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QuandlemathématicienDavidHilberttenteen1916deconstruirelapremièreThéorieduTout

Jean-PierrePetit1

AidéparPierreMarquetpourlestraductiondel’Allemand

LeprésentarticlesefondesurlesdeuxpublicationsfaitesparHilberten1915et1916([1],[2]).Avantd’entrerdanslevifdusujetilestnécessairedepréciserlecontextedanslequelcestravauxontétéréalisés.

Nous sommes en 1915. A cette époque seules deux forces, à l’œuvre dansl’univers, sont connues: la force électromagnétique et la force de gravité. Lesdeux autres: la force d’interaction forte, liant les composants des noyaux desatomes et la force faible, responsable de la radioactivité béta, ne serontdécouvertesquebeaucoupplustard.

LebouleversementintroduitparAlbertEinstein,avecsarelativitérestreinte,afinipars’imposer,dumoinschezcertainsespritsavancés,puisqu’elleestlaseuleà rendre compte de l’expérience initiée par l’américain AbrahamMichelson en1887,quiconclutàl’invariancedelavaleurdelavitessedelalumière,quelquesoir le référentiel, fixe ou immobile, dans lequel on opère. Aucune autreinterprétation,crédible,n’ayantvulejour.

Cetteidéemettracependantdutempsàdevenirundespiliersdelaphysiquemoderne, à telle enseigne que quand le prix Nobel fut attribué en 1921 à sonauteur,cene futpaspourcelle-cimaispourson interprétationdephysicienduphénomènephotoélectrique.Einsteinestd’ailleursconsidérécommel’inventeurdumot«photon».

Enquoiconsisteladécouvertedelarelativité?

Elle repose sur une nouvelle vision de l’univers, avec l’apparition d’unejonctionopéréeentredeuxmots,débouchantsurlemotcomposéespace-temps.Einstein,ainsi,peutêtreconsidérécommel’inventeurdel’espace-temps.

Antérieurement l’espace et le temps sont des objets dissociés. L’espace estconsidéré comme Euclidien. C’est à dire que le théorème d’Euclide en troisdimensions, commequoi sion repère lapositiondedeuxpointsAetBà l’aided’unrepèreorthonorméenleurconférantdescoordonnées:

xA , yA , zA{ } et xB, yB, zB{ } ladistancequilessépareest:

1AnciendirecteurdeRechercheauCnrs(physiquedesplasmas,astrophysique,cosmologie)jppetit1937@yahoo.fr

2

L = xB − xA( )2

+ yB − yA( )2+ zB − zA( )2

Letempssemesuredifféremment,àl’aided’horloges,desystèmesmécaniques.Avant Einstein personne n’aurait eu l’idée de joindre, demêler deux «objets»aussidifférentsquel’espaceetletemps,decombinerdesmètresetdessecondes.

Il yaderrière tout celaunevisiongéométriqueducosmos.Sinousenlevonsune dimension d’espace, la coordonnée z, par exemple, nous avons le schémasuivant:

Fig.1:Espacepré-relativiste

Quantau temps t=0 il seréfèrebienévidemment,en1915,à l’instantde lacréationdel’univers,«parDieu».

Acetteépoque,avantl’irruptiondelarelativitérestreintedanslemodedelascienceetdelaphysique,laquestion«quelleestalorslagéométriedel’espace-temps? » n’a guère de sens. On ne peut l’identifier à un espacemathématiqueRiemannien, défini par une métrique. Sinon, quel sens donner à la formulesuivante,définissantune«longueur»s:

(1) ds2 = dx2 + dy2 + dz2 + a2dt2

où a serait une constante, sous la forme d’une vitesse, pour qu’on puisseadditionnerdesgrandeurssemblables.Cettemétriqueestalorsdénuéedesensphysique.

Lescoordonnéesd’espacesontévidemmentdesréels: x, y, z{ }∈!3

Etletemps?Ilneviendraitàl’idéedepersonned’imagineruntempsnégatif,pasplusque d’envisagerunécoulementdutempsrétrochrone.Cettevariabletappartientdoncàl’ensemble t ∈! + .

3

La découverte d’Albert Einstein a pourtant une interprétation géométriquetoutàfaitclaire,àtraversl’espaceinventéparlemathématicienrusseHermannMinkowski.

Fig.2:HermannMinkowski(1864-1909)

C’est lui qui impose cette idée d’un continuum espace-temps, défini par lafaçondontexprimelalongueur,selonuneunoutil,qualifiéparlemathématicienfrançaisHenriPoincarédepseudo-métrique:

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

La contrainte, imposée en 1905 par la relativité restreinte d’Einstein, s’ytrouveexpriméedefaçonsimpleetclair:ilsuffitdedirequesestréel.Ainsifaut-ilque

c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 ≥ 0 ou:

v2 = dx2 + dy2 + dz2

dt2 ≤ c2

Cequientraînequelavitessesoitinférieureàc.Acettemétrique,onassociesasignature,souslaformedelasuitedesessignes:

(+ − − − )

Quand Einstein entreprend de décrire la gravitation à l’aide d’une formebilinéaire, si on note par x1 , x2 , x3 , x4{ } les coordonnées d’un des points del’espace tangent, x1 , x2 , x3{ } repérant celui-ci dans l’espace et x4 étant lacoordonnédetemps,ilsemblelogiqued’écrire,indifféremment:

4

ds2 = dx42 − dx1

2 − dx22 − dx3

2 ou ds2 = − dx12 − dx2

2 − dx32 + dx4

2 ≥ 0

Ce choix apparaît par exemple dans l’article publié en 1915 par Einstein, seréférantàsoncalculdel’avancedupérihéliedeMercure[3].

Fig.3:Lechoixdesignatured’Einstein

Il est facile de constater que ce choix de signature est omniprésent dans lesarticlesdetouslesauteursquiontpubliédesarticles,antérieurementàceluideHilbertde1916.CitonsSchwarzschild,Weyl,Droste,etc.

Quelquespréliminairesavantd’aborderlaconceptionquesefaitHilbertdelagéométriedel’espace-temps.

Onpeutdécrireunobjet géométrique2Dà l’aidede samétrique.Cellede lasphèreestparexemple:

(1) ds2 = R2( dθ2 + sin2θdϕ2 )

C’estunemétriquequiesttotalementrégulière,quellesquesoientlesvaleursdesdeuxvariables.Commentpeut-onaffirmer,surlabasedecettesimpledonnée,qu’il s’agit d’une 2-sphère? Eh bien, on effectue un changement de variable

θ = arcsin(r / R) pour passer des coordonnées θ ,ϕ{ } à des coordonnées r ,ϕ{ } .Onobtientalors:

(2) ds2 = R2

R2 − r 2 dr 2 + r 2dϕ

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On remarque alorsquepour r =R le premier termeaundénominateurnul.Nousavonsainsicrééunesingularitédecoordonnées.Autreremarque:pourr<Rle termeds2 est négatif. L’élémentde longueurds devient imaginairepur. C’estnormal: nous en dehors de la sphère. Pour ces métriques 2D, définissant desobjets,dessurfaces,Nousvoyonssedessinerunfilconducteur.Lamétriqueestunpolynômededegrédeux,une formebilinéaire,expriméeavecuncertain jeudecoordonnées,aprioriréelles.Sil’élémentdelongueurestaussiréel,c’estquenotre intervalle de définition a été judicieusement choisi. Sinon, là où ds estimaginaire, nous sommes simplement en dehors de la surface. Evidemment, demanière formelle,onpeut toujoursenvisagerd’étudier le comportementde cetobjet, en dehors de cet intervalle de définition. Mais alors nous brisons notrerègledujeu.Nousnesommesplusdanslemondedesréels,maisdansceluidescomplexes.

Revenonsàlaquestionposée.Commentsavoirque(1)et(2)représententunesphère?Onvapourcefairelaplongerdansunespacetridimensionnel r ,ϕ , z{ } .Lephysicienreconnaîtlescoordonnées«cylindriques»d’unespaceeuclidien3D.Danscetteopérationdeplongementl’élémentdelongueurdoits’exprimerdelamêmefaçon,enparticuliersurdescourbesméridiennesàϕ constant.Onécriradonc:

(2) ds2 = R2

R2 − r 2 dr 2 = dr 2 + dz2

C’estuneéquationdifférentiellequinousdonneimmédiatementlelienentreretz.Sonintégrationnousdonne:

(3) r2 + z2 = R2

Cettesurfaceestdoncengendréeparlarotationd’uncerclecentréàl’originedescoordonnées,autourdel’axeoz.C’estbienunesphèreS2.OnpourraitfairelamêmedémarcheenpartantdedeuxexpressionsdelamétriquedutoreT2:

(4) ds2 = rg

2dθ2 + (Rr + rgcosθ )2 dϕ2 et ds2 = dr 2

− r 2 + 2 r Rr + rg2 − Rr

2 + r 2dϕ2

Dans ces expressionnous reconnaissons le rayon rg du cercle générateurdutore,lerayondecepetitcercledontlecentretourneautourd’unaxepassantparson plan, le long d’un cercle de rayonRr. A gauche nous avons opté pour descoordonnées θ ,ϕ{ } qui ne posent aucun problème. A droite, en passant ausystèmedereprésentation r ,ϕ{ } nousavons,commepour lasphère,créédessingularitésdecoordonnéespourlesdeuxvaleursquiannulentledénominateurdupremiertermedusecondmêmeàsavoir

(5)r=Rr+rgetr=Rr-rg

Parailleursledsn’estréelquesicedénominateurrestepositif:

(6)Rr-rg<r<Rr+rg

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sinononestendehorsdelasurface.Uneopérationdeplongementdansl’espacetridimensionnel euclidien permet de découvrir des propriétés géométrique quiferontapparaîtrelemoded’engendrementdutore.Maispersonnenes’intéresseauxpropriétésgéométriquedecetobjet,parexemplepour r< (Rr-rg) . Siondécidaitdelefaire,onquitteraitlemodedesréelspourentrerdansuneétrangegéométriecomplexes,quin’aalorsplusrienàvoiravecdesobjets2Dtangibles.

Ils’agitlàd’objetsdéfinispardesmétriquesdontlessignessonttouspositifs.Onles désignera pas l’appellationmétriques elliptiques. Cela vaut pour un nombreillimitédedimensions,Considéronsparexemplel’objet3D:

(7) ds2 = dr 2 + r 2( dθ2 + sin2θdϕ2 )

Là,àl’aidedechangementsdecoordonnéesadéquatspourferaitréapparaîtrelamétriqued’uneespaceEuclidien:

(8) ds2 = dx2 + dy2 + dz2

Ainsinousretrouverionsnotreespacedereprésentationfamilier.Dans(7)lespoints sont seulement repérés en coordonnées polaires 3D. Mais, en étudiantl’objet à l’aide d’une famille de surfaces à r constant, s’emboitant comme despoupéesrusses,nouspourrions«lire»l’objetàl’aidedecefeuilletage.Cetespacepossède des géodésiques qui sont l’infinité des droites que nous pouvonsdessiner dans cet espace 3D. Parmi ceux-ci se trouvent les droites issues del’origine, qui sont perpendiculaires à ces surfaces S2 qui sont des sphères. Lescoordonnées r , θ ,ϕ{ } font figure de coordonnées Gaussiennes, concept auquelHilbertferaréférencedanscequivasuivre.

Nous pouvons quitter le 3D Euclidien en imaginant des espaces 3D, deshypersurfaces3Ddéfiniespar:

(9) ds2 = f (r)dr 2 + r 2( dθ2 + sin2θdϕ2 )

et nous aurions le même système de feuilletage par des sphères. Nous allonsenvisagerlecasparticulier:

(10)

ds2 = dr 2

1−Rs

r

+ r 2( dθ2 + sin2θdϕ2 ) Rs > 0

Pourlemomentiln’yapasdevariabletemps.Dansl’optiqued’uneextensiondecequenousavonsditsurlessurfaces2Dàdeshypersurfaces3D,définiesparleurmétrique,àpartirdesquellesontpeutconstruire leurscourbegéodésiquesonenvisageral’existencedecettehypersurfacedanssondsestréel,doncquandds2>0.Cequidonneunespacededéfinitiontelquer>Rs.Enfaisantrconstantnouspouvonsencorefeuilleterl’objetavecunefamilledesphèresemboitéeslesunesdanslesautrescommedespoupéesrusses.Maisilexistealorsunesphèred’aireminimale 4π Rs

2quicorrespondàlamétrique:

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(11) ds2 = Rs2( dθ2 + sin2θdϕ2 )

C’estunesphèredegorge.Maisquesepasse-t-ilenr=Rs?Ledénominateurdupremiertermedusecondmembredevientnul.Cettesphèreest-ellesingulière?Non,c’estencoreunesingularitédecoordonnées.Onpeutl’éliminerenopérantlechangementdevariable:

(12) r = Rs ( 1+ Ln chρ )

Lamétriquedevientalors

(13) ds2 = Rs

2 1+ LogchρLogchρ

th2ρ dρ2 + Rs2 1+ Logchρ( )2

dθ 2 + sin2θ dϕ 2( )

Iln’yaalorsplusdelimitedansl’espacededéfinition,etpeutvarierdemoinsl’infiniàplusl’infini.Lespotentielsmétriquessont

(14)

gρ ρ = Rs2 1+ Logchρ

Logchρth2ρ

gθθ = Rs2 1+ Logchρ( )2

gϕϕ = Rs2 1+ Logchρ( )2

sin2θ

Enquoicetteopérationa-t-ellerenducettemétriquerégulière?Quand ρ = 0 lecosinus hyperbolique vaut l’unité et son logarithme est alors nul. Donc ledénominateur dans le premier terme du secondmembre est toujours nul. Oui,mais il en est de même pour la tangente hyperbolique. Si nous faites undéveloppement en série au voisinage de ρ = 0 vous verrez que

gρ ρ → 2 . Cettehypersurface est donc parfaitement régulière. Sa sphère de gorge pour ρ = 0 atoujoursuneaireminimaleégaleà 4π Rs

2 .Pourcalculerce«volume2D»(unesurface)ilfautfaire:

(15)

g∫∫ dθdϕ

Mais vous pourrez vous convaincre que la non contractibilité de l’objet esttoujours présente. Il vous suffit sur cette sphère de faire θ = π / 2 et de fairevarierde0à 2π .Vousobtenezunpérimètrefini p = 2π R s .Ques’est-ilpassé?Vousn’êtesplusdansvotreconfortableespacedereprésentationtridimensionneleuclidien (le seul dont vous disposez en fait, pour vous construire une imagementale).

Cette hypersurface est donc une variété à trois dimensions, équipée d’unemétrique Riemannienne elliptique. Dans ce nouveau système d’axes ledéterminantn’estjamaisnul.Cequisignifiequecettehypersurfaceestorientable.

