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Logique floueFuzzy logic & fuzzy logic systems

Sylvain Chevallier

[email protected]

Universite de Cergy-Pontoise

15 octobre 2009

IntroductionLogique floue

Systemes de logique floue

Integrer connaissances prealablesUtilisation de regulateurs flous

Introduction

Historique

1965 Definition des ensembles flous par Zadeh

1975 Experimentation d’un regulateur flou

1979 Premieres utilisations industrielles

Notion d’ensembles flous :

Sylvain Chevallier Logique floue




Introduction

Historique









Introduction

Historique





Voitures francaises ou etrangeres ?

Si une marque francaise utilise des pieces etrangeres

Si une marque etrangere est produite en France ?

Une voiture peut appartenir aux deux ensembles

Different des probabilites





Quand utiliser la logique floue ?

Connaissances sur le probleme :

Objectives modeles mathematiques

Subjectives informations linguistiques

Utilisation d’un regulateur flou

Problemes difficiles a modeliser (processus complexes,non-lineaires, etc)

Cout de la modelisation trop elevee

Amelioration de regulateurs “classiques”





Quand utiliser la logique floue ?

Connaissances sur le probleme :

Objectives modeles mathematiques

Subjectives informations linguistiques

Structure simple

Faible cout dedeveloppement

Proche du langage

Connaıtre le probleme(experts)

Connaissance precises





Applications

Controleurs

Aviation (Rockwell)Metro (Hitachi)Boıte de vitesses (Nissan, Subaru)Amarrage de navettes spatiales (NASA)

Ordonnancements

Ascenceurs (Mitsubishi, ...)

Traitement du signal

Reconnaissance de caracteres (Palm Sony)Autofocus (Sanyo, Canon)Stabilisateur d’images (Panasonic)





Applications

Controleur du metro de Sendai

Controle de la vitesse

Controle du freinage

Prise en compte du confort des voyageurs

Plus grande precision de la position d’arret

Plus grand confort pour les voyageurs

Reduction de la consommation electrique




Ensembles flousOperateurs flous

Definition

Un ensemble flou A est defini par sa fonction d’appartenance µALa grandeur µA(x) defini le degre d’appartenance de l’element x al’ensemble AOn pourra noter que pour l’algebre booleenne :

µA(x) =

{0 si x ∈ A1 si x 6∈ A





Definition

Differentes fonctions d’appartenance possibles

Trapezoıdales

Gaussiennes

Sigmoıdes





Operations

Operateurs communs :

Union (OU)

Intersection (ET)

Complementation (NON)

⇒ Pas de definition unique !

Definition usuelle :µA∪B(x) = max(µA(x), µB(x))µA∩B(x) = min(µA(x), µB(x))µA = 1− µmcA

Autre definition :µA∪B(x) = µA(x) + µB(x)− µA(x).µB(x)µA∩B(x) = µA(x).µB(x)µA = 1− µmcA





Operations


Union (OU)

Intersection (ET)



De facon plus generale, les T-normes (intersection) doivent verifier :

Commutativite T (x , y) = T (y , x)

Associativite T (x ,T (y , z)) = T (T (x , y), z)

Monotonie T (w , x) 6 T (y , z) si w 6 y et x 6 z

Element neutre T (x , 1) = x





Operations


Union (OU)

Intersection (ET)



les T-conormes (union) doivent verifier :

Commutativite ⊥ (x , y) =⊥ (y , x)

Associativite ⊥ (x ,⊥ (y , z)) =⊥ (⊥ (x , y), z)

Monotonie ⊥ (w , x) 6⊥ (y , z) si w 6 y et x 6 z

Element neutre ⊥ (x , 1) = x





Representations graphiques

Cas du min, max et complement a 1

















Operations

Comme les ensembles classiques, les ensembles flous possedent pro-prietes suivantes :

Commutativite A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ AAssociativite A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, ...

Distributivite A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), ...

Idempotence A ∪A = A, A ∩A = AIdentite A ∪ ∅ = A, A ∪ 1U = 1U , ...





Operations

Cependant deux lois de la logique aristocelienne ne sont pas verifiees

Loi de contradiction A ∩A 6= ∅

Loi du milieu exclu A ∪A 6= 1U




Moteur d’inference flouExemple d’utilisationQuelques indications empiriques

Moteur d’inference flou





Exemple

Gestion du risque pour un certain typede projet

Variables d’entree

Financement (funding)

Nombre d’employes (staffing)

Variable de sortie

Appreciation du risque (risk)

Definition des fonctions d’appartenance





Exemple

Introduction des regles pour le systeme

1 Si funding = adequate ou sistaffing = small alors risk = low

2 Si funding = marginal et sistaffing = large alors risk = normal

3 Si funding = inadequate alorsrisk = high





Exemple

On considere que le financement est de f 0 euros et le nombre d’em-ployes est de s0.Fuzzification des variables d’entrees





Exemple

Evaluation des regles





Exemple

Agregation des resultats dans l’espace de sortie

Defuzzication

Plusieurs methodes

Centre de gravite

Moyenne des maximum

...





Implementer un raisonnement flou

Fonctions d’appartenance

Suffisament large pour le bruit

Commencer avec 3 ensembles

Plus de 7 ensembles n’apporte pas d’ameliorations

Les ensembles de se recouvrir

La variable de sortie peut contenir des “trous”






Base de regles

Possibilite de prendre en compte des indications linguistiques






Defuzzification

Differentes methodes

moyenne des minimummoyenne des maximum...

Calcul facilite quand les fonctions d’appartenance sontdisjointes





Bibliographie

Ces transparents sont inspires du cours d’Antoine Cornuejols

Bibliographie

J. M. MendelFuzzy logic systems for engineeringProc. of IEEE, 83(3), 1995.

T. Munakata & Y. JaniFuzzy SystemsCommunication of the ACM, 37(3), 1994

L. A. ZadehThe concept of linguistic variable and its application toapproximate reasoningInf. Sciences, 8, pp. 199–249, 1994


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