pas l ?

E.E I.11 Connexité

a) Étant donné un réseau de transport dont l'ensemble des stations est S et l'ensemble des lignes L on demande si la relation dans S : "Les stations... et.... peuvent être jointes par une ligne directe" est une relation d'équivalence. b) La relation "Les stations… et... peuvent être jointes, en changeant de lignes un nombre fini de fois" est-elle une relation d'équivalence ? c) On dit qu'un réseau de transport est connexe s'il est possible d'aller de n'importe quelle station à n'importe quelle station grâce à un nombre fini de correspondances ? Donner des exemples et des contre-exemples.

Commentaires: L'observation du plan du métro amènera (probablement) les élèves à cons-tater les faits suivants : Il y a trois lignes directes qui relient les stations "Etoile" et "Nation". Il existe des lignes distinctes qui ont plusieurs stations en commun (par exemple, "Pont de Sèvres-Mairie de Montreuil" et "Place Balard – Cha-renton"). Il existe des couples de lignes disjointes : la ligne "Porte de Vanves- Inva-lides" communique mal avec le reste du réseau. Cela permet de répondre aux diverses questions posées. Par exemple: un contre-exemple à la question d), qui affirme que le "Postu-lat d'Euclide" ne s'applique pas au métro parisien; s'obtient en cherchant à mener par la station "Père Lachaise" des lignes disjointes à "Porte de Vanves- Invalides". Il faut dire que le Postulat cité est particulièrement mal adapté au problème du transport ! ...

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SOMMAIRE d) Montrer qu'un réseau isomorphe à un réseau connexe est connexe. e) Traduire l'énoncé précédent dans le cas d'une relation quelconque et en déduire la définition d'une relation connexe.

I I.12 Un peu d'architecture La famille Malin qui possède un terrain veut construire une maison compor-tant une salle de séjour, une chambre pour parents, deux chambres d'enfants, une salle de bain, une cuisine, un WC, un corridor. Toutes les pièces doivent avoir une fenêtre sur la rue, sauf peut-être les W.C. Toutes les chambres doivent donner sur le corridor, sauf la salle de bain. Les W.C ne doivent pas donner sur la cuisine. La chambre des parents communique directement avec la salle de bain… etc...etc (cet énoncé peut être modifié et complété suivant les goûts des élèves ou du professeur). Dessiner un plan possible pour cette maison. Commentaire : L'objet de cette expérience est d'apprendre à "concrétiser" un schéma "abstrait". En fait, on dispose d'un ensemble de pièces, et d'un ensemble de murs et on veut représenter la relation: "La pièce... comporte le mur…" Partant de ce schéma abstrait, les élèves imagineront plusieurs plans possibles et il faudra insister sur le fait que les renseignements fournis par l'énoncé ne conduisent pas nécessairement à des appartements analogues. Il est douteux que le projet suivant figure parmi les projets des élèves.

Cet exercice prépare les élèves à comprendre que lorsqu'on essaye d'imaginer une géométrie satisfaisant aux seuls axiomes d'incidence, on obtient des struc-tures qui peuvent être très diverses. Pour préciser davantage, il faut de nou-veaux axiomes.

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II. QUELQUES NOTIONS THEORIQUES E.D II.1 Si (E, F, I) est une relation, le degré d'un élément e ∈ E (resp. f ∈ F) est le nombre d'éléments de F (resp. E) reliés à e (resp. f). Montrer que, dans tout isomorphisme, chaque élément de E ou de F a pour image un élément de même degré. Montrer que, la somme des degrés des éléments de E est égale à la somme des degrés des éléments de F (c'est card. I). . E.D II.2 A toute relation (E, F, I) on peut associer la relation duale (F, E, Î) où (f,e) ∈ Î est synonyme de (e,f) ∈ I. Montrer que si deux relations sont isomorphes, leurs relations duales sont isomorphes. a) L'introduction de Î à côté de I est évidemment un pédantisme du langage mathématique. Dans des exemples concrets le passage de I à Î correspond souvent au passage de la forme active à la forme passive, en grammaire. Par exemple, si I est la relation qui dans une partie d'échecs s'exprime par : "Le cavalier...menace la tour… ", alors Î est la relation : "La tour… est menacée par le cavalier... " b) Il est très important d'habituer les élèves à effectuer des transferts, c'est-à-dire à traduire la situation d'un problème dans un autre langage. En particulier, il faut être habitué à attaquer un problème de géométrie d'inci-dence dans le langage dual si c'est plus avantageux. Par exemple, devant les deux structures représentées ci-dessous, on constate que, même pour un étudiant, s'il lui est assez facile de déterminer le groupe d'automorphismes de la première (on remarquera qu'une permutation des sommets ne modifie pas la structure), la seconde l'inspire beaucoup moins (alors qu'il suffit de faire la même remarque mais pour les arêtes: ce sont deux problèmes duaux équivalents).

FIG : 2

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SOMMAIRE c) On a plusieurs fois déjà adopté, sans l'expliciter, la convention suivante pour représenter une relation: les éléments de E sont représentés par des points ou sommets, ceux de F par des segments ou alignements; la propriété: "(e,f) ∈ I" se traduit par: "le point e se trouve sur l'alignement f ". On pourra dire qu'on a représenté la relation par un "schéma d'incidence". Pour la relation duale les points représenteront les éléments de F, les aligne-ments ceux de E : c'est ce qui est fait sur la fig. 2 ci-dessus où les éléments de E sont désignés par des lettres, ceux de F par des chiffres. Comme, sur le premier schéma, le point a se trouve sur l'alignement 2, sur le deuxième schéma l'alignement a passera par le point 2. Dans les autres représentations (cartésiennes, sagittales) la notion de dualité perd pratiquement tout intérêt. E.D II.3 On dit qu'un schéma d'incidence est auto-dual s'il représente une relation ainsi que la relation duale. Donner des exemples et des contre-exemples. Pour qu'un schéma soit auto-dual il faut bien sûr qu'il y ait autant de points que d'alignements (donc que card E = card F). Donner un exemple d'un schéma qui ne soit pas auto-dual, et où E et F aient 4 éléments. (On peut le construire de façon que l'ensemble des points de degré 2 ne soit pas égal au nombre d'alignements de degré 2). E.E II.4 Modèle d'incidence Soit (E, F, I) une relation. On définit une application ϕ de F dans l'ensemble des parties de E, P(E) (resp. ψ de E dans : P(F) par : pour tout f ∈ F ϕ (f) = {x ∈ E : (x,f) ∈ I} et pour e ∈ E ψ(e) = {y ∈ F:(e,y) ∈ I} Reprendre les exemples cités (ou certains d'entre eux, ou d'autres ...) et examiner les propriétés des fonctions I{i et 1/1correspondantes (injectivité, surjectivité ...). On dit que (E, F, I) est un modèle d'incidence si les applications ϕ et ψ sont injectives. (On peut alors identifier les éléments de F à des parties de E et remplacer I et Î par ∈ et ∋ respectivement).

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SOMMAIRE Donner des exemples et des contre-exemples. Un schéma d'incidence où les alignements sont des segments ou des lignes brisées de même couleur est alors une bonne représentation d'un modèle d'incidence. (Attention: il n'est pas toujours possible de représenter tous les alignements par de "vraies droites". On rencontrera des contre-exemples dans la suite). Commentaires : a) On trouvera des exemples parmi les réseaux de transport 1.9. L'exemple 4 comprend deux autoroutes qui desservent exactement les mêmes villes: l'application ϕ n'est donc pas injective. On ne peut pas caractériser une autoroute par la liste des villes desservies. L'exemple 3 comporte deux villes desservies exactement par les mêmes autoroutes: l'application ψ n'est donc pas injective. Des phénomènes analogues intervenaient dans la solution P. I.7. b) Avantages et inconvénients pédagogiques de la démarche suivie Partir d'une relation quelconque pour définir des notions, qui ont surtout un intérêt en géométrie, peut paraître très abstrait, puisqu'on n'y fait aucune allusion à la nature des éléments qui interviennent. Dans l'initiation à la géométrie d'incidence, il est plus économique de considérer le plan π comme un ensemble de points et un ensemble de parties de π appelées droites. La relation I étant l'appartenance. Mais cette "simplification" produit des difficultés pédagogiques considé-rables : chaque fois que l'on introduira une notion mathématique grâce à un contexte trop concret, il faudra surmonter chez l'enfant tous les écueils du syncrétisme. L'enfant tient compte, non seulement des "règles du jeu" (des axiomes), mais aussi de toutes les connaissances informelles véhiculées par ailleurs. L'emploi prématuré des modèles d'incidence crée des difficultés pour comprendre la dualité: celui qui considère qu'une droite est un ensemble de points devra faire des efforts pour changer de langage et identifier un point à la gerbe des droites passant par ce point. Le maître devra savoir utiliser les deux points de vue. c) L'emploi de réseaux de transport crée quelques difficultés liées aux rela-tions d'ordre. Dans la recherche géographique d'un itinéraire, on ne peut faire abstraction du fait que certaines villes sont situées entre telles autres. lors-qu'on tient compte de ces dispositions, on sort de la structure d'incidence.

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SOMMAIRE Les deux modèles d'incidences isomorphes ci-dessous ne sont pas isomorphes du point de vue de l'ordre: sur le second, chaque ville est située entre les deux autres:

Il s'agit de faire comprendre aux élèves qu'en fait il y a plusieurs règles du jeu possibles pour manipuler des réseaux de transport. Pour faciliter la compréhension du point de vue d'incidence, on fera recopier par ordre alphabétique la liste des villes qui jalonnent chaque route. Ainsi, en disant {LYON, MARSEILLE, PARIS} l'élève saisira qu'il convient de faire abstraction de l'ordre de parcours naturel. Signalons encore une possibilité : remplacer les villes par des ports situés autour d'un lac et les routes par des trajets de "vedettes" entre ces ports. On évite ainsi la difficulté liée à l'ordre. Définitions: Un modèle d'incidence est un graphe si tout alignement ne comporte que deux points. Un graphe est complet, s'il a autant d'alignements que de paires de points distincts. Puisque par définition, dans un graphe un alignement (appelé plutôt alors arête) ne contient que deux points, on peut sans ambigüité dessiner toutes les arêtes avec le même trait (ou la même couleur). Remarque: Le mot "graphe" est ici employé au sens de la théorie des graphes et n'a donc qu'un lointain rapport avec le graphe d'une relation. Attention aux confusions possibles ! E.D II.5 Montrer que dans un graphe à n sommets le nombre des arêtes (alignements)

est inférieur ou égal à n(n 1)2− .

E.E II.6 A tout modèle d'incidence on associe son graphe complémentaire CM de la façon suivante : On prend les mêmes points que pour M maison joint deux points de CM si et seulement s'ils ne sont pas sur un même alignement de M . Montrer qu'on obtient ainsi un modèle d'incidence qui est un graphe, et que si deux modèles d'incidence .M et M' sont isomorphes, il en est de même de leurs graphes complémentaires CM et CM'. (Cf. chap. III, exercice II 5).

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P. II.7 Prouver que les deux graphes suivants ne sont pas isomorphes:

Commentaire pédagogique: Si l'on pose ce problème juste après E. E II.6, on obtient un exercice d'exposition facile. Par contre, en l'absence de toute référence à E. E II.6, le problème est difficile: les deux modèles d'incidence sont des graphes à 6 sommets, dont chacun est de degré 3, et ils ont chacun 9 arêtes. Les invariants les plus simples ne permettent pas de les départager. Mais on constate que les graphes complémentaires (cf. solution p. 124) ne sont pas isomorphes: l'un est connexe, l'autre non. Intuitivement, ce passage au complémentaire est judicieux lorsqu'il y a "beau-coup d'alignements", donc peu de points non reliés, et un graphe complémen-taire très simple. E.D II.8 Prouver que si les relations (E , F, I) et (E', F', I') sont isomorphes, il en est de même des relations (E, F, non - I)et (E', F', non - I'). Si (E, F, I) est un modèle d'incidence, en est-il de même de (E, F, non – I) ?

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SOMMAIRE

SOMMAIRE

CHAPITRE II

Premiers pas en mathématiques Ce chapitre présente quelques essais pédagogiques, tournés vers l'initiation au raisonnement. Il est conseillé de ne pas le lire in extenso, mais plutôt d'y puiser un thème de travail ou la suggestion d'une progression à adapter à sa classe et à ses goûts . I. JEUX DE JETONS On donne ci-dessous le compte-rendu rédigé à la suite de plusieurs leçons expérimentées à tous les niveaux de l'école élémentaire, à l'école annexe de l'Ecole Normale de Sélestat. Le but mathématique visé est indiqué par le titre des parties A et B. A. MANIPULATIONS D'INCIDENCE

1°) Plande la leçon

• Niveau CP. ; CE 1 ; .CE 2 : Matériel : des jetons et

des ficelles de différentes couleurs 1. On dispose la figure suivante sur une table. Les enfants sont en rond autour de la table. Analyse de la situation : On pose une série de questions pour amener les enfants à décrire la situation : – que voyez-vous ? – où se trouve tel jeton ? (sur la ficelle :..) – par combien de jetons passe telle ficelle ? – ……

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SOMMAIRE 1ère règle: sur chaque ficelle je dois trouver 2 jetons ou plus. Cette règle est-elle respectée dans la situation donnée ? (est-ce vrai ou faux dans cette figure ? ) Faire modifier la figure. La règle est-elle respectée maintenant ? (étude de chaque ficelle). 2. Manipulation par petits groupes: Donner 3, 4 ou 5jetons et quelques ficelles à chaque groupe. Faire trouver une disposition pour laquelle la règle est respectée (faire répéter la règle du jeu) 3. Revenir à la situation du début; – chaque jeton est-il relié aux autres ? (étude de chaque jeton) 2ème règle: chaque jeton doit être relié à tous les autres. Faire modifier la figure (plusieurs possibilités). Les deux règles sont-elles respectées maintenant? 4. Manipulations par petits groupes; 3, 4 ou 5 jetons et quelques ficelles. Faire trouver une disposition pour laquelle les deux règles sont respectées (les rappeler ou les faire rappeler). Etude des figures trouvées, les deux règles sont-elles bien respectées ? 5. Revenir à la si-tuation ci-contre (manipulation col-lective). Quels sont les jetons qui sont à la fois sur la ficelle bleue et sur la ficelle rouge? Quels sont les jetons qui sont à la fois sur la ficelle bleue et sur la ficelle noire? y a-t-il d'autres jetons qui sont reliés par plusieurs ficelles ?

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SOMMAIRE 3ème règle: deux ficelles ne peuvent avoir qu'un seul jeton en commun. Cette règle est-elle respectée ? Faire modifier la figure (plusieurs possibilités: supprimer la ficelle noire, ou supprimer la ficelle bleue mais alors il faut rajouter plusieurs ficelles pour respecter toutes les règles). 6. Manipulation par petits groupes: 3 jetons et quelques ficelles. Faire trouver une disposition pour laquelle les trois règles sont respectées. Étude des figures trouvées par les élèves (deux possibilités avec 3 jetons) Pour ceux qui ont trouvé les deux possibilités: étude avec 4 jetons. • Niveau CM1 ; CM2: Même étude mais en étudiant les deux premières règles avant la manipulation par petits groupes.

2°) Prolongements possibles : 2 jetons: Combien de possibilités ? 1 jeton: Peut-on jouer avec un jeton ? (avez-vous besoin de ficelles ? ) 4 jetons : Quelles sont les ficelles qui n'ont pas de jetons en commun ?

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SOMMAIRE 3°) Jeux avec 7 jetons et une règle supplémentaire (Expérimenté en CE2)

1. Une ou sept ficelles:

En respectant les règles (trois) des jeux précédents quelles figures peut-on obtenir avec 7 jetons en utilisant: – 1 ficelle? – 7 ficelles? Voici un exemple de chaque situation: 2. Plan d'autoroutes: 7 villes (7 jetons) Les mêmes règles (trois) et la règle suivante : 4ème règle: sur chaque autoroute doivent se trouver 3 villes.

Au tableau sont dessinées 7 villes : Haguenau (H), Saverne (Sa), Obernai (O), Strasbourg (St), Schirmeck (Sch), Erstein (E), Sélestat (Se) ; et 4 autoroutes. (On a choisi 7 villes connues des enfants)

Étude de la figure – y a-t-il 3 villes sur chaque autoroute ? – Y a-t-il des villes qui sont reliées par deux autoroutes? – Toutes les villes sont-elles reliées sans changer d'autoroute? (non! quelle autoroute pourrait-on tracer ? )

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SOMMAIRE On donne aux élèves (soit individuellement, soit par groupe de deux) une fiche avec le dessin suivant : Compléter. Étude des résultats : – combien y a-t-il de routes? – combien de routes pour chaque ville? (le dessin complet ci-dessous est une deuxième solution du jeu: 7 jetons et 7 ficelles). Commentaire pédagogique : a) Si l'on demande aux enfants de regarder la première figure et de décrire ce qu'ils voient, ils vont réagir syncrétiquement. Il s'agit de privilégier les notions d'incidence : Il n'y a qu'un seul fil qui passe par trois jetons; un jeton isolé n'est sur aucun fil, etc... etc... Les fils sont de couleurs différentes (pour les distinguer). Par contre, le fait que tel fil soit vert et tel autre bleu, qu'il y a un fil "courbé" et un autre sans virage fait partie de la description syncrétique, mais ne relève pas de l'exercice abordé. En réalité, les enfants n'ont pas été gênés par ces informations parasites ; le dialogue avec l'institutrice les a vite renseignés sur ce qu'il fallait voir et ce qu'il fallait oublier ! b) Des enfants si jeunes sont généralement incapables de tenir compte simul-tanément de plus de trois règles. On s'est attaché à introduire les trois axiomes prudemment et progressive-ment en s'assurant qu'ils avaient été bien compris, et retenus.

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SOMMAIRE B. MANIPULATION D'ISOMORPHISME

1°) plan d'une leçon expérimentée en CE2 Le point de départ de cette leçon résulte d'un désaccord des enfants, lors d'une séance précédente, sur les deux figures suivantes : tous n'étaient pas d'avis qu'elles représentaient la même situation. Matériel: jetons et ficelles de diverses couleurs. 1. On dispose les deux figures sur une table. On déforme lentement l'une des figures pour obtenir la même configuration que l'autre. 2. Comparaison des deux figures de départ: - Quelles sont les ficelles qui se correspondent? Pourquoi ? (la ficelle rouge et la ficelle bleue car elles portent 3 jetons chacune) - La ficelle rouge peut-elle correspondre à une autre ficelle (que la ficelle bleue) ? - La ficelle blanche correspond à la ficelle noire. Peut-elle correspondre à une autre ficelle? - Quels sont les jetons qui se correspondent ? Pourquoi ? - Tel jeton peut-il correspondre à plusieurs autres ? Les enfants ont pris conscience que deux ficelles ne peuvent se correspondre que si elles portent le même nombre de jetons et que deux jetons ne peuvent se correspondre que s'ils se trouvent sur le même nombre de ficelles. 3. Travail sur fiche On distribue aux élèves qui peuvent travailler seuls ou à deux des feuilles polycopiées où est reproduite un certain nombre de fois la fig. 3. (chaque enfant doit pouvoir disposer d'autant d'exemplaires de la figure qu'il désire). Les enfants doivent relier chaque jeton du dessin de gauche à un jeton du dessin de droite qui lui "corresponde", puis essayer de relier les jetons d'une manière différente, et si possible découvrir toutes les manières possibles de les relier.

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SOMMAIRE Faire découvrir des critères: les jetons par lesquels passent 3 ficelles ne peu-vent être reliés qu'entre eux. (Tous les enfants ont trouvé 2 possibilités, mais très peu d'entre eux ont pu dépasser 3, aucun n'a découvert les 6 possibilités au cours de cette séance). 2°) Changement de procédé: 1. Manipulation collective On réalise avec des ficelles toutes de la même couleur et des jetons identiques la disposition suivante (pour rendre la figure lisible nous avons adopté une couleur différente pour représenter la ficelle qui porte trois jetons) : Qui peut montrer deux jetons qui se correspondent? (Quand les autres enfants sont d'accord avec le choix de leur camarade on remplace les jetons par deux jetons de la même couleur). On continue jusqu'à ce que tous les jetons aient été remplacés. Aurait-on pu associer des jetons d'une autre manière ? Lesquels par exemple ? 2. Travail sur fiche: Les jetons de la première figure étant coloriés il s'agit de colorier les jetons de la seconde figure de façon que deux jetons correspondants aient la même couleur. En prenant soin de colorier les premières figures toutes de la même manière (pour favoriser la comparaison) un certain nombre d'enfants (les trois quarts) ont trouvé les 6 possibilités (en 15 minutes à peu près).

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SOMMAIRE 3. Synthèse au tableau: Construction de l'arbre des diverses possibilités :

d c b

a

4 3

2 1

Le jeton a ne peut correspondre qu'au jeton 1 Le jeton b peut correspondre aux jetons 2 ou 3 ou 4 :...

d d d d d d

3 4 2 4 2 3

c c c

2 3 4

4 3 4 2 3 2

b

3°) Prolongements possibles: On pourrait refaire le même travail avec d'autres configurations – 3 jetons: Comparaison des deux figures suivantes: (peut-on relier ?) Combien de possibilités de correspondance entre ces deux figures ? – Comparaison d'autres configurations avec 4 jetons.

