LOI DYADIQUE DE REPARTITION DES DIVISEURS

ERIC SAIAS

1. Introduction

Pour tout couple de reels (a,/?) verifiant 0 ^ a < p ^ 1, on designe par A(a,/?, n) laproportion de diviseurs de Tender positif n qui se situent dans Tintervalle [na, n^\, soit

A(a,£/2):=-

Tenenbaum etudie cette fonction dans [2]. II demontre notamment que pour toutcouple (a.,p) et tout rationnel ye[0,1], l'ensemble des entiers n tels que A(a,/?,«) = ypossede une densite naturelle que Ton notera h(<x,P,y). La question suivante se posealors naturellement.

Sous quelles conditions sur a, /? et y a-t-on h(<x, P, y) # 0 ? (0)

L'objet de ce present travail est de repondre a cette question.Remarquons tout d'abord qu'il existe des situations ou on peut conclure

facilement a la nullite de h(a,P, y). A tout diviseur d de n, on peut associer le diviseurd' tel que dd' = n. Cela montre que l'ensemble des diviseurs de n est repartisymetriquement autour de \/n. Pour tout couple (a,/?) tel que 0 < a </?<£, on adone A(<x,P,n) ^ \. Comme 1 est toujours diviseur de n, on a en fait A(a,/?,/z) < f.Sous les conditions 0 < a < / ? < | e t y ^ | , on a done

h(<x,/3,y) = 0. (1)

Le nombre y/n est un diviseur de n si et seulement si n est un carre. Comme l'ensembledes carres est de densite nulle, on a encore (1) sous les conditions legerement affaiblies0 < a < ^ ^ | e t y ^ | . Soit D l'ensemble des triplets (a,/?,y) verifiant Tune des dixconditions suivantes.

a = 0, 0<^<|,0<y<|; (2)a = 0, p = i y = |; (3)a = 0, \<p<\, Hy<l; (4)a = 0, p=\, y=l; (5)

0<a<p^\, 0^y<|; (6)0<a<±<p<l, 0^y<\; (7)

0 < a < f 5 p=l, |<y<l; (8)

a = £, P = l 7 = 1; (9)|< a </?< 1, 0^y<i; (10)

|<a<l, p=l, 0<y^i (11)

Received 21 June 1991.

1991 Mathematics Subject Classification 11N25.

Bull. London Math. Soc. 24 (1992) 526-530

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En raisonnant comme precedemment, on montre facilement que pour tout triplet(<x,#y)£A ona/i(a,/?,y) = 0.

Dans le Theoreme de [2], Tenenbaum donne des elements de reponse plussubstantiels a la question (0). Soit T:={a2~be[0, l]:(a,b)eN2}. II demontre que sih(<x.,f3,y) 7* 0, alors yeF. II demontre aussi que si Ton a par exemple 0 ̂ a < ft < £,alors il existe une suite de rationnels non nuls yk, decroissant vers 0 et telle que pourtout A:, /i(a,#yfc)#0.

Nous demontrons ici que la condition necessaire y e F est egalement suffisante.

THEOREME. Soit (a,fi,y)eD. On a h(<x,fi,y) =£ 0 si et settlement si yeF.

2. Demonstration du Theoreme

Donnons d'emblee le lemme clef.

LEMME 1. Soit k un entier > 0 et soient (alf ...,ak) et (blt...,bk) deux k-uplesde reels verifiant 0 < ax < b1 < a2 < b% < ... < ak < bk < 1 et ^ f - x ^ < 1. AlorsVensemble S des entiers n qui ont exactement un facteur premier dans chacun desintervalles [«a<,nbi], 1 < i'^ k, a une densite inferieure > 0.

Pour demontrer le Theoreme, il suffit alors d'etablir que si (a,p,y)eD et yeF, ilexiste un tel ensemble S verifiant

neS => A(n,a,/3) = y. (12)

Pour demontrer le Lemme 1, nous avons besoin du resultat auxiliaire suivant ouon designe par P(n) le plus grand facteur premier de n.

LEMME 2. Soit {n,s)e]0, l[2; on a alors

E 1 - x (x

Demonstration du Lemme 2. On sait (voir, par exemple, [1, Theorem 1]) que

ou on designe par p la fonction de Dickman. Le Lemme 2 resulte alors de ladecroissance stricte de p(u) (voir [1, Lemma 1]).

Demonstration du Lemme 1. On choisit e > 0 de telle sorte qu'il existe un fe-uple(b[, ...,bk) verifiant pour tout / (1 ^ i ̂ k), ai<b'i< bt, YJl-\K < 1 e t

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On choisit un tel fc-uple (b't)1<t<k. En designant par/^ un nombre premier generiquede l'intervalle [xa*, xbi[, on a done pour x suffisamment grand,

< M < Y \ > y i _ y y i _ Y y *^ 11 ^ A,) £f ^ 1 ^ £^ 1 ^ ^ A £j

7l~WiPj . . . pk Pj, . . . t pk X < WIPJ . . . pk ^X Pj , . . . , p k r \ ' ' * r k

n^x,P{m)<xai P(m)<xai

par le Lemme 2. En utilisant l'estimation classique

P^xP

on montre que cette derniere expression est >; x, ce qui acheve la demonstration duLemme 1.

Pour demontrer l'existence d'un ensemble S verifiant (12), nous avons besoin duresultat suivant.

