L’univers des nombres premiers

M. Boulonne - http://cbmaths.fr

Collège Voltaire Wattignies - 29 juin 2015

M. Boulonne - http://cbmaths.fr L’univers des nombres premiers 29 juin 2015 1 / 46

Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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Sommaire

1 DivisibilitéUn petit exercice pour commencerDivisibilitéCritères de divisibiltéUne remarque

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Un petit exercice pour commencer

Compléter les pointillés par des entiers naturels (positifs).1 27 = . . . × . . .

2 42 = . . . × . . .

3 120 = . . . × . . .

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Un petit exercice pour commencer

Compléter les pointillés par des entiers naturels (positifs).1 27 = . . . × . . .

2 42 = . . . × . . .

3 120 = . . . × . . .

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Un petit exercice pour commencer

Compléter les pointillés par des entiers naturels (positifs).1 27 = . . . × . . .

2 42 = . . . × . . .

3 120 = . . . × . . .

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Sommaire

1 DivisibilitéUn petit exercice pour commencerDivisibilitéCritères de divisibiltéUne remarque

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Définition de la divisibilité

Définition : divisibilitéOn dit qu’un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si lequotient, résultat de la division de a par b est un nombre entier.Autrement dit, on peut trouver un entier k tel que a = kb.

Exemples

1 27 est divisible par 3 et par 9 (par exemple, car 27 = 3 × 9). On ditaussi que 9 est un multiple ou un diviseur de 27.

2 42 est divisible par 2, 3, 6, 7, 14. . .3 120 est divisible par 2, 3, 4, 5, 10 (par exemple).

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Définition de la divisibilité

Définition : divisibilitéOn dit qu’un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si lequotient, résultat de la division de a par b est un nombre entier.Autrement dit, on peut trouver un entier k tel que a = kb.

Exemples

1 27 est divisible par 3 et par 9 (par exemple, car 27 = 3 × 9). On ditaussi que 9 est un multiple ou un diviseur de 27.

2 42 est divisible par 2, 3, 6, 7, 14. . .3 120 est divisible par 2, 3, 4, 5, 10 (par exemple).

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Définition de la divisibilité

Définition : divisibilitéOn dit qu’un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si lequotient, résultat de la division de a par b est un nombre entier.Autrement dit, on peut trouver un entier k tel que a = kb.

Exemples1 27 est divisible par 3 et par 9 (par exemple, car 27 = 3 × 9). On dit

aussi que 9 est un multiple ou un diviseur de 27.

2 42 est divisible par 2, 3, 6, 7, 14. . .3 120 est divisible par 2, 3, 4, 5, 10 (par exemple).

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Définition de la divisibilité

Définition : divisibilitéOn dit qu’un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si lequotient, résultat de la division de a par b est un nombre entier.Autrement dit, on peut trouver un entier k tel que a = kb.

Exemples1 27 est divisible par 3 et par 9 (par exemple, car 27 = 3 × 9). On dit

aussi que 9 est un multiple ou un diviseur de 27.2 42 est divisible par 2, 3, 6, 7, 14. . .

3 120 est divisible par 2, 3, 4, 5, 10 (par exemple).

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Définition de la divisibilité

Définition : divisibilitéOn dit qu’un nombre entier a est divisible par un nombre entier b si lequotient, résultat de la division de a par b est un nombre entier.Autrement dit, on peut trouver un entier k tel que a = kb.

Exemples1 27 est divisible par 3 et par 9 (par exemple, car 27 = 3 × 9). On dit

aussi que 9 est un multiple ou un diviseur de 27.2 42 est divisible par 2, 3, 6, 7, 14. . .3 120 est divisible par 2, 3, 4, 5, 10 (par exemple).

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Sommaire

1 DivisibilitéUn petit exercice pour commencerDivisibilitéCritères de divisibiltéUne remarque

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilitéUn nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilitéUn nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilitéUn nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.

Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilitéUn nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilitéUn nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.

Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité

Critères de divisibilitéUn nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 3.Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux dernierschiffres est divisible par 4.Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisiblepar 9.Un nombre est divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

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Critères de divisibilité : exemples et exercice

ExempleMontrer que 4185 est divisible par 3, par 5 et par 9.

On fait la somme des chiffres qui composent le nombre 4185 :

4 + 1 + 8 + 5 = 5 + 13 = 18,

puis1 + 8 = 9.

La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 3 donc 4185 est divisible par 3.La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 9 donc 4185 est divisible par 9.Le nombre 4185 se termine par le chiffre 5 donc 4185 est divisible par5.

Exercice : Montrer que 11730 est divisible par 5, par 10 et par 3.

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Critères de divisibilité : exemples et exercice

ExempleMontrer que 4185 est divisible par 3, par 5 et par 9.

On fait la somme des chiffres qui composent le nombre 4185 :

4 + 1 + 8 + 5 = 5 + 13 = 18,

puis1 + 8 = 9.

La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 3 donc 4185 est divisible par 3.

La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 9 donc 4185 est divisible par 9.Le nombre 4185 se termine par le chiffre 5 donc 4185 est divisible par5.

Exercice : Montrer que 11730 est divisible par 5, par 10 et par 3.

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Critères de divisibilité : exemples et exercice

ExempleMontrer que 4185 est divisible par 3, par 5 et par 9.

On fait la somme des chiffres qui composent le nombre 4185 :

4 + 1 + 8 + 5 = 5 + 13 = 18,

puis1 + 8 = 9.

La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 3 donc 4185 est divisible par 3.La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 9 donc 4185 est divisible par 9.

Le nombre 4185 se termine par le chiffre 5 donc 4185 est divisible par5.

Exercice : Montrer que 11730 est divisible par 5, par 10 et par 3.

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Critères de divisibilité : exemples et exercice

ExempleMontrer que 4185 est divisible par 3, par 5 et par 9.

On fait la somme des chiffres qui composent le nombre 4185 :

4 + 1 + 8 + 5 = 5 + 13 = 18,

puis1 + 8 = 9.

La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 3 donc 4185 est divisible par 3.La somme des chiffres qui composent le nombre 4185 est un multiplede 9 donc 4185 est divisible par 9.Le nombre 4185 se termine par le chiffre 5 donc 4185 est divisible par5.

Exercice : Montrer que 11730 est divisible par 5, par 10 et par 3.M. Boulonne - http://cbmaths.fr L’univers des nombres premiers 29 juin 2015 10 / 46

Sommaire

1 DivisibilitéUn petit exercice pour commencerDivisibilitéCritères de divisibiltéUne remarque

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Remarque

Exemples

1 27 est aussi divisible par 1 et par 27.2 42 est aussi divisible par 1 et par 42.3 120 est aussi divisible par 1 et par 120.

RemarqueUn nombre entier naturel n a toujours pour diviseurs 1 et lui-même car ilpeut s’écrire :

n = 1 × n.

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Remarque

Exemples1 27 est aussi divisible par 1 et par 27.

2 42 est aussi divisible par 1 et par 42.3 120 est aussi divisible par 1 et par 120.

RemarqueUn nombre entier naturel n a toujours pour diviseurs 1 et lui-même car ilpeut s’écrire :

n = 1 × n.

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Remarque

Exemples1 27 est aussi divisible par 1 et par 27.2 42 est aussi divisible par 1 et par 42.

3 120 est aussi divisible par 1 et par 120.

RemarqueUn nombre entier naturel n a toujours pour diviseurs 1 et lui-même car ilpeut s’écrire :

n = 1 × n.

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Remarque

Exemples1 27 est aussi divisible par 1 et par 27.2 42 est aussi divisible par 1 et par 42.3 120 est aussi divisible par 1 et par 120.

RemarqueUn nombre entier naturel n a toujours pour diviseurs 1 et lui-même car ilpeut s’écrire :

n = 1 × n.

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Remarque

Exemples1 27 est aussi divisible par 1 et par 27.2 42 est aussi divisible par 1 et par 42.3 120 est aussi divisible par 1 et par 120.

