Mathématiques - dunod.com · les étudiants qui entreprennent des études en classes préparatoires, ont bé-néﬁcié, ... les Éditions Dunod nous avaient conﬁé la tâche de

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TOUT-EN UN

Mathématiquestout-en-un

MP|MP*C. DesChamps, F. moulin, a. WarusFelN. CleireC, Y. GeNtriC, F. lussier, C. Mullaert, s. NiColas, M. Volker

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© Dunod, 20165 rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.comISBN 978-2-10-071361-5

Conception et création de couverture : Atelier 3+

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Pr�efa e

La réforme du lycée, qui a suivi celle du collège, s’est achevée en 2012, avecla mise en œuvre des nouvelles classes de terminale. Depuis septembre 2013,les étudiants qui entreprennent des études en classes préparatoires, ont bé-néficié, durant leur scolarité au collège et au lycée, de programmes rénovés,en particulier en mathématiques. Afin d’assurer une continuité, de nouveauxprogrammes de classes préparatoires étaient donc indispensables.En mathématiques, en 1995, lors de la mise en place des programmes del’époque, les Éditions Dunod nous avaient confié la tâche de fournir aux étu-diants des ouvrages de référence clairs et précis complétant le cours, irrempla-çable, du professeur. Nous avions alors tenté un pari : faire tenir exposés etexercices, avec corrigés, en un seul volume, le premier « tout-en-un » (depuistrès largement imité), qui a remporté un grand succès.En septembre 2013 ont été mis en place de nouveaux programmes des classespréparatoires et, avec une équipe partiellement renouvelée et de grande qualité,nous avons récidivé : deux ouvrages « tout en un » (MPSI et PCSI-PTSI) pro-posent, aux étudiants de première année, un cours en conformité avec le texte,mais aussi avec l’esprit, du nouveau programme des classes préparatoires.Aujourd’hui ce nouveau « tout en un » MP prolonge, pour la seconde année,l’ouvrage MPSI et il conserve l’ambition, en mettant en œuvre de nouvellesméthodes d’acquisition des connaissances, de proposer à l’étudiant une dé-marche pour s’approprier les théories du programme, théories indispensablestant aux mathématiques qu’aux autres disciplines.

En pratique, dans chaque chapitre :• De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du

lycée ou du programme de première année, illustrent chaque définition etpermettent à l’étudiant de s’approprier cette nouvelle notion.

• Les propositions et théorèmes sont énoncés et suivis immédiatementd’exemples élémentaires d’applications. En outre, leurs démonstrationssont l’occasion d’un travail personnel de l’étudiant. Nous avons choisi dene pas faire figurer systématiquement, à la suite des énoncés, la rédactioncomplète de ces démonstrations mais plutôt d’indiquer à l’étudiant le prin-cipe de celles-ci avec les éléments qui lui permettront de la construire parlui-même et ainsi de mieux s’approprier la propriété. Évidemment, guidépar un renvoi précis en fin du chapitre, il pourra ensuite consulter la dé-monstration complète et vérifier ou compléter son travail personnel.

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• Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pasprivilégier systématiquement la plus courte, souvent au profit de construc-tions explicites. C’est volontaire ; durant leurs études au lycée nos étudiantsn’ont en général pas construit les objets mathématiques qu’ils ont utilisés :ils se sont contentés d’en admettre les propriétés. Or construire un objet,comme le fait un artisan, c’est se l’approprier, connaître parfaitement sespropriétés et les limites de ces propriétés.

• Dans chaque chapitre, l’étudiant trouvera, pour illustrer immédiatementl’usage des propositions et théorèmes, de très nombreux exercices simplesqu’il doit évidemment chercher au fur et à mesure de son apprentissage etdont il pourra consulter une solution en fin de chapitre afin de vérifier sonpropre travail.

• Régulièrement l’étudiant trouvera des « point méthode » qui, pour unesituation donnée, lui offrent une ou deux possibilités d’approche de la réso-lution de son problème. Évidemment il trouvera après ce « point méthode »exemples et exercices l’illustrant.

• À l’issue de chaque chapitre, figurent des exercices plus ambitieux, deman-dant plus de réflexion, à chercher une fois le chapitre totalement maitrisé.Certains plus difficiles sont signalés par des étoiles ; les solutions détailléesde tous ces exercices complémentaires sont données.

• Enfin les étudiants de classes préparatoires de seconde année sont candi-dats aux concours des grandes écoles. Nous avons réunis des exercices posésaux premiers oraux portant sur les nouveaux programmes : l’étudiant trou-vera des exercices posés aux oraux des concours 2015. Les chercher (et lesrésoudre) sera pour lui un excellent entraînement.

• Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarque que les étu-diants, nos collègues, tout lecteur. . . seraient amenés à nous communiquer.Cela nous permettra, le cas échéant, de corriger certaines erreurs nous ayantéchappé et surtout ce contact nous guidera pour une meilleure exploitationdes choix pédagogiques que nous avons faits aujourd’hui dans cet ouvrage.

Un grand merci à tous les auteurs de cet ouvrage d’avoir mené à terme cetravail de longue haleine.

Claude Deschamps et François Moulin

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Nathalie tu nous manques !

Notre collègue et amie Nathalie Cleirec

nous a quittés le 17 novembre 2015.

Enseignante de grande qualité,

elle était très attachée à ses étudiants

et faisait tout pour leur réussite.

Toute l’équipe de cet ouvrage

se souvient de sa gentillesse et de son travail :

une participation active aux réunions du groupe

et une rédaction remarquable des chapitres

dont elle avait la responsabilité.

