LE MOLRrEMENT BROWNIEN DE LEVY INDEXE PAR ~3

COM~ LIMITE CENTRALE DE TI~S LOCAUX D'INTERSECTION

Sophie_Weinryb (1) et .Marc Yor (2)

I. I n t r o d u c t i o n .

Dans tout ce travail, (B t) et (g~) d6signent - sauf precision contraire - deux

mouvements b rowniens g v a l e u r s dans ~3 i n d ~ p e n d a n t s i ndexes p a r t E ~ + ~ ~ °

(1.1) Pour tout t > 0, il existe un processus mesurable (~(x,t) ; x EI~ 3) tel

que : pour toute fonction borg]ienne f : ~3 ÷i~+,

I t I u ' I (l.a) du ds f(Bu-6 s) = dx f(x) ~(x,t) 0 0

II existe en outre une version bicontinue du processus (~(x,t) ; x C p3 , t ->_ 0)

qui v~rifie plus pr~cis~ment : P-p.s., pour tous t > 0, N > 0, et n c (0,~-),

I~(x,s)-~(y,s) I (1 .b ) sup -" 1/2_ n <

s ~ t ; Ixl, lyl ~N Ix-y[

( v o i r Ceman-Forowitz-Rosen [ 2 ] ; P~sen [ 7 ] ) ; nous donnons c i - d e s s o u s en (3 .6 ) une d ~ m o n s t r a t i o n de (1 .b ) h l ' a i d e du c a l c u l s t o c h a s t i q u e ) .

C ' e s t c e t t e v e r s i o n que nous c e n s i d ~ r e r o n s t o u j o u r s darts l a s u i t e .

L'objet principal de notre travail est la d~monstration du

Th~or~me A : Le p r o c e s s ~ con t inu :

y ¢ ~ 3 , t ~ Ol

converge en l o i vers :

; y C~3 , t ~ 0)

(i) Centre de M ~ h ~ m a t i a u ~ appl iqu~es . Ecole Poly technique

Pal~iseau (91.128)

(2) La@oratoi~e de P r o b a b i l i t ~ s - U n i v e ~ i t ~ P. e t M. Curie - Tour 56 -

4, Place J u s s i e u - 75252 PARIS CEDEX 05

226

o~ (Bu(Y) ; u > O, y ~ R 3) e s t un processu~ gaussien ce~ t r~ , i nd~penda~ de

(6 ,6 ' ) , q ~ a pour covariance :

E[Bs (X) Bt(Y) ] = ( S A t ) r ( x , y ) ,

I avec l~{x,yl = ~ {Ixl + lyl - ]x-Yl}, ~ c une c o ~ t a ~ e u n i v e r s e l l ¢ .

Commentaires A : I) En particulier, pour tout u > 0, le processus (Bu(X),X Eiq 3)

a m8me loi que (V~X x ; x Eli 3), oil (Xx, x CA3) est un mouvement bro~ien de

L~vy, index~ par ]{3, lequel est caract~ris~ par :

(1 .c)

(Xx,X ~ lq 3)

X = 0 et O

est ~: processus gaussien centr~ tel Gue :

E[(Xx-Xy) 2] = Ix-y I

2) Le th~or~me A est & rapprocher d'un r~sultat analogue pour le

mouvement brownien r~el (~t ; t > 0) (voir Yor [ 8 ]) :

si (~t ; a C P,,t _> 0) d~signe la famille bicontlnue des ter~ps locaux du mouvement

brownien (6t,t > 0), alors :

n 1/2 ~/ ) (6 t ; 2 (~ n - ~ t ) ; a CA, t > 0

(1 .d)

converge en loi vers :

o~ (B(u,a) ; a ~]{, u > 0)

6t ; o ; E IR, > 0) x

B a t

(~t,a)

d6signe un drap brownien nul sur les axes, ind@en-

dant de B.

Fixons maintenant k > 0, et Dosons Tk = inf{t : tt > ~}"

On d~duit du th6or~me central limite (I .d) :

(~21-/2 a / n - ~ ) ; a > O) n_~(d)> (V~ ¥a ; a > O) ' (1 .e) - - ( ~ X

of~ (Ya ; a > O) d~s igne un mouvement b rown ien r ~ e l , i s su de 0 en a = O.

Le r~sultat (I .e) peut 6galement 8tre obtenu cosine consequence du c~l~bre th@or~ae

suivant, dfi & Ray [6 ] et Knight [3 ] :

le processus (z a ; a >_ 0) est le carr~ d'un processus de Bessel (1 .f) T~

de dimension 0, issu de ~ en a = 0.

227

3) Par analogie avec le commentaire 2) ci-dessus, on peut r~6noncer

partiellement le th~orL~ne A sous la forme suivante :

fixons t > 0 ; conditionnellement ~ ~(0,t) = x, le processus

(nI/2(~( y ; t)- a(0 ;t)); y CP3)

converge en loi vers : (cV~Xy , y ?IR 3),

oh (Xy , y ~ IR 3) est un mouvement brownien de L~vy indexe par p3 issu de 0 en

y=0.

Remarquons que l'on obtient le meme th6or~ne central limite en consid~rant :

c ni/2 12 2) (1.g) ~- ( I Y y / n + ~ - I~1

oh (Yy ; y f. I~ 3) est un mouvement brownien de L~vy, index~ par I~ 3, valant 0

en y = 0, et ~ 61R d, l~J 2 = x.

