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IUFM DE BOURGOGNE
Concours de recrutement : professeur des écoles
LES EFFETS DE LA MANIPULATION
DANS L’ACTIVITE MATHEMATIQUE
PALLEAU Karine
Directeur de mémoire : M. Veillat
Année 2005 N° de dossier : 0361979F
Sommaire
Introduction
I. Présentation générale
A. Définitions1. La manipulation
2. Le matériel de manipulation
B. Pourquoi fait-on manipuler les élèves ?1. Qu’est-ce que ça leur apporte ?
2. Les pièges à éviter
C. Les précautions à prendre avant de faire manipuler les élèves
D. Que disent les instructions officielles à propos de la manipulation ?
E. Le dispositif expérimental
II. Manipuler : utiliser du matériel
A. Quel est l’intérêt d’utiliser du matériel dans une séquenced’apprentissage ?
1. Quelques avis théoriques
2. En résumé…
B. La première expérimentation1. Description de ce qui s’est passé en classe2. Analyse générale
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
C. La deuxième expérimentation1. Description de ce qui s’est passé en classe2. Analyse générale
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
III.Manipuler : construire des connaissances
A. La manipulation est-elle essentielle à la construction des savoirs enmathématiques ?
1. Quelques avis théoriques
2. En résumé…
2
B. La première expérimentation1. Description de ce qui s’est passé en classe2. Analyse générale
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
C. La deuxième expérimentation1. Description de ce qui s’est passé en classe2. Analyse générale
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
IV. Que peut-on conclure de ces expérimentations ?
A. Des résultats qui ne sont pas très probants …
B. … mais doit-on s’y fier ?
Conclusion
Bibliographie
Webographie
Annexes
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Introduction
Dans l’enseignement, on emploie régulièrement un vocabulaire spécialisé, mais
certains termes sont parfois très ambigus. Le mot « manipulation » est l’un de ceux-là, il
est polysémique et en même temps largement utilisé.
D’un point de vue didactique, la manipulation est souvent considérée comme une phase
initiale pour aborder une notion.
L’emploi du terme manipulation renvoie aussi au processus d’apprentissage,
équivalence entre action effective de l’élève et garantie de sa compréhension.
On associe également ce mot au concret en opposition à l’abstrait.
Bruner dit aussi de la manipulation qu’elle participe de la genèse d’un concept.
Tant sur le plan didactique que sur le plan psycho cognitif, la manipulation est porteuse
de sens très variés.
On entend dire de beaucoup de pédagogues : « il faut faire manipuler les élèves ! »
Oui, mais pourquoi manipuler ? Quand manipuler ? Avec quoi manipuler ? Faut-il
toujours faire manipuler ? À tous les niveaux ? Plus ou moins ? Pour débuter une
séquence, pour apprendre, pour vérifier, pour aider ? La manipulation doit-elle être
réservée aux élèves en difficulté ? Manipuler seul ? À plusieurs ? Manipulation libre ?
Guidée ? La manipulation implique-t-elle toujours le jeu ? Quel matériel utiliser ?
Manipuler suffit-il ? …
Autant de questions que l’on est en droit de se poser quand on se trouve à réfléchir sur
la mise en pratique de cette petite phrase « anodine ».
Pour pouvoir penser ces interrogations de façon plus pointue, un domaine d’étude a été
choisi : les apprentissages numériques en mathématiques avec des enfants de 3 à 8 ans,
et un problème a été ciblé plus particulièrement : quand on décide de faire manipuler ou
non les élèves à un moment donné de la situation d’apprentissage, qu’est-ce que ça
implique ?
Il s’agit donc d’aborder quelques généralités sur la manipulation puis de répondre à cette
problématique plus en détail en suivant deux axes principaux : la manipulation comme
moyen pour apprendre et la manipulation comme fin, c’est-à-dire participant pleinement
à la construction des savoirs.
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I. Présentation générale
A. Définitions
1. La manipulation
Dans le dictionnaire, on peut lire : « action de manier, déplacer avec la main ».
On pourrait définir le terme de manipulation en une phrase simple : c’est une action
réelle sur des objets concrets.
2. Le matériel de manipulation
Ce sont les objets que les élèves peuvent manipuler et utiliser pour construire leur
compréhension des concepts mathématiques et pour illustrer leur compréhension.
Voici quelques recommandations à ce sujet, issues de mes recherches sur internet :
« Chaque classe doit être dotée d’un assortiment d’objets à manipuler (achetés,
construits ou collectionnés) auxquels les élèves ont accès à tout moment. »
« Les activités doivent s’appuyer sur un matériel riche et varié : objets « tout venant »,
jeux, supports fabriqués par l’enseignant ou les enfants… »
« Le matériel présent dans la classe doit être riche, varié et mis à disposition des élèves :
cubes, jetons, bouliers, compteurs, instruments de géométrie et de mesure, jeux … »
« Les objets à manipuler peuvent comprendre des objets comme des géoplans, des blocs
base 10, des cubes emboîtables, des cartes à jouer, des jetons, des dés, des pièces de
monnaie, des tangrams… »
5
« Des classes basées sur l’activité présentent en général :
- un assortiment d’objets à manipuler, rangés correctement, de façon à être
immédiatement accessibles, que ce soit aux élèves ou à l’enseignant
- un centre des mathématiques ou un coin mathématiques où se trouvent des
problèmes, des cartes d’activités, des objets à manipuler et des jeux
- des endroits où les élèves peuvent travailler de manière coopérative. »
En résumé, tout type d’objets peut servir de matériel de manipulation (à condition de
respecter les mesures de sécurité), il doit donc être le plus riche, le plus varié possible,
être facilement accessible et à la disposition des enfants. Il n’est pas obligatoire
d’acheter ces objets, on peut les fabriquer ou se servir de matériaux de récupération.
