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Physique – Terminale SChapitre 9
Cours
La mécanique de Newton
C’est en voyant tomber une pomme que Newton aurait découvert le concept de gravitation universelle, universelle car elle concernerait le monde des cieux autant que celui d’ici-bas. Il a également énoncé les trois lois qui régissent le mouvement des corps.
Isaac Newton (1642–1727) vu par Gotlib dans ses Rubriques à brac dans les années 1970. Le génial touche-à-tout britannique aurait eu une révélation sur la gravitation en voyant une pomme tomber. D’ici à attraper mal à la tête, c’est peut-être un peu fort…1
1 – Mouvement du centre d’inertie d’un solide1.1 – Quelques rappels
Nous nous limitons au lycée à la mécanique du point matériel, c’est-à-dire à l’étude du mouvement d’un point de masse m dans l’espace et le temps. Au mieux pourrons nous qualifier le mouvement de l’ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres et constituant un solide indéformable. Nous ne pourrons pas, pour le moment, parler du mouvement des solides déformables.L’un des objectifs de la mécanique est la caractérisation des mouvements ; cela s’entend dans l’espace, et dans le temps : c’est pour cela que la caractérisation du mouvement d’un objet passe par la connaissance de sa trajectoire et de sa vitesse à tout instant.
mouvement = trajectoire + vitesseLe référentiel est le solide par rapport auquel on étudie le mouvement d’un système. Il est indispensable à toute étude mécanique, puisque la nature du mouvement d’un point dépend du référentiel dans lequel on l’étudie. Observer : mouvement de la balle lâchée du vélo, rétrogradation des planètes, etc… Autant d’exemples pris dès la 2nde d’une relativité des mouvements.
On associe le plus souvent au référentiel
un repère d’espace ; , ,O i j k
choisi de telle sorte que la description du mouvement soit la
plus simple possible un repère de temps, dont l’origine des dates est souvent choisie afin de coïncider avec le
début du mouvement ou d’une phase caractéristique
Quand un solide est en mouvement de chute, il existe un point de ce solide qui décrit le plus souvent unmouvement plus simple que les autres : ce point est le centre d’inertie du solide, on le note G.
Observer : beret.avi ou centreinertie.swf
1 Comme il l’a écrit lui-même, c’est toutefois bien en méditant suite à l’observation de la chute d’une pomme dans son jardin – mais non en se faisant assommer – que l’idée d’une gravitation universelle est venue à Newton.
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Le centre d’inertie d’un solide homogène est confondu avec son centre de symétrie (s’il en possède un !). Tout système matériel pouvant être ramené à un ensemble de particules A1, A2, …, AN de masses respectives m1, m2, …, mN, on peut trouver la position du centre d’inertie G par la techniques des barycentres, qui ne sont pas au programme (en Physique, du moins)
1 1 2 2 0N Nm GA m GA m GA
ou encore
1 1 2 2
1 2
N N
N
m OA m OA m OAOG
m m m
1.2 – Vecteur positionLa position du centre d’inertie G d’un système par rapport à l’origine O du repère d’espèce peut être
repérée à chaque instant par le vecteur position, OG
.
Dans le repère d’espace attaché au référentiel d’étude (cartésien ou orthonormal direct le plus souvent), il s’écrit
OG xi y j z k
Si le solide est en mouvement, les coordonnées x, y et z sont des fonctions du temps : c’est pourquoi on les note de manière générale x(t), y(t) et z(t).L’ensemble des positions occupées successivement par le point G au cours du temps constitue la trajectoire de ce point.
1.3 – Vecteur vitesseA l’aide d’un mobile autoporteur, il est possible d’obtenir la chronophotographie d’un mouvement simple en faisant abstraction des forces de frottements ; en effet, le dispositif éclateur de ce système livre un enregistrement que l’on peut exploiter facilement.
Observer : TP « Etude expérimentale de la 2ème loi de Newton »Sur ce type d’enregistrement, on peut définir le vecteur vitesse instantanée d’un point G de manière approchée.Le document présenté est à l’échelle ½ ; l’intervalle d’éclatement τe entre 2 étincelles est τe = 45 ms.Prenons l’exemple du point M8. Le vecteur vitesse en ce point se définit par
7 98 2 e
M Mv
La valeur de la vitesse est 17 8 8 9
8
2 0,80 0,8537 .
