Cours 6 Lentilles

8/17/2019 Cours 6 Lentilles

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Cours n°6 Lentilles minces convergentes et

divergentes

Les verres de lunettes sont des lentilles qui permettent de palier aux défauts de vision de nombre d’entre

nous. Les lentilles permettent aussi de construire en les associant des instruments d ’optique, on verra celà

dans le cours n°7 suivant mais avant cela comprendre la marche des rayons lumineux dans les lentilles et

prédire le lieu ou se formeront les images est essentiel.

Les lentilles sont des éléments optiques dont l’action sur les rayons lumineux peut être alternativement

décrite par un schéma ou par une formule algébrique, il faut comprendre le lien entre ces deux modèles

équivalents ou représentations. On n’insistera pas sur les limitations du modèle de la lentille mince, mais on

décrira bien ce que l’on appelle une image ou un objet virtuel , concepts souvent délicats à maitriser pour les

étudiants.

Les formules de conjugaison conséquence des lois de Descartes démontrées dans ce cours, devraient être

données au concours, mais il est agréable de les savoir par cœur.

I) Objet image réel ou virtuel, points conjugués

Un objet ponctuel pour un système optique est à l’intersection des rayons incidents qui attaquent la face

d’entrée du système optique

Une image ponctuelle pour un système optique est à l’intersection des rayons émergents qui sortent de la face

de sortie du système optique

L’objet ou l’image est dite virtuelle si ce ne sont pas les rayons qui s’intersectent mais leur prolongements.

exemple d'image virtuelle : on a vu qu’un miroir plan donne d’un objet réel une

image virtuelle

exemple d’objet virtuel la seconde lentille A’B’ image de AB donnée par la première

constitue un objet virtuel

F’2

A

B

A’

B’

A’’

B’’

L1

L2

F’1



2



3

II) Systèmes centrés et approximation de Gauss

1) Systèmes centrés

Un système optique centré est un système optique dont les éléments constitutifs (dioptre, miroirs) ont un axe

de symétrie commun. Cet axe est appelé axe optique. Il est orienté dans le sens de propagation de la lumière.

Le centre du système optique sera noté O

Tout rayon qui passe par O n’est pas dévié.

Les plans perpendiculaires à l’axe optique sont appelés plans de front

2) Approximation de Gauss peu inclinés peu éloignés

Exemple du miroir sphérique

Un rayon incident sur un système centré est dit paraaxial quand les deux conditions suivantes sont réalisées

Le rayon est proche de l’axe optique

Le rayon est peu incliné par rapport à l’axe optique

Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons incidents sont des rayons

paraaxiaux

Intuition par le dessin de la nécessité de se placer dans les conditions de Gauss pour qu’un miroir

concave possède un foyer bien défini

CF S



4

3) Propriétés d’un système centré ; stigmatisme approché, aplanétisme approché

Un système centré utilisé dans les conditions de Gauss donne de tout point objet une image ponctuelle

approchée

Un point B du plan de front passant par A a son image B’ dans le plan de front passant par A’

III) Foyers objets et image

On appelle foyer principal objet F le point dont l’image est située à l’infini dans la direction de l’axe optique. De

F les rayons issus donnent des émergents tous parallèles à l’axe optique

On appelle foyer image principal F’ l’image du point objet situé à l’infini dans la direction de l’axe optique. Les

rayons incidents parallèles à l’axe optique donnent des rayons émergents qui passent tous par F’

On a vu que tout rayon qui passe par O n’est pas dévié cela donne envie de faire de la droite qui le porte un

axe optique dit secondaire :

Les points du plan focal image sont des foyers images secondaires F’s . l’axe optique secondaire passe par F’S

et le centre O du système optique et on a la règle de construction tout rayon qui arrive // à l’axe optique

secondaire ressort par le foyer secondaire image

Fin du cours du mercredi 1er octobre



5

IV) Lentilles minces CV et DV

1) Lentilles CV

Lentille Convergente v=+3

Un rayon qui passe par le centre n’est

pas dévié

F F’

F F’

F F’

F F’

F F’

Foyer image 1

2

Foyer objet

1

2

Foyer secondaire

image1

2

3

4

Foyer secondaire

objet 1

2

34

Détermination

du rayon incident

Par foyer secondaire objet

1

23

4



6

F F’

F F’

F F’