B. Pourquoi fait-on manipuler les élèves ?
1. Qu’est-ce que ça leur apporte ?
« L’accès à la pensée rationnelle, considérée comme l’objectif majeur de tout
enseignement intellectuel, ne peut s’opérer valablement que si l’enseignant tient compte
du degré de développement cognitif de l’élève. Cela est rarement le cas,
particulièrement au collège où la croissance mentale est loin d’être achevée. Il ne
viendrait à l’idée de personne d’enseigner la numération entre 5 et 7 ans sans recourir à
du matériel et aux manipulations. »
« Les mathématiques ont été mises au point d’abord et avant tout afin de nous permettre
de comprendre notre environnement physique. Les mathématiques enseignées au
primaire proviennent des besoins quotidiens manifestés dans le commerce mais aussi
dans des activités qui nous demandent de quantifier le temps qui passe, une distance à
parcourir, un ensemble d’objets, une capacité liquide, un poids ; de décrire un objet, une
transformation ou une position dans l’espace, un rang…
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Bref, derrière les symboles et le vocabulaire mathématiques enseignés dans nos écoles
se cachent des objets. Il n’y a aucune raison d’apprendre les mathématiques sans la
présence constante de ces objets ou d’un matériel concret qui les représente. »
Ces affirmations paraissent irréfutables ; il est vrai que les bénéfices de la manipulation
sont souvent décrits, en voici quelques exemples.
« La manipulation d’objets concrets répond à un réel besoin chez les jeunes enfants. »
« Le matériel concret offre aux élèves des expériences tactiles pouvant les aider à créer
des modèles, à décrire des concepts et à explorer les mathématiques. »
« L’enfant invente sa connaissance des mathématiques en jouant avec des objets ; donc,
des expériences directes et concrètes avec de nombreux objets adaptés au niveau de
développement de l’enfant sont essentielles à la formation de concepts exacts. »
( Maxim, 1989 )
« Lorsque les élèves ont l’occasion de résoudre activement des problèmes, ils
développent de multiples canaux sensoriels dans leur cerveau. » ( McCain et Mustard,
1999 )
« Au cours de son approche expérimentale, l’enfant se heurte à la matière. A une époque
où le virtuel, la présence des écrans fascinent les enfants au point qu’ils ne savent plus
faire la part de la réalité, il est important de développer simultanément une approche
raisonnée du monde réel auquel il ne peut pas faire dire tout ce qu’il veut. »
« L’enfant se confronte à un monde concret qui offre des contacts et des résistances dès
lors qu’il cherche à le comprendre. Cette interrogation est une sorte de dialogue entre les
sens, les mains, qui accumulent des informations et la tête qui réfléchit et raisonne. La
démarche expérimentale qui sous-tend ces activités est alors de nature à modifier les
processus mentaux. A partir de ce qu’il expérimente, l’enfant fait des hypothèses,
prévoit, et le résultat valide la conclusion. »
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La manipulation semble donc être bénéfique aux élèves concernant différents
aspects : elle répondrait à un besoin de concret, de réalité, elle permettrait d’utiliser nos
sens et de se construire mentalement.
2. Les pièges à éviter
Mais il faut peut-être aussi émettre quelques réserves :
« Les recherches effectuées indiquent que le matériel de manipulation ne fait pas
comprendre à lui seul, comme par magie, les mathématiques aux enfants ; le matériel de
manipulation offre cependant des moyens concrets par lesquels les enfants donnent un
sens à de nouvelles connaissances. » (Stein et Bovalino)
« Le recours à du matériel de manipulation ne garantit pas la réussite. » ( Baroody,
1989 ; Fennema, 1972 )
Le seul recours à la manipulation ne suffit pas. Il est certain que celui-ci doit s’intégrer
dans une démarche plus globale avec différentes approches de l’apprentissage.
C. Les précautions à prendre avant de faire manipuler lesélèves
Les enseignants ont besoin d’orientation sur la meilleure façon d’utiliser le matériel de
manipulation dans les programmes de mathématiques. Sowell (1989) est d’avis que les
attitudes des élèves à l’égard des mathématiques sont meilleures lorsque le personnel
enseignant sait comment utiliser le matériel de manipulation dans leur enseignement.
Pour fournir aux élèves des leçons pertinentes en utilisant du matériel de manipulation,
il faut préparer ces leçons avec soin.
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« Lorsqu’ils envisagent de choisir du matériel de manipulation, les enseignants
devraient :
- s’assurer que le matériel de manipulation appuie les concepts et les grandes idées
en mathématiques qui seront enseignés
- avoir suffisamment de matériel de manipulation pour que tous les élèves
puissent participer à l’activité
- donner la possibilité aux élèves de se familiariser avec le matériel de
manipulation
- expliquer les règles à respecter en classe
Lorsqu’ils planifient des activités faisant appel au matériel de manipulation, les
enseignants devraient :
- utiliser le matériel de manipulation de façon à ce que les élèves le perçoivent
comme un outil leur permettant de réfléchir à de nouvelles idées
- reconnaître que les élèves peuvent utiliser le matériel de manipulation de
différentes manières dans leur exploration des mathématiques
- éviter les activités où l’élève n’est appelé qu’à imiter l’enseignant
- permettre aux élèves d’utiliser le matériel de manipulation pour résoudre le
problème et pour justifier leur solution
- permettre aux élèves d’utiliser le matériel de manipulation pour valider leurs
hypothèses
- prendre le temps de se familiariser avec le matériel de manipulation choisi
- choisir du matériel de manipulation qui permet aux élèves de représenter les
mathématiques de façon concrète et d’établir des liens à partir de ces
représentations
- donner la possibilité aux élèves d’explorer le même concept en utilisant du
matériel de manipulation varié. »
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D. Que disent les instructions officielles à propos de lamanipulation ?
