La physique par la pratique

La physique

par la pratique

Julien Barthes

Agrégé de sciences physiques

Ancien élève del’École Normale Supérieure de Lyon

Enseignant en classes préparatoires

Baptiste Portelli

Agrégé de sciences physiques

Docteur ès Physique

Ancien agrégé préparateur àl’École Normale Supérieure de Lyon

Enseignant en classes préparatoires

Avant-propos

L’agrégation de sciences physiques est un concours qu’il est difficile de bien pré-parer, car il faut dans le même temps acquérir une masse imposante de connaissanceset prendre du recul vis-à-vis de celle-ci.

Il est d’abord indispensable, pour aborder sereinement les épreuves, de revoiret d’approfondir les programmes des deux premiers cycles universitaires. Sans cesocle solide, on ne peut guère espérer réussir l’agrégation. Ces révisions représententbeaucoup de travail, de sorte qu’il est tentant de s’y limiter ; mais ce serait oublierl’essentiel : les connaissances brutes ne suffisent pas.

Ce que recherche le jury, ce n’est certainement pas la capacité à régurgiter despages de manuel apprises par cœur – ou plutôt, il tient pour acquis que tous lescandidats sérieux en seraient capables si on le leur demandait. Le jury cherche àévaluer la maturité scientifique des futurs enseignants, ce qui signifie posséder une vued’ensemble du programme, savoir critiquer ses idées et résultats, et être autonome,c’est-à-dire faire preuve d’initiative.

Aucun ouvrage spécifique à l’agrégation ne peut vous présenter l’ensemble desconnaissances à maîtriser. Vous devez pour cela vous reporter à vos cours et, surtout,aux ouvrages de référence. On ne peut pas davantage vous enseigner directement lamaturité scientifique que vous devez acquérir ; en revanche, nous pouvons vous aiderefficacement à faire son apprentissage : tel est l’objectif de ce livre.

Les vingt-trois thèmes d’étude que nous vous proposons dans ce recueil doiventbeaucoup à la « prépa agreg » de l’École normale supérieure de Lyon, où nous avonsétudié, puis enseigné. Ils ont notamment profité des suggestions et critiques de nosétudiants lorsqu’ils étaient confrontés à un devoir écrit ou à une leçon, d’oral ou demontage.

Le principe directeur de chaque problème est de reproduire la démarche scien-tifique. Ainsi, un phénomène naturel (marées, circulation des vents, mirages, etc.)peut être d’abord observé puis modélisé, ce qui permet de distinguer les paramètresphysiques pertinents, par exemple à l’aide d’une analyse dimensionnelle ; on formulealors a priori des hypothèses, qui devront permettre de rendre compte des comporte-ments essentiels (qualitatifs et quantitatifs) du système ; enfin, on vérifie a posteriorila validité des hypothèses. Une démarche analogue peut être appliquée à des objectifstechnologiques (vase Dewar, fibres optiques, piège optique, etc.). Enfin, à l’occasionde plusieurs problèmes vous devrez porter un regard critique sur les notions qui sonten apparence les plus élémentaires – mais qui révéleront des idées fondamentales.

Les thèmes que nous abordons sont empruntés à la mécanique au sens large,la thermodynamique, l’optique, la physique ondulatoire et la physique non linéaire.Nous ne couvrons pas toute l’étendue des « planches » possibles : d’une part il faudraity consacrer plus de pages que vous n’aurez le temps d’en étudier en un an, d’autrepart ce serait tout à fait inutile, car le recul s’acquiert par une réflexion personnelle(même si elle est guidée) et non par la répétition ou la reproduction d’un corrigédéjà vu.

4 Avant-propos

Enfin, nous vous suggérons de ne pas considérer cet ouvrage comme une sommefermée de problèmes mais comme une invitation à découvrir par vous-même unelittérature riche et éclairante. Nous avons en effet pris soin d’indiquer, pour chaqueproblème, quelles sources ou références bibliographiques nous ont servi à concevoir lesdivers aspects du sujet. Afin que vous puissiez à votre tour vous reporter à ces textesfondateurs, nous nous sommes limités à des ouvrages et revues aisément accessiblesen bibliothèque ou en librairie.

Vous avez désormais tous les atouts en main pour préparer avec confiance leconcours de l’agrégation. Bon courage, et bonne réussite !

Les auteurs

Évaluation des problèmes

Difficulté Temps conseillé

MécaniqueRéférentiel terrestre ∗ 2 hFrottement et 4× 4 ∗ 1 hLes marées ∗ ∗ ∗ 2 h 30 minDéviation vers l’est ∗ ∗ 2 hEffet gyroscopique et vélo ∗ ∗ 1 h 30 min

Mécanique des fluidesEau minérale ∗ 1 hEffet de sol ∗ ∗ 1 hExpérience de Stokes ∗ ∗ 1 h 30 minLes vents ∗ ∗ ∗ 2 h

ThermodynamiqueLes dinosaures ∗ ∗ 1 h 30 minLe vase Dewar ∗ ∗ ∗ 2 hRefroidissement ∗ ∗ ∗ 1 h 30 minAnémomètre à fil chaud ∗ ∗ ∗ 2 h 30 minThermodynamique du frottement ∗ ∗ 1 h

OptiquePrincipe de Fermat ∗ ∗ 2 hLes mirages ∗ ∗ 2 h 30 minFibre à gradient d’indice ∗ ∗ 1 h 30 minPiège optique ∗ ∗ 1 h

Ondes et physique non linéaireChaînes d’oscillateurs ∗ ∗ 1 h 30 minCouche anti-reflet ∗ ∗ 2 hDispersion dans les fibres optiques ∗ ∗ ∗ 3 h 30 minSoliton dans les fibres optiques ∗ ∗ ∗ ∗ 2 h 30 minÉtude du Van Der Pol ∗ ∗ ∗ ∗ 3 h

∗ Application directe du cours∗ ∗ Approfondissement du cours∗ ∗ ∗ Utilisation des acquis∗ ∗ ∗ ∗ Entraînement au problème de physique (type C)

Table des leçons et montages

Nous donnons ci-dessous la liste des leçons proposées à l’oral de l’Agrégationen 2004. Les leçons varient peu d’une année à l’autre, mais nous vous encourageonsà vous procurer la liste la plus récente. Vous la trouverez par exemple en ligne sur lesite de la « prépa agreg » de l’École normale supérieure de Lyon :

http://www.ens-lyon.fr/DSM/AGREG-Physique

Codes et intitulés des leçons

LP01 Utilisation des intégrales premières du mouvement en mécanique.Exemples et applications. (1er CU)

LP02 Contact entre deux solides. Frottement de glissement. Applications auglissement et au roulement. (PC ou 1er CU)

LP03 Caractère non galiléen du référentiel terrestre. Conséquences. (PCSI ou

1er CU)

LP04 Mouvement d’un solide autour d’un axe fixe. Équilibrage statique etdynamique. Exemples. (1er CU)

LP05 Approximation gyroscopique. Effets dans les domaines macroscopique etmicroscopique. (1er CU)

LP06 Utilisation des lois de conservation dans le problème à deux corps. Ap-plications. (MPSI, PCSI ou 1er CU)

LP07 Principes de la cinématique relativiste. Durée propre. Longueur propre.(1er CU)

LP08 Collisions en relativité restreinte : application à l’étude des particulesélémentaires. (1er CU)

LP09 Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique indé-pendant du temps. Applications. (1er CU)

LP10 Modèle de l’écoulement parfait d’un fluide ; validité. Relation de Ber-noulli ; limites et applications. (PC)

LP11 Notion de viscosité d’un fluide. Écoulements visqueux, nombre de Rey-nolds. Exemples simples. (PC)

LP12 Équations de bilan en mécanique des fluides : exemples et applications.(PC)

LP13 Modèle du gaz parfait. (MPSI ou PCSI)

LP14 Échanges énergétiques ; bilans d’énergie et d’enthalpie. (PCSI ou 1er CU)

LP15 Exemples de phénomènes irréversibles ; bilans d’entropie. (1er CU)

LP16 Application des deux premiers principes de la thermodynamique au fonc-tionnement des machines thermiques. (MPSI, PCSI ou 1er CU)

8 Tables des leçons et montages


LP17 Évolution et condition d’équilibre d’un système thermodynamiquefermé : potentiels thermodynamiques. (PC)

LP18 Étude thermodynamique d’un système constitué par un corps pur sousplusieurs phases. Exemples. (PCSI, PC ou 1er CU)

LP19 Notion d’état microscopique. Interprétation statistique de l’entropie.Exemples. (1er CU)

LP20 Facteur de Boltzmann. Applications. (1er CU)

LP21 Rayonnement d’équilibre thermique. Corps noir. Applications. (MP ou

1er CU)

LP22 Étude d’un phénomène de transport : conduction thermique ou diffusionde particules. Applications. (1er CU)

LP23 Conversion de puissance électromécanique. Exemples et applications.(PSI ou 1er CU)

LP24 Induction électromagnétique. Aspects énergétiques. Applications. (PC ou

1er CU)

LP25 Systèmes bouclés. Applications. (PSI ou 1er CU)

LP26 Traitement d’un signal électrique : filtrage linéaire. Étude spectrale.Exemples et applications. (PSI ou 1er CU)

LP27 Utilisation des propriétés de symétrie dans l’étude des champs électro-magnétiques. Exemples. (PC ou 1er CU)

LP28 Exemples simples de phénomènes de propagation unidimensionnels.Ondes progressives, ondes stationnaires. Aspects énergétiques. (PCSI, PC

ou 1er CU)

LP29 Ondes sonores dans les fluides. (PC)

LP30 Propagation dans un milieu dispersif ; vitesse de phase, vitesse degroupe ; paquets d’ondes planes et évolution. Exemples. (PC ou 1er CU)

LP31 Dispersion et absorption d’une onde électromagnétique plane dans unmilieu diélectrique. Modélisation microscopique. (PC)

LP32 Réflexion et réfraction d’une onde électromagnétique monochromatiqueplane à la surface de séparation entre deux milieux diélectriques linéaireshomogènes isotropes (1er CU)

LP33 Réflexion des ondes électromagnétiques planes à la surface d’un milieuconducteur. Effet de peau. (1er CU)

LP34 Propriétés et applications du rayonnement dipolaire électrique. (MP, PC)

LP35 Notion de rayon lumineux. Principe de Fermat. Conséquences. (1er CU)

LP36 Application des lois de l’optique à l’étude d’un instrument d’optique auchoix (lunette astronomique, télescope, appareil photographique, micro-scope). (1er CU)

Tables des leçons et montages 9


LP37 Obtention d’interférences à deux ondes en optique. Notion de cohérence.(PC ou 1er CU)

LP38 Interféromètres à division d’amplitude. Applications. (1er CU)

LP39 Diffraction de Fraunhofer. Applications. (1er CU)

LP40 Diffraction par des structures périodiques dans différents domaines spec-traux. (1er CU)

LP41 Le photon : la particule et ses interactions avec la matière. (1er CU)

LP42 Absorption, émission spontanée ou induite du rayonnement : coefficientsd’Einstein. Applications. (1er CU)

LP43 Dualité onde-corpuscule : relation de Louis de Broglie ; inégalités d’Hei-senberg. Applications. (1er CU)

LP44 Puits de potentiel : exemples et applications en physique quantique.(1er CU)

LP45 Confinement de l’électron et quantification de l’énergie dans les atomes.(1er CU)

LP46 Effet tunnel. Applications. (1er CU)

LP47 Le noyau : stabilité, énergie. (1er CU)

LP48 Comportement dynamique des systèmes couplés : oscillateurs à deux de-grés de liberté en mécanique classique, systèmes à deux niveaux d’énergieen physique quantique. Analogies et différences. (1er CU)

LP49 Cohésion de la molécule et des solides ; aspects énergétiques. (1er CU)

LP50 Chaîne linéaire infinie d’oscillateurs harmoniques. Modes propres. Ap-proximation des milieux continus. Aspects énergétiques. (1er CU)

LP51 Capacités thermiques : description, interprétations microscopiques.(1er CU)

LP52 Paramagnétisme, ferromagnétisme (approximation du champ moyen).(1er CU)

LP53 Propriétés macroscopiques des corps ferromagnétiques ; applications.(PC ou 1er CU)

LP54 Mécanismes de la conduction électrique. Loi d’Ohm. Effet Hall. Appli-cations. (1er CU)

LP55 Phénomènes de résonance dans différents domaines de la physique.(1er CU)

LP56 Exemples d’effets de non-linéarité sur le comportement d’un oscillateur.(1er CU)

10 Tables des leçons et montages

Codes et intitulés des montages

MP01 Dynamique newtonienne.

