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L’aLgebre, ou L’ecoLe de La raison Didier Lesesvre REPERES - IREM. N° 93 - octobre 2013 5 Résumé : L’algèbre, après avoir été au cœur de l’enseignement des mathématiques modernes, est aujourd’hui abordée de plus en plus tard, sinon occultée dans les programmes. Pourtant l’algèbre, bien au-delà d’une discipline particulière, est le fondement de l’enseignement des mathématiques, et peut-être même le modèle de la raison scientifique et de la rigueur de la pen- sée. Nous souhaitons rendre à l’algèbre une juste place dans l’éducation de l’esprit, et de fait dans l’enseignement. Nous argumentons en ce sens, non pas d’un point de vue didactique, psycholo- gique ou pratique, de telles études ne manquant pas, mais de manière plus théorique, nous inté- ressant aux caractéristiques et aux raisons d’être de l’algèbre dans l’enseignement avant de nous pencher sur son enseignement effectif. Un bref retour sur la genèse de l’algèbre permet un constat épistémologique important concernant le parcours de la pensée vers l’abstraction et la natu- re particulière de l’algèbre, ce qui nous permet de dégager une vision de son enseignement plus proche de la démarche historique de l’algébrisation, qui n’est autre que le sens normal de tout travail en mathématiques, en sciences, et plus généralement de tout travail critique. Des premières conceptions abstraites de la notion de nombre jusqu’à l’éclosion de l’algèbre au sein du monde arabe médiéval, de l’avènement du calcul différentiel jusqu’aux formalisations de la logique au XXe siècle, passant par ce que l’on retient comme la révolution cartésienne, nous soulignons le mouvement lent et difficile, mais fructueux, de la pensée vers l’abstraction et la for- malisation syntaxique. Le mouvement de la pensée s’est d’abord fait de manière rationnelle, allant des objets particuliers vers les formes algébriques générales avant d’aller dans l’autre sens, et de redescendre de manière logique d’une théorie générale aux situations particulières comme la pré- sentent les enseignements actuels. Ce constat historique nous interpelle quant au cheminement par- ticulier qu’est celui du scientifique lors de l’utilisation de l’algèbre et de l’avancée vers l’abstrac- Remerciements : Cet article doit beaucoup à Hadrien Batmalle, qui a su y dissiper bien des brumes en y apportant d’heu- reuses formulations où, parfois, notre pensée peinait à s’exprimer hors d’un système épistémologique précis. Qu’il en soit ici sincèrement remercié.

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    LecoLe de La raison

    Didier Lesesvre

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    Rsum : Lalgbre, aprs avoir t au cur de lenseignement des mathmatiques modernes,est aujourdhui aborde de plus en plus tard, sinon occulte dans les programmes. Pourtantlalgbre, bien au-del dune discipline particulire, est le fondement de lenseignement desmathmatiques, et peut-tre mme le modle de la raison scientifique et de la rigueur de la pen-se. Nous souhaitons rendre lalgbre une juste place dans lducation de lesprit, et de fait danslenseignement. Nous argumentons en ce sens, non pas dun point de vue didactique, psycholo-gique ou pratique, de telles tudes ne manquant pas, mais de manire plus thorique, nous int-ressant aux caractristiques et aux raisons dtre de lalgbre dans lenseignement avant de nouspencher sur son enseignement effectif. Un bref retour sur la gense de lalgbre permet unconstat pistmologique important concernant le parcours de la pense vers labstraction et la natu-re particulire de lalgbre, ce qui nous permet de dgager une vision de son enseignement plusproche de la dmarche historique de lalgbrisation, qui nest autre que le sens normal de touttravail en mathmatiques, en sciences, et plus gnralement de tout travail critique.

    Des premires conceptions abstraites de la notion de nombre jusqu lclosion de lalgbreau sein du monde arabe mdival, de lavnement du calcul diffrentiel jusquaux formalisationsde la logique au XXe sicle, passant par ce que lon retient comme la rvolution cartsienne, noussoulignons le mouvement lent et difficile, mais fructueux, de la pense vers labstraction et la for-malisation syntaxique. Le mouvement de la pense sest dabord fait de manire rationnelle, allantdes objets particuliers vers les formes algbriques gnrales avant daller dans lautre sens, et deredescendre de manire logique dune thorie gnrale aux situations particulires comme la pr-sentent les enseignements actuels. Ce constat historique nous interpelle quant au cheminement par-ticulier quest celui du scientifique lors de lutilisation de lalgbre et de lavance vers labstrac-

    Remerciements : Cet article doit beaucoup Hadrien Batmalle, qui a su y dissiper bien des brumes en y apportant dheu-reuses formulations o, parfois, notre pense peinait sexprimer hors dun systme pistmologique prcis. Quil ensoit ici sincrement remerci.

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    I. Introduction : lalgbre au cur desmathmatiques, des sciences, de la pense

    1.1 Lalgbre, cl de vote de la pensescientifique moderne

    Lalgbre est le cheminement de lesprit dessituations particulires vers labstraction, versleur formalisation sous des notations opra-toires saffranchissant de toute informationsuperflue la rflexion. En cela, lalgbre estlessence mme des mathmatiques. Au-del dentre quun outil de base du mathmaticien ouun moyen de reprsenter les problmes duscientifique, lalgbre est, et cest l bien plusimportant, larchitecture gnrale sur laquellese construit petit petit chaque raisonnement,en un mot un canon moderne de la pense. Silalgbre est fonde sur un aspect essentielle-ment calculatoire qui, lui, nest pas universel,elle comporte galement un aspect critique tra-vers la rflexion sur les modlisations qui, tropsouvent mconnu et incompris des lves, pour-rait justement les rconcilier avec les math-matiques et surtout leur enseigner la dialec-tique scientifique, leur apprendre penser.Cest cette algbre trs gnrale, qui relveplus de la dmarche que de loutil final, que nousvoulons prsenter ici, cette algbre dont lhis-toire est celle de la science en train de se faire,

    cette algbre dont la comprhension est de faitsi primordiale lenseignement des mathma-tiques et plus encore lducation de lesprit,puisquelle nest autre que lcole de la raison.

    1.2 Une disparition progressive et inquitante de lalgbre des programmes

    Voil peu de temps, le tout algbriquedominait lducation. Le milieu du XXe siclereste marqu par lintroduction des mathma-tiques modernes dans lenseignement l-mentaire et secondaire, dogme caractris parla formalisation des notions ds le plus jeunege, lomniprsence explicite des structuresalgbriques et laxiomatisation des thories, sui-vant ainsi linfluence bourbachique dominan-te et fructueuse dans les plus hautes sphresmathmatiques : la gomtrie et lintuitiondlaisses au profit de lalgbre formelle la pluspure, la thorie des ensembles mise aux fon-dements en lieu et place de larithmtique 1.

    linverse, les dernires rformes des pro-grammes de mathmatiques prennent srement

    tion. Cest ce cheminement quil nous semble important de faire suivre aux lves quel que soitleur niveau, car lui seul permet de comprendre non seulement la porte de lalgbre, mais aussi etsurtout sa raison dtre. Plus quune simple branche des mathmatiques, lalgbre apparat alorscomme une mthode de modlisation des problmes qui na cess de gagner du terrain traversles sicles, pour aujourdhui dominer trs largement non seulement les mathmatiques, mais tou-jours plus les autres sciences. Cest la raison pour laquelle lon ne peut ni ne doit lisoler commeune discipline part, au risque de la dnaturer profondment et de la condamner lincomprhension.Ce sont cette dmarche et ce point de vue qui nous semblent les mieux adapts pour faire de lensei-gnement de lalgbre non seulement un enseignement plus efficace dans le seul cadre des math-matiques, mais galement pour dvelopper linitiative et lautonomie des lves, leur culturescientifique et leur esprit critique, et cest en ce sens que nous abondons en formulant quelquesides pour renforcer et amliorer lenseignement de lalgbre et son impact pour chacun.

    1 Pour plus dinformations sur le contenu de ce nouvel ensei-gnement des mathmatiques qui merge dans les annes1960, plus ou moins artificiellement impos par la com-mission Lichnerowicz, le lecteur peut consulter le petit manueldintroduction de Warusfel, qui dveloppe parfaitement lespritde ce nouveau programme denseignement.

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    le contre-pied de cette tendance, et mnent unedisparition progressive de lalgbre de lensei-gnement gnral, mme dans les filires scien-tifiques. tel point que les fondements lesplus lmentaires de lalgbre ne senseignentdsormais que pendant les premires annes duni-versit, hormis quelques vestiges qui demeu-rent tant bien que mal dans un cadre qui ne per-met plus de les traiter correctement, et quirestent donc incompris. Ainsi, en lespace dequelques dcennies, lalgbre semble avoirperdu tout attrait, sinon tout crdit, au point quecertains responsables politiques voquent lapossibilit de saffranchir de ces mathma-tiques bien inutiles dans les filires qui ne syspcialisent pas. Lenchantement des rvolutionsmathmatiques du dbut du XXe sicle etlimmense rayonnement intellectuel de Bour-baki laissent alors place, au sein dune gnrationqui a dsormais t duque au sein de cette colemoderne des mathmatiques, des mauvaissouvenirs qui tournent au dgot plutt qulimpression dune russite, ou mme duneculture acquise. Il suffit pour sen rendre comp-te dinterroger son entourage sur ses souve-nirs des bancs de lcole : souvenirs angoisssdavoir dsespr des heures durant planchersur des problmes tant insolubles quimpn-trables pour certains, visions de simples dliresde mathmaticiens dconnects de toute rali-t et de tout intrt pour dautres, luxe delenseignement peu justifi et peu justifiable pourchacun, si ce nest comme outil suprme de slec-tion des lites.

    Ces symptmes flagrants trahissent unmanque de conscience gnral de limportan-ce de lalgbre. Si elle est aujourdhui si mal-mene, cest quelle est pour lessentiel incom-prise et peut-tre jusque par ceux qui dcidentdes programmes. Et cela touche galement cer-tains professeurs qui, non contents de navoirjamais vu en lalgbre autre chose quun outil,certes puissant, soit la biaisent et sen dtour-

    nent autant que possible pour viter de faire endu-rer leurs anciens calvaires aux lves, soit la pr-sentent comme un simple outil dont lautoritnest pas remettre en cause et dont les rsul-tats sont la seule justification. Et que leur repro-cher sur ce point, alors que les programmes nesont constitus que de chapitres qui se succ-dent sans gure de cohrence, dont les seulesconnaissances exigibles sont des formules alg-briques bien identifies, o le seul fruit estlappropriation irrflchie de mthodes ? ouplutt dastuces, car quest-ce quune mtho-de sans comprhension ? Et comment esprerquil en soit autrement, alors que lutilit etlapplicabilit de ces enseignements est mise encause en tout lieu, des hommes politiques auxparents mme ?

