8/19/2019 lois des probabilité

1/3

L2 Économie Probabilités

COUPLES DE VARIABLESALÉATOIRES DISCRÈTES

Exercice. On considère deux variables aléatoires discrètes  X  et  Y  dont la loi de couple estdonnée par le tableau

 X  \ Y    −1 1

−2   2910033

100

2   13100   p2

( a)  Pour quelle(s) valeur(s) de  p ce tableau définit bien une loi de probabilité d’un couple devariables aléatoires ?

( b)  Déterminer les lois marginales de X  et  Y  puis calculer leurs espérances et variances.( c)  Déterminer la loi de la variable aléatoire  Z  =  XY , son espérance et sa variance.( d )  Déterminer la covariance Cov( X ,Y ). Les variables X  et  Y  sont-elles indépendantes ?

Corrigé de l’exercice.

( a)   Il faut que tous les coecients du tableau soient positifs (ce qui est le cas) et que la sommedes éléments du tableau vaille 1 ; on a

29100

 +  33100

 +  13100

 +  p2 = 1   ⇐⇒  75100

 +  p2 = 1   ⇐⇒  34 +  p2 = 1   ⇐⇒   p2 =

 14

⇐⇒   p  =  ±12

.

Les deux valeurs de   p qui font du tableau précédent une loi de probabilité d’un couple

sont  p =

  1

2 et  p = −

1

2 . Dans tous les cas, on a  p2=

  1

4  =

  25

100

1

8/19/2019 lois des probabilité

2/3

( b)  La loi marginale de X  est donnée par

k    P( X  = k )

−2   621002   38100

On a donc

E( X )  =

 x∈ X (Ω)

 xP( X  =  x)  = (−2) ×  62100

 + (+2) ×  38100

  =  − 48100

E( X 2)  =

 x∈ X (Ω)

 x2P( X  =  x)  = (−2)2 ×  62100

 + (+2)2 ×  38100

  = 400100

  = 4

Var( X )  =  E( X 2) − E( X )2 = 4 −

−

 48100

2= 4 −

  230410000

  = 40000 − 2304

10000  =

 3769610000

La loi marginale de Y  est donnée park    −1 1

P(Y  =  k )   4210058

100

On a donc

E(Y )  =

 y∈Y (Ω)

 yP(Y   = y)  = (−1) ×  42100

 + (+1) ×  58100

  =  16100

E(Y 2)  =

 y∈Y (Ω)

 y2P(Y   = y)  = (−1)2 ×  42100

 + (+1)2 ×  58100

  = 100100

  = 1

Var(Y )  =  E(Y 2) − E(Y )2 = 1 −

 16100

2

= 1 −  25610000

  = 10000 − 256

10000  =

  974410000

( c)  Les valeurs prises par Z  sont −2 et 2. On a

P( Z  = 2)  =  P( X  = 2,Y   = 1) + P( X  =  −2,Y  = −1)  =   29100  +  25100   =

  54100

P( Z  = −2)  =  P( X  = −2,Y  = 1) + P( X  = 2,Y  =  −1)  =   33100  +  13100   =

  46100

La loi de Z  est donc donnée par le tableau suivant :

k    −2 2

P( Z  = k )   4610054

100

On a donc

E( Z )  =

 z∈ Z (Ω)

 zP( Z  = z)  = (−2) ×  46100

 + (+2) ×  54100

  =  16100

E( Z 2)  =

 z∈ Z (Ω)

 z2P( Z  = z)  = (−2)2 ×  46100

 + (+2)2 ×  54100

  = 400100

  = 4

Var( Z )  =  E( Z 2) − E( Z )2 = 4 −  16100

2

= 4 −  25610000

  = 40000 − 256

10000  =

 3974410000

2

8/19/2019 lois des probabilité

3/3

( d )  La covariance de X  et  Y  est donnée par

Cov( X ,Y )  =  E( XY ) − E( X )E(Y )  =  16100

 −

−

 48100

×

  16100

  = 23681000

.

Les variables X  et  Y  ne sont pas indépendantes car elles ne sont pas décorrélées.

3