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Les modèles d’équations structurelles à variables latentes

Cours de Statistique Multivariée Approfondie

Modèles d’équations structurelles à variables latentes

•  Les modèles d’équation structurelles ou SEM permettent de quantifier des relations de cause à effet décrites par un modèle théorique

•  L'intérêt se concentre sur les variables latentes (non observables par une voie directe): les variables psychologiques abstraits comme «intelligence», «satisfaction», «statut social», «capacité», «confiance»

•  Les variables latentes sont mesurées par des indicateurs observables appelés variables manifestes.

•  Les modéles d’équations tructurelles font le pont entre l’analyse de régression, l’analyse utilisant des graphes (path analysis) et l’analyse factorielle

Giorgio Russolillo – Les modèles d’équations structurelles à variables latentes 2

SEM: conventions de dessin

3

or

or

or

or

Latent Variables (LV)

Manifest Variables (VM)

Unidirectional Path (cause-effect)

Bidirectional Path (correlation)

Feedback relation or reciprocal causation

or or ε εε

η η

x x

Errors

Giorgio Russolillo – Les modèles d’équations structurelles à variables latentes

"Dessin" d'un modèle de régression

4

Ce modèle de régression multiple

y = β1x1 + β2x2 + ζ

Peut etre “dessiné” avec un diagramme de chemin (Path Diagram)

x1

x2

y

ζ

L’eereur est une variable latente

Variables Manifestes / Observées

1

β2

β1


Modéles de chemin avec des variables manifestes

5

Le modèle de régression multiple peut être généralisée à des chemins où les variables endogènes sont à leur fois causes d’autres variables endogènes.

x1

ζ1

y2 y1

ζ2

γ11 β21

y1 = γ11 x1 + ζ1

y2 = β21 y1 + ζ2

y =y1y2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Γ = γ110

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Β = 0 0β21 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

y = Γx +Βy +ζ

ζ =ζ1ζ2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

x = x1[ ]


Modèle factoriel

6

x1 = λ11 ξ1 + δ1

x2 = λ21 ξ1 + δ2

x3 = λ31 ξ1 + δ3

x =x1x2x3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Λ x =λ11λ21λ31

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

δ =δ1δ2δ3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

ξ = ξ1[ ]

x = Λ xξ +δ

x3 x2 x1

ξ1

δ2 δ1 δ3

λ11 λ21 λ31


Modèle factoriel multiple

7

x1 = λ11 ξ1 + δ1 , x2 = λ21 ξ1 + λ22 ξ2 + δ2 x3 = λ31 ξ1 + δ3 x4 = λ42 ξ2 + δ4

x5 = λ52 ξ2 + δ5 x6 = λ62 ξ2 + δ6

€

x =

x1x6

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

€

Λx =

λ11 0λ21 λ22λ31 00 λ420 λ520 λ62

$

%

& & & & & & &

'

(

) ) ) ) ) ) )

€

δ =

δ1δ6

#

$

% % %

&

'

( ( (

€

ξ =ξ1ξ2

#

$ % &

' (

€

x = Λxξ + δ

x4 x3 x5 x6 x2 x1

ξ1 ξ2

δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6

λ11 λ21 λ31

λ22

λ42 λ52

λ62


Modéle de chemin avec des variables latentes

8

ξ1

η2

η1

x1

x2

x3

y1

y3

y2

y4

y5

y6

y7

Structural Model or inner model

Measurement Model or outer model

Path Coefficients

γ21

β21

λx21

λx31

Loadings

δ1

ε3 ζ2

γ11

ζ1

λy11

λy21

ε4

ε5

ε6

ε7

δ2

δ3

e1

e2

λx11

λy32 λy42

λy52 λy62 λy72

Loadings


Le modéle de mesure (externe) pour les VM exogènes

9

x1 = λx11 ξ1 + δ1

x2 = λx21 ξ1 + δ2

x3 = λx31 ξ1 + δ3

x =x1x2x3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥Λx =

λ11

x

λ21

x

λ31

x

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

δ =δ1δ 2δ 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

�

ξ = ξ1[ ]

�

x = Λxξ + δ�

P ×1( )

�

P ×M( )�

M ×1( )

�

P ×1( )

ξ1

x1

x2

x3

λx21

λx31

δ1

δ2

δ3

λx11


Le modéle de mesure (externe) pour les VM endogènes

10

y3

η2

η1

y1

y2

y4

y5

y6

y7

ε3

λy 11

λy 21

ε4

ε5

ε6

ε7

e1

e2

λy32 λy42

λy62 λy72

λy52

y =

y1y2y3y4y5y6y7

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ε =

ε1ε2ε3ε4ε5ε6ε7

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

η =η1η2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥Λ y =

λ11 0λ21

0000

0λ42

λ52

λ62

λ72

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

y = Λ yη +ε

y3

y1 = λ y11η1 + ε1y2 = λ y21η1 + ε2y3 = λ y32η2 + ε3y4 = λ y42η2 + ε4y5 = λ y52η2 + ε5y6 = λ y62η2 + ε6y7 = λ y72η2 + ε7


Le modèle structurel (interne)

11

ξ1

η2

η1

γ21

β21

ζ2

γ11

ζ1

η1 = γ11 ξ1 + ζ1 η2 = γ21 ξ1 + β21η 1 + ζ2

Γ =γ 11γ 21

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥Β =

0 0β21 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

η = Γξ +Βη +ζ

ζ =ζ1ζ 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

η =η1η2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ξ = ξ1[ ]


