1

L’aspect ondulatoire de la lumièrePourquoi une théorie ondulatoire de la lumière ?

a) Phénomène d’interférence b) Phénomène de diffraction c) Phénomène de polarisation

ondes à la surface de l’eau

Qu’est ce qu ’une onde?

• Ondes sonores: dilatations et compressions de l’air

• Ondes mécaniques

On parle de propagation d’une onde à chaque fois qui il y’ a propagation d’une vibration ou d’une perturbation

2

Différents types d’ondesIl existe deux types d’ondes : • les ondes longitudinales: la vibration a lieu parallèlement à la direction

de propagation (ressort à boudin, ondes sonores, etc ...) • les ondes transverses: la vibration a lieu perpendiculairement à la direction

propagation (ondes à la surface de l’eau, ondes électromagnétiques)

Onde longitudinale

Onde transverse

Propagation d’une onde à une dimension: cas d’un ébranlement le long d’une corde

♦ On suppose que l’ébranlement se propage à une vitesse constante v et que la forme initiale est conservée lors de la propagation.

A l’instant initial, l’onde est caractérisée par une fonction : y(x) = y(x, t = 0)

vvxOM

==τ

A un instant ultérieur t+τ, la vibration se trouve au point M. Elle est identique à la vibration qui était au point O au moment t , τ représente le temps pour aller de O à M :

xvitesse v

x

vitesse v

O f(x)

xO

M

à l’ instant t

À l’instant ultérieurt’= t+τ

la vibration en M peut donc s’écrire : ),(),(vxtOxytMxy −===

Une onde se propageant dans le sens des x positifs est une fonction de (t - x/v).

3

• Toute onde se propageant vers les x croissants ( avec v > 0)a une amplitude qui est fonction de (t – (x/v))

• Si l'onde se dirige vers les x décroissants alors la vitesse s'écrit :

ivvrr

=

avec v > 0 et l'amplitude de l'onde dépend de (t + (x/v))

.

ivvrr

−=

( )

+

−= 0v

cos, ϕωxtAtxf

Toute onde périodique peut être exprimée à l’aide d’une somme de fonctions du type:

( )

+

+= 0v

cos, ϕωxtAtxf

Ou

Propagation dans le sens des x positifs

Propagation dans le sens des x négatifs

où f(x,t) représente l’élongation ; A: l’amplitude maximale de l’onde[ω(t – x/v) + ϕ0]: la phase totale ;ϕO : représente la phase à l’origine des temps et de l’espace. ω : pulsation de l’onde en rad/s

Double périodicitéLa fonction cosinus (ou sinus) est périodique, de période 2π.

),(),( txftxf =+λ

),(),( txfTtxf =+f(x, t)

+A

-AT

En x donné t 0

+A

-A

λ

à l’instant t donné x0

T : période temporelle, en s.

λ : période spatiale , en m.

λ = v⋅T = v ⋅2π/ω ou v est la vitesse de propagation

b) Période temporelle Ta) Période spatiale λ

Comme elle dépend de t et de x, on définit par conséquent deux périodes:

4

♦ La fréquence angulaire, ou pulsation est notée ω. l’unité est le radian par seconde (rd/s)

T1

=νTππνω 22 ==

♦ L’inverse de la période est noté ν et est appelée la fréquence. L’unité est le Hz.

k : vecteur d'onde (en m-1): v

k ω=

σ : nombre d'onde (en m-1):λ

=σ1

( ) [ ]0kxtcosAt,xf ϕ+−ω=onde progressive vers les x croissants

ExerciceL’élongation y d’une onde transversale qui se déplace le long d’une corde est donnée par :

y = 6sin(0.02πx+4πt) (x et y en cm, t en s)

a) Quelles sont l’amplitude, la longueur d’onde, la fréquence, la vitesse, la direction de propagation de cette onde ?

b) Quelle est la vitesse maximale d’un point de la corde ( pour un t donné)?Exercice Soit un onde sinusoïdale:y ( t , x ) = 10 sin 2π ( 2t - 2x + ϕ0/2π) ou x est mesuré en m et t en s.

