MATHEMATIQUES POUR LE DAEU A - u-bordeaux.frjcouveig/cours/poly910.pdf · Avant-propos Ce cours de mathématiques s’adresse aux stagiaires qui ont choisi l’option “Mathématiques”

MATHEMATIQUES POUR LE DAEU A

Service de la Formation ContinueDépartement de Mathématiques et Informatique

Université Toulouse 2, Le Mirail

6 octobre 2009

Avant-propos

Ce cours de mathématiques s’adresse aux stagiaires qui ont choisi l’option “Mathématiques” pourpasser le DAEU A.

Il a été préparé par Julien Labetaa1 (coordonnateur), Claudie Chabriac2, Jean-Marc Couveignes3

et Francis Rigal4.Les thèmes abordés dans ce polycopié sont les nombres et leurs propriétés, les équations et

les problèmes qu’elles permettent de résoudre, la statistisque descriptive, la géométrie cartésienne.L’ensemble de ces connaissances mathématiques est susceptible de vous rendre service dans la viecourante, dans la suite de vos études, ou même dans vos loisirs (lecture d’articles de presse ou d’ou-vrages savants).

Nous avons complété ce cours avec quelques sections d’approfondissement. Ces sections sontclairement identifiées dans le texte. Les contrôles ne porteront pas sur le contenu de ces sections.Vous pouvez cependant les lire. Elles peuvent être utiles dans la suite de vos études.

De même, les exercices marqués d’une ou plusieurs étoiles sont plus difficiles et il n’est pasnécessaire de les maîtriser pour préparer les contrôles.

Vous trouverez à la fin de ce document deux sujets d’examen posés l’an dernier.Bon courage !L’équipe pédagogique

[email protected]@[email protected]@univ-tlse2.fr

1

Table des matières

I Le cours 6

1 Généralités sur les nombres et les opérations 71.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

1.1.1 Ensembles et éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71.1.2 Approfondissement : Applications . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 81.1.3 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.4 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 111.1.5 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 121.1.6 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 141.1.8 Nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 151.1.9 Un nombre et plusieurs formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15

1.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 161.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 161.2.2 Priorités opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 181.3.1 Définition de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 181.3.2 Techniques opératoires de la division euclidienne . .. . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 201.3.4 PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Calculs avec des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 211.4.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 211.4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221.4.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.4 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.5 Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur . . . . . . . . . 23

1.5 Calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 241.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5.2 Notation scientifique d’un nombre décimal . . . . . . . . . .. . . . . . . . 241.5.3 Règles opératoires avec des puissances . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 251.5.4 Approfondissement : Identités remarquables . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

1.6 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 261.6.1 Suites et grandeurs proportionnelles . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 261.6.2 Quatrième proportionnelle, produits en croix . . . . . .. . . . . . . . . . . 27

1.7 Unités et changements d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 291.7.1 Unités de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 291.7.2 Unités d’aire, unités de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 291.7.3 Échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

1.7.4 Unités de masse, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 321.7.5 Unités de durée, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32

2 Initiation à la statistique 352.1 Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 352.2 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35

2.2.1 Le type qualitatif nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 362.2.2 Le type qualitatif ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 372.2.3 Le type quantitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37

2.3 Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 372.4 Regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 392.5 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.5.1 Détermination de la médiane sans regroupement en classes . . . . . . . . . . 412.5.2 Approfondissement : Détermination de la médiane avecregroupement en

classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.7 Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 45

2.7.1 La variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7.2 Ecart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 47

3 Équations, inéquations, systèmes 503.1 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 50

3.1.1 Réduire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.2 Supprimer les parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 513.1.3 Développer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.4 Factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2 Équations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 533.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue . . . . . . . .. . . . . . . . . 533.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 54

3.3 Approfondissement : Inéquations à une inconnue . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 573.3.1 Généralités sur les inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 573.3.2 Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 58

3.4 Approfondissement : Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 603.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 603.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues . . . . . . 62

4 Géométrie plane 654.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 654.2 Repérage d’un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 674.3 Théorème de Pythagore, repères orthonormés, distances. . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Calculs d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 724.5 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 754.6 Approfondissement : Représentations graphiques et systèmes linéaires . . . . . . . . 774.7 Approfondissement : Graphes de fonctions . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 78

3

II Les exercices 83

1 Généralités sur les nombres 841.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 841.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 861.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 871.4 Calculs avec les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 881.5 Calculs avec les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 891.6 Calculer avec les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 921.7 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 931.8 Unités et changements d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 95

2 Statistique 98

3 Équations 1033.1 Développer une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1033.2 Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 104

4 Géométrie 1054.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1054.2 Repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1054.3 Distances, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1074.4 Approfondissement : Équations de droites et autres équations . . . . . . . . . . . . . 1084.5 Approfondissement : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 109

III Les solutions des exercices 111

1 Généralités sur les nombres 1121.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1121.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1141.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1151.4 Calculs avec les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1161.5 Calculs avec les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1171.6 Calculer avec les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1201.7 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1221.8 Unités et changements d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 125

2 Statistique 129

3 Équations 1343.1 Développer une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1343.2 Factoriser une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 136

4 Géométrie 1374.1 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1374.2 Repères du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1394.3 Distances, aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1404.4 Approfondissement : Équations de droites et autres équations . . . . . . . . . . . . . 144

4

4.5 Approfondissement : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 148

5 Archives 1515.1 Un contrôle terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1515.2 Un contrôle posé lors d’un regroupement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 155

5

Première partie

Le cours

6

Chapitre 1

Généralités sur les nombres et les opérations

Le pouvoir des nombres fut d’autant plus respecté parmi nousqu’on n’y comprenait rien[Voltaire]

1.1 Les ensembles de nombres

Cette section commence par un rappel rapide de quelques notions générales sur les ensembles ;elle est ensuite consacrée à une présentation des ensemblesde nombres les plus importants.

1.1.1 Ensembles et éléments

Prenons l’exemple de l’équipe du TFC. Au sens mathématique,c’est unensemblede joueurs.L’équipe n’est pas elle-même un joueur. Les joueurs sont lesélémentsde l’équipe.

Prenons un autre exemple : dans le corps humain, la colonne est l’ensembledes vertèbres. Mais lacolonne vertébrale n’est pas une vertèbre. Les vertèbres sont ses éléments.

L’ensemble a souvent un nom (“le TFC”, “la colonne vertébrale”,...) ; mais on peut tout aussi bien,pour le désigner, se contenter d’énumérer ses éléments.

Exemple :Blanchette, Noiraude, Câline, Joyeuse sont les quatre vaches du père Bernard. On désignela même chose par :

• “Le troupeau de Bernard”• “L’ensemble des vaches de Bernard”• “L’ensemble Blanchette ; Noiraude ; Câline ; Joyeuse”.

Remarque :On notera qu’en français, il n’y a pas de différence de sens entre les phrases entenduesaprès un contrôle :

• “Tous les élèves ont la moyenne.”• “Chaque élève a la moyenne.”• “L’ensemble des élèves a la moyenne.”

En mathématiques, la dernière phrase n’a pas de sens. L’ensemble des élèves n’est pas un élève,c’est un groupe de personnes, un objet abstrait. Il n’a donc pas pu faire le contrôle !

Ne pas confondre :

• ∈ signifie “appartient à” : il relie un élément à un ensemble ;• ⊂ signifie “est inclus dans” : il relie deux ensembles.

7

SiA etB sont deux ensembles, on noteA×B l’ensemble descouples(a, b) formés d’un élémenta deA et d’un élémentb deB. On dit queA×B est leproduit cartésiendes ensemblesA etB.

Par exemple siA = 1, 2 etB = ⋆, • alorsA × B = (1, ⋆), (1, •), (2, ⋆), (2, •).

1.1.2 Approfondissement : Applications

SoientA et B deux ensembles. Uneapplicationf deA dansB associe à tout élément deA unet un seul élément deB. Par exemple, siA est l’ensemble des vaches de Bernard etB l’ensembleblanche, noire, blonde, pie, on peut définir l’applicationf deA dansB qui à chaque vache associesa couleur. On dit que l’applicationf va de l’ensemble des vaches dans l’ensemble des couleurs.

Sachant que Blanchette est blanche, que Noiraude et Câline sont noires, et que Joyeuse est blonde,on écritf(Blanchette) = blanche,f(Noiraude) = noire,f(Câline) = noire,f(Joyeuse) = blonde.

