DÉRIVATION ARITHMÉTIQUEPartie 1

Clément Boulonne

20 décembre 2014

RésuméUn article [1] dans la brochure APMEP no 501 de Novembre-Décembre

2012 m’a fortement intéressé sur la construction d’une dérivée arithmé-tique d’un nombre. L’auteur de l’article commence son article par uneerreur « classique » d’élèves quand vient la dérivation des fonctions etconclut sur l’impossibilité de deriver tous les nombres réels.

Je vais essayer, dans cet article, d’appuyer cet argument d’impossibi-lité de dériver tous les nombres réels par une propriété liant les nombresrationnels et les nombres irrationnels.

A Dérivation d’entier naturel, rappels de for-mules

Soit P l’ensemble des nombres premiers. On définit dans [1] une « dériva-tion » D, sur l’ensemble des entiers naturels non nuls en imposant :

1. D(0) = D(1) = 0 ;2. D(p) = 1, pour tout p ∈ P ;3. la relation de Leibniz

D(ab) = D(a)b+ aD(b) (1)

pour tous entiers a et b.On notera, pour simplifier, n′ l’entier D(n). On donne quelques exemples dedérivation.

Exemples A.1. 1. 2′ = 1 car 2 ∈ P ;2. 4′ = (2× 2)′ = 2× 2′ + 2× 2′ = 2× 1 + 2× 1 = 4 ;3. 6′ = (2× 3)′ = 2× 1 + 3× 1 = 5 ;4. 12′ = 16.

On obtient la propriété suivante :

Propriété A.2. Pour tout n ∈ N∗, n′ 6= 0 si et seulement n > 1 et n′ = 1 si etseulement n ∈ P.

1

Bien entendu, le calcul de la derivée se complique quand l’entier n a beaucoupde facteurs premiers dans sa décomposition. On nous propose une formule quipermet de calculer (grâce à un algorithme par exemple) la dérivée arithmétiquede tout nombre entier naturel.

Propriété A.3. Si n se décompose :

n =k∏i=1

pαii

on a alors :

n′ = n

k∑i=1

αipi

(2)

où (pi) est la suite des nombres premiers et les αi des entiers naturels.

On peut alors proposer l’algorithme suivant programmé sur XCas :derivarthN (n):={

local m,p,L,D,N,s;si n == 0 ou n==1 alors

retourne (0)sinon

m := n;p := 2;s := 0;L := []; D := []; N:=[];

tantque p <= m fairetantque irem(m,p) == 0 faire

m := m/p;L := [op(L),p];

ftantquep := nextprime (p)

ftantquetantque nops(L) <> 0 faire

D := [op(D),L(1)]t := count_eq (L(1),L)N := [op(N),t]pour k de 1 jusque t faire

L := tail(L)fpour

ftantquepour k de 1 jusque nops(D) faire

s := s + N(k)/D(k)fpourretourne (n*s)fsi }:;

On peut tester le programme avec les résultats trouvés en exemple A.1

2

derivarthN (2)1

derivarthN (4)4

derivarthN (6)5

derivarthN (12)16

Grâce à ce petit programme, nous pouvons établir le tableau (qui nous serviraplus tard dans l’article) des dérivées des 100 premiers nombres entiers et desnombres de la forme 10k avec k ∈ N (voir figure 1 et 2).

Remarque A.4. ATTENTION ! La formule (a+b)′ = a′+b′ n’est pas valable.Le contre-exemple le plus simple est le suivant : 4′ = (2+2)′(= 4) 6= 2′+2′(= 2).

B Dérivée arithmétique dans Z et QLa construction de la dérivée arithmétique ne s’arrête pas à l’ensemble N.

Au contraire, elle s’étend sur Z et Q.

B.1 Le cas de ZPropriété B.1. Pour tout x ∈ N∗,

(−x)′ = −x′. (3)

Démonstration, [1]. On a, tout d’abord, (−1)2 = 1 et (x2)′ = (xx)′ = xx′ +xx′ = 2xx′. D’où :

[(−1)2]′ = 2(−1)(−1)′ = 1′ = 0⇔ (−1)′ = 0−2 = 0.