Les instructions officielles au travers des documents d’application réservent deux
paragraphes spécifiques à l’usage de la manipulation.
Documents d’accompagnement « vers les mathématiques : quel travail en maternelle »
Paragraphe « offrir aux élèves un environnement riche, ouvert sur l’action et le
questionnement »
« Un équilibre doit être trouvé entre les occasions où l’activité est spontanée et celles
dans lesquelles elle est provoquée par un questionnement de l’enseignant. D’une
manière générale, les activités doivent correspondre à des centres d’intérêt des enfants. »
On nous demande donc d’alterner les modalités de manipulation, tantôt elle doit être
libre, tantôt elle doit être guidée.
Documents d’accompagnement en mathématiques cycle 2
Paragraphe : « Matériel et manipulations » :
« Le travail mathématique est un travail de l’esprit mais s’exerce souvent à partir de
questions sur des objets ou des expériences.
Ce n’est pas la manipulation d’un matériel qui constitue l’activité mathématique, mais
les questions qu’elle suggère. Il faut distinguer les tâches d’observation, qui invitent
l’élève à lire une réponse sur le matériel, des tâches d’anticipation qui lui demandent
d’élaborer, de construire par lui-même une réponse dont il pourra ensuite vérifier la
validité en revenant à l’expérience. C’est dans ce dernier cas que l’élève fait des
mathématiques. »
1er exemple : on place devant un élève 5 cubes rouges et 3 cubes bleus.
On lui demande : combien y a-t-il de cubes ?
C’est un simple dénombrement.
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2ème exemple : on place 5 cubes rouges dans une boîte fermée puis on ajoute 3 cubes
bleus dans cette même boîte.
On demande à l’élève : combien y a-t-il de cubes dans cette boîte fermée ?
Cela oblige l’élève à trouver un moyen pour construire la réponse, le dénombrement
effectif sert ensuite à vérifier son hypothèse.
Ce paragraphe met l’accent sur le fait qu’il est important de faire manipuler les élèves
mais qu’il faut faire la part des choses entre la manipulation où les objets n’apportent
rien de spécifique en plus dans les apprentissages ( simple lecture d’un résultat ) et la
manipulation qui est davantage « constructive » ( anticipation d’un résultat ).
E. Le dispositif expérimental
D’après ce que disent les instructions officielles, on a donc deux grands types de
manipulation possible : celui où quand on pense manipulation, on pense utilisation de
matériel et celui où quand on pense manipulation, on pense construction d’un savoir.
Il semble alors important d’explorer ces deux directions.
Le dispositif expérimental qui a été mis en place a tenu compte de ces deux directions
tout en ne perdant pas de vue la problématique : quand on décide de faire manipuler ou
non les élèves à un moment donné de la situation d’apprentissage, qu’est-ce que ça
implique ?
Deux séquences ont été effectuées en CP avec comme représentation du mot
manipulation : utilisation d’un matériel et deux séquences ont été effectuées en CE1 et
en PS avec comme représentation du mot manipulation : construction d’un savoir.
A un moment donné de chaque séquence d’apprentissage, la classe a été divisée en deux
groupes, un qui manipulait, l’autre qui ne manipulait pas. Les séquences ont été menées
jusqu’à l’évaluation afin de constater les différences éventuelles d’apprentissage.
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II. Manipuler : utiliser du matériel
A. Quel est l’intérêt d’utiliser du matériel dans uneséquence d’apprentissage ?
1. Quelques avis théoriques
Murray (2001) : « Si nous voulons fonder l’apprentissage des mathématiques sur
l’expérience, nous devons présenter aux enfants des outils tactiles avec lesquels ils
peuvent apprendre, des occasions d’échanger entre eux et avec l’enseignante ou
l’enseignant, et diverses méthodes pour arriver à la bonne réponse. »
La manipulation entraîne des situations de communication.
Apprendre par l’action et la communication
« Les jeunes enfants apprennent en faisant, en parlant et en réfléchissant à leurs actions.
Ils construisent leur propre connaissance des mathématiques en se servant de matériel
concret et de situations naturelles. » ( Piaget, 1973 )
Ginsburg et Seo suggèrent que les enfants d’âge préscolaire participent à de nombreux
jeux mathématiques. Ces jeux mathématiques comprendraient l’exploration des formes
et des régularités, la comparaison d’objets selon leur taille et le développement du sens
du nombre.
« Des jeux préliminaires, structurés et concrets apportent des expériences nécessaires à
partir desquelles les concepts mathématiques peuvent se construire, à condition que
chaque type d’activité soit introduit au moment approprié. »
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« Il est crucial que les élèves développent une attitude positive envers les
mathématiques. Sans cette attitude positive, ils ne réaliseront pas leur plein potentiel. Ils
doivent voir les mathématiques comme allant au-delà de devoirs écrits dont le but
principal est de produire des réponses correctes, mais doivent les voir comme un moyen
de résoudre toute une variété de problèmes passionnants. Ce qui veut dire qu’on doit
leur permettre de manipuler du matériel concret, d’utiliser des images et des
diagrammes, de réunir et d’analyser des données, et de partager entre eux leurs
expériences mathématiques. »
2. En résumé…
Le recours au matériel est fortement conseillé dans une situation d’apprentissage en
mathématiques car il induit un passage par du concret, des mises en situations
« naturelles », autre chose que de l’écrit qui peut paraître toujours un peu abstrait et
rébarbatif, souvent ces situations sont organisées sous forme ludique. Par le biais de la
manipulation, on peut faire verbaliser les élèves. Cette phase de communication entre
les élèves ou d’un élève à l’enseignant est très importante pour progresser dans les
apprentissages.