    1.3 La ncessit de changer de cap et de renforcer la prsence de lalgbre

    Lalgbre est pourtant non seulement uneimmense volution des mathmatiques quicontinue sans cesse depuis les premires tracesde la notion de nombre abstrait et son utilisa-tion dans chaque civilisation antique, mais cestgalement un mode de pense complet et rigou-reux, dont la puissance se prte tant aux math-matiques quaux autres sciences, plus gnra-lement toute rflexion. La tristesse de voir cettemagnifique cole de lesprit seffondrer dans desprogrammes de plus en plus incohrents nepeut que frapper tous ceux qui ont compris laporte du raisonnement algbrique. Cet ensei-gnement actuel, trange reste dun tout algbriqueauquel on retire tout ce quil avait dalgbrique,sil va dans le sens dune incomprhensiongnrale de lalgbre, demeure pourtant celuiqui est enseign dans les coles et les lycesaujourdhui, et est celui qui teintera les gn-rations de demain dun dgot vident pourlalgbre et, par extension, pour les mathma-tiques, peut-tre mme pour les sciences engnral. Or lenseignement a pour objectif de

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    librer llve, en ce quil lui donne les connais-sances ncessaires tant la comprhension dumonde dans lequel il vit qu la critique nces-saire un esprit libre ; et nous dfendons queles sciences, et tout particulirement les math-matiques, sont lun des meilleurs moyens pourparvenir ces objectifs, ainsi quil apparatratout au long de ces rflexions sur lalgbre.Cest la raison pour laquelle une rhabilitationde lalgbre dans lenseignement ne saurait sefaire attendre alors quelle se trouve au bord dela disparition.

    Alors que lenseignement semble aller contre-courant de la science, celle-ci est enplein essor. Les anciennes barrires de prju-gs prscientifiques tombent et, la physiquecomme la biologie, linformatique commelconomie, toutes les disciplines se fondent tou-jours plus sur les mathmatiques et sur la for-malisation par essence algbrique, nous le ver-rons des thories et des modles2. La diversitdes domaines scientifiques et les incessantes vo-lutions du monde moderne sont dailleurs le faitdune explosion du nombre de places dans lesuniversits, de la diversit des formations tou-jours plus spcifiques, ainsi que du perptuelchange existant entre les savants et tous les acteursdu monde. Or, cest lalgbre qui apporte uneformalisation permettant la communicationinterne au monde scientifique ; cest lalgbrequi fournit des outils puissants et gnraux demodlisation et de rsolution des problmes ;cest lalgbre qui permet une mthode de tra-vail, de rflexion, de recherche ; cest lalgbrequi est la cl de vote invisible qui permet cet

    immense difice, toujours grandissant, de res-ter cohrent et structur. Alors comment peut-on envisager un avenir o de plus en pluslalgbre se perd, jusque dans ses parties les pluslmentaires, jusque dans les enseignements lesplus fondamentaux ? La situation est des plusproccupantes, pourtant elle ne semble pasinquiter au-del des sphres de lenseigne-ment et de la recherche. Or, ne sommes-nouspas tmoins dune pnurie croissante de pro-fesseurs de mathmatiques, ainsi que dundsintrt, sinon dun dsamour, croissant pourla science ? Faute de prise en considrationdes rflexions srieuses sur le sujet, labtar-dissement de lenseignement de lalgbre mnelentement une rgression de la qualit delenseignement des mathmatiques, donc unergression de sa comprhension et de sa consi-dration, et donc naturellement un recul desvocations professorales ainsi qu une incapa-cit des lves, de la nation de demain, com-prendre un monde profondment scientifique, raisonner droitement et consciemment surtout.

    1.4 Une dmarche historique et critique

    Avant de nous pencher sur laspect actuelde lenseignement de lalgbre, en thoriecomme en pratique, il nous parat ncessaire denous attarder sur la signification de lalgbre,qui semble incertaine jusquau sein mme dumonde scientifique, et sa porte. Pour cela nouscommenons par retracer quelques aspectsmajeurs et significatifs de son dveloppementau fil de lhistoire. Lalgbre nest pas rduite des rgles et des symboles, ainsi quon laprsente lorsquune fameuse quation est miseen avant ds quil sagit de caricaturer un savant toujours fou et vivant en ermite. Nous com-mencerons demble par souligner et expli-quer pourquoi lalgbre nest pas une discipli-ne part entire. Elle ne peut se concevoir, etdonc se comprendre, de manire dconnectedu monde mathmatique et scientifique dans lequel

    2 Nous ne disons aucunement que cette progression versune mathmatisation systmatique du monde est une bonnechose, ni quelle est justifie. Toutefois tel est ltat de nom-breuses sciences aujourdhui, et en cela la comprhensionde cette dmarche est importante dans lducation de cha-cun. Cependant, limportance de lalgbre comme mod-le de la dmarche du raisonnement critique est plus fon-damentale encore que cet aspect culturel.

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    elle vit et quelle claire autant quelle est clai-re par lui. Et notamment les structures alg-briques, qui sont au cur de lalgbre maisauxquelles on la rduit trop souvent, ne peuventtre tudies pour elles-mmes tant que leursraisons dtre nont pas t comprises et nontpas lgitim ces tudes.

    lide dune algbre aride et irrelle,nous rpondons quelle est, au contraire, lalibert conquise sur laridit et lirrel dessciences qui la prcdrent, et aucun exemplene saura plus tayer et dvelopper cette ide quesa propre histoire, do nous essayons de fairerejaillir lessentiel de la valeur rationnelle et pis-tmique de lalgbre. Ce constat historique nemanque pas de susciter une rflexion pist-mologique sur la valeur de lalgbre en tant queforme de la pense, et nous mettons alors en vi-dence sa place centrale au sein de lducationainsi que ses immenses apports dans la forma-tion dun esprit vritablement scientifique, dunesprit critique et conscient des objets et outilsquil manipule, dun esprit libre.

    II. lments dhistoire de lalgbre

    2.1 Une premire dfinition

    Avant toute discussion il convient de poserplus prcisment ce que nous entendons paralgbre. Plus quune branche des mathma-tiques spcialise, telles le calcul variationnelet lanalyse relle, lalgbre est ici prise dansla large acception de mouvement de lesprit dansle sens de labstraction rationnelle dune situa-tion dans un systme formel. Autrement ditlalgbre est la dmarche adopte lors de ltudede situations dont on relgue la smantique ausecond plan, pour ne plus laisser place qu unestructure abstraite munie dun ensemble dergles formelles applicables, de sorte que larflexion puisse alors ne sappuyer que sur ces

    rgles indpendamment de la situation particulirelayant motive. Elle est donc une dmarche ration-nelle de gnralisation formelle, dmarche bienplus fondamentale que les seules structuresformelles qui en rsultent et que les seuls rsul-tats qui en naissent, qui ne sont que des fruitsde cette dmarche, des fruits de lalgbre.

    Voil donc une dfinition, certes large, delalgbre. Le bien fond et la cohrence decette dfinition apparatront tout au long dudveloppement, et plus encore dans un regardrflexif sur sa pratique mathmatique ou scien-tifique, plus gnralement intellectuelle, et nousy reviendrons, mieux avertis au terme desquelques constats historiques que nous dressons.Mais cest notre sens lme des mathmatiques,lessence des rflexions fructueuses qui, tout aulong de ses dveloppements au cours des sicles,na cess de crotre et de gagner en importan-ce et en clart, en devenant toujours plus for-melle, toujours plus systmatique, toujours plusconsciente delle-mme. Cest donc traversquelques arrts 3 sur cette histoire marchantinlassablement dans le sens de lalgbre que nousillustrerons et lgitimerons dans un premiertemps cette vaste conception qui en fait un l-ment si central dans les mathmatiques de toustemps. Il nest pas question de dceler lesmoindres volutions de laspect algbrique desmathmatiques et si, pour cause de compltu-de du rcit, les grandes tapes de lhistoire sontmentionnes et leurs rles dans le dveloppe-ment de lalgbre brivement comments, nous

    3 Arrts malheureusement trop brefs pour limportanceque ces ides ont pour les mathmatiques. Nous espronsciter une bibliographie suffisamment complte pour que chaquethme abord, ainsi que dautres priodes et lieux centrauxdans le dveloppement de lalgbre qui sont seulementeffleurs ici, puissent trouver une fontaine laquelle les curieuxpourront tancher leur soif. Nous avons galement tch dela garder suffisamment succincte pour encourager le lecteur se pencher plus avant sur cette histoire des mathmatiquesqui est une honorable part de lhistoire de lesprit humain.

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    nous attachons mettre en vidence la dmarcheet la nature algbriques de trois priodes qui noussemblent particulirement significatives : lappa-rition de lide de nombre dans les civilisa-tions archaques ; la codification de la forme etla mise en vidence des raisonnements gn-raux avec les mathmatiques grecques ; etlentre dans le monde formel avec les math-matiques arabes 4.

    2.2 Lmergence de la notion de nombre

    Une premire dmarche dabstraction peuttre vue dans lapparition du nombre en tantquentit mathmatique idale et non plus entant que nombre de quelque chose, autrementdit dans le passage du nombre attach sonobjet au cardinal abstrait. Ds le VIIIe mill-naire avant notre re, certaines civilisations mso-potamiennes utilisent des jetons pour le com-merce, mais si ces jetons sont une reprsentationdes objets quils dnombrent, ils leurs restentattachs : dans une situation donne, ils ne sontque la simple transposition dun seul objetparticulier. Ce nest quavec lmergence delcriture, au IVe millnaire au sud de lactuelIrak, et avec les besoins de la comptabilit, pourle commerce comme pour lorganisation socia-le, que commence le passage progressif des jetonsaux marques abstraites reprsentant les quan-tits. Cette volution se fait petit petit, maisreste encore en premier lieu un moyen decomparaison, un moyen terme ncessaire tout quilibrage dchange de marchandises oude contrle de la taille dun troupeau, dun char-

    gement 5. Ce nest quune fois un tel systmecomptable formel tabli que le nombre abstraitapparat comme un symbole dnu de sens, ence quil nest attach aucune ralisation,mais dot de proprits, savoir les propri-ts communes tous les reprsents. Le sys-tme de numration se dveloppe alors, notam-ment sous lempire dHammourabi. Cest cequi rend possible lapparition des premiersproblmes imaginaires, bien quils fassentintervenir des oprations et des figures enco-re floues et trs lies la pratique et lexp-rience sensible.

    Lessentiel premier pas vers lalgbre est fran-chi, le nombre ayant acquis une existence en tantque tel, reprsent par des symboles qui lui sontpropres, pratiqu systmatiquement quel quesoit lobjet auquel il se rapporte. Malgr lesapparences et surtout malgr lhabitude de cha-cun considrer les nombres abstraits, cettepremire algbrisation du monde na rien de natu-rel et est dj laboutissement dun lent proc-d de maturation de lide de nombre traversson usage, essentiellement commercial, dansles civilisations archaques. En effet cest bienun mouvement contre nature que de subsumerla quantit de deux hommes, de deux chevauxet de deux dalles de marbre sous un mmeconcept abstrait de 2 . Des entits si diff-rentes et absolument incomparables a priori seretrouvent dnues de toute leur identit pourne laisser place qu un concept abstrait, uncardinal qui na plus rien de commun avec lori-gine de son ide, sinon ses proprits opratoires.

