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Licence 2 Mathematiques- Semestre3

Introduction aux mathematiquesfinancieres

Annee universitaire 2010-111

Version Septembre 2010

1Responsable du cours: Marie-Amelie Morlais

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0.1 Plan sommaire du cours

Les objectifs de ce cours sont d’une part de presenter le vocabulairepropre au domaine des Mathematiques financieres (et d’apporter ainsi uneouverture sur les secteurs de la banque et de l’assurance en general) etd’autre part de fournir quelques methodes simples de modelisation mathematiquede problemes financiers concrets (tels que par exemple : le calcul de l’echeancierd’un pret, les differents types de calcul d’interets et de taux d’interet, lesmethodes de valorisation de titres financiers). Globalement il s’agit de com-prendre les mecanismes de base regissant les echanges financiers (on insisterasur l’importance des taux d’interet, de la valorisation)

(I) Langage propre aux Mathematiques financieres

(II) Les taux d’interetsQuelques exemples : de quoi parle t’on ? exemples : taux du marche,taux reel (deduit l’inflation) TEG,...• taux d’interets pre et post comptes,• taux simples et composes,

(III) Notion d’actualisation/ capitalisation et remboursement :• Remboursement de pret : calcul d’echeanciers,• Actualisation : notion particuliere de la VAN du TRI (mise en oeuvrede simulations numeriques) flux financiers et echeancier de pret

(IV) Autour de la valorisation des obligations et des courbes de taux d’interet

Chapitre 1

Chapitre introductif

1.1 Vocabulaire des marches financiers

Le Marche Financier est le marche sur lequel s’echangent les valeursmobilieres telles que les actions, les obligations et titres derives : produitsspeculatifs qui sont bases sur l’evolution d’un sous jacent en general uneaction, un taux d’interet, ce sont generalement des contrats a terme desswaps ou produits d’echange. On donne quelques definitions utiles pour lasuite de ce cours :

1. Un titre financier est un contrat ou les deux parties (acheteur etvendeur) s’echangent des flux d’argent.

2. Un marche financier est le lieu d’achat et/ou de vente des titresfinanciers. Par ailleurs, sur ce type de marche, les operateurs sont au-torises a vendre a decouvert (ce qu’on appelle “short selling”). Ondistingue le marche primaire (lieu d’emission des titres financiers :par les etats : emetteurs notamment d’obligations, les societes) et lemarche secondaire (marche ou les banques notamment s’echangent lestitres).Les plus gros volumes echanges concernent les produits hautementspeculatifs et les principaux acteurs sont les banques centrales, lesbanques d’investissement, les societes (dans une moindre mesure etsouvent par l’intermediaire de placement dans des banques les parti-culiers).

3. La valeur d’un titre financier est un montant (positif ou negatif)representant l’enrichissement ou l’appauvrissement des flux futurs :la valeur d’un titre n’a aucune raison d’etre unique (il existe plusieursmethodes de valorisation : principe d’actualisation qui repose forte-

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4 CHAPITRE 1. CHAPITRE INTRODUCTIF

ment sur la connaissance des taux du marche). La valeur d’une actionest celle de sa cotation en bourse.

4. Le prix d’un titre est le montant convenu entre les deux parties enechange du titre : le plus souvent c’est l’acheteur qui paie le titre maisil arrive que le vendeur doive payer pour un titre qui lui causera despertes. Attention : le prix n’est pas necessairement egal a la valeur(car les deux parties n’ont pas necessairement la meme anticipation del’avenir).

1.2 Les produits financiers

Parmi les produits financiers les plus courants, on compte :Les actions, les obligations, les contrats a terme et les produits conditionnels(warrants,bons et options)

1.2.1 Les actions

Definition 1.1 Une action est un titre de propriete representant une frac-tion du capital d’une entreprise et donnant a son porteur le droit de voteaux assemblees, le droit d’information ainsi qu’aux benefices (dividende)

En voici quelques exemples :l’action classique : ce titre s’acquiert contre de l’argent soit a la creation del’entreprise soit lors d’augmentation du capital (directement sur le marcheboursier).l’action privilegiee elle offre un privilege (par exemple un priorite lors desvotes aux assemblees ou lors de la ditribution des dividendes).L’action a dividende prioritaire : Elle offre a son detenteur un rende-ment plus eleve que l’action classique en assurant que si le profit est positif,le dividende verse ne doit pas etre en deca d’une fraction donnee de la valeurnominale.Certificats d’investissements : Action sans droit de vote.

1.2.2 Les obligations

Definition 1.2Les obligations sont des titres de creance representatifs de dettes : l’obliga-tion donne droit au paiement d’un interet en general annuel et au rembour-sement du capital.

1.2. LES PRODUITS FINANCIERS 5

Le detenteur percoit un revenu connu a l’avance ou dont la revision se realisedans les conditions prevues au moment de l’emission. En cas de faillite, ledetenteur d’une creance est toujours prioritaire a l’actionnaire. Les obliga-tions peuvent etre emises par les entreprises privees ou publiques ainsi quepar l’etat et les administrations.

VocabulaireLa valeur nominale d’une obligation est celle qui sert de base au calcul del’interet annuel (cet interet est appele coupon et une obligation ne versantpas d’interet est appelee zero coupon). Le coupon est calcule ainsi :

C = (Taux facial) × (valeur nominale)avec le taux facial fixe lors de l’emission. Lorsque le prix d’emission est

egal a la valeur nominale on parle de remboursement au pair. Mais l’obli-gation peut etre emise soit en dessous (cas le plus frequent) soit au dessusdu nominal et dans ce cas, la difference entre les deux s’appelle la prime deremboursement.Remarque : le taux facial et le nominal sont fixes une fois pour toute lors del’emission de l’obligation donc le coupon est egalement fixe. La possibilite deverser des primes d’emission et/ou de remboursement permet a l’emetteurde prendre en compte une evolution du taux du marche (par exemple, il peutdemander un prix inferieur a la valeur nominale s’il espere pouvoir realiseravant la date de remboursement une plus value).L’annuite est le flux total verse chaque annee par l’emetteur a l’ensembledes obligataires (somme de l’ensemble des interets auquelle s’ajoute le no-minal lors de l’echeance du contrat).

Le remboursement peut s’effectuer des trois facons suivantes (on verraplus loin qu’il en est de meme des remboursements d’emprunts aupres d’or-ganismes de pret ou de banques) :

– Remboursement in fine : Celui ci est realise en une seule fois ledernier jour de la duree de l’obligation : l’annuite n’est composee quedes interets verses chaque annee par l’emetteur : avant l’echeance, celacorrespond au versement annuel du coupon.