F F’

F F’

Construction de l’image

d’un objet étendu : OR IR


d’un objet étendu

OV IR

Construction de

l’image d’un

objet étendu

OV IR encore

Détermination du rayon

incident par foyer

secondaire image

1

2

34


d’un objet étendu : OR

IV



7

2) Lentille Divergente

Un rayon qui passe par le centre

n’est pas dévié

Foyer image

Foyer objet

Foyer secondaire image

Foyer secondaire objet

FF’

1

2

3

FF’

1

2

3

FF’

F’S 1

2

3

4

5

FF’

FS

1

2

3

4

5



8

Détermination du rayon incident par foyer secondaire objet connaissant l’émergeant

Détermination du rayon incident par foyer secondaire image connaisant l’émergeant

FF’

FS

5

4

3

2

1

FF’

F’S 5

4

3

2

1



9

Détermination de l’image d’un objet étendu lentille Divergente v=-3

OR IV

On place l’objet loin

OR IV

On place l’objet près de F’

OV IR

L’objet virtuel est réalisé avec une v=+8

OV IV

Avec le viseur on vise la monture de la lentille

On ne voit qu’un tout petit bout du F

FF’

FF’

FF’

FF’



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3) Détermination de la formule de conjugaison avec origine au centre

tan = OH/ IO = F’K/ OF’ soit OH/-p = = F’K /f’ soit f’/-p = F’K / OH

tan = F’K/F’J= OH/ OJ soit F’K/( p’-f’)= OH/ p’ soit F’K/OH=( p’-f’)/p’

on en déduit : f’/-p = 1 - f’/p’

qui se simplifie en : 1/p’ - 1/p = 1/f’

4) Détermination de la formule de grandissement

tan = AB/-p = B’A’/p’ = A’B’/AB = p’/p

F F’

p’ -p

I J

HK

O

F F’

p’ -p

A

H

K

O

B

A’

B’



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5) Détermination de la formule de conjugaison avec origine aux foyers

1

formules de conjugaison pour les lentilles minces sphériques

1f=OF ' ' ' lentille convergente f'>0 lentille divergente f'<0 v

:

FA.F'A'=OF

ergence v=f'

formule de Newton .

unité dioptrie m symb

f OF f f

ole

1 1 1 1 1 1formule de Descartes avec origine au centre de la lentille

' 'OA

OF'=ff'=-f'²

' ' ' ' ' ' ' '

'

' '

'

soit p p f OA OF

g A B FO F A

randiss f F A OA p

f p AB FA F O FAe

Oe n

Am t

Pour démontrer ces formules à partir des schémas on aura intérêt à choisir des rayons qui

construisent des triangles dont les bases sont les quantités qui nous intéressent

Doublet accolé ; la vergence équivalente est la somme des vergences. Le démontrer.

6) Méthode de Bessel très important !

Pour une distance D suffisante entre objet source et écran il existe deux positions de la lentille qui forment

l’image de l’objet sur l’écran, c’est à dire qui conjuguent les positions de la source et de l’écran.

Démontrons le :

On doit avoir :

D = -p + p’

1 1 1

' ' p p f soit p²+pD+Df’= 0

Le discriminant de cette équation =D²-4Df’ n’est positif que si f’<D/4 ce qui est la condition

annoncée pour qu’il existe des solutions ; alors ces solutions correspondent à

1 2

² 4 '

2

² 4 ' ² 4 ' soit et -

2 2

D D Df

p

D D Df D D Df p p

soient deux solutions symétriques autour du point milieu entre la source et l’écran

D/2 D/2

√ (D²-4Df’)/2 -p1



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Entre les deux positions de la lentille qui forment l’image on a une distance a que l’on mesure . Le calcul

precedent montre que a= √ (D²-4Df’)

Soit queD²-a²

f' =4D

ce qui fournit une méthode expérimentale pour mesurer f’

Il faut donc que D 4f’

Remarque une des positions correspond à une image agrandie l’autre à une image rapetissée

7) aberrations géométriques et chromatiquessi la vergence est supérieure à 100 les rayon sont trop inclinés par rapport à l’axe optique et on sort

de l’approximation de Gauss on a des aberrations

D/2 D/2

√ (D²-4Df’)/2

-p2



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Coma : pour une étoile loin de l’axe optique

Cette aberration limite le champ

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