La th6orie des formes duns l'intdgration des dqua~ions diffdrentielles Iindaires du second ordre.

Par

F. Bl~mscnz '~ Milan.

I O i

on fai~:

on ob?~ient:

(2)

Si dans l'gquation diffdrentielle lindaire du second ordre:

d2v dv dx ~ + P -d--~ "3V q V -~- 0

v ~ z e -�89

1 dlJ 1 d~z ~ - P z , t ~ ~--- :~- ~ - A- y P " - - q . d ,c ~

Je supposerai p , q fonc~ions ra~ionnelles de x; et en ddsignant par f ( z l , z2) une forme binaire de l'ordre enni~me dans laqueile 6 , z2 sont deux intdgrales particuli~res de l'dquation diffdrentielle (2), posant:

(3) f (z~, ~:) - ~ (p(x),

je supposerai avec M r. F u chs*) que r soit une racine d'une fonction rationnelle de x. M r. F u c h s a ddmontrg dans son important Cravail ]'existence et l'origine de cette dquation (3) et il a dtabli pour la forme

T r i n c i 2 a l e (Primform) f certaines conditions dont la plus imporiante esb que l'ordre de la forme m6me ne peat pus 6ire supdrieur ~ L2. Mais les recherches de M r. F u c h s r61ativement aux covariants et aux invariants de la forme f , se bornent ~ peu-pr~s ~ rdtude de son hessien ; et l'on verra~ je pense, par ce qui va suivre l'importance de compldter, de ce point de rue t'g~ude d'une forme principale soi~ duns les cas signalds par lui, soit en d'autres.

2 ~ . En posan~:

d log q~(vc) 1 df z d ' f

on ddduit de l'gquation (3):

*) Ueber die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche aige- braische In~egrale besi~zen, and eine neue Anwendung der Invariaa~tentheorie. Borchardt's Journal ffir Mathematik Bd. 81, p. 97.

'26 Mathematiache An~alen. XI.

402 ~'. BR,osem

dz~ dzr 1 f~ -d~-+ /'~-~x-= ~ ~v,

off ~ es~ une fonction rationnelle de x. l) 'autre part on a par un thdor~me connu :

dz, dz2 _ _ C

Z,~ dx Zt d x

on aura en consdquence:

1 1 ~ z~ - - f : == -C T ~- i&: J ( 4 ) f ' = - c ~ ~ d x 3 ; - (p ~ z , - - �9

Or l'on suit pur h~ thdorie des formes qu'en substituant eu f au lieu de z,~ z~ les expressions:

z,f,-/ if2; z~f,+f,i~ la forme de l'ordre n en ~ , ~.~ qui en r6sulte h la propridt6 que ses coefficie,ts sont des eovariants de la forme f ( z , , z~). La recherche de ces covariauts, ddsign~s par M c. } t e r m i t e avec l'appelk~tif de co- �9 variants associc~ "~ la forme f , est rendu tr~s-importante par ce fail; qu'un eovariant ou invariant quelconque de la tbrme f multiplig par une puissance de la forme m6me ost une fonction rationnelle, enti~re

ces eovariants assoei4s. Ea indiquant par_.vo, n l h , _n(~_-:_l!p.~, . . "_P,, de

les coefficients de la forme en ~,, ~ , on a dvidemlnent Po ~ f ( z , , z.~), Pl = 0~ et si les ft, f , out les valeurs (4) on aura:

P r - C, ~, 2 , + - - ( D " + ( dtant:

~z, az2 F.~ r (dz , ~ m 2 / ~ az, dz2 (dz2~ 2 1 , , = f , - 3 ~ - f f - f ~ d x ; = " ' k d x / - - dz dx +["- '~kdx]

et ainsi de suite. Or l'on d6montre trbs-faeilement pour une gonction F~ queleonque que:

dx ~ (n - - r )T '~+, --~ r 2 T ' ~ _ ,

on aura par eonsdquent entre trois covar[ants consgeutifs pr-~, p r , p ,+ t la formule rdcurrente:

