Mathématiques Financières -cours et exercices corrigés(Edition 2001)

MATHEMATIQUES FINANCIERES

Cours et exercices corrigs

Mohamed DIOURIDocteur Ingnieur

PrsidentDu Conseil Pdagogique de lIGA

COLLECTION SCIENCES ET TECHNIQUES

MATHEMATIQUES FINANCIERESCours et exercices corrigs

Tous les droits sont rservsDpt lgal N

I.S.S.N.

Les livres de la collection Sciences et Techniques sont co-dits par les ditions TOUBKAL et lInstitut suprieur duGnie Appliqu, IGA.

A la mmoire de Myriam

Mathmatiques financires


SOMMAIRE

INTRODUCTION. 9PARTIE 1 - MATHEMATIQUES FINANCIERES ACOURT TERME.

11

CHAPITRE 1 - INTERET SIMPLE. 111.1. Dfinition. 111.2. Formules de lintrt simple. 121.3. Valeur acquise dun capital. 161.4. Taux moyen de placement. 181.5. Les comptes dintrts. 21

CHAPITRE 2 - LESCOMPTE COMMERCIAL AINTERET SIMPLE.

29

2.1. Dfinition. 292.2. Formules de lescompte. 302.3. Valeur actuelle. 322.4. Valeur nette. 342.5. Taux rel descompte. 352.6. Evaluation dun capital en fonction du temps. 362.7. Equivalence de deux effets. 372.8. Gnralisation dquivalence deffets. 432.9. Echance commune de plusieurs effets. 462.10. Echance moyenne de plusieurs effets. 492.11. Comptes dintrts. 50


PARTIE 2 - MATHEMATIQUES FINANCIERES AMOYEN ET LONG TERMES.

55

CHAPITRE 3 - INTERETS COMPOSES. 553.1. Dfinition. 553.2. Valeur acquise dun capital. 56

3.2.1. Formule de la valeur acquise. 573.2.2. Calculs sur la formule de la valeur acquise. 57

3.3. Valeur actuelle dun capital. 603.4. Taux dintrts quivalents. 613.5. Evaluation dun capital en fonction du temps. 68

3.5.1. Escompte intrts composs. 683.5.2. Equivalence deffets intrts composs. 69

CHAPITRE 4 - LES ANNUITES. 734.1. Dfinition. 734.2. Valeur actuelle dannuits constantes. 74

4.2.1. Annuits de fin de priodes. 744.2.2. Annuits de dbut de priodes. 75

4.3. Valeur acquise dannuits constantes. 784.3.1. Annuits de fin de priodes. 784.3.2. Annuits de dbut de priodes. 80

PARTIE 3 - MATHEMATIQUES FINANCIERESAPPROFONDIES.

91

CHAPITRE 5 - LES EMPRUNTS. 915.1. Dfinition. 915.2. Lemprunt indivis. 92

5.2.1. Emprunt indivis rembours par annuitsconstantes.

92

5.2.2. Emprunt indivis rembours par amortissementsconstants.

96

5.2.3. Taux dintrt rel dun emprunt indivis. 104


5.3. Lemprunt obligataire. 1075.3.1. Emprunt obligataire rembours au pair. 1085.3.2. Emprunt obligataire rembours au-dessus du

pair.113

5.3.3. Taux dintrt dun emprunt obligataire. 117CHAPITRE 6 - LES INVESTISSEMENTS. 121

6.1. Opportunit dun investissement. 1216.1.1. Gain dun investissement. 1226.1.2. Taux interne de rendement dun investissement. 1246.1.3. Dlai de rcupration du montant investi. 125

6.2. Choix entre investissements. 128PARTIE 4 - CAS DAPPLICATION. 137CHAPITRE 7 - METHODE DE RESOLUTION DEPROBLEMES DE MATHEMATIQUES FINANCIERES.

137

7.1. Formulaire de mathmatiques financires. 1387.1.1. Formules de mathmatiques financires court

terme.139

7.1.2. Formules de mathmatiques financires moyen et long termes.

140

7.1.3. Formules de mathmatiques financiresapprofondies.

141

7.2. Fonction logarithme. 1437.3. Mthode dinterpolation. 144


CHAPITRE 8 EXERCICES DAPPLICATION. 1478.1. Exercices relatifs la partie 1.

Mathmatiques financires court terme.147

8.2. Exercices relatifs la partie 2.Mathmatiques financires moyen et long termes.

170

8.3. Exercices relatifs la partie 3.Mathmatiques financires approfondies.

196

BIBLIOGRAPHIE. 241

9Mathmatiques financires

INTRODUCTION

Ce livre est conforme aux programmes du 1er cycle de lalicence en sciences conomiques, des coles de gestion et decommerce. Il est programm, en 1re et 2me annes de la filireManagement dEntreprises de lInstitut suprieur du GnieAppliqu, IGA.

Notre objectif, en ditant ce livre, est de mettre ladisposition de ltudiant un outil de travail utile auquel il peutse rfrer, chaque fois quil prouve le besoin de se remmorerle cours et/ou de se rappeler les pratiques de calcul enmathmatiques financires.

Ainsi, chaque chapitre comporte un ensemble dexercicesrsolus et lon trouvera, la fin du livre, toute une partieconsacre, exclusivement des exercices et des tudes de cassolutionns, permettant ltudiant de pouvoir sentraner rsoudre des problmes de mathmatiques financires.

Nous nous sommes, aussi efforcs dessayer de transmettre ltudiant une mthode simple de rsolution des problmes demathmatiques financires en adoptant, en permanence cettemthode, dans la prsentation de nos solutions types.

10


Cette mthode est, par ailleurs, explicite, la fin du livre,dans une partie, entirement rserve aux questions que peut seposer ltudiant, lors de la rsolution de problmes demathmatiques financires.

Cette dernire partie comporte, en outre toutes les tablesfinancires qui sont donnes dans une forme originale afin derendre ltudiant autonome, avec ce livre.

Ldition de ce livre entre dans le cadre de la politique deformation de lIGA, qui en mettant la disposition de sestudiants de tels ouvrages didactiques, entend montrer que danslenseignement suprieur, ltudiant doit tre accompagn etsoutenu, dans sa qute du savoir.

Mohamed DIOURI.PrsidentDu Conseil Pdagogique de lIGA.

11


PARTIE 1 - MATHEMATIQUES FINANCIERES ACOURT TERME.

Cette partie sintresse aux cas de capitaux engags pour despriodes infrieures une anne. Le court terme concerne doncdes dures comptes en mois ou en jours.

CHAPITRE 1 - INTERET SIMPLE.

1.1. DEFINITION.

Lintrt est le loyer de largent.

Quand on emprunte une somme dargent C, appele capital,pour une dure T, on doit rendre, la fin de la dure, le capital Caugment dun intrt I.

Cet intrt I est calcul partir du taux dintrt t et de ladure du prt selon la formule suivante :

100.Tt.CI (1.1)

I : intrt total pay la fin de la dure T ;C : capital prt ou emprunt pour une dure T au taux t,t : taux dintrt pour une priode ;

12


T : dure du prt (ou de lemprunt) compte en nombre depriodes (la priode pouvant tre un semestre, un trimestre,quelques mois, quelques jours, etc.)

Remarque 1 : La relation (1.1) est la formule gnrale delintrt simple dans laquelle la priode de rfrence estquelconque et le taux dintrt est celui relatif cette priode.

Remarque 2 : Dans la relation (1.1), comme dans toutes lesrelations suivantes de lintrt simple, il est opportun desoulever, ds maintenant, une particularit. En effet, la relation(1.1) contient le taux dintrt qui est, habituellement, donn enpourcentage, savoir par exemple t = 9 % = 0,09, alors que dansla relation on utilise t = 9.

1.2. FORMULES DE LINTERET SIMPLE.

La formule (1.1), relative au calcul de lintrt simple pourune dure T compte en annes est peu utilise du fait que, parhypothse, lintrt simple ne se calcule que pour des duresinfrieures lanne, cest pourquoi nous donnons, dans ce quisuit, les formules de calcul de lintrt simple pour des durescomptes en m mois ou en n jours.

Pour ce faire, et partant de la formule (1.1), il suffit de larcrire avec des donnes relatives au mois (respectivement aujour).

100mtC

I m (1.1a) et100

ntCI j (1.1b)

13


et de remplacer, par la suite, le taux mensuel tm (respectivementle taux journalier tj) par le taux annuel, not habituellement t, enutilisant les formules de conversion :

12ttm (1.2a) et 360

tt j (1.2b)

Ainsi, la formule de calcul de lintrt simple pour m moisest :

2001m.t.CI (1.3)

et la formule de calcul de lintrt simple pour n jours est :

00036n.t.CI (1.4)

Remarque 3 : Les formules (1.3) et (1.4) contiennent desdonnes non homognes ; en effet, elles utilisent toutes les deuxle taux dintrt annuel t alors que la formules (1.3) utilise unedure compte en mois (m mois) et la formule (1.4) utilise unedure compte en jours (n jours).

Toutes ces formules permettent de calculer une des 4 donnesC, T, n ou m et I ds que les 3 autres sont connues. En effet :

Exemple 1.1. : Calcul de lintrt.Quel est lintrt produit par un capital de 10 000 DH plac

un taux dintrt annuel de 9 % pendant une dure de 3 mois ?

14


Formalisons le problme pos.Calculer I si C = 10 000 DH, t = 9% et m = 3 mois.

DH225,002001

39000102001

mtCI

Exemple 1.2. : Calcul du capital.Quel est le capital qui, plac un taux dintrt annuel de

9 % pendant une dure de 3 mois, produit un intrt gal 225 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer C si I = 225,00 DH, t = 9% et m = 3 mois.

DH000,0010392252001

.mtI2001C

Exemple 1.3. : Calcul du taux dintrt.Calculer le taux dintrt du capital de 50 000 DH qui, plac

pendant une dure de 7 mois, produit un intrt gal 2770,80 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t si C = 50 000 DH, I = 2770,80 DH et m = 7 mois.

%9,5700050

2770,802001mC

I2001t

Exemple 1.4. : Calcul de la dure de placement.Trouver la dure de placement dun capital de 50 000 DH

qui, plac un taux de 9,5 % produit un intrt gal 2770,80 DH ?

15


Formalisons le problme.Calculer T si C = 50 000 DH, t = 9,5% et I = 2770,80 DH.

T en jours : jours2109,500050

2770,8000036tC

I00036n

T en mois : mois79,550000

2770,801200tC

I1200m

Exemple 1.5. : Calcul de lintrt.Quel est lintrt produit par un capital de 7 850 DH qui est

plac un taux dintrt de 9,75 % du 2 fvrier au 23 avril de lamme anne ?

Avant de formaliser le problme, nous devons calculer lenombre de jours compris entre le 2 fvrier et le 23 avril de lamme anne.

Entre le 2 et le 28 fvrier, il y a 26 jours ;Du 1er au le 31 mars, il y a 31 jours ;Du 1er au le 23 avril, il y a 23 jours ;Ainsi, n = 26 + 31 + 23 = 80 jours.

Formalisons, maintenant, le problme pos.Calculer I si C = 7850 DH, t = 9,75 % et n = 80 jours.

DH70,08100036

809,75850700036

ntCI

Remarque 4 : On ne compte jamais le 1er jour, cestpourquoi, il ny a que 26 jours entre le 2 et le 28 fvrier.

16


1.3. VALEUR ACQUISE DUN CAPITAL.

La valeur acquise, note VA, dun capital plac un tauxdintrt t pour une dure T est gale C + I ou I est lintrtque rapporte le capital C pendant la dure T.

On peut schmatiser cela sur un axe du temps :

La relation gnrale qui donne la valeur acquise est :

)100

T.t1(C100

T.t.CCICVA (1.5)

Pour un capital plac pendant m mois, la valeur acquise est :

)2001

m.t1(C2001

m.t.CCICVA (1.6)

Pour un capital plac pendant n jours, la valeur acquise est :

)00036n.t1(C

00036n.t.CCICVA (1.7)

Exemple 1.6. : Calcul de la valeur acquise.Calculer la valeur acquise dun capital de 8 000 DH plac

un taux dintrt de 11 % pendant 7 mois.