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SOMMAIRE 4°) Quadrilatère complet (Expérimenté au CE2) 1. Manipulation collective : Matériel: – 4 ficelles d'une couleur, 6 jetons d'une couleur, – 4 ficelles d'une autre couleur, 6 jetons d'une autre couleur. – 6 paires de jetons de 6 couleurs différentes et différents des jetons précé-dents (soit par la couleur, soit par la matière...) On dispose les deux figures suivantes (pour chacune, une seule couleur pour les ficelles, une seule couleur pour les jetons) sur une table; les enfants sont en rond autour de la table: Étude des figures: – 4 ficelles – 6 jetons – 3 jetons sur chaque ficelle – par chaque jeton passent 2 ficelles Qui peut montrer deux jetons qui se correspondent ? (les remplacer par deux jetons de la même couleur) Qui peut montrer deux autres jetons qui se correspondent ? (quand les autres enfants sont d'accord avec le choix de leur camarade, faire remplacer les jetons par deux jetons de la même couleur) On continue jusqu'à ce que tous les jetons aient été remplacés. Très rapidement les enfants prennent conscience que si deux jetons sont sur une même ficelle dans la première figure, leurs correspondants doivent être sur une même ficelle dans hi deuxième figure. Si deux jetons de la première figure ne sont pas reliés, leurs correspondants de la deuxième figure ne doivent pas l'être non plus. Les élèves découvrent que les six jetons d'une figure sont "associés" deux à deux (ils forment trois paires). Pour tout jeton il n'y a qu'un seul jeton auquel il n'est pas relié. Aurait-on pu faire correspondre les jetons des deux figures d'une autre façon ? (oui)

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SOMMAIRE 2. Recherche individuelle (ou par deux)

Matériel: – des fiches polycopiées (trois fois le dessin précédent sur une fiche) les jetons des premières figures sont coloriés à l'avance et toujours de la même façon afin de faciliter les comparaisons. . – six jetons des six couleurs de la fiche. Dans un premier temps, les enfants disposent les jetons sur les emplacements de la deuxième figure en associant les couleurs. Dans un deuxième temps, quand ils sont sûrs de l'exactitude de leur corres-pondance, ils colorient les emplacements de la couleur des jetons. L'utilisation des jetons facilite les tâtonnements mais allonge la recherche, très vite la plupart des enfants abandonnent les jetons pour colorier directe-ment. Tous les élèves trouvent plusieurs correspondances différentes mais la recher-che des 24 solutions est très longue. Ils découvrent que lorsqu'ils ont une solution ils en ont rapidement une deuxième par "symétrie" ;

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SOMMAIRE Ils découvrent que, lorsqu'un jeton est fixé, il y a quatre solutions ce qui les amène au nombre 24 = 4 × 6 solutions.

Remarque pédagogique: La méthode de recherche utilisée spontanément par les enfants consiste à déplacer les jetons. Cependant, le point de vue dual conduit à une solution beaucoup plus rapide du problème: dans ce cas, ce sont les ficelles qu'il faut déplacer. Il y a 1 × 2 × 3 × 4 = 24 façons de permuter les couleurs des côtés du qua-drilatère complet. Et chacun de ces coloriages conduit à un isomorphisme. (Alors qu'il y a 6 ! = 720 façons de permuter les sommets du quadrilatère complet). Parmi ces 720 permutations, il n'yen a que 24 qui fournissent un isomorphis-me. Il faudrait plus tard suggérer aux élèves la méthode de la permutation des ficelles, pour qu'ils puissent comparer l'efficacité des deux méthodes, et juger eux-mêmes.

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SOMMAIRE

II. JEU DE LETTRES Il s'agit cette fois encore "d'expériences" réalisées à l'école annexe de l'École Normale de SELESTAT. Le but mathématique de ce jeu est de familiariser les enfants avec les axiomes de la géométrie (ici 'il s'agit de l'étude d'un modèle du plan projectif à sept points) sans utiliser les mots "point" et "droite", L'étude détaillée de ce plan projectif se trouve au chapitre IV. Matériel : Jeux de 21 cartons, sur lesquels sont inscrites les lettres de l'une des listes suivantes (une lettre par carton, chaque lettre est inscrite trois fois) : – B, C, E, I, L, 0, S – C, E, I, O, P, R, T – A, B, C, E, L, S, U – B, E, I, L, 0, S, T – C, E, I, L, 0, S, U – C, E, I, L, 0, S, T

1. EXPERIMENTATION AU CM1 1ère séance(1/2 heure) 1. On distribue un jeu par groupe de deux élèves et on demande aux enfants de l'observer : – combien de cartons ? – combien de lettres différentes? – combien de fois chaque lettre est-elle inscrite ? 2. On demande aux élèves de former librement des mots français de trois lettres différentes, ces mots sont inscrits au tableau pour pouvoir être utilisés ensuite. 3. On donne la règle du jeu: fabriquer avec tous les cartons sept mots français de trois lettres distinctes tels que deux mots différents aient une lettre commune et une seule. Sur les onze groupes d'élèves, deux groupes trouvent presque instantanément une liste complète. Au total, huit groupes ont trouvé sans aide extérieure; les trois autres ont eu besoin d'être guidés. Deuxième séance (1/4 d'heure) Une des listes trouvées est inscrite au tableau:

OIE LES BIS BOL SOC CIL BEC 1. On vérifie que tout couple de lettres distinctes intervient dans un mot et un seul.

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SOMMAIRE 2. On trace la figure suivante:

Des enfants reconnaissent la figure des "autoroutes" qui a fait l'objet d'un travail expérimental au cours de l'année scolaire précédente. (Cf. partie 1, A 3°) de ce chapitre). 2. EXPERIMENTATION AU CM2 (deux séances) – Une première séance assez courte (1/2 heure) d'observation du jeu et de recherche de la liste complète. Tous les groupes n'ont pas eu le temps d'aboutir. – Une deuxième séance pour essayer de voir si les enfants découvrent et utilisent une stratégie qu'ils peuvent exprimer : Un groupe d'enfants fait remarquer que l'on peut échanger deux voyelles. Ils avaient la liste : OIE LIS BIC BOL SOC CIE SEB. BIC et SEB n'étant pas des mots du dictionnaire (bien qu'existent le crayon à bille BIC et la cocotte SEB) ils écrivent : LES et BEC à la place de LIS et BIC CIL et BIS à la place de CLE et SEB Un autre groupe utilise la technique suivante: après avoir formé quelques mots, ils recherchent les lettres qu'ils peuvent associer à la lettre O par exemple; OIE étant écrit, il reste les lettres B, L, S, T ; on peut écrire soit BOL et SOT, soit BOT et SOL; ils choisissent, se réservant de changer s'ils n'arrivent pas à trouver des mots avec les autres voyelles. (C'est la rectifica-tion de tir). A la fin de cette deuxième séance, on propose aux enfants d'y jouer chez eux en fabriquant les cartons et en inventant des séries de lettres. Remarque: Les enfants semblent avoir plus de difficultés avec les jeux où figurent quatre voyelles qu'avec ceux où ne figurent que trois voyelles.

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SOMMAIRE

III. DES HISTOIRES DE METRO Le document de travail présenté ici, est la seconde version d'une fiche expéri-mentée en classe de cinquième en fm d'année: il s'agit de préparer l'étude de la géométrie d'incidence au début de la quatrième.

A. Voici le plan du métro de Bidon-les-Patates. Le réseau comprend 4 lignes : ––, ––, ––, ===, qui desservent les 7 stations : A, B, C, D, E, F, G.

Les contribuables bidonnais ne sont pas fiers de leur métro. La construction de la dernière ligne (la ligne ––) est, disent-ils, un véritable scandale ! Pour-quoi ? Un voyageur qui veut se rendre de D en G est obligé de changer de train. Il n'y a pas de ligne directe de D à G. Doit-on changer de train pour aller de D à F ? Y a-t.il une ligne directe entre A et C ? entre C et D ? entre D et F ? Pour aller de D à G il y a un itinéraire indirect, en changeant une fois de train. Peux-tu indiquer deux autres stations qui soient reliées indirectement mais non directement ? Peux-tu nommer deux stations qui ne sont pas reliées, même indirectement, par ce réseau de métro ? Les lignes –– et –– n'ont pas de stations en commun. Les lignes –– et === ont-elles une station en commun ? Que peut-on dire des lignes –– et –– ainsi que des lignes –– et === ?

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SOMMAIRE B. Les membres du "Club Y à qu'à" se réunissent tous les soirs à la Brasserie bidonnaise. Chacun raconte ce qu'il ferait, lui, s'il était chargé de reconstruire ce réseau mal agencé. On décide de faire un concours de maquettes, représentant des réseaux qui relient 7stations et qui se plierait aux 3 règles suivantes:

1. Facilité de liaisons. D'une station quelconque à toute autre station, il y aura toujours une ligne directe.

2. Pas de liaisons inutiles. Entre deux stations différentes, il n'y aura jamais plus d'une ligne directe.

3. Un réseau qui communique bien. Deux lignes différentes ont tou-jours une station en commun.

Exercice 1 : Vérifie qu'aucune de ces trois règles n'est respectée sur le plan actuel du métro de Bidon-Les-Patates. Questions: Sur un plan qui respecte les trois règles précédentes, deux lignes différentes peuvent-elles avoir beaucoup de stations en commun? Combien de lignes relient deux stations ? Écris dans ces deux rectangles les réponses à ces questions.

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SOMMAIRE C. Cinq projets ont été envoyés aux organisateurs du concours de maquettes. Le "Club Y a qu'à" a d'abord discuté des trois premiers projets : 1. Projet de Népomucène Contretout : Pas de ligne de métro du tout entre les stations. 2. Projet d'Agénor Padetrop : Le moins de lignes de métro possible. 3. Projet d'Ernestine C Padur : Un réseau comprenant une ligne reliant 6 stations complété par d'autres lignes qu'elle a appelées "navettes". On s'est mis rapidement d'accord sur la valeur de ces trois projets. Pourquoi ? Après avoir cherché au brouillon, recopie ici le dessin des projets de maquet-tes que tu as obtenu. Peux-tu deviner ce qu'Ernestine C. Padur appelle une "navette"? Écris-le ici.

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SOMMAIRE D. Le projet de Sosthène C Padur C'est un réseau comprenant une ligne reliant cinq stations complété par d'autres lignes. Lorsque Sosthène C. Padur a voulu exposer son projet, il a commencé par faire le dessin suivant :

et il a essayé de compléter ce réseau. Dans le brouhaha du Club, on a pu entendre des bribes de discussions: essaye de les compléter et de reproduire sur un dessin les essais successifs de Sos-thène C. Padur. Agénor Padetrop : Combien y a-t-il de lignes, dans ton projet, qui compor-

tent exactement trois stations Sosthène C.Padur : Forcément, une seule! Tous : Pourquoi? Sosthène C Padur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ernestine C.Padur : Combien y a-t-il de stations sur la ligne qui relie les deux

stations A et B ? Sosthène C. Padur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ernestine C Padur : Y a-t-il des navettes dans ton projet ? Sosthène C Padur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ernestine C Padur : Je te dis que tu n'arriveras jamais à satisfaire à toutes

les règles avec ton projet, parce qu'il y aura forcément des navettes qui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sosthène C Padur : Zut! alors!

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SOMMAIRE E. Le projet de Jean Lefaible C'est un réseau qui ne comprend que des lignes de trois stations chacune. Jean Lefaible commence sa maquette en dessinant une première ligne de 1 trois stations , ainsi que deux autres stations. Voici ce dessin :

Il a continué à compléter son projet par des lignes de trois stations chacune en respectant les trois règles, et en ajoutant des stations là où il le fallait sans dépasser le nombre total imposé de 7 stations. Complète la maquette de Jean Lefaible.

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SOMMAIRE Commentaires pédagogiques : Les élèves ne devraient pas soupçonner que cet exercice se relie à la géomé-trie. L'absence de mots "points", "droites", "parallèles", ainsi que le style "bande dessinée", contribue à ce résultat. Les classes où nous avons expérimenté ont travaillé d'abord pendant deux heures consécutives, à la demande des élèves qui ne voulaient pas interrompre leurs réflexions au bout d'une heure! On est parvenu ainsi au début du § D. Reprenant la suite quinze jours plus tard, on a rencontré de grosses difficul-tés, une révision de ce qui avait été fait auparavant s'imposait, d'autant plus que le raisonnement par l'absurde esquissé dans le § D est à la limite de ce que peuvent trouver des enfants de cet âge (bien que les difficultés du langage mathématique en soient complètement éliminées). Il faudra certainement reprendre cette fiche en la transformant en deux documents plus courts, et en tenant compte des observations que nous avons faites sur le comportement des élèves. Telle qu'elle est, la fiche est basée sur l'étude du plan projectif à 7 points : une de ses difficultés provient de la nécessité de manipuler simultanément 3 axiomes, ce qui est trop lourd pour débuter dans l'activité axiomatique. La prenùère version, basée sur le plan affine à 9 points, était encore moins satisfaisante car elle nécessitait 4 axiomes, plus difficiles à comprendre.

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V. LE JEU DE LA MARELLE Le professeur Dr. Hans Schupp de la Pedagogische Hochschule de Saar-brucken a eu l'idée d'utiliser le jeu de la marelle (en allemand Mühlespiel) pour initier des élèvesà l'axiomatique de la géométrie d'incidence. Il a exploité ce thème sous forme d'un cours programmé [1l]. Nous n'approuvons pas ici l'usage d'une pédagogie programmée: on risque d'obtenir ainsi un enseignement exagérément directif qui enlève toute initia-tive à l'élève. Mais l'ouvrage cité fourmille d'idées pédagogiques brillantes : la plus efficace aboutit à faire pratiquer l'axiomatique à des débutants sans prononcer le mot "axiome" et en évitant tout appareil linguistique qui accompagne généralement ce genre d'initiation. Nous résumons rapidement la brochure [1l], Y renvoyant le lecteur pour les détails. Rappelons que le jeu de la marelle se joue sur une planchette qui porte la grille ci-dessous. Il comprend 24 cases réparties sur 16 alignements (de trois cases chacun). Deux joueurs disposent respectivement de 9 pions chacun; blancs (resp. noirs).

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SOMMAIRE Dans la première phase du jeu, les joueurs posent alternativement leurs pions un à un sur des cases encore inoccupées. Ils essaient de réaliser des alignements de trois points, et d'empêcher leur adversaire d'en réaliser. Lorsque la pose est terminée, les deux joueurs font glisser l'un de leurs pions sur une case libre voisine (les déplacements se font suivant les lignes tracées). Si l'un des adversaires parvient à occuper entièrement une ligne, il prend un des pions ennemis (celui de son choix). Si l'un des adversaires n'a plus que .quatre pions, tout déplacement lui est alors permis, pourvu qu'il effectue son déplacement vers une case libre. La partie se termine lorsqu'un des joueurs ne peut occuper entièrement une ligne (soit parce qu'il possède moins de trois pions, soit parce que son adver-saire l'a "bloqué" sur ses positions). Pour que la pédagogie préconisée soit efficace, il est indispensable que ce jeu soit déjà familier à tous les élèves: condition facile à réaliser si l'on s'y prend suffisamment à l'avance. Un des avantages de la méthode est de faire réfléchir les enfants sur une situation qu'ils connaissent déjà bien, en utilisant une terminologie déjà parfaitement assimilée. On peut ainsi éviter une des em-buches de l'initiation à l'axiomatique: confronter simultanément les enfants avec des difficultés linguistiques et logiques qui suffiraient à elles seules à occuper toute l'attention. La méthode du professeur Schupp concentre l'effort sur la pensée axiomatique et élimine toutes les difficultés de langage. Le travail commence par une observation méticuleuse et une description de la grille : celle-ci constitue un exemple de schéma d'incidence. On remarque que: [M1] Chaque alignement comporte 3 cases. [M2] Par chaque case passent deux alignements. [M3] Deux cases distinctes appartiennent, au plus, à un alignement. (Il existe des paires de cases qui ne sont pas jointes par un alignement). L'idée centrale de [1l] est de poser la question suivante: "Pourrait-on jouer à la marelle sur des grilles différentes de la grille usuelle ? ". Et de suggérer la réponse : "Pour que le jeu soit intéressant, il faut d'abord que la grille comporte suffi-samment de cases (plus de 6 par exemple), suffisamment d'alignements, et qu'elle soit soumise à certaines contraintes. Par exemple, les conditions [Ml], [M2], [M3] sont raisonnables".

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SOMMAIRE En effet, s'il existait une case par laquelle passent beaucoup plus d'aligne-ments qu'ailleurs (par exemple fig. 2), le joueur qui occuperait cette case en retirerait un avantage considérable, qui déséquilibrerait le jeu. Les activités proposées sont variées : – A partir de la grille usuelle, dégager les 3 règles[M1], [M2] et [M3] – Vérifier qu'une grille a ou n'a pas ces propriétés. – Comparer (du point de vue de ces propriétés, mais aussi du nombre de points et d'alignements) d'autres grilles (cf. fig. 4 ) à la grille usuelle. – Compléter (ou plus généralement modifier) une grille pour qu'elle possède les propriétés. – Même consigne en cherchant à ce qu'il y ait le moins de points possibles, etc... Vocabulaire: Dans [1l], la locution "On peut jouer à la marelle sur cette grille" est synony-me de "Cette grille satisfait aux conditions [M1] , [M2 ] et [M3]. Problème: Caractériser toutes les grilles sur lesquelles on peut jouer à la marelle. Et le professeur Schupp conduit progressivement ses élèves vers la conclusion: Théorème (Cf. chapitre III) Une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une grille de c cases et de a alignements sur laquelle on puisse jouer à la marelle est que :

2 × c = 3 × a Insistons sur le fait que ce programme d'initiation a été expérimenté et per-fectionné pendant plusieurs années sur des centaines d'élèves, et qu'il donne lieu, à partir d'une situation familière, à toute une activité d'invention.

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CHAPITRE III

L'éveil au raisonnement déductif La formation mathématique d'un individu - tout comme l'apprentissage de la natation - comporte des paliers, dont le franchissement constitue une véri-table mutation. Il y a une différence essentielle entre celui qui effectue correctement les mouvements de nage aans l'eau, bardé d'une bouée, soutenu par un maître nageur, et celui qui effectue maladroitement cinq brasses sans aucun soutien. Celui.ci saura nager; celui-là ne nage pas encore et il n'est pas encore certain qu'il y arrivera. De même, l'élève qui a réussi une fois dans sa vie à bâtir une démonstration mathématique correcte saura certainement en imaginer d'autres. Pour le pédagogue des mathématiques cet éveil au raisonnement – phénomè-ne analogue sur le plan individuel au "miracle grec" – est le moment crucial qui témoigne de la réussite d'un enseignement. Nous rassemblons ici un certain nombre d'énoncés qui peuvent faciliter l'éveil du raisonnement.

I. L'EVEIL DE L'ESPRIT LOGIQUE : les énumérations complètes Il s'agit ici d'exemples de démonstrations où l'essentiel de la rigueur consiste à ne rien oublier. L'énumération de tous les cas est souvent facilitée par la technique des "arbres".

P. I.1 Déterminer tous les graphes connexes (cf. Ch. 1, E. E I.11) à 4 sommets non isomorphes deux à deux.

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SOMMAIRE Commentaire pédagogique: Il est facile de dessiner quelques graphes à 4 sommets. Il s'agit maintenant de n'oublier aucun modèle, et de ne pas compter deux fois le même. Il y a 6 modèles en tout. En voici la liste :

a) Un graphe à 4 sommets a, au plus, 6 arêtes.

Tous les graphes complets (à 6 arêtes) sont isomorphes entre eux. b) On construit un graphe à 5 arêtes en supprimant l'une des arêtes d'un

graphe complet. Tous les modèles ainsi obtenus sont isomorphes (cf. chapitre I E. D I.6).

Vérifier cependant que les modèles ci-dessous sont bien isomorphes. (Il suffit d'appliquer les sommets a et b sur a' et b').

c) On examinera soigneusement les graphes obtenus, en supprimant deux

arêtes du graphe complet. On obtient deux modèles différents selon que le graphe des arêtes enlevées (cf. E. D 11.6) est connexe ou non. On peut remarquer aussi que c1 possède un sommet de degré 3, contrairement à c2.

d) Il n'y a que deux graphes à 4 sommets et 3 arêtes. e) Un graphe à 4 sommets et à 2 arêtes (ou moins) n'est pas connexe : en

effet, les 2 arêtes ont chacune un sommet, mais l'un de ces sommets doit être commun aux deux arêtes (connexité) et il subsisterait un sommet isolé.

P. I.2 On veut colorier la "carte de géographie" ci-dessous en utilisant les quatre couleurs: bleu, rouge, blanc et noir. (On considèrera comme identiques deux coloriages tels que chaque fois que deux couleurs correspondent à des pays contigus du premier coloriage, elles correspondent aussi à des pays contigus du deuxième coloriage).

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Commentaire: a) Il est possible - mais inutile - d'utiliser ici le langage des relations d'inci-dence, en introduisant l'ensemble des pays! B, R, Bc, NI et l'ensemble des frontières. b) Dans une phase de bricolage, des élèves chercheront diverses façons de colorier, et finiront sans doute par aboutir à la liste suivante: Ils remarqueront que : 1. ces trois cartes ne sont pas coloriées de la "même façon". 2. toute autre tentative de coloriage aboutit à une situation isomorphe à l'une des précédentes. Un professeur habile parviendra peut-être à créer un besoin de démonstra-tion : n'y a-t-il vraiment aucune "autre façon de colorier" ?