MP02 Tension superficielle.

MP03 Dynamique des fluides.

MP04 Thermométrie.

MP05 Transitions de phase.

MP06 Phénomènes de transport.

MP07 Phénomènes dissipatifs.

MP08 Formation des images en optique.

MP09 Interférences lumineuses ; conditions d’obtention.

MP10 Diffraction des ondes lumineuses.

MP11 Spectrométrie optique.

MP12 Milieux optiquement actifs : biréfringence et pouvoir rotatoire.

MP13 Production et analyse d’une lumière polarisée.

MP14 Émission et absorption dans le domaine optique.

MP15 Lasers.

MP16 Photorécepteurs.

MP17 Production et mesure de champs magnétiques.

MP18 Milieux magnétiques.

MP19 Métaux.

MP20 Matériaux semi-conducteurs.

MP21 Condensateurs ; effets capacitifs.

MP22 Induction, auto-induction.

MP23 Conversion de puissance électrique-électrique.

MP24 Conversion de puissance électromécanique.

MP25 Capteurs et transducteurs.

MP26 Mesure des tensions et des courants.

MP27 Amplification de signaux.

MP28 Télécommunication : mise en forme, transport et détection del’information.

MP29 Acquisition, analyse et traitement des signaux.

MP30 Mesure des fréquences temporelles (domaine de l’optique exclu).

MP31 Mesure de longueurs.

MP32 Asservissement d’une grandeur physique ; applications.

Tables des leçons et montages 11

Codes et intitulés des montages

MP33 Instabilités et phénomènes non linéaires.

MP34 Ondes et impédances.

MP35 Ondes acoustiques.

MP36 Résonance.

MP37 Oscillateurs.

MP38 Couplage des oscillateurs.

MP39 Filtrage.

MP40 Constantes physiques fondamentales ; unités.

Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Évaluation des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Tables des leçons et montages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Mécanique du point et des solides

Thème n◦1 Caractère non galiléen du référentiel terrestre . . . . . . . . . 17I. Dynamique dans le référentiel terrestre

II. Ordres de grandeurThème n◦2 Déviation vers l’est vue dans le référentiel géocentrique . . . . 29Thème n◦3 Les marées océaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

I. Théorie statique de Newton – Description et limitesII. Vers une théorie dynamique des marées

Thème n◦4 Le frottement et les 4×4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Thème n◦5 Vélo et effets gyroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I. Aspect intuitifII. Effet réel sur un vélo

Mécanique des fluides

Thème n◦6 Écoulement de Poiseuille et eau minérale . . . . . . . . . . . . 69Thème n◦7 Effet de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Thème n◦8 Expérience de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

I. Diffusion de particulesII. Diffusion de quantité de mouvement

Thème n◦9 Les vents géostrophiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89I. Équation de Navier-Stokes

II. L’approximation géostrophiqueIII. Cyclones et anticyclonesIV. Déstabilisation de l’écoulement en cyclones

Thermodynamique

Thème n◦10 Diffusion thermique chez les gros dinosaures . . . . . . . . . . 107Thème n◦11 Le vase Dewar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

I. Diffusion thermique dans les gazII. Pertes par diffusion thermique

III. Pertes par rayonnementThème n◦12 Refroidissement par désaimantation . . . . . . . . . . . . . . 125

I. Modèle microscopiqueII. Refroidissement

13

14 Table des matières

Thème n◦13 Transferts d’énergie dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . 134I. Bilans d’entropie dans un fluide

II. Transferts thermiques dans les fluidesIII. Application : l’anémomètre à fil chaud

Thème n◦14 Thermodynamique du contact entre deux solides . . . . . . . 148

Optique

Thème n◦15 Analogies entre optique géométrique et mécanique du point . 155Thème n◦16 Les mirages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

I. Étude qualitativeII. Mirages inférieurs. Convection de l’atmosphère

III. Mirages latérauxThème n◦17 Marche d’un rayon dans une fibre à gradient d’indice . . . . . 179Thème n◦18 Un piège optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Ondes et physique non linéaire

Thème n◦19 Propagation des vibrations dans une chaîne d’oscillateurs . . 191Thème n◦20 La couche anti-reflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

I. Coefficients de FresnelII. Traitement anti-reflet

Thème n◦21 Effets de la dispersion sur un paquet d’ondes . . . . . . . . . 210I. Paquet d’ondes dans un milieu non dispersif

II. Introduction au concept de dispersionIII. Milieux faiblement dispersifs – DéformationIV. Lien dispersion/dissipation

Thème n◦22 Propagation des solitons dans les fibres . . . . . . . . . . . . 233I. Approche qualitative des effets non linéaires

II. Instabilité modulationnelle de Benjamin-FeirIII. Enveloppe du soliton – Analogies mécaniques

Thème n◦23 Oscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243I. Montage à résistance négative

II. Diagramme de bifurcationIII. Déformation du cycle, oscillations de relaxationIV. Régime fortement non linéaire

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Thème d’étude n◦1

Caractère non galiléendu référentiel terrestre

Le but de ce problème est d’établir pas à pas l’équation de la dynamique d’un pointmatériel dans le référentiel terrestre. Les manifestations du caractère non galiléen dece référentiel seront approfondies dans les thèmes d’étude n◦3 (sur les marées) et n◦9(sur les vents).

La leçon la plus directement concernée par ce problème est LP03.

ÉNONCÉ

I. DYNAMIQUE DANS LE RÉFÉRENTIEL TERRESTRE

Dans un premier temps, on s’intéresse à la dynamique du référentiel géocentrique dans leréférentiel de Copernic.

1. Définir le référentiel de Copernic, noté Rc, ainsi que le référentiel géocentrique, notéRg.

2. Déterminer l’échelle de temps sur laquelle ces deux référentiels peuvent être considé-rés comme galiléens.

3. Préciser la nature du mouvement de Rg par rapport à Rc.

4. Écrire l’équation décrivant la dynamique du référentiel géocentrique dans le référentielRc et montrer que

a(T)Rc ' G(T) , (1.1)

où

• a(T)Rc est l’accélération du centre de la Terre T dansRc ;

• G(T) est la résultante du champ gravitationnel exercé par l’ensemble des astresdu système solaire au centre de la Terre.

On justifiera très soigneusement l’approximation qui a été faite pour aboutir à la for-mule (1.1).

5. Identifier l’accélération d’entraînement deRg par rapport àRc.À présent, on s’intéresse à la dynamique d’un point matériel, noté M, de masse m,dans le référentiel géocentriqueRg. On note :

• G0(M) le champ gravitationnel exercé seulement par la Terre au point M ;

18 Mécanique du point et des solides Partie I

• G(M) la résultante du champ gravitationnel exercé au point M par tous les astresautres que la Terre (Soleil, Lune, Jupiter...) ;

• f la résultante de toutes les forces extérieures s’appliquant en M autres que lesforces d’origine gravitationnelle.

6. Écrire l’expression du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel géo-centriqueRg.

7. Définir le référentiel terrestre, notéRt. On notera ωT le vecteur rotation du référentielterrestre par rapport au référentiel de Copernic. Que dire de ωRt/Rg ?

8. Définir la notion de jour sidéral et de jour solaire moyen. Quelle est l’origine physiquede la différence entre ces deux notions ? Préciser le sens de l’adjectif moyen dans « joursolaire moyen ».

9. |ωT| est-il défini à partir du jour sidéral ou bien à partir du jour solaire moyen ?

10. Dans la suite, nous supposerons que ωT est un vecteur constant dans le temps. Présen-ter quelques sources de variation du vecteur rotation ωT. Donner l’échelle de variationde l’évolution de ωT associée à chacune de ces causes.

11. De l’étude précédente, déduire que l’expression du principe fondamental de la dyna-mique dans le référentiel terrestre s’écrit

ma(M)Rt = f +m(G0(M)−ae)− 2mωT ∧v(M)Rt +m(G(M)−G(T)) , (1.2)

où ae est l’accélération d’entraînement du référentiel terrestre par rapport au référen-tiel géocentrique.

II. ORDRES DE GRANDEUR

1. Commenter physiquement chaque terme du membre de droite de l’équation (1.2) (àl’exception de f , dont la signification est précisée dans l’énoncé).

2. Force centrifuge f ent = −mae.

(a) Préciser l’évolution de cette force avec la latitude λ.

(b) Donner l’ordre de grandeur de la correction apportée par l’accélération d’entraî-nement. Évaluer le rapport f ent/f0, où f0

def= mG0.

3. Force de Coriolis

À partir de quelle vitesse typique la correction de Coriolis devient-elle du mêmeordre que la correction précédente, due à l’accélération d’entraînement?

M

Astre

A

RT

T

Terre

d

Thème n◦1 Caractère non galiléen du référentiel terrestre 19

4. Force de marée

(a) Estimer simplement l’ordre de grandeur de

δmaréedef= |G(M)− G(T)|

en fonction de la constante de gravitation G, de la masse de l’astreMa situé à ladistance dTA du centre de la Terre, et du rayon de la Terre RT.

(b) Déterminer l’ordre de grandeur de δmarée dans le cas de la Lune, du Soleil et deJupiter. On rappelle ci-dessous les données d’astronomie nécessaires à l’estima-tion des ordres de grandeur.On rappelle que RT ' 6400 km et MT ' 6.1024 kg.

(c) Justifier que les planètes du système solaire ont une influence négligeable sur laforce de marée.

Soleil Lune JupiterdTA (en unité de rayon RT) ∼ 23400 ∼ 60.1 ∼ 93750

Ma (en unité de masse de la Terre) 3, 3.105 1, 23.10−2 318

Tab. 1.1 – Données d’astronomie nécessaires à l’estimation des ordres de grandeur.

Corrigé

Pour une approche plus généraliste, nous recommandons la lecture des ouvrages deH. Gié et al. [GS95b] d’une part et de P. Brasselet [Bra00] d’autre part pour ce quiconcerne la mécanique du point. Les ouvrages de H. Gié et al. [GS96] et de J.-P. Pérez[Pér97] pourront s’avérer précieux lorsqu’il s’agira d’approfondir la mécanique dusolide.

I. Dynamique dans le référentiel terrestre

1. Définition du référentiel de Copernic Rc et du référentiel géocentrique Rg

L’origine du référentiel de Copernic coïncide avec le centre du système solaire (ap-proximativement, le centre du soleil, noté S), et ses axes sont dirigés vers trois étoileslointaines et fixes au sein de la galaxie.

Le référentiel géocentrique Rg a pour origine le centre de la Terre, noté T, et ses axessont constamment parallèles à ceux du référentiel de Copernic Rc .

