Transformée de Fourier en Temps Continu (TFTC)

On appelle Transformée de Fourier d’un signal , l telle que :

𝑋 ( 𝑓 )=𝑇𝐹 [𝑥 (𝑡 ) ]=∫−∞

+∞

𝑥 (𝑡 ) .𝑒𝑥𝑝 (− 𝑗2𝜋 𝑓𝑡 )𝑑𝑡

Pour une fréquence donnée, représente l’NRJ d’interaction entre le signal et l’exponentielle imaginaire à cette fréquence .

La fonction correspond donc à l’NRJ que possède à différentes fréquences .

Voir à ce propos les exercices Créer un signal sinusoïdal complexe ,Créer une série de sinusoïdes et Energie d’interaction entre un signal bruité et des sinusoïdes des chapitres précédents.

La TF est un signal complexe

La Transformée de Fourier d’un signal peut s’écrire :

NRJ d’interaction NRJ d’interaction

La comparaison simultanée avec un cos et un sin de fréquence , permet d’accéder à une mesure de l’NRJ que possède à cette fréquence (1).

Pour caractériser un signal , c’est souvent l’usage d’utiliser le module de la TF appelé spectre de :

(1) Si on ne comparait qu’avec le seul cos et que x(t) était lui-même un cos de même fréquence mais déphasé de , alors la TF serait nulle : . L’utilisation du module permet de s’affranchir des déphasages.

TF d’une porte temporelle

La TF d’une porte est P(f) =. Sa valeur maximale est pour f=0. Elle s’annule aux fréquences 1/, 2/, ..., .

Les ordinateurs fonctionnent en Temps Discret

La figure ci-dessous représente 4 fois le même signal mais avec des temps d’ échantillonnage Te différents. Seules les valeurs symbolisées par un rond ‘o’ sont stockées dans la mémoire de l’ordinateur. Remarquer que le temps « continu » correspondrait à Te=0 avec une infinité de points.

5

Discrétisation du temps et de la fréquence

Le calcul réalisable sur ordinateur est celui de la Transformée de Fourier Discrète (TFD) d’un nombre fini N de valeurs du signal x(t), :

est appelée précision fréquentielle

= Période d’échantillonnage

et résultant à un nombre fini N de valeurs de la fonction X(f), :

= Fréquence d’échantillonnage

TFTC = TF en Temps Continu

Transformée de Fourier Discrète (I)

𝑋 ( 𝑓 )=𝑇𝐹 [𝑥 (𝑡 ) ]=∫−∞

+∞

𝑥 (𝑡 ) .𝑒𝑥𝑝 (−2𝜋 𝑗𝑓𝑡 ) 𝑑𝑡

La suite de nombres : { x(0.Te), x(1.Te), ..., x((N-1).Te) } constitue le signal « numérique »

𝑋 (𝑘 𝐹 𝑒

𝑁 )=𝑇 𝑒∑𝑛=0

𝑁−1

𝑥 (𝑛𝑇𝑒 ) .𝑒𝑥𝑝(−2𝜋 𝑗 𝑘𝑛𝑁 );𝑘=0 ,1 ,2 ,…,𝑁−1

La période d’échantillonnage étant une constante, on peut la factoriser :

7

; n=0, 1, 2, ..., N-1

Transformée de Fourier Discrète (II)

TFITC = TF Inverse en Temps Continu

On obtient par la même démarche la transformée de Fourier inverse:

8

6. Transformée de Fourier Discrète (III)

Dans la définition donnée ci-dessous, la TFD ne fait plus référence ni au temps, ni à la fréquence. Elle produit la « TF » d’une suite de nombres {x(0), x(1), ..., x((N-1))}. Pour cela, il suffit de poser Te = 1 et Fe = 1. On obtient alors les TFD et TFDI :

Dans Matlab, ces 2 transformations sont exécutées par les commandes fft(x, N) et ifft(X, N) respectivement. (FFT signifie « Fast Fourier Transform »)Pour faire référence aux temps et aux fréquences « pratiques », on a les relations:

Créer des sinusoïdes de différentes fréquences, utiliser une boucle for…endEcrire un programme C0 qui utilise une boucle for … end et produise une figure similaire à celle-ci-dessous.

Discrétisation du tempsEcrire un programme C1 qui produise une figure similaire à celle-ci-dessous.

Complément concernant la fonction fft : dans le cours on a vu que lorsque x(t) possède N échantillons, alors on calcule une TFD avec N fréquences : X = Te*fft(x, N).Il peut être montré que l’on peut calculer une TFD avec un nombre de fréquences par exemple en écrivant : X = Te*fft(x, P).Dans ce cas, la fonction fft change le signal x(t) :• Si P=N : définition de la TFD, x(t) est inchangé.• Si P>N alors des zéros sont ajoutés à x(t) de façon à ce que length(x)=P. Le spectre n’est pas

déformé mais la précision fréquentielle est améliorée.• Si P<N alors x(t) est tronqué de façon à ce que length(x)=P. Le spectre est déformé, il y a eu une

perte d’information sur le signal x(t).