A) Déterminez l’amplitude, la fréquence, la période, la vitesse de propagation, la longueur d’onde et la phase à l’origine des temps et des espaces sachant que y(0,0) = 5.B) Déterminer la vitesse maximale que peut atteindre un point M pour un x donné.

ExerciceUne onde sinusoïdale se propage le long d'une corde. Si le temps que prend un

point quelconque pour passer de son déplacement maximum à un déplacement nul est de 0.17 s.

Quelles sont la période et la fréquence de l'ondeSi sa longueur d'onde est de 1.4 m, quelle est sa vitesse?

5

L’onde électromagnétique

La lumière est une onde électromagnétique.Elle est caractérisée par la propagation d’une variation du champ électrique et du champ magnétique

Er

Br

Direction de propagation: le vecteur d’onde kr

Exemple: vibration du vecteur composé dedeux ondes etxE

ryEr E

r

et dans le plan d’onde perpendiculaire àEr

Br

krOnde transverse:

La vitesse d’onde : v = c/nc ≈ 3× m/s; n: indice de réfraction d’un milieu810

Le spectre électromagnétique

Lumière visible: 7800Å - 3900Å

659-7694550-3900Violet

610-6594920-4550Bleu

520-6105770-4920Vert

503-5205970-5770Jaune

482-5036220-5970Orange

384-4827800-6220Rouge

Fréquence (THz),Longueur d'onde dans le vide (Å)

couleur 1Å= m 10 10− Hz10THz1 12=

6

ExercicePour des ondes radio courtes, les fréquences sont comprises entre 1.5 MHz et

300 MHz environ.a) Quelles sont les longueurs d'onde correspondantes ?Les longueurs d'ondes visibles sont comprises entre 0.4 µm (violet) et 0.8µm

(rouge) environ. b) Quel est l'intervalle de fréquences correspondant?

Un laser Nd YAG émet une lumière verte de longueur d'onde 600 nm. c) Combien y'a-t-il d'oscillations dans une impulsion dans la durée est de 2ps?d) Combien y en aurait-il dans une impulsion durant 2 femtosecondes( 1ps = 10-12s; 1fs = 10-15s)

Onde lumineuse monochromatiqueVibrations du champ électrique et du champ magnétique se propageant dans la direction de Oz peuvent être représentée par:

Er

Br

)]cos[( okztaV ϕω −−=

Les vibrations optiques sont trop rapides pour que l'œil et les détecteurs classiques puissent distinguer les ondulations dans le temps:

λ ≈ 10-6 m → T = λ/c ≈ 10-15 s → ν ≈ 1015 Hz.Les détecteurs et l'œil ne sont sensibles qu'à une intensité , c'est-à-dire à la moyenne temporelle du carré de l'amplitude du champ électrique pour la lumière.

∫=T

dttfT

f0

)(1La moyenne temporelle d’une fonction f est définit par:

Tout onde peut être décrite par une combinaison linéaire d’ondes monochromatiques.

Ex. On donne le mouvement sinusoïdal rectiligne suivant : x= acos ωt+bsinωt . Montrer qu’il existe deux quantité A et ϕ telle que qu’à tout instant t, x puisse être écrit x= acos (ωt-ϕ)

7

Intensité lumineuse d’une onde monochromatique:

( )21cos 2222 ⋅=−= akxtaV ω

( )kxtaV −= ωcos

η est une constante qu’on prendra = 1 par la suite

cos(ωt-kx)

+1

-1

t

x donné

0

T

I= η a2

L’intensité d’une onde est proportionnelle à la moyenne temporelle

de la vibration au carrée : I ~ < V2 >

21

212 2coscos += ααcar

cos2(ωt-kx)

t

x donné

+1

-1

0

T/2

1/2

Interférences à deux ondes

Le phénomène d'interférences résulte de la superposition de deux ondes émises par des sources synchrones et spatialement cohérentes.

