LA TRANSFORM]~E D E F O U R I E R EN OPTIQUE ET SES POSSIBILIT]~S D'APPLICATION

par

Henri MERMOZ

Ing6nieur en chef des t616communications *

SOMMAIRE. - - La premidre partie de cet article est un rgsumd de la thJorie des phdnom~nes fondamentaux de diffraction et de formation des images, en lumidre eohdrente et non cohgrente, dans ee qu'elle a de plus particuli~rement lid d la transformation de Fourier. La seconde pattie expose quelques exemples du traitement de l'information par des

mJthodes optiques.

PLAN. - - Introduction. i re pattie : La t r a n s [ o r m a t i o n de F o u r i e r en op t i que . - - I . l . Le principe de Huyghens etchamp d l' infini. --1.2. Distribution plane de sources, transformation plan-sphere. ~I.3.Di]~raction d l' infini et directic, i td.--I .4. Cas particullers de la correspondance plan-sphJre.--I .5. Sens physique des frJquences spatiales ; ~ I . 6 . Transformation inverse, principe de H uy ghens en milieu image. - - I . 7. Formation des images en lumidre coh~- rente. ~ I . 8 . A utres correspondances se traduisant par une transformation de Fourier en lumi~re cohdrente.--I.9. Cohe- rence partielle. - - I . t O. Transmission des co~,ariances. �9 2 e pattie : Poss ib i l i t d s d ' a p p l i c a t i o n . ~ I I . t . 0 bser~,a- tion de la transformde d'une distribution. - - I I . 2 . ProcJdure d' un(( filtrage optique ~ gdndral. - - I I.3. PossibilitJs de principe et rJser~,es pratiques. - - I I. 4. Contraste de phase et de luminoistd. - - I I.5. Traitement simultand de plusieurs signaux par le m~me filtre. - - I I.6. Traitement simultang d'un m~me signat par plusieurs fiItres.-- I I.7. Con~,olution et filtrage adaptd sgquentiel. - - I I . 8 . Corrglations. - - I I.9. Analyse speetrale--I I . l O. Changement de frdquence. - - I I . l O

Modulation et ddmodulation. - - I I . 1 2 . Dgrivation. �9 Conclusion. �9 Bibllographie (i7 rgf.).

IN TRODUC TION

La f6condit6 de la notion de transform6e de Fou- rier appliqu~e h l 'optique, s'affirme, aujourd'hui, dans un grand nombre d'applications. Les 61ectroniciens et les (c informaticiens )) devront , en hombre crois- sant, s 'int6resser aux ressources promettcuses des m6thodes optiques.

Cet essai n 'a pas pour but de pr6senter l '6tat de la recherche avanc6e dans ce domaine. I1 a encore moins la pr6tention de perfectionner une th6orie bien connue. D6jh ancien ** il a 6t6 6crit avec le souci de rechercher le raccourci le plus rapide qui permet t ra i t aux (r informaticiens )) de (( faire de l 'optique ~ avec routes les ressources de leur propre langage. Peut gtre, h ce ti tre, aidera-t-il l 'approche des nombreuses 6tudes sp6cialis6es qui paraissent actuellement.

PREYIIERE PABTIE

LA T R A N S F O R M A T I O N DE F O U R I E R EN OPTIOUE

IA. Principe de Huyghens et champ ~ l'inflni.

[i, 2, 3, 4,]

La t ransformat ion de Fourier s ' introduit en optique comme une t raduct ion formelle du principe de Huyghens. Une des fagons d 'exprimer ce principe consiste, en effet, h autoriser en milieu isotrope, le calcul du champ 61ectromagn6tique en un point P

61oignd des sources, comme une somme de contri- butions 61dmentaires oh chaque pet i t 61dment de ces sources intervient pour son propre compte :

- - p a r la phase et l 'ampli tude du champ au lieu m6me qu'il occupe M ;

- - par la loi de propagation sphdrique entre M e t P c'est-h-dire par :

une ddcroissance de l 'amplitude comme l'in- verse de la distance MP ;

une rotat ion de phase correspondant au chemin optique franchi entre M e t P.

On supposera d 'abord les sources monochroma- tiques et cohdrentes, ce qui signifie que les relations d 'ampli tude et de phase entre deux points quelcon- ques sur ces sources sent ddfinies et constantes au cours du temps. Cette hypothbse implique que les sources considdrdes sent elles-m~mes des sources secondaires obtcnues h part i r d 'un point source unique.

On peut ddcrire la vibrat ion lumineuse de ce dernier comme une suite d'dmissions h frdquence parfai tement fixe (de l 'ordre de 10 xa hertz.), sdpardes par des sauts brusques d 'ampli tude et de phase au ry thme des transitions atomiques.

La frdquence moyenne de ces sauts est de l 'ordre de l0 s .

Chaque 6mission est donc tr~s longue devant la pdriode de la vibrat ion lumineuse, ce qui garanti t un monochromatisme h peu prbs parfait. De plus, chaque saut de phase ou d 'ampli tude intervient de la mgme fa~on sur les sources secondaircs dent les relations de phase (diffdrencc des trajets optiques) et

(') D6tach6 ~ la D. T. C. N. Laboratoire de d6tection sous-marine du Brusc. (**} Diffusion limit6e sous forme de rapport du Centre l~tudes des Ph~nom~nes A16atoires de Grenoble 9/1965.

2/23 H. M E R M O Z [ANNALES DES T]~LI~COMMUNICATIONS

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F~a. IA. - - Transformation plan-sphere.

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d'amplitude (affaiblissement subi sur chaque trajet) restent constants. C'est ce que nous appellerons plus loln coh&ence totale.

Tout le champ 61ectromagndtique dfi aux sources secondaires ~ nous dirons ddsormais simplement : les sources ~ poss~de alors les mgmes propridt6s de monochromatisme et de coh6rence. II peut ~tre d$crit en chaque point par un nombre complexe reprg- sentant l'amplltude et la phase.

Soit A(M) ce nombre, fonction du point M, qui reprdsente la distribution de l'amplitude complexe sur les sources. La contribution du point M h la valeur du champ en Pes t , d'apr~s la r~gle ddduite du principe de Huyghens :

A(M) dM e-~"lMu (t) MP

oft dM repr&ente l'dldment de support des sources (volume, surface, ligne) auquel se rapporte ]a dis- tribution, ct oft X est la longueur d'onde dans le milieu eonsid&d. Le champ total en Pest done :

(2) r = F A(M) e--aai~lx dM, J MP

l'intdgrale dtant 6tendue au domaine occupd par les s o u r c e s .

t.2. Distribution plane de sources ~ Transfor- mation plan-sph6re.

Supposons les sources rdparties sur un plan O rapportd h deux axes Ox et Oy et de normale orien- tde Oz.

Soit alors un point P, h la distance R de O (placd

dans le plan de la page sur la figure IA.) sur une sphere S de centre O et de rayon R.

.--> La direction OP est repr&entde par un vecteur

unitaire ~. La distribution d'amplitude complexe dans le plan O es t :

A(M) = h(x, y),

et on admet que la lumi~re se propage de gauche droite (sens de Oz) dans le domi espace limit6 par le plan O. On admet enfin que R e s t tr~s grand devant les dimensions du domaine utile oft A(M) est diffd- rent de zdro.

En posant :

A R = OM.a,

l'application de la relation (2) donne : e-~mlx f f |

(3) ~t(P) = ~ ~ JJo A(xy) e ~'(x ~" + X %) dx dy

oft % et a~ sent les cosinus directeurs de la direction

a, c'est-h-dire les composantes de la projection c 0 do

a sur le plan O. L'intdgrale de la relation (3) est la transformde de

Fourier h deux dimensions de A(x, y). En ndgligeant AR devant R dans l'expression de

la divergence sph6rique et en prenant X comme unitd de longueur dans le plan O, on fait apparaltre, h u n facteur pros, cette transformde sous une forme clas- sique :

e - 2 g l R

(4) Jr(P)= z , ) - R •

/~o A(x ' y) e~t(z% + x~%~ dx dy

t . 22, n *l 1-2, 1967]

ou plus rapidement :

e - - 2 ~ i / ~ / 4 -" " (5) A(r : ~ B - J 0 A(M) e 2~i(M.~ dM,

od d(M) est l'616ment de surface. Done :

(6) A(o) = (e-2'tm]R) 37[A(M)]

oh ~- d6signe la transform6e de Fourier direete (signe + de l 'exposant dans l'exponentielle).

En r6sum6, h u n facteur complexe pros, la ~'aleur du champ sur la sphOre S est, en tant que fonetion

). de (~, c'est-h-dire de , , et ~ , transformde de Fourier de la distribution plane A(M).

La convention de signe habituelle qui fair corres- pondre temps et fr6quence dans la transformation de Fourier elassique (*), ferait ici consid6rer A(x, y) comme analogue h un (( spectre d'amplitude)) et A(~z ~) comme analogue h une fonction du temps.

En fait, il suffit de consid6rer les composantes - - ~ et - - % du vecteur - - %, oppos6 h la projec-

§ tion de ~ sur O, pour renverser l'analogie. Ces compo- santes :

sont done les (( frdquenees spatiales ~) (ou bien : ~ est la fr6quence spatiale bidimensionnelle) qui cor- respondent h la distribution A(M), analogue elle- mgme, dans ce cas, h une fonction bidimensionnelle de (( temps ~).

Cette convention de signe 6tant pr6cis6e, nous

parlerons de ~ , r et ~ comme repr6sentant les (( frdquences spatiales )) de la distribution.

1.3. Di f fract ion r l ' inf ln i et direct ivit~.

Le champ h l 'infini - - sur une sphere S de grand r a y o n - - constitue ce que les radio61ectriciens appellent directivitd lorsqu'ils parlent d'antenne. La directivit6 est, en effet, une fonction complexe de direction, repr6sentant la phase et l 'amplitude du champ ~ une distance fixe et grande devant les dimensions de l 'antenne. I1 est clair que celle-ci est excit6e alors sur une fr6quence bien d6finie, qui impose le c( monochromatisme )) h tout le champ.

Le langage pr6c6dent peut alors s'appliquer aux antennes planes de la fa~on suivante.

La directivitd est la transformde de Fourier de la distribution des courants sur l'antenne.

En effet, le courant en un point, est ce qu'on peut appeler l'excitation ou le ddbit de la source en ce point.

La th6orie compl6te montre qu'il est en quadra-

(*) Si f(t) et G(v) se correspondent on a :

f{t) = f + ~ G ( ~ ) e2=i~t d r , _

et Glv) == fit) e--2ntut dr.

L A TRANSFORMI~E DE V O U R I E R EN O P T I Q U E 3/23

ture avec le champ local. A un d6phasage pros, par cons6quent, la distribution des courants et eelle des champs sur ran tenne est la m6me ; elle joue le rgle de A(M).

La m~me correspondance peut tout aussi bien s'appliquer ~ une antenne acoustiquo sur lacIuelle l 'exeitation est repr6sent6e par la distribution des vitesses normales de vibration.

Ainsi, le ph6nom6ne optique de diffraction l 'infini - - ph6nom6ne de Fraunhofer - - est un ph6- nom~ne de directivit6 bien connu des 61eetriciens et acousticiens.

Les r6gles diverses pr6c6dentes expriment, en d6finitive, que le champ 61ectrique ou aeoustique d 'un 6metteur plan, se r~soud, it l'infini, en un sys- t~me d'ondes planes tangentes i~ la sph6re S, ~tant par consequent fictivement pass~es par le point de r~fJrence O; leurs phases et leurs amplitudes sent d6finies (of. relation 4), h u n facteur pr6s, par la transform6e de Fourier de la distribution plane. On peut dire que leurs phases et amplitudes ramen~es en O sent d6finies par cette transform6e. Notons que le choix du point O est en prineipe arbitraire, l 'int6rieur ou h proximit6 du domaine occup6 par les sources dans le plan O.

La correspondance entre la distribution plane et la valeur du champ sur la sph6re S 6rant une trans- formation de Fourier, chaque direction prend le sens d'une [rdquence spatiale et l 'ensemble des valeurs du champ darts les diverses directions prend le sens d 'un (~ spectre d 'amplitude )). Le principe de conservation de l'6nergie exige que l'6nergie totale de la distribution plane se retrouve sous forme de flux d'6nergic h travers la sphere S. C'est ce que garantit , en quelque sorte, l ' identit6 classique de Parseval (*), qui se g6n6ralise ici en :

i (7) fro [A(x, y)[2 dx d y =

Dans la mesure off, comme on le verra plus loin, l'616ment diff6rentiel du second membre peut se confondre avec l'angle solide 616mentaire dco, la relation (7) exprime bien l'6galit6 des 6nergies totales sur ]e plan et h travers la sphere.

