LES PLANS D’EXPÉRIENCES

1 Avenue des Olympiades91744 MASSY CEDEX

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Marc DANZART

LA DÉMARCHE STATISTIQUE

Résultats probables

Résultats improbables

ModèleExpérience

Résultatexpérimental

Hypothèse

Risques

LES PLANS D’EXPÉRIENCES

Résultats probables

Résultats improbables

ModèleExpérience

Résultatexpérimental

HypothèseContraintes

Risques

LES PLANS D’EXPÉRIENCES

Satisfaire des contraintes

De coûtDe tempsD'organisation...

LES DANGERS

Pdt1

Pdt2

Pdt3

Pdt4

Pdt5

Pdt6

Pdt7

Pdt8

Sujet n° 1

Sujet n° 2

Sujet n° 3

Sujet n° 4

Sujet n° 5

Sujet n° 6

Sujet n° 7

Sujet n° 8

Sujet n° 9

Sujet n° 10

La confusion d'effets

OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE

On étudie l’effet du temps decuisson sur le rendement

50 100 150 20045

50

55

60

65

70

75

Temps de cuisson (mn)

Ren

dem

ent

topt = 123.6 mn

On fixe donc t à 125 mn puis onétudie l’effet de la température

200 210 220 230 240 250 26020

30

40

50

60

70

80

Température (°C)

Ren

dem

ent

Temps de cuisson (min)

Tem

péra

ture

(°C

)

50 100 150 200200

210

220

230

240

250

260

255 ° C

55 min

Optimum apparent73.4

Optimum réel91.2

Rendement = 70

Rendement = 80

Rendement = 90

OPTIMISATION D’UN COUPLE TEMPS x TEMPÉRATURE

LA PESÉE … Version 1

0

0

1

0

0

2

3

Pesée del'objet n° 2

m2

Tarage dela balance

m0

Pesée del'objet n° 1

m1

Pesée del'objet n° 3

m3

LA PESÉE … Version 2

0

0

1

0

0

2

3

1 2 3 1 3

Pesée n° 3

P2

Pesée n° 1

P0

1 2

Pesée n° 4

P3

2 3

Pesée n° 2

P1

LA PESÉE : LE CALCUL DES POIDS …

VERSION 1 VERSION 2

1

2

3

OBJET

m1

m2

m3

P + P - P - P0 1 2 3

4m1 =

P + P - P - P0 2 1 3

4m2 =

P + P - P - P0 3 1 2

4m3 =

la pesée ... calcul des poids

LA PESÉE : LES PRÉCISIONS …

VERSION 1 VERSION 2

1

2

3

OBJET

2σ2

2σ2

2σ2 σ 24

σ 24

σ 24

La pesée ... les précisionsLa pesée "originale" conduit à une précision près de

3 fois supérieure à celle de la pesée traditionnelle

LES DANGERS

y = a + b x + ε

Var ( y(x) ) = σ (1 + + )1n

(x-x.) 2

Σ (x -x.)2

i

2^

La précision de la réponse du modèle au point x est calculable a priori :

LE MODÈLE LINÉAIRE

Y = X θ + E

Vecteur desrésultats Matrice du

plan d'experienceVecteur desparamètres

Vecteur deserreurs

θ = (X'X) X'Y-1

θ = (X'X+H'H) X'Y-1

^

^

Si X'X est inversible

Si X'X n'est pas inversibleH représente la matrice des contraintes

LE MODÈLE LINÉAIRE

θ = (X'X) X'Y-1^

Var( θ )= σ (X'X) -1^ 2

La corrélation entre les paramètres est prévisible àl'avance et dépend de la structure expérimentale

Un bon plan minimise la matrice (X'X)-1

Minimisation du déterminant D-optimalité

LES PRINCIPALES CLASSES DE PLANSD’EXPÉRIENCES EN INDUSTRIE ALIMENTAIRE

Détecter les facteurs influents

Optimiser un process

Optimiser un mélange

Comparer un grand nombre de produits

Plans de Plackett-BurmanMéthode Taguchi...

Plans Central compositePlans de Box-Benhken...

Plans de SchefféExtreme vertices designs...

Blocs incomplets équilibrés...

