LES PROBLEMES OUVERTS AU CYCLE 3 DE L’ECOLE PRIMAIRE ET A

L’ARTICULATION ECOLE-COLLEGE

Dans le cadre de la liaison CM2-6ème, le groupe « Mathématiques » du Loir-et-Cher propose aux enseignants

des premier et second degrés des situations d’enseignement axées sur la résolution de problèmes pour

apprendre à chercher.

Les constats

PISA et les mathématiques

« La France figure parmi les pays où les élèves ont le moins confiance en eux pour ce qui concerne leurs

compétences en mathématiques. La France est également le pays où les élèves font le moins preuve de

persévérance, plus d'un élève sur deux abandonnant rapidement face à un problème à résoudre. […]

Les épreuves concernent la résolution de problèmes ne sont pas destinées à évaluer les connaissances des

élèves, mais ce qu’ils sont capables de faire avec ce qu’ils ont appris dans des situations spécifiques. Les

élèves français, à l’école primaire comme au collège, sont-ils préparés ou entraînés à utiliser ce qu’ils savent

dans des situations inédites, ouvertes demandant de faire preuve d’initiative ? Du côté de l’école primaire,

la référence à ce type de problèmes a disparu avec les programmes de 2008 et sa pratique n’était pas très

fréquente auparavant. Beaucoup d’élèves ne sont donc pas familiers de ce type de tâches, les problèmes

qu’ils ont rencontrés étant le plus souvent des problèmes d’application du cours précédent. […]

La résolution de problèmes, comme finalité et comme moyen des apprentissages, est de première

importance car il faut familiariser très tôt les élèves avec une démarche d’investigation en mathématiques,

leur apprendre à chercher au sens d’affronter une situation et de mettre en œuvre des stratégies (faire des

essais et les organiser, faire des hypothèses, faire des déductions, partir des données ou partir de la

question pour déterminer des étapes de résolution…) et des outils mathématiques pour en venir à bout

[…]. »

Roland CHARNAY, Café pédagogique, 11 décembre 2013.

La recherche1

La résolution de problèmes est une des principales difficultés de l’enseignement des mathématiques à

l’école primaire. Pour beaucoup d’élèves, résoudre un problème consiste à faire un calcul avec les nombres

de l’énoncé ou à appliquer ce qui vient d’être étudié en classe, puis à attendre le verdict de l’enseignant

plutôt que vérifier ou s’interroger sur le résultat.

Or, faire des mathématiques, c’est d’abord chercher des solutions à des problèmes qui peuvent être

considérés comme inédits pour les élèves.

La résolution de problèmes s’appuie ainsi sur la nécessité d’élaborer des procédures (faire des essais,

formuler des hypothèses, chercher et résoudre des sous-problèmes) et de comparer ses résultats au but à

atteindre et de comparer ainsi ses procédures.

1 « Apprentissages numériques et résolution de problèmes », éditions Hatier par Ermel, 2005

Dans la catégorie, les problèmes ouverts2 (ou problèmes de recherche) sont les problèmes par excellence

pour mettre les élèves dans la situation d’affronter un énoncé qui, toutes proportions gardées, les place

dans la situation du chercheur. Pour ce type de problèmes, les élèves ne disposent pas de modèles de

résolution. Ils sont en général décontextualisés. Les informations nécessaires à la compréhension du

problème sont présentes dans l’énoncé et directement utilisables. Les problèmes ouverts se caractérisent

donc par des informations disponibles (pas besoin de trier, rechercher et organiser ces informations) et un

modèle de résolution qui n’est pas connu et qu’il s’agit d’élaborer.

La résolution de problèmes ouverts nécessite de mettre en place un contrat3 qui lui soit favorable pour

qu’investissement, initiatives, comportement différent de celui en jeu dans d’autres tâches mathématiques

(exercices, entraînements) soient possibles. Il convient d’expliciter aux élèves leurs tâches : élaborer une

solution personnelle, en laisser une trace écrite, vérifier et justifier par eux-mêmes leurs résultats, essayer

d’expliquer leurs méthodes. Pour cela, ils peuvent prendre des initiatives, faire des essais, recommencer,

faire des ratures…

« Un chercheur doit savoir sécher une heure, un jour, ou toute la vie. Il sèche beaucoup plus qu’il ne trouve, il

se pose une série de questions, tâtonne, avance pas à pas. C’est très difficile ; puis à un moment donné, une

certaine illumination vient. Elle est souvent très brusque, mais c’et le résultat d’une accumulation énorme de

réflexions infructueuses. »

Laurent SCHWARTZ, mathématicien français, médaille Fields 1950

Les instructions officielles et la résolution de problème

Au cycle 3

Les programmes de 2008 ne font aucune référence explicite à la pratique des problèmes ouverts.

Cependant, dans le préambule, il est écrit : « Il est également indispensable que tous les élèves soient

invités à réfléchir sur des textes et des documents, à interpréter, à construire une argumentation, non

seulement en français mais dans toutes les disciplines, qu’ils soient entraînés à mobiliser leurs

connaissances et compétences dans des situations progressivement complexes pour questionner,

rechercher et raisonner par eux-mêmes ».

Parmi les compétences transversales développées à l’école, il est spécifié :

- Présenter à la classe un travail collectif ;

- Écouter et prendre en compte ce qui a été dit ;

2 Le terme « problème ouvert » a été introduit par une équipe de l’IREM de Lyon (Arsac, Germain et Mante,1991) pour

évoquer une catégorie de problèmes destinés à mettre en route, avec les élèves, une démarche scientifique : faire des essais,

conjecturer, tester, prouver. Elle propose la définition suivante :

-l’énoncé est court ;

-l’ énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type « montrer que » ;

en aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l’utilisation ou l’application immédiate des derniers résultats présentés en

cours ;

-le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité ; ainsi peuvent-ils

prendre facilement « possession » de la situation et s’engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution,

des contre-exemples.

3 Le contrat est « ce qui détermine explicitement pour une petite part, mais surtout implicitement, ce que chaque partenaire

va avoir à charge de gérer et dont il sera d’une manière ou d’une autre comptable devant l’autre », in Guy Brousseau, « Les

objets de la didactique des mathématiques », Actes de la 2ème école d’été de didactique des mathématiques, IREM d’Orléans,

1982.

- Questionner afin de mieux comprendre ;

- Exprimer et justifier un accord ou un désaccord, émettre un point de vue personnel motivé ;

- Participer à un débat en respectant les tours de parole et les règles de la politesse.

Le socle commun précise que :

- Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne.