B. La première expérimentation
1. Description de ce qui s’est passé en classe
Situation 1 : CP
Objectif de la séquence : Apprendre à comparer des collections et des nombres
1°/ manipulation déclenchante : jeu des boîtes. Les élèves sont par deux. Ils jouent et
manipulent des boîtes (6) contenant des jetons et ils possèdent un dé. Chaque boîte
contient de 1 à 6 jetons.
Ils ont le droit de prendre la boîte si le nombre de jetons qu’elle contient est inférieur au
nombre indiqué par le dé. Les élèves peuvent manipuler les boîtes, dénombrer les jetons
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en les déplaçant. Aspect ludique. L’élève qui gagne est celui qui a plus de jetons que son
adversaire.
Les élèves rentrent bien dans l’activité.
Rapidement, les élèves ont envie de mélanger le contenu des boîtes. Ce jeu
représente un matériel assez conséquent (lourd à installer et à ranger par rapport
à la durée du jeu).
2°/ le jeu des boîtes est repris sur fiche puis mise en place des deux groupes.
- le premier manipule : les élèves disposent de 2 boîtes devant eux, remplies de
jetons. Quelle est la boîte où il y en a le plus ? Les élèves ont la possibilité de
bouger les jetons, de faire une comparaison terme à terme.
- le deuxième fait la même chose sur fiche, la situation est dessinée. Les élèves
sont obligés de dénombrer pour comparer.
Le premier groupe a été plus long, tous les élèves ont déplacé les pions pour
dénombrer leurs collections, aucun n’a utilisé la comparaison terme à terme.
Toutes les comparaisons ont été réussies.
Le deuxième groupe a été plus rapide, une élève a échoué.
3°/ introduction des signes <,>. Jeu de comparaison sur ardoise, quel est le plus grand
nombre ou le plus petit parmi deux nombres. Exercices sur fiche.
4°/ reprise de ce travail
5°/ évaluation : collections à dénombrer puis à comparer
Pas de différence d’évolution dans les apprentissages selon le premier ou le
second groupe.
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2. Analyse générale
Les élèves sont bien rentrés dans les activités de manipulation car ils aiment toucher des
objets et qu’on leur présente des situations sous forme de jeu.
Dans la deuxième situation de manipulation, tous les élèves qui manipulaient ont réussi
alors qu’une élève a échoué avec la fiche.
Il est probable que cette élève ait éprouvé des difficultés pour dénombrer les jetons
dessinés sur la fiche, ce qu’il l’aurait ensuite fait échoué pour la comparaison; si elle
avait pu manipulé, elle aurait pu déplacer les jetons, faciliter ainsi le dénombrement et
occasionner une réussite pour la comparaison.
Pour les élèves en difficulté, il paraît donc intéressant parfois de prendre du temps pour
manipuler et d’occasionner une réussite par cette occasion.
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
La situation « je manipule / je ne manipule pas» n’était pas assez déterminante dans les
apprentissages pour avoir des répercutions par la suite.
Est-ce qu’il était nécessaire de faire manipuler les élèves à ce stade de leur
apprentissage ? Je ne pense pas que pour ces élèves-là, c’était indispensable mais si je
devais refaire cette séquence avec eux, je les ferai tous manipuler. Cela favorise les
réussites, les élèves ont le temps de passer au travail écrit plus tard dans la séquence.
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C. La deuxième expérimentation
1. Description de ce qui s’est passé en classe
Situation 2 : CP
Objectif de la séquence : Apprendre à calculer une somme inférieure ou égale à dix
Produire l’égalité correspondant à la réunion de deux collections
1°/ manipulation déclenchante : jeu avec des boîtes. Les élèves ont un nombre de jetons
par boîte (jetons verts). L’enseignant leur donne en passant des jetons blancs. Combien
ont-ils de jetons maintenant ? On refait la même chose mais au lieu d’avoir des jetons
verts au départ, ils ont un carton numéroté (indiquant le nombre de jetons qu’ils
remplacent ). Enfin, même chose mais au lieu de donner des jetons blancs, l’enseignant
donne un carton numéroté. Les élèves ont la possibilité de vérifier leurs hypothèses en
échangeant les cartons contre des jetons.
Les élèves entrent bien dans l’activité.
La première étape est facile pour eux, la deuxième occasionne une ou deux
erreurs, la troisième est plus difficile, les élèves réussissent à 50 % environ.
2°/ travail en collectif avec ardoise. L’enseignant dessine trois pommes au tableau et
quatre cerises (contenu d’un panier par exemple). Combien y a-t-il de pommes ? de
cerises ? de fruits ?
Puis il dessine six pommes. Combien y a-t-il de pommes ? Il annonce qu’il y a deux
cerises mais il ne les dessine pas. Combien y a-t-il de fruits ?
Enfin il annonce qu’il y a cinq pommes et quatre cerises. Combien y a-t-il de fruits ?
Mise en groupe.
- le premier groupe manipule. Jeu avec des cartes. Sur les cartes, il y a des poires
ou des bananes, de 1 à 5 fruits sur chaque carte. Chaque élève pioche dans
chaque tas. Première phase : il garde les deux cartes en main et donne le nombre
de fruits. Deuxième phase : il mémorise la première carte, garde la deuxième en
main et donne le nombre de fruits. Troisième phase : il mémorise les deux cartes
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et donne le nombre de fruits. Les élèves ont la possibilité de revoir les cartes une
fois leur hypothèse émise et ils peuvent tout recompter pour vérifier leur résultat.
- Le deuxième groupe fait le même travail mais sur fiche (présenté de la même
façon que le travail effectué en collectif).
les élèves sont moins enthousiastes dans le groupe 2. Le jeu paraît plus motivant
pour le groupe 1. Les difficultés pointent à la troisième étape. Les élèves mettent
plus de temps à répondre dans cette phase du jeu et ils éprouvent le besoin de
tout recompter pour vérifier leur addition alors qu’ils ne le faisaient dans les
phases précédentes.