1.4. Cas part icul iers de la c o r r e s p o n d a n c e plan sph6re .

Les relations pr6c6dentes impliquent routes les propri6t6s classiques de la transformation de Fou- rier.

Par exemple, h une distribution plane uniforme (mgme module et m6me phase en tout point) corres- pond une r6partition de champ sur la sphere nulle en tout point saul sur la direction ~ = 0, % = 0 c'est-'~-dire sur Oz.

(*) Qui, sous sa forme particuli~re concernant la conser- vation de l'6nergie, s'6erit dans la eorrespondance temps- fr6quenee :

f f Z 'f"'t' dt = f -+2 ZG, ,A" d,.

- - t 9 - -

4/23

Toute l'~nergle de la distribution plane est donc eoncentr~e dans un mince 616ment d'angle solide autour de Oz. Cette situation est repr6sent6e par une (( distribution de Dirac )) bidimensionnelle qu 'on notera ~(~, a,) ou, de fa~on 6quivalente, ~(~,). ~(~,) et qui est la transform6e de Fourier d'une constante dans le langage classique des 61ectriciens

Inversement, h une distribution plane (( de Dirac ))

A(x, y ) = 3(x, y)

correspond une r6partition sph6rique uniforme. Ce dernier aspect de la transformation de Fourier n'exprime rien autre, bien entendu, que la loi de propagation sph6rique.

Supposons que la distribution plane soit (c uni- forme en y ~

y ) - -

c'est-h-dire compos6e de ~< lignes )) parall~les h Oy, chaque ligne 6tant une distribution uniforme. On en conclut aussit6t que la r6partition sphdrique corres- pondante est ~( concentr6e ))dans les directions per- pendiculaires h Oy. En effet, on a alors :

(8) ~(a~, a~)= J/o A(x) e~l(~%+~~ dx d y = ~(r 5[A(x)]

off ~(~) est la distribution de Dirae. La r6partition sph~rique est nulle dans toutes les

directions pour lesquelles % =fi 0. Elle est done rd- duite aux directions du plan xOz, c'est-h-dire h une r6partition (( circulaire )). Cette r6partition, en taut

Fla . 1 . 2 . - D i s t r i b u t i o n u n i f o r m e s u i v a n t u n e d i rec t ion .

Le p l an de la f igure d6fini par u et Oz c o n t i e n t n6ces-

sairement ~.

H. MERMOZ [ANNALE$ DES TI~LI~COMMUNICKq'ION$

que fonction de at est transform~e de Fourier de A(x).

D'une fagon plus g6n~rale, et par simple sym6trie autour de Oz, consid6rons une distribution plane uniforme le long d'une direction repr6sent6e dans

le plan xOy par un vecteur unitalre u de composantes (~, ~), normal h cette direction (fig. 1.2.) :

(9) A(x, y ) = A(~tx + ~y).

La r6partition (( sph6rique )) correspondante est, en fait, (( circulaire ))dans le plan passant par Oz et

-+ dont l 'iutersection avec xOy porte le vecteur u.

Seules les directions z dont la projection sur xOy

(soit %) est colin~aire h u,

(t0) a. av - - ~ ou ~ a , - - , a , = 0

sent des directions <( utiles ),. Le plan des directions utiles r6alise en quelque sorte une ~ coupe normale ~ de la distribution plane, et A(ax + ~ y ) = A(z) repr6sente pr6cis6ment cette ~c coupe ,~. Les direc- tions utiles sent toutes d6finies par le produit sca- laire :

qui repr~sente ainsi la (( fr6quence spatlale )) dans le plan (zOu).

Un changement de variable convenable dans la relation (4) montre en effet (on laissera de cbt~ d6sormais le facteur e2'~lelR) que :

d z

1.5. Sens physique des frfiquences spaciales.

Dans la correspondance de Fourier classique, (temps-fr~quence), plus le (( signal),, fonction du temps, varie de far rapide, plus son spectre est large.

Ici la distribution plane est le signal ; d'une far analogue, le c6ne dans lequel se d6veloppent les

directions ~ (( utiles ),, est d 'au tant plus ouvert que les d6tails de la distribution plane sent plus fins.

Pour le pr6ciser, repr6sentons un (( degr6 de finesse )) de la distribution plane par une distribu- tion p6riodique uniforme en y, et de p6riode X :

(tt) A(x, y ) = A(x)= e-*"l*l x.

Cette distribution est celle de (( lignes sources )) parall~les h Oy, dent l 'amplitude est identique et qui pr6sentent un ((retard de phase )) proportionnel leur distance x h Oy.

La r6partition sph6rique correspondante est une r6parti t ion circulaire dans xOz :

(12) A(~) = Y[e-~"iqx].

C'est donc une(( raie ,) h la (( fr6quence spatiale ),

~ = I IX, ~ = O.

- - 20 - -

t. 22, n ~ 1-2, 1967] LA TRANSFORMI~E DE

Le signe de l 'exponentielle de la relation ( l l ) est destin6 h satisfaire h la convention du paragra- phe 1.2.

On peut dire que le (( degr6 de finesse )) consid6r6 se propage par la direction repr6sent6e par cette fr6quence spatiale.

Comme zz est une composante de vecteur unitaire, il est n6cessaire pour que cette fr6quence existe que

x ~ i .

Ayant pris la longueur d'onde k comme unit6 de longueur, cette condition signifie que seuls se trans- mettent les dgtails (ou les degr6s de finesse) dent la (~ pdriode spatiale )~ d@asse la longueur d'onde.

On retrouve ainsi une loi bien connue et justifiable directement sur les 6quations de propagation du champ (ondes 6vanescentes). La longueur d'onde utilis~e fournit une (( fr6quence de coupure )) qui limite la finesse des images transmissibles.

La mgme limitation se retrouve pour n'importe quel type d 'antenne 61ectromagn6tique ou acous- tique. M6me au prix d'une baisse considerable de l'6nergie ~mise (ph6nom6ne de super-directivit6), il est tr~s difficile de faire passer duns la (( directivit6 ), des d6tails de la distributions des courants ou des

FrG. 1.3. - - C o n s t r u c t i o n d ' u n e f r 6 q u e n c e s p a t i a l e .

vitesses normales, si ces d6tails sent de rordre de grandeur ou inf6rieurs h la longueur d'onde.

La construction de la figure 1.3 donne, dans le §

plan xOz, la direction ~ qui correspond h la (( finesse ,) de p6riodo OA = X. La limitation prdc6dente y devient 6vidente.

Le caract~re privil6gi6 d'une direction pour la distribution :

A(x) = e-~"Id x

s'explique par le fait que tous les points de la dis- fribution y envoient des ondes en phase. Dans toutes les autres directions les ondes se d6truisent deux h deux par opposition de phase et ceci d 'autant plus efficaeement que l '6tendue de la distribution le long de Ox est plus importante (que sa (( dur6e spa- tiale )) est plus grande).

Remarquons enfin que si l 'on se contente d'une

FOURXSR EN OPTIQUE 5/23

(( finesse )) X = 5 (5 longueurs d'onde), l'angle a que --).

fait ~ avec Oz reste inf6rieur h 12 ~ On peut alors le consid6rer comme un petit angle.

C'est pourquoi, dans la plupart des cas, l 'ouverture du cbne des fr6quences spatiales peut gtre consid6r6e comme petite.

On pourrait, bien entendu, donner h la notion de c( finesse )~ un sens vectoriel, en eonsid~rant des

distributions p6riodiques, normales h u n vecteur z: dans le plan yOz, dent, par convention, la phase

(( retarde ))dans le sens de u et dent la p6riode spa- tiale est 6gale h It: I.

I1 est clair que, dans ce eas, la direction z qui transmet ee degr6 de finesse est celle dent la projec-

tion % sur xOy est colin6aire h 7: et de mgme sens, et telle que :

Io0• les longueurs des veeteurs gtant mesurges en lon- gueur d'onde.

1.6. Transformation inverse - - Principe de Huyghens en milieu image.

La r6versibilit6, au sens math6matique, de la transformation de Fourier, permet d'6crire h partir de la relation (4) :

(13) A(M)= A(x, y ) = R e ~ta •

e-~l(z%+ v%)

L'~16ment diff6rentiel (d~= d%] repr~sente la projection sur le plan O d 'un petit 616ment de surface de la sphere de centre O et de rayon unit6. On a done :

(14) [dcr~ dz~] = cos 0r do),

off do) esi l'616ment d'angle solide autour de ]a direc-

tion z, et o~'~ ~ est l'angle de z avee Oz (fig. I.l.). Lorsqu'on admet que les angles ~ utiles restent

petits (distribution plane pus trop (c fine ~) cf. para- graphe 1.5.), c'est-h-dire si on se borne h la corres- pondance entre plan et culotte sph~rique tr~s 6]oi- gn6e (et peu 6tendue autour de Oz) on peut admet- tre que cos c~ ,-- I e t 6crire :

(15) A(M) = R e ~ m A<o, , e - ~ i ( z % + v % ) d ta ,

ou, plus rapidement :

(16) A(M) = R e ~IR ~ ( ~ ) e -2~ iC~ do),

----> ---N

en appelant M le vecteur OM.

A la place de do), introduisons l'616ment de surface de la sph6re S de rayon R :

dS----- R a do~,

6/23 H . M ElqM OZ

En rappelant que P e s t le point de cette sph6re

correspondant h ~, on a :

e 2nl/~ f (17) A(M)= ~- - J s ~(P) e -~t~ '~) dS

le domaine S 6tant limit6 h la calotte sph6rique d6finie par l'approximation cos ~ = 1.

Jusqu'ici, la fonction de point ~t(P) repr6sentait une r6partition de champ sur la sphere ou dans la

direction e eorrespondant h P. Dam la relation (17), la pr6sence d'616ments dS lui donne le sens d'une distribution sph~rique de sources sur S. Comparant cette relation avee (5), on volt que cette distribution peut gtre consid@6e comme la cause d'une r6parti- tion plane de champ A(M) ~ condition :

a) d'appliquer de la sphere au plan la r6gle du paragraphe I, qui exprime le principe de Huyghens ;

b) d'inverser le sens de propagation, ce qui corres- pond au changement de signe des exposants ima- ginaires.

I1 est donc permis de consid6rer la distribution plane A(M) comme une somme de contributions 616mentaires dues ~ des ~ sources )~ r6parties sur la calotte sph6rique S.

Cette forme r6ciproque du principe de Huyghens est particuli6rement adapt~e h l'interpr6tation des ph6nom6nes en milieu image�9 I1 sufllt en effet de conna~tre la distribution du champ sur une sph6re suffisamment 61oign6e du plan image (s'appuyant par exemple sur la pupille de sortie) pour conna~tre route la distribution plane image, qui est transfor- m6e de Fourier de la pr6c6dente.

On peut dire aussi que cette distribution plane image r6sulte de la superposition d'un ensemble d'ondes planes, tangentes ~ la sphbre S, passant par cons6quent par 0.

�9 Nous pourrons ainsi parler, d6sormais, de distri- butions plane et sph6rique transform6es de Fourier l'une de l'autre.

1.7. F o r m a t i o n des i m a g e s e n l u m i b r e c o h @ e n t e .

Consid6rons h pr6sent un syst6me optique centr6 d'axe Oz, stigmatique et applan~tique pour les points O et O' de cet axe (fig. 1.4). Supposons que l'instru- ment soit parfait pour la distribution plane objet consid6r6, c'est-h-dire :

a) que l'ouverture des pupilles ne limite pas, par elle-mgme, le c6ne des fr6quences spatiales utiles,

b) qu'il n 'y air pas d'aberrations g6om6triques. Dans chacun des milieux objet et image, on peut

d6finir une sph6re de distribution So et S~, s'ap- puyant par exemple sur les pupilles d'entr6e et de sortie (suppos6es 61oign6es de O e t de O').

Soit A 0 (M) la distribution plane objet dans le plan O et ~t o (~) la distribution sph6rique objet sur la sphere.

En n6gligeant syst6matiquement les facteurs

[ANNALE$ DES T~L~COMMUNTCATION$

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FiG. IA. - - Formation de l'image.

correspondant h des trajets optiques 6gaux, on a :

(18) Ao(~ ) = ~-[A0(M)],

(19) A~(~') = ~[A~(M')].

La distribution plane objet se r6soud en un ensem- ble d'ondes planes passant fictivement par O et d'amplitude Ao (r Ces ondes planes passent toutes (nous l'avons admis) h travers le syst6me optique et viennent n6cessairement repasser par O' (stigma- tisme) le long de trajets optiques (OO'), n6cessai- rement 6gaux. Sur ces trajets optiques, les trajets de sph6re S o h sph6re Si sent aussi 6gaux.