2. Caractère galiléen du référentiel de Copernic et du référentiel géocentriqueOn rappelle que le principe d’inertie de Galilée (première loi de Newton) postulel’existence de référentiels privilégiés en mécanique vis-à-vis desquels un point matérielisolé effectue un mouvement de translation rectiligne uniforme. De tels référentielssont dits galiléens.


Le référentiel Rc peut être supposé galiléen tant qu’on néglige la dynamique du soleilau sein de sa galaxie, la Voie Lactée, analysée dans le référentiel galactocentriqueRVL, ayant pour origine le centre de la galaxie. L’ordre de grandeur de la périodede révolution du Soleil au sein de la Voie Lactée est de T ∼ 200 millions d’années.Ainsi, dans une très bonne approximation, on peut supposer que Rc est un référentielgaliléen tant que l’échelle de temps τ des phénomènes étudiés est très inférieure à T.

La dynamique de Rg par rapport à Rc s’effectue sur la période de révolution Trev

d’une année. En première approximation, Rg peut être supposé galiléen si τ � Trev.On verra néanmoins que ce critère s’avère insuffisant dans l’interprétation du phéno-mène de marées.

3. Mouvement de Rg par rapport à Rc

Le référentiel géocentrique Rg exécute un mouvement de translation elliptique parrapport à Rc , ses axes étant constamment parallèles à ceux de Rc . Compte tenude la faible excentricité de l’orbite elliptique, e = 0, 017, le mouvement de révolutionde Rg par rapport à Rc est, dans une première approximation, bien décrit par unetranslation circulaire.

Étoile 2

Étoile 3

Étoile 1

Soleil

(Rg)zc

yg = yc

yc

(Rc) xg= xc

zg = zc

Terre

xc

Orbite de révolution (elliptique, quasi-circulaire)de (Rg) par rapport à (Rc)

4. Dynamique de Rg dans Rc

On établit l’équation du mouvement de la Terre dans Rc en appliquant le théorèmede la résultante dynamique dans Rc supposé galiléen. Celui-ci stipule que

dpRc(t)

dt= Rext , (1.3)

où

• Rext constitue la résultante des forces extérieures s’exerçant sur le solide Terre ;

• pRc(t) la quantité de mouvement de l’ensemble de la Terre.

Explicitons le membre de gauche de (1.3) en exploitant la définition du centre demasse et la loi de composition des vitesses,

dpRc(t)

dt=

d

dt

∫

Terre

v(M, t)Rcdm

=d

dt

∫

Terre

v(T, t)Rcdm+

d

dt

∫

Terre

v(T, t)Rgdm.


Compte tenu que Rg est le référentiel barycentrique de la Terre,

d

dt

∫

Terre

v(T, t)Rgdm = 0 ,

de sorte quedpRc

(t)

dt= mTa(T)Rc

.

À présent, étudions le membre de droite de l’équation (1.3). Notons Ga(M) le champgravitationnel exercé par l’astre Aa en un point M de la Terre. Notons G(M) larésultante du champ gravitationnel exercé par tous les astres au point M. Ce champG(M) est simplement défini par

G(M) =∑(a)

Ga(M).

La résultante des forces gravitationnelles exercées sur la Terre se calcule comme

Rext =

∫

Terre

dmG(M) =

∫

Terre

d3r ρ(r) G(r)

où ρ(r) est la densité volumique de masse.À ce stade, on effectue un développement limité de G(M) au voisinage du centre dela Terre T. En ne conservant que le terme du premier ordre, ce développement prendla forme simplifiée suivante :

Rext '∫

Terre

dmG(T) +

∫

Terre

dm (MT · ∇)G(M)T + termes d’ordre supérieur .

On peut montrer rigoureusement (nous ne le ferons pas ici) que dans le cadre del’hypothèse d’une Terre parfaitement sphérique, tous les termes du développementlimité sont nuls à l’exception du premier. Nous renvoyons pour cela à la correctionde A. Boussié de l’épreuve A de l’Agrégation de physique de 1999 [Bou00]. Deséléments concernant le développement multipolaire du champ gravitationnel figurentdans l’ouvrage de mécanique de J.P. Pérez [Pér97], chapitre 6, p. 74–76.Ainsi, dans le cas où la Terre est supposée sphérique,

Rext '∫

Terre

dmG(T) ' mTG(T) ,

de sorte que le théorème de la résultante dynamique conduit à

a(T)Rc' G(T) (1.4)

Remarque

Il nous semble important d’insister sur ce qui, dans l’équation (1.4), relève

• de l’application d’un théorème ; le théorème de la résultante cinétique imposeque

P(t) =

∫v(M, t) dm = Mv(G, t)

en notant G le centre de gravité d’un solide ;


• d’une approximation : c’est parce qu’on suppose que la Terre est à répartitionsphérique de masse qu’on peut réduire la résultante des forces gravitationnellesà celle s’exerçant seulement au centre de gravité du solide.

5. Accélération d’entraînement de Rg par rapport à Rc

Le référentiel géocentrique Rg étant en translation par rapport à Rc , l’accélérationd’entraînement ae est l’accélération du centre de masse de la Terre dansRc

1. En effet,

ae = a(T)Rc+

dωRg /Rc

dt∧TM + ωRg /Rc

∧(ωRg /Rc

∧TM)

= a(T)Rc

car ωRg /Rc= 0, les référentiels Rg et Rc étant en translation l’un par rapport à

l’autre.

ae = G(T) (1.5)

6. Expression du principe fondamental dans Rg

Le référentiel géocentrique Rg , effectuant un mouvement de translation quasi-circu-laire par rapport àRc , n’est donc pas galiléen. La loi de composition des accélérationspermet d’écrire la dynamique, dans Rg , d’un point M de masse m :

ma(M)Rg= ma(M)Rc

−mae −ma(M)cor ,

où a(M)cor est l’accélération de Coriolis de Rg par rapport à Rc . Notons que

a(M)cor = 0

compte tenu du fait que Rg n’a aucun mouvement de rotation par rapport à Rc . Enreprenant les notations de l’énoncé, le théorème de la résultante dynamique appliquédans Rc s’écrit :

ma(M)Rc= m

(G0(M) + G(M)

)+ f .

Compte tenu de l’expression de ae établie en (1.5), le principe fondamental de ladynamique dans Rg conduit à

ma(M)Rg= mG0(M) + f +m

(G(M) − G(T)

)(1.6)

Remarque

En toute rigueur, l’équation (1.6) doit s’écrire

ma(M)Rg= m(G0(M)− G0(T)) + f +m

(G(M)− G(T)

).

1La Terre étant supposée sphérique, l’approximation devient exacte


On montre facilement, en appliquant le théorème de Gauss, que le champ gravita-tionnel G0(M) créé par la Terre identifiée à une distribution sphérique homogène demasse vaut

G0(M) = −GmT

RT3 r

à l’intérieur de la Terre (pour r 6 R), où RT est le rayon terrestre et G la constantede gravitation universelle. Par suite, G0(T) = 0, ce qui justifie l’expression (1.6).

7. Définition du référentiel terrestreL’origine de Rt est confondue avec le centre de la Terre T. Le référentiel Rt esten rotation par rapport au référentiel de Copernic Rc à la pulsation ωT. La loi decomposition du vecteur rotation impose que ωRt/Rg

= ωRt/Rc+ ωRc/Rg

. De plus,ωRc/Rg

= 0 et donc ωT = ωRt/Rg.

8. Définition du jour solaire moyen et du jour sidéral

(a) Jour sidéral : on le définit comme la période de rotation, notée Tsid, du référentielterrestre Rt par rapport au référentiel géocentrique Rg .

Tsid = 23 h 56 min = 86 164 s

(b) Jour solaire moyen : on définit, en revanche, le jour solaire moyen comme lapériode moyenne, notée Tjsm entre deux pasages du soleil au zénith (point le plushaut dans le ciel). C’est elle qui fixe la durée temporelle d’une journée : Tjsm =24 h = 86400 s. Cette période est légèrement supérieure à celle du jour sidéral car ilfaut tenir compte du mouvement de révolution de la Terre autour du soleil, en plusdu seul mouvement de rotation propre (fixant, quant à elle, la période sidérale). Onpourra se reporter ici à l’ouvrage de P. Brasselet [Bra00], chapitre 6, p. 176. L’adjectifmoyen de l’expression jour solaire moyen implique que l’on moyenne l’expressiondu jour solaire (le surplus de temps par rapport au jour sidéral dû au mouvementde révolution) sur l’orbite légèrement elliptique de la Terre autour du Soleil. Si latrajectoire avait été rigoureusement circulaire, l’opération de moyenne eût été inutile.

9. Définition de |ωT|On définit ωT à partir du jour sidéral

ωT =2π

Tsid

= 7, 29.10−5 rad.s−1

10. Causes de variation de ωT

Si dans la suite du problème nous supposerons que le vecteur rotation ωT est constant,il est néanmoins important de garder à l’esprit qu’il s’agit là d’une approximation.Cette approximation est, nous allons le montrer, tout à fait légitime. Citons quelquessources de variation de ωT.


(a) Variation de la direction de ωT – Effet gyroscopique et précession des équinoxesLa Terre est un solide en rotation dont l’hypothèse d’une répartition sphériquede masse est généralement suffisante pour décrire le mouvement d’ensemble. Ri-goureusement, la Terre n’est pas sphérique et possède un degré d’aplatissement

ηdef= (re − rp)/re ' 1/300, où re et rp sont respectivement les rayons terrestres

à l’équateur et aux pôles. Une conséquence directe de l’asphéricité du globe terrestreest l’existence d’un moment résultant non nul des forces gravitationnelles de marée2

exercées, essentiellement par le Soleil et la Lune, sur la Terre. La Terre se comporteainsi comme un gyroscope déséquilibré.

La théorie des solides en rotation nous permet d’affiner la description du mouvementde la Terre dans le système solaire, et de comprendre l’existence d’un troisième mou-vement de la Terre, en plus de ceux de révolution et de rotation propre : le mouvementde précession de l’axe de rotation ωT autour de la normale au plan de l’écliptique3

comme réponse à l’existence du moment non nul des forces gravitationnelles. Cet effetgyroscopique modifie la direction du vecteur rotation ωT, sans toucher toutefois àson module, sur une échelle de temps de l’ordre de 256 siècles. Cette échelle de tempsmontre, en particulier, qu’il est tout à fait légitime de se placer dans l’approximationgyroscopique : en effet Trotation/Tprecession ∼ 10−7 � 1.

Pour une étude à la fois simple et profonde des effets gyroscopiques dans le domainemacroscopique, nous renvoyons le lecteur au chaptitre VII de l’ouvrage de mécaniquede D. Sivoukhine [Siv82a], chapitre 7, p. 246–266 ainsi qu’à l’ouvrage de H. Gié etal. [GS96], chapitre 9, p. 16–172 pour une présentation introductive. Dans un soucid’approfondir la compréhension du phénomène de précession des équinoxes, entrevudans cette question, nous conseillons la lecture de l’ouvrage de J.P. Pérez [Pér97],chapitre 26, p. 388-389 ainsi que celle de l’ouvrage de référence de H. Goldstein[Gol80], chapitre 5, p. 225-232.

(b) Variation du module de ωT – Effets dissipatifs associés au phénomène de maréeDes processus de frottement visqueux sont mis en jeu lors du mouvement de marée desocéans. On peut montrer que l’existence de ces effets dissipatifs a pour conséquencel’augmentation de la valeur du jour sidéral au cours du temps. Nous n’entrerons pasdans les détails de ce processus qui mériterait une étude analytique à part entière etpréférons renvoyer le lecteur à l’épreuve A de l’Agrégation de Physique 1999 [Bou00]qui aborde ce problème de façon très pertinente et qui montre comment cet effetconduit au fil des siècles à la synchronisation de la période de rotation propre de laTerre sur celle de révolution de la Lune autour de la Terre4.On pourra également consulter l’exercice Évolution à long terme du système Terre-Lune proposé par P. Brasselet [Bra00], p. 219–220 dans son ouvrage de mécanique.