Une seule erreur a été commise dans ce groupe. Il y a eu six erreurs dans le
groupe qui a travaillé sur fiche. Il semblerait que certains élèves aient eu des
difficultés à répondre car l’écrit les a gênés. ( inversion des réponses, cases non
remplies )
La manipulation demande plus de temps et de présence qu’un travail sur fiche.
3°/ en collectif, reprise du travail sur résultat de la réunion de deux collections.
Puis exercices d’application.
4°/ en collectif, reprise du travail sur l’addition.
Puis exercices d’application.
5°/ évaluation. Exercices sur fiche de même type que les exercices d’application
précédents.
Pas de différence d’évolution. Objectif atteint pour toute la classe.
2. Analyse générale
Dans la deuxième phase de la situation d’apprentissage, il n’est pas impossible que
l’écrit ait empêché la compréhension pour certains élèves du groupe 2. Pour des élèves
de CP, il me paraît important de rester un moment assez important dans la manipulation
et la verbalisation avant de passer à la schématisation et à l’écrit, ne serait-ce que par
rapport à la barrière de la lecture.
Un avis théorique soutient d’ailleurs cette analyse :
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« Les élèves acquièrent mieux les concepts mathématiques par la manipulation de
matériel concret, car cela les aide à se construire une représentation mentale du concept.
Les objets à manipuler sont des introductions concrètes aux idées abstraites. Chaque
élève devrait avoir l’occasion de participer à des expériences concrètes, avec les objets
appropriés, avant de commencer les activités écrites. Tout ce qui est ressource
imprimée, y compris le manuel scolaire et le cahier d’activités, n’offre que des
représentations symboliques et picturales des concepts mathématiques. »
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
La situation « je manipule / je ne manipule pas» n’était pas assez déterminante dans les
apprentissages pour avoir des répercutions par la suite.
Est-ce qu’il était nécessaire de faire manipuler les élèves à ce stade de leur
apprentissage ? Encore une fois avec ces élèves-là, je ne pense pas que c’était
indispensable, mais là, la barrière de l’écrit s’est fait ressentir, je pense que le groupe 2
n’était pas prêt à passer à l’écrit. Le grand avantage de faire manipuler les élèves, c’est
l’oralisation, la verbalisation.
De plus, « les jeux numériques peuvent être d’excellents supports pour faciliter la
mémorisation de résultats numériques ; ils permettent de proposer aux élèves de
nombreuses activités d’accompagnement pour les apprentissages et les élèves ne se
lassent pas de les utiliser. »
Le fait de verbaliser permet de mieux mémoriser, en l’occurrence ici, le résultat de
sommes inférieures à dix.
La succession de jeux entre groupes et dans ces derniers permet de stimuler les échanges
verbaux, lorsqu’ils jouent à plusieurs en particulier lorsque la règle du jeu donne une
cible à dépasser ou à atteindre, les enfants doivent parler, faire des propositions,
expliquer laquelle est la meilleure. C’est une phase de formulation.
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III.Manipuler : construire des connaissances
A. La manipulation est-elle essentielle à la constructiondes savoirs en mathématiques ?
1. Quelques avis théoriques
L’apprentissage de l’abstraction
« Bruner nous a alertés sur le fait que chaque individu possède trois systèmes parallèles
pour coder l’information : le mode sensori-moteur, le mode visuel et le mode
symbolique. Trop souvent, l’enseignant va favoriser le mode symbolique, en oubliant
que certains élèves font davantage fonctionner le mode visuel ou sensori-moteur, c’est-
à-dire qu’ils se réfèrent à l’image ou à la manipulation plutôt qu’au mot.
Concrètement, cela veut dire qu’il faudrait présenter les exemples de façon variée :
expérimentations, démonstrations, images, schémas, diagrammes, mots parlés, mots
écrits… »
« De toute évidence, l’âge de l’enfant influence ses perceptions. Puisque les trois modes
de représentation dont nous disposons, selon Bruner, pour appréhender l’information –
modes enactif ( sensori-moteur ), iconique ( visuel ) et symbolique - se développent
dans cet ordre, le jeune enfant examinera plus facilement les éléments perceptibles par
cinq sens qu’en se référant à son expérience encore limitée. Dans un premier temps, on
apprend ainsi par l’action, par la manipulation. L’information passe par l’action.
Connaître, c’est d’abord agir. On connaît quelque chose parce qu’on sait le faire. Pour
apprendre, on a besoin de manipuler les données, de les percevoir par les sens. Un
apprentissage psychomoteur se fait par l’intermédiaire de l’action et sa représentation
sensori-motrice, « inscrite dans nos muscles ». Il y a des apprentissages qui en restent là,
on sait faire, sans plus. Le mode cognitif suivant mène plus loin, il s’agit ici de pouvoir
représenter quelque chose sans l’avoir devant les yeux. L’action est transformée en
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image mentale. Bruner : « les images représentent des évènements perceptuels comme
un tableau représente l’objet peint », « les images développent leur propre fonction, elles
deviennent de précieux résumés de l’action ». Une « traduction » de la représentation
iconique en une représentation symbolique mène au troisième mode, le mode
symbolique. C’est le conflit entre deux modes qui stimule la croissance cognitive.