Le stigmatisme se traduit donc par l'identitd (h une phase constante pr6s) des distributions sph6riques ~t o (~) et Ao (z') pour les couples de directions homologues (~, z') correspondant h la mgme onde plane.

Ces deux directions homologues sent situ6es dans un m6me plan, avec Oz.

De plus, nous avons suppos6 remplie la condition d'aplan6tisme :

(20) sin a'/sin ~ = cst. -~ k,

qui exprime que le rapport des projections de e sur le

plan objet % et de e' sur le plan image ~ est ind6pendant du couple eonsid6r6. Or, ee sont les eomposantes respectives de ees deux projections sur les plans objet et image qui repr~sentent les (c fr6quences spatiales >~ dans les deux milieux.

La condition d'aplan6tisme qui s'exprime par �9

(2i) ~ = k~o,

- - 22 - -

t. 22, n ~ 1-2, 1967]

soit

(22) ' "

se traduit , dans la transformation de Fourier, par une homoth6tie de rapport l[k entre les coordonn6es respectivement associ6es h ~ (soit x) et h z~ (soit x'), et par la mgme homoth6tie entre y e t y'.

Si on a pris, dam chaque milieu, la longueur d 'onde comme unit6 de longueur (cf. Annexe), on retrouve facilement qu'h un point (x, y) du plan objet correspond un point (x,' y') du plan image tel que :

t t

(23) x x y , y ~= k~-~, ~=,~z,

et tel que la distribution A o (x, y) soit la m~me que la distribution A~ (x', y'), h u n facteur pros, ind6pen- dant du couple (M, M') consid6r6.

I1 exlste done une image d6finie par l 'identit6 mgme de ces deux distributions. La condition d'apla- n6tisme se complete 6videmment en fonction du grandissement lin6aire et des indices de r6fraction n e t n '~

n~ ~ n '~ ~ s e l o n :

ny sin ~e ~--- n'y ~ sin o~'.

La distribution image, ~t une homoth~tie pros, est identique it la distribution objet.

La formation d' une image se pr~sente done, id~ale- ment, comme une double transformation de Fourier qui d~compose, puis recompose les distributions de champ, en dgveloppant, dans le faisceau lumineux utile les fr~quenees s patiales relatives ~t l' o bj etet it l' image.

En r6alit6, l ' instrument ou syst~me optique consid6r6 n'est pas parfait. Par les dimensions de ses pupilles il peut ~ couper ~ les fr6quences spatiales les plus 61ev~es agissant ainsi comme un filtre passe- bas. Plus g6n6ralement, il peut affaiblir l 'amplitude d 'une fr6quence spatiale sur le t ra je t optique (z, z'), d 'une fa~on s61ective. Cet affaiblissement peut s 'exprimer par un facteur de transmission, fonction de z ou de z'

~(~) ou ~(~'). D'autre part , l ' instrument n'est pas rigoureuse-

ment stigmatique, c'est-h-dire, que les trajets opti- ques (OO') (ou : de sph6re S o h sph6re S~), ne sent pas rigoureusement 6gaux. Sur chaque trajet opti- que, l'abberration se repr6sente par une petite diff6rence de trajet A(~) ou A(~').

En d6finitive, les trajets optiques, id6alement 6gaux, sont affect6s d 'un ~ poids complexe >> exprim6 dans le milieu objet par :

(24) q~(~) = ~ (~ ) e - ~ ' ~ ~ '~ L'introduct ion de r r6sume toute l'influence

de l ' instrument. La fonction r se d6finit par la structure de l ' instrument, notion qui g6n6ralise, en quelque sorte, la notion simple de dimension d'une pupille.

En effet, une pupille circulaire de rayon ~ est aussi un instrument dont le r est une <~ fonction cr6neau ~ 6gale h I de ~ = 0 h ~ = %, et nulle pour

LA TRANSFORMI~E DE FOURIER EN OPTIQUE 7/23

route autre valeur. (% est l'angle sur lequel on volt le bord de la pupille depuis le centre du plan objet).

L'existence de r remplace l'identit6 des deux distribution sph6riques pa r :

(25) ~t@') = Ao(z) r

Bien entendu,

(26) r _--__ t

caract6rise l ' instrument parfait (*). La fonetion (I)(z) a l e sens d 'un gain complexe de

filtre bidimenslonnel, agissant sur les frgquences spatiales et la relation (25) exprime - - tr~s naturel- lement pour un 61ectricien ~ la modification du spectre d 'amplitude d~ o (~) d'un ~c s ignal , A 0 (M), par un filtre de gain complexe gP(s).

Le spectre du c< signal de sortie ~ A~ (M'), est ~s (z'). I1 en r6sulte 6videmment que la distribution

image est le produit de convolution de la distribution objet par la transform6e de Fourier de <P(z) ~ soit q0(M) ~ qui prend ainsi le sens d'une r@onse per- cusslonnelle de filtre bidimensionnel.

En posant donc, pour la correspondance de Fou- rier (lorsqu'on a pas besoin de pr6ciser le signe de l'exponentielle)

(27) ~ ( M ) ' ~ ( ~ ) , on aura :

(28) A~(M') = Ao(M ) * ~(M) (**),

ou, plus explicitement :

(29) A~(x'y') = ~ A0(~ , [3) ~(x-- ~, y - - [3) d~ d~.

Pour un instrument parfait, on aura d'aprbs (26):

(30) ~(x, y )= ~(x, y )= ~(~) ~(y),

ce qui entralne bien A~ ( M ' ) = A o (M) (identit6 objet-image).

De In,me qu'une r6ponse percussionnelle de filtre est la r6ponse de ce filtre h une impulsion unit6 ~(t), de m~me la distribution ~(M) = ~(x, y) (ou ~(x', y') si on l 'exprime dans le plan image) est la (( r6ponse )) h u n cc signal ))

(31) Ao(M)---- Ao(x, y ) = ~(x) 3(y).

Done ?(x', y') est une distribution dans le plan image qui correspond h une distribution de Dirae, c'est-h-dire un point source unique plac6 en O, dans le plan objet.

On peut dire, dans un langage rapide, que r y') est l'image de 0 et que la distribution image est la convolution de la distribution objet par l'image de O.

De fa~on 6quivalente: le spectre image est le produit clu spectre objet par le gain complexe de l' instrument.

(*) Les conditions exactes dans lesquelles il est 16gitimo de consid6rer la formation de l'imago comme un filtrage lin6aire sent discut6cs en d6tail par P. Dumontct - - cf. [6].

(**) Le signe * repr6sente le produit de convolution.

- - 2 3 - -

8/23

Nous devons faire ici une remarque importante. Bien que partis d 'une hypoth~se de stigmatisme entre Oe t O', nous aeons cess6 de la postuler, puisque nous supposons que ~(M') est ~l'image~) de O' sans que ~0(M') soit n6cessairemont une distribution ponc-

tuelle en O'. I1 faut cependant rappeler que nous aeons intro-

duit ~P(~) comme l 'expression de petites alt6rations - - en ce qui concerne la phase, du moins - - de tra- jets optiques.

Le formalisme pr6c6dent s 'entend donc au ~,oisi- nage du stigmatisme seulement (*).

1.8. A u t r e s e o r r e s p o n d a n e e s se traduisant par une t r a n s f o r m a t i o n de Four ier en l u m i ~ r e e o h 6 -

rente .

Simplifions d 'abord l '6criture en n6gligeant l'ho- moth6tie qui fait correspondre l 'objet et l 'image, et en admet tan t que r162 = ~ pour des directions homo- logues dans les deux milieux. Cette supposition n'affecte e n r i e n le caract~re fondamental des trans- formations de Fourier ou des filtrages lin6aires. Elle ne modifie que les unit6s de longueur adopt6es dans les deux milieux.

D6signons donc par ~ la mgme fr6quence spatiale dans les deux milieux et par m le couple de points conjugu~s dans les plans objet ct image. D~s lors A o (m) et ~ (m) sont les distributions p lanes ; A 0 (0) et As (z) sont les distributions sph6riques ; qb(z) est le gain complexe de l ' instrument ; ~(m)

es t la r6ponse percussionnelle. On a (**):

(32)

(33)

i r <~_ O(a), Ao(m) ~_ Ao(.),

l Ab(m) = A0(m) * r

(*} Une g6n6ralisation h~tive de son application entre deux plans quelconques des milieux objet et zmage condui- rait a des conclusions absurdes. Par exemple, entre le plan focal obiet et un plan quelconque =' du milieu image, on peut d6finir une (~ fausse * r6ponse pereussionnelle 6gale h une eonstante.

En effet, un point source plae6 au foyer objet donne dans un tel plan (suppos6 h distance finie) une distribution uniforme. On en concluerait doric que, pour une distribution A{M) quelconque dans le plan focal objet la distribution dans un plan re quelconque sera~t unfforme.

Le produit de convolution de A(M} par une constante est, de fait, une constante :

f A(z) ,tz. Cette conc lus ion est manifestement fausse : l 'erreur vient

de l 'aoplieation abusive de la notion de r6ponse percussion- nolle entre deux plans (le plan focal objet et re'} non li$s par un stigmatisme approch~.

Si re' est le plan de l'infini du milieu image, la * fausse r6ponse pereussionnelle pr~e6dente (la distribution uniforme) s'identifie h un * point * sur l'axe (une direction unique}. I1 y a stigmatisme id6al (image de A(M) h l'infini) et la notion de r6ponse pereuaaionnelle s'applique aux alt6rations de l'image.

(**) Le symbole ~ d6signetaeorrespondance de Fourier Le symbolo • l'imaginaire eonjugu6

H. MERMOZ [ANNALES DES T~LftCOMMUNICATIONS

Les deux derni~res relations expriment ]a trans- mission des amplitudes complexes.

Consid6rons h pr6sent dans les deux milieux la quanti t6

(34) I(m, m')= A(m) A x (m'),

que l 'on appetlera interaction entre deux points de la distribution plane. Remarquons que :

(35) I(m, m ' ) = I • (m', m).

D6finissons, sur la distribution sph6rique, une ~( i n t e rac t ion , sph6rique par :

(36) 3(e, a ' ) = A(~) A x (+ ~').

En effet, un changement de i e n - i constitue, dans le domaine sph6rique, un changement de sens de propagation. I1 est donc naturel de lui associer un vecteur oppos6.

Remarquons que :

(37) 3(a, ~') = I x (__ a', cr).

O n a :

I(m, m ' )= A(m) A • (m')=

A(~) A• (~) e-~"it".o-'~'.~l de dr.,

soit, en posant ~ = - - e ' :

(38) I(m, m') = JJ 3((r,=')e-~='t=.~ o'1 da da',

en abr6g6 :

(39) I(m, m') ~ 3(,, , ' ) .

Cette t ransformation de Fourier est, en fait quadridlmensionnelle, entre les espaces (m, m') et (~, 0').

Les interactions planes et sphdriques sont donc des transform~es de Fourier dans une transformation quadridimensionnelle.

Ceci est vrai dans les deux milieux objet et image. Les relations (33) vont h pr6sent nous permettre

de t rouver comment les interactions se transmettent un milieu h l 'autre.

G i l a :

a~(~, ~') = ~ (~ ) ~t~(-- ~') =

et0(o) ~t~(-- 0') r r x (_ ~,) ;

soit :

(40) a~(o, ~') = a0(~, ~') [0(~) r x ( _ ~,)].

Remarquons que :

(4i) Z(~, ~ ' )= ~(a) ~x (__ ~')

est le gain complexe d 'un filtre quadridimension nel de r6ponse percusionnelle

(42) X(m, m ' )= ?(rn) ?•

Le produit de la relation (40) donne, dans l'espace (m, m') une convolution :

(43) I,(m, m ' )= Io(m, m') * [q)(m) qo • (m')].

2 4 - -

(45)

soit :

t . 22, n ~ 1-2, 1967]

Les relations (40) et (43) sent 6quivalentes. Elles expriment l 'une et l 'autre que les interac-

tions se t ransmet tent par filtrage quadridimension- nel de r6ponse pereussionnelle X(m, m') (gain com- plexe Z(~, z')).

La quantit6 :

(44) W(m)= I(m, rn)-~ IA(m)[ ~

est la distribution plane de la puissance lurnineuse dans l 'un ou l 'autro milieu. De la relatio= (38) on d6duit qu'elle est une transform6e de Fourier bidi- mensionnelle.

W(m) ~ / 3 ( ~ , ~--~) d~= :~(~),

/ - (46) W(m) ~ ~ ~t(~) ~t • (~-- ~) d~ = ~(~).