2 2 0,045e
M M M Mv cm s
.
Pour définir rigoureusement ce vecteur à l’instant tn quelconque, nous supposons connue la position de G à chaque instant t et nous la notons G(t).
G(t)
z
x
yOi
k
j
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Le vecteur n
n
G t G t
t t
est d’autant plus proche du vecteur vitesse en G(tn), G nv t
, que l’intervalle de
temps nt t t est petit. A la limite,
lim lim
n n
n nG n t t t t
n n
G t G t OG t OG tv t
t t t t
ce que nous pourrons encore nous permettre de noter
0
limG nt
OGv t
t
Où le sigle désigne la variation de la grandeur qu’il accompagne.Mathématiquement, cette limite de taux d’accroissement est la dérivée du vecteur position par rapport au temps,
G n n
dOGv t t
dt
Dans le référentiel choisi pour étudier le mouvement, le vecteur vitesse du centre d’inertie G du solide à
l’instant t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position OG
à cet instant
G
dOGv t
dt
Le vecteur vitesse est alors porté par la tangente à la trajectoire à l’instant t et orienté dans le sens du mouvement.
Prenons l’exemple d’un mouvement curviligne. La longueur du vecteur est dictée par une échelle (fixée arbitrairement par l’expérimentateur) et rend compte de la valeur de la vitesse instantanée en m.s–1.
Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennesEn coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant constants, le vecteur vitesse a pour expression
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
x
G x y z y
z
dxv t
dtdy
v t v t i v t j v t k v tdtdz
v tdt
Une confusion très, très fréquente : vecteur vitesse constant ≠ vitesse constanteSi le vecteur vitesse est constant, le point décrit un mouvement rectiligne uniforme.
v
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Si SEULE la valeur de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme, mais la trajectoire reste quelconque.
1.4 – La notion de forceLe concept mathématique de vecteur est encore d’un grand secours pour modéliser les actions mécaniques. Un vecteur force se caractérise par
une direction un sens une norme ou intensité, exprimée en newtons
et en physique, on lui adjoint également un point d’application ; ces quatre caractéristiques permettent de représenter (ou modéliser2) des actions mécaniques telles que
le poids les frottements la poussée d’Archimède la force de rappel élastique
sous forme de vecteurs forces. Nous détaillerons ces forces ultérieurement. Rappelons que la notion de force est indépendante du référentiel utilisé pour la description du mouvement d’un solide.
2 – Première et troisième lois de Newton2.1 – Première loi de Newton : principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un solide est nulle (solide pseudo-isolé), le vecteur vitesse du centre d’inertie est un vecteur constant, et réciproquement.
0xt GF v Cste
Le centre d’inertie d’un solide soumis à des forces qui se compensent doit donc être soit immobile
0Gv
, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
La première loi de Newton ne s’applique qu’au centre d’inertie du solide. Elle ne dit rien sur le mouvement des autres points.
Les points de l’axe du cylindre qui roule peuvent avoir un mouvement rectiligne et uniforme, mais ce n’est pas le cas des autres points…
2 Le poids, par exemple, est un vecteur vertical, vers le sol et appliqué au centre de gravité du système ; il représente de façon sommaire l’action gravitationnelle de la Terre qui, de fait, s’exerce en tout point – et il y en a une infinité – du système… C’est en cela que l’on parle de modélisation.
v Un mouvement circulaire peut être
uniforme ; toutefois, dans ce genre de mouvements, le vecteur vitesse n’est pas constant : sa direction et son sens changent sans arrêt !
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Dans la suite du cours, nous ne nous intéresserons plus qu’au mouvement du centre d’inertie.
