1Thorie des champs conceptuels

Vergnaud

Pour quoi faire?

une thorie cognitiviste qui vise fournir un cadre cohrent et quelques principes de base

pour ltude du dveloppement et de lapprentissage des comptences complexes,

notamment de celles qui relvent des sciences et des techniques (Vergnaud, 1996)

Buts fournir un cadre permettant de comprendre les

filiations et les ruptures entre les connaissances rendre compte du processus de conceptualisation

des structures mathmatiques

Dfinitions (Vergnaud)Le champ conceptuel un espace de problmes ou de situations-problmes dont le traitement implique des concepts et des procdures de plusieurs types en troite connexion, ainsi que les reprsentations langagires et symboliques susceptibles dtre utilises pour les reprsenter

Le schme lorganisation invariante de la conduite pour une classe de problmes donne cest dans les schmes quil faut rechercher les connaissances en acte du sujet, cest--dire les lments cognitifs qui permettent laction du sujet dtre opratoire

Concepts et schmesApprentissage / enseignement

Un concept ne peut tre rduit sa dfinition Cest travers des situations et des problmes

rsoudre quun concept acquiert du sens pour lenfant

2 classes de situations Celles pour lesquelles le sujet dispose

des comptences ncessaires Celles pour lesquelles le sujet ne dispose

pas des comptences ncessaires: exploration, rflexion

Fonctionnement diffrent des

schmes

Concepts

Triplet de 3 ensembles S: lensemble des situations qui donnent du sens au

concept (la rfrence) I: lensemble des invariants (proprits) sur lesquels

repose loprationnalit des schmes (le signifi) S: lensemble des formes langagires et non

langagires qui permettent de reprsenter symboliquement le concept, ses proprits, les situations et les procdures de traitement (le signifiant)

Exemples de champs conceptuels

Une situation dachat lunit peut donner lieu un problme reconnu comme relevant de la multiplication

Quel est le prix de 15 objets valant 3 lun? de la division

Quel est le prix dun objet si je sais que jai pay 15 de ces objets pour 45 ?

de la proportionnalit Quel est le prix de 15 objets valant 6 les deux?

Champs conceptuels des structures multiplicatives

2Exemple concept: additivit 6 situations additives (voir plus loin) invariantsVrai:commutativit, associativitFaux: ordre daddition des chiffres indiffrent

23+36 vrai, faux pour 34+67 Formes langagiresplus, et, synonymessymbole +

Fonctionnement des schmes

Situation/comptences Conduites automatisesOrganisation autour dun schme unique

Automatismes

Situations/absence de comptences Amorage successif de diffrents schmes Comptition entre schmes Accommodation des schmes

Dcouvertes

Un exemple de schme: le dnombrement dune petite collection Enfant de 5 ans Variation de la forme du schme "dnombrement" des bonbons des assiettes sur une table des personnes assises de manire parse

Organisation invariante Coordination du mouvement des yeux et des gestes du

doigt et de la main nonc coordonn de la suite numrique Cardinalisation de lensemble dnombr par

soulignement tonique ou par rptition du dernier mot-nombre prononc

volution des schmes

Schme inefficace dans certaines situations Changement de schmeModification du schme

Piaget: les schmes sont au cur du processus dadaptation des structures cognitives Assimilation accommodation

Les schmes reposent sur une conceptualisation implicite!

Exemple dun schme-algorithme:laddition des nombres entiers Commencer par la colonne des units, la plus droite Continuer par la colonne des dizaines, des centaines, Calculer la somme des nombres dans chaque colonne.

Si la somme des nombres dans une colonne est infrieure dix, inscrire cette somme sur la ligne du total (ligne du bas). Si elle est gale ou suprieure dix, crire seulement les chiffres des units de cette somme et retenir le chiffre des dizaines, que lon reporte en haut de la colonne immdiatement situe gauche, pour lajouter aux autres nombres de cette dernire colonne

Et ainsi de suite en progressant de droite gauche, jusqu puisement des colonnes

Explicitation quasiment impossible pour les enfants

Exemple des structures additives

Vergnaud distingue 6 classes de structures additives Deux mesures se composent en une troisime Une transformation opre sur une mesure pour

donner une mesure Relation quantifie statique entre deux mesures:

comparaison Deux transformations se composent en une

transformation Une transformation opre sur un tat relatif pour

donner un tat relatif Deux tats relatifs (relations) se composent pour

donner un tat relatif

3Lgende des schmas

Mesure, quantit discrte

Entier exprimant une transformation

Transformation

Comparaison entre tats

Etat relatif

Composition dtats

A

B

C

Exemple 1

Paul a 6 billes en verre dans sa poche droite et 8 billes en acier dans sa poche gauche. Combien de billes a-t-il en tout?

Deux mesures se composent en une

troisime

A

B

C

Exemple 2

Paul avait 7 billes avant de jouer. Il a gagn 4 billes. Combien en a-t-il maintenant?

Une transformation opre sur une mesure pour donner une mesure

A et C sont des mesures B est une transformation

A C

B

Exemple 3

Paul a 8 billes. Jacques en a 5 de moins. Combien Jacques a-t-il de billes?

Relation quantifie de comparaison entre deux

mesures

A et C sont des mesuresB est un nombre relatif

A

C

B

Exemple 4

Paul a gagn 6 billes hier et il en a perdu 9 aujourdhui. Combien en a-t-il gagn ou perdu en tout ?

Deux transformations se composent en une transformation

A B

C

Exemple 5

Paul devait 6 billes Henri. Il lui en rend 4. Combien lui en doit-il encore ?

Une transformation opre sur un tat relatif pour donner un tat relatif

A C

B

4Exemple 6

Paul doit 6 billes Henri mais Henri lui en doit 4. Combien Paul doit-il de billes Henri ?

Deux tats relatifs (relations) se composent pour donner

un tat relatif

A

C

B

Difficults lies la 2me catgorie

Une transformation opre sur une mesure pour donner une mesure

Dcomposition en 6 classes de problmes Selon que la transformation B est positive ou ngative Selon quelle porte sur

ltat final C (A et B sont connus) sur la transformation B (A et C sont connus) et enfin sur ltat initial A (B et C sont connus)

A C

B

Les facteurs de difficult

Soustractions impossibles Difficult du calcul ncessaire la

rsolution Difficult de la procdure de rsolution Ordre et prsentation des informations Type de contenu et relations envisages

Classez les problmes (CE2) ci-dessous:1. Dans un magasin, un jouet vaut 15 . Il vaut 23 dans un autre

magasin. De combien est-il plus cher dans le deuxime magasin ?2. Sophie joue au jeu de loie. Elle vient de reculer de 5 cases et se

trouve sur la case 12. De quelle case est-elle partie ?3. Dans un bouquet, il y a 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs ?4. Lionel a 37 ans. Sa fille a 7 ans. Quel ge avait-il quand elle est ne ?5. Au jeu de loie, Julie joue deux coups. A deuxime coup, elle avance

de 9 cases. Au total, elle saperoit quelle a recul de 4 cases. Que stait-il pass au premier coup ?

6. Bernard possde 25 petites voitures. Il en a 5 de plus (ou de moins) que Charles. Combien Charles en a-t-il ?

7. Elise a 7 ans. Sa sur Mlanie a 4 ans de plus. Quel ge a Mlanie ? 8. Aujourdhui jai dpens 44 . Cet aprs midi, jai dpens 13 .

Combien ai-je dpens ce matin ?