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Le (ou les) rôle(s) du langage dans
l’enseignement et l’apprentissage des
mathématiques ?
Lalina Coulange
Didactique des mathématiques
Des mots
« le cercle », « une centaine », « le quart »,
Des écritures (symboliques)
15 1,23 1 + 2 + 2 = 5
Des dessins, des schémas
Qu’est-ce que le langage en classe de
mathématiques ?
Qu’est-ce que le langage en classe de
mathématiques ?
un OLNI
(Objet Langagier Non Identifié)
Qu’est-ce que le langage en classe de
mathématiques ?
Ne pas confondre
avec
« langue mathématique »
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
De l’importance des « bons mots » ?
Allez chercher juste assez de garages en un seul voyage
(Briand, Loubet et Salin 2004)
Cycle 1
De l’importance des « bons mots » ?
Allez chercher juste assez de garages en un seul voyage
Allez chercher le bon nombre de garages en un seul voyage
Cycle 1
De l’importance des « bons mots » ?
Allez chercher juste assez de garages en un seul voyage
Allez chercher le bon nombre de garages en un seul voyage
Cycle 1
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
De l’importance des « bonnes écritures » ? Cycle 2
(Laparra et Margolinas 2016, p. 11)
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
De l’importance des « bonnes écritures » ? Cycle 2
Ce que l'enseignant remarque comme une erreur grossière qu'il faut au
plus vite corriger, c'est l'écriture fausse : 12+5 = 7. Cependant les élèves
n'ont alors pas étudié la soustraction et l'écriture produite par Hamdi montre
qu'il a bien compris qu'après le "=" se trouve généralement le nombre solution.
La suite qu'il produit est donc "donnée"+"donnée"="solution", comme dans
toutes les écritures qu'il a rencontrées avant (par exemple 6+4=10). L'écriture
produite est donc fausse du point de vue de l'addition, mais elle correspond
bien à la succession des événements qu'il a voulu représenter : j'ai
dessiné 12 cubes, puis, j'en ai barré 5, et alors j'en ai obtenu 7. (…)
(Laparra et Margolinas 2016, p. 11)
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
De l’importance des « bonnes écritures » ?
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
De l’importance des « bonnes écritures » ? Cycle 4
Dans la classe de T. Dupont
En 5e
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
De l’importance des « bonnes écritures » ? Cycle 4
Ne pas confondre langue mathématique et
langage en classe de mathématiques
Attention aux effets de surnormativité
Faire « investir » la langue mathématique
Qu’est-ce que le langage en classe de
mathématiques ?
« Comprendre » la langue mathématique
pour mieux enseigner les mathématiques
En identifier des fonctionnalités
Oser la questionner
Tiens au fait … cercle ou disque ?
Qu’est-ce que le langage en classe de
mathématiques ?
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
La difficulté scolaire en contexte(s) Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
Pourquoi s’intéresser à cette pratique scripturale ?
en CM2 en 6e
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
désigner des points par des lettres
recouvre aussi potentiellement
dénommer et désigner des objets géométriques (points, droites,
demi-droites, segments, figures…)
désigner et opérer sur des grandeurs (AB = 5 cm)
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
dénommer et désigner des objets géométriques de différentes
dimensions (points, droites, demi-droites, segments,
figures…) ainsi que leurs relations
A sommet du carré ABCD
désigner et opérer sur des grandeurs associées à ces objets
AB = 5 cm
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
Lire et extraire des informations
Comment « lire » le triangle ABC ou le carré ABCD ?
Des pratiques intermédiaires
Le segment d’extrémités A et B le segment [AB] [AB]
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
Analyser des situations et penser une progressivité
Un exemple en CM2
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
Analyser des situations et penser une progressivité
Un exemple en CM2
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres »
Cycle 3
Analyser des situations et penser une progressivité
Notons au passage que les mots « sommets », « milieux », « extrémités »
contribuent peut-être à masquer l’objet « point » dans d’autres situations…
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres »
Un moment d’étude de langue mathématique
« désigner des points par des lettres » Cycle 3
Analyser des situations et penser une progressivité
Un exemple en 6e
Des enjeux d’étude à ne pas négliger ?
« désigner des points par des lettres » et … Cycle 3
Tracer un carré de 6 cm de côté. Tracer un cercle de centre B de 2 cm de rayon. Faire un carré qui part du point A, qui mesure 6 cm, faire une droite perpendiculaire à la droite AB, s’appelant BC, mesurant 12 cm, faire la même chose pour CD. Exemples de production d’élèves à l’entrée en Sixième
Des enjeux d’étude à ne pas négliger ?
« désigner des points par des lettres » et … Cycle 3
Le cercle de centre le sommet « en haut à droite »
le cercle de sommet B
avec comme signification « en haut à droite » !