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Entoutpointonpeutydéfinirunproduitvectorieletla«règledutire-bouchon»,quivaavec, sera lamêmetout toutspoints. Ilestévidemmentpéniblepour lesneurones d’envisager cette sorte de «pont spatial» qui crée un passage entredeux espaces 3D euclidiens (qui sont comme «l’un dans l’autre»). On peutl’appeler un «diabolo 3D». Nous verrons plus loin comment lemathématicienHermannWeylacrééetétudiécetobjet,en1917.

Aupassagevouspouvezeffectuercesdémarchesavec«lediabolo2D»,définiparlamétrique:

(16)

ds2 = dr 2

1−Rs

r

+ r 2dϕ2 Rs > 0

Avec lemêmechangementdevariablevouspourriezvérifiersarégularitéenobtenant:

(17) ds2 = Rs

2 1+ LogchρLogchρ

th2ρ dρ2 + Rs2 1+ Logchρ( )2

dϕ 2

Mais il y a alors une façon beaucoup plus «tangible» d’appréhender cettesurface.Ilsuffitdelaplongerdansunespaceàtroisdimensionsetdeconstruiresaméridienne ( ϕ = cst ) .Vousobtenezalors,commepourlasphère, l’équationdifférentielle:

(18)

ds2 = dr 2

1−Rs

r

= dr 2 + dz2

Sasolutionestla«parabolecouchée»:

(19) r = Rs +

z2

4Rs

Voicicettesurface:

Fig.4:Lediabolo2D

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Nous retrouverons ce schéma dans l’analyse faite en 1917 parWeyl, que nousdétailleronsplusloin.

Un autre système de représentation: la projection, et les pièges de lapensée.

Nousavonsévoquéunmodedereprésentationd’une2-surfaceenlaplongeantdans notre espace 3D euclidien. Nous effectuons là un geste transcendant, enajoutant unedimension supplémentaire.Mais commentun être vivant dansunespace2Deuclidiensereprésenterai-ilcediabolo?Ilnepourraitleconcevoirqueprojetédanssonpropremonde.Ilimagineraitalorsuneétrangefrontière,figuréepar un cercle. Les objets qui cheminent sur cette surface, non Euclidienne,franchissent alors un cercle de gorge. Notre habitant de l’espace euclidien 2Dpeutalorsimaginerquesonmode«possèdeunendroitetunenvers».

Dig.5:Représentationplanedudiabolo2D

On peut illustrer cette relation d’énantiomorphie en partant d’un triangleorientétracésurceplan,«habitatdenotreobservateur2D».Lafigureci-aprèsillustrecetteinversiondel’orientation.

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Fig.6:Inversiondel’orientation.

Ceci nous paraît évident car nous avons la possibilité de plonger ces deuxstructuredansnotreespacedereprésentationEuclidien3D.Maispourl’habitantdeceplanilseraittrèsproblématiqued’envisager«qu’àl’intérieurdececercleiln’yaitrien».

Passonsà l’hypersurface3D.Là,onnepeutplusdessiner,maiscette idéedeprojectiondansuneespacedereprésentation3DEuclidienestlamême.Cettefois,l’habitant de cet espace c’est vous, c’est moi. Ils sera très difficile d’envisager«qu’àl’intérieurdecettesphèredegorgeiln’yaitrien»,etqu’onnepuissepascontracterunesphèreenluidonnantuneaireinférieureàunevaleurfinie 4π r 2 ,enunmotquecetespace3Dnesoitpascontractile.

Atraverscesexemples2Det3Dnousvoyonsquelefaitd’utiliserunespacedereprésentationEuclidien(leseuloutilmentaldontnousdisposons)pour tenterdelire,de«comprendre»(étymologiquement«prendreensemble»)desobjetsse présentant sous forme d’ensembles de points nous amène à imaginer desobjetsquin’existentpas.C’estparticulièrementfrappantpourlastructure3Doùnoussommestotalementincapables,mentalement,denousdébarrasserdecetteidéede«l’intérieurdelasphèredegorge»

Surfacesethypersurfaceshyperboliques.

Le termehypersurface évoque toujoursunepossible représentationdansunespace de représentation de dimension supérieure. Nous avons une image

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intuitivedesgéodésiquesd’unesurface. Ilestbeaucoupplusdifficiled’imaginercelles-cien3D.Enrelativitégénéraleonditsouventquel’espacetempsestunehypersurfaceàquatredimensions.Làencore, l’objetestdéfinipar samétrique.Ce qu’Einstein et Minkowski ont apporté de nouveau c’est l’introduction enphysiqueàdemétriqueshyperbolique,dontlasignaturefaitcohabiterdessignesopposés. Nous pouvons ainsi considérer un espace temps relativiste à deuxdimensions.

(20) ds 2 = c2dt2 − dx2

Lecalculdesgéodésiquescorrespondauproblèmevariationnel:

(21) δ ds

AB∫ = 0

Oncherche lescourbescorrespondantàdes trajetsoù ladistanceparcourueest minimale. Cela nous amène à résoudre les équations de Lagrange. Celles-cinous conduisent à des représentations de x et de t linéaires en fonction duparamètre s. Par voiede conséquencex et s sont liéspar la relation égalementlinéaire x= v s, ou v est la vitesse. Et si nous imposons que la longueur s soitréelle,nousdevonsavoir:

(22) v = dx

dt< c

Quefontalorslesthéoriciens?Quetrouve-t-ondanstousleslivres,lescours?Ontrouvedesimagescommecelles-ci,en2Douen3D:

Fig.7:Lecônedelumière

A gauche une façon de représenter cet espace hyperbolique (t,x) à deuxdimensions.Adroite leclassique«cônede lumière».Sur la figuredegauche lacourberougeestcenséereprésenteruntrajetcorrespondantàx=vtavecv<c

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La courbe noire à un trajet à v > c . Elle se situe dans «l’ailleurs». Mais enfaisantcela,que faisons-nous?Nous tentonsdenous forgerune image2Dd’unespacehyperboliqueenleprojetantdansunespace2Deuclidien,demétrique:

(23) ds 2 = c2dt2 + dx2

Nous créons ainsi «quelque chose qui n’existe pas», en l’occurrence cettesurfaceouvolumegrisé«extérieuraucônedelumière».Cesespacen’existepasplus que cet «intérieur de la sphère de gorge» que nous créons en tentant deprojeter la structure dudiabolo 3D ans un espace3DEuclidien. Cet «ailleurs»n’existe, étymologiquement parlant que dans notre imagination et découle del’imagequenousavonscréée.

Laconclusionestsimple:

- Onnepeutsimplementpasconstitueruneimagementale,oudidactiqued’unestructure dotée d’une géométrie hyperbolique. Toute tentative de ce genreinduitunevisionerronéedeschoses.

Cepréambuleayantétéposé,nousallonspasseràlamatièremêmedel’article,à lafaçondontHilbertacréésaproprereprésentationdel’espacetempsetpardelàdel’univers.Lacoursetrépidante,aucoudeàcoude,dedeuxgénies.En1915Hilberta53ansetadéjàunpalmarèsimpressionnantderrièrelui,quil’a faitconnaîtrebienau-delàdes frontièresallemandes. Ilaime l’abstraction, lalogiqueets’estsignalé,entreautre,enpubliantuntraitéoùildéfinitlesaxiomesquisous-tendentlagéométrieeuclidienne.Touslesmathématiciensallemandsetétrangersleconsidèrentcommeun«phare»dansladisciplineetsaventquesonnoms’inscriraenbonneplacedansl’histoiredesmathématiques.

Iln’apastoujoursportéd’intérêtpourlaphysique.Onrapporteàsonsujetuneanecdote amusante. Sollicité pour remplacer lemathématicien Félix Klein2qui,chaque année, donnait devant les élèves d’une école d’ingénieurs de Göttingenuneconférence,ilavaitcommencécelle-ciparcesmots:

-Onditquelesmathématiciensetlesingénieursontdumalàsecomprendre.C’estfaux:ilsn’onttoutsimplementrienàfaireensemble.

2Quiinventesacélèbrebouteilleen1882,àl’âgede33ans.

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Fig.8:DavidHilbert(1862-1943),en1915

Fig.9:FélixKlein(1849-1925)en1915

Notonsqu’àl’époqueunfossésimilaireexistedansledomainedelaphysiqueexpérimentale, à son niveau fondamental, où des gens qui sont physiciens etchimistes défrichent ce qu’on appellera plus tard la physique nucléaire. Parmiceux-ci lephysicienNéo-Zélandais, haut en couleurs,ErnstRutherford. Sollicitépendantlapremièreguerremondialepardespolitiques,quiluidemandaients’ilne pourrait pas produire, à partir de ses travaux, quelque arme nouvelle quipermettrait à l’Angleterredeprendre lepas sur sonadversaire, l’Allemagne, illeuravaitrépondu,alorsqu’iljetaitlesbasedelafuturephysiquenucléaire:

- Je laisse à vos chimistes le soin d’inventer des gaz asphyxiants et à vosingénieursdesavions,dessous-marinsetdestorpilles.Nous,savants,nousoccupons de choses totalement différentes,en cherchant à percer lessecretsdelamatière.

C’estlarencontreaveclejeuneEinstein,devingtanssoncadet,quiestpourHilbertdéterminante. Ildécouvrealorsunfantastiquechampd’applicationsdes

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mathématiquessophistiquéesàunephysique,quidésormaisnel’estpasmoins.Ilnoued’étroitesrelationsavecEinstein,que l’onpeutmêmetrèsvitequalifierd’amicalesetquisontentoutcasfondéesurunegrandeestimemutuelle.Enjuin1915Einstein luidonneunvéritablecourssur larelativitéetHilbertcomprendqu’ilya làmatièreàmiseenœuvredel’outilextrêmementpuissantreprésentéparlestechniquesducalculdesvariations.

Ilcommenceparappliquercetteidéeàl’électromagnétisme,puisils’intéresseàla gravitation. A l’époque, le téléphone n’existe pas. C’est donc à travers denombreuses lettres que ces deux-là communiquent. Il se trouve qu’un nombreimportant de ces correspondances nous est parvenu. Elles se trouventreproduites, en tout ou parties, entre autre par Tilman Sauer [3,], qui a lagentillesse de reproduire ces textes dans leur traduction anglaise. HilbertcommuniqueàEinsteinsavisiondeschoses: ilpenseêtresur lepointd’unifierles deux seules forces connues à l’époque, la force électromagnétique et lagravitation. Einstein travaille différemment, par essai-erreur. Les grandesmathématiquesnesontpassonfort.Trèsintuitif,enétantavanttoutfantastiquephysicien,c’estpartâtonnementqu’ilestsurlepointd’arriver,aprèsdixannéesderéflexion,àcequiseraconsidérécommelacléd’unenouvellethéorie,celledelarelativitégénérale.MaisHilbertlecoiffeaupoteaule20novembre1915[1].Cen’estquecinqjoursplustardqu’Einsteinenvoieàlamêmerevue:lesannalesdel’académiedessciencesdePrusse[4]:

Fig.10:L’articled’AlbertEinstein,du25novembre2015,intitulé:«L’équationdechampdelaGravitation»[4]

Voicil’équationd’Einsteinoùilformuleceaprèsquoitousdeuxcourraient,uneéquationdontlesdeuxmembressontàdivergencenulle.

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Fig.11:L’équationdechampd’Einsteinsoussaformepremière(25nov.1915).

Hélas,quatrejoursplustôtHilbertainscritdanssonarticlecetteéquation:

Fig.12:L’équationdechampdeHilbert(20nov.1015)[1].

Traduction:

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Utilisant lesnotationsde ladérivation variationnelle par rapportà gµν

quenousavonsintroduitesplushaut,l’équationdelagravitationprendlaforme:

g K⎡

⎣⎤⎦µν

+∂ g L∂gµν = 0

Avec,commepremiermembre

g K⎡

⎣⎤⎦µν

= g ( Kµν −1

2K gµν )

PourHilbert Kµν estletenseurdeRicci,qu’Einsteinappelle

Rµν .Kestlescalairequiendérive,le«scalairedeRicci»,quiestdésignéparlalettreRchezEinstein.Deplus:

∂ g L∂gµν = − g Tµν

Doncl’équationdeHilberts’écrit:

(24) Rµν −

1

2R gµν = Tµν

C’estbiensouscetteforme,àlaquelleilmanqueletermeattachéàlaconstantecosmologique

Λ gµν

qu’Einstein introduira plus tard, sur le conseil de Hilbert, pour réussir àconstruire le premier modèle cosmologique relativiste, décrivant un universstationnaire,quecetteéquationentreradansl’histoire.

L’équation présente dans l’article d’Einstein, postérieur de 5 jours à celuid’Hilbert, n’est qu’une autre forme, équivalente, où on reconnaît, à droite, «letenseur matière Tim » et «le scalaire de Laue» T, qui en dérive3. Mais Hilbertajouteune constructionde l’équationparméthodevariationnelle en la fondantsuruneactionconstruitesurcequ’ilappelleune«fonctiondel’univers»:

(25)H=K+L

KestévidemmentlescalairedeRicci.Techniquequel’histoireretiendrasouslenom«d’actiondeEinstein-Hilbert».

3Construitàpartirdutenseurmatière,delamêmemanièrequelescalairedeRicciRdérivedutenseurdeRicciRim.

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Au fil de leur intense correspondance épistolaire, des relations trèschaleureuses se créent entre ces deux génies, qui s’assument comme tels,parfaitementconscientsdeleurproprevaleur,etdecelledeleurpartenaire.

Fig.13:AlbertEinsteinen1915

Effectivement, Einstein et Hilbert poursuivent, à une époque qualifiée de«trépidante», deux programmesde recherche parallèles, oùEinstein se centresurlaseulegravitation,alorsqueHilbertrêved’unirlesdeuxchampsdeforce,électromagnétique et gravitationnel4. Dans [3] vous retrouverez évoquées cesjournéesd’agitationetdedoute.MaisfinalementEinsteinchoisitl’apaisement,enécrivantàHilbertle20décembre1915(voircetteréférence,page48).:

- Il y avait entre nous un certain ressentiment, dont je ne veux pasanalyser la cause. J'ai lutté contre le sentiment d'amertume qui y étaitassocié,etavecunsuccèstotal,jepenseànouveauàvousavecuneamitiésansmélange,etj'aimeraisquevouspensiezdelamêmefaçon.

Entouterigueurlaconclusionauraitduêtred’attribuercetteéquationauxdeuxauteurs.Maisàcetteépoquelespasd’Einsteinnesontpasencorecomplètementassurés.Al’opposé,labrillantecarrièred’Hilbertestunfaitreconnu.L’aîné,trèssport,laissedonclaprimeaubenjamin.

Cependant,quandonrevientsurcesdeuxéquationsilsubsisteunedifférence.Dans celle d’Einstein est présent un radical − g où le déterminant de lamétriqueestprécédéd’unsignemoins,absentchezHilbert.Danscequivasuivrenousallonsdécouvrirpourquoi.