LES PLANS FACTORIELS COMPLETS

111111222222333333

111222111222111222

123123123123123123

Exp. n° 1Exp. n° 2Exp. n° 3Exp. n° 4Exp. n° 5Exp. n° 6Exp. n° 7Exp. n° 8Exp. n° 9Exp. n° 10Exp. n° 11Exp. n° 12Exp. n° 13Exp. n° 14Exp. n° 15Exp. n° 16Exp. n° 17Exp. n° 18

Facteurn° 1

Facteurn° 2

Facteurn° 3

TOUTES LES COMBINAISONS DES

NIVEAUXDES FACTEURS SONT

TESTÉES

LE NOMBRE D'EXPÉRIENCES EST

DONC ÉGALAU PRODUIT DES

NOMBRES DES NIVEAUX

Ici n = 3 x 2 x 3 = 18 essais

LES PLANS FRACTIONNÉS

CONSTATATION : DIFFICULTÉ A INTERPRÊTER LES INTERACTIONS D'ORDRE ÉLEVÉ

IDÉE : EN PROFITER POUR MINIMISERLE NOMBRE D'ESSAIS

DANGER : LA CONFUSION D'EFFETS

LES MATRICES DE HADAMARD (1)

Pour chacun des facteurs étudiés on choisit deux valeursappelées respectivement

niveau bas noté -niveau haut noté +

Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveauxSi le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies

dans la plage de variation du facteur

LES MATRICES DE HADAMARD (2)

Facte

ur n

° 1Fa

cteur

n° 2

Facte

ur n

° 3Fa

cteur

n° 4

Facte

ur n

° 5Fa

cteur

n° 6

Facte

ur n

° 7

essai n° 1

essai n° 2

essai n° 3

essai n° 4

essai n° 5

essai n° 6

essai n° 7

essai n° 8

LES MATRICES DE HADAMARD (3)

Facteurn° 1

Variable étudiée

Niveau - Niveau +

δ1

LES MATRICES DE HADAMARD (4)

Facteurn° 2

Variable étudiée

Niveau - Niveau +

δ2

Erreur due à la non linéarité de l'influence du facteur étudié

LES MATRICES DE HADAMARD (5)

Le nombre d'expériences est toujours un multiple de 4

n = 4n = 8n = 12n = 16n = 20

Hadamard (5)

Création d’un nouveau produit :Le chewing-gum light

Nouveau procédé : extrusionNouvelle composition : les polyols

remplacent les sucres

11 paramètres à optimiser simultanémentType de vis de l’extrudeurVitesse de rotation de la visTempérature de la gomme...Pourcentage de XylitolPourcentage de Mannitol...

Le chewing-gum

LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k

Lorsque les facteurs étudiés sont des facteurs à 3 niveaux,on étudie des fractions du plan complet 3p.

1 11 21 32 12 22 33 13 23 3

Facteurde base

n° 1

Facteurde base

n° 2

Pour cela on construit d’abord un plancomplet à 2 facteurs. Ce plan comporte9 essais (3x3). Il est bien sûr orthogonal !

Si l’on souhaite étudier plus de 2 facteursil faut ajouter des colonnes équilibrées(3 expériences au niveau 1, 3 au niveau 2et 3 au niveau 3) qui doivent être orthogonalesaux précédentes

A cet effet on étudie la famille des carrés latinsorthogonaux 3x3.

LES PLANS FRACTIONNÉS 3 p-k

CL1 CL2

1 11 21 32 12 22 33 13 23 3

Facteurde base

n° 1

Facteurde base

n° 2

1 12 33 22 23 11 33 31 22 1

Facteurn° 3

Facteurn° 41 2 3

2 3 13 1 2

1 2 33 1 22 3 1

Chacun des deux carrés latinssert à construire une colonne !

Il n’est pas possible d’étudier plus de 4 facteurs avec 9 essais ! …car il n’existe pas d’autre carré latin orthogonal aux deux carrés existants.Il faudra alors au moins 27 essais !!

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 1 )

OBJECTIF : TROUVER UN OPTIMUM

MODÈLE ASSOCIÉ : SURFACES DE RÉPONSE

CONTRAINTES : VARIABLES QUANTITATIVES

PROPRIÉTÉS : D-OPTIMALITÉ, ROTATABILITÉet ISOVARIANCE PAR ROTATION

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 2 )

2 points de l'hypercubep

2p points du parallèlotopeétoilé

2 points centrauxFacteurn° 2

Soit n = 2 + 2.p + 2essais au total

p

Chaque facteur est utilisé à5 valeurs différentes

Facteurn° 1

Chaque facteur est étudiéà 5 niveaux

La valeur minimum minLa 1ère valeur intermédiaire V1La valeur moyenne moy.La 1ère valeur intermédiaire V3La valeur maximum Max

Plan Central compositeà 3 facteurs

moy.moy.moy.moy.moy.moy.minMaxV1V1V1V1V3V3V3V3

moy.moy.moy.moy.minMaxmoy.moy.

V1V1V3V3V1V1V3V3

moy.moy.minMaxmoy.moy.moy.moy.