(c) Mouvements d’« avalanches de manteau »La durée du jour terrestre peut également être modifiée par des mouvements dumanteau terrestre appelés « avalanches de manteau » . Lorsque des roches densesplongent vers le centre de la Terre, son moment d’inertie diminue et la durée du

2Nous renvoyons le lecteur au problème 1.8 consacré à l’étude des marées, proposé dans cetouvrage.

3On rappelle que le plan de l’écliptique est le plan dans lequel s’effectue le mouvement de révo-lution de la Terre autour du Soleil.

4Ceci explique aussi la synchronisation des satellites de Jupiter, dont la période de rotationpropre est calée non seulement sur celle du mouvement de révolution autour de Jupiter, mais encoresur celle du mouvement de rotation propre de Jupiter dans le référentiel jupiterocentrique.


jour rapetisse. Ces événements se sont produits au cours du Cénozoïque il y a 65millions d’années. Pour approfondir le phénomène d’avalanche, nous renvoyons àl’article [MT02] ou le site de P. Machetel :

http://www.dstu.univ-montp2.fr/PERSO/machetel/avalanches-dynamique.html

11. Principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre Rt

Le référentiel terrestre n’étant pas en translation rectiligne uniforme par rapport àRc , il n’est pas galiléen. Aussi, dans le référentiel terrestre Rt , la dynamique d’unpoint matériel M, de masse m, animé d’une vitesse v(M, t)Rt

et d’une accélérationa(M, t)Rt

s’écrit-elle

ma(M, t)Rt= ma(M)Rg

−ma(M, t)e −ma(M, t)cor ,

où a(M, t)e et a(M, t)cor sont respectivement les accélérations d’entraînement et deCoriolis de Rt par rapport à Rg , exprimées localement au point M, à l’instant t.Explicitons chacune des forces d’inertie :

• Force d’inertie d’entraînement :

fent = −ma(M, t)e = −(mωT ∧ (ωT ∧TM) +m

dωT

dt

∣∣∣∣Rg

∧TM).

En négligeant les variations séculaires de ωT, la force d’inertie d’entraînementse réduit à la simple force centrifuge

fent = −mωT ∧ (ωT ∧TM).

• Force d’inertie de Coriolis :

fcor = −2mωT ∧ v(M, t)Rt.

Compte tenu de l’expression (1.6) du principe fondamental de la dynamique dans leréférentiel géocentrique, on en déduit que

ma(M, t)Rt= f + m

`G0(M) − ae(M, t)

´− 2m ωT ∧ v(M, t)Rt

+ m`G(M) − G(T)

´(1.7)

On insistera sur le fait que

• le terme m (G(M)− G(T)) trouve son origine dans le passage de Rc à Rg ;

• les termes mae(M, t) et 2mωT ∧ v(M, t)Rtsont issus du passage de Rg à Rc .


II. Ordres de grandeur

1. Différents termes de l’équation (1.7)

• Le terme ae(M, t) traduit l’effet d’entraînement de rotation de Rt par rapportà Rg (ou par rapport à Rc ). Notons dès à présent que l’effet de ce terme estde corriger la valeur du champ gravitationnel G0(M) créé par la Terre en M.Indépendant de la vitesse v(M, t)Rt

du point matériel M dans Rt , le termeae(M, t) contribue à corriger l’étude statique de M dans Rt et entre dans laconstruction du poids P du point matériel dans Rt .

• Le terme −2mωT ∧ v(M, t)Rt, exprimant la force de Coriolis s’exerçant sur M

dans Rt , ne modifie, quant à lui, que la dynamique de M.

• Le terme m(G(M) − G(T)

)est une force effective qui constitue la signature

du caractère non galiléen du référentiel géocentrique à travers l’accélérationd’entraînement G(T) de Rg dans Rc . On retrouve a fortiori cette composantedans le principe fondamental exprimé dans Rt . Cette force différentielle définitla force de marée. Elle est la conséquence du caractère non homogène du champgravitationnel exercé dans le voisinage de la Terre. En effet, si G(M) étaitparfaitement homogène à l’échelle de la Terre, alors G(M) serait égal à G(T),ce qui annulerait la force de marée. On notera également que ce terme de maréeentre aussi dans la construction du poids P.

À présent, nous nous proposons de classer ces différents termes correctifs par ordred’importance en les comparant au terme prépondérant |G0(M)| ∼ 10 m.s−2. Poursimplifier, nous nous placerons dans le cas d’une chute libre, de sorte que f = 0.

2. Force d’inertie d’entraînement : f ent = −mae

(a) Évaluation de ae en fonction de la latitude λ

|ae(M, t)| = |ωT ∧ (ωT ∧TM)| = RT|ωT|2 cosλ

où λ est la latitude du point M. On vérifie que ae est d’autant plus forte qu’on serapproche de l’équateur (λ→ 0), ce qui explique que les fusées soient lancées à partirde centres situés dans des régions équatoriales (Kourou en Guyane par exemple).

ey

ωT

e2

e1

λ

e3

ex

ez


(b) Ordre de grandeur de |ae(M, t)|Compte tenu que RT ∼ 6400 km et que |ωT| ∼ 7.10−5 rad.s−1, on déduit que

|ae(M, t)| ∼ 10−2 m.s−2 de sorte que|G0|

|ae(M, t)| ∼ 103.

3. Force de Coriolis

|ωT ∧ v(M, t)Rt| ∼ 7.10−5|v(M, t)Rt

|m.s−2 .

Ceci montre que les corrections de Coriolis et d’entraînement sont du même ordrede grandeur pour |v(M, t)Rt

| ∼ 100 m.s−1. Dans le cas où |v(M, t)Rt| ∼ 10 m.s−1, il

apparaît que

|acor(M, t)||G0|

∼ 10−4.

4. Force de marée

(a) Estimation de δmarée

Pour estimer simplement l’ordre de grandeur de l’amplitude du champ différentielde marée |G(M) − G(T)|, on considère un point M aligné avec T et A, centre del’astre générateur du champ de marée (typiquement la Lune ou le Soleil). On note

dTAdef= TA. Dans ce cas,

|G(M)− G(T)| = GMa

( 1

MA2− 1

TA2

)

= GMa

(1

(dTA −RT)2− 1

dTA2

)

|G(M)− G(T)| ∼ GMa

dTA2

(1

(1−RT/dTA)2− 1

).

Comme RT � dTA, il est légitime de faire un développement limité au premier ordrede l’expression précédente. Celui-ci conduit à

δmaréedef= |G(M)− G(T)| ∼ 2

GMaRT

dTA3 (1.8)

(b) Ordre de grandeur de δmarée

Le tableau 1.2 estime l’ordre de grandeur du champ de marée créé par la Lune, leSoleil, et Jupiter (planète la plus massive du système solaire), ainsi que la comparaisonpar rapport au champ de marée créé par la Lune.

Astre Lune Soleil Jupiterδmarée (en 10−6 m.s−2) 1, 1 0, 50 7, 5.10−6

δmarée/δLunemarée 1, 0 0, 45 6, 86.10−6

Tab. 1.2 – Ordre de grandeur de l’amplitude du champ de marée pour différentsastres.


On retiendra que le champ de marée s’exerçant au voisinage de la Terre est principa-lement dû à la contribution de la Lune et du Soleil. Le tableau 1.2 permet d’entrevoirque les autres planètes du système solaire n’ont qu’une contribution mineure qu’ilest légitime de négliger. On retiendra également que la contribution de la Lune estenviron deux fois plus importante que celle du Soleil, bien que MLune � MSoleil.Dans la formule (1.8), la masse intervient au numérateur à la puissance 1 tandisque la distance intervient au dénominateur à la puissance 3. La proximité de l’astreest donc cruciale dans l’estimation de l’amplitude du champ de marée. Notons queVénus, planète la plus proche de la Terre située à une distance d’environ 6500 RT,de masse MVénus = 0, 82 MT, exerce un champ de marée d’amplitude 9.10−11m.s−2,donc non pertinent.


Déviation vers l’est vue dansle référentiel géocentrique

L’analyse de la déviation vers l’est habituellement abordée en premier cycle univer-sitaire consiste à étudier la dynamique dans le référentiel terrestre non galiléen et demontrer comment la force de Coriolis est responsable de la déviation vers l’est. À cestade, deux techniques existent.

• La première, la moins intéressante de notre point de vue, consiste à déroulerpas à pas le calcul à partir du principe fondamental exprimé dans Rt.

• La seconde méthode, plus fine, consiste à aborder ce problème sous l’angle d’unetechnique perturbative, méthode la plus adaptée compte tenu du rôle correctifjoué par le force de Coriolis. Ici, nous renvoyons le lecteur au premier tomede mécanique de l’ouvrage de H. Gié et al. [GS95b], chapitre 9, p. 103–104 ouencore au tome de mécanique de D. Sivoukhine [Siv82a]1.

Ici, nous étudierons le problème de la déviation vers l’est du point de vue du référentielgéocentrique supposé galiléen sur l’échelle de temps de l’expérience. Nous montreronsainsi qu’il est possible d’interpréter la déviation vers l’est sans invoquer la force deCoriolis, mais simplement en exploitant les propriétés du mouvement à force centralede la chute libre dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

Les leçons concernées par ce problème sont LP01 et LP03.

ÉNONCÉ

Dès 1791, les expériences de chute libre que Guglielmini réalisa du sommet des tours deBologne ont été mises à profit pour tester le caractère non galiléen du référentiel terrestre.À cette date, la notion de force de Coriolis n’existait pas2. Ces expériences, reprises ulté-rieurement par Reich dès 1831 à Freiberg en Allemagne consistaient à lâcher une balle audessus d’une mine de profondeur h0 = 158, 5 m et de relever le point d’impact au sol. Sui-vant l’hypothèse du caractère galiléen du référentiel terrestreRt, la direction de la trajectoirede la balle aurait dû être confondue avec la verticale au sol passant par le point de lâcher.Au contraire, Reich observa une déviation vers l’est de 2.8 cm. Des expériences similairesont été reproduites par Hall, à Harvard, en 1902 et par Flammarion en 1903, à Paris sous lacoupole du Panthéon.

Sur le tableau 2.1, nous avons reproduit les données relatives aux différentes campagnesd’expériences.

1On pourra lire l’étude remarquable du pendule de Foucault.2Gaspard Gustave Coriolis (1792 – 1843).


Les marées océaniques

Dans ce problème, nous étudierons, dans un premier temps, le modèle statique queNewton proposa pour interpréter le phénomène de marée. Nous montrerons commentun tel modèle se trouve dans l’incapacité d’expliquer l’existence de marées de forteamplitude, telles que celles existant dans la baie de Fundy au Canada, ou au MontSaint-Michel, en France. Une interprétation plus satisfaisante est à rechercher dansune théorie dynamique, ce que nous aborderons dans une deuxième partie.

Les leçons concernées par ce problème sont LP03, LP30 et LP55.

ÉNONCÉAvertissement : Cette étude constitue un prolongement naturel du problème 1 (page 17)présenté au début de cette partie de l’ouvrage.

I. THÉORIE STATIQUE DE NEWTON – DESCRIPTION ETLIMITES

On note ϕA(M) le champ gravitationnel exercé par l’astre A, de centre A et de masse mA,au voisinage d’un point M situé à la surface de la Terre. On repère ce point M à l’aide du jeude coordonnées polaires (r def

= TM, θ). On suppose que la Terre est une sphère de centre T,de masse mT et de rayon RT. On supposera que la répartition de masse est homogène.On se reportera à la figure 3.1 pour les notations.