4Cequetentera,envain,d’obtenirdansune«théoriedeschampsunifiés».Unedémarchequin’étaitpossiblequ’enadjoignantunecinquièmedimension(Kaluza)

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Lecosmosen1915.

Avant de présenter la propre vision de David Hilbert il est important deconsidérercequeleshommesdesciencesavaientsurl’universen1915.

La spectroscopie voit le jour en Allemagne, à Heidelberg, en 1859 avec lespremiers travauxdeGustavKirchhoff et deRobertBunsen, inventeurdubec àgazdumêmenom.Ellepermetd’identifierlanatured’unesourcesurlabasedesasignaturespectrale.Alamêmeépoque,àl’aided’unelunetteinstallésurletoitduVatican, lepèreAngeloSecchi,quantà lui, poursuit l’idéequechaqueétoileest liée à un défunt. Mais aux Etats-Unis, en Nouvelle Angleterre, à la mêmeépoque l’astronome Edward Pickering Entreprend un vaste classement desétoiles,selonleurspectre,cequidonneranaissanceaudiagrammed’Hertzprung-Russel en 1900. En 1865 le génial Ecossais James Clerk Maxwell publie leséquationsquigouvernentl’électromagnétisme.

Fig.14:JamesClerkMaxwell1831-1879(mortà48ans)

En 1916 l’Anglais Eddington suit de très près à la fois les avancéesexpérimentalesetobservationnelleset lesprogrèsde la théorie. Il participedetrèsprèsaumouvementquidéboucherasur lacompréhensiondesmécanismesde production d’énergie sous forme de rayonnement au sein des étoiles, quiexploiteront la compréhension de la radioactivité, théorie qui ne serafonctionnellequ’en1920.

Depuis 1840 on connaît les vitesses des étoiles (et par delà leurs masses),évaluéesparl’effetdécouvertparl’AutrichienChristianDoppler(1803-1853)etleFrançaisArmandFizeau(1819-1896).

Grâce à Newton la mécanique céleste a pris ses marques. Confronté auproblème de l’instabilité des trajectoires des planètes celui-ci estimait que, de

19

temps en temps, c’était Dieu qui, opérant dans les coulisses, les remettait surleurs orbites. Une idée invalidée par le Français Pierre Simon de Laplace quirésout le problème par les mathématiques. Questionné par Bonaparte, qui luidemande quelle est la place de Dieu dans tout cela il lui répond «qu’il n’a eubesoin de cette hypothèse dans ses calculs». En 1902 l’Anglais James Jeansformalise le mécanisme d’instabilité gravitationnelle donnant naissance auxétoilesetplanètes.

La première particule élémentaire découverte est l’électron, par l‘AnglaisJ.J.Thomson en 1897, donc à l’orée immédiate du siècle. L’idée résulte del’interprétation des expériences menées par l’Anglais Crookes où une cathodeplacée dans un tube à vide projette son «rayonnement cathodique», lequel setrouvédéviéparunchampmagnétique.En1995leFrançaisJeanPerrinidentifieces«rayons»àunjetd’électrons.Trèsvitelerapportmasse-chargeetdéterminéetcettedernièreestmesuréeen1911parl’AméricainMillikan.

Fig.15:J.J.Thomson1856-1940

Quand en 1905 le Néo-Zélandais Ernst Rutherford démontre la naturecorpusculairedelamatière,l’existencedesatomes,l’idéed’atomesconstituédenoyauxchargéspositivementautourdesquelsgravitentdesélectronsémergeen1913,lepremiermodèle,seproposantdedécrirel’atomed’hydrogène,ayantétéavancéparleDanoisNielsBohr,alorsâgéde28ans.

Ainsi, pendant toute la première moitié du XIX° siècles tous les outils, tantthéoriques qu’observationnels, voient le jour. Quand Hilbert s’interroge sur lefonctionnement du cosmos, la quantité de découvertes effectuées dans le peud’annéesprécédentesesthallucinanteettrancheaveclastagnationactuelledelaphysique, de l’astronomie et de l’astrophysique,5depuis un demi siècle, où

5Absencedemodèlemathématiquedegalaxie,modèlestandardfondésurtroiscomposantshypothétiques,l’inflaton,lamatièresombreetl’énergienoire.

20

aucunenouvelleparticulen’aétédécouverte6,oules«savants»,les«trouveurs»semblentavoirétéremplacésparunearméede«chercheurs»,cinqcentfoisplusnombreuxqueleursaînés,«accumulantlesdonnées».

Ilrestequepersonnen’imagineuneseulesecondeuneévolutionquelconquedela scène cosmique, perçue comme globalement homogène et stationnaire.S’imposedans l’espritde tous,quelle soit explicitement formuléeounon, l’idéed’unecréationparDieu,àun«instantzéro».

Ajoutonsqueletoutdébutdeladécouvertedelanatureprofondedelaforcedegravité, réinterprétée en terme de géodésiques d’un espace très faiblementcourbé,nechangepaslanatureglobaleducosmos.

Dans cette année 1915, décidément riche en évènements scientifiques depremièregrandeur,nousavonsvuqu’Einsteinavaitpublié,le25novembre1915,unarticle présentant l’équationduchampgravitationnel[4].Mais,encemêmejourilapporteunesecondecontribution,depoidssouslaformed’unepremièresolution, linéaire, qui donneune évaluation précise de l’avance du périhélie deMercure [5]. La linéarisation se justifie amplement, le phénomène, minime,quelques dizaines de secondes par siècle, pouvant être assimilé à uneperturbation. Ce résultat retentit comme un coupde tonnerre.Non seulementl’approchedesphénomènesducielàl’aided’uneéquationdechampreprésenteun saut paradigmatique majeur, mais une solution de cette même équationapporte la clé d’une énigme restée jusqu’ici sans solution7. Un travail qui setrouve confirmé quelques semaines plus tard quand l’Autrichien KarlSchwarzschild [6] , qui écrit à Einstein, en décembre 2015, qu’il vient deconstruirelasolutionlinéaire.

Cela stimule Hilbert qui, au long de l’année 1916 prépare fiévreusement lapublication d’un travail encore plus ambitieux, extension de son papier denovembre 1915, qu’il publie le 23 décembre 1916, la veille de Noël. Enmêmetemps il annonce à Einstein qu’il est sur le point d’opérer une synthèse entreélectromagnétismeetgravitation,brefdecréercequ’onpeutconsidérercommelapremièreThéorieduTout.

Laconceptiondelagéométriedel’espace-tempsparHilbert.

Si on excepte ces courbures infimes liées à la présente des masses l’espacetempsrestequasiplat,quasiEuclidien.Einsteina,biensûr,apportel’idéequelemouvement altère l’écoulement du temps, mais le phénomène ne semble semanifester de manière sensible que pour des vitesses «relativistes», nonnégligeablesdevant la vitessede la lumière, qui n’appartiennentpas encore au

6Echecdelamiseenévidencedessuperparticules,issuesdelasupersymétrie.7LeFrançais leVerrieravaitbien tenté, comme il l’avait faitpour sadécouvertede laplanète Neptune en 1846, fondée sur l’analyse des perturbations de la trajectoired’Uranus,de rendre comptede cette avancedupérihéliedeMercureen calculant lesparamètresdel’orbitedecelle-ci,circulantplusprèsduSoleil,àlaquelleilavaitdonnélenomdeVulcain.Maiscelle-cirefusédesemanifesterauxyeuxdesastronomes.

21

mondede la physique expérimentale et de toute façon totalement négligeablesdanslaNature.Onpeut,danslafiguresuivante,donnerlareprésentationquesefaitHilbertdel’espace-temps.

Bien sûr, le formalisme général de la relativitémontre que les points de cetespace peuvent être repérés par une infinité de systèmes de coordonnéesdifférents,demêmequ’ilexisteuneinfinitédefaçonderepérerlespointssurnesphère, de la cartographier. Mais Hilbert garde en tête qu’il doit exister unsystèmeparticulier,meilleurquelesautres,qu’ilqualifiede«vrai»(Eigentliche8).L’idée sous jacente est celle d’un espace 4D feuilleté par une infinitéd’hypersurfaces3Dempiléeslesunessurlesautres.

Fig.16:L’espacetempsdeHilbert,soussaformeprimitive.

Lespointsmasses suiventévidemmentdesgéodésiquesde cet espace temps.Ils cheminent alors selon des «time lines» (Zeitlinie) . Le dessinmontre cettefamille de lignes de temps, perpendiculaires aux hypersurfaces 3D figurantl’espace. Bien sûr, s’il n’y avait aucune force, les hypersurfaces 3D de l’espaceseraient des espaces 3D Euclidiens, et les trajectoires seraient des parallèles,perpendiculaires à ces couches parallèles. Et il ne se passerait rien. Mais lesforces de gravité se traduisent par un gondolement à peine perceptible deshypersurfaces3D. Corrélativementlestimeliness’écartentlégèrementdecette

8«Quiconvientlemieux,leplusapproprié,quiestleplusenaccordaveclaréalité.

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famille de lignes parallèles. Ceci étant, on reste très proche d’une structureEuclidienne. Hilbert commence donc par introduire quatre coordonnées

( w1 , w2 , w3 , w4 ) qu’il désigne comme étant des «paramètres universels»(Weltparameter).Lestroiscoordonnéesseréfèrentàl’espace,w4seréférantautemps. L’instant w4 = 0 représente, même si Hilbert ne le formule pasexplicitement, «l’instant de la création dumonde par Dieu» (Hilbert est issud’unefamilleprotestante,profondémentcroyante).

Pour Hilbert, le temps est d’une essence différente de l’espace. La façonélégante de rendre compte de cela est d’imaginer que la coordonnée de tempssoit imaginaire pure, ce qu’il pose en écrivant, sur la première page de sonarticle:

(26) w1 = x1 w2 = x2 w3 = x3 w4 = ix4

Avant de parler de longueur, en bon mathématicien, Hilbert considère uneforme bilinéaire G construite à partir des coordonnées ( X1 , X2 , X3 , X4 ) d’unvecteurdecetespacequadridimensionnel:

G ( X1 , X2 , X3 , X4 ) = gµν Xµ

µν∑ X ν

Ilneprécisesonchoixconcernantcetteformequesixpagesplusloin

Fig.17:LaformebilinéairepréférentiellementchoisieparHilbert,expriméedansunsystèmedecoordonnéesGaussiennes.

Cetteexpressionpeutalorss’exprimersoussaformedifférentielle:

23

(28) G ( dx1 , dx2 , dx3 , dx4 ) = gµν dxµ

µν∑ dxν

Hilbertconsidèrealorsunecourbedontlespointssontrepérésàl’aided’unparamètrep:

(29) xs = xs( p) ( s = 1, 2 , 3 , 4 )

Ilprécisebienquecescoordonnéesles xs( p) sontdesréels.Ildivisealorssacourbeenportionsetconsidèrel’expression:

(30) G (

dx1

dp,

dx2

dp,

dx3

dp,

dx4

dp)

Ilconsidèrealorsdeuxcasdefigure.

Soitlaformebilinéaire,danslarégionoùcettecourbeesttravée,estpositive

(31) G (

dxs

dp) > 0

Il décide alors d’appeler ces portions de courbe des segments (Strecke). Ilintroduitalorsunepremière«longueurdecesegment»,selon:

(32)

λ = G (dxs

dp) dp∫

Puisilenvisageuneautreportionqu’ildécided’appelerlignedetemps(Zeitlinie)où:

(33) G (

dxs

dp) < 0

et l’intégrale calculée le long de cette autre portion de courbe sera appelée letempspropredecettecourbedugenretemps

(34) τ = − G (

dxs

dp) dp∫

Enfinilintroduitedescourbesdelongueurnulle(Nullinie),tellesque

(35) G (

dxs

dp) = 0 .

Grâce à l’expression (34) Hilbert parvient à établir un lien avec la relativitéd’Einstein.Eneffetsaformebilinéaire,soussaformedifférentielle,est:

(36) G ( dxs ) = dx12 + dx2

2 + dx32 − dx4

2

24

Elleestdoncnégativesionveutcadreraveclesimpératifsdelarelativité,avecunevitessedelalumièrec=1:

(37) v2 =

dx12 + dx2

2 + dx32

dx42 <1

Grâceàl’introductiondusignemoinssouslaracine,Hilbertretrouveletempspropredelarelativitérestreinte

(38) dτ2 = dx4

2 − dx12 − dx2

2 − dx32

Mais vous avez maintenant l’origine du changement de signature, qui s’estimposé comme un standard aujourd’hui, dans les cosmologie comme dans laphysiquethéorique,sansqu’onpuissetrouveratraced’unarticlequilejustifie.

Dans l’expression (37) on trouve la signature introduite par Einstein qui est ( + − − − ) .Danscequ’écritHilbertelleestdevenue ( + + + − ) ou ( − + + + )

etle

signessesonttrouvésinversés.

Danscespremièrespagesdesonarticlede1916ontrouvequelquechosedebeaucoup plus grave, qui va peser sur tout le développement ultérieur de lacosmologie,quiestcetteidéededotersavariétéquadridimensionnellesM4,nond’une longueur, mais de deux etλ et τ ! Il parle ainsi de deux instruments demesure différents. La longueur seramesuré à l’aide d’une «horloge lumière»(Lichtuhr). Dans les autres régions de son espace-temps, là où sa forme G estpositive, ilutiliseraunruban (Maβfaden9)pourmesurersa longueurλ . Mais ilprécisequandmêmequesiontented’effectuerdansunedesrégions,unemesureavecl’instrumentenusagedansl’autre,çanefonctionnepas.Onobtienteneffetalorsdesvaleursimaginaires.

Mais il n’en dira pas plus, dans le reste de l’article, sur la nature de cesmystérieusesrégionsdesonespacetempsoùleslongueurssemesurentaveccescalaireλ .Etcelaalorsqu’ilseconcentreavecbeaucoupd’insistancesurcequipeutavoir,selonlui,unesignificationphysique(PhysicalischerNatur).

Unpeuplusloin,Hilbertdéfinitlecônedelumière(Null-kegel:lecônenul)quiest en as = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) (son sommet) et dont le point courant a pourcoordonnées ( X1 , X2 , X3 , X4 ) satisfaisantl’équation

(39) G ( X1 − x1, X2 − x2 , X3 − x3 , X4 − x4 ) = 0

Etilprécisequetoutesleslignesdetemps(courbesdugenretemps)issuesdupoint as se situent à l’intérieurde cettepartie quadridimensionnelledumondedontlafrontièreestlaséparationtemporellede as .

9Maβfaden:Filconducteur.

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Toutesleslignesdetemps(courbesdugenretemps)issuesdupoint as sesituentàl’intérieurdecettepartiequadridimensionnelledumondedontlafrontièreestla séparation temporelle de as . Il se concentre ensuite sur le problème de lacausalitéenphysique,enrecherchantunsystèmedecoordonnées«vrai».

