Lycée J-B Schwilgué - SELESTAT

GROSSHENY L.

Terminale S

Chapitre 12 Les systèmes mécaniques oscillants.

I. Exemples de systèmes oscillants. 1. L’oscillateur.

On appelle oscillateur (ou système oscillant) un système pouvant évoluer, du fait de ses caractéristiques propres, de façon périodique et alternative autour d’une position d’équilibre. Un système oscillant est donc caractérisé par sa période ou pseudo-période.

Exemples :

• Pendule pesant • Pendule élastique vertical • Balançoire • Les marées • Diapason • Instrument de musique (vibration des cordes, de l’air, de l’embouchure).

2. Quelle grandeur suivre pour étudier un oscillateur ?

La grandeur oscillante intervenant dans les équations est l’écart à l’équilibre. C’est une grandeur algébrique, repérée par l’abscisse angulaire (t) . Dans le cas d’oscillation sans amortissement, l’abscisse angulaire θ est une fonction sinusoïdale du temps :

θ = θ m.sin(To

π2+ξ )

La valeur positive extrême (ou maximale) prise par l’abscisse angulaire est appelée amplitude de l’oscillation.

3. Oscillateurs amortis. • Savoir comment un système peut atteindre un régime apériodique.

Certains oscillateurs subissent à cause des frottements un amortissement. On observe (comme en électricité) un régime pseudo-périodique lorsque l’amortissement est faible, ou un régime apériodique.

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II. Etude du pendule. 1. Le pendule à l’équilibre.

• Définir un pendule simple. • Justifier la position d’équilibre dans le cas d’un pendule simple. • Définir l’écart à l’équilibre, l’abscisse angulaire, l’amplitude, la pseudo-période, la période propre et les mesurer

sur un enregistrement.

Un pendule simple est un oscillateur élémentaire. C’est un modèle idéalisé du pendule pesant dans lequel la masse suspendue peut être considérée comme ponctuelle (le diamètre de la masse est très petit par rapport à la longueur du pendule). A l'équilibre, le fil qui supporte le solide S est vertical. Cette position d'équilibre est stable.

A l’équilibre, P + F = 0 Ecarté de la verticale et lâché sans vitesse, un pendule simple oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre. Son mouvement est plan.

2. L’isochronisme des petites oscillations. • Enoncer la loi d’isochronisme des petites oscillations.

Lorsqu’on écarte un pendule pesant ou un pendule simple de sa position d’équilibre d’une abscisse angulaire 0 et qu’on l’abandonne à lui-même, on constate que, pour des valeurs de 0 n’excédant pas vingt degrés, celui-ci effectue des oscillations libres dont la période T est indépendante de 0. On dit que le pendule simple et le pendule pesant vérifient la loi d’isochronisme des petites oscillations.

3. Expression de la période propre du pendule. • Savoir que dans le cas d’un amortissement faible, la pseudo-période est voisine de la période propre. • Pour un pendule simple, justifier la forme de l’expression de la période propre par analyse dimensionnelle. • À partir d’une série de résultats expérimentaux, vérifier la validité de l’expression de la période propre d’un pendule

simple. Dans le cas du pendule simple sans frottement, la période des oscillations To est appelée période propre.

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L’expérience montre qu’elle ne dépend pas de la masse du pendule mais qu’elle est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du pendule et qu’elle est inversement proportionnelle à la racine carrée de l’intensité de la pesanteur ( gravité g ) : On vérifie la relation

l est la longueur du fil (en mètre) g est l’intensité de pesanteur en m/s².

Comment montrer que g

lcorrespond à un temps ?

la dimension de g correspond à la dimension d’une longueur sur la dimension d’un temps au carré [g ] = [ L ] / [ t ]² la dimension de l est une longueur

donc : ]²[][

]²[*][

][

][t

L

tL

g

L == donc To à la dimension d’un temps.

4. Comment mettre un pendule en oscillation forcées ?

Expérience des 3 pendules (2 de même longueur et un plus petit). Le système qui impose sa fréquence est l’excitateur. Le pendule qui est mis en oscillation forcées est appelé le résonateur. Lorsqu’un pendule est soumis à des actions périodiques d’un système extérieur, la période des oscillations est imposée par l’excitateur. A la résonance, l’amplitude des oscillations est maximale. Pour un oscillateur peu amorti, la résonance a lieu pour une période voisine de sa période propre.

L’amplitude peut être tellement grande qu’elle devient destructrice (pont Tacoma).