– Remboursement par series ou tranches annuelles on parle ausside remboursement a periodicites constantes. Chaque annee unememe part de l’emprunt est remboursee et l’annuite diminue doncchaque annee puisque l’interet sur le capital restant du diminue.

– Remboursement par annuites constantes : a nouveau, le mon-tant de l’interet sur le capital restant diminue et la part du capitalremboursee augmente. (c’est le cas le plus frequent des interets d’em-prunt immobilier pour un particulier)


Notons An l’annuite : celle ci est constituee de la part remboursee (amor-tissement du capital) et de l’interet : An = Dn + In, le coupon representantici l’interet verse.Exemple de flux financier associe a une obligation de nominal 1000 eu-ros, taux facial a 5 % sur 4 ans avec remboursement in fine :La suite des flux financiers est la suivante : A1 = 1000 ∗ 5% = 50 , A2 = 50,A3 = 50 et A4 = 1000 + 50 Pour une meme duree de 4 ans (a 5 % de tauxinterets) donner la suite des annuites et des interets verses pour un rem-boursement par tranches egales.Reponse : sur 4 ans, les tranches egales correspondent a 250 euros (1/4 ducapital= le nominal) et dans ce cas, les interets sont recalcules ensuite :successivement : I1 = 50 puis I2 = 750 ∗ 5% = 37.5 euros, I3 = 25, puisI4 =12.5 (sommes auxquelles se rajoutent le remboursement des 250 euros)

Remarque : On verra plus loin dans le cours une methode de calcul duprix d’une obligation en introduisant la notion de prix de non arbitrage(methode commune de valorisation d’un titre) et son calcul.

Il existe deux grand types d’obligations :• les obligations ordinaires dont le coupon verse une fois par an est identiquetoute la duree de la vie : ces titres sont extremement vulnerables a l’inflation(c’est a dire la variation des taux du marche).Exemple (en exercice) :Prenons l’exemple suivant qui montre l’evolution du prix d’une obligationen fonction du taux du marche :soit une obligation de nominal 1000 euros rembourse au pair et in fine avecun taux facial de 10 % : le remboursement se fait par versement de 100euros auquel se rajoute les 1000 euros au bout des 10 ans. Supposons que ledetenteur souhaite revendre son obligation avant l’echeance mais a un mo-ment ou le taux facial pratique est de 15 % ainsi, au taux du marche, une telleobligation rapporte 150 euros par an. Personne n’acceptera d’acheter 1000euros un titre ne rapportant que 100 euros par an. Pour revendre ce titre, ledetenteur doit donc consentir a une baisse du prix d’emission : le nouveauprix est alors egal a 666.7 euros (car : 15% *666.7 = 100) : en effet, le no-minal de l’obligation ne variant pas ici donc le coupon reste egal a 1000*10 %

• Les obligations a taux variable ou celles indexees sur un indice dereference (i.e. leur valeur de remboursement depend de l’evolution de cetindice de reference) Ainsi l’etat a emis des obligations indexees sur l’infla-tion car ce type de produit offre donc une protection supplementaire pourl’emetteur (i.e l’Etat) face a toute tentative d’anticipation de l’evolution del’inflation puisque des lors il suit l’evolution du taux d’interet reel = tauxnominal - inflation.

1.2. LES PRODUITS FINANCIERS 7

1.2.3 Les autres produits echanges

Deux grands types de produits existent :– Les produits de taux : produit dont les revenus et la valorisation

dependent de la variation d’un taux et notamment de celle du tauxdu marche,

– les produits derives generalement des produits speculatifs bases sur lecours du sous jacent (i.e. une action ou obligation) :

Quelques exemples : les contrats a terme (contrat gre a gre : forwardsou futures) ou les options et les warrants donnant droit et non l’obligationd’acheter ou vendre un titre a un prix fixe a l’avance et a une date d’echeanceprecise (les warrants n’autorisant pas la vente a decouvert.) Parmi les optionson citera

– les options d’achat dites ”Call”,– les options de vente dites ”Put”,

ces deux types d’options donnent le droit et non l’obligation d’acheter ouvendre a la date d’exercice (date d’echeance) et a un prix d’exercice determinea l’avance (strike) le calcul a l’instant initial depend notamment de la vola-tilite du sous jacent mais aussi de la distance (en temps) avant l’echeance(anticipation de l’avenir).On parle d’option europeenne pour celles qui contraignent le detenteur aexercer ou non a l’echeance alors que pour une option americaine le detenteurpeut exercer a tout moment (avant l’echeance).


Chapitre 2

Les taux d’interet

La connaissance des taux du marche est primordiale afin d’evaluer no-tamment le prix d’une obligation ou en general de tout produit financier.Ils regissent toutes les operations financieres et interviennent de facon cru-ciale dans les deux mecanismes suivants : actualisation et capitalisation. Enparticulier fondamentaux dans ce qui concerne les prets/ emprunts.

Exemples de tauxon distingue les taux court a moyen termes (tel que taux EURIBOR eu-ropean interbank offered rate, TMM taux moyen du marche monetaire devaleur calculee mensuellement pour TMM et trimestrielle pour EURIBOR)et les taux longs tels que ceux du marche obligataireParmi les taux couramment cites, on parle des taux directeurs (ceux pra-tiques par les banques centrales, le taux reel du marche (=taux nominalmoyen pratique deduit de l’inflation) le TEG : taux effectif global (tauxd’un credit pour un emprunteur comptabilisant les interets + frais de dos-sier et assurance : il doit figurer sur le dossier du pret depuis 1966). Onparle aussi de taux fixes ou de taux variables (leur valeur fluctue suivant lesmontants et les finalites des prets ; a la consommation, prets immobiliers lescredits les ”moins” chers sont les credits immobiliers (car possibilite pour labanque d’hypothequer le bien)

Definition 2.1 L’interet est le loyer de l’argent : pour un consommateurc’est le prix a payer pour la jouissance immediate d’un bien de consom-mation (automobile, maison ou appartement,..) accessible a l’aide de l’ar-gent. Inversement, l’int’eret est source de revenu pour l’organisme de pret(banques, assurances). Pour l’epargnant, l’interet est la recompense pour uneremise a plus tard de la jouissance.

L’interet est calcule a chaque periode de la duree du contrat : cetteperiode est precisee dans le contrat (on parle d’interet mensuel, semestrielannuel selon que le calcul de l’interet se fait tous les mois, tous les deux

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10 CHAPITRE 2. LES TAUX D’INTERET

mois, tous les ans). De facon generale, le taux d’interet r est le ratio (surune periode) entre l’interet I (revenu pour l’epargnant et cout pour l’em-prunteur) sur la valeur du capital Vi

r =I

VIou encore I = r ∗ VI .