La quantit6 2~(~) joue, vis-h-vis de A(~) le rble d 'une ~ autocorr61ation de signal ~ ; c'est la convo- lution d 'un signal A(z) avec A* (- - ~), c'est-h-dire avec la r@onse percussionneUe du filtre adapt~ h ce signal [7] (dans un bruit h densit6 spectrale uni- forme) :

:~(~) = ~t(~) * ~t • (--~).

Comme le mot << autocorr61ation )) 6voque plut6t des ph6nom~nes al6atoires (alors que nous sommes toujours en r6gime coh6rent, avec des fonctions certaines) nous proposons plut6t le mot de convolance pour d6signer un tel produit. 2~(z) est donc la con~,olance s phdrique.

Si on cherche h present la relation entre ~ (~) et :K 0 (z) on a :

(~7) ~@) = / [~o(~) ~ ( ~ - - ~)] [q)(~) �9 • (~-- ~)] de

I1 est done impossible, en g6nfiral, d'exprimer Jt, i (~) eomme le produit de ~o (~) par une autre fonetion de r

I1 n 'y a done pas de filtrage pour les convolanees sph6riques hi, par eons6quent, pour leurs transfor- m6es, les distributions planes d'6nergie W~ (m) et W o (m).

La distribution des puissances lumineuses sur l'image ne d@end pas seulement de la distribution des puissances sur l'objet et de l ' instrument. Elle d6pend de l'ensemble des interactions sur l'objet.

Si on s'intdresse h la distribution des (r puissances sphdriques >>

~,s) 'w(r = t~(~)1~= a(~,-~) ,

on trouve que :

(49) qD(e) s ~ I(~, t~-- m) d M =

j ~ A(~x) A • (tx-- m) d~x = R(m).

La distribution des puissances sphdrlques est transformde de Fourier de la con~,olance plane R(m).

LA T R A N S F O R M E E D E F O U R I E R E N O P T I Q U E 9/23

D'un milieu h l 'autre on a :

~ ( ~ ) = ~(~) ~ (~)= ~(~) ~ ( ~ ) 0(~) �9 • (~),

soit :

(50) ~(~) = q~o(~) [O(~) �9 ~ (~)],

En remarquant que :

(51) O(~) �9 • (~)= ]O(~)] ~ ~ ~(m) * ~ x ( _ m),

la relation (50) s'6crit aussi :

(52) Ri(m) = Re(m) * [o(rn). ~ • (-- m)].

Les relations (50) et (52) sent 6quivalentes.

Elles expriment la transmission des puissances sphdriques et de leurs transform~es, les con~,olances planes. C'est un filtrage de r6ponse percussionnelle.

(?(m) * q~x(-- m),

et de gain:

Ir ~ I1 est bien naturel de voir les puissances sph6riques

c( pond6r6es ~, sur chaque rayon ~, par le carr6 du module du gain du filtre, qui repr6sente l 'instru- ment.

1.9. Coh6rence partieUe.

Nous avons suppos6 jusqu'ici que la distribution des amplitudes complexes sur l 'objet 6tait coh6rente, c'est-h-dire que l 'objet 6tait 6clair6 h partir d 'un point source unique (source primaire ponetuelle). Dans le cas d 'une source primaire non ponctuelle - - m a i s toujours monochromatique h la fr6quence ~ 0 - la distribution des amplitudes sur l 'objet est al6atoire et cette amplitude est, en chaque point, une fonction al6atoire du temps h bande 6troite autour de re.

Nous renvoyons h nouveau h la discussion tr~s complete de P. Dumontet , rapidement r6sum6e ci-apr6s.

La distribution de l ' a m p l i t u d e - de la variable lumineuse - - est alors repr6sentable par un nombre complexe, fonction al6atoire du point et du temps :

h(m, t).

Pour un point m donn6, c'est une fonction du t e n t s h bande 6troite autour de v = 0 ; ou encore, une fonction h r variations lentes >> devant la p6riode

l/~o- Elle est stationnaire et stationnairement corr616e

avec les autres points, Les fonctions d'auto-et d'inter-corr61ation des variables prises deux h deux sent donc des fonctions sinuso'idales de z, d'ampli- rude et de phase (r lentement variables >> avec x. Pour des valeurs de z sufiisamment petites devant l'inverse de la largeur de bande de A(t) (ordre d'interf6rence born6), on peut consid6rer qu'elles sent d6finies par une phase et une amplitude, c'est-h-dire par un nombre complexe. Le mgme hom- bre d6finit aussi la transform6e de Fourier de cos

- - 25

t0123

fonctions, qui est une c~ raie ~ spectrale $ la fr~quenee

~0 �9 Les fonctions d'intercorr61ations des fonctions

al$atoires du temps A(m, t) et A(m', t) ont doncla forme :

C(m, m') e ~ o ~,

et leurs transform6es de Fourier (au sens habituel : temps-fr6quence)

C(m, m') ~(~-- re),

o5 C(m, m') est le hombre complexe pr6cit6. Le cas m ---- m' donne les autocorr61ations et les

densit6s spectrales. Ceci r6soud en quelque sorte l 'aspect temporel

du probl~me. Reste l 'aspect spatial. On montre alors que les nombres complexes

pr6e6dents sent des esp6rances math6matiques de la distribution spatialement al~atoire A(m). La quan- tit6

(53) C(m, m ' ) = E I A(m) A • (m') }

est la covariance spatlal~ de la fonction al~atoire.

Elle n'est d6finie, en principe, que sur une cat6gorie d'~preuves de A(m). Mais on montre que, pour une 6preuve donn~e, elle garde le sens ergo- dique d'une moyenne temporelle du produit A(m, t) A~ (m', t).

La covarianee spatiale C(m, m') contient toute l ' information n6cessaire h la description de la dis- tr ibution des puissances moyennes.

(54) W(m)---- C(m, m ) = E{ [A(m)l* }. Si W(m) est effectivement fonction de m, la

fonction al6atoire A(m) n'est pas spatialement statlonnaire. On ne pourra pas, dans ee cas, d6finir une densit~ spectrale spatiale, ce qui sugg~re qu'on ne pourra pas distribuer la puissance dans les diff6-

§ rentes directions ~. Quali tat ivement en effet, on peut le concevoir en se rappelant que dans le cas de

eoh6renee totale une direction ~ correspondait h une ~ finesse ,,, c'est-h-dire h une p6riodicit6 spatiale

§ repr6sent6e par un vecteur n colin6aire h la projec-

). .-~

tion % de a sur le plan O, et de module (mesur6 en longueurs d'onde, ef. paragraphe 1.5.)

Inl = I1 01. I1 est donc assez naturel, darts le eas al6atoire,

§ que l'existence, dans la direction ~, d'une puissance li6e h l'ensemble de la distribution soit assujettie une certaine r~gularit6 de comportement de cette distribution dans les translations repr6sent6es par n.

D'ailleurs la th~orie de la d~composition harmoni- que d 'une fonction al6atoire ~ spatiale ,~ se traite comme celle d'une fonction al6atoire du temps.

La stationnarit6 est d6finie par le fair que la

Ho MERMOZ [ANNALE$ DES T~LI~COMMUNICATIONS

eovariance C(m, m') n ' e s t fonctlon que de m" ~ m --- n,

(55) C(m, m + n)-~ L(n).

L(n) est alors la fonctlon de correlation spatiale. Elle a, en g6n6ral, une transform6e de Fourier

r~elle et non n@ative :

(56) s ~ L(n)

qui est la densit~ spectrale spatiale et indique la

puissance transmise par la direction e. La stationnarit~ implique une distribution ~ten-

due (th~oriquement infinie). La puissance moyenne est la mgme en tous points.

(57) C(m, m ) = L(0)= W.

La distribution de l 'amplitude al6atoire dans les diverses directions ~ est alors une distribution d'61~- ments non spatialement corrdlds (*).

Lacc puissance sph6rique )~ totale est done :

(58) / s d e = L(0)-= W.

Examinons les cas limites. A) Le eas de la coh6renee nulle ou plutSt tc pone-

tuelle ~) rentre dans ce formalisme, par l ' introduc- tion de la distribution de Dirac. On a alors :

(59) C(m, m ' )= C(m, m) ~(m'-- m).

I1 n 'y a de corr61ation spatiale qu'entre des points infiniment voisins (corr61ation ~ ponctuelle ~)) et, dans le cas stationnaire, cette corr61ation ne d@end pas du point consid6r6.

(60) C(m, m ) = e s t = W,

L(n) = C(m, m) ~(n)= W ~(n)

ce qui exprime que la fonction de corr61ation spa- tiale est aussi ponctuelle.

La densit6 spectrale spatlale s est alors uni- forme.

C'est le cas d'une source primaire 6tendueetuni- forme.

On peut avec cette source, 6clairer un objet de deux fa~ons diff6rentes :

a) En formant l ' image de la source sur l 'objet dans le plan de ee dernier (ce qui revient h r plaquer )) la source sur l 'objet).

Dans ee cas la (c covariance d'6clairement )) de l 'objet est celle de la source, ponctuelle et station- naire. Si la transparence de l 'objet n'est pas uniforme, lacc eovariance de l 'objet 6clair6 )) reste ponctuelle mais n'est plus stationnaire (puissance non constan- te). (Cf. paragraphe 10).

b) En plar l 'objet loin de la source. Dans ce cas l '6clairement de l 'objet est assur6

par la distribution I'(z) d'616ments non corr616s et

(*) De m g m e que les c o m p o s a n t e s spec t r a l e s d ' u n e fo n c - t i on al6atoire stationnalre du t e m p s s o n t n o n corr6le6s eleux /~ deux.

- - 2 6 - -

t. 22, n os 1-2, 1967] LA TRANSFORMEE DE

de puissances 6gales. La covariance d'6clairement est done encore ponctuelle et stationnaire. Comme pr6c6demment la seconde propri6t6 peut gtre alt6r6e par l 'objet.

B) Le cas de coh6rence totale peut aussi entrer dans co formalisme, comme cas limite. La covariance se confond alors avec l ' interaction I(m, m').

La stationnarit6 signifie alors que :

C(m, m + n)= I(m, m + n ) = A ( m ) A •

ne d6pend que de n. I1 en r6sulte que :

I(m, m ) = IA(m)[2

est une constante W e t que la puissance est 6qui- partie.

La phase de A(m), soit (0a (m) est telle que la diff6rence :

ql~(m)-- (Da(m + n)

est 6galement ind6pendante de m. D6s lots, qb~ (rn) ne peut gtre qu 'une forme lin6aire des coordonn6es

de m. C'est dire qu'il existe un vecteur constant s, tel que :

qba(m)= s.m + est.

En d6finitive la ~( fonction de corr61ation spa- tiale )) s'6crit :

(6t) C(m, m + n ) - ~ W e - ~ I I s - n ) _~_ L(n),

et la ~r densit6 spectrale spatiale ))

(62) s = W 3(a- - s).

Par cons6quent, une seule direction s transmet toute la puissance de la distribution. La stationna- rit6, en coh6rence totale, se confond done avcc le cas d 'une distribution ((( finesse pure ,) p6riodique. C'est le cas de la sortie d'un collimateur (point source dans le plan focal d'une lentille).

Sur un objet gclair6 par ce collimateur, la distri- bution reste cohgrente mais n'est plus, en g6n6ral, stationnaire.

I . t0 . T r a n s m i s s i o n des c o v a r i a n c e s .

Entre plan objet et plan image, l ' instrumcnt se comporte comme un filtre de r@onse percussion- nelle qo(rn).

Si A o (m) est la distr ibution al6atoire sur l 'objet, la distribution al6atoire image est :

(63) A~(m) = f A0(~) ~(m-- c~) d~,

(convolution du signal d'entr6e par la r6ponse per- cussionnelle du filtre. L'int6gration est toujours bidimensionnelle).

On en d6duit que :

ou plus rapidement :

(64) C~(m, m ' )= Co(m , rn') * [~p(rn) q~ • (m')].

FOURIER EN OPTIQUE 1t/23

Les covariances se t ransmet tent (comme les interactions dans le cas coh6rent) par filtrage lin6aire quadridimensionnel de r6ponse percussionnelle :

(42) X(m, m ' )= cp(m) q~• (m'),

et par consdquent de gain complexe

(4t) z(~, o') = ~(~) ~ x ( _ ~,).

Si on introduit les transform6es de Fourier des covariances,

(65) C(a, a') ~ C(m, m'),

on aura 6videmment, du milieu image au milieu objet :

(66) e~(a, ~') = e0(., ~') [ r r x ( _ ~,)].

