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Les modèles ARMA(p,q)

Introduction :

Dans leur célèbre ouvrage intitulé: ’’ Time Series Analysis: Forecasting and Control, publié en 1970,

Box et Jenkins ont proposé un algorithme de prévision des séries temporelles fondé sur l’utilisation

des processus ARMA(p,q).

La méthode de Box et Jenkins consiste à trouver dans la classe des processus ARMA linéaires et

stationnaires (AutoRegressive-Moving Average), un processus susceptible de s’adapter au mieux aux

données empiriques qui constituent la série temporelle.

Définitions :

Processus AR(p)

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Processus MA(q)

Processus ARMA(p,q)

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Exemple d’écriture :

Inversibilité et stationnarité :

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Mise en œuvre de la méthode Box et Jenkins :

La procédure de Box et Jenkins se déroule en 4 étapes :

1.Identification.

2.Estimation.

3.Validation.

4.Prévision.

1.Identification du processus susceptible de représenter de manière adéquate la série

temporelle au sein de la classe des modèles ARMA (choix de p et q ordres respectifs des

composantes AR et MA).

2.Estimation des coefficients des modèles identifiés (moindres carrés conditionnels,

maximum de vraisemblance).

3.Validation du modèle choisi par une batterie de tests (test de Ljung-Box, test Jarque-Bera,

test ARCH……). On vérifie que les résidus suivent un bruit blanc.

4.Prévision de la chronique sur un horizon h.

Organigramme de la méthode Box-Jenkins

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Etape 1 : Identification :

Afin d’identifier les valeurs des ordres p et q du modèle ARMA (p,q), Box et Jenkins(1976)

ont proposé une méthode qui repose sur l’utilisation des fonctions d’autocorrélation et

d’autocorrélation partielle.

Ces fonctions représentent respectivement l’évolution du coefficient d’autocorrélation et du

coefficient d’autocorrélation partielle pour chacun des retards k.

Principe :

Le principe consiste à confronter des fonctions d’autocorrélation et d’autocorrélation

partielle théoriques (donc connues) à des fonctions estimées à partir de la série temporelle

(échantillon).

Il s’agit donc de rechercher une correspondance entre un modèle ARMA théorique et le

processus générateur de la série temporelle.

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Cas de processus MA(1)

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Cas de processus ARMA(1,1)

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Résumé :

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Etape 2 : Estimation d’un processus ARMA(p,q)

Etape 3 : Validation

Souvent, plusieurs modèles ARMA(p,q) sont sélectionnés.

Le modèle qui est finalement choisi est celui considéré comme le

meilleur sur la base d’un ensemble de critères.

Ces critères comprennent :

(Le critère d’Akaike, de Schwatrz, de Hannan-Quinn) .

Etape 4 : Prévision