- Les mathématiques développent la pensée logique, les capacités d’abstraction et de vision dans le

plan et dans l’espace par l’utilisation de formules, modèles, graphiques et diagrammes.

- Les mathématiques développent le raisonnement logique et le goût de la démonstration (la

preuve).

- La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s’acquiert et s’exerce par la résolution de

problèmes notamment à partir de situations proches de la réalité.

Au collège

Les textes accordent « une place centrale pour la résolution de problèmes : si la résolution de problèmes

permet de déboucher sur l’établissement de connaissances nouvelles, elle est également un moyen

privilégié d’en élargir le sens et d’en assurer la maîtrise. Pour cela, les situations plus ouvertes, dans

lesquelles les élèves doivent solliciter en autonomie les connaissances acquises, jouent un rôle important.

Leur traitement nécessite initiative et imagination et peut être réalisé en faisant appel à différentes

stratégies qui doivent être explicitées et confrontées, sans nécessairement que soit privilégiée l’une d’entre

elles. »

La pratique du problème ouvert a donc toute sa place dans le dispositif pédagogique mis en place dans la

classe pour développer cet ensemble de compétences parallèlement à la construction d’une démarche de

chercheur : essayer, tester, conjecturer, argumenter...

Les problèmes ouverts et le conseil école-collège

La loi de refondation de l’école du 8 juillet 2013 rappelle et renforce la nécessaire continuité pédagogique,

la nécessaire progressivité des apprentissages, d’une fluidité des parcours. Les enjeux sont communs.

Le conseil école-collège, innovation prévue par cette loi, vise à « renforcer la continuité pédagogique »

entre le premier et le second degré. Il entre alors en vigueur en septembre 2014.

Pour permettre une transition plus sereine et mieux organisée entre l’école primaire et le collège ce conseil

a pour mission de permettre la mise en œuvre d’actions pédagogiques inter-degré.

Le groupe « Mathématiques » propose ici une banque de données vue comme un outil pour mettre en

œuvre ou renforcer le travail inter-degrés au sein du conseil école-collège.

Du point de vue de l’enseignant

Contrat, mise en œuvre et validation des procédures

La principale difficulté pour mettre l’élève en situation de chercheur réside dans le choix du problème : il

doit «résister», c'est à dire ne pas s’apparenter à un problème d’application qui se limiterait à proposer une

opération et une « phrase réponse ». Il faut penser que les élèves sont placés dans une situation qu’ils n’ont

pas appris à résoudre.

L’énoncé ne doit induire ni méthode unique, ni solution unique.

Les difficultés de compréhension doivent alors être levées pour tous les élèves. La situation peut même être

illustrée matériellement.

Dans sa mise en œuvre de résolution l’enseignant peut programmer les phases suivantes :

Appropriation de la situation : lecture de l’énoncé, vérification de la compréhension du problème,

précision de ce qui est attendu des élèves lesquels doivent savoir qu’ils ont à :

o chercher, accepter le fait que résoudre un problème n’est pas toujours une tâche facile, que

cela peut prendre du temps ;

o produire une solution personnelle et en laisser une trace écrite ;

o formuler une réponse dans les termes du problème ;

o chercher et vérifier par eux-mêmes leurs solutions ;

o justifier leurs résultats.

Du côté de l’enseignant, il s’agit de faire comprendre aux élèves :

o qu’ils peuvent prendre des initiatives personnelles ;

o choisir leurs méthodes ;

o faire des essais, recommencer ;

o travailler sur leur feuille comme au brouillon : les ratures sont permises.

Phase de recherche individuelle pour permettre à chacun d’entrer dans la recherche et/ou en

groupe (par exemple en binôme). Durant cette phase, l’enseignant se rend disponible, observe,

encourage mais n’apporte pas d’aide directe.

Mise en commun au cours de laquelle les élèves exposent leur procédure, argumentent mais

critiquent également les méthodes de leurs pairs.

Remarque : La situation se veut a-didactique4. Les interventions de l'enseignant devraient se limiter aux

questions afférentes à la compréhension du problème, et non à la validité ou la non-validité des procédures

utilisées. L'enseignant mettra ce temps à profit pour préparer la mise en commun et repérer les procédures

et résultats erronés ou non qu'il désirera mettre en valeur durant cette dernière phase.

La mise en commun permettra de confronter procédures et résultats lors de discussions organisées en

débat mathématique. Elle permettra la validation par le groupe classe des résultats et procédures

pertinents.

4 « Une situation a-didactique est la part de la situation didactique dans laquelle l’intention d’enseigner n’est pas

explicite au regard de l’élève. Le sujet réagit comme si la situation était non didactique. C’est à l’élève de prendre des

décisions, d’engager des stratégies, d’évaluer leur efficacité. », G. BROUSSEAU (1998), Théorie des Situations didactiques, La

pensée sauvage.

Des problèmes pour chercher

Exercices

Domaines abordés

Numération Calcul Géométrie Mesures

Gestion

de

données

Autres

1 x

2 x x

3 x

4 x

5 x x

6 x

7 x

8 x

9 x

10 x

11 x

12 x

13 x

14 x x

15 x x

16 x

17 x x

18 x

19 x

20 x

21 x x

22 x

23 x

24 x

25 x

26 Logique

27 Logique

28 x

29 x

30 x

31 x

32 x

33 x

34 x

35 x x

36 x

37 x x

Exercices

Domaines abordés

Numération Calcul Géométrie Mesures

Gestion

de

données

Autres

38 x x

39 x

40 x

41 x

42 x

43 x x

44 x

45 x x

46 x

47 x

48 x

49 x

50 x

51 x

52 x

53 x x

54 x x

55 x x

56 x

57 x x

58 x

59 x

60 x x

61 x x

62 x

63 x x x

64 x Logique

65 x x x

66 x

67 Combinatoire

68 x x

69 x x

70 Logique

71 x x

72 x x

73 x x

74 x x

75 x x

76 x x

Exercices

Domaines abordés

Numération Calcul Géométrie Mesures

Gestion

de

données

Autres

77 x

78 x

79 x

80 x

81 x

82 x

83 x x

84 x

85 x

86 x

87 x

88 Logique

89 x

90 x

91 x

Problèmes ouverts extraits du lien : http://dpernoux.free.fr/ouvertsc3.doc

Exercice 1

Sur une table, il y a un livre ouvert. 1°) Si j’ajoute le nombre indiquant le numéro de la page gauche avec celui qui indique le numéro de la page de droite, je trouve 129. A quelles pages le livre est-il ouvert ? 2°) Si je trouve 273, à quelles pages le livre est-il ouvert ? 3°) Peut-on trouver 300 ? Justifie ta réponse.