Cette seconde expression du filtrage des cova- riances est souvent plus facile h utiliser, parce que q)(a) repr6sente la structure de l ' instrument (ou de la pupille) utilis6.

Les relations pr6c6dentes permettent , en prin- cipe, de r6soudre tous l e s probl~mes de distribution de puissance lumineuse sur un objet 6clair6 par une source on sur son image dans un instrument. La transmission de la source primaire h l 'objet n'est pas diff@ente, dans son principe, de la trans- mission h travers un instrument. Partons par exem- ple d'une source primaire plane, 6tendue, uniforme. Sa coh6rence est ponctuelle ( tous les points sources 6tant ind6pendants) - - c'est-h-dire nulle pour deux points diff6rcnts que lconques - - . De plus, sa valeur pour m = rn' est uniforme.

Eclalrons l 'objet avec cette source, c'est-h-dire : formons l 'image de cette source dans le plan objet O, avec un (c instrument )) (syst~me optique ou pupille) dent le gain complexe (transparence pupille) est q(~).

La covariance de la source est, par d6finition, h un facteur pros,

Cs(m, m ' )= ~(m-- m').

Elle se t ransmct h travers l ' instrument et donne dans le plan O une covariance d'~clairage, soit C, (m, m').

Par l 'interm6diaire des transform6es de Fourier et en remarquant que :

(67) 3(rn-- m') ff 8(a + a'),

on aura, par application de (66) :

(68) e,(a, ~')---- 3(~ + a') Q(a) Q • (--~') ,

qui se ram~ne h :

(69) e,(~, ~ ' ) = ~(~ + ~')]Q(~)l z.

La covariance de l'dclalrage est donc :

J _>% _> -> Ce(m, m ' )= ~(~ + ~'1 [Q(~)I ~ e - '= '~ .~ d~ d'a',

soit :

(70) C,(m, m ' ) = / [ Q ( a ) l z e-~l.(.~--~,, da.

27 - -

12/23

La covariance d'~clairage est done statlonnaire, quel que soit Q(z). En tant que fonction de n = m ' - - m , elle est transform~e de Fourier de IQ(e)[ 2, c'est-~-dire de la transparence de lapupille. Mais elle n'est pas ponctuelle, ~ moins qu'il n 'y ait pas de pupille (tr ~ I quel que soit z).

Cette eovariance correspond, dans le plan O, h une variable ]umineuse A~ (m), telle que, par d~finition :

(71) C,(rn, m ' ) = E { A,(m) As x (m') ].

Introduisons, h pr6sent, l 'objet par sa r transpa- rence complexe ~ T(m) dent la signification est 6vi- dente. Elle repr$sente la variation d 'amplitude (affaiblissement) et de phase (travers~e d 'un milieu d'indice et d'$paisseur donn6e) impos6 ~ la variable A, (m) par la pr6sence de l'objet.

L'objet dclair$ est alors represent6 par la distri- bution :

(72) Ao(m) = A~(m) W(m),

et la covariance objet est :

(73) C0(m, m ' ) = C,(m, m') T(m) T • (m').

La rdpartition des puissances sur l 'objet est :

(74) Wo(m) = Co(m, m ) = C~(m, m)[T(m)J'.

C~ (m, m) est une constante d'apr6s (70). Donc,

75) Wo(m)= Co(m, m ) = K[T(m)I2.

Quel que solt l'instrument d'Jclairage, le fait de partir d'une source primaire gtendue et uniforme a pour consJqucnce de ne faire d@endre la r@artitlon de la puissance sur l'objet, que de l'objet Iui-mdme (de sa transparence complexe). Cependant, la cova- riance objet (plus pr6cis6ment, de l 'objet 6clair6), n'est pas ponctuelle, pas plus que ne l'est la cova- riance de l'6clairage C~ (m, m').

C'est seulement si on 6claire directement (ou h travers un ins t rument par fa i t : Q ( ~ ) = 1), l 'objet avec la source que la covariancc de l'6clairage (cf. relation (70)) se ram~ne h celle de la source :

~(,n-- m')

et que la covariance de l 'objet ~clair6

(76) Co(m-- m ' ) = ~ ( ~ - - m') IT(~)t ~

reste ponctuelle comme celle de la source. Dans tous les cas, le type de calcul pr6c6dent four-

nit en d~finitive la covariance de l 'objet (~clair6). Cette covariance est ensuite ~ filtr~e ~,, comme on

l'a rue, h travers l ' instrument qui donne l'image, et on passe de C O (m, m') ~ Ci (m, m') par les relations (64) ou (66).

La connaissance de Ci (m, m') donne la distri- bution de la puissance sur l'image. Il est ~vident qu'en g6n6ral cette distribution d@endra de toute la covariance objet.

Cependant, dans le cas o~t l'6clairage objet est sans coherence (eovarianee ponetuelle, ~clairage

H . M E R M O Z [AN,NALES DES T~LI~COMMUNICATION$

direct par une source ~tendue et uniforme), |a relation (64) devient (cf. (76)):

(77) G(m, m ' ) = [8(rn~rn')[T(m)l~ ] �9 [?(m) ?X(rn')],

ce qui s'6crit :

Ci(m, m')~---

tT(r162 2 ?(m--cr ~0 x (m ' - -~) d~ d~,

et par cons6quent :

(78) Ci(m, m')---=flw(~)l' ?(m--~r 9X(m'--~) da.

La distribution des puissances sur l ' image est alors :

(79) W,(m) = f IT(~)I ~ I?(m-- ~)!~ d~.

Cette distribution rgsulte done, darts ce cas, du fil- trage de la distribution objet par un filtre bldlmen- slonnel de r~ponse percussionnelle.

I (m)l *, et par cons6quent de gain complexe :

O(~) * 0 ~ ( - - ~).

La r~ponse percussionnelle n'est autre que la rdpartition des puissances sur l'image coh~rente ?(m) du point O.

Dans ce cas seulement - - ~clairage incoh6rent il y a transmission de puissance lumlneuse entre l 'objet et l'image, par filtrage lin6aire.

ANNEXE

Correspondance ob|et-image.

Les distributions sph6riques sent identiques :

=

t~crivons la transformation de Fourier en milieu image, en faisant apparaltre h nouveau la longueur d 'onde de ce milieu.

f t x~ t I f i t

A,(x', v ' )= '~

Si : �9 #

o n a :

~o(~) = s~@~), et

trk~ p k l f 1

A~(x', y ' ) = k 2 ~0(~x, cry) e-2~lL~-~ "*j d~| da~.

En comparant avec la correspondance de Fourier en milieu objot :

Ao(x, y ) = A0(~,, o~) e-~l[~ ~ d~, d~ ,

il est clair que, a un facteur pr6s, les deux distri- butions planes sent 6gales pour deux points M e t M' tels que

t yp z _ x Y k x-k ' z -

28

t. 22, n ~ 1-2, 1967] L A T R A N S F O R M E E D E

DEUXI~ME PARTIE

t ) O S S I B I L I T I ~ S D ' A P P L I C A T I O N

II.1, Observation de la transform~e d 'une dis- tribution d 'ampl i tude lumineuse .

Utiliser la transform6e de Fourier, c'est se donner les moyens d'agir sur la transform6e (sur le ,~ spec- tre ))) d 'une distribution. I1 faut donc pouvoir loca- liser ce (~ spectre ))dans un syst&ne optique en un point accessible o~ l'on puisse modifier la phase et l 'amplitude en pla~ant des pupilles, des 6crans, des , d6phaseurs % dent nous parlerons plus loin et qui constitueront autant de filtres.

La transform& de Fourier d'une distribution plane est constitu6e, on l'a vu, par une distribution sph6rique ~ grande distance (diffraction h l'infini). I1 est donc bien naturel de penser qu'une lentille peut donner dans son plan focal, l 'image de la dis- tribution/~ l'infini, c'est-~-dire la transform6e cber- ch6e.

A premiere vue, la valeur de la distance objet- lentille n'a pas d' importance particuli~re.

En fair, ce point dolt gtre pr6cis6. Repr6sentons la lentille, ou plus g6n6ralement le

syst~me optique (fig. II . l) par ses points princi- paux H o et H4 et ses foyers F o et F~.

/ /

/ /

/ / /

/

/ \

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\,

!r, /

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7 /

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/ x /

,/ / t

Pla~ ~oc~l

Y~

/ '. ) / "

/ x / ~

/ / ] ~ /

! , / " /

/ /

/ /

/ /

V'

Fxa. I IA. - - Chemin optique de l ' ob je t au plan focal image.

Le veeteur ~ est darts le plan de la figure.

On suppose 6gaux les indices objet et image, d'ofi :

(t) Fo H e = H, F,---- f = distance locale image,

FO~:RIEa EN OVTI~U~ t3/23

et les points principaux sent aussi points nodaux. Platens l 'objet (distribution A(M)) darts un plan

Ox Oy, et rapportons le plan focal image h deux axes parall~les et de mgme sens (F~ X, F~ Y). On suppose, en outre, le syst~me aplan~tique pour son foyer image, et on d6sire obtenir dans le plan focal image la distribution Y[A(M)].

Une onde plane se propageant en milieu objet +

dans la direction ~ (vecteur unitaire) donne, en milieu image, une onde sph6rique de centre N. L'aplan6tisme signifie que le point N est dans le plan focal image, h l'intersection de ce plan avec la

§ direction ~ men6e par Hi. Le chemin optique de

cette onde en milieu image est Hi N (indices 6gaux

§

Le vecteur ~ qui d6finit une direction en milieu objet, d6finit un point N en milieu image. La connaissance de o~ et z,, est 6quivalente h celle de X et Y, coordonn6es de N.

On a d'ailleurs :

~, av a, X 2 y2)-112. (2) X- - Y-- [ - - ([z + +

Remontons ~ pr6sent aux relations (4), (5) et (6) de la premiere pattie pour rappeler que :

(3) ~ o ( . ) - Y[A(M)]

est l 'amplitude complexe, ramende en O, de l 'onde plane 6mise par la distribution objet dans la direc-

tion o. Cette onde plane va converger en N, sous forme d'onde sph6rique.

Si on d6sire que la distribution ~t(N) repr&ente effectivement ~F[A(M)], il faut que les trajets opti- ques qui vent de O h N, soient les mgmes pour

routes les directions ~ de sorte qu'on air :

(4) A(N) = A~ e-2=l,I ~, ->

avec r ind6pendant de z et dupoin t N associ6 (*). Or, ce trajet optique r se compose de :

OH = OHo cos a en milieu objet,

(He H~) qui est une constante du syst6me optique,

H~ N = f/cos a eu milieu image,

en n6gligeant les trajets constants

(5) r = OH0 cos ~ +/ ' /cos ~.

Ce trajet n'est donc pas en g~n~ral ind6pendant de §

~, donc de z. M~me pour des angles ~ petits, on a :

(6) r---- OH0 + f - - OFo ~2[2.

Entre la distribution obtenue dans le plan focal

(*) On n6glige ici les <~ affaiblissements % por t an t sur la module de l ' ampl i tude, dans la travers6e du syst~me. Celui-ci est ainsi suppos6 ~ parfai t )) pour son plan focal image.

- - 29 - -

i4/23

image et la distribution d6sir6e ~-[A(M)], il y a une ~ phase d'erreur ~.

OFo ~ (7) tp = ~.~ X -2'

qui peut gtre du m~me ordre que les phases qui entrent dans la construction de A o (r = ~[A(M)]

(8)

En effet, jusqu 'au second ordre inclus :

F~N (X a + ya)lla ~t--~tg~ f - f ' (9)

d'ofi :

(10) OFo [X2 + y2], ? = 2 = - ~ - L--~TFj

X Y off le crochet est du second ordre en - f - , ~ et ~.

D'autre part , d'apr~s la relation (2) :

( I X * + Y 2 ) X {ii) a , = ~ i 2 f ~ + "'" ~ - f + "'"

Done : f + (i2} + "

X Y x y off le crochet est du second ordre en - f , - f - , f , ~ - et

En rdsum~, tant que OF o est du m~me ordre que f, on obtient dans le plan focal image la distribution :

(~-[A(M)]). e--2~/o--r. (x'+ r')l~x/' = r

Pour avoir exactement 5Z[A(M)], il faut annuler

OF o c'est-h-dire : placer l'objet dans le plan focal objet.

Remarquons cependant que : i o si l 'on ne s'int6resse qu 'aux modules des ampli-

tudes, ou aux gnergies du (( spectre )), la r6serve pr6cddente disparalt (le coefficient r ayant un mo- dule unit6) ;

20 si l 'on (( travaille )) sur les (( frdquences spa- tiales ~ les plus basses - - et h la limite sur la fr6- quence nulle, le long de l 'axe O z - elle disparalt 6galement (X et Y tr~s petits).