• Deux sources de vibrations sont synchrones si elles émettent des ondes de même fréquence (donc de même période ).

Les interférences s'observent dans de nombreux domaines de la Physique : ondes acoustiques, ondes mécaniques à la surface d'un liquide, ondes électromagnétiques ….

• Deux sources de vibrations sont spatialement cohérentes, si elles émettent des ondes dont la différence de phase ne varient pas au cours du temps.

L'avantage des lasers est double, on a une source monochromatique (une seule longueur d'onde) et cohérente (émission cadencée des photons).

8

• Méthode trigonométrique

L’amplitude a et la phase ϕ de la vibration résultante en fonction des amplitudes a1, a2 et des phases ϕ1, ϕ2:

VR = a1 cos(ωt - ϕ1)+ a2 cos(ωt - ϕ2)

=a cos(ωt - ϕ)= a cosϕ cosωt+ a sinϕ sinωt

Alors acosϕ = a1 cosϕ1+a2 cosϕ2a sinϕ = a1sin ϕ1+ a2sinϕ2

a2=a12 +a2

2 +2 a1 a2 cos(ϕ2 - ϕ1),

2211

2211

cosacosasinasinatan

ϕϕϕϕϕ

++

=

Soient deux vibrations monochromatiques (de même pulsation):V1 = a1 cos(ωt - ϕ1)V2 = a2 cos(ωt - ϕ2)

= (a1 cosϕ1 cos ωt + a1sin ϕ1sinωt) +(a2 cosϕ2 cosωt +a2sinϕ2sinωt) = (a1 cosϕ1+a2 cosϕ2) cos ωt+(a1sin ϕ1+ a2sinϕ2)sinωt

Composition de deux vibrations de même fréquence.

• Méthode de Fresnel

=∠=∠

=

=

22x

11x

22

11

)V,e()V,e(

V

V

ϕϕ

rr

rr

r

r

a

a

En décomposant les vecteurs , et sur la direction ox et oy on obtient:2Vr

1Vr

acosϕ = a1 cosϕ1+a2 cosϕ2, a sinϕ = a1sin ϕ1+ a2sinϕ2

aV =

ϕ=),(' Veanglel x

r

Vr

2Vr

1Vr

ϕ1

ϕ2ϕ

X0

2Vr

1Vr

On représente les vecteurs-images , représentatifs des amplitudes complexes , sur un diagramme de Fresnel de tel façon que

Y

9

ExerciceDéterminer la vibration résultante de la superposition de 3 vibrations de

même fréquence, dont les amplitudes sont dans un rapport 1, 1/2, 1/3 et dont les phases sont respectivement 0, π/2 et π. Utiliser :

a) la trigonométrie, b) b) les vecteurs de Fresnel.

Exercice :Effectuer par la méthode de Fresnel la composition des ondes suivantes :E1 = 5 cos ωt, E2 = 10 cos (ωt +45°), E3 = cos (ωt -15°), E4 = 10 cos (ωt +120°),E5 = 8 cos (ωt +180°).

On donne le mouvement sinusoïdal rectiligne suivant x= acos ωt+bsinωtMontrer qu’il existe deux quantité A et ϕ telleques qu’à tout instant t, x puisse être écrit x= acos (ωt-ϕ)

Intensité lumineuse d’une onde résultante de la superpositionde deux ondes monochromatiques

I1 = a12 et I2 = a2

2

Intensité résultante est différente de la somme des intensités dues à chacune des ondes

IR = a2 = a12 + a2

2 + 2 a1 a2 cos ( ϕ1 - ϕ2 )

IR = I1 + I2 + 2 cos ( ϕ1 - ϕ2 ) 21II

V1 = a1 cos(ωt - ϕ1) V2 = a2 cos(ωt - ϕ2)

Intensité de chacune des deux ondes :

Intensité de l’onde résultante :

10

IR max obtenue pour cos ∆ϕ = +1 ==> ( )2

21max III R +=

( )2

21min III R −=

∆ϕ

IR

Imax

Imin

0

IR = I1 + I2 + 2 cos ( ϕ1 - ϕ2 ) 21II

• la fonction cosinus est une fonction paire : cos(ϕ1-ϕ2) = cos(ϕ2-ϕ1)= cos (∆ϕ).