Exercice 2

Placez les objets de 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg et 5 kg sur la balance pour qu'elle soit en équilibre. Justifiez votre réponse.

Exercice 3

Dans le pré qui entoure l’étang se prélassent des poules et des lapins. Un fermier, compte trente-six têtes, cent deux pattes et ce, à n’importe quelle heure. Combien y a-t-il de poules ? Combien y a-t-il de lapins dans le pré ?

Exercice 4

La sorcière Maléfix a rangé 36 balais dans 3 armoires A, B et C. Dans l’armoire A, il y a six balais de plus que dans l’armoire B. Dans l’armoire C, il y a deux fois moins de balais que dans l’armoire B. Combien de balais Maléfix a-t-elle rangés dans chaque armoire ?

Exercice 5

Dans un garage, il y a autant de voitures françaises que de voitures étrangères. Trois copains, Gordon, Pierre, Lambert font les remarques suivantes : -" Il y a cinq petites voitures et trois moyennes !" dit Gordon. "Il n’y a pas de voiture moyenne de marque étrangère ni de grosses voitures françaises !" dit Lamberti. Il y a deux petites voitures de marque étrangère !" dit Pierre. Combien y a-t-il de grosses voitures dans le garage ?

Exercice 6

Dadax joue sur une piste avec un dé. Il invente la règle suivante : « Si je fais plus de 3, j’avance de 5 cases. Si je fais moins de 3, je recule de 3 cases. Si je fais 3, je ne bouge pas. » Après avoir lancé 12 fois le dé, Dadax a avancé de 28 cases et n’a jamais fait 3. Combien de fois a-t-il fait plus de 3?

Exercice 7 (avec calculatrice éventuellement pour les élèves en difficulté) Il s’agit d’obtenir 42 en faisant des opérations avec les nombres : 8 4 7 10 3 Ceux-ci ne sont utilisés qu’une seule fois et sans que l’on soit obligé de tous les utiliser. Chercher cinq solutions possibles.

Exercice 8

Pour se faire de la publicité un marchand de fruits lance un concours : il propose d’offrir une caisse d’oranges à qui trouvera le nombre d’oranges qu’elle contient. Il nous dit la chose suivante : " Si vous faites des paquets de 4 oranges, il ne restera pas d’orange ; si vous faites des paquets de 5 oranges ou de 6 oranges, il n’en restera pas non plus. Mais si vous faites des paquets de 7, il en restera une. Pour vous, combien y a-t-il d’oranges dans une caisse?

Exercice 9

Un berger a plus de 50 moutons mais moins de 70. Un jour, il remarque, que s’il les compte par 2, il en reste 1 ; que s’il les compte par 3, il en reste 1 ; par 4, il en reste 1 ; par 5, il en reste 1 et par 6, il en reste toujours 1. Combien a-t-il de moutons ?

Exercice 10

Nous sommes 5 nombres impairs et nous nous suivons (comme 3, 5, 7, etc.…). Notre somme est 105. Qui sommes-nous ?

Exercice 11

Un dragon boit dans un aquarium. Celui-ci, rempli d’eau à ras bord, pèse 108 kg. A moitié vide, le même aquarium pèse 57 kg. Combien pèse cet aquarium vide ?

Exercice 12 (difficile)

Place les nombres de 1 à 9 dans les neuf régions déterminées par les cinq anneaux olympiques de telle sorte que les sommes des nombres dans chacun des anneaux soient identiques.

Exercice 13

Un dictionnaire compte 2320 pages. Combien de chiffres a-t-on utilisé pour numéroter toutes ces pages?

Exercice 14 (CE2)

Je suis un nombre à trois chiffres. La somme de mes chiffres est 3 et leur produit est 0. Qui suis-je ?

Exercice 15 (difficile) A l'école, il y a deux horloges. L'une avance de 4 minutes toutes les heures et l'autre retarde d'une minute toutes les heures. Le directeur les a mises à l'heure hier et maintenant l'une marque 17h36 et l'autre 15h36. Quelle heure est-il?

Exercice 16

Nous sommes plusieurs nombres consécutifs. Notre produit est égal à 120. Qui sommes-nous ?

Exercice 17

Thomas Thématik (Tom pour les intimes) est en vacances chez sa grand-mère qui était secrétaire. Dans le grenier, il retrouve sa vieille machine à écrire dans laquelle les souris ont malheureusement fait leur nid. Seules les touches 3 et 5 fonctionnent normalement. Combien de nombres de 3 chiffres peut-il écrire correctement ?

Exercice 18 Combien y a-t-il de triangles dans cette figure ?

Exercice 19 (CE2)

Combien peut-on former de triangles en joignant ces points?

Exercice 20 (CE2)

Les pentaminos sont des figures composées de 5 carrés reliés par au moins un côté. Combien de pentaminos différents peut-on construire?

Exercice 21

Sur une feuille quadrillée trace un carré qui pourrait couvrir 32 carreaux.

Problèmes ouverts tirés de la séquence d'enseignement « Mathématiques et maîtrise de la langue » de Karine Cauet, PEMF Jean Moulin Caen. Voir la séquence :

http://www.etab.ac-caen.fr/centre-ph-lucas/carep/fichier/Sequence-Math-et-MdL.pdf

Exercice 22Les poules et les lapins : 3 séances. Dans le pré, qui entoure l’étang de Mathessonne, se prélassent des poules et des lapins. Karcassonne, le fermier, compte trente-six têtes, cent deux pattes et ce, à n’importe quelle heure. Combien y a-t-il de poules ? Combien y a-t-il de lapins dans le pré ?

Exercice 23 (proposition initiale de l’auteur modifiée) Marie a 43 € dans son porte-monnaie. Elle veut offrir un bouquet de roses : - les roses jaunes sont à 2 € - les roses blanches à 3 € - les roses rouges à 6 € Cherche tous les bouquets de 9 fleurs qu'elle peut acheter avec son argent. Essaie de prouver à ton lecteur que tu as vraiment toutes les solutions.

Exercice 24

Ramsès a acheté des chameaux et des dromadaires, tous normaux. Il s'ennuie et compte : il compte 21 bosses puis 52 pattes. Il poste un soldat par chameau. De combien de soldats a-t-il besoin pour cela ?

