LYCEE DESSAIGNES ANNEE 2015/2016
INTERROGATIONS DE MATHEMATIQUES
SEMAINE N 22 DU 28/03/2016 AU
1/04/2016_________________________________________________________
ESPACES PREHILBERTIENS , ESPACES EUCLIDIENS
Endomorphismes symtriques : Sous-espace vectoriel S(E) des
endomorphismes symtriques. Caractrisation desprojecteurs
orthogonaux comme projecteurs symtriques Exemple des rflexions
(symtries orthogonales). Stabilit
de lorthogonal dun sous espace stable par un endomorphisme
symtrique.
Thorme spectral: tout endomorphisme symtrique dun espace
euclidien est diagonalisable dans une BON
Rem : La notion dadjoint est hors programme, ainsi que la notion
dendomorphismes symtrique positif.
Fonctions de plusieurs variables relles.
Lapplication f est dfinie sur un ouvert U de Rp valeurs dans Rn
( p, n 6 3 dans les applications)lorsque n = 1 : Drive de f en un
point a de U selon un vecteur v 6= 0, cas particulier :drives
partielles f
xi(a).
Application de classe C1.Application diffrentiable en un point
a. Diffrentielle en a, de f note df(a). Dveloppement limit dordre 1
de fau point a. Thorme fondamental . si f est C1 sur U , elle est
diffrentiable en tout point a de U.lorsque n N: Fonctions
composantes , fonction de classe C1.Jacobienne J(f)(a) de f au
point a. Diffrentiablilitde la compose de deux applications de
classe C1 : formule d(gof)(a) = d(g)(f(a))od(g)(a) Application
ladtermination de la Jacobienne J(gof)(a) laide de J(g)(f(a)) et de
J(f)(a).
Rgle de la chane: si f : U Rp valeurs dans Rq et g : Rq valeurs
dans R sont toutes deux de classe C1alors en notant x = (x1, ..,
xp) U, f(x) = f(x1, ..., xp) = (f1(x), ..., fq(x)) = y Rq et g(y) =
g(y1, .., yq) R.la fonction h = gof vrifie alors h(x1, .., xp) =
g((f1(x1, .., xp), ..., fq(x1, .., xp)) et h est de classe C
1 sur U.Elle vrifie pour tout j [[1, p]] et pour tout a = (a1,
..., ap) U :h
xj(a) =
xjg((f1(x1, .., xp), ..., fq(x1, .., xp))(a) =
qi=1
g
yi(f(a))
fixj
(a).
On insistera sur la connaissance et la comprhension de cette
rgle grce au lien avec le produit des deux Jacobiennes.
Applications: Point critique dune application diffrentiable.
Condition ncessaire dexistence dun extremum
local. Exemples de recherche dextremums globaux. Exemples
dquations aux drives partielles du premier
ordre
Questions de cours
1 Dfinition de la diffrentielle dune fonction f dfinie sur un
ouvert U de Rp valeurs dans R en a U :dmonstration de lunicit de
cette diffrentielle en cas dexistence.
2 f tant une fonction dfinie sur un ouvert U de Rp valeurs dans
R; f : x = (x1, .., xp) 7 f(x1, .., xp),a) dfinition de la drive
partielle de f par rapport xi comme la drive en t = 0 de la
fonction partielle/xi au pointa .
b) On suppose f diffrentiable en a U : dmonstration de la
formule fxi
(a) = df(a)(ei) puis expression de la
valeur de la diffrentielle de f en a au point h = (h1, .., hi)
laide des p relsf
xi(a), 1 6 j 6 p :
3 Dans le cas
f :Rp Rq
x = (x1, x2, .., xp) 7 f(x) = (f1(x), f2(x), .., fq(x))et g
:
Rq Ry = (y1, y2, ..., yq) 7 g(y1, y2, .., yq)
Diffrentielle de la compose de gof : formule gnrale ( sans
dmonstration) .Consquence pour le calcul des drives partielles de
gof laide de la Jacobienne de gof dans ce cas particulier
Enoncer et expliquer la rgle de la chane:
xjg((f1(x1, ..., xp), ..., fq(x1, ..., xp))(a) =
qi=1
g
yi(f(a))
fixj
(a).
4 Ex 57 analyse5 soit f S(E) alors
a) Les sous espaces-propres associs deux valeurs propres
distinctes de f sont orthogonaux.b) Lorthogonal dun sous espace
vectoriel de E stable par f est stable par f .
6 le polynme caractristique dune matrice symtrique relle est
scind sur R7 exercice 68 question 2 seulement.
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