(5) p~+~ = -- (;~-r)c [ dx ......... d ........ ~P"~ ---~i-:~: ~p~p,-t

et:

(6) P 2 = n~(n-~)O' O~ + n ~ ' - - n~ "

De ce premier rgsultat on ddduit que p2 dtant le produit de ~:~ p ~ r une fonetion rationne]]e de x el, la m~me propridt6 ayant lieu p e t i t

La fl~dorie des formes clans les dqua~ions diffdrcatielles. 403

dp2 dx ' on aura quc I)3 ser-~ le produit de qv 4 pour une fonetion ration-

n e l l e de x e~ l'on pourra poser:

(7) p ~ e p 3 q ~ , P 3 ~ q 0 ~ 3 . �9 . p r ~ c p " + ' O r - ",

r q)~ " . - dtant des fonctions rationnelles de x.

CeIa pos6 soit J un iavarian~ quelconque de la forme f ( z l , z.~) et soit m son ddgr6; on aura par le th~or~me rappel]6 ci-dessus:

(s) ~ r j = ~ + a.~o .o: ,.~ . . p:,, - - ~ 0 1 - 2 t ' 3 * j

ot~ a e s t urt coefficient numdrique et les %, % . . . sont des hombres entiers, positiis qui doiven~ satisfaire aux relations:

~ o - ' [ - ~ - [ - ' " + a - = m ; 2 % + 3 % + . . . + n . . = ' ~ _ _ _ 2 _ ~ 2

Mais en substituant les valeurs (7) dans le second membre de l'dqua- tion (8) on voit tout-de-suit que l'exposant de r sera:

~ o + 3 ~ , , q - 4 a : ~ + " ' + ( n + l ) ~ = m + ,--~-,

on aura done:

(9) j = ~,,~r

dtant �9 rationnelle en x. On a ainsi le thdor~me:

U~ invariant qudconque du ddgrd m de la forme princil)ale f (zt, z~) ~-- r (x) es~ dgal au produit de la puissance emmi~me dc r pour une fonction rationnelle de x; par consdffuent si r nc 2~eut pas dtre une [onctian rationnelle de x on aura J ~ O.

De la m~me mani~re on d(hnontre que si K est ua covariant de la forme f du ddgrg m et d'un ordre quelconque, on a:

rgsultat notable par ce f~it que la puissance m es~ ind@endante de |'ordre du eovariant. Du thgor~me sup@lear on dddult:

a) Si.l~ forme principale est d'ordre pair et par consgquent e l l ea un invariant quadratique, cp ~ doit ~tre foncfion rationnelle de x. (Ce r~sulta~ a dgjh 6t6 donnd par M". Fuchs dans le cas n ~ 2, pag. 117.) Si eet invariant n'est pas ~ 0 les'inva- riants de ddgrds impairs de la forme m~me doivent s'annuler, ou enfin la reaction T doit 6tre elle-m~me ratiotmelle.

b) Si l'ordre de la forme principale est n ~ 0 (rood 4) et par con- sdquent la forme m6me poss~de l'invariant A quadratique, et l'invm'iant 23 eubique, (~tant:

�9 " ~ = ( f k ) . ' ( f f ) . , k _ = ~. i ( f / l~_ , A--~ 2- 2

$6*

404 F. B~Ioscm.

on aura soit r rationnelle et B = 0, soit r rationnelle et A ~-- 0, sauf le cas que r soit rationnelle.

On voit par ees exemples~ et par d'autres qu'on pourrait facile- ment ajouter, qu'en supposant r racine d'une fonction rationnelle, la forme binaire f doit vdrifier certaines conditions qui dans chaque cas doivent limiter la ggndralitd de la forme m6me.

o o

d'abord :

(11)

et ensuite:

(12)

La formule rdcurrente (5) peut ~tre simplifige en posant

+,~ , ( r+t )n-2+.