Problèmes ouverts extraits de « Problèmes pour chercher » : http://www.ac-guadeloupe.fr/circonscriptions/basseterre/textes/Problemes_pour_chercher_Cycle3.pdf Exercice 25

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29

Trouver toutes les sommes que Lucile peut payer exactement.

Exercice 30

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 33

Exercice 34

Exercice 35

Exercice 36

Attention, le réseau n'est pas assez régulier à mon sens ...mais bonne idée.

Exercice 37

Exercice 38

Difficile

Exercice 39

Exercice 40

Exercice 41

Exercice 42

Exercice 43

Exercice 44

Exercice 45

Exercice 46

Exercice 47

Exercice 48

Exercice 49

Exercice 50

Exercice 51

Problèmes ouverts extraits du rallye CM2/6ème Rouen 2008

Exercice 52 Dans une famille, chaque garçon a deux fois plus de sœurs que de frères et chaque fille a autant de frères que de sœurs. Combien y a-t-il de garçons et combien de filles dans cette famille ?

Exercice 53 On suppose qu’on écrit la date sous la forme : jj/mm/aaaa. A partir d’aujourd’hui, quelles seront les 2 prochaines dates qui s’écriront avec 4 fois 2 chiffres identiques ? Par exemple : le 10 Avril 1994 était une date de ce type : 10/04/1994.

Exercice 54

Voici les plans de deux architectes. Chaque cube représente un appartement. Les murs non visibles ne comportent pas de trous. Le contrat est revenu à l’architecte dont l’immeuble contenait le plus d’appartements. De quel immeuble s’agissait-il : a ou b ?

Exercice 55

Madame Adelir a tricoté des carrés de laine pour faire deux couvertures rectangulaires. Il y a des carrés gris et des carrés blancs. Pour ces deux couvertures, elle veut mettre tous les carrés gris sur le bord et les carrés blancs à l’intérieur. La figure ci-contre représente la 1ère couverture : on convient que sa longueur est de 7 et sa largeur est de 5. Pour la 2ème couverture, elle veut qu’il y ait le même nombre de carrés blancs à l’intérieur que de carrés gris sur le bord. Sachant que la longueur de la 2eme couverture est de 8, donner sa largeur.

Correction Exercice 52 : le nombre de garçons est 3 et le nombre de filles est 4. Exercice 53 : Les deux prochaines dates seront: 24/10/2014 et 04/12/2014. Exercice 54 : Il s’agissait de l’immeuble A avec 80 appartements, alors que B en comporte 79. Exercice 55 : La largeur de la 2ème couverture est 6 carreaux.

Problèmes ouverts extraits du 20è rallye transalpin, épreuve I, 2012

Exercice 56

Exercice 57

Exercice 58

Exercice 59

Exercice 60

Exercice 61

Exercice 62

Exercice 63

Exercice 64

Exercice 65

Exercice 66

Problèmes ouverts extraits du 20è rallye transalpin, épreuve 2, 2012

Exercice 67

CADRE MULTICOLORE (Cat. 3, 4) ©ARMT 2012 – 20e – II épreuve

Jérôme a un cadre formé de 8 carrés égaux en carton blanc. Il veut colorier son cadre et pour le faire il a à sa disposition trois couleurs : rouge, jaune et bleu. Il commence par colorier en rouge les carrés notés sur la figure B et G.

Il décide ensuite de colorier les carrés restants en suivant ces règles : - deux carrés ayant un côté en commun doivent avoir des couleurs différentes ; - les carrés A et C doivent avoir la même couleur ; - les carrés D et E doivent avoir la même couleur ; - les carrés F et H doivent avoir la même couleur.

De combien de manières différentes Jérôme peut-il colorier son cadre en respectant les règles et en laissant les carrés B et G en rouge ? Montrez toutes les possibilités.

Exercice 68

LOTERIE DE FIN D’ANNEE (Cat. 3, 4, 5) ©ARMT 2012 – 20e – II épreuve

Pour la fête de la fin de l'année scolaire, on a organisé une loterie. Claire et Hélène ont acheté un billet chacune. Les deux amies comparent les nombres inscrits sur leurs billets et voient qu'ils sont tous les deux inférieurs à 10. Hélène dit à Claire : « Le tien est un nombre vraiment particulier ! Si tu fais la somme de tous les nombres de 1 jusqu'à celui qui le précède, et si tu fais la somme de tous les nombres qui le suivent jusqu'au mien y compris, tu obtiendras le même résultat ! »

Quel est le nombre de Claire ? Et celui d'Hélène ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

Exercice 69

LE DECOR (Cat. 3, 4, 5) ©ARMT 2012 – 20e – II épreuve

La classe doit préparer un décor pour un spectacle. Lili et Mathias ont été chargés de découper en deux parties un morceau de carton rigide. Une des deux parties sera recouverte de papier fluo jaune, l’autre partie sera recouverte de papier fluo vert. Voici le dessin du projet que Lili et Mathias ont préparé.

Pour recouvrir entièrement chacune des deux parties, faut-il plus de papier vert ou plus de papier jaune ? Expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

Exercice 70

LES COULEURS DES CHAPEAUX (Cat. 3, 4, 5) ©ARMT 2012 – 20e – II épreuve

Quatre amies se rencontrent, chacune porte un chapeau dont la couleur correspond à son nom : Blanche porte un chapeau blanc, Violette porte un chapeau violet, Rose un chapeau rose et Bleuette un chapeau bleu. Les quatre amies s’amusent à s’échanger leurs chapeaux et, à un certain moment, elles s’aperçoivent que : - une seule porte encore le chapeau de la couleur correspondant à son nom, - Blanche porte le chapeau de Bleuette, - Rose ne porte pas le chapeau de Violette. Après ces échanges, quelles peuvent être les couleurs des chapeaux que portent Violette, Rose et Bleuette ? Donnez vos réponses et montrez les essais que vous avez faits pour les trouver.

Exercice 71

TROIS AMIS ET LEURS DESSINS (Cat. 4, 5, 6) ©ARMT 2012 – 20e – II épreuve

Trois amis, Anne, Béa et Charles, ont dessiné ces trois figures sur une feuille de « papier ponctué

» :

La figure d’Anne a la même aire que celle de Béa et le même périmètre que celle de Charles. Quelle est la figure d’Anne ? Expliquez votre réponse. Dessinez ensuite à côté des dessins des trois amis une autre figure qui ait la même aire et le même

périmètre que la figure d’Anne.