Ensuite, on applique la formule de Leibniz en remarquant que, pour tout x ∈ N∗,−x = (−1)x. Donc :

(−x)′ = ((−1)x′) = 0× x+ (−1)x′ = −x′

Exemples B.2. — (−7)′ = −1— (−100)′ = −140

Sur XCas, on peut obtenir la dérivée arithmétique d’un élément de Z à partirde derivarthN.derivarthZ (a) := {si a <> 0 alors

retourne (a* derivarthN (abs(a))/ abs(a))sinon

retourne (0)fsi }:;

3

Nombre Décomposition Dérivée1 1 02 2 13 3 14 22 45 5 16 2 · 3 57 7 18 23 129 32 610 2 · 5 711 11 112 22 · 3 1613 13 114 2 · 7 915 3 · 5 816 24 3217 17 118 2 · 32 2119 19 120 22 · 5 2421 3 · 7 1022 2 · 11 1323 23 124 23 · 3 4425 52 1026 2 · 13 1527 33 2728 22 · 7 3229 29 130 2 · 3 · 5 3131 31 132 25 8033 3 · 11 1434 2 · 17 1935 5 · 7 1236 22 · 32 6037 37 138 2 · 19 2139 3 · 13 1640 23 · 5 6841 41 142 2 · 3 · 7 4143 43 144 22 · 11 4845 32 · 5 3946 2 · 23 2547 47 148 24 · 3 11249 72 1450 2 · 52 45

Nombre Décomposition Dérivée51 3 · 17 2052 22 · 13 5653 53 154 2 · 33 8155 5 · 11 1656 23 · 7 9257 3 · 19 2258 2 · 29 3159 59 160 22 · 3 · 5 9261 61 162 2 · 31 3363 32 · 7 5164 26 19265 5 · 13 1866 2 · 3 · 11 6167 67 168 22 · 17 7269 3 · 23 2670 2 · 5 · 7 5971 71 172 23 · 32 15673 73 174 2 · 37 3975 3 · 52 5576 22 · 19 8077 7 · 11 1878 2 · 3 · 13 7179 79 180 24 · 5 17681 34 10882 2 · 41 4383 83 184 22 · 3 · 7 12485 5 · 17 2286 2 · 43 4587 3 · 29 3288 23 · 11 14089 89 190 2 · 32 · 5 12391 7 · 13 2092 22 · 23 9693 3 · 31 3494 2 · 47 4995 5 · 19 2496 25 · 3 27297 97 198 2 · 72 7799 32 · 11 75100 22 · 52 140

Figure 1 – Dérivée arithmétique des 100 premiers nombres entiers naturels

4

Puissance Nombre Décomposition Dérivée0 1 1 01 10 2 · 5 72 100 22 · 52 1403 1000 23 · 53 21004 10000 24 · 54 280005 100000 25 · 55 3500006 1000000 26 · 56 4200000

Plus généralement, on peut montrer que, pour tout k ∈ N∗ :

(10k)′ = 7k × 10k−1.

Figure 2 – Dérivée arithmétique des puissances de 10

B.2 Le cas de QOn rappelle la définition d’un nombre rationnel.

Définition B.3. Un nombre r est rationnel s’il existe deux entiers relatifs a etb (b non nul) tels que :

r = a

b.

Ainsi, tout nombre rationnel r s’écrit :

r =k∏i=1

pαii (αi ∈ Z),

on peut donc étendre naturellement la formule (2) aux nombres rationnels.

Définition B.4. Pour tout nombre rationnel r s’écrivant :

r =k∏i=1

pαii (αi ∈ Z),

sa dérivée r′ s’exprime de la manière suivante :

r′ = r

k∑i=1

αipi.

Propriété B.5. Pour tout n ∈ Z,(1n

)′= − n

′

n2 .

5

Démonstration. Soit n ∈ Z. On remarque que 1n = n−1. On utilise donc la

formule de Leibniz :

(n−1) = (−1)n′n−2 = − n′

n2 =(

1n

)′.

Propriété B.6. Pour tout a ∈ Z et b ∈ N∗,(ab

)′= a′b− ab′

b2 . (4)

Démonstration. Soit a ∈ Z et b ∈ N∗.(ab

)′= (ab−1)′ = a′b−1 + (b−1)′a = a′

b− b′

b2 a

= a′b

b2 −b′a

b2 = a′b− b′ab2 .

Exemples B.7. (107

)′= 10× 1− 7× 7

49 = −3949 .

(23

)′= 2× 1− 3× 1

9 = −19 .

Remarque B.8. La dérivée d’un nombre rationnel positif peut être négatif.

Propriété B.9. Soit cd = ka

kb avec PGCD(a,b) = 1. On a :( cd

)′=(ab

)′.

Démonstration.( cd

)′=(ka

kb

)′= (ka)′ × kb− (kb)′ × ka

(kb)2 = (k′a+ ka′)kb− (k′b+ kb′)kak2b2

= k′akb+ ka′kb− k′bka+ kb′ka

k2b2 = kk′ab− kk′ab+ k2(a′b+ ab′)k2b2

= k2(a′b+ ab′)k2b2 = a′b+ ab′

b2 .