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Table des mati �eres

Préface v

Table des matières xi

Chapitre 1. Groupes, anneaux, arithmétique, algèbres 1

I Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2II Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . 13III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 35Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chapitre 2. Réduction des endomorphismes 63

I Sous-espaces stables et endomorphismes induits . . . . . . . . 64II Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . 86IV Endomorphismes et matrices trigonalisables . . . . . . . . . . 92V Utilisations des polynômes annulateurs . . . . . . . . . . . . 96Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 107Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chapitre 3. Fonctions convexes 153

I Parties convexes d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 154II Fonctions convexes d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . 158III Convexité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 166Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

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Chapitre 4. Espaces vectoriels normés 187

I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188II Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . 201III Topologie d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . 206IV Comparaison de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 220Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Chapitre 5. Limites, continuité 255

I Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256II Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262III Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263IV Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . 269Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 271Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Chapitre 6. Compacité, connexité, dimension finie 289

I Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290II Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295III Espaces vectoriels normés de dimension finie . . . . . . . . . . 299Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 306Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Chapitre 7. Fonctions vectorielles de la variable réelle 343

I Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344II Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353III Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358IV Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360V Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 368Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

Chapitre 8. Séries numériques et vectorielles 399

I Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie . . . 400II Compléments sur les séries numériques . . . . . . . . . . . . . 405Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 417Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

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Chapitre 9. Familles sommables 447

I Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448II Familles sommables de réels positifs . . . . . . . . . . . . . . 452III Familles sommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . 459IV Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 468Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

Chapitre 10. Suites et séries de fonctions 491

I Modes de convergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . 492II Convergence uniforme et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 500III Intégration, dérivation d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . 502IV Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505V Approximation uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 521Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

Chapitre 11. Séries entières 581

I Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582II Séries entières de la variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 593III Développements en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . 595IV Pratique du développement en série entière . . . . . . . . . . 605Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 614Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

Chapitre 12. Intégration sur un intervalle quelconque 663

I Intégrale généralisée sur un intervalle [a,+∞[ . . . . . . . . . 665II Généralisation aux autres types d’intervalles . . . . . . . . . . 672III Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676IV Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678V Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . 682Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 685Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

Chapitre 13. Convergence dominée et applications 723

I Suites et séries d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724II Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 744Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

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Chapitre 14. Espaces préhilbertiens et euclidiens 795

I Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796II Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799III Suites orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802IV Endomorphismes d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . 806Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 814Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827

Chapitre 15. Espaces probabilisés 845

I Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846II Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 861Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873

Chapitre 16. Variables aléatoires discrètes 891

I Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892II Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895III Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 898IV Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 903V Espérance, variance, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 909VI Fonctions génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 924Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

Chapitre 17. Équations différentielles linéaires 1011

I Équations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . 1012II Équations différentielles linéaires à coefficients constants . . . 1022III Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre n . . . . . 1030IV Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2 . . . . . 1034V Exemples de résolution d’équations non résolues . . . . . . . 1045Démonstration du théorème de Cauchy linéaire . . . . . . . . . . . 1047Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1049Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075

Chapitre 18. Calcul différentiel 1097

I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098II Différentielle d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101III Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . 1110IV Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118V Fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123VI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1143Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1170

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Chapitre 1 : Groupes, anneaux, arithm�etique, alg �ebres

I Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Sous-anneaux — sous-corps . . . . . . . . . . . . . 3

4 Morphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Anneaux produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Idéaux d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . 6

7 L’anneau ZZ/nZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

9 Indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Anneau des polynômes à une indéterminée . . . . 13

1 Propriétés arithmétiques élémentaires . . . . . . . 14

2 Utilisation des idéaux de IK[X ] . . . . . . . . . . . 16

III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Noyau, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Produit de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Groupes monogènes et cycliques . . . . . . . . . . 25

6 Ordre d’un élément dans un groupe . . . . . . . . 28

IV Algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Structure d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Sous-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Morphismes d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Substitution polynomiale, polynômes annulateurs . 31

Démonstrations et solutions des exercices du cours . . 35

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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Groupes, anneaux,

arithm�etique, alg �ebres

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Nous revenons dans ce chapitre sur les structures algébriques usuelles vuesen première année : groupes, anneaux et corps, notamment en vue de leurutilisation en arithmétique (sur ZZ et sur IK[X]).Nous finirons par la notion d’algèbre, très présente en analyse, et dont lesapplications en algèbre linéaire seront étudiées dans le chapitre de réductiondes endomorphismes.Dans ce chapitre, nous supposons acquises les notions de groupe, de sous-groupe, d’anneaux et de corps vues en première année.

I Anneaux et orps

1 Rappels et notations

• Dans un anneau A , le neutre pour l’addition est noté 0 (ou 0A ), le neutrepour la multiplication 1 (ou 1A ).

• L’anneau est commutatif si la multiplication est commutative (l’additionest commutative par définition).

• Un anneau A est trivial si 1A = 0A ; dans ce cas, A est réduit à cet uniqueélément.

• Rappelons que, par définition, un corps est un anneau commutatif nontrivial dans lequel tout élément non nul est inversible.

2 Anneaux int �egres

Définition 1Un anneau intègre est un anneau A commutatif non trivial qui vérifie :

∀(a, b) ∈ A2 a b = 0 =⇒ (a = 0 ou b = 0) .

Exemples

1. ZZ est un anneau intègre.2. Tout corps est un anneau intègre.

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I Anneaux et orps

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✆p.35 Exercice 1 Donner un exemple d’anneau commutatif non trivial et non intègre.