A

d

eθ

T

er

astre

M

θ

Fig. 3.1 – Repérage du point M par rapport à T et A.

1. Définir le champ de marée CA(M) exercé par l’astre A au voisinage du point M.2. Sur la base d’approximations à proposer et à justifier, montrer que le champ de marée

CA(M) exercé par l’astre A s’écrit :

CA(M) ' GmA

d3

(3TA

d2(TA ·TM)−TM

)où d

def= TA .


Le frottement et les 4×4


ÉNONCÉLe but de cet exercice est de comprendre l’influence du frottement sur la pente maximaleque peut gravir un véhicule. Nous allons ici commencer par modéliser une voiture possédantdeux roues motrices en la découpant en deux. D’une part, l’essieu avant supporte le poids dumoteur et d’autre part, l’essieu arrière supporte le reste du poids du véhicule. Afin de faciliterla visualisation du lieu d’action des forces, ces deux parties sont reliées entre elles par unebarre.Nous assimilerons les coefficients de frottement statique et solide1. La répartition des massessur une voiture de massem est la suivante :m1 = 2/3m à l’avant etm2 = 1/3m à l’arrière.Dans la suite, nous considérerons que la route fait un angle α avec l’horizontale.

PSfrag replacementsα

Fig. 4.1 – Modélisation du véhicule.

1. Équation du mouvement

(a) Faire un bilan des forces s’exerçant sur la voiture au moment du démarrage.(b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à chaque partie du véhicule.

On obtiendra alors un système de quatre équations.

2. Simplification du système

(a) Rappeler les lois d’Amontons sur le frottement ainsi que la loi de Coulomb dansle cas d’un frottement statique. Quelle est la condition donnée par la loi de Cou-lomb entre les différentes composantes de la réaction de la route ?

(b) Rappeler la notion de liaison parfaite en mécanique du solide. Déterminer lacondition sur l’angle de la route pour que la voiture puisse démarrer en supposantque la liaison roue arrière–bitume est parfaite.

1La différence entre ces deux coefficients est souvent faible.


Vélo et effets gyroscopiques


ÉNONCÉ

I. ASPECT INTUITIF

Modélisons une roue de vélo par un cercle sur lequel toute la masse est concentrée. Nousallons tout d’abord, par un raisonnement simple, essayer de comprendre les mouvementsquelque peu déroutants d’un gyroscope. Dans cet exercice, nous nous placerons dans lecadre de l’approximation gyroscopique : toutes les vitesses considérées seront faibles parrapport à la vitesse de rotation de la roue suivant son axe principal d’inertie (Ox).

PSfrag replacementsω

z

x

y

Fig. 5.1 – Notations.

1. On se place dans le référentiel R du laboratoire, supposé galiléen et muni du repère(Oxyz). La roue de centre O tourne à la vitesse angulaire ω = ωex. Considérer àl’instant t un petit élément de la roue dans le plan (Oxy). Dessiner alors son vecteurvitesse.On décide de faire tourner la roue suivant l’axe (Oz) à la vitesse angulaire θez. Déter-miner alors le nouveau vecteur vitesse de l’élément considéré à t + dt. En supposantque le cercle suive cette nouvelle direction, déterminer autour de quel axe a réellementtourné la roue.

2. Notons I = mR2 le moment d’inertie de la roue suivant son axe de rotation (confonduà t = 0 avec (Ox)). On impose un couple Γ suivant (Oz) : Γ = Γez. Appliquer lethéorème du moment cinétique dans le référentielR du laboratoire.

3. Décomposer l’équation précédente dans le référentiel ∆ associé à la roue. En déduirel’orientation du vecteur de rotation de l’axe de la roue : ω∆/R et comparer le résultatà celui de la question 1.


Écoulement de Poiseuille et eau minérale


ÉNONCÉLe but ici est de comprendre pourquoi certains producteurs d’eaux minérales des Alpes ai-meraient changer la législation au sujet de la salinité de l’eau. En effet, le distributeur se doitde garantir au consommateur la vente d’une eau n’ayant subi aucun traitement. Or, depuisl’explosion du tourisme des sports d’hiver, les routes ont été déneigées en utilisant du sel,qui passe progressivement dans la nappe phréatique. Cette eau peut alors devenir impropreà la consommation et nécessiter un traitement avant sa commercialisation. Éliminer le selde la nappe phréatique contraindrait alors les fabricants à retirer l’appellation « eau miné-rale ». À l’aide d’un modèle simple d’écoulement, nous allons déterminer le temps que metce sel pour passer dans la nappe phréatique située 1000 m sous la route. On supposera qu’ilexiste une communication entre la nappe phréatique et l’extérieur, de sorte que les pressionsà l’intérieur et à l’extérieur sont identiques.

PSfrag replacements

Ruissellement

Nappe phréatique

h = 1000 m

Eau minérale

Ruissellement

Fig. 6.1 – De la route à la nappe phréatique.

Dans un premier temps, commençons par modéliser le milieu granulaire, composé de rochescalcaires, par des capillaires de longueur h = 1000 m et d’un diamètre de 1 µm. L’eau seraici considérée comme un fluide newtonien incompressible, de viscosité dynamique η.

1. Rappeler en quoi consiste les hypothèses de fluide newtonien et d’écoulement incom-pressible.

2. Ecrire l’équation de Navier-Stokes et l’équation de conservation de la masse pour l’eausituée dans le capillaire.


Effet de sol


ÉNONCÉL’effet de sol se présente lorsqu’un aéroplane se rapproche du sol. S’il est suffisammentproche, sa portance augmente et l’empêche d’atterrir. Sur des modèles réduits, on assistemême fréquemment à des rebonds de l’appareil lors de l’atterrissage. Pour comprendre cephénomène, dans un premier temps, nous allons étudier le deltaplane, un exemple parti-culièrement simple d’aéroplane. Il s’agit d’une toile triangulaire tendue sur une armaturemétallique qui a pour but de dévier l’air vers le bas et ainsi de pouvoir faire voler un homme.

Fig. 7.1 – Principe d’une aile delta.

Pour comprendre le phénomène d’effet de sol, nous allons faire un bilan de quantité demouvement sur la surface de contrôle délimitée en pointillés dessine sur la figure 7.2. Lahauteur h de fluide sera un paramètre à déterminer. L’air sera considéré comme un fluideparfait en écoulement incompressible.

1. Quelles sont les hypothèses du fluide parfait ? Dans quelle mesure ces hypothèses voussemblent justifiées ?

2. Rappeler la loi de la résultante cinétique dans le cadre des systèmes ouverts.

3. On supposera que l’aile est rectangulaire de longueur L = 15 m. Faire un bilan dequantité de mouvement et trouver l’expression de la force exercée par le deltaplanesur l’air.

4. Décomposer la force exercée par l’air sur le deltaplane en deux parties, l’une appeléetraînée qui freine l’aile et l’autre appelée portance qui permet la sustentation. Exprimerces deux composantes en fonction des données du problème.


Expérience de Stokes

Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP11, LP22 et MP03 (hydro-dynamique).

ÉNONCÉ

I. DIFFUSION DE PARTICULES

On place dans du glycérol quelques gouttes d’encre faites de glycérol coloré, de même den-sité. Afin de trouver l’ordre de grandeur du temps de diffusion de l’encre, nous réduirons leproblème à une seule dimension (Ox). En injectant à t = 0 du glycérol coloré en x = 0,nous étudierons l’évolution de la concentration locale c(x, t) en glycérol coloré.

PSfrag replacements

O x

Fig. 8.1 – Diffusion à une dimension.

1. Rappeler la loi de Fick et le cadre d’application de cette loi. On se limitera à unegéométrie unidimensionnelle.

2. Faire un bilan de matière en notant j(x, t) le courant de glycérol coloré. Montrer alorsque la concentration satisfait à l’équation de diffusion :

D∂2c(x, t)

∂x2=∂c(x, t)

∂t.

3. Résoudre cette équation différentielle et montrer que la concentration suit la loi d’évo-lution :

c(x, t) =C√

4πDte−x

2/4Dt .

où C est une constante déterminée par la condition initiale : c(x, 0) = δ(x).Indication : On pourra tout d’abord résoudre cette équation dans l’espace de Fourier.


Les vents géostrophiques

Avertissement : Pour traiter cet exercice dans les meilleurs conditions, il est pré-férable d’avoir abordé le problème 1 étudiant le caractère non galiléen du référentielterrestre.


ÉNONCÉLe but de ce problème est de montrer comment la force de Coriolis est au cœur même del’étude du comportement de la dynamique des vents. Dans un premier temps, une analysed’ordre de grandeur permettra de justifier l’approximation géostrophique qui constitue l’ap-proximation linéaire de la dynamique des vents. Dans un second temps, nous montreronscomment le cadre simpliste de l’approximation géostrophique permet d’interpréter les situa-tions cycloniques et anticycloniques.On étudie une masse d’air dans le référentiel terrestreRt. On note

• v(r, t) la vitesse d’une particule fluide dansRt localisée en r à l’instant t ;

• ρ(r, t) la densité ;

• p(r, t) la pression ;

• η la viscosité dynamique et ν la viscosité cinématique ;

• ωT le vecteur rotation du référentiel terrestre par rapport au référentiel de Copernic.

On supposera que la masse d’air considérée possède les caractéristiques typiques suivantes :

• une longueur L ∼ 1000 km et une vitesse v// ∼ 10 m.s−1 dans le plan parallèle ausol ;

• une hauteur h ∼ 10 km et une vitesse v// ∼ 0.01 m.s−1 dans le plan orthogonal au sol.

I. ÉQUATION DE NAVIER-STOKES

1. Soit D(t) le volume d’une particule fluide à l’instant t que l’on suit dans son mouve-ment. Soit P(t) l’impulsion du centre de masse de la particule fluide. Montrer que

dP(t)

dt=

∫

D(t)

ρdv

dtdτ .

2. Généraliser ce résultat au calcul de la dérivée temporelle de n’importe quelle grandeurextensive G(t), scalaire ou vectorielle, caractérisée par une densité massique notéeg(r, t). La généralisation obtenue constitue une des formes possibles donnée au théo-rème de Reynolds en mécanique des milieux continus.


Diffusion thermique chez les gros dinosaures


ÉNONCÉOn pense que les dinosaures devaient garder une température corporelle à peu près constantecomme les mammifères mais n’avaient pas la possibilité d’augmenter leur énergie internecomme nous le faisons grâce à l’ATP. Par ailleurs, on suppose que les dinosaures avaient unmétabolisme proche de celui des reptiles. Ils devaient alors, comme les reptiles, se conten-ter de l’unique source de chaleur qu’est le soleil. On pense ainsi que l’inertie thermiqueleur permettait de maintenir leur température corporelle. Il s’agit d’un des facteurs pouvantexpliquer la taille exceptionnelle des dinosaures1.

Fig. 10.1 – Modélisation du dinosaure.

Le but n’étant que d’estimer des ordres de grandeurs, nous opterons pour une modélisationparticulièrement grossière du dinosaure : « l’approximation du dinosaure sphérique ». Ledinosaure sera donc représenté par une sphère de rayon R. Dans la suite, on note T(r, t) latempérature locale et u(r, t) la densité volumique d’énergie interne. Nous supposons pourcela qu’un équilibre thermodynamique local est réalisé.

1. Caractériser l’équilibre thermodynamique local.

2. Après avoir rappelé l’expression de la loi de Fourier, faire un bilan local d’énergieinterne. On négligera tout d’abord le transport d’énergie par rayonnement et on noteraj(r, t) la densité de flux d’énergie sous forme thermique passant de la coquille derayon r à la coquille de rayon r + dr par unité de temps.