    4 Lorsque nous ne citons pas de source particulire, noussuggrons pour les dtails historiques et une bibliogra-phie plus spcialise louvrage collectif trs complet diri-g par Bartocci et Odifreddi. Lvolution travers lhis-toire de la conception mathmatique et de la significationdes mthodes, que nous essayons de faire ressortir ici, estagrablement prsente dans le petite livre de Gilles Dowek.5 On peut notamment se rapporter, pour plus de dtails concer-

    nant ces questions, aux nombreuses tudes anthropolo-giques consacres lmergence de la forme du nombre,notamment les travaux de Levy-Bruhl. Pour une histoirecomplte, richement documente et illustre dexemples,qui souligne la perce lente et hsitante du nombre des pre-mires pratiques comptables jusquaux diffrents systmesde numration, on renvoie lHistoire universelle deschiffres de Georges Ifrah.

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    Voil la dmarche que lon constate toutau long de lhistoire des mathmatiques et quiapparat toujours plus clairement dans lesexemples que nous prsentons par la suite :lide en tant quide abstraite identifie suc-cde aux particularits layant motive, sinonncessite 6. Ainsi, il ny a pas dexpressionabstraite qui nait commenc par tre unednomination concrte selon la trs juste phra-se de Lon Brunschvicg dans ses tapes dela philosophie mathmatique. Cette lente per-ce de lide de nombre, ce que nous pouvonsoser voir comme la premire manifestation delalgbre dans lhistoire, est le fruit dunelente volution de ces balbutiements l-mentaires et utilitaristes jusqu larithm-tique gnrale des Grecs. Nous ne nous attar-dons pas plus sur ce fascinant sujet de lagense de lide de nombre, dj clairementexpos par exemple dans le premier livre delouvrage prcdemment cit de Lon Brun-schvicg ou dans lhistoire de Ifrah, mais noussouhaitons soulever ds ce stade lmentai-re cette dmarche algbrique, constante maisbien peu naturelle, dassimilation dune cer-taine structure gnrale comme abstraction desituations particulires du monde ou de lesprit.Cest en cette dmarche que rside le subli-me de lvolution des mathmatiques, dessciences et de la pense scientifique, plusquen son seul rsultat, allant dans le sens denotre dfinition de lalgbre.

    2.3 De nombreuses mathmatiques archaques

    partir de lmergence de lcriture, lesbalbutiements du nombre et les premiers pro-

    blmes ou rflexions mathmatiques se gn-ralisent dans toutes les grandes civilisations.Ainsi les mathmatiques babyloniennes etmsopotamiennes sont marques par un int-rt tout particulier pour les rsolutions dqua-tions et les approximations numriques. Cestune premire apparition des manipulations dunombre dconnect de ses manifestations pra-tiques, dans des problmes de lesprit, fussent-ils architecturaux, plutt quune simple utili-sation immdiate du nombre et de son abstractionpour le commerce. Cela souligne dj unedimension nouvelle offerte par labstraction dunombre, qui va de pair avec le dveloppe-ment de lart conscient, construit, recherchcomme tel.

    Les nombres, qui ntaient jusque l quedes intermdiaires motivs de manire a pos-teriori par une situation, apparaissent pour lapremire fois dans leur potentiel a priori, pou-vant susciter et rsoudre des problmes qui nesont pas des situations effectives immdiates,mais des problmes dont on prvoit lexis-tence. Ce nouveau champ des possibles est laporte ouverte lassimilation progressive dunombre comme ide entirement abstraite etautonome. Mais ces travaux et les calculsretrouvs ne mettent pas en avant un quel-conque raisonnement formalis et gnral per-mettant daboutir aux rsultats. Bien que lesmthodes exposes soient clairement desmthodes applicables tous les nombres, et sem-blent bien prsentes comme des mthodes par-ticularises mais implicitement gnrales, leurgnralit ntait pas plus exploite que danslintuition quelle pouvait donner. Quun rai-sonnement gnral fondant ces mthodes pr-

    6 Et cela, sans que lon nait savancer sur le problmede savoir si cette ide est cre proprement cette occa-sion comme intermdiaire de lesprit, ou si elle se mani-feste ; dbat non moins intressant, pour lequel on pourrapar exemple consulter les tudes de Louis Couturat, qui dfendun concept abstrait (la notion dinfini) comme forme de la

    raison, contre Kant qui le dfend comme accessible lintuition et dont les arguments sont soigneusement exa-mins. Mais les positions sont nombreuses et lon ne pour-rait manquer de citer le ralisme platonicien ce propos,qui se distingue nettement des deux positions prcdentes.Le problme est bien videmment le mme concernant toutestructure algbrique, concernant tout modle.

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    sentes dans des cas particuliers ait exist etnait pas t entirement rvl 7, ou quil aitt moins conscient, labsence de toute justi-fication ainsi que de volont de le transmettredans sa gnralit fait des mathmatiquesdalors une science encore essentiellementempirique, ou au mieux exprimentale. Eneffet, si la manipulation du nombre marque unevolution par rapport aux prcdentes civili-sations archaques, aucun accent nest port surla formalisation du nombre, ni surtout sur laformalisation du raisonnement.

    La civilisation gyptienne dveloppe paral-llement un systme numrique plus maniable,et il sy trouve des manipulations frquentesde fractions, mme si les notations comme lesraisonnements restent fastidieux. Les nota-tions des nombres deviennent ainsi suffisam-ment intgres et naturelles pour permettre lareprsentation des rapports de nombres et unemthode effective de calcul entre ces rapports.De nombreux papyrus retrouvs contiennent desproblmes arithmtiques et gomtriques pra-tiques, notamment concernant les construc-tions de pyramides, en exploitant ces nou-velles ides qui sont dj suffisamment matrisespour servir doutils. Si les nombres sont enco-re un simple outil, ils paraissent dj fournirdes mthodes systmatiques rsolvant des pro-blmes rels, et non des moindres, comptetenu de limportance divine des pyramides : ilny a donc plus dhsitation quant au statut gn-ral du nombre et son utilisation systma-tique. La Chine antique est aussi le berceau dunevaste tradition mathmatique, stendant entrele IIe millnaire avant notre re et le IIe mil-lnaire, qui se transmet notamment travers lesNeuf chapitres sur lart mathmatique, ouvra-

    ge qui compile de nombreux problmes rso-lus de manire dtaille et didactique. Si plu-sieurs papyrus gyptiens tmoignent de lavolont de sauvegarder cette technique nouvelle,les Neuf chapitres vont plus loin en cherchant compiler les savoirs acquis en tant que savoirs,laccent tant surtout mis sur la transmissionintelligible et didactique des mathmatiques,dont le caractre peu naturel semble donc djconscient. LInde et les Incas mritent gale-ment leur place dans cet aperu de la math-matisation des problmes. Peu de choses sontaujourdhui connues des mathmatiques indiennesavant notre re, bien que nous soyons assursdune pratique de la manipulation des nombres; et les Incas semblent avoir mis au point desmathmatiques assez fines pour leur cosmologie,notamment en matire arithmtique. Danstoutes ces civilisations se dveloppent donc lesnombres et leur pratique, jusque dans larchi-tecture, les arts, lducation. Loutil abstrait leplus lmentaire semble ds lors assimil dansson universalit, ouvrant la voie de plusvastes dveloppements.

    2.4 La mthode mathmatique grecque

    En cela, les mathmatiques qui mergenten Asie mineure avec Thals et qui closent dansla Grce classique sont une nouvelle rvolu-tion pistmique que lon peut estimer tre lapremire priode au cours de laquelle lesmathmatiques commencent avoir conscien-ce delles-mmes et de leur porte universel-le, en sparant dfinitivement lobjet concretde son ide abstraite. Non seulement les math-matiques sont considres comme modlergissant le monde 8, mais surtout les acteursdalors manifestent une forte volont dnon-

    7 Ainsi il ne serait pas absurde de penser que les auteursde ces problmes rsolus naient prsent que des illustrations,pour conserver le primat de la mthode gnrale dans toutesa richesse. Nous savons bien la volont de certaines colesgrecques de cacher la gnralit, de la rserver aux seuls

    initis et de ne pas perdre leur suprmatie, ainsi chez lespythagoriciens.8 Par exemple la socit et son organisation sont pour Pla-ton rapprocher de nombreux modles mathmatiques de sec-tions gomtriques, ainsi que le dveloppe Jules Vuillemin.

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    cer ce que pour la premire fois on appelle tho-rme 9, autrement dit des vrits gnrales.Ces thormes peuvent certes sillustrer par descas particuliers, mais se prouvent par des rai-sonnements gnraux sur des objets gnraux,a priori et non particulariss, marquant l unealgbrisation allant jusquau raisonnement,dont la logique est mise en avant ainsi quelexploite largement Aristote avec les syllogismes.Cette mergence des mathmatiques nouvelles,si lie au dveloppement dun mode de pen-se philosophique galement plus abstrait et gn-ral, est caractrise par le rgne du raisonne-ment et de la justification rationnelle. Un degrsuprieur dans cette abstraction est atteintlorsque les lments dEuclide compilent lestravaux antrieurs en un trait qui est toujoursle modle quant sa structure logique destraits actuels, un trait qui pose clairement lesaxiomes admis initialement 10, puis qui fontdcouler de ces axiomes tous les autres rsul-tats partir de raisonnements fonds sur desrgles de dduction logique strictes et des dfi-nitions explicites de nouveaux objets, dont lajustification relve galement dune rflexionmtamathmatique. Cest de cette poque quedatent la premire mise en forme unifie de rsul-tats aussi gnraux quutiles dans la pratique,que sont par exemple les thormes de Thalsou de Pythagore, ou encore les proprits l-mentaires des triangles.

    Cet ge dor grec si souvent lou, et quipour certains condense dj tous les dvelop-pements ultrieurs de lalgbre 11, souffre pour-tant dun handicap immense compar lalgbredaujourdhui, et mme du XVIe sicle :comme chacun sen convainc en lisant la

    moindre proprit des lments, labsence denotations systmatiques et de vocabulaire pr-cis pour dsigner les proprits et les situationsfont que la moindre rflexion devient un lourdexercice de style, et leffort reste plus port surla comprhension de la reprsentation desobjets que sur la rflexion sur leurs propri-ts. Il importe de bien comprendre le manqueimmense de formalisation des mathmatiquesgrecques : les lettres sont au mieux des tiquettes,et aucunement des symboles pour reprsenterdes objets, moins encore des symboles surlesquels ont peut oprer, en tmoignent les nom-breuses lettres diffrentes qui dsignent uncentre de cercle ou un isobarycentre de triangledans les lments.