Point méthode

Dans un anneau A intègre tout élément a non nul est régulier pour lamultiplication, c’est-à-dire vérifie :

∀(x, y) ∈ A2 ax = a y =⇒ x = y.

Exemple Tout anneau fini intègre est un corps.En effet, soit A un anneau fini intègre et a ∈ A non nul. L’application x 7→ a x de Adans A est injective par régularité de a . Comme A est fini, elle est bijective, donc 1admet un antécédent ce qui signifie qu’il existe b ∈ A tel que a b = 1. Comme A estcommutatif (puisqu’intègre), on a aussi b a = 1 et a est inversible.

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✆p.35 Exercice 2 Montrer que dans l’anneau des fonctions continues de IR dans IR , toute

fonction polynomiale non nulle est régulière.

3 Sous-anneaux | sous- orps

Définition 2Un sous-anneau d’un anneau A est un sous-groupe additif de A stable parmultiplication et contenant 1A .

Point méthode

Pour montrer qu’une partie d’un anneau A est un sous-anneau de A , il suffitde vérifier qu’elle est stable par les deux lois de A par passage à l’opposé,et qu’elle contient l’élément neutre multiplicatif 1A .

En effet, il ne manque que la présence de l’élément neutre 0A , que l’on obtientpar différence : 0A = 1A − 1A .

Définition 3Un sous-corps d’un corps IK est un sous-anneau de IK qui est un corps.

Exemples

1. ZZ est un sous-anneau de Q .

2. L’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre n est un sous-anneaude Mn(IK).

3. ZZ + iZZ est un sous-anneau de C .

4. Q et IR sont des sous-corps de C .

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Chapitre 1. Groupes, anneaux, arithm�etique, alg �ebres

Proposition 1Si B est un sous-anneau de A et C un sous-anneau de B , alors C est unsous-anneau de A .

Démonstration.

C’est immédiat à partir de la caractérisation donnée dans le point méthode ci-dessus.

Attention

• La définition d’un sous-anneau impose qu’il contienne 1A . Cette vérifica-tion est indispensable car elle n’est pas une conséquence des autres axiomescomme le montrent les exemples de l’ensemble des matrices triangulairessupérieures strictes de Mn(IK), ou plus simplement {0A} lorsque A estun anneau non trivial.

• Ce même exemple {0A} montre que, contrairement à ce qui se passe pourles sous-groupes, une partie d’un anneau A stable par les lois de A etqui, munie des lois induites, est un anneau, n’est pas nécessairement unsous-anneau de A (les deux éléments neutres multiplicatifs peuvent êtredifférents). Voir aussi l’exercice 1.1 de la page 51.

4 Morphismes d'anneaux

Définition 4Soit A et B deux anneaux. On dit qu’une application ϕ : A → B est unmorphisme d’anneaux si elle vérifie :

∀(a, b) ∈ A2 ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)

∀(a, b) ∈ A2 ϕ(a b) = ϕ(a)ϕ(b)

ϕ(1A) = 1B .

Remarques

• La première des conditions ci-dessus est en fait la définition d’un mor-phisme de groupes de (A,+) dans (B,+) (voir page 21). Un morphismed’anneaux est donc en particulier un morphisme de groupes.

• Un morphisme d’anneaux ϕ de A dans B vérifie l’égalité ϕ(0) = 0.

En effet :ϕ(0) = ϕ(0 + 0) = ϕ(0) + ϕ(0)

et en ajoutant −ϕ(0) des deux côtés, on obtient 0 = ϕ(0). Alors, si x ∈ A ,on a ϕ(x) + ϕ(−x) = ϕ(0) = 0 ce qui montre que ϕ(−x) = −ϕ(x).

Ce sont également des propriétés générales des morphismes de groupes.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 5 — #17✐

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I Anneaux et orps

Attention En revanche, l’égalité ϕ(1) = 1 de la définition précédente n’estpas une conséquence des autres axiomes comme le montre l’exemple de lafonction nulle lorsque B 6= {0}.

Définition 5Un isomorphisme d’anneaux est un morphisme d’anneaux bijectif.

Proposition 2Si ϕ est un isomorphisme d’anneaux, alors ϕ−1 est également un isomor-phisme d’anneaux.

✞

✝

☎

✆Démonstration page 35

Proposition 3Soit f un morphisme d’anneaux de A dans B .

1. L’image par f de tout sous-anneau de A est un sous-anneau de B .

2. L’image réciproque par f de tout sous-anneau de B est un sous-anneaude A .

✞

✝

☎


Exemple Soit f : A→ B un morphisme d’anneaux.L’image de f est le sous-anneau f(A) de B .

Évidemment, f est surjectif si, et seulement si, son image est égale à B .

Définition 6 (Noyau)Le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A→ B est :

Ker f ={x ∈ A

∣∣ f(x) = 0B}.

✞

✝

☎

✆p.35 Exercice 3 Montrer qu’un morphisme d’anneaux est injectif si, et seulement si, son

noyau est réduit à {0} .

Attention Le noyau d’un morphisme d’anneaux n’est pas en général un sous-anneau (voir ci-dessous la notion d’idéal) comme le montre l’exercice suivant.

✞

✝

☎

✆p.36 Exercice 4 Montrer que le noyau d’un morphisme d’anneaux f : A → B est un

sous-anneau de A si, et seulement si, B est trivial.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 6 — #18✐

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5 Anneaux produit

Étant donné des anneaux A1, . . . , An , on munit le produit carté-sien A1 × · · · ×An d’une structure d’anneau par opérations terme à terme :

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn)

(a1, . . . , an)× (b1, . . . , bn) = (a1 b1, . . . , an bn).