3. Déterminer l’équation de diffusion de la température en supposant que l’énergie in-terne ne dépend que de la température. Les êtres vivants étant essentiellement compo-sés de 80% d’eau, on prendra pour capacité thermique celle de l’eau.

1Le sujet du concours Mines-Ponts 2000 propose d’étudier l’extinction des dinosaures due à un astéroïde.


Le vase Dewar

Un vase Dewar est en général constitué d’une double paroi entre lesquelles le vide aété fait (cf. figure 11.1). De plus, les parois du vase ont été à été argentées afin deminimiser les pertes par rayonnement. Dans ce problème, nous proposons d’étudierle fonctionnement d’un vase Dewar en utilisant tout d’abord l’aspect microscopiquede la diffusion thermique afin de déterminer la qualité du vide à obtenir pour quel’écran thermique soit efficace. Dans une deuxième partie, nous aborderons l’ordrede grandeur des pertes par rayonnement en utilisant la théorie du rayonnement ducorps noir.

Parois

argentées

Vide entre

les parois

Fig. 11.1 – Modèle d’un vase Dewar.

Les leçons concernés par ce problème sont LP13, LP21 et LP22.

ÉNONCÉ

I. DIFFUSION THERMIQUE DANS LES GAZ

1. Soit n le nombre de molécules par unité de volume et σ la section efficace de choc.Définir et déterminer le libre parcours moyen `∗ en fonction de ces deux paramètres.Calculer `∗ pour l’air ambiant. On considérera qu’une molécule de dioxygène ou dediazote a un rayon de r = 0, 2 nm .


Refroidissement par désaimantation

Les leçons concernées par ce problème sont LP20, LP51 et LP52.

ÉNONCÉ

I. MODÈLE MICROSCOPIQUE

Étudions un cristal paramagnétique de cérium. On décrit un solide paramagnétique de vo-lume V par un ensemble de N spins identiques indépendants les uns des autres. Chaque spinpossède un moment magnétique noté m et le solide est immergé dans un champ magnétiqueconstant B0 = B0ez. La projection du moment magnétique de chaque spin est quantifiée etpeut prendre deux valeurs suivant l’axe (Oz) : m = +

−µB où µB = e~/2me est le magnétonde Bohr. Dans cette partie, on se propose de retrouver la loi de Curie :

χ =C

T

où χ est la susceptibilité magnétique du matériau et C la constante de Curie ; nous calcule-rons ensuite la capacité calorifique des spins dans ce réseau.

1. Déterminer l’énergie d’un moment magnétique dans un champ extérieur B0. On sup-pose que l’ensembles de spins est au contact d’un thermostat à la température T, mon-trer que le moment magnétique de l’échantillon s’écrit :

M = NµB tanh(µBB0

kBT

).

2. Calculer la valeur du champ BM à partir de laquelle l’énergie par spin est négligeabledevant l’énergie d’agitation thermique pour T = 300 K. Cette valeur vous semble-t-elle accessible expérimentalement?

3. Dans ces conditions, déduire la loi de Curie. Exprimer et calculer la susceptibilitéen fonction des paramètres microscopiques du problème pour une mole de spins. Onrappelle que la loi de Curie est :

J =M

V=

C

TH0

où J est l’aimantation et H0 = B0/µ0 .

4. Déterminer l’énergie de ce système de spins. Calculer alors la capacité calorifiquemolaire due aux spins en présence d’un champ magnétique de 1 T dans un thermostatà la température T = 300 K. Montrer que cette valeur est faible devant la capacitécalorifique molaire d’un solide, donnée à haute température par la loi de Dulong etPetit : CV = 3R.


Transferts d’énergie dans les fluideset applications à l’anémomètre à fil chaud

Ce thème d’étude a pour objet de familiariser le candidat à l’agrégation avec lesdifférents types de bilan rencontrés en physique des milieux continus, qu’il s’agisse debilans eulériens ou lagrangiens. L’accent est principalement mis sur l’étude des bilansd’entropie où nous relierons explicitement certaines sources d’irréversibilité (diffusionthermique, frottements visqueux) à la création d’entropie. En fin de problème, nousmettrons à profit cette étude pour comprendre quelques aspects du fonctionnementd’un anémomètre à fil chaud, capteur de vitesse utilisé en hydrodynamique.

Ce problème peut servir d’approfondissement pour les leçons suivantes1 : LP12, LP15et LP22 ainsi que pour les montages de physique MP03 (hydrodynamique) et MP25(capteurs).

ÉNONCÉ

I. BILANS D’ENTROPIE DANS UN FLUIDE

1. Présenter la notion d’équilibre thermodynamique local (ETL). On précisera en parti-culier l’échelle typique sur laquelle est formulée l’hypothèse d’ETL.

2. Le but étant d’étudier les bilans d’entropie dans les fluides, on note

• ρs la densité volumique d’entropie où ρ(r, t) désigne la masse volumique ets(r, t) définit l’entropie massique ;

• Js la densité de flux d’entropie par unité de surface et de temps à travers unesurface de contrôle fixée dans le référentiel du laboratoire ;

• σs le taux de production volumique d’entropie à l’intérieur du volume de contrôleVc.

Rappeler succinctement les deux descriptions possibles d’un écoulement.3. Déterminer l’équation traduisant le bilan local d’entropie dans le cas d’une description

eulérienne (système ouvert). Commenter en particulier la nature de Js. On note Rlable référentiel du laboratoire, dans lequel le volume de contrôle choisi est fixe. Onmontrera que

∂ρs

∂t= −divJs + σs .

1Avertissement : d’une façon générale, nous déconseillons au candidat de choisir une approchetrop formelle lors de la présentation des leçons. Ce thème d’étude doit être uniquement pris commeune source d’approfondissement relative. Il ne s’agira pas à l’oral d’imiter cette approche.


Thermodynamique du contactentre deux solides


ÉNONCÉ

Dans cet exercice, on se propose d’étudier la production d’entropie δiS associée à la pré-sence de frottements entre deux solides indéformables S1 et S2, en contact. On supposera,dans toute cette partie, que les deux solides sont en contact avec une source de chaleur, l’at-mosphère, imposant la température T de chacun des solides. On note S le système formépar la réunion de S1 et S2. On suppose que S échange avec l’extérieur un travail δWext etune quantité de chaleur δQext (échangée de manière réversible). Lors du processus de frotte-ment, les transferts d’énergie réalisés sous forme thermique et mécanique sont répartis entreles deux solides S1 et S2 comme suit : on note

• δWf1 et δQf1 les quantités algébriques infinitésimales d’énergie reçue par S1 respec-tivement sous forme mécanique et thermique

• δWf2 et δQf2 les quantités algébriques infinitésimales d’énergie reçue par S2 respec-tivement sous forme mécanique et thermique

δWf2δQf2

S2

S1

δWf1δQf1

δWext

δQext

Fig. 14.1 – Thermodynamique du contact.

1. Justifier que, dans le cas général, la somme des travaux des forces de contact

δWcontact = δWf2 + δWf1

n’est pas nulle.


Analogies entre optique géométriqueet mécanique du point

Dans la théorie électromagnétique, la lumière est décrite comme une onde dont l’équa-tion de propagation se déduit d’un ensemble de quatre équations – les équations deMaxwell – qui constituent le fondement de l’électromagnétisme classique. Que sepasse-t-il dès lors que l’on quitte la formulation ondulatoire en se plaçant dans lecadre de l’optique géométrique ? La question de la définition d’un objet pertinentsusceptible de décrire la lumière nous amènera au concept de rayon lumineux. Cetteétape n’est, bien entendu, pas suffisante : il faut encore dégager un principe qui ré-gisse l’évolution du rayon lumineux dans un milieu matériel tout comme les équationsde Maxwell étaient en mesure de décrire le processus de propagation de la lumièredans la théorie électromagnétique. Ce principe, permettant de construire l’optiquegéométrique, est dû à Fermat. Le but de ce thème d’étude est de dégager les pro-fondes similitudes entre la description géométrique de l’optique des rayons lumineuxet la description du mouvement d’un point matériel en mécanique newtonienne.


ÉNONCÉ1. Chemin optique et principe de Fermat

(a) On considère une onde électromagnétique se propageant dans un milieu d’indicen(r) caractérisé par une composante électrique de la forme

E(r, t) = E0ej(k0L(r)−ωt)

où ω et k0 sont reliés par ω = k0c et L(r) est une fonction scalaire, appeléefonction eïkonale, homogène à une longueur, décrivant la phase de l’onde élec-tromagnétique.

Comment sont reliées L(r) et n(r) dans l’approximation de l’optique géomé-trique1 ? On précisera soigneusement la notion d’approximation d’optique géo-métrique.

(b) Rappeler la définition du chemin optique L et dégager sa signification physique.

(c) Énoncer le principe de Fermat. Expliquer la signification de l’adjectif station-naire.

1On ne demande pas de démontrer explicitement cette équation à partir des équations de Maxwelldécrivant le champ électromagnétique. Nous renvoyons ici le lecteur à l’ouvrage de M. Born et al.

[BW99], ou à celui de L. Dettwiller [Det90] pour approfondir le passage de la description ondulatoireà la description géométrique du rayon lumineux.


Les mirages

Dans la première partie de ce problème, on se propose d’étudier qualitativementl’origine des mirages inférieurs, supérieurs mais aussi latéraux, moins connus, formésprès d’un mur chauffé. Dans la seconde partie, nous nous interrogerons sur le problèmede l’équilibre hydrostatique de la masse d’air située au voisinage d’un sol chauffé.Nous montrerons qu’un tel équilibre n’est pas réalisé et qu’à l’existence d’un mirageinférieur est associée une instabilité de convection.Avertissement : pour aborder ce problème dans les meilleures conditions, nous vousrecommandons vivement de commencer par le problème n◦ 15 page 155.


ÉNONCÉ

I. ÉTUDE QUALITATIVE

1. Justifier que la loi de Gladstone (ou encore de Langevin-Debye)

n− 1

ρ∼ Cte (16.1)

constitue une approximation de la formule de Clausius-Mossotti dans la limite desmilieux dilués. Dans (16.1), n désigne l’indice de réfraction et ρ la densité du milieu.

2. Expliquer la formation des mirages inférieurs et supérieurs respectivement produitsdans les déserts chauds (tels que le Sahara) et les régions froides de la planète (ty-piquement dans l’Arctique ou le Groenland). Présenter ces deux types de mirage enprécisant dans chaque cas le sens du gradient de densité de l’air ainsi que celui del’indice de réfraction, la trajectoire des rayons lumineux.Sur la figure 16.1, nous avons reporté un cliché de mirage supérieur photographié parJack Stephens.Le 26 avril 1977, les habitants de Grand Haven dans le Michigan, regardant la nuitpar dessus les eaux froides du Lac Michigan ont observé distinctement, dans le ciel,les lumières d’une ville ainsi que celle d’un phare. Milwaukee, la ville la plus prochedans la direction dans laquelle ces habitants regardaient est pourtant à plus de 120 km.Proposer une explication à cette impression d’hallucination.

3. Expliquer le phénomène physique mis en jeu lorsque, sous l’effet du gradient d’indice,le rayon lumineux provenant de l’objet se met à changer de direction pour parvenir àl’œil. Pour cela, on s’appuiera sur les lois de Descartes de la réfraction.


Marche d’un rayon dans unefibre à gradient d’indice

Avertissement : Pour aborder ce problème dans les meilleures conditions, nous vousrecommandons vivement de commencer par le problème n◦ 15 page 155.

Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP35 et MP28 (télécommu-nications).

