G R A N D E S D ] ~ V I A T I O N S D E F R E I D L I N - W E N T Z E L L

E N N O R M E H O L D E R I E N N E

G. Ben Arous et M. Ledoux

P~SUM~. - - Nous ddmontrons que le principe de grandes ddviations de M. Freidlin et A. Wentzell sur les petites perturbations de systdmes dynamiques peut ~tre ~tendu d la topologie hSlderienne d'indice ct pour tout O < a < 1-

2"

Freidl in-Wentzel l large dev ia t ions in H61der n o r m

ABSTRACT. - - We prove that the Freidlin-Wentzell large deviation principle for small perturbations of dynamical systems can be eztended to the HSlder topology of indez ct for all 0 < ct < �89

Soient, sur ]R d, un champ or de matrices d • p et un champ b de vecteurs uniform~- ment lipschitziens et uniform6ment bombs; soient en outre des champs de vecteurs be,

> 0, convergeant uniform~ment vers b. On ddsigne par X~, e > 0, z E IR d, la solution de l'~quation diff~rentielle stochastique d'It6

/0 /0 x : ( t ) = ~ + ~ ~(X:(s))dW(s)+ b,(X:(s))~, 0 < t < l ,

oct W e s t un mouvement brownien s valeurs dans JR?. Dans leur article fondamental, M. Freidlin et A. Wentzell [F-W1] (volt aussi [F-W2]) ~tablissent des estimations asympto- tiques des probabilit$s ]P{X~ E A} lorsque e tend vers 0. Ils dgmontrent le principe de grandes ddviations suivant: soit C~([0,1]; IR a) l'espace des fonctions continues sur [0,1] s valeurs dans IR d et issues de z muni de la topologie de la norme uniforme I1" II; alors, pour tout x de IR d et tout pattie bordienne A de C~([0,1];IRa),

-A(.4) < liminf e2 log lP(X: E A} < limsupr log]P{X~ E A} < -A(A)

o~ ~. et ~ d~signent respectivement rint~rieur et radh~rence de A (pour la topolo- gle uniforme) et oct i est la fonctionnene de grandes d~viations d~finie par : si A C

A(A) = inf{�89 E H,r e A}

oCt H est l'espace de Cameron-Martin de W e t , pour h E H, ~Z(h) est la solution de l'$quation diff~rentielle ordinaire

f0' �9 Z(h)(t) = z + e (~(h ) ( s ) )h ( s )ds + b(~Z(h)(s)) ds, 0 < t < 1.

2 9 4

Divers travaux r~cents ont dtudi~ le rSle de la topologie sur l 'espace de Wiener, notamment pour les grandes ddviations du mouvement brownien [B-BA-K], [BA-L] et le thdor~me du support pour les diffusions [A-K-S], [BA-G-L], [M-S]. En particulier, ces propridtds ont dt~ dtendues s la topologle hflderlenne d~indice a , 0 < a < �89 plus forte que la topologie uuiforme habitueUe. Dans cette note, nous nous proposons d'effectuer le m~me travail pour les grandes ddviations de Freidlin et WentzeU. La clef en sera une version simplifide du lemme crucial de Particle [BA-G-L] sur la probabilitd que le mouvement brownien ait une grande norme hStderienne sachant, ou plus simplement ~tant donnd, que sa norme uniforme est petite.

Pour toute fonction w : [0,1] --4 IRd, on ddfinit la norme hSlderienne d'indiee 0 < a < l par

IwC t) - w(s)l I1~,11 = sup

0 < , < t < l It - sl ~

(o~ nous consid~rons IRa muni par exemple de sa norme euclidienne I" I)- Nous ferons usage de l'6quivalent de Z. Ciesielski [C] : pour toute fonction continue w : [0,1] --* IR a telle que w(0) = 0, soient, pour m = 2" + k - 1, n > 0, k = 1 , . . . ,2'*,

et r = w(1) les ~valuations de w dans la base de Schauder sur C0([O, 1]; IRa); alors, pour tout 0 < a < 1, Ilwlla est dquivalent s

II,.,-,11'.~ = sup m'~-�89 m>O

TH~OR~MB. - - Soit 0 < a < ~ ; pour tout z de IRa et tout bordIien A de C~([0,1]; IRd),

-A(A) < lira inf e2 log 1P{X: E A} _~ llm sup g2 log IP{X~* E A} _~ -A(A)

oh ~t et A d~Signent respectiYement l'int~rieur et 1'adherence de A pour la topologle h&lderienne d'indlce c~.