On fera doric le partage, dans les applications qui vent suivre, entre celles pour lesquelles la condition pr6c6dente est indispensable et les autre3. Nous la supposerons systdmat iquement remplie.

En rdsum6, on obtient la transform6e d'une dis- t r ibut ion-objet A(M) dans le plan focal image d'un syst~me optique aplandtique pour ce plan, en pla~ant l'objet dans le plan focal objet.

I1 est bien entendu que nous supposons que le sys- t~me optique parfait n 'alterait pas par lui-m~me le (( spectre )~ de l 'objet par un (( filtrage ~) intempestif. On se rdserve, au contraire, d'op~rer des filtrages judicieux dans le plan focal image, off on dispose de :

(t3) ~(N) = f A(M) e~n(zx+ur)l x~' dM. J

~ . M E R M o Z [ANNALES DES T/~LRCOMMUNIC~TIONS

I1 est clair, sur l'expression (13) que :

- - X et - - Y

sent proportionnels aux cc fr6quences spatiales )) de la distribution A(M). I1 suffira done d'inverser les axes F~ X et F~ Y pour satisfaire h la convention habituelle.

On passe, de gauche h droite (sens de propagation de la lumi~re) du ~( signal )) au (c spectre )) en inversant le sens des axes, ce que nous ferons par la suite.

Si, de plus, on prend (Xf)lu 2 comme unit6 de longueur commune dans les deux plans focaux, la relation (t3) prend la forme classique (h un faeteur pros)

(t4) ~(X, Y)= ff A(x, y) e -~l(~x+ur) dx dy.

Ce choix simplifie l'6criture. Mais en pratique il peut n'gtre pas le plus judicieux.

Plafons-nous dans un eas c( monodimensionnel ~) et supposons que A(x) repr6sente vraiment une fonction du temps, tandis que A(X) est un vrai c( spectre ~.

I1 n'est pas certain qu'il soit habile de repr6senter la seconde de temps dans le plan O, et le cycle par seconde dans le plan F~, par la mgme longueur.

Le meilleur choix d6pend de plusieurs consid6ra- tions : - - la dur6e de la tranche temporelle de signal qu'on veut inscrire dans le plan O, et la dimension utile dent on dispose dans ce plan pour cette inscription ; - - l a largeur de bande du signal et la dimension utile disponible darts le plan F~ ; - - le ~( grain )) des supports du signal et ducc spec- tre )) ou des c( filtres )), qui limite le plus petit d6tail reproductible, soit en (( temps )) (limitation sur la largeur de bande), soit en cc fr6quence )~ (limitation sur la finesse d'une analyse spectrale).

En fait, si L t est l 'unit6 de longueur dans le plan des signaux et L~ l'unitd de longueur dans le plan des (c spectres )), il suffit que :

(t5) Lt L, = ~.f,

II.2. Proeddure d'un ~cflltrage optique~ gdndral.

Nous venons de former le spectre d 'une distribu- tion objet. Pour pr6ciser cette proc6dure, supposons que le c~ signal )) A(M) est cc inscrit )) sur un support plan sous forme de ~c transparence complete )) T(M), c'est-h-dire sous forme d 'une lame de mat6riau, dent l'dpaisseur (ou l'indice, mais cela paralt encore plus difficile) et l 'opacitd ont 6t6 ajust6s en chaque point pour repr6senter le module et la phase de l 'am- pli tude complexe A(M).

l~clairons ce support par un collimateur donnant un faisceau parall~le ~ Oz monochromatique et cohdrent. La c~ distribution de l'dclairage )~, appli- qu6e au support, est une constante A o. A droite du support la distribution d 'ampli tude est :

CI6) Ao T(x, t)---- Ao O(x, y) e'~(x.vL

- - 3 0 - -

t. 22, n ~ 1-2, 1967]

La quantitd positive 0(x, y) est le coefficient de transmission de l'amplitude de la lumi~re h travers le support au point (x, y).

La phase co(x, y) est due h la diffdrence de trajet optique introduite par la traversde du support :

(17) ~(x, y ) = ~ (n-- i) e(x, y),

n dtant l'indice et e(x, y) l'dpaisseur. On peut eoncevoir la rdalisation sdpar4e de e(x, y)

et de 0(x, y) sur deux supports diffdrents et aecolds. On a done la distribution :

(18) A(M) = Ao W(x, y),

dans le plan focal objet d'une lentille. Nous appelons ddsormais co plan P1, et P u l e plan focal image (fig. II.2) off se forme ta distribution :

(19) o~(N) = ~-~[A(M)] qui est son r162 spectre ~. Le sens des axes dans O 1 et dans O 3 est inversd ddsormais, ce qui explique Fin- version de la transformation dans la reIation pr4cd- dente (transformation de Fourier inverse).

Disposons une seconde lentille identique de telle sorte que son plan focal objet soit Ps. Elle rdalise une seconde transformation de Fourier, entre Ps et son plan focal image P3. On dolt donc retrouver en P3 la distribution A(M). Si on se reporte h la relation (13), on volt que, telle quelle, elle exprime une trans- formation directe (du spectre ~ la fonction du temps) sans ehangement de signe des axes.

On peut compldter la r~gle de paragraphe II.t. par :

On passe, de gauche ~t droite, du ~c spectre ~ au ~r signal ~ sans inverser le sens des axes.

On retrouvera donc, dans P3, la distribution A(M) par rapport h des axes ayant le m~me sens que ceux de P2,

Et cette r~gle du sens des axes n'exprime, en ddfinitive, rien autre, que la propridt6 bien connue du syst~me afocal constitu6 par les deux lentilles �9 il donne en Pa l'image renvers~e de P1.

Pour obtenir en P3 un (( signal )) modifid par fil- trage optique, il faut agir sur le spectre dans le plan Ps.

Un filtre est essentiellement une altdration de phase et d'amplitude sur chaque r )~, c'est-h-dire en chaque point de la distribution A(/N) dans P2.

En superposant h cette distribution unenouvelle r transparence complexe ~ reprdsentant le gain du filtre que l'on ddsire rdaliser, on obtiendra dans P3 le << signal filtrd ~, ou la << sortie >~ du filtre.

Le syst~me reprdsent6 par la figure II.2 est donc l'unitd de travail ndcessaire au filtrage optique.

II.3. Possibilitds de principe ct rdserves pratiques.

Si on ne fait aucune rdserve sur la cr fabrication ,, des supports de ~ transparences complexes ~,, les possibilitds du filtrage optique apparaissent comme extrgmement dtendues.

LA TRANSFORMER DB FOURIRR EN O P T I Q U E 15/23 Il permet, en principe, de tralter n'importe q ~ l

signal complexe mono- ou bldlmenslonnel par n'im- porte quel filtre mono- ou bldimensionnel.

Le traitement des signaux complexes, h lui seul, est une nouveautd par rapport h l'61ectronique clas- sique. On salt 4galement que celle-ci est limitde aux filtres h r6ponse pereussionnelle rdelle, dent le gain complexe est hermitien.

G(v)---- G • (-- v).

On pent tr~s bien, en optique, ne filtrer que dans le domaine des frdquences positives par exemple, c'est-h-dire r~aliser une r6ponse pereussionnelle de la forme :

e~ivo,z

correspondant h un gain :

~(X-- ~o).

I1 suffit de placer en P~ un dcran opaque, sauf sur une fente ~troite autour de X = re, sur le seul demi-axe positif.

En pratique, la perspective prdcddente se dissi- mule derriere des obstacles technologiques qui sus- eitent actuellement les dtudes n6cessaires pour les surmonter.

I1 est difficile de r6aliser des supports de transpa- rence complexe dent l'6paisseur varie de fa~on souple et pr6cise d'un point h u n autre, surtout s'il est n6cessaire de faire ddfiler ce support dans le champ utile dur filtre optique ~>.

On est limit6, pour l'instant, h l'emploi d'61d- ments de lames quart d'onde ou demi onde pour la r6alisation des r162 gains complexes ~. Pour tes signaux, on se borne en g6n6ral aux signaux rgels et de signe constant, qui s'inscrivent sous forme de simple varia- tion d'opacit6 (c'est-h-dire du module de la trans- parence complexe), sur des supports d'6paisseur constante.

Cela signifie qu'on ne pourra traiter les signaux r6els, mais on g6ndral cc bipolaires >~ (tant6t positifs, tant6t n6gatifs) de l'61ectronique, qu'en leur super- posant une tension continue fixe, sup6rieure ~ leur valeur instantande maximale de telle sorte que le signal obtenu soit toujours de mgme signe (par exemple positif).

Un tel signal est alors enregistrable sur un film. On verra plus loin l'int6rgt ou l'inconv6nient de

cette cr polarisation ~, suppldmentaire, mais il est d6jh clair qu'elle modifie lacc composante continue ~, du signal. On peut dire que la situation en optique est compl6mentaire de la situation en 61ectronique. Dans ce dernier cas, en effet, le support de l'infor- m a t i o n - la tension 61ec t r ique- est facile ~ pro- duire et h r6gler, tandis que les op6rations de filtrage et de multiplications sent difliciles. En optique, mul- tiplications et filtrages (surtout des filtrages simples, passe bando ou passe-bas) sent ais6s. Le produit de deux distributions s'obtient par simple superpo- sition.

I1 semble donc qu'un progr~s ddcisif soit attendu

3i - -

6/23 et esp6r6 dans le domaine du support ~< optique ~. M~me le probl~me de l'6paisseur constante indispen- sable, donne lieu pour le moment h des montages compensateurs d61icats (tels que le passage du film dans une cuve contenant un liquide de mgme indict que le film et offrant une (( 6paisseur )) fixe).

I1 est souhaitable que de tels artifices soient ren- dus ais6s ou inutiles et un vaste domaine de recher- che appliqu6e reste ouvert h la technique du fihrage optique.

Nous allons h pr6sent d6crire quelques applica- tions du filtrage optique, en rappelant d 'abord pourquoi et comment en font partie les proc6d6s d'amdlioration de contraste et de contraste de phase, puis en passant h la mise en oeuvre de proc6d6s de traitement du signal proprement dit, le mot (( signal )) 6tant pris au sens large que nous lui avons attribu6 ici.

II.4. Contraste de phase et de lumlnositfi .

Consid6rons le dispositif de la figure II.2 et supposons que la distribution objet soit de la forme :

(20) A0(x, y ) = e t=l=.~).

/ /

/

/ /

i / ! / ~. /'

/ .J

/ /

/

L4 ;Pi

g /

/ !/ V

./i / i

/ / i / i

/ i

t

i . . . . . ~, ! =

' /

Y

FIG. II.2. ~ Sch6ma g6n6ral d'un filtrage optique.

C'est un <~ objet de phase >~ invisible directement puisque l'6nergie lumineuse est uniform6ment distribu6e. Supposons, de plus, que la r6partition de phase fluctue tr~s peu autour d'une valeur moyenne %.

(21) ct----- er + Act(x, y).

C'est la situation d'un objet transparent, dans un milieu d'indice tr~s voisin du sien propre et y pr6- sentant de faibles variations d'6paisseur (pr6para- tion microscopique).

On peut alors 6crire :

(22) A0(x, y ) = e~.[1 + iA~(x, y)].

H~ MERMOZ [ANNALES DES TI~LI~COMMUNI~SLTIOMtl

A une phase constante pros, la distribution dans le plan P2 est la transform6e du crochet de la rela- tion (22), soit :

(23) A(X, Y )= ~(X, Y) + i3r-l[Act(x, y)].

Appliquons alors dans le plan P2 lc <( fihragc >> qui consiste h <( d6phaser >) la composante continue du (( spectre spatial )> A(X, Y), de ~[2 ; en langago d'optique, platens un 616ment de lame quart d'onde au point 0 2 sur l 'axe Oz.

Notons que les petites variations d'6paisscur Act(x, y) que nous voudrions d6celer sent, en g6n6ral, des d6tails (( fins )> h << spectre large ,.

La distribution des valeurs de ~T J [Act(x, y)] s'6tend done loin du point 02.

Elle n'est done pas modifi6e par l 'op6ration pr6c6- dente.

On peut m6me perfectionner l 'op6ration en recou- vrant la lame quart d 'onde d'un 6cran absorbeur dent Ie coefficient de transmission (pour l 'amplitudc) serait k ~ 1.

On aura alors le spectre aprbs filtrage :

(24) ~(X, Y) = k el=l 2 ~(X, Y) + i ~--z[A~(x, y)],

soit :

(25) ~(X, Y) = el=l~[k ~(X, Y) + ~-l[Aat(x, y)]].