• 2 cos ∆ϕ est le terme d’interférence qui traduit l’interaction entreles deux ondes de même fréquence.

21 II

• l’intensité résultante IR oscille sinusoïdalement entre deux valeurs extrêmes:

Remarques

IR min obtenue pour cos ∆ϕ = - 1 ==>

= I1 + I2 + 2 cos(∆ϕ)21II

Répartition d’éclairement pour différentes valeurs de C (1; 0.8; 0.6; 0.4; 0.2).

C=1 C=0.8 C=0.6 C=0.4 C=0.2

21

21minmax

minmax 2IIII

IIIIC

RR

RR

+=

+−

=

♦ Visibilité (ou contraste) On caractérise la visibilité de l’interférence en comparant relativement l’intensité maximale avec l’intensité minimale :

∆ϕ

11

Cas particulier : les deux ondes de mêmes amplitudes

4I0

∆ϕ0

le contraste (visibilité):

a1 = a2 = a0 ⇒ I1 = I2 = I0

IR = 2 I0 (1 + cos ∆ϕ )

L’intensité maximale: 4 I0 , l’intensité minimale: 0

100

max

max

=+−

=R

R

IIV

le contraste maximum

car αα 2cos22cos1 =+

∆

=2

cos4 2 ϕoI

Nécessité de la cohérence et du synchronisme

Nécessité de la cohérence

⇓

La moyenne temporelle <cos ∆ϕ> = 0 en point M

Si le terme d’interférence 2 cos ∆ϕ ≠ const(t) en point M 21 II

⇓

IR = I1 + I2Tous les points apparaissent d'une teinte uniforme

Pour observer la figure d’interférences il faut que le déphasage ∆ϕ soit constant dans le temps en chaque point M (mais différent en chaque point M).

12

Supposons des pulsations différentes : V1 = a1 exp i(ω1t - ϕ1) V2 = a2 exp i(ω2t - ϕ2)

Nécessité du synchronisme

On se ramène au problème précédent en posant :V2 = a2 exp i(ω2t - ϕ2) = a2 exp i(ω1t - ϕ2’ )

où ϕ2’ = ϕ2 + (ω1 - ω2)t

On compose V1 = a1 exp i(ω1t - ϕ1) et V2 = a2 exp i(ω1t - ϕ2’ ):on obtient un résultat analogue au résultat précèdent

a2= a12+a2

2+2 a1 a2 cos(ϕ2’ - ϕ1)a2= a1

2+a22+2 a1 a2 cos( ϕ2 - ϕ1+( ω1 - ω2 ) t)

Le terme d'interférence en un point M dépend explicitement du temps :<cos (ϕ2’- ϕ1)>= 0.

Pour avoir des interférences il est nécessaire d'avoir des sources synchrones émettant des ondes de même fréquence.

⇓l'éclairement est uniformeIR = I1 + I2 ; les interférences sont inobservables

Interférence de deux ondes cohérentes, synchrones et de même amplitude

• L’intensité de l’onde résultante en point M:

• La différence de marche optique entre deux rayon issue de S1 et S2 et qui interfèrent en M:

: le déphasage entre les deux ondes en M21 ϕϕϕ −=∆

]MS[]MS[ 12 −=δ où sont les chemins optiques]M[S ],MS[ 12

• Le déphasage ∆ϕ en fonction de δ: où λ est la longueur d’onde. λπδϕ 2

=∆

)]cos[()](cos[( 22λπδ

λπωδω +−=+− ztazkta

En effet, si la différence de chemin change, alors la phase varie de : λπδ

ϕ2

=∆

• L’ordre d’interférence en M:λδ

πϕ

=∆

=2

p

IR = 2 I0 (1 + cos ∆ϕ )

13

S

S1

S2

M

Système optique

L'idée:

On divise le front de l'onde primaire en isolant spatialement deux parties par un système optique approprié, que l'on fait ensuite se superposer pour interférer.