Des enjeux d’étude à ne pas négliger ?
« désigner des points par des lettres » et … Cycle 3
Pareil / pas pareil ?
Des modes d’agir-parler-penser
Des contextes (celui de la classe de
mathématiques, mais aussi d’autres
contextes…)
Au sein d’une communauté constituée
d’élèves et d’un(e) enseignant(e)
Le langage pour enseigner et apprendre des
mathématiques
Axe Apprentissages et langage en mathématiques
L. Dicharry, A. Jouve, C. Laroche, J. Lorblanché, J-F Peyron
L. Coulange, G. Train
Le LéA Carle Vernet
Apprentissages et langage dans les disciplines
« lire et écrire » des nombres décimaux
Différents modes de désignation des décimaux
Avec les fractions décimales
256
100 ; 2 +
56
100; 2 +
5
10+
6
100 ;
2560
1000
2𝑢 + 56
100u ; 2𝑢 +
56
100
Avec l’écriture décimale
2,56
2 + 0,56
2 + 0,5 + 0,06
Avec les unités de numération
256 centièmes ou 2560 millièmes
2 unités et 56 centièmes
2 unités 5 dixièmes et 6 centièmes
« lire et écrire » des nombres décimaux Cycle 3
Le rôle des unités de numération (centaines, dizaines, unités, dixièmes, centièmes) dans les nouveaux programmes de cycle 3 Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l'insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes... Les caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique sont mises en évidence. L'écriture à virgule est présentée comme une convention d'écriture d'une fraction décimale ou d'une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul. (extrait du nouveau programme de cycle 3 – mathématiques)
« lire et écrire » des nombres décimaux
Des potentialités « oubliées »
des unités de numération
(Chambris 2008, 2015 & Tempier 2013)
La « conversion » entre unités de numération
Un exemple multiplier 2,56 par 10
10 fois 2 unités 5 dixièmes et 6 centièmes
20 unités 50 dixièmes et 60 centièmes
2 dizaines 5 unités et 6 dixièmes
Notons que du point de vue de l’écriture décimale, ce n’est pas la virgule qui se « décale »
« lire et écrire » des nombres décimaux
Des potentialités « oubliées »
des unités de numération
(Chambris 2008, 2015 & Tempier 2013)
Unités de numération et décimaux
1 dixième de l’unité = 1 unité partagée en 10
1 centième de l’unité = 1 unité partagée en 100
= 1 dixième de l’unité partagée en 10
Partage - Groupement ?
10 dixièmes de l’unité = 1 unité
10 centièmes de l’unité = 1 dixième de l’unité
Positionner
15/10 sur une droite graduée en centièmes
dans une classe de CM1 à Carle Vernet
La nécessité d’une reconstruction du sens
groupement des unités de numération
« lire et écrire » des nombres décimaux
« lire et écrire » des nombres décimaux
La situation de l’enveloppe des nombres
(Fénichel et Taveau 2008)
En CM2-6e à Carle Vernet – Aliénor d’Aquitaine
« lire et écrire » des nombres décimaux
14 étiquettes « un millième » et 8 étiquettes
marquées « 1/1000 »
16 étiquettes « un centième » et 19 étiquettes
marquées « 1/100 »
15 étiquettes « un dixième » et 9 étiquettes
marquées « 1/10 »
7 étiquettes marquées « une unité » et 6
étiquettes marquées « 1 »
2 étiquettes de « une dizaine » et 2 étiquettes
marquées « 10 »
Trouvez le nombre
correspondant à la
valeur du contenu de
l’enveloppe
En CM2-6e à Carle Vernet – Aliénor d’Aquitaine
De retour à l’OLNI …
« lire et écrire » des nombres décimaux
« lire et écrire » des nombres décimaux
Des unités de numération
(unité, dixième, centième,
millième…) et des unités de
mesure (m, dm, cm, mm)
Que peut-on dire d’un tel
rapprochement pour les
décimaux ?
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
En amont
Les fractions introduites comme partage de l’unité
1
2
1
4
1
8
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
Une première tâche non problématique :
Donner la mesure de différents segments avec des règles
graduées (en papier plastifié) en mm, cm, dm
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
La tâche au cœur de la situation didactique
Un segment AB de 1 cm étant donné, exprimer la mesure de ce
segment en dm ?
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
Ici, on essaie de reconstruire le sens partage à partir du sens
groupement
1 dm = 10 cm 1/10 dm = 1 cm
1 dixième = 10 centièmes = 1/10 de dixième
= 1 centième
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
Des partages en 8, en 10 (mais avec une traduction erronée 10
dm = 1 cm)…
1 cm = 1
10 dm
0,1
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
P : attends, ils ne t’écoutent pas là. Ils ne t’écoutent pas. Va au
tableau et explique.