On écrit souventf : A → B pour signifier quef est une application de l’ensembleA dansl’ensembleB.

L’écriture

f : A // B

Blanchette

// blanche

Noiraude

// noire

Câline

// noire

Joyeuse

// blonde

résume ces informations.On dit que blanche est l’imagede Blanchette. On dit que noire estl’imagede Câline.On dit que Noiraude et Câline sont lesantécédentsde noire.Notons que tout élément deA a une et une seule image parf .En revanche, un élément deB peut avoir un antécédent, ou plusieurs antécédents, ou mêmeaucun

antécédent parf . Ici, noire a deux antécédents, blanche en a un seul (c’est Blanchette), et pie n’aaucun antécédent car Bernard n’a pas de vache pie.

Il faut bien distinguer la flêche simple→ et la flêche talonnée7→.L’écrituref : A → B signifie que l’applicationf va deA dansB.L’écriture f : Joyeuse 7→ blonde signifie que l’image de Joyeuse parf est blonde. Ceci peut

s’écrire aussi bienf(Joyeuse) = blonde.Pour tout ensembleA, il existe une application très simple deA dansA : c’est l’application qui

à tout élémenta deA associe l’élémenta lui-même. On l’appellel’identité deA. On la note parfoisIdA.

On dit qu’une applicationf : A → B est injectivesi deux éléments distincts deA ont toujoursdeux images distinctes. Autrement dit, un élément deB a au plus un antécédent. Dans ce cas, on ditaussi quef est uneinjection.

On dit qu’une applicationf : A → B estsurjectivesi tout élément deB a au moins un antécédent.Dans ce cas, on dit aussi quef est unesurjection.

8

On dit qu’une applicationf : A → B est bijectivesi elle est à la fois injective et surjective.Autrement dit, tout élément deB a un et un seul antécédent. Dans ce cas, on dit aussi quef est unebijection.

Si f : A → B est une bijection, alors pour tout élémentb deB on notef−1(b) l’unique antécédentdeb parf . Cela permet de définir une applicationf−1 : B → A qui est aussi bijective. On l’appellel’application réciproquede la bijectionf .

SoientA, B et C trois ensembles. Soitf : A → B une application deA dansB. Soit g : B → Cune application deB dansC. On définit alors une nouvelle application notéegf , et appeléecomposéedef et g, de la façon suivante :

g f : A // C

a

// g(f(a)).

Autrement dit,gf est une application deA dansC et sia est un élément deA, on obtient l’imagedea parg f en appliquantf àa puis en appliquantg àf(a).

Si f : A → B est une bijection et sif−1 : B → A est son application réciproque, alors lacomposéef−1 f : A → A est l’application identité deA.

De même la composéef f−1 : B → B est l’application identité deB.

Un exemple: on suppose queA = 1, 2, 3, B = a, b, c, d, et C = X, Y, Z. On définit lesapplicationsf etg par

f : A // B

1

// b

2

// a

3

// d

et

g : B // C

a

// Z

b

// Y

c

// Y

d

// X

9

On observe quef est injective mais non surjective (carc n’a pas d’antécédent parf ).Au contraireg est surjective mais non injective (carg(b) = g(c) = Y ).On vérifie que la composéeg f est

g f : A // C

1

// Y

2

// Z

3

// X

Notons queg f est une bijection entreA et B. On poseh = g f . Décrivons l’applicationréciproqueh−1.

h−1 : C // A

X

// 3

Y

// 1

Z

// 2

Si A etB sont deux ensembles, unefonctionf deA dansB associe à certains éléments deA ununique élément deB. Elle n’associe rien du tout aux autres éléments deA. AppelonsD l’ensemblesdes éléments deA auxquelsf associe un élément deB. On dit queD est l’ensemble de définitiondef . On dit aussi quef est définie dansD

Par exemple, appelonsi : x 7→ x−1 la fonction d’inversion. C’est une fonction de la variableréellex. Son ensemble de définition est IR∗, l’ensemble des réels non-nuls.

1.1.3 Nombres réels

Sur une droiteD donnée, on choisit une unité de longueur et un point particulier, que l’on appelleO point origine.

Pour tout pointM sur cette droite, on peut déterminer la distanceOM . Pour indiquer la positiondu pointM sur cette droite, on peut déterminer la distanceOM et le sens de parcours deO àM .

On choisit sur la droite une orientation. Si on va deO à M en suivant l’orientation de la droite,on dira que l’abscisse du pointM est+OM (elle est donc positive) ; si on va deO àM en suivant lesens contraire de l’orientation de la droite, on dira que l’abscisse deM est−OM (l’abscisse deMest alors négative.).

Les abscisses des points de la droite sont appeléesles nombres réels(du latin res, la chose : ilsservent à repérer des “choses” concrètes sur la droite.).

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o M

(-1) (0) (+1) (+2) (+3)

I

En mathématiques, l’ensemble des nombres réels (c’est-à-dire l’ensemble dont les éléments sonttous les nombres réels) est noté IR ; celui des nombres positifs (ou nuls) s’appelle IR+ et celui desnombres négatifs (ou nuls) s’appelle IR−.

On utilise la notation∗ (étoile) pour indiquer que 0 n’est pas un élément de l’ensemble : IR∗ estl’ensemble des nombres réels différents de zéro (on ditnon nuls) ; IR∗

+ est l’ensemble des nombresréels positifs non nuls (c’est-à-dire strictement positifs) ; IR∗

− est l’ensemble des nombres réels négatifsnon nuls (c’est-à-dire strictement négatifs).

1.1.4 Entiers naturels

Les entiers naturelssont les abscisses des pointsM que l’on peut construire à partir deO enreportant la longueurOI, zéro, une ou plusieurs fois vers la droite. Il s’agit des nombres 0, 1, 2,... Onappelle donc entiers naturels, les nombres que l’on utilisepour compter : 0, 1, 2, 3, ... L’ensemble deces nombres est noté IN (IN comme Naturels).

La notation IN∗ désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls. On dit indifféremment :• n est un entier naturel• n est un élément de IN• n ∈ IN (lire “ n appartient à IN”).Un entier naturel est décomposé enchiffres: les chiffres sont les signes qui permettent d’écrire

tous les nombres ; on en compte dix : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ainsi, la numérotation occidentalemoderne est une numérotation dite enbase 10; cela signifie, entre autres, que l’on change de motslorsqu’on change de dizaine :

1 → un10 → dix20 → vingt...100 → cent1 000 → mille10 000 → dix mille...1 000 000 → un million...1 000 000 000 → un milliard1 000 000 000 000 → mille milliards

.

Remarque :L’écriture en base 10 n’est pas une obligation ; beaucoup d’autres peuples avaient ouont encore une numérotation différente.

Pour simplifier les notations, on verra plus loin que le nombre 1 000 000 000 000 sera noté1012

(puisqu’il comporte 12 zéros).On appellechiffre des unitésle dernier chiffre d’un nombre naturel.

Exemple :Le chiffre des unités du nombre23 567 est 7 .

11

De la même manière, on définit le chiffre des dizaines, des centaines, des milliers...

Attention ! Il ne faut pas confondre chiffre des dizaines et nombre de dizaines :Le chiffre des dizainesde23 567 est 6 alors que le nombre de dizaines de ce nombre est2 356.

Opérations élémentaires sur les entiers

Les opérations élémentaires que l’on peut effectuer avec des entiers naturels sont :l’addition et lamultiplication(et leurs opérations complémentaires,la soustractionet la division).

Remarque :Il faut absolument savoir pratiquer parfaitement ces quatre types d’opérations ; ceciimplique qu’il faut, notamment, bien connaître les tables de multiplication.

À ces opérations est associé un vocabulaire spécifique : on dit la sommede deux entiers pourdésigner leur addition,le produitpour la multiplication,la différencepour la soustraction etle quotientpour la division ; enfin,le triple de... désigne la multiplication par 3,le quart de... la division par 4,...

Propriété : La somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.

En revanche, l’opposé d’un entier naturel non nul n’est pas un élément de IN : par exemple,−5 /∈ IN.

1.1.5 Entiers relatifs

Lesentiers relatifs(ou entiers tout court) sont les abscisses des pointsM que l’on peut construireà partir deO en reportant la longueurOI autant de fois que l’on veut, d’un côté ou de l’autre du pointO. Il s’agit donc des nombres 0, 1,−1, 2,−2,...