AujourdhuiValeur = C

Instant TValeur = C + I

Temps

17


Formalisons le problme pos.Calculer VA si C = 8 000 DH, t = 11 % et m = 7 mois.

DH8513,332001

71100080008VA

Exemple 1.7. : Calcul du capital plac.Un capital plac un taux de 10,50 %, pendant 215 jours,

acquiert une valeur gale 12 512,15 DH. Quelle est savaleur ?

Formalisons le problme pos.Calculer C, si VA = 12 512,15 DH, t = 10,50 % et n = 215

jours.

La relation (1.7) donne C en fonction de VA, t et n :

DH773,8311

0003621510,501

512,1512

00036nt1

VAC

Exemple 1.8. : Calcul du taux dintrt.A quel taux dintrt faut-il placer un capital de 10 000 DH

pour quil acquire, au bout de 90 jours, la valeur de10 225 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t, si C = 10 000 DH, VA = 10 225 DH et n = 90

jours.La relation (1.7) donne t en fonction de C, VA et n :

%99000010

)0001022510(00036nC

)CVA(00036t

18


Exemple 1.9. : Calcul de la dure de placement.Un capital de 9 700 DH, plac un taux de 8,50 %, lan,

acquiert une valeur de 10 000 DH. Quelle est sa dure deplacement ?

Formalisons le problme pos.Calculer n, si C = 9 700 DH, VA = 10 000 DH et t = 8,50 %.

La relation (1.7) donne n en fonction de C, VA et t :

jours1318,57009

)700900010(00036tC

)CVA(00036n

Nous avons arrondi le rsultat au nombre entier justesuprieur du fait quil sagit dun nombre de jours qui doit treentier.

1.4. TAUX MOYEN DE PLACEMENT.

Considrons deux capitaux C1 et C2 engags respectivementpendant T1 et T2 des taux dintrts t1 et t2, le taux dintrtmoyen tmoy est celui qui, appliqu aux deux capitaux, pendantrespectivement les dures T1 et T2, donne le mme intrt I :

Calcul de I avec t1 et t2 :

100

TtCTtCI 222111

Calcul de I avec tmoy :

100

TtCTtCI 2moy21moy1

19


Daprs la dfinition I est le mme, donc :

C1 tmoy T1 + C2 tmoy T2 = C1 t1 T1 + C2 t2 T2

do lon peut tirer tmoy pour T quelconque.

2211

222111

TCTCTtCTtC

tmoy (1.8)

Cette formule peut tre tendue pour des priodes comptesen mois ou en jours :

- En mois :2211

222111

mCmCmtCmtC

tmoy (1.9a)

- En jours :2211

222111

nCnCntCntC

tmoy (1.9b)

Les formules (1.9) peuvent tre aussi tendues N capitaux :

- En mois :

Ni

1i

Ni

1i

ii

iii

mC

mtCtmoy (1.10a)

- En jours

Ni

1i

Ni

1i

ii

iii

nC

ntCtmoy (1.10b)

20


Exemple 1.10. : Calcul du taux moyen de placement.Calculer le taux dintrt moyen de 3 capitaux C1, C2 et C3

placs comme suit :

C1 = 10 000 DH, t1 = 9 % et m1 = 8 mois ;C2 = 5 000 DH, t2 = 11 % et m2 = 5 mois ;C3 = 7 500 DH, t3 = 10 % et m3 = 7 mois.

La formalisation du problme pos est dj faite.En appliquant la relation (1.10b) avec les donnes :

tmoy = 75007500058000171050075110005890001

= 10,20 %

Exemple 1.11. : Calcul de la dure de placement.Deux capitaux de valeur 10 000 DH et 12 500 DH sont

placs, respectivement, lun 10 %, pendant 59 jours et lautre 11 %.

Quelle est la dure de placement du 2me capital, sachant quele taux moyen de placement des deux capitaux est 10,25 % ?

Formalisons le problme pos.Calculer n2 si C1 = 10 000 DH, C2 = 12 500 DH, n1 = 59

jours, t1 = 10 %, t2 = 11 % et tmoy = 10,25 %.La relation (1.9b) donne :

2211

222111

nCnCntCntC

tmoy

C2 n2 ( tmoy t2 ) = C1n1 ( t1- tmoy)jours16

0,75500120,255900010

)t(tC)t(tnC

nmoy22

1moy112

21


Comme il sagit de nombre de jours qui doit tre entier, nousavons arrondi le rsultat au nombre entier juste suprieur.

Exemple 1.12. : Calcul de la valeur dun capital.Un 1er capital de 5 000 DH est plac, pendant 25 jours,

9,75 %. Un 2me capital est plac, pendant 35 jours, 10,25 %.Quelle est la valeur du 2me capital si le taux moyen de

placement des deux capitaux est 10 % ?

Formalisons le problme pos.Calculer C2 si C1 = 5 000 DH, n1 = 25 jours, t1 = 9,75 %,

n2 = 35 jours et tmoy = 10 %.

La relation (1.9b) donne :

2211

222111

nCnCntCntC

tmoy

C2 n2 ( tmoy t2 ) = C1n1 ( t1- tmoy)

DH571,4330,2535

0,25250005)t(tn)t(tnC

Cmoy22

1moy112

1.5. LES COMPTES DINTERETS.

Les comptes dintrts sont des comptes ouverts auprsdinstitutions financires (banques, poste, etc.). Au Maroc, il y adeux types de comptes dintrts :

- Les comptes courants bancaires qui, daprs lanouvelle loi bancaire ne produisent pas dintrts silssont crditeurs, mais supportent des intrts sils sontdbiteurs ;

22


- Les comptes sur carnets qui sont ouverts auprs desbanques et des guichets de la poste et qui ne peuventtre que crditeurs et donc producteurs dintrts.

Nous allons donner, ci-aprs les rgles de tenue de cescomptes :

- Dterminer la date de valeur de chaque opration :* Pour les comptes bancaires, elle est gale j+2 ou +

3 lors dun dpt et j-1 lors dun retrait en espce oupar chque sur place.

* Pour les comptes sur carnets, elle est fixe le 16 oule 31 qui prcdent un retrait et le 15 ou 1er quisuivent un versement.

- Dterminer le nombre de jours sparant deuxoprations conscutives.

- Calculer lintrt pour chaque solde. Cet intrt estdbiteur dans le cas des comptes bancaires et crditeursdans le cas des comptes sur carnets.

- Intgrer le total des intrts au solde, la date delarrt du compte.

Cet arrt du compte est mensuel pour les comptes bancairessur chque et trimestriel pour les comptes sur carnets.

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Exemple 1.13. : Arrt dun compte bancaire.M. ZNIBER a un compte courant auprs de la Banque

Populaire, il effectue les oprations suivantes :

Dates Oprations Montants en DHLe 30/09 Solde du compte 12 300,00Le 05/10 Retrait dun chque 15 200,00Le 21/10 Versement espce 1 500,00Le 03/11 Retrait dun chque 5 250,00Le 17/11 Versement dun chque sur place 1 200,00Le 04/12 Versement dun chque 10 000,00Le 15/12 Versement dun chque 2 500,00

Etablir le solde du compte, au 31/12, si le taux dintrt dudcouvert est t = 11,50 %, et la date de valeur dun chque surplace est j + 3.

Le tableau des calculs rcapitulatifs de larrt du comptebancaire de M. ZNIBER est donn la page 24.


Tableau darrt du compte bancaire de M. ZNIBER, au 31/12.

Datesoprations

Oprations Dates devaleurs

Nombrede jours

Soldes du compte IntrtsdbiteursIntituls Montants DH Dbit Crdit

30/09 Solde 15 000,00 30/09 04 15 000,0005/10 Retrait chque 25 000,00 04/10 18 10 000,00 57,5021/10 Versement espce 1 500,00 22/10 10 8 500,00 27,1503/11 Retrait chque 5 250,00 02/11 18 13 750,00 79,0617/11 Versement chque sur place 1 200,00 20/11 17 12 550,00 68,1504/12 Versement chque sur place 10 000,00 07/12 11 2 550,00 0,9615/12 Versement chque sur place 2 800,00 18/12 13 250,0031/12 Total des intrts 232,80 31/12 . . . 17,18

On na considr que les intrts dbiteurs du fait de la loi bancaire qui interdit les intrts pour les comptes bancaires crditeurs.Pour le calcul des intrts dbiteurs, nous avons utilis la relation (1.4) ; par exemple, dans le cas du calcul des intrts ds pour le solde de

13 750,00 DH, pendant 18 jours sont :

DH79,0600036

1811,5075013

00036

ntCI

Le total des intrts est fait le 31/12 pour tre report sur le solde.Le solde bancaire, au 31/12, du compte de M. ZNIBER, est donc de 17,18 DH.

25


Exemple 1.14. : Arrt dun compte sur carnet.M. ATIQ a un compte sur carnet la B.C.M. Trouver le solde

de son compte au 30/06 sil ralise les oprations suivantes :

On suppose le taux dintrt t = 6 % et le prlvement fiscallibratoire gal 30 %.

Dates Oprations MontantsLe 31/03 Solde 25 450,00Le 06/04 Versement 4 550,00Le 18/04 Retrait 10 000,00Le 20/05 Versement 2 500,00Le 28/05 Retrait 21 000,00Le 12/06 Versement 3 750,00Le 17/06 Versement 43 000,00Le 20/06 Retrait 13 450,00

Le tableau rcapitulatif des calculs des intrts est :

Dates Oprations Soldesen DH

Datesvaleur

Nbrejours

Intrtsen DHIntitul en DH

31/03 Solde 25 450 31/03 15 63,6306/04 Verse 4 550 30 000 15/0418/04 Retrait 10 000 20 000 15/04 30 100,0020/05 Verse 2 500 22 500 15/0528/05 Retrait 21 000 1 500 15/05 15 3,7512/06 Verse 3 750 5 250 01/06 15 13,1217/06 Verse 43 000 48 250 15/0620/06 Retrait 13 450 34 800 15/06 15 87,00

Total des intrts crditeurs 267,50Prlvement fiscal 30 % 80,25Solde du compte au 30/06 34 880,25

26


Exemple 1.15. : Etude de cas : Arrt dun comptebancaire.

M. ADIL a un compte chque auprs de la B.M.C.I., ileffectue les oprations listes dans le tableau suivant.

Etablir le solde du compte, au 30/11, si le taux dintrt dudcouvert est t = 10 %.

La date de valeur dun versement pour un chque sur placeest de j + 3 et pour un chque hors place de j + 15.

Dates Oprations Montants en DHLe 31/10 Solde du compte 2 300,00Le 05/11 Retrait dun chque 5 200,00Le 06/11 Versement espce 4 500,00Le 07/11 Retrait dun chque 5 750,00Le 10/11 Versement dun chque sur place

place ppppppppplace placeplace1 200,00

Le 15/11 Versement dun chque hors place 2 500,00Le 20/11Le 15/11Le 15/11

Retrait espce 15 000,00Le 25/11 Versement dun chque sur place 13 500,00

Le tableau des calculs rcapitulatifs de larrt du compte surcarnet de M. ATTIQ est donn la page 27.

La mthode utilise, ci-dessus pour tablir larrt duncompte sappelle mthode hambourgeoise, elle consiste transcrire, chronologiquement, les oprations et ce qui endcoule. Elle sadapte bien lutilisation de logicielsgestionnaires de tableaux.

Exemple 1.16. : Calcul dun capital et du taux dintrt.Un capital plac voit sa valeur acquise slever 10 050 DH,

aprs 20 jours et 10 125 DH, aprs 50 jours. Quelle est savaleur et quel est le taux dintrt auquel il est plac ?


Tableau darrt du compte bancaire de M. ADIl, au 30/11.

Datesoprations

Oprations Dates devaleurs

Nombrede jours

Soldes du compte IntrtsdbiteursIntituls Montants DH Dbit Crdit

31/10 Solde 2 300,00 31/10 04 2 300,0005/11 Retrait chque 5 200,00 04/11 02 2 900,00 1,6107/11 Retrait chque 5 750,00 06/11 01 8 650,00 2,4006/11 Versement espce 4 500,00 07/11 06 4 150,00 6,9210/11 Versement chque sur place 1 200,00 13/11 06 2 950,00 4,9220/11 Retrait chque 15 000,00 19/11 09 17 950,00 44,8825/11 Versement chque sur place 13 500,00 28/11 02 4 450,00 2,4715/11 Versement chque hors place 2 500,00 30/11 00 1 950,0030/11 Total des intrts 63,20 2 013,20

Dans ce cas, on a commenc, pour la clart des calculs, par classer les oprations selon leur date de valeur. Cette opration est trsimportante.