Exercice 72

UN DEFI POUR ANDRE (Cat. 5, 6, 7) ©ARMT 2012 – 20e – II épreuve

Son oncle dit à André : « J'ai pensé à un nombre. - C’est un multiple de 6. - Si tu le doubles, tu obtiens un nombre plus petit que 100. - Si tu le triples, tu obtiens un nombre plus grand que 100. - Si tu lui ajoutes 11 et si tu doubles le résultat, tu obtiens encore un nombre plus petit que 100. Quel est le nombre auquel j’ai pensé ? » Et vous, sauriez-vous trouver le nombre pensé par l'oncle d’André ? Expliquez comment vous avez fait pour trouver votre réponse.

Problèmes ouverts extraits du rallye mathématique de la Côte d’Or 2012.

Exercice 73

LES CHIENS DE MONSIEUR HUGO

Monsieur Hugo élève des chiens. Il en a 11, dont 7 sont des caniches et 8 sont jeunes. Combien de jeunes caniches a-t-il ? Trouve toutes les solutions possibles. Correction Il y a quatre solutions possibles :

- 4 jeunes caniches et 3 vieux caniches - 5 jeunes caniches et 2 vieux caniches - 6 jeunes caniches et 1 vieux caniche - 7 jeunes caniches et 0 vieux caniche

Justification S’il n’y avait aucun jeune caniche, 7 caniches et 8 jeunes chiens feraient un minimum de 7 + 8 = 15 chiens au minimum chez M. Hugo. Or M. Hugo n’a que 11 chiens. Il y a donc des jeunes caniches. Comme 15 – 11 = 4, il y a au moins 4 jeunes caniches. Pour terminer le problème, il suffit d’énumérer tous les cas possibles : 4 jeunes caniches ; 5 jeunes caniches ; 6 jeunes caniches et 7 jeunes caniches, puis de compléter par de vieux caniches pour obtenir le total de 7 caniches.

Exercice 74

LES PIECES DE MONNAIE

Benoit a quatre pièces dans son porte monnaie : une de 20 centimes, une de 10 centimes, une de 5 centimes et une de 1 centime. Quelles sommes peut-il payer exactement avec une, deux, trois ou quatre de ces pièces ?

Correction On peut payer 15 sommes : 1c, 5c, 6c, 10c, 11c, 15c, 16c, 20c, 21c, 25c, 26c, 30c, 31c, 35c,36c. - Avec une pièce, on peut payer exactement 4 sommes : 1 c, 5 c, 10 c, 20 c. - Avec deux pièces, on peut payer exactement 6 sommes : 6 c, 11 c, 15 c, 21 c, 25 c, 30 c. - Avec trois pièces, on peut payer exactement 4 sommes : 16 c, 26 c, 31 c, 35 c. - Avec quatre pièces, on peut payer exactement 1 somme : 36 c. Justification Pour chacune des 4 pièces, on peut l’utiliser ou non. Cela donne 24 possibilités. Mais, comme on ne va pas payer une somme nulle (aucune des pièces n’est utilisée), on aura ainsi 24 – 1 = 15 possibilités. Pour les énoncer toutes, on peut dessiner un arbre :

On peut aussi réaliser un tableau indiquant le nombre de pièces de chacune des 4 sortes :

Autres activités possibles : Le problème peut être donné avec des masses marquées (1 g, 5 g, 10 g, 20 g) et une balance à deux plateaux. La recherche sera alors de trouver toutes les masses que l’on peut mesurer. (la réponse devient 21 possibilités)

Exemples : 20 g 14 g

Exercice 75

LES BONBONS Siméon, l’aîné des enfants de la famille Poisson, reçoit un paquet de bonbons à partager entre tous les enfants de la famille. Il prépare 4 tas pour ses frères et sœurs Denis, Claire, Lucie et Mathieu. Il reste alors 2 bonbons qu’il pense offrir à ses parents. Mais au moment de donner leur part aux plus jeunes, il s’aperçoit qu’il n’a pas prévu de tas pour lui ! Il rassemble tous les bonbons et recommence le partage, cette fois en 5 parties. Il reste alors 1 seul bonbon. Lorsqu’il reçoit sa part, Denis, le benjamin de la famille, compte, avec ses doigts, le nombre de ses bonbons. Les doigts d’une main ne suffisent pas, mais avec les deux mains, il a pu compter ses bonbons.

Combien y avait-il de bonbons dans le sachet ?

Correction

Au départ, il y avait 46 bonbons dans le sachet (et Denis Poisson a 9 bonbons dans sa main).

Justification 46 = 4 × 11 + 2 et 46 = 5 × 9 + 1, avec 5 < 9 ≤ 10.

Pour aller plus loin Le nombre de bonbons dans le sachet est un multiple de 5 auquel on ajoute 1 : Nombre de bonbons dans le sachet = 5 × (part de chaque enfant) + 1. La part de chaque enfant est supérieure à 5 et inférieure ou égale à 10. Le nombre de bonbons dans le sachet peut donc être égal à 5 × 6 + 1 = 31 ou 5 × 7 + 1 = 36 ou 5 × 8 + 1 = 41 ou 5 × 9 + 1 = 46 ou 5 × 10 + 1 = 51. Parmi ces résultats 31 ; 36 ; 41 ; 46 ; 51, un seul est multiple de 4 auquel on ajoute 2 (le 46 = 4 × 11 + 2)

Exercice 76

DRÔLE DE CALCULATRICE

La calculatrice de Gilliane est très spéciale ! Il n’y a que les deux touches (+1) et (×2), ainsi qu’un écran d’affichage ! Heureusement, lorsqu’on lui indique une opération, elle fait le calcul juste ! Pour l’instant, la calculatrice affiche 0. Gilliane souhaite faire afficher 2012. Quelle succession d’opérations doit-elle demander à sa drôle de calculatrice en utilisant le moins de fois possible

les deux touches de la calculatrice ?

Correction

Sur la calculatrice, Gilliane fera 18 opérations, elle tapera successivement : (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (×2)

On obtient : 1 2 3 6 7 14 15 30 31 62 124 125 250 251 502 503 1006 2012

On aurait aussi pu faire, au départ, (+1) (+1) (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (+1) (×2) (×2),

on aurait alors eu le même nombre d’opérations

Justification En partant de 2 012, on divise par 2 (opération qui permet de se rapprocher plus rapidement de 0 que la soustraction d’une unité), on obtient 1 006, nombre pair que l’on peut encore diviser par 2 pour obtenir 503. Ce nombre 503 est impair, on retranche 1, on trouve 502 que l’on divise par 2 pour obtenir 251, …. Chaque fois que l’on obtient un nombre pair, on divise par 2, sinon, on retranche 1 avant de diviser par 2. On remonte ainsi la succession des

opérations qui permet d’arriver jusqu’à 0. Pour rédiger la solution, on écrit, comme cela a été fait ci-dessus, la succession des opérations inverses.

