MATHÉMATIQUES - cisad.adc.education.frcisad.adc.education.fr/eval/pages-00/telech/2nde/maths/mathprof.pdf · 1 Ministère de l'éducation nationale – Direction de la programmation

MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE

DIRECTION DE LA PROGRAMMATION ET DU DÉVELOPPEMENTMISSION DE L’ÉVALUATION

ÉVALUATION À L’ENTRÉE EN SECONDEGÉNÉRALE ET TECHNOLOGIQUE

MATHÉMATIQUES

Document à l’attention du professeur

SEPTEMBRE 2000

10A

1Ministère de l'éducation nationale – Direction de la programmation et du développement (DP&D)

PRINCIPES GÉNÉRAUX

INTRODUCTION

L’évaluation à l’entrée en seconde, en vigueur depuis 1992 et dont l’importance est réaffirméedans la charte des lycées et dans le texte concernant la réforme des lycées mise en place à la rentrée1999, concerne tous les élèves de l’enseignement public et privé sous contrat. Elle permet auxenseignants de recueillir des informations sur un ensemble non exhaustif de compétences et desavoir-faire de chaque élève. Ces capacités et compétences évaluées ont été choisies par lesgroupes nationaux, en référence aux objectifs des programmes des classes de seconde générale ettechnologique et de façon à être pertinentes avec un mode d’évaluation simple (individuelle,papier/crayon). Les activités proposées dans les cahiers des différentes disciplines permettent d’observer les compétences des élèves à mettre en œuvre leurs connaissances. Cette évaluation n’estpas un bilan de fin de 3e, mais une évaluation diagnostique et pronostique destinée à aider lesenseignants à apprécier l’adéquation de chaque élève avec les objectifs de la classe de seconde.Elle vise à faciliter la mise en œuvre des modules et de l’aide individualisée afin de répondre aumieux aux besoins des élèves dans leur diversité.

Cependant, la révision régulière des groupes, la réflexion sur les objectifs visés, le repéragedes besoins des élèves ne peuvent s’appuyer tout au long de l’année sur l’évaluation de septembreet nécessitent par ailleurs, l’utilisation d’autres évaluations par compétences. C’est pourquoil’évaluation en seconde comporte deux volets complémentaires :

- à la rentrée scolaire, l’évaluation qui reste nationale, systématique et obligatoire ;- en cours d’année, les outils d’aide à l’évaluation en utilisation libre par les enseignants.

Les différents volumes de cette banque d’exercices, intitulée « aide à l’évaluation », ont étémis à la disposition des enseignants, en janvier 1998, par l’intermédiaire des chefs d’établissementdes lycées publics et privés sous contrat. A partir du mois de septembre 2000, les outils d’aide àl’évaluation existants seront progressivement mis à la disposition des enseignants sur un serveurInternet du Ministère de l’éducation nationale.

LES DISCIPLINES ET LES INSTRUMENTS D’ÉVALUATION

Les disciplines évaluées à l’entrée en seconde générale et technologique sont comme chaqueannée le français, les mathématiques, l’histoire et la géographie, la première langue vivante (anglaiset allemand) dans les lycées d’enseignement général et technologique.

Il est prévu pour chaque discipline un cahier par élève et un livret pour l’enseignant. Enlangues vivantes, des cassettes audio permettent de tester la compréhension de l’oral.

Dans un souci d’allègement du dispositif, certaines compétences ne sont pas évaluées endébut d’année, et l’utilisation des banques d’outils d’aide à l’évaluation permet aux enseignants decompléter leur évaluation en cours d’année.

Les livrets destinés aux enseignants contiennent, outre les objectifs associés à chaqueexercice, les consignes de codage et les commentaires pédagogiques, des pistes d’interprétation desrésultats et des suggestions d’activités pédagogiques déjà construites, à mettre en œuvre en coursavec toute la classe, ou en séquence modulaire.

Tous ces documents ont été élaborés, sous la responsabilité de la Direction de laprogrammation et du développement, de la Direction de l’enseignement scolaire, et de l’InspectionGénérale par des groupes de travail disciplinaires composés de professeurs des différents corpsenseignant en lycée ou en collège, issus de différentes académies et de membres des corpsd’inspection (Inspecteurs généraux ; Inspecteurs d’Académie - Inspecteurs pédagogiquesrégionaux).

Les résultats d’un échantillon national représentatif d’élèves seront analysés à nouveau enseptembre 2000, et mis à disposition des recteurs à la fin de l’année 2000. Ces données permettent


aux enseignants de comparer les résultats de leurs élèves à ceux d’un échantillon représentatifaléatoire d’élèves de métropole, à des fins d’adaptation pédagogique. Les comparaisons avec lesrésultats des années précédentes ne sont absolument pas pertinentes puisque les outils d’évaluationutilisés sont différents d’une année à l’autre.

L’ ORGANISATION

Au niveau de l’établissement, l’organisation interne de l’évaluation relève de la responsabilitédes chefs d’établissement dans le respect du calendrier national et d’éventuelles dispositions fixéespar les Recteurs d’Académie.

Un temps de passation est proposé dans le document à l’attention du professeur concerné pardiscipline. Cependant, cette évaluation ayant une visée diagnostique, les durées de passationpeuvent être adaptées en fonction des publics concernés, sauf spécification contraire. La plupart desépreuves se déroulent maintenant en deux séquences, pour éviter la lassitude des élèves et permettrede cerner au mieux les points forts et les points faibles de chacun. Pour le déroulement de chaqueépreuve, et son utilisation optimale, il convient de suivre les conseils, propres à chaque discipline.C’est pourquoi il est très important que chaque enseignant prenne connaissance du contenu del’évaluation dès la pré - rentrée.