L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ZZ (de l’allemandZahl, le nombre). Comme pourIR, on utilise ZZ+ pour l’ensemble des entiers positifs, ZZ∗ pour l’ensemble des entiers non nuls,...

Il résulte de la définition que les entiers naturels sont les entiers relatifs positifs. IN et ZZ+ sontdeux noms pour le même ensemble.

On appellevaleur absolued’un nombrex (notée|x|) le nombre positif égal àx ou à−x.

Comparaison des entiers relatifs

Pour comparer des entiers relatifs, on applique les règles suivantes :

→ Entre deux nombres relatifs, un positif et l’autre négatif,le plus grand est le nombre positif ;→ Entre deux nombres relatifs tous deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande

valeur absolue ;→ Entre deux nombres relatifs tous deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur

absolue.

Exemple : Le classement, dans l’ordre croissant des nombres−5 ; 4 ; 3 ; 1 ;−2 ; −9 est :

−9 < −5 < −2 < 1 < 3 < 4.

Propriété : La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.

Attention ! Le quotient de deux entiers relatifs n’est pas toujours un entier :

6

2= 3 ∈ ZZ mais

7

2/∈ ZZ.

12

1.1.6 Nombres décimaux

Les nombres décimaux sont les nombres qui ont une écriture décimale (écriture “à virgule”), avecun nombre fini de décimales (“de chiffres après la virgule”).

Exemple : Les trois nombres suivants sont décimaux :

7.28−1

2(= −0, 5) 3.

Exemple : 13

n’est pas un nombre décimal.

On note ID l’ensemble des nombres décimaux.

Les nombres entiers sont des décimaux (aucun chiffre après la virgule).On appellepartie entièred’un nombre décimal positif, le nombre composé des chiffressitués à

gauche de la virgule de l’écriture décimale du nombre etpartie décimalele nombre décimal auquelon a enlevé sa partie entière.

Exemple : La partie entière du nombre 3,248 est 3, sa partie décimale 0,248.

Le chiffre desdixièmesd’un nombre décimal est le premier chiffre situé après la virgule dansl’écriture décimale du nombre ; le chiffre descentièmesest le deuxième chiffre après la virgule ; celuidesmillièmesle troisième...

Exemple : Le chiffre des centièmes de 3,248 est 4 mais le nombre de centièmes de ce nombre est 324.

Remarque :Ajouter des 0 à la droite de la partie décimale d’un nombre décimal ne change pas savaleur.

Arrondis à l’aide d’un nombre décimal

L’ arrondi au dixième par excèsd’un nombre positif est le plus petit nombre décimal supérieurdont l’écriture décimale s’arrête au chiffre des dixièmes.

L’ arrondi au dixième par défautd’un nombre positif est le plus grand nombre décimal inférieurdont l’écriture décimale s’arrête au chiffre des dixièmes.

L’ arrondi d’un nombre positif est le plus proche des deux arrondis entre l’arrondi par excès etl’arrondi par défaut. Autrement dit, lorsque l’écriture décimale a pour chiffre des centièmes 0, 1, 2,3 ou 4, l’arrondi au dixième est l’arrondi par défaut et lorsque l’écriture décimale a pour chiffre descentièmes 5, 6, 7, 8 ou 9, l’arrondi au dixième est l’arrondi par excès.

Les notions d’arrondis se généralisent, de manière évidente, aux centièmes, aux millièmes, ...

Comparaison des décimaux

Pour comparer deux décimaux positifs, on procède de la manière suivante :

13

→ On compare d’abord les parties entières des deux décimaux ; le plus grand est celui qui a laplus grande partie entière.

→ Si les deux parties entières sont égales, on compare les chiffres des dizièmes des deux déci-maux ; le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des dizièmes.

→ Si les deux chiffres des dizièmes sont aussi égaux, on compare les chiffres des centièmes desdeux décimaux ; le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des centièmes...

→ On procède ainsi jusqu’à trouver la première décimale différente dans les deux nombres.

Entre deux décimaux, il y a une infinité de décimaux. Aussi, lanotion de “décimal qui suit immé-diatement” (ou “décimal qui précède immédiatement”) un nombre donné n’a aucun sens.

Exemple : Le “décimal qui suit immédiatement le nombre 3,248 ne peut être :• 3,2481 car 3,24801 est plus proche• 3,24801 car 3,248001 est plus proche...En continuant ainsi, on se rend compte que l’on peut toujourstrouver un décimal (qui a un nom-

bre de chiffres après la virgule fini) plus proche de 3,248 : laprocédure ne s’arrête jamais le nombrecherché n’existe pas.

1.1.7 Nombres rationnels

Un nombre rationnelest un nombre qui peut s’exprimer comme quotient (ou rapport, en lationratio) de deux entiers comme1

2, −7

12,... L’ensemble des entiers rationnels est notéQ (Q comme quo-

tient). Bien entendu, on utilise les notationsQ∗, Q+, Q−, Q∗+, Q∗

−.

L’écriture ab

où a est un entier etb un entier non nul, est appeléeécriture fractionnairedu nom-bre (ou plus simplement fraction) et elle n’est pas unique (par exemple1

3= 2

6). On appellea le

numérateurde la fraction etb le dénominateurde la fraction.

Remarque :Le nombre rationnelab

peut être interprété concrètement de la façon suivante : surbparts (de gâteau par exemple), j’en ai prisa.

Les nombres entiers sont aussi des nombres rationnels. En effet, tout entiern peut s’écrire sous laforme :

n =n

1.

Les nombres décimaux aussi sont des rationnels, car ce sont les quotients d’un nombre entier (a)par un entier (nombre fini de décimales). Par exemple, on peutécrire

7.28 =728

100.

En revanche, tous les rationnels ne sont pas décimaux :13, −2

7ne sont pas décimaux.

Propriété : Les nombres rationnels sont des nombres dont l’écriture décimale peut être infinie,mais dont les décimales, à partir d’un certain rang, ont une période.

On détermine cette période en posant la division et en la poursuivant jusqu’à trouver un reste déjàrencontré.

14

Exemple : Si on effectue la division de 533 par 700, on remarque qu’à partir de la troisième décimalede ce nombre, on tombe sur un phénomène cyclique :

533

700= 0, 76 142857 142857 · · ·

On note se nombre0, 76 142857 (la période est soulignée et écrite qu’une fois ; on supprimeles · · · )

Propriété : La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres rationnels (dontl’un non nul pour le quotient) est un nombre rationnel.

1.1.8 Nombres irrationnels

Tous les nombres réels ne sont pas rationnels (loin de là !) Parmi les irrationnels(nombres réelsqui ne sont pas rationnels), on trouve :

√2,

√3, π, π2,

√5 − 3, − 1

π,... L’ensemble des nombres irra-

tionnels est IR\ Q (qui se lit “IR privé deQ” ou bien “IR moinsQ”).

Attention ! La somme ou le produit de deux irrationnels n’estpas toujours un irrationnel. Parexemple :

(π + 1) + (−π) est un entier√3 ×

√3 = 3 est un entier

On peut toutefois énoncer quelques règles :• La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est toujours un irrationnel (par exempleπ + 1,√

2 − 3,...)• Le produit d’un rationnel différent de zéro et d’un irrationnel est toujours un irrationnel (3π

2,

2√

5,...)• L’inverse d’un irrationnel est un irrationnel (1

π, 1

3+√

5,...)

• L’opposé d’un irrationnel est un irrationnel (−√

7, −π,...)• La racine carrée d’un entier est, soit entière (

√4 = 2,

√49 = 7,...) , soit irrationnelle (

√2,√

3,...)

1.1.9 Un nombre et plusieurs formes

Un nombre réel peut êtrereprésentéde plusieurs façons. Par exemple,

51

5=

5, 1

0, 5= 10, 2

Il faut bien comprendre que, quelle que soit la représentation adoptée, il s’agit toujours du mêmenombre. En particulier,

• 515

est un nombre décimal,•√

9 est un nombre entier naturel,• 45 est un nombre rationnel,• 34.0 est un nombre entier.Ces qualités (décimal, entier,...) sont celles du nombre lui-même et pas de sa représentation.

En résumé, il faut se souvenir que l’on a des ensembles emboîtés les uns dans les autres, commedes “poupées russes” :

IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ Q ⊂ IR.

15

1.2 Règles opératoires

On donne ici un certain nombre de règles qui ne sont pas valables uniquement pour les entiersnaturels mais pour toute opération portant sur des nombres réels. Toutefois, dans un souci de sim-plicité, la plupart des exemples seront choisis avec des nombres entiers.