Les deux éléments neutres sont naturellement (0A1 , . . . , 0An) et (1A1 , . . . , 1An).✞

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☎

✆p.36 Exercice 5

1. Écrire de même l’opposé d’un élément du produit cartésien.

2. Quels sont les inversibles d’un anneau produit ?

3. À quelle condition l’anneau produit A×B est-il un corps ?

4. À quelle condition l’anneau produit A×B est-il intègre ?

6 Id �eaux d'un anneau ommutatif

Introdu tion

Si ϕ est un morphisme d’anneaux de A dans B , l’image de ϕ est un sous-anneau de B mais son noyau n’est pas un sous-anneau de A , sauf si B esttrivial (voir l’exercice 4 de la page précédente).Mais Kerϕ est un sous-groupe de (A,+) qui possède la propriété suivante :

∀x ∈ Kerϕ ∀a ∈ A (ax, x a) ∈ (Kerϕ)2

puisque si x ∈ Kerϕ et a ∈ A , on a ϕ(ax) = ϕ(a)ϕ(x) = ϕ(a)× 0 = 0 et demême pour ϕ(x a).Cela caractérise la notion d’idéal bilatère.Conformément au programme, on se place dans toute la suite dans le cadredes anneaux commutatifs.

Définition 7 (Idéal d’un anneau commutatif)Soit A un anneau commutatif.

On dit qu’une partie I de A est un idéal de A si :

• I est un sous-groupe de (A,+) ;

• I est stable par multiplication par tout élément de A , c’est-à-dire :

∀x ∈ I ∀a ∈ A xa ∈ I.

Remarque Par commutativité de A , un idéal I de A vérifie aussi :

∀x ∈ I ∀a ∈ A ax ∈ I.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 7 — #19✐

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I Anneaux et orps

Exemples

1. Nous venons de voir que le noyau d’un morphisme d’anneaux de A (commutatif)dans B est un idéal de A .

2. Si A est un anneau commutatif, alors A et {0} sont évidemment des idéaux de A .

3. L’ensemble des fonctions nulles sur une partie X de IR est un idéal de F(IR, IR).

✞

✝

☎

✆p.36 Exercice 6 Montrer que les suites réelles convergeant vers 0 constituent un idéal

de l’anneau des suites réelles bornées.

S’agit-il d’un idéal de l’anneau de toutes les suites réelles ?

Remarque Soit I un idéal de A contenant 1.Alors, pour tout a ∈ A , on a a = a.1 ∈ I , donc I = A .

✞

✝

☎

✆p.37 Exercice 7

1. Montrer plus généralement qu’un idéal contenant un élément inversible de A estégal à A .

2. Quels sont les idéaux d’un corps ?

Op�erations sur les id �eaux

Soit A un anneau commutatif.

Proposition 4Une intersection d’idéaux de A est un idéal de A .

✞

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☎


✞

✝

☎

✆p.37 Exercice 8 Étant donné une partie X de A , montrer qu’il existe un plus petit

idéal de A contenant X .

On l’appelle idéal de A engendré par X .

Exemple : id �eal engendr �e par un �el �ement Soit x ∈ A . Décrivons l’idéal engendrépar x , c’est-à-dire par {x} (cf. exercice précédent). Par définition, pour tout idéal Icontenant x et pour tout a ∈ A , on a a x ∈ I , donc I contient xA =

{xa ; a ∈ A

}.

Montrons que xA est le plus petit idéal de A contenant x .• Il contient 0 = x× 0 et il est stable par + et − puisque pour tout (a, b) ∈ A :

xa+ x b = x (a+ b) ∈ xA et − (xa) = x (−a) ∈ xA.Donc xA est un sous-groupe de (A,+).

• Pour tout y = xa ∈ xA et b ∈ A , on a y b = x (a b) ∈ xA . Donc xA est unidéal.

• Comme x = x× 1A , on a bien x ∈ xA .

• Enfin, on a vu plus haut que tout idéal de A contenant x contenait aussi xA .

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 8 — #20✐

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☎

✆p.37 Exercice 9 Montrer qu’un anneau commutatif A non trivial n’ayant que les deux

idéaux A et {0} est un corps (réciproque de la deuxième question de l’exercice 7de la page précédente).

Proposition 5Si I1 et I2 sont deux idéaux de A , leur somme :

I1 + I2 ={x1 + x2 ; (x1, x2) ∈ I1 × I2

}

est un idéal de A .

C’est le plus petit idéal de A contenant I1 et I2 .✞

✝

☎


Id �eaux de ZZ

Exemple Pour tout n ∈ ZZ , l’ensemble nZZ ={n k ; k ∈ ZZ

}des multiples de n est un

idéal de ZZ . C’est l’idéal de ZZ engendré par n (voir l’exemple de la page précédente).

Remarque

Comme nZZ = (−n) ZZ pour tout n ∈ ZZ, on peut se limiter à n ∈ IN .Nous allons voir qu’en fait ce sont les seuls idéaux de ZZ.

Lemme 6Les sous-groupes de (ZZ,+) sont les nZZ, pour n ∈ IN .

Principe de démonstration. Si H est un sous-groupe non nul de ZZ, on considère le plus petitélément n strictement positif de H et l’on utilise la division euclidienne par n pour montrer que

tout élément de H est un multiple de n .✞

✝

☎


Un idéal étant en particulier un sous-groupe, on en déduit le résultat importantsuivant.