Il est vivement recommandé que la passation des épreuves s’effectue dans le cadre descours, en présence du professeur de la discipline afin d’éviter que cette opération ne s’identifie àun examen. Les élèves doivent pouvoir profiter de cette évaluation pour faire le point avec leurprofesseur sur leurs forces et faiblesses. Il est conseillé de les associer aux opérations de codage etd’exploitation des résultats lorsque cela est possible. Il est essentiel de veiller à ce que les objectifsde l’évaluation leur soient présentés de façon simple et rassurante. Le tableau des compétencesévaluées figure pour chaque discipline sur la couverture du cahier de l’élève ; il pourra, avecprofit, être commenté et mis en relation avec les résultats obtenus. Les cahiers seront remis auxélèves à l’issue de l’opération, comme tout autre devoir individuel, afin qu’ils puissent s’y référer sibesoin est, tout au long de l’année.

L’ EXPLOITATION DES RÉSULTATS

L’exploitation et l’analyse des résultats seront facilitées par l’utilisation du logicielEVAREM. Ce logiciel - version Windows - sera transmis aux établissements par les centres deressources informatiques académiques (CRIA).

Les enseignants pourront certes envisager de continuer à effectuer un traitement manuel desrésultats sans avoir recours à EVAREM. Il convient cependant d’insister ici sur l’apportpédagogique de ce logiciel dans la mise en place des modules : le logiciel permet en effet de cerner,rapidement et de manière synthétique, l’hétérogénéité du groupe classe en s’appuyant sur lesregroupements d’items prévus dans l’évaluation ; cela n’empêche pas l’enseignant d’opérer, s’il lesouhaite, ses propres regroupements.

Pour la présentation détaillée de l’ensemble du dispositif, il convient de se reporter à lacirculaire parue le 29 juin 2000 au Bulletin officiel de l’Éducation nationale, intitulée :Évaluation en seconde, année scolaire 2000 - 2001.


SOMMAIRE

ÉVALUATION EN MATHÉMATIQUES À L'ENTRÉE EN SECONDE

OBJECTIFS DE CETTE ÉVALUATION…………………………………………… page 4

PRÉSENTATION DU CAHIER PROFESSEUR…………………………………… page 4

CONSIGNES DE PASSATION…………………………………………………….…. page 5

CODAGE DES TRAVAUX ÉLÈVES………………………………………………… page 5

ORGANISATION POSSIBLE DE L'AIDE AUX ÉLÈVES………………………... page 6

PRÉSENTATION DE L'EXERCICE

REPÉRAGE DES COMPÉTENCES ET CONSIGNES DE CODAGE

PISTES ÉVENTUELLES POUR L'AIDE INDIVIDUALISÉE

EXERCICE 1………………………………………………………………………….. page 7

PISTES POUR L'AIDE INDIVIDUALISÉE…………………………………… pages 8 à 10

EXERCICE 2………………………………………………………………………….. page 11

EXERCICE 3………………………………………………………………………….. pages 12 et 13

EXERCICE 4………………………………………………………………………….. page 14

PISTES POUR L'AIDE INDIVIDUALISÉE…………………………………… pages 15 à 16

EXERCICE 5………………………………………………………………………….. page 17

EXERCICE 6…………………………………………………………………………… page 18

EXERCICE 7…………………………………………………………………………… page 19

EXERCICE 8…………………………………………………………………………... pages 20 et 21

EXERCICE 9…………………………………………………………………………… page 22

TABLEAU DES CAPACITÉS ET COMPÉTENCES………………………………. page 23

TABLEAU RÉCAPITULATIF DES RÉSULTATS DE LA CLASSE……………. pages centrales

UTILISATION DU LOGICIEL EVAREM………………………………………… pages centrales


L’ÉVALUATION EN MATHÉMATIQUES À L’ENTRÉE EN SECONDE

OBJECTIFS DE L'ÉVALUATION

L'évaluation à l'entrée en seconde a pour but d’aider les enseignants à tester le degréd'acquisition de certaines compétences par leurs élèves. Dès le début d’année, ils peuvent s’appuyersur les résultats de cette évaluation pour gérer l’hétérogénéité de leur classe et constituer desgroupes de modules et d’aide individualisée. Il est évident que l'évaluation de début d'année nesaurait se substituer à leur savoir-faire propre, mais qu'elle est un outil supplémentaire qui peut lesaider à organiser leur enseignement.

Un tableau synoptique des compétences évaluées figure dans le cahier élève et dans le cahierprofesseur. Les choix faits ne correspondent pas à une hiérarchisation des compétences. Ils nevisent ni à l'exhaustivité, ni à la construction de normes de référence. Il est à noter que certainescompétences évaluées sont en cours d’acquisition à l’entrée en seconde.

L’évolution amorcée dans le protocole 1999 pour repérer les besoins en vue de l’aideindividualisée se poursuit cette année. Dans un souci de meilleure lisibilité, le protocole 2000 estconstitué de deux parties aux finalités distinctes :• une première partie destinée au repérage des besoins des élèves auxquels on pourra répondre

plus spécifiquement en aide individualisée. Cette première partie est essentiellement centrée surles compétences « s’informer » et « exécuter » ; elle fait l’objet d’un regroupement d’items dansle logiciel EVAREM.

• une deuxième partie plus prospective sur laquelle le professeur pourra s’appuyer pour la gestiondes groupes de modules.

Cette partition théorique est fondée sur des choix tenant compte de l'expérimentation. Chaqueenseignant pourra adapter ses choix pédagogiques en fonction des résultats de l’évaluation dans sesclasses.

En cours d’année, il est possible d’utiliser dans la même optique les exercices des trois tomesde la banque d’items « Aide à l’évaluation seconde générale et technologique », en tenant comptedu nouveau programme de seconde.

Ces trois tomes publiés par la Direction de l’évaluation et de la prospective ont été distribuésaux professeurs de mathématiques, enseignant en seconde, en février 1998. Un projetd’informatisation de cette banque est en cours.

PRÉSENTATION DU CAHIER PROFESSEUR

Ce cahier comporte :

- les commentaires relatifs à chaque exercice (rappel de l'énoncé, présentation, compétences etcomposantes évaluées, consignes de codage, pistes éventuelles pour l'aide individualisée) ;

- un tableau situé dans l’encart central qui permet de récapituler les résultats de la classe ;

- un tableau situé page 23 (ainsi qu’en couverture du cahier élève) qui permet de repérer lenuméro des items par compétence évaluée, suivant le champ d’application utilisé. Le classement aété effectué en respectant l’intitulé des rubriques du nouveau programme de seconde.