A une phase constante pros on trouvera dans le plan P3 la transform6e du crochet de la relation (25), soit :

(26) A,(x, y ) = k + Ace(x, y).

C'est une distribution r$elle sur laquelle l'gnergie lumineuse varie. L'objet est done devenu visible (cf. [5], chapitre 6).

Cependant, si k = 1, son contraste de luminosit6 est faible, car Act est, par hypoth~se, petit devant 1.

On peut done, par un choix convenable de la valeur de k < I r6duire le fond continu de lumino- sit6 correspondant h k jusqu'h ce quc la plus petite valeur de Act(x, y) corresponde sensiblement h une luminosit6 nulle. Les variations d'6nergies lumi- neuses sur l'image sent alors eelles de :

(A~-- Act minimal) 2,

ce qui procure le maximum de contraste possible. Cctte explication, dans sa derni~re partie, est

aussi celle du contraste de luminositg en 6clairage incoh6rent.

En cffet, un contraste faiblc sur un objct (photo par exemple) signifie que, si on l'6claire avee une source 6tendue, la distribution des puissances lumineuscs y est presque stationnaire. I1 existe donc, en premiere approximation, une c( densit6 spectrale spatiale >), dent lar fr6quence z6 ro , t ransporte la puissance du fond continu de l'intensit6 lumineuse. En pla~ant sur l 'axe Oz un petit 6t6ment d'6cran d'opacit6 convenable, on r6duit ce fond continu. Les d6tails de l 'image pr6sentent alors entre eux des dii~grences relatives accrues.

Les exp6riences de A. Mar6chal et M. Fran~on ont

- - 32 - -

t . 22. n oa 1-2, 1967] LA TRANSFORM~.E DR

vdrifi6 ces possibilit6s. De mgme, le ddtramage consiste h couper ou att6nuer les fr6quences spa- times correspondant au ~( grain )) du support (pho- tographie).

Ce grain, est (( spatialement p~riodique )), et par sa finesse, il correspond h des fr6quences spatiales 61ev6es par rapport h celles qui traduisent les d6tails utiles de l'image. I1 est donc possible de les 61iminer en diaphragmant.

II.5. Traitement simultan~ de plusieurs signaux par le m~me flltre.

I~OURIER EN OI~TIQUE 17/23

Pour un filtrage quelconque de r6ponse percus- sionnelle ~(x, y) la covariance image serait, par d6finition :

(3t) C,(x,y,x',y')= f f f T(~r Tx(~r ') ~(~--~' , •

~(x-- ~, y - - ~) ~ x (x ' -- a', y ' - - ~') d~r d~' d~ d~',

.~oit :

(32)

Dans le dispositif de la figure II.2, pla~ons dans le plan Pz une transparence complexe form~e de plusieurs lignes parall~les h 01 x. Chaque ligne est un signal monodimensionnel, la valeur du y de la ligne repr~sente le numdro du signal correspondant.

Dans le plan Pe pla~ons une transparence com- plexe uniforme en Y, dont la valeur en fonction de X, soit (I)(X), repr6sente le gain complexe du filtre par lequel on r traiter tousles signaux.

Soit A 0 (x, y) la distribution objet ainsi d6finie. On r6alise dans le plan P2 le prodult :

~t(X, Y) O(X).

La distribution, dans le plan Pa sera donc la convolution de A o (x, y) avec la transform6e de (P(X). Or, (I)(X) 6tant r constant en Y )), par d6fini- tion, sa transform6e de Fourier est ~( concentr6e )) sur y = O.

(27) (I)(X) ~ ~(x) ~(y).

Donc :

(28) A~(x, y) = f f A0(~, ~) T(x-- ~) ~(y-- ~) d~ d~,

hi(x, y)=-- f Ao(g, y) ~(x-- ~) d~.

Pour chaque valeur de y, la distribution A~ (x, y) est le filtrage du signal inscrit sur cette ligne y, par le filtre (I)(X).

On a donc le raoyen de r6aliser un m~me filtrage simultan6 de plusicurs signaux en utilisant l 'une des deux dimensions du filtrage optique comme (~ di- mension de num@otation )) (fig. II.3).

Montrons que, dans la mesure off on ne s'int@esse qu'h la distribution en puissance des r6ponses du filtre h chaque s igna l - -c ' es t -h-d i re h la suite des puissances instantandes des signaux de sortie--il est permis de remplacer par une fente paratl~le h Oy, le point source qui 6claire l 'objet h travcrs un collimateur.

La couariance d'dclalrage d'une telle fente (cf. para- graphe IA0.) est en effet, h u n facteur pros :

(29) C~(m, m')~- ~(y--y ' ) .

Si T(x, y) est la transparence complexe de l'objet (les signaux), la covariance de l 'objet 6clair6 est :

(30) Co(x, y, x', y') ~- W(x, y) W • (x', y') ~(y-- y').

33

f f f

C{(x, y, x', y')= JJJ T(cr ~)~T • (a', ~) •

~(x- - 0r y - - ~) ~0 • (x ' -- c(', y ' - - ~) dee d~' d~.

(33) C~(x, y, x', y')-~ JJJ T(~, ~) T• ', ~) •

~(x-- r162 3(y-- ~) ?x (x ' -- ~') ~(y ' - - ~) d~r d~' d~,

C~(x, x', y) = f f T(cr y) T • (g', y) • / J

r - - r162 ~ • (x ' -- r162 d~r d~'.

La distribution des puissances lumineuses sur l ' image est done :

(34) Wi(x, y)---- H W(~, y) T• ', y) •

~(x--~) ~x (x--~ ') d0r d~',

soit :

(35) W~(x, y)= l / T(cc, y) ~(x--cc) d~ l'.

Or, T(x, y) est identique au A 0 (x, y) de la rela- tion (28).

La distribution des puissances sur l ' image est donc bien la m~me que dans le cas de la relation (28).

Remarquons que cette distribution de puissances est, de toute fa~on, la seule information qui soit visible ou enregistrable dans le plan P3.

Les appareils de d6tection de la lumi~re ne sont, comme la r~tine, sensibles qu'h l'6nergie revue et non h Ia phase.

Si la r6ponse du filtre h l 'un quelconque des signaux re~us est un signal r~el bipolaire, son image dans Pa comportera des parties <( positives )) et des parties (( n6gatives )), correspondant h des diff6- rences de trajet optique 6gales h k]2. Mais on ne pourra enregistrer que l'intensit6.

Pour avoir la possibilit6 de retrouver la forme exacte du signal de sortie, il est n6cessaire de proc6- der de la fagon suivante : - - i n sc r i r e le s i g n a l - - q u e nous supposons rdel et bipolaire - - dans le plan P1 sous forme de trans- parence (( r6elle positive )), en lui superposant une valeur continue K ;

lalsser passer cette valeur continue sous forme de composante spectrale de (( fr6quence z6ro )), sur l'axe Oz, au besoin en ajoutant une ~( lucarne >) all filtre (I)(Y) dans le plan Pz ;

Avee le filtre utilis6 ici (cf. (27) :

~(x, y)= ~(x) ~(y), o n a :

18/23 Ho MERMOZ [ANNALES DES TI~Lf~COMMUNICATIONS

17I(~. II.3. - - Traltement de plusieurs signaux par le m6mo filtre.

Fro. II.tk. - - Convolution et flltrage s6quentlel.

- - recevoir la r6ponse dans le plan Ps sous forme de transparence c( r6elle positive )), avec une valeur continue superpos6e :

K + ,~(x, y) ;

- - en reg i s t r e r et traduire en tensions 6lectriques (avee des celhtles photo61ectriques) les intensit6s lumineuses :

(K + ~(~, ~))~ ;

l in~ariser la t r a d u e t i o n 61eetrique de fa~on r e t r o u v e r la quan t i t6 posi t ive.

K + A~(x, y) ; - - retraneher la tension 6quivalente h K.

II.6. Trai tement simultan6 d'un m6me signal par plusieurs llltres.

Cette possibilit6 est une sorte de r6ciproquo de la pr6c6dente. Plagons cette lois dans P1 une transpa- rence eomplexe form6e de lignes parall61es h O t x,

34

t. 22, n ~ 1-2, 1967]

chaque ligne repr6sentant la r@onse percussionnelle de run des filtres, It(x, y).

Dans P2 on placera une transparence complexe uniforme en Y e t dent Ia valour en fonction de X sera le spectre du signal S(X).

On re~oit alors dans P3 la convolution de R(xy) avec la transform6e de S(X) qui vaut :

oh s(x) est la transform6e monodimensionnelle de S(X). Comme pr6c6demment, chaque ligne de P3 est la r6ponse du filtre qui occupe la mgme ligne dans le plan P1.

On peut toujours, 6galement, 6clairer par une fente parall~le ~ Oy.

Los mgmes limitations et les mgmes remarques qu'au paragraphe pr6c6dent restent valables.

Ce proc6d6 peut gtre int6ressant pour d6tecter un signal dans un bruit lorsqu'on peut faire plu- sieurs hypotheses sur sa forme. Chacun des filtres essay6s correspond alors h une de ces hypotheses et constitue un filtre adaptS. Nous allons voir une autre forme d'utilisation du filtrage adapt6.

II.7. Convolution et flltrage adaptfi sfiquentieI. Es]

D6crivons h pr6sent une proc6dure qui 6rite de fabriquer des transparences complexes.

Inscrivons dans le plan P1 un m61ange de signal et de bruit sur un film qui d6file parall~lement O1 x, sous forme de transparence positive, ce qui suppose qu'on a ajout6 une constante au signal trait6 ; on admet que ce dernier n'a pas par lui- m~me de composante continue. L'inscription est c~ uniforme en y )) (fig. II.4). Si S(x) est la fonction pr6sente h l'instant z6ro dans le champ optique du syst~me et s i l e film d6file, la transparence l'instant t, est repr6sent6e par :

s(x + t) + p

oh p repr6sente la composante continue surajout6e. Le spectre obtenu dans P~ est concentr6 sur l'axo

O2 X, puisque l'inscription dans P1 est ~ uniformo en y)~.

Coupons la composante continue avee un cache en O~. I1 se forme alors dans P3 :

S(x + t).

Interposons (*) darts P3 une transparence uni- forme en y, repr6sentant la r6ponse percussionnelle R(x) du filtre avec une constante additive p'.

On aura dans P4 le spectre de la distribution :

+ t) + f ] .

Ce spectre est concentr6 sur 0 4 X.

(*) Pour plus de elart6, dans l a f igure II.t~, la d i s t r i b u t i o n R(x} est repr6sent6e au-dessus de cede de S(x).

E n fair elles sent superpos6es.

LA TRANSFORMER DE FOURIER RN OPTIQUE i9/23

En masquant tout le plan Pv saul une ouverture autour de 04, on filtre la ~c fr~quence spatiale z~ro ~ de ce spectre, e'est-~-dire :

" S(x + t) [R(x) + p'] dx.

Si, comme on l'a suppos6, S(x) n'a pas de compo- santo continue, cette int6grale se famine h :

(36) H(t)= r + t) n(x) dx----- / S(u) R(u-- t) clu.

L'amplitude de la variable lumineuse en O~ repr6- sente donc, en fonction du temps, la valour de la convolution de S(t) avec R( - - t ) , c'est-h-dire la tension de sortie d'un filtrage adapt6 dent le signal mod~le serait R(t).

En recueillant l'intensit6 lumineuse sur l'axe dans le plan P4, on a, en fonction du temps, le carr6 instantan6 de la sortie du filtre adapt6, qui est bien le param~tre optimalis6 par ce filtre. (Cf. [7] cha- pitre IV.).

La dimension du diaphragme plac6 sur l'axe dans P4 dolt correspondre, traduite en temps, h la dur6e T du signal utile R(t), 6ventuellement m61ang6 au bruit dans l'information SCt ). En effet, la pr6seneo mgme de la fonction R(t) dans l'int6grale (36) limite h la valeur T la dur6e d'int6gration. Darts ces condi- tions, h l'instant o~ le signal m61ang6 au bruit se trouve tout entier dans le champ du syst~me opti- que, la fonction [H(t)] 2 pr6sente une ~ pointe ~ qui optimalise le rapport signal/bruit.

II.8. Corrfilations,

Le montage de la figure 11.4 r6alise la moyenne du produit de deux signaux, pourvu qu'ils n'aient aucune eomposante continue. Si S(x) et R(x) sent des bruits dent le spectre ne contient pas la fr6- quence z6ro, ce montage donne la valeur moyenne du produit, pour los deux tranches temporelles qui se trouvent simultan6ment pr6sentes dans le champ optique de l'appareil.

R(x) pout lui-mgme gtre enregistr6 sur un film d6filant dans le sens Os x.