RemarqueUn nombre entier naturel n a toujours pour diviseurs 1 et lui-même car ilpeut s’écrire :

n = 1 × n.

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Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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Sommaire

2 Nombres premiersVers les nombres premiersDéfinition d’un nombre premier

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Un petit exercice pour commencer

Compléter les pointillés par des entiers naturels (positifs).1 7 = . . . × . . .

2 23 = . . . × . . .

3 1873 = . . . × . . .

Que remarque-t-on ?

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Un petit exercice pour commencer

Compléter les pointillés par des entiers naturels (positifs).1 7 = . . . × . . .

2 23 = . . . × . . .

3 1873 = . . . × . . .

Que remarque-t-on ?

M. Boulonne - http://cbmaths.fr L’univers des nombres premiers 29 juin 2015 15 / 46

Un petit exercice pour commencer

Compléter les pointillés par des entiers naturels (positifs).1 7 = . . . × . . .

2 23 = . . . × . . .

3 1873 = . . . × . . .

Que remarque-t-on ?

M. Boulonne - http://cbmaths.fr L’univers des nombres premiers 29 juin 2015 15 / 46

Sommaire

2 Nombres premiersVers les nombres premiersDéfinition d’un nombre premier

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Définition d’un nombre premier

Définition : Nombre premierUn nombre entier p ≥ 2 est un nombre premier s’il admet exactementdeux diviseurs.

ExemplesLes nombres 7, 23 et 1873 (présentés dans la diaporama précédente) sontdes nombres premiers.

Infinité des nombres premiersIl y a une infinité de nombres premiers.

Par contre, on ne les connait pas tous. Le plus grand nombre premierconnu à ce jour est le nombre 257885161 − 1

. Il aura fallu 39 jours de calculen continu au mathématicien américain Curtis Cooper pour vérifier que cenombre soit bien un nombre premier.

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Définition d’un nombre premier

Définition : Nombre premierUn nombre entier p ≥ 2 est un nombre premier s’il admet exactementdeux diviseurs.

ExemplesLes nombres 7, 23 et 1873 (présentés dans la diaporama précédente) sontdes nombres premiers.

Infinité des nombres premiersIl y a une infinité de nombres premiers.

Par contre, on ne les connait pas tous. Le plus grand nombre premierconnu à ce jour est le nombre 257885161 − 1

. Il aura fallu 39 jours de calculen continu au mathématicien américain Curtis Cooper pour vérifier que cenombre soit bien un nombre premier.

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Définition d’un nombre premier

Définition : Nombre premierUn nombre entier p ≥ 2 est un nombre premier s’il admet exactementdeux diviseurs.

ExemplesLes nombres 7, 23 et 1873 (présentés dans la diaporama précédente) sontdes nombres premiers.

Infinité des nombres premiersIl y a une infinité de nombres premiers.

Par contre, on ne les connait pas tous. Le plus grand nombre premierconnu à ce jour est le nombre 257885161 − 1. Il aura fallu 39 jours de calculen continu au mathématicien américain Curtis Cooper pour vérifier que cenombre soit bien un nombre premier.

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Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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Sommaire

3 A la recherche des nombres premiersLe crible d’EratosthèneAutres techniques de recherche

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Le crible d’Eratosthène

Dans cette section, nous allons chercher les nombres premiers parmi lesnombres entiers entre 1 et 100.Pour cela, nous allons utiliser un crible (c’est-à-dire une sélection) inventépar un savant grec nommé Eratosthène.

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Eratosthène

Eratosthène est né en 276 av. J.C.à Cyrène (actuelle Libye) et futnommé à la tête de la bibilothèqued’Alexandrie vers 245 av J.C.Il fut le premier à donner une mé-thode permettant de mesurer (ap-proximativement) la circonférencede la Terre.

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Description du crible

Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir par élimination, tous les nombrespremiers inférieurs à un certain entier naturel.Dans cet exposé, nous allons donner tous les nombres premiers de 1jusqu’à 100.