Voici un argument qui coupera court à toute controverse. Sur une carte non coloriée, chaque pays est contigu à deux pays. Ainsi Bc ne peut être à-priori contigu qu'à {B, N}, {R, N} et {R, B}. Ce sont les seules possibilités, après quoi le coloriage s'achève sans ambiguïté, le dernier pays étant affecté de la couleur restante. On peut aussi remarquer que pour chaque pays, il y a exactement un pays qui ne lui est pas contigu. Ainsi, pour Bc, il faudra essayer successivement R, B ou N ; après quoi le coloriage s'achève d'une "façon" unique. Pour évaluer la valeur pédagogique de cet exercice, il faudrait pouvoir estimer si les élèves font une différence entre une assertion plausible et une propo-sition démontrée. Sont-ils au moins convaincus d'avoir procédé à une énumé-ration qui ne laissait échapper aucun cas?

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SOMMAIRE

P. I.3 Voici un petit problème concernant le plan de Fano: plan projectif à 7 points qui sera étudié au chapitre IV. On peut représenter les points et les droites de ce plan par le schéma suivant (chaque droite est représentée par une couleur) :

B3

A2 B1

A1 A3 A2

On constate que chaque droite du plan de Fano comporte 3 points, par chaque point passent 3 droites et 2 droites quelconques se coupent en un point et un seul. Soient A1, A2, A3 trois points non alignés du plan de Fano. Soient B) le troisième point de la droite [A2 A3], B2 le troisième point de [A1 A3] et B3 le troisième point de la droite [A1 A2]. Démontrer que B1 , B2 et B3 sont alignés. Solution commentée: Voici une excellente occasion de "Bien conduire sa Raison" selon les préceptes de Descartes. La démonstration ne suppose presque aucune invention : c'est surtout la clarté des idées qui importe. La seule difficulté "heuristique" consiste à penser à utiliser le fait que les droites [B) B2] et [A) A2] doivent se rencontrer en un point et un seul et donc qu'on est dans l'une des trois situations:

– B1 B2 A1 sont alignés ou B1 B2 A2 sont alignés ou B1 A2 B3 sont alignés

Pour conclure il suffit donc d'éliminer les deux premières possibilités. Mais la droite [B1 B2] coupe la droite [A1 A3] au seul point B2 (par définition de ce point) donc A1 ∉ [B1 B2]. De même A2 ∉.[B1 A2]. Il ne reste plus que la possibilité: B1 A2 B3 alignés.

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SOMMAIRE Remarquons que dans le "style écrit" il est usuel de présenter les arguments dans un ordre plus "linéaire" : par exemple ici on rédigerait (en abrégé) : 1. La droite [B1 A2] coupe la droite [A1 A2] en l'un des 3 points A1 A2 ou

B3 2. A1 ∉ [B1 B2] 3. A2 ∉ [B1 B2] 4. B3 ∉ [B1 B2] Il est probablement utile de mettre en évidence devant les élèves cette distinc-tion de style. La mise en forme (ou en organigramme) de démonstrations dont chaque étape est fournie aux élèves constitue peut-être un bon exercice. P. I.3bis Montrer que si on dessine en deux couleurs (bleu et rouge) les 7 points d'un plan de Fano, on ne peut éviter une droite unicolore. (Solution p. 125). P. I.4 Dans un graphe, on appelle triangle tout système de trois arêtes joignant deux à deux trois sommets distincts et trident tout système de trois arêtes ayant un sommet commun. Démontrer que si l'on colorie les arêtes d'un graphe complet à 4 sommets soit en bleu, soit en rouge, on ne pourra éviter d'obtenir un triangle unicolore, si et seulement s'il existe un trident unicolore. Commentaire pédagogique : L'observation d'enfants aux prises avec ce problème met en évidence une opposition entre la logique et la conviction. Le cas le plus banal concerne les enfants qui sont convaincus – pur acte de foi – de la justesse du résultat, sans éprouver le besoin d'une preuve logique. Mais on a observé des enfants ayant compris l'énoncé, qui commençaient par colorier un trident en bleu, et qui cherchaient à compléter le coloriage. Ils remarquaient que s'ils utilisaient une fois de plus le crayon bleu pour une quatrième arête, ils n'évitaient pas un triangle tout bleu! Mais s'ils n'utilisaient plus que du rouge, ils n'évitaient pas un triangle tout rouge ! Le professeur était tenté de croire qu'ils avaient trouvé la démonstration! A son grand étonnement il observait les enfants qui recommençaient l'opération avec d'autres tridents bleus, puis rouges. Autrement dit, ces élèves n'avaient pas encore conscience d'avoir découvert un argument de portée générale: ce n'est qu'après beaucoup d'essais que les élèves finissaient pas proclamer: "C'est toujours pareil".

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SOMMAIRE En fait, c'est la prise de conscience de l'équivalence des tridents (ou des couleurs) qui n'avait pas eu lieu. D'ailleurs, le même scénario se reproduisait à peine écourté, en partant d'un triangle tout rouge et en cherchant à compléter le coloriage en évitant des tridents unicolores. Il est bon d'autre part de faire comprendre que même si le graphe choisi pour présenter le problème est "particulier", la démonstration s'applique à n'im-porte quel graphe complet à 4 sommets: les graphes suivants ne se "ressem-blent" pas :

II. CONFIGURATIONS SEMI-REGULIERES ET REGULIERES E.E II.1 On considère un modèle d'incidence au sens strict comprenant p points et a alignements. Ce sera une configuration semi-régulière, si chaque alignement comporte le même nombre n de points, et s'il passe un même nombre m d'alignements par chaque point. (n et m sont les degrés (ch. 1,E.D II.1) des alignements et des points). Démontrer que :

p × m = a × n (Solution p. 126)

P. II.2 Existe-t-il des configurations semi-régulières, de 10 points, de 5 alignements, le degré de chaque alignement étant 4 ? Ces configurations, si elles existent, sont-elles isomorphes entre elles ?

(Solution p. 126) P. II.3 Existe-t-il des configurations semi-régulières de 12 points formées de 6 aligne-ments portant 4 points chacun? Si oui, sont-el1esisomorphes entre elles ?

(Solution p. 127)

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P. II.4 On considère les deux propriétés suivantes d'un modèle d'incidence (E, F, I). a) Pour tout couple (A,A') ∈ E × E, il existe un automorphisme du modèle

qui transforme le point A en A'. b) Pour tout couple (∆, ∆') ∈ F × F, il existe un automorphisme du modèle

qui transforme l'alignement ∆ en ∆' . Montrer que chacune de ces propriétés n'est pas une conséquence de l'autre. Esquisse de solution : Supposons la propriété a) vérifiée. Il en résulte que tous les points ont le même degré m. Pour obtenir un contre-exemple, il suffira d'imaginer un modèle où les aligne-ments n'ont pas tous le même degré. La tentative la plus simple consistera à construire un modèle avec m = 2 et avec des alignements de degré 2 et 3. La condition a) implique que dès qu'il existe un point par lequel passe un alignement de degré 2 (resp. 3), alors il passe par tous les points des aligne-ments de degré 2 (resp. 3). Autrement dit, chaque point appartient à un alignement de degré 2 et à un alignement de degré 3. Un tel modèle se dessine immédiatement, avec deux alignements de degré 3 et 3 alignements de degré 2. On vérifie que ce modèle d'incidence a 12 isomorphismes. On peut trans-former un de ses sommets en n'importe lequel de ses 6 sommets. Par contre, il est impossible de transformer, par automorphisme, un alignement de degré 2 en un alignement de degré 3. E.E II.5 Configurations régulières Une configuration régulière est un modèle d'incidence qui possède les deux propriétés a) et b) du problème précédent. a) Tout configuration régulière est semi-régulière. b) Donner un exemple de configuration semi-régulière non connexe, qui n'est

pas régulière. c) Si une configuration est régulière, son graphe complémentaire est une

configuration régulière.

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SOMMAIRE Indications: On passe de n'importe quel point (resp. alignement) à n'importe quel point (resp. alignement) par des automorphismes: les degrés des points (resp. ali-gnements) doivent donc être égaux. On obtient des contre-exemples non connexes en juxtaposant deux configu-rations semi-régulières non isomorphes mais correspondant aux mêmes degrés. Par exemple, on peut prendre la réunion disjointe d'un graphe triangulaire et d'un graphe quadrangulaire. Voilà un célèbre contre-exemple connexe : [8]

Le graphe complémentaire de cette configuration n'est pas connexe: c'est la réunion disjointe d'un graphe triangulaire et d'un graphe héxagonal. (Le lec-teur dessinera ce graphe complémentaire). E.D II.6 Prouver qu'un quadrilatère complet est une configuration régulière.

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III. L'IMAGINATION CREATRICE Voici quelques énoncés où les élèves auront à exercer leur esprit d'invention, sur des exemples où il n'y a pas de "cours" à connaître. P. III.1 Comment peut-on disposer 12 lampes de manière à former 6 rangées de 4 lampes ? L'exercice P. II.3, donne une solution de ce problème grâce à des configurations semi-régulières. Peut-on le résoudre autrement ? Commentaires : La solution semi-régulière comporte trois paires de parallèles. Nous avons vu qu'il est impossible d'envisager davantage de parallélismes. Il s'agit d'étudier les cas où il y en a moins. . On peut examiner le cas où il y a deux paires de parallèles. On trace alors un parallélogramme, et l'on essaie d'obtenir une solution en ajoutant encore deux droites en position générale: la tentative échoue. Reste à regarder le cas où il y a au plus une paire de parallèles: on dessine alors cinq droites en position générale, et l'on obtient (P. 1l.2) 10 points et 5 alignements de 4 lampes chacune. Il s'agit d'ajouter une dernière droite et comme il ne reste que 2 lampes à placer, on choisira une droite qui joint déjà deux lampes: voici ce qu'on obtient :

On notera qu'il ne faut pas placer de lampe au point marqué (? ) (sinon il y aurait cinq lampes sur un des alignements. Il ne reste qu'à ajouter deux lampes, arbitrairement en : (! )(! )) On pourrait éviter le point (? ) en manœuvrant de façon que les droites qui se coupent en (? ) soient remplacées par des parallèles.

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SOMMAIRE La configuration ainsi obtenue n'est pas semi-régulière, puisqu'elle comporte des points de degré 1,2 et 3. Remarque: S'assurer auparavant que pour les élèves "rangée" ne sous-entend pas "hori-zontale" ! P. III.2 Peut-on disposer 6 (resp. 7, resp. 8) segments de droite dans le plan affine réel R² , en sorte que trois segment~ distincts arbitraires ne concourent pas, et que chacun des segments rencontre exactement trois autres de ces segments ?

(Solution p. 128) P. III.3 La configuration suivante est régulière. Existe-t-il un isomorphisme qui trans-forme tous les sommets rouges en sommets bleus ?

(Solution p. 129) P. III.4 Voici un autre petit pro-blème "dual d'un problème de coloriage". Il est tiré de "Le paradoxe du pendu" de Martin Gardner. [7]

4

2

3

5

1

Placer dans les cases ci-contre les naturels de 1 à 8 de sorte que deux soient pas adjacents (c'est-à-dire reliés par un trait).

(Solution p. 130)

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P. III.5 Comment faut-il placer dans les cases des nombres (non nécessairement distincts) pour que la somme obtenue sur chaque alignement soit constante ?

(Solution p. 130) P. III.6 Autour d'un lac il ya 6 "ports". On veut organiser entre ceux-ci un réseau de "vedettes" répondant aux critères : 1° Chaque vedette visite 3 ports ; 2° Pour aller de n'importe quel port à n'importe quel autre port on a le choix

entre exactement deux bateaux; 3° Deux vedettes différentes ont des circuits différents.

(Solution p. 130)Autres présentations possibles du même problème: l. Trouver 6 lettres différentes avec lesquelles on puisse fabriquer 10 mots

(français) de 3 lettres distinctes vérifiant la règle: chacune des 15 paires qu'on obtient avec ces 6 lettres figure exactement dans deux mots de la liste.

2. Etant donnés 6 points, tracer 10 triangles de couleurs différentes de façon que le segment joignant 2 points quelconques figure exactement dans deux triangles.

IV. DEMONSTRATION ET CONVICTION A la question rituelle: "Pourquoi nous fait-on "faire des démonstrations ? ", il serait raisonnable de répondre: "Tant qu'une proposition n'est pas démontrée, on n'est pas certain qu'elle soit vraie". Cependant la pratique usuelle de l'enseignement ne permet pas de faire honnêtement cette réponse, car trop souvent des démonstrations portent sur des assertions dont l'élève – à tort ou à raison – est convaincu d'avance.

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SOMMAIRE La démonstration apparaît ainsi comme une cérémonie pédante que l'on a accomplie pour "faire plaisir au professeur". De plus, il est fréquent de rencontrer des élèves qui parviennent à écrire une démonstration, mais qui ne sont manifestement pas convaincus par des argu-ments contraignants. (Cf. le commentaire pédagogique lie P. 1.3) Bref, il y a un effort pédagogique à faire pour coordonner la logique et la psychologie, la démonstration mathématique et la conviction de l'élève. Nous avons déjà posé ici quelques questions dont la réponse n'est pas évidente à priori: parfois même elle est surprenante. En voici quelques autres: P. IV.1 Voici deux cartes de géographie Cet C' de 8 pays chacune. La première (qui comporte une mer intérieure) est coloriée. Peut-on colorier la seconde "de la même façon" ? (cf. P. 1.2).

Commentaire: Nous avons volontairement accentué le caractère dissymétrique de la carte coloriée, qui contraste avec la seconde, symétrique et sans trou. Le bon sens ne permet pas de répondre à priori. Le raisonnement est basé sur la remarque suivante: sur chaque carte, il n'y a que deux pays qui sont contigus à trois autres pays. Cela permet de trouver sur C' les deux pays qui devraient être coloriés en noir et en bleu. Une fois qu'on a choisi celui qu'on colorie en noir (2 façons) les coloriages s'achèvent sans ambiguïté; on obtient deux coloriages symétriques de C'. La réponse est donc affirmative. Le professeur pourra composer d'autres énoncés sur le même thème avec des réponses plus ou moins imprévisibles.

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P. IV.2 Peut-on colorier la carte de géographie ci-dessous en 3 couleurs de sorte que deux carrés ayant une frontière commune soient de couleurs différentes ?

Solution: Les pays 2 et 4 ont deux voisins communs 1et 5 qui doivent être de couleurs différentes. Donc 2 et 4 sont de même couleur. De même 2 et 7 (à cause de 3 et 6)

7 et 10 (à cause de 6 et 11) 9 et 4 (à cause de 5 et 8)

Donc 9 et 10 sont de même couleur (transitivité de l'égalité) ce qui est contraire aux exigences. Commentaire pédagogique : Il semble (? ) que des débutants puissent résoudre ce problème à la suite d'un "bricolage" assez long. A force de faire des essais, ils devraient s'apercevoir que ce sont toujours 9 et 10 qui "clochent", de quelque façon que l'on s'y prenne. Ainsi, cet énoncé devrait être encourageant pour des enfants. Signalons, enfin une variante peut-être plus suggestive de ce problème: il s'agit de colorier la marguerite ci-dessous (cœur compris) avec 3 couleurs. Suivant que le nombre de pétales est pair ou impair, le problème a ou non une solution. L'argument est bien sûr le même que précédemment mais il peut être instructif (pour le professeur) de chercher si des élèves qui ne peuvent trouver la démonstration dans la première version y réussissent dans la deuxième.

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P. IV.3 Le théorème de Ramsey [2] On se propose de colorier les t 5 arêtes d'un graphe complet à 6 sommets, à l'aide de deux couleurs. Existe-t-il pour chacun des coloriages possibles au moins un "triangle unicolore" ? Commentaire pédagogique : Supposons que les élèves abordent ce problème sans avoir connaissance de P. 1.3. Ils commenceront par colorier des graphes complets de 6 sommets en deux couleurs. Ils constateront que, dans tous les cas, ils obtiennent un triangle unicolore. Le professeur fera alors remarquer qu'il y a 215 = 32.768 façons différentes de colorier le graphe. Il n'est pas question d'examiner un à un tous ces cas pour constater la validité du théorème de Ramsey ! Les élèves penseront peut-être, après une dizaine d'essais, que la réponse affirmative est hautement probable. On fera remarquer, que, s'il n'existait pas plus de dix coloriages sans triangles unicolores, il y aurait très peu de chances pour que les essais aient mis ces coloriages remarquables en évidence. Ce dialogue est de la plus haute importance: il s'agit de susciter un besoin de preuves chez les élèves. Tant que le théorème de Ramsey n'aura pas été démontré, il subsistera un doute à son égard. Pour aider les élèves à trouver eux-mêmes la démonstration, on les incitera à se poser d'abord des problèmes plus simples: à propos du coloriage du graphe complet à 4 sommets, on les amènera à résoudre P. I.3. Le théorème de Ramsey est alors facile à démontrer. D'un sommet du graphe partent 5 arêtes bleues ou rouges. Il est certain que 3 d'entre elles seront de la même couleur. Ainsi, tout graphe complet à 6 sommets colorés en deux couleurs comporte au moins un trident unicolore: OA, OB, OC. Appliquant P. I.3 au sous-graphe de sommets O, A, B, C on en conclut qu'il existe au moins un triangle unicolore. On remarquera que le graphe complet à 5 sommets peut être colorié, sans triangle unicolore, en deux couleurs. P. IV.4 Montrer que dans tout coloriage en 3 couleurs des 171 arêtes d'un graphe complet à 19 sommets, il existe au moins un triangle unicolore.

(Solution p. 132)

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E.D IV.5 Considérons la suite d'entiers naturels Pn définie par récurrence par la formule : Pn =nPn-1 + l, à partir de P2 = 6 Alors, dans tout coloriage en n couleurs des arêtes du graphe complet à Pn sommets, il existe au moins un triangle unicolore. Commentaire : Bien évidemment, ce dernier exercice n'est simple que si l'on a résolu préala-blement les deux problèmes précédents.

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CHAPITRE IV

Minigéométrie I. PLANS PROJECTIFS M. I.1 Un bon exercice introductif est présenté au chapitre II : c'est le jeu de lettres. Il consiste à fabriquer sept mots français de trois lettres distinctes prises parmi sept lettres fixées, de telle sorte que : "Deux mots distincts aient une lettre commune et une seule". On vérifie alors que : "Toute paire de lettres distinctes intervient dans un mot et un seul". Commentaire: Signalons encore quelques listes de mots: E, I, M, N, 0, S, U : OUI - NOM - OSE - MIS - EMU- NUS - NIE. O, I, R, C, P, T, E : OIE - COR - PIC - CET - POT - TIR - PRE. O, I, S, U, E, L, C : OIE - SOU - LUI - ECU - COL - SIC - SEL. Dans l'exercice P. I.,3 bis du chapitre III il est prouvé que si l'on colorie les points d'un plan de Fano en deux couleurs il y a au moins un alignement unicolore. Donc, puisqu'il ne semble pas y avoir de mot français de trois consonnes (en dehors des sigles) il faudra de toute façon faire intervenir un mot de trois voyelles. Cette remarque est bien utile pour "démarrer" une liste, et aussi pour choisir les sept lettres.

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SOMMAIRE

E.D I.2 Peut-on compléter les modèles d'incidence suivants, en y ajoutant un très petit nombre de nouveaux points ou alignements tels que:

Pl Tout couple de points distincts est incident à un alignement et un seul

P2 Tout couple d'alignements distincts est incident à un point et un

seul E.E I.3 Un modèle d'incidence est un plan presque projectif s'il satisfait aux axiomes Pl .et P2 E. D 1.2). a) Trouver des exemples de modèles d'incidence presque projectifs où l'ensemble des points (resp. l'ensemble des alignements) se réduit à l'ensemble vide, à un singleton ou un doubleton. b) Peut-on démontrer que, dans un plan presque projectif, tout point (resp. tout alignement) est incident à au moins deux alignements (resp. points) ? Commentaire didactique: Ce n'est pas par hasard que l'ensemble vide n'intervient qu'au quatrième chapitre de ce fascicule: la sagacité de nos élèves doit porter sur des situations suffisamment riches pour qu'il soit possible d'y exercer une activité créatrice. Mais il est important d'informer les élèves en temps utile de l'existence d'exemples triviaux dont le seul intérêt est d'apporter une cohérence à l'édi-fice mathématique. Ainsi, le nombre zéro, l'ensemble vide, les groupes réduits

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SOMMAIRE à un singleton etc... ne sont importants que parce qu'ils servent de clé de voûte à une théorie. Certains théorèmes s'énonceraient mal si, pour la géné-ralité, on ne tolérait pas des cas triviaux, et les démonstrations seraient compliquées par les cas d'exception. Par contre, il est pédagogiquement maladroit de signaler comme premier exemple d'une théorie des exemples triviaux, qui ne sont ni typiques ni inspirants. Parmi la liste des modèles d'incidence E, F ; 1 satisfaisant aux axiomes Pl . et P2 figurent les cas extrêmes suivants : E = ∅ F = ∅ E = ∅ F est un singleton E est un singleton, F = ∅ Dans chacun de ces cas, I est ∅ (puisque E × F l'est). Voici encore quelques exemples peu intéressants : Cependant ces exemples prouvent que l'on ne peut déduire, à partir des seuls axiomes Pl et P2 les propositions suivantes :

"Tout alignement contient au moins deux points" "Par tout point passent au moins deux alignements" "Il existe au moins deux points (resp. deux alignements)" "Il existe au moins trois points non alignés" "Il existe au moins trois alignements non concourants".