Le taux d’interet est une mesure de l’interet : il depend des facteurs suivants– la duree de l’emprunt/ placement (dont depend le calcul de l’interet

verse),

– le risque de contrepartie : cela signifie que l’emprunteur peut fairedefaut. Ainsi, le taux est une mesure croissante du risque : par exempledans le cas des assurances de pret immobilier, le taux de l’assuranceaugmente avec l’age. Dans le cas des assurances automobile, le calculdu taux depend aussi de l’age et notamment l’experience du conduc-teur.

– les conditions economiques : si le preteur peut placer a un taux de 5 %,il n’acceptera donc pas de preter en dessous (remarque : c’est pourquoiles taux bas du marche avantagent d’avantage les emprunteurs que lesepargnants).

2.1 Les differents types d’interets

2.1.1 Taux precomptes et postcomptes

Lorsque l’interet est verse en debut de periode on parle d’interet precompteou d’interet a terme a echoir. Lorsqu’au contraire, celui ci est verse en finde periode, on parle d’interet postcompte ou d’interet a terme echu.Ainsi, le taux precompte avantage le preteur puisque le versement de l’intereta lieu des le debut contrairement au taux postcompte (ce sera le cas lorsquel’on va parler d’escompte commercial accorde par une banque).

Interet postcompte

Lors du calcul de ce type d’interet, la valeur du capital ainsi que l’interetsont verses en fin de periode : on note Vf (resp. Vi) la valeur finale reversee(resp. valeur initiale) : on a la relation suivante

Vf = Vi + I = (1 + r)× Vi

Exemple 1 : On investit une somme de 350 euros : le calcul de l’interetest postcompte au taux de 7 % sur la periode. Quel est l’interet verse etquelle est la valeur finale reversee ?

2.1. LES DIFFERENTS TYPES D’INTERETS 11

Reponse : I = 7% × 350 = 24.5 et Vf = 350 + 24.5 = 350 × 1.07 = 374.5euros.Exemple 2 : Un pret est realise : l’interet est toujours postcompte au tauxde 7 %. La valeur finale a verser est de 400 euros : de combien etait leprix initial ? Un pret similaire de cette derniere somme rapporte 500 euros :quelle est la valeur du taux sur cette periode.Reponse : VI = 400

1.07 = 373.8 euros. Dans le second cas, le nouveau taux estr′

= 500373.8 ∼ 33%

Interet precompte

Lorsque l’interet est precompte, l’interet est verse en debut de periode etle capital initial en fin de periode : ainsi avec une somme initiale de M ,l’interet I = rpM est verse initialement et l’emprunteur dispose ainsi de :MI = M × (1− rp), a la fin de la periode la somme initiale M est versee Onpourrait aussi le voir comme l’emprunt de la somme MI = M× (1−rp) avecremboursement au taux postcompte r et versement de M en fin de periode,ce qui fournit la relation entre taux d’interet pre- et postcomptes

M × (1− rp)× (1 + r) = M ⇒ (1− rp)× (1 + r) = 1.

Exemple 3 : Un pret de 350 euros est realise : l’interet de ce pret est precompteau taux de 7 % : quel est la valeur de l’interet verse et quelle est la valeurfinale reversee ? quel est, par ailleurs, le taux postcompte d’un tel pret ?Reponse : L’interet d’un tel pret est : I = rp × 350 = 24.5, et la sommereellement a disposition est donc de MI = 325.5 euros. La valeur finale re-versee dans ce cas est de 350 euros et le taux postcompte d’un tel pret secalcule ainsi : 1 + r = M

MI= 350/325.5 ∼ 7.5% (verifier la formule reliant les

deux taux d’interet) → fournir la correction des exercices.La valeur empruntee dans ce cas est egale a la valeur totale reversee aupreteur. La difference entre les deux types d’interet reside dans le fait quel’interet est ou non comptabilise dans le pret.

(Du point de vue de l’emprunteur, il est beaucoup plus simple de parleren termes d’interets postcomptes ! pourquoi ce choix en pratique ?)

Resumons la philosophie de ce type d’interet : afin de posseder N , je doisemprunter la somme x de sorte que : x = (1 − rp) × N , ce qui me couteradonc : x× rp = N × rp

1−rp . Avec la somme N , je peux preter x = N1−rp ce qui

me rapportera alors x× rp.

Exemple 4 Comparaison entre les deux modes : Nous avons besoin de 350euros : les emprunts a l’interet precompte affichent un taux de 6.8 % alorsque ceux a l’interet postcompte affichent un taux de 7 % : calculer l’interet


verse pour chacun des modes de calcul d’interet afin que l’emprunteur puissedisposer de la somme de 350 euros. Lequel des choix va t’il donc prendre ?Reponse : Dans le cas de l’interet precompte, la somme effectivement em-pruntee est : x = 350

1−.068 et l’interet verse est donc : I = (0.068 × x) = 25.5euros. Dans le second cas, l’interet vaut : I2 = 0.07 ∗ 350 = 24.5 euros.Le choix de l’interet postcompte est le meilleur (du point de vue de l’em-prunteur). Remarque : Le taux precompte rp correspondant au taux post-compte de 7% est donne par : rp = 1 − 1

1+r , c’est-a-dire : rp ∼ 6.5 % (a .1% pres).

Principe de non arbitrageAfin de ne pas avoir d’opportunite d’arbitrage : c’est-a-dire gagner de l’ar-gent en empruntant et pretant la meme somme a l’aide des deux modalites,il faut necessairement que

(1− rp)× (1 + r) = 1.

Preuve : Considerer la strategie suivante : on emprunte N a interet pos-compte r et on prete en meme temps la somme x = N

1−rp au taux precompte

de rp. A la fin de la periode, on touche alors N1−rp et on doit rembourser

N×(1+r) : il n’y a aucune plus value si et seulement si : N×(1+r) ≥ N1−rp .

Pour l’inegalite dans l’autre sens, on reproduit le meme raisonnement avecla strategie inverse (consistant a emprunter x avec taux d’interet precompteet a preter la somme x a taux postcomptes).