1.2.1 Opérations élémentaires

Addition de nombres réels

Règle :

Pour additionner deux nombres de même signe,• On additionne leur distance à 0• On met devant le résultat le signe commun aux deux nombres.Pour additionner deux nombres de signes différents,• On soustrait leur distance à 0• On met devant le résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à 0.

Exemples :• 7 + 2 = (+7) + (+2) = +9 (on additionne les deux nombres positifs+7 et+2.)• −7 − 4 = (−7) + (−4) = −11 (on additionne les deux nombres négatifs−7 et−4.)• 7 − 3 = (+7) + (−3) = +4 (on additionne le nombre positif+7 et le nombre négatif−3. Les

deux nombres sont de signes différents donc on soustrait lesdistances à zéro. La plus grandedistance à zéro est 7, le résultat est donc positif).

• −2 + 5 = +3 (on additionne le nombre négatif−2 et le nombre positif+5).• −11 + 4 = −7 (on additionne le nombre négatif−11 et le nombre positif+4).

Soustraction de nombres réels

Règle :

Pour soustraire un nombre réel, on additionne son opposé.

Exemples :• 5 − (−3) = 5 + (+3) = +8 (on additionne l’opposé de−3 qui est+3.)• −11 − (−6) = −11 + (+6) = −5

Multiplication et division de nombres réels

Règle :

Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le produit ou lequotient de deux nombres de signes différents est un nombre négatif. Ceci permet de déduire qu’unepuissance paire d’un nombre négatif est positive et qu’une puissance impaire d’un nombre négatif estnégative.

Pour multiplier ou diviser deux nombres réels,→ On applique la règle des signes→ On multiplie ou on divise les deux distances à 0.

16

Exemples :• (−2) × 6, 2 = −12, 4 ;• (−5) × (−10) = 50 ;• −8

−2= (−8) ÷ (−2) = +4 ;

• −63

= −2 ; 4,5−3

= −1, 5.

1.2.2 Priorités opératoires

Le calcul d’une opération est soumis à des règles depriorité :

En l’absence de parenthèses

Dans un calcul sans parenthèses,a) on calcule en priorité les puissances,b) puis les multiplications ou les divisions,c) puis enfin les additions et les soustractions.

Exemples :• 2 − 7 × 3 = 2 − 21 = −19• 3 − 5 × 22 = 3 − 5 × 4 = 3 − 20 = −17.

Avec des parenthèses

Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses. À l’intérieurdes parenthèses, on applique la règle ci-dessus.

Exemples :• (2 − 9 − 7) − (4 − 5 − 3) = (−14) − (−4) = −14 + 4 = −10• −10 − 5 × (2 − 6) = −10 − 5 × (−4) = −10 + 20 = 10• (−35) ÷ (−7) + (−3) × 8 = 5 + (−24) = −19.• 5 + 6 × (2 + 3 × 22 − 7). D’abord2 + 3 × 22 − 7 = 2 + 3 × 4 − 7 = 2 + 12 − 7 = 7 puis

5 + 6 × (2 + 3 × 22 − 7) = 5 + 6 × 7 = 5 + 42 = 47.

Remarque :La multiplication et la division, ainsi que l’addition et lasoustraction sont des opéra-tions ayant même ordre de priorité ; cela vient du fait que la soustration n’est qu’une addition parl’opposé et la division une multiplication par l’inverse.

Les opérations élémentaires (addition, multiplication) ont des propriétés qui permettent de faciliterles calculs : elles sontcommutatives(cela signifie que l’on peut permuter l’ordre de deux termes pourdes opérations de même priorité) etassociatives(cela signifie que l’on peut associer les termes par“paquets” faciles à calculer pour des opérations de même priorité).

Exemple : Pour calculer le produit4×6×25, la manière la plus rapide de procéder est de remarquerque :4×6×25 = 6×4×25 = 6× (4×25) = 6×100 = 600 (on utilise d’abord la commutativité dela multiplication pour permuter 4 et 6, puis son associativité pour calculer d’abord le “paquet”4×25).

17

1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD

La division euclidienne de deux entiers est la bonne vieilledivision, connue des étudiants depuisl’école primaire. Elle s’avère toutefois très utile dans denombreuses situations de la vie courante,aussi bien que dans des problèmes algorithmiques (programmation informatique, par exemple). Cettesection a pour but de se refamiliariser avec cette technique.

1.3.1 Définition de la division euclidienne

Définition : La division euclidienned’un nombre entier natureln par un entier naturel non nuld est l’opération :

n = d × q + r où0 6 r < d

Le nombren est appelédividende, le nombred diviseur, le nombreq quotientet le nombrerreste.

Remarque :On trouve principalement deux types de problèmes utilisantla division euclidienne :

1) La division euclidienne est vue comme une suite de soustractions successives : on peut enleverq fois le nombred au nombren de sorte que le résultat reste positif etr est le résultat de la dernièresoustraction.

Autrement dit, la division euclidienne den pard, c’est chercher combien de fois je peux soustraired àn, et combien il me reste une fois que je ne peux plus soustraire.

Exemple : 786 = 8 × 98 + 4 donc, en effectuant les soustractions successives :

786 − 8 = 778778 − 8 = 770

...

on peut faire 98 soustractions avant que le résultat soit inférieur strictement à 8 et le résultat de ladernière soustraction est alors 4.

2) On utilise la division euclidienne pour résoudre des problèmes cycliques ; un exemple classiquede problème cyclique est le chiffre des unités d’une puissance d’un nombre quelconque.

Exemple : Quel est le chiffre des unités de mon capital au bout d’un an sije pars de 2 euros et que jedouble mon capital chaque jour de l’année ?

PREUVE : Le deuxième jour, j’ai 4 euros, le troisième 8, le quatrième16, le cinquième 32, lesixième 64,... On remarque que les chiffres des unités sont :2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... On se trouve doncface à un cycle de longueur 4 ; on effectue alors la division euclidienne de 365 par 4 car, tous les 4jours, on revient sur le même chiffre des unités :

365 = 4 × 91 + 1

donc le chiffre des unités de2365 (= 2× 2× · · · × 2, notation vue plus tard) est le même que celui de21 (2 à la puissance le reste de la division), c’est-à-dire 2. 2

18

La division euclidienne fait intervenir 2 nombres (dividende et diviseur) et donne 2 résultats (quo-tient et reste).

Lorsqu’on effectue la division euclidienne de 125 (dividende) par 7 (diviseur),

125 = 7 × 17 + 6,

17 est le quotient et 6 est le reste.

Suivant le problème posé, on peut s’intéresser à un seul des deux résultats ou aux deux :

Exemple : Je partage équitablement mes 15 chocolats entre mes 4 meilleurs copains et je mangeceux qui restent.

Dans ce cas, les deux résultats sont intéressants : le nombrede chocolats récupérés par chacun demes copains, et aussi le nombre que je vais manger.

Exemple : On fait tourner une roue de la fortune comportant 36 graduations, elle tourne de 200graduations avant de s’arrêter.

200 = 36 × 5 + 20 ; la roue a fait 5 tours et 20 graduations. Dans ce cas, seule laposition finaleest importante car c’est elle qui définit le lot, si la roue avait effectué un ou deux tours de plus (236ou 272 graduations), le lot serait le même. Elle aurait même pu ne tourner que de 20 graduations, lereste de la division. 200, 236, 272, 20 donnent le même résultat.

Exemple : Dans une grande surface, le mardi, on a 3 euros de bons d’achats tous les 60 eurosd’achats. Sachant que ma note est de 537 euros, de quelle somme vais-je disposer en bons d’achats ?

Dans ce cas, le reste n’a pas d’importance, car il ne donne aucun bon d’achat. Par contre, on a537 = 60 × 8 + 57 donc dans 537, il y a 8 fois 60, ce qui donne 8 bons d’achats (soit 24 euros).

1.3.2 Techniques opératoires de la division euclidienne

Lorsqu’on effectue la division euclidienne den pard 6= 0, comme les entiers 0,d, d× 2, d× 3, ...sont de plus en plus grands, il arrive un moment où on va “dépasser”n : le quotientq est précisémentle dernier entier pour lequel le produit ne “dépasse” pasn, c’est-à-dire que l’on ad × q 6 n etd × (q + 1) > n. Pour le reste, on a alorsr = n − d × q.