ÉNONCÉUne fibre optique est constituée d’un milieu diélectrique intérieur, le cœur de rayon typiquea (verre ou silice), dans lequel est confinée la plus grande partie de l’énergie véhiculée. Il estentouré d’un second milieu d’indice de réfraction plus faible : la gaine. Cet ensemble est, àson tour, entouré de couches concentriques de matériaux généralement plastiques assurantune protection et une résistance mécanique.

Une fibre optique constitue un guide d’ondes électromagnétiques permettant la propagationd’un nombre fini de modes électromagnétiques.

Dans les les fibres multimodes, a � λ de sorte que l’on peut remplacer la propagation del’onde électromagnétique par l’étude mécanique de la trajectoire du rayon lumineux dansl’approximation de l’optique géométrique. Parmi les fibres multimodes, citons les fibres àsaut d’indice et les fibres à gradient d’indice dont les profils d’indice typiques en fonction dela distance à l’axe optique sont représentés figure 17.1.Le point de départ est l’équation des rayons lumineux

d

ds(nu) = gradn ,

où u =dr

dsest le vecteur unitaire tangent à la trajectoire et s est l’abscisse curviligne le long

de la trajectoire du rayon lumineux.On choisira la base de coordonées cylindriques adaptée à la géométrie de la fibre.La marche du rayon est repérée par r = rur + zuz.

1. La fibre ayant la symétrie de révolution, le vecteur gradn est radial et s’écrit

gradn =dn

drur .

Montrer alors que les quantités

nr2dψ

dset n

dz

ds

sont constantes le long de la trajectoire du rayon lumineux.


Un piège optique

Dans cet exercice, nous allons déterminer comment fonctionne un piège optique pourcellule biologique appelé aussi optical stretcher (cf. article de J. Guck [Guc00]). Grâceà deux lasers contrapropagatifs, il est possible de piéger des objets transparents dontl’indice est supérieur à l’indice du milieu (cf. figure 18.1).


ÉNONCÉ

On considère une cellule biologique cubique de coté a = 10 µm. Cette cellule est transpa-rente d’indice n2 = 1, 45 et baigne dans de l’eau d’indice n1 = 1, 33. Le coefficient deréflexion entre la cellule et l’eau est de R = 0, 2%. Cette cellule est éclairée par deux lasersde puissance P = 500 mW et de longueur d’onde λ = 0, 8 µm.

Laser Laser

a = 10 µm

OxO

Fig. 18.1 – Schéma du piège optique.

1. Justifier que l’impulsion d’un photon dans un milieu matériel est de la forme p = nE

c,

où E est l’énergie du photon, n l’indice du milieu et c la vitesse de la lumière.

2. Tout d’abord, on considère que seul le laser de gauche est allumé. Il éclaire le cubeavec une section plus faible que la surface présentée par le cube. Déterminer, par unbilan de quantité de mouvement sur les photons, la force exercée par le laser sur lapremière paroi. Montrer que la paroi est aspirée par le laser. Vérifier que cette forceest nulle pour R = 0.

3. Déterminer de même la force exercée sur la paroi arrière. Montrer alors que la forceexercée par le laser sur le cube entier est donnée par :

Ftot =(n1(3−R) + n2(1−R)

)RPc

ex .

4. Calculer F1, F2 et Ftot.


Propagation des vibrations dansune chaîne d’oscillateurs


ÉNONCÉLe but de ce problème est d’illustrer la propagation des vibrations dans les solides. Dans unpremier temps, nous étudierons une chaîne de pendules couplés par des ressorts. Dans unsecond temps, nous décrirons les vibrations des solides à l’aide d’une chaîne d’oscillateurscouplés et relierons les grandeurs accessibles expérimentalement (module d’Young, céléritédu son) aux paramètres microscopiques du modèle.Les pendules utilisés sont des masses de m = 200 g suspendues par des fils de longueur` = 0, 5 m. Ces masses sont reliées entre elles par des ressorts de longueur L au repos et deconstante de raideur k = 10 N.m−1 (cf. figure 19.1).

k

`

Fig. 19.1 – Représentation de la chaîne d’oscillateurs.

1. Écrire les équations du mouvement pour chaque pendule.2. On admettra que l’on peut rechercher des solutions de la forme1

rn = Aei(qna−ωt) .

Déterminer et tracer la relation de dispersion pour ce système :

ω2 = ωc2 + ω0

2 sin(qa

2

)2

.

3. Expliquer pourquoi la relation de dispersion est périodique en dessinant une onde à uninstant donné et la position des atomes par rapport à celle-ci . Déterminer la forme dela solution suivant la position de ω par rapport à ωc.

1Il s’agit d’une solution de « Bloch » compatible avec les conditions de périodicité du problème.Nous renvoyons le lecteur à l’ouvrage de Cohen-Tanoudji [CT96] pour approfondir le sujet.


La couche anti-reflet


ÉNONCÉ

Les couches anti-reflet sont souvent employées dans les instruments d’optique (jumelles,lunette astronomique), les lunettes de vue et même récemment les pare-brise de voiture. Onpeut remarquer leur présence grâce aux reflets colorés que nous renvoient ces instruments.Nous nous proposons de déterminer l’intérêt et la réalisation d’un traitement anti-reflet. Lesdeux parties sont indépendantes.

I. COEFFICIENTS DE FRESNEL

nverre = 1, 9

x

y

z

nair = 1

Ei

Er

kr

Et

kt

ki

Fig. 20.1 – Dioptre air/verre.

Nous étudions ici la transmission au travers d’un dioptre d’une onde électromagnétique planeet monochromatique. L’indice de l’air sera pris égal à nair = 1 et l’indice du verre sera noténverre = 1, 9 . Nous noterons Ei l’amplitude de l’onde incidente, Er celle de l’onde réfléchieet Et celle de l’onde transmise. Une onde électromagnétique (E,B) sera alors notée sous laforme complexe suivante :

E = E eiωt−kxuy

B = B eiωt−kxuz

1. À partir du modèle de l’électron élastiquement lié, justifier sans calcul que les ondesincidentes, transmises et réfléchies ont la même pulsation ω.


Effets de la dispersionsur un paquet d’ondes

Avertissement : pour aborder la deuxième partie de ce problème, il est conseilléd’avoir étudié la partie consacrée à l’étude des ondes de surface, dans le problème 3(page 37) de la première partie de cet ouvrage. Néanmoins, toutes les données néces-saires sont rappelées dans l’énoncé.

Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP15, LP30, LP31, MP02(tension superficielle) et MP28 (télécommunications).

ÉNONCÉCe problème a pour objet d’étudier la déformation d’un paquet d’ondes se propageant dansune le cœur d’une fibre optique, traité comme un milieu dispersif d’indice n(ω). Au termed’une partie introductive consacrée à la construction du « paquet d’ondes » susceptible dedécrire un signal physique, nous montrerons comment le caractère dispersif d’un milieudiélectrique limite la propagation de signaux sur de longues distances.

En raison de la complexité inhérente à la physique des milieux dispersifs, il a nous semblépréférable de privilégier une approche progressive et pédagogique.

I. PAQUET D’ONDES DANS UN MILIEU NON DISPERSIF

On notera E(r, t) le champ électrique associé au paquet d’ondes. Dans cette partie, on né-gligera l’effet des pertes par absorption. Nous discuterons cette hypothèse a posteriori, enfin de problème.

1. Construction d’un paquet d’ondes électromagnétiques

(a) Montrer que l’évolution du champ électrique E(r, ω) est décrite par l’équation

(∆− 1

c2∂2

∂t2

)E = grad divE + µ0

∂2P

∂t2,

où P(r, t) est le vecteur polarisation. Nous supposerons que le milieu diélec-trique est isotrope, homogène1 et dépourvu de propriétés conductrices et magné-tiques.

(b) En déduire, en régime harmonique, l’équation de Helmholtz satisfaite par lechamp E(r, ω). On introduira l’indice optique n(ω).

On supposera que le milieu diélectrique est linéaire.1Ceci n’est pas le cas dans une fibre optique. Le but est seulement de dégager les idées fortes du

problème du transport dans une fibre, la théorie complète restant, bien entendu, très complexe.


Propagation des solitons dans les fibres

Avertissement : afin d’aborder ce sujet dans les meilleures conditions, nous conseil-lons au lecteur de préparer, dans un premier temps, la partie III du problème 21concernant l’étalement d’un paquet d’ondes dans un milieu diélectrique dispersif.

Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP30, MP28 (télécommuni-cations) et MP33 (instabilités et phénomènes non linéaires).

ÉNONCÉDans le problème 21, nous avons mis en évidence la déformation d’un signal comme consé-quence du caractère dispersif du milieu de propagation. Cette déformation limite considé-rablement le transport d’informations sur de longues distances. Il est néanmoins possible,comme nous allons le montrer à présent, de compenser l’élargissement du paquet d’ondespar des effets non linéaires. Il ressortira de cette étude que la conjugaison des caractères dis-persif et non linéaire du milieu de propagation permettra la propagation de paquets d’ondessans déformation sur de très longues distances. De tels signaux localisés sont appelés soli-tons.

Dans ce problème, on suppose que l’intensité du faisceau est suffisamment forte pour induireun effet Kerr optique, c’est-à-dire une dépendance entre l’indice de réfraction n et l’intensitéI

def= |Ee|2 de la forme n = n0+nNL|Ee|2, de sorte que k = k(ω, |Ee|2) où Ee est l’amplitude

du champ électrique de l’onde électromagnétique. On supposera que l’onde est polariséerectilignement suivant uy et qu’elle se propage suivant l’axe optique ux de la fibre optique.La composante électrique du champ électromagnétique s’écrit, en notation complexe :

E(x, t) = Ee(X,T)ei(kx−ωt)uy ,

où X = εx et T = εt avec ε � 1 indépendant de x et de t rappelle que l’évolution del’enveloppe du paquet d’ondes se fait sur des échelles de distance et de temps beaucoup pluslongues que celle de la phase.

I. APPROCHE QUALITATIVE DES EFFETSNON LINÉAIRES

1. Relation de dispersion en présence des effets non linéairesEn traitant la non-linéarité comme une perturbation par rapport à la théorie linéaireétudiée dans la partie III. du problème 21, écrire la relation de dispersion en fonction de

Kdef= k − k0 P =

1

2

(∂2ω

∂k2

)k0

et Q = −( ∂ω

∂|Ee|2)

Ee→0.


Oscillateur de Van der Pol

Les leçons et montages concernés par ce problème sont LP56, MP33 (instabilités etphénomènes non linéaires) et MP37 (oscillateurs).

ÉNONCÉDans ce problème, on introduit l’oscillateur de Van der Pol sur l’exemple simple d’un circuitRLC série couplé à un montage à résistance négative. Une fois l’équation de Van der Polintroduite, le but sera de comprendre la nature des attracteurs en fonction de l’amplitude de lanon-linéarité introduite dans le système du fait de la présence de l’amplificateur opérationnel,qui constitue le composant non linéaire.Nous étudierons le lien entre la non-linéarité et

• la déformation de l’attracteur ;

• l’évolution de la période des oscillations.

Dans le régime fortement non linéaire, nous montrerons qu’il est légitime de calculer exac-tement la période T d’oscillation du système.

I. MONTAGE À RÉSISTANCE NÉGATIVE – OSCILLATIONSDE VAN DER POL

Le schéma de montage à résistance négative est présenté sur la figure 23.1. On supposeraque R1 = R2.

-

+

PSfrag replacements

R

vsv

i

E−

E+

R

R1

R2

R0

∞

PSfrag replacements

Rvs

v

i

E−

E+

RR1

R2

R0

∞

D

R

L , r

C

Fig. 23.1 – Montage de la « résistance négative ». Couplage d’un circuit RLC à unerésistance négative (D représente le dipole à résistance négative).