Théorème 7Les idéaux de ZZ sont les nZZ, pour n ∈ IN .

7 L'anneau ZZ/nZZCongruen es dans ZZSoit n un entier naturel.

Rappels Nous avons vu en première année la relation de congruence mo-dulo n définie par :

x ≡ y [n] ⇐⇒ y − x ∈ nZZ.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 9 — #21✐

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I Anneaux et orps

Il s’agit une relation d’équivalence sur ZZ qui est compatible avec les opérationsde ZZ, c’est-à-dire qui vérifie :

∀(x, y, x′, y′) ∈ ZZ4

{x ≡ x′ [n]y ≡ y′ [n]

=⇒{x+ y ≡ x′ + y′ [n]x× y ≡ x′ × y′ [n].

Notation

On note ZZ/nZZ l’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation.

La classe d’un élément k de ZZ est notée k .

✞

✝

☎

✆p.38 Exercice 10 Qu’est-ce que ZZ/0ZZ ? ZZ/1ZZ ? ZZ/2ZZ ?

Proposition 8Pour n ∈ IN∗ , l’ensemble ZZ/nZZ a n éléments, et l’on a :

ZZ/nZZ ={0, 1, . . . , n− 1

}.

Principe de démonstration. Utiliser la division euclidienne par n .✞

✝

☎


Remarque ZZ/nZZ est appelé ensemble quotient de ZZ par nZZ, ce quiexplique sa notation.

Anneau ZZ/nZZ

Proposition 91. Il existe sur ZZ/nZZ des lois, notées + et × (ou implicitement pour le

produit) et appelées lois quotient, telles que :

∀(x, y) ∈ (ZZ/nZZ)2 x+ y = x+ y et x× y = x y.

2. (ZZ/nZZ,+,×) est un anneau commutatif d’éléments neutres 0 et 1.

3. La projection canonique ZZ −→ ZZ/nZZx 7−→ x

est un morphisme d’anneaux

surjectif de noyau nZZ.

Principe de démonstration. Pour α et β dans ZZ/nZZ, on définit :

α + β = x + y et α × β = x y où x ∈ α et y ∈ β.

Il faut vérifier que x + y et x y ne dépendent que de α et β , et non des représentants x et ychoisis, grâce à la compatibilité de la relation de congruence avec les lois de ZZ.✞

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9

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 10 — #22✐

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Remarques

• On peut aussi prendre pour représentants des classes modulo n 6= 0, n’im-porte quel n-uplet d’entiers consécutifs.

Par exemple, pour étudier la multiplication sur ZZ/5ZZ , il pourra être inté-ressant d’écrire ZZ/5ZZ =

{0,±1,±2

}.

• Les éléments 0, 1, . . . , n − 1 sont privilégiés dans leurs classes respectives.Il arrivera donc que l’on note p à la place de p lorsque 0 6 p < n , s’il n’ya pas de confusion possible.

✞

✝

☎

✆p.39 Exercice 11 Écrire les tables d’addition et de multiplication de ZZ/5ZZ et ZZ/6ZZ.

Ces anneaux sont-ils intègres ?

Proposition 10 (Éléments inversibles de ZZ/nZZ)1. La classe de k ∈ ZZ est inversible dans ZZ/nZZ si, et seulement si, k est

premier avec n .

2. Pour n ∈ IN∗ , les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) ZZ/nZZ est un corps ;

(ii) ZZ/nZZ est intègre ;

(iii) n est premier.

Principe de démonstration.✞

✝

☎


1. L’élément k est inversible si, et seulement s’il existe (u, v) ∈ ZZ2 tel que k u + n v = 1 et

son inverse est alors u .

2. On montre (ii) =⇒ (iii) par contraposée : si n = a b , alors a b = 0 .

(iii) =⇒ (i) : si n est premier, tous les éléments de [[1, n − 1]] sont premiers avec n .

Remarque

L’implication (ii) =⇒ (i) est un cas particulier de l’exemple de la page 3.

Point méthode

Comme on l’a vu dans la démonstration précédente, pour déterminerl’inverse de k dans ZZ/nZZ, il suffit de trouver un couple (u, v) telque k u+ n v = 1 (coefficients de Bézout). L’inverse de k est alors u .

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☎

✆p.40 Exercice 12 Donner l’inverse de 13 dans ZZ/34ZZ.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 11 — #23✐

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I Anneaux et orps

8 Th�eor �eme hinois

On note ici [k]n la classe de l’entier k modulo un entier naturel non nul n .

Proposition 11Soit n et m des entiers premiers entre eux. Les anneaux ZZ/(nm)ZZet (ZZ/nZZ)× (ZZ/mZZ) sont isomorphes par le morphisme d’anneaux ϕ :

ZZ/(nm)ZZ −→ (ZZ/nZZ)× (ZZ/mZZ)[k]nm 7−→ (

[k]n, [k]m).

Principe de démonstration. Pour la définition de ϕ , vérifier que le couple([k]n, [k]m

)ne

dépend que de la classe de k modulo nm .

On démontre l’injectivité de ϕ et l’on conclut par cardinalité.✞

✝

☎


Le corollaire suivant n’est que la traduction en termes de congruence de laproposition 11.