Nota bene : en partant de 0, si on commence par multiplier, on aura toujours 0 comme résultat. Il faut donc commencer par ajouter 1. Ensuite, si on multiplie tout le temps, on aura 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 1 024 et 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 2 048. 2 048 est supérieur à 2 012, on ne peut revenir en arrière, quant à 1 024, est trop loin de 2012 pour l’obtenir en ajoutant des 1 avec un minimum d’opérations.

Exercice 77

RETOUR A LA CASE DEPART

Trouvez le nombre que l’on peut mettre dans la case coloriée.

Réponse : Le nombre que l’on peut mettre dans la case coloriée est 12. Justification : 12 x 3 = 36 ; 36 – 16 = 20 ; 20 + 4 = 24 ; 24 : 2 = 12 (à ce niveau, il n’y a que des opérations « de base » à faire) Autres activités possibles : On peut proposer le même type d’exercice en modifiant : - Le nombre d’opérations - Le type d’opérations - La taille des nombres

Exercice 78

RECTANGLE DANS UN RECTANGLE

Combien peut-on compter de rectangles sur cette figure ? Réponse : Sur la figure, on peut voir 18 rectangles. Nota Bene : un carré est à compter parmi les rectangles car les carrés sont des rectangles particuliers. Justification : - Il y a 6 rectangles d’une seule case, 7 rectangles de deux cases (4 « horizontaux » et 3 « verticaux »), 2 rectangles de trois cases, 2 rectangles de quatre cases, 1 rectangle de six cases. 6 + 7 + 2 + 2 + 1 = 18. - Recherche systématique en nommant les sommets et en associant un premier sommet avec tous ceux qui peuvent donner un rectangle ; puis on recommence jusqu’à épuisement. Autres activités possibles : On peut proposer le même type d’exercice en modifiant : Le nombre de rectangles (voir figure 1) La forme de la figure (triangles -voir figure 2-, …)

Remarque : ce type d’exercice permet de développer un savoir-faire (savoir extraire une sous-figure d’une plus grande figure), compétence utile pour raisonner et pour reconnaître des figures-clés qui permettront d’appliquer des

théorèmes vus ultérieurement au collège.

Exercice 79

LE CARRE CACHE

Voici une grille des nombres de 1 à 100. La somme des neuf nombres placés dans le carré gris est 297. Claude m’a écrit avoir trouvé un carré colorié en rose (9 cases aussi), dont la somme des nombres est 585. Mais Claude ne m’a pas transmis son carré colorié. Aidez-moi à le retrouver ! Coloriez-le ;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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Réponse : Le plus petit nombre du carré de Claude est 54. Il est situé dans la case colonne D et ligne P : 54+55+56+64+65+66+74+75+76=585.

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Exercice 80

A LA CAFETERIA

A la cafeteria, on sert deux sortes de repas, l’un à 9 €, l’autre à 12 €. A un moment, la caissière fait ses comptes. Elle a 96 €. Combien de repas de chaque sorte ont été servis ? Aidez la caissière et donnez toutes les solutions possibles !

Réponses : Il y a 3 solutions : 8 repas à 9 € et 2 repas à 12 € ; 4 repas à 9 € et 5 repas à 12 € ; 0 repas à 9 € et 8 repas à 12 €. Justification :

Autres activités possibles : - Même type de problème (mais plus facile) en prenant des nombres premiers entre eux (repas à 2 € et à 5 € par exemple) - Ajouter une contrainte : le nombre de repas servi (cela rend la solution unique). Par exemple dire « Elle sait qu’elle n’a servi en tout que 9 repas » : elle a servi 4 repas à 9 € et 5 repas à 12 €. La recherche de cette unique solution est modifiée pour les élèves, car ils pensent assez facilement à décomposer ce nombre 9 (pour les 9 repas servis) en somme de deux nombres entiers.

Exercice 81

29 février

L’anniversaire de Guillaume tombe le 29 février. Cette année, en 2012, c’est un mercredi. Il pourra inviter tous ses copains et leur poser le défi suivant : « Quel jour de la semaine serons-nous le 29 février 2016 ? » Réponse : Le 29 février 2016 sera un lundi. Justification : Il s’écoulera 3 365 + 1 366 = 1 461 = 208 7 + 5 jours, soient 208 semaines et 5 jours. Le 29 février 2016 sera donc un (mercredi + 5 jours) c’est-à-dire un lundi. Autres activités possibles : On peut toujours inventer des situations pour faire travailler les élèves sur le même type de problème, par exemple en faisant chercher le jour de la naissance d’une personne, le jour de l’an cette année (1er janvier 2012) était un dimanche, quand cela se reproduira-t-il ? En quelle année le jour de l’an sera-t-il un lundi, un mardi, un mercredi, un jeudi, un vendredi, un samedi ? Attention toutefois à bien considérer qu’il y a une année bissextile tous les 4 ans sauf les années se terminant par 00 et dont les deux premiers chiffres forment un nombre non divisible par 4. Ainsi, 2000 a été bissextile, mais 1700, 1800, 1900 ne l’ont pas été et 2100, 2200, 2300 ne le seront pas. 2400 sera bissextile.

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Exercice 82

PAUVRE NESTOR

L’escargot Nestor n’a pas de chance. Il a « marché » sur la case marquée 1 du cube ensorcelé et il se retrouve collé dessus. Il ne peut pas reculer. Pour se sortir de là, il ne peut qu’aller sur une case voisine par un côté de deux façons :

5 (+5) au nombre de la case où il est

3 (-3) au nombre de la case où il est Aidez-le à trouver la sortie.

Réponse : Nestor passe successivement sur les cases 1 ; 6 ; 3 ; 8 ; 5 ; 2 ; 7 ; 12 ; 9 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; 18 ; 15 ; 12 ; 17 ; 14 ; 11 ; 8 ; 5 ; 2 ; 7 ; 4 et sortie ! Nestor a encore deux autres sorties possibles sur la face supérieure : 1 ; 6 ; 3 ; 8 ; 5 ; 2 ; 7 ; 12 ; 9 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; 18 ; 15 ; 12 ; 17 ; 14 ; 11, ou encore : 1 ; 6 ; 3 ; 8 ; 5 ; 2 ; 7 ; 12 ; 9 ; 6 ; 11 ; 16 ; 21 ; 18 ; 15 ; 12 ; 17 ; 14 ; 11 ; 8. Justification : Exercice de calcul mental (additions et soustractions).