Quand un enfant est encouragé à expliquer ce qu’il fait ou ce qu’il voit, il est obligé de
quitter l’action ou l’image qui sont souvent des représentations limitées de la chose,
dominées par des éléments observables. Sa compréhension va alors s’approfondir. Un
apprentissage moteur peut donc évoluer à travers trois modes de représentation ; par les
gestes, par l’image des gestes et par l’explication verbale des gestes. Aucun
apprentissage n’est enfermé dans un seul mode. Plus l’enfant est jeune et inexpérimenté,
plus il a besoin de manipuler pour accéder à l’information. »
« A l’aide d’objets de manipulation, les enseignants doivent aider les élèves à faire le
lien entre les activités concrètes et les concepts présentés. On fait ensuite graduellement
la transition avec les représentations picturales et, lorsque c’est approprié, avec les
représentations symboliques. Tout au long de cette démarche la représentation verbale
appropriée est incorporée. Les élèves doivent finir par comprendre la relation entre la
manipulation physique du matériel et le concept. La manière dont les élèves prennent
note de leur résultat d’activités de manipulation affecte souvent la manière dont ils font
le lien entre le concret et l’abstrait. »
« Le souci de varier les supports choisis est un gage de meilleure compréhension, mais
par-delà les diverses représentations avec des matériels structurés ou non, le gain
mathématique n’existe que si les diverses collections sont l’objet de véritables
problèmes à résoudre dans lesquels l’anticipation de la réponse chiffrée est le but
poursuivi. La référence à un seul matériel avant l’écriture du nombre n’offre aucune
garantie à long terme, surtout pour les élèves les plus en difficulté. »
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« Bien que tous les objectifs ne doivent pas nécessairement être introduits à l’aide
d’objets de manipulation, la plupart des élèves tireront beaucoup de profit de passer du
concret au pictural à l’abstrait pour acquérir la majorité de nouveaux concepts.
Il est extrêmement utile pour les élèves d’utiliser une variété d’objets de manipulation
lorsqu’ils apprennent un concept mathématique important. Ceci aidera à s’assurer que
les élèves n’acquièrent pas une vision étroite du concept en question.
L’important est d’assurer la compréhension de concepts plutôt que la mémorisation
machinale de règles et d’algorithmes. »
« L’apprentissage du nombre passe nécessairement par la manipulation de collections
concrètes dans sa dimension cardinale ( jeu du trésor, réalisations de collections
équipotentes ) ou de jeu de pistes dans sa dimension ordinale. Un ouvrage de référence
comme Ermel GS et CP en offre l’illustration parfaite. La compréhension du système
numérique passe également semble-t-il par certaines manipulations (fourmillions,
matériel de numération). Enfin les situations de partage (gobelets, gommettes,
distribution) sont une première approche des problèmes divisifs. Les manipulations
seraient ainsi à la base de premières représentations et de situation de référence.
A la condition que l’emploi de tel matériels procède d’une intention didactique…
- Situation problème : la manipulation résout un véritable problème dont la
dévolution est facilitée par son existence effective (ex : les poupées)
- Moyen de validation : le matériel offre un moyen de validation (ex : le jeu du
trésor) et permet donc des essais erreurs avec les rétroactions nécessaires.
- Re-médiation : la construction des connaissances initiée à l’aide de manipulation
permet une régression contrôlée sur des situations de références quand des
difficultés se présentent (matériel de numération et opérations posées).
- Opérationnalisation et alternative aux procédures langagières : voir la chèvre, le
loup et le chou.»
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2. En résumé…
Certains théoriciens pensent que la manipulation est indispensable pour apprendre en
mathématiques car pour apprendre, on a besoin de recevoir des informations et ces
informations, surtout lorsqu’on est enfant, passent d’abord par les sens.
D’autres pensent que c’est seulement une aide pour mieux passer du concret à l’abstrait
et pour avoir une vision moins étroite des concepts.
D’autres, encore, pensent que la manipulation peut être une aide aux apprentissages
mais qu’elle ne suffit pas et ne garantit pas les réussites ; de plus, elle devrait toujours
être accompagnée d’une intention didactique bien précise.
B. La première expérimentation
1. Description de ce qui s’est passé en classe
Situation 3 : CE1
Apprendre à calculer une somme inférieure ou égale à cent avec retenue.
1°/ Situation déclenchante : recueil des différentes méthodes pour résoudre un
problème additif.
Problème : Pierre a 16 billes rouges et 14 billes vertes. Combien a-t-il de billes en
tout ?
Les élèves doivent répondre à la question individuellement et expliquer comment ils
ont fait pour répondre.
grandes disparités dans les résolutions, certains posent l’opération ou la font de
tête, d’autres additionnent tous les chiffres entre eux ( 1+6+1+4 ). Aucun ne
dessine les billes.
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2°/ en collectif, on voit toutes les façons de faire, l’enseignant amène l’idée de
dessiner, de schématiser. cf. Picbille boîte de dix billes et billes isolées. Un exemple
est fait au tableau avec formation d’une nouvelle dizaine.
Mise en groupe.
- le premier groupe travaille sur fiche. Plusieurs problèmes semblables à résoudre
avec un espace sur la feuille pour schématiser.
- Le deuxième groupe a la possibilité de manipuler du matériel de numération
( barres de dix et jetons ) pour résoudre ces mêmes problèmes.
Tous les élèves du groupe 2 se sont servis du matériel à leur disposition. Une
élève a eu comme un déclic dans le groupe 2, son visage s’est éclairé comme si
quelque chose de compliqué lui était soudain apparu plus clair.
Le groupe 1 a fait 12 erreurs, le groupe 2 en a fait 9.
3°/ en collectif, reprise du travail sur l’addition.
Puis exercices d’application.
4°/ Reprise du travail de la séance 3.
5°/ évaluation : exercices sur fiche du même type que les exercices d’application
précédents.
pas de réelle différence d’évolution entre les deux groupes.
2. Analyse générale
« Il est clair que, pour les élèves en difficulté, la manipulation est essentielle. Mais ils ne
sont pas les seuls. Des élèves qui réussissent très bien montrent souvent une
compréhension nouvelle. » ( Robert Lyons )
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En effet, tous les élèves qui avaient la possibilité de manipuler l’ont fait alors que peut-
être tous n’en avaient pas forcément besoin.