En effet, on a :

[z 2 j y / n + (12 _ j~t2 = jy/niZ.2(y/p,~)(d))y +n - ' T ~ (yy,~)

e t , f ina lement) l 'ex-pression (I ,g) a ~me lo i asymptotique que ( c ~ Xy ; y ?_ ]~3),

Ce commentaire suggbre fortement d)~tudier la loi du processus (~(y ; t] ,y C I~ 3)

pour t fix6, ou lorsque t est remnlac~ par un temps exponentiel ind~pendant des

mouvements browniens 6 et 6', et de la comparer ~ celle du carr~ de la norme d'un

mouvement brownien de L~vy index~ par IE 3 et A valeurs dans I~ d.

(1.2) Le mouvement brownien de L~vy, caract~ris~ par (I.c), est un cas particulier

des mouvements browniens fractionnaires. Pour tout 0 < p < 2, il existe un proces-

sus gaussien centr~ <X (p) < x ; x CI ~3) dont la loi est caract6ris6e nar :

(1 .c )~ X (#) = o • E [ ( x ( ' ) - x ( ' ) ) z] = I x -y l ~. o ' x y

NOLLS dirons que X (p) est un mouvement brownien fractionnaire d' indice ~ (pour

diff6rentes constructions de ces processus, voir l'expos~ precedent darts ce volume).

Nous nous proposons d'~noncer, ci-dessous, un th~or~me central limite - qui g~n~-

ralise le th~or~me A - darts leauel figure, comme limite en loi, un processus gaus-

sien centr~ (BuLP)" (x) ; u -> 0, x ~ 1~3) ayant pour covariance :

(1.h) E[B~P)(x) B~#)(y)] = (s A t) £ (x,y),

228

1 + i ~ ~) o~ r ( x , y ) = ~ ( Ix ] ~ ly - [ x - y l

Pour cela, nous introduisons les fonctionnelles du couple (~,~')

(Ip(y,t) ; y ~ l~3,t ~ 0)

I 3 index@es par p, pour ~- < p < ~, et d~finies comme suit :

I def= [ du[ d s t u I (i) lorsque ~ < p < I, Ip(y,t) 0 o I eu -~s -Yl p+2 "

Cette expression es t f i n i e P - p . s . , grace h la formule de densit~ d 'occupat ion (1 .a),

e t ~ la con t inu i t~ des temps locaux d ' i n t e r s e c t i o n .

(ii) lorsque p = I, 11 (y,t) def a(y,t).

3 (iii) lorsque I < p < ~,

lit lu 1[~u-B's-y]~¢ 4~(y,t) ~ Ip(y,t) def lira du ds ~ 0 k o 0 I%-B's-Yl p÷z ~ p - ~ f

Cette limite existe grace ~ la propri~t~ de continuit~ (I .b) et ~ la formule de

densit~ d'occupation (I .a).

Nous pouvons maintenant @noncer le

I 3 Th~or~me Ap : S o i t p t e l que ~ < p < ~, e t ~ = 3-2p.

Le p r o c e s s ~ c o ~ n u : 3

( ° 1 converge en l o i vers :

g t i g t ; Cp ~ ( O , t ) (y) ; y E ~ 3 , t e 0

oft (B(u~) (y) ; ~ ~= 0, y E ~3) e s t un p r o c e s s ~ g a ~ s i e n c e ~ ind~pendant de

(B,B') ~ dont l a cova~iance ~ t donn~e par l a f o r m ~ e (1 .h ) , avec ~ = p.

Con~entaire A : De re@me que pour le tb@or~me A, il existe un th~or~me analogue P

concernant le mouvement brownien r~el (~t)t 0" I 3 Introduisons, pour ~ < p < ~, les processus (ip(y ; t) ; y ~ l~,t ~ 0) d~finis

par :

229

1 I t 1 (i) lorsque g < p < I, ip(y,t) = ds 0 I%-yl p

(ii) lorsque p = 1, ip(y,t) = ~, temps local de 6 en y.

5

e+O iBs_ylp- - (p_l)eP_l/" 1 Cet t e l i m i t e e x i s t e g r g c e au c a r a c t ~ r e loca]ement h61d~rien d ' o r d r e ( ~ - ~) (n > O) des

temps locaux dans l a v a r i a b l e d ' e s p a c e , e t g l a f o m u l e de dens i t~ d ' o c c u p a t i o n .

A l o r s , le p rocessus

3

(B t ;n

loi, lorsaue n + % v e r s :

% B(p) (S t ; Cp ( ~ ' Y )

rB(P) (u,y),U ~ 0,y ~ II)

(ip(Y,t) - ip(0,t) ; y C ~,t >- 0) converge en

; y E1{,t > 0)

est un processus gaussien centre, ind@endant de 6, et no

dont la covariance est donn~e par la formule (1.h), avec ~ = p ~ 3-2p.

(1.3) A l'aide de versions ad~quates de la formule d'It6, la d~monstration du

th~or~me A d~coulera ais~ment du th@or~me limite B ci-dessous, relatif ~ une I)

certaine int~krrale stochastique par rapport au couple (B,6').

Introduisons tout d'abord quelques notations :

3 × = z ¢ij le pro- si ~ et ¢ sont deux matrices 3 3, on note ((vo,¢)) i,j=1 ~ij

duit scalaire (de Filbert-Schmidt) entre qo et ¢, et Ilk011 = ((~,~))I/2. Appelons

champ de matrices toute applicationmesurable ~ : IR 3 -~ M3× 3 . IJn champ de matrices

est dit de carr~ int~grable si S dx ll¢(x) 112 < ~. Darts la suite, si x,y C p3,

A g M3×3, on note x.y le produit scalaire entre x et y, A-x l'image de x

par A et x.A.y le produit scalaire de x et A.y.