Corollaire 12 (Théorème chinois)Si n et m sont des entiers premiers entre eux, pour tout (a, b) ∈ ZZ2 , il existeun entier k vérifiant le système :

{k ≡ a [n]k ≡ b [m]

(S)

et les solutions de ce système sont exactement les entiers congrus à k mo-dulo nm .

Le théorème chinois permet de ramener l’étude d’une équation sur ZZ/nZZlorsque n n’est pas premier, à celle d’équations sur des anneaux plus simples.

Point méthode (pour obtenir une solution de (S))

À partir d’une relation de Bézout mu + n v = 1, on trouve deux en-tiers k1 = mu et k2 = n v vérifiant respectivement les systèmes decongruences :

{k1 ≡ 1 [n]k1 ≡ 0 [m]

et

{k2 ≡ 0 [n]k2 ≡ 1 [m]

et une solution du système (S) est alors k = k1 a+ k2 b (vérification immé-diate en prenant les congruences modulo n et m).

Remarque L’obtention d’une telle solution est non triviale, mais sa vérifica-tion est immédiate. Il ne faut donc pas oublier de la faire pour repérer uneerreur de calcul éventuelle.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 12 — #24✐

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Exemple Trouvons les entiers k tels que k2 + k + 11 ≡ 0 [143], c’est-à-dire telsque k2 + k + 11 ≡ 0 [11] et k2 + k + 11 ≡ 0 [13].Cela revient à résoudre l’équation x2 +x+11 = 0 dans ZZ/11ZZ et dans ZZ/13ZZ. Pourchaque couple de solutions

([a]11, [b]13

), le point méthode précédent donne la classe

modulo 143 correspondante.

✞

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☎

✆p.40 Exercice 13 Finir l’exemple ci-dessus.

9 Indi atri e d'Euler

Définition 8On appelle indicatrice d’Euler de n ∈ IN∗ , et l’on note ϕ(n), le cardinalde l’ensemble : {

k ∈ [[1, n]]∣∣ k ∧ n = 1

}.

Remarques

• On a évidemment ϕ(1) = 1.

• Pour n > 2, ϕ(n) est aussi le nombre d’éléments de [[1, n − 1]] premiersavec n .

• Dans tous les cas, c’est aussi le nombre d’éléments de [[0, n − 1]] pre-miers avec n , donc également le nombre d’éléments inversibles dans l’an-neau ZZ/nZZ .

Exemples

1. Pour tout n > 2, on a ϕ(n) 6 n − 1 avec égalité si, et seulement si, n est pre-mier. En effet, d’après les remarques précédentes, ϕ(n) est le nombre d’élémentsde [[1, n− 1]] premiers avec n (d’où l’inégalité) et n est premier si, et seulements’ils sont tous premiers avec n .

2. Soit p un nombre premier. Pour tout k ∈ IN∗ , on a ϕ(pk) = pk − pk−1 puisqueles éléments qui sont non premiers avec pk sont les multiples de p , c’est-à-dire p, 2p, . . . , (pk−1) p pour ceux qui sont dans [[1, pk]] . Il y en a donc pk−1 .

✞

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☎

✆p.40 Exercice 14 Soit n ∈ IN∗ . Montrer :

∑

d|nϕ(d) = n.

Indication : on pourra considérer l’ensemble des rationnels de la forme p/n ,avec p ∈ [[1, n]] .

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 13 — #25✐

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II Anneau des polynomes �a une ind �etermin �ee

Proposition 13Si n et m sont premiers entre eux, alors on a ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).

Démonstration. Les anneaux ZZ/(nm)ZZ et (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) étant isomorphes (théorèmechinois), ils ont autant d’éléments inversibles.

Or, les inversibles de l’anneau produit (ZZ/nZZ) × (ZZ/mZZ) sont évidemment les couples (u, v) ,où u et v sont inversibles respectivement dans ZZ/nZZ et ZZ/mZZ. On en déduit le résultat.

Corollaire 14Si n = pα1

1 · · · pαrr , avec p1, . . . , pr des nombres premiers distincts deux à

deux et α1, . . . , αr des entiers naturels non nuls, alors on a :

ϕ(n) = n

(1− 1

p1

)· · ·(

1− 1pr

)·

Démonstration. Le résultat est immédiat si n = 1 (un produit vide vaut 1). Sinon, r > 1

et puisque les pαkk sont premiers entre eux deux à deux, pαr

r est premier avec pα11 · · · p

αr−1r−1 . À

partir de la proposition précédente, on a ϕ(n) = ϕ(pα11 · · · p

αr−1

r−1 ) ϕ(pαrr ) .

On en déduit ϕ(n) = ϕ(pα11 ) · · · ϕ(pαr

r ) par récurrence immédiate, sur le nombre de facteurs

premiers de n . À l’aide du résultat de l’exemple 2 de la page ci-contre, il vient :

ϕ(n) =(pα1

1 − pα1−11

)· · ·(pαr

r − pαr−1r

)

ce qui donne le résultat après factorisation par n = pα11 · · · pαr

r .

Cal ul de l'indi atri e d'Euler �a l'aide d'une m�ethode de rible On peut adapter lecrible d’Eratosthène (voir livre de première année) pour calculer l’indicatrice d’Eulerdes n premiers entiers. Cela consiste à multiplier chaque entier k par 1 − 1

p , pour

tous les diviseurs premiers p de k .