Le principe d’inertie ne s’applique que dans certains référentiels appelés référentiels galiléens. Avant de résoudre un problème de mécanique, il faut s’assurer que le référentiel choisi pour étudier le mouvement du centre d’inertie est galiléen. C’est le cas, par exemple, du référentiel géocentrique ou du référentiel héliocentrique pour nos expériences quotidiennes.Le référentiel terrestre n’est pas galiléen, mais on peut le considérer comme tel pour les mouvements de courte durée.3
Le mobile autoporteur est soumis à son poids et à une réaction de support qui lui est opposée (absence de frottements). On tient la feuille en dessous :
Si la feuille est immobile (Fig. a), le référentiel envisagé, celui de la feuille, est un référentiel terrestre : G a alors un mouvement rectiligne et uniforme.Lors d’un déplacement de la feuille (Fig. b), en revanche, le référentiel de la feuille n’est plus galiléen : le mouvement de G est alors radicalement modifié…
2.2 – Troisième loi de Newton : le principe des actions réciproquesDeux corps sont en interaction si le mouvement ou le repos de l’un dépend de l’existence de l’autre.C’est un cas très fréquent dans la vie de tous les jours : lorsqu’on s’assoit quelque part, etc…
On considère deux corps A et B en interaction. /A BF
est la force exercée par A sur B, et /B AF
la force
exercée par B sur A. Quel que soit l’état de mouvement ou de repos des deux corps, les deux forces vérifient toujours l’égalité vectorielle
/ /A B B AF F
3 En réalité, un référentiel n’est galiléen qu’avec une certaine approximation. La qualité de cette approximation est fonction de la durée des expériences réalisées : le référentiel terrestre est un bon référentiel galiléen si la durée de l’expérience menée est négligeable devant celle de la rotation diurne de la Terre (soit environ 24 h)… Ce n’est pas le cas, par exemple, si l’on étudie le mouvement de Mars (d’où la formation d’épicycles de rétrogradation).
a b
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Quelques illustrationsLe tir à la cordeLe chariot à réaction, avec un ballon de baudruche Observer : ballon.gifL’allumette Observer : allumette.gifSur l’eau Observer : bateaurouge.gif
La troisième loi de Newton est vraie que le référentiel soit galiléen ou non.Le principe des actions réciproques permet d’expliquer la propulsion : c’est la force exercée par le sol sur les roues motrices, opposée à la force exercée par les roues sur le sol, qui propulse le véhicule vers l’avant. Notez bien, dans ce cas : les forces de frottements (projection de R’1 sur la route) ne sont pas opposés au mouvement !!
3 – Deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique
En classe de 1ère S, nous avons vu que, dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse Gv
du centre
d’inertie d’un solide varie, la somme vectorielle extF
des forces qui s’exercent sur le solide n’est pas
nulle, et réciproquement. De plus, le vecteur extF
et le vecteur Gv
calculé sur un très petit intervalle
de temps ont la même direction et le même sens.
3.1 – Etude expérimentale voir Etude expérimentale de la 2ème loi de Newton.doc
Les vecteurs extF
et 2
G
e
v
sont à chaque instant proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant
la masse m du solide.
2G
ext
vF m
Pour une même force appliquée, plus la masse est grande, plus la variation du vecteur vitesse pendant Δt = 2 τe est petite. La masse caractérise donc l’inertie du solide, c’est-à-dire la difficulté qu’on a à modifier son mouvement. Pour cette raison, m peut être qualifiée de masse inertielle4.
Le vecteur 2
G
e
v
rend compte de la variation de vitesse par rapport au temps : on l’appelle plus
couramment accélération.
4 On peut en effet distinguer la masse inertielle intervenant dans cette relation et dans les caractéristiques dynamiques du mouvement du solide, et sa masse grave qui intervient dans l’expression de son poids (résultat de l’interaction gravitationnelle entre le solide et la Terre, le plus souvent). Dans les conditions classiques (ie. non relativistes), masse grave et inertielle sont équivalentes.
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3.2 – Vecteur accélération
De même que 4 5 3v v G v G
est la limite du vecteur OG
t
quand 0t , le vecteur accélération
Ga
est la limite quand 0t du vecteur Gv
t
0lim G
Gt
va
t
Mathématiquement, ette limite est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.
Dans un référentiel donné, le vecteur accélération Ga
du centre d’inertie G d’un solide à l’instant t est la
dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse Gv
à cet instant
GG
dva t
dt
Cherchons la dimension de l’accélération.
1
2..G
G
v L Ta L T
t T
Dans le système international d’unités, l’accélération s’exprime donc en mètres par seconde au carré, m.s–2.