: S o i t ~, : R3 ÷ M3×3 un champ de m a t r i c ~ de carr~ i ~ t ~ g r a b l e . Th~or~me B

D ~ f i n i ~ s o ~ , pour n ~ ~ : Dn(~, t ) n 3/2 f t I u = dB u. ~In(Bu-%l).d% (Z~ 01. 0 0

~ o ~ :

I) l e processus (Bt, 8 ~ ; Dn(~, t ) ; t >= 0) converge en l o i , l o r i q u e n ÷ % vers :

(@t, 61 ; ~ (O, t ) (~) ; t >= O)

230

o& (~u(~) ; u > 0,@) es t un processus gaassien ce~trg, ind@endant de (6,~'}

e t aya~t powt covariance :

E[ ms(~) ~g{v)] = ( S A g ) f dx ( {~(x ) ,~ (x ) ) ) .

2) pour t ou t p > I, if. e ~ t e une c o ~ t a ~ e u ~ i v ~ e ~ l e Cp t eg le que :

sup E[s~p I%(~,,sl 12p] _<c (f~ II®(x)lie) p F/co

Commentaire B : L'analogue du th@or~me B pour le mouvement brownien r~el

est le suivant :

(6t,t g 0)

Soit @ : ~ +

I) le processus

n ÷ =, vers :

fonction bor~lienne, de carr6 int6grable.

(6 t n I/2 I t ; dB u ~(n B u) ; t ~ 0) converge en loi, lorsque 0

(6 t ; ]3 o(@) ; t > O) ; ~t

off (Zt) est le temos local de Ben 0 et (Bu(~) ; u > 0,@)

gaussien, centre, ind~pendant de 6, et ayant pour covariance

est un processus

E[~Bs(O) B t ( g ) ] = ( S A t ) f dx O(x) ~(x)

2) pour tout p > I, il existe une constante universelle Cp telle que

sup EIsupln I/2 I s 2D] @2 tP/2 n s<t J0 d6u @(n6u) I _<_ Cp(fdx (x)) p .

2. R~duetion de la d ~ m o ~ t r ~ o n du th~or~me A ~ eegle du th~or~me B. P

II s'agit, h l'instar de la m~thode de Papanicolaou-Stroock-Varadhan [ 5 ] de ramener

l'dtude asymptotique des int6grales (de P.iemann) doubles qui figurent darts l'~nonc~

du th~or~me A h celle d'int6grales stochastiques doubles. P

~2.11 Pour faciliter la lecture, nous 6crivons tout d'abord deux formules qui se

d~duisent de la formule d' It6 classique au moyen du thdor~me de Fubini :

(i) pour toute fonction q0 : IR 3 ÷P. de classe C 2, on a :

ft lu I ds ' ' I t (2.a) (~o(6t-Bs)-q0(6s-Bs)) = d8 u- ds V~0(Bu-8 s) + ~ 0

0 0 0 f u fl , du ds k ~ ( u - B s ) 0

231

( i i )

t i o n de c l a s se

compliqu4e :

(2 .b)

Supposons maintenant que <0 s'~crive sous la fo1~ne ~ = A~, avec

C 4. On a alors, h partir de la formule (2.a), la formule plus

2 0

fonc-

ds (a~(Bt-B ~) - a?(Bs-~ p)

dBu'[V~(Bu-S u) - V~(Bu-Bo) + J0 Hess(~)(Bu-Bp "dB i]

1 It lu A2~(Bu- 6 du ds 's )"

Dans l a s u i t e , nous £erons largement r~f~rence h c e t t e i d e n t i t ~ ; de fagon h ne pas

devoir l a r 6 6 c r i r e sous d ive r se s £ormes, nous num~rotons de (!) h ( ~ l e s d i f£4ren t s

termes qui appa ra i s sen t en (2 ,b ) , que nous 4cr ivons mahntenant sous l a forme abr6-

g4e, mais bien commode :

(f.f) En fait, nous"appliquerons" la formule (2.b) h la fonction

2-p, 1 3 ¢(x) = Ixl ~our ~< P < Z"

Cette application peut ~tre 14gitim6e au moyen des arguments d6velopp~s en [ 9 ],

quitte h interpr4ter le terme @ comme unmultiple (universel) de Ip(0,t).

Nous notons l'identit~ (2.b) ainsi obtenue (2.b)p, 0.

Changeons maintenant (B$ ; s ~ 0) en (~$ +y ; s ~ 0), et notons l'identit~ (2.b)

ainsi obtenue (2.b)p,y. Soustrayons membre h membre l'identit6 (2.b)p, 0 de

(2.b) , et multiplions les deux membres de l'identit6 ainsi obtenue par p,Y ce qui, avec des notations ~videntes, nous fournit l'identit6 :

3 n ~ - P [ ( 2 . b ) y -

P 'n

dont nous notons @n .... ' @n

(2.b)n,0 ]

les termes de type (~ .... ,(~ tels qu'ils ont

Ainsi, l'6tude asym~totique de (~n' c'est-h-dire :

3 -E-p n

6t4 d4finis en (2.b').

Nous montrerons ci-dessous que, pour p,y fix4s, on a :

P P P P > O.