On na considr que les intrts dbiteurs du fait de la loi bancaire qui interdit les intrts pour les comptes bancaires crditeurs.Pour le calcul des intrts dbiteurs, nous avons utilis la relation (1.4) ; par exemple, dans le cas du calcul des intrts ds pour le solde de 2

950,00 DH, pendant 6 jours sont :

DH4,9200036

910950200036

ntCI

Le total des intrts est fait le 30/11 pour tre report sur le solde.Le solde bancaire, au 30/11, du compte de M. ADIL, est donc de 2 013,20 DH.

28


Formalisons le problme pos.Calculer C et t si VA1 = 10 050 DH, n1 = 20 jours, VA2 = 10

125 DH et n2 = 50 jours.

La relation (1.7) donne :

0501000036

tC20C00036ntCCVA 11

1251000036

tC50C00036ntCCVA 22

En retranchant membre membre, on trouve :

2,500036tC75

00036tC30

En reportant ce rsultat dans lune des deux relations, on a :

C = 10 050 20 x 2,5 = 10 000 DH et t = 9 %

Nous reviendrons sur les comptes dintrts, lorsque nousaborderons, dans le prochain chapitre lescompte commercial intrt simple.

29


CHAPITRE 2 - LESCOMPTE COMMERCIAL AINTERET SIMPLE.

2.1. DEFINITION.

Lescompte commercial concerne la ngociation des effets decommerce.

Un effet de commerce est un moyen de paiement, il secaractrise par :

- Sa valeur nominale V qui est la somme payer lchance ;

- Son chance qui est le jour de son paiement.

La ngociation dun effet de commerce consiste payer ceteffet avant son chance, cette avance dargent se faitmoyennant un intrt appel escompte E.

La formule de lescompte est :

100T.t.VE (2.1)

E : montant de lescompte,V : valeur nominale de leffet,t : taux descompte relatif une priode,

30


T : dure de lescompte compte en priodes. Cette dure estcompte partir du moment de la ngociation jusqu la datedchance de leffet.

Lescompte est donc lintrt dun capital donn en avance.

Lescompte est factur en dbut de priode, alors que lintrtnintervient quen fin de priode.

2.2. FORMULES DE LESCOMPTE.

La relation (2.1) calcule lescompte pour des dures comptesen priodes. Elle est surtout utilise pour des dures comptes enmois ou jours, et les taux dintrt correspondants.

100n.j.t.V.

ou100mt.V.E (2.1 bis)

Formule descompte pour T en m mois :

2001m.t.VE (2.2)

Formule descompte pour T en n jours :

00036n.t.VE (2.3)

Les formules de lescompte pour des dures comptes enmois ou jours se dduisent facilement de la relation (2.1 bis) enremplaant tm (taux mensuel) et tj (taux journalier) par lesrelations (1.2a) et (1.2b) dj signales au chapitre 1.

31


Toutes ces formules permettent de calculer une des 4 donnesE,V, n ou m et t ds que lon connat les 3 autres. En effet :

Exemple 2.1. : Calcul de lescompte.Calculer lescompte dun effet de valeur nominale 10 000 DH

ayant un taux descompte de 10 % et une chance 56 jours.

Formalisons le problme pos.Calculer E si V = 10 000 DH, t = 10 % et n = 56 jours.

00036ntVE =

00036561000010

= 155,56 DH

Exemple 2.2. : Calcul du taux descompte.Calculer le taux descompte dun effet de valeur nominale

5 200 DH et ayant produit un escompte gal 200,20 DH pourune chance de 4 mois.

Formalisons le problme.Calculer t si E = 200,20 DH V = 5 200 DH, et m = 4 mois.

%511,542005

200,202001mV

E2001t

Exemple 2.3. : Calcul de la valeur nominale.Quelle est la valeur nominale dun effet qui, escompt un

taux de 9,50 % pour une chance de 56 jours, produit unescompte gal 345,50 DH ?

32


Formalisons le problme pos.Calculer V si t = 9,50 %, E = 345,50 DH et N = 56 jours.

DH379,7023569,50

345,5000036mt

E00036V

Exemple 2.4. : Calcul de la dure descompte.Un effet de valeur nominale 7 694,17 DH est escompt un

taux de 9,25 %. Quelle est sa date dchance si la banqueprlve 19,77 DH descompte ?

Formalisons le problme pos.Calculer n si V = 7 694,27 DH, t = 9,25 %, et E = 19,77 DH.

jours109,25694,277

19,7700036tC

E00036n

2.3. VALEUR ACTUELLE.

La valeur actuelle est la valeur laquelle se ngocie,aujourdhui leffet, cest--dire la valeur par laquelle leffet estremplac.

La valeur actuelle, note Va, dun effet ngoci est gale savaleur nominale diminue du montant de lescompte.

33


Va = V E (2.4)

En remplaant E par ses expressions indiques dans lesformules (2.2) et (2.3), la formule de la valeur actuelle, pour desdures comptes en m mois ou en n jours devient :

00036ntVV

2001mtVVVa (2.5)

Exemple 2.5. : Calcul de la valeur actuelle.Calculer la valeur actuelle dun effet de valeur nominale

15 500 DH, ngoci un taux descompte de 10,50 % pour unechance de 75 jours.

Formalisons le problme pos.Calculer Va si V = 15 500 DH, t = 10,50 % et n = 75 jours.Des relations (2.4) et (2.5) nous pouvons dduire :

DH160,941500036

7510,50500155001500036

ntVVVa

Exemple 2.6. : Calcul de la valeur nominale.Calculer la valeur nominale dun effet qui, escompt une

valeur actuelle gale 35 224,55 DH, au taux descompte de8,75 %, le 13 dcembre, sera chu le 25 fvrier de lannesuivante.

Avant tout calcul, il convient de compter le nombre de joursentre le 13/12 et le 25/02 de lanne suivante.

Aujourdhui :Valeur = Va

Date dchance :Valeur = V

34


Entre le 13/12 et le 31/12, il y a 18 jours ;Du 1er/01 au 31/01, il y a 31 jours ;Du 1er/02 au 25/02, il y a 25 jours ;Ainsi n = 18 + 31 + 25 = 74 jours.

Formalisons, maintenant, le problme pos.Calculer V si Va = 35 224,55 DH, t = 8,75 % et n = 74 jours.

Des formules (2.5) nous pouvons calculer V :

DH869,7135748,7500036

224,553500036nt00036

Va00036V

Remarque : La valeur actuelle dun effet varie tous les jours.Elle augmente continment jusqu atteindre, le jour delchance, la valeur nominale de leffet.

2.4. VALEUR NETTE.

La valeur nette, note Vn, dun effet est la sommeeffectivement mise la disposition du dtenteur de leffet lorsde sa ngociation.

La valeur nette Vn est gale la valeur actuelle Va diminuedes frais bancaires et de la TVA.

Les frais bancaires, pour la ngociation dun effet sont :

- Commission dencaissement ;- Commission dacceptation ;- La TVA de 7 %.

35


Les Agios sont lensemble des frais bancaires et delescompte.

Agios = Escompte + Frais bancaires (2.6)

La valeur nette est donne par la relation :

Vn = V Agios = Va Frais bancaires (2.7)

2.5. TAUX REEL DESCOMPTE.

Les relations (2.6) et (2.7) montrent, en fait que lors de langociation dun effet, son dtenteur peroit une valeur nette quiest gale la valeur actuelle diminue des frais bancaires ; cecise passe, donc comme si le taux descompte tait major.

Le taux descompte rel est ainsi gal :

nVAgios00036

rt (2.8)

Exemple 2.7. : calcul du taux rel descompte.Un effet escompt 9 %, le 20 fvrier a pour chance le

25 avril. Quel est son taux rel descompte si sa valeurnominale est 10 345,00 DH et la commission dencaissement est10,00 DH soumise une TVA de 7 % ?

Calculons, dabord le nombre de jours entre le 20/02 et le25/04, soit n = 8 + 31 + 25 = 64 jours, ensuite calculonslescompte.

36


Formalisons le problme posCalculer tr si V = 10 345 DH, t = 9 %, Agios = 10 DH avec

TVA = 7 % et n = 64 jours.

DH165,5200036

64934510E

Agios = 165,52 + 10 x 1,07 = 176,22 DH

%9,586410345

176,2200036t r

2.6. EVALUATION DUN CAPITAL EN FONCTIONDU TEMPS.

Un capital, comme un effet, a une valeur qui dpend de ladate laquelle on le considre. Ainsi, si le taux dintrt est 9 %un capital (ou un effet) qui vaut, aujourdhui 10 000 DH

Vaudra sa valeur acquise VA, dans 50 jours, avec :VA = C + I = 10 125 DH ;

Et vaut sa valeur actuelle Va, il y a 50 jours, avec :Va = C E = 9 875 DH.

Temps

Aujourdhui :Valeur = V

50 jours avant :Valeur = Va

50 jours aprs :Valeur = VA

37


Exemple 2.8. : Calcul des valeurs dun capital en fonctiondu temps.

Quelle est la valeur dun capital de valeur 12 350 DH,aujourdhui, 30 jours avant et 54 jours aprs, si le taux dintrtest 10 % ?

30 jours avant,DH247,0812

0003630103501235012Va

54 jours aprs,DH535,2512

0003654103501235012VA

2.7. EQUIVALENCE DE DEUX EFFETS.

Deux effets sont quivalents, une certaine date, sils sontgaux cette date.

Lquivalence des effets est une opration importante quipermet de remplacer un ou plusieurs effets par un ou plusieursautres effets.

Exemple 2.9. : Equivalence de deux effets.Prenons deux effets, escompts un taux de 12 %, avec les

donnes suivantes :1er effet : valeur nominale V1 = 8 400 DH et dlai dchance

25 jours ;2me effet : valeur nominale V2 = 8 587,63 DH et dlai

dchance 90 jours.

38


Nous pouvons schmatiser cela sur un axe des temps :

La valeur actuelle du 1er effet est, aujourdhui, gale :

DH330,00800036

251240084008

0003625tV

VVa1

11

La valeur actuelle du 2me effet est, aujourdhui, gale :

DH330,00800036

9012587,638587,638

0003660tV

VVa2

22

On voit ainsi, qu la date daujourdhui, les valeurs actuellesdes deux effets sont gales et que donc les deux effets sontquivalents, ils peuvent tre alors changs.

AujourdhuiValeur Effet n1 = Va1Valeur Effet n2 = Va2

25 jours aprsValeur Effet n1 = V1

90 jours aprsValeur Effet n2 = V2

Temps

39


En fait, le problme de lquivalence de deux effets peut trepos de deux faons :

1er cas : On se place la date daujourdhui, on dispose dedeux effets de valeurs nominales V1 et V2 et de dlaisdchances respectifs n1 et n2 jours. Quelle est la datedquivalence de ces deux effets si le taux descompte annuelcommun est t ?

En reprenant ce que nous avons dj fait dans lexemple 2.9,nous pouvons crire, les galits suivantes, si n est le dlai aubout duquel la date dquivalence intervient :

00036)nn(tV

VVa11

11

00036)nn(tV

VVa22

22

De lgalit Va1 = Va2, nous pouvons tirer n :

t00036

VV

nVnVn

21

2211 (2.9)

2me cas : On dispose de deux effets de valeurs nominales V1et V2 et de dates dchances respectives d1 et d2 jours. Quelleest la date dquivalence de ces deux effets si le taux descompteannuel commun est t ? (on suppose d2 postrieure d1 et quil yait d jours entre d1 et d2).

40


La diffrence entre les deux cas est que dans le 2me on ne faitplus rfrence la date daujourdhui.

Ce cas peut tre ramen au cas prcdent, il suffit deconsidrer la date daujourdhui comme date de dpart desdcomptes en jours des dlais dchance des deux effets ; nsera alors le nombre de jours, partir daujourdhui, pour que ladate dquivalence intervienne et (d1 n) le nombre de joursavant la date dchance du 1er effet pour que la datedquivalence des deux effets intervienne.