Pour finir cette section, on donne un algorithme (figure 3) implémentablesur XCas qui utilise la procédure derivarthZ

6

derivarthQ (a,b):= {retourne (( derivarthZ (a)*b- derivarthZ (b)*a)/b^2)}:;

Figure 3 – Algorithme calculant la dérivée arithémtique d’un rationnel

B.3 Et les réels ?L’auteur de l’article [1] nous donne une formule pour la dérivée arithmétique

de nombres réels x s’écrivant :

x = ±k∏i=1

pαii (αi ∈ Q).

Cette dérivée x′ s’exprime de la manière suivante :

x′ = ±xk∑i=1

αipi.

Ainsi, pour√

2 =(21/2)′, on obtient :

√2′=(

21/2)′

=√

2122 = 1

2√

2.

Dans la suite du document, on note Dart l’ensemble des nombres dont ladérivée arithmétique existe.

Définition B.10 (Langage). On dit qu’un nombre a est arithmétiquementdérivable si a ∈ Dart.

C Formule de Leibniz généraliséeOn reprend la formule de Leibniz (1) :

(ab)′ = a′b+ b′a

et on va essayer de la généraliser de deux façons : avec un produit de plusieursnombres de Dart et avec des dérivées d’ordre supérieurs.

C.1 avec plusieurs nombres de Dart

Intéressons-nous à la formule de Leibniz avec trois nombres appartenant àDart. Notons tout d’abord le nombre d := ab. On connait grâce à la formule (1)sa dérivée :

d′ = a′b+ b′a.

7

On a alors :

(abc)′ = (dc′) = d′c+ c′d = (a′b+ ab′)c+ c′ab

= a′bc+ ab′c+ abc′

Ainsi, il est facile de voir une généralisation pour n nombres appartenant à Dart.

Propriété C.1. Soient a1, . . . ,an n nombres appartenant à Dart. La dérivéearithmétique du produit de ces n nombres est :

(a1 · · · an)′ =(

n∏i=1

ai

)=

n∑i=1

n∏j=1i6=j

a′iaj . (5)

Démonstration. Démonstration par récurrence en exercice.

La généralisation de la formule de Leibniz à plusieurs fonctions (5) nousdonne directement la formule de dérivation de puissances : il suffit de prendreai = a (pour tout 1 ≤ i ≤ k) et

(an)′ =n∏i=1

a′an−1 = na′an−1. (6)

C.2 de derivées d’ordre supérieursPropriété C.2. Soit a ∈ Dart. Alors a′ ∈ Dart.

Démonstration. Le cas dans N : Rappelons la propriété A.3 et la formule(2). Si n se décompose :

n =k∏i=1

pαii

on a alors :

n′ = n

k∑i=1

αipi

où (pi) est la suite des nombres premiers et les αi des entiers naturels.Montrons que n′ ∈ N. On a :

n′ =k∏j=1

pαj

j

(k∑i=1

αipi

).

On développe la somme :

n′ =k∑i=1

∏kj=1 p

αj

j αi

pi=

k∑i=1

∏kj=1 p

αj

j

piαi.

8

Si l’on divise par pi, le terme pαii (pour 1 ≤ i ≤ k) du numérateur devient

pαi−1i . D’où :

n′ = pα1−11

k∏j=2

pαj

j +k−1∑i=2

i−1∏j=1

pαj

j × pαi−1i ×

k∏j=i+1

pαj

j + pαk−1k

k−1∏j=1

pαj

j .

=k∑i=1

k∏j=1i6=j

pαi−1i p

αj

j

Ainsi, n′ est le produit de facteurs d’entiers naturels, n′ appartient doncà N.

Le cas dans Z : Soit x ∈ Z. On peut utiliser la formule (3) pour conclureque x′ ∈ Z.

Le cas dans Q : Soit r ∈ Q alors r = ab avec a ∈ Z et b ∈ N∗. On peut

utiliser la formule (4) pour conclure que r′ ∈ Q.Le cas de nombres irrationnels dans Dart : dans [1], on nous précise

que tout nombre de la forme x = ±∏ki=1 p

αii ∈ Dart peut se transformer

en un nombre du type ±(ab

)1/n. On donne un exemple :

2−4/5 × 32/7 × 5−3/2 × 71/4 = 32/7 × 71/4

24/5 × 53/2

= 38/28 × 77/28

28/10 × 515/10

=(38 × 77)1/28

(28 × 515)1/10

=( (

38 × 77)(28 × 515)

)1/140

On notera :Q =

{(ab

)1/n, a ∈ Z, b ∈ N∗, n ∈ N∗

}.

Soit r = ab ∈ Q et n ∈ N. On va dériver R = r1/n ∈ Q avec la formule de

dérivation des puissances :

R′ = (r1/n)′ = 1nr

1n−1r′.