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Autres activités possibles : Proposer un cheminement avec parfois un choix à faire qui conduit à des impasses.

Exercice 83

LE PONT SUSPENDU http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm

Quatre explorateurs doivent franchir un torrent. Un seul moyen pour traverser : le pont suspendu fait de lianes et de cordes. Ce pont ne peut pas supporter plus de 150 kg à la fois. Aucun explorateur ne veut se trouver seul sur le pont. Paul pèse 63 kg, Emile 75 kg, Victor 62 kg, Alex 51 kg. Ils ont trois sacs à transporter. Chaque sac pèse 10 kg. Comment peuvent-ils faire pour traverser ?

Trouvez toutes les solutions possibles.

Réponse : Pour traverser le pont, les explorateurs ont 6 solutions : 1) P + V + 1sac et E + A + 2 sacs 4) E + V et P + A +3sacs 2) E + P et V + A +3sacs 5) P + E + 1sac et V + A + 2 sacs 3) E + V + 1sac et P + A + 2sacs 6) P + V + 2sacs et E + A + 1 sac Justification : - Est-il possible de faire traverser les deux personnes les plus lourdes ensemble (Paul et Emile) : oui car 63+75=138 et 138<150. 150-138=12, ils peuvent prendre, au besoin, 1 sac, c’est-à-dire 0 ou 1 sac. Les deux plus légers (Victor et Alex) pèsent ensemble : 62+51=113. 150-113=37, ils peuvent si besoin, transporter les 3 sacs, c’est-à-dire 0 ; 1 ; 2 ou 3 sacs. Nous avons ainsi, pour le moment, 2 solutions : Solution 1 : P+E avec 1 sac puis V+A avec 2 sacs Solution 2 : P+E sans sac puis V+A avec 3 sacs - On remarque : Paul et Victor n’ont qu’un kilo d’écart (Paul pèse 63 kg et Victor pèse 62 kg). Dans les solutions précédentes, on va permuter Paul et Victor : On obtient deux nouvelles solutions : Solution 3 : V+E avec 1 sac (62+75+10=147 ; 147<150), puis P+A avec 2 sacs (63+51+2x10=134 ; 134<150) Solution 4 : V+E sans sac (62+75=137 ; 137<150), puis P+A avec 3 sacs (63+51+3X10=144 ; 144<150) - Emile a déjà traversé avec Paul ou avec Victor. On peut l’associer à Alex : 75+51=126 ; 150-126=24. On peut ajouter, si besoin, 2 sacs.

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Les deux autres, Paul et Victor, pèsent ensemble : 63+62=125 ; 150-125=25. On peut ajouter, si besoin, 2 sacs . On obtient 2 solutions : Solution 5 : E+A avec 2 sacs (75+51+2x10=146 ; 146<150), puis P+V avec 1 sac (63+62+10=135 ; 135<150) Solution 6 : E+A avec 1 sac (75+51+10=136 ; 136<150), puis P+V avec 2 sacs (63+62+2x10=145 ; 145<150). Arbre pouvant aider à trouver toutes les combinaisons permettant de sélectionner les cas possibles :

Autres activités possibles : Proposer un problème de menus à équilibrer sur une journée (deux repas : midi et soir), peut-être même sans données numériques, mais avec des choix entre légumes verts ou féculents, crudités ou charcuterie, viande ou poisson, …

Exercice 84

NOIR, C’EST NOIR http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm

Noircis le nombre minimum de polygones sur cette figure pour qu’elle ait un axe de symétrie.

Indique le numéro de la zone ou des zones que tu vas noircir : ….………………………………………………………………………

Réponse : En grisant une seule zone (n°18), on obtient une figure ayant un axe de symétrie «horizontal» Justification : Recherche systématique des axes de symétrie de la figure (sans tenir compte des polygones déjà noircis) et, pour chaque axe de symétrie identifié, repérage des polygones à noircir pour que la figure reste symétrique par rapport à l’axe considéré (en prenant en compte cette fois les polygones noircis sur la figure modèle).

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Analyse :

Le nombre minimum de polygones à noircir est 1 ; c’est la zone 18 correspondant à l’axe de symétrie n°3. Autres activités possibles : En lien avec les arts visuels, on peut proposer de chercher un coloriage bicolore (ou tricolore) de la figure pour qu’elle conserve son (ou ses) axe(s) de symétrie.

Exercice 85

LA COMBINAISON MYSTERIEUSE http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm

Pour trouver la combinaison du coffre-fort, Arsène Lupin déchiffre un message qu’il a trouvé sous la pendule de la cheminée. Le nombre formé par les six chiffres est un nombre impair. Le premier chiffre en partant de la gauche est un 4. Le chiffre des unités, celui des centaines et celui des milliers sont les mêmes. Le deuxième chiffre en partant de la gauche est le double du troisième. La somme de tous les chiffres est 21. Le chiffre des dizaines est 2.

Quelle est cette combinaison ?

Réponse : La combinaison mystérieuse est 4 6 3 3 2 3. Justification :

Le nombre mystérieux est formé par 6 chiffres ; il s’écrit donc « abc def », chaque lettre représentant un chiffre.

C’est un nombre impair, donc le chiffre des unités est 1, 3, 5, 7 ou 9. Soit f = 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.

Le premier chiffre en partant de la gauche est un 4 soit a = 4.

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Le chiffre des unités (f), celui des centaines (d) et celui des unités de mille (c) sont les mêmes donc f = d = c = 1 ou 3 ou 5 ou 7 ou 9.

Le deuxième chiffre en partant de la gauche (b) est le double du troisième (c) ; le troisième (c) ne peut donc être que 1 ou 3.

Le chiffre des dizaines est 2 soit e = 2.

La somme de tous les chiffres est 21 soit 4 + 2 x f + f + f + 2 + f = 21 Si f = 1, alors 4 + 2 x f + f + f + 2 + f = 11. Si f = 3, alors 4 + 2 x f + f + f + 2 + f = 21. La solution f = 3 est celle qui convient et le nombre mystérieux est 463 323. Autres activités possibles : On peut proposer ou faire inventer des charades mathématiques ou des nombres croisés. Exemple 1 : Mon chiffre des unités est pair, Mon chiffre des dizaines est impair, La somme de ces deux chiffres est égale à 15, La différence de ces deux chiffres est égale à 1, Mon nombre de centaines est le produit de ces deux chiffres, Je suis un nombre de quatre chiffres.