2.1.2 Taux d’interets simples et composes

Interets simples

L’interet est dit simple lorsqu’il est calcule a chaque periode seulementsur la base de la somme pretee ou empruntee a l’origine : il est generalementutilise pour les operations a court terme (i.e. en dessous d’un an) on parleparfois d’interet commercial.Calcul dans le cas d’interet postcomptes : On note N le nombre deperiodes du contrat, Vi le capital initial, In l’interet a la n ieme periode(toujours postcompte i.e. calcule a la fin) et r le taux d’interet fixe : on aalors que pour tout n In = r × Vi et donc

Vf = (1 +N ∗ r)× Vi

et la somme des interets vaut donc : NrVi.Exemple 1 : on investit 350 euros avec interets simples postcomptes de 7%par periode de 1 mois : l’emprunt est de 14 mois : quel est l’interet verse aubout d’un mois, que vaut la somme des interets a la fin de la periode 12 ?


Reponse : L’interet simple I vaut 350 × 0.07 (si 7% designe le taux surune periode ici le mois). Au bout de 12 mois, il suffit de multiplier par 12(progression lineaire).Exemple 2 : A quel taux annuel a ete place un capital de 20000 euros ayantgenere des interets simples postcomptes de 2500 euros en deux ans ? combiende periodes faut il avec ce meme taux afin de generer 8750 euros (avec lememe capital initial) ?Reponse : 1 + 2ra = 22500

20000 soit : ra ∼ 6.25%, et le nombre N de periodes esttel que N × ra × 20000 = 8750 soit : N = 7 ans.Pour le cas de l’interet compose :(1 + re,a)2 = 22500

20000 , soit : re,a ∼ 6.1%. Pour obtenir 8750 euros, le nombre

N de periodes satisfait : (1 + re,a)N = 2875020000 , soit N = log( 28750

20000)

log(1+re,a) soit encoreN ∼ 6.16 (6 ans et 2 mois environ)Attention : il est fondamental que toutes les variables soient exprimees enfonction de la meme unite de temps : si N est un nombre de jours, le taux rdoit etre le taux journalier (si N est un nombre de mois,..) On precisera pourla suite que par convention, l’annee sera divisee en 360 jours, 52 semaines,12 mois 4 trimestres. Generalement, on traite avec des taux annuels mais sil’on veux convertir, il faut alors utiliser le principe d’equivalence des taux :i.e convertir comme suitSi r est le taux annuel alors les taux proportionnels equivalents rm, rt et rs(mensuels trimestriels et semestriels) se calculent comme suit

rm =r

12, rt =

r

4et rs =

r

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Calcul dans le cas d’interet precomptes :On conserve les memes notations pour N , Vi et Vf = Vi (dans le casprecompte) et rp designe le taux d’interet precompte. La somme des interetsverses au debut est egale a N × rp × Vi et le capital Vi est reverse a la finde la N ieme periode. le taux postcompte r equivalent a ce taux precomptesatisfait alors

(1 +N × r)(1−N × rp) = 1.

Les operations a court terme

1 L’escompte commercial L’entreprise A vend le 8 Fevrier a son clientΩ pour V = 10000 euros de marchandises (valeur nominale de l’effet)avec date de reglement le 30 Avril (date d’echeance de l’effet). Cepen-dant, le 10 Mars A a besoin de l’argent afin de reinvestir, argent qu’ilemprunte a sa banque.A souhaite donner a son banquier la creance qu’elle detient sur Ω maisle banquier n’y consentira que s’il beneficie d’une remuneration appelee


escompte commercial calcule a l’aide de la formule d’interets simples(journaliers) ou l’interet precompte se calcule ainsi

I = V × re360×N,

N etant le nombre de jours separant la date de la remise de l’escomptede l’echeance de l’effet (= duree du pret consenti par la banque).S’ajoutent a cet escompte differentes commissions proportionnelles ala duree de l’escompte de taux rc et d’autres fixes pour toute la dureedu pret de taux rci d’ou la formule suivante

e = V(re

360N + rc360N + rci

),

= V(re+rc+rci

360N )

360 ×N = Vrp360N

avec rp qui represente le taux effectif annuel precompte et : a = V − eest appelee valeur actuelle commerciale

2 L’escompte commercial rationnel Le taux d’escompte affiche estparfois le taux postcompte de la valeur actuelle de l’effet et non pasde sa valeur nominale : ainsi,

re = (V − e)× r

360N,

et en le convertissant ensuite en taux precompte, il s’ensuit que

re = V

r1+N r

360

360N

(on precompte ici sur la somme V en tenant compte des interets dubanquier avec le taux precompte rp = 1− 1

1+r0= r0

1+r0soit : r0 = N r

360)ce taux est beaucoup moins utilise que le precedent.

3 Le decouvert (ou avance en compte courant) se traduit par un comptedebiteur et suit la regle des interets simples : le cout du decouvertest affecte par la commission de plus fort decouvert qui s’appliqueau plus fort solde debiteur mensuel (1 pour mille). La commissionde confirmation (appliquee lorsque le decouvert est confirme par ecritpar la banque 1 % du plafond autorise) et les interets resultent del’application du taux de decouvert.Ainsi pour un decouvert de 200 euros sur 30 jours (plafond a 250) aun taux de decouvert annuel de 12 %, les agios (ou frais de decouvert)s’elevent a

0.001 ∗ 200 + .01 ∗ 250 + 200 ∗ (.12/360) ∗ 30 = 4.7 euros

et le taux d’interet effectif applique reff, a satisfait donc 4.7200 = reff, a ×

30360 (le taux effectif annuel est donc de 28.2 % ce qui est bien superieurau taux de 12 % annonce)


Interets composes

L’interet est dit compose lorsqu’il s’ajoute a la fin de chaque periodeau capital. Cette nouvelle somme forme la base de l’interet sur la periodesuivante. Le montant de l’interet et du capital en debut de chaque periodevarie donc.Interets postcomptes N designe le nombre de periodes du contrat Vi lecapital initial (somme pret’ee ou empruntee) In l’interet verse a la fin de lan ieme periode et Vf (n) la valeur du capital en fin de n ieme periode (debutde la n+ 1 ieme). Enfin r est le taux d’interet fixe. Sur la premiere periode,on a

I1 = r × Vi et Vf (1) = (1 + r)Vi,

sur la deuxieme

I2 = r × Vf (1) et Vf (2) = (1 + r)Vf (1) = (1 + r)2Vi,

d’ou il s’ensuit en iterant que : Vf (N) = (1+r)NVi et la somme I des interetssatisfait

I = r × Vi

(N−1∑i=1

(1 + r)i)

= r1− (1 + r)N

1− (1 + r)Vi

ainsi cette somme croit exponentiellement avec la periode du pret (ou duplacement) du capital V i.