Exemple : Division euclidienne de 43 par 5PREUVE : Les multiples successifs de 5 sont 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... On a donc

5 × 8 = 40 < 43 et 5 × 9 = 45 > 43. On en déduit donc queq = 8 et r = 43 − 40 = 3, soit43 = 5 × 8 + 3. 2

Cette méthode s’avère très vite fastidieuse lorsque l’on est en présence de nombres plus grands,comme par exemplen = 9163 et d = 38. Il est hors de question de déterminer tous les multiples de38 jusqu’à 9163 ! Que faire alors ?

Un étudiant qui dispose d’une simple calculatrice, style téléphone mobile, va faire9163 ÷ 38 etva lire sur l’écran 241.1315789, ce qui signifie que38 × 241 < 9163 < 38 × 242, ce qui donnedirectementq = 241 et pour avoirr, il suffit alors de faire

9163 − 38 × 241 = 9163 − 9158 = 5.

Et sans calculatrice ? Il faut alors poser la division, commeà l’école primaire...

19

On rappelle la technique détaillée (avec les produits partiels et les soustractions successives) :

• Dans 9163, il y a 200 fois 38 et il reste9163 − 38 × 200 = 9163 − 7600 = 1563• Dans 1563, il y a 40 fois 38 et il reste1563 − 40 × 38 = 1563 − 1520 = 43• Dans 43, il y a 1 fois 38 et il reste 5.

Finalement,9163 = 38×200+[38×40+(38×1+5)] = 38×(200+40+1)+5 = 38×241+5,que l’on peut représenter :

9 1 6 3 3 8− 7 6 0 0 2 0 0

1 5 6 3− 1 5 2 0 4 0

4 3− 3 8 1

5 2 4 1

Plus rapidement, on pose :9 1 6 3 3 81 5 6 2 4 1

0 4 35

c’est-à-dire

• On calcule d’abord2 × 38, on le soustrait de 91 (soit 15), puis on “abaisse” le 6 ;• On calcule ensuite4 × 38, on le soustrait de 156 (soit 4) puis on “abaisse ” le 3 ;• On calcule enfin1 × 38 que l’on soustrait de 43, ce qui donne le reste.

1.3.3 Diviseurs et multiples

Définition : Si n etd sont deux entiers naturels avecd non nul, on dit quen est unmultiple ded si le reste de la division euclidienne den pard est nul ; dans ce cas, on dit aussi qued est undiviseurden. Cela signifie qu’il existe une entier naturelq tel que

n = d × q .

Exemple : 18 est un multiple de 3 car18 = 3 × 6 et 3 est un diviseur de 18.

Il existe quelques critères simples pour découvrir les multiples des premiers entiers naturels :• Les multiples de 2 sont les nombres pairs (dont le chiffre desunités est 0, 2, 4, 6 ou 8) ;• Les multiples de 4 sont les nombres dont les deux derniers chiffres forment un nombre multiple

de 4.

Exemple : 1988 est un multiple de 4 car 88 est un multiple de 4 (88 = 4 × 22).• Les multiples de 3 sont les nombres dont la somme des chiffresest un multiple de 3.

Exemple : 1989 est un multiple de 3 car1 + 9 + 8 + 9 = 27 et2 + 7 = 9 où 9 est un multiple de 3.• Les multiples de 9 sont les nombres dont la somme des chiffresest un multiple de 9.

Exemple : 1989 est un multiple de 9 car1 + 9 + 8 + 9 = 27 et2 + 7 = 9.• Les multiples de 5 sont les nombres dont le chiffre des unitésest égal à 0 ou 5.

20

• Les multiples de 11 sont les nombres dont la différence alternée des chiffres vaut 0.

Exemple : 2145 est un multiple de 11 car2 − 1 + 4 − 5 = 0.

Par ailleurs, la divisibilité est une propriété transitive, c’est-à-dire que, sik divised et sid divisen, alorsk divisen.

Exemple : 2 et 3 divisent 6 et 6 divise 18 donc 2 et 3 divisent 18.

Définition : → On appellediviseur commundes entiersa1, a2, · · · , ap un nombre qui divise àla foisa1, a2, · · · , ap.→ On appellemultiple commundes entiersa1, a2, · · · , ap un nombre qui est à la fois multipledea1, a2, · · · , ap.

1.3.4 PGCD, PPCM

Définition : On appellePlus Grand Commun Diviseurde deux nombres (notéPGCD) le di-viseur des deux nombres qui soit le plus grand possible.

Définition : On appellePlus Petit Commun Multiplede deux nombres (notéPPCM) le multi-ple des deux nombres qui soit le plus petit possible.

Pour déterminer lePGCD de deux nombres, une des techniques les plus utilisées est l’algorithmed’Euclide que l’on va maintenant énoncer. On commence par effectuer la division euclidienne du plusgrand des nombres par l’autre. Puis, à chaque étape, on divise le diviseur de l’étape précédente par lereste. LePGCD est alors le dernier reste non nul.

Remarque :Pour avoir lePPCM de deux nombresa et b, on utilisera alors le résultat admis trèspratique :

PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b.

Dans le cas de 15 et 8 :→ On divise 15 par 8 : le quotient est 1, il reste 7 ;→ On divise 8 par 7 : le quotient est 1, il reste 1 ;→ On divise 7 par 1 : le quotient est 7, il reste 0.Le dernier reste non nul est 1, doncPGCD(15 ; 8) = 1.On a alorsPPCM(15 ; 8) = 15×8

1= 120.

Le PPCM peut s’avérer utile dans l’addition des fractions (sectionsuivante) lorsqu’il faut ré-duire au même dénominateur...

1.4 Calculs avec des fractions

1.4.1 Addition et soustraction

Règle :

21

• Pour calculer la somme ou la différence de deux nombres en écritures fractionnaires, ces deuxnombres doivent obligatoirement être au même dénominateur. Alors,

→ On additionne ou on soustrait les numérateurs→ On garde le dénominateur commun.

Si a, b, c sont des nombres relatifs ;c 6= 0, ac

+ bc

= a+bc

; ac− b

c= a−b

c

Il est souvent possible (mais pas toujours), de trouver un dénominateur commun plus petit quele produit des deux dénominateurs. En fait, le plus petit dénominateur commun est lePPCM desdénominateurs, mais il est parfois plus rapide de ne pas le calculer, quitte à ne pas avoir les plus sim-ples calculs !

Exemples :

• 1725

− 1325

= 17−1325

= 425

; −136

+ 56

= −13+56

= −86

= −43

• −1314

+ −47

= −1314

+ −814

= −2114

= −32

; 56− 1

2= 5

6− 3

6= 2

6= 1

3.

1.4.2 Multiplication

Règle :

Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, onmultiplie les numérateurs entre eux etles dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.

a, b, c, d sont des nombres relatifs,b 6= 0, d 6= 0, ab× c

d= a×c

b×d.

Cas particulier important :a × cd

= a×cd

(cara = a1).

Exemples :

• 34× 7

5= 3×7

4×5= 21

20; 4 ×

(−57

)= 4×(−5)

7= −20

7

• −89× −3

4= 8×3

9×4= 2×4×3

3×3×4= 2

3.

Il peut être judicieux, lorsqu’on n’a pas de calculatrice, de décomposer les différents facteurs etsimplifier avant de multiplier :

32

35× 25

8=

4 × 8

5 × 7× 5 × 5

8=

4 × 8 × 5 × 5

5 × 7 × 8=

4 × 5

7=

20

7

est préférable à :32

35× 25

8=

800

280=

80

28=

40

14=

20

7.

1.4.3 Division

Inverse d’un nombre

Définition : Deux nombres sont dits inverses lorsque leur produit est égal à 1.

Pour toutx 6= 0, l’inverse dex est 1x, noté aussix−1 : x × 1

x= 1.

22

L’inverse deab

est ba

; ab× b

a= 1.

Exemples :• L’inverse de2 est 1

2

• L’inverse de−5 est 1−5

soit−15

• L’inverse de32

est 23.

Quotient en écriture fractionnaire

Propriété : Diviser par un nombre (non nul), c’est multiplier par son inverse.

a

b= a × 1

b.

Pour tous nombresa, b, c, d, b 6= 0, c 6== 0, d 6= 0, ab÷ c

d=

abcd

= ab× d

c.