P=N

P>N

P<N

Pour des raisons similaires et d’autres qui seront vues lors de l’étude de l’ échantillonnage, la TFDI :x = Fe*ifft(X,P)doit être réalisée avec P=N.

Utiliser la fonction fft, calculer et représenter la TFD d’un signal, utiliser les fonctions abs et legendTélécharger le signal « signal_C2 » constitué des vecteurs t et x depuis le répertoirehttp://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/master_files_TdS/En examinant le vecteur temps, déterminer la période d’échantillonnage .Dans un programme C2, écrire les commandes nécessaires aux objectifs qui suivent. Représenter le signal. A l’aide des outils de la figure, chercher à déterminer la périodicité temporelle que semble suivre ce signal. A quelle fréquence cela correspond t’il ?

Soit N=200, le nombre de fréquences de la TFD à calculer. Créer le vecteur

En utilisant la fonction fft, créer le vecteur

La TFD est généralement complexe. C’est l’usage de plutôt utiliser le module de la TFD appelé aussi : spectre. Le module est obtenu selon la syntaxe : abs(X). Représenter le spectre en fonction de f. Décorer le graphe.

On désire augmenter la précision fréquentielle. Compléter le programme pour que sur le même graphe, la TFD obtenue avec 800 puis avec 3200 fréquences soit représentée de la même façon que dans la figure de la diapositive suivante. Qu’observe t’on ?

Calculer la TFD avec fftDans un programme C3 :

1/ créer un signal x(t) d’une durée de 10 secondes, échantillonné à 100 Hz et composée de la somme de 2 sinusoïdes. La première aura une fréquence de 0.5 Hz, une amplitude égale à 2, tandis que la seconde aura une fréquence de 2 Hz et une amplitude égale à 1. Représenter le signal.

2/ Pour optimiser le calcul des FFT (Fast Fourier Transform), il est conseillé d’utiliser un nombre N de points qui soit une puissance de 2. Calculer X(f), la TF de x(t) en utilisant fft avec N=212. Représenter sa partie réelle et imaginaire dans un même fenêtre d’une façon similaire à la figure ci-dessous, cad entre 0 et 4 Hz.

Utiliser la fonction ifft, reconstruire un signal à partir de sa TFTélécharger le signal « tfd_C4 » constitué des vecteurs f et X depuis le répertoirehttp://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/master_files_TdS/.X est la TFD d’un signal x(t) qu’on cherche à reconstruire.Dans un programme C4 :

1/ Déterminer la précision spectrale df. Le nombre N de points dans la TFD. En déduire la fréquence d’échantillonnage Fe.

2/ Créer un vecteur temps nommé « t_reconstruit » comportant N points et de période d’échantillonnage, celle déduite de la question 1/.

3/ Reconstruire le signal temporel à partir de X(f) avec ifft. Ce signal reconstruit sera nommé « x_reconstruit ». Le représenter de 0 à 4 secondes dans un graphe où sera aussi représenté le signal x(t) du programme C3.

Etude de la résolution spectraleLa résolution spectrale est l’écart minimum qui doit exister entre les fréquences de 2 raies spectrales pour pouvoir être séparées. Par définition, elle est l’inverse de la durée d’observation du signal. On a .1/ Dans un programme C5, créer un signal d’une durée de 7 = 7 secondes, échantillonné à 100 Hz et composé de la somme de 2 sinusoïdes. La première aura une fréquence de 1.9 Hz, une amplitude égale à 2, tandis que la seconde aura une fréquence de 2 Hz et une amplitude égale à 1. Calculer sa TFD, X7s(f) avec un nombre de fréquences Nf = 212. Combien vaut la précision fréquentielle df ? Combien vaut la résolution spectrale R ? 2/ Dans le même programme, créer un signal ayant les mêmes caractéristiques que celui du 1/ mais avec une durée 50 = 50 secondes. Calculer sa TFD, X50s(f) avec un nombre de fréquences Nf = 212. Combien vaut la précision fréquentielle df ? Combien vaut la résolution spectrale R ? 3/ Comparer les spectres |X7(f)| et |X50(f)|.

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.40

5

10

15

20

25

30

35

40

Identifier une personne par une analyse spectrale de sa voix« La fréquence fondamentale de la voix est propre à chaque individu.Elle est fonction de différents paramètres physiologiques tel que le volume et la masse de la glotte, la section de la trachée, sa longueur etc...Pour les hommes, cette fréquence fondamentale Fo se situe aux environs des 100 Hz,Pour les femmes, cette fréquence Fo se situe plutôt aux environs des 200Hz.Pour les enfants, cette fréquence Fo se situe plutôt aux environs des 300 à 400 Hz » (ref). Télécharger le fichier «speech_dft.wav» depuis le répertoire http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/master_files_TdS/. Depuis la fenêtre de commande de Matlab, double-cliquer sur ce fichier pour l’importer dans l’espace de travail. Il contient le vecteur « data » de la voix d’une personne et le scalaire « fs » qui est la valeur de la fréquence d’échantillonnage. Dans un programme C6, faire l’analyse spectrale de ces données afin de déterminer la voix est celle d’un homme, d’une femme ou d’un enfant.