" " " Retourne l a l i s t e des phi (p )pour p in [ 0 , n ] " " "

t=l i s t ( range (n+1)) # in i t i a l e m e n t , t [ p]=p pour t ou t pfor p in range (2 , n ) :

i f t [ p ] == p : # p e s t premierfor k in range (p , n+1,p ) :

# on m u l t i p l i e l e s m u l t i p l e s# de p par 1−1/pt [ k ] −= t [ k ] // p

return t


On considère un corps IK (dans la pratique, un sous-corps de C). La structured’anneau de IK[X] , étudiée en première année lorsque IK = IR ou IK = C , sedéfinit de la même manière dans le cas général.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 14 — #26✐

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On conserve en particulier la notion de degré ainsi que ses propriétés quipermettent de montrer le résultat suivant.

Proposition 15IK[X] est un anneau intègre.

Démonstration. Il est clair que IK[X] est un anneau commutatif non réduit à {0} .

Soit A et B deux polynômes non nuls. Écrivons :

A =

p∑

i=0

ai Xi et B =

q∑

j=0

bj Xj avec p = deg A et q = deg B.

Par définition du produit, le coefficient du terme de degré n = p + q de A B est ap bq , doncnon nul comme produit d’éléments non nuls du corps IK. Ainsi A B 6= 0 .

1 Propri �et �es arithm�etiques �el �ementaires

Divisibilit �e

Définition 9Soit (A,B) ∈ IK[X]2 . On dit que B divise A , ou que A est un multiplede B , s’il existe Q ∈ IK[X] , appelé quotient de A par B , tel que A = BQ .On note B | A .

La relation de divisibilité est une relation réflexive et transitive, mais n’est nisymétrique ni antisymétrique (ce n’est ni une relation d’ordre, ni une relationd’équivalence).

Proposition 16Les éléments inversibles de IK[X] sont les éléments de IK∗ .

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☎


Exemples

1. Les diviseurs de 1 sont les éléments inversibles, c’est-à-dire les polynômesconstants non nuls.

2. Tout élément de IK[X ] divise 0, mais 0 ne divise que lui-même.

Polynomes asso i �es

Proposition 17Soit A et B deux éléments de IK[X] . Les propriétés suivantes sont équiva-lentes :

(i) A | B et B | A ;

(ii) il existe λ ∈ IK∗ tel que B = λA .

On dit alors que A et B sont associés.✞

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 15 — #27✐

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Exemples

1. 0 n’est associé qu’à lui-même.

2. Les éléments inversibles de IK[X ] sont les associés de 1.

Corollaire 18Tout élément non nul de IK[X] est associé à un unique polynôme unitaire.

Polynomes irr �edu tibles

Définition 10Un polynôme irréductible est un polynôme non constant dont les seulsdiviseurs sont ses associés et les constantes non nulles.

Exemple Tout polynôme de degré 1 est irréductible.

Proposition 19Un élément A ∈ IK[X] est irréductible si, et seulement si :

• A est non constant ;

• si A = BC , avec (B,C) ∈ IK[X]2 , alors B ou C est constant.✞

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☎


Rappel

• Les polynômes irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de IR[X] sont les polynômes de degré 1 et lespolynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Exemple Montrons que P = X3 +X + 1 est irréductible dans Q[X ] .Supposons P = QR , avec Q et R non constants. Alors l’un est de degré 2 et l’autrede degré 1. En particulier, l’un des deux, donc P aussi, admet une racine dans Q .Montrons que c’est impossible.Soit p et q deux entiers premiers entre eux, avec q 6= 0, tels que P (p/q) = 0.Alors p3 + p q2 + q3 = 0, donc q | p3 et p | q3 . On en déduit p = ±1 et q = ±1puisque p ∧ q = 1. Ainsi, p/q = ±1, ce qui est contradictoire puisque P (1) = 3 6= 0et P (−1) = −1 6= 0.

Remarque Plus généralement, un polynôme de IK[X] de degré 2 ou 3 n’ayantaucune racine dans IK est irréductible dans IK[X] .

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☎

✆p.41 Exercice 15 Le polynôme P = X4 +X2 + 1

1. a-t-il des racines dans C ? dans IR ? dans Q ?

2. est-il irréductible dans C[X ] ? dans IR[X ] ? dans Q[X ] ?

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 16 — #28✐

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Polynomes premiers entre eux

Définition 11Deux éléments de IK[X] sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurscommuns sont les polynômes constants non nuls de IK[X] .

Exemple Deux polynômes irréductibles non associés sont premiers entre eux. Consi-dérons, en effet, deux polynômes irréductibles P et Q non premiers entre eux. Ilsadmettent alors un diviseur commun D non constant. Comme P et Q sont irréduc-tibles, on en déduit que D est associé à P et à Q , donc que P et Q sont associés.

Plus généralement :

Proposition 20Soit P un polynôme irréductible et A un polynôme quelconque. Alors Pet A sont premiers entre eux si, et seulement si, P ne divise pas A .

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2 Utilisation des id �eaux de IK[X]Id �eaux de IK[X]Si B est un élément de IK[X] , l’exemple de la page 7 montre que :

B IK[X] ={BQ ; Q ∈ IK[X]

}

est un idéal de IK[X] .Comme dans le cas de ZZ, on a ainsi obtenu tous les idéaux de IK[X] .

Théorème 21Les idéaux de IK[X] sont les B IK[X] , pour B ∈ IK[X] .

Principe de démonstration. Si I est un idéal non nul de IK[X] , on considère un élément B

non nul de I de degré minimal et l’on utilise la division euclidienne par B pour montrer que

tout élément de I est un multiple de B .✞

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☎


Grâce à cette propriété importante de IK[X] , nous allons pouvoir retrouver(et généraliser au cas d’un corps IK quelconque) les propriétés arithmétiquesde l’anneau IK[X] .