CONSIGNES DE PASSATION

Matériel nécessaire : matériel habituel sans oublier règle graduée, crayons de couleur (rouge,vert et bleu), compas et calculatrice.

Temps prévu : l’évaluation est composée de deux séances d'environ 45 minutes chacune. Il estsouhaitable que ces deux séances ne soient pas consécutives. Dans le cas contraire, il estindispensable de prévoir une pause les séparant nettement.

Tester la capacité à répondre en un temps limité n’est pas un objectif de cette évaluation ; il estdonc nécessaire que les élèves se sentent en confiance. Cependant si des questions surgissent durantl’évaluation, aucun élément susceptible d’orienter les réponses ne peut être fourni.

CODAGE DES TRAVAUX DES ÉLÈVES

Le codage est une prise d’informations en relation directe avec les critères d’évaluation choisis.

Il permet de faire une analyse des réponses à chaque item en se référant à l’objectif visé. Lasomme des réussites codées 1 ou 2 (utilisée par EVAREM pour le calcul du « pourcentage deréussite ») n’est pas le seul indicateur à prendre en compte. C’est principalement l’analyse deserreurs qui permet de cibler les difficultés des élèves afin de répondre à leurs besoins.

La signification générale des codes (normalisée pour toutes les disciplines évaluées) est lasuivante :

Code 1 Réponse exacte attendue : formulation attendue, réponse exhaustive,procédure induite par la consigne (l’objectif visé est atteint).

Code 2 Autre réponse exacte, formulation moins attendue, réponse partielle maisconsidérée comme suffisante.

Code 3 Réponse insuffisante sans élément erroné.

Code 4 Réponse insuffisante avec des éléments erronés.

Code 5 Réponse traduisant une mauvaise compréhension de la consigne.

Code 6, 7 ou 8 Erreur intéressante pédagogiquement exploitable.

Code 9 Autre réponse erronée (objectif non maîtrisé).

Code 0 Absence de réponse.

Dans le cahier de l’élève, les codes possibles sont indiqués en regard de chaque question.

Le professeur entoure un et un seul code correspondant à la réponse de l’élève.

L’élève trouvera sur son cahier, en page 16, une grille lui permettant de récapituler sesrésultats et de prendre conscience de ses points forts et de ses manques.


ORGANISATION POSSIBLE DE L'AIDE AUX ÉLÈVES

L'évaluation nationale permet aux enseignants de repérer les besoins des élèves suivant lesgrandes capacités répertoriées dans le tableau situé en fin de cahier.

La restitution des résultats des évaluations (avec par exemple comme support la grillerécapitulative individuelle figurant page 16 dans le cahier élève) pourra donner l'occasion d'associerl'élève aux diagnostics effectués et d'obtenir ainsi plus facilement son adhésion à un plan de travailindividualisé.

Les informations données par l'évaluation d'entrée pourront être complétées par d’autres,provenant par exemple :

- de l’utilisation de la banque d'exercices « Aide à l'évaluation » ;

- de l'observation des élèves et de leurs productions écrites ;

- d'un dialogue avec les élèves à propos de leurs difficultés...

En tenant compte de ces informations, il sera possible :

- d’établir un diagnostic sur les difficultés de l'élève et ses besoins ;

- de définir le type d'aide à mettre en place.

Le choix de l'aide individualisée ou de la séance modulaire pour répondre aux besoins repérésdépend évidemment des résultats dans une classe donnée.

Voici un exemple de stratégie :

Repérage des besoins et des points d'appui possibles

Par exemple : en utilisant un regroupement d'items de l'évaluation nationale.

Réponse en aide individualisée * Réponse différenciée en module

En classe entière- l'élève est mieux armé pour participer ;

- le professeur peut s'appuyer sur des acquis plus homogènes.

- si le diagnostic a besoin d'êtreaffiné par un dialogue avec l'élève ;- si la difficulté nécessite uneréponse individuelle.

- si les besoins repérés concernent ungroupe relativement homogène ;- si la réponse peut être apportéecollectivement.

*« L'aide individualisée est apportée à des élèves, constitués en petits groupes (huit élèves au maximum) qui rencontrent desdifficultés ponctuelles ou présentent des lacunes plus profondes que l'enseignement en module ne peut résoudre.

Cette aide doit permettre de redonner confiance aux élèves en leur offrant la possibilité, avec l'appui de leurs professeurs, des'interroger sur leurs difficultés et sur les méthodes qui leur sont proposées. De la sorte, ils sont ainsi mis en situation d'acquérir peuà peu une autonomie et de nouvelles compétences pour rentrer dans la nouvelle logique du travail qui leur est demandé. »

(Extrait du Bulletin Officiel n°21 du 27 Mai 1999).


EXERCICE 1

Compléter le tableau ci-dessous en suivant le modèle donné.On donnera toutes les valeurs de x qui conviennent.

Affirmation Traduction par une égalité Valeur(s) de x

Le triple du nombre x est égal à 15. 3x = 15. 51° Le double du nombre x est égal à 16.2° La moitié du nombre x est égale à 16.3° Le carré du nombre x est égal à 16.4° Le nombre x est égal à la racine carrée de 16.5° La somme de 4 et du produit de x par 4 est égale à 16.

Cet exercice et son codage ont été conçus pour repérer les élèves qui ont des difficultés à traduire untexte en langage algébrique. Il est possible que ceux qui contournent systématiquement cet obstacle utilisentpar exemple des procédures arithmétiques. Pour d’autres, il peut s’agir d’un problème de maîtrise duvocabulaire (confusion entre les mots double, moitié…) ou de compréhension du sens des opérations. Dansles deux cas, le dialogue qui pourra s'instaurer en aide individualisée permettra de préciser la nature et lasource des difficultés.

À noter que :

- l’objectif étant de repérer les élèves en difficulté sur la traduction en langage algébrique, pourl’item 3, la réponse 4 (oubli de la valeur -4) est considérée comme une réponse exacte ;

- l'équation obtenue à l'item 6 se retrouve à l'item 24.