Le modèle global

12

�

η = Γξ + Βη + ζ

ξ1

η2

η1

x1

x2

x3

y1

y3

y2

y4

y5

y6

y7

ε1

ε2

δ2

δ1

ε3 ζ2 ε4

ε5

ε6

ε7

δ3

ζ1

�

y = Λyη + ε

�

x = Λxξ + δ

�

η = I−B( )−1 Γξ + ζ( )

Modèles de mesure Modéle structurel


Two families of methods for estimating paths models with latent variables

13

Le but est de reproduire de matrice de covariance de l'échantillon des variables manifestes à l'aide des paramètres du modèle: •  c'est une approche confirmative visant à valider un

modèle

Le but est de fournir une estimation des scores de variables latentes •  il est une approche plus exploratoire (stratégie

opérationnel)

SEM

Méthodes basées sur la covariance

Component-based Methods


Les hypothèses du modèle

14

�

y = Λyη + ε

�

x = Λxξ + δ

�

η = I−B( )−1 Γξ + ζ( )

�

E x( ) = 0, E y( ) = 0, E ξ( ) = 0, E η( ) = 0, E δ( ) = 0, E ε( ) = 0, E ζ( ) = 0

�

E δ ′ ε ( ) = 0, E ζ ′ δ ( )( ) = 0, E ζ ′ ε ( ) = 0

�

E δ ′ ξ ( ) = 0, E δ ′ η ( ) = 0, E ε ′ ξ ( ) = 0, E ε ′ η ( ) = 0

�

E ζ ′ ξ ( ) = 0

ξ1

η2

η1

x1

x2

x3

y1

y3

y2

y4

y5

y6

y7

ε1

ε2

δ2

δ1

ε3 ζ2 ε4

ε5

ε6

ε7

δ3

ζ1


Covariance Structure Analysis (CSA, aka LISREL)

15

�

Σ =Σxx

Σyx Σyy

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

ξ1

η2

η1

x1

x2

x3

y1

y3

y2

y4

y5

y6

y7

ε1

ε2

δ2

δ1

ε3 ζ2 ε4

ε5

ε6

ε7

δ3

ζ1

Une fois que le modèle est spécifié, la matrice de covariance des MV est exprimée en termes de paramètres du modèle

Σ Ω( ) = Σ Γ,B,Λ x ,Λ y ,Φ,Ψ,Θδ ,Θε( )Path Coefficients Loadings Exog. LV

Covariance Measurement Error Covariance

Structural Error Covariance


Analysing the covariance

16

�

Σ =Σxx

Σyx Σyy

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Population Covariance matrix

“Implied” covariance matrix

�

S =sxxsyx syy

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Empirical covariance matrix

S ≈C

Σ Ω( ) =Λ xΦΛ 'x+Θδ

Λ y I −B( )−1Γ ′Φ Λ 'x Λ y I −B( )−1 ΓΦ ′Γ +Ψ( ) I −B( )−1′⎡⎣⎢

⎤⎦⎥Λ 'y+Θε

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Estimation minimise une certaine fonction de la divergence entre la matrice de covariance (C) impliquée par le modèle et la matrice de covariance (S).

Estimated covariance matrix

Σ Ω̂( ) =C =Λ̂ xΦ̂Λ̂ 'x+ Θ̂δ

Λ̂ y I − B̂( )−1 Γ̂ ′Φ̂ Λ̂ 'x Λ̂ y I − B̂( )−1 Γ̂Φ̂ ′Γ̂ + Ψ̂( ) I − B̂( )−1'⎡⎣⎢

⎤⎦⎥Λ̂ 'y+ Θ̂ε

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥


Fonctions de divergence

17

FGLS =

12

tr W−1 S - C( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Generalised Least Squares

( )212ULSF tr ⎡ ⎤= ⎣ ⎦S -C

Unweighted Least Squares ( ) ( )1log logMLF tr p q−= + − − +C SC S

Maximum Likelihood


Considerations sur l’approache CSA

•  Estimateurs avec de bonnes propriétés statistiques

•  Les estimations sont obtenues au moyen de ML, ULS, WLS, GLS;

•  Taille de l'échantillon: 200-400 cas pour 10-15 variables observées;

•  L'identification du modèle (estimation unique des paramètres) peut être un problème (qui peut être résolu en imposant un ensemble de contraintes sur les paramètres)

•  Aucune estimation directe de variables latentes -> ce n'est pas son objectif!!

18 Giorgio Russolillo – Les modèles d’équations structurelles à variables latentes

Références

•  K.A. Bollen : Structural Equations with Latent Variables, John Wiley & Sons., 1989 •  R. Cudeck, S. Du Toit, D. Sörbom (Editors) : Structural Equation Modeling: Present and

Future - A Festschrift in honor of Karl G. Jöreskog, Scientific Software International Chicago, 2001

•  R. Hoyle : Structural equation modeling: concepts, issues and applications, SAGE Publications, 1995

•  K.G. Jöreskog & D. Sörbom : Advances in Factor Analysis and Structural Equation Models, Abt Books, 1979

•  K.G. Jöreskog, D. Sörbom, S. Du Toit, M. Du Toit : LISREL8: New Statistical Features, Second Printing with Revisions, Scientific Software International Chicago, 2000

•  D. Kaplan : Structural Equation Modeling: Foundations and Extensions, SAGE Publications, 2000

•  Rex B. Kline : Principles and Practice of Structural Equation Modeling, The Guilford Press, New York, 2005

•  D. Kaplan : Structural Equation Modeling: Foundations and Extensions, SAGE Publications, 2000

19 Giorgio Russolillo – Les modèles d’équations structurelles à variables latentes

Documents

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