1 On écrit tous les nombres de 2 à 100.

2 On entoure le premier nombre qui n’est pas barré (ici 2).3 On barre tous les multiples du nombre entouré (jusqu’à 100).4 On entoure le nombre suivant qui n’est pas barré.5 et ainsi de suite. . .

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Description du crible

Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir par élimination, tous les nombrespremiers inférieurs à un certain entier naturel.Dans cet exposé, nous allons donner tous les nombres premiers de 1jusqu’à 100.

1 On écrit tous les nombres de 2 à 100.2 On entoure le premier nombre qui n’est pas barré (ici 2).

3 On barre tous les multiples du nombre entouré (jusqu’à 100).4 On entoure le nombre suivant qui n’est pas barré.5 et ainsi de suite. . .

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Description du crible

Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir par élimination, tous les nombrespremiers inférieurs à un certain entier naturel.Dans cet exposé, nous allons donner tous les nombres premiers de 1jusqu’à 100.

1 On écrit tous les nombres de 2 à 100.2 On entoure le premier nombre qui n’est pas barré (ici 2).3 On barre tous les multiples du nombre entouré (jusqu’à 100).

4 On entoure le nombre suivant qui n’est pas barré.5 et ainsi de suite. . .

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Description du crible

Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir par élimination, tous les nombrespremiers inférieurs à un certain entier naturel.Dans cet exposé, nous allons donner tous les nombres premiers de 1jusqu’à 100.

1 On écrit tous les nombres de 2 à 100.2 On entoure le premier nombre qui n’est pas barré (ici 2).3 On barre tous les multiples du nombre entouré (jusqu’à 100).4 On entoure le nombre suivant qui n’est pas barré.

5 et ainsi de suite. . .

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Description du crible

Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir par élimination, tous les nombrespremiers inférieurs à un certain entier naturel.Dans cet exposé, nous allons donner tous les nombres premiers de 1jusqu’à 100.

1 On écrit tous les nombres de 2 à 100.2 On entoure le premier nombre qui n’est pas barré (ici 2).3 On barre tous les multiples du nombre entouré (jusqu’à 100).4 On entoure le nombre suivant qui n’est pas barré.5 et ainsi de suite. . .

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2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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2 3 4 5 6 7 8 9 10

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61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

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2 3 4 5 6 7 8 9 10

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Les nombres premiers entre 1 et 100

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99100

Les nombres premiers entre 1 et100 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

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Sommaire

3 A la recherche des nombres premiersLe crible d’EratosthèneAutres techniques de recherche

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Test de divisibilité

Pour savoir si un nombre est premier avec certitude, on peut le diviser partous les nombres qui lui sont inférieurs. Pour des petits nombres et descalculs manuels, c’est une bonne méthode.Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.

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Test de divisibilité pour le nombre 101

Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.101 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.

101 n’est pas divisible par 3 car 1 + 0 + 1 = 2 n’est pas un nombremultiple de 3.101 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.101 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division euclidienne de101 par 7 est 3 (101 = 14 × 7 + 3).101 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division euclidienne de101 par 11 est 2 (101 = 9 × 11 + 2).On peut vérifier que 101 n’est pas divisible par les autres nombrespremiers inférieurs à 100.

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Test de divisibilité pour le nombre 101

Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.101 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.101 n’est pas divisible par 3 car 1 + 0 + 1 = 2 n’est pas un nombremultiple de 3.

101 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.101 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division euclidienne de101 par 7 est 3 (101 = 14 × 7 + 3).101 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division euclidienne de101 par 11 est 2 (101 = 9 × 11 + 2).On peut vérifier que 101 n’est pas divisible par les autres nombrespremiers inférieurs à 100.

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Test de divisibilité pour le nombre 101

Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.101 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.101 n’est pas divisible par 3 car 1 + 0 + 1 = 2 n’est pas un nombremultiple de 3.101 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.

101 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division euclidienne de101 par 7 est 3 (101 = 14 × 7 + 3).101 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division euclidienne de101 par 11 est 2 (101 = 9 × 11 + 2).On peut vérifier que 101 n’est pas divisible par les autres nombrespremiers inférieurs à 100.