Exemples :

• 34÷ 2

3= 3

4× 3

2= 9

8; −4

5÷ −2

7= −4

5× 7

−2= 4×7

5×2= 14

5

• −4 ÷ −85

= −4 × 5−8

= 4×58

= 52

;3

16

5

4

= 316

× 45

= 3×44×4×5

= 320

.

Remarque :Le motfractiondésigne seulement uneécrituredu typeab. Le nombre ainsi représenté

n’est pas nécessairement rationnel. Ainsi,√

32

est un nombre irrationnel, écrit sous la forme d’une frac-tion. Ainsi, les règles de calculs que l’on vient d’énoncer s’appliquent à toutes les fractions, qu’ellesreprésentent ou non un nombre rationnel.

1.4.4 Radicaux

Précisons le vocabulaire : le motradicaldésigne une façon d’écrire certains nombres. Par exemple,2 est la racine carrée de 4, mais ce n’est un radical que si l’onécrit

√4.

On rappelle les principales règles, lorsquea et b sont des réels positifs :

• √a ×

√b =

√a × b

• √a +

√b 6=

√a + b (sauf sia ou b est nul)

• (√

a)2 = a. (Attention ! six < 0,√

x2 = −x)

1.4.5 Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur

Dans l’écriture des fractions, on évite de laisser des radicaux au dénominateur.→ Si le dénominateur est un radical, on simplifie en le multipliant par lui-même.

1

3√

2=

1 ×√

2

3(√

2)2=

√2

6.

→ Si le dénominateur est une somme contenant des radicaux, on utilise alors la “quantitéconjuguée”. La quantité conjuguée dea + b esta− b : on fait alors apparaître un produit remarquable

23

a2 − b2 (voir section suivante), qui permet de se débarrasser des radicaux. Par exemple :

2√5 −

√3

=2 × (

√5 +

√3)

(√

5 −√

3) × (√

5 +√

3)=

2 × (√

5 +√

3)

5 − 3=

√5 +

√3.

1.5 Calculs avec des puissances

1.5.1 Définition

Soita un nombre réel etn un nombre entier positif non nul,

an = a × a × · · · × a︸︷︷︸

n fois

a−n = 1an a0 = 1

Exemples :• 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, 2−1 = 1

21 = 12, 81 = 9 × 9 = 92 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34

• 10000 = 104, 10−3 = 0, 001, (−5)2 = (−5) × (−5) = 25,• (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8, −32 = −3 × 3 = −9, (−5)−2 = 1

(−5)2= 1

25.

Cas particulier : les puissances de 10

Soitn un entier positif,

10n = 10 × 10 × · · · × 10︸︷︷︸

n fois

= 10000 · · ·00︸︷︷︸

1 suivi de n zéros

10−n =1

10 × 10 × · · · × 10= 0, 0000 · · ·001

︸︷︷︸

n zéros suivi de 1

1.5.2 Notation scientifique d’un nombre décimal

On rappelle qu’un nombre décimal est un nombre qui a une écriture décimale (écriture “à vir-gule”), avec un nombre fini de décimales (“de chiffres après la virgule”).

Plus précisément, on appellenombre décimalun nombre réel qui peut s’écrire sous la forme :

x =a

10n

oùa est un entier relatif etn un entier naturel.

Exemple : Les trois nombres suivants sont décimaux :

7.28 =728

100=

728

102;

−1

2=

−5

10=

−5

101; 3 =

3

1=

3

100.

Ainsi, pour écrire les décimaux, on utilise souvent les puissances de 10. Attention : le nombre2 000 000 se note2 × 106, et non206 qui est égal à20 × 20 × · · · × 20

︸︷︷︸

6 fois

= 64 000 000.

24

On appelleécriture scientifiqued’un décimal, une écriture de la formea×10n oùa est un décimaldont la partie entière ne contient qu’un chiffre non nul etn est un entier positif ou négatif.

Exemples :• Le nombre 0,00512 peut s’écrire512 × 10−5 (car multiplier par10−5 revient à “décaler” la

virgule de 5 positions vers la gauche) : son écriture scientifique est5, 12 × 10−3.• Le nombre124 000 000 peut s’écrire124 × 106 (car multiplier par106 revient à “décaler” la

virgule de 5 positions vers la droite) : son écriture scientifique est1, 24 × 108.

1.5.3 Règles opératoires avec des puissances

Poura et b nombres réels, etm etn nombres entiers :

am × an = am+n am

an = am−n

Exemples :• 2−5 × 27 × 22 = 2−5+7+2 = 24 = 16 ; 312×3−5

34 = 312−5−4 = 33

• 103×102

10−4 = 103+2−(−4) = 109 = 1000000000

(an)m = anm

Exemples :• (102)−6 = 10−12 ; (75)2×7−4

76 = 710−4−6 = 70 = 1.• 46 × (25)−2 = (22)6 × 2−10 = 212 × 2−10 = 212−10 = 22

an × bn = (a × b)n

Exemple :• 253 × 43 = (25 × 4)3 = 1003 = (102)3 = 106.

1.5.4 Approfondissement : Identités remarquables

→ Pour tous nombres réelsa et b, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .Cette identité remarquable peut permettre de calculer plusrapidement des carrés.

Exemple :

1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 × 100 × 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.

→ Pour tous nombres réelsa et b, (a + b)(a − b) = a2 − b2 .Cette identité remarquable est utilisée pour la simplification d’écritures fractionnaires comportant

des radicaux (voir paragraphe 1.4.4).

25

1.6 Proportionnalité

1.6.1 Suites et grandeurs proportionnelles

On appellesuite de nombresun ensemble de nombres ordonné. Les nombres qui la composentsont ses termes.

Deux suites de nombres sont ditesproportionnellessi on peut passer des termes de l’une aux ter-mes de l’autre en multipliant (ou en divisant) par un même nombre non nul. Ce nombre est appelécoefficient de proportionnalité(ou opérateur).

Exemple :s1 4 6 8 10 12 14s2 6 9 12 15 18 21

Les suitess1 ets2 sont proportionnelles, car on peut passer des1 às2 en multipliant tous les termespar 1,5. Les quotients : 6/4 ; 9/6 ; 12/8 ; 15/10 ; 18/12 et 21/14sont tous égaux à 1,5.

s3 4 6 8 10 12 14s4 6 8 10 12 14 16

Les suitess3 ets4 ne sont pas proportionnelles, car les quotients : 6/4 ; 8/6 ; 10/8 ; 12/10 ; 14/12 et16/14 ne sont pas égaux.

Deuxgrandeurssontproportionnellessi les mesures de chacune d’entre elles forment deux suitesde nombres proportionnels.

Quand deux ou plusieurs suites proportionnelles sont représentées dans un tableau, on parle detableau de proportionnalité.

Exemple : Le tableau suivant donne la conversion de prix exprimés en euros, en francs suisses

Euros 100 350 70Francs suisses155 542, 5 108, 5

: 155100

= 1, 55 ; 542,5350

= 1, 55 ; 108,570

= 1, 55.

Ce tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 1,55. Les sommes en francssuisses sont proportionnelles aux sommes en euros et 1 euro vaut 1,55 francs suisses.

Dans un tableau, il y a donc proportionnalité quand les termes de la deuxième ligne s’obtiennenten multipliant ceux de la première ligne par un même nombre. Ce nombre est le coefficient de pro-portionnalité.

Remarque :Sur un graphique, il y a proportionnalité quand tous les points sont alignés et la droitepasse par l’origine du repère.

Propriété intéressante: Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, elles varient dans lesmêmes proportions : si les valeurs de l’une deviennent deux fois, trois fois,... plus grandes, les valeursde l’autre deviennent aussi deux fois, trois fois,... plus grandes : deux colonnes seront donc égalementproportionnelles

26

Exemple : Lorsqu’on achète de l’essence, le prix payé est proportionnel au nombre de litres. Parexemple, 45 litres coûtent 3 fois plus que 15 litres. Si 15 litres d’essence coûtent 20,70 euros, alors 45litres coûtent20, 7 × 3 = 62, 10 euros.

Nombre de litres 15 45Prix (en euros) 20, 70 62, 10

Autre propriété très utile : si ab

= cd

= k, alorsa = kb et c = kd donc(a + c) = k(b + d) doncla proportionnalité est conservée par addition de deux colonnes.

1.6.2 Quatrième proportionnelle, produits en croix

Dans un tableau de proportionnalité élémentaire (tableau à2 lignes et 2 colonnes), le problèmeest la recherche d’un quatrième nombre qui, avec trois nombres donnés formera une proportion. Ceproblème est souvent appelérecherche de la quatrième proportionnelle.