    La formulation est grandement handica-pe par cet encombrement des descriptionsqui surviennent lorsquil faut dsigner unefigure ou un point particuliers dans une construc-tion. Si les mathmatiques grecques sont ungrand pas dans lalgbrisation des mathma-tiques, le gouffre les sparant de la priode car-tsienne et moderne est encore immense. Ainsiaujourdhui, chacun reconnatra dans un contex-te assez gnral en n un entier, en x une variablenumrique, en f une fonction, en K un corps,etc. Cependant nulle uniformisation systma-tique de la sorte nexiste encore dans la pra-tique mathmatique de lAntiquit, et lexpres-sion algbrique claire et maniable daujourdhuiest bien loin des formulations dalors. Or, larflexion ne peut tre que lourdement handi-cape par une telle lourdeur descriptive, ainsique le serait le plus riche des rveurs et le plusinventif des potes sil peinait trouver les motspour sexprimer. Chacun saura en juger sur

    9 tymologiquement il sagit dune contemplation,preuve supplmentaire de la volont de croire en la ra-lit reprsente par ces mathmatiques, qui apparais-sent comme une algbrisation en notre sens dumonde.10 Et dont la justification relve alors du domaine de

    la philosophie, par exemple fonds sur la raison, surlintuition, ou encore sur la nature.11 Ainsi des historiens renomms tels Heath, Tanne-ry et van den Waerden, parmi tant dautres, y voientdj en germe lessentiel de lalgbre moderne, notam-ment les premiers pas de la gomtrie algbrique.

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    lexemple de la proposition IV du livre II deslments, que lon traduirait aujourdhui parlidentit remarquable

    (a,b) R2 , (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

    et qui pour Euclide se formule ainsi :

    Si une ligne droite est couppe comme on vou-dra ; le quarr de la toute est gal aux deuxquarrez des parties, et deux fois le rectangledicelles parties. (trad. D. Henrion, 1632)

    en notant quil sagit l fort probablement duneversion dj remanie. Si cette formulationpeut encore se comprendre dun seul souffle,ses limites apparaissent rapidement pour des pro-prits peines plus complexes, telle la proposi-tion XII du livre II, aujourdhui connue sous lenom de thorme dAl-Kashi :

    (A,B,C) (R2)3,

    BC2 = AB2 +AC2 2AC.AB cos

    qui se trouve exprime sous la forme :

    Aux triangles ambligones, le quarr ducost qui soustienne langle obtus, est plusgrand que les quarrez des deux autres cos-tez, de la quantit de deux fois le rectangle,compris dun des costez contenant langle obtus,et celuy sur lequel estant prolong tombe laperpendiculaire et de la ligne prise dehors entrela perpendiculaire et langle obtus. (trad.D. Henrion, 1632)

    et les preuves requirent encore davantagedefforts de style et de force de conviction pourle mathmaticien, de capacit de concentra-tion pour le lecteur. En cela, les traductions etcopies des travaux grecs au cours des sicles quisuivirent ont contribu un formatage volu-tif des textes pour en simplifier la consultationen uniformisant le langage, et cette initiative troplongtemps ignore a dj t un immense pas

    vers lalgbrisation des mathmatiques, un lan-gage purement formel commenant se voir attri-buer une valeur smantique et la forme tant recon-nue comme lun des aspects primordiaux destextes scientifiques 12. Cest une surinterprta-tion constante des crits grecs qui a men cesconsidrations dangereuses et anachroniques quiont pu masquer les barrires dues labsencede forme algbrique dans les mathmatiques delpoque 13, handicap bien rel pourtant.

    2.5 Lclosion de lalgbreau sein du monde arabe

    Ce nest que trs lentement que la prise deconscience de la similarit des objets et des situa-tions pouvait gagner tre reprsente demanire unifie, et ce sont les travaux de plu-sieurs sicles de mathmaticiens, de physicienset de philosophes qui permettront la ralisationde cette mutation. Cest dans les coles et lescours arabes, Damas notamment, que nat uncalcul littral conscient et exploit. Si les math-matiques arabes hritent sans aucun doute desides et des problmes grecs, elles nen sont pasmoins extrmement novatrices et sont la sour-ce dune profusion de concepts et de mthodes

    12 Sur le sujet de limpact des copistes et des bibliothcairesde lAntiquit et du Moyen-ge, on invite consulter lestravaux de Reviel Netz et sa notion de texte deutronomique.13 Concernant ces surinterprtations dviant le contenumathmatique rel en prenant le risque dinterpoler jusqude la gomtrie algbrique dans des textes dEuclide, la cri-tique dUnguru est dune juste svrit, et met notammentle doigt sur ltrange tendance quont les mathmaticiens se faire passer pour historiens de leur domaine, oprantde fait un illgitime transfert dautorit qui aboutit biendes absurdits dues un aspect historique trait avec bientrop de libert, dformant les penses dhier pour les remettreaux normes daujourdhui. Nous esprons attirer lattention, dfaut de pouvoir le dvelopper plus avant et de prsen-ter des exemples ainsi que nous le faisons avec les lments,sur la longue et continue volution de cet aspect des math-matiques entre les premires traces dabstraction jusqu nosjours, et surtout jusqu la priode cartsienne.

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    sur lesquelles se fondent les mathmatiquesdes sicles futurs, notamment consacres par larvolution cartsienne. Lhistorien RoshdiRashed dgage, au cours de son parcours du pay-sage mathmatique arabe, le cur de la rvo-lution classique souvent attribue exclusive-ment Vite et Descartes, et tout ce que leclassicisme occidental doit cette fcondepriode orientale. Le dveloppement du mondearabe permet une volution particulire desmathmatiques, lextrme oppos de cequelles taient dans la tradition grecque. La scien-ce mathmatique est considre dans son aspectpurement formel, comme un ensemble de rglessyntaxiques sans smantique particulire. Ilny a pas de distinction profonde identifie etexhibe entre science et art et, si la sciencerationalise les pratiques, lart peut galementrsoudre des problmes. Ce mariage et cette visiondes mathmatiques sont rendus ncessairesentre autres par la volont dtablir clairementles lois coraniques, et de se mettre labri duflou qui englobe les textes sacrs et qui dlais-se la loi pour laisser place aux interprtations.Cest bien la preuve de lacceptation de ladconnexion entre la formalisation et limm-diat sensible, qui donne accs un calcul alg-brique naissant, aspect non moins important delalgbre que nous connaissons, aspect enti-rement tranger aux mathmatiques grecques.

    La premire apparition du terme d algbre remonte Al-Khwarizmi, dans un ouvrage quiest mathmatiquement trs simple et que lonpourrait considrer comme une simple rcri-ture dides et de mthodes dj connues desGrecs, mais qui cache une profonde rvolu-tion conceptuelle, celle-l mme que lon nhsi-te pas aujourdhui attribuer Descartes : laformalisation algbrique. Cette simplicit est assu-me de la part dAl-Khwarizmi, limportanttant de pouvoir tout ramener aux rgles simplesqui y sont explicites. Bien des concepts qui fon-dent lalgbre moderne y sont prsents et exploi-

    ts tels quils le sont encore aujourdhui : op-rations lmentaires, quations, formes nor-males dquations, classification de problmespar leur degr et rsolutions algorithmiques. Siles preuves sont essentiellement gomtriques,comme dans la tradition hellne, lide nova-trice dAl-Khwarizmi est de ne pas sy limiter :l o les Grecs nutilisaient des symboles quecomme simples tiquettes pour dsigner des objets,il va jusqu affirmer que linconnue na pas denature et que les problmes ne dpendent pasde la gomtrie particulire dans laquelle on lesinsre : la smantique omniprsente chez lesanciens laisse place la pure syntaxe alg-brique. L o les Grecs avaient achev la prisede conscience de labstraction du nombre, lesArabes ont fait un pas de plus dans cette abs-traction en introduisant dans leurs problmes desinconnues opratoires, soumises aux mmesrgles que les nombres dtermins. Quelle lib-ration ! L o les Grecs perdaient toute possi-bilit denvisager des nombres ngatifs ou irra-tionnels, ne pouvant se les reprsenter commedes grandeurs gomtriques comparables, lesArabes calculent avec les mmes rgles sans sesoucier du statut du nombre. Limpact sur lescontemporains est immense, et la recherchealgbrique ainsi ne peut se poursuivre dans unessor croissant : lessence de lalgbre dont leprincipe a t soulev en introduction trouve icison origine, dans le retrait de limportancesmantique devant laspect syntaxique et danslaisance qui en dcoule effectuer des calculsdans un cas gnral.

    Le mathmaticien Thabit Ibn Qurra sattacheau parallle entre lalgbre et la gomtrie touten les distinguant clairement quant leur ra-lit, mais les confondant dans les manipulationsmathmatiques que lon en peut faire. Cettepremire priode cratrice des mathmatiquesarabes est marque par larithmtisation destravaux grecs, essentiellement gomtriques. Ainsiles Arithmtiques de Diophante sont entirement

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    revisites dans le langage dAl-Khwarizmi,puis Al-Karaji cherche tendre larithm-tique usuelle sur les entiers des objets ressemblantbeaucoup ce que nous appellerions des poly-nmes formels. Son ouvrage est repris, maintesfois dvelopp, et les fonctions lmentaires bienconnues des modernes telles les puissances,les factorielles et les coefficients binomiaux apparaissent ainsi que lextension, pure-ment syntaxique, des rgles de calcul aux irra-tionnels, en lesquels les Grecs avaient trouvla limite de leur conception du nombre. Laquestion concernant les extractions de racinespolynomiales de petits degrs est pose parAl-Sulami et rsolue dans les cas lmentaires,ce qui nest pas sans rappeler le mme effort dela part de lcole italienne plusieurs siclesplus tard. Cest ainsi prs dun millnaire quiscoule, au cours duquel les mathmatiquesnavancent gure en occident, mais trouvent dansle monde arabe le berceau dun renouveau enprofondeur. Les travaux de Roshdi Rasheddcrivent avec prcision la lente maturationdes ides algbriques au cours de tout ce mil-lnaire mdival pendant lequel les mathma-ticiens arabes ont mis sur pied limmense di-fice algbrique, qui pntre nouveau en Europenotamment par lintermdiaire de Lonard dePise au XIIe sicle. Cest de cette algbre dontVite et Descartes ont t les hritiers, le cal-cul littral indiffremment appliqu larith-mtique ou la gomtrie achevant alors deprendre en essence sa forme moderne avecleurs travaux.

    2.6 La rvolution cartsienne

    Ces dveloppements de lalgbrisation desmathmatiques et du monde culminent aveclavnement de lalgbre en tant que calculfonctionnel, cest--dire purement syntaxiqueet opratoire, achevant ainsi le programmecommenc par les penseurs arabes. Si Vite, Har-riot et Oughtred dveloppent laspect opratoire

    de lalgbre, introduisant des notations ad-quates et entirement formelles, cest avec lagomtrie de Descartes que le support visuel etintuitif est entirement mis de ct une fois leproblme formalis, une fois les figures go-mtriques lues en termes de coordonnes dansun repre. Ces coordonnes ne sont alors plusde simples tiquettes attaches aux pointsquelles reprsentent, mais sont les nouveauxtermes du problme algbris. Les rsultatssont alors naturellement interprts en termesgomtriques initiaux, mais la rsolution effec-tive du problme se fait dsormais dans ununivers entirement dconnect, dans un for-malisme algbrique abstrait et calculatoire. Cesont les dbuts de la gomtrie analytique, tou-tefois encore handicape par des notationslourdes et une utilisation incertaine des rai-sonnements algbriques, mais dont la puissan-ce ne fait dj plus de doute, ainsi quon le voitlors de la rsolution par Descartes, en quelqueslignes, de certains problmes du sixime degr laide de coefficients indtermins.