Lintrt de la formule (2.9) est quelle prsente une symtrieentre les donnes relatives aux deux effets et par consquent elleest facile retenir.

Cette formule montre aussi que la date dquivalence de deuxeffets existe et est unique.

Exemple 2.10. : Dtermination de la date dquivalence dedeux effets.

On considre deux effets qui, escompts le 2 fvrier, ont desvaleurs nominales gales 3 771,74 DH et 3 871,74 DH ; etdes dates dchance respectivement le 30/03 et le 30/06 de lamme anne. Quelle est leur date dquivalence, si le tauxdescompte est gal 10 % ?

Date dquivalencen jours avant n1Valeur Effet n1 = Va1Valeur Effet n2 = Va2

Date dchance d1Valeur Effet n1 = V1

Date dchance d2Valeur Effet n2 = V2

Temps

d joursn jours avant d1

41


Calculons, tout dabord, les nombres de jours entre le 02/02et le 30/03 puis le 30/06 de la mme anne.

Entre le 2/2 et le 28/2, il y a 26 jours ;Du 1er/3 au 30/3, il y a 30 jours ;Du 30/3 au 30/4, il y a 31 jours ;Du 1er/5 au 31/5, il y a 31 jours ;Du 1er/- au 30/6, il y a 30 jours ;Ainsi n1 = 56 jours et n2 = 148 jours.

Formalisons, maintenant le problme pos.Calculer la date dquivalence de deux effets si :V1 = 3 771,74 DH, V2 = 3 871,74 DH, n1 = 56 jours et n2 =

148 jours et t = 10 %.

Lapplication de la formule (2.9) donne :

jours181000036

871,743771,743148871,74356771,743

n

La date dquivalence aura lieu 18 jours aprs la date dengociation, savoir le 20 fvrier.

Exemple 2.11. : Dtermination de la date dquivalence dedeux effets.

Reprenons lexemple prcdent et ne dfinissons pas la datede ngociation des deux effets.

Lnonc devient alors :Deux effets de valeurs nominales 3 771,74 DH ont pour dates

dchances respectives le 30/03 et le 30/06 de la mme anne.Quelle est leur date dquivalence si le taux descompte et gale 10 % ?

42


Formalisons le problme pos :Calculer n date dquivalence de deux effets si :V1 = 3 771,74 DH, V2 = 3 871,74 DH, d1 = le 30/03, d2 = le

30/06 et t = 10 %.

Le nombre de jours entre le 30/03 et le 26/10 est d = 92 joursdonc n2 = n1 + 92.

La relation (2.9) devient

t00036

VVd)(nVnV

n21

1211

jours38dVV

V

t00036

nn

12

21

Ce qui veut dire que la date dquivalence a lieu 38 joursavant la date dchance du 1er effet, soit 38 jours avant le30/03, soit le 20/02.

On retrouve bien le mme rsultat que pour lexemple 2.10.

La relation (2.9) permet de calculer une des six variables V1,V2, n1, n2, t et n si lon connat les cinq autres. En effet :

Exemple 2.12. : Calcul du taux descompte de deux effetsquivalents.

Trouver le taux descompte de deux effets qui ont des valeursnominales de 21 712,12 et 22 712,12 DH, des chancesrespectives de 26 et 158 jours et qui sont quivalents 10 joursavant la date dchance du 1e effet.

43


Formalisons le problme pos.Trouver t si V1 = 21 712,12 DH, V2 = 22 712,12 DH, n1 = 26

jours et n2 = 158 jours ; avec date dquivalence 10 jours avantla date dchance du 1er effet.

Nous sommes, ici dans le 1er cas, savoir, n = n1 - 10 = 16jours, de ce fait nous pouvons porter les dates dchance sur unaxe du temps.


%11,97tsoit0083nVV

nVnVt00036

21

2211

2.8. GENERALISATION DEQUIVALENCE DEFFETS.

Considrons un 1er groupe deffets V1, V2, V3, .Vk,dchances respectives n1, n2, n3 . nk ;

Considrons un 2me groupe deffets W1, W2, W3, .Wl,dchances respectives m1, m2, m3 . ml ;

0Aujourdhui

n = n1 16n = 10

n1 = 26 n2 = 158

temps

44


La date dquivalence de ces deux groupes deffets est cellepour laquelle on a lgalit des valeurs actuelles des deuxgroupes deffets, cest--dire, la date laquelle les deuxensembles deffets peuvent schanger :

Par dfinition, nous pouvons crire la date dquivalence :

]00036

)nim(tWli1i W

[]00036

)nin(tVki1i V

[ iii

i

Cette relation qui traduit la dfinition de lquivalence desdeux groupes deffets aboutit la gnralisation de la formule(2.9) de la date dquivalence :

t00036

li

1i

ki

1i VW

li

1i

ki

1i nVmWn

ii

iiii

(2.10)

Cette formule montre aussi que la date dquivalence de deuxgroupes deffets existe et est unique.

Exemple 2.13. : calcul de la date dquivalence de deuxgroupes deffets.

Prenons un 1er groupe de trois effets de valeurs nominales5 000 DH, 7 500 DH et 9 250 DH et dchances respectives75, 70 et 90 jours.

Prenons un 2me groupe de deux effets de valeurs nominales10 100 DH, et 8 250 DH et dchances respectives 13 et25 jours.

45


Trouver leur date dquivalence si le taux descompte estgal 10,50 %.

Formalisons le problme pos.Trouver n, date dquivalence de deux groupes deffets, si :1er groupe deffets : V1 = 5 000 DH, n1 = 75 jours,

V2 = 7 500 DH, n2 = 70 jours, V3 = 9 250 DH et n3 = 90 jours.2me groupe deffets : W1 = 15 100 DH, W2 = 6 250 DH, et

m1 = 13 jours et m2 = 25 jours.Taux descompte annuel t = 10,50 %

Nous sommes, ici, dans le 1er cas du paragraphe 2.7,lapplication de la formule (2.9) donne :

t00036

)WW()VVV()mWmW()nVnVnV(

n

21321

2211332211

2506100152509500700052525061310015902509705007750005

n

jours22soit)21,3(t00036


Ainsi, la date dquivalence des deux groupes deffets sesitue 22 jours ou (22 13 = 9) 9 jours aprs la datedchance du 1er effet du 2me groupe deffets.

46


2.9. ECHEANCE COMMUNE DE PLUSIEURSEFFETS.

On parle dchance commune de plusieurs effets, lorsquilsagit de remplacer un groupe deffets par un seul effet de valeurnominale W et de date dchance m et qui est quivalent, ladate daujourdhui, lensemble des autres effets.

Cest l un cas particulier du problme prcdent ou le 2megroupe deffet est ramen un seul effet de valeur nominal W etde date dchance m, avec aujourdhui comme datedquivalence du 1er groupe deffets et de leffet W.

Prenons, dabord le cas de deux effets de valeurs nominalesV1 et V2 et de dlais dchance respectifs n1 et n2 ; il sagit detrouver la valeur nominale de leffet de valeur nominale W et dedlai dchance m qui est quivalent, la date daujourdhui,aux deux effets.

Leffet W est quivalent aux effets V1 et V2, la datedaujourdhui :

00036mtWW)

00036ntVV()00036

ntVV( 22211

1

Ce qui donne pour W et m les expressions suivantes :

mt00036V)nt00036(V)nt00036(

W 2211 (2.11)

47


W

V)nt00036(V)nt00036(t00036

m 2211 (2.12)

Ces expressions permettent de calculer la valeur nominale, W(ou la date dchance, m) de leffet qui remplace, la datedaujourdhui, les deux autres effets.

Exemple 2.14. : Calcul de la valeur nominale dun effetquivalent deux effets.

Trouver la valeur nominale dun effet dchance 50 joursquivalent aux deux effets de valeurs respectives 10 500 et9 200 DH et dchances respectives 25 et 35 jours. Le tauxdescompte est de 10 %

Formalisons le problme pos.Trouver W, si m = 50 jours t = 10 % etV1 10 500 DH et n1 = 25 joursV2 = 9 200 DH et n2 = 35 joursLutilisation de la relation (2.11 ) donne :

DH812,8219501000036

2009)351000036(50010)251000036(W

Exemple 2.15. : Calcul de lchance commune de deuxeffets.

Calculer lchance commune des deux effets de lexemple2.14, sils sont remplacs par un effet de valeur nominale20 000 DH.

48


Formalisons le problme pos.Trouver m, si W = 20 000 DH t = 10 % etV1 10 500 DH et n1 = 25 joursV2 = 9 200 DH et n2 = 35 jours

Lutilisation de la relation (2.12) donne :

jours841000020

2009)351000036(50010)251000036(t00036

m


Gnralisation des relations (2.11) et (2.12) :

Dans le cas gnral, on a un 1er groupe deffets V1, V2, V3,.Vk, dchances respectives n1, n2, n3 . nk et lon essaie dele remplacer, aujourdhui, par un seul effet de valeur nominaleW et de date dchance m. ;

Les relations (2.11) et (2.12) se gnralisent et deviennent :

mt00036

V)nt00036(ki

1iWii

(2.13)

W

V)nt00036(ki

1it00036

mii

(2.14)

49


2.10. ECHEANCE MOYENNE DE PLUSIEURSEFFETS.

On parle dchance moyenne de plusieurs effets, lorsquilsagit de remplacer un groupe deffets par un seul effet de valeurnominale W, gale la somme des valeurs nominales des autreseffets et de date dchance m et qui est quivalent, la datedaujourdhui, lensemble des autres effets.

Cest l un cas particulier du problme prcdent ou leffetquivalent est de valeur nominale W et de date dchance m,avec les conditions suivantes :

ki

1i VW i et m date dchance de leffet W.

En reprenant la relation de dfinition dquivalence deffets,on trouve la formule gnralise de lchance moyenne deplusieurs effets.

00036mtWW]

00036ntVki

1i V[ iii

Do lon dduit m :

ki

1i V

ki

1i nVm

i

ii(2.15)

50


Lchance moyenne de plusieurs effets ne dpend pas dutaux descompte.

Exemple 2.16. : Calcul de lchance moyenne dungroupe de trois effets.

Dterminer lchance moyenne dun groupe de trois effetsde valeurs nominales respectives 9 500, 8 700 et 9 200 DH etdchances respectives 20, 25 et 40 jours.

Formalisons le problme pos.Trouver m, chance moyenne, dun groupe de trois effets,V1 9 500 DH et n1 = 20 joursV2 = 8 700 DH et n2 = 25 joursV3 = 9 200 DH et n3 = 40 jours

Lutilisation de la relation (2.15 ) donne :

jours29200970085009402009257008205009

m

Nous avons arrondi le rsultat au nombre entier justesuprieur du fait quil sagit dun nombre de jour qui doit treentier.

2.11. COMPTES DINTERETS.

Nous reprenons les calculs concernant les comptes dintrtspour voir comment intervient lescompte sur leur tenue.

Nous limiterons notre propos ltude de deux exemples.

51


Exemple 2.17. : Arrt dun compte bancaire.M. CHIBOUB dispose dun compte bancaire auprs de la

B.M.C.E., il effectue les oprations suivantes :

Dates OprationsIntituls Montants DH31/10 Solde du compte 12 350,5005/11 Retrait dun chque 15 500,0010/11 Retrait dun chque 7 750,0021/11 Remise dun effet au 21/12 9 000,0025/11 Remise dun effet au 31/12 5 000,0025/11 Retrait dun chque 11 250,00

Etablir larrt du compte au 30/11, sachant que :Le taux des intrts dbiteurs et celui de lescompte sont

gaux 10 %- Conformment la loi bancaire, il ny a pas dintrts

crditeurs.- La date de valeur dun retrait par un chque est j - 1

La formalisation du problme est faite dans lnonc.

Pour les calculs de lescompte des deux effets remis, nousavons compt les nombres de jours sparant la date de remise dechaque effet de sa date dchance, comme indiqu, tout au longde ce chapitre.

Pour le 1er effet, nous avons trouv n1= 30 jours ;Pour le 2me effet, nous avons trouv n2 = 36 jours.

52


Le tableau rcapitulatif des calculs pour larrt du comptebancaire de M. CHIBOUB est donn la page 53.