Expression en coordonnées cartésiennesOn rappelle que les vecteurs unitaires du repère cartésien sont constants au cours du temps. Par conséquent,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
xx
yG x y z y
zz
dva t
dtdv
a t a t i a t j a t k a tdt
dva t
dt
Comme G
dOGv t
dt
, nous pouvons aussi écrire que
2
2G
d dOG d OGa t
dt dt dt
. Ainsi,
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
x
G y
z
d xa t
dt
d ya t a t
dt
d za t
dt
Remarquev
a
0a v
mouvement accéléré
v
a
0a v
mouvement retardé
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3.3 – Enoncé de la deuxième loi de NewtonLa relation
2G
exte
vF m
devient, à la limite, la deuxième loi de Newton,
ext GF m a
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie,
ext GF m a
Comme la première loi, la seconde loi de Newton ne s’applique qu’au mouvement du centre d’inertie ; la relation qu’elle annonce n’est valable que dans les référentiels galiléens.
Remarque : cette relation implique une équivalence dimensionnelle riche de sens.
2. .ext GF m a M LT Le newton peut donc être vu comme la valeur de la force qui, appliquée à une masse de 1 kg, lui communique une accélération de 1 m.s–2.Par ailleurs, pour un système en chute libre, nous serons amenés à écrire l’égalité m aG = m g, qui indique que l’intensité du champ de pesanteur g, souvent exprimée en N.kg–1 jusqu’ici, est dimensionnellement équivalente à une accélération et peut s’exprimer également en m.s–2.
1 N.kg–1 ≡ 1 m.s–2
Remarque : de l’inertiePour une force de caractéristiques données, l’effet diffère selon la masse du système qui subit l’action.
Prenons le cas trivial où une force F
apparaît comme cause du comportement du système : l’accélération
Ga
caractérise alors l’effet de l’action. En écrivant
G
Fa
m
on voit que pour une force F
d’intensité fixée, l’accélération est d’autant plus faible que la masse du système est grande. On dit que la masse du système a un rôle inertiel : elle s’oppose à l’évolution du mouvement (résistance) ; ce caractère est parfois5 différencié du rôle grave de la masse (gravitation).
4 – Application à la chute verticale d’un solide dans un fluide4.1 – Etude expérimentale
On considère l’exemple simple de la chute d’une bille dans un liquide visqueux. Les outils informatiques de pointage et le tableur nous permettent d’exploiter les vidéos du phénomène.
5 La masse qui intervient dans la 2ème loi de Newton n’est donc pas la même que celle qui intervient dans la loi de gravitation. Cette distinction est nécessaire en Relativité, mais reste inutile en mécanique newtonienne.
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Cette courbe montre l’existence de deux régimes, Un régime initial ou régime transitoire, pendant lequel la vitesse augmente d’abord
rapidement puis de plus en plus lentement. Pendant cette première phase, le mouvement de la bille est accéléré.
Un régime asymptotique ou régime permanent, pendant lequel la vitesse est constante, la bille ayant atteint une vitesse limite. Pendant cette seconde phase, le mouvement de la bille est uniforme.
Le temps caractéristique τ de la chute est le temps qui correspond au passage d’un régime à l’autre. On le définit comme l’abscisse du point d’intersection de l’asymptote avec la tangente à l’origine. La transition entre les deux régimes est opérée au bout de quelques (5 dans la pratique, probablement, comme en électricité).
4.2 – Forces exercées sur le solidePour modéliser cette chute, rappelons les caractéristiques des forces exercées sur la bille, à l’aide d’un diagramme objet-actions (DOA).
Le poidsLe poids ou force de pesanteur est la force qui modélise l’action de la Terre sur un corps. C’est une force verticale, dirigée vers le bas. En un lieu donné, sa valeur est proportionnelle à la masse m
P = m × gavec P : poids en newton (N)
m : masse en kilogramme (kg)g : intensité du champ de pesanteur en newton par kilogramme (N.kg–1)
Vectoriellement, on écrira P m g
où g
est le vecteur champ de pesanteur, vertical, vers le bas et de norme g.
La poussée d’ArchimèdeUn solide immergé dans un fluide est soumis de la part de celui-ci à une action mécanique appelée poussée d’Archimède. Cette action est modélisée par une force verticale, dirigée vers le haut. Sa valeur est égale au poids du fluide déplacé par le solide immergé (seule la partie immergée compte !).