Inutile de dire que si l'on enseigne la géométrie d'incidence dans une pers-pective "monoconcrète", basée sur l'évocation du dessin graphique à la règle, aucun élève ne peut comprendre que les propositions précédentes ne sont ni évidentes, ni vraies. Il récusera sans doute des contre-exemples: "ce ne sont pas de véritables droites" dira-t-il.

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SOMMAIRE On obtient une théorie plus intéressante en éliminant ces exemples marginaux grâce à un axiome supplémentaire qui peut être choisi de diverses façons. Définition: Un plan projectif est un plan presque projectif qui satisfait en outre l'axiome :

P3 Il existe 4 points Al, A2, A3, A4 tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés.

Il faut se convaincre que les axiomes essentiels sont Pl et P2 et que P3 , est une "mesure d'hygiène" qui élimine les impuretés indésirables. Attention ! l'axiome P3 n'est pas équivalent à : il existe 4 points non alignés. Le projet d'Ernestine C. Padur (chapitre II, III.C) vérifie cette der-nière propriété mais pas l'axiome P3 . E.D I.4 Prouver que si l'on ôte à l'ensemble des lettres {E,I,M,N,O,S,U} les trois lettres d'un mot de la liste trouvée en M I.1, on obtient quatre lettres telles que trois quelconques d'entre elles ne constituent plus un mot de la liste. E.D I.5 Vérifier qu'aucun des exemples trouvés en E. E I.3 a) n'est un plan projectif. E.E I.6 Démontrer que tout plan projectif comporte au moins 7 points et 7 aligne-ments, et que les degrés de tous les points et de tous les alignements sont égaux. Étant donnés deux points distincts X et Y d'un plan P, on désignera par [X Y] l'unique alignement qui joint X à Y. Commentaire : L'axiome P3 assure l'existence de 4 points Ai (i ∈ {1,2,3,4}) tels que : les alignements [Ai Aj] où i ≠ j et {i,j} ⊂ {1,2,3,4} sont tous distincts, car aucun des points Ah n'appartient à l'alignement Ai Aj si h ≠ i et h ≠ j . Les alignements distincts [Al A2] et [A3 A4] ont un point commun unique d'après (P2) : soit L ce point. De même [A1A3] et [A2A4] se coupent en M (resp. [A1A4] et [A2A3] en N).

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SOMMAIRE Le point L (resp. Met N) est distinct des points Al A2 A3 A4 (par exemple si L = Al, on aurait Al ∈ [A3 A4] contrairement à P3). Vér if ions que L ∉ [A1A3] : s ' i l n 'en étai t pas ainsi , on aurai t [Al A2] = [Al L] = [Al A3], ce qui est absurde. On en déduit que les points L, M, N sont distincts. (Il est impossible que L = M, puisque L ∉ [Al A3] alors que M ∈ [Al A3]). Nous venons de prouver l'existence de sept points distincts au moins dans M, à savoir : Al, A2, A3, A4, L, M, N. Comme L ≠ M, l'alignement [LM]est défini. (Pl): En outre [LM] ≠ [A1A3] puisque L ∉ [A1A3]. On montrerait de même que [LM] est distinct de tous les [AiAj] Nous venons donc de prouver l'existence de 7 alignements distincts au moins ; les six [AiAj] et [LM]. Remarque: On serait tenté de considérer aussi [LN] et [NM]. Mais il est impossible de déduire de Pl, P2, P3, que ces trois alignements sont distincts. En effet, il existe des modèles de plan projectif ne comportant que 7 points et 7 alignements (cf. M. I.1 et E. D I.4 ainsi que E. D I.2 .) Considérons maintenant un point O arbitraire, et un alignement arbitraire ∆. ne passant pas par O. D'après Pl et P2, il existe une bijection qui associe à tout point de ∆., l'alignement qui le joint à O. On prouve ainsi que le degré de O est égal au degré de ∆. (cf. ch. I, E. D II.1). En fixant le point O (resp. ∆), et en faisant varier ∆ (resp. O), on prouve que les degrés de tous les alignements sont égaux. P. I.7 Calculer le nombre de points et d'alignements d'un plan projectif, sachant que le degré de ses points et de ses alignements est k + 1 .

(Solution p. 133)

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E.E I.8 [5] Dans le corps Z13 des entiers modulo 13, on considère l'ensemble S = {0, 1, 3, 9}. a) Vérifier que tout élément non nul de Z13 s'écrit d'une façon et d'une seule comme différence de deux éléments distincts de S. b) On considère un modèle d'incidence M = { P , D , I} tel que : les "points" sont 13 objets Pi ∈ P , indexés par i ∈ Z13

les "droites" sont 13 objets Di ∈ D , indexés par i ∈ Z13. La relation d'incidence I est "Pi est incident à Dj" si et seulement si : i + j ∈ S. Démontrer que M est un plan projectif. Solution: a) Il suffit de dresser le tableau de l'opération – dans S et de constater qu'en dehors de la diagonale on trouve une fois et une seule chaque élément non nul de Z13 .

b) Etant donnés deux points Pi et Pi' distincts, il s'agit de prouver l'existence et l'unicité d'une droite Dj et de deux éléments α et α' de S tels que :

i + j = α i' + j = α' Or, l'élément i – i' de Z13 se décompose d'une façon et d'une seule en une différence α – α', ce qui détermine α et α' et il existe alors un unique j tel que i + j = α . La même démonstration est valable pour la vérification de l'axiome P2. Enfin, il est facile de trouver 4 points satisfaisant à P3 : cette recherche est facilitée par l'exercice qui suit: T.T I.8 Dresser la matrice d'incidence du modèle précédent. Dresser la table à double entrée qui associe à chaque couple (i, i') i ≠ i', l'unique j correspondant à la droite Dj qui joint Pi et Pi '. Ce tableau peut également se lire : au couple (i, i') on associe le point Pj qui est à l'intersection de Di et Di'. On écrira j = i * i'. L'exécution de cette tâche technique est beaucoup moins longue et fasti-dieuse qu'il n'y paraît. Certes, il s'agit de remplir deux tableaux de 169 cases. Mais, après très peu de calculs, l'opération s'achève d'une façon automatique, à cause des remarques suivantes : Pour tout k ∈ Z13, si Pi est incident à Dj' alors Pi + k est incident à Dj – k .

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On vérifie aussi que le couple (i + k, i' + k) correspond aux mêmes α et α' (cf. solution précédente) que (i,i'). On en déduit que (i + k) * (i' + k) = (i + i') – k. Le remplissage des tableaux s'effectue alors aisément en suivant des parallèles aux diagonales. Le premier tableau sert à amorcer le second.

Pi\Dj 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 × × × 1 × × × × 2 × × × × 3 × × × × 4 × × × × 5 × × × × 6 × × × × 7 × × × × 8 × × × × 9 × × × × 10 × × × × 11 × × × × 12 × × × ×

Matrice d'incidence

i\i' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 1 0 9 9 3 9 1 0 3 3 1 1 0 12 0 12 8 8 2 8 0 12 2 2 2 1 12 11 12 11 7 7 1 7 12 11 1 3 0 0 11 10 11 10 6 6 0 6 11 10 4 9 12 12 10 9 10 9 5 5 12 5 10 5 9 8 11 11 9 8 9 8 4 4 11 4 6 3 8 7 10 10 8 7 8 7 3 3 10 7 9 2 7 6 9 9 7 6 7 6 2 2 8 1 8 1 6 5 8 8 6 5 6 5 1 9 0 0 7 0 5 4 7 7 5 4 5 4 10 3 12 12 6 12 4 3 6 6 4 3 4 11 3 2 11 11 5 11 3 2 5 5 3 2 12 1 2 1 10 10 4 10 2 1 4 4 2

Table de jonction et d'intersection

Fig. 5

71

SOMMAIRE Bien entendu, il n'est pas question de perdre du temps à construire ces deux tables si on ne se propose pas de s'en servir, de les "faire fonctionner". Question: Peut-on, dans l'exemple précédent remplacer S par un autre sous-ensemble S' ? Réponse : S' doit avoir exactement 4 éléments. De plus, comme S ne sert qu'à former des différences, on peut "translater" S en ajoutant une constante. Cette activité a été proposé à un groupe de stagiaires de l'I.R.E.M auprès duquel elle a remporté un vif succès, pour les raisons suivantes : Dans ce groupe, le propos initial était de faire effectuer un calcul présentant une certaine originalité et dont les résultats puissent être ensuite "utilisés". En fait, cela a été l'occasion pour les stagiaires de niveaux très variés (agrégés, certifiés, P.E.G.C.) de confronter leurs connaissances sur les espaces projec-tifs, permettant aux uns de faire rentrer cet exercice de géométrie dans le cadre de .leurs connaissances qui se situaient plutôt au niveau de la définition de "P C" (plan projectif complexe), et aux autres d'élargir leurs horizons sur les espaces projectifs à partir d'un exercice facile à tous niveaux. T.T I.9 Matériel : les deux tables précédentes. Un cas particulier du théorème de Desargues (voir chapitre suivant) s'exprime de la façon suivante : Etant donnés deux triangles ABC et A'B'C', tels que A' soit sur la droite [BC], B' sur la droite [AC] et C' sur la droite [AB], et que les trois droites [AA'], [BB'], [CC'] soient concourantes en un point M ; on désigne par A" (resp. B", resp. C") les points de rencontre de [BC] et [B'C']. (resp. [AC] et [A'C'], resp. [AB] et [A'B']). Alors les points A", B", C" sont alignés. Vérifier sur un cas particulier que ce théorème reste valable dans le plan projectif à 13 points. Marche à suivre: On peut partir de trois droites non concourantes (par exemple D0, D1 , D2) côtés d'un triangle dont on calcule les sommets, grâce à la table : on trouve A = P9, B = P8, C = P0. Choisissons un point M (par exemple P5) en dehors des droites D0, D1 et D5 . On trouve que les droites [AM], [BM], [CM] sont D4, D8, D9 ; on en déduit A' = P12, B' = P1, C' = P4 puis [B'C'] = D12, [C'A'] = D10, [A'B'] = D2 .

72

SOMMAIRE

Enfin A" = P2 , B" = P3, C" = P11, On vérifie bien que ces trois points sont alignés sur D11 . . Ce genre d'activité développe l'aptitude à utiliser conjointement deux types de représentations différentes: un dessin et des tables numériques. Il habitue aussi à faire preuve de minutie dans une situation pratique où interviennent beaucoup de données. P. I.10 Trouver une représentation du plan de Fano (à sept points) analogue à E.E I.8. Solution : Il suffit de travailler avec Z7 au lieu de Z13 et de choisir S = { 0, 1, 3 }.

73

SOMMAIRE

II. PLANS D'INCIDENCE AFFINES Un modèle d'incidence {E, F, I} (où les éléments de E s'appellent "points" et ceux de F "droites") est un plan d'incidence presqu'affine s'il satisfait aux deux axiomes suivants : A1. Tout couple de points distincts est incident à une droite et une

seule.

A2. Quelle que soit la droite D ∈ F , par tout point A n'appartenant pas à D passe une droite et une seule disjointe de D.

L'axiome A1 est identique à P1. L'unicité, formulée dans A2 est le célèbre postulat d'Euclide. M. II.1 Matériel: les deux tables construites en T. T 1.8, (fig. 5) On pose (avec les notations de E. E 1.8) E = P – {P0, .P1, P3, P9} et F = D – {D0}, en adoptant la relation d'incidence induite. Vérifier que l'on obtient ainsi un plan (presqu') affine. Commentaire: Nous avons noté en bleu dans les tableaux les éléments qui sont à éliminer. On remarque alors que les droites D4, D5, D7, qui se coupaient dans le modèle projectif au point P9 qui a été éliminé, sont maintenant disjointes deux à deux. On obtient ainsi un plan presqu'affine de 9 points. {P2, P4, P5, P6, P7, P8, P10, P11, P12} et de 12 droites qui se répartissent en 4 "directions" de 3 droites chacune: {D4, D5 , D7}, {D1 , D3, D9}, {D2, D8 , D12 }, {D6, D10, D11} . Deux droites ont même direction si elles sont disjointes ou confondues (i.e. parallèles). Autrement dit une direction est une classe d'équivalence pour la relation de parallélisme. La vérification des axiomes est immédiate: par deux points de E, passait déjà, dans le plan projectif, une droite et une seule: mais cette droite n'est pas D0, puisque les points P0, P1, P3, P9 ont été éliminés. Si D ∈ F et P ∈ E, il existe dans le plan projectif un point et un seul commun à D et D0. En joignant ce point à P, et en éliminant P, on obtient l'unique parallèle menée par p à D.

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SOMMAIRE

E.D II.2 Dans un plan presqu'affine, deux droites distinctes ne peuvent avoir plus d'un point en commun. Si deux droites sont parallèles, toute sécante à l'une est sécante à l'autre. Comme dans le cas projectif, par mesure d'hygiène, on introduira un axiome supplémentaire destiné à éliminer les monstruosités qui sont présentées dans l'exercice suivant. Il est probablement particulièrement nocif de présenter de els exemples aux élèves, même après un certain temps d'apprentissage... L'exercice qui suit est donc surtout destiné aux professeurs curieux qui aiment connaître la raison du choix de telle ou telle propriété comme axiome. Définition: Un plan presqu'affine est un plan affine s'il satisfait à l'axiome. A3 L'ensemble des droites n'est pas vide. Toute droite est une partie

propre, non vide, de l'ensemble des points. E.E II.3 Une galerie de monstres Soit X un ensemble et D ⊂ P (X) un ensemble de parties de X. a) Est-il possible que {X, ∅ ; ∈} soit un plan presqu'affine ? b) Si ∅ ∈ D ,est-il possible que {X, D ; ∈} soit un plan presqu'affine ? c) Trouver toutes les structures de plan presqu'affine {X, D ; ∈} où M est un doubleton.

(Solution p. 133)L'exercice suivant est également destiné en priorité aux professeurs; il faut le considérer comme un exercice de rédaction méticuleux, mais pour que cette difficulté soit bien la seule rencontrée il faut avoir l'habitude de manier des règles qui peuvent paraître arbitraires. Il s'agit de se conformer à une rigueur sans faille, en évitant tout abus de langage et en signalant à chaque pas de la démonstration les axiomes ou résultats antérieurs qui sont invoqués. Il ne semble pas indiqué de soumettre des débutants à cette ascèse, mais à un moment ou à un autre de l'éducation mathématique on devrait se livrer à de tels exercices de rédaction. E.E II.4 On veut établir la propriété : tout plan affine contient au moins 4 points, non alignés trois à trois.

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SOMMAIRE a) Prouver d'abord, en utilisant A3, l'existence de deux points distincts A et B. b) Puis l'existence d'un point C non aligné avec A et B, d'après A1 et A3. c) Appliquer A2 pour prouver l'existence d'une parallèle menée de C à la droite [A B] (resp. par B à la droite [A C].) Prouver (ED II.2) que ces parallèles ont un point D commun, distinct de A, B et C. Voici, à titre de curiosité, un exercice, qui ne se relie pas à la géométrie affine, mais qui met en jeu les mêmes aptitudes que l'exercice précédent... et aussi un brin d'astuce. P II.5 Dans un bal, aucun garçon n'a dansé avec toutes les filles, mais chaque fille a dansé avec un garçon au moins. Démontrer qu'il existe deux couples (g, f) et (g', f ') qui ont dansé ensemble, mais tels que g n'a pas dansé avec f ', ni g' avec f.

(Compétition Putnam - 1965) (Solution p. 134)

E.E II.6 Plan affine et plan projectif. Cet exercice est "inverse" de M 11.4 :cette fois on part d'un plan affine et on lui associe un plan projectif. Soit {M, D, ∈} un plan affine d'incidence, et soit ∆ l'ensemble des direc-tions des droites de ce plan. En adjoignant la "droite de l'infini" ∆.au plan affine, on obtient un plan projectif. Plus précisément, l'ensemble des points du plan projectif est M = M ∪ ∆ .

A toute droite D ∈ M, du plan affine on associe une droite du plan projectif en lui adjoignant sa direction : si D ∈ M il existe une (unique) direction δ ∈ ∆. telle que D ∈ δ , on pose alors = D ∪ {δ}.

D̂

D̂Soit la réunion de l'ensemble des D et de {∆} ; = {∆} ∪ { | D ∈ D}. D̂ D̂ D̂Vérifier que {M, , ∈} est un plan projectif. D̂Pas de difficultés particulières ... lorsqu'on a bien compris les définitions ... M II.7 Un autre modèle de plan affine à 9 points. Voici la carte du réseau inachevé du métro d'Affinoville. Dans cette ville ultramoderne, il y a 9 .stations, et l'on a déjà construit quatre lignes :

76

SOMMAIRE Peut-on compléter le plan de façon à ce que :

par deux stations passent une ligne et une seule et que chaque ligne de métro passe exactement par trois stations distinctes.

Vérifier que le modèle ainsi obtenu satisfait à A1 A2 et A3, et qu'il est isomorphe au plan affine M II.1. Trouver les couples de lignes disjointes, et identifier les quatre "directions".

Commentaire heuristique: Un essai maladroit consiste à chercher ce que peut être la troisième station de la ligne qui joint A et B : celle-ci ne doit être desservie par aucune ligne qui dessert déjà A ou B (d'après Ad: On élimine ainsi D, F, G, H, I. Malheureuse-ment deux possibilités(C ou E) subsistent. Choisissons, au contraire, un couple de stations desservies par le plus de lignes possibles : Par exemple D et F : la ligne D F doit nécessairement passer par E. Une élimination analogue montre que la ligne B H passe par E. A ce stade nous constatons que B est directement reliée à toutes les stations sauf A et C. Ainsi A, B, C sont nécessairement sur une ligne qui reste à construire. On complète le réseau, en utilisant les mêmes arguments. On prouve aisément l'isomorphisme avec le modèle M II.1, en faisant corres-pondre à A, B, D, trois points Pi non alignés (par exemple P2 en A, P6 en D et P8 en B). On constate, à l'aide de la table de jonction (fig. 5) que la droite A D doit correspondre à D7 (qui contient P2, P6 et P7) ; on place donc P7 en G, etc...

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SOMMAIRE Voici le schéma des lignes qui complètent la figure donnée.

En juxtaposant ce schéma avec les don-nées, on reconnaîtra aisément la partition de l'ensemble des 12 lignes en 4 directions (ensemble de lignes disjointes deux à deux) et on consta-tera que l'axiome A2 est satisfait.

Commentaire pédagogique: On évitera d'encourager une attitude passive des élèves, en leur fournissant le dessin complet du réseau de 12 lignes, et en leur demandant : "les axiomes A1 et A2 sont.ils satisfaits ? ". Au contraire, il s'agit de faire fonctionner les axiomes. A l'opposé, il semble excessif de demander à des débutants de reconstituer entièrement le schéma. Nous adoptons donc une technique pédagogique éprouvée: on demande de compléter un schéma. Tout n'est pas à inventer, mais un effort de logique (ou d'invention) doit encore être fourni. Le pédagogue doit s'interroger sur la quantité d'informations que l'énoncé peut fournir sans ôter toute vertu formatrice à cet exercice. Une difficulté parasite du problème provient des lignes de métro non recti-lignes, telles que D B I. C'est après de nombreux essais graphiques que nous avons constaté que les formes elliptiques sont agréables à regarder et fournis-sent un schéma dont l'élève peut saisir la structure sans trop d'effort. Nous fournissons, ici, les quatres lignes elliptiques, en demandant aux élèves de reconstituer les 8 autres lignes, dont le tracé rectiligne s'impose à l'œil. Or, on voudrait que les élèves déduisent logiquement la nécessité de la jonc-tion D F E; mais la plupart des élèves devineront la réponse, uniquement pour des raisons esthétiques, et on manquera ainsi l'objectif pédagogique visé. Autrement dit, la formulation de notre problème n'est pas "pure de but", pour s'exprimer comme les théoriciens du problème d'échecs (cf. [4]). "La multiplicité des buts - écrit André Chéron - risque non seulement de faciliter la tâche du solutionniste, mais de le mettre sur la bonne voie par un chemin détourné, ce qui aurait pour conséquence de détruire l'effet esthétique (– et nous ajouterons: pédagogique –) escompté". Il serait intéressant de modifier l'énoncé, en fournissant aux élèves un schéma isomorphe au précédent, qui comprendrait une ou deux lignes elliptiques

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SOMMAIRE accompagné de lignes rectilignes; en un schéma aussi dissymétrique que possible. Le sentiment esthétique n'appellerait plus aussi fortement la réponse. De plus, la solution ferait surgir en fin de course une symétrie inattendue; ce serait un attrait supplémentaire de l'exercice (cf. Livre du Problème, fasc. IIl, Exercice 2.3.8). E.D II.8 Reprendre un dessin analogue à M II.7 On demande de compléter par des lignes de trois stations, satisfaisant à A2 (au lieu de A1). Commentaire pédagogique : L'expérience prouve que les débutants ont beaucoup de difficultés à mani-puler d'emblée A1 et A2. L'artifice pédagogique qui consiste à proposer successivement M II.6 et E.D II.8 permet de faire manipuler successivement ces axiomes, avant de les faire fonctionner simultanément. M II.9 Représentation planisphérique du plan affine à 9 points 1. Un planisphère ne représente pas le globe terrestre d'une façon bijective. Cela ne l'empêche pas d'être utile. Par exemple, comment peut-on lire sur le planisphère ci-dessous l'itinéraire d'un voyage rapide en avion de Nouvelle-Zélande en Amérique du Sud ? D'Australie en Nouvelle-Zélande ? D'Australie en Amérique du Sud ? D'Alaska en Suède ?