Exemple 2.18. : Etude de cas : Arrt dun comptebancaire.

Mme ZINEB a un compte chque auprs de la BanquePopulaire. Elle effectue les oprations suivantes :

Dates Intituls Montants DH31/01 Solde 12 325,3605/02 Remise deffet au 26/03 9 685,3007/02 Remise chque hors place 2 350,0012/02 Versement espces 10 000,0020/02 Retrait chque 42 250,0025/02 Remise chque sur place 25 750,0026/02 Remise deffet au 18/04 3 256,3727/02 Retrait espces 2 250,00

Etablir larrt du compte de Mme ZINEB, au 28/02 sachantque :

La date de valeur dun versement pour un chque sur placeest de j + 3 et pour un chque hors place est de j + 15.

Le taux dintrts dbiteurs et le taux descompte sont gaux 11 %.

La formalisation du problme est faite dans lnonc.

Le tableau rcapitulatif des calculs pour larrt du comptebancaire de Mme ZINEB est donn la page 54.

Aprs cette 1re partie consacre aux mathmatiquesfinancires court terme, nous abordons, dans les prochainschapitres, la partie consacre aux mathmatiques financires moyen et long termes.


Tableau darrt du compte bancaire de M. CHIBOUB, au 30/11.Date

oprationOprations Dates

ValeurNombrede jours

Solde Intrts EscompteIntituls Montants DH Dbit Crdit31/10 Solde 12 350,00 31/10 04 12 350,0005/11 Retrait dun chque 15 500,00 04/11 05 3 150,00 4,3810/11 Retrait dun chque 7 750,00 09/11 13 10 900,00 39,3621/11 Remise dun effet au 21/12 9 000,00 22/11 02 1 900,00 1,06 75,0025/11 Retrait dun chque 11 250,00 24/11 02 13 150,00 7,3125/11 Remise dun effet au 31/12 5 000,00 26/11 02 8 150,00 4,53 50,0030/11 Total intrts et escomptes 181,64 8 331,64 56,64 125,00

Dans ce cas, on a commenc, pour la clart des calculs, par classer les oprations selon leur date de valeur. Cette opration est trsimportante.

On na considr que les intrts dbiteurs du fait de la loi bancaire qui interdit les intrts pour les comptes bancaires crditeurs.Pour le calcul des intrts dbiteurs et des escomptes, nous avons utilis, respectivement, la relation (1.4) et la relation (2.3), par exemple

pour le cas des intrts ds pour le solde dbiteur de 1 900,00 DH, pendant 2 jours, nous avons :

DH1,0600036

2109001

00036

ntCI

Et pour le cas de lescompte d pour la remise de leffet de 9 000,00 DH qui a une chance 30 jours, nous avons :

DH75,0000036

30100009

00036

ntVE

Le total des intrts et des escomptes sont arrts le 30/11 pour tre reports sur le solde.Le solde bancaire, au 30/11, du compte de M. CHIBOUB, est donc de 8 331,64 DH.

Mathmatiques financiresTableau darrt du compte bancaire de Mme ZINEB, au 28/02.Date

OprationOprations Date de

valeurNombrede jours

Solde Intrts EscomptesIntituls Montants DH Dbit Crdit31/01 Solde 12 325,36 31/01 06 12 325,3605/02 Remise effet au 26/03 9 635,30 06/02 07 21 960,66 131,4712/02 Versement espces 10 000,00 13/02 06 31 960,6620/02 Retrait chque 42 250,00 19/02 03 10 289,34 8,5707/02 Remise chque hors place 2 350,00 22/02 02 12 639,34 7,0225/02 Retrait espce 2 250,00 24/02 04 14 889,34 16,5426/02 Remise effet au 18/04 3 256,37 27/02 01 11 632,97 3,23 46,1325/02 Remise chque sur place 25 750,00 28/02 0 14 117,03 35,36 177,6028/02 Total intrts et escomptes 212,96 13 904,07Dans ce cas, on a commenc, pour la clart des calculs, par classer les oprations selon leur date de valeur. Cette opration est trs

importante.On na considr que les intrts dbiteurs du fait de la loi bancaire qui interdit les intrts pour les comptes bancaires crditeurs.Pour le calcul des intrts dbiteurs et des escomptes, nous avons utilis, respectivement, la relation (1.4) et la relation (2.3) ; pour le cas des

intrts ds pour le solde dbiteur de 10 289,34 DH, pendant 3 jours, nous avons :

DH8,5700036

310289,3410

00036

ntCI

Et pour le cas de lescompte d pour la remise de leffet de 9 635,30 DH qui a une chance 49 jours, nous avons :

DH131,4700036

4910635,309

00036

ntVE

Le total des intrts et des escomptes sont arrts le 28/02 pour tre reports sur le solde.Le solde bancaire, au 28/02, du compte de Mme ZINEB, est donc crditeur de 13 904,07 DH.

55


PARTIE 2 - MATHEMATIQUES FINANCIERES AMOYEN ET LONG TERMES.

Cette partie sintresse aux cas des capitaux engags pour lemoyen et long termes, savoir, plusieurs mois, quelques annesou mme plus.

CHAPITRE 3 - INTERETS COMPOSES.

3.1. DEFINITION.

Lorsquun capital est plac pour plusieurs annes, lintrtquil produit, chaque anne, est rintgr au capital principal etproduit, son tour, un intrt. Cette capitalisation des intrts estla base des calculs des intrts composs.

On considre un capital de 1 000 DH plac au taux annuel de10 %, calculons ce quil devient aprs 3 annes.

A la fin de la 1re anne, il devient :1 000 (1 + 0,1) = 1 100A la fin de la 2me anne, il devient :1 100 (1 + 0,1) = 1 210A la fin de la 3me anne, il devient :1 210 (1 + 0,1) = 1 331

Il acquiert, ainsi un intrt gal 1 331 1 000 = 331 DH.

Plac intrt simple de 10 %, il naurait acquis que 300 DHdintrts.

56


La diffrence vient de la capitalisation des intrts, desintrts qui produisent des intrts, do le nom dintrtscomposs.

Reprenons lexemple ci-dessus, et gnralisons-le au cas d uncapital C plac, pour n priodes, au taux priodique t :

Aprs 1 priode le capital devient : C + C t = C (1 + t)

Aprs 2 priodes il devient :C (1 + t) + C (1 + t) t = C (1 + t)2

Aprs 3 priodes il devient :C (1 + t)2 + C (1 + t)2 t = C (1 + t)3

Aprs 4 priodes il devient :C (1 + t)3 + C (1 + t)3 t = C (1 + t)4

Et ainsi de suite, aprs n priodes il devient : C (1 + t)n

3.2. VALEUR ACQUISE DUN CAPITAL.

Nous pouvons reprsenter les valeurs dun capital,aujourdhui et quelque temps aprs, sur un axe du temps :

Temps

Aujourdhui :Valeur C

Aprs n priodes :Valeur VA = Cn

57


3.2.1. FORMULE DE LA VALEUR ACQUISE.

La valeur acquise, note VA, dun capital C, plac, pendant npriodes, au taux dintrt priodique t est donn par laformule gnrale :

VA = Cn = C (1 + t)n (3.1)

Il nest pas ncessaire de parler toujours dannes pour lecalcul de la valeur acquise avec des intrts composs, il suffit,comme nous venons de le faire, de parler de priodes.

En effet, si le taux dintrt t concerne une priode donne(anne, mois, trimestre, semestre, etc.) la valeur acquise par uncapital plac pendant n priodes, au taux priodique, t estdonne par la relation (3.1).

Ainsi, la somme totale des intrts produits par un capitalplac, pendant n priodes, au taux dintrt priodique t est :

I = C (1 + t)n C = C [(1 + t)n 1] (3.2)

3.2.2. CALCULS SUR LA FORMULE DE LA VALEURACQUISE.

La relation (3.1) permet de calculer une des 4 variables, VA,C, t et n ds que les 3 autres sont connues.

Nous allons, dans ce paragraphe, donner tous les cas defigures possibles.

58


Exemple 3.1. : Calcul de la valeur acquise dun capitalplac intrts composs.

Calculer la valeur acquise dun capital de 5 500 DH, placpendant 5 ans au taux annuel de 9 %.

Formalisons le problme pos.Calculer VA si C = 5 500 DH, t = 9 % et n = 5 ans.

VA = C (1 + t)n = 5 500 (1,09)5 = 8 462,43 DH

Exemple 3.2. : Calcul de la valeur initiale dun capital,plac intrts composs.

Calculer le montant du capital qui, plac, pendant 3 ans, autaux annuel de 11 %, acquiert une valeur gale 7 500 DH.

Formalisons le problme pos.Calculer C si VA = 7 500 DH, t = 11 % et n = 3 ans.

DH940,4843)1,11(5007

n)t1(VAC

Les calculs, pour ces deux premiers exemples, peuvent trefaits facilement sur simple calculette ; ils peuvent aussi utiliserles tables financires T1a et T2a.

Exemple 3.3. : Calcul du taux dintrts composs.Quel est le taux dintrt dun capital de 10 500 DH qui,

plac, pendant 5 ans, acquiert une valeur de 17 298,19 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t si C = 10 500, VA = 17 298,19 DH, et n = 5 ans.

59


Solution algbrique :De la relation (3.1) on peut tirer :

%10,50151

)C

VA(t

Solution daprs les tables financires :On peut utiliser les tables financires.

(1 + t)5 = 1,6474550010

298,1917

La table T1a donne pour n = 5 et Cn = 1,64745 t = 10,50 %

Exemple 3.4. : Calcul de la dure de placement, intrtscomposs, dun capital.

Au bout de combien dannes un capital de 500 DH plac autaux annuel de 8,50 % acquiert-il une valeur de 751,83 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer n si C = 500 DH, VA = 751,83 DH et t = 8,50 %.

Solution algbrique :La solution algbrique fait appel aux logarithmes (voir

chapitre 7)

VA = C (1 + t) n => n Log (1 + t) = Log (VA/C)

5)1,085(Log)1,50366(Log

)t1(Log)CVA(Logn

60


Solution daprs les tables financires :On peut utiliser la table financire T1a, avec les conditions :

(1 + 8,50 %)n = 1,50366500,00751,83

La table T1a donne n = 5, pour t = 8,5 % et Cn = 1,50366.

Remarque 1 : Dans les exemples 3.1, 3.2, 3.3, et 3.4 nousavons, sciemment arrang nos donnes pour trouver des rsultatsexacts. Lobjectif essentiel recherch, dans ces cas, estuniquement un entranement lutilisation de la relation (3.1).

Nous donnerons plus loin, dautres exemples avec des calculsqui ne tombent pas exacts et nous montrerons comment utiliser,dans ces cas, les tables financires, avec la mthodedinterpolation.

3.3. VALEUR ACTUELLE DUN CAPITAL.

Nous pouvons reprsenter les valeurs dun capital,aujourdhui et quelque temps avant, sur un axe du temps :

Les relations (3.1) donnent la valeur acquise dun capitalplac, pendant n priodes, au taux priodique t.

n priodes avant :Valeur Va = C

Aujourdhui :Valeur C

Temps

61


La valeur actuelle de ce capital est C, elle se dduit de lavaleur acquise par la relation :

n)t1(nCn)t1(VAn)t1(VAC (3.3)

Les calculs sur la relation (3.2) ne diffrent en rien de ceuxque nous avons faits sur la relation (3.1).

3.4. TAUX DINTERETS EQUIVALENTS.

La valeur acquise dun capital C plac, pendant n annes, autaux annuel t est :

VA = Cn = C (1 + t)n

On peut aussi dire que ce mme capital est plac pendant 12nmois ou 4n trimestres, aux taux mensuels tm, ou taux trimestrieltt. Nous pouvons donc crire :

VA = C (1 + t)n = C (1 + tm)12n = C (1 + tt)4n

On dit que les taux mensuels tm et trimestriels tt sontquivalents au taux annuel t. Les relations liant ces 3 taux sont :

(1 + t) = (1 + tm)12 = (1 + tt)4 (3.4)

La table financire T3, la fin du livre, donne lacorrespondance entre ces trois diffrents taux.

Nous allons, dans ce qui suit, montrer comment utiliser cesdiffrents taux, ainsi que la table financire T3.