Exemples de calcul : Quel est le taux annuel d’un placement de 10000 eurosa interets composes rapportant 18000 euros en 3 ans ? Pour le meme pla-cement, combien d’annees faut il pour quadrupler le capital ? Reponse Letaux annuel ra satisfait (1 + ra)3 = 28000

10000 soit ra ∼ 41 %.Le capital quadruple au bout d’un nombre N d’annees tel que : (1+ra)N = 4soit N = log(4)

log(1+ra) = 4 ans et 14 jours environ.La capitalisation indique a quelle frequence l’interet s’ajoute au capitalen cas d’interets composes. On parle de capitalisation annuelle semestrielletrimestrielle mensuelle selon la periodicite du versement des interets Pourrappel deux taux sont dits equivalents si a placement identique, ils per-mettent d’obtenir le meme capital. En general, les banques fournissent untaux nominal annuel calcule dans le cas des interets simples et qui ne permetdonc pas le calcul d’interets composes. Le taux equivalent annuel correspon-dant a un taux mensuel fixe dans le cas d’une capitalisation mensuel seraappele le taux effectif annuel re,a il se calcule ainsi

re,a = (1 + rm)12 − 1 > 12rm!

en pratique, si une banque annonce un taux nominal annuel de 8% le tauxeffectif annuel est de : re,a = (1 + .08/12)12− 1 ∼ 8.16%, soit des interets de81 euros 60 centimes sur un total de 1000 euros.


Chapitre 3

Actualisation/ Capitalisationet applications

3.0.3 Notion d’actualisation : application au remboursementde pret

A l’inverse de la capitalisation qui permet de calculer des valeurs futures apartir des valeurs initiales (ou valeurs presentes) on peut souhaiter connaitrela valeur qui doit etre pretee aujourd hui pour obtenir un montant fixe al’avance : ceci s’appelle principe d’actualisation (d’un flux financier).

Principe d’actualisation

Definition 3.1 Une suite d’annuite est une suite de reglements realises ades intervalles de temps egaux (a savoir les periodes) mais de montant nonnecessairement egaux. Le terme d’annuite bien que parfois utilise quelquesoit la periodicite des versements est reserve habituellement a des periodicitesannuelles. Pour les plus courantes on parle de

– Semestrialites pour des periodicites de six mois– Mensualites pour des periodicites d’un mois

La suite d’annuite correspond a une rente pour celui qui la percoit. Voiciquelques exemples concrets de suite de versements :

a Un emprunt rembourse sur dix ans par mensualites constantes donnelieu au versements de 120 periodicites

b La constitution d’un capital par versements constants,c L’acquisition d’une obligation d’une duree de vie de six ans versant

des coupons annuels

Valeurs actuelles et acquises

Les mecanismes de calcul des valeurs actuelles et acquises sont sem-blables :

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18CHAPITRE 3. ACTUALISATION/ CAPITALISATION ET APPLICATIONS

pour la valeur acquise a la date n, il s’agit de la valeur de la suite des annuitesjusqu’a la date n. Pour la valeur ”actuelle”, c’est la valeur a l’origine de lasuite des annuites (somme actuelle pretee ou empruntee et qui va donnerlieu au versement de la suite des annuites.

Definition 3.2

(ia) La valeur actuelle a t = 0 associee a un flux Fp flux donne au boutde p periodes se calcule ainsi

F0 =Fp

(1 + r)p

(ib) La valeur acquise a la date N a partir d’un flux Fn realise a la finde la n ieme periode vaut

VN = Fn(1 + r)N−n,

et cette valeur acquise correspond a la somme suivante dans le cas d’unflux financier

VN =N∑

p=n

Fp(1 + r)N−p.

(ii) La valeur actuelle associee a une suite de versements ou flux fi-nanciers (Fp)p=1,···N correspond a la somme de chaque flux actualiseea la date presente, a savoir que l’on a :

V0 =N∑

p=1

Fp

(1 + r)p. (3.1)

Quelques remarques• Consequence immediate de (ii) :Si on considere le flux financier (Fp)p=1,···N et une date n fixee telle que :1 ≤ n ≤ N , alors la valeur a la date n associee a ce flux se calcule ainsi

Vn =N∑p=n

Fp(1 + r)p−n

=N−n∑p=0

Fn+p

(1 + r)p,

la deuxieme somme etant obtenue par une reindexation de la premiere.• Considerant la relation (3.1) dans le cas ou la suite de versements estconstitues de periodicites constantes, on a

V0 =N∑p=1

Fp(1 + r)p

= F1− (1 + r)−(N+1)

r,

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cette relation sera importante lors du calcul des periodicites associees a unremboursement de prets par versements constants : V0 representant ici lasomme empruntee et F la periodicite constante.

• Lien entre valeur actuelle et valeur acquise a la date N associe a unflux financier

VN =N∑p=1

Fp(1 + r)N−p = (1 + r)NN∑p=1

Fp(1 + r)p

= (1 + r)NV0.

Emprunts indivis

On parle d’emprunts indivis pour ceux contractes aupres d’un seul creancier :ils s’opposent aux obligations ou le nombre de creancier est grand. Engeneral, il s’agit d’emprunts contractes par des particuliers aupres des banquesou par des entreprises a la recherche de financement pour des investisse-ments.Pour chaque contrat de pret sont clairement definies dans les clauses ducontrat : la duree de mise a disposition, le taux d’interet et les conditions deremboursement du capital selon l’une des trois modalites deja decrites aupremier chapitre :

1. Le remboursement in fine : seuls les interets calcules periodiquementsont verses excepte lors de la derniere periode,

2. Le remboursement a amortissement constant : a chaque periode etnotant N le nombre de periodes du contrat, V0 le capital emprunte, lafraction V0

N du capital est amortie ou remboursee.3. Le remboursement a periodicite constante : la suite des periodicites

est une suite constante.

Ensemble des notations et relations Notons respectivement par V0,N et r le capital emprunte, le nombre de periodes de l’emprunt et le tauxd’interet sur une periode. Les interets sont supposes composes et le calculde l’interet est postcompte (ou a terme echu).On note aussi par Vn la capital (restant) du en fin de nieme periode (ouencore debut de (n+ 1)-ieme periode et In l’interet verse a la nieme periode

In = rVn−1.

D’autre part si Fn designe le montant du n-ieme remboursement (ou reglement)en fin de n ieme periode et Dn le capital ayant ete amorti (= amortissement)durant la n ieme periode on a les relations suivantes

Fn = Dn + In,

Vn = Vn−1 −Dn.