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SOMMAIRE 2. Le plan affine à 9 points peut être représenté sur le "planisphère" suivant, où certains des 9 points sont marqués deux fois.

Commentaires: l. On notera que le Pôle Nord est représenté sur le planisphère par tout un côté du rectangle ; le voyage Alaska - Suède correspond donc à un segment presque vertical de l'Alaska vers le Pôle, complété par un autre segment presque vertical du Pôle en Suède. Sur le globe, cela correspond à un survol du pôle. . 2. Voici une occasion inespérée pour coordonner les connaissances que les élèves peuvent avoir acquises en géographie, avec notre enseignement. 3. L'énoncé peut être modifié selon les techniques de complétion développées dans les commentaires de M II.7. M II.10 Représentation torique du plan à 9 points On peut dessiner le "plan" à 9 points sur une chambre à air gonflée. (Fig. 6) Le dessin représente l'aspect de ce pneu lorsqu'on le regarde par dessus; la page suivante décrit ce que l'on voit par dessous. On peut suivre les divers alignements en regardant le dessin par transparence. Les droites de même direction sont représentées par une même couleur.

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E.E II.11 Autre habillage. La surveillance d'une usine est assurée de 20 h à 8 h par un veilleur de nuit. Soit P = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} J'ensemble des postes de pointage. Chaque heure, le veilleur de nuit effectue une ronde définie de la manière suivante : α.) Étant données les dimensions de l'usine, chaque ronde R passe par trois

postes distincts. On notera: R = {x, y, z} x ∈ P, y ∈ P, z ∈ P. β.) Si deux postes de pointage appartiennent à une ronde R, aucune autre

ronde ne les contient tous les deux. γ.) Par un poste de pointage qui n'appartient pas à une ronde R, passe une

ronde R' qui n'a aucun poste commun avec R. I. 1° Déterminer l'ensemble R des rondes ainsi définies.

Quelles relations pouvez-vous écrire entre R, R et P ? 2° Combien de rondes distinctes passent par le poste a ? 3° Deux rondes sont considérées comme étant du même type si : ou bien elles passent par les mêmes postes de pointage, ou bien elles n'ont aucun poste commun. Montrer que cette relation est une relation d'équivalence sur R . Déterminer les classes d'équivalence.

II. Afin d'assurer une surveillance homogène de J'usine, le veilleur de nuit effectuera consécutivement les rondes appartenant à une même classe d'équivalence. 1° Au bout de combien de temps sera-t-il passé une fois à chaque poste de pointage ? 2° Établir un planning de rondes pour le veilleur de nuit en complétant le tableau à double entrée suivant:

P N° de ronde a b c d e f g h i

1 1 1 1

2 . . n

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SOMMAIRE III. Réalisation d'un schéma de fonctionnement d'un appareil de contrôle

des rondes. Chaque poste de pointage peut être assimilé à un contact électrique ; chaque ronde à une combinaison de postes de pointages déclenchant un enregistrement automatique de contrôle. On respectera les rondes du planning (question II.2). 1° Écrire l'équation de fonctionnement de l'enregistreur automatique. 2° Réaliser le schéma de fonctionnement de ce dispositif (schéma à contacts).

Commentaire : Cet énoncé est une tentative, parmi tant d'autres, pour "habiller" le plan à 9 points. On regrettera le caractère artificiel de ces affabulations. En particulier, la définition du "parallélisme" de deux rondes (I.13) s'introduit ici avec des "motivations" invraisemblables. Cependant, des situations où l'on cherche à organiser un nombre fini de tâches de façon à éviter des opérations superflues sont effectivement utilisées en statistique. La théorie des "Plans d'expérience" n'utilise pas les plans affines finis, mais les carrés latins orthogonaux, et l'analogie est frappante. Application II 12 Un magazine américain fait payer les publicités qu'il insère page 15, 24, 54 ou 73 à des tarifs différents. On se propose d'étudier si l'efficacité d'un placard publicitaire dépend de l'emplacement. On organise pour cela une enquête utilisant les quatre éditions régionales de la revue, pour placer les publicités de quatre produits commerciaux différents aux quatre pages citées. Mais au lieu de travailler sur des échantillons comportant 43 = 64 combinai-sons différentes, on construit un Plan d'expérience qui ne nécessite que 16 types de répartition de la publicité dans la revue. Comment ? (Pour plus de détails nous renvoyons à [10] p.449-452, auquel ce thème d'exercice est emprunté). La présentation des modèles II 1, II 7, II 8, II 9 ou II 10 sont des activités qui demandent du temps : pour que cet investissement pédagogique soit rentable, il est souhaitable que ces modèles soient utilisés dans d'autres exercices. Voici des énoncés qui répondent à ces besoins.

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SOMMAIRE

P. II 13 Dans un plan affine à.9 points, on associe à tout couple de points distincts A, B, le point m(A, B) qui est le troisième point (autre que A et B) de la droite [A B]. On pourra aussi poser m(A, A) = A. a) Étant donnés 3 points distincts O, A, B démontrer que les points m(O, A) et m(O, B) sont distincts et que la droite qui les joint est parallèle à [A, B] :

[m(O, A), m(O, B)] // [A B] b) En déduire que la droite qui joint A à m(O, B) est parallèle à la droite qui joint B à m(O, A). c), d), e) etc... (Cj. commentaires ci-dessous). Solution et commentaire : a) Distinguons deux cas: si O, A, B sont alignés le résultat est trivial. Si O, A, B ne sont pas alignés les droites [O,A] et [O,B] ont un seul point commun O. Il en résulte que m(O,A) ≠ m(O,B) puisque m(O,A) ∈ [O,A] et m(O,B) ∈ [O,B] (et que m(O,A) ≠ O). Menons par m(O, A) la parallèle ∆ à [A, B]. Comme [0, B] est sécante à [A, B], d'après A3 [0, B] est sécante à ∆. Or [0, B] ∩ ∆ n'est ni B (car ∆ // [A, B]) ni O (car alors ∆ serait [O, m(O, A)] = [O, A] qui n'est pas parallèle à [A B]. Donc ∆ coupe [O, B] en m(O, B). b) La formule

[A B] // [m(O, A), m(O, B)] s'applique dès que O, A, B sont distincts. Or, si O, A, B ne sont pas alignés, les points O, A, m(O, B) sont distincts: on en déduit que

[A, m(O, B)] // [m(O, A), m(O, m(O, B)] et m(O, m(O,B)) = B . c) Le plan à 9 points est le seul plan affine dont chaque droite est de degré 3, et où on peut définir m(A, B) comme ci-dessus. Maison définit, dans d'autres plans affines, le milieu d'un couple de points, et cette notion coïncide avec la précédente. Il est donc possible de proposer la démonstration de n'importe quelle pro-priété affine, faisant intervenir des alignements, le parallélisme et le milieu.

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SOMMAIRE Ainsi, en c), d) ou e) on peut demander de prouver que si m(A, B) = m(C, D) = O alors, [A C] // [B, O] (propriété des parallélogrammes) ce qui se démontre en appliquant a) aux points (A, C, O) lorsqu'ils sont distincts. La question b) est l'étude des médianes d'un triangle O A B. Dans le plan affine à 9 points les trois médianes sont parallèles ! (cf. Livre du Problème, Fasc. II, p. 79, Remarque à l'exercice 1.3.1). On peut aussi demander de démontrer que les milieux des côtés d'un quadrila-tère sont les sommets d'un parallélogramme. P II.14 a. Dénombrer dans un plan affine à 9 points : i) les droites, les droites passant par un point donné, les directions, les

droites de directions données. ii) les triangles non aplatis, les quadrilatères non dégénérés, les parallélo-

grammes non dégénérés. b. Quel est le nombre des automorphismes d'un plan affine à 9 points ?

Solution : a. i) Réponses: 12 ; 4 ; 4 ; 3.

ii) Il faut distinguer deux notions: les triangles "numérotés" sont définis par un triplet de points non alignés; les triangles ordinaires sont définis par l'ensemble de leurs sommets. Ainsi, les deux triangles numérotés (ABC et BAC) représentent le même triangle ordinaire. Il y a 9 × 8 × 6 = 432 triangles numérotés non aplatis, et 432/6 = 72 triangles ordinaires non aplatis. De même il y a 9 × 8 × 6 × 3 = 1296 quadrilatères numérotés et 1296/24 = 54 quadrilatères ordinaires, non dégénérés. Un parallélogramme non dégénéré est défini d'une façon et d'une seule par deux paires de "paires de côtés parallèles". Il y en a 4 × 3 × 3 × 3/6 = 108/6 = 18 parallélogrammes non dégéné-rés.

b. Réponse : 432 (autant que de bases affines, c'est-à-dire de triangles numé-rotés non aplatis).

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SOMMAIRE

CHAPITRE V

L'emploi des coordonnées I. PLAN AFFINE E.E I.1 Rappel de géométrie analytique A partir d'un corps commutatif K, on construit un plan d'incidence affine AK = {K2, D, ∈} où D est l'ensemble des parties de K2, définies par une équation (D) ux + vy + w = 0 où (u, v, w) ∈ K3 et où u et v ne sont pas simul-

tanément nuls. 1. A quelle condition deux équations de type (0) représentent-elles la même droite ? Des droites parallèles ? Noter que toute droite admet une équation de l'une ou l'autre des formes suivantes :

y = mx + p (m,p) ∈ K2

ou bien x = α α ∈ K

2. Ecrire une équation de la droite passant par deux points distincts donnés. Si a et b sont des éléments non nuls de K, que représente l'équation

yx 1a b

+ =

3. Vérifier que AK est bien un plan d'incidence affine. Exprimer que trois points sont alignés (resp. que trois droites sont concourantes). Lorsque K est le corps Zp = Z / pZ des entiers modulo p, où p est un nombre premier, on écrira Ap au lieu de

pZA .

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SOMMAIRE

E.E I.2 L'énoncé de Thalès (Fin du VIIe siècle ou VIe siècle avant J.-C.) 1. Montrer que si D est une droite de D, au moins l'une des deux applications:

p1 : D → K (x, y) |→ x

ou p2 : D → K (x, y) |→ y est une bijection

Si p1 et p2 sont des bijections, exprimer p2 en fonction de p1 et p1 en fonction de p2. On appellera graduation affine sur D une bijection de D vers K de la forme ap + b où a et b sont des éléments de K (a ≠ 0) et où p est une projection p1 ou p2 qui soit une bijection. On notera GD l'ensemble des graduations de D obtenu en faisant décrire à a l'ensemble K – {0} et à b le corps K. 2. Montrer que a. Si .p ∈ GD et A ∈ D ϕ – ϕ (A) ∈ GD ("changement d'origine de la gra-duation") b. Si.p ∈ GD et k ∈ K – {0} ∈ GD k ϕ ∈ GD ("changement d'unité") 3. Soit δ une direction et soient D et D' deux droites n'appartenant pas à δ, si l'on désigne par pδ la projection de D' sur D, parallèlement à δ, alors pour toute graduation affine ϕ de D, ϕ o pδ est une graduation affine de D'. Définition :

Désignons par 0 et 1 les éléments neutres pour l'addition et la multiplication de K. Deux cas peuvent se présenter : 1) il existe un entier n > 0 tel que :

n fois

1 1 1 0+ + + = . On peut montrer que tous ces entiers n sont alors multi-

pIes d'un même nombre premier p appelé caractéristique de K. 2) pour tout n > 0,

n fois

1 1 1 0+ + + ≠ . On dit que K est de caractéris-

tique 0. On peut montrer que si K est fini (on note |K| le nombre de ses éléments), sa caractéristique n'est pas nulle et est un diviseur de|K|. Ainsi, si K n'est pas de caractéristique 2, la somme 1 1+ , que l'on désigne par 2 , a un inverse.

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SOMMAIRE

E.E I.3 Milieu d'un bipoint Soit K un corps qui n'est pas de caractéristique 2. 1. Pour toute paire de points A, B du plan affine AK, montrer qu'il existe un point m(A, B) appelé milieu de A. B tel que a) Si D est une droite contenant A et B, m(A, B) appartient à D b) Si ϕ est une graduation affine de D, alors

2 m(A, B) = (A) (Bϕ ϕ× + )ϕ On vérifiera que le milieu ne dépend pas du choix de D (dans le cas où A et B sont confondus) ni du choix de ϕ . 2. Le milieu du bipoint (x1 , y1), (x2 , y2) est le point de coordonnées (X, Y) où

X = Inv (2) × (x1 + x2) Y = Inv (2) × (y1 + y2)

Quand a-t-on m(A, B) = A ou m(A, B) = B ? 3. Étant donnés quatre points A, B, C, D, de AK montrer que

m(m(A, B), m(C, D)) = m(m(A, C), m(B, D)= m(m(A, D), m(B,C))

E.D I.4 Etude de A3

Le plan A3 contient 9 points et 12 droites : donner la liste de ces droites, en définissant chacune d'elles par une équation. Montrer que A3 est isomorphe à chacun des modèles de plan affine à 9 points donnés au chapitre IV. Solution : Voici une telle liste:

x = 0 ; x +1 = 0 ; x + 2 = 0y = 0 ; y + 1 = 0 ; y + 2 = 0x + y = 0 ; x + y + 1 = 0 ; x + y + 2 = 0x + 2y = 0 ; x + 2y + 1 = 0 ; x + 2y + 2 = 0

Chaque ligne représente trois droites distinctes de même direction. On remar-quera que 2 2 1× = . Faut-il y ajouter l'équation 2x + y = 0 ?

89

SOMMAIRE

P. I.5 Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que trois points dis-tincts (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) de A3 soient alignés est que

x1 + x2 + x3 = 0 y1 + y2 + y3 = 0

(Solution p. 135) E.D I.6 Que peut-on dire, dans A3, des médianes d'un triangle ?

(Solution p. 135) E.D I.7 Trouver dans A3 un quadrilatère non dégénéré qui ne soit pas un trapèze.

(Solution p. 136) E.D I.8 Le plan A2 à quatre points A partir du corps Z2 on construit le plan à 4 points (Z2)2. Il comporte six droites d'équations :

x = 0 x = 1y = 0 y = 1x + y = 0 x + y = 1

Les droites sont identiques aux paires de points. Toute direction se réduit à deux paires complémentaires. Toute bijection de A2 sur A2 est une applica-tion affine. Remarque pédagogique : Le plan à quatre points est le modèle le plus simpliste de plan affine fini : l'enseignant, désireux d'adopter une pédagogie polyconcrète, mais redoutant de "perdre" trop de temps sur le plan A3, peut être tenté de ne présenter que A2 (en dehors de la "planche à dessin"). C'est nous semble-t-il une triple erreur pédagogique : 1. Le plan A2 ne présente aucune des situations typiques de la géométrie affine: les propriétés d'alignement sont presque sans objets; le parallélisme y est anémique. Comme Z2 est de caractéristique 2, on ne peut y définir la notion de "milieu". Dans A2, il n'y a aucun phénomène curieux à contem-pler... il ne se passe rien. 2. Dans le plan A3, il y a 84 triplets de points, parmi lesquels seulement 12 droites; il y a 9 ! = 362.880 bijections de A3, parmi lesquelles seulement 432 isomorphismes.

90

SOMMAIRE Par contre, dans A2, toute paire de points est une droite ; toutes les bijections (au nombre de 4 ! = 24) préservent les alignements. La géométrie de A2 ne permet pas aux élèves de manier les distinction s; elle incite les plus faibles à la confusion de notions importantes. 3. La présentation simultanée de la géométrie affine réelle et des espaces Ap met en lumière le pouvoir évocateur du langage géométrique. Les théorèmes les plus intéressants de la géométrie affine ou projective réelle se traduisent dans le contexte fini en résultats étonnants, que seule l'analogie pouvait suggérer. De plus, ces théorèmes ne s'énoncent facilement qu'en utili-sant le vocabulaire géométrique. Parfois, tel théorème n'est plus valable dans certains Ap... Mais il évoque alors des situations intéressantes à explorer. Exemple : dans A3 les trois médianes d'un triangle sont… parallèles ! Il y a lieu de faire apprécier très tôt la fécondité des transferts aux élèves : c'est une excellente façon de motiver l'abstraction, instrument de découverte. Mais le transfert des joyaux de la géométrie réelle est presque toujours impos-sible dans A2 (il n'y a pas assez de points: on ne peut pas parler raisonnablement de milieu etc...) De plus, dans les autres cas, un théorème intéressant se traduit dans A2 par une banalité. Généralement il s'agit de propriétés ensemblistes triviales, qui conduisent à des énoncés ronflants lorsqu'on utilise le langage géométrique : c'est ainsi que l'on encourage la pédanterie. Par exemple: E.D I.9 Vérifier que l'énoncé suivant ne recouvre que du vent ! (Que peut-on espérer faire avec un triangle dans un plan à 4 points ?). Les trois droites menées par chaque sommet d'un triangle de A2, parallèle-ment au côté opposé, sont concourantes. Cependant, lorsqu'on aura présenté des exemples divers de plans affines, il ne sera pas superflu de signaler l'exemple trivial A2. Cet exemple joue un rôle analogue au zéro en arithmétique, à l'ensemble vide en théorie des ensembles, aux espaces vectoriels à O-dimension en algèbre linéaire, etc... C'est la clé de voûte, sans laquelle la théorie ne serait pas facile à formuler. De plus, on peut souvent, à partir d'un exemple banal, construire des exemples plus intéressants.

91

SOMMAIRE

E.D I.10 Compléter le plan A2, à la manière de E. E II 6 (Chapitre IV), pour construire un plan projectif, par adjonction d'une droite à l'infini. On obtient le plan de Fano, à 7 points. II. AUTRES GEOMETRIES AFFINES FINIES E.E II.1 1° L'anneau Zn = Z / n Z est un corps si et seulement si n est premier. Pourquoi ? 2° Peut-on construire un plan affine à 36 points en opérant sur (Z6)2 comme sur (Zp)2 ?

(Solution p. 136)Il existe d'autres corps finis, en dehors des Zp. C'est Evariste Galois (1811-1832) qui les a tous déterminés: pour chaque exposant entier n > 1 et pour chaque nombre premier p, il existe un corps de Galois (et un seul, à isomorphisme près) de pn éléments. Nous nous contentons ici de présenter les corps de Galois à 9 et à 4 éléments. Test II 2 Le corps de Galois à 9 éléments G(9) 1. Vérifier que dans Z3, l'équation X2 + 1 = 0 n'a pas de racines. 2. En s'inspirant de la construction de C à partir de R, construire un corps à 9 éléments à partir de Z3. Solution : On peut considérer des opérations sur (Z3)2 pour lesquelles le carré du couple i = (0, 1) est opposé à (1, 0) . On raisonne alors sur les a + bi.

Ou encore, on peut envisager l'ensemble des matrices. a bb a

⎛⎜ −⎝ ⎠

⎞⎟ où (a, b) ∈ (Z3)²

On peut aussi construire le quotient de l'anneau Z3[X] des polynômes à une indéterminée, à coefficients dans Z3, par l'idéal principal engendré par

2X 1+ (c'est-à-dire l'ensemble des multiples de 2X 1+ dans Z3[X]). Cet exercice peut servir de question de contrôle après l'étude de la construc-tion du corps des nombres complexes.

Remarquons que dans Z5, l'équation 2X 1 0+ = a des racines.

92

SOMMAIRE

Test II 3 Le corps de Galois à 4 éléments G(4) (1ère présentation)

Montrer que l'on peut définir sur un ensemble à quatre éléments { }0, 1, ,α β une structure de corps. Pour cela on cherchera à compléter les tables suivan-tes, de façon à réaliser l'addition et la multiplication du corps.

Table d'addition Table de multiplication

+ 0 1 α β × 0 1 α β

0 0 α 0 0 0

1 1 0 1

α 0 α α

β 0 β 1

Pourrait-on prendre pour table d'addition celle de Z4 ? (penser à la caractéristique ! ). E.E II 4 Le corps de Galois à 4 éléments G(4) (2ème présentation) Considérons les matrices I, α β suivantes à coefficients dans Z2 :

I = 1 00 1

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

⎟ α = 0 11 1

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

⎟ β = 1 11 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1. Montrer que l'ensemble des matrices xI + yα: où (x, y) ∈ (Z2)2 forme un corps à 4 éléments pour l'addition et la multiplication matricielle. (On remar-quera que β = α + I) Montrer que α et β annulent un polynôme du second degré (irréductible dans Z2) que l'on déterminera. Calculer :

(xI + yα) × (xI + yβ). 2. Montrer que l'application z =xI + yβ |→ z' = xl + yα est un automor-phisme du corps de Galois à 4 éléments, qui ne peut être défini par une formule algébrique (autrement dit, z' ne s'exprime pas comme une fraction rationnelle en z).