I1 est bien connu que les solutions X~ sont effectivement hflderiennes sous les hy- potheses considdr~es. Le schema de preuve inJtid par R. Azencott [A] montre qu'il sufllt, aria d 'dtablir le thdor~me, de ddmontrer la condition de continuit~ exponentielle suiv- ante. Nous suivons la presentation (et les ameliorations) de P. Priouret [P], mais toute autre approche "classique" permettraJt sans doute d 'dtablir de m~me le r~sultat. Dans ce qui suit, a est fixd dans l'intervalle ]0, �89

PROPOSITION. - - SoJt h E H; pour tout R > 0 et tout p > O, il existe 8 > 0 tel que pour tout e suf f isamment petit ,

�9 ( l lx: - ~ ' ( h ) l l ~ ~ p, l l~W - hll ~ 6 ) ~ e x p ( - R / ~ 2 ) .

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Rappdons en quelques mots comment le thdorSme de grandes d~viations se dSduit de la proposition. Le raisonnement est identique au raisonnement habituel en norme uniforme. Soit A ferm6 pour la topologie hSlderienne et soit 0 < r < A(A). Si h E H est tel que }[ht 2 < r , alors ~ ' ( h ) ~ A par d~finition de A(A). Comme le eompl~mentaire A" de A est ouvert, il existe Ph > 0 tel que la boule hblderienne ouverte Bc,(~"(h),ph) soit contenue darts A% D'apr~s la proposition, il existe 6h > 0 et ea > 0 tels que pour tout O < ~ < _ r

m { l l x : - r _> p~, II~W - hll < sh} < e ~ p ( - r / ? ) .

Par compacit6, il existe enfin une famille finie h a , . . . ,hN dans H avec ~lhil 2 <_ r pour tout i = 1 , . . . , N telle que

N { ;~lhff _<

i=1

o~t les boules B(hi,,Sh~) sont ouvertes en topologie uniforme. Soit alors U l 'ouvert uN1 B(hi,6h,); comme, pour tout i = 1 , . . . , N , a C Ba(q~'(hi),ph,) e, on peut 6crire

F{x: ~ A} < F(,W r U} + lP(X: c A,~W e V} N

<_ ~ {~w r u} § F_~P {IIx: - r ~ >_ ph,, II~W - hill < ,sh, } /=1

< lP{~W r u} + N exp(-~/~')

d~s ~tue s < min(eh, , i = 1 , . . . , N ) . D'apr~s les grandes d6viations browniennes (en topologie usuelle), il s'ensuit qu e

lim,__,0sup ~2 log IP{X: E A} < m a x ( - r , - ~ f ~lhl 2) < - r

et done la conclusion pulsque r e s t arbitraire plus peti t que A(A).

Pour la mlnoration, si A est ouvert, soit h tel que O*(h) E A. I1 existe done p > 0 tel que la boule h/51derienne ouverte B,~(O*(h),p) soit eontenue dans A. Ainsi,

l P { X : e A} > 1P{IIX: - r < p}

>_ n: ' { l l , ~W - hll _< S}. - u:,{ IIx: - r _> ,,,, I I ~ w - hll _< S } .

En vertu des grandes d6viations du mouvement brownien,

n m i n f ? log n, { II~W - hll _< ~} _> - �89 2. t ~ 0

Les in6galit$s prde6dentes jointes s la proposition fourulssent alors imm6dintement le r6sultat puisque h est arbitraire.