= fluide × V × g
avec : poussée d’Archimède en newton (N)
fluide : masse volumique du fluide en kilogramme par mètre-cube (kg.m–3)V : volume du solide immergé en mètre-cube (m3)G : intensité du champ de pesanteur en newton par kilogramme (N.kg–1)
TerreLiquideBille
frottements
Poussée d’Archimède poids
régime transitoire régime permanent
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La force de frottementUn solide en mouvement dans un fluide est soumis à des forces réparties en surface qui dépendent de la nature du liquide, de la forme du solide et de la rugosité de la surface. La valeur de ces forces augmente avec la vitesse du solide.Dans le cas d’une boule en chute verticale, la somme vectorielle de toutes ces forces est une résultante verticale, opposée au mouvement : on l’appelle force de frottement fluide.Son expression en fonction de la vitesse est complexe, sauf dans deux cas de modèles6 particuliers,simples,
aux faibles vitesses (on parle d’un écoulement laminaire), la valeur de la force de frottement est proportionnelle à la vitesse,
1f h v
aux grandes vitesses (on parle d’un écoulement turbulent), la valeur de la force est proportionnelle au carré de la vitesse,
2f h v v
Dans les deux cas, h1 et h2 sont des constantes, et f
est opposé à v
.
4. 3 – Application de la deuxième loi de NewtonLa bille étudiée est soumise aux trois forces étudiées précédemment,
le poids P
la poussée d’Archimède
la force de frottement 1f h v
que l’on considèrera proportionnelle à la vitesse puisque la
vitesse de chute est faible
Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre, supposé galiléen pendant la durée de la chute. La deuxième loi de Newton appliquée à la bille donne :
GP f m a
On choisit un axe (Oz) orienté vers le bas. Puisque les vecteurs
et f
sont orientés en sens contrairede l’axe vertical (Oz) choisi, l’égalité vectorielle devient
1 ( )zfluide z
dvm m g V g h v t
dt
Après division par m, on obtient finalement
11 ( )fluidezz z
Vdv hv g v t
dt m m
Remarque : si l’axe (Oz) est orienté vers le haut…Cela ne doit rien changer aux équations de la Physique : c’est un choix conventionnel réalisé par le physicien. Dans ce cas, les composantes des forces s’opposent et l’équation s’écrit
11 ( )fluidezz z z
Vdv ha v g v t
dt m m
Dans ce cas, c’est le signe de l’accélération – grandeur purement algébrique – qui viendra achever la discussion. En réfléchissant un peu, dans le mouvement étudié, l’accélération est un vecteur dirigé vers le bas tant que les frottements (et la poussée d’Archimède) ne viennent pas compenser le poids ; dès qu’il y a compensation, le vecteur accélération s’annule. Tant qu’il n’y a pas compensation, l’accélération est donc positive pour un axe (Oz) vers le bas, et négative pour un axe (Oz) vers le haut !
6 Ces cas sont des modèles : en réalité, il se peut que l’expression de la force de frottements soit plus complexe, avec un exposant décimal par exemple…
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Nous dirons donc que le choix initial d’un axe (Oz) orienté vers le bas est un pur choix de bon sens qui s’inscrit dans une volonté de simplification des calculs (accélération positive).
Notion de vitesse limite
Lorsque la vitesse limite est atteinte, la bille chute à vitesse constante, donc 0zdv
dt . La relation
précédente entraîne alors
1 ,lim1 ( ) 0fluidez
Vg h v t
m
d’où l’on tire
,lim1
z fluide
gv m V
h
Cette égalité peut être mise sous la forme
,lim1
z bille fluide
gv V
h
Cette expression montre que la vitesse limite augmente si la masse volumique de la bille augmente la masse volumique du liquide diminue
Résolution analytique : la solution de l’équation lim
dvv v
dt est de la forme lim( ) 1 exp
tv t v
4.4 – Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler (cf. TP)La méthode d’Euler permet d’obtenir une solution approchée de l’équation différentielle en remplaçant vz(t) par son approximation affine locale. L’idée directrice est de calculer chaque valeur de la fonction (ou du moins des valeurs séparées d’un pas de calcul) à partir de la valeur précédente : on parle de méthode itérative.