232

3

{ng-P(Ip(Y,t) - In(0,t)) ; y E P.3,t > 0)

est ramen4e & celle de (~n' expression que nous 4crivons sous la forme suivante,

de fa~on ~ pouvoir appliquer imm4diatement le th4or~me

3 t I n 0 d6u" 0 ~y-(p)(~(6u-Bs))'dB's

o~ :

Le t~4or~me A P

B :

= 1 ¢(P)(x)y = yp(X-y) - Vp(X) ," ¥rj(x). ]x[p X.X. 1 1

- - opcx) ; OpCX)iD = 6ij -p ixl~

d0coule alors du thOor~ne B et de la construction des mouvements

browniens fractionnaires pr4sent4e en [11].

{2.3} Nous montrons maintenant les quatre convergences en probabilit4 (2.c).

Auparavant, remarquons que si l'on note toujours ~(x) = Ix[ 2-p, on a :

x . re(x) = (2-p) Ixl p , A~(x) = (2-p)(3-p) Ix[ p

1 Pour s impl i f ie r la discussion, nous co~en¢ons par supposer 6o ; 6o P> (i) bbntrons tout d'abord : ( ~ n ~--~ O.

P-p. s.

6 et 6' 4tant ind4pendants, et v4fifiant : 6 ° ~ 6o, il nous suffit de montrer que

(6s,S ~ 0, on a : pour un mouvement brownien _-> 0) issu de 6 o

3 ~-p ~t I I

Jn(t,y )def= n j ds n-~> 0. o 16 s - r I p 16s Ip

Or, ~ l'aide de la formule des accroissements finis, et de la majoration :

]v([~]p) l --< c--z--- l¢1 p+I'

ona : I

j ( t , y ) __< l i m ( J - P ,y[ I i ds ~ - O . n~ n~ I~s Ip+I]

La d4monstrat ion de : ( ~ n P > 0 est tout ~ f a i t semblable.

( i i ) Pour montrer que ( ~ n P > O, on peut remplacer la mar t inga le loca le qu i

const i tue O n par son processus c ro issan t , et i l s ' a g i t donc de montrer avec les

m~mes notations qu'en (i), que, si l'on note en outre @n(x ) _ x on a : Ixlp'

233

Kn( t , y ) de f n3-2p I t = 0 ds 1Op(6s - ~) - @~(6s )12 n+~ p > 0.

De m~me que pr~c@demment, on a :

n-~l-~- KnCt 'y) --< n-~]im lylZ(n 1-2p / J0 r t ~ l e s I - ) = 0 " d s k

La d~mons t ra t ion de : @ n P > 0 e s t t ou t g f a i t semblable .

! ( i i i ) Dans le cas of J B ° = Bo, nous a l l o n s mont re r d i r e c t e m e n t , avec l e s n o t a t i o n s

i n t r o d u i t e s en ( i ) e t ( i i ) , (6s ,S ~ 0) d~s ignant main tenant un mouvement brownien

dans 113 i s s u de 0, que l e s q u a n t i t ~ s

E [ J ( t , y ) ] e t E [Kn( t , y ) ] convergent v e r s 0 lo rsque n ÷ ~ .

On a, par scaling :

= = I E[K1(tn2,y)] E[Jn(t,y)] ~I/2 E[J1(tn2 y)] ; E[Kn(t,y)]

Le probl~me est donc ramen~ g l'~tude asym~totique, lorsque t ÷ =, de

E[J1(t,y) ] et ElK1 (t,y) ].

Or, g l'aide de la formule suivante, valable pour toute fonction f : 113 +11+,

bor~ lienne :

on montre facilemont que :

si

si

f dx f (x ) ~ e-W/2 dw = c ~ x l 2 / t V~

p > 1, E [ J l ( % y ) ] < ~ e t E [ K I ( % y ) ] < ~ ;

p = 1, E [ J l ( t , y ) ] = 0 ( log t ) ; E [ K l ( t , y ) ] = 0 ( log t ) ;

si p < I, E[Jl(t,y)] = 0 ; E[Kl(t,y)] = 0(tl-P).

Ces estimations entra~nent ais~ment le r~sultat cherch6.

(2.4) La r~duction que nous venons d'effectuer du tb~or~me A, et nlus g~n~ralement

du th~or~me Ap, au th~or~me B, ne nous permet de conclure, en toute rigueur, qu'g

la convergence en loi des marginales de rang fini des processus :

3

n ~ - - p ( Ip (Y , t ) - I p ( 0 , t ) )

lo rsque n + ~ e t que ( y , t ) d ~ c r i t IR 3 × 1~+.

234

Pour montrer la conver~nce en 1oi des nrocessus continus en (y,t) ~3 x~+, il

nous reste g v4rifier les crit~res de tension, d4riv~s du lemme de continuit4 de

Koimogorov ou de celui, plus sophistiqu~,de Garsia-Rodenich-R~sey. Par souci de

concision, nous ne considbrons Due le cas p = I, et, pami les~ocessus qui

fi~rent en @n' ~n' ~n' @n :

~ ( y , t ) n1/2 It ( 1 = ds . . . . ] ) 0 I - ' - Y ' %% ~I I%-%1

et

Vn(Y, t ) = n 1/2 I t d6u- (e(6 -6u --y) - e(6u-Su)) , ob 0 u n

En posant 6u = Bu-fl;' on obtient, Dour k > 0 :

E[sup IUn(Y,S)- U ( z , s ) lP] < n k/2 E[(fl du 1

@(~) = @1(() - I~

' z )k]

En utilis&nt la majoration :

E[(lo~t ( t ds )k et l'estimation : sup < t>=2 0 1Bs- l l 2 ]

lemme 2), il vient :