V1V3V1V3V1V3V1V3

V1 moy. - (moy.-min)p

p=

V3p

p=

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 3 )

moy. + (moy.-min)

LES PLANS CENTRAL COMPOSITE ( 4 )

Equation polynomiale du modèle :

Y = a0 + a1.Pv + a2.E/S + a3.(Pv)² + a4.(E/S)² + a5.Pv.E/S

-2

0

2

NETTOYAGE DE SALADE (1)

020 40 60 80 100

12 0140

4090

140200

4,64,8

55,25,45,65,8

6

Log CF

PvE/S

NETTOYAGE DE SALADE (2)

020 40 60 80 100

12 0140

4090

140200

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

Log Rdt

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (3)

020 40 60 80 100

120140

4090

140200

1,31,41,51,61,71,81,9

22,12,2

Log CTh

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (4)

Log CF Log Rdt Log CTh

4050

0 20 40 60 80 100 120 140

60708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

400 20 40 60 80 100 120 140

5060708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

400 20 40 60 80 100 120 140

5060708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

NETTOYAGE DE SALADE (5)OPTIMISATION MULTIVARIABLE

0 20 40 60 80 100 120 140

5060708090100110120130140150160170180200

Pv

E/S

PLANS DE BOX BENHKEN

Plan de Box-Benhkenà 3 facteurs

Chaque facteur est étudiéà 3 niveaux

minimum minmoyenne moyMaximum Max

minminMaxMaxminminMaxMaxmoymoymoymoymoymoy

minMaxminMaxmoymoymoymoyminminMaxMaxmoymoy

moymoymoymoyminMaxminMaxminMaxminMaxmoymoy

Le nombre d’expériences est égal à 2p² - 2p + 2

LES PLANS DE MÉLANGE (1)

Produit n° 1

Produit n° 2 Produit n° 3

Réseau Simplex centre de Scheffé

PLANS DE MÉLANGE ( 2 )

y = a0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1² + a5c2² + a6c3² + a7c1c2 + a8c1c3 + a9c2c3

L’équation habituelle

Ne peut être résolue (il faudrait estimer 10 paramètres avec seulement 7 expériences !)Ceci est dû à la contrainte c1 + c2 + c3 = 1 La somme totale des ingrédients fait 100 %

Il n’y a donc pasbesoin de constantea0 + a1c1 + a2c2 + a3c3 = (a0+a1)c1 + (a0+a2)c2 + (a0+a3)c3

Il n’y a pas besoinDes termes carrésc1 (c1 + c2 + c3) = c1 c1² = c1- c1 c2 - c1 c3

y = a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c1c2 + a5c1c3 + a6c2c3

On ajuste donc le modèle suivant :

OPTIMISATION D’UN VIN PARMÉLANGE DE CÉPAGES

Cépagen° 3

Cépagen° 1

Cépagen° 2

26

2224

20

20

1816

14

18

16

14

12

M.SergentD.Mathieu

R. Phan-Tan-Luu(1985)Cépages

LES PLANS DE MÉLANGE (3)

Ingrédientn° 3

Ingrédientn° 1

Ingrédientn° 2

Plans avec contraintes

LES PLANS D-OPTIMAUX

FACE A DES CAS PLUS DIFFICILES, ON SE RATTACHEAUX PROPRIÉTÉS DES MATRICES EXPÉRIMENTALES.

CERTAINS AUTEURS ONT PROPOSÉS DES ALGORITHMES DE CONSTRUCTION

DE PLANS D-OPTIMAUX

WYNNFEDOROVWHEELERMITCHELLWELCH

LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (1)

p produits sont étudiés avec un panel de s sujets.k est le nombre de produits testés par chaque sujetr est le nombre de répétitions par produits

(nombre de sujets testant un produit donné)

λ est le nombre de fois où un couple de produits est noté(nombre de sujets testant simultanément deux produits donnés)

p.r = s.k (*)

λ = (**)r.(k-1)p-1

On peut montrer queles deux conditionssuivantes sont nécessaires :

LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRÉS (2)

1 2 3 4 5Produits

6 7

Sujet 1

Sujet 2

Sujet 3

Sujet 4

Sujet 5

Sujet 6

Sujet 7

Traitement statistique des résultats des BIE

7 5 910 11 127 6 14

14 16 1514 11 17

16 15 1714 7 12

Produitn° 1

Produitn° 2

Produitn° 3

Produitn° 4

Produitn° 5

Produitn° 6

Produitn° 7

Sujetn° 1

Sujetn° 2

Sujetn° 3

Sujetn° 4

Sujetn° 5

Sujetn° 6

Sujetn° 7

24 33 39 42 30 33 488 11 13 14 10 11 16

Somme totale par produitmoyenne

Traitement statistique des résultats des BIE

7 5 910 11 127 6 14

14 16 1514 11 17

16 15 1714 7 12

Produitn° 1

Produitn° 2

Produitn° 3

Produitn° 4

Produitn° 5

Produitn° 6

Produitn° 7

Sujetn° 1

Sujetn° 2

Sujetn° 3

Sujetn° 4

Sujetn° 5

Sujetn° 6

Sujetn° 7

Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 1

La somme totale de ces notes T1 est égale à 81

7 5 910 11 127 6 14

14 16 1514 11 17

16 15 1714 7 12

Produitn° 1

Produitn° 2

Produitn° 3

Produitn° 4

Produitn° 5

Produitn° 6

Produitn° 7

Sujetn° 1

Sujetn° 2

Sujetann° 3

Sujetn° 4

Sujetn° 5

Sujetn° 6

Sujetn° 7

La somme totale de ces notes T2 est égale à 108

Par conséquent, les sommes par produitdoivent être corrigées pour obtenir des

comparaisons non biaisées !

