Les lentilles épaisses On va commencer par donner les formules pour ensuite faire un exemple. La preuve de ces formules suivra.

La formule des lentilles épaisses La distance focale des lentilles épaisses est donnée par Formule des lentilles épaisses

( )2

1 2 1 2

1 1 1 l ml m

m l m

e n nn n

f R R n n n R R

− −= − +

Dans cette formule, e est l’épaisseur de la lentille et les autres variables sont identiques à ce qu’elles étaient dans la formule des lentilles minces. Toutefois, on peut se demander ce que représente cette distance focale. C’est la distance entre le foyer et quoi exactement ? Le centre de la lentille ? Le bord de la lentille ? En fait, c’est la distance entre le foyer et un des plans principaux. Voici comment trouver les plans principaux. Quand un rayon arrive parallèlement à l’axe principal, il est dévié par la lentille pour aller passer par le foyer. Si on prolonge les deux rayons qui sont à l’extérieur de la lentille, ils se croisent à un certain endroit. Ce point de croisement correspond à la position d’un des plans principaux. La distance focale est la distance entre ce plan et le foyer.

iopscience.iop.org/book/978-0-7503-1242-4/chapter/bk978-0-7503-1242-4ch1

On trouve un autre plan principal en prenant de la lumière se propageant dans la direction opposée, c’est-à-dire en arrivant de la gauche parallèlement à l’axe principal.

Les deux plans principaux ne sont pas à la même place (à moins d’un hasard incroyable), mais la distance focale est la même de chaque côté de la lentille. La distance entre la surface de la lentille et le plan principal du côté où la lumière arrive est notée h1 alors que la distance entre la surface de la lentille et le plan principal du côté où la lumière sort est notée h2. Ces distances sont données par Distance entre les surfaces et les plans principaux

( ) ( )1 2

2 1

l m l m

l l

ef n n ef n nh h

n R n R

− −= − = −

La convention de signe pour ces distances est la même que pour les rayons de courbure. Si la valeur est négative, le plan principal est, par rapport à la surface, du côté où la lumière arrive. Si la valeur est positive, le plan principal est, par rapport à la surface, du côté où la lumière va.

Exemple La lentille montrée sur la figure est faite d’un matériau ayant un indice de réfraction de 1,5. La lentille est dans l’air.

a) Quelle est la distance focale de la lentille selon la formule des lentilles minces ? La distance focale est

1 2

1 1 1 l m

m

n n

f R R n

−= −

1 1 1 1,5 1

0,1 0, 25 1

17

14,286

f m m

Df

f cm

− = − −

=

=

b) Quelle est la distance entre les foyers et les surfaces de la lentille selon la formule des lentilles épaisses si l’épaisseur de la lentille est 2 cm ? La distance focale est

( )

( )( )

2

1 2 1 2

2

215

1 1 1

0,02 1,5 11 1 1 1,5 1

0,1 0,25 1 1,5 1 0,1 0,25

17

14,563

l ml m

m l m

e n nn n

f R R n n n R R

m

f m m m m

D Df

f cm

− −= − +

−− = − + − ⋅ ⋅ ⋅ −

= −

=

C’est la distance entre le foyer et les plans principaux. À gauche de la lentille, la distance entre la surface de la lentille et le plan principal est

( )

( )( )

12

0,02 0,1456 1,5 1

1,5 0,25

0,388

l m

l

ef n nh

n R

m m

m

cm

−= −

⋅ −= −

⋅ −

=

Comme la valeur est positive, le plan est à droite (du côté où la lumière va) par rapport à la surface. La distance entre la surface et le foyer est donc

14,56 0,388

14,175

gauched cm cm

cm

= −

=

À droite de la lentille, la distance entre la surface de la lentille et le plan principal est

( )

( )( )

21

0,02 0,1456 1,5 1

1,5 0,10

0,971

l m

l

ef n nh

n R

m m

m

cm

−= −

⋅ −= −

⋅

= −

Comme la valeur est négative, le plan est à gauche (du côté où la lumière arrive) par rapport à la surface. La distance entre la surface et le foyer est donc

14,563 0,971

13,592droite

d cm cm

cm

= −

=

Notez que dans la loi des lentilles, les distances p et q sont maintenant mesurées à partir des plans principaux.

Preuve de la formule de la distance focale des lentilles

épaisses Précédemment, on a dit que la distance focale est mesurée à partir du plan principal et qu’on trouve ce plan en prolongeant les rayons à l’extérieur de la lentille pour déterminer l’endroit où ils se rencontrent. Sachant cela, on va maintenant suivre la trajectoire d’un rayon initialement parallèle à l’axe principal à travers la lentille pour trouver la distance focale, comme illustré sur la figure.

Notez qu’on conserve toujours l’approximation des petits angles et des rayons près de l’axe principal.

Ay est la distance entre le rayon et l’axe

principal au point A sur la première surface.

By est la distance entre le rayon et l’axe

principal au point B sur la deuxième surface.