Par ailleurs, a la fin de la N ieme periode, le capital est integralement rem-bourse a savoir que l’on a : VN = 0.De toutes ces relations, on deduit successivement les proprietes suivantes :

1. La somme de tous les amortissements doit coincider exactement avecle montant emprunte a savoir que :

V0 = V1 +D1 = · · · =N∑n=1

Dn

2. Le montant Vn du capital restant du correspond a la valeur actualiseea la fin de la n ieme periode des reglements a partir de la (n+1)-iemeperiode, i.e

Vn =N−n∑k=1

Fn+k

(1 + r)k=

N∑k=n+1

Fk(1 + r)k−n

Preuve : On exploite les egalites suivantes

Vn = Vn+1 +Dn+1 = Vn+1 + Fn+1 − In+1 = Vn+1 + Fn+1 − rVn,

pour obtenir une premiere relation

Vn =Fn+1

(1 + r)+

Vn+1

(1 + r).

La relation s’ensuit a l’aide d’une recurrence decroissante de n = N a n = 0.On appelle cout global du credit Cg la somme des interets

Cg =N∑n=1

In.

Le cas du remboursement in fine

L’emprunteur ne paie que les interets du capital jusqu’a la N−1 ieme periodeil rembourse en une seule fois a l’echeance du pret, l’integralite du capitalemprunte. Pour ce type de remboursement et pour tout n, on a : Dn = 0 etIn = rV0 D’ou l’echeancier suivant

Structure de l’echeancier

Annees interets In amortissement Dn capital dun=1 rV0 0 V0

n =2 rV0 0 V0

· · · · · · · · · · · ·n rV0 0 V0

n = N rV0 V0 0

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Exemple pratiqueEmprunt de 10000 euros sur 5 ans au taux annuel effectif de 4 %

Annees interets In amortissement Dn Flux capital du Vnn = 1 400 0 0 10000n = 2 400 0 0 10000n = 3 400 0 0 10000n = 4 400 0 0 10000n = 5 400 10000 10400 0

Le cas du remboursement a amortissement constants

Philosophie de remplissage du tableau :Dans ce cas de ce mode de remboursement, l’amortissement est constant etdonc connu a toute date. Puis on deduit de la relation : Dn = Vn−1− Vn, lasuite des montants Vn

Vn = (1− nN

)V0,

ce par une recurrence immediate. Des lors on peut calcule les interets versesIn = rVn−1 puis la suite des flux financiers.Enfin, le cout total du credit vaut ici

Cg =N∑n=1

In =N∑n=1

rV0

(1− n− 1

N

)= rV0

N + 12

revient au calcul de 1N multiplie par la somme des premiers entiers.


Annees interets In amortissement Dn capital du Vnn=1 rV0

V0N V0

(1− 1

N

)n =2 rV0

(1− 1

N

)V0N V0

(1− 2

N

)n rV0

(1− n−1

N

)V0N V0

(1− n

N

)· · · · · · · · · · · ·n = N rV0

(1− N−1

N

)V0N 0

Exemple pratiqueEmprunt de 10000 euros sur 5 ans au taux annuel effectif de 4 %

Annees interets In amortissement Dn Flux Fn capital du Vnn = 1 400 2000 2400 8000n = 2 320 2000 2320 6000n = 3 240 2000 2240 4000n = 4 160 2000 2160 2000n = 5 80 2000 2080 0


Le cas du remboursement a periodicites (souvent mensualites ouannuites) constantes

Philosophie de remplissage du tableau :Commencons par le calcul de la periodicite qui est constante : d’apres ce quiprecede

F =rV0

(1− (1 + r)−N )

ou de facon equivalente : V0 = F(1+r)

(1−(1+r)−N )

1− 11+r

.

cette derniere relation provenant du principe d’actualisation des flux futurs.De meme, utilisant encore ce meme principe d’actualisation, on calcule lecapital restant du Vn comme suit

Vn =∑N−n

k=1F

(1+r)k

= F(1+r)

1−(1+r)−N+n

(1−(1+r)−1)

= rV0

(1+r)(1−(1+r)−N )1−(1+r)−N+n

1−(1+r)−1

= V0(1−(1+r)−N+n)(1−(1+r)−N )

,

la seconde egalite se deduisant de la formule pour la somme associee a unesuite geometrique.On en deduit donc le calcul de l’amortissement Dn = Vn−1 − Vn puis del’interet In = F −Dn


Annees interets In amortissement Dn Flux capital restant du Vn

n=1 r ((1−(1+r)−N ))(1−(1+r)−N )

V0rV0

(1+r)N (1−(1+r)−N )rV0

(1−(1+r)−N )V0(1−(1+r)−N+1)

(1−(1+r)−N )

n =2 r (1−(1+r)−N+1)(1−(1+r)−N )

V0rV0

(1+r)N−1(1−(1+r)−NrV0

(1−(1+r)−N )V0(1−(1+r)−N+2)

(1−(1+r)−N )

n rV0(1−(1+r)−N+n−1)

(1−(1+r)−N )rV0

(1+r)N−n+1(1−(1+r)−N )rV0

(1−(1+r)−N )V0(1−(1+r)−N+n)

(1−(1+r)−N )

· · · · · · · · · · · · · · ·n = N rV0

((1−(1+r)−1))(1−(1+r)−N )

rV0

(1+r)(1−(1+r)−N )rV0

(1−(1+r)−N )0

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Exemple pratique Meme emprunt sur 5 ans que precedemment

Annees interets In amortissement Dn Flux financier capital du Vnn=1 400 1846.3 2246.3 8153.7n =2 326.15 1920.1 2246.3 6233.6n =3 249.34 1996.9 2246.3 4236.7n = 4 169.5 2076.7 2246.3 2160n = 5 86.4 2160 2246.3 0

3.0.4 Application au calcul de la VAN et TRI

On considere ici la suite de flux financiers donnee par

par convention on aura toujours : F0 < 0 et : ∀ n ≥ 1, Fn ≥ 0.

Definition 3.3 Conformement a la notion d’actualisation precedemmentintroduite, on appelle valeur actualisee nette ou VAN du flux financierla quantite suivante

V AN(r) =N∑k=0

Fk(1 + r)k

La quantite F0 negative represente la valeur investie a la date initiale et quidonne lieu au versement de Fn a la nıeme periode. On dira que l’investisse-ment engendrant la suite de flux (Fn) est acceptable si la VAN est positiveet non acceptable si la VAN est negative.