C dx -~deo . 2

En effet par ces substitutions elle se transforme dans la suivante:

1 03 ) = [y,. + r(n-1)yy,._,]

d Y r ayant posd y,.'-----y-g-, y ~ y z . On aura ainsi:

t y ,

1 Y4 ~ .(~2_~)(n~ a~ [Y"-- 3 (n -- 1) (n -- 2) y ~] ;

1 tie (14) Y~ = - - (n:-:~ (n::a~-(~---4)- [y -- 2 (n - - 1) ( 5 n - - 1 2 ) y y ' ] ;

Y~ = (d::'F) :r [Y'V-- ( n - 1) (15n--44)yy"

--20~ - - 1) (5n -- 12)y'" ~

+ 15(n - - 1) 2 (n -- 2) (n- - 4) ya],

c'est-'~.-dirc les valeurs de Ya, Y4 " ' " en fonction de y e t des ses coef- ficients diffgrentiels par respect .~ co.

Or par la mgthode exposde dans l a p . 402 on trouvera de m~me qu'en indiquant par i l'ordre d'un covariant K on aura:

i

K = + ~ z + ay: �9 �9 �9 y:,,

ou le thdor~me:

Un eovariant queleonque d'ordre i de la forme prineipale f peu~ s'exprimer en fonetion rationnclle, enti~re, de y e t des ses coefficients diffe'rentiels rdlatifs d o. Pour un invariant J on n'a qu'd poser i ~ O.

Pour chaque invariant J de la forme f on aura done une gqua t ion diffdrentieIle:

L~ thdoric des fbrmes d~ns les 4qu~tLons diffgrentielles. 405

duns laquelle J devra duns quelques cas ~tre ~ 0. En supposant que de ce~ dquations on puisse ~irer y e n fonction de co ou (12) en fonc~ion de x , on aurait ces deux cons6quenees. La formule (11)

1 en observant que, si ]~(zt , z~) ~ ~- ( f f ) ~ , on a p~ -~. f h ~ g~h donne:

(15 ) h (z,, + " ( z . = 0,

qu i est l'intdgrale de l'gquation diffgrentielle du troisi~me ordre con- siderge il y a ]ongtemps par ML K u m m e r (De generali quadam aequat ioni differentiali tertii ordinis -- Osterprogramm 1834 des Gymna- s iums zu Liegaitz - - Crelle Bd. 15). En second lieu l'4quation (6) d o l l I l e :

4

cpU

d e [uqueIle on dgduit la valeur de lP corrgupondante ~ une valeur donnde de q~(x).

4% Je vais 4cl~ircir tout cela par quelques exemples. Soit n ~ 4; pou r ce que nous avons d6mo~trd avec l'6quation (9) on yoit que si 8o(x) n'est pus elle-m~me rationnelle, on dolt avoir l'un ou l'autre des deux invariants g2, g'J ggales i~ zSro. Je supposerai g2 ~ 0 et 10aree q u e les calculations '& faire restent los m~mes, comme on verra apr~s) j e supposerai que le covariant g2 (zl, z2) du second dggr~ et de l'ordre 2 ( n ~ 4 ) " de ]~ forme f s'ammlle ideJ~tiquement. Par la thdorie des eo~cari~nts associgs grant:

qg~g~ ~ ~>oP4 q- 3P~- ~ ,

o~t aura pour les ( l l ) , (14): ~t - - et

9 . - - -

qo n (17) g~--~ ~ (;~-ij-(,;i---~j [ Y " - - 6(n--2)~Y2]"

La eonditiozJ g'z ~ - 0 co~dui~ donc ~ lYquation diff6renfielle:

y" - - 6 ( n - - 2 )2y 2 ~ O,

l~quelle peut s'int6grer tout-de-suite et donne:

(18) y'2 ~ 4 ( n - - 2)'~y 3 ~ D

D constanLe. Cette gquation k cause des (14) peut s'dcrire: ]9

(19) Y3'~ - - 4Y2:~ ~--- (n--'~? '

de laquelle en rdfldchissant que (7), (1t) en gdndral:

406 I", I~ ~os~m.

y ~ __r q),

12 rationnelle en x , on volt que 15 puissance ~ - de r dolt 6~re une

fonctioit rationnelle; c'es~-.~-dire que les seules valeurs de ~ s o n t 4, 6, 12; ce qt~e d'autre part on suit par lea recherches de M". W e d e - k ind .