Remarques

• Un anneau principal est un anneau intègre A dans lequel tout idéalest principal, c’est-à-dire de la forme xA , pour un certain x de A (voirl’exemple de la page 7).

• L’anneau IK[X] est ainsi un anneau principal, ainsi que ZZ d’après le théo-rème 7 de la page 8.

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 17 — #29✐

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• Les résultats arithmétiques qui suivent utilisent cette propriété de prin-cipalité de IK[X] et peuvent donc se généraliser à n’importe quel anneauprincipal (sauf l’algorithme d’Euclide qui utilise la division euclidienne).

• Le même schéma permettrait ainsi de retrouver les résultats classiques del’arithmétique de ZZ en utilisant ses idéaux.

Lien ave la divisibilit �e

La proposition suivante permet de ramener la notion de divisibilité à unerelation d’ordre (inclusion sur les idéaux).

Proposition 22On a :

∀(A,B) ∈ IK[X]2 B | A ⇐⇒ A IK[X] ⊂ B IK[X].

Démonstration. On a les équivalences immédiates :

B | A ⇐⇒ ∃Q ∈ IK[X] A = B Q ⇐⇒ A ∈ B IK[X].

Il ne reste plus qu’à vérifier que A IK[X] ⊂ B IK[X] ⇐⇒ A ∈ B IK[X] .

• L’implication =⇒ est évidente puisque A ∈ A IK[X] .

• Puisque B IK[X] est un idéal, si A ∈ B IK[X] , alors ∀Q ∈ IK[X] A Q ∈ B IK[X] , ce quiprouve l’implication ⇐= .

Remarque On en déduit, grâce à la proposition 17 de la page 14, que deuxpolynômes sont associés si, et seulement s’ils sont générateurs du même idéal.

Corollaire 23Tout idéal I de IK[X] non réduit à {0} est de la forme A IK[X] pour ununique polynôme unitaire A .

Ce polynôme A est appelé le générateur de I .

PGCD

Exemples Soit A et B deux polynômes non nuls.1. L’ensemble des multiples communs à A et B est A IK[X ]∩B IK[X ] . Il s’agit donc

d’un idéal de IK[X ] , non nul puisque AB lui appartient. Son générateur M estappelé le PPCM de A et B . C’est l’unique polynôme unitaire M ∈ IK[X ] telque :

A IK[X ] ∩B IK[X ] = M IK[X ]

c’est-à-dire vérifiant :

∀P ∈ IK[X ] (A | P et B | P ) ⇐⇒ M | P.

2. De même que, pour le PPCM, on s’intéresse à A IK[X ] ∩ B IK[X ] qui est le plusgrand idéal de IK[X ] contenu dans A IK[X ] et B IK[X ] , pour le PGCD on vaconsidérer le plus petit idéal de IK[X ] contenant A IK[X ] et B IK[X ] , c’est-à-dire,d’après la proposition 5 de la page 8, leur somme A IK[X ] +B IK[X ] .

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“ToutEnUn-MP” — 2016/3/10 — 23:37 — page 18 — #30✐

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Définition 12Soit A et B deux éléments de IK[X] non tous les deux nuls.

On appelle PGCD de A et B le générateur D de l’idéal A IK[X]+B IK[X] .

Il vérifie la relation :

∀P ∈ IK[X] (P | A et P | B) ⇐⇒ P | D.On a la relation de Bézout :

∃(U, V ) ∈ IK[X]2 D = AU +B V.

Remarques

• Parmi les diviseurs communs à A et B , le PGCD est le polynôme unitairede degré maximal.

• Si A = 0, le PGCD de A et B est le polynôme B normalisé (c’est-à-diredivisé par son coefficient dominant).

• Rappelons que l’on peut obtenir le PGCD par l’algorithme d’Euclide :

∗ tant que B est non nul, on remplace (A,B) par (B,R), où R est lereste de la division euclidienne de A par B ;

∗ le PGCD recherché est alors A divisé par son coefficient dominant.

Remarque La définition précédente se généralise naturellement à k élé-ments (A1, . . . , Ak) ∈ IK[X]k non tous nuls. L’ensemble :

{A1 U1 +A2 U2 + · · ·+Ak Uk ; (U1, U2, . . . , Uk) ∈ IK[X]k

},

noté A1 IK[X] +A2 IK[X] + · · ·+Ak IK[X] , est un idéal de IK[X] . Son généra-teur D est le PGCD de (A1, A2, . . . , Ak) et on a la relation de Bézout :

∃(U1, U2, . . . , Uk) ∈ IK[X]k D = A1 U1 +A2 U2 + · · ·+Ak Uk.

Relation de B�ezout

Par définition du PGCD, on a immédiatement les résultats suivants.

Proposition 24Soit (A,B) ∈ IK[X]2 .

1. Si D est le PGCD de A et B , alors il existe U et V dans IK[X] telsque D = AU +B V .

2. Les polynômes A et B sont premiers entre eux si, et seulement s’ilexiste (U, V ) ∈ IK[X]2 tel que AU +B V = 1.

Démonstration. Seule la réciproque du deuxième point reste à démontrer. Si A U + B V = 1 ,tout diviseur commun à A et B divise A U + B V donc 1 . On en déduit que les seuls diviseurscommuns à A et B sont les polynômes constants non nuls, donc que A et B sont premiersentre eux.

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