,y_z k [< du l~ u ~II%-~l

2 I I - - $ +~- l~11bl laE z

(voir, par exenrple, Yor [10],

L nC ,s> -

-<- C k ~ I + log n + log + ) + log+( I k n

c kly-zt k (I+ + i ~ +~1~k log ~7) + ~o~ ,~j

Cette est imat ion 4tant valable pour tou t k > 0, on d4duit ais4ment du lemme de

Garsia-Rodemich-Rumsey (voi r , par exemole, Bartow-Yor [ 1 ], p. 203) que la su i te

des lo i s des nrocessus U es t tendue. n

235

On a , de m@me :

s_<_t

7~ I~ 2ia-bl A l'aide de l'in@galit@ @l@mentaire : - - S --~-~-, on obtient :

~Is~ ~n~--~ V~z,~,~l~--~ ~'~'~ I< ~u )~i ~s__<t l~u -y 12 "

On en d~duit, de m~me que pr~c6demment :

s=<t

ce qui implique que la suite des lois des processus V n est tendue.

3. D~mo~t ra t ion du th~or~me B.

236

( i ) L' ind~pendance de (~ ,~ ' ) e t B reposera sur le r ~ s u l t a t su ivant :

(3.a) Fn(t) defn3/2 I t I u L2 = du q>(n (Bu-g~)) .d~, > 0 0 0 " ~

(II suffirait de montrer la convergence en probabilit~ vers 0).

Pour d@montrer (3.a), on p~ut raisonner composante par composante, et on peut donc

supposer ~ : 2 3 +2 3 telle que f dx I~(x)] 2 < ~.

Faisons, d'autre part, la majoration suivante, ~ l'aide de l'in6galit6 de Cauchy-

Schwarz :

(3.b) u _m(n (B~-B~)) "dB~) 2

it u )2. ~ t d u n 3 ( I ~(n(~u-B~)).d~ ~ 0 \20

L'espdrance de l'expression Qui figure en (3.b) est donc major~e par :

[I t n 3 I u 2 (n(~u-~))dh ] t I dxl~>12(x)E[~(~,t)]. t E du I~I = x 0 0

Or, on montre ais6ment (voir (3.2) ci-dessous, et plus g~n~ralemen~, (3.6), (i)) :

(3 .c) sup E [ ~ ( y , t ) ] ~ C ~J~. y¢~3 On a donc, f ina lement :

E[(Fn(t)) 2] ~ C t 3/2 S @x I~(x) I 2.

En consequence de cette estimation a priori, on peut supposer

lienne, born@e, ~ support compact.

Ecrivons maintenant Fn(t) sous la forme d'une int~grale stochastique en

On~.a :

It {n3/2 I t Fn(t) = du ~(n(Bu-~)) ).dB~, 0 h

¢ : 2 3 ÷2 3 bord-

d~.

d'oO :

237

~ n ~ t ~ ~I~; t I ~ I t = dh du dv ~(n(Bu-B~))-~(n(~.-B~'))] 0 h h v I, •

it t t Q , = 2n3E[ dh fh du Iu dv ~.(n(gu-g~))- (n(gV-Bh)) ].

Nous montrerons ci-dessous que, pour f , g : I@ ÷IR+ bor~liennes, born~es, g support compact :

~d~ ~It It I t n4 dh du dv f(n(Bu-B~))g(n(Bv-~)) > 0, 0 h u

ce qui implique a f o r t i o r i : E[(Fn(t))2] n--~--> 0, c ' e s t -~ -d i re (3.a).

( i i ) L'~tape suivante darts la demonstration du th6or~me B consiste g montrer que le processus croissant de l ' i n t~g ra l e stocbastique (r~elle) :

n3/2 It f u dB u. ~(n(B -~ ' ) ) .dB~ 0 0 u n

qui est pr~cis~ment :

31t I u n du[ 0 0

• (n(Bu-~))-dg~] 2

a m~me limite en nrobabilit~ que :

31t ;u n au ah ll~(n(Bu-~))II z. 0 0

[En effet, g l'aide de la formule de densit~ d'occupation, on voit facilement oue

cette derni~re expression conver~e vers ~(O,t) f dx II~(x)I~].

Pour ~tudier le comportement asymptotique de :

3 I t du [I~ n O(n(~. -~'))-d~3nl 2 " 0 U /I

on peut ~ nouveau sup_poser ~ : II 3 ÷I~ 3, bor61ienne, et satisfaisant :

fdxl~(x) 12 < ~.

Introduisons maintenant les notations :

238

e t

tu , ~{(n) n3/2 M(n) ~u'~(n) (x) = 0 ~(n(x-g~)).dSh, u (x) = "u (x),

N (n) (x) ~(n) 2 . ~ ( n ) . . u = (~u (x)) - ~. . ~XJ>u.

Le processus c r o i s s a n t de (M~n)(x),u ~ O) e s t :

~(n) n 3 I u <M. (x)> u : l~(nCx-~))Iz~, 0

et il nous suffira de ddmontrer :

~t X(n) _ ~(n) L ] (3.e) J0 du((Mu (~u))2 <~, (Bu)>u) -n+~ > 0.

Remarauons tout d'abord que la home L ] du membre de gauche de (3.e) est major4e

par :

2E[f~ dU(Mu(n)(Bu))2] : 2E[f I dun 3 [Udh [~12(n(Bu-~{))] 0

-<_ c t 1/z f dx l e l2 (x ) ,

comme on l ' a vu en ( i ) .

On peut donc, pour montrer (3 . e ) , se r e s t r e i n d r e au cas oh • : ~3 +i~3 es t bor6-

l i enne , born~e, h support compact.