Definition 3.4 On appelle taux de rentabilite interne (ou TRI) la valeurr∗ du taux qui annule la valeur actualisee nette ou VAN a savoir que r∗

satisfait que, pour un flux (F0 = −V0, F1, F2, , · · · , FN ) donne, on a

F0 +F1

(1 + r∗)+ · · ·+ FN

(1 + r∗)N=

N∑k=0

Fk(1 + r∗)k

= 0. (3.2)

Exemple

Annee 0 1 2 3 4Flux (en kilo Euros) -400 170 140 130 120

Selon le principe de la VAN, ce projet est il acceptable pour le taux : r =0.14% pour r = 0.17% ? Qu’en deduire sur la valeur du TRI r∗ ?


Methodes numeriques

r∗ defini implicitement par la relation n’est pas calculable explicitementen general : on a recours donc a une resolution numerique et on va presenterdans ce cours deux methodes generales iteratives pour determiner une so-lution approchee a l’equation : f(x) = 0. Une methode iterative consiste acontruire une suite (rn) telle que : limn(rn) = r∗.Les deux methodes qui vont etre presentees dans ce cours sont les suivantes :

– Algorithme de dichotomie : cette methode ne presuppose aucuneregularite de la fonction (seulement l’existence d’un zero du f sur unintervalle donne),

– Algorithme de Newton-Raphson : cette methode appelee parfoismethode de la secante suppose que la fonction soit au moins localementde classe C1 ou differentiable et de derivee ne s’annulant pas (si de plusla fonction est localement de la classe C2, on obtient plus de precisionquant a la vitesse de convergence.)

La vitesse de convergence d’une methode numerique sera exprimee a l’aidedes parametres C et p (p ≥ 1) tels que

∀ n ∈ N, |rn − r∗| ≤ C|rn−1 − r∗|p,

et plus p est grand plus la methode est rapide : pour la dichotomie p = 1, onparle de convergence lineaire, et pour Newton Raphson, on trouve : p = 2et on parle de convergence surlineaire dans ce cas.

DichotomieOn suppose la fonction f continue sur [a, b] et l’algorithme consiste a considererdeux valeurs d’initialisation r0 et r1 telles que

a < r0 < r1 < b et t.q. f(r0)f(r1) < 0

On evalue alors la fonction au centre : rc = ra+rb2 de l’intervalle [r0, r1]. Deux

cas se presentent– si f(r0)f(rc) < 0, on pose alors :r2 = rc, r1 = r0,

– sinon si f(r0)f(rc) < 0, on pose : r2 = r1, r1 = rcet on recommence la meme operation sur l’intervalle [r1, r2] et ainsi de suite.On peut ajouter les criteres d’arret suivants

|f(rn)| ≤ ε1 ou |rn − rn−1| ≤ ε2,

pour des reels ε1 et ε2 petits : notons que ces criteres precisent la qualite dela solution numerique au sens ou plus εi est proche de zero meilleure seral’approximation du zero.

25

Pour la methode de dichotomie les inclusions des intervalles et leur longueursatisfont

|rn − r∗| ≤ 12 |rn−1 − r∗|

≤ (12)2|rn−2 − r∗|

≤ (12)n|r0 − r∗| → 0, si n→∞,

ce qui prouve la convergence lineaire de la methode vers r∗.

Methode de Newton RaphsonLa methode est basee sur l’iteration suivante

r0 et rn+1 = rn −f(rn)f ′(rn)

.

Par consequent, pour que l’iteration soit bien definie, il faut absolument quef′

ne s’annule pas si on est ”suffisamment” proche de r∗ Avec l’hypotheseque f est au minimum deux fois derivable, on obtient de plus une vitesse deconvergence de type surlineaire.PreuveOn souhaite justifier que la methode converge avec une vitesse superlineaire(plus precisement quadratique), c’est-a-dire que

|rn − r∗| ≤ C|d0|2n

avec : d0 = K|r0 − r∗|, (3.3)

avec un reel K explicite. Ainsi des que r0 satisfait que : |r0 − r∗| < 1K , on

peut conclure a cette convergence.Pour prouver (3.3), on va exploiter une relation de Taylor a l’ordre deux cequi necessite que la fonction f soit localement deux fois derivable :

0 = f(r∗) = f(x) + f′(x)(r∗ − x) +

f′′(c)2

(r∗ − x)2,

avec c appartenant a ]r∗, x[ (ou ]x, r∗[). Exploitant cette relation pour :x = rn−1, on obtient d’abord

− f(rn−1)f ′(rn−1)

= (r∗ − rn−1) +f′′(c)

2f ′(rn−1)(r∗ − rn−1)2,

et il s’ensuit alors

rn − r∗ = rn−1 − f(rn−1)

f ′ (rn−1)− r∗,

= f′′

(c)

2f ′ (rn−1)(r∗ − rn−1)2

Comme : f′(r∗) 6= 0, il existe η > 0 tel que : m = min

x∈[r∗−η,r∗+η]|f ′(x)| existe

et comme f est C2, on pose : M = maxx∈[r∗−η,r∗+η]

|f ′′(x)|. Il vient alors que

|rn − r∗| =M

2m|r∗ − rn−1|2 =

1K

(dn−1)2,


avec : K = M2m , et dn = K|rn − r∗|. On montre ensuite que : dn ≤ d2

n−1 ≤d4n−2 ≤ · · · ≤ d2n

0 et, a l’aide d’une recurrence, on prouve alors que

|rn − r∗| ≤1Kd2n

0 → 0, lorsque n→∞.

Differences finiesDans des conditions semblables, l’algorithme de differences finies s’ecrit al’aide des initialisations r0 et r1 et des iterations suivantes

rn+1 = rn −(rn − rn−1

)f(rn)

f(rn)− f(rn−1).

Application pratique de ces methodes numeriquesEcrire precisement le schema de Newton Raphson dans le cas du polynomesuivant : X2 − 2 justifier que si on prend u0 = 2 le schema est bien sur-lineaire.(en pratique on verra que meme si u0 est grand le schema numerique esttoujours convergent !)

Comparaison des criteres de la VAN et de la TRIIllustrer une situation de conflit entre les criteres :Lorsque l’on compare deux projets 1 et 2 dans un intervalle de taux tels queV AN1(r) > 0 et V AN2(r) > 0 on choisira toujours parmi les deux projetscelui dont le TRI est le plus eleve. Toutefois, si les deux courbes de VAN secroisent sur le demi plan y > 0, on peut construire un intervalle sur lequella relation suivante est vraie V AN1 < V AN2 avec TRI1 > TRI2 :selon le critere de la TRI, on va choisir le modele 1 alors que la comparaisonseule de la VAN conduit plutot a choisir le projet 2.