CONSIGNES DE CODAGE.

ITEMCOMPÉTENCE

COMPOSANTE ÉVALUÉERÉPONSES CODE

2x = 16 et valeur 8. 11° 1

Rechercher l’information :

Traduire un texte en langage algébrique.Traduction fausse et valeur exacte. 4

12

x = 16 et valeur 32. 12° 2



x2 = 16 et valeurs 4 et –4. 1

x2 = 16 et valeur 4. 2 3° 3Rechercher l’information :


x = 16et valeur 4 (ou 16). 14° 4



5Rechercher l’information :

Traduire un texte en langage algébrique.4 + 4x = 16. 1

5°

6Exécuter :

Appliquer une technique.

Valeur 3 si l’équation proposée est correcteou

résolution correcte de l’équation proposée.1


Pistes pour l'aide individualisée.

Les pistes proposées ci-dessous peuvent être utilisées en aide individualisée, éventuellementaprès avoir été adaptées, selon les besoins des élèves. Grâce à différents supports, elles permettentde préparer et de développer la traduction en langage algébrique.

Piste 1. Visualiser pour résoudre. (Code 0 ou 9 aux items 1 à 5)

Le but de ces exercices est d'aider l'élève à visualiser des situations numériques ou algébriques simplesen utilisant un support géométrique.

À la fin des exercices, il est possible de revenir sur l'exercice 1 de l'évaluation en demandant aux élèvesde répondre à nouveau aux questions en passant par l'intermédiaire d'un schéma.

L’observation de l’élève facilitera le dialogue nécessaire pour mieux analyser ses difficultés.

1°a) Dessiner un segment [AC] dont la longueur est le

triple de celle du segment [AB].b) Si la mesure en centimètres du segment [AB]est 2, quelle est la mesure du segment [AC] ?c) Si la mesure en centimètres du segment [AB]est a, quelle est la mesure du segment [AC] ?

A B

2°L'aire du carré n° 1 est ………………………L'aire du carré n° 2 est ………………………L'aire du carré n° 3 est ………………………

Carré n°1 Carré n°2 Carré n°3

3 3ba

3°Le point M est le milieu du segment [AB].Quelle est la longueur du segment [AM] ? x y

A C M B

4°Quel est le périmètre du rectangle RECT ?

R T

CE y

x

5°Le triangle ISO est isocèle de sommet principal I.Quel est son périmètre ?

S

O

I x

y


Piste 2. Expressions, phrases et schémas.(Code 4 aux items 1 à 4)

Les élèves concernés n'ont pas su traduire des expressions des items 1 à 4 en langage algébrique.L'exercice suivant propose des expressions algébriques, des phrases en français traduisant ces expressionset des schémas les illustrant. Après découpage, il est demandé aux élèves de retrouver les expressions,phrases et schémas qui se correspondent.

L'observation du cheminement de chaque élève (en particulier sa façon d’aborder l’exercice) devraitpermettre à l'enseignant de mieux individualiser l'aide à lui apporter.

Découper les tableaux ci-dessous. Associer les éléments qui se correspondent.

Voici la série d'expressions :

3x + 4 x+ 43

3(4+ x)x+ 4

3

3× 4 + x 4 − 3xx

3+ 4 3x

Voici la liste de phrases traduisant les expressions :

Le produit de 3 par la somme de 4 et de x. La somme du produit de 3 par x et de 4.

Le quotient de la somme de x et de 4 par 3. Le produit de 3 par x.

La différence de 4 et du produit de 3 par x. La somme de x et du quotient de 4 par 3.

La somme du produit de 3 par 4 et de x. La somme du quotient de x par 3 et de 4.

Voici la série de schémas illustrant les expressions :

A B

x

C D

x 4

Longueur considérée : AB. Longueur considérée : CD.

4 xE F

G H

4 x

Longueur considérée : EF. Longueur considérée : GH.

x + 4

I J

4

K L x

Longueur considérée : IJ. Longueur considérée : KL.

N

4

M

x

P

x

O

4

Longueur considérée : MN. Longueur considérée : OP.


Piste 3. Analyse d'erreurs par les élèves.(Codes 0 ou 9 après un code 1 à l'item 5)

Cet exercice a été élaboré à partir d’erreurs fréquentes observées chez les élèves. Il a pour objectif principald’amener l’élève à repérer des erreurs dans la résolution d’une équation et à les corriger.L'analyse des réactions de l’élève lors du travail de correction permettra au professeur de mieux repérer etcomprendre ses difficultés.Après ce travail, il pourra revenir sur sa propre production lors de l'évaluation.

Un professeur demande à ses élèves de résoudre l'équation 16 = 4 + 4x dans laquelle l'inconnue xreprésente une longueur.Parmi les élèves, Alix a trouvé 4 et Camille et Dominique ont trouvé (−3) comme solution.

1°) Ces réponses sont-elles correctes ou sont-elles fausses ? Pourquoi ?

2°) Voici un extrait de leurs copies. Corriger ces extraits en entourant les erreurs éventuelles et en expliquant, dans la marge de correction, quelle règle a été mal appliquée.

Copie Marge de correction

Alix

4 + 4 x = 16

2 + 2x = 8

2x = 8 − 2

2x = 6

x = 6 − 2

x = 4

Camille

16 = 4 + 4 x

16 − 4 = 4 x

12 = 4 x

4 x = − 12

x = −124

x = − 3

Dominique

4 x + 4 = 16

4 x = 16 − 4

4 x = 12

x = 12− 4

x = − 3


EXERCICE 2

On considère les trois documents suivants : un diagramme circulaire, un diagramme enbarres (incomplet) et un texte. Chacun apporte des éléments d’information sur une mêmesituation.

Sapins

Pins

Hêtres

Frênes10%

Châtaigniers 5%

Diagramme en barres incomplet :

Effectifs

0

20

40

60

80

100

120

140

Sap

ins

Châ

taign

iers

Hêt

res

Frê

nes

Pin

s

Texte :

Sur une parcelle de forêt du Massif Central située à 500 mètres d’altitude, on compte au total

300 arbres répartis en cinq catégories : sapins, châtaigniers, hêtres, frênes, et pins.