PrincipeEn physique, la notation traduit une variation de la grandeur qu’elle accompagne. En tout point, on peut considérer que la fonction f peut être vue comme sa valeur en un point donné assortie de son accroissement,
f a x f a f Par un petit artifice de calcul, il vient
ff a x f a x
x
et si x est petit, à la limite,
' .f a x f a f a x
Une autre façon de procéder En mathématiques, le nombre dérivé en a d’une fonction f est défini par
0
' limh
f a h f af a
a h a
Si l’accroissement h est petit, on peut se permettre d’écrire
'
f a h f af a
h
d’où l’on tire la substance de la méthode d’Euler,
. 'f a h h f a f a
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Revenons à notre problème physique, où nous noterons Δt le pas de calcul ; la relation d’Euler s’écrit
1
n
z n z nt t
dvzv t v t t
dt
L’équation différentielle établie au 4.3 peut se mettre sous la forme
( )zz
dvA B v t
dt
dans laquelle A et B sont des constantes.La relation d’Euler
1z
z n z n
dvv t v t t
dt
Devient, en utilisant l’équation différentielle,
1z n z n z nv t v t A B v t t La connaissance de la vitesse à l’instant to = 0 s (ici vz(0) = 0) permet de calculer vz(t1) avec t1 = to + Δt, et ainsi de suite.
Cette méthode est fondée sur une approximation. Le résultat est d’autant plus proche du résultat théorique que le pas de calcul est petit. Dans le cas de la chute dans un fluide, on considère que le résultat est correct lorsque le pas de calcul est très inférieur au temps caractéristique : Δt << τ.
4.5 – Validation du modèle (cf. TP)Pour valider le modèle choisi pour la force de frottement (f = h1 v ou f = h2 v²), on confronte les résultat obtenus par la méthode d’Euler et l’expression de f choisie avec les résultats expérimentaux.
Le régime asymptotique donnant la vitesse limite permet de calculer la valeur de k (h1 ou h2)
Si la courbe expérimentale et la courbe d’Euler se superposent pendant le régime transitoire, le modèle choisi est correct. Dans le cas contraire, il faut poser une nouvelle hypothèse pour l’expression de f et recommencer les calculs
5 – Chute libre verticaleOn rappelle qu’un objet est en mouvement de chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids.C’est le cas pour la chute d’objets dans le vide mais aussi, avec une assez bonne approximation, dans le cas où les forces de frottements et la poussée d’Archimède sont négligeables devant le poids de l’objet (objet compact et dense(≠montgolfière), à faible résistance à l’air, à vitesse faible (≠parachute)).
Exemple : étude du chute_bille.avi avec AviStep.Dans ce cas, en considérant le référentiel terrestre galiléen compte tenu de la durée de l’expérience, la deuxième loi de Newton permet d’écrire
GP m a
c’est-à-dire
Gm g m a
et Ga g
Sous réserve d’être dans un champ de pesanteur uniforme (cf. chapitre suivant), l’accélération est donc ici une constante vectorielle : le mouvement est rectiligne et uniformément accéléré.
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Par projection sur un axe vertical orienté par exemple vers le bas, il vient
z za v g
En intégrant sur le temps,
1( )zv t g t C où C1 est une constante que l’on peut déterminer aisément à partir de la vitesse initialement nulle, vz(0) = 0 : C1 = 0.
En intégrant à nouveau sur le temps, il vient
22
1( )
2z t g t C
où C2 est une constante que l’on peut déterminer aisément à partir de la position initialement nulle, z(0) = 0 : C2 = 0.
On peut donc caractériser le mouvement par la vitesse( )v t g t
et la position21
( )2
z t g t
Une remarque, un exercice : retrouver les équations dans le cas d’une vitesse initiale non nulle (vo) et/ou d’une position initiale non nulle (zo),
( ) ov t g t v
21( )
2 o oz t g t v t z
Exemple : en lançant un objet vers le haut, on a o oz zv v e
; la vitesse s’annule pour 1ov
tg
, alors que
l’objet est monté à l’altitude 2
1( )2
ovz t
g , puis il redescend.
O
z
v(t)
z(t)