    Lalgbre subit ainsi une immense volu-tion de son statut pistmologique, et devientpour la premire fois un moyen de preuve enti-rement autonome, dpassant le simple supportde raisonnement qui trouvait sa justificationet ses arguments ailleurs, typiquement dans lagomtrie, ainsi quelle ltait jusqualors. Cestlachvement dune prise dindpendance delalgbre, des mathmatiques, de la pensemme, par rapport au monde immdiat et auxproblmes sensibles : la puissance avre du rai-sonnement algbrique mne une formalisationtotale de nombreux problmes classiques, ainsique le fait Fermat en arithmtique, et un int-rt port dsormais essentiellement sur cesnouveaux problmes formels. Sinstaure alorsla certitude de la fiabilit de la transcription alg-brique, qui apparat comme enfermant la dif-ficult des raisonnements et limprcision despreuves dans un simple formalisme calcula-

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    toire. Si cet espoir a ses limites, ainsi quon leconstate avec lincapacit encore actuelle formaliser entirement les problmes scienti-fiques, ne serait-ce que la physique, il est jus-tifi en ce quil porte ses fruits quand bienmme le problme ne serait que formalis loca-lement, dans ses parties les plus techniques, peut-tre les plus clairement conues de sorte cequune bonne formalisation14 puisse soulagerle raisonnement, le tenir la rigueur, lclairerparfois. Et cest bien lespoir avou de Descartesqui publie sa Gomtrie la suite du Discoursde la mthode, comme si elle tait le passageet loutil ncessaires lachvement de sa phi-losophie de la pense, espoir qui rayonnerajusquaux philosophes des Lumires. La mtho-de calculatoire se dveloppe alors, donnant lalgbre toute sa puissance et dlivrant le rai-sonnement des lourdeurs de notations du tempsde Descartes et de Vite, volution vers lesmthodes formelles que lon peut considrercomme acheve dans sa forme calculatoiremoderne avec les travaux de Gauss. Lalgbreachve ainsi sa constitution essentielle, tant enfinmunie de loutil calculatoire entirement ra-lis et autonome, tout en tant consciente de sonpotentiel et de son fonctionnement. La voieest ds lors ouverte lessor de lalgbre dansde multiples directions mathmatiques et scien-tifiques qui natront ou renatront travers leuralgbrisation.

    2.7 Un essor fulgurant du calcul diffrentiel

    Les traductions de problmes et de situa-tions classiques en termes purement alg-

    briques donnent son plein essor ce nouveaucalcul, laissant entrevoir dj les infinies pos-sibilits de lalgbre et son grand pouvoir uni-ficateur dont Leibniz a sans nul doute t lundes premiers adeptes, voyant l une portedentre vers son rve dune characteristica uni-versalis dans laquelle sexprimeraient toutes lesvrits scientifiques.

    Ds lors, lalgbre na cess de conqurirtous les domaines des sciences, allant mmejusqu dpasser trs largement les mathma-tiques, avec son utilisation fructueuse par Pas-cal et Newton au XVIIe sicle pour la modli-sation des phnomnes physiques. Cest lcoleanglaise qui devient alors le berceau du calculdiffrentiel, se dveloppant autour de Wallis etculminant avec Newton, qui rduit notammentltude des courbes vues comme courbes cin-matiques, traces dun mobile physique auxconnaissances de certaines quantits, en termesmodernes : des drives de la position. Cedveloppement de lalgbrisation lextrieurdes mathmatiques est porter au crdit de lagnralit de la mthode algbrique, qui permetnon seulement de rsoudre des problmes de laphysique, mais aussi et surtout de mettre au pointles propres outils qui serviront leur rsolution,ainsi les notations diffrentielles.

    2.8 Lalgbre, berceau de lanalyse

    Si lalgbre permet ds le XVIIIe sicle detraiter dinnombrables problmes danalyseformelle, le langage algbrique se prcise avecles analystes du XIXe sicle tels Cauchy puisDirichlet, qui tablissent un nouveau standardde rigueur qui se rapproche des pratiquesactuelles concernant la prcision des noncset des preuves. Les structures formelles com-mencent alors se dgager, ainsi les rflexionsne se font plus sur les objets mais de plus en plussur des structures plus gnrales qui regroupenttoutes les proprits dont il est besoin, et les

    14 Peut-tre est-ce l la grande difficult algbrique : si lesoutils sont puissants, encore faut-il une formalisation en ad-quation avec le problme, et soit des outils adquats laformalisation, soit une formalisation adquate aux outilsdisponibles. Cest ce qui motive, ds cette priode cart-sienne, une diversification des mthodes et des outils, etplus rcemment une prolifration des structures algbriqueset des tentatives dunifications entre forme, outil et objet.

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    exemples fourmillent. Les groupes apparaissentinconsciemment dans les travaux de Lagrange,pour tre trs largement explors par Galois avantune pleine formalisation gnrale par Cayley.Les problmes darithmtique gagnent beaucoup sexprimer grce la notion didal introduitepar Kummer. Lutilisation gomtrique desnombres complexes en arithmtique par Gaussest lvnement dclencheur de leur efficacitet de leur comprhension profonde, aboutissantnotamment au thorme de DAlembert-Gauss15.La gomtrie et la thorie des systmes linairesse dveloppent petit petit en la Thorie delextension de Grassmannn, entirement axio-matise par Peano peu aprs en lalgbre linai-re que nous connaissons. Lalgbre toucheainsi tous les domaines et toutes les coles entirent profit, aucune direction ne rsistant laformalisation et la mise en place de nou-veaux concepts et de nouvelles structures.Lalgbre pousse donc lexploration critiqueet raisonne des possibilits de formalisation,ouvrant la voie une diversification des conceptset des points de vue.

    2.9 Vers une unification des gomtries

    En 1872 survient ce que Dieudonn consi-dre comme lalgbrisation ultime de la go-mtrie, qui est lessence du programme dErlan-gen propos par Felix Klein. Il sagit dunevision unificatrice des diffrentes gomtries quimergent depuis le XVIIIe sicle, la gomtrientant plus rduite une axiomatique extrieuremais vue comme laction dun groupe sur unensemble donn. Cette algbrisation permet

    dclairer dun jour nouveau les rapports entregomtries, notamment la richesse de la go-mtrie projective, ainsi que douvrir la porte audveloppement de nouvelles gomtries, notam-ment diffrentielle. Inversement, si lalgbre forme la libert et la diversification, elle cherchenaturellement lunification, sa nature formellemettant au jour certaines similarits calculatoirespoussant la gnralisation. Cest la pratiqueintense, rflexive et critique qui permet unetelle unification, ainsi les gomtries dans le pro-gramme dErlangen.

    2.10 Lalgbrisation de la logique

    Si la logique est depuis Aristote profon-dment intgre lesprit scientifique, cest tou-tefois un immense renouveau quelle connatavec son algbrisation par Boole, qui en fait unvritable calcul algbrique. Puis sa formalisa-tion axiomatique totale par Frege puis Russell,bien quelle se solde par des checs dans sa viseuniverselle, ouvre la voie lide dune alg-brisation des mathmatiques un autre niveauque celui connu jusqualors, allant cette foisjusqu formaliser la pense mathmatiquemme, donnant ainsi naissance la logique for-melle. Toute la rvolution ensembliste etlogique qui sen suit, au confluent des XIXeet XXe sicles, marque profondment lesmathmatiques daujourdhui 16, et devient unthme central en informatique thorique depuisla mise en vidence de lquivalence entrepreuve mathmatique et programme informa-tique, que constitue la correspondance deCurry-Howard. Lalgbre sempare donc du mta-raisonnement, prouvant son potentiel rflexif,se prenant toujours plus comme propre objet.

    Le potentiel apparemment sans limite delalgbre continue ainsi tendre sa domina-tion pendant le XXe sicle, le groupe Bourba-ki tant lun des grands artisans dune algbri-sation ordonne des mathmatiques et de la

    15 Sur lvolution de la conception des nombres com-plexes et les mthodes pour arriver au thorme fondamentalde lalgbre, preuve majoritairement acheve par Laplace,on peut se rfrer Une histoire de limaginaire mathmatiquede Dhombres et Alvarez.16 Sur cet incroyable chapitre de lhistoire de la pense,on peut consulter la somme From Frege to Gdel : ASource Book in Mathematical Logic.

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    dfinition de nombre de structures et objetstrs gnraux ds quils pouvaient se rvler avoirdes proprits particulires, remplaant parexemple les notions les plus gomtriques delanalyse par la topologie. Paralllement, lathorie des catgories de Mac Lane et Eilenbergsous-tend de plus en plus les points de vuemodernes, notamment la trs gomtrique topo-logie algbrique, offrant une possibilit duni-fication nouvelle et surpassant la thorie desensembles bourbachique.

    Ainsi lalgbre spanouit petit petitdepuis laube des mathmatiques, pour ntrepeut-tre aujourdhui que lembryon de cequelle sera demain les dveloppementsmodernes de la formalisation des structures etle formalisme de la thorie des catgories tantles meilleures preuves du potentiel toujoursimmense que labstraction formelle, en dautrestermes lalgbre, conserve. Tous ces fruits et bien-faits de lalgbre, qui tendent dominer et uni-fier les mathmatiques et les sciences, sontdvelopps avec lgance et comptence par lesouvrages de vulgarisation gnrale de Dieudonn.Une fois lalgbrisation en marche, lhistoire nousfournit des myriades dexemples de sa puissanceet de la toute gnralit des ides pures parlalgbre. Insistons sur la dmarche constantede lalgbrisation qui est apparue travers cesquelques points historiques : partir de problmesmathmatiques spcifiques, voire mme desituations concrtes, lesprit sapproprie pro-gressivement le problme en lalgbrisant, parabstraction et formalisation croissantes. Cestcette algbre, une fois labore, qui permetdclairer le problme initial en mettant en vi-dence des proprits nouvelles ou en unifiantdes proprits a priori distinctes dobjets a prio-ri sans rapport. Mais le chemin ne sarrte pasl, et tant les problmes qui demeurent que lesrapprochements modernes de nombreusesbranches des mathmatiques mnent consta-ter que lalgbrisation ouvre toujours la voie

    des gnralisations plus vastes encore, o lesstructures algbriques deviennent elles-mmesobjets particuliers appelant une abstractionstructurelle de degr encore suprieur. Ce pano-rama, bien que trop succinct, donne cependantquelque matire pour rflchir la valeur pis-tmologique de lalgbre et dexaminer de plusprs ses caractristiques.