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Test de divisibilité pour le nombre 101

Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.101 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.101 n’est pas divisible par 3 car 1 + 0 + 1 = 2 n’est pas un nombremultiple de 3.101 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.101 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division euclidienne de101 par 7 est 3 (101 = 14 × 7 + 3).

101 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division euclidienne de101 par 11 est 2 (101 = 9 × 11 + 2).On peut vérifier que 101 n’est pas divisible par les autres nombrespremiers inférieurs à 100.

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Test de divisibilité pour le nombre 101

Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.101 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.101 n’est pas divisible par 3 car 1 + 0 + 1 = 2 n’est pas un nombremultiple de 3.101 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.101 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division euclidienne de101 par 7 est 3 (101 = 14 × 7 + 3).101 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division euclidienne de101 par 11 est 2 (101 = 9 × 11 + 2).

On peut vérifier que 101 n’est pas divisible par les autres nombrespremiers inférieurs à 100.

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Test de divisibilité pour le nombre 101

Par exemple, on veut savoir si 101 est un nombre premier ou composé.101 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.101 n’est pas divisible par 3 car 1 + 0 + 1 = 2 n’est pas un nombremultiple de 3.101 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5.101 n’est pas divisible par 7 car le reste de la division euclidienne de101 par 7 est 3 (101 = 14 × 7 + 3).101 n’est pas divisible par 11 car le reste de la division euclidienne de101 par 11 est 2 (101 = 9 × 11 + 2).On peut vérifier que 101 n’est pas divisible par les autres nombrespremiers inférieurs à 100.

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Sur Internet

Pour tester si un nombre compris entre 0 et 500 000 est un nombrepremier ou non, on peut utiliser le site :http://www.nombres-premiers.fr/

Sinon, on peut utiliser XcasEnLigne (interface Xcas - logiciel de calcul- sur Internet) en mode console et en utilisant la commande isprime

Exemple (sur XcasEnLigne) : isprime(128348231)

faux

Le nombre 128348231 n’est pas un nombre premier. En effet,128348231 = 11 × 11668021.

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Sur Internet

Pour tester si un nombre compris entre 0 et 500 000 est un nombrepremier ou non, on peut utiliser le site :http://www.nombres-premiers.fr/

Sinon, on peut utiliser XcasEnLigne (interface Xcas - logiciel de calcul- sur Internet) en mode console et en utilisant la commande isprime

Exemple (sur XcasEnLigne) : isprime(128348231)

faux

Le nombre 128348231 n’est pas un nombre premier. En effet,128348231 = 11 × 11668021.

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Sur Internet

Pour tester si un nombre compris entre 0 et 500 000 est un nombrepremier ou non, on peut utiliser le site :http://www.nombres-premiers.fr/

Sinon, on peut utiliser XcasEnLigne (interface Xcas - logiciel de calcul- sur Internet) en mode console et en utilisant la commande isprime

Exemple (sur XcasEnLigne) : isprime(128348231)

faux

Le nombre 128348231 n’est pas un nombre premier. En effet,128348231 = 11 × 11668021.

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Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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Sommaire

4 L’art et les nombres premiersLa spirale d’Ulam

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Ulam et sa spirale

En 1963, lors d’une conférence demathématiques, le mathématicienStanislaw Marcin Ulam (1909-1984) d’origine polonaise, s’en-nuyant devant « un exposé trèslong et très ennuyeux » écrit lesnombres entiers en spirale (com-mençant par 1) et il effaça de cettespirale les nombres qui n’étaientpas premiers.

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Petite spirale

Voici l’allure de la spirale pour les nombres de 1 à 400.

On remarque que les carrés coloriés en jaune forment des diagonales.M. Boulonne - http://cbmaths.fr L’univers des nombres premiers 29 juin 2015 39 / 46

Spirale d’Ulam avec 40000 nombresLes remarques précédentes se confirment quand on effectue la spiraled’Ulam pour les 40000 premiers nombres entiers naturels. Les nombrespremiers sont représentés par des points noirs.