Acesujetildéclare:

- Un système de coordonnées d’espace temps sera qualifié de «vrai»(EigentlichesRaum-Zeitkoordinatensystem)sic’estunsystèmepourlequellesquatre inégalités ci-après sont satisfaites, avec enoutre le fait que ledéterminant g soitnégatif.

(40)

Iladopteensuite ladéfinitiond’unsystèmed’unchangementdecoordonnéesd’espace-temps qualifié également de «vraie», de «réelle» (eigentliches). C’estsimplement le systèmede changement de coordonnées qui, à des coordonnées«vraies»,satisfaisantlesinégalités(40)faitcorrespondreunautresystème,dotédes mêmes propriétés. Les quatre inégalités signifient qu’en tout pointévénementas lecônenulassociéexclut l’espace linéairex4=a4maiscontientàl’intérieurlalignepassantparlepoint ( x1 = a1 , x2 = a2 , x3 = a3 , x4 = a4 )

Ilsedonnealors uneligned’universxs=xs(p).Dufaitde(33)ildécoulequedansunsystèmedecoordonnéesd’espacetemps«vrai»ondoitavoir

(41)

dx4

dp≠0

Il en déduit que le long de cette ligne de temps, la coordonnée de temps«vraie»x4doitêtresystématiquementcroissanteetnepeutdécroître.Enraisonde ce qu’une ligne du genre temps reste une ligne du genre temps sous toutetransformationdescoordonnées,deuxpointévènementssituéssurlamêmelignedetempsnepeuventjamaiscorrespondreàunemêmevaleurx4delacoordonnéede temps,à traversune transformationd’espace-temps«vraie».Cequisignifiequecesdeuxévènementsnepeuventêtresimultanés.

Nousvoyonsainsiquelesrelationsdecauseàeffetquisous-tendentleprincipedecausalité(Kausalitätsprinzips),neconduisentpasàdescontradictionsinternesdanscettenouvellephysique,sinoustenonscomptedes inégalités(31)entantquepartiedenoséquationsdebase,cequinousconduitànousconfinerdansdescoordonnéesd’espace-temps«vraies».

Hilbertintroduitmaintenantlepointimportantdesonexposé:lerecoursàdescoordonnéesqu’ildécided’appelerGaussiennes,dufaitqu’ellesreprésententune

26

généralisation du système des coordonnées polaires utilisé par Gauss dans sathéoriedessurfaces.La figure(13) illustre leconcept,quiestun feuilletage,oùcessurfacescorrespondentàunevaleurconstantedex4.Lafamilledescourbesorthogonalessontdesgéodésiqueslelongdesquellescourtcettecoordonnée.Sion opte pour un système de coordonnées où

g44 = − 1 alors la coordonnée x4s’identifieavec letempspropre τ .LescoordonnéesGaussiennessatisfontalorslarelation(32)etcorrespondentà

(42) g14 = 0, g24 = 0, g34 = 0, g44 = −110

Mais,àcestade, lechoixdeHilbertrestearbitraire.Ilavoueéchoueràlefaireémergersurlabasedeconsidérationspurementmathématiques.

CommentHilbertjustifiesonchoix.

QuanduneespacedeRiemannestmissoussaformediagonalisée(absencedetermes croisés) La suite signes attachés aux différents termes représente sasignature. C’est un invariant par changement de coordonnées (réelles). Ainsil’espacetempsd’Einsteincorrespond-t-ilàlaformebilinéaire:

(43) G(dxs ) = g44 dx4

2 − g11 dx12 − g22 dx2

2 − g44 dx332

etsasignatureest ( + − − − ) .Paropposition,danssavisiondel’espace-tempslaformeretenueparHilbertest:

(45) G(dxs ) = − g44 dx4

2 + g11 dx12 + g22 dx2

2 + g44 dx332

etsasignatureest ( − + + + ) .Lechoixd’Einsteinrelèvedel’identificationdelaquatrième coordonnées à travers x4 = ct . Ainsi, le simple fait d’imposerque laforme soit positive traduit cette propriété physique qui est la limitation de lavitesseà lavitessec,cellede la lumière(correspondantàunevaleurzérode laforme).Letempspropresecalculealorspar

(46) τ = G(

dxs

dp)∫ dp

LechoixdeHilbertestmoinsclairet l’obligeàsituer leréel, les trajectoiresdugenretemps,dansunereprésentationtellequeG<0.Il luifautalorsintroduireunchangementdesigne,etopterpourlarelation:

(47) τ = − G(

dxs

dp)∫ dp

10DanslatraductionpubliéeparSpringeruneerreurs’estglissée.Onlit

g44 = 0

27

A cela on ajoutera l’idée, singulière, de doter l’espace d’un second outil demesure, donnant un longueur λ , dont la nature physique n’est même paseffleuréedansl’article,nidanslessuivants,etquidonneranaissanceaumythede«trajectoiresdugenreespace».

IlestalorsnécessairedecomprendrepourquoiHilbertafaitcechoix.

L’explicationduchoixd’unesignatureinverséeparHilbert.

PourEinstein,cettequatrièmecoordonnéeest«demêmenature»quelestroisautres.PrenonsnotreespacetridimensionnelEuclidienfamilier.AlasurfacedelaTerre nous parlerons par exemple de «longueurx », de «largeury» et de«hauteurz»d’unobjet,ensachantquecesdénominationssontarbitraires.Nouspouvonsfaireagirsurcetobjetunélémentdugroupederotationsenmodifianttotalement ce schéma, alors que nous n’altérons pas l’objet lui-même. Lesdistancesentresesdifférentspointsrestentinchangées.Cesrotationfontpartiedugrouped’isométriedecetespaceEuclidien3D.Aulieudefairetournerl’objetnouspouvonsdéciderdel’observersousunangledifférent.

Lesobjetsdel’espacetempssontdesmouvements,caractérisésparl’énergieEet l’impulsion p qui y sont associés11. Le groupe d’isométrie de l’espace deMinkowski,legroupedePoincaré,possèdeunsous-groupe,legroupedeLorentz,quisetrouveêtrel’équivalentdugroupedesrotationsetdessymétries,danslegrouped’Euclide.Cedernieropèredesrotationsetdessymétriesquipréserventles longueurs (isométrie: même longueur). Le groupe de Lorentz «opère desrotationsàquatredimensions»etpréserveunelongueur,celleduquadrivecteurimpulsion-énergie.

Ceuxquivoientleschosesdecettefaçon,àtraverscette«vision-groupe»sontalors tentés d’imaginer que cette dimension x4 soit réelle et se mesure en …mètres. Ce qui crée ces «rotation hyperboliques» provient alors de laconstructionaxiomatiquedugroupedeLorentz:

(48) LT G L = G aveclamatricedeGramm

G =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

Cet aspect est présent dans la pensée d’Einstein, pas chez Hilbert, qui serattache immédiatement aux rassurantes coordonnées Gaussiennes. Certes, lespoints-massesnerestentpasimmobiles.Maisdansunmondequirestetrèsloind’une physique relativiste, on est très proche de la vision Euclidienne évoquéesur la figure 13. Alors ce qui est réel pour Hilbert, ce sont les coordonnéesd’espace:

11EnsembleauquellemathématicienJ.M.Souriauaajoutélespin,entantqu’objetdepuregéométrie.

28

( x1 , x2 , x3 )

Celles-làsontpourluitangibles.Letemps,c’estuneautreaffaire.Personnenepeutprendreunesecondeentrelepouceetl’index.Donc,celu-ciHilbert,ceui-cidoit être d’une autre nature, imaginaire. Enfin, autre point, l’univers a uncommencement,enx4=0.

Hilbertestprotestant.Onl’imagineparaphrasantlaGenèse:

- Dieu créa d’abord un espace quadridimensionnel dont les pointsétaientrepérésparlescoordonnées ( w1 , w2 , w3 , w4 ) .

Avantquelapiècenecommence,ilfallaitquel’auteureninstalleledécor,avantleleverderideau.Touslesobjetsfurentdoncmisàleurplace,lesétoilesetleurcortège de planètes, prêtes à s’élancer sur leurs orbites. Les distances qui lesséparaientétantprédéfiniesetréelles

- AlorsDieu décida que la quatrième coordonnée devait être imaginairepure,selon w4 = i x4 etcefutlepremierjour,lepremiermoment.LaTerrealors entama sonmouvement autour du Soleil, ce même que les autresastresducosmos.Letempsapparut,irréversibleetimplacable.

NouslisonscetteinterprétationdelapenséedeHilbertàtraversceslignesdesonarticle.Citons-le:

Enraisondelanaturedel’espacetridimensionnelenx4=0,tellequenousl’avons posée a priori (vorausgesestzen: «posé en premier, devant») laforme quadratique des variables X1 , X2 , X2 décrite par lemembre dedroitede(voirlafigure14)estnécessairementpositiveetdéfinie.

Parconséquentlestroispremièreinégalités(40dansleprésentarticle)sont satisfaites, ainsi que la quatrième, et le système des coordonnéesGaussiennesapparaîtcommelevéritable(eigentliches:propre)systèmedecoordonnéesdel’espace-temps.

Qu’est-ce qui crée les évènements? Hilbert reprend l’idée lancée un siècleplutôtparLaplace.Ilécrit:

- Si dans le temps présent nous disposons des données concernant lesquantitésphysiquesetdeleursdérivéespremièresparrapportautemps,leur valeurs futures peuvent toujours êtresdéterminées: les loisde laphysique,etcelasansexception,lesloisdelaphysique,ontétéexpriméesà ce jourà traversun systèmed’équationdifférentielles dans lequel lenombredesfonctionsinconnuesestégalaunombredeceséquations.

Hilbertrecensecesdonnées.Cesontlesdixpotentiels gµν (µ ,ν = 1,2,3) qui

émergentdutenseurdeformat(4,4),symétrique,représentantlamatière.Acelail faut ajouter, en tout point, les composantes du quadrivecteur

qs (s = 1,2,3,4) de l’électromagnétisme. Ce qui fait un total de quatorze

29

potentiels.Mais,enfaisantledécomptedeséquations,ycompriscellestrouvéesen 1840par le génialMaxwell,Hilbert n’en compte que dix, indépendantes lesunesdesautres.

Dansde tellesconditions,commecelaest lecasdanscettenouvellephysiquede la relativité générale, il en conclut qu’il n’est pas possible, à partir de laconnaissance des quantités physique à l’instant présent, de déterminer lesvaleursfuturesdemanièreunique.Faceàcetteimpossibled’ancrerunelogiquede la physique sur une causalité fondée sur des éléments concrets, Hilbert serabatsurl’opinionselonlaquelle«poursuivrel’essencedecenouveauprincipederelativitéondoitexigerl’invariance,séparément,dechaquepostulatdelaphysiquequipossèdeunsensphysique». Et il ajoute «Enphysique,nosdevonsconsidérertoutcequin’estpasinvariantparchangementdusystèmedescoordonnées,commedénué de signification physique».Et, sans réelle argumentation mathématique,puisqu’il ajoute « ce ne sont pas des problèmesmathématiques qu’il importe dediscuter ici»). Et il conclut: («A la place je me limiterai à formuler desconsidérationsconcernantceproblèmeenparticulier»)12.Ilenrevientàconclurequesonchoix;

(49)

g11 = 1, g22 = 1, g33 = 1, g44 = −1

gµν = 0 (µ ≠ ν)

seprésente,pourlui,commelaseulealternativereprésentant«laseulesolutionrégulièredeséquationsdebasedelaphysique», etque cela représente selon lui«une solution, et même la seule solution régulière des équations de base de laphysique».

Conclusionsurcettepremièrepartiedel’articledeHilbertde1916.

Aprèslasecondeguerremondiale,àlacharnièredesannéessoixante-soixantedixunchangementdesignatureaétédefactoentériné,àtraverslespublicationsscientifiquesquiontsuivi,sansqu’unarticlepubliédansnerevuedephysiquenevienneenjustifierlaraison.Demêmeceschimères,comme«lecônedelumière»,« à l’extérieur duquel» se trouve une partie d’espace qualifiée «d’ailleurs»,peupléede«trajectoiresdugenreespace»,sontapparues,alorsquecettevisionrelèvedelaprojectiond’uneréalitéassociéeàunegéométriehyperbolique,dansun espace de représentation doté d’une géométrie elliptique, acte dont nousavonsmontréqu’ilengendraitdesobjetsexemptsdecaractèrederéalité.

Ilafalluremonterjusqu’àl’articlede1916,rédigéparHilbert,pourretracerlasourcedecesdérives.Enfait,unevision«standard»de lacosmologie,peuplée

12DanslatraductionanglaisedeSpringer,2007,onlit:«isamathematicalproblemnotto be discussed here. Instead I confine myself to presenting thoughts concerning thisproblem in particular». Le texte allemand est: «sind ist mathematisch hier nichtallgemeinzuerörterndeaufgade.Ichbeschränkemichvielmehrdarauf,einigebesonderedieseAufgabebetreffendeüberlegungenanzustellen».

30

de présentations qu’on considérait comme acquises, non contestables, s’estconstruite sur la base de textes ultérieurs, rédigés en anglais, donc plusfacilement assimilables dans cette langue devenue véhiculaire à une échelleplanétaire13dansl’aprèsguerre.Lesauteurs,telsdescopistesmédiévaux,sesontrecopiéslesunsetlesautressansqu’aucunnepuisse,s’iln’avaitpaslamaîtrisedel’allemand,retournerauxtextesfondamentaux.

Acelailfautajouterques’ilsavaientsimplementfaitl’effortderemonterversla version originale, en regardant simplement l’équation (14) de cet article ilsauraient pu immédiatement constater que leur interprétation était en totalecontradictionaveclerésultatdeSchwarzschild.

IlestsignificatifquelesarticlesdeHilbertde1915-1916n’aientététraduitsenanglais qu’en 2007 ([1], [2]), c’est à dire quatre vingt dix ans après avoir étépubliés. Fait aggravant, ces traductions restent aujourd’hui frappées, commebeaucoupd’autres,d’uncopyright,commefaisantpartied’unouvrageregroupantdes éléments de ce genre mis à la disposition des scientifiques pour un prix(octobre2021)de733dollarspourlaversionimpriméeetde608dollarspourlaversionnumérique!Nousavonsdudébourser58dollarspouracheter lesdeuxpdfcorrespondantauxdeuxarticlesquiserventdebaseauprésentpapier,alorsque ce sont des outils de travail pour les chercheurs. Si les lecteurs veulentconsultercestraductions,illeurfaudradébourserlamêmesomme.Aujourd’hui,iln’yapasdescientifiques,seprésentantcommeexpertsencosmologie,quiaientlu les textes fondamentaux, ou même connaissent l’existence d’une masse detextescapitauxdontcertainsn’ontpasencoreététraduitsdel’allemand.