Consid4rons maintenant :

E ( ~u ) ] 0 du N u

~t < n ) . ) 4 n ) ( ~ v ) ]

t q(n) (Su)Nu(n) (8v) ]

lit rt lu = 8n 6 E du J dv dh ¢(n(Bu-~))-,(n(~ -~'))bL(n)(~ )H(n)(Bv)]. 0 u 0 v ~ n u n

En redistribuant les puissances de n, on se ram~ne ~ montrer la convergence vers 0

de l'esp4rance de :

= dh du dv ~(n(Bu-gt~)).~(n(Bv-Bh))Nb (gu)l ~ , 0 h u

239

s o i t : (3 . f ) E [ G ( t ) ] n--~> 0.

I3. e) ~m_on__st_r_at_Ko_n__ae__(3._c)_.

Par d ~ f i n i t i o n de ~ ( y , t ) , on a, pour t ou te f o n c t i o n f : 1~ 3 ÷ • +

E du dv u v = U

d'ofa, en posant ps(y) = ~ exqz(- ~2s ~]2 ) on a : (2~s) 3/2 -

it it f t f t E [ a ( y , t ) ] = du dv Pu+v(y) ~ du dv Pu+v(y). 0 u 0 0

En consequence :

tt fu+t 12t E[~(y,t) ] _-< J du dv pv(y) <=

0 -u 0

(3.3) _D~__o.__st_r_~t_!_o~___a_~__~_~._d!.

I1 s ' a g i t de montrer l a convergence dans L 1 ve r s 0 de 1 ' e x p r e s s i o n :

rt t rt du J dv f (n (Bu- ~) ) g (n (Sv- B~) ) • Hn(t) = n3 J0 db fb u

En fait, nous montrerons, plus prdcisdment, oue :

Posorls :

O n a :

E [ ~ ( t ) ]

bor~ lienne :

[u id x Ph (x) fn(Su +x) g(n(Sv+X))] dv ~0 dh

ru dv j dy J0 dh ph(Y-Su ) fn(y)g(n(Bv-~u)+ ny)]

U

n 2 E[HI(t)] converge vers une limite finie.

Ixl2 fn(y) = n 3 f(ny) et Pu(X ) = (2~u) 37~I exp(- --~--/

dv pv(Y)V ~ 1 r j2t dv = C-~ . (2~) 37~ 0 v~

240

t u tt-u

I u Or, pour tout x = O, on a : 0 dh ph ( - x) n+~>-- 0 dh Ph(X)

de sorte que l'int~grale en (dx) converge vers :

(il est facile de montrer que cette quantit~ est finie).

Consid~rons maintenant l'int6grale en (dz) que nous multiplJons par 2 n , soit :

i i t-u =1 i ft-u n 2 dz dv pv(Z) g(nz+y) ~ de dv pv(~ -) g(¢+y). 0 0

Or, on a :

1 I t dv ~ = l i t Pv (.) 0 0

Cette express ion converge, lorsque

dv e x p ( - l c l 2 ~ [ tn2 (2~v) 3/2 2 ( -~v ) ) = ~0 - -

n -~ ~ v e r s :

dw exp.(- 1~12~ (2~w)3/z --2~-/

12 dw ( IgI2~ I f~ du exp(_i/2u) = 1 (z~)3/z exp - - ~ - / = ~ (Z~u)B72/2

Finalement, on a montr~ :

2 ,ift 2 I n E[Hnft)] n÷---~> {~- dx du Pu(X) } dy f (y) ~ g(~+y). 0

Les remarques suivantes permettent de mieux comprendre le r~sultat precedent,

En cons6quence de l'ind@pendance des accroissements du mouvement brownien 8, la

variable Hn(t) a m6me esp~rance aue :

I t f t I t - u Hn(t) = n 3 dh du dv f(n(6.-6~))g(n(6~'+6,-6~)) 0 h 0 u n ~ ,2 11

oh 6" est un mouvement brownien & valeurs dans I@, issu de 0, ind@endant de 6

et 6'.

En utilisant maintenant, d'une part la propri@t@ de scaling pour le mouvement

brownien 6", et d'autre part la formule de densit~ d'occupation qui fait interve-

nir les tenms lecaux d'intersection (~(y ; dh du) ; y t-_l@) de (6,6'), on

obtient :

241

n 2 (t-u) n 2 H ( t ) ( d ) f dy f ( y ) f a(nZ ; dh du)I dv g(f~"+y)

h__<u=<t 0 v '

d'oh l'on d@duit ais~rnent le r6sultat de convergence en loi :

Ii 2 Hn(t) n(~d----~)> jdy f(y) 0dv g(6 v''+y) ~(0;t)

Compte-tenu de ce r~sultat, il est maintenant naturel de se demander si la suite

des processus : (n 2 Hn(t) ; t _> 0) converge en loi lorsque n ÷ ~.

Nous ne savons pas r6pondre 5 cette question.

(3.4) _l~_monstrati_on__de_(3_.f_).

Nous ne donnons que les principales ~tapes de la d~monstration, inspir~e fortement

des argunents de la partie b) du paragraphe (3.3) ci-dessus.

a) Introduisons la fonction de 3 variables •

(n) % ~(n % n E[M, ") (x) Yh (x,y;z) = i t i~ih( ) (Y) lf~h =zl

et remarquons que l'on a :

(n) (3.g) ~h (x'Y;Z) I =<

ob l'on note, pour g El@ :

On a alors :

Ii t = du E[Gn(t) ] n 3 E[ dh Ih

(n) (x;z) ~h (n) (y;z) ~h

~(n)($;z) = E[(~I~n)(~))21St~=z]l/2.

f~ dv ~(n(13u-¢ ~)).@(n(Sv-gl~)) (n)(Bu,Bv ; ~31~ ) ].