On divise l'amplitude de l'onde primaire à l'aide d'une lame semi-réfléchissante. Puis, à l'aide de miroirs, on fait se recomposer les ondes transmises et réfléchies qui peuvent alors interférer.

S

S1

S2

M

Système optique

• Division d'amplitude• Division du front d'onde.

Réalisation de deux sources mutuellement cohérentes.

Deux méthodes principales :

obtenir, à partir d'une source S ( source primaire), 2 sources secondaires S1 et S2 possédant le même caractère que S.

Exemples: Les fentes d’Young, lentilles de Billet, biprisme de Fresnel, miroir de Lloyd

Exemple: L'interféromètre de Michelson, de Jamin ou de Mach-Zender.

Dispositif expérimental des fentes d’Young

S: une fonte source rectangulaire très fine, dont la grande dimension est perpendiculaireau plan de la figure;

P: une plaque opaque percée de deux trous fins et distants de a1S 2S

E: un écran plan parallèle à (P) sur lequel on observe les franges; D >> a

x: la position du point M

M

X

S

S1

S2

S1’

S2’

r2

r1

δD >> a

a

P E

14

Calcul de la différence de chemins optiques δ

Dax

=δ

M

X

S

S1

S2

S1’

S2’

δ

D >> a

a

• la différence de chemins optiques des rayons en point M: δ =nair (S2M- S1M)

1pour 2

11 <<+≅+ εεε car x+a/2<<D

Dans le triangle :'SMS 222

22

2 )(xDMS a++= 222 /D)(x1D a++=

Donc )/D)(xD(1MS 2222

12

a++≅

Dans le triangle :'SMS 11

22

21 )(xDMS a−+= 22

2 /D)(x1D a−+= )/D)(xD(1 2222

1 a−+≅ car x-a/2<<D

Alors [ ]22

2212 )(x)(x

2D1MSMSδ aa −−+=−= a2x

2D1

=D’où

Dax

=δ

M

X

S

S1

S2

S1’

S2’

θ θ1

δD >> a

a

Alors

δ =S2M- S1M = a sinθ1

Un autre façon de calcul de la différence de chemins optiques δ:

On suppose θ petit et θ ≈ θ1 ⇒ sinθ1= sinθ ≅ tg θ ≅ x/D

15

L’intensité observée sur l’écran au point P d’abscisse x :

• l’intensité maximale (frange brillantes):

aDpx p

λ=

aDpx p

λ

−=

21'

i = x p+1 - xp = aD

aDp

aDp λλλ

=−+ )1( aDi λ

=

( )ϕ∆+= cos12 oII

+= )2cos(12

λπδ

oI

+= )

Dx 2cos(12

λπ aIo

• l’intensité minimale (franges sombres):

∆ϕ = 2pπ ⇒ δ = pλ ⇒

∆ϕ = = (2p+1)π ⇒

• Interfrange: la distance séparant 2 franges brillantes successives (ou 2 franges sombres successives):

4I0

0

I

0 π 2π 3π 4π 5π 6π ∆ϕ0 ½ 1 3/2 2 5/2 3 p0 i/2 i 3i/2 2i 3i x

• La figure d’interférence observée:

Exercice : Deux fentes distantes de 4⋅10-4m sont placées à 1 m d’un écran. Si la distance entre la frange centrale et la frange correspondant à m=1 est de 1 mm, quelle est la longueur d’onde de la lumière utilisée ?

Exercice :Trouver l’angle correspondant à la frange m = 3 si deux fentes distantes de 0.4 mm sont éclairées par de la lumière jaune de 600nm.