Le plan des cours d’analyse ‘Etude des phénomènes variables’

CM1-CM2 Décrire les variations étude de fonction - fonctions usuelles

CM3 Prendre du recul calculer une primitive et intégrer une fonction

CM4-CM5 Les processus qui provoquent des variations poser et intégrer une équation différentielle

MathSV : chapitre 6

Equations différentielles

• Introduction à la modélisation

• Définitions et généralités

• Méthodes de résolution

Croissance de la population chinoise

Etape 1

Démographie en Chine 1,28 milliards d’habitants en 2001

Une politique de contrôle des naissances

La démarche de modélisation

1. partir d’une problématique qui concerne le monde du vivant

Croissance de la population chinoise

Etape 2

Les conséquences d’une politique démographique :

le nombre d’habitant en 2005 ? En 2010 ?

La démarche de modélisation

2. identifier le phénomène à étudier, préciser le problème qui se pose

Croissance de la population chinoise

Etape 3

Modélisation de la variation au court du temps de la taille de la population chinoise : N(t)

Un problème de démographie (dynamique de population)

La démarche de modélisation

3. traduire le problème en langage mathématique/informatique/statistique

Données : Naissances, morts, migrations (négligées) :

On prévoit que les taux de natalité et mortalité dans la période 2001-2005 seront stables :

Le taux de natalité est de 13‰ en 2001, le taux de mortalité est de 3‰.

Modèle : une équation différentielle

Etape 4

Quels sont les processus qui provoquent cette variation ?

Croissance de la population chinoise

La démarche de modélisation

4. faire l’inventaire des modèles connus et des données utiles

Etape 5

“Modèle exponentiel en temps continu”

r = taux d’accroissement absolu (constant = indépendant de N)

Mortalité AccroissementNatalité

dN taN t bN t rN t

dt

r a b

Croissance de la population chinoise

La démarche de modélisation

5. sélectionner un modèle et recueillir les données puis proposer une réponse

Résoudre le problème

K = N(t=0) = 1,28 milliards d’habitant en 2001r = (13-3)/1000 = 0,01N(t=4) = 1,33 milliards d’habitants en Chine en 2005.

rdtN

dNrN

dt

dN

Cstertrdt

CsteNN

dN)ln(

)exp()()ln( rtKtNCstertN Solution :

La démarche de modélisation

6. validation, protocoles expérimentaux, généralisations...

Exemple en pharmaco-cinétique

Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, sa concentration dans le sang est instantannément maximale, puis elle décroît… comment ?

f(t)=?

Exemple en pharmaco-cinétique

A partir d’un instant t, “la diminution de cette concentration est proportionnelle à la concentration à l’instant t” :

)()( tftf

Solution : )exp()( 0 tftf

Définitions, généralités

Définition

On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x

et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.

Equation différentielle d’ordre n :

0),...,,,,( )( nyyyyxF

Définition

On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x

et les valeurs d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.

Equation différentielle d’ordre 1 :

0),,( yyxF

Exemple et notation

xyy

Dérivée première :

Dérivée nième :

dx

dyy

n

nn

dx

ydy )(

Lexique général

• Résoudre (intégrer)

Ndt

dN05,0

tKetN 05.0)(

MathSV : chapitre 6, section 7.1

Lexique général

• Solution générale

• Condition initiale

• Solution particulière

1010)0( KN

tetN 05,010)(

Ndt

dN05,0

tKetN 05.0)(

Lexique général

• Courbe intégrale

Équations Différentielles d’ordre 1

1. À variables séparables

2. Homogènes

3. Linéairessans second membreavec second membreà coefficients constants

E. D. 1 à variables séparablesOn peut se ramener à

“une intégrale sur y = une intégrale sur x”

2 2y xx

yKy

y

xy

Evolution de la population chinoise

la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population

Mortalité AccroissementNatalité

dN taN t bN t rN t

dt

Evolution du poids d’un organisme

mentralentissecroissance

pkpdt

dp 2

MathSV : chapitre 6, section 7.2.1

E. D. 1 homogène

On peut se ramener à une équation à variables séparablespar un changement de variable u = y/x

dx

duxu

dx

dy

xuy

xCxy

xCu

Cstexu

ln2

ln2

ln2

2

xy

xyy

22

x

yu

x

dxuduuf

u

u

dx

dy

xy

xyy

)(

1222

E. D. 1 linéaires

y f x y g x De la forme :

Linéaire en y

Second membre

1er ordre

E. D. 1 linéaires

y f x y g x

•ED linéaire d’ordre 1 sans second membre SSM

•ED linéaire d’ordre 1 avec second membreASM

•ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant

0)( xg

0)( xg

Cstexf )(

Méthodes de résolution des ED linéaires du 1er ordre

E. D. d’ordre 1 linéaire SSM

Une ED linéaire Sans Second Membre est

une ED à variables séparables

à solution de forme exponentielle

dxxfy

dyyxf

dx

dyyxfy )()(0)(

)()(ln xFKeyCstexFy

Selon les cas :

– Rechercher une solution particulière yp

– Méthode de variation de la constante

y f x y g x

E. D. d’ordre 1 linéaire ASM

Avec recherche d’une solution particulière

2 1y xy x

1. Résoudre l’ED sans second membre :

2exp0

2

1

xKyxyy

Avec recherche d’une solution particulière

2 1y xy x

2. Trouver une solution particulière :

baxy p De la forme

0

1

b

aPar identification, on obtient

Avec recherche d’une solution particulière

2 1y xy x

3. La solution générale est : la solution de l’ED SSM + la solution particulière

xx

Kyyy p

2exp

2

1

Avec recherche d’une solution particulière

La solution de l’ED SSM + Une solution particulière

est la solution générale

y f x y g x

pxF

p yKeyyy )(1

F est la primitive de f

1. Résoudre l’ED sans second membre :

Kxyx

yy 10

Méthode de variation de la constante

2xx

yy

2. Faire varier la constante :

De la forme

Par identification, on obtient

Méthode de variation de la constante

xxKy )(

2xx

yy

Cx

xKxxK 2

)()(2

Méthode de variation de la constante

y f x y g x

)()( xFexKy

On cherche une solution générale de la forme

F est la primitive de f

ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant

)(xgayy

y f x y g x avec f ( x ) = Cste = a

- Si g ( x ) est un polynôme de degré n

alors on cherche une solution particulière yp = an xn + an-1 xn-1 +… + a1x + a0 (un polynôme de degré n)

- Si g ( x ) = eax P ( x ) alors on pose yp = eax z

ED linéaire d’ordre 1 à coefficient constant

)(xgayy

y f x y g x avec f ( x ) = Cste = a

- sinon : la méthode de variation de la constante