    III. Consquences et interprtations pistmologiques

    3.1 Lalgbre, entre calcul et critique

    Profitons de ces quelques clairages his-toriques pour illustrer et prciser ce que nousavons avanc concernant lalgbre au dbut dela partie prcdente. Notre dfinition soppo-se aux dfinitions usuelles de lalgbre, tra-duisant lopposition entre notre conception delalgbre comme dmarche critique et unifica-trice, et la conception commune de lalgbrecomme simple calcul formel, qui dcoule de lamauvaise ide vhicule par lenseignementde lalgbre. Cette opposition nest pas en soijustifie, car il ressort de ces dveloppementsplurimillnaires de lalgbre quelle nest pasplus une dmarche de raisonnement critiquequune bote outils calculatoires. Elle estincontestablement les deux, chacun de cesaspects tant ncessaire lautre et apportantde la valeur et de la puissance au raisonne-ment mathmatique. La formalisation et le cal-cul algbrique permettent une libert de mou-vement sans pareille dans le raisonnement, touten contribuant mettre labri des illusions etdu manque de rigueur. Paralllement, laspectcritique de lalgbre est la condition de possi-bilit et damlioration de ce calcul. Si nous insis-tons sur laspect critique au point dy semblerrduire lalgbre, cest bien parce que lalgbreest depuis trop longtemps dnature par unexcs de formalisme et rduite au calcul le plus

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    abscons dans la totalit des enseignements : voilqui ne peut que dtourner les lves des math-matiques et des sciences, mais aussi et surtoutles priver de laspect le plus formateur delalgbre. Cest lchange permanent entre larflexion critique et la puissance calculatoire quifait les fruits de lalgbre. Et pour ce faire,pour tirer lalgbre vers son ct critique de sortequelle puisse revenir son quilibre vertueuxentre critique et calcul, rien ne sera plus effi-cace que de dlaisser un calcul qui nest que tropmis en avant pour ne plus dfendre ici quelaspect critique, de sorte quil revienne la lumi-re du jour.

    Ainsi, lAcadmie franaise17 dfinit lalgbrecomme la branche des mathmatiques danslaquelle, les grandeurs et les nombres tantreprsents par des lettres, les problmes sontrsolus par des formules , mettant laccentsur laspect calculatoire de lalgbre et surlaspect encapsul et prt lemploi des rsul-tats, donns par des formules qui semblentimmuables, ainsi que le dclare Alain dans sesPropos lorsquil constate que lalgbre est djune sorte de machine raisonner ; vous tour-nez la manivelle, et vous obtenez sans fatigueun rsultat auquel la pense narriverait quavecdes peines infinies . Ces aspects formel etmcanique, dynamique et souple, sont bienvidemment une grande force de lalgbre,nous lavons dj soulign, mais lenseignementvisant lducation de la raison plus quauseul apprentissage de techniques et de rsultatsprts lemploi, il ne doit pas tre uniquementfond sur ces fruits de lalgbre, mais aussisur son aspect instructif pour le raisonnement,sur sa dmarche. Cest lenfermement delalgbre dans son aspect le plus calculatoire,aride et sans aucune raison dtre apparente, qui

    fait quelle demeure incomprise et signe dincom-prhension, parfois mme dincomprhensible,en tmoigne lacception au sens figur delalgbre comme chose laquelle on ne com-prend rien, selon lAcadmie.

    3.2 La spcificit algbrique :une dmarche plutt quune essence

    La pratique relle de lalgbre est aussi etsurtout, si tant est quon veuille la comprendreet sen servir pour rsoudre des problmes, lecheminement de la pense qui permet dabou-tir de tels rsultats. Ainsi nous prfronsamplement la dfinition de lalgbre proposepar le Trsor de la langue franaise, plus prochetant de la pratique mathmatique de lalgbreque des qualits requises pour un bon ensei-gnement, de branche des mathmatiquesayant pour objet de simplifier et de rsoudre aumoyen de formules des problmes o les gran-deurs sont reprsentes par des symboles, et dengnraliser les rsultats. L o lAcadmie pr-frerait insister sur les mots formules et sym-boles, nous soulignerions dans cette dfini-tion les mots simplifier et gnraliser.

    Ce choix de dfinition est fondamentalpour ce quil permet de mettre au jour concer-nant lalgbre. Il existe bien videmment unebranche algbrique des mathmatiques, ainsi quenous lentendons lorsque nous parlons de tho-rie des groupes ou dalgbre linaire, et noussommes bien capables de reconnatre un domai-ne algbrique et le distinguer dautres domaines.Mais il ne sagit plus l dune branche algbrique,dune algbre, mais de plusieurs, et lon nepeut se suffire de cela pour justifier une telle dno-mination commune, mme en relevant que leurintersection nest jamais vide. En effet, est-ceparce que les reprsentations permettent dtu-dier des groupes au travers des espaces vecto-riels, ou parce que les groupes sont intime-ment prsents dans leur forme la plus triviale

    17 Les rfrences concernant les dfinitions de lalgbreproviennent de la neuvime dition du dictionnaire delAcadmie franaise et du Trsor de la langue franaise.

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    au fondement de ces espaces, ou encore parceque des groupes linaires mergent naturelle-ment, que lon peut les associer comme iden-tiques ? assurment non, sinon la gomtriecartsienne mettrait un terme toute distinctionentre analyse et gomtrie, et ainsi raisonneril ny aurait plus de distinction faire quentrethories mathmatiques et thories extrieures,et cette distinction ne serait plus vraimenttenable non plus. Les domaines algbriquesont des particularits, qui sont le rsultat de ladmarche dabstraction algbrique, qui laisseplace des structures formelles que lon tu-die en soi : si chacune est diffrente des autres,elles ont toutes la mme gense et la mme moti-vation, sont toutes semblables dans leur formeen tant que donne dobjets munis de relations,autrement dit de structures algbriques, onttoutes la mme approche systmatique par-tir de mathmatiques plus particulires quellespermettent dlever de plus grandes gnra-lits et de dcouvrir plus en profondeur. Cesten cela quelles sont algbriques, non en ceque leur objet est par essence algbrique, maisen ce quelles sont le fruit de lalgbre. Voilla raison pour laquelle il serait plus raison-nable de dlaisser la question strile de savoirce qui est de lalgbre et ce qui nen est pas, cequi ne peut rien apporter de plus que lappau-vrissement d un cloisonnement hermtique,pour plutt sintresser la dmarche scienti-fique apporte par lalgbre.

    3.3 La dialectique de la science

    Lalgbre est donc plus un cheminement com-plet de la pense quun domaine dlimit pardes thmes. Le traitement algbrique dun sujetcommence par sa manipulation nave et la fami-liarisation avec le comportement de ses objets,qui laissent apparatre une discrimination entrece qui relve du comportement commun deces objets et de leurs relations, et ce qui nestque traces de la nature particulire de lobjet que

    lon a choisi pour la manipulation ainsi quil appa-rat ds lmergence de la notion de nombre. Decette familiarisation, il ressort que seules cer-taines proprits des objets rgissent leurs com-portements, du moins ceux auquel on portelintrt actuel, et de fait elles seules mritentdtre tudies dans loptique du traitement duproblme : voil lapparition de la notion si natu-relle, intuitive, et aussi si essentielle au rai-sonnement, dobjets isomorphes. Ainsi, dunregard historique sur lalgbre ressort la dialectiqueunificatrice et critique des mathmatiques, quiest jusqu la structure du progrs de la scien-ce selon Franois Russo : partir de dve-loppements spars de thories et de problmesparticuliers, le constat de la similarit entre lesobjets et les relations mne un rapprochementdes situations pour en dgager les structures dter-minantes dans la thorie. Cela aboutit une uni-fication mettant en vidence certains carac-tres algbriques essentiels, qui permet dexplorersous un jour nouveau ces thories et problmesparticuliers la lumire de nouvelles dfinitionset dun nouveau point de vue valorisant luti-lisation de ces caractres.

    Mais ces unifications nont rien de cris-tallisations, et forment bien au contraire des pointsde vue toujours en mouvement, qui voluent avecles problmes poss et les proprits que lonsouhaite faire intervenir ou ignorer. Une fois dga-gs ces caractres pertinents pour un problme,se met en place une structure formelle alg-brique dit-on qui consiste en des symboles,qui reprsentent les objets ; des rgles de syn-taxe, qui reprsentent les manipulations usuellesqui donnent les proprits et les comporte-ments des objets manipuls et qui sont donc lesmanipulations que lon sautorise faire avecces objets ; et des rgles de rcriture, quireprsentent les relations qui existent syst-matiquement entre les objets. Les proprits decertains lments distingus parmi les objets ini-tiaux sont formules sous forme daxiomes ou

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    de dfinitions. La structure algbrique mod-lisant lensemble initial est donc exactement unsystme logique, dont on espre que ltude seraplus aise que ltude des objets particuliers enprsence initialement : dfaut de pouvoirapprhender le rel dans toute sa complexit,on prfre raisonner sur des objets dont seulesles proprits intressantes sont considresplutt que sur des objets trop richement habillset dont on ne saisit plus lessentiel. On esprealors que cette tude plus gnrale permettra demettre au jour des rsultats nouveaux ou du moinsmettre au jour des manipulations qui ne seraientpas apparues naturellement en ayant conservles objets initiaux. Voil l une autre notion natu-relle : loubli de structure ou de proprits.Mais ce nest aucunement un oubli incons-cient, une dfaillance de la mmoire, mais bienau contraire un oubli conscient et clair, jus-tifi par la familiarit avec les objets et par ladmarche rationnelle de lalgbre. Il ne sagitpas doublier ou de trahir les objets initiaux, maisde changer dobjets pour mieux les voir : parexemple parce que les simplifications que nousavons toujours tendance faire avec les objetsparticuliers que lon manipule ne sont que for-tuites et consquences des choix faits lors de laslection des objets censs reprsenter la gn-ralit dune classe, choix toujours trop particuliersmalheureusement il suffit de mettre en vi-dence la difficult de constater la fausset decertaines proprits des triangles, car il est dif-ficile de dessiner spontanment un trianglesans proprit particulire.

    La ralisation dune telle entreprise de lapense permet non seulement dclairer le pro-blme initial en en rvlant des structures sous-jacentes, mais peut galement tre source de gn-ralisation dautres problmes vrifiant desproprits semblables. Notons que le choixdune structure de reprsentation est toujoursun appauvrissement de la situation initiale, etil ne faut pas perdre de vue que lobjectif,

    mme sil est atteint, peut souvent tre amliorde maintes manires, que ce soit en affaiblis-sant les hypothses de la structure, ce qui per-met dobtenir des rsultats parfois identiques dansdes cas plus gnraux et a priori inattendus ; ouque ce soit en spcialisant la structure, en ajou-tant des hypothses qui sont apparues commenaturellement intressantes lors du dveloppe-ment formel du modle ou qui taient des pro-prits dlaisses initialement lors de la mod-lisation des objets en structure algbrique. Cestla comparaison permanente entre le modle structure modlisant et le modle objetmodlis qui permet tant daccrotre laconnaissance des objets particuliers, en endcouvrant des proprits nouvelles, que daffi-ner la structure qui sert de modle, en rvaluantde manire dynamique ladquation entre les deux.Ainsi, cest dans une remise en question constan-te que la pense algbrique volue, jusquatteindre une structure adquate un problmeet des exigences donnes, mais sans jamaisse figer comme un modle achev et parfait. Endautres termes, la pense algbrique nestautre que la critique organise de ses propresmodles au cours de leur exploitation.