Index

Accélérationd’entraînement. . . . . . . . . . . . . . . .22de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Adhérence à la paroi . . . . . . . . . . . . . . 73D’Alembert (équation de) . . . . . . . . 196Amontons (loi d’) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Analogies entre mécanique et optique

géométrique . . . . . . . . . . . . . 161Analyse

dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 50qualitative de la déformation d’un

paquet d’ondes . . . . . 224, 227Anémomètre à fil chaud . . . . . . . . . . 146Anticyclone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 101Approximation

de l’optique géométrique . . . . . 157des milieux continus . . . . . . . . . 195géostrophique . . . . . . . . . . . . . 96, 98gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . 61, 64

Archimède (poussée d’). . . . . . . . . . .172Atténuation dans les fibres optiques215Attracteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Avalanches de manteau . . . . . . . . . . . . 24

Base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Beer-Lambert (loi de) . . . . . . . . . . . . 231Benjamin-Feir (instabilité de) . . . . 238Bertrand (théorème de) . . . . . . . . . . 182Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Bilan

d’énergiecinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139d’une grandeur conservative . 141de quantité de mouvement 78, 93particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Boltzmannfacteur de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127loi de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Borda (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Bourrelet océanique . . . . . . . . . . . . . . . 44

Carte météorologique. . . . . . . . . . . . .102Champ

de marée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27, 43magnétique intense . . . . . . . . . . 132

Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Clapeyron (relation de) . . . . . . . . . . 131Clausius-Mossotti (loi de) . . . . . . . . 168Coefficient

de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . 58de réflexion

en amplitude . . . . . . . . . . . . . . 203en intensité. . . . . . . . . . . . . . . .203

de transmissionen amplitude . . . . . . . . . . . . . . 203en intensité. . . . . . . . . . . . . . . .203

Composition des vitesses (loi de) . . 31Conductivité thermique . . . . . . . . . . 119Conservation

de la masse. . . . . . . . . . .71, 94, 140du moment cinétique . . . . . . . . . 32

Copernic (référentiel de) . . . . . . . . . . .19Coriolis

force d’inertie de . . . . . . 25, 29, 94paramètre de . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Coucheanti-reflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199limite

thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . 145visqueuse . . . . . . . . . . . . . . 78, 145

Coulomb (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Curie (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Cyclone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

D’Alembert (équation de) . . . . . . . . 196Darcy (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Débit volumique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Décalage en fréquence . . . . . . . . . . . . 255Décomposition en série de Fourier 255Déformation d’un paquet d’ondes.210Dépression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Boura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Dérivation dans un repère mobile . . 63Désaimantation adiabatique . 125, 132Description

eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138lagrangienne . . . . . . . . . . . . . 71, 138

268

Index 269

Deuxième principe de la thermodyna-mique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151,231

Déviation vers l’est . . . . . . . . . . . . . . . . 30Dewar (vase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Diffusion

de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81de quantité de mouvement . . . . 86thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Dinosaures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Dispersif . . . . . . . . . voir Milieu dispersifDispersion

anormale . . . . . . . . . . . . . . . 221, 228normale. . . . . . . . . . . . . . . . .221, 228

Dissipation dans les milieux dispersifs229

Dynamique en système ouvert . . . . . 78

Écoulementbarotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69incompressible . . . . . . . . . . . . 71, 95laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Effetde peau thermique . . . . . . . . . . . 113de sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76dissipatif de marée . . . . . . . . . . . . 24gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . 24, 61Kerr optique. . . . . . . . . . . . . . . . .233

Eïkonale (équation) . . . . . . . . . . . . . . 157Énergie

cinétiquebilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142taux de dissipation . . . . . . . . 143théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

interne (bilan) . . . . . . . . . . . . . . . 141totale (bilan) . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Entropiebilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139voir aussi Production d’entropie

Enveloppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220Équation

de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . .196de la chaleur . . . . . . . . . . . . 142, 178de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . 84, 87d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . . . .225de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . 216de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 159de Navier-Stokes . . 71, 86, 93, 94,

142

des rayons lumineux . . . . . . . . . 159de Schrödinger

linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 236

de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . 251eïkonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Équilibregéostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . 99hydrostatique . . . . . . . . 45, 46, 171thermodynamique local . 110, 138

Eulérienne (description) . . . . . . . . . . 138Expérience

de chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 29de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Facteur de Boltzmann . . . . . . . . . . . . 127Fata morgana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Fermat (principe de) . . . . . . . . . . . . . 157Fibre optique . . . . . . . . . . . 179, 210, 233

atténuation dans les fibres opti-ques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

guidage dans les fibres optiques183

Fick (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Fluide

newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78visqueux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

Flux thermiqueconvectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111diffusif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111radiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Forcecentrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 182d’inertie

d’entraînement. . . . . . . . . .25, 65de Coriolis . . . . . . . . . . 25, 29, 94

de marée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Formules de Rayleigh . . . . . . . . 221, 228Fourier

décomposition en série de . . . . 255loi de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 119transformée de . . . . . . . . . . . 83, 217

Frenet (base de) . . . . . . . . . . . . . . . . . .160Frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 148

Gladstone (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . 168Guidage dans les fibres optiques . . 183

Heisenberg (inégalités de) . . . . . . . . 218Helmholtz (équation de) . . . . . . . . . .216

270 Index

Hooke (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Indice optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Inégalités de Heisenberg . . . . . . . . . . 218Instabilité

de Benjamin-Feir . . . . . . . . . . . . 238de convection . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Interférences multiples . . . . . . . . . . . 204Isostère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Joursidéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23solaire moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Kerr (effet optique) . . . . . . . . . . . . . . 233King (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Kolmogorov (théorie de) . . . . . . . . . . .96

Lagrange (équation de) . . . . . . . . . . .159Lagrangien optique . . . . . . . . . . . . . . . 159Lagrangienne (description) . . . 71, 138Laplace (loi de la capillarité de) . . . 51Législation sur les eaux minérales . .75Liaison parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . 118Loi

d’Amontons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58de Beer-Lambert . . . . . . . . . . . . 231de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 127de Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255de Clausius-Mossotti . . . . . . . . .168de composition des vitesses . . . 31de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 110, 119de Gladstone . . . . . . . . . . . . . . . . 168de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197de King . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147de Laplace de la capillarité . . . .51de Stefan . . . . . . . . . . . . . . . 114, 122

Longueurcapillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51d’onde de marée . . . . . . . . . . . . . . 52

Lunaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Météorologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Malus (théorème de) . . . . . . . . . . . . . 158Marées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

champ de marée. . . . . . . . . . .27, 43effet dissipatif. . . . . . . . . . . . . . . . .24

force de marée . . . . . . . . . . . . . . . . 26longueur d’onde de marée . . . . . 52modèle

dynamique. . . . . . . . . . . . . .45, 49statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ondes de marée . . . . . . . . . . . . . . . 45potentiel de marée . . . . . . . . . . . . 43résonance de marée . . . . . . . 45, 53

Marnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46, 48Mayer (relation de). . . . . . . . . . . . . . .131Milieu

dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . 219, 229faiblement dispersif . . . . . . . . . . 228non dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . .219

Miragesinférieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168latéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Mode électromagnétique. . . . . . . . . .218Modèle

dynamique des marées . . . . 45, 49statique des marées . . . . . . . . . . . 37

Moment cinétiqueconservation du moment cinétique

32théorème du moment cinétique63

Mouvementà force centrale . . . . . . . . . . 32, 182hélicoïdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Mythe du lavabo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Nappe phréatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Navier-Stokes (équation de)71, 86, 93,

94, 142Newtonien (fluide) . . . . . . . . . . . . . . . . 71Nombre

de Péclet thermique . . . . . . . . . 145de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145de Reynolds . . . . . . . 72, 79, 87, 95de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Ondesde capillarité . . . . . . . . . . . . . 50, 223de gravité . . . . . . . . . . . . . . . . 50, 222de marée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 233stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Oscillateurscouplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . 243

Oscillations de relaxation. . . . . . . . .252

Index 271

Ouragan Isabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218analyse qualitative de la déforma-

tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224,227

déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 210raidissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 238réversibilité de l’étalement . . . 225

Paramagnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Paramètre

de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . 254de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

Péclet (nombre de) . . . . . . . . . . . . . . . 145Pertes thermiques

par diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 120par rayonnement . . . . . . . . . . . . 122

Piège optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Poiseuille (écoulement de) . . . . . . . . . 69Portance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 79Porteuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Portrait de phase. . . . . . . . . . . . . . . . .246Potentiel de marée . . . . . . . . . . . . . . . . 43Poussée d’Archimède . . . . . . . . . . . . . 172Poynting (vecteur de) . . . . . . . . . . . . 203Prandtl (nombre de) . . . . . . . . . . . . . 145Précession des équinoxes . . . . . . . . . . 24Premier principe de la thermodynami-

que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Principe

de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19de moindre action . . . . . . . . . . . 159deuxième principe de la thermo-

dynamique . . . . . . . . . . . . . . 231fondamental de la dynamique 22,

57premier principe de la thermody-

namique . . . . . . . . . . . . . . . . 150Production d’entropie associée aux

frottementssolides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

processus d’absorption dans les di-électriques dispersifs . . . . 231

transferts thermiques . . . . . . . . 141Propagation du son dans les solides196Puissance des efforts de contact . . 149

Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Raidissement d’un paquet d’ondes238Rayleigh (formules de). . . . . . .221, 228Rayon

de courbure . . . . . . . . . . . . . 160, 176lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Rayonnement du corps noir . . . . . . 114Référentiel

barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 21de Copernic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19galiléen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19géocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19non galiléen . . . . . . . . . . . 22, 25, 29terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Réflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Réfrigérateur à dilution . . . . . . . . . . 132Relation

de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . 131de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . 218de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131de structure de l’onde plane . 206

Résistancenégative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Résonance de marée . . . . . . . . . . . 45, 53Réversibilité de l’étalement d’un pa-

quet d’ondes . . . . . . . . . . . . 225Reynolds

nombre de . . . . . . . . . 72, 79, 87, 95théorème de. . . . . . . . . . . . . . .77, 94

Rossby (nombre de) . . . . . . . . . . . . . . . 96

Saturation par effet non linéaire . . 250Schrödinger

équation linéaire . . . . . . . . . . . . . 237équation non linéaire . . . . . . . . 236

Sens de rotation des vents . . . . . . . . 100Soliton optique . . . . . . . . . . . . . . 233, 240Stationnarité du chemin optique. .158Stefan (loi de) . . . . . . . . . . . . . . . 114, 122Stokes (expérience de) . . . . . . . . . . . . . 81Susceptibilité magnétique . . . . . . . . 128Système ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Syzygie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

Taux de dissipation d’énergie cinétique143

Théorèmede Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . 182de l’énergie cinétique . . . . . . . . 150de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158du moment cinétique . . . . . . . . . 63

272 Index

de la résultante dynamique . . . 20de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 77, 94

Théorie de Kolmogorov . . . . . . . . . . . .96Thermodynamique

deuxième principe . . . . . . . . . . . 151équilibre local . . . . . . . . . . .110, 138premier principe . . . . . . . . . . . . . 150

Traînée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79Traitement anti-reflet . . . . . . . . . . . . 209Transformée de Fourier . . . . . . . 83, 217Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Van der Poléquation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251oscillateur de . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Variations du jour sidéral . . . . . . . . . .23Vase Dewar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Vecteur de Poynting. . . . . . . . . . . . . .203Vent

géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . 89sens de rotation . . . . . . . . . . . . . 100

Viscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78, 86Vitesse

de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 220, 228de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220loi de composition . . . . . . . . . . . . 31

Voie Lactée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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La physique par la pratique