D'apr~s (3.g), la valeur absolue de l'expression qui figure clans la derni~re

esp~rance @crite est major~e par :

242

ft [t ft , (n) ,,~(n) dh du dvl¢lCn(e.-S')) l e l (n(l~v-6h))Sh (6u;l~h2 h (6v;61~)" 0 h u u .

En cons6quence de l'ind@endance des accroissements du mouvement brownien 6, cette

expression a m~me esp6rance que :

it ft rt-u (n) _(n) ,,+ . , ,,+ , (Bu; 6~) (B v ~u,6h ) dh du ] dv 1~I (n(6. -B[))[<~[ (n(6 v 6u-6h)) ~h 6h

0 h 0 u n

oh ~" d~signe un troisibme mouvement brownien 5 valeurs darts I@, ind@endant de

6et 6'.

En utilisant maintenant, d'une part la pronri6t6 de scaling pour le mouvement brow-

nien W', et d'autre part la formule de densit~ d'occupation qui fait intervenir

les temps locaux d'intersection (a(y;dh du) ; y C I@) de ($,B'), on obtient :

(t-u)n 2 E[G n(t)] < fdxlc~,(x) Eli ~(X;dh du) I dw = -2- ] ¢ l ( x + B " ) . .

h--<u_-<t ~0 n w

Xq-~ ~ _(n) x , ^(n) (_w + 6~. 6~)] "" ~h (n + 6~; 6 b)~h ' "

En rempla~ant (t-u)n 2 par - come borne de l'int@grale en dw, et en explici-

tant la valeur du potentiel en ~" ainsi obtenu, il vient :

r I dy E[Gn(t)] ~ [dx ]~](x) l~](x+y) J ~ - T ""

[l x. (n) x , ,~(n)

hsu~t n

b) Pour simplifier la discussion, nous consid6rons simplement :

(n ~h au lieu de : 6 n) x ,. " (~ + 6 h, 6~) ~ + h' ~h ~

n

Nous allons montrer que, pour tout x ~ ~3 :

(3.h) (~ ~(n)(x,x))2 = O(I)

estimation dont on peut d~duire, ~ l'aide des majorations faites en a), que :

243

c) Pour montrer (3.h), nous utilisons le grossissement de la filtration naturelle

de (B~ ; u e 0) par la variable 8~.

De fa¢on ~ simplifier les notations, nous remplagons partout, dans ee sous-

paragraphe c), la notation (Bu,U e 0) par

Rappelons que la d6composition canonique de

relle grossie avec la variable B h est :

luAh Bh-B s

Bu 0 h-s B u = + ds ,

o~ (Bu,U ~ 0)

En consequence de ce t te d~composition, on a :

ota :

et

(Bu,U ~ 0).

(Bu,U a 0) dans sa filtration natu-

est un mouvement brownien ind@endant de la variable B h.

(n] 6h(n) (x'x))2 <= 2{ah(x'n) + bh(X'n) }'

I Bb-B ~ I h2

En retournant le mouvement brownien B au temps h, on obt ient les ~gali t~s :

et

bh(X,n) = n E[(i~ as ]~](nB s) '~s~)2lBh=X]"

ds

On a maintenant, par scaling :

= I ah(x,n) ~ E[I0 b~2

e t

le12(Bs)lBhn z =xn]

Le r~sultat (3.h) d~coule alors de ce que, si l'on note :

hn 2 = I -xn].

2 4 4

ona :

( 3 . i )

e t

( 3 . j )

ft ft IB~l C t = ds [elZ(Bs ) et D t = ds I~I(B s)

0 0 s '

E[CtlBt:x~] t--g~> E[CJ (< ~)

E[D~IB t =x~] T-C-j> E[D 2]~ (< ~).

La d@monstration, ais@e mais un peu fastidieuse, de ces deuxpoints est laiss4e au

lecteur. V4rifions simplement que la variable D, associ@e & un mouvement brownien

B issu de O, ~ valeurs darts ~d, ~our d entier quelconque, appartient & tousles

L p (p < ~).

¢ 4tant born4e et ~ support compact, on peut remplacer

(pour simplifier). On a alors :

o <i ds = o ~-IIIBsI I(IBs Isl)I s o --V~

Or, quand ~ ÷ 0, on a l'estimation :

I~I(B S) par I(IBsI~I)

IIIB~I~ <11~. (IBII =~

o~ c Iet c 2

On a donc:

ic E[IBII p I(IBII~) ] ~ c] O pp+d-1 dp ~ c 2 d+p

sont deux coastantes universelles.

I d

IIlBII I I~ = O( ~-~(I +~)~

tID d'o~ l'on d4duit :

(S -~ oo)

(5.5) D@monstration de la seconde ~artie du tb4or~me B.

¢(n)(x ) def n3/2 ¢(nx) satisfaisant :f dx ll¢(n)(x)I~ = f dx II@(x)Ii 2, il suffit de

montrer la majoration cherch4e pour n = 1.

On a. d'apr~s les in4galit4sde Burkholder-Davis-Gundy :

E[SUPs<__t ,DI(¢.s),2P] < Cp E[(I; du ,I~¢(Bu-Bs).dSs,2)P].

245

En d~veloppant l'int6grand en du, on se rambne ~ majorer les expressions :

oft (~s) d~si,~ne tree comlaosmnte du mouvement brownien (6s) , et f(.) une compo-

sante du champ, de matrices O(-).