On a premièrement un triangle avec la distance focale. On a alors

Ay

fη=

Il faut maintenant faire le lien entre l’angle η et y

A. On va donc remonter le long du rayon pour

arriver jusqu’à la première surface. On va travailler avec les angles suivants.

members.loria.fr/Roegel/loc/article-gullstrand.pdf

Allons premièrement au point B. On a alors η ε γ= − . Ainsi

Ay

fε γ= −

L’angle ε est l’angle de réfraction. On a donc, selon la loi de la réfraction

( )

( )

l m

l

m

n n

n

n

δ γ ε

ε δ γ

+ =

= +

Si on définit /l m

n n n= , on a

( )nε δ γ= +

On arrive alors à

( )

( )1

A

A

A

y

f

yn

f

yn n

f

ε γ

δ γ γ

δ γ

= −

= − −

= + −

On a ensuite

δ α β= − (Angles alternes internes)

Ce qui nous amène à

( ) ( )1Ay

n nf

α β γ= − + −

Examinons maintenant ce qui se passe au point A

Les angles α et β sont les angles de réfraction à la première surface. Selon la loi de la réfraction, on a

m ln nα β=

Puisque /l m

n n n= , on obtient alors

n

αβ =

L’équation devient alors

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1

1 1

1 1

1

A

n

A

n

A

A

yn n

f

yn n

f

yn n

f

yn

f

αα γ

α γ

α γ

α γ

= − + −

= − + −

= − + −

= + −

Selon cette figure,

on a

1 2

et A By y

R Rα γ≈ ≈ −

(La deuxième équation est le même que la première, mais pour la surface 2. Toutefois, il y a un signe négatif pour compenser le fait que R2 est négatif dans le cas considéré.) Ainsi, on a

( )1 2

1A A By y y

nf R R

= − −

Il faut maintenant faire le lien entre y

A et y

B.

Selon cette figure,

on forme un triangle qui nous donne cette équation

( )

( )

A B

A B

B A

y y

e

y y e

y y e

α β

α β

α β

−− =

− = −

= − −

Or, on avait

n

αβ =

Cela signifie que

( )

( )11

B A n

B A n

y y e

y y e

αα

α

= − −

= − −

En utilisant cette valeur dans

( )1 2

1A A By y y

nf R R

= − −

on obtient

( )( )

1

1 2

11A nA A

y ey yn

f R R

α − −= − −

Finalement, on utilise à nouveau 1/A

y Rα = pour arriver à

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

1

1

1 2

1

1 2 1 2

1

1 2 1 2

1

1 2 1 2

11

11

11 11

11 1 11

Ay

A R nA A

A nA A A

nAA

n

y ey yn

f R R

y ey y yn

f R R R R

eyy n

f R R R R

en

f R R R R

− −= − −

−= − + −

−= − + −

−= − + −

C’est très important que les y

A s’annulent comme ils viennent de le faire. Cela montre que peu

importe la distance entre le rayon et l’axe principal, le rayon arrivera au foyer. Cela signifie que tous les rayons arriveront au foyer. Continuons nos manipulations.

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

1

1 2 1 2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

11 1 11 1

11 1 11 1

11 1 11

ne

n nf R R R R

e nn n

f R R nR R

e nn

f R R nR R

− = − − + −

− = − − + −

− = − − +

Puisque /l m

n n n= , on a

( )

( )

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2

11 1 11

1 1 1

l

m

l

m

l m

m

l

m

n

nl

n

m n

n n

nl m

n

m n

en

f R R n R R

en n

f R R n R R

−

− = − − +

−= − +

Le résultat final est alors

( )2

1 2 1 2

1 1 1 l ml m

m l m

e n nn n

f R R n n n R R

− −= − +

On reconnait la partie qui correspond aux lentilles minces. Le dernier terme est la correction qui tient compte de l’épaisseur de la lentille.

Preuve des formules donnant la position des plans

principaux À droite de la lentille, on a deux triangles semblables (en rouge).

La hauteur du grand triangle est y

A et la hauteur du petit triangle est y

A – y

B. Les rapports des

côtés de ces triangles semblables donnent donc

2

A A By y y

f h

−=

Précédemment, on avait trouvé que

( )11A B n

y y eα− = −

On a alors

( )1

2

1nA

ey

f h

α −=

On avait aussi trouvé que 1/A

y Rα = . On a donc

( )1

2

1A nA

y ey

f Rh

−=

On a donc

( )

( )

( )

( )

1

1 2

1

21

21

21

11

1

1 m

l

n

n

n

n

l m

l

e

f R h

efh

R

efh

R

ef n nh

n R

−=

−=

−=

−=

Il ne reste qu’à ajouter un signe négatif pour respecter la convention de signe. La preuve pour h1 se fait de la même façon de l’autre côté de la lentille avec ce rayon.

Preuve que les positions de l’objet et de l’image doivent se

prendre à partir des plans principaux On va supposer que les distances sont mesurées à partir des plans principaux. On va voir qu’un supposant cela, on arrive à l’équation des lentilles. On a alors les rayons suivants. (On fait comme s’ils étaient déviés aux plans principaux. Les foyers sont tous les deux à la même distance des plans principaux.)

À gauche, on a deux triangles semblables (leurs sommets se rencontrent au foyer). Les rapports des côtés donnent

o

i

y p f

y f

−=

À droite, on a aussi deux triangles semblables (leurs sommets se rencontrent au foyer). Les rapports des côtés donnent

o

i

y f

y q f=

−

Ainsi, on a

p f f

f q f

−=

−

Cette équation nous mène à

1

1

1

1 1 1

1 1 1

p f f

f q f

p f f

f f q f

p f

f q f

p f

f q f

p f q f

f q f q f

p f q f

f q f

p q

f q f

f q f

p q

f q f

p q q

f f

p q

p f q

p q f

−=

−

− =−

− =−

= +−

−= +

− −

+ −=

−

=−

−=

= −

= −

= −

+ =

Voilà.