Dans ce qui va suivre nous allonsmettre en lumière une erreur flagrante etincontestabledeDavidHilbert,dontonmesureral’immenseimpactdanstoutledéveloppementdelacosmologuequiasuivi.

Celle-ciaétépourlapremièrefoisidentifiéeparleCanadienL.S.Abrams[7]en1989,aprèsexamendutexteoriginal,publiéenallemandparKarlSchwarzschilden janvier1916 [6],en leconfrontantà l’articledeHilbert,dedécembre1916,toujoursenAllemand.

En1999démarchesimilairedeA.Loinger[8],toujoursenpartantdestextesenallemand,qu’illitcouramment.

En 1999 l’Italien S.Antoci, et l’Allemand D.E Liebscher reprennent cettequestion [9] et installent sur arXiv les traductions faites par Liebscher, enfindisponibles en langue anglaise14, 83 ans après leurparution en allemand, alorsquecestextessontconsidéréscommelabasemêmedelathéoriedutrounoir.

En2001ilsmontrentquel’erreurrelèved’unemauvaisecompréhensiondelatopologiedelasolutiontrouvéeparSchwarzschild[10].

13Alorsqu’àl’époqueoùEinsteinetHilbertpubliaientleurstravaux,laphysiquethéorique se formulait principalement en allemand, autour de cette «Mecque»qu’étaitGöttingen.14 arXiv :physics/9912033v1 [physics.hist-ph] 16 dec 1999.

31

En2003S.Antociréitèreenpubliantunarticle trèsdocumenté :DavidHilbertandtheoriginoftheSchwarzschildSolution[11].

Plusrécemment,en2021,leRusseAnatoliVankovsoulignecepointenconcluant«StrictlytalkingtheBlackholedoesnotcomefromthegeneralrelativitytheory»[12].

L’erreurdeHilbert.

Revenonssurlachronologie.Le20novembre1916Hilbertpubliesonpremierarticle intitule «Fondements de la physique» [1]. Cinq jours après Einsteinpublie sa propre version de l’équation de champ [4] ainsi que la premièresolutiondelaversionlinéariséedecelle-ci,fournissantlapremièreexplicationdel’avancedupérihéliedeMercure[5].Le22décembre1915lemathématicienKarlSchwarzschild, qui suit avec avidité tout ce qui se publie dans la section desannalesdel’AcadémiedePrusseconsacréesauxmathématiques,écritàEinsteinenluiannonçantqu’ilvientdeconstruirelasolutionnonlinéairedesonéquation,qui confirme son calcul. Il lui annoncequ’il vapublierun articledans lamêmerevue.Letextedecettelettreestaccessibleàlaréférence[3]:

Fig.18:LalettredeSchwarzschildàEinsteindu22décembre1916

32

Traductiondupassagesouligné:

R , θ ,ϕ nesontpaslescoordonnées«enusage15»,maisilsetrouvequec’estlameilleurefaçond’exprimerlamétrique.

On voit que l’authentique variable radiale r est bien visible. Schwarzschildintroduitune«variableintermédiaire»(Hilfsgröβe)R,selonlarelation

R= r3 + α3( )1/3

,

queHilbertvaconfondreavecunevariableradiale.

A sa décharge on pourra dire qu’en 1916 l’outil mathématique «géométriedifférentielle» n’était pas totalement maitrisé. Pour pointer l’erreur avecprécision,nousallonsreprendrelecalculdeHilbert,pointparpoint.

Celui-ci commence par recenser les hypothèses qui sont à la base de cettesolution,qu’ilchoisitdedécrireàl’aidedecequiestpourluiunepierredetouche,descoordonnéesGaussiennes,avec:

(50) g14 = 0, g24 = 0, g34 = 0,

Lespotentielsmétriquesont indépendantsdu tempsx4.A cela il ajoutequ’ilsprésententunesymétriecentrale(zentrischsymmeytisch),parrapportàl’originedescoordonnées.Uneoriginequ’ilassimileraà lavaleurR=0etnonr=0.Defaçonplusmoderneonparleraitd’uneinvariancesous l’actiondugroupeSO(3)etmêmeO(3).Eneffet,unobjetgéométriquequipossèdecettepropriétén’apasautomatiquement de «centre». Un tore a une symétrie «axiale», pourtant cetaxen’apparaîtquelorsqu’onleplongedans !3 .Formellement,cetaxen’existepas.Demême,enrevenantàlamétriquedu«diabolo3D»cetobjetnepossèdeparune«symétriecentrale»,parcequece«centre»n’apparaîtquelorsqu’onleprojet dans un espace de représentation qui est l’espace euclidien à troisdimensions.IlestinvariantparactiondugroupeO(3).

Hilbertécritalors:

(51)

EnaccordavecSchwarzschild,sionpose:

w1 = r cosϑw2 = r sinϑ cosϕw3 = r sinϑsinϕw4 = l

15Erlauten:autorisées,permises,standard,enusage.

33

Ontrouveuncaractère lquitraduit lavisionqu’Hilbertade l’univers.Cesontquatre coordonnées qui sont, reportons-nous au début de son article, desparamètres universels (weltparameter) ( w1 , w2 , w3 , w4 ) . Ce qui estextraordinaire c’est qu’Hilbert va conduire son calcul dans ce système decoordonnées.Letempstn’apparaîtraquetoutàlafin«quandtoutelamécaniquecosmiquesemettraanmarche».

DansleséquationsdeLagrange,quivontsuivreilnemanipulepasladérivée

dtdp

maisladérivée

dpdp.Cequiestunefaçonpourluid’affirmerquecettemétrique

«existe»,quecettegéométrie«pre-existe»avantqueDieunedécidequel=it,avantdedéclencher lacoursedutemps.PourHilbert lesystèmesolaireexiste,telqu’ilest,depuislacréationdel’universparDieux,depuisletempszéro.

Autreremarque,danscesuivravoustrouverezdes g etnondes −g .Doncledéterminantdelamétriqueestpositif.IlfautserappelerquepourHilbertlesphénomènes de courbure sont des accidents exceptionnels, des plis quasiimperceptiblesdansununiverspratiquementEuclidien.L’universassociéà cescoordonnées ( w1 , w2 , w3 , w4 ) estdoncEuclidien.Possède-t-ilunelongueur?Nonpasencore.Can’estquequandcettelongueur(ceslongueursaupluriel,sions’entient au texte de Hilbert, qui en définit deux) que l’espace devient pseudo-Euclidienetqueledéterminantdevientnégatif.AvantqueDieuneluiconfèreuncaractèrephysique,c’estunobjetdepuremathématique.Onpourraitlequalifierde«métaphysique».

-> Quand Einstein produit son équation de champ, il crée un outil aveclequel on pourra interpréter des phénomènes physiques, accessibles àl’astronomie. Il est donc déjà dans un monde quadridimensionnel

( x1 , x2 , x3 , t ) ,concret.Ledéterminantdesamétriqueestdoncnégatifetil

doitmanipulerun −g .

->QuandHilbertproduitsapropreversionde l’équationdechampilestdansunautreunivers,qu’ilveutplusabstrait,plusfondamental,l’universdes ( w1 , w2 , w3 , w4 ) .Vousavezmaintenant‘explicationdelaprésencedu

g dans son équation de champ, construite et écrite dans le système

( w1 , w2 , w3 , w4 ) .

Il est extrêmement regrettable que je ne puisse pas indiquer un lien quipermetteau lecteurd’avoiraccèsà la traductionanglaise l’articledeHilbertde1915[1],quiesttoujourssouscescandaleuxcopyright,alorsquec’estunélément

34

clédelaculturescientifiqueplanétaire.Ilvousencoûteradonc29dollarssivousvoulezvérifier que les coordonnées ( x1 , x2 , x3 , x4 ) sont totalementabsentesde

cetarticleoùtouteslesdérivéessonten

∂∂ws

.Celavautpourtouslestermes,les

coefficientsdeChristoffels,lestermesdutenseurdeRicci.

Doncl’équationdechampdeHilbertseréfèreàunespace ( w1 , w2 , w3 , w4 )

Findecettedigression.Danssonpapierde1916Hilbertmetlaformebilinéairesouslaforme:

(52) F(r)dr 2 + G(r)( dϑ2 + sin2ϑ dϕ2 ) + H (r) dl2

Unpasdeplusaétéfranchi.Hilbertsesituealorsdansunréférentiel:

(53) w1= x1 , w2 = x2 , w3= x3 , w4 = l1{ } Le passage en coordonnées polaires implique que sa variable r est définie,commechezSchwarzschild[10]16;par:

(54) r = x12 + x2

2 + x32 ≥ 0

Puis, grâce au changement de variable, implicite, il est passé en coordonnéespolaires:

(54) ϑ = arcsin x3 ϕ = arccos x1

Nous sommes donc dans les coordonnées (51). De par (52) il est clairqu’Hilbertexprimesaformebilinéairedanslesystème:

(55) ( r ,ϑ ,ϕ , l )

Autre formedu système ( w1 , w2 , w3 , w4 ) . Il n’est alorsnullementquestiondetemps.

Ilposeensuite:

(56) r *= G(r)

C’est alors qu’il va commettre une erreur capitale, signalée depuis 1989dans([7],[8],[9],[10],[11],[12]).

Ilécrit:

16Cequevouspourrezvérifierdanslatraductionanglaise,noncouverteparuncopyright.

35

Fig.19:L’erreurdeHilbert

Traduction:

- Nous sommes donc, de la même manière, en droit d'interpréter

( r* ,ϑ ,ϕ , l ) comme des coordonnées polaires spatiales. Si nousintroduisons r au lieu de r* dans (notre expression de la formebilinéaire) et omettons à nouveau le signe *, nous obtenonsl'expression:

(57) M (r)dr 2 + r 2( dϑ2 + sin2ϑ dϕ2 ) +W (r)dl2

Cette forme bilinéaire est solution de l’équation de champ d’Einstein sanssecondmembrequialorsseréduitàannulerlescomposantesdutenseurdeRicci,qu’Hilbert désigne par

Kµν . Celles-ci se calculent sur la base des symboles de

Christoffels.Onremarqueraqu’Hilbert,commedanssonpapierde1915effectuetous ses calculs avec les variables ( r ,ϑ ,ϕ , l ) c’est à dire des variables«universelles» ( w1 , w2 , w3 , w4 ) .Soncalculdesgéodésiquessefondentalorssurlavariationdel’action,construiteaveccesmêmesvariables:

(58) δ M

drdp

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ r 2 dϑdp

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ r 2sin2ϑ dϕdp

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ W dldp

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∫ dp = 0

SeséquationsdeLagrangecorrespondantessont:

36

(59)

Lecaractère‘dansceséquations,etdanscequisuit,seréfèreàunedérivationparrapportàr.Leséquationsdifférentiellesdescourbesgéodésiquessont:

(60)

d 2wsdp2 +

µν∑ µ ν

s

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

dwµ

dpdwν

dp= 0

On remarque qu’on est toujours dans ces coordonnées «universelles»

( w1 , w2 , w3 , w4 ) .HilbertcalculealorsdessymbolesdeChristofellsnonnuls:

(61)

CequiluipermetdecalculerlescomposantesdutenseurdeRicci17

17Danslatraductionanglaise,souscopyright,unefautedesignedansl’équationdonnantK22oùletraducteuramisunsigneplusaulieud’unsignemoinsdanslesecondtermedusecondmembre.

37

(62)

LecalculduscalairedeRiccisuit:

(63)

38

Hilbertseplacedansunsystèmedecoordonnéesoùledéterminantestpositif,cequiluipermetàd’écrire:

(64) g = M W r 2sinϑ

Alors:

(65)

Ilpose

(64)

M = rr - m

W = w 2 r - mr

Lalettrewnedésignepaslemoduleduvecteur ( w1 , w2 , w3 , w4 )

C’est une fonction inconnue. En effectuant le changement (64) Hilbert auramaintenant deux fonctions inconnues à déterminer:m etw . Pourquoi un telchangement?Ils’inspiredel’équationquifiguredansl’articledeSchwarzschildetcesfonctionsmetws’avèrerontêtredesimplesconstantes.

Mais,aupassage,nousdécouvrons l’originede lettemutiliséepourdécriercequialadimensiond’unelongueur!

Ilvient

(65)

Hilbertconstruisaitsonactionsurlabased’unefonctionH=K+L,oùKestlescalairedeRicci.Maisdansuneportiondel’universquiestvide,L=0 .Donclavariationseréduità:

(66) δ K g∫∫∫∫ dr dϑ dϕdl = 0

Notez que nous sommes toujours dans le système des coordonnées

( r ,ϑ ,ϕ , l ) . Ces géodésiques «existent», mais «comme Dieu n’a pasencore créé le temps», lesplanètesnepeuvent s’élancer sur ces géodésiques-orbites.Cetteéquationéquivautà:

(67) δ wm '∫ dr = 0

39

EtleséquationsdeLagrangedonnentalors

(68)

m ' = 0w ' = 0

LasolutionconstruiteparDavidHilberts’écritalors:

(69) G ( dr , dϑ , dϕ , dl ) = r

r − αdr 2 + r 2sin2ϑdϕ2 + r − α

rdl2

Et,enfaisantl=it(c’estàdirew4=ix4,selonlesnotationdeHilbertde).

(70) G ( dr , dϑ , dϕ , dt ) = r

r − αdr 2 + r 2sin2ϑdϕ2 − r − α

rdt2

DansletexteoriginalontrouveuneerreurtypographiquedeHilbertquilaissesa«variableuniverselle»ldanslepremiermembre18.

Fig.20:UneerreurtypographiquedeHilbert

A ce stade,Hilbert est convaincuqu’il a retrouvé le résultatdeSchwarzchild. Ilécrit:

-Fürl=itdiegesuchteMaβbestimmungindervonSchwarzschildzuerstgefundenGestalt

Traduction:

-Pour l= itonretrouvelamétriqueconstruitepour lapremièrefoisparSchwarzchild.

18ErreurégalementdanslatraductionpubliéeparSpringer(toujourssouscopyright):lalettreldoitêtreremplacéeparlalettretdanslesdeuxmembres.Etantdonnélenombred’erreursflagrantesquiémaillentcettetraduction,disponibledepuis2007,c’estdire,aumomentoùnousécrivonscetarticle,depuis14ans,onpeutdouterquecettetraductionaitétéluepardesgensmaîtrisantlarelativitégénérale.

40

C’est cette erreur qui a été très vite propagée à travers des interprétationserronéessuccessives.

LavéritablemétriquedeSchwarzschild.

Si Schwarzschild avait survécu à ce printemps 1916, où il mourut d’uneinfection contractée sur le front russe, il aurait immédiatement ramené cescommentateursdesonœuvreàlaformeoriginaledecelle-ci,oùlanaturedeRestbienpréciséeetnecorrespondqu’àunegrandeurintermédiaire (Hilfsgröβe) etenaucuncasàladistanceradialer.