Sur la parcelle considérée, il y a 75 pins.

1° Reporter dans le tableau ci-dessous les renseignements directement donnés par les trois documents précédents.

Catégorie Sapins Châtaigniers Hêtres Frênes Pins Totaux

Effectif300

Pourcentage

2° Compléter le reste du tableau en utilisant une couleur différente (les calculs nécessaires pourront être effectués ci-dessous).

Diagramme circulaire :

Cet exercice très simple évalue principalement la capacité de l’élève à repérer et sélectionner desinformations sur des supports de natures différentes.

Il évalue aussi la mise en œuvre de la proportionnalité. Si la réussite à l’item 7 n’est pas une garantiede maîtrise du calcul de pourcentage, en revanche l’échec est significatif.


ITEMCOMPÉTENCE

COMPOSANTE ÉVALUÉERÉPONSE CODE

1° 7Rechercher l’information :

Relever des informations.

Sa Ch He Fr Pi Teffectif 120 60 75 300

% 5% 10%1

2° 8Exécuter :


Sa Ch He Fr Pi Teffectif 15 30

% 40% 20% 25% 100% 1


EXERCICE 3

Le graphique ci-dessous représente le trajet de trois trains de banlieue qui relient les gares A, B et C.L'axe des abscisses est gradué en minutes et celui des ordonnées en kilomètres.

Gare C

Gare B

Gare A

T3 T1

T2

8h 8h 05 8h 10 8h 208h 15 8h 25

10

15

5

Répondre à l’aide du graphique.1° Donner l'heure d'arrivée du train T1 à la gare C.2° a) Déterminer le temps mis par le train T2 pour faire le trajet de la gare A à la gare C. b) Si le train T2 partait de la gare A à 8h 20, à quelle heure arriverait-il à la gare C ?3° a) Quand il est 8 h 06, quelle est la distance parcourue par le train T1 depuis la gare A ? b) Quand il est 8 h 06, quelle est approximativement la distance entre les trains T1 et T3 ?4° Donner à une minute près l'heure à laquelle les trains T1 et T3 se croisent.5° Décrire par un texte le trajet du train T3. (Préciser lieu et heure de départ, arrêts éventuels et durées, lieu et heure d'arrivée).6° Un quatrième train T4 part de la gare C à 8h 06. Il arrive à la gare B à 8h 13 et reste en gare B pendant 2 minutes. Il arrive en gare A à 8h 25. Représenter le trajet du train T4 sur le graphique.

L’objectif de cet exercice est d’évaluer la capacité à extraire et à exploiter des informations d’ungraphique représentant une situation de la vie courante. Les élèves en échec sur cet exercice auront sansdoute des difficultés dans l'étude des fonctions numériques. Une aide individualisée mise en place avant cechapitre pourrait leur permettre de l'aborder dans de meilleures conditions.

Ministère de l’éducation nationale – Direction de la programmation et du développement (DP&D)


A

GRILLE DE SAISIE MANUELLECLASSE : .....................

ITEMS EX 1 EX 2 EX 3 EX 4NOMS Prénoms 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35.

Code 1Code 2

Code 3

Code 4

Code 6

Code 9

BILAN

PAR

ITEM

Code 0


B

POUR REPORT DES CODES

EX 5 EX 6 EX 7 EX 8 EX 926 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55




ITEMCOMPÉTENCE



Recenser des informations sur un graphique.8h 21. 1

2° a) 10Rechercher l’information :

Extraire des informations d'un graphique.17 minutes. 1

b) 11Élaborer une démarche:

Mettre en relation.8h 37. 1

3° a) 12Rechercher l’information :

Lire un graphique.7 km. 1

b) 13Rechercher l’information :

Recenser des informations sur un graphique.8,5 km ou toute valeur approchante. 1


Extraire des informations d'un graphique.Toute valeur entre 8h 10 et 8h 11. 1

Description exacte et complète. 115


Traduire un tracé graphique par un texte. Description exacte mais incomplète. 35°

16Présenter :

Présenter un texte.Rédaction satisfaisante. 1

6° 17Exécuter :

Compléter un graphique.Représentation correcte. 1


EXERCICE 4

Pour chaque question, repasser en couleur sur la figure les points, segments, droites

utilisés pour la démonstration.

Question Figure Démonstration

1°Démontrer

queEC = 3,6

D

A

C

B

F

E

2°Démontrer

queDE = 4

D

A

C

B

F

E

D

A

C

B

F

E

On considère la figure ci-contre où:- ABCD est un rectangle ;- les points A, E et F sont alignés ;- les points B, C et F sont alignés ; - AE = 5 ; - EF = 4,5 ;- FC = 2,7.

Cet exercice portant sur une situation familière aux élèves est destiné à repérer ceux qui ne savent pasreconnaître une situation de référence ou choisir un théorème adapté pour élaborer une démonstration degéométrie.

Les codes 6 aux items 19 et 22 permettent de repérer les élèves qui utilisent le résultat à démontrercomme une donnée. Les codes 3 aux deux items 20 et 23, qui portent spécifiquement sur la rédaction,repèrent les élèves qui donnent des rédactions incomplètes mais sans erreur. Pour les items 18 et 21,l’utilisation de couleurs pour mettre en relief une sous-figure est une indication de l’énoncé qui peut être uneaide pour les élèves mais qui n’est pas évaluée.CONSIGNES DE CODAGE.

ITEMCOMPÉTENCE


18Organiser l'information :

Reconnaître une situation de référence.Théorème de Pythagore dans le triangle EFC citéou illustré par l'utilisation de couleurs.

1

Calculs corrects. 119

Exécuter :

Appliquer une connaissance de base.Utilisation de la valeur 3,6 pour calculer EC. 6

Rédaction satisfaisante. 1

1°

20Structurer :

Rédiger une démonstration. Rédaction incomplète (par exemple : oubli deconditions d’utilisation).

