Léchange naturel Le choix individuel de Robinson lamène à déterminer les termes dun contrat naturel déchange, selon lequel, en échange des quantités de

L’échange naturel

Le choix individuel de Robinson l’amène à déterminer les termes d’un contrat naturel d’échange, selon lequel, en échange des quantités de travail offertes dans chacune des branches, il obtient les quantités de biens qu’il demande à la nature.

Robinson peut également, dans une extension du modèle, calculer de manière endogène sa quantité de travail.

L’échange naturel

1) Le contrat d’échange naturel

2) Le contrat naturel de travail

Le contrat naturel d’échange

Le comportement de Robinson est un programme de maximisation selon lequel Robinson choisit de consommer les quantités de biens qui maximisent son utilité sous sa contrainte technique

Quantités qui maximisent l’utilité

Égalité entre offre et demande sur chaque marché

Les quantités seront produites par le travail de Robinson

Contrainte de temps de travail

Le programme de RobinsonLe programme de Robinson

21

21,

s.c.

2,1pour )( s.c.

2,1pour s.c.

),(21

ttt

htfy

hyx

xxUMax

hhh

hh

xx

Les relations de Robinson aux biens sont construites dans un double espace : celui des préférences et celui des techniques


Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution

x2

x1

y2

y1

En utilisant l’égalité offre-demande pour chaque bien de la contrainte, on peut analyser graphiquement la décision de Robinson sur un même graphique.

Les préférences de Robinson étant strictement croissantes, parmi le grand nombre de paniers de consommation situés sur sa frontière de possibilités techniques de production, Robinson choisit un panier situé sur sa courbe d’indifférence la plus éloigné de l’origine, qui lui permet ainsi d’atteindre le niveau d’utilité le plus élevé



x2

x1

U2

U*U1

x2a

x2b

x1a x1b

xa

xb

x2*

x1*

x*

Sous l’hypothèse de convexité des préférences, la pente en valeur absolue en x* est égal à la pente en valeur absolue de la frontière des possibilités techniques de production

Les quantités x1* et x2* vérifient donc l’égalité suivante :



x2

x1

U2

U*U1

x2a

x2b

x1a x1b

xa

xb

x2*

x1*

x*

2,1pour avec

),(),(**

*2

*11/2

*2

*11/2

hyx

yyTMSTxxTMS

hh

A ce point de tangence, si l’on reprend l’ensemble des résultats précédents, on montre que l’équilibre est un optimum de Pareto, au sens ou toute modification de la structure de consommation et de production entraîne une perte de bien-être pour la société, composée de Robinson lui seul

et

On retrouve la seconde loi de Gossen, selon laquelle Robinson égalise les utilités marginales des biens consommés, pondérées par leur prix, c’est à dire leur coût marginal

2

1

2

1

Um

Um

dx

dx

)(

)(

1'

1

2'

2

1

2

tf

tf

dy

dy

)(

)(

22

11

1

2

yCm

yCm

dy

dy


Optimum de Pareto : première définitionOptimum de Pareto : première définition

)(

)(

1'

1

2'

2

2

1

tf

tf

Um

Um

2

2

1

1

Cm

Um

Cm

Um

Le contrat naturel de travail

Le temps de travail de Robinson n’est plus fixé ex ante, mais devient une variable endogène de son programme de maximisation

On suppose H = T – L, où H est le temps de travail, T l’équivalent d’une journée et L le temps de loisirs

Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses

Robinson doit choisir une quantité de travail qui maximise son utilité La durée de travail devient donc une variable de sa fonction d’utilité, c’est

donc une variable endogène Pour simplifier l’analyse, l’économie de Robinson ne comporte plus qu’un

seul bien de consommation X La fonction d’utilité de Robinson prend donc la forme suivante :



0et 0 avec )(),( βαLTXLXU

L’utilité est une fonction croissante par rapport aux biens de consommation

L’utilité est une fonction décroissante de sa durée de travail. On dit que le travail est une source de désutilité



0),(

XUm

X

LXU

0),(

LUm

L

LXU

Les courbes d’indifférences de Robinson sont croissantes car la durée de travail et la consommation ne sont des biens substituables en vue d’augmenter l’utilité



X

LTLBLCLA

XB

XC

XAA

BC

Le taux marginal de substitution de la consommation au travail, pour une combinaison (X,L) donnée, mesure la quantité de consommation que Robinson est prêt à perdre en échange d’une baisse d’une unité de sa durée du travail

Le Tms est croissant avec les quantités de travail. Autrement dit, plus la durée de travail est élevée, plus la quantité de consommation qu’il exige en échange d’une augmentation de la quantité de travail est élevée



dL

dX

L

XLXTMS

LLX

0

/ lim),(

X

LT

A

B

C

Le Tms permettant d’étudier des petites variations pour un niveau d’utilité inchangé, on peut écrire :

D’où le Tms est égal au rapport des utilités marginales



0 dLUmdXUmdU LX

X

L

Um

Um

dL

dX

La fonction de production de Robinson prend la forme suivante

La production est une fonction croissante de la quantité de travail



)(LfY

0)(' Lf

Le programme de maximisation de Robinson consiste alors à déterminer la quantité de consommation X* et la durée de travail L* qui maximisent son utilité sous sa contrainte technique

Quantités qui maximisent l’utilité

Egalité offre-demande

Contrainte technique



)( .

.

)(),(,

LfYcs

LXcs

LTXLXUMaxLX



X

LT

X=Y

LT

Les relations de Robinson à la consommation et au travail sont construites dans un double espace : celui des préférences et celui des techniques

Robinson choisit un couple (X*,L*) qui correspond au point de tangence entre la courbe d’indifférence la plus élevée et sa fonction de production.

A ce point, les quantités optimales de consommation et de travail vérifie l’égalité entre le taux marginal de substitution entre la consommation et le travail et la productivité marginale du travail



X

LT

XB

X*

XA

LA L* LB

A

E

B

*)('*)*,(/ LfLXTMS LX

Au point A, Robinson observe que la productivité marginale du travail est supérieure au taux marginal du substitution, donc si Robinson augmente d’une unité sa durée de travail, il obtient en retour une quantité de bien supérieure à celle qu’il exige pour compenser la désutilité de son travail supplémentaire.

Au point B, Robinson observe que la productivité marginale du travail est inférieure au taux marginal du substitution, donc si Robinson diminue d’une unité sa durée de travail, la quantité de consommation qu’il perdra sera inférieure à celle qu’il est prêt à perdre contre une baisse d’une unité de sa durée de travail

Son temps de loisir est alors H*



X

LT

XB

X*

XA

LA L* LB

A

E

B

H*

De plus, au point E, on a :

Ce qui signifie que la valeur que Robinson attribue au bien est égal à son coût marginal

Enfin, le couple (X*,L*) est un optimum de Pareto au sens où tout autre panier de production situé sur sa fonction de production entraîne une détérioration du bien-être de Robinson



X

LT

XB

X*

XA

LA L* LB

A

E

B

H*

*)(*)*,(/ LCmLXTMS XL

Documents

Léchange naturel Le choix individuel de Robinson lamène à déterminer les termes dun contrat naturel déchange, selon lequel, en échange des quantités de