To = 2. π . g

l

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III. Etude de l’oscillateur : solide + ressort. 1. Force exercée par un ressort. • Connaître les caractéristiques de la force de rappel exercée par un ressort.

On accroche à un ressort un solide (S). La position du solide est repérée par l’abscisse x(t) de son centre de gravité. On prend comme centre O de l’axe la position du ressort à l’équilibre : l’abscisse x(t) correspond donc au déplacement du solide (S).

Le ressort est étiré : x(t) > 0 La force de rappel est dirigée vers le mur (gauche) Le ressort est compressé : x(t) < 0 La force de rappel est dirigée vers la droite.

La force exercée par le ressort sur le solide (S) appelée force de rappel F est tel que : Direction : celle du ressort Sens : opposée à la déformation du ressort Norme : F = k .x avec k : constante de raideur en N/m

Le vecteur force de rappel est : F = - k.x. i

ne pas confondre la force de rappel exercée par la ressort qui est défini par rapport à la position d’équilibre ressort+solide (vu ci-dessus) et la tension du ressort défini par rapport à la position d’équilibre du ressort sans solide : T = k (L-Lo) où Lo correspond à la longueur du ressort à vide et L la longueur du ressort avec le solide ;

2. Etude théorique d’un pendule élastique horizontal. • Appliquer la deuxième loi de Newton au solide et effectuer la résolution analytique dans le cas d’un dispositif oscillant horizontalement. • Connaître la signification de tous les termes intervenant dans la solution de l’équation différentielle et leur unité. • Connaître et savoir exploiter l’expression de la période propre, vérifier son homogénéité par analyse dimensionnelle

Le solide (S) étudié dans un référentiel terrestre supposé galiléen est soumis à son poids, à la réaction du sol, à la force de rappel du ressort et à la force de frottement. Selon l’intensité des frottements, on aura plusieurs régimes : régime apériodique, régime critique, régime pseudo-périodique, régime périodique. Dasn notre cas, on suppose f = 0.

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Appliquons le théorème du centre d’inertie au système (S): ∑ F = m.a

Projetons cette relation vectorielle sur l’axe Ox : m..ax = -k.x soit ²

²

dt

xd + m

k .x = 0

Cette équation correspond à une équation différentielle du second ordre. La solution de cette équation est l’équation horaire d’un mouvement libre non amorti. Elle est de la

forme : x(t) = Xm . cos (To

π.2 .t + ϕ ).

Vérifions que x(t) est solution de l’équation différentielle.

On obtient : Xm.cos (To

π.2 .t + ϕ ).(²

².4

To

π - m

k )= 0

Donc x(t) est solution si : ²

².4

To

π -m

k = 0 soit To =2.π .k

m

L’expérience montre que la période est proportionnelle à la racine carrée de la masse et qu’elle est inversement proportionnelle à la racine carrée de la raideur du ressort.

Comment montrer que k

m correspond à un temps ?

• la dimension de m correspond à la dimension d’une masse • la dimension de k correspond à la dimensions d’une force sur la dimension d’une longueur

donc : ][

][*][

]/[][

][

N

mL

LN

m =

• la dimension d’une force correspond à la dimension d’une masse multiplié par la dimension de l’accélération (dimension d’une longueur divisée par la dimension d’un temps au carré).

Donc : ][

][*][

]/[][

][

N

mL

LN

m = = ]²/[]].[[

][*][

tLm

mL = [t]² donc T correspond bien à un temps

Comment déterminer les valeurs de Xm et ϕ ?

On utilise les conditions initiales : à t = 0 s v(0) = 0 ( qui impose ici 0 = 0 radian ). x(0) = x0 ( qui impose ici Xm = x0 )

III. Etude de système oscillant subissant une action extérieur. • Savoir que la résonance mécanique se produit lorsque la période de l’excitateur est voisine de la période

propre du résonateur • Savoir que l’augmentation de l’amortissement provoque une diminution de l’amplitude • Connaître des exemples de résonance mécanique.

1. Influence d’une force de frottement.

Montrer avec Pendulor l’influence de l’amortissement. Lorsque l’amortissement augmente, l’amplitude des oscillations diminue, la pseudo-période reste constante.

On montre expérimentalement l’existence de 2 types de

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frottements : • Frottement fluide • Frottement solide

2. Influence d’un excitateur. Lorsque l’on relie un système augmentant l’amplitude du système étudié, le système augmentant l’amplitude est appelé excitateur et le système étudié est appelé résonateur. Lorsque l’excitateur est à la fréquence propre ( f=fo = 1/To), l’amplitude atteinte par le résonateur est maximale : on dit que l’on est à la résonance.