3

Théorème de Thalès pour les triangles EFC et EAD. 121

Choisir :

Choisir un outil adapté. Autre choix qui permet d’aboutir. 2

Calculs corrects. 122

Exécuter :

Mettre en œuvre une méthode. Usage de la valeur 4 pour calculer DE. 6

Rédaction satisfaisante. 1

2°

23Structurer :

Rédiger une démonstration. Rédaction incomplète (par exemple : oubli deconditions d’utilisation).

3


Pistes pour l'aide individualisée.

Les pistes proposées ci-dessous peuvent être utilisées en aide individualisée, éventuellement après avoirété adaptées, selon les besoins des élèves.

Piste 1. Différentes utilisations d’un même théorème.(Code 0 aux items 18 et 21)

Les élèves concernés sont plutôt en échec sur les items 18 ou 21 alors qu'ils connaissent généralementl'énoncé du théorème à mettre en œuvre.

L'objet de cette série d'exercices est de leur proposer différentes situations d'utilisation d'un mêmethéorème (ici le théorème de Pythagore), cette démarche pouvant être reprise avec tout autre théorème.

La résolution de la totalité des exercices entraînera les élèves à reconnaître une situation de référencedans des contextes diversifiés. La forme des énoncés a été volontairement variée afin de les habituer às'adapter à des présentations différentes.

Exercice 1Le triangle ABC est rectangle en A.Calculer BC.

A

B

C

6

8

Exercice 2Le triangle ABC est isocèle de sommet principal A. Le point H est le pied de la hauteur issue dusommet A. On donne AB = 10 et BC = 12.Calculer AH.

Exercice 3Le quadrillage est formé de carrés de côté 1.Calculer HK.

KH

Exercice 4Le quadrilatère ci-contre est un losange.Calculer y.

y

320

180

Exercice 5Le triangle ABC est rectangle en A et tel que AB = 8 etAC = 6.Le triangle BCD est équilatéral.Le triangle BED est rectangle isocèle en E.Calculer DE. B

C

A D

E

Exercice 6Une échelle de 5,15m de long est accrochée en haut d'un mur de hauteur 5m.a) Réaliser un schéma illustrant la situation.b) Estimer la distance séparant le pied de l'échelle et le mur. Entourer ci-dessous votre réponse.

Moins de 10 cm 15 cm environ 1m plus de 1,20 m

c) Faire un calcul pour contrôler votre choix.


Piste 2. Utilisation d'un tableau comme aide à la résolution(Code 9 aux items 18, 19, 21 et 22)

Les élèves concernés sont plutôt en échec sur l'élaboration d'un raisonnement. Le but de cette piste est deleur proposer une méthode pour organiser leur recherche.

Voici un énoncé d'exercice.

ABC est un triangle.Le point I est le milieu du segment [AB].Le point M est le symétrique du point C par rapport au point I.

Le point D est l’image du point A dans la translation de vecteur BC

1° Faire une figure.2° Démontrer que le quadrilatère ACBM est un parallélogramme.3° Que peut-on dire des points A, D et M ? Justifier la réponse.

Pour la résolution de la question 2, instaurer avec l'élève un dialogue conduisant à l'analyse du tableauci-dessous où figurent les étapes d’un raisonnement permettant de démontrer que le quadrilatère ACBM estun parallélogramme.

Ce que je sais Ce que je mets en œuvre Ce que j'obtiens de nouveau.

Le point M est le symétrique dupoint C par rapport au point I.

La définition du symétrique d'un pointpar rapport à un point.

Le point I est le milieu dusegment [CM].

Le point I est le milieu dusegment [CM].Le point I est le milieu dusegment [AB].

Si un quadrilatère a ses diagonales quise coupent en leur milieu, alors c'est unparallélogramme.

Le quadrilatère ACBM est unparallélogramme.

Pour la résolution de la question 3, l’élève pourra compléter un tableau du type précédent.

Ce travail pourra être suivi d'un travail sur la rédaction.

Piste 3. Utilisation d'un déductogramme comme aide à la résolution.(Code 0 ou 9 aux items 18 et 21)

Dans le même esprit que la piste 2, on pourra utiliser le travail, proposé dans le sujet 3 à la page 23 ducahier professeur de l'évaluation 1999, qui est un exemple de recherche d'exercice avec un déductogramme.


EXERCICE 5

Compléter le tableau.

Calculs Réponse

1° Résoudre l’équation

16 = 4 + 4 x.

2° Calculer

A = 9 − 3( 4 − 83

).

3° B =−x2 + 3x + 22Calculer la valeur de B pour x = 4.

4°Quelle est la valeur de x pour laquelle les anglesd’un triangle ont respectivement pour mesure endegrés : 4x, 6x, et 10x ?

5°A B

7,8

Calculer la longueur du segment [AB].

Cet exercice a pour objectif d’évaluer la capacité des élèves :- à réaliser des activités simples dans le domaine numérique ;- à comprendre des expressions algébriques ;- à résoudre des équations simples ;- à utiliser le calcul algébrique comme outil de résolution.

La résolution de l’énigme est proposée uniquement pour rendre l’exercice plus attrayant et n’est pas codée.

L'équation proposée à l'item 24 est la même que celle qui est à résoudre à l'item 6. Pour les élèves ayant uncode 0 ou 9, on pourra se reporter à la piste 3 proposée dans les commentaires de l'exercice 1.


ITEMCOMPÉTENCE


1° 24Exécuter :

Appliquer une technique.3. 1

2° 25Exécuter :

Calculer.5. 1

18. 13° 26

Exécuter :

Calculer. 50 (Erreur sur le –x2 ). 6

27Élaborer une démarche :

Mettre en relation.4x + 6x + 10x = 180. 1

4°

28Exécuter :


Réponse 9 si l’équation proposée est correcteou

réponse cohérente avec l’équation proposée.