Nous d6montrons s pr6sent In proposition.

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Dgmonstration de la proposition. Nous traitons d 'abord le cas h = 0. Le pas important de la d6monstration r~side alors dans la propri~t6 suivante : pour tout R > 0 et tout p > 0, il existe/~ > 0 tel que pour tout 6 suffisamment petit,

O) u,{ ~L~,(x:cs))aW(s) <, ___ p, il~Wli _< 6} < e x p ( - R / e ) .

cet effet, nous faisons usage des deux lemmes suivants sur les normes h61deriennes. Le premier est donc une version simplifi~e du lemme crucial de [BA-G-L] dans l'~tude du support en norme hflderienne des diffusions. Le r~sultat de [BA-G-L] ~value en effet des probabilitSs conditionnelles alors que nous nous contentons ici d 'une estimation de la probabilit~ que le mouvement brownien aJt de grandes oscillations quand celui-ci est contr61~ en norme uuiforme, tk noter ~galement que ce lemme est utiUs~ pour des grandes valeurs des param&tres (alors qu'fl l '~tait pour des petites dans le cadre du th~or~me du support).

L E ~ 1. - - 17 existe une constante C > 0 ne ddpendant que de p e t c~ telle que pour tout u > 0 et tout v > O,

u l la ~. le{liWll<, >__ ,,, IlWll _< ,,} __< Cm~( , , (-~)'i<')exp (--~-~-"' v<l"]'7"g~-/]

LEIVR~E 2. - - // existe une constante C > 0 ne ddpendemt que de p et a telle que pour tout u > 0 et tout processus continu K sur [0,1],

IP{ L'K(.)dW(~) < > u, llKil < 1} < Vexp(-u=/C).

Pour le premier lemme, on utilise la norme ~quivalente ]]. ]}',~ pour ~crire que, si u ,v > O,

l I_~ 1P{IIWII~ > u, llWll < ,,} < ~ ] P { I ~ ( w ) [ >- urn, ,llWll < ,,} m>0

< ~2 ~P{[e,.(w)[ >_,,~,~-"} ~rt ~ rtto

o,~ ,~o = m ~ 0 , ( , ~ / 4 v ) ' / " ) p~sque, sur {llWll -< "), I~(W)l -< 4',v'~. Comme ]es ~,~(W) forment une suite de variables al~atoires suivant la loi gaussienne canonique sur IR p, le lemme 1 se d~duit d 'un calcul ~l~mentaire. Pour le second, on note de la m~me fa~on que

IP _> u, [IKII -< 1

<_ 2 ~ ~ ] P ~ i ' / ' " , K ( s ) d W ( s ) >_ u2 . . . . a,llKll_<X }, n=o k=l t IJ(k-3)/2

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et, par l'in6gallt6 exponentielle des martingales, cette probabilit6 est major6e par

co

4 E 2'~+I exp( - u 2 2 ~ l - 2 ~ ) - s ) " ~ = 0

Le lemme 2 s 'ensui t .

Ddmontrons alors (1) en suivant [P]. Pour tout entier f _> 1, soit la discrdtisation

X{'t( t)=X{(j /s s i j / s j = O , . . . , t - 1 .

I1 est alsd de constater (cf. [P]) que, sous les hypoth6ses considdrdes, pour tout R > 0 et tout 7 > 0, il existe t0 > 0 et s tels que si 0 < ~ < t0,

(2) ~'{l lx: - x:"ll _> ~) _< exp(-R/~2)-

I1 va suffire alors d 'est imer les probabilit6s

Pm= F { ~ f 0 [ ~ ( x : ( , ) ) - ~(x:,t(~))] d W ( ~ ) __ p, llX: - x:'ell _< ~}

et

fo'~ dW(~) ,~ En vertu de la propriStd de Lipschitz du champ a et du lemme 2, la probabilit6 P1 est de l 'ordre de exp( -p2 /CTZt a) oh C > 0 ne dSpend que de p, r et ~. Par aJJleurs, si est born6 par M,

0" ~(X; '~(s ) ) dW(~)

= ~ ( x : , * C J l l ) ) [ w ( ( c j + ~)lt) ^ (.)) - w ( ( j / t ) ^ (.))]