93

SOMMAIRE

E.E II.5 1. Il existe un plan affine de 81 points (de degré 10) comportant 90 droites (de degré 9). 2. Montrer qu'il existe dans ce plan 81 × 80 × 72 triplets de points non alignés. Il existe 81 × 80 × 72 automorphismes de la structure affine. 3. Montrer que, dans le plan affine G(9)2 (cf. II.2), l'application f qui associe au point de coordonnées (z1, z2) = (x + iy, x' + iy') où (x, y, x', y') ∈ (Z3)4

le point "conjugué" de coordonnées (x − iy,'x' − iy') préserve les alignements bien que ce ne soit pas une application affine [f(zl , z2) - f(a, b), n'est pas une fonction linéaire de (z1 − a, z2 − b)]. En déduire qu'il y a

81 × 80 × 72 × 2 automorphismes de la structure d'incidence. Nous renvoyons à [6] ou [14] pour le commentaire mathématique. E.E II.6 1. Il existe un plan affine à 16 points (de degré 5), ayant 20 droites (de degré 4). 2. Dans ce plan, les diagonales d'un parallélogramme sont parallèles ! 3. Montrer qu'il y a 16 × 15 × 11 automorphismes affines dans ce plan, et 16 × 15 × 1l × 2 automorphismes de la structure d'incidence. Solution : Pour résoudre la seconde question, on peut se ramener (par changement de coordonnées) au parallélogramme dont les sommets ont pour coordonnées

(0,0), (0, b), (a, 0), (a, b) où (a, b) ∈ G(4). On vérifie alors que les vecteurs de composantes (−a, b) et (a, b) sont équipol-lents, puisque Z2 et G(4) sont de caractéristiques 2. Intuitivement si elles se coupaient ce serait en leur milieu... mais il n'y en a pas. P. II.7 Quels sont les espaces affines AK dans lesquels il est possible de dessiner la configuration de Fano avec de "vrais" alignements ? Solution : La configuration de Fano peut se résumer ainsi : elle comporte un triangle ABC; une droite coupe les côtés en A', B', C' et les trois droites [AA'], [BB'], [CC'] sont concourantes en un septième point.

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SOMMAIRE Ces deux conditions s'expriment par les relations de Ménélaüs et de Céva (cf Fasc. V).

(Ménélaüs) A'B × C'A × B'C + A'C × C'B × B'A = 0

(Céva) A'B × C'A × B'C A'C × C'B × B'A = 0− Or, ces deux relations ne sont compatibles que si le corps K est de caractéristi-que 2. (En particulier, il est impossible de dessiner la configuration de Fano dans R2 avec de vrais alignements). Le plan A2 n'a que 4 points. Mais tous les autres corps K de caractéristi-que 2 : c'est-à-dire AG(2n), fournissent un AK suffisamment "gros" pour que l'on puisse y plonger le plan projectif de Fano à 7 points. En particulier c'est possible, de diverses façons, dans le plan affine à 16 points: on pourra déter-miner 7 points qui conviennent, à l'aide de coordonnées.

III. LA CONFIGURATION DE PAPPUS (fin du 3e siècle) Soit K un corps, on dira qu'un plan d'incidence affine est un K - plan affine s'il est isomorphe à AK (I 1). Un K - plan projectif s'obtient par adjonction d'une droite à l'infini (cf chapitre IV E. E II 6). E.E III 1 Soient D et D' deux droites sécantes d'un K - plan affine, et quatre points distincts: A1, A2, A3 sur D et B1 sur D'. Le parallèle menée de A1 à [B1 A3] (resp de A1 à [B1 A2]) recoupe D' en B3 (resp B2). Démontrer que [A2 B3] et [A3 B2] sont parallèles.

(Solution p. 136)

95

SOMMAIRE

E.E III.2 Le théorème de Pappus Soient D et D' deux droites distinctes d'un K - plan projectif et six points distincts A1, A2, A3 sur D − et B1I, B2, B3- sur D'. On désigne par Ck le point de rencontre des droites [Ai Bj] et [Aj Bi] où (i, j, k) désigne une permutation de (1,2, 3). Démontrer que les points C1, C2, C3 sont alignés. Solution : Si le K - plan projectif est obtenu par adjonction de la "droite" à l'infini [C1 C2] à un K - plan affine, le théorème de Pappus se réduit à III.1. Lorsque K est le corps des réels, on peut reconnaître dans la figure III.2 le dessin en perspective de la figure III.l. C1 , C2, C3 sont les "points de fuites" des directions de [A2 B3], [A1 B2] et [A3 B1] sur la "ligne d'horizon".

La figure obtenue constitue un -modèle d'incidence régulier de 9 points et 9 droites (degré 3 et 3), appelé configuration de Pappus. Remarque heuristique : Le théorème de Pappus est une propriété invariante par le groupe projectif (cf [6] et [3]).

96

SOMMAIRE Lorsqu'on fait subir une homographie ou une perspective à une configuration de Pappus, on obtient encore une configuration de Pappus. La méthode de démonstration, de E E III 2 est un procédé heuristique général, appelé réduction à une forme canonique : pour démontrer une propriété invariante par un groupe, on essaie de transformer la situation en un cas particulier, où − éventuellement en utilisant des structures additionnelles − la propriété est plus facile à démontrer. Ici, E.E III 1 est une forme canonique, où l'usage de la structure affine (énoncé de Thalès) rend la démonstration immédiate. Autre application de la méthode: (cf. par exemple IV.I). On peut se servir de cette méthode pour démontrer un autre théorème de Pappus : "Toute diagonale d'un quadrilatère complet est divisée harmoniquement par les deux autres diagonales". On prendra le parallélogramme comme forme canonique. Reconnaissance de forme : Les exercices qui suivent ont pour objectif d'entraîner à reconnaître dans des figures d'aspects variés, des cas particuliers du théorème de Pappus. P III 3 Montrer que le configuration de Pappus est autoduale (chapitre I, E. D II 3). Il suffit de reproduire deux exemplaires de la figure ci-dessous et de numéro-ter les 9 points et les 9 droites de sorte qu'à des points alignés de la première figure correspondent des droites concourantes de la seconde, et réciproque-ment.

97

SOMMAIRE

P III 4 La figure ci-dessous comporte deux triplets de droites parallèles. Montrer que les diagonales de parallélogrammes qui sont dessinées, sont concourantes.

Commentaire : Appelons O1 et O2 les points de la droite de l'infini représentant les directions de [AC] et de [AG]. Reproduisons la figure mais en représentant à distance finie la droite de l'infini :

98

SOMMAIRE On reconnaît la configuration de Pappus : on applique le théorème de Pappus aux 3 points O1, G, H de la droite [O1 I] et aux points O2,C, F de la droite [02 I]. On obtient l'alignement des 3 points :

• Intersection de [CH] et [FG] • [O1 F] ∩[ O2 H] = E . • [O1 C] ∩ [O2 G] = A

Bien entendu, avec de la pratique, l'étape intermédiaire qui consiste à redes-siner la figure pour obtenir la configuration "habituelle" peut être supprimée: on s'habitue progressivement à la retrouver dans toutes les situations en confrontant les dessins 1 et 2. Signalons qu'une autre solution de ce problème est donnée dans le Fascicule 2 du Livre du Problème.

P. III 5 Construire la figure III 2 dans le cas particulier où un seul des 9 points de la configuration de Pappus est rejeté à l'infini. Composer un énoncé de problème concernant cette situation. Exemple Soit ABCD un trapèze (où [AB] est parallèle à [CD]). Soit L un point de la droite [AD] et M un point de la droite [BC]. On désigne par I l'intersection de [CL] et [AM] et par J l'intersection de [BL] et [DM]. Montrer que [IJ]est parallèle à [AB] et [CD].

P III 6 Les énoncés précédents sont "statiques" : les données sont fixes. On obtient des énoncés "dynamiques" variés, en reprenant les figures précédentes, en fixant une partie des données, et en considérant les autres données comme des paramètres qui varient, soumis à certaines contraintes. Composer de tels problèmes "dynamiques".

Exemple III 7 Soit un triangle ABC, un point A' sur [BC]. On considère un triangle variable A'B'C' tels que B' et C' appartiennent à des droites fixes, passant par A' et que le côté [B'C'] passe par A. Trouver l'ensemble des points de rencontre des droites [BB'] et [CC'].

99

SOMMAIRE

Exemple III 8 Soient A, B, C, trois points distincts alignés d'un K - plan affine. On fait passer par B deux droites D1 et D2 fixes (distinctes de la droite A, B, C) puis par A et C des droites parallèles entre elles de direction variable qui rencontrent respectivement D1 et D2 en I et J. Montrer que la droite qui joint I et J passe par un point fixe. Commentaire heuristique : Penser que l'une des droites D ou D' de la configuration de Pappus peut être la droite de l'inini ...

(Solution p. 137) P. III.9 Au cours d'un dessin on se trouve fréquemment dans la situation suivante : On a un point P et deux droites qui se coupent en dehors des limites de la feuille. On demande de construire, à la règle, la droite qui joint P à l'inter-section R inaccessible des droites.

(Solution p. 137) + P R →

IV. LE THEOREME DE DESARGUES On dira que deux triangles ABC, A'B'C' d'un plan d'incidence projectif (resp affine) sont en perspective, si les droites [AA'], [BB'], [CC'] sont concouran-tes (resp concourantes ou de même direction). Ce point de concours s'appelle le centre de perspective. E.E IV 1 Soit A, B, C et A', B', C' deux triangles en perspective d'un K - plan affine. Si [AB] est parallèle à [A'B'] et [BC] est parallèle à [B'C'] alors [AC] est parallèle à [A'C'].

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SOMMAIRE C'est une conséquence immédiate des propriétés de l'homothétie (ou exceptionnellement, de la translation).

E.E IV 2 Le théorème de Desargues (1593 - 1661) Soit A, B, C et A', B', C' deux triangles d'un K - plan projectif. 'pour que ces triangles soient en perspective, il faut et il suffit que les points de rencontre des côtés homologues (A" pour [BC] et [B'C'] ; B" pour [CA] et [C'A'] ; C" pour [AB] et [A'B'] soient alignés, sur une droite appelée axe de perspective. On trouvera une première solution dans le fascicule V du Livre du Problème. Seconde Solution : On reconnaît dans la figure du théorème de Desargues le dessin en perspective de la figure IV 1. Troisième solution:

101

SOMMAIRE On reconnaît dans la figure du théorème de Desargues la perspective d'une figure de l'espace à trois dimensions: coupons un angle trièdre (de sommet 0) par deux plans M et M' qui rencontrent respectivement les arêtes de l'angle trièdre en A, B, C et A', B', C'. Les points A", B", C" apparaissent alors sur l'image de l'intersection des deux plans Met M', c'est-à-dire sur une droite.

Remarque : Ces deux démonstrations "visuelles" peuvent se formaliser rigoureusement quel que soit le corps K : on peut faire de la "géométrie dans l'espace" dans K3 avec les mêmes arguments que dans R3 ... E.E IV.3 (Cf. [5]) Soit l'ensemble J = {1, 2, 3, 4, 5}, et P et D deux ensembles de 10 éléments chacun, indexés par des paires de nombres distincts appartenant à J. On dira que Pij ∈ P et Dkl ∈ D sont incidents si et seulement si les indices i, j, k, l sont différents. 1. Vérifier que l'on obtient ainsi un modèle d'incidence au sens strict, qui est isomorphe à la configuration de Desargues décrite en IV 2 (Les 10 points étaient alors 0, A, B, C, A', B', C', A", B", C"). 2. Montrer que trois points (resp trois droites) distincts sont alignés (resp concourantes) si leurs indices ne comportent que trois des cinq nombres 1, 2, 3, 4, 5.

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SOMMAIRE

3. Montrer que l'application Pij |→ Dij de P sur D et sa réciproque définissent une autodualité de la configuration de Desargues.

4. Démontrer (par exemple en utilisant des déplacements de jetons, sur la figure ci-dessus) qu'il y a 120' automorphismes de la configuration de Desargues. . En déduire que ces automorphismes correspondent bijectivement aux éléments de S5 ensemble des permutations de {l, 2; 3, 4, 5}. (Si σ ∈ S5, alors l'application Pij |→ Pσ(i) σ(j) est un automorphisme): Le groupe d'automorphismes de la configuration de Desargues est isomorphe à S5. Reconnaissance de forme : E.E IV 4 On suppose qu'un trapèze inscrit dans un quadrilatère a ses bases (= ses côtés parallèles) parallèles à une diagonale. Montrer que les côtés non parallèles du trapèze se coupent sur l'autre diagonale. E.D IV 5 Les sommets d'un triangle A', B', C' sont situés sur les côtés d'un triangle ABC, en sorte que les droites [AA'], [BB'], et [CC'] concourent. Montrer que les intersections des côtés homologues sont trois points alignés.

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SOMMAIRE

E.D IV 6 Étant donné un parallélogramme et un trapèze qui lui est inscrit, démontrer que le point d'intersection des diagonales du trapèze se trouve sur l'une des diagonales du parallélogramme. Solution : Dans chaque cas reconnaître la situation IV 2 (ou sa variante IV 3) avec éventuellement certains points à l'infini. E.D IV 7 Si deux côtés d'un parallélogramme sont parallèles à la diagonale d'un quadri-latère auquel il est inscrit, alors les deux autres côtés sont parallèles à l'autre diagonale.

(Solution p. 138) E.D IV.8 1. Appliquer le théorème de Pappus et celui de Desargues à l'étude de la figure ci-dessous. 2. Composer un énoncé "dynamique" à partir de la figure en considérant que D et D' sont deux positions successives d'une droite variable pivotant autour de I.

(Solution p. 139)

P IV 9 1. On suppose que trois triangles deux à deux en perspective admettent une même droite comme axe de perspective deux à deux. Démontrer que leurs centres de perspective deux à deux sont alignés. 2. On suppose que trois triangles admettent un même point comme centre de perspective deux à deux. Démontrer que leurs axes de perspective (deux à deux) sont concourants ou parallèles. On peut réduire le premier énoncé à la forme canonique suivante : "Si trois triangles sont deux à deux homothétiques, leurs centres d'homothétie (deux à deux) sont alignés".

(Solution p. 140)

104

SOMMAIRE

CHAPITRE VI Quelques structures d'incidence infinies 1. DANS AR ET AC P. I.1 Le problème de Sylvester Un ensemble fini E de AR satisfait à la condition suivante : (S) Toute droite qui joint deux points de E contient au moins un troisième

point de E. Démontrer que l'ensemble E est nécessairement contenu dans une droite. Commentaire heuristique et solution abrégée: Ce problème a été .posé par Sylvester en 1893 sous la forme négative : "Prouver qu'il n'est pas possible de disposer dans le plan réel un nombre fini de points en sorte que toute droite contenant deux de ces points en contienne aussi un troisième, sauf si tous les points sont choisis sur une même droite". Mais il ne reçut pas de démonstration acceptable jusqu'en. 1933. ([5] p. 65-66). On peut en proposer une formulation "positive" : "Si n points du plan réel ne sont pas alignés, il y a au moins une droite contenant exactement deux de ces points". En fait, on peut montrer qu'il y a au moins 3n/7 telles droites. Pour n=7, la configuration de E. D I.2 ch, IV réalise ce minimum. Dans l'énoncé, on ne peut pas remplacer R par n'importe quel corps K : si K est fini, tous les AK (sauf A2) sont des contre-exemples. De plus le théorème n'est pas valable dans AC (E. E I 2 ci-dessous). C'est-à-dire que les méthodes combinatoires usuelles et les simples manipula-tions des axiomes d'incidence ne suffisent pas à fournir une démonstration : il est indispensable de faire intervenir des propriétés spécifiques de R.

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SOMMAIRE Certaines solutions utilisent seulement la structure d'ordre de R. Ici nous donnons une solution qui fait intervenir une structure euclidienne sur AR ainsi que la structure d'ordre. Démonstration par l'absurde: Si E n'est pas contenu dans une droite, pour tout couple de points de E, il existe au moins un. point P tel que P, A, B ne soient pas alignés. Parmi ces triplets (en nombre fini) il en existe au moins un pour lequel la distance de P à [AB] est la plus petite possible. Remarquons que dans un triangle qui a un angle obtus ou droit en un sommet, c'est la hauteur issue de ce sommet qui est la plus courte. En conséquence, dans le triangle PAB, ni l'angle A, ni l'angle B n'est obtus ou droit. Mais sur la droite [AB] il y a, par hypothèse un autre point C, appartenant à E. L'un des triangles PAC ou PBC a nécessairement un angle droit ou obtus en un sommet qui n'est pas P, ce qui contredit le choix du triplet P, A, B. E.E I 2 Plongement de A3 dans AK

1. Montrer qu'il n'existe pas dans AR un ensemble E de 9 points qui, associé au système des droites qui joignent ces points deux à deux, constitue un modèle d'incidence isomorphe à A3. 2. Il existe par contre un plongement de A3 dans AC. Solution : La solution de la première question résulte déjà du problème précédent : l'ensemble E cherché devrait satisfaire à la condition (S) de Sylvester. Voici une autre solution, qui résoudra en même temps la seconde question. Supposons qu'il existe un ensemble de points E = {A,B,C,D,E,F,G,H,I}, cor-respondant au schéma d'alignement de la figure de M II 7 chapitre IV. Les points A, C, G ne sont pas alignés : ils constituent notre triangle de référence. Comme B est le troisième point de la droite [AC] et D le troisième point de la droite [AG], on peut, grâce à une perspective, se ramener à la forme cano-nique où B est le milieu de [AC] et D le milieu de [AG]. Comme B est le troisième point de la droite [AC] et D le troisième point de la droite [AG], on peut grâce à une perspective, se ramener à la forme canonique où B est le milieu de AC et D le milieu de AG. Les coordonnées barycentriques du point A dans le repère ACG (cf fascicule V du Livre du Problème), sont (1,0,0); celles de B (1,1,0). De même C (0,1,0), G (0,0,1).

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SOMMAIRE Le point E est sur la droite [CG] : ses coordonnées barycentriques sont de la forme (0, 1, x). A partir de ces données, on peut calculer les coordonnées des trois points manquants, et l'on constate que ce calcul est possible si, et seulement si x2 + x + 1 = 0. Cette équation n'admet pas de solution réelle, ce qui signifie que le plongement de A3 dans AR est impossible. Mais en prenant x égal à j ou j2 (racines cubiques complexes de l'unité) on réalise un plongement de A3 dans AC

A titre d'exercice de calcul sur les nombres complexes on peut proposer la dernière question sous la forme : T.T I 3 Etant donnés trois points P0, Pl, P2 non alignés de C2, on construit les barycentres de P0, Pl, P2 affectés des coefficients α, β, δ suivants :

α β δ

P3 1 1 0

P4 0 1 1

P5 1 1 1+j

P6 1 1+j j

P7 1 0 j Vérifier que les deux quadrilatères P0, P2, P4, P6 et Pl, P3, P5, P7 sont mutuellement inscrits l'un dans l'autre. Prouver que les quatre diagonales de ces deux quadrilatères sont concourantes en un point P8 et que les points Pi , 0 ≤ i ≤ 8 constituent un plongement de A3 dans AC .

107

SOMMAIRE

II. STRUCTURE D'INCIDENCE AFFINE ET R-STRUCTURE AFFINE Un modèle d'incidence satisfaisant aux axiomes A1 A2 et A3 s'appelle un plan d'incidence affine. Si l'on définit sur chaque droite du plan d'incidence M, une famille de gradua-tions réelles, soumises a l'axiome de Thalès, on obtient une R-structure affine sur M. On peut s'interroger sur les liens entre ces notions : P. II 1 Soit Mun plan d'incidence affine, dont les droites sont équipotentes à R. 1. Existe-t-il plusieurs façons de graduer les droites de M, fournissant plusieurs R-structures non isomorphes, compatibles avec la structure d'incidence de M. Solution : L'équipotence des droites de R est évidemment une condition nécessaire d'existence d'une R-structure affine. Supposons qu'il existe une R-structure affine sur M. Donnons nous une graduation sur une droite ∆ et marquons sur δ les points d'abscisses 0 et 1. Si l'on y marque aussi deux points M et N d'abscisses x et y, il est possible de construire, à la règle et au traceur de parallèle les points d'abscisse x + y et xy. (cf au fascicule II, chapitre 6 : l'étude des abaques à points alignés qui permettent de réaliser l'addition et la multiplication des réels). Autrement dit, les lois de composition du corps, sont entièrement déterminées par la structure d'incidence affine. Il n'y a donc qu'une seule R-structure affine sur M. Considérons maintenant le plan d'incidence affine AC (C est le corps des complexes). Toutes les droites sont équipotentes à C, donc à R. On peut, grâce aux abaques à points alignés cités, reconstituer sur chaque droite la structure du corps C. Cette structure n'est pas isomorphe à R : sur C, l'application x |→ x2 est surjective, alors que sur R l'image de cette application n'est qu'une demi-droite. Ainsi, AC est un plan d'incidence affine qui ne peut recevoir aucune R-structure affine.

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SOMMAIRE

III. GEOMETRIE D'INCIDENCE SUR LE CYLINDRE ET SUR LA SPHERE

M III 1 Matériel : Une boîte cylindrique, un rouleau de papier, un fil, une épingle. Enroulant le papier sur la boîte, marquant des trous d'épingle et des traces de fil tendu, puis déroulant le papier, on étudiera la représentation planisphé-rique du cylindre, et l'on visualisera les phénomènes représentés dans l'énoncé suivant:

E.E III 2

Soit un vecteur du plan. On appellera place (resp fil tendu) un ensemble de points du plan (resp une réunion de droites) qui se déduit à partir d'un seul point (resp une seule droite) par toutes les translations

V

nV où n parcourt Z. 1. Prouver que par deux places distinctes passent en général une infinité de fils tendus. 2. A partir de droites parallèles on obtient des fils tendus parallèles. Prouver que par une place passe un fil tendu et un seul, parallèle à un fil tendu donné. Cet exemple est souvent gâché lorsque le professeur emploie le mot point (au lieu de place) et droite (au lieu de fil tendu ou ligne géodésique). Les élèves récusent l'exemple en déclarant: "Ce ne sont pas de vraies droites", et l'initiation à la pensée axiomatique en est compromise.