1

5° 29Élaborer une démarche :

Mettre en relation.13. 1


EXERCICE 6

1° a) Parmi les expressions suivantes, entourer celles qui sont écrites sous la forme d’unesomme.3x + 4 x ( x + 1 ) x ( x + 3 ) − 4x + ( x − 1 )( x + 2 ) ( x − 1 )2 2x ( x − 3) + 3 ( x − 1 )

b) Parmi les expressions suivantes, entourer celles qui sont écrites sous la forme d’un produit.3x + 4 x ( x + 1 ) x ( x + 3 ) − 4x + ( x − 1 )( x + 2 ) ( x − 1 )2 2x ( x − 3) + 3 ( x − 1 )2° Voici quatre égalités remarquables : égalité n°1 : ab + ac = a ( b + c ) égalité n°3 : a2 − 2ab + b2 = ( a − b )2

égalité n°2 : a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 égalité n°4 : a2 − b2 = ( a + b ) ( a − b )

Les expressions A, B, C et D ci-dessous sont écrites sous la forme d’une somme.Écrire les expressions B, C et D sous la forme d’un produit de facteurs en indiquant l’égalitéutilisée comme dans l’exemple ci-dessous.Exemple :

A = x2 + 3x . En utilisant l'égalité n°...1...., cette expression peut s'écrire :

A = x ( x + 3 )B = x2 + 10x + 25. En utilisant l'égalité n°......., cette expression peut s'écrire :

B = ...................................................................................................C = ( x + 5 )2 − 4. En utilisant l'égalité n°......., cette expression peut s'écrire :

C = ....................................................................................................D = ( x − 1 )2 + ( x − 1 )( x + 3 ). En utilisant l'égalité n°......., cette expression

peut s'écrire : D = ....................................................................................................

Cet exercice évalue la capacité à reconnaître la forme d'une expression algébrique « somme » ou« produit » et la capacité à choisir parmi des identités données celle qui permet de transformer une somme enproduit. Le repérage des besoins pourra aider le professeur à assurer la transition entre le Collège et le Lycéeen tenant compte des objectifs modestes du programme de troisième dans ce domaine.


ITEMCOMPÉTENCE


3x + 4 ; x + (x − 1) (x + 2) ;x (x + 3) − 4 ; 2x (x − 3) + 3 (x − 1) .

130 Organiser l’information :

Reconnaître la forme d'une expression.Trois réponses correctes sur quatre sans réponse erronée. 2

x (x + 1) ; (x − 1) 2. 1

1° a)

b) 31 Organiser l’information :Reconnaître la forme d'une expression.x (x +1). 3

32 Choisir :Choisir un outil adapté.

Égalité n° 2. 1

33Exécuter :Appliquer une technique. (x + 5)2. 1

Égalité n° 4. 134 Choisir :

Choisir un outil adapté. Égalité n° 2. 6

(x + 3)(x + 7). 1

Factorisation correcte mais non réduite. 235 Exécuter :Appliquer une technique.

Égalité n°4 suivie d’une erreur de factorisation. 6Égalité n° 1. 136 Choisir :

Choisir un outil adapté. Égalité n° 3. 6

(x − 1)(2 x + 2). 1

Factorisation correcte mais non réduite. 2

2°

37 Exécuter :Appliquer une technique. Le facteur commun (x − 1) est mis en évidence

et il y a erreur dans la factorisation.6


EXERCICE 7

A B

D C

1° Le cube ci-contre a des arêtes de longueur 4 cm.

Les points A et B sont les milieux de deux arêtes

du cube.

Les points C et D sont des sommets du cube.

L'une des figures ci-dessous représente en vraiegrandeur le quadrilatère ABCD.

Indiquer laquelle : ..........................................

A B

D CFigure 1 C

A B

D Figure 2

A B

D CFigure 3

2° Le cube ci-dessous a des arêtes de longueur 4 cm. Les points A, E, B et F indiqués sur la figure sont les milieux des arêtes d’une face du cube.

Construire le quadrilatère AEBF en vraie grandeur ci-dessous.

A B

E

F

3° Calculer la longueur du segment [ AF ].Mesurer cette longueur sur le dessin que vous avez réalisé au 2°. Comparer cette mesure aurésultat du calcul précédent.

Cet exercice a pour but de repérer les élèves qui n'arrivent pas à donner du sens à la représentation enperspective cavalière d'un objet de l'espace.


ITEMCOMPÉTENCE

ET COMPOSANTE ÉVALUÉERÉPONSE CODE

Figure 2. 11° 38


Décoder. Figure 3. 6

Carré de dimensions correctes. 12° 39

Élaborer une démarche :

Exploiter une figure. Un parallélogramme. 6

2 2 cm ou 2 2 ou 8. 140

Élaborer une démarche :

Concevoir une stratégie. Valeur approchée après calcul. 23°

41Contrôler :Vérifier, critiquer.

Comparaison correcte. 1


EXERCICE 8

On a représenté ci-dessous deux rectangles ABCD et EFGH de même périmètre 18.

Le rectangle ABCD est tel que AB = 2 et AD = 7.

Le rectangle EFGH est tel que EF = 1 et EH = 8.1° Comparer les aires des rectangles ABCD et EFGH.2° Construire un rectangle IJKL de périmètre 18 et dont l’aire soit supérieure à celle du rectangle ABCD.Ces trois rectangles ABCD, EFGH et IJKL ont le même périmètre (18) mais des aires différentes. On aimeraitsavoir si, parmi tous les rectangles dont le périmètre est 18, il en existe un qui ait une aire supérieure à celle de tousles autres.3° En remarquant que le demi-périmètre est 9, compléter le tableau ci-dessous :

mesure du

1er côté0,5 1 1,3 2 2,5 3,5 4 4,2 4,5 5 6 7 8

mesure du

2ème côté8,5 8 7 6,5 5,5 5 4 3 2 1

aire durectangle

4,25 8 14 16,25 19,25 20 20 18 14 8

Compléter les phrases suivantes : « Si x est la mesure du premier côté, alors la mesure du deuxième côté en fonction de xest égale à ............……………………………………………………………………………Donc l’aire du rectangle en fonction de x est donnée par la formule …………………………………………………………………………. . »

Vérifier cette formule pour x valant 3,5.

..............................................................................................................................................4° Chaque point du graphique ci-dessous correspond à une colonne du tableau. Ainsi, le point P de coordonnées(0,5 ; 4,25) correspond à la première colonne du tableau.Placer sur le graphique les points correspondant aux trois colonnes qui ont été complétées dans le tableau.