62


Remarque 2 : Taux quivalents et taux proportionnels

Les relations (3.3) permettent de calculer le taux mensuel ettaux trimestriel quivalents partir du taux annuel.

Les taux quivalents sont bass sur le calcul des intrtscomposs.

Les taux proportionnels mensuels et trimestriels sont basssur le calcul des intrts simples et donns par les relations(3.4 bis).

12t

mt et 4t

tt (3.4 bis)

Les taux proportionnels sont bass sur le calcul des intrtssimples et lescompte simple.

Exemple 3.5. : Calcul de la valeur acquise dun capital,plac intrts composs.

Un capital de 14 500 DH est plac un taux annuel de 8,5 %pendant 2 ans et 7 mois. Quelle est sa valeur acquise ?

Formalisons le problme pos.Calculer VA si C = 14 500,00 t = 8,50 % et T = 2 ans et 7

mois.

Solution algbrique :Si t = 8,5 %, la table T3 donne pour taux mensuel

quivalent : tm = 0,682 %

VA = 14 500 x (1 + 8,50 %)2 (1 + 0,682 %)7= 14 500 x 1,17723 x 1,04873 = 17 901,65 DH.

63


Solution daprs les tables financires :Nous utilisons la mthode dinterpolationLa table T1a donne (1 + 8,50 %)2 = 1,17723La table T1b donne :

y1 = (1 + 0,675 %)7 = 1,04822y2 = (1 + 0,700 %)7 = 1,05004

Ainsi pour t = 0,025 % on a y = 0,00182, donc pourt = (0,682 0,675) % = 0,007 %, on aura :

0,000510,0250,0070,00182y

Ce qui fait (1 + 0,682 % )7 = 1,04822 + 0,00051 = 1,04873Donc VA = 14 500,00 x 1,17723 x 1,04873 = 17 901,65 DH

Ce rsultat est conforme celui trouv par la mthodealgbrique.

Exemple 3.6. : Calcul de la valeur dun capital, plac intrts composs.

Quelle est la valeur dun capital qui, plac un taux annuelde 9,5 %, pendant 3 ans et 5 mois, acquiert une valeur de12 525 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer C si VA = 12 525,00 DH, t = 9,50 % et T = 3 ans et

5 mois.

Solution algbrique :Si t = 9,5 %, la table T3 donne pour taux mensuel

quivalent : tm = 0,759 %C = 12 525 x (1 + 9,50 %)-3 (1 + 0,759 %)-5

= 12 525 x 0,76165 x 0,96290 = 9 185,75 DH

64


Solution daprs les tables financires :Nous utilisons la mthode dinterpolationLa table T2a donne (1 + 9,50 %)-3 = 0,76165La table T2b donne :

y1 = (1 + 0,750 %)-5 = 0,96333y2 = (1 + 0,775 %)-5 = 0,96213

Ainsi pour t = 0,025 % on a y = 0,0012, donc pourt = (0,759 0,750) % = 0,009 %, on aura :

0,000430,0250,0090,0012y

Ce qui fait (1 + 0,759 % )-5 = 0,96333 - 0,00043 = 0,9629

Donc VA = 12 525 x 0,76165 x 0,9629 = 9 185,75 DH

Ce rsultat est conforme celui trouv par la mthodealgbrique.

Exemple 3.7. : Calcul de la dure de placement, intrtscomposs, dun capital.

Un capital de 10 500 DH est plac un taux annuel de11,25 %, quelle est sa dure de placement pour quil acquireune valeur de 11 578,09 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer n si C = 10 500 DH, VA = 11 578,09 DH et

t = 11,25%

Solution daprs les tables financires :Nous utilisons la mthode dinterpolation linaire.

65


Nous devons calculer n en mois, pour ce faire, nous devons,dabord calculer le taux de placement mensuel quivalent autaux annuel de 11,25 %.

La table T3 donne pour t = 11,20 %, tm = 0,889 %Pour t = 11,30 %, tm = 0,896 %Ainsi pour t = 0,10 % on a

mt = 0,007 %

Donc pour t = 0,05 % on aura

mt = %0,0035

0,100,0070,05

Soit : tm = (0,889 + 0,0035) % = 0,8925 %Lutilisation de la relation (3.1) donne :(1 + 0,008925)n = 11 578,09 / 10 500,00 = 1,102675n log 1,008925 = log 1,102675n = 1,008925

1,102675log= 11 mois

Exemple 3.8. : Calcul du taux dintrts composs deplacement dun capital.

Un capital de 11 550 DH est plac, pendant 1 an et 7 mois ; quel taux dintrt annuel est-il plac sil acquiert une valeurde 12 950 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t si C = 11 550 DH, VA = 12 950 DH et n = 1 an et

7 mois = 19 mois.

Solution algbrique :Lutilisation de la relation (3.1) donne :(1 + tm)19 = 12 950 / 11 550 = 1,2121Soit tm = [1,2121](1/19) 1 = 0,010175, ce taux correspond,

daprs la relation (3.3), un taux annuel de 12,92 %.

66


Solution par les tables financires :Nous utilisons la mthode dinterpolation linaire.Lutilisation de la table T1b donne pour n = 19 et (1 + t)19 =

1,2121 :y = (1 + 0,01000)19 = 1,20811y = (1 + 0,01025)19 =1,21380Ainsi pour t = 0,025 % on a y = 0,00569Donc pour y = 0,1,2121 1,20811 = 0,00399 on aura

t = %0,01750,005690,00399%0,025

t= (0,01 + 0,000175) % = 1,0175 %, ce qui correspond,daprs la relation (3.3) un taux annuel t = 12,92 %

Exemple 3.9. : Calcul du taux dintrts composs.Quel est le taux dintrt dun capital de 5 200 DH qui,

plac, pendant 7 ans, acquiert une valeur de 9 600 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t si C = 5 200, VA = 9 600 DH, et n = 7 ans.

Solution algbrique :De la relation (3.1) on peut tirer :

%9,153171

)C

VA(t

Solution daprs les tables financires :Nous utilisons la mthode dinterpolation linaire.On peut utiliser la table financire T1a avec les conditions

suivantes :

1,8461520056009

CVA7)t1( et n = 7

67


La table T1a donne pour :t = 9,10 % et n = 7 y = (1 + t)7 = 1,83981t = 9,20 % et n = 7 y = (1 + t)7 = 1,85165

Ainsi pour t = 0,10 % on a y = 0,01184Or on cherche t pour y = 1,84615 cest--dire poury = 0,00634 = 1,84615 1,83981

Donc pour y = 0,00634 on a t = 0,10 x0,011840,00634

=

0,0535 %t = (9,10 + 0,0535) % = 9,154 %Exemple 3.10. : Taux quivalent et taux proportionnel.Un capital de 100 000 DH est plac, pendant 7 mois un

taux de 9 % lan.Quelle est sa valeur acquise selon quon utilise le taux

mensuel quivalent tme ou le taux mensuel proportionnel tmp ?

Formalisons le problme pos.Calculer VA si C = 100 000 DH et t = 9 %.Avec VA1 si tm = tme

VA2 si tm = tmp

Calculons dabord les taux mensuels quivalents etproportionnels.

Daprs la table T3 nous avons Tme = 0,721 % pour t = 9 %.Daprs la relation (3.4 bis) nous avons tmp = 2,25.

Le calcul des valeurs acquises se fait :Pour tme, selon la relation (3.1)VA1 = C(1 + tme)n = 100 000 (1,00721)7 = 105 157,49 DHPour tmp, selon la relation (1.1bis )

DH750115)100

7x2,25(1000100)100

.nmpt(1CVA2

68


La diffrence entre taux quivalent et taux proportionnel, estque dans le 1er cas, on fait les calculs en tenant compte de lacapitalisation des intrts.

3.5. EVALUATION DUN CAPITAL EN FONCTIONDU TEMPS.

Un capital ayant, aujourdhui, une valeur C0, voit sa valeurvarier avec le temps ; en effet, si le taux dintrt priodique estt :

Aprs n priode, le capital vaut C0 (1 + t)nAprs p priodes, supplmentaires, il vaut C0 (1 + t)n+pEt m priodes avant, il valait C0 (1 + t)-m

3.5.1. ESCOMPTE A INTERETS COMPOSES.

On parle descompte intrts composs pour des effets chances lointaines, plus dune anne.

La valeur actuelle dun effet de valeur nominale V etdchance n priodes est, si le taux descompte (ou dintrt)est t :

Va = V (1 + t)-n (3.5)

m priodes avantC0 (1 + t)-m

AujourdhuiC0

Aprs n priodesC0 (1 + t)n

temps

69


De ce fait, lescompte, intrts composs est donn par larelation :

E = V Va = V [1 (1 + t)-n ] (3.6)

3.5.2. EQUIVALENCE A INTERETS COMPOSES.

Prenons deux capitaux C1 et C2 (ou deux effets), de datesdchance respectives n1 et n2, et supposons quau tauxdintrt t, ils soient quivalents. Nous pouvons donc crire :

C1 (1 + t) n1 = C2 (1 + t) n2

A une date quelconque p priodes aprs ou q priodes avant,nous aurons toujours :

p priodes aprs : C1 (1 + t)n1+p = C2 (1 + t) n2+p

q priodes avant : C1 (1 + t)n1-q = C2 (1 + t)n2-q

Ainsi, quelle que soit la date laquelle on considre les deuxcapitaux C1 et C2, ils seront toujours quivalents.

Si deux capitaux (ou effets), escompts intrts composs,sont quivalents, une certaine date, ils le seront nimportequelle autre date, avant ou aprs cette date.

Exemple 3.11. : Calcul de lescompte intrts composs.Un effet de valeur nominale 12 350 DH et dchance 15

mois est escompt un taux de 7,5 % ; quel est le montant delescompte ?

Formalisons le problme pos.Calculer E si V = 12 350 DH, n = 15 mois et t = 7,5 %.

70


Calculons, dabord le taux descompte mensuel quivalent autaux annuel de 7,50 %.

La table T3 donne tm = 0,00604 % pour t = 7,50 %

Lutilisation de la relation (3.6) donne :E = 12 350 x [(1 + 0,00604 )15 1] = 1167,48 DH

Exemple 3.12. : Calcul de la dure de lescompte intrts composs.

Un effet de valeur nominale 5 271,78,00 DH est escompt 5 000 DH. Quelle est sa date dchance si le taux descompteest 9,50 % lan ?

Formalisons le problme pos.Calculer n si V = 5 271,78,00 DH, Va = 5 000,00 DH,

et t = 9,5 %.

Solution algbrique :Calculons, dabord le taux descompte mensuel quivalent au

taux annuel de 9,50 %.La table T3 donne tm = 0,759 % pour t = 9,50 %


(1 + 0,759 %)n = 1,05436000,005271,785

VaV

7mois)1,00759(Log)1,05436(Log

n Le rsultat est arrondi au nombre juste suprieur du fait quil

sagit de nombre de jours qui doit tre entier.

71


Exemple 3.13. : Calcul du taux descompte intrtscomposs.

Un effet de valeur nominale 12 001,43 DH est escompt 11 256,37 DH ; quel est son taux descompte, intrtscomposs, si son chance est de 10 mois.

Formalisons le problme pos.Calculer tm, taux descompte mensuel, si V = 12 001,43 DH,

Va = 11 256,37 DH et n = 10 mois.

Solution daprs les tables financires :Nous utilisons la mthode dinterpolation :Lutilisation de la relation (3.5) donne :

( 1 + tm )-10 = Va / V = 11 256,37 / 12 001,43 = 0,93792La table T2b donne pour n = 10 etpour tm = 0,625 % on ay = (1 + tm)-10 = 0,93960pour tm = 0,650 % on ay = (1 + tm)-10 = 0,93726Donc t = 0,025 % on a y = - 0,00234Or on cherche y = 0,93792Or, pour y = 0,93792 0,93726 = 0,00066

Ce qui fait %0,0070,002340,000660,025mt

On trouve tm = (0,650 0,004) % = 0,643 % qui correspond un taux annuel de t = 8 %

Exemple 3.14. : Etude de cas : Calculs sur les intrtscomposs.

Un capital de 36 000 DH est plac, pendant 25 mois au tauxannuel de 10 %. Aprs cette priode, il est replac un taux de11,20 %, pendant 17 mois.