Fig.21:LavéritablemétriquedeSchwarzschild,1916

Cequiestextraordinairec’estquecetteconfusionentreR etr, fondementdel’erreurdeHilbert,sesoitimposéequeunstandarddepuisplusd’unsièclealorsqu’elle apparaissaitdemanièreévidentdans le résultatdeSchwarzschild,dansson équation (14), même pour un non germanophone. La seule explicationpossiblefutquecetteinterprétationerronéesepropagea,commel’interprétationerronée d’un texte fondateur par des gens se comportant comme des copistesmédiévaux.

Enfait,lesgénérationsdethéoriciensquisesuccédèrents’estimaientsatisfaitsparlefaitquecettesolutionremplissaitpoureuxuneconsidérationquipouvaitêtre considérée comme fondamentale: s’identifier à la métrique de Lorentz àl’infini.Danssonarticlede2003[11], lemathématicien italienSalvatoreAntocianalyseaveclesplusgrandeprécisionslemécanismedeconstruction,parHilbert,de cette erreur, en mettant en perspective le calcul de celui-ci et celui deSchwarzschild.Dansunautre[10],Antpcietl’AllemandD.E.Liebschermontrentque l’erreur de Hilbert traduit une interprétation erronée sur la topologie del’objet.

Acelailfautajouterquependant43anslaseuleapplicationquivintàl’espritconcernait la formelinéariséedecettemétrique.Etc’est laraisonpour laquelleSchwarzschild lui-mêmene fournit pas l’expression de sa solution non linéaire

41

danssescoordonnées.Danssonarticle,SchwarzschildprendlecasduSoleil,oùlagrandeαvautalors3km,ennotant:

Fig.22:Schwarzschildjustifiesalimitationàlasolutionlinéarisée.

Traduction:

-Malgrétout,l’approcheducalculdelagéodésiquesparMr.Einsteinestcompatible avec la solution exacte, si nous l’exprimons à l’aide de r aulieude:

R = r3 + α3( )1/3

= r 1+ α3

r3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/3

puisqueα/restprochededeuxfoislecarrédelavitesseplanétaire(enprenant pour unité la vitesse de la lumière). Pour Mercure, l’ordre degrandeurestde10-12.AinsiRestpratiquementégalàretl’approchedeMr.Einsteinestsuffisante,au-delàdesbesoinsdelapratiquecourante.

Si Schwarzschild avait finalisé son travail, ce qui ne lui a semblé nullementnécessaire, ce qu’il aurait fait en exprimant la métrique dans les coordonnées

( r ,ϑ ,ϕ , t ) cecil’auraitalorsconduitàécrirelavéritablesolution,qu’onobtientimmédiatement en opérant le changement de coordonnée, mentionnéexplicitementparHilbert.Uneopérationquiauraitfaitapparaîtrecettevéritablesolutionmétriquedel’équationd’Einsteinsanssecondmembre.

42

(71)

ds2 =( r3 + Rs

3)1/3 − Rs

( r3 + Rs3)1/3 c2dt2 − r 4

( r3 + Rs3) ( r3 + Rs

3)1/3 − Rs⎡⎣ ⎤⎦

dr 2 − ( r3 + Rs3)2/3( dθ2 +sin2θdϕ2 )

r ≥ 0

Dans une note de bas de la page 70 de son manuscrit, Hilbert signe sonincompréhensionmanifeste de la relation (numéro 14 sans l’article original deSchwarzschild;quiaccompagnesonexpressiondesasolutionmétrique,selonlagrandeurintermédiaireR)

(72) R = r3 + α3( )1/3

Fig.23:NotedeHilbert

Traduction:

- Selonmonopinion jenerecommanderaipas,commele faitSchwarzschild,cettetransformationamenantlepointr=αàl’origine, d’autant plus qu’il existe des moyens pus simplepourunparvenir.

Ainsi, alors que l’expression selon la véritable coordonnée radiale r estcohérenteavecladémarchesuivieparSchwarzschildetquelefaitdeprésenterle résultat selon cette grandeur intermédiaireR n’est qu’un artifice utilisé parSchwarzschildpourcollerplussimplementavec la solution linéarised’Einstein,HilbertinverseleraisonnementenconsidérantRcommelavariableradialeetrcommeunartificedecalculpoursedébarrasserdelasingularitéencequ’ilcroitêtre l’origine des coordonnées, en R = 0 , alors que, d’après (72) ce pointcorrespondàlavaleurimaginairepure:

(73)

r = i R3 − α3( )1/3

43

Cefaisant,Hilbertneserendpascomptequ’ilestsortidudomainededéfinitiondelavariétéM4.

Une erreur qui entraînera des flots d’encre et la production de théorèmes(Penrose,Hawking)seréférantàune«singularitécentrale»,n’existantquedansl’imagination des scientifiques qui se sont penchés sur cette question, ceux-ciprenantainsipouruneréalitécequiappartient,mathématiquementparlant,àundomainedel’espaceimaginaire.

Revenantàcetteexpression(71),eneffectuantundéveloppementensérieonobtientlesvaleursdespotentielsmétriquequandrtendverszéro:

(74) gt t → 0 gr r !

3rRs

→ 0 gθθ → Rs2 gϕϕ → Rs

2sin2θ

Enr=0lescalairedeKretschmanestdifférentdezéro,lasphèren’estdoncpasun lieu singulier. Par contre le déterminant est nul, ce qui indique quel’hypersurface est localement inorientable. Elle l’est doublement, puisque lesdeuxpotentielsetsonnuls.Silasphèreestunesphèredegorge,elletraduitunedouble inversionde l’espaceetdutemps,unePT-symétrie,commeétablidans .[13]].Sionconsidèrecettenullitédudéterminantcommeunerégionsingulière»on peut alors conclure que l’hypersurface n’est pas un 4-manifold mais un 4-orbifold.

Rappelons,commelenoteHilbert,quecescoordonnéessontGaussiennes.Onpeutdoncenvisagerunfeuilletagedel’hypersurfaceoùlavariableavectcommeparamètre.Cequicorrespondpourceshypersurfacestridimensionnellesà:

(75) dσ2 = r 4

( r3 + Rs3) ( r3 + Rs

3)1/3 − Rs⎡⎣ ⎤⎦

dr 2 + ( r3 + Rs3)2/3( dθ2 +sin2θdϕ2 )

Celles-ci sont elles-mêmes passible d’un nouveau feuilletage à r = Cst ce quidonneunefamilledesphèresimbriquéescommedespoupéesrussesayantl’aireminimale,correspondàr=0:

(75) 4π Rs2

L’hypersurface4Destdoncnoncontractile.Ils’agitalors:

- Soitd’unevariétéàbord

- Soit d’un objet géométrique traduisant un pont spatio-temporel entre deuxespacesdeMinkowski,réaliséàtraversunesphèredegorged’aire 4π Rs

2 .

Onpeutproduireunedescriptionplusfinedel’objetenintroduisantunevariableàtraverslechangementdevariable[13]:

(77) r = Rs ( 1+ Ln chρ )

44

Lamétriquedevientalors:

(78)

ds2 = Logchρ

1+ Logchρc2dt2 − Rs

2 1+ LogchρLogchρ

th2ρ dρ2 − Rs2 1+ Logchρ( )2

dθ 2 + sin2θ dϕ 2( )

Ledéterminantesttoujoursnulàcauseduterme gt t maiscettefois

gρρ → 2 .

Cequiexpliqueque les théoricienssesoientmassivementembarquésdanscetteinterprétationerronéedelasolutiondeSchwarzschildreprisesurplusieurspoints.

- Le faitdeprendreencharge lesaspectsnon linéairesde lasolutionnes’estimposé qu’en 1939, après la publication d’une article clé [14] par R.Oppenheimer,exemptderéférences,quenousallonsévoquerdanscequivasuivre.

- Lefait,hautementprobable,qu’aucuncosmologiste,enpartantdecet«articlefondateur»n’aiteu la curiositéde jeteruncoupd’œilà l’articleoriginal, enallemand, auquel cas l’équation (14) de ce papier aurait du attirer leurattention.

- Le fait que cette curiosité se soit heurtée au fait ces textes en allemandn’aientétéaccessibles, jusqu’à l’apparitiond’internetetdes fichierspdf,quedansdeslivresd’uncoûtengénéralélevé.

- Lefaitquel’articledeSchwarzschildn’aitététraduitenanglaisqu’en1999[6],soit86ansaprèssapublicationsoussaformeoriginale.

- Le fait que les traductions des documents indispensables pour tirer cetteaffaireauclairsoienttoujoursn’aientététraduitsenanglaisqu’en2007([1],[2]), soit 91 ans après leur parution, et restent toujours couverts par unscandaleuxcopyright.

- En1960 lapublicationen1960,parM.D.Kruskal [15], de laconstructiond’un prolongement analytique permettant de «pénétrer à l’intérieur de lasphère de Schwarzschild» donne l’illusion d’un progrès dans lacompréhension de cette géométrie, avec que cela ne change rien à l’affaire.Cette extension, qui se réfère àunevaleurde r imaginaire, se situehorsdel’espacededéfinitiondel’objetgéométrique.Lelamêmemanièreonpourraitconstruire un prolongement analytique permettant d’étudier un tore àl’intérieurdesoncercledegorge.

- Acelailfautajouter,depuisplusd’undemisiècle,laconvictionillusoired’unprogrès dans la compréhension de cette solution, alors que la contagiongénéralisée de cette erreur flagrante a fait basculer des milliers depublicationsdanscequin’estriend’autrequedelasciencefiction.

45

L’actedenaissancedumodèledutrounoir.

En1939 l’hypothèsede l’existenced’étoiles àneutrons circuledéjà, bienqueleurexistencen’aitétéconfirméequ’en1967parladécouvertedespulsars.Dansleurarticle[14]J.R.OppenheimeretH.Snyderenfontexplicitementmention.Enfait toutdémarreavecunarticlepubliéquelquesmoisplus tôtparR.C.Tolman,alorsenposteauCaltech[16].

Fig.24:RichardTolmanetAlbertEinstein

Onytrouvecetteexpressiondelamétrique:

Fig.25:MétriquedeTolman.

46

Cette description nous place encore ici dans des coordonnées Gaussiennes. Onpeut donc feuilleter l’espace temps en utilisant t comme paramètre, traduisantune simple translation temporelle et en considérant les hypersurfacestridimensionnellesdécriteparlamétrique:

(79) dσ2 = eλ(r ) dr 2 + r 2dθ2 + r 2sin2θdϕ2

Hypersurface elles-mêmes feuilletables à l’aide d’une familles de sphèresd’aires 4π r 2 .Cetteairepourra-t-elleêtreamenéeàzéro?Sioui,celasignifieraquel’objetgéométriqueassociéàcetteportiond’espacetempsestcontractile.

Par ailleurs en introduisant les deux fonctions eν(r ) et e

λ(r ) strictementpositives,sionsesituedansunmodegouvernépardesréels,Tolmanrejetteuneéventuellemodificationdelasignaturehyperboliquequi,pourlui,est(---+);ou(+---)selonl’ordredestermes.

Fig.26:Reprisedel’expressiondeTolmanparOppenheimeretSnyder.

Ce travail est en fait d’une reprise du second article [17] publié par KarlSchwarzschild,justeavantsamort,oùcelui-ciconstruitentièrementlagéométrieà l’intérieur d’une sphère emplie d’une matière incompressible, de densitéconstante. R.Oppenheimer etH.Snyder le citent dans l’article qu’ils publient en1939 [14] et repartent de la même forme de la métrique, cette fois pourreprendrelaquestiondelagéométrieàl’extérieurdelamasse.Laquestiondelafin de vie des étoiles ayant épuisé leur carburant de fusion est au centre del’article.L’accentuationduredshiftgravitationnelestévoqué,aufuretàmesurequelacontractiondel’étoiles’accentue.Lecalculdutempsdechutelibred’uneparticule test est calculé de deux manière. Les auteurs montrent que si on sefondesurletempspropre,cetempsestfini,ettrèsbref.Parcontresionmesurece temps en employant la coordonnée t , qui est censée se référer au tempspropred’unobservateursituéàgrandedistancedel’objet,cetempsdevientinfini.

Cette remarque signe l’acte de naissance du modèle du Trou Noir, selon leraisonnementsuivant:

47

- Uneétoile,nepouvantpluscontrebalanceràl’aidedesforcesdepression,laforce de gravité, subit un effondrement en chute libre vers son centre, queriennepeutpluscontrarier.

- Sans entreprendre une description de ce phénomène, on se fonde sur lesdonnées émanant de la métrique décrivant l’extérieur de cet objet, qu’onqualifierade«métriqueextérieuredeSchwarzschild»

- Encalculant les tempsdechute libred’unemasse témoin , sion trouvequecelle-ciatteintlasphèredeSchwarzschildenuntempsproprefini,cetempsdevientinfiniparunobservateursituéàgrandedistance.Pourcederniercephénomèned’implosionsembledonccommeenarrêtsurimage,figé.

- Enmêmetempslerayonnementémisparlamatièresubituneffetderedshiftgravitationnelquidevient infiniquandcesignalestémisàpartird’unpointsitué sur la sphère de Schwarzschild de rayon Rs. Donc, à fortiori, aucunrayonnement ne peut franchir cette sphère qui sera qualifié d’horizoncosmologique.

Un observateur extérieur percevra alors cet objet sous la forme d’un disqueparfaitementnoir,quel’onqualifieradeTrouNoir.

Ce raisonnement permet de s’affranchir de la description du phénomèned’effondrementenpartantduraisonnement:

- Je neme sens pas tenu de décrire un phénomène qui pourmoi,observateurextérieur,dureuntempsinfini.

Cecipermetégalementderamenerladescriptiondelagéométriedel’objetàla seule géométrie se référant à l’extérieur de la sphère horizon, donc à unesolution de l’équation d’Einstein qui se réfère à une portion d’univers vide. Ensupposantqu’onpeutpartirdelasolutiondelafigure21pourcalculerletempsde chute libre d’une particule témoin jusqu’au point r = 0 , supposé être le«centre»del’objet,onobtientunevaleurfinie,etbrève.Onendéduit,bienqu’onne puisse pas effectuer d’observation sur ce qui se passe et s’est passé àl’intérieur de la sphère horizon, que toute la matière s’est concentrée en unesingularitécentrale.Ce raisonnement repose sur l’hypothèse que l’expression considéré de lasolutionaitunesignificationphysique.Or, commerappelédanscequiprécède,ceci n’est pas le résultat trouvé par Schwarschild en 1916mais le résultat del’erreur commise par Hilbert, en confondant la grandeur intermédiaire

R = r3 + α3( )1/3

avecladistanceradialer.Enenvisageantd’exploiteruncalculseréférantàunevaleurr<ro(RayondeSchwarzschild)onsesituesimplementendehors de l’hypersurface quadridimensionnelle, ce qu’on peut constaterimmédiatementdufaitquelesfonctionsexponentiellesdeviennentnégative.Or:(80) e

λ = − n → λ = Ln n + iπ

48

On voit apparaître une fonction complexe, elle-même fonction d’une valeurcomplexedesvariables.Ainsi lesupposé«intérieur»d’untelobjetn’existequedans l’imagination des théoriciens, au sens strict, puisque ceux-ci décident deconsidérercommeréelcequiestimaginaire.L’émergencedusurréalismeenphysique.Les années ont passé. Aucun théoricien ne se soucie de revenir aux textesfondateurs,nid’envisagerunautremodèle.Voicilesraisonnementsquifigurentdans tous les livres et manuels destinés à la formation des étudiants. Nousreproduisons à titred’exempledes élémentsde la section6.8du chapitre6del’ouvragedelaréférence[18].LechoixdelaformedelamétriqueintroduiteparTolman[16]estalorssimplementprésentécomme«raisonnable».