    3.4 Lalgbre comme modle de rflexion critique

    La puissance de loutil algbrique est doncutilise galement par les physiciens, depuis New-ton et ses calculs algbriques de fluxionsjusqu la physique moderne, qui est pour unegrande part une physique mathmatique, etqui a su clairer le monde par lalgbrisationdes lois, des entits, de lespace mme. Lalgbrene manque pas dtre exploite pour sa puis-sance jusque par les philosophes, ainsi les rai-sonnements logiques chers Aristote, lusageaxiomatique en vigueur chez Spinoza, ou enco-re lempirisme logique du cercle de Vienne sontautant dinfiltrations de la logique formelledans le domaine de la pense pure. Plus rcem-

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    ment, Jules Vuillemin a fond lapplicationdes mthodes de lalgbre la philosophie, etrciproquement la philosophie arrive dialo-guer avec lalgbre grce louverture cri-tique de chacun de ces deux domaines delesprit qui se rflchissent lun sur lautre,ainsi que le dveloppe de manire trs optimisteMaximillien Winter dans ses travaux 18. Ainsi,dans de multiples situations o les mthodesa priori particulires laissent paratre, au fur et mesure de la pratique et de la comprhensionde leur fonctionnement, une certaine similari-t, cest la recherche de gnralit qui mne une reprsentation standardise des objets simi-laires du point de vue des proprits observes.Mais cette vidence moderne est une vritablervolution pistmique et nul ne peut affirmerle naturel quil y a considrer deux objets dif-frents, par exemple le centre O1 de tel cercleC1 et le centre O2 de tel autre cercle C2, commeessentiellement le mme : le centre O duncercle gnrique C.

    La capacit saffranchir des particulari-ts ninfluant pas sur les proprits observesest la base de lalgbre et rsulte dun acte fortdabstraction, qui requiert avant tout une com-prhension ncessairement sur des cas parti-culiers des proprits observer et de cellesqui sont moins importantes. Loutil de lalg-briste quest le calcul littral na donc pu trou-ver sa ralisation que dans la comprhension dela possibilit de gnralisation dune situation,car cest cette comprhension qui lui insuffletoute sa fcondit, et ce calcul nest aucunementun donn mais un construit. La remise en ques-tion permanente des hypothses fondant lemodle et des donnes qui y sont superflues estainsi ncessaire lavnement et lutilisa-

    tion de lalgbre, et cest cet tat desprit pro-prement critique qui fait de lalgbre non seu-lement un outil puissant pour les mathma-tiques, et de fait pour tous ses domainesdapplication et toutes les sciences, mais ga-lement loutil privilgi de tout raisonnement.

    Lalgbre possde ainsi bien des qualitsqui chappent aux dangers de biais et de faci-lit dans le raisonnement scientifique que Gas-ton Bachelard dnonce au travers de ses obs-tacles pistmologiques 19. En dautres termes,lalgbre est un garde-fou contre bien desdrives inconscientes, de sorte que le formalismealgbrique et le raisonnement mathmatiqueralisent heureusement un modle sain de rai-sonnement scientifique. Si lautonomie et le carac-tre autocontenu de la preuve mathmatique met-tent labri de tout argument dautorit, cestbien la formalisation et lesprit algbriqueque les mathmatiques doivent le respect destrois autres impratifs bachelardiens : se lib-rer des illusions et des opinions, ainsi quon leconstate ds la gomtrie analytique et la for-malisation de la physique ; tre toujours prt revenir sur ses conceptions et ses modles,ainsi que la formalisation axiomatique puis lenouveau point de vue apport par Klein sur lesgomtries lont fait pour les gomtries noneuclidiennes ; enfin, faire preuve desprit cri-tique, ainsi que le requiert lessence de lalgbre,la dialectique algbrique, sans quoi lalgbre neserait pas supportable, sans quoi elle serait unjeu syntaxique strile et inhumain, une simpleapplication dun systme syntaxique sans moti-vation, sans justification, sans aboutissement.Ce sont ces qualits qui font de la dialectiquealgbrique un modle de pense rsistant auxobstacles pistmologiques. La non-immdia-

    18 Qui sont tous publis dans la Revue de Mtaphysiqueet de Morale, notamment des rflexions sur lutilit et lancessit de la philosophie en mathmatiques.

    19 La thorie des obstacles pistmologiques et leur explo-ration ordonne, qui ne pourront pas tre prsentes tropen dtails ici faute de place, sont prsentes dans La For-mation de lesprit scientifique.

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    tet de son objet, sinon son caractre idal oudfinitivement inaccessible en tant que rel,met mal les obstacles matrialistes de lexp-rience premire et de la substance. La critiqueimpose par sa dmarche, sinon la consciencede la tension permanente entre la volont duni-fication et la recherche de prcision, permet desurpasser les obstacles de la connaissance gn-rale et du verbal 20. Un tel modle, efficace tanten thorie que porteur de fruits en pratique,mrite donc lintrt des ducateurs.

    3.5 La ncessit et les bienfaits dun enseignement de lalgbre

    Avant de se matrialiser en un calcul litt-ral redoutable, lalgbre est donc un raisonne-ment qui doit tre suffisamment ouvert et librepour tisser des liens entre des domaines et desobjets a priori distincts. Cette dialectique scien-tifique est fondamentale, non seulement parcequelle est la dmarche scientifique, mais parcequelle est galement un modle du dialogue cri-tique le plus thorique et le moins soumis lillusion des sens. Cest donc un modle de pen-se qui dpasse le seul cadre des mathma-tiques pour devenir loutil de la libert de lesprit.Enseigner lalgbre participe donc enseignertant le raisonnement rigoureux propre aux math-matiques que louverture desprit et la critiquencessaires un raisonnement complet et met-tant mal tout prsuppos sur les conceptsmanipuls, car imposant une redfinition per-

    manente des termes et un contrle incessant dubien-fond de ces dfinitions, passant toujourspar un examen de leurs limites21. En ce sens, pen-ser bannir petit feu et sans plus de procslalgbre des programmes des collges et deslyces, et y arriver de plus en plus notammentdans les filires non scientifiques, revient pri-ver lenseignement de lun des meilleurs pro-fesseurs. Lalgbre est la dmarche dans toutemodlisation de situations, dans toute rsolutionde problmes, et participe donc la formationde chaque citoyen et lenrichissement dechaque esprit, et en cela elle mrite une placede choix dans les programmes denseignement,cest--dire dans le socle commun de connais-sances que la nation veut pour son peuple. Et silalgbre a pour principal fondement et outil lecalcul littral, on ne peut ni ne doit oublierquelle est avant tout une discipline proprementmathmatique qui merge sous la plume demathmaticiens, et cest donc au sein des math-matiques que doivent merger les ides delalgbre et que doit se dvelopper sa placedans lducation. En effet, il nest pas de terrainplus libre de tout prjug, de toute habitude, detoute sensibilit, permettant de dvelopper le plusaisment et le plus naturellement la pense pure.Et cest incontestablement au sein des math-matiques que se trouve le statut ontologiqueidal, le plus matris et matrisable, pour exer-cer le raisonnement. Cest donc lenseignementdes mathmatiques quil incombe la tchedapporter lesprit la rigueur et la gnralitsi propres lalgbre, si universelles pourtant.

    IV. Rflexions sur lenseignement de lalgbre

    4.1 La caverne de lenseignement : des conditions ncessaires lducation

    Attachons-nous dsormais la probl-matique centrale de lenseignement de lalgbre,

    20 Les obstacles restant tombent sous le coup de la non mat-rialit de lobjet mathmatique, voire mme de son carac-tre noumnal, non phnomnal.21 Et en cela lutilit de lalgbre comme cole de lespritcritique est flagrante, limage de ce quen dit Comte-Spon-ville : Dfinir, cest tablir la comprhension dun concept[...] et permettre par l de le comprendre. On se souvien-dra pourtant que les concepts ne sont pas rels, et quaucu-ne dfinition ne saurait tenir lieu de connaissance [...] Enquoi dfinir est un exercice dhumilit : cest assumer,sans tre dupe, notre lot de sens et dabstraction.

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    de lducation et par lalgbre. Un immen-se dfaut de lenseignement des mathma-tiques est son caractre non pas abstrait, maisabstrait et autoritaire. Quel peut bien tre eneffet lintrt denseigner des thormes, aussidifficiles et fconds soient-ils, des lves quiau mieux sen souviendront jusqu lexa-men, souvent loublieront, mais toujours ne sau-ront ni pourquoi ils les connaissent, ni pour-quoi ils sont vrais, ni surtout pourquoi ils ontun intrt, une ncessit dtre. Cest le dfautque nous reprochons un enseignement qui nemet pas suffisamment en vidence la dmarchede la pense qui sous-tend les mathmatiques,et plus gnralement tout domaine de laconnaissance. Ce point sillustre cependantparticulirement bien avec les mathmatiques,et ces dfauts cotent galement particulire-ment cher leur enseignement, car de scien-ce libre et incitant la rflexion et la construc-tion par la pense, elle devient devant leslves un simple fascicule de rsultats plus oumoins utiles. Lenseignement idal doit per-mettre chacun de comprendre les ides. Pourcela, il faut aider llve traverser deuxpreuves, qui sont celles apparues au cours duconstat historique que nous avons esquiss.

    Premirement, Pour reprendre limage pla-tonicienne de la caverne22, llve doit sortir dela caverne. Cela signifie que cest son esprit quidoit sortir et que ses yeux doivent shabituer petit petit la lumire de sorte quil puisse de

    mieux en mieux voir cest--dire comprendre les ides. Il ne sagit donc pas de le mettredevant un thorme qui lui paratra artificiel etlaveuglera, avant de le relcher sans quil naitrien appris, en lui faisant conserver commeunique souvenir de lalgbre une exprience trau-matisante de victimisation et dincomprhen-sion. Llve se sauve malgr tout de son cal-vaire car il russit dcrocher la moyenne, auprix dun immense effort artificiel et frustrantdapprentissage mcanique et sans aucune com-prhension satisfaisante de ce qui a t retenu 23.

    Puis, llve doit tre capable, une foisrevenu auprs de la socit qui demeure dansla caverne, de voir le monde la lumire de sonesprit, dsormais plus clair. Or cela nces-site que les ides aient rellement pntrlesprit, et la sparation est fine entre celuiqui a rellement compris lide comme ladmarche, et celui qui sest content de rete-nir une ombre. Il est alors du devoir du professeurde faire en sorte que llve comprenne, et nereste pas dans lobscurit de lignorance et delincomprhension, quand bien mme devrait-il affronter des thories et un formalisme dif-ficiles et il le doit. Mais la tche na riendaise. Cette pntration se fait mieux lorsquelide est dj recherche par lesprit, si elle estla lumire que dsirait llve suite de nom-breux problmes et de nombreux question-nements, rests insolubles ou rsolus de mani-re peu satisfaisante. Pour ce faire, il faut donc

    22 Nous prenons ici cette image, tire de La Rpublique,pour son loquence et nous ne disons pas que nous sous-crivons la thse du ralisme platonicien, le statut onto-logique des rsultats mathmatiques ninfluant pas surlimage ni surtout sur la situation immdiate de llve face une thorie inconnue et a priori sans intrt ni raison dtre,et nous ne nous prononons donc pas ce propos. Il fautdonc comprendre notre caverne non pas comme celle delignorance des ides mais comme celle de lignorancepar les lves des connaissances que lon cherche a leur ensei-gner. Ceci justifie en particulier le rle primordial du pro-

    fesseur dans ce cheminement, car lui seul est hors de la caver-ne, au moins de la caverne dans laquelle sont les lves.23 Et lorsque lon constate les objectifs chiffrs lavan-ce des taux de russite au baccalaurat, on comprend bienque cette russite nest quapparente, et on nespre sre-ment pas que les lves aient appris et compris le minimumdu programme ncessaire pour avoir la moyenne. Ils en ontsimplement retenu une portion suffisante, celle corres-pondant aux exercices tombant aux preuves depuis maintesannes. Et cela suffit, tout tant fait pour rduire la raisondtre de lenseignement secondaire au seul baccalaurat.