Quelle est la valeur acquise de ce capital ?Quel est le taux moyen de placement, pendant ces 42 mois ?

72


Formalisons le problme pos.Calculer VA1 si C = 36 000 DH, t = 10 et n = 25.Calculer VA2 si C = VA1, t = 11,20 et n = 17.Calculer tmoy.

Solution daprs les tables financires :Lutilisation de la table T3 donne :

- tm = 0,797 % pour t = 10 %- tm = 0,889 % pour t = 11,20 %

VA1 = 36 000 (1 + 0,00797)25 = 43 902,84 DHVA2 = 43 902,84 (1 + 0,00889) 17 = 51 031,40 DH

Par dfinition, tmoy est donn par la relation :VA2 = 36 000 (1 + tmoy) 42 = 51 031,40 DH

La table T1b donne :(1 + tmoy)42 = 51 031,40 / 36 000 = 1,41754.

Pour tmoy = 0,800 % y = (1 + tmoy)42 = 1,39747Pour tmoy = 0,825 % y = (1 + tmoy)42 = 1,41210

Ce qui fait que pour t = 0,025 % on a y = 0,01463Or on cherche y = 1,41754 soit y = 0,02007

tmoy = 0,8000 % + %0,8340,014630,020070,025%

Ce qui correspond un taux annuel de 10,48 %, daprs larelation (3.4).

Aprs ce chapitre rserv aux calculs sur les intrtscomposs, nous pouvons aborder, dans le prochain chapitre, lescalculs sur les annuits.

73


CHAPITRE 4 - LES ANNUITES.

Le calcul sur les annuits est un pralable indispensable auxcalculs sur les emprunts et les investissements qui feront lobjetde la partie 3 relative aux mathmatiques financiresapprofondies.

4.1. DEFINITION.

Les annuits sont des versements priodiques de sommesdargent pour :

- Soit constituer une pargne, un capital ;- Soit rembourser un prt ou amortir un investissement.

Les questions que lon se pose au sujet des annuits sont decalculer :

- La valeur actuelle de lensemble dune srieannuits ;

- La valeur acquise, une date quelconque, delensemble des annuits.

Pour ce faire, nous utiliserons les relations du chapitre 3 carles calculs sur les annuits sont du domaine des mathmatiquesfinancires moyens et longs termes.

74


4.2. VALEUR ACTUELLE DANNUITES CONSTANTES.

4.2.1. ANNUITES EN FIN DE PERIODES.

On considre le cas de n annuits constantes, verses en finde priode, et lon se propose de calculer la valeur actuelle, aujourdhui, de ces n annuits.

On prend t comme taux dintrt ; on verra, par la suite,quon pourra lappeler aussi, taux dactualisation, cest--dire letaux qui sert calculer la valeur actuelle dune somme dargentverse ultrieurement.

Va = V0 (1+t)-1 + V0 (1+t)-2 + V0 (1+t)-3 ++ V0 (1+t)-n= V0 (1+t)-n [ 1+(1+t) + (1+t)2 + (1+t)3 + + (1+t)n-1]

Lexpression entre crochets est gale t

1nt)(1

Va = V0 (1+t)-nt

1nt)(1 = V0

t

-nt)(1-1

Temps

0VersementsValeur actuelleV0(1+t)-1V0(1+t)-2V0(1+t)-3

V0(1+t)-n

1V0

2V0

n

V03V0

75


La valeur actuelle, aujourdhui, dune suite de n annuits,toutes gales a et verses, la fin de chaque priode estdonne par la relation :

Va = at

-nt)(1-1 (4.1)

Remarque 1 : Comme nous lavons fait remarquer, dans lechapitre 3, la valeur du taux t, dans les relations du prsentchapitre, sont en pourcentage, cest--dire que t = 9 % = 0,09 etnon 9 seulement, comme nous faisions, dans la 1re partieconsacre aux mathmatiques financires court terme.

4.2.2. ANNUITES EN DEBUT DE PERIODES.

Nous pouvons, comme nous lavons fait en 4.2.1, schmatisersur un axe du temps,les n annuits verses en dbut de priodes:

On prendra, toujours, t comme taux dintrt oudactualisation.

Va = V0 + V0(1+t)-1 + V0(1+t)-2 + V0(1+t)-3 ++ V0(1+t)-(n-1)= V0 (1+t)-(n-1) [ 1+(1+t) + (1+t)2 + (1+t)3 + + (1+t)n-1]

Temps

0Versements V0Valeur actuelle V0V0(1+t)-1V0(1+t)-2V0(1+t)-3

V0(1+t)-(n-1)

1V0

2V0

n-1V0

3V0

76



1t)(1 n

Va = V0 (1+t)-(n-1) xt

1t)(1 n = V0 (1+t)

t

-t)(1-1 n

La valeur actuelle, aujourdhui, dune suite de n annuitstoutes gales a et verses, au dbut de chaque priode estdonne par la relation:

Va = a (1 + t)t

-t)(1-1 n (4.2)

Exemple 4.1. : Calcul de la valeur actuelle dannuitsconstantes.

M. Rachid dcide de placer, rgulirement, la fin de chaqueanne, la somme de 5 250 DH; quelle est la valeur actuelle deses placements sur 5 ans ? Le taux dactualisation t est gal 8 %.

Formalisons le problme pos.Calculer Va si a = 5 250 DH, n = 5 et t = 8 %.

Solution algbrique.La relation ( 4.1 ) donne par le calcul:Va = a

t

-t)(1-1 n= 5 250 x

0,081,081 5

= 20 961,73 DH

Solution laide des tables financires:La table T4a donne pour t = 8 % et n = 5Va = 5 250 x 3,99271 = 20 961,73 DH, ce qui est le rsultat

obtenu algbriquement.

77


Exemple 4.2. : Calcul du taux dactualisation.Mme Sada a plac, la fin de chaque anne, la somme de

4 500 DH; quel est le taux dintrt si la valeur actuelle de sesplacements sur 6 ans est de 20 368,49 DH?

Formalisons le problme pos.Calculer t si a = 4 500 DH, n = 6 et Va = 20 368,49 DH.

Solution laide des tables financires:La table T4a donne pour n = 6 et Va = 20 368,49/ 4 500 =

4,52633 un taux t = 8,70 %

Exemple 4.3. : Calcul du nombre dannuits.Calculer les nombre de placements dun montant de

5000 DH, la fin de chaque anne, afin que la valeur actuellede ses placements soit gale 31 741,05, sachant quet = 10,50 %.

Formalisons le problme pos.Calculer n si a = 5 000 DH, t = 10,50 % et

Va = 31 741,05 DH.

Solution algbrique.La relation (4.1) donne par le calcul:

)t1(Log))Vata(/a(Log

nsoitn)t1(1a

tVa

ans11)1,105(Log))31741,050,1050005(/0005(Log

n

Solution laide des tables financires:La table T4a donne pour t = 10,50 % et Va / a = 6,34821 =>

n = 11 ans.

78


Exemple 4.4. : Calcul du montant de lannuit.On dcide de placer, la fin de chaque anne, une somme

constante dargent. La valeur actuelle de ces placements sur 4ans est 72 500 DH. Quelle est la valeur de lannuit, si le tauxdactualisation est t = 9 %.

Formalisons le problme pos.Calculer a si Va = 72 500 DH, n = 4 et t = 9 %.

Solution algbrique.La relation (4.1) donne par le calcul :

a = Va n-t)(1-1t = 72 500 x 41,091

0,09

= 22 378,47 DH

Solution laide des tables financires :La table T4a donne pour n= 4 et t = 9 % => Va = 3,23972 aCe qui fait pour a = 72 500 / 3,23972 = 22 378,48 DH

4.3. VALEUR ACQUISE DANNUITES CONSTANTES.

4.3.1. ANNUITES EN FIN DE PERIODE.

Nous pouvons, comme nous lavons fait au paragraphe 4.2.,schmatiser, sur laxe du temps, les n annuits verses en fin depriodes :

79


VA = V0(1+t)n-1 + V0(1+t)n-2 + V0(1+t)n-3 ++ V0= V0 [ 1+(1+t) + (1+t)2 + (1+t)3 + + (1+t)n-1]


1nt)(1

VA = V0t

1nt)(1

La valeur acquise, la date n, dune suite de n annuits toutesgales a et verses, en fin de priodes est donne par larelation :

VA = at

1nt)(1 (4.3)

Temps

0Versements

1V0

2V0

n

V0Valeur acquise V0

V0(1+t)n-3V0(1+t)n-2V0(1+t)n-1

3V0

80


4.3.2. ANNUITES EN DEBUT DE PERIODE.

Nous pouvons, comme nous lavons fait en 4.2., schmatiser,sur laxe du temps, les n annuits verses en dbut de priodes :

A la date ( n 1 ) on aVA = V0(1+t)n-1 + V0(1+t)n-2 + V0(1+t)n-3 ++ V0

= V0 [ 1+(1+t) + (1+t)2 + (1+t)3 + + (1+t)n-1]

A la date n on aVA = V0 ( 1 + t )[ 1+(1+t) + (1+t)2 + (1+t)3 + + (1+t)n-1]Lexpression entre crochets est gale t

1t)(1 n

La valeur acquise, la date n, dune suite de n annuits toutesgales a et verses, en dbut de priodes, est donne par larelation :

VA = a (1 + t)t

nt)(1-1 (4.4)

Temps

0

Versements V0

1V0

2V0

n-1V0Valeur acquise V0

V0(1+t)n-4V0(1+t)n-3V0(1+t)n-2V0(1+t)n-1

3V0

81


Exemple 4.5. : Calcul de la valeur acquise dannuitsconstantes.

Un pargnant dcide de mettre, la fin de chaque anne, unepargne de 5 250 DH. Combien aura-t-il aprs 7 annesdpargne, si le taux dintrts est 10 %?

Formalisons le problme pos.Calculer VA si a = 5 250 DH, n = 7 et t = 10 %.

Solution algbrique.La relation ( 4.3 ) donne par le calcul:VA = a

t1-nt)(1

= 5 250 x 9,48717= 49 807,64 DH

Solution laide des tables financires:La table T5a donne pour n= 7 et t = 10 % => VA = 9,48717 aCe qui fait pour VA = 9,48717 x 5250 = 49 807,64 DH

Exemple 4.6. : Calcul du taux dactualisation.Quel est le taux dintrt dune suite de 17 mensualits de

7 250 DH, verses la fin de chaque mois et qui acquiert unevaleur, au bout des 17 mois, de 133 348,59 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t si a = 7250 DH, n = 17 et VA = 133 348,59 DH

Solution laide des tables financires:La table T5b donne pour n= 17 et VA /a = 133 348,59 / 7 250

un taux mensuel tm = 0,975 %, ce qui correspond, daprs larelation (2. ) un taux annuel, t = 12,35 %

82


Exemple 4.7. : Calcul du nombre dannuits.Combien doit verser un pargnant dannuits de 4 500 DH,

la fin de chaque anne, pour constituer un capital de57 621,20 DH ? Le taux dintrt tant gal 8,60 %

Formalisons le problme pos.Calculer n si a = 4 500 DH, Va = 57 621,20 DH et t = 8,6 %.

Solution laide des tables financires:La table T5a donne pour VA / a = 57 621,20 / 4 500 =

12,80471 et t = 8,60 %, le nombre n = 9

Exemple 4.8. : Calcul du montant de lannuit.Combien doit dposer, au dbut de chaque mois, un

pargnant, pendant 26 mois afin de percevoir, la fin, unesomme gale 70 000 DH ? Le taux dintrt est de 9,20 %

Formalisons le problme pos.Calculer a si VA = 70 000 DH, n = 26 et t = 9,20 %.

Calculons, dabord le taux dintrt mensuel correspondantau taux dintrt annuel de 9,20 %.

La table T3 donne pour t = 9,20 % un tm = 0,736 %

Solution algbrique.Lutilisation de la relation (4.4) donne :

]1)t1([)t1(tVA

at

1n)t1()t1(aVA

Soit a = DH434,862])126)1,00736([1,00736

0,0073600070

83


Remarque 2 : Dans tous ces calculs, nous avons, sciemmentdonn des exemples dont les rsultats tombent exacts, car notreobjectif essentiel tait dabord de nous entrainer pratiquer lesrelations du chapitre 4.