- Quand r devient inférieur à 2m (le rayon de Schwarzschild), lessignes des composants de la métrique

goo (potentiel métrique se

référant au temps) et g11 (potentiel métrique se référant à la

supposée coordonnée radiale) changent, g11devenantpositif et

goo négatif.Cecinousobligeàreconsidérerlasignificationphysique(…)accordée aux variables t et r en tant que système de repérage dutempsetdurayon,àl’intérieurdelasphèredeSchwarzschild.Enfaituneligned’universquisetrouvedécriteselonunt,c’estàdireavec

( r , θ ,ϕ ) constants, correspond à un ds2 < 0 . C’estunecourbedugenre espace (spacelike curve), tandis qu’un ligne d’univers pourlaquelle ds2 > 0 estunecourbedugenretemps(timelikecurve).

Et là vous tombez sur a conséquence d’une autre erreur deHilbert, celle dedoter l’espace temps de deux systèmes demesure, le second se référant à desportions de courbes qu’il appelle «segments» et pour lesquels le signe de laformebilinéairesetrouveinversé.

Fig.27:Laseconde«longueur»mesuréesurles«segments»deHilbert.

49

Traduction:

- Une portion de courbe où (la formeG est positive) sera appeléesegment,tandisque(l’expressiondonnantlescalaireλ )représentelalongueurdecesegment.

Cette vision des choses est en totale contradiction avec celle d’Einstein, K.Schwarzschild,deJ.Droste,H.Weyl, etdetouslesscientifiques-mathématiciensquiàcetteépoquecontribuaientàlaconstructiondelarelativitégénérale.Dansl’articledeSchwarzschild,parexempleonlit:

Fig.28:CommentSchwarzschilddéfinitlalongueur,essentiellementpositive.

Traduction:

- Considéronsunpointquisemeutselon(lesexpressionsde lafigure), où les variables sont des fonctions des variables x(coordonnéesdepointsdel’hypersurfaceespace-temps)etoùlesvaleursdexdoiventêtreconsidéréescommeconstantesaudébutetàlafinducheminsuivipourl’intégration.Enclair, lepoint devra se déplacer selon une géodésique de la variété(manifold)caractériséeparl’élémentds.

Comment Hilbert en est-il arrivé à doter l’espace-temps de deux longueurs?Peut-être avait-il en têt l’idée de créer une métaphysique, vis à vis desévènementsseproduisantàl’intérieur(…)delasphèredeSchwarzschild.Reprenonsletextedelaréférence[18].

50

- Il apparaîtrait donc naturel (…) de traiter r comme unecoordonnéedetempsettcommeunecoordonnéeradiale(…).Nous interprétons ds/c comme le temps propre le long thelignes d’univers parcourues par une particule. Alors, commenous l’avonsmontrédans lasection4.2cettedéfinitionn’adesensphysiquequesi ds2 > 0 .Demême,uneparticulemassivene peut se maintenir sur une trajectoire à r constant àl’intérieur de la sphère de Schwarzschild, ce qui entraîneraitque ds2 < 0 elongdecetteligned’univers.

L’artefactdescoordonnéesdeKruskal.Citons la dérivation «standard» de la prétendue solution de Schwarzschild,parexempleencitantlespagescorrespondanceduchapitre6del’ouvragedelaréférence[18],datantde1975.Page186l’équation(6.4)représentelaformelaplus générale de la métrique, en l’absence de termes croisés. Le signe moinsmontrequelesauteursentendent,avecA,B,C;Dpositifs,introduired’embléelasignature ( + − − − ) delamétrique.:

Fig.29:Extraitdelapage186delaréférence[18]Maisdanslesdernièreslignesonlit«néanmoins,ilestpossibled’obtenirunesimplificationsupplémentaireparunchoixjudicieuxdecoordonnéeradiale».

51

Fig.30:Extraitdelapage187delaréférence[18].Et là, nous voyons, reproduit à l’identique, le raisonnement tenu par Hilbertdans son article de 1916, ce qui montre bien qu’il est à l’origine de cettedistorsion de la véritable solution de Schwarzschild. Dans l’équation (6.9) lesauteurs reprennent l’introduction, en1939,dedeuxexponentiellesparTolman[16] et Oppenheimer [14]. Ils spécifient même que ces fonctions sont«intrinsèquement positives» et que «ces coordonnées ont un sens physiqueclair», alors que, justement, le fait d’attribuer un sens physique à descoordonnéesdelapremièresourced’erreur.Sixpagesplusloin,page193,figurelerésultatdeleurcalcul:

52

Fig.31:Extraitdelapage193delaréférence[18].

Si ces fonctions exponentielles sont «intrinsèquement positives», alors lavariablernepeutêtreinférieureà2m,sinonlesgrandeursetcorrespondraientà:

(81) e λ = − 1− 2 m

r→ λ = Ln 1− 2 m

r+ iπ

EndépitdecettecontradictionévidenteD.Kruskalaconstruitunprolongementanalytique,demanièreàpouvoirconstruireunedescriptiondecet«intérieurdela sphère de Schwarzschild ( 0 < r < 2m ). Le lecteur trouvera la construction«standard»decesnouvellescoordonnéesuetv,ainsiquedelamétriquequienrésulte,danslespages226à230delaréférence[18].Nousnereproduironsqueleséquationselles-mêmes.Nousavonsd’abord lesdeuxéquationsrepéréespar(6.91)dansl’ouvrage:

(82) ξ = r + 2 m Ln

r2 m

− 1

(83) F (ξ) = 1− 2m / r

f 2

Apartirdecesrelationsilestétablienintroduisantlagrandeurintermédiaireη ,l’équation(6.200)delaréférence[18]montreque:(84) F (ξ) = η2 e 2ηξ Onlitalors,dansleséquations(6.201)

53

(85)

u = r2m

− 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2mη

eη r ch ηx°

v = r2m

− 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2mη

eη r sh ηx°

f 2 = 2mη2 r

r2m

− 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1− 4mη

e−2η r

Onlitensuite:

Fig.32:Extraitdelapage229delaréférence[18].Lescalairemétantréel,η l’estdoncaussiCeci conduit à l’expression finale des nouvelles variables, dans deuxconfigurations.(86)r>2m:

u = r2m

− 1 e r /4m ch x°4m

v = r2m

− 1 e r /4m sh x°4m

f 2 = 32m3

re r /2m

(87) u2 − v2 = r

2m− 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e r /2m vu= th x°

4 m

54

Et(88)r<2m:

u = 1 − r2m

e r /4m sh x°4m

v = 1 − r2m

e r /4m ch x°4m

f 2 = 32m3

re r /2m

Avec:

(89) v2 − u2 = 1− r

2m⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e r /2m uv= th x°

4 m

Lamétriqueprendalorslaforme,équation(6.187)delaréférence[18]:(90) ds2 = f 2 (u,v)( dv2 − du2 ) − r 2( dθ2 + sin2θdϕ2 ) Bienquecettemétriquenes’identifiepasavec lamétriquedeLorentzà l’infini,quandonformeds=0ona,voirl’équation(6.188)delaréférence[18]:

(91)

dudv

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 1

Ci-aprèslecélèbrediagrammedeKruskal:

Fig.33:DiagrammedeKruskal

55

Sionsuitcediagramme,oùtouteslesquantitésdeviennentréelles,avecundsréelonparvientdoncàpénétrer«à l’intérieurde lasphèredeSchwarzschild».Les points se situant à r constant sont sur des hyperboles. Celle de droite seréfèreàlavaleurr=4m.LetrajetAfigureceluid’uneparticuledotéed’unemasse,qui plonge vers la sphère de Schwarzschild. La demi-droite x° = 2m évoque lafaçondontévolueletemps.Danslesystèmedescoordonnéeschoisicettemasseatteintcettesphèreenuntempsinfini, figurepar ledemi-droitev=u .Puis,ensupposant que ce point-masse puisse pénétrer à l’intérieur de cette sphère, ilpoursuitsontcheminetatteint lepointassociéeàunevaleurnullederquiestune autre hyperbole accompagnéede hachures, qui est censée représenter «lasingularité».UnraisonnementsimilaireestassociéàlatrajectoireB.Parunvéritablecoupdebaguettemagique,Kruskalsembleavoir transforméune portion irréelle de la variété en quelque chose de réel, décrit par leséquations(85)à(89).Maisilfautsesouvenirquesiavecdesgrandeursréelles,comme les coordonnées d’espace-temps, on peut aboutir à une grandeurcomplexeds,l’inverseestégalementpossible.Il nous faut donc reprendre à rebours la démarche de Kruskal. Explicitons larelation(84):

(92) F (ξ) = η2 e 2ηξ = 1

16 m2 e ξ/2m

Al’intérieurdelasphèredeSchwarzschild(83)nousindiqueque:

(93) F (ξ) = 1− 2m / r

f 2 < 0

Encombinantavecl’équationprécédentececinousdonne:(94) e

ξ/2m = 16 m2 F (ξ) < 0 Orl’exponentiellenepeutêtrenégativequesil’exposantestcomplexe:(95)

ξ = 2m Ln 16m2 F (χ)⎡⎣ ⎤⎦ − iπ

Ortoutlecalculaétébaséesurl’hypothèse(82),quidébouchesur:

(96) ξ = r + 2 m Ln

r2 m

− 1 = 2m Ln 16m2 F (χ)⎡⎣ ⎤⎦ − iπ

Ilyadoncunecontradiction.Cetterelationdevientdoncincohérente.Danslesdeuxmembresd’uneéquation, l’unnepeutpasêtreréelet l’autrecomplexe.Ceprolongement analytique fait sens si on se situe dans le mode des complexes,

56

maisn’apasde sensdans celuide laphysique, qui se situedans lemondedesréels.L’interprétationd’HermannWeyl(1917)En1915HermannWeylatrenteans.Aprèsavoirenseignélesmathématiquesà l’universitédeGöttingen,où il s’estpassionnépour les idéesrévolutionnairesintroduitesparRiemannet particulièrementpour les variétéshyperboliques, iltrouveunposteàZurich, à l’écolepolytechnique fédérale,oùunechaire lui estofferte.IlrencontrealorsEinsteinetassimilerapidementlesconceptsdebasedelarelativité,restreinte,puisgénérale.DécouvrantlasolutionnonlinéaireexactetrouvéeparKarlSchwarzschild ilpublie l’interprétationqu’ilendonneen1917[19].

Fig.34:HermannWeylen1915Pouravoiraccèsàlaversionenallemanddecetarticle,publiéilyaplusd’unsiècle mais sur lequel la société Springer a posé un copyright, lors d’unerepublicationen2012oùfigureégalementsaversiontraduiteenanglais,ilvousencoûtera49dollars,quellequesoitlaversion.Dansonarticle,àdifférencedeceluideHilbert,lalettreRestutiliséepourdésignerlescalairedeRiemann:

57

Fig.35:Dérivationdel’équationdechampparWeyl.

LapremièreéquationmontrequeWeylaimmédiatementintégrélatechniquede dérivation de l’équation de champ par méthode variationnelle, avecintroductiondu tenseurdeRicci et du scalaireR qui endérive. Enbas, on voitapparaître l’équation de champ à laquelle Einstein donnera son nom, sous laforme (équivalenteà cettede sapublicationdu25novembre1916 [4])que luiconnaissent lesétudiantsd’aujourd’hui.Lapremièrechoseque faitWeylestderappelerl’inégalitéquiconfèreauxsolutionuncaractèrephysique:

Fig.36:Lamesuredelongueur,selonH.Weyl[21].

58

Comme Schwarzschild, il est parfaitement clair dans le choix de sescoordonnées Gaussiennes ( x1 , x2 , x3 , x4 ) . L’espace-temps est donc feuilletable àl’aided’unesuited’hypersurfacesàtroisdimensions,invariantesparrapportautempsx4. Leproblèmeestdoncde construire cettehypersurface stationnaire àtrois dimensions, décrite par les coordonnées ( x1 , x2 , x3 ) et définie par sonélémentdelongueur dσ enaccordavec:(97) ds2 = f dx4

2 − dσ2

Si on fait une comparaison des choix opérés par Weyl avec l’approche deSchwarzschild,celui-cimènesoncalculavecunecoordonnéerquiestenfaitsagrandeur intermédiaireR. Il calcule la fonction f ainsi que les expressions destroisautrespotentielsmétriques.

Fig.37:Résultatducalculdupotentiel g44 = f [21].

Comme Schwarzschild il fait apparaître ce qu’il appelle le rayongravitationnelassociéàunemassem.Samétriqueserésumeà:

(98)

ds2 = 1− 2a

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dt2 − dr 2

1− αr

− r 2 ( dϑ 2 + sin2ϑ dϕ 2 ) = 1− 2a

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dt2 − dσ 2

Avecl’hypersurface3D19définieparlamétrique:

(99)

dσ 2 = dr 2

1− 2 a

r

+ r 2 ( dϑ 2 + sin2ϑ dϕ 2 )

MaisWeyln’apaslanaïvetéd’envisagerquecettesolutionpuisseavoirunsensphysique pour r < 2a, où l’élément de longueur cesserait d’être réel. Cettevariable r (qui n’est pas la même que celle du papier de Schwarzschild)correspond à un rayon vecteur de coordonnées ( x1 , x2 , x3 ) . C’est unehypersurface à 3 dimensions dont on sait qu’elle «n’existe» que pour r > 2a.Weyl va donc pousser plus loin, pour percer le secret de sa géométrie, et plus

19Onreconnaîtlamétriquedenotre«diabolo3D»dudébutdel’article».