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Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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Décomposition d’un nombre entier naturel

Décomposition d’un nombre entier naturelTout entier naturel peut être écrit comme un produit de nombres premiers.

Ce théorème s’appelle aussi le Théorème fondamental de l’arithmétique.

Exemple

1200 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5.

ou avec une écriture sous forme de puissances (vue en classe de 4e)

1200 = 24 × 3 × 52.

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Décomposition d’un nombre entier naturel

Décomposition d’un nombre entier naturelTout entier naturel peut être écrit comme un produit de nombres premiers.

Ce théorème s’appelle aussi le Théorème fondamental de l’arithmétique.

Exemple

1200 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5.

ou avec une écriture sous forme de puissances (vue en classe de 4e)

1200 = 24 × 3 × 52.

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Nombre de diviseurs du nombre 1200

Nombre de diviseurs d’un nombre entierSoit n un nombre naturel se décomposant de cette manière :

n = Aa × Bb × Cc × · · ·

Le nombre τ(n) de diviseurs du nombre n se calcule de la façon suivante :

τ(n) = (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) · · ·

ExempleComme :

1200 = 24 × 3 × 52.

le nombre de diviseurs de 1200 est égal à :

τ(n) = 5 × 2 × 3 = 10 × 3 = 30.

Les diviseurs de 1200 sont :1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25

30, 40, 48, 50, 60, 75, 80, 100, 120, 150, 200, 240

300, 400, 600, 1200

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Nombre de diviseurs du nombre 1200

Nombre de diviseurs d’un nombre entierSoit n un nombre naturel se décomposant de cette manière :

n = Aa × Bb × Cc × · · ·

Le nombre τ(n) de diviseurs du nombre n se calcule de la façon suivante :

τ(n) = (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) · · ·

ExempleComme :

1200 = 24 × 3 × 52.

le nombre de diviseurs de 1200 est égal à :

τ(n) = 5 × 2 × 3 = 10 × 3 = 30.

Les diviseurs de 1200 sont :1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25

30, 40, 48, 50, 60, 75, 80, 100, 120, 150, 200, 240

300, 400, 600, 1200

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Spirale des diviseurs des 100 000 premiers nombres entiersnaturelsPour finir l’exposé, voici la spirale des diviseurs des 100 000 premiersnombres entiers naturels. Pour chaque nombre, on a compté le nombre dediviseurs avec la formule vue précédemment et on a tracé un disque dediamètre égal à son nombre de diviseurs. Les nombres premiers sont doncreprésentés par un disque de diamètre 2.

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Sommaire

1 Divisibilité

2 Nombres premiers

3 A la recherche des nombres premiers

4 L’art et les nombres premiers

5 Décomposition d’un nombre entier et nombre de diviseurs

6 Sources bibilographiques

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

Crible d’Ératosthène. Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Ératosthène, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Stanislaw Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Spirale d’Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

G. Villemin, Diviseurs, http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivQte.htm

G. Villemin, SPIRALES des nombres PREMIERS, Spirales d’Ulam,http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Ulam.htm

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

Crible d’Ératosthène. Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Ératosthène, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Stanislaw Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Spirale d’Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

G. Villemin, Diviseurs, http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivQte.htm

G. Villemin, SPIRALES des nombres PREMIERS, Spirales d’Ulam,http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Ulam.htm

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

Crible d’Ératosthène. Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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Stanislaw Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

Crible d’Ératosthène. Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Ératosthène, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Stanislaw Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Spirale d’Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

G. Villemin, Diviseurs, http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivQte.htm

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

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Ératosthène, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Stanislaw Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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G. Villemin, Diviseurs, http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivQte.htm

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

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Ératosthène, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

Stanislaw Ulam, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

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G. Villemin, Diviseurs, http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/APROF/DivQte.htm

G. Villemin, SPIRALES des nombres PREMIERS, Spirales d’Ulam,http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Ulam.htm

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E. Gracián, Les Nombres premiers, un long chemin vers l’infini, Lemonde est mathématique, 2011.

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