Qui suis-je ?

Exemple 2 : Nombres croisés :

Exercice 86

LES MARGUERITES http://ecoles.ac-rouen.fr/circ_dieppe_ouest/outils/maths/defi_math.htm

Sur une planète où poussent des fleurs immenses, un amoureux en cueille une, avec une corolle à 259 839 pétales ! Il commence à l’effeuiller et dit : « Je t’aime », en enlevant le premier pétale « Un peu », en enlevant le second « Beaucoup », en enlevant le troisième « Passionnément », en enlevant le quatrième « A la folie », en enlevant le cinquième « Pas du tout », en enlevant le sixième. Puis, il recommence « Je t’aime »… etc.

Que va-t-il dire en effeuillant le dernier pétale ?

Réponse : En effeuillant le dernier des 259 839 pétales, il dira « beaucoup ». En effet : 259 839 = (6 × 43 306) + 3

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Justification : 259 839 = 6 × 43 306 + 3 ; 259 839 : 6 = 43 306 reste 3 L’amoureux dira donc 43 306 fois la formule complète « Je t’aime, un peu, beaucoup, passionnément, à la folie, pas du tout ». Il lui restera alors 3 pétales qui lui permettront d’ajouter « Je t’aime, un peu, beaucoup ». En enlevant le dernier pétale, il dira donc « beaucoup ». Autres activités possibles : Effeuiller une marguerite ou effeuiller les pages d’une éphéméride : Le 1er janvier 2012 était un dimanche, sachant qu’en 2012, le 21 décembre sera le 355ème jour de l’année, quel jour de la semaine commencera l’hiver ?

Situations proposées dans les défis mathématiques de l’IREM de Toulouse (trois manches 2013) Exercice 87

Nouvelle année Kénaël dispose des quatre cartes sur lesquelles sont écrits les chiffres 0, 1, 2 et 4. Il peut ainsi former le nombre 2014. En comptant 2014, combien de nombres à quatre chiffres peut-il écrire à l’aide de ces quatre cartes ?

2 0 1 4

Exercice 88

Un plan détaillé

Compte tenu des indications suivantes, à quelle lettre est associée la rue du rectangle ?

6 rues, dont la rue du Rond, la rue du Milieu et la rue du Carré aboutissent sur le boulevard des Mathématiques

la rue du Compas relie le rond-point à une place

la rue de la Règle, la rue de l'Équerre et la rue du Milieu se rejoignent au même endroit

les rues du Losange et de la Règle conduisent à la place de la Géométrie

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la rue de la Gomme traverse la rue du Crayon mais elle ne débouche pas sur une place

les rues du Carré et des Angles aboutissent au rond-point

la rue du Trapèze relie la place des Chiffres à la rue du Triangle

la rue du Rectangle ne possède pas de parking Réponse : Tenons compte de chaque indication pour associer au fur et à mesure les noms de rues ou places : 1. I est le boulevard des Mathématiques.

2. C est la rue du Compas.

3. O est la rue du Milieu, N ou P Équerre ou Règle.

4. N est la rue de la Règle, L la place de la Géométrie, P la rue de l’Équerre.

5. J est la rue de la Gomme, K la rue du Crayon, M la rue du Losange.

6. F est la rue du Carré, E la rue des Angles.

7. B est la place des Chiffres, G le rue du Trapèze et H la rue du Triangle.

8. A est la rue du Rectangle, O est la rue du rond. Prolongement : c’est une situation de traitement de l’information, que l’on retrouve dans les jeux de logique tels que les énigmes ou les enquêtes. On peut également jouer au sudoku ou au picross.

Exercice 89

Melchior Melchior a dessiné plusieurs pentagones et plusieurs hexagones et leurs diagonales. En tout, il a compté 89 diagonales. Combien de polygones de chaque sorte a-t-il dessiné ?

Réponse : pour un pentagone, on obtient 5 diagonales et pour un hexagone, on obtient 9 diagonales (pour les dénombrer, penser à les colorier). En tout, Melchior a compté 89 diagonales. On cherche donc à écrire 89 sous la forme de la somme d’un multiple de 9 et d’un multiple de 5. Il y a deux solutions : 1 hexagone et 16 pentagones ou 6 hexagones et 7 pentagones. Prolongement : Et s’il avait utilisé un pentagone et un octogone, aurait-il pu compter 89 diagonales ?

Exercice 90

ABACAB A, B et C représentent toujours le même chiffre et chacun un chiffre différent. On sait que AA + BB + CC = ABC. Combien vaut B × BB ? Réponse : Pour que A + B + C soit un nombre qui ait C comme chiffre des unités, il faut que A + B = 10. A + B + C (pour les dizaines) est un nombre à deux chiffres AB donc A = 1 ou A = 2. Si A = 2 alors B = 8 et C doit être 9 pour que A + B + C soit supérieur ou égal à 20. Dans ces conditions, l’égalité n’est pas respectée. On a donc A = 1, B = 9, C = 8 puis B x BB = 891. Prolongement : dans les mêmes conditions, est-il possible de trouver A, B et C tels que AAA + BBB + CCC = ABC ? Et AAA + BBB + CCC = ABBC ?

7 4

a

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Exercice 91

Que de cercles ! 22 points On a inscrit 8 nombres aux intersections des cercles de la figure ci-dessous. Quatre de ces nombres sont connus, les autres ont été remplacés par des lettres a, b, c et d. La somme des nombres est la même sur chacun des 4 cercles. Quelle est cette somme ?

Réponse : si on considère les deux petits cercles, 4 nombres sont présents sur chacun. Or, le nombre 4 et celui remplacé par la lettre c sont sur les deux cercles. La somme de 12 et du nombre remplacé par la lettre d doit être la même que 7 + 13. Donc d = 8. Avec le même raisonnement sur les grands cercles, la somme de 7, 12 et du nombre remplacé par la lettre c doit être égale à 13 + 4 + 8. Donc c = 6. On en déduit que la somme des nombres sur chaque cercle est 30. Remarque : il n’est pas nécessaire de connaître la valeur de a et b, on ne peut d’ailleurs connaître que leur somme, 5. Prolongement : carré magique 3x3. Dans une grille carrée de 9 cases, il s’agit de placer les nombres de 1 à 9 (utilisés une seule fois) de telle manière que la somme des 3 nombres écrits sur chacune des trois lignes, des trois colonnes et des deux diagonales soit chaque fois la même. On peut donner l’indication de chercher d’abord la somme.

b

13