0

12

34

5

6

7

89

1011

12

13

14

1516

17

1819

20

21

22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mesure du premier côté

aire du rectangle

M

P

5° Le point M du graphique correspond à un rectangle. Quelles sont les coordonnées du point M ?En déduire les mesures des côtés du rectangle correspondant.6° Peut-on dire que la plus grande aire possible est 20 ?

Répondre par "oui" ou par "non" : ..........Expliquer la réponse.


Cet exercice aborde en partant d’une situation géométrique simple l’aspect fonctionnel et graphique. Ilpourra être utilisé pour l’introduction du cours sur les fonctions.

Le résultat à l'item 48 est à rapprocher de ceux obtenus aux items 9,10,12,13,14,15 de l'exercice 3 etpeut confirmer le besoin d'une aide individualisée sur la lecture graphique.Pour les élèves ayant obtenu un code 0 ou 9 à l'item 45 on pourra utiliser les pistes proposées dans lescommentaires de l'exercice 1.


ITEMCOMPÉTENCE


Aire de EFGH inférieure à celle de ABCD. 11° 42

Exécuter :

Appliquer directement une connaissance. Aires exactes mais absence de comparaison. 6

2° 43Contrôler :

Contrôler la vraisemblance d’une proposition.Bonne réponse. 1

Exécuter : 7,7 4,8 4,544Compléter un tableau. 10,01 20,16 20,25

1

3°45


Traduire.9 – x et x( 9 – x). 1

46Contrôler :

Valider.Remplacement de x par 3,5 dans laformule trouvée et conclusion cohérente.

1

4° 47Exécuter :

Compléter un graphique.Points placés cohérents avec les valeurstrouvées.

1

48Rechercher l’information :

Lire.Abscisse 3 et ordonnée 18 ou x = 3 et y = 18ou 3 et 18…

1

5°

49Élaborer une démarche :

Mettre en relation.3 et 6. 1

6° 50Contrôler :

Contrôler la vraisemblance d’uneproposition.

Non et justification correcte. 1


EXERCICE 9

G

I E

F

K

O

70°

CSur la figure ci-contre :• le triangle EFG est isocèle de sommet principal E ;• il est inscrit dans le cercle C de centre O ;

• il est tel que l'angleEGF vaut 70° ;• on appelle I le point du cercle C diamétralementopposé au point F ;• on appelle K le point d’intersection des droites (EG)et (FI).

Dans les démonstrations de l’exercice vous pouvez citer les propriétés utilisées en donnant leur numéro.

1° Compléter les phrases suivantes.

Je sais que le triangle EFG est isocèle de sommet principal E, donc d’après la propriété n°…l'angleEFG est égal à …

Je sais que EFG est un triangle, donc d’après la propriété n°…l'angleFEG est égal à …

2° Démontrer que l'angleEIF vaut 70° .

3° En déduire les mesures des angles du triangle EIO.

4° Démontrer que les angles du triangle EKI sont égaux aux angles du triangle FKG.

Cet exercice vient compléter le repérage des besoins amorcé avec l’exercice 4 de ce cahier. Lescompétences ciblées sont les mêmes. La situation proposée permet de mobiliser les connaissances sur lesangles acquises au collège. Dans les nouveaux programmes de seconde, celles-ci sont particulièrementimportantes pour l'étude des triangles « de même forme » ou semblables, (cf. nouveau programme deseconde) pour laquelle cet exercice pourra servir d'introduction.

À noter que le théorème de l'angle inscrit fait maintenant partie des exigibles du nouveau programmede troisième.


ITEMCOMPÉTENCE


Propriété n°2 et 70° ; propriété n°1 et 40°. 11° 51

Choisir :Choisir un outil adapté.

Incomplet sans éléments erronés. 3

Justification correcte. 12° 52

Choisir :Choisir un outil adapté. Justification incomplète sans éléments erronés. 3

Démarche correcte et

OIE = 70°, IEO = 70° et EOI = 40°.1

3° 53Élaborer une démarche :Concevoir un raisonnement.

Incomplet sans éléments erronés. 3

54Élaborer une démarche :Concevoir un raisonnement.

Démarche correcte. 1

4°55

Structurer :Rédiger.

Rédaction correcte sur au moins une desdémonstrations du 3° ou du 4°.

1

CAPACITÉSCOMPÉTENCES MISES EN ŒUVRE : Statistiques Calculs et fonctions Géométrie

COMPOSANTES ÉVALUÉES Ex n° Items Ex n° Items Ex n° Items

Rechercher l'information : lire, relever, recenser, traduire,décoder, extraire, donner un sens aux mots…

2 7138

1, 2, 3, 4, 59, 10, 12, 13, 14, 1545, 48

7 38

Organiser l'information : trier des éléments en fonction decritères donnés, reconnaître une situation de référence,reconnaître la forme d'une expression…

6 30, 31 4 18S'INFORMERANALYSER

Prévoir : conjecturer, anticiper, expérimenter, essayer,trouver des résultats partiels…..

Choisir : choisir une donnée, un cadre de résolution, un outiladapté (définition, formule, propriété, théorème…)…

6 32, 34, 3649

2151,52

RECHERCHERÉlaborer une démarche : mettre en relation, concevoir unraisonnement ou une stratégie, exploiter un graphique ou untableau ou une figure…

358

1127, 2949

79

39, 4053, 54

Exécuter : mettre en œuvre une méthode, calculer, utiliserune calculatrice, appliquer directement une connaissance ouune technique, remplir un tableau, compléter un tableau ungraphique, justifier à partir d’éléments donnés…

2 8 13568

61724, 25, 26, 2833, 35, 3744, 47

48

19, 2242

RÉALISER

Contrôler : contrôler la vraisemblance d'une proposition,d'un résultat, valider, vérifier, critiquer, interpréter…

8 43, 46, 50 7 41

Structurer : rédiger, formuler, classer…49

20, 2355

RENDRECOMPTE Présenter : présenter un résultat sous la forme demandée, un

texte, utiliser un vocabulaire, des notations ou un codageappropriés, présenter avec soin…

3 16

23M

inistère de l'é

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n natio

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