Mathématiques Élémentaires 3 Intégration Cours

CESI FI Mathmatiques lmentaires 3 Intgrales : cours

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Intgrales simples dfinies

1 Intgrabilit au sens de Riemann

f dsigne ici une fonction dune variable relle dfinie sur un intervalle [a;b]

1-1 Sommes de Riemann

1-1-1 On appelle subdivision de [a;b] la donne dun entier naturel non nul n et dune

famille finie de rels de [a;b] telle que : ; = b et 1; ,

Le pas de est la plus grande valeur de pour 1; 1-1-2 On appelle subdivision pointe de [a;b] tout couple not ; form par une

subdivision de [a;b] et une famille de rels tels que :

1; , 1-1-3 Une subdivision pointe ; de [a;b] tant donne, on appelle somme de

Riemann de f relative cette subdivision la somme

; ;

1-2 Intgrabilit au sens de Riemann

1-2-1 On dit que f est intgrable au sens de Riemann sur [a;b], ou Riemann-intgrable

si toutes les sommes de Riemann de f sur [a;b] admettent une limite commune

lorsque le pas de leurs subdivisions associes tend vers 0 :

! " tel que ( ) 0, + ) 0, || + - , |; ; !| ( 1-2-2 Si f est Riemann-intgrable sur [a;b], on appelle somme intgrale de f sur [a ;b],

ou plus simplement intgrale (dfinie) de f sur [a;b] la limite commune de ses

sommes de Riemann ; elle est note :

. /0/12

Dans lintgrale, la variable x est dite muette ; elle peut tre note de

nimporte quelle manire : elle ne sexprime pas dans le rsultat, qui ne dpend

que de f , a et b.

1-2-3 Cas particulier (subdivisions rgulires) : si f est Riemann-intgrable sur [a;b],

alors :

lim567

8 9 7

: lim567

8 9 7 : . /0/

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1-3 Interprtation gomtrique de lintgrale simple

1-3-1 Un repre du plan tant donn, on appelle unit daire (u.a.) associe ce repre

laire du paralllogramme engendr par son origine et ses vecteurs de base.

1-3-2 Si f est intgrable et positive sur [a;b], laire du domaine D dfini par lensemble

des points M(x;y) du plan tels que ; / 70 < /= est gale > /0/12 u. a.

1-3-3 Si f est intgrable et ngative sur [a;b], laire du domaine D dtermin par

lensemble des points M(x;y) du plan tels que ; / 7/ < 0= est gale > /0/12 u. a.

2 Primitives dune fonction sur un intervalle

f est ici une fonction dfinie sur un intervalle I.

2-1 Dfinition et proprits lmentaires

2-1-1 On dit quune fonction F est une primitive de f sur I si F est drivable sur I et si

/ A, BC/ /

2-1-2 Si f admet une primitive F sur I, alors elle en admet une infinit :

", B: / E B/ 9 est encore une primitive de f sur I.

2-1-3 Si f admet des primitives sur I, alors / A,


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/ P 1, argch/ ln / 9 T/O 1 Non drivable en 0, elle lest partout ailleurs :

/ L1; 9M, argchN/ 1T/ 1 Fonction argsh :

sh dfinit une bijection strictement croissante de " sur ". On appelle argsh sa rciproque, qui est donc une fonction strictement croissante de " dans ".

/ ", argsh/ ln / 9 T/O 9 1 sh est impaire et drivable sur " :

/ ", argshC/ 1T/ 9 1 Fonction tangente hyperbolique : cest la fonction note th dfinie sur " par :

th/ sh/ch/ HOV 1HOV 9 1

Cest une fonction impaire et strictement croissante sur ". Elle y est drivable et :

/ ", thC/ 1ch/ 1 th/

Fonction argth : th dfinit une bijection strictement croissante de " sur L1; 1M. On appelle argth sa rciproque, qui est donc strictement croissante de L1; 1M dans ".

/ L1; 1M, argth/ 12 ln 1 9 /1 /

argth est impaire et drivable sur son ensemble de dfinition :

/ L1; 1M , argthC/ 11 / 2-2 Primitives des fonctions de rfrence

Fonction f sur lintervalle Primitives F ( " : / E /W (+ X 1

L0; 9M B: / E /W6+ 9 1 9 : / E 1/

L; 0M ou L0; 9M B: / E ln|/| 9 : / E HI " B: / E HI 9

: / E cos / " B: / E sin/ 9 : / E sin / " B: / E cos/ 9 : / E 11 9 /

" B: / E arctan/ 9 : / E 1T1 /

L1; 1M B: / E arcsin/ 9

: / E 1T1 9 / " B: / E argsh/ 9

: / E 1T/ 1 L1; 9M B: / E argch/ 9


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2-3 Formules de primitives et composition

Dans ce tableau, u est une fonction drivable sur un intervalle I vrifiant les conditions

ventuelles imposes :