Nous donnons, dans ce qui suit, quelques cas dapplication,pour lesquels, nous serons amens utiliser la mthodedinterpolation linaire. Pour ce faire, nous ne donnerons que lessolutions qui utilisent les tables financires.

Exemple 4.9. : Calcul de la valeur acquise dannuitsUne dame dpose, la fin de chaque mois, une somme

dargent gale 2 500 DH. Combien retirera-t-elle au bout de15 mois de dpt, si le taux dintrt annuel est de 9 %?

Formalisons le problme pos.Calculer Va si a = 2 500 DH, n = 15 mois et t = 9 %.

Solution laide des tables financires.Nous utiliserons la mthode dinterpolation linaire.Le taux mensuel quivalent au taux annuel de 9 % est,

daprs la table T3, tm = 0,721 %.

Lutilisation de la table T5b donne pour n = 15 etPour t1 = 0,700 % un a1 = 15,75777Pour t2 = 0,725 % un a2 = 15,78569

Ainsi pour t = 0,025 % on a a = 0,02792Donc pour t = 0,021 %On aura a = 0,02792 x 0,021/ 0,025 = 0,02345Ce qui donne a = 15,57777 + 0,02345 = 15,60569

VA = 15,60569 x 2 500 = 39 014,23 DH

84


Remarque 3 : En utilisant la mthode algbrique, on a :

DH453,06390,00721

1151,007212500VA

La diffrence vient de ce que le calcul par linterpolationlinaire, partir des tables financires, comportent desapproximations. Dans ce cas particulier, lapproximation est de1,11 % ce qui nest pas trs important.

Exemple 4.10. : Calcul du taux dactualisation.A quel taux dactualisation doit-on actualiser 7 mensualits

de 3 500 DH, de fin de priode, pour que la valeur actuelle soitgale 23 500 DH ?

Formalisons le problme pos.Calculer t si a = 3 500 DH, Va = 23 300 DH, n = 7.

Solution laide des tables financires:Nous utiliserons la mthode dinterpolation linaire.On a Va / a = 23 500 / 3 500 = 6,71429

La table T4b donne pour n= 7 etVa / a = 7,71951 t = 0,800 %Va / a = 7,71099 t = 0,825 %

Ainsi pour ( Va / a ) = - 0,00852 on a t = 0,025 %Donc pour ( Va / a ) = - 0,00522On aura t = 0,025 % x 0,00522 / 0,00852 = 0,01532 %Soit t = 0,800+ 0,01532 = 0,815 %.

Remarque 4 : Dans tous les exemples de ce chapitre, nousavons donns des annuits constantes afin de pouvoir appliquer,telles quelles les relations trouves ci-dessus.

Que ce passe-t-il, dans le cas dannuits non constantes?

85


Exemple 4.11. : Etude de cas dannuits non constantes.Pour regler un achat, ADIL doit effectuer 7 versements, la

fin de chaque mois.Les 7 mensualits sont comme suit :

- 3 mensualits de 5 500 DH;- 2 mensualits de 3 900 DH;- 2 mensualits de 2 700 DH.

Au taux dactualisation de 11 %, calculer la valeur actuelleet la valeur acquise des 7 mensualits.

A quel taux doit-on actualiser ces 7 mensualits si lon dsireavoir une valeur actuelle de 29 000 DH?

Formalisons le problme pos.Calculer Va et VA si t = 11 %, n = 7 et les annuits sont :5 500; 5 500; 5 500; 3 900; 3 900; 2 700; 2 700 DH.Calculer t si Va = 29 000 Dh, n = 7 et les mensualits sont :5 500; 5 500; 5 500; 3 900; 3 900; 2 700; 2 700 DH.

Le taux mensuel quivalent au taux annuel de 11 % esttm = 0,873 %.

Dressons le tableau de calcul des Va et VA.

Epoques i Annuits ai ai ( 1 + t )i ai ( 1 + t ) j0 5 452,40 - - -1 5 500 5 405,21 5 794,452 5 500 5 358,43 5 744,303 5 500 3 766,73 5 694,594 3 900 3 734,13 4003,045 3 900 2 562,80 3 968,396 2 700 2 540,62 2 723,577 2 700 - - - 2 700,00

Total Va = 28 820,32 VA = 30 628,34

Remarquons tout dabord que j = 7 i

86


Pour le calcul du taux dactualisation qui donne une valeuractuelle de 29 000 DH, nous devons procder, par tatonnementet finir par une interpolation linaire.

Dressons un tableau de calculs intermdiaires des annuitsactualises : ai (1 + t)-i selon plusieurs taux dactualisation :

Epoques i t = 9 % t = 8 % t = 8,50 %0 5 460,63 5 464,86 5 462,741 5 421,54 5 429,95 5 425,742 5 382,73 5 395,25 5 388,993 3 789,52 3 801,28 3 795,404 3 762,40 3 777,00 3 769,695 2 586,09 2 598,14 2 592,116 2 567,58 2 581,54 2 574,557 - - - - - - - - -

TOTAL Va 28 970,49 29 048,02 29 009,22

Ainsi, le taux cherch est compris entre 8 % et 8,50 %.

Pour t = 8,50 % on a Va = 29 009,22 DHPour t = 9 % on a Va = 28 970,49 DH

Ce qui donne pour t = 0,50 % un Va = 38,73Donc pour Va = 9,22 on aura

t = 0,50 % x 9,22 / 38,73 = 0,1 %et t = 8,50 %+ 010 % = 8,60 %

87


Exemple 4.12. : Calcul de la valeur acquise dune suitedannuits constantes de fin de priodes.

Afin de pouvoir disposer dune somme dargent, dici 36mois, AZIZ dcide dpargner 2 500 DH, pendant 7 mois,3 500 DH, pendant 10 mois et 4 500 DH, le reste du temps. Ilsagit dpargne dpose la fin de chaque mois.

De combien disposera-t-il, dans 3 ans, si le taux de sonpargne est de 8 % ?

Formalisons le problme pos.Calculer VA1, VA2 et VA3 si a1 = 2 500 DH, n1 = 7 mois,

a2 = 3 500 DH, n2 = 10 mois, a3 = 4 500 DH, n3 = 19 mois ett = 8 %.

Attention : VA1 est acquise, au bout de 7 mois ; il faut donccalculer sa valeur acquise, au 36me mois.

De mme, VA2 est acquise, au bout de 17 mois ;il faut donc calculer sa valeur acquise, au 36me mois.

Calculons, dabord, le taux mensuel quivalent au tauxannuel de 8 %. La table T3 donne : tm = 0,643 %

La relation (4.3) donne :mt

1n)mt1(aVA

DH841,22170,00643

11,0064350021VA7

Nous devons calculer ce que devient cette somme au 36me

mois, cest--dire, dans 29 mois. Pour ce faire, la relation (3.1)donne :

VA1 = VA1 x (1,00643)29 = 21 488,04 DH.DH030,2936

0,0064311,006435003VA

10

2

88


Nous devons calculer ce que devient cette somme au 36memois, cest--dire, dans 19 mois. Pour ce faire, la relation (3.1)donne :

VA2 = VA2 x (1,00643)19 = 40 696,37 DH.

DH632,90900,00643

11,006435004VA19

3

Ainsi AZIZ disposera, au bout de 36 mois, dune pargnegale :

VA = VA1 + VA2 + VA3 = 152 817,31 DH.

Exemple 4.13. : Calcul de la valeur actuelle dune suitedannuits constantes de fin de priodes.

Reprendre le problme prcdent et calculer la valeuractuelle de lpargne de AZIZ.

On ne se basera pas sur les rsultats de lexemple prcdent.

Formalisons le problme pos.Calculer Va1, Va2 et Va3 si a1 = 2 500 DH, n1 = 7 mois,

a2 = 3 500 DH, n2 = 10 mois, a3 = 4 500 DH, n3 = 19 mois ett = 8 %.

Attention : Va2 est actualise, le 7me mois ; il faut donccalculer sa valeur actuelle, aujourdhui.

De mme, VA3 est actualise, le 17me mois ; ilfaut donc calculer sa valeur actuelle, aujourdhui.

On a toujours tm = 0,643 %.

89


La relation (4.1) donne :mt

-n)mt1(-1aVa

DH088,44170,00643

11,006435002Va7

1

DH793,41330,00643

11,006435003Va10

2

Nous devons calculer la valeur actuelle de cette somme,aujourdhui, alors quelle intervient le 7me mois. Pour ce faire,la relation (3.2) donne :

Va2 = Va2 x (1,00643)-7 = 32 310,75 DH.

DH30,241800,00643

11,006435004Va19

3

Nous devons calculer la valeur actuelle de cette somme,aujourdhui, alors quelle intervient le 17me mois. Pour ce faire,la relation (3.2) donne :

Va2 = Va2 x (1,00643)-17 = 71 957,69 DH.La valeur actuelle de lpargne de AZIZ est donc gale :Va = Va1 + Va2 + Va3 = 121 326,89 DH.

De ce rsultat, nous pouvons dduire, directement, la valeuracquise par lpargne de AZIZ, dans 36 mois :

VA = 121 326,89 x (1 + tm)36 = 152 814,89 DH.

Ce qui est presque le rsultat trouv lexemple 6.12. Ladiffrence vient des arrondis faits dans les calculs.

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Aprs ltude des mathmatiques financires moyen et longtermes et les calculs sur les annuits, nous pouvons aborder lapartie rserve aux mathmatiques financires approfondiesrelativises aux calculs sur les emprunts et les investissements.

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PARTIE 3 - MATHEMATIQUES FINANCIERESAPPROFONDIES.

Les mathmatiques financires approfondies sintressent auxcalculs sur les emprunts et les investissements de lentreprise.Elles sont donc, essentiellement, des domaines du moyen et longtermes.

CHAPITRE 5 - LES EMPRUNTS.

5.1. DEFINITION.

On parle demprunts et de prts, chaque fois quune personnephysique ou morale prte de largent une autre personnephysique ou morale.

On parlera, surtout demprunts et non de prts, car on seplacera, toujours du ct de celui qui doit rembourser la sommequi lui a t prte.

On distingue, gnralement, deux types demprunts :

- Emprunt indivis, lorsque le prteur est une seulepersonne physique ou morale ; cette personne peutaussi tre une association de plusieurs personnespilotes par lune dentre elles et qui agissent commeune seule personne.

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- Emprunt obligataire, lorsquil y a un grand nombre deprteurs et seulement un seul emprunteur qui peut treune entreprise ou ltat.

Les calculs sur les emprunts sintressent aux modalits deleurs remboursements.

Ce chapitre sera consacr cette tude.

5.2. LEMPRUNT INDIVIS.

On parle demprunt indivis, lorsquune une entreprise, pourfinancer son fonctionnement ou ses investissements, empruntede largent une banque ou un consortium de banques pilot parlune dentre elles.

Cet emprunt peut tre rembours de deux faons :

- Par annuits constantes ;- Par amortissements constants.

5.2.1. EMPRUNT INDIVIS REMBOURSE PARANNUITES CONSTANTES

On considre donc une entreprise qui a emprunt, sabanque, une somme dargent C et qui sengage la rembourser,par n annuits constantes, a, la fin de chaque priode, le tauxdintrt est suppos tre gal t.

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Dressons le tableau des remboursements :

Priodes Annuits Valeurs actuelles des annuits 00 (a) (1 + t)-11 (a) (a) (1 + t)-22 (a) (a) (1 + t)-33 (a) (a) (1 + t)-4

...

(n 1) (a) (a) (1 + t)-nn (a)

Le principe de calcul consiste identifier C, capitalemprunt, la somme des valeurs actuelles des n annuitsverses annuellement, la fin de chaque priode, par lentreprise sa banque.

C = a [(1+t)-1 + (1+t)-2 +(1+t)-3 + . . . (1+t)-n ]

On retrouve exactement les calculs que nous avons, dj faitspour les annuits, au chapitre 4.

On a donc, en reprenant la relation (4.1) du chapitre 4 :

t

n)t1(1aC

(4.1)

la relation qui donne a en fonction de C, de t et de n :

n)t1(1tCa (5.1)

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Mathématiques Financières -cours et exercices corrigés(Edition 2001)