Pour les élèves en difficulté, le besoin de manipuler est réel. On le ressent.
Pour les élèves les plus performants, la manipulation n’est pas indispensable mais elle
aide à fixer les notions en cours d’acquisition.
3. Analyse par rapport à la problématique de départ
Encore une fois, même si on peut penser que cette fois-ci la manipulation était
davantage « constructive », le fait d’avoir manipuler ou non à un moment donné de la
séquence d’apprentissage n’a rien changé aux résultats des évaluations.
Etait-il nécessaire de faire manipuler les élèves à ce stade de l’apprentissage ?
Pour ces élèves-là et leur niveau, je pense que oui. La notion n’était pas encore claire
pour une très grande majorité d’entre eux et la manipulation dans ce cas précis aide
vraiment à rendre les mathématiques concrètes.
De plus, pour les élèves en difficulté, quand on voit un visage s’éclairer comme celui de
l’élève pour qui tout devient plus simple quand elle comprend en manipulant, on ne peut
qu’être convaincu du bien fondé de cette manipulation.
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C. La deuxième expérimentation
1. Description de ce qui s’est passé en classe
Situation 4 : Petite Section
Objectif de la séquence : Reconnaître les quantités 1 et 2
1° / Par petit groupes de six élèves :
Situation déclenchante : comptine intitulée « un et deux »
On reconnaît les étiquettes numérotées 1 et 2
Les élèves disposent de boîtes devant eux qui contiennent toutes 1 ou 2 objets.
(éventuellement un intrus avec 3 objets )
Ils doivent trier les boîtes selon le nombre d’objets qu’il y a à l’intérieur puis on vérifie
collectivement en répétant le nombre d’objets à chaque fois.
On associe les quantités aux étiquettes numérotées.
Le même travail est ensuite effectué avec des cartons-images où figurent un ou deux
objets dessinés.
Enfin, chaque élève prend une boîte vide, il a devant lui deux cartons numérotés 1 et 2
face cachée, il en tire un et doit mettre dans sa boîte le nombre d’objets qui correspond à
son carton.
Vérification collective.
les élèves sont bien impliqués
les tâches demandées étant variées, ils ne se lassent pas
entre le début de la séance et la fin, on ressent déjà chez certains élèves une nette
progression
2°/ Par petits groupes de six élèves :
Avec l’ATSEM, réinvestissement : trier des cartes-images où figurent un ou deux objets
dessinés.
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3°/ Séparation de la classe en deux (la classe est divisée en quatre groupes de couleurs :
Les bleus, les rouges, les verts et les jaunes) :
- d’un côté, les bleus et les rouges (groupe 1) vont travailler sur fiche : ils doivent
mettre le bon nombre de gommettes dans des contenants suivant le numéro
inscrit dans le contenant ( 1 ou 2 )
- de l’autre côté, les jaunes et les verts (groupe 2) vont manipuler :
Les élèves ont devant eux des petites voitures contenant une ou deux places (les places
sont matérialisées par des petites boîtes en carton ).
Ils doivent aller chercher dans une caisse remplie de personnages le nombre exact de
bonshommes pour remplir leur voiture.
Ceci est fait en collectif puis en individuel.
Chaque phase est accompagnée de verbalisation.
Les groupes d’élèves qui manipulent montrent plus d’intérêt à la tâche qui leur
est proposée que ceux qui travaillent sur fiche
Il y a beaucoup plus de réussites dans le groupe 2 que dans le groupe 1
4°/ Evaluation avec présence de l’enseignant sur fiche : colorie quand il y a un objet
dans la case, mets une gommette quand il y en a deux.
L’enseignant a à chaque fois contrôlé si les erreurs étaient dues à une mauvaise
compréhension des consignes ou à de mauvaises connaissances.
Le groupe 2 montre plus d’aisance à répondre que le groupe 1
2. Analyse générale
L’intérêt pour la manipulation à cet âge est très marqué, on le ressent vraiment.
Les élèves sont bien plus motivés, bien plus impliqués quand on leur présente du
matériel que quand on leur présente une fiche de travail.
C’est d’ailleurs ce que disent un grand nombre de théoriciens : plus les enfants sont
petits et plus la manipulation est ressentie comme un besoin.
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3. Analyse par rapport à la problématique de départ
On a ici une petite différence à remarquer entre les élèves qui ont manipulé à un
moment donné de la séquence d’apprentissage et ceux qui ne l’ont pas fait.
En effet, à cet âge, il me semble primordial de faire manipuler les élèves le plus
possible.
La plupart des informations passent par les sens pour des enfants de cet âge et le travail
sur fiche n’apporte que peu de bénéfice pendant l’apprentissage, il s’avère plus
intéressant, quand les notions sont intégrées, en guise de réinvestissement.
IV.Que peut-on conclure de ces expérimentations ?
A. Des résultats qui ne sont pas très probants…
Dans trois sur quatre des expérimentations, à la question : quand on décide de faire
manipuler ou non les élèves à un moment donné de la situation d’apprentissage,
« qu’est-ce que ça implique ? », on pourrait répondre rien !
Rien quand on prend en compte uniquement les résultats des évaluations mais est-ce que
réellement ça ne change rien ?
On a pu remarquer qu’à chaque fois que l’on faisait manipuler les enfants, ils étaient
plus motivés, montraient davantage d’intérêt pour les tâches demandées. On peut alors
penser que si on s’implique davantage dans un apprentissage, si on se sent plus motivé,
on se souviendra plus facilement et sur une durée plus longue de l’apprentissage en
question.
Or, en trois semaines, il est impossible de vérifier cela.
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La manipulation rend également les apprentissages plus ludiques, les situations mises en
place sous forme de jeux sont marquantes pour les enfants, ils peuvent faire de réels
progrès pendant ces moments de jeux.