27

3.0.5 Principe de valorisation des obligations

On rappelle ici qu’une obligation est un contrat (de creance) financiercaracterisee par sa valeur nominale N , par son prix d’emission E (ce derniern’est pas necessairement egal a cette valeur nominale) et qui donne lieu ades versements reguliers (en general annuel). La difference P = N − NEs’appelle la prime de remboursement.Le mode de remboursement le plus habituel pour ce type de contrat est leremboursement in fine qui suit la regle suivante :Une fois par an, est verse ce qu’on appelle le coupon C, calcule a l’aide de laformule suivante : C = r ×N et ou r designe le taux facial qui est fixe unefois pour toute a l’emission. A l’echeance, il y a remboursement du nominalen sus du coupon, ce qui correspond a un versement total de C +N .Dans le langage propre aux mathematiques financieres, on appelle com-munement “cash flow“ la suite des reglements associes au remboursement.Enfin, pour toutes les obligations qui ne donnent lieu a aucun versement decoupon on emploiera le terme d’obligation zero coupon : ces dernieres sontrembourses en une seule fois a maturite.

L’objectif de cette section est de definir une regle permettant de calculerla valeur d’une obligation

Notion de non arbitrage Rappelons tout d’abord brievement et au tra-vers d’un exemple concret ce qu’est une opportunite d’arbitrage (possibilited’adopter une strategie d’achat et de titre financiers qui rapporte de l’ar-gent sans investissement initial) : ainsi supposons que coexistent deux zeros-coupons de meme maturite six mois et respectivement de nominal 100 euroset 110 euros au meme prix de 99 euros : la strategie consistant a acheter lepremier et a vendre, dans le meme temps, le second permet sans investisse-ment de gagner 10 euros et constitue donc une opportunite d’arbitrage.

Considerons le tableau suivant donnant les caracteristiques de quatreobligations A, B, C et D dont les dates de maturites sont soit de 1 an soitde deux.

Titre Prix n = 1 n = 2A PA = 960 100 1100B PB = 1760 1000 1000C PC = 95 100 0D PD = 80 0 100

Au vu de ce tableau, les obligations C et D sont des obligations zero-couponsd’echeances respectives 1 et 2 ans. On justifie desormais que pour les valeursqui sont indiquees dans le tableau, il existe ce qu’on appelle des opportunites


d’arbitrage :On considere alors la strategie dite de replication1 de l’obligation A consis-tant en l’achat d’un zero-coupon de C et de 11 zero-coupons de D : au vudu prix de chacun de deux zeros-coupons le cout global de cette operationest de 880 + 95 = 975 euros. Par consequent, l’obligation A est donc souscotee de 15 (15 = 975− 960) euros. On peut verifier que B est au contrairesurcotee (de 10 euros).Ainsi, si on souhaite, au contraire interdire, toute opportunite d’arbitrage(hypothese AOA : absence d’opportunite d’arbitrage) et connaissant les prixdes obligations zero-coupons il est possible de calculer la valeur unique desobligations A et B qui assure la condition de non arbitrage on verifie alorsque ces valeurs doivent satisfaire

PAOAA = PC + 11PD = 975 et PAOA

B = 10(PC + PD) = 1750.

A l’aide de la valeur des zero-coupons, on peut calculer le taux d’acu-talisation a l’echeance de leur maturite : ainsi, si on note pn le prix duzero-coupon de maturite n et de nominal N on obtient le taux d’interet surles n periodes

Rn =(N− pn)

pn.

Par ailleurs et comme les taux correspondent a des periodes differentes, il estnaturel de chercher a definir, a partir des donnees Rn, un taux periodiqueannuel z(n) effectif equivalent : celui ci est base sur la formule suivante

zn = (1 + Rn)1n − 1.

Principe general : afin de calculer la valeur des obligations satisfaisantla condition (generalement requise en pratique) d’absence d’arbitrage sur lemarche, on doit considerer la valeur actualisee des “cash flow” correspon-dants : c’est a dire que le prix P est obtenu comme suit

P =N∑i=1

Fi(1 + zi)i

=N∑i=1

Fi∏i≤k(1 + rk)

Application pratique :Dans le cas des 4 obligations presentees dans l’exemple precedent (uneperiode correspondant a un an), la connaissance des caracteristiques desobligations A et B suffit afin de reconstruire a la fois R1 et R2 et, par suite,les taux periodiques effectifs z1 et z2.

R1 =100− 95

95∼ 0.0526 et R2 =

100− 8080

∼ 0.25

1Le terme de replication signifie que la strategie permet d’obtenir le meme ”’cashflow“et donc, au final, le portefeuille de l’investisseur augmente de la meme somme.

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d’ou on deduit donc que : z1 = R1 ∼ 5.26% et z2 = (1 +R2)0.5 − 1 ∼ 11.8%(z2 represente le taux d’interet effectif annuel permettant le calcul de la va-leur actualisee d’un flux verse au bout de deux ans).Verifions la coherence de ses resultats en recalculant ces taux a l’aide duprincipe d’actualisation des “cash flow” : ainsi, on obtient les relations sui-vantes

PCN

=95100

=1

1 + r1etPDN

=80100

=1

(1 + r1)(1 + r2)

on trouve donc : r1 ∼ 5.26% et r2 ∼ 18% et, par consequent, le taux z2 doitverifier

(1 + r1)(1 + r2) = (1 + z2)2

Le calcul montre que :√

(1 + r1)(1 + r2) ∼ 1.118, ce qui est en coherenceavec les calculs precedents.

Application : courbe des taux a termeEn pratique, notons que si on dispose de suffisamment de zero-coupons, ilest possible de construire le graphe de l’application T 7→ z(T ) : la courbecorrespondante est appelee la courbe des taux purs (ou courbe des zeros-coupons par terme) et, selon son allure, on a les interpretations suivantes

(i) La courbe est plate, ce qui signifie que le taux est constant dans letemps : c’est un cas d’ecole qui n’arrive pas en pratique,

(ii) La courbe est croissante (cas le plus courant) : dans ce cas, plusl’echeance est eloignee (i.e. plus T est grand) plus le risque de tauxest important et plus les investisseurs demandent un rendement eleve(correspondant a z(T )),

(iii) La courbe est decroissante : on peut observer ce phenomene (rare)lorsque le marche anticipe une baisse des taux.

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Licence 2 Math ematiques- Semestre 3 Introduction …marieamelie.morlais.free.fr/FICHIERS/mathfinance_cours201011.pdf · taux r eel (d eduit l’in ation) TEG,... taux d’int er^ets