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    au moins que llve ait t confront la dif-ficult, limpossibilit davancer dans unerflexion faute dides et doutils assez clairs, lerreur mme, car cest la seule qui met envidence le manque de mthode et de logique 24.Ce nest qu cette condition quil pourraaccepter les thorie quon lui prsente, et quilpourra les comprendre vraiment.

    4.2 Un enseignement de lalgbre artificiel et incohrent

    Attachons-nous alors prciser ce que nousentendons par ce schma dapparence simplistede lenseignement de lalgbre, et ce quenous tirons de ces ncessits qui en apparaissent la raison concernant lenseignement actuel.Chacun saccordera pour dire quun bonenseignement apportant la comprhensiondes ides ne doit pas tre un enchanement arti-ficiel de chapitres, de dfinitions, de pro-prits et de dmonstrations sans plus de lienapparent que leur logique que llve necomprend pas, car il ne sait pas ce que cest et leur prsence impose par le cours quil ne peut alors voir que comme mani-festation de lautorit du professeur. Or quefait-on lorsque lon pose brutalement deslves de quatrime la formule de doubledistributivit avant dexpliquer pourquoi onexpose de manire si formelle et quoi peutbien servir une chose qui na jamais servi dunemanire ou dune autre lors de la manipula-tion de chiffres concrets ? que fait-on lorsquelon impose des lves de troisime la dfi-nition dune fonction avant den donner desexemples, den faire des tudes et den com-prendre lutilit, le caractre gnral et clai-rant ? que fait-on lorsque lon commencelanne en donnant des lves de seconde

    la dfinition dun vecteur ou encore les for-mules de rsolution dun systme linaire dedeux quations deux inconnues avant quilsnaient jamais crois ces objets en situation,alors que chacun pense dj quune seulequation linaire une inconnue est un arte-fact bien inutile nexistant que dans les exer-cices ? que fait-on lorsque lon encadre devantdes lves de premire la formule donnant lesracines dun polynme du second degr ouencore les formules de drivation des fonc-tions polynomiales, avant mme quils sachentce quest un nombre driv ? que fait-onlorsque lon fait apparatre comme par magiedevant des lves de terminale lexponen-tielle comme la solution dune certaine qua-tion diffrentielle avant toute rencontre avecune situation ncessitant rationnellementlexistence de cet objet ou lutilisation dobjetsayant ces proprits ? quest-ce donc quecette situation si ce nest lenfermement deslves dans un monde de plus en plus mys-trieux, laissant pour seul got celui dundiktat de la pense ? Cest exactement lesblouir en leur demandant de regarder deforce la lumire, de retenir par cur et sansrien avoir compris, en somme cest les gaverau lieu de les instruire. Et qui plus est les gavermal, car quen restera-t-il ? on ne le consta-te que trop bien en demandant nimporte quel-le personne qui a des souvenirs assez prcisde ses cours de mathmatiques du secondai-re : des images apprises mais non comprises,des formules tranges qui avaient pour seulet unique objectif dapporter suffisamment depoints pour ne pas tre puni ou recal. Ainsidans les quelques exemples sus-cits, cer-tains sauront encore driver un polynme, peut-tre mme relier le signe dune telle driveau sens de variation de la fonction polynomialeassocie, peut-tre encore savoir reprer depossibles extremums, mais qui saura ce quilest alors en train de faire, et pourquoi il le fait ?Ce ne sont que des fragments dun tout oubli,

    24 Il est ce propos regrettable que lducation actuelleressemble plus un culte labsence derreur, alors quelcole devrait au contraire tre le lieu privilgi de lerreur.

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    pas lapplication dune thorie comprise et jus-tement utilise.

    Limagination de chacun saura mettre descouleurs et des formes aux rsultats quil est censconnatre, malheureusement mais srement unsimple habillage mnmotechnique, trop rarementsincre. Il ne sagit nullement dune condamnationde lapprentissage par cur, qui est ncessaireet qui est toujours un heureux bagage doutils,mais qui ne devient puissant que lorsque des ideslaccompagnent pour les manuvrer et les uti-liser, qui ne devient supportable que lorsquil estlgitim par une structure dans laquelle il est unmaillon fondamental : tel est le cas lorsquellve comprend que la mthode algbrique, quila apprise et comprise, fonctionne et est puissante,lui donne les outils pour rsoudre et pour crer,pour penser sans entraves. En somme, on ne retientque ce que lon comprend, tout du moins ce quoi on prend part mme si la comprhensionest toujours partielle, et cest dautant plus vraipour des lves de lyce. Mais comprendre lefonctionnement de lalgbre et lintrt de luti-lisation de thories formelles, plutt que de trai-ter les problmes dans leur spcificit, est unedmarche bien peu naturelle, nous lavons djvu concernant labstraction du nombre quincessite aussi beaucoup de pratique, et unepratique parfois virtuose qui ncessite de lentra-nement. En cela il ne faut ni rejeter la ncessi-t de lapprentissage par cur, ni fuir la diffi-cult formelle des mathmatiques, car cestlaspect calculatoire de lalgbre qui fait saforce, sa souplesse, sa gnralit. Cet aspectformel rend plus difficile la pntration desrsultats et des ides, mais doit tre compris travers la grande porte des rsultats quil per-met dobtenir et la grande facilit de manipu-lation des objets formels : chacun a lhabitudede remplacer les donnes dun problme par desvariables pour pouvoir le traiter plus efficace-ment, et personne ne doute de la puissance decette dmarche, quil faut plus que toute autre

    chose enseigner aux lves. Or la terrible situa-tion que nous avons dcrite sur ltat actuel descomportements des lves ressemble plutt uninsuffisant apprentissage par cur plutt quun enseignement. Cest la peur de la mauvaisenote qui fait faire, et non pas la connaissance 25acquise par la comprhension du fait. La note,sil y a, doit servir de tremplin la motivation,tout apprentissage tant en partie contrainte,dautant plus si le rythme est impos par des pro-grammes. Ce doit tre un contrle, une chan-ce qui force faire effectivement les partiesrbarbatives du travail dapprentissage, maissans quelle devienne la source de lintrt, dela rflexion ou du travail.

    4.3 Lalgbre : enseignement complet, ducation de lesprit, cole de la pense

    Lalgbre doit donc tre enseigne demanire vivante et autonome et non comme unoutil abscons qui fonctionne par magie et que

    25 Nous parlons de connaissance au sens des conditionsau moins ncessaires, sinon suffisantes, que sont unecroyance vraie et justifie, ainsi que le dfend le Socra-te platonicien dans le Thtte. Or si la vrit est un pro-blme accessible en mathmatiques qui est un mondequi possde une ontologie locale permettant de trater lesquestions de vrit sans trop dambigut il reste leproblme de la croyance et celui de la justification. Maisil est bien vident que, pour un lve qui apprend ainsiartificiellement un rsultat, il ny a ni croyance (qui doittre sincre, donc venir de soi et non tre impose par unprofesseur) ni justification (qui ne se suffit pas de lapreuve, mais qui ncessite aussi la mise au jour des nces-sits dtre du problme considr, et ce de manirerationnelle), et encore moins comprhension de la notionde vrit en mathmatiques. Ce problme de la connais-sance mrite sa place dans le dbat sur lenseignement,car nous osons esprer que lducation a toujours pour rlede transmettre, au moins en partie, des connaissances. Lalittrature et les traditions ne manquent pas, et dfautde pouvoir aborder ce vaste domaine, on peut suggrerau lecteur de se reporter au cours de Claudine Tiercelinau Collge de France.

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    lon tudie sous lautorit dun professeur quinous teste et nous impose tant dartifices etdastuces improbables. Alors comment intro-duire lalgbre ? La dmarche que lon prneest en essence la dmarche que lon a dgageprcdemment lors du retour historique sur lesdveloppements de lalgbre. Ce nest pas tantle caractre historique qui justifie par une quel-conque autorit ce choix26, mais bien le fait quecest avec cette approche quest le mieux sou-leve la manire naturelle dont lalgbre doittre comprise jusque dans son principe et, unefois ce principe compris, lalgbre naura pasbesoin dautre justification que la satisfactionde lesprit avoir domin une situation par uneffort dabstraction. Et combien de telles situa-tions sont possibles tous niveaux ! Tout pro-blme concret peut servir de tremplin lint-rt, susciter lattention et la curiosit, et il estimportant que chacun ait t lartisan dunemodlisation o lon cre les outils de sa proprerussite, les variables et les objets formels tantintuitivement leurs particulariss originaux,justifiant ainsi les rgles de calcul, permettantgalement un contrle critique concernant la per-tinence des rsultats gnraux, et montranttoute la puissance de lalgbre en appliquant aposteriori le raisonnement dautres particu-larisations, du mme type ou dun autre type auto-risant les mmes rgles. Ainsi les systmeslinaires pour la recherche de compromis, la tho-rie des graphes pour les nombreux problmespratiques et omniprsents qui en relvent, lessystmes dynamiques pour les croissances

    dmographiques et les problmes pidmiolo-giques, lanalyse dune variable relle pour lesproblmes galement trs varis doptimisa-tion, la thorie nave des ensembles pour les pro-babilits discrtes, et tous les autres sujets desmathmatiques comme des autres disciplines 27sont autant de sources dinspiration pour uneutilisation complte dun raisonnement algbrique.Lessentiel est de laisser la libert llve, demodliser comme de rsoudre le problme, etcest l un objectif bien diffrent que celui dedemander la drive dune fonction donne, detous ces exercices qui ne viennent de rien ni nevont rien, et qui sont pourtant lessentiel dela pratique du secondaire. Il ne sagit pas l denier lutilit des exercices lmentaires et cibls,mais nul ne peut esprer un franc succs avecune liste dexercices si jamais leur dnoue-ment napparat quelque part, si jamais leslves nont vu laboutissement de tout ce tra-vail, si jamais ils nont eu besoin de loutilavant de le trouver.

    Et grce un tel objectif, lalgbre peutsenseigner nimporte quel niveau, lessentieltant de rester cohrent avec les acquis. Noussommes toutefois convaincus de la ncessit decommencer utiliser un langage algbriquerelativement tt. Par exemple, il ne serait pasdraisonnable dintroduire au dbut du coll-ge la notion dquation du premier degr uneinconnue, la traiter avec un support gom-trique, imaginer des situations o ncessaire-ment il faut passer par un raisonnement qui est

    26 On ne songerait ainsi pas introduire lensemble desnombres complexes comme lcole italienne du XVIe sicle,

    introduisant des sans se poser plus de ques-tions, mais bien de manire motive par lusage gomtriqueque lon en veut faire, ainsi que Gauss la bien compris,approche rationnelle des nomb