A III 3 Certains donjons comportent deux escaliers tournant ayant la propriété suivante: un personnage peut monter, par l'un des escaliers, sans rencontrer quelqu'un qui descend l'autre escalier. Etudier les dimensions d'un tel édifice. Solution : Les escaliers affectent la forme de deux "fils tendus" (hélices circulaires) parallèles. Le pas de chaque hélice doit être plus grand que le double de la hauteur humaine, augmentée de l'épaisseur du plancher de l'escalier. Par ailleurs, la pente d'un escalier ne saurait être trop abrupte (il peut être bon de faire mesurer une pente d'escalier par des élèves).Il en résulte que le diamètre de la tour doit être suffisant pour permettre une telle réalisation.

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SOMMAIRE On dessinera les deux traces des escaliers sur une représentation planisphé-rique du cylindre.

Par A et B passent plusieurs fils tendus Commentaire pédagogique: Les enroulements sur des cylindres (films, tissus, imprimerie rotative) sont des phénomènes très familiers et très utiles dans la vie courante. Les réflexions proposées en III 1 et III 2 n'ont rien d'artificiel. On fera remarquer qu'il y a plusieurs façons de tendre un fil sur un cylindre et que les diverses possibilités dépendent du nombre de tours (dans un sens ou dans l'autre) que fait le fil entre A et B. E.D III 4 On appelle grand cercle sur une sphère S l'intersection de S avec un plan passant par le centre. Vérifier que : a) Si A et B sont deux points distincts de S qui ne sont pas diamétralement opposés.(antipodes), il y a un grand cercle et un seul qui contient A et B. b) Deux grands cercles distincts se coupent en deux points diamétralement opposés. E.D III.5 Soit P l'ensemble des paires de points antipodes, et C l'ensemble des grands cercles d'une sphère S. Vérifier que P, C, ∈ est un modèle de plan projectif. Remarque pédagogique: On motivera l'usage des grands cercles en tendant un fil entre deux points d'un globe terrestre.

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E.E III.6 Analyser ce que devient la démonstration de l'existence et de l'unicité de la perpendiculaire menée d'un point A à une droite D (en géométrie eucli-dienne) lorsqu'on la transpose sur la sphère. Commentaire et solution : L'énoncé d'un tel problème doit être soigneusement adapté par le professeur au mode d'exposition utilisé dans sa classe. Mais de toute façon, la démonstration revient toujours à considérer le point A' symétrique de A par rapport à D et à démontrer que l'unique droite passant par A et A' est la réponse. Si on reprend la même argumentation sur la sphère : choisissons, pour simplifier le langage, l'équateur du globe terrestre comme grand cercle D. En général, à partir d'un point arbitraire A de la sphère, la démonstration faite dans le cas du plan se transpose sans modification. Un cas d'exception survient lorsque A est le pôle nord: A' est au pôle Sud. Comme par A et A' passe une infinité de méridiens, on voit que par le pôle nord passe une infinité de grands cercles perpendiculaires à l'équateur.

A A'

D

A'

A On observera que sur la sphère on peut trouver des triangles sphériques ayant trois angles droits !

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IV. GEOMETRIE D'INCIDENCE NON EUCLIDIENNE Voici deux modèles de la géométrie plane de Lobatchewsky (l792-1856) E.E IV 1 Le modèle de Beltrami (1835-1900) Etant donné un cercle C dans un plan réel euclidien M, on désigne par P le disque ouvert limité par C. Un L - point est un point de M intérieur à C, une L-droite est une trace non vide d'une droite sur P. On dit que deux L droites sont L - parallèles si et seulement si elles sont confondues, ou bien si ce sont des traces de droites se coupant sur C. Ainsi deux L - droites disjointes ne sont pas nécessairement parallèles. Soit D l'ensemble des L - droites. Le modèle d'incidence { P, D ; ∈} satisfait-il aux axiomes Al A2 A3 ?

Réponse: Les axiomes Al et A3 sont vérifiés, mais par tout L – point A on peut mener deux L - parallèles à une L-droite δ .. (f i g u r e ci-contre).

E.E IV 2 Le demi-plan de Poincaré (l854-1912) . Soit P un demi-plan ouvert, d'arête γ, d'un plan réel euclidien. Un cycle est la trace sur P soit d'un cercle centré sur γ, soit d'une droite perpendiculaire à γ. Soit D l'ensemble de tous les cycles. On dit que deux cycles sont L - paral lè les , s ' i ls sont des traces sur P de droi tes ou cercles tangents (nécessairement en un point de γ). Le modèle d'incidence {P , D ; ∈} satisfait-il aux axiomes ? Solution : Voici la construction de l'unique cycle qui passe par deux points donnés.

A

δ1 2

γ

A1 A2

B1

B2

γ

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SOMMAIRE Mais par un point A, on peut mener deux cycles parallèles à un cycle D donné :

E.E IV 3 a) Dans la géométrie non - euclidienne de Lobatchewsky la relation de parallélisme est-elle une relation d'équivalence ? b) Si deux L - droites (ou cycles) sont parallèles, toute L – droite (ou cycle) qui coupe l'une coupe-t-elle l'autre ? c) Etant donnés deux L - droites (ou cycles) non L – parallèles montrer qu'elles admettent quatre L - parallèles communes, qui ne sont pas, en général L - parallèles entre elles. E.E IV 4 On identifie le demi-plan de Poincaré à l'ensemble des nombres complexes z = x + iy tels que y > 0.

Prouver que l'ensemble des applications définies par az + bzcz + d

(où a,

b, c, d sont des nombres réels tels que ad − bc > 0) est un groupe d'auto-morphismes de la structure d'incidence (non-euclidienne). On étudiera d'abord le cas particulier c = 0, puis le cas particulier a = d = 0. On montrera que toute application du groupe est composée d'applications particulières du type précédent (réduction de la fonction homographique à sa forme canonique). Montrer qu'il existe un automorphisme du groupe et un seul qui applique trois points distincts arbitraires sur trois points distincts arbitraires. Remarque : on peut démontrer que ces deux exemples (Beltrami et Poincaré) sont deux modèles d'une même structure.

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P IV.5 Les théorèmes de Pappus et Desargues sont-ils vrais en géométrie non euclidienne de Lobatchewski ? Solution : Si l'on cherche à raisonner sur le modèle de Poincaré, on est confronté à l'étude d'une configuration compliquée de neuf (ou dix) cercles. Par contre, sur le modèle de Beltrami, la réponse est facile. On est amené à dessiner les mêmes figures qu'en géométrie projective, mais à n'en garder que la partie intérieure à C: à cause de cette restriction les théorèmes de Pappus et Désargues ne sont pas valables en géométrie non euclidienne. Cependant, chaque fois que les neuf (resp dix) L - points considérés dans l'énoncé de Pappus (resp Desargues) existent, ils sont soumis aux alignements requis par ces théorèmes. V. GEOMETRIE NON - ARGUESIENNE E.E V.1 Dans un miroir

"J'aperçus l'ombre d'un cocher Qui tenant l'ombre d'une brosse Nettoyait l'ombre d'un carrosse".

(Extrait d'une description parodique des Enfers, par Ch. Perrault)

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SOMMAIRE Pendant que l'on exécute, au tableau, des figures de géométrie affine réelle, on contemple la scène dans un miroir déformant. On appellera m - points, m - droites, et m - parallèles les images, dans ce miroir, des points, droites et parallèles. Le modèle des m - points et des m - droites satisfait-il aux axiomes A1 et A2 A3 ? Il ne s'agit en fait que d'un simple "transport de structure", très instructif pour les élèves. L'exercice montre que la "forme des droites" n'intervient pas dans la question. Exercices analogues, en utilisant des procédés de cartographie déformant pour représenter la figure "réelle". E.E V 2 On considère, dans le p lan P = R 2 , l 'ensemble D des part ies suivantes: a) Les droites d'équations y = ax + b (avec a > 0 et b réel) b) Les droites d'équation x = α (avec a réel) c) Des lignes brisées, réunions de deux demi-droites définies ainsi : A chaque a < 0 et α réel, on associe la demi-droite, trace sur le demi-plan y > 0 de la droite d'équation y= a(x − α), à la demi-droite, trace sur le plan y ≤ 0 de la droite y = 2a(x − a). Les éléments de :D seront appelés des rayons (il y aura des "rayons recti-lignes" (a) et b) et des "rayons réfractés" (c)). On dira que deux rayons sont parallèles s'ils sont disjoints. 1. Préciser cette relation de parallélisme, en cherchant les rayons parallèles à un rayon d'un des types a), b) ou c) donné. 2. Démontrer que {P , D ; ∈} est un plan d'incidence affine. 3. Démonter que le théorème de Desargues n'est pas valable dans ce plan de Moulton. Ainsi, ce plan d'incidence affine, ne peut être muni d'une R-structure affine (cf P II 1).

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SOMMAIRE Solution : La vérification des axiomes A1, A2 présente quelques difficultés, qui ne relèvent que de la technique du calcul, mais qui ne portent pas sur l'idée essentielle. Le calcul le plus délicat apparaît dans la vérification de l'axiome A1, lorsqu'on cherche à joindre les points de coordonnées (x1 , y1) et (x2 , y2) dans le cas où y1 >0, y2 <0 et x2 > x1 . Il s 'agit alors de trouver deux nombres réels a et α tels que y1 = a(x1 − α) et y2 = 2a(x2 − α). On commence par déterminer α grâce à l'égalité.

2 2

1 1

x yx 2y

αα

−=

−

Le plan de Moulton n'est pas arguésien (i.e : le théorème de Desargues n'y est pas valable), comme l'illustre la figure ci-dessous:

Les triangles ABC et A'B'C' sont en perspective. Les côtés [AB] et [AC] sont respectivement parallèles à [A'B'] et [A'C']. Mais [B'C'] n'est pas parallèle à [BC], car (d'après le théorème de Desargues ordinaire, c'est [B'C"] qui est parallèle à [BC].

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SOMMAIRE On remarquera que la définition précise de la façon dont "se brisent" les rayons, correspondant à a < 0, n'a pas beaucoup d'importance: on peut la modifier de diverses façons sans empêcher le modèle de Moul-ton de fonctionner. Il est dommage qu'un exemple dont l'idée essentielle soit aussi simple, ne soit pas accessible (sans trop de perte de temps) à la plupart des élèves. C'est pour obvier à cette difficulté que nous avons composé l'énoncé de manipulation suivant, qui réduit les questions 1° et 2°. E. E V 2 , à de simples exercices de contemplation. M V 3 Fabriquons un modèle de plan de Moulton Matériel: Deux feuilles de papier transparent de bonne tenue (ou deux feuilles de plastique transparent assez épais). Ruban adhésif transparent. Une équerre (angles 30 - 60°) et un grand trombone de papeterie.

Montage: (voir l'illustration ci-dessus) − Découper la feuille 2 de façon à ce que sa largeur coïncide avec le grand côté de l'équerre. − Repérer Sur la feuille 1 une droite parallèle au bord de la feuille et dont la distance au bord coïncide avec le petit côté de l'équerre.

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SOMMAIRE Grâce au ruban adhésif, fixer le bord de/ la feuille 2 à la feuille l, le long de la droite précédente. . − Placer l'équerre sur la table et la maintenir verticale -grâce au trom-bone convenablement tordu (avec un second trombone; l'équerre sera mieux assurée si besoin est). Le petit côté de l'équerre fait face à l'observateur, et le second côté de l'angle droit repose sur la table. − Poser l'assemblage des feuilles 1 et 2 sur l'équerre, comme l'indique la figure. Notre plan de Moulton est prêt, il n'attend plus que ses droites. Tracé de droites sur notre modèle Principe : Les droites que nous verrons monter vers notre côté droit seront

tracées entièrement sur la face libre de la feuille 1. Les droites que nous verrons descendre vers notre côté droit seront tracées sur la face articulée, moitié sur la feuille 1 , moitié sur la feuille 2. Pour les horizontales et les verticales, le choix de feuille pour le tracé est sans importance.

Comment tracer des droites: Nous ôtons l'assemblage de l'équerre, le posons à plat, et nous traçons les droites à la règle comme d'habitude. Mais, la feuille 2 étant plaquée sur la feuille 1 (ce qu'elle fait d'elle-même lorsque nous soulevons l'assemblage de l'équerre), certaines droites sont à tracer d'un côté de notre assem-blage de feuilles et les autres sur l'autre face, pour respecter le principe ci-dessus.

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SOMMAIRE Ce que nous voyons en regardant notre modèle en place: Les droites qui montent en allant vers le côté droit nous apparaissent comme des droites usuelles. Celles qui descendent vers le côté droit nous apparaissent brisées. La ligne de ces brisures est la droite le long de laquelle les feuilles sont assemblées. Comment est faite la brisure ? Le dessin ci-dessous l'illustre : une droite le long de laquelle on descend de 2 carreaux en se déplaçant d'un carreau vers la droite, au dessus de la brisure, est telle qu'en dessous de la brisure on ne descend plus que d'un carreau en se déplaçant vers la droite d'un carreau. De même lorsque, au dessus de la brisure on descend de 4 carreaux en allant vers la droite de 3 carreaux, on ne descend plus que de 2 carreaux pour le même déplacement vers la droite de 3 carreaux, si l'on est en dessous de la brisure. Remarque: La brisure observée ne suit en réalité la règle ci-dessus que pour une zone située à peu près en face de l'observateur. Des droites vues trop de côté par l'observateur lui apparaîtraient brisées, mais pas de la même manière. Commentaire pédagogique: Lorsqu'on raisonne sur ce gadget, la vérification des axiomes Al et A2 est immédiate: par exemple, pour prouver que par deux points A et B on peut faire passer un rayon et un seul, il suffit de marquer A et B, de replier le modèle, à plat, de joindre A à B à la règle (en prenant soin de le faire du bon côté du plexiglas), puis on redéploye l'engin dans la position initiale.

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SOLUTIONS

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SOLUTIONS Solution de P. I 71. On peut commencer par se rassurer en vérifiant que les deux dia-grammes ont le même nombre de croix. 2. Dans le modèle, il n'y a qu'une seule ligne (la ligne c) qui ne comporte qu'une croix. Sur le second diagramme, il n'yen a pas : mais l'on remarque qu'il y a une colonne ne comportant qu'une seule croix. On va donc essayer d'intervertir le rôle des lignes et des colonnes. Cela permet de placer la lettre c et la lettre A. De la même façon, on pourra. inscrire les lettres F et f. (La colonne F, sur le modèle, est la seule qui comporte trois croix). 3. Sur le modèle, rien ne distingue les colonnes B et C. Sur le second diagramme il y a deux lignes portant deux croix, que rien ne distin-gue. Nous allons inscrire arbitrairement B et C en face de ces lignes. 4. Sur le modèle, les colonnes D et E restantes comportent chacune deux croix. Mais seule la colonne D a une croix sur la même ligne que B et C. Cette remarque permet de placer D et d, puis a, puis grâce à la colonne E, la ligne b. Les lignes a et e ont leurs croix sur des colonnes différentes, ce qui permet de placer e. 5. En conclusion, il y a deux façons de compléter le tableau: chacune correspond à un choix des colonnes B et C.

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SOMMAIRE On remarquera qu'en général, il est difficile de reconnaître que deux tableaux cartésiens représentent des relations isomorphes. Il ne suffit pas, bien sûr, que pour chaque ligne ou colonne du modèle on trouve une ligne ou colonne du diagramme à compléter ayant le même nombre de croix qu'elle. (La simplicité des exercices I 1 à 5 est exceptionnelle). Il est aisé d'imaginer des énoncés plus faciles ou plus difficiles, sur le même thème. Solution P. II 7 Voici les graphes complémentaires:

qu'on peut "déplier" en l'hexagone

qui n'est autre que le graphe constitué des deux triangles

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CHAPITRE III Solution de P. I 3 bisPartons d'une droite D : si elle n'est pas unicolore il y a deux points (A et B) d'une couleur (disons rouge) et un point bleu (soit P). Parmi les 4 autres points du plan, il y a un point rouge ou alors les 2 droites autres que D passant par P sont unicolores (bleues). S'il y a un point rouge C, le triangle ABC est unicolore et l'une des droites AC ou BC est unicolore (rouge) à moins que le troisième point de ces droites ne soit bleu... mais (problème précédent) ces trois points sont alignés et bleus. On peut le représenter par la succession de dessins :

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SOMMAIRE Solution de E. E Il 1Nous allons compter de deux façons le nombre de croix que comporte la matrice d'incidence du modèle. Cette matrice comporte p lignes (resp a colonnes) comportant chacune m croix (resp. n croix). Il y a donc p × n ou a × n croix en tout. Solution de P. Il 2La formule précédente montre que chaque point a un degré égal à 2. Une recherche directe à partir des conditions imposées conduit sans difficulté à la solution et en suggère l'unicité à isomorphisme près (on n'a que le choix du nom, ou de la couleur des alignements et des points). Une façon très expéditive de répondre à ce problème est de remarquer que le dual de la configuration cherchée est un graphe à 5 sommets et 10 arêtes : c'est donc le graphe complet à 5 sommets (car 5 × 4 / 2 = 10). On peut. aussi résoudre le problème, sans utiliser la dualité, mais en raisonnant sur les alignements (il y en a moins! ) plutôt que sur les points. On constate qu'il existe une bijection de l'ensemble des points vers l'ensemble des "paires d'alignements distincts". (Ces deux ensembles ont chacun 10 éléments). Cela suggère de dessiner cinq droites du plan, de façon que trois d'entre elles ne soient jamais concourantes, et que deux d'entre elles ne soient jamais parallèles. On obtient ainsi une des configurations cherchées, en prenant comme "points" les intersections de chaque paire de droites distinctes:

On constate que deux telles configurations sont isomorphes. En effet, toute bijection entre les ensembles de droites définit un isomorphisme entre les configurations d'incidence.

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SOMMAIRE Solution de P Il 3Ici encore, la formule montre que le degré de chaque point est 2. Mais l'application qui associe à tout point la paire d'alignements qui y passe, n'est pas surjective, puisqu'il y a 12 points et 6 × 5 / 3 = 15 paires d'alignements : il existe donc trois paires d'alignements disjoints. Soit δ et δ' deux alignements disjoints : chacun des 4 alignements autres que δ et δ' rencontre δ, puisqu'il doit y avoir 4 points sur δ. II en résulte que l'ensemble des 6 alignements se partage en 3 paires d'alignements disjoints. Cela suggère la construction suivante : on construit dans le plan trois paires de parallèles (non confondues !) dans trois directions différentes. L'ensemble des points d'intersection de ces 6 droites fournit la configu-ration cherchée. Voici des figures possibles:

Ces configurations, d'aspect dissemblable, sont pourtant isomorphes. A tout isomorphisme entre ces deux modèles correspond une bijection entre les deux ensembles de 6 droites. Mais pour qu'une bijection entre ces ensembles de droites définisse un isomorphisme, il faut et il suffit que cette bijection respecte le parallé-lisme ; autrement dit, à deux droites de même couleur doivent corres-pondre des droites de même couleur. On en déduit qu'il existe 6 × 4 × 2 = 48 automorphismes de cette structure. Une droite du 1er modèle peut être appliquée sur l'une des 6 droites du 2ème (ce qui fournit 6 choix), mais alors sa parallèle a une image déterminée. Cela posé, une des 4 droites restantes (dans la source) peut être appliquée sur l'une des droites restantes dans le but. (Ce qui fournit 4 choix). Enfin, il reste 2 possibilités d'achever la bijection, avec les deux droites parallèles restantes.

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SOMMAIRE Solution de P. III 2a) Pour 6 c'est trivial. b) Pour 7 c'est impossible : en effet, on veut obtenir une configuration semi-régulière, comportant 7 alignements de degré 3, avec n points de degré 2. La formule 7 × 3 = n × 2 fournit un nombre impair d'un côté, et un nombre pair de l'autre. c) Pour 8 les réponses sont nombreuses, mais il faut un peu d'imagination : c'est un excellent exercice pour les jeunes de 9 à 99 ans! Voici quelques-uns des modèles donnés par des élèves de CM 1 (École annexe de l'École Normale de Sélestat toujours! ) :

En voilà un autre: et encore un (non connexe mais très complet! )

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SOMMAIRE Solution de P. III 3Nous avons vu que les automorphismes de cette configuration s'obtien-nent à partir des permutations de l'ensemble des alignements. Il s'agit donc de manœuvrer pour trouver une permutation des droites numéro-tées 1, 2, 3, 4, 5 telle que les sommets rouges se transforment en sommets bleus et vice-versa. Pour que deux droites se coupent en un sommet rouge (resp. bleu) il faut et il suffit que leurs numéros soient consécutifs (resp. non consécutifs) modulo 5. On peut choisir par exemple la permutation :

1 → 2 → 4 → 3 → 1 5 5 qui fournit un des automorphismes cherchés. Solution de P. III 4Les deux cases g et h du milieu sont chacune adjacentes à 6 cases. Elles ne peuvent donc contenir que 1 et 8 ; 2 et 7 sont dans la seule case non adjacente. A une symétrie horizontale près (autour de X) on a nécessairement la configuration :

A une symétrie verticale (autour de Y) près, 3 est nécessairement dans la case b (par symétrie). Si l 'on met 4 dans la case e, on ne peut placer ni 5 et 6 dans la case f. Donc 4 est dans la case e et on obtient une solution unique aux deux symétries près.