Si ces deux tranches correspondent h une dur6e suffisante et si los deux bruits sent stationnairement corr616s, l'amplitude et la phase de la variable lumineuse en O k repr4sente l'intercorr61ation des deux bruits.

S'il n'existe aucun d6calage dans le d6roulement des deux films par rapport h la date d'enregistre- ment, il s'agit de l'intercorr61ation au m~me instant.

En d~calant de ~ l'un des films par rapport l'autre, on a la fonction d'intercorrdlation, fonction d e 't'.

En recueillant l'intensit6 lumineuse sur 0 4 avee une cellule photo61ectrique, on mesure le cart6 ou le module de l'intereorr6lation.

I1 s'agit ici de corr61ations entre fonctions alga- toires (bruits). S'il s'agit de la (( convolanee )) d'un signal certain, rappelons que celle-ci est la transfer-

35 - -

20/23 . . M E R M O Z [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

FIG. II.5. - - Analyse spectrale.

m6e du carrd du module du [spectre. On [peut done l'obtenir en deux temps :

a) en photographiant la transform6e de Fourier du signal (darts le plan P2 de la figure II.4) ce qui donne bien le carr6 du module du spectre,

b) en pla~ant le n6gatif du clich6 duns le plan P1, ce qui donne la convolance dans le plan P2.

II.9. Analyse spectrale.

Soit h analyser un bruit statlonnaire, sans compo- sante continue. Inscrivons-le sur un film sous forme de transparence rgelle positive, uniforme en y, avec une valeur continue superpos6e.

La densit6 spectrale se d6ploie en intensit6 lumi- neuse dans le plan P2 le long de O3 X. On peut y couper la composante continue avec un cache et photographier le reste. Ce sera le c( spectre )) de la tranche (c temporelle )~ de bruit pr6sente dans l'appa- tell. Si cette tranche temporelle est de dur6e sufll- sante, on obtient alnsi la densit6 spectrale du bruit.

Si elle est insuffisante, on fern d6filer le film dans 1)1 en laissant une plaque photographique dans P r

L 'aecumulat ion progressive de lumi~re sur la droite O~ X donne peu h peu (h condition qu'il n 'y ait pas saturation) une image oa les rapports de contraste so stabilisent et qui constitue alors la densit6 speetrale cherch6e.

Si le bruit ~ analyser n 'est pas stationnaire, on

peut faire d6filer un second film dans le plan P2 h la place de la plaque fixe et parall~lement h 0 2 Y. On a alors une (( densit6 spectrale )) en fonction du temps (fig. II.5).

II.lO Changement de fr~quence.

La possibilit6 de faire un changement de fr6- quence optique a 6t6 signal6e par A. Blanc- Lapierre [3]. I1 est possible, en particulier, de trans- poser des fr6quences spatiales 61ev6es de l 'objet - - c'est-h-dire des d6tails tr~s fins - - en fr6quences plus basses : ce qui peut permettre de les faire passer h travers un instrument dent l 'ouverture serait sans cela insufllsante. C'est donc surtout cette possi- bilit6 de ~,oir des dgtails inaccessibles au premier examen, qui fait l 'int6rgt de ce proc6d6. Nous aliens en d6crire ici une proc6dure possible.

Partons toujours (fig. II.6) d 'un faisceau paral- l~le h Oz, obtenu avec un point source et un colli- mateur. Interposons dans un plan Po rapport6 h OX et OY un 6cran perc6 de deux trous 6quidis- rants et ~ distance l de O sur OX.

On a done une distribution :

~(X-- l) ~(Y) + 8(X + l) ~(Y).

Une premi6re lentille forme dans le plan P1 la transform6e de cette distribution, c'est-h-dire une distribution uniforme en y.

(37) e -~t~, + e~ t t ,= 2 cos 27~Lz.

- - 3 6 - -

t. 22, n ~ 1-2, 19671 LA TEANSFORMEE DE FOURIER EN OPTIQUE 21/23

Fro. II.6. - - Changement de fr6quence.

C'est la d i s t r ibu t ion due h l '6clairage. D ' a u t r e pa r t , le signal est inscri t sur un film dans

le p lan P1 sous fo rme de d i s t r ibu t ion un i fo rme en y, avec une va leur cons tan te superpos6e (on le suppose lu i -m~me sans c o m p o s a n t e cont inue) :

S(x) + p.

Ce signal cst h bande dtroite au tou r de v o (fr6- quence (( no rmale )) mais qui va deveni r (( spa t ia le )) pa r le jeu de la t r ans fo rm~e opt lque) :

(3s) S(x) = h cos (2~o x + %

off A e t ~ va r i en t tr$s lentement avec x. On forme ainsi, dans Pu, le long de 0 2 X le spect re

(~ spa t ia l ~) du p rodu i t :

eos 2~Zx [A cos ( 2 ~ o �9 + ~) + el,

qui compor t e des bandes distinctes : - - u n signal au tou r de la f r6quence v o ~ - l (et de la f rdquence opposde : - - v o - - 1 ) , - - un signal au tou r de la fr6quenee v o - - l (et l - - Vo) , c 'es t ce dernier seul qui nous int6resse, - - u n signal h la f r6quence l i n t rodu i t pa r la cons- t an t e p.

Masquons t ou t le p lan Ps except6 deux fengtres sym6t r iques au tou r du signal qui occupe les bandes v o - - l et l - %.

On fo rme ainsi dans P3 le s ignal :

A cos [2~(v0-- l) x - - ~]

rdel ct bipolaire . On ne pour ra , toutefois , observer que sa puissance

instantande, c 'est-h-dire une f luc tua t ion de puis- sance de frgquence double 2(v o - - l ) .

Pour l ' obse rve r d i r ec t emen t , il f au t lui superposer

une c o m p o s a n t e cont inue. Pour cela, perr une t rois i~me lucarne dans le p lan Po, au po in t O. On superpose ainsi h l '6c la i rement du p lan Px, une com- posan te un i fo rme p ' .

Celle-ci, avec la composan t e con t inue p qui a pe rmis d ' inscr i re S(x) sur le film, donne un fond con t inu pp', qui pond~re la ((fr~quence spa t ia le z@o )) du p lan P2"

Avec une lucarne en O~, on ((laisse passer )) ce fond con t inu qui se r e t rouve a d d i t i v e m e n t dans Ps.

L ' in tens i t6 observ~e dans P3 est alors :

(A cos [2r l) x ~ ~] + pp,)2.

[1 res te alors h cap te r 61ectr iquement ]a racine carr6e de ee t te in tens i t6 e t h r e t r anehe r le fond con t inu pp' sous fo rme d ' une tens ion ~leetrique eons tan te .

I I . l l . M o d u l a t i o n e t d ~ m o d u l a t i o n .

Moduler une fr6quence 6lev6e v 0 pa r une fr6- quence basse f c 'es t fo rmer un p rodu i t de la fo rme :

(1 + k cos 2~ft) cos 27:Vo t,

off k est le t a u x de m o d u l a t i o n (k < 1). Avec le m o n t a g e de la figure II .6 , on vo l t q u ' o n

peu t fo rmer dans le p lan P1 une d i s t r ibu t ion :

2 cos 27dx + i

en la issant , dans le p lan Po, t rois luearnes , l ' une en O, l ' au t r e en X -=-- l, la t rois i~me en X ---- - - l.

E n m a s q u a n t les deux lucarnes lat6rales pa r un 6cran a y a n t un coefficient de t r ansmis s ion k/2, on fo rme :

1 + k cos 2~/x.

- - 3 7

22[23

D'autre part, inscrivons, comme pr6c6demment, dans P1 un signal :

p + cos 2~v0 x.

On obtiendra dens P~ le spectre du produit :

(1 + k cos 2~lx) (p + cos 2r x)

dent on 61iminera la fr6quence I ( e t - l) par un cache. On aura alors dans Pa :

p + (i + k cos 2~Ix) cos 2~0 x.

Si la valeur de p est su~santc , on pourra lire, dans P~, un signal de fr6quence v 0 modul6 h la fr6- quence l avec le taux de modulation k.

Une ddmodulation n'est pas autre chose qu'un changement de fr6quence ayant pour (( fr6quence locale )) la (( fr6quence porteuse )) et qui permet de retrouvcr k cos 2volt h partir de la tension modul6e :

(i + cos 2rcft) cos 2~vo t.

Inscrivons la tension modul6e dens P1 avec une composante continue superpos6e :

p + (i + k cos 2~fx) cos 2~vo x.

Avee deux lucarnes :

X = + %, X = - - v o ,

dans le plan Pc, formons sur Px la distribution :

cos 27~vox.

Dens P v on aura le spectre du produit :

p cos 2~vo x + (l + k cos 2rcfx) (1 + cos 4=v0 x)[2.

Masquons le plan Pg. saul :

une fengtre en X = f et X ~ - ~ f,

une fengtre en 02.

On forme dans Pa :

i + k cos 2rr

qu'on peut y lire (puisque k < 1) au prix du trai- tement d6jh indiqu6 au paragraphe 10.

I I . t 2 . D ~ r l v a t i o n .

La d6riv6e d'une fonction S(t) de transform6e s(v) a pour transform6e :

S'(t) ~ 2~ivs(v).

Aveo un 6clairage coh6rent et uniforme appliqu6 h P1 inscrivons dans ce plan le signal S(x) avec une composante continue superpos6e :

p + S(~),

dent le spectre est :

p~(X) + s(X).

Dans le plan P2 disposons : deux 6crans sym6triqucs identiques, uniformes

en Y, d'6paisseur constante, et dent le coefficient de transparence pour l 'ampli tude est nul pour

H. MERMOZ [ANNALES DES T~LI~.COMMUNICATIONS

IXl = 0 , et varie lin6airement en fonction de IXt ; ce qui revient h appliquer un filtrage de ga in : k IxI;

une lame demi-onde sur le demi plan des fr6- quences n6gatives ; ce qui transforme le gain pr6- c6dent en : k X ; - - une fengtre en X = 0, munie d 'un 616ment de lame quart d'onde ; ce qui ajoute au gain pr6c6dent un terme : - - i $(X).

L'ensemble de ce dispositif est un (< filtre )) de gain :

k x - - i~(x).

Comme S(x) est suppos6 sans composante conti- nue, le spectre du signal filtr6 est :

kX s(X)-- ip~(X)

soit, h une phase constante pros :

p~(X) + kiXs(X).

On aura, dans le plan Ps, une distribution :

p + (k12~) S'(z).

qu'une valeur suffisante de p rendra monopolaire et par cons6quent lisible.

C O N C L U S I O N

Apr~s avoir rappel6 l'essentiel de la th6orie de la diffraction et de la formation des images, dans ce qu'elle a de plus particuli~rement li6 h la transfor- mation de Fourier, nous evens donn6 quelques sch6- mas de principe d'une utilisation de l 'optique h des fonctions couramment utilis6es pour transformer des tensions 61ectriques.

L'optique pr6sente, dans ce domaine, des capaci- t6s de principe extrgmement int6ressantes. Pour le moment la technologic ne semble pas en mesure de les exploiter toutes.

II faut esp6rer que le bilan-mgme de ces possibi- lit6s sera assez s6duisant pour pousser les techni- ciens h se procurer los <c supports)) d ' information qui, pour l ' instant, manquent. I1 est ben de signaler que plusieurs groupes de recherche sent d6jh engag6s dans cette vole.

I1 paralt bien probable que les progr~s constants de la technologic permettront, dens un proche ave- nir, d'utiliser h fond les possibilit6s de cet agent de transmission infiniment subtil qu'est la lumi~re.

Manuscrit refu le 25 j u in 1966.

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NOTES. INFORMATIONS, A C T U A L I T E S

R E V U E D E S P O S T E S E T T ~ . L i ~ . C O M M U N I C A T I O N S D E F R A N C E

Sommaire du n ~ 6, 1966.

Vceux h nos lecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M. GROUSSET. - - Le service de liaison avec les

usagers importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S M. J. VOGE. - - INTELSAT et l'organisation mon-

diale des tdldcommunications par satellites ..... 29

M. GASPEnMENT. - - Une dtudc du ~c marchd postal ~ : r&ude (( paquets-poste r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

M. J. SutssE. - - L 'automatisat ion du tri des ti tres au service des cheques postaux . . . . . . . . . . . . . . . 43

Jurisprudence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5t Textes ldgislatifs et rdglementaires . . . . . . . . . . . . . . 56 Philatdlie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Vdhicules et matdriels annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Documentation. ~ Bibliographle : Le dossier du mois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Lu pour vous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 et 80 Documentation PTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Documentation g~n~rale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 i Table des mati6res, annde 1966 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 9 - -