On aura ainsi que pour n = 4, q0 '~ doit ~tre rationnelle ( c o m m e le dounerait la valeur de g3), pour n = 6 dolt 6t~re ~2 r a t i o n n e l l e e t la fouction m~me q~ rationnelle pour n ~-- 12.

De l'gqaation (19) en se rappel[ant que p:~ = fO 6taut 0 ~ 2 ( f h ) covariant du troisi~me d6grd eL de l'ordre 3 (n ~ 2 ) , oil aura:

0 ~ + 4 h 3 ~-- 4 m a r 'r

ayant pos6 D ~ 4(n~2)~-m:L Cette rgiation identique ea t re la f o r m e f e t ses covariants h, 0 se eomplhte en observaut que:

pour n ~ 4 , n ~ 6 , n ~ 12

1 / 7 - - - 1 A 4 m :~ -iSb~ ~- A on a 4m 3 ~ - - - g 3 , 4 m 3 ~ - - - i - s , -----

A dtant l'invariant quadratique duns los deux cas.

Enfin 'de l'dquation (18) on ddduit la suivante:

a~ ~- 2 ( n - - 2 ) d ~ , V~ + ,.~

y OU en posant~ ( Y - ) ~-- - - t :

d x

12

off p(x)~---q~n est uae fouction rationaelie de x . L ' iu tggr~Ie (15) d~vie~t dans les trois cas:

comme a dr4 ddmontr6 par M'. K l e i n duns sa c o m m u n i c a t i o n ~ la Soci~tg d'Erlangen (Ueber lineare Differentialgleichu~tgem S i t z u n g your 26. Juni 1876) et duns ma le~tre ~ ce savant ggom~tre p u b l i d e dan~ les Mathematisehe Annalen Bd. XI.

On peal aussi observer que si l'on pose z ~ z~, o~ ~ :

d z

e~ qae par consgquent l'6quation (20) donae:

ha ~hdoric des formea d:ms los tiqu~tious diffdrea~ielies. 407

t '~ t / i ~ t f-~(~)

c 'es t -h-di re que les intggrales du second membre pour les formes f pour Iesquelles on a identiquement g., ~ 0, peuvent se rgduire .~ des int4grales elliptiques, comme Mq S c h w u r z g ddmontr~ duns son rg- marquable mgmoire (Ueber diejenigen Fi~lle, in welchen die Gauss ' - sche hypergeometrische Reihe eine algebraische Is'unction ihres vierten Elementes durstellt~ Borchardt's Journal fiir Mathematik Bd. 75, p. 327).

Si dans l'6quation (20) on fair t ~ x et on suppose (1)

1 4 - - 7 x P ~ ~ x ( L - x ) '

on obt ien t : 6 . . . .

~ q (x) = - - 6(~ - 2 ) cl /~. e f ~ ,

mais dgsignant par vj, v~ les deux intggrales particuli~res corr6spon- dantes ~ zl, ~ , on u:

f (z,, z,~) s vj'd~ = / (v~ , v~),

en consdquence la fbrme principale [ (v 1, v~) sera constante. C'est le cas que j 'a i considgrg duns une communication ~ l'Institut Lombard (Sgance du 14 Ddcembre 1876. - - u aussi Kle in" Weitere Untersuchungen tiber das lkosaSder, Sitzungsbericht der Soeiet~t zu Erlangen, 13. No- v e m b e r 1876).

5% Je veux dgmontrer muintenant de quelie mani[re les formules (16), (20) peuvent servir g, la dgtermination de la fonction t(x) et peuven t par consdquent rdsoudre le probl~me indiqug par Mq le Prof. K 1 ei n duns sa communication du 26 Juin 1876 "~ la Soci4t~ d'Erlangen (Ueber lineare Differentialgleichungen, Math. Annulen Bd. XI, p. 115).