On remarque que la configuration finale est telle que deux cases symé-triques par rapport au centre portent des nombres dont la somme est 9. Qui peut expliquer ce "mystère"? !

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SOMMAIRE Solution de P. III 5On remarque qu'il y a des points d'ordre 3 et des points d'ordre 2. Soit S la somme totale des nombres inscrits et s la somme qui sera inscrite sur chaque alignement. Supposons que x soit le nombre inscrit sur un sommet d'ordre 3. Comme le montre la figure ci-contre, en utilisant les 3 alignements coloriés en rouge, on a :

x

S = x + 3(s − x) = 3s − 2x. Ceci montre que sur tous les autres points d'ordre 3 il faut aussi mettre le nombre x; mais alors sur le troisième point (d'ordre 2) de chaque alignement il faut placer le même nombre y =s − 2x. Il y a donc une seule possibilité (au choix près de x et y bien sûr) : C'est celle qui est donnée par la figure suivante.

Solution de P. III 6Représentons par A, B, C, D, E, F les 6 ports. Une vedette sera alors représentée par un ensemble de 3 lettres distinctes puisées parmi ces 6 lettres. Chaque ensemble de 3 lettres détermine 3 paires de lettres différentes, puisque chacune des = 15 paires doit intervenir deux fois, il y aura: 2 × 15 / 3 = 10 circuits de vedettes.

26C

Désignons par ABC et ABD les deux circuits passant par A et B. Alors aucun des deux circuits passant par C et D ne peut passer par A ou par B : en effet si par exemple il y avait les 3 circuits: ABC, ABD et

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SOMMAIRE ACD, parmi les paires contenant A il resterait à utiliser: 2 fois la paire AE et 2 fois la paire AF, ce qui ne serait possible que dans AEF qu'il faudrait compter deux fois et cela est exclu par la condition 3°. Autrement dit, les deux circuits passant par C et D ne peuvent être que CDE et CDF. De même, les deux circuits passant par E et F seront AEF et BEF. On remarque alors que les 4 circuits encore à déterminer doivent utiliser une fois et une seule les 12 paires de lettres autres que AB, CD et EF (qui ont déjà été utilisées 2 fois). Le deuxième circuit passant par A et C doit contenir E ou F (D est exclu puisque C et D sont déjà reliés par 2 vedettes). Comme les lettres E et F sont intervenues symétriquement jusqu'ici, on peut choisir d'appeler E celle qui se trouve sur le deuxième circuit joignant A et C. On a ainsi déjà les 7 circuits: ABC, CDE, AEF, BEF, ACE. Il est alors immédiat de terminer la liste (en regardant les paires encore disponibles) par ADF, BCF et BOE sans nouveau choix possible. Au choix près du nom des ports, la solution est donc unique. Autres présentations: 1. Voici une solution avec les lettres: O, L, T, C, E, I : OIE – COI – LIE – OTE – LOT – COL – LIT – TIC – CLE – CET On peut essayer de modifier le nombre de lettres (en conservant les mêmes règles). a) Avec 4 lettres il y a de nombreuses solutions (cf, "le jeu des mots de 3 lettres" in Revue A.R.P. [1] n° 17 (Novembre 74). Par exemple :

U, S, C, E : USE - SEC - SEL - ECU - SUC O, I, L, S : COL - COI - LOI - CIL S, O, L, I : SOL - LOI - SOI - ILS S, O, T, E : SOT - EST - OTE - OSE

b) Avec 5 lettres le problème est impossible car 10 × 2 n'est pas divisible par 3. c) Avec 7 lettres, on trouve 14 mots : en voici un exemple : U, E, S, C, L, O, I et la liste : OUI − OIE – LUI – LIS - SEL – OLE –USE − COL – SOC – ECU – LUC – SOU – SIC – ICE .

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SOMMAIRE 2. Solution "colorée" : (10 triangles)

Solution de P. IV 4Soit O, un sommet parmi les 19. De ce sommet partent 18 arêtes coloriées en trois couleurs; il y en a au moins 6, OAl, OA2, OA3... OA6 qui sont d'une même couleur (bleue pour fixer les idées). Alors : Ou bien, parmi les arêtes du graphe complet Al, A2... A6 il en est une qui est bleue, et dans ce cas on trouve un triangle unicolore bleu. Ou bien aucune des arêtes du sous-graphe complet de sommet Al, A2... A6 n'est bleue.. Dans ce cas, ce sous-graphe est colorié en 2 couleurs et le théorème de Ramsey affirme l'existence d'un triangle unicolore (qui n'est pas bleu).

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SOMMAIRE

CHAPITRE IV Solution de P. I 7Soit O un point du plan projectif; tous les autres points sont situés sur les k + 1 alignements passant par O, à raison de k points (distincts de O) par alignement. On trouve, en comptant O, un total de :

1 + (k + l)k = k2 + k + 1 points. Un raisonnement dual montre que le nombre des alignements est aussi k2 + k + 1. Lorsque k = 2, on trouve le plan projectif à 7 points (qui s'appelle aussi le plan de FANO) dont des modèles sont apparus en M I 1 et E. D I 2. Pour k = 3, on obtient le plan projectif à 13 points, dont les exercices qui suivent fournissent un modèle. Solution de E. E II 3a) Si D = ∅ , X ne peut comporter deux points distincts (Al). Par contre { ∅, ∅ ; ∈ } et {{A}, ∅ ; ∈} (où {A} est un singleton) satisfont à Al et A2.

b) { ∅, ∅ ; ∈ } est un plan presqu'affine. Si X est un ensemble quelconque, {X, {X}, ∅ } ; ∈ est aussi un plan presqu'affine. Tous les points sont sur la droite X. Et X et ∅ sont parallèles (car X ∩ ∅ = ∅). c) Si X = {A , B}, l 'ensemble des par t ies P (X) est .égal à {{A,B}, {A}, {B}, ∅}. Cherchons les parties D ⊂ P(X) qui fournissent des plans presqu'affines. Remarquons que, puisque .A et B sont deux points distincts de X, {A, B} doit appartenir à D , d'après Al. Si l'on suppose que ∅ ∉ D , il y a quatre possibilités pour D, qui fournissent des plans presqu'affines ; mais D = {{A,B}, {A}} et {{A, B}, {B}} conduisent à des plans presqu'affines isomorphes. Si ∅ ∈ D, il n'est pas possible que {A} ∈ D. Car sinon, par le point A ∉ ∅ , on pourrait mener deux droites distinctes parallèles à ∅ : à savoir {A} et {A, B} . Mais D = {{A, B}, ∅} répond au problème. En résumé, il y a quatre structures d'espace presqu'affine possibles, sur un doubleton X = {A, B}.

133

SOMMAIRE Solution de P. II 5Soit G et :F les ensembles des garçons et des filles fréquentant ce bal. Admettons que G ne soit pas vide et désignons par d la rela-tion :

"Le garçon... a dansé avec la fille..." Les deux hypothèses s'expriment ainsi (1) ∀ g ∈ G ∃ f ∈ F g − non-d − f (II) ∀ f ∈ F ∃ g ∈ G g − d − f Tentative de solution: Puisque G n'est pas vide, il existe g ∈ G et d'après (I), il existe une fille f ' telle que g − non d − f '. En outre, d'après (II), il existe g ' ∈ G tel que g ' − d − f Il resterait à prouver l'existence d'une fille f qui a dansé avec g mais n'a pas dansé avec g'. Autrement dit on cherche f ∈ d−1(g) − d−1(g ') où d−1(g) désigne l'ensemble des filles qui ont dansé avec le garçon g. Mais, si g est choisi arbitrairement, rien ne nous permet d'affirmer que c'est possible (i.e. que d−1(g) − d−1(g ') ≠ ∅ ou encore d−1(g) ⊂ d−1(g ')). "Rectification de tir" Il semble que le choix de g est d'autant meilleur que d−1(g) est "plus gros". Donc il est bon de choisir le garçon qui a dansé avec le plus de filles. Mais attention, il est possible qu'il y ait des ex aequo à cette compétition. Nous choisirons donc un garçon g qui a dansé avec un ensemble maximal de filles. Dans ces condit ions, i l es t impossible quel que soi t g ' que d− 1 (g) ⊂ d− 1 (g ' ) , car comme on sai t que g ' − d − f ' e t g − non d − f ', l'inclusion d−1(g) ⊂ d−1(g') serait stricte, et g' aurait dansé avec plus de filles que g, ce qui contredit le caractère maximal du choix de g. En conséquence d−1(g) ⊄ d−1(g ') , ce qui prouve l'existence de f tel que g − d − f et g'− non d − f.

134

SOMMAIRE

CHAPITRE V Solution de P. I 5Supposons les 3 points alignés sur D. Alors (cf. E. E I.2) trois cas peuvent se produire : • p1 et p2 sont des bijections. Alors puisque K a 3 éléments cela veut dire

que x1 , x2 , x3 (resp. y1 , y2 , y3) sont à l'ordre près 0, 1 et 2 dont la somme est bien 0 .

• p1 (resp. p2) est une application constante, c'est-à-dire : D a pour équation x = a a ∈ K (resp y = b). Alors x1 + x2 + x3 = 3.a = 0 (resp y1 + y2 + y3 = 3.b = 0 ) et comme p2 (resp p1) est alors une bijec-t i o n o n a c o m me p o u r c i - d e s s u s y 1 + y 2 + y 3 = 0 ( r e sp x1 + x2 + x3 = 0 ).

• Réciproquement si 1 2 3

1 2 3

x + x + x 0(1)

y + y + y 0==

(les 3 points étant distincts)

alors la droite déterminée par les 2 points (x1 , y1) et (x2 , y2) contient un troisième point qui vérifie (1) : ce ne peut être que (x3 , y3).

Solution de E. D I 6Bien sûr, si on a déjà traité P II 13 (chapitre IV) on a la réponse et la démonstration. Une démonstration analytique est également aisée, mais son intérêt est surtout de faire effectuer des calculs simples de géométrie analytique dans un corps autre que R (ou C). Elle oblige également à interpréter géométriquement les résultats des calculs effectués: on appelle (xl, y1) (x2 , y2) et (x3 , y3) 3 points ABC non alignés et distincts (donc x1 + x2 + x3 ≠ 0 ou y1 + y2 + y3 ≠ 0. On supposera par exemple x1 + x2 + x3 ≠ 0). Soit 1 le milieu de BC, J celui de AC, K celui de AB.

135

SOMMAIRE

AI a pour équation : 1 2 31 1

1 2 3

y + y + yy y (x x )

x + x + x= + −

BJ a pour équation : 1 2 32 2

1 2 3

y + y + yy y (x x )

x + x + x= + −

et CK : 1 2 33 3

1 2 3

y + y + yy y (x x )

x + x + x= + −

Ces trois droites sont parallèles et deux à deux distinctes. Solution de E. D I 7Il n'yen a pas! Commentaire pédagogique : Ne gâchons pas l'effet de surprise ! Solution de E. E II 11° Si n = n1 × n2 où|n1| et |n2 |sont différents de 1, alors, dans Zn n1 ≠ 0, n2 ≠ 0 , mais n1 × n2 = 0. Donc, Zn n'est pas un anneau in-tègre. Maintenant, si n est premier, Zn est intègre et il est classique que c'est un corps. 2° Dans (Z6 )2 les axiomes A 1 e t A 2 ne sont pas sat isfa i ts . On y constate entre autres la monstruosité suivante :

La "droite" d'équation 2x 2y 0+ = est la réunion des deux "droites" disjointes d'équations :

x + y = 0 et x + y = 3 . Solution de E. E III 1Première solution : Il est adroit de choisir D et D' comme axes de coordonnées et de désigner par a1 a2, a3 les abscisses de A1, A2, A3, et par bl, b2, b3 les coordonnées de B1, B2, B3.'

Les droi tes [A3 B1] et [A2 B1] ont pour équation 3 1

yx 1a b

+ = e t

2 1

yx 1a b

+ = .

Leurs coefficients directeurs sont donc 1

3

ba

− et 1

2

ba−

.

136

SOMMAIRE Les droites [A1 B3] et [A1 B2] ont donc pour équat ions

11

3

by (x a )

a−

= − et 11

2

by (x a )

a−

= − .

Les ordonnées de B3 et B2 sont donc 1 1

3

a ba et 1 1

2

a ba al bl .

Les droites [A2 B3] et [A3 B2] sont parallèles car leurs coefficient di-recteurs sont égaux à −(a1 b1)/a2a3.

Deuxième solution : Désignons par H1,2 (resp H2,3 resp H1,3) l 'homothétie de centre O qui transforme A1 en A2 (resp A2 en A3) (resp Al en A3). On vérifie que H1 ,2 = H2 , 3 o H1 , 3 = H1 , 3 o H2 ,3 (parce que le corps K est commutatif). Or, H1 ,3 o H2 ,3 transforme le point B3 en B1 . Donc, la transformée par H1 , 2 de la droite [Al B3] est [A3 B1]. Ces droites sont donc parallèles. Remarque: La notion d'homothétie utilise la structure de corps de K : on ne peut parler d'homothétie dans un plan d'incidence affine qui n'est pas un k - plan. Solution de Exemple1 III.8On remarque déjà, en prenant pour direction variable celle de D1 puis celle de D2, que ce point fixe ne peut être que le point d'intersection, soit K, de la parallèle à D1 menée par A et de la parallèle à D2 menée par C. Mais alors il suffit d'appliquer le théorème de Pappus aux trois points alignés A, B, C et aux trois points ∞D1 , ∞D2 , ∞δ de la droite de l'infini que sont: la direction de Dl, celle de D2 et la direction variable choisie. On obtient l'alignement des 3 points : [A ∞δ ] ∩ [B ∞D1] = I [B ∞D2] ∩ [C ∞δ]= J [A ∞D2] ∩ [C ∞D1] = K Solution de P. III 9On essaie de reconstituer une configuration de Pappus, telle que l'alignement final (désigné par C1, C2, C3 dans III 2) soit P, Q, R, où Q est un point accessible et R le point d'intersection des droites données.

137

SOMMAIRE On choisit Al et B3 sur l'une des droites, A3 et B1 sur l'autre. A2 (resp B2) est à l'intersection de [Al A3] (resp [B1 B3]) et de [P B1] (resp [P A1]). Puis, on détermine Q= [A3 B2] ∩ [A2 B3]. La droite PQ est la droite cherchée.

Q

A2

B3

A1

P

B1

A3

B2 Solution de E. D IV 7On reconnaît la configuration de Desargues (avec O à l'infini). On en déduit l'alignement des 3 points : D =[AC] ∩ [A'C'] ; D' = [BC] ∩ [B'C'] et [AB] ∩ [A'B']. Mais ce dernier point est le point infini de la direction des deux côtés [AB] et [A'B'], qui est donc aussi la direction de [DD'].

B' A'

B A

D'

C'

C

D

138

SOMMAIRE Solution de E.D IV.8 Le théorème de Desargues appliqué aux deux triangles: Al B2A'1 et A2B1A'2 donne l'alignement des trois points : α, α', et J. Le théorème de Pappus fournit l'alignement des points : a, β, α' . On obtient donc l'alignement des quatre points J, α, α', β sur une droite D' qui ne dépend que de la position du point I, comme on le voit immédiate-ment en remarquant que si D' varie la droite ∆' reste fixe puisqu'elle doit toujours contenir les points J et α. Donc, lorsque δ pivote autour de I, le point [Al B2] ∩ [A'lB'2] décrit une droite fixe.

A'2

B2

A2

A'1

B1 A1

D' δD

D2

α '

βα

∆'

D1

I

139

SOMMAIRE Solution de P. IV 9La plus grande difficulté consiste à faire une figure lisible... Appelons ABC, A'B'C' et A"B"C" les trois triangles et : SI =[AA']() [BB']() [CC'] et S2 et S3 les deux autres centres de perspective. L'hypothèse faite dans la première ~uestion signifie que par exemple les trois droites [AB], [A'B'} et [A"B'] ont un point commun (1) donc les triangles AA'A" et BBB" sont aussi en perspective. Mais cela conduit à l'alignement des trois points SI, S2 et S3' La deuxième question utilise une idée analogue.

140

SOMMAIRE

Bibliographie [1] Activités Recherches Pédagogiques n° 17 (Novembre 74). [2] BERGE C., Graphe set Hypergraphes, Paris, Dunod, 1970. [3] BERGER, Cours de géométrie, CEDIC, 1976. [4] CHERONA, Les échecs artistiques, Payot ed. [5] COXETER H.S.M., Introduction to Geometry, J. Wiley and Sons,

New-York, 1969. [6] FRENKEL J., Géométrie pour l'élève professeur, Paris, Hermann,

1973. [7] GARDNER M., Le paradoxe du pendu, Paris, Dunod, 1971. [8] HILBERT D. et COHN-VOSSENS., Anschlau/iche Geometrie.

Berlin, Verlag von Springer, 1932 (traduction anglaise de P. Né-menyi : Geometry and the Imagination. New-York, Chelsea Publ. C° 1952).

[9] MOULTON F.R., A simple Non Desarguesiam plane Geometry, Trans. Amer. Math. Soc. 3 (1902), p.192-195.

[10] ROSENSTHIEL P. et MOTHES J., Mathématiques de l'action, Pa-ris, Dunod, 1968.

[11] SCHUPP H., Mühlegeometrie Schoningh (1973), Padderborn. [12] SENECA. Les échecs. Livre de poche pratique, 3873 Librairie

Générale Française, 1974. [13] TARTAKOVER. Bréviaire des échecs. Paris, Ed. Stock, 1942. . [14] VAJDA S., The mathematics of Experimental Design, London,

Charles Griffin and C° Ltd, 1967. [15] WAGENSCHEIN M., Ursptungliches Verstehen und exaktes Dan-

ken, Klett Stuttgart, 1965.

141

SOMMAIRE COLLECTION FORMATION DES MAITRES EN

MATHEMATIQUE

Directeur: Maurice GLAYMANN Tous les ouvrages de cette collection destinée aux maîtres en exercice pro-posent des situations et des activités en prise directe avec la réalité pédago-gique quotidienne. Ils concernent plus particulièrement, s'ils sont marqués d'un : * les enseignants de l'enseignement élémentaire les enseignants du premier cycle de l'enseignement secondaire ∇ les enseignants du deuxième cycle de l'enseignement secondaire. 1. LA LOGIQUE A L'ECOLE *

M. Glaymann − P.C. Rosenbloom 2. LA MATHEMATIQUE ET SES APPLICATIONS ∇

Troisième séminaire international - E. Galion 3. L'ALGEBRE LINEAIREPAR SES APPLICATIONS ∇

T. J. Fletcher 4. LE LIVRE DU PROBLEME ∇

- Pédagogie de l'exercice et du problème - Exercices élémentaires de géométrie affine - La parité - La convexité - Le calcul barycentrique - Géométrie d'incidence I.R.E.M. de STRASBOURG

5. ADDITION DANS N * M. Robert

6. MODELES FINIS * A.. Myx

7. LA GEOMETRIE AUTOUR D'UN CARRE P. Gagnaire

8. LE LANGAGE DES CATEGORIES ∇ P. J. Hilton

9. LES PROBABILITES A L'ECOLE * ∇ M. Glaymann et T. Varga,

10. ACTIVITES SUR QUELQUES THEMES D'ALGEBRE ∇ L. Jeremy

11. OPERATEURS A L'ECOLE ELEMENTAIRE * F. Jarente

142

SOMMAIRE

12. RENCONTRE SUR L'ENSEIGNEMENT ELEMENTAIRE ∇ Quatrième séminaire - E. Galion

13. POINTS DE DEPART * C.S. Banwell, K. D. Sanders et D. G Tahta

14. APPORT DE L'INFORMATIQUE A L'ENSEIGNEMENT MATHE-MATIQUE ∇ Jean Kuntzmann

15. SIX THEMES POUR SIX SEMAINES * A. Myx

16. PROBABILITES STATISTIQUES ET BIOLOGIE ∇ J. L. Chassé et A. Pavé

17. INITIATION MATHEMATIQUE * Jean et Suzanne Daniau

18. LA MATHEMATIQUE VIVANTE * ∇ I. I. Perelmann

19. MATHEMATIQUES BUISSONNIERES ∇ A. Deledicq

20. L'ENSEIGNEMENT DES PROBABILITES ET DE LA STATISTIQUE ∇ A. Engel

21. LE THEOREME DES SEPT CERCLES ∇ C. J. A. Evelyn, G. B. Money-Coutts, J. A. Tyrrell

22. NUMERATION A L'ECOLE * Jarente

23. APPRENTISSAGE DE L'ANALYSE ∇ R. Barra 1. Nombres réels - Suites 2. Continuité - Limites - Continuité uniforme 3. Dérivation - Développements limités 4. Intégrale de Riemann - Intégrales généralisées ,

24. EVOLUTION ET ETUDE CRITIQUE DES ENSEIGNEMENTS DE MA-THEMATIQUE * ∇ J. Kuntzmann

25. MATHEMATIQUE, ECONOMIQUE ET GESTION ∇ Daniel Fredon

26. MATHEMATIQUE ET JEUX * François Boule

143

SOMMAIRE

E D I T I O N S C E D I C No d 'éd i t ion : 3 . 76 .1 2

Dépôt légal 3ème Trim. 1976

Imprimerie VAUDREY - LYON