La règle du produit en croixest très efficace pour traiter ce problème :

Si ab

= cd, alorsa×d

b×d= c×b

d×b, et ces fractions égales ayant le même dénominateur, elles ont aussi des

numérateurs égaux, donc :a × d = c × b .

Dansa cb d

, les nombresa etd sont parfois appelés lesextrêmes; les nombresb et c sont appelés

lesmoyens. On traduit donc ainsi la règle du produit en croix :

Dans une proportion, les “produits en croix” (produit des extrêmes et produit des moyens)sont toujours égaux. Inversement, si ces produits sont égaux, alors le tableau est un tableau deproportionnalité : Sia

b= c

d, alorsa × d = c × b

Si l’on cherche l’un des quatre nombres en connaissant les trois autres :• Poura : Si a × d = c × b, il suffit de diviser pard pour calculera : a = c×b

d

• Pourb : Si a × d = c × b, il suffit de diviser parc pour calculerb : b = a×dc

• Pourc : Si a × d = c × b, il suffit de diviser parb pour calculerc : c = a×db

• Pourd : Si a × d = c × b, il suffit de diviser para pour calculerd : d = c×ba

.

Exemples :6 89 12

; Produit des extrêmes :6 × 12 = 72 ; Produit des moyens :9 × 8 = 72.

Ces produits sont égaux : il y a proportionnalité.6 97 11

; Produit des extrêmes :6 × 11 = 66 ; Produit des moyens :7 × 9 = 63.

Ces produits ne sont pas égaux ; il n’y a pas proportionnalité.

Exemple : Trois boîtes de chocolats identiques coûtent 42,30 euros. Combien coûtent 8 boîtes ?Combien peut-on acheter de boîtes avec 70,50 euros ?

PREUVE : Soitx le prix de 8 boîtes.

27

nombre de boîtes 3 8prix 42, 30 x

On a un tableau du typea cb d

oùa = 3, b = 42, 30, c = 8 etd = x.

Il y a proportion, doncx = 8×42,303

On peut effectuer ce calcul en commençant par le quotient de42,30 par 3, qui est égal à 14,10 euros et qui représente le prix d’une boîte (car le nombre8 × 42, 30ne représente rien d’intéressant).

Pour calculer le nombre de boîtes que l’on peut acheter avec 70,50 euros, il suffit de diviser 70,50par 14,10 ; ce qui donne 5 boîtes. 2

Le calcul de la “quatrième proportionnelle” peut se faire deplusieurs façons :

Exemple : Un cycliste a parcouru 12 km en 40 min. S’ il continue à rouler àla même vitesse, quelledistance aura-t-il parcourue au bout d’ une heure ?

temps 40 min 60 mindistance 12 km x km

• Méthode basée sur les produits croisés :

40 × x = 12 × 60 doncx =12 × 60

40=

720

40= 18

Il aura donc parcouru18 km au bout d’une heure.

• Méthode basée sur le coefficient de proportionnalité (“opérateur-ligne”)qui permet de passer dela première ligne à la deuxième :12÷40 = 0, 3 donc, pour passer de la première ligne (temps enmin)à la deuxième (distance parcourue, enkm) on multiplie chaque terme par 0,3. C’ est le coefficient deproportionnalité.

60 × 0, 3 = 18 : on retrouve le même résultat que précédemment.

Remarque :dans ce problème, le nombre 0,3 représente la distance parcourue en une minute. Lecycliste parcourt 0,3km (soit 300m) en une minute ; donc en 1h il parcourt 60 fois 0,3km (règle detrois), ce qui fait 18km.

•Méthode basée sur le coefficient de proportionnalité (propriété “opérateur-colonne”)qui permetde passer de la première colonne à la deuxième :60 ÷ 40 = 1, 5 donc, pour passer de la premièrecolonne à la deuxième, on multiplie tous les termes par 1,5.

12 × 1, 5 = 18 : on arrive une nouvelle fois au même résultat.

Remarque :dans ce problème, ce coefficient 1,5 signifie que dans une heure il y a "une fois etdemie" 40 minutes ; en effet :40 min + 20 min = 60 min. Donc, en 1h, le cycliste parcourt :12 km + 6 km = 18 km.

Les problèmes de proportions ne manquent pas dans la vie de tous les jours. Mais avant de lesrésoudre, bien s’assurer que les grandeurs considérées sont proportionnelles...

28

1.7 Unités et changements d’unités

Lors des problèmes de proportionnalité évoqués à la sectionprécédente, il arrive souvent que lesgrandeurs considérées s’expriment avec une unité (distance, durée, masse, aire, volume,...) et que l’onsoit amené pour les résoudre à convertir ces unités (par exemple heures en minutes, ou kilomètres enmètres).

1.7.1 Unités de longueur

L’unité standard est lemètre(m). Il en existe beaucoup d’autres.

Une unité de longueur est égale à 10 fois l’unité immédiatement inférieure.

On va considérer ici les plus utilisées, que l’on va ranger dans un tableau, par ordre décroissant demesure, en précisant la notation abrégée et le rapport avec le mètre.

unité kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètreabrégé km hm dam m dm cm mmvaleur 1000 m 100 m 10 m 1 m 0, 1 m 0, 01 m 0, 001 m

Pour passer d’une unité à une autre, on peut utiliser untableau de conversiondans lequel on placeun chiffre par unité de mesure.

Exemple :km hm dam m dm cm mm

1 3 5 0 00, 0 0 8 2

1, 5 0 0

13, 5 km = 13 500 m ; 8, 2 mm = 0, 0082 m ; 1 500 cm = 1, 5 dam.

1.7.2 Unités d’aire, unités de volume

L’unité d’aires standard est lemètre carré(m2) : lem2 est l’aire d’un carré de1 m de côté. Commepour les longueurs, on peut ici aussi utiliser d’autres unités (que l’on écrit directement en abrégé) :km2 ; hm2 ; dam2 ; cm2 ; mm2 pour lesquelles la même définition s’applique : lecm2 est l’aire d’uncarré de1 cm de côté. On peut faire comme pour les longueurs un tableau avec ces unités rangées parordre décroissant de mesure mais ici, pour passer de l’une à l’autre, c’est un coefficient 100 qu’il fautappliquer.

Une unité d’aire est égale à 100 fois l’unité immédiatement inférieure.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0, 01 m2 0, 0001 m2 0, 000001 m2

Ici aussi, pour faire les conversions d’unité, l’usage d’untableau de conversion peut s’avérer utilemais attention : il faut alors placerdeux chiffres par case, c’est-à-dire par unité de mesure.

29

Exemple : Convertir174, 6 dm2 enmm2 etdam2.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

00, 01 74 60 00

174, 6 dm2 = 174 600 mm2 = 0, 01746 dam2.

Aux unités d’aires précédentes, on peut ajouter une unité essentiellement utilisée pour des ter-rains :l’hectare(ha) qui n’a qu’une seule sous-unité utiliséel’are (a). Il faut savoir que1 ha = 1 hm2

mais attention :1 a = 1 dam2 et non1 m2.

Pour exprimer un volume, l’unité standard est lemètre cube(m3). Unm3 est le volume d’un cubede1 m de côté. Mais ici aussi, on peut utiliser des multiples et dessous-multiples du mètre cube.

Une unité de volume est égale à 1000 fois l’unité immédiatement inférieure.

Pour passer d’une unité à l’autre, on peut, ici aussi, utiliser un tableau de conversion dans lequelon place alorstrois chiffres par unité de mesure.

Le litre (l), ses multiples et ses sous-multiples sont d’autres unitésde volume, appelées aussiunités de capacité, car on utilise le terme decapacitéquand on considère que l’intérieur du solidepeut être rempli. Mais attention :

Une unité de capacité est égale à 10 fois l’unité immédiatement inférieure.

On a la correspondance suivante : 1 litre = 1dm3 .Il s’ensuit alors1 dal = 10 dm3, 1 hl = 100 dm3, 1 dl = 0, 1 dm3 = 100 cm3, 1 cl = 10 cm3 et

1 ml = 1 cm3.