Si darts l%quation (I6) on pose au lieu de y l ' express ion--mt i et l 'on dgsigne par O l'expression rationnelle:

on a la valeur ggn~rale de la fonction rationnelle t(x):

(2 l) t (x) = 1 2

oft 9(x) est, comme nous noons vu~ ~ r 1)'autre part la condition g.z ~ 0 donne pour t l'6quation diffdrentielle (20):

(22) ..... d s . . . . . . . 6 ( n - - 2 ) CV'm dx

par consgquent l'on aura aussi:

408 F. Ba,osc,,,.

(23) at = 6(n-2) 1 / @ - ( x ) . d x .

L'dlimina~ion de la fonction ~(x) ou (p(x) des 6quations (21), (22) nous va donner un premier rdsul~at. En effet on d6dui~ faci[emen~ de l'~quation (22) :

ayant pos6: d *log d t d log

d x 1

[ G - a x , '~ l f - ~ - - J ;

et en subs~ituant darts cette derni~re la valeur de ~ donnde par l'&lua- tion (23) on arrive au rdsul~at suivant:

.Lt~ + / ~ t + N f dt')~ (24) - - 2 / ) = [G + ..... 2t~(~- - t )~ ' , ~ t x .

6rant: n2 8

- - ~ Jr- 9(n--2) ~' 9 ' ou aussi:

L ~- 1 -- m '~, -3i---:-- (1--/'z --m-~q- n2), N ~ I ~ / 2

les l~ m , n ayant les valeurs:

n 1 (25) l---~-~, m - = 6-0~:-ej ' n - = 2- "

L'dquation (24) donne en gdndra[ la valeur de 1 ~ correspondante s ehaque fonction t(x); et ell supposant:

- - 2 P - - ~ A x ~ E l t x + C et : o. x ~ (l --m)~

A ~ I - - ~ ' ~ , B ~ - - - ~ ( I ~ Z ~ - t ~ + v 2 ) , C ~ I - - Z 2 l'~quation m~me rgpond au probl~me de M '. K le in (Math. A n n a l e n Bd. XI~ p. 118). Dans ce cas l'gquation (24) ou la suivante:

~t~ (l-t)~ \ d x ] o . x 2 - ( - l _ , ~ - ~ 0

a &6 l'objet des rdeherches de M ~. K u m m e r rappelldes ci-dessus~ p a r lesquelles on suit que la valeur de t(x) peut s'obtenir au moyelt des sddes hypergdom&riques de Gauss.

Je supposerai duns la suite que la fonction ~(x) puisse s ' expr imer de eette manihre:

(26) e(x) = ~ x r (1 - - x)'-"

&ant, $ constant; r , s deux hombres entiers et positifs; et j e ~vais d&erminer toutes les fonetions t ( x ) corrgspondantes. La valour de se r a daIls ces oas :

gtani:

ou aussi-

(~7)

La th6oric des formes dana lea dquatious diffdrentiellcs.

r n* a x ~ + b x + c

a = s ( s ~ 12) -~ 3 6 A ,

b -~- - - 2 r ( s - - 1 2 ) ~.- 3 6 B ,

c -~ r ( r - - 12) -I- 36 C,

a ~-- (s - - 6) ~ - - 36 ~t 2,

409

a + + c ~ - (s--r~6) 2 - v~, b 36

c ~- ( r - - 6 ) ~ ~ 36 Z 2.

L 'dqua t ion (21) donnera :

(28) t - ~ 7~ x~_,.(1 _x)G_~+ ` ,

off:

i-2 ~. (n -- 1) 3 C a m 3

et de l 'gquat ion (23) on dgduira:

(29) dt n - - 2 Fdx~ + bx + c

L'dl iminat ion de t des dquations (28), (29) conduit .t l'dquation iden~iclue : (30) ( n - 2 ) ~ Q - 4 ( n - 1) t ~ = O, dana laquel le:

Q ~ - x 6 - ~ ( 1 - - x ) 6-~+~ - - k ( a x 2 - { - b x + c ) 3,

R~------(s- 12)x(ax~-~ - b x - ~ c ) - { - ( r - 6 ) ( a x 2 + bx-{ -c ) -~ 3x(1 x)(2ax-]-b)

et par celle-ci on aura lea valeurs de a, b~ c, k . J e supposerai r < 6, s ~ r < 6 , s > 6; et en posant x-----O, 1, z~

dana l 'dquat ion (30) on obtiendr~:

pour x = 0 , c ~ O, ou c = ~- (n :_~; r (~--r) ,

**--1 (6 ._s+r)2 , x ~ - l , a - - [ - b - ~ - c = O , , a--~b-{--c . . . . 4 % - L ~ ) i

n- -1 , X = ~ , a = O, , a - = - - 4 ~ - ~ i ~ r ( s - - 6 ) ~.