LEMME 3. Soit (a,/?, y) un triplet verifiant Fune des conditions (2), (6) ou (7) et telque de plus yeT. II existe alors un k-uple (ult ...,uk) verifiant

k

0<ux<...<uk, Yjut<l

et

= y2k. (13)

Pour demontrer ce lemme, nous avons besoin de deux resultats auxiliaires.

LEMME 4. Soit Se]0, | [ ; o/i /?O5e yx = ... = vk_x = - — - et vk = 1 — 2<5. Alors pour

tout r\ e ]0,1 — 2<5[ ^xe, on a

card j(e,)1<<<ite{0, l}fc: S-rj < ̂ v, < S + n} ~ 2*"1 (k > + co).

LEMME 5. Soient Q un ouvert connexe d'un espace affine reel et F la trace sur Odune union finie de sous-espaces affines de codimension ^ 2. Alors Q\Fest connexe pararcs.

Le Lemme 4 resulte de l'application classique du Theoreme Central Limite au jeudu pile ou face. Le Lemme 5 est un resultat elementaire de topologie que nousdonnons sans demonstration.

Demonstration du Lemme 3. On suppose verifiee la condition (6). Si y = 0, ilsuffit de prendre k = 1 et ux = 1 —a/2. On suppose dorenavant y # 0.

Posons

= 2~k card {(£<)e <0> U*:« < E

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En appliquant deux fois le Lemme 4 avec 3 = a/2 et 3 = (a+/?)/2, on montre qu'ilexiste une infinite d'entiers k avec deux fc-uples V = (y , )^ ,^ , V = (y<)1<i<fc de la

forme I -—-,. . . , -—-, 1 - 231 et verifiant\k—\ k—\ )

<lUV)^y-<y<y-±i*:q^(V'). (14)

Posons

et

F= u U

On a

card(((£,),/7)e{0, l}fcx{a,^}: f^w, = n ou f)«,»; = 7) = «(2fc) (* ^ + 00).

On peut done choisir un entier k tel que d'une part on ait

ye2-kN (15)

et d'autre part, en faisant eventuellement varier Ket V dans un petit ouvert de Q, onait deux nouveaux fc-uples V et V de Q\JP verifiant

gaJ(V)<y<qa^V). (16)

On fait maintenant varier continument un fc-uple U de V k V de telle sorte queU soit toujours dans Q\F. C'est possible d'apres le Lemme 5. Comme dans lavariation continue de U, U evite JF, cela assure que les sauts de 2kq(XJJJ) sont toujoursegaux a ± 1. D'apres (15) et (16), on a done pour un certain UeQ\F, qap(U) = y.Quitte a modifier legerement ce U, on peut supposer qu'il verifie de plus

et

Enfin, en diminuant legerement la valeur de ux et en reordonnant les u{ (1 ̂ / ̂ k)dans le sens croissant, on obtient un /c-uple (ux,...,«t) verifiant les conditions duLemme 3.

La demonstration dans les cas (2) et (7) est analogue. Mentionnons seulement quedans le cas (7), y # 0, la relation (14) est remplacee par

et que pour obtenir un V tel que qajy) ^ (y+ l)/2, on applique le Lemme 4 avec

3 = max

Par symetrie des sommes YJl-\eivi a u t o u r de \, on obtient ainsi

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Fin de la demonstration du Theoreme. Compte tenu des resultats de Tenenbaum,il suffit de montrer que pour (a,/?, y)eD et yeF, on a h(a,p, y) # 0. On a trivialementK®> i I) = h{j)t 1»1) = Kh *»I) = 1, ce qui resoud les cas (3), (5) et (9). Par symetrie desdiviseurs de n autour de y/n, on a

h{\ — /?, |, y—\) sous la condition (4),

// o \ K<x>hy—k) sous la condition (8),h(a,p,y)=( 2 ' 2/

/i( 1 — /?, 1 — a, y) sous la condition (10),

k/i(0,1 — a, y) sous la condition (11).Nous pouvons done limiter notre etude a celle des cas (2), (6) et (7).

Sous chacune de ces trois conditions, on applique le Lemme 3 et on definit Scomme l'ensemble des entiers n ayant exactement un facteur premier pi dansl'intervalle [nUi,nUi+n] (1 ^ / ^ k), ou r\ est un reel > 0 convenablement choisi.

Un entier generique de S s'ecrit n = mp1...pk avec m ^ H1"1'-1"*. Un diviseurgenerique de n s'ecrit d = m'p\...pk

k avec m'\m et (Ois j i^ t 6 ^ 1}*. On a

lO2/wComme -r^—< 1~YJUV d'apres (13), cela implique qu'en choisissant rj suffis-

log« ,_!amment petit, on a

D'ou, toujours d'apres (13),

neS =>

Le Lemme 1 permet de montrer alors que h{<x, {}, y) > 0, ce qui acheve la demonstrationdu Theoreme.

References

1. A. HILDEBRAND, 'On the number of positive integers < x and free of prime factors > y\ J. NumberTheory 22 (1986) 289-307.

2. G. TENENBAUM, 'Lois de repartition des diviseurs, 4', Ann. Inst. Fourier (3) 29 (1979) 1-15.

Laboratoire de ProbabilitesUniversite Pierre et Marie Curie4 Place Jussieu75252 Paris Cedex 05France