Pour simplifier l'dcriture, notons : ;u h(u,s) = £(6u-6 s) et H(u) = h(u,s)dy s

0 Introduisons encore (~k (-) ; k = 1 , 2 , . . . ) base orthonorm~e de L2( [0 , t ] ,du) . On a alors :

I: = (I: = (I: A l'aide de l'extension des indgakitds de Burkholder-Davis-Cundy aux suites de

martingales, on a :

E[ du H2(u))P] _- < C n E[(Z k I0 ds (fS du tPk(U)h(u,s))2) p]

(q~k) ~tant une base orthonorm~e de L 2 [0 , t ], on a :

( f t ~Ok(U) b (u, s))2 It b2 Z k du = du (u,s) s Js

e t donc :

Appliquons maintenant la formule de densit~ d'occupation. II vient :

t u f0 du 10 as h2(u,s)= Idx f2(x)~(x,t)= (Idx f2(x))I d~(x)~(x,t)

oh d~(x) - dx f2(x) est une probabilit~ sur IR 3 . fdx f2 (x)

On d~duit a lors de l ' i n4ga l i t~ de F61der que :

E(;I fu ~ (f )o E du ds h2(u,s) =< dx f2(x) sup_ E[~(x, t )P] . 0 x

Nous montrons ci-dessous 1' in~gali t4

(3.k) sup_ E[a(x, t ) p] _-< C t p/2 x P

246

ce qui termine la d~monstration de la seconde partie du th6or~me B.

(3.6} R~gularit~ et int~grabilit~ des temps locaux d'intersection.

Ce sous-paragraphe est consacr~, d'une part g la d~monstration de (3.k), d'autre

part ~ celle de (1.b), les deux d~monstrations s'appuyant pour l'essentiel sur la

x d~crivant ~3. formule de Tanaka-Rosen (2.b)1,x,

(i) Pour montrer (3.k), il nous suffit de prouver que les terme ~)x,..., @

t1/2 qui figurent en (2.b)i, x sont born~s dans L p, uniformdment en x, par Cp .

En ce qui concerne les termes (~x et @x' cette propri~t6 dOcoule de :

( f l ds ~p] tP/2 , ' x I P

o~ (~s,S ~ O) es t un mouvement brownien g valeurs dans N3 issu de 0

L'est imation (3.z) es t une cons6quence h r ~ d i a t e de la formule d ' I t8 suivante :

ft ds pour tout x ~E 3, ]6t-xl - Ix] = c t + 0 IG-xl

avec (¢t,t ~ 0) mouvement brownien r~el.

La majoration dans L p, uniform6ment en x, des termes @x et @x' par Cpt ]/2

d~coule in~n~diatement des in~galit6s de Burkholder-Gundy, les int6grands qui figu-

rent dans les int~grales stocbastiques Otantuniform4ment bombs.

II reste finalement ~ estimer @x' c'est-h-dire g montrer, avec les notations qui

suivent (2.d), l'in~galit~ :

(3.m) sup E[[I t ru ] deu. j XI(Bu-S~-x).dB;] p ~ C t 9/2. x- 0 0 P

A l'aide des in6galit~s de Burk~older-Gundy et de l'in~galit~ de H61der, on se ra-

m~ne g montrer :

i ft du E ds /2 (3.m') SxUP t 0 lgu-8's-Xl 2 ~ ] _-< Cp.

Or, on montre sans difficult~ :

E[/r tk\)0 ds. ?] < CD(I + = log* t) p/2 I B s - l l 2 -

ce qui entraSne, par scal ing, que le membre de gauche de (3.m') peut ~tre major~

par :

247

Cp I + E l ( l o g + ~ ) p / z 1 + a ~ ( l o g - ~ - . < ~. y le1-Yl l~Isl

Remarque : J.F. Le Gall (communication personnelle) nous a indiqu4 que l'on peut

montrer, ~ l'aide des calculs de moments fairs en [4], p. 478, que, pour tout

x 6R 3, et tout p entier, on a :

E[~(x,t) p] S E[a(0,t) p] (< ~),

ce qui entraSne afortiori (3.k), par scaling.

(ii) Pour d~montrer (1.b), nous nous appuyons de fa~on essentielle sur la

- ~rise au temps s, x et y satisfai- formule de Tanaka-Rosen (2.b)i, x (2.b)1,y,.

sant : Ixl, Lyl s N.

Le terme (~) qui figure dans cette formule est, avec les notations du th~or~me B,

D l ( ~ x , y , s ) , oh ~ x , y ( O = ~(1) (~) _ ~(1) (~) x y "

On a, d ' a p r ~ s l a seconde p a r t i e du th4or~me B, e t l e s c a l c u l s f a i t s en [11] :

S[sup ID 1 (~x,y,s)I p] s c f f d~ II%,y(~)112) p/2 t p /4 s~t

(3.n) s C Ix-y] p/2 t p / 4 . P

Par a i l l e u r s , l e s e s t i m a t i o n s de t e n s i o n f a i t e s en (2.4) nous dorment, pour l e s

termes ae type @, @, ® , ® , aes m a j o r a t i o n s au genre s u i v ~ t :

(3.0) E sup IU(x,s)-U(y,s)l p] (t)Ix-ylP(1+log+(T~]) + log+(T~]))P. sst s Cp

On d4duit finalement (].b) des estimations (3.n) et (3.o) et du lemme de Garsia-

Rodemich-Rumsey (voir, par exemple, [1], p. 203).

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fractionnaires.

Article pr~c6dent dans ce volume.