La manipulation permet aussi de nombreux échanges entre élèves et d’enseignant à
élève. Le fait de verbaliser, de commenter les actions, les réussites, les erreurs
permettrait également aux élèves d’intégrer les notions plus en profondeur.
Encore une fois, ceci est difficile à vérifier.
On peut lire dans des livres de pédagogie :
« Pour tenir compte autant que possible des différences individuelles dans la formation
des concepts, aussi bien que pour conduire l’enfant à saisir « l’essence » des
mathématiques d’une abstraction, la même structure conceptuelle est présentée sous la
forme de plusieurs situations équivalentes. C’est dire que le concept est présenté en
faisant appel à tous les moyens de perception possible. »
La manipulation a également cet avantage de faire appel à plusieurs mémoires
sensorielles : la mémoire visuelle, la mémoire auditive et la mémoire tactile, l’enfant a
donc plus de possibilités pour réussir à intégrer des notions.
Il est donc probable que même si les résultats ne montrent pas les bénéfices de la
manipulation, ce n’est pas impossible qu’il y en ait quand même.
B. …mais doit-on s’y fier ?
En effet, certains résultats ont été obtenus mais un certain nombre de points dans le
dispositif expérimental sont discutables.
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Pour pouvoir tirer des conclusions plus solides, il aurait fallu faire des expérimentations
sur beaucoup plus d’élèves à chaque fois.
De plus, les élèves ont été partagés en deux groupes qui ont été jugés de niveau
équivalent pour pouvoir faire une comparaison, mais en réalité, il est fort probable que
les groupes n’étaient pas vraiment de niveau équivalent.
Tout ce qu’on peut réellement dire de ces résultats, c’est que faire manipuler ne
provoque pas de miracles, il n’y a pas un écart énorme de réussite entre des élèves qu’on
ferait manipuler et des élèves qu’on ne ferait pas manipuler à court terme.
Mais à long terme, il serait intéressant de comparer.
Pour illustrer cette idée, Robert Lyons dit :
«Est-il possible de réussir sans manipuler des objets concrets et sans visualiser de tels
objets, simplement en jouant avec des symboles et des définitions abstraites ? Bien sûr
que c’est possible, mais il y a de fortes chances que nous ne sachions pas alors à quoi
servent ces notions « abstraites » et, une fois l’examen passé…bonjour l’oubli. »
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Conclusion
Le travail de réflexion sur un sujet comme la manipulation est très intéressant.
Seulement, c’est un travail qui ne peut jamais être fini.
Ce qui ressort nettement de ces expérimentations, c’est que pour chaque classe, pour
chaque élève, c’est différent.
Faut-il faire manipuler les élèves ?
Ce qui est certain, c’est que les enfants d’âge primaire ont besoin de faire appel à tous
leurs sens pour apprendre et plus les situations d’apprentissage sont variées, plus les
élèves auront de chances d’approfondir leurs connaissances.
De plus, la manipulation amenant souvent des situations ludiques, les élèves sont plus
motivés.
A quel moment les faire manipuler ?
C’est là qu’intervient le bon sens de l’enseignant. Il n’y a pas de règles préétablies. Il
paraît logique d’utiliser du matériel pour présenter les choses de façon concrète aux
élèves, donc plutôt en début d’apprentissage, mais rien n’interdit le recours au matériel
pour aider les élèves en difficulté ou pour mettre en place des situations de jeu dans la
suite des apprentissages ou même en fin d’apprentissage en guise de réinvestissement.
C’est l’enseignant qui ressent alors au moment opportun les besoins de ses élèves.
Et s’il décide de les faire manipuler, qu’est-ce que ça implique ?
Rien n’a été clairement démontré lors de ces expérimentations, sinon l’enthousiasme et
l’envie d’apprendre des élèves quand ils sont en situation de manipulation et n’est-ce
pas une des choses les plus importantes ?
Les élèves les plus performants réussiront même si on ne leur présente pas les
apprentissages sous des formes ludiques telles que la manipulation mais il est important
de ne pas oublier les élèves qui ont des difficultés, ce sont surtout ces derniers qui ont
réagi très positivement lors des séances de manipulation. C’est pourquoi dès qu’un
enseignant ressent le besoin chez un élève d’apprendre autrement, celui-ci ne doit pas
hésiter à le faire manipuler même si les autres élèves font autre chose. En différenciant
ainsi les situations d’apprentissage, tous les élèves y gagneront.
30
Bibliographie
Barth B-M. 2001 L’apprentissage de l’abstraction Retz
Bideaud J., Lehalle H. 2002 (sous la direction de ) Le développement des activitésnumériques chez l’enfant Hermès Lavoisier
Boule F. 1994 Manipuler, organiser, représenter Armand Colin
Brissiaud R. 2003 Comment les enfants apprennent-ils à calculer ? Retz
Documents d’application des programmes mathématiques 2002 CNDP
Dubois C., Fénichel M., Pauvert M. 1993 Se former pour enseigner les mathématiques,T.2 et T.4 Armand Colin
Duverneuil J. 2002 Comment enseigner les mathématiques à l’école primaire ? Sedrapéducation
Equipe ERMEL 2001 Apprentissages numériques et résolution de problèmes CE1Hatier
Guide Magnard 1999 Des mains à la tête
Houssaye J. 1996 La pédagogie : une encyclopédie pour aujourd’hui E.S.F.
Zimmermann G. 1985 Activités mathématiques Nathan
Webographie
www.edu.gov.on.ca/fre/document/reports/math/teaching.html
www.defimath.ca/mathadore/vol3num120.html
www.sasked.gov.sk.ca/docs/francais/frmath/mathinter/matinquat.html
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AnnexesEvaluation sur l'addition en CP
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Evaluation sur l’addition en CE1
33