!

Si l’on s’intéresse aux notes données par les 3 sujets qui ont testé le produit 2

Traitement statistique des résultats des BIE

La somme corrigée pourle produit i est égale à : gi Si - Ti

kg1 = 24 - 81/3 = - 3 pour le produit 1

g2 = 33 - 108/3 = - 3 pour le produit 2

=

giαi r E=

E = k(p-1) p(k-1)

La moyenne corrigée pourle produit i est égale à :

avec

E est appelé coefficient d’efficacité.

CONTRAINTES

UN GRAND NOMBRE DE PRODUITS Á ÉTUDIER 20 (environ)

UN NOMBRE LIMITÉ DE BOXES DE DÉGUSTATION 14 boxes

UNE TAILLE DE PANEL LIMITÉE 20 sujets au maximum

UN NOMBRE RESTREINT DE SESSIONS 15 demi-journées

UN NOMBRE LIMITÉ DE PRODUITS PAR SUJET 6 produit maximum / jour

.......

LES BLOCS INCOMPLETS ÉQUILIBRESA DEUX ETAGES

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

Produits

Sujet 1

Sujet 2

Sujet 3

Sujet 4

Sujet 5

Sujet 6

Sujet 7

A D I J P R S

Produitspour une session donnée

BIE (3)

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Sessions

PLANS POUR MAÎTRISER L’ORDRE DE PRÉSENTATIONDES PRODUITS ET LES ARRIÈRES-EFFETS

Ordre de présentationdes produits

A B C DAB CD

A BC DABCD

Sujet n° 1

Sujet n° 2

Sujet n° 3

Sujet n° 4

Carrés latins de Williams

Jour 1 Jour 2 Jour 3 Jour 4 Jour 5 Jour 6 Jour 7 Jour 8 Jour 9 Jour 10

Sujet 1 P1 P2 P10 P3 P9 P4 P8 P5 P7 P6

P2 P3 P4 P10 P5 P9 P6 P8 P7

P3 P4 P2 P5 P1 P6 P10 P7 P9 P8

P4 P5 P3 P6 P2 P7 P1 P8 P10 P9

P5 P6 P4 P7 P3 P8 P2 P9 P1 P10

P6 P7 P5 P8 P4 P9 P3 P10 P2 P1

P7 P8 P6 P9 P5 P10 P4 P1 P3 P2

P8 P9 P7 P10 P6 P1 P5 P2 P4 P3

P9 P10 P8 P1 P7 P2 P6 P3 P5 P4

P10 P1 P9 P2 P8 P3 P7 P4 P6 P5

P1Sujet 2

Sujet 3

Sujet 4

Sujet 5

Sujet 6

Sujet 7

Sujet 8

Sujet 9

Sujet 10

QUELQUES CONSEILS

• Faire les mesures plutôt aux bornes du domaine d'étude

• Eviter les confusions d'effet en recherchant l'orthogonalité entre les facteurs

• Utiliser les logiciels de construction de plans d'expériences quand cela est possible

• valider concrètement les résultats trouvésConseils

LA DEMARCHE EXPERIMENTALE

Clairement définir les objectifs

Lister les facteurs influents

Choisir le domaine de variation

Lister l’ensemble des contraintes

Construire le plan d’expériences

L’APPROCHE EXPERIMENTALE

Conjecture

Plan d’expériences

Expérimentation

Analyse des résultats

Conclusions

LES PLANS D’EXPERIENCES PERMETTENT

Précision

Efficacité

Flexibilité

BIBLIOGRAPHIE

BOX G.E.P, HUNTER W.G. & HUNTER J.S.Statistics for experimentersJohn Wiley & Sons 1978

KEMPTHORNE O.The design ans analysis of experimentsJohn Wiley & Sons 1952

CORNELL J.A.Experiments with mixturesJohn Wiley and Sons 1981

BARKER T.B.Quality by experimental designsMarcel Dekker 1985

DAVIES O.L.The design and analysis of industrial experimentsOliver & Boyd 1985

Gilles et Marie-Christine SADOLes plans d’expériencesAFNOR Technique

Yves TOURBIER, et AlLes plans d’expériencesPresses Romandes

Jacques GOUPYLes plans d’expériencesDUNOD