59

précisémentdesatopologie.Surcestroiscoordonnéesd’espaceilpeuttoujoursensupprimerune.Ilécritdonc:

Fig.38:L’analysedelatopologiedel’hypersurface3DparWeyl

Ilécritainsi:

- Demanièreàdéterminer lagéométriequiestcaractériséepar laformedelamétriquedonnant dσ

2 ,nousallonsprojeterdansunplan correspondant à x3 = 0 . Si nous introduisons lescoordonnéespolaires:

x1 = r cosϑ x2 = r sinϑ

dσ2 = hdr 2 + r 2dϑ2

60

Cequiluidonne:

dσ2 = 1− 2a

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dr 2 + r 2dϑ2

Danscequisuit, il faitexactementcequenousavons faitpour lediabolo3D,c’est à dire qu’il fixe l’angleϑ pour déterminer l’équation de laméridienne, cequiluidonnel’équationdifférentielle:

(100) dr 2 + dz2 = 1− 2a

r⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dr 2

Dontlasolutionest:

(101) z = 8a ( r − 2 a ) ou r = 2 a + z 2

8a= Rs +

z 2

4Rs

On retrouve l’équation(19) de la parabole couchée. L’hypersurface est doncun «diabolo 3D» qui est la projection de l’hypersurface 3D dans un espaceEuclidien ( x1 , x2 , x3 ) .EtWeylpoursuit:

- DieprojektionbedektdasäuberedoppeltCetteprojectioncouvredeuxfois (doppelt: doublement) la partie de l’espace r > 2 a , das innereüberhauptnicht:maiscerevêtement(3D)decouvreenaucuncaslaportion d’espace r < 2 a 20. BeI natürlicher analytischer Fortsetzungwird also der wirkliche Raum in dem zur Darstellung benuntzenKoordinaten derxi das durch r ≥ 2a gekennziechnete Gebeit doppletüberdecken:Dansunprolongementanalytiquenaturel,l'espaceréeldans les coordonnées utilisées pour la représentation de lacoordonnéexidupointcorrespondentdeuxpointsdel’hypersurface3D.Surcettesphèrederayon2a,quifaitlajonctionentrecesdeuxrevêtements,sesituelamasse.

Làonvoitpoindreune idéetoutà faitextraordinaire,assimilant lesmassesàdessingularitéstopologiques.Onserappelleraque la topologie,àcetteépoque,estentraindenaîtreentantquedisciplinemathématique.Lessurfacesferméesrégulières2Dsontaunombredequatre.Onalasphère,letore,puislabouteilledeKleinet lasurfacedeBoy. PrécisonsqueFélixKlein inventesabouteilleen1882,tandisqueWernerBoy,élèvedeHilbert,créerasapropresurfaceen1902.Comme Schwarzschild ce dernier s’engage à 35 ans, dès l’entrée en guerre del’Allemagne,enjuillet1914etesttuéenFrance,oùilrepose,enseptembredelamêmeannée.

20Ondiraitaujourd’hui:cettehypersurface3Dconstituelerevêtementàdeuxfeuilletsdelaportiond’unespaceEuclidien3extérieuràunesphèrederayon2a.

61

Weyl(quis’estaussiengagé,maisaétérenvoyéà laviecivilepourraisondesanté) poursuit son analyse de l’hypersurface 3D. Il est ainsi le premier àintroduirelaformeisotropedelamétrique.

Fig.39:FormeisotropedelamétriquedeSchwarzschild

Savariablern’estpaslaprécédente.Saformule(12)correspondàl’équation(6.69) de la référence [18]. La dernière expression représente le coefficient dedilatationlinéaire(lineareVergröberungsverhältnis).

IlestclairqueWeylaparfaitementintégrélefaitquelesdiversescoordonnéesne sont que des représentations des objets définis par leurmétrique et que leseul objet doté d’une réalité intrinsèque (invariant par tout changement decoordonnées) est l’élément de longueur s . Ces choix successifs permettent dedécouvrir leur topologie. Ainsi, en 1917 est le premier à découvrir que lagéométriedécouverteparSchwarzschildestnon-contractile.

LaP-symétriequiaccompagnelepassagedelasphèredegorge.

Weylcréedoncceconceptd’espacedereprésentationetderevêtementàdeuxfeuillets d’une variété. Les points homologues de ces deux feuilletsquadridimensionnelspeuventdoncêtrerepérésàl’aidedesmêmescoordonnéesxi.Onpeutconsidérerquatrepointsauvoisinaged’unpointdecoordonnéesxiquiforment un tétraèdre constitué par quatre triangles équilatéraux ayant deuxsommets communs. On peut définir une orientation positive en définissant unsens de parcours de ces triangles, considéré comme positif. Celui-ci définit unvecteur normal. La figure suivantemontre ce qu’il advient de cet ensemble de

62

pointslorsqu’ilsfranchissentlasphèredegorge.Letétraèdredotéd’arêtesnoiresestcenséapparteniràunedesdeuxnappestridimensionnellesdel’objet.Soitunede ses faces ABC, le sens de parcours positif, arbitraire, étant indiqué par desflèches. Le tétraèdre aux arêtes grisées A’B’C’ appartient à l’autre nappe. Si onamène ces deux objets en coïncidence on pourra constater que les deux deparcourssontinversesl’undel’autre.

Fig.40: Inversion de l’orientation d’un tétraèdre après franchissement de lasphèredegorge

OnendéduitquetoutobjetfranchissantlasphèredegorgedelagéométriedeSchwarzschildsubituneP-symétrie

Tempsdechutelibreoud’évasiondanslagéométriedeSchwarzschild.

Lemodèledutrounoirestbasésur lecompletdécouplagedutempspropred’objetsaccompagnantlephénomèned’implosionquecettegéométrieestcenséedécrire et le temps propre d’un observateurs situé à l’infini, observant lephénomène, qui pour lui est censé durer un temps infini. Considérons destrajectoiresradiales.Ona(engardantlanotationdeSchwarzschild):

(102)

ds2 = 1−RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dx42 − dR2

1−RsR

s = cτ x4 = ct

LeséquationsdeLagrangedonnent:

(103)

dτdR

= ± 1c

RRs

(104)

dtdR

= ± 1c

RR - Rs

L’intégrationdonneleschéma

63

Fig.41:Tempsdechutelibre

La particule témoin atteint la sphère de gorge en un temps fini, en terme detemps propre, mais ce parcours correspond à un temps infini pour unobservateurdistant.

LamétriquedeKerr.

En 1963 Roy Kerr construit la solution de l’équation d’Einstein sans secondmembre [20], décrivant une portion d’espace vide, invariant par translationtemporelleetparactiondugroupeO(2).

(105)

ds2 = 1 − 2 mρρ2 + a2 cos2θ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c2dt2 − ρ2 + a2 cos2θρ2 + a2 − 2 mρ

dρ2 − ρ2 + a2 cos2θ( )dθ 2

− ρ2 + a( )sin2θ + 2mρ a2 sin4θρ2 + a2 cos2θ

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dϕ 2 − 4mρ asin2θ

ρ2 + a2 cos2θc dt dϕ

Le paramètre a chiffre l’importance de la rotation. S’il est nul on retrouve lamétriquedeSchwarzschild.Dansleplancettemétriquedevient:

64

(106)

ds2 = 1 − 2 mρ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c2dt2 − ρ2

ρ2 + a2 − 2 mρdρ2

− ρ2 + a( ) + 2m a2

ρ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dϕ 2 − 4m a

ρc dt dϕ

Considéronsdeuxrayonsdelumièreémistangentiellementàunetrajectoireàρ constant:

(107) 0 = 1 − 2 m

ρ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c2dt2 − ρ2 + a( ) + 2m a2

ρ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dϕ 2 − 4m a

ρc dt dϕ

Lavitessedelalumièreprendalorsdeuxvaleursdifférentes,selonladirectiondel’émission:

(108) vϕ = c 2ma ± 18m2a2 +2mρ3 − ρ2a2 − ρ4⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

Ce phénomène est classiquement interprété comme un phénomèned’entraînement du système de coordonnées (frame-dragging) et n’est pas sansévoquer l’idée d’Ernst Mach selon laquelle la matière et l’espace seraientétroitementliées.Cesdeuxvaleursdelavitessedesphotonsestliéàlaprésenced’untermecroiséen dϕdt .Laprésencedanslasolutionstationnaired’untermecroisé en dϕdt a été envisagée en 1916par leHollandais J. Droste21[21],maisrejetéeaussitôtparcetauteurcarconsidéréecommenonphysique.

Faisonsunecourtedigression.Droste,élèvedeLorentz, présentecetravaille27mai1916,ilatrenteans.

Fig.42:JohannesDroste(1886-1963)

IlpartdesmêmeshypothèsesqueSchwarzschild,etvoicisonrésultat:

21https://fr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Droste

65

Fig.43:MétriquedeDroste

Résultat identiqueàceluideSchwarzchild.Danscetarticle trèscomplet, toutestexplicité.Lesexpressionsdesgéodésiquesetlereste.ParlasuiteDrostediraque lorsqu’il avaitprésentésonpapier, il ignoraitqueSchwarzschildvenaitderésoudreceproblèmetroismoisplustôt.

MaisrevenonsautravaildeRoyKerr:

Danslamesureoùonadmetdanssasolutionlaprésenced’unframe-draggingazimutal,qu’obtient-onsionenvisagedansunesolutioninvarianteparactiondeO(3)unframe-draggingradial.Celasetraduitparlaprésenced’untermecroiséen dRdt En conservant les notations de Schwarzschid, ceci correspond à lamétriqued’Eddington-Finkelstein,quisedéduitdelamétriquedeSchwarzschildparlechangementdevariable:

(109) t = t ' + δ

Rsc

Ln ( RRs

− 1) δ = ± 1

Cequidonne:

(110)

ds2 = 1−

RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c2dt' 2 − 1+RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dR2 − R2( dθ2 + sin2dϕ2 ) + 2δRsR

c dt' dR

Cette situation a été récemment étudiée dans [22]. Le temps de transit le longd’unetrajectoireradialedevient:

(111) ν = − 1 :trajectoirecentripète; ν = 1:trajectoirecentrifuge

dt'dR

= 1c

λ R − δ νRs λ2 − 1+RsR

− h2

R2 +h2RsR3

ν( R − Rs ) λ2 − 1+RsR

− h2

R2 +h2RsR3

δ = ± 1ν = ± 1

Pourdestrajectoiresradiales(h=0)

(112)

66

dt'dR

= 1c

λ R − δ νRs λ2 − 1+RsR

ν( R − Rs ) λ2 − 1+RsR

δ = ± 1ν = ± 1

QuandRtendversRs,cettecontributiondutempsdevientinfinisi δ ν < 0

Danscesconditions:

(113)

dt'dR!νc

R − δ νRsR − Rs

Il est donc possible de coupler deux solutions métriques, deux nappes seraccordantselonlasphèredegorge,jouantalorslerôledeone-waymembrane,desurfacequelesmassesnepeuventtraverserquedansunseulsens.Considéronsle couple de métriques ci-après. Dans la première les masses ne peuventqu’entrerdanslasphèredegorge,enuntempsbref,maisnepeuventenémergerqu’enuntempsinfini,cequiéquivautàuneimpossibilité.Situationinversevisàvisdelasecondenappe,définieparlamétrique(91).Globalementletransit,avecentrée dans la première nappe et émergence dans la seconde, s’effectue en untempsfini.Letransitinverseestimpossible.

(114)

ds2 = 1−

RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c2dt' 2 − 1+RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dR2 − R2( dθ2 + sin2dϕ2 ) − 2RsR

c dt' dR

(115) ds2 = 1−

RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c2dt' 2 − 1+RsR

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dR2 − R2( dθ2 + sin2dϕ2 ) + 2RsR

c dt' dR

Uneétoileenimplosionverraitainsisamassetransféréedansunesecondenappe,selonuntempsfini.

Epilogue.

Francfort est la ville natale de Karl Schwarzschild. Chaque année se tient àl’AdvancedStudiesInstitutedeFrancfortun«colloqueSchwarzschild»,consacréaux questions de cosmologie et d’astrophysique. En 2017 les organisateurs ducolloque avaient invité le cosmologiste Argentin Juan Malcadena, en poste àl’Advanced Studies Institute de Princeton, Etats-Unis. Celui-ci débuta saconférence, consacrée au dernières avancées dans le domaine de lethermodynamiquedestrousnoirsendisant.

- En 1916, quand Karl Schwarzschild publia son article, la communautéscientifique dut passer un certain temps avant que certains points soientéclaircis.Aujourd’huicesproblèmesontétébienmaîtrisés.

Pour montrer la façon donc la communauté des spécialistes perçoit cesquestions, depuis les années soixante, le plus simple est de reproduire

67

l’interprétation main stream telle qu’elle se présente dans la page 223 de laréférence[18],etquitraduitunconsensusunanimeauseindelacommunautédescosmologistesd’aujourd’hui,etdespartisansdumodèledeTrouNoir.

Fig.44:InterprétationstandarddelamétriquedeSchwarzschild

Traduction:

LasolutiondeSchwarzschildetsesConséquences.

6.8 Le rayon de Schwarzschild, les coordonnées de Kruskal et leTrouNoir.

Nous avons remarqué dans l’expression (5.3) de la métrique deSchwarzsvchild une singularité apparaît en r = 2m, au rayon deSchwarzschild;encepointlepotentielmétrique

g11 devientinfini,alors

que le potentiel goo devient nul. Du fait que

goo est nul, la sphère de

68

Schwarzschildr=2mestunesurfaceavecunredshiftinfini,sionsebasesur notre discussion des sections 4.2 et 4.4. Ainsi comme la longueurd’ondede la lumière émisepar cette surface subit un redshift infini, lafréquence du signal perçu à une un observateur distance sous unefréquencenulle,cequifaitquenulatomenepeutêtreobservé.

Quand r devient inférieur à 2m, les signes des composants de lamétrique

goo et g11 changent ,

g11 devenant positif et goo négatif. Ceci

nous contraint à reconsidérer la signification physique de t et de r entantqu’indicateursdu temps etdu rayon (!?…) à l’intérieur (?...) de lasphère de Schwarzschild. En fait, une ligne d’univers (? …) le long del’axedutemps,c’estàdireà ( r , θ ,ϕ constants ) correspondalorsàds2<0.C’estdoncunecourbedugenreespace22.Maissioncheminelelongdel’axer (!?!...)onads2>0, c’estunecourbedugenretemps. Ilapparaîtraainsi naturel de réinterpréter r comme une coordonnée de temps et tcomme un indicateur de rayon, vis à vis des évènements survenant àl’intérieur de la sphère de Schwarzschild. ( n’importe quoi! …). Ceciétantfaitnouspouvonsinterpréterds/ccommeletempsproprelelongde la ligne d’univers d’une particule car, comme nous l’avons vu à lasection4.2ds2doitêtrepositiftoutaulong.Ainsiuneparticuledotéedemasse ne saurait rester à r constant à l’intérieur de la sphère deSchwarzschildpuisquececiimpliqueraitquesoitnégatifdelongdecelleligned’univers.

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22Non,celasignifiesimplementqu’onestendehorsdel’hypersurface!

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