Les hombres r , s doivent par consgquent '~ cause des relations (27) safisfaire ~ I 'une on h l 'autre des conditions:

" ( ) (31) s ~ r ~ - 6 ( l - - v ) , , s - - - r 6 1 n - - ~ n v

( s -=-6(1+~) , , s = 6 1 + - % - -

410 J~'./3~osc~m

el: dans ces diffgretds ca~s on attra:

a + b + c - = O , ,,

a ~ 0:~ ~

- - ~ . - - 1

c -~- - - 12 ~ -- n': - z~'

a + b + c ~ - - 1-2~ 2~- ~ v ~,

a ~ - - 12 e # - ~ - . _

L'dlimination de r , s de trois r41a~ions (31) coexistantes c o n d u i t aux trois types de conditions entre les 2, ~t, v:

n - - 2 n A + ~ t n u _ _ v = l ~l A_ ,~_,z ~ - ' 2

et aux autres qu'on peut ddduire en permutunt les ~ t~, v. Au moyen de ces formules j'ai calculd le tableau suivant qu i cor-

respond '~ celui que M ~. S c h w a r z a donnd duns son impor tant t r av a i l : ,Ueber diejenigen F~lle, in welchen die Gauss ' s ehe hype rgeomet r i s che I~eihe eine ulgebr~ische Function ihres vierten Elementes darst~ellt" (Journal ftir Mathematik Bd. 75).

v l r . s - r

i l I ..... . . . . .

N o. I,~

l l . i~-

! 1 lll~ I~-

IV('.

1 V o. --g

VI ~

V]Io.

Vl l l o.

IX o.

1 X". i --:g I

1

i , 5 '

Xll l o.

p

' 2 r _ J 4 4

114 3

2 i 5 2 Y

1 1 1 2

1 J 2

i g ~- 4 3

,e,, 4

3 ~, 4~. C6 m3

3 ~ . 4 ~ . C ~ m ~

X

4 x

(1 - - X ) ~

46. 6 .j . C~ m 3 x

45.6~.C~ma I (t--x)~

K

1 -X-K

1 K 27

1 K

5" 33. 4

4 X

x

4 x (l - x ) ' ( ~ - - z ) 2

4 x

27 x ~

1 x (xW8)~

! ( x ' - a : + 1)~ 27 x 2 (1 - - x ) ~

1 (x~-b 1 4 x - b 1) 3

4.27 ~ ~-~- ~

Poly~dre

TdtraSdre

Octa~dre

lcosa~dre

K 12~.s~

Comme on volt les types XII, X I V , XV de M r. S c h w a r z n e soar pus contenus duns ce tableau; ils doivent par consgquent t o r t e -

La thdorie des formes d;~ns les dquatioJ~s diff6rcl,ticllcs. 411

spoudre ~L des expressions de q(x) diff4rentes de ce]le consider6e ici. Les autres valeurs des hombres r, s - - r qui ne sent pas comprises dans le tableau correspondent aux diffgrentes permutations de ~,, 9, v; ainsi en ddsignan~ par t (r, s ~ r , x) une fonction t on aurait, par exemple, pour te type sixi~me clue les fonctiolls:

~(~, 3, ~), ~(~,4, ~-x), 1 ~(~, ~, ~:~),

s e n t c h a c u n e ~ x .

t 5 , 3 ~ ~ , t 3 , 5 , x ) '

~(4, 5, ~ )

La recherche de la valour de la fonction t(x) on d'autres cas peut ~videmment se faire en suivant la mgthode expos~e ei-dessus.