Or :r

1n−1 = r1/nr−1 = r1/n

r= r1/n

rn/n=( rrn

)1/n

et rrn ∈ Q et 1

nr′ ∈ Q (voir le cas dans Q). D’où :

R′ = 1nr( rrn

)1/n=(

1nn

(r′)n rrn

)1/n

9

Donc la dérivée R′ appartient à Q.

Définition C.3 (Dérivées d’ordre supérieurs). Soit a ∈ Dart. On définit la suite(an) tel que : {

a0 = a

an = (an−1)′.

Le nombre an est appelée dérivée d’ordre n de a.

On notera, par la suite, :

a = a(0)

a′ = a(1)

(a′)′ = a(2)

[(a′)′]′ = a(3))

. . .

[(a′) · · · ]′ = a(n)

Conséquence C.4. Si a ∈ Dart alors, pour tout n ≥ 0, a(n) ∈ Dart.

C’est-à-dire qu’un nombre appartenant à Dart est infiniment arithmétique-ment dérivable et ses dérivées successives appartiennent à Dart.

Exemple C.5. Donné dans [1] :

16′ = 32 ; 16′′ = 16(2) = 32′ = 80 ; 16′′′ = 16(3) = 80′ = 176.

Ainsi, on peut étendre la formule de Leibniz (1) aux dérivées d’ordre supé-rieur.

(ab)(n) =n∑k=0

Ckna(k)g(n−k)

où Ckn sont les coefficients binomiaux :

Ckn = n!k!(n− k)! .

C.3 De la multiplication à l’additionEn construisant le tableau de la figure 1, j’ai remarqué que, quand un nombre

n s’écrit comme a×b, sa dérivée n′ = a+b. Ainsi, la dérivée d’un nombre entier dedeux facteurs premiers transforme, dans certains cas, le produit de ses facteurspremiers en une somme (un peu comme le logarithme 1 et l’exponentielle 2).Nous allons utiliser la formule (5) pour généraliser le résultat.

1. ln(ab) = ln a + ln b.2. ea+b = eaeb.

10

Propriété C.6 (Cas de deux facteurs premiers). Si n = p1p2 (où p1 et p2 sontdeux nomrbes premiers alors

n′ = p1 + p2

Démonstration. On utilise la formule de Leibniz (1) en se rappelant que toutedérivée arithmétique d’un nombre premier est égal à 1.

n′ = (p1p2)′ = p′1p2 + p′2p1 = p2 + p1.

Propriété C.7. Si

n =k∏i=1

pi.

alors sa dérivée n′ est égale :

n′ =k∑i=1

k∏j=1i6=j

pj .

Démonstration. On utilise la formule de Leibniz généralisée à plusieurs nombresarithmétiquement dérivables.

n′ =(

n∏i=1

pi

)′=

k∑i=1

k∏j=1i6=j

p′ipj .

Or pi étant un nombre premier ainsi p′i = 1. Il nous reste donc :

n′ =k∑i=1

k∏j=1i6=j

pj .

Exemples C.8. — (15)′ = (3× 5)′ = 3 + 5 = 8.— (77)′ = (7× 11)′ = 7 + 11 = 18— (165)′ = (11× 3× 5)′ = 11× 3 + 11× 5 + 3× 5 = 33 + 55 + 15 = 103.

Remarque C.9. On prend n = 70 = 2× 5× 7.

(70)′1 = (2× 35)′ = 35′ × 2 + 2′ × 35 = 2× 12 + 35 = 35 + 24 = 59.

(70)′2 = (7× 10)′ = 7′ × 10 + 10′ × 7 = 10 + 49 = 59.

(70)′1 = (70)

′2 = 70′.

Donc peu importe la manière dont on décompose un nombre n en produit, ladérivée reste la même !

11

C.4 Vers la formule de dérivation arithmétique dans NEn généralisant la formule à tout entier naturel s’écrivant de la forme n =∏k

i=1 pαii , on obtient et on démontre rigoureusement la formule (2).

Propriété C.10 (Formule générale). Si n =∏ki=1 p

αii alors :

n′ =k∑i=1

k∏j 6=1i6=j

αipαi−1i p

αj

j .

Démonstration. On peut reprendre la démonstration de la propriété C.7 enutilisant cette fois-ci la formule (6) de dérivation arithmétique de puissance.

En remarquant que :pαi−1i p

αj

j = n

pi,

on obtient la formule (2) de dérivation d’un nombre entier naturel :

n′ = n

k∑i=1

αipi.

A suivre !

Références[1] R. Choulet, Dérivée arithmétique d’un nombre, brochure APMEP no 501,

Novembre-Décembre 2012.

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