E : tu dis qu’un centimètre, c’est 10 mm. Du coup, là c’est dix fois
plus grand. T’es obligé de faire dix fois plus grand et du coup si
on veut le faire en décimètre, il faudrait que ce soit dix fois plus
petit.
P : il était en train de me dire que… il y a combien de centimètres
dans un décimètre. Levez la main et répondez.
E : 10.
P : 10. Un centimètre, c’est combien de fois plus petit qu’un
décimètre ?
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
E : Puisqu’il y a zéro décimètre, alors j’ai mis un zéro. Mais
virgule 1. Je pense que c’est le même calcul que ça.
P : tu penses que c’est la même chose ?
E : bien oui parce que là c’est un centimètre et 10 millimètres et là
on dit que c’est un dixième, donc s’il fait zéro virgule un, ça veut
dire que c’est un dixième. Parce que là si tu rajoutes le dixième,
ça fait un dixième.
P : donc ce un, ce serait le un du dixième ? Je ne sais pas il va
falloir que l’on en reparle.
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
« 10 fois plus grand » « 10 fois plus petit », une connaissance
importante pour faire émerger le 1/10 dm
Le 0, 1 qui apparaît sans lien avec les unités de numération, mais
en lien avec le tableau de conversion entre unités de mesure
Mais une mise en relation
entre les deux qui permet
de reconstruire le sens du 1
comme 1/10 dm
Une tentative dans une classe de CM1
« lire et écrire » des nombres décimaux
Des écritures qui vont co-exister par la suite
2
10 𝑑𝑚
7
100 𝑑𝑚
1 dm 2 cm 7 mm
1,27 dm
« lire et écrire » des nombres décimaux
• La conversion entre unités de numération
suppose une reconstruction du sens
groupement dans l’étude des nombres
décimaux
• Le sens de la virgule n’est pas le même
dans le contexte de la mesure et de la
numération décimale
E : « la virgule sert à dire si on parle de
centimètres, de décimètres… »
Quelques mots du tableau (d’unités de
numération, d’unités de mesure)
Pourquoi la virgule « dans le tableau » ?
« lire et écrire » des nombres décimaux
Quelques mots du tableau (d’unités de
numération, d’unités de mesure)
« lire et écrire » des nombres décimaux
Quelques mots du tableau (d’unités de
numération, d’unités de mesure)
« lire et écrire » des nombres décimaux
Le projet Deciplace (Behrens, Bikner-Ashbabs 2016)
https://itunes.apple.com/us/app/place-value-chart/id568750442?mt=8
« lire et écrire » des nombres décimaux
« lire et écrire » des fractions
La fraction partage de l’unité
1/3 comme une unité (de longueur, d’aire…)
partagée en 3
2/3 comme 2 fois « une unité (de longueur, d’aire…)
partagée en 3 »
La fraction commensuration
2/3 comme permettant d’obtenir 2 unités (de
longueur, d’aire) avec 3
La fraction quotient
Le nombre qui multiplié par 3 donne 2
Plusieurs expérimentations en cours sur la fraction
partage de l’unité en CM1 à Carle Vernet
« lire et écrire » des fractions
http://www.irem.univ-paris-diderot.fr/articles/mise_en_ligne_des_brochures_de_lirem_de_paris/
Des concepts du « quotidien » de la moitié (ou
un demi), du quart de l’unité à faire évoluer
Partage « équitable » ou « superposable » (le
pliage, la superposition au service de cette
évolution)
« lire et écrire » des fractions
Contextes de recherche plus ou moins internes à
l’Ecole ou à l’institution scolaire
Notion(s) de contexte(s) : dans la classe, inter-
ou intra-subjectif, plurielles (scolaire, social,
culturel, familial…)
Nouveaux contextes
Des tensions récurrentes entre actions (plier en
2, replier en 2, …) et les résultats des actions
(1/2, 1/4, 1/8…)
1
2
1
4=
1
8 ou
1
8+
1
8 =
1
4 ou une unité partagée
équitablement en 8
« lire et écrire » des fractions
Les équivalences d’écriture, un enjeu crucial…
Toutes les écritures possibles de 1
2 ?
« lire et écrire » des fractions
« lire et écrire » des fractions
Et alors ?
Pour les élèves
« investir » les différentes dimensions (à l’oral, à
l’écrit) du langage en classe de mathématiques
Pour les enseignants
observer les usages « langagiers » en classe de
mathématiques (des élèves, de la langue math.,
etc.) et s’en « ressaisir »
C’est loin d’être simple !
Le(s) rôle(s) du langage pour enseigner
et apprendre les mathématiques
Merci de votre attention !