<_ 2tMIIWL,

de sorte que par le leXnme I,

(3) P2 < C' max(1, {p ' I/'~' ( 1 pl/,, "~ _ ~,.~-) ) exp - - C,tl/ae2 �9 ~5(1-7--L~-_, /

06. C ' > 0 ddpend de p, .a, M.

l~tant donnds R > 0 et p > 0, on choisit alors 7 > 0 suffisamment petit pour que p'~/C72 > R, puis t tel que (2) soit satisfait et enfin /~ > O tel que, dans (3), pl/~'/6(1/~')-~' > C'?//r La d6monstration de (1) se complete alors ais6ment.

Pour conclure /L la proposition quand h = 0, il suflit de faire a p p d au lemme de Gronwall en norme h61derienne (volt [BA-G-L], Lemme 2). Da~as le cas gdn6ral, on effectue une translation sur l 'espace de Wiener par la formule de Cameron-Martin pour se ramener ~ h = 0. Darts cette operation, les champs be, e > 0, prennent la

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forme b,(s, z) = b , (z) + a (z )h ( s ) et sont donc amen6s/L d6pendre du temps. Comme

f : I~t(s)l 2 ds < 0% il est aim de constater que ce lemme de Oronwall h61derien s'~tend /t cette s i tuat ion. V6rifions bribvement ce point pour terminer . Soit L u n majoran t des constantes de Lipschitz de b e t or. Posons Ih] z = f : []z(s)12ds pour simplifier les nota t ions . Soient alors X , et Y tels que

fO ~ x , ( t ) = ~ + x ( t ) + b,(~,x,(~))d~, 0 < t < l ,

et

/o' rCt) = �9 + b(,,Y(~)) d,, 0 < t < 1,

oa �9 e ~ , x(o) = o, et IlZfl~ -< ~, suppeR, Ib,(~) - b(=)p _< 6, 6 > o. D'apr~s le lemmr de Gronwall usuel, et comme [IXll ~ IIX[I. _< ~,

IIX. - YII -< (llZll + sup [b.(~) - b(~)]) e~p L (1 + Ih(s)l) as zEIP. ~

< 26 eL(l+lal).

Pour tout 0 < t < 1 et toute fonction w : [0,1] ~ lR a, posons

I I ~ l l , ~ , , = Iw(.) - " . , (~ . ) I

sup Iv ul" O<u<v<t

Nous pouvons aiors 6cfire

I[x. - YII~,t -< I[II[. + ./'[b.(s,Xo(s)) - b(s,Y(s))] ds r

< IlXll~ + : : ~ , Ib,(~) - b(~)l

L f f ( 1 + sup + I h ( ~ ) l ) l x , ( s ) - Y(s)ld~. 0<~<~<t Iv - uI"

En uti l lsant que

I x , ( ~ ) - Y(*)I - I x , ( ~ ) - Y(=)I + l( x , - Y) (*) - ( x , - Y) (=) I ,

il vient

]1 x , - YI[~., < IIIIl~ + sup Ib,(=) - b(=)[ + L 0 + Ihl)llX, - YII z E R ~

f0t(1 Ih(*)l)l lX,- YIl~.,ds. , + L +

Par une nouveUe application du lemme de Gronwall, nous obtenons f inaiement

NX, - YI[~ < 2g(1 + L(1 + [hl)eZO+lhl))e L(l+lhl),

just i f iant alnsi la fin de la d~monstra t ion de la proposit ion, et donc aussi du th~or~me.

[A-K-S]

[A]

[B-BA-K]

[BA-L]

[BA-G-L]

[C]

[F-W1]

[F-W2] [M-S]

[P]

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