Fonction f Conditions pour u Primitives F ( " : / E ZC/MZ/LW

(+ X 1 u > 0 sur I B: / E MZ/LW6+ 9 1 9

: / E ZC/Z/ u de signe constant sur I B: / E ln|Z/| 9

: / E ZC/H[I aucune B: / E H[I 9 : / E ZC/cos MZ/L aucune B: / E sinMZ/L 9 : / E ZC/sin MZ/L aucune B: / E cosMZ/L 9

: / E ZC/1 9 MZ/L aucune B: / E arctanMZ/L 9

: / E ZC/T1 MZ/L ZA \ L1; 1M B: / E arcsin MZ/L 9

: / E ZC/T1 9 MZ/L aucune B: / E argshMZ/L 9

: / E ZC/TMZ/L 1 ZA \ L1; 9M B: / E argchMZ/L 9

3 Thormes fondamentaux du calcul intgral

3-1 Critre suffisant dintgrabilit

Toute fonction continue ayant un nombre fini de points de discontinuit sur [a;b]

y est Riemann-intgrable.

3-2 Expression intgrale dune primitive dune fonction continue

Si f est continue sur [a;b], alors elle y admet des primitives et

B: ] E . /0/^2

est lunique dentre elles qui sannule en a.

3-3 Mode de calcul de lintgrale dune fonction admettant des primitives

Si f est continue sur [a;b], alors

. /0/ MB/L21 B7 B1

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o F est lune quelconque des primitives de f sur [a;b].


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4 Proprits algbriques des intgrales simples dfinies

a, b et c dsignent ici des rels et f et g des fonctions Riemann-intgrable.

4-1 Permutation de bornes, linarit

4-1-1

. /0/ 022

et . /0/ . /0/12

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4-1-2 Linarit :

_; "O, . M_/ 9 `/L0/ _ . /0/ 9 . `/0/12

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4-2 Relation de Chasles

. /0/ . /0/ 9 . /0/1a

a2

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5 Proprits analytiques des intgrales simples dfinies

5-1 Intgrales simples dfinies et ingalits

Dans tout ce paragraphe, on suppose que 7 5-1-1 Si / M; 7L, / P 0, alors > /0/ P 012 . 5-1-2 Si f est continue et positive sur [a;b], alors

. /0/ 0 12

- / M; 7L, / 0 5-1-3 / M; 7L, / P `/ - > /0/ P > `/0/1212 5-1-4 Ingalit de la moyenne :

Sil existe deux rels m et M tels que/ M; 7L, b / c , alors : b7 . /0/ c7 1

2

5-1-5 Ingalit triangulaire :

d. /0/12

d . |/|0/12

5-2 Thorme de la moyenne Valeur moyenne

5-2-1 Si f est continue sur [a;b] et si g est de signe constant sur [a;b], alors :

e M; 7L tel que . /`/0/ e . `/0/12

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5-2-2 En particulier, si f est continue sur [a;b], alors


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e M; 7L tel que . /0/ 7 e12

On appelle alors e la valeur moyenne de f sur [a ;b] : cest le rel 17 . /0/

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5-3 Intgration par parties

Pour toutes fonctions u et v de classe f sur [a ;b] : . ZC/g/0/ MZ/g/L21 . Z/gC/0/

12

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5-4 Formule de Taylor avec reste intgral

Soit n un entier naturel non nul. Si f est de classe f6 sur [a;b], alors : 7 9 ! 7 9 .

6/! 7 /0/

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5-5 Thormes de changement de variable

5-5-1 Soit i de classe f sur un intervalle M+; jL. Si f est continue sur iM+; jL , alors . ki]liC]0] . /0/mn

mWn

W

5-5-2 Si de plus i est une bijection, alors en notant i et 7 i7 : . ki]liC]0] . /0/1

2mop1

mop2

6 Applications gomtriques

6-1 Aire dun domaine situ entre deux courbes reprsentatives de

fonctions

Si f et g sont continues sur [a;b] et si / M; 7L, / P `/, alors laire du domaine plan dtermin par lensemble des points M(x;y) tels que ; / 7`/ < /= est (en u.a.) :

q . M/ `/L0/12

6-2 Longueur dune courbe reprsentative de fonction

Soit f une fonction de classe f sur [a;b] et soit (C) sa courbe reprsentative dans un repre orthonorm. La longueur de (C) est :


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! . r1 9 MC/L0/12

6-3 Calcul du volume dun solide de section fonctionnellement connue

6-3-1 Si S(x) est laire de la section dun solide par un plan perpendiculaire laxe (Ox) et si / 7 pour tous ses points, alors son volume est, en u.v. :

s . /0/12

6-3-2 Un solide est de rvolution sil est engendr par la rotation dune courbe autour

dune droite. Si (C) est reprsentative dune fonction f continue sur [a;b], le volume du

solide de rvolution engendr par la rotation de (C) autour de laxe des abscisses est en

u.v. :

s t . M/L0/12

6-4 Centre de gravit dune surface dfinie par une courbe fonctionnelle

Soit f continue et positive sur [a;b], telle que 7 0. Soit D lensemble des points M(x;y) du plan tels que ; / 70 < /=. Soit q > /0/12 laire de D (en u.a.) Alors le centre de gravit G de D a pour coordonnes :

/u 1q . //0/1

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