Exemple : Exprimer7, 1 m3 endm3, 12 mm3 encm3, 5 dam3 enm3 ; 0, 15 hl et8 cl en litres,0, 27 lenml ; 25 cl endm3, 3 cm3 enml et0, 4 l encm3.

dam3 m3 dm3 cm3 mm3

hl dal l dl cl ml7, 1 0 0

0, 0 1 25, 0 0 0

0, 1 50, 0 80, 2 7 00, 2 5

30, 4 0 0

• 7, 1 m3 = 7 100 dm3 ; 12 mm3 = 0, 012 cm3 ; 5 dam3 = 5 000 m3

• 0, 15 hl = 15 l ; 8 cl = 0, 08 l ; 0, 27 l = 270 ml• 25 cl = 0, 25 dm3 ; 3 cm3 = 3 ml ; 0, 4 l = 400 cm3.

30

1.7.3 Échelles

Une échelle est souvent utilisée pour dessiner un plan ou réaliser une maquette. On réduit ou onaugmente les longueurs réelles. Les aires et les volumes desfigures ou solides concernés varient aussi.Les longueurs figurées sur un document (dessin, plan) et les longueurs réelles sont proportionnelles.

Définition : Une échelleest le rapport de la longueur figurée sur un document et la longueurréelle exprimée dans la même unité.

Ainsi, si l’échelle est égale àk = 1r

(où r est un nombre entier),1 cm sur le document représenter cm dans la réalité.

Exemple : Sur une carte,1 cm représente250 m dans la réalité, soit25 000 cm. L’échelle de la carteest : 1

25 000.

Si l’échellek vérifiek < 1, on a une échelle de réduction : le document est plus petit quela réalité.Si l’échellek vérifie k > 1, on a une échelle d’agrandissement : le document est plus grand que

la réalité.

Exemple : L’aire d’une salle de séjour est40 m2. On la représente sur un plan à l’échelle1100

. Lesdimensions de la pièces sont divisées par100, mais son aire est divisée par1002 = 10 000. L’aire dela salle de séjour sur le plan est :

40 ×(

1

100

)2

=40

10 000= 0, 004 m2 = 40 cm2.

• Le plan d’une maison est à l’échelle1100

. C’est une échelle de réduction :k = 0, 01.• Si un dessin de biologie agrandit 50 fois la réalité, il est à l’échelle 50. C’est une échelle d’a-

grandissement :k = 50.

Pour calculer avec une échelle, on peut faire un tableau de proportionnalité. Si un plan est àl’échelle 1

r,

• les dimensions réelles sontr fois plus grandes que les dimensions sur le plan ;• les dimensions sur le plan sontr fois plus petites que les dimensions réelles.

Exemple : Sur une carte à l’échelle 1500 000

, deux villes sont distantes de7 cm. La distance réelle entreles deux villes est :

7 × 500 000 = 3 500 000 cm = 35 km.

• Une longueur de6 m est représentée sur un plan à l’échelle1200

. La longueur sur le plan est :

6 × 1

200=

6

200= 0, 03 m = 3 cm.

On peut s’intéresser à l’effet d’une réduction ou d’un agrandissement sur les aires et les volumes.

Propriété : Si toutes les dimensions d’une surface sont multipliées parle même nombrek, alorsl’aire de cette surface est multipliée park2.

31

Propriété : Si toutes les dimensions d’un solide sont multipliées par lemême nombrek, alorsle volume de ce solide est multipliée park3.

Exemple : Le volume d’une maquette à l’échelle150

vaut3, 2 dm2. Le volume de l’objet réel est :

3, 2 × 503 = 400 000 dm3 = 400 m3.

1.7.4 Unités de masse, densité

L’unité de masse standard est legramme(g). Comme pour les longueurs, on peut utiliser aussi sesmultiples, notés en abrégédag, hg, kg et ses sous-multiplesdg, cg, mg.

Une unité de masse est égale à 10 fois l’unité immédiatement inférieure.

Il existe deux autres unités de masse fréquemment utilisée :la tonne

1 tonne = 1 000kg = 1 000 000g

et lequintal. 1 quintal = 100kg = 100 000g .

La masse volumiqued’un matériau est la masse d’une unité de volume fixé de ce matériau.

Exemple : La masse volumique de l’aluminium est2 700 kg/m3 ; la masse de l’eau est de1 kg/ l.Cela signifie que 1m3 d’aluminium pèse2 700 kg et que 1 litre d’eau pèse 1 kilogramme.

La densitéd’un matériau est la masse volumique de ce matériau divisée par la masse volumiquede l’eau, les deux masses volumiques étant exprimées dans lamême unité.

Remarque :La densité n’a donc pas d’unité.

Exemple : L’aluminium a une masse volumique de2 700 kg/m3 et l’eau de1 kg/ l, avec1 l = 1 dm3

et 1 kg = 1 000 dm3. Pour ramener ces deux masses volumiques à la même unité, on va faire untableau de proportionnalité.

Masse enkg 2 700 xVolume endm3 1 000 1

x = 2 7001 000

= 2, 7. Ainsi, 1 dm3 d’aluminium a une masse de2, 7 kg donc la masse volumique del’aluminium est2, 7 kg/dm3 ; sa densité est donc 2,7, ce qui signifie que l’aluminium a unemasse 2,7fois plus importante que l’eau.

1.7.5 Unités de durée, vitesse

Unités de durée

Les unités de durée mesurent le temps que dure un événement (le langage courant donne souventle même sens aux mots temps et durée). Les principales unitésde durée sont laseconde(s), la minute(mn), l’heure(h) et, un peu moins utilisés lejour (j) et lasemaine. Ici, les choses ne sont pas aussisimples que précédemment car le système n’est pas décimal, c’est-à-dire qu’on ne passe pas d’uneunité à l’autre en multipliant par une puissance de 10 mais

32

1 semaine = 7j ; 1 j = 24h ; 1 h = 60mn ; 1 mn = 60s

Remarque :On pourrait ajouter lemoiset l’année, mais le problème est que l’année et le moisn’ont pas toujours le même nombre de jours (365 ou 366 jours pour l’année ; 28, 29, 30 ou 31 jourspour le mois).

Une durée est exprimée avec l’écriture sexagésimalelorsque le nombre d’heures et de minutessont des nombres entiers. La seconde n’est pas fractionnée en 60 parties, mais en fractions décimales :dixièmes, centièmes,...

Exemple : Un coureur a réalisé le temps de2 mn 17 s 82 centièmes. Cette durée s’écrit2 mn 17, 82 s.

Dans l’écriture décimaled’une durée, le nombre d’heures ou le nombre de minutes peuvent nepas être des entiers. Cette écriture est de plus en plus courante : elle est plus facile d’utilisation quel’écriture sexagésimale pour des calculs effectués avec une calculatrice ou avec un logiciel d’ordina-teur.

Exemple : 2, 25 h est l’écriture décimale de2 h 15 mn.

Conversions entre écritures décimales et sexagésimales

Pour passer de l’écriture sexagésimale d’une durée horaireà son écriture décimale,• on prend pour partie entière le nombre d’heures• on prend pour partie décimale le nombre de minutes divisé par60.

Remarque :On peut transposer cette règle aux minutes.

Pour passer de l’écriture décimale d’une durée horaire à sonécriture sexagésimale• on prend la partie entière pour le nombre d’heures• on obtient le nombre de minutes en multipliant la partie décimale par 60.

Remarque :On peut transposer cette règle aux minutes.

Exemple : Donner l’écriture décimale de11 h 24 mn, de7 h 14 mn 42 s et l’écriture sexagésimale de3, 7 h et de5, 132 h

PREUVE : • 2460

= 0, 4 donc24 mn = 0, 4 h et 11 h 24 mn = 11, 4 h .4260

= 0, 7 donc42 s = 0, 7 mn et 14 mn 42 s = 14, 7 mn. Puis 14,760

= 0, 245 donc14, 7 mn =

0, 245 h et finalement7 h 14 mn 42 s = 7, 245 h .

• 3, 7 h = 3 h + 0, 7 h avec0, 7 h = 0, 7 × 60 mn = 42 mn. D’où 3, 7 h = 3 h 42 mn .5, 132 h = 5 h + 0, 132 h avec0, 132 h = 0, 132 × 60 mn = 7, 92 mn = 7 mn + 0, 92 mn et

0, 92 mn = 0, 92 × 60 = 55, 2 s. D’où 5, 132 h = 5 h 7 mn 55, 2 s . 2

Remarque :Pour convertir des heures en jours et heures, on procèderaitde même en effectuantune division euclidienne par 24.

Opérations sur les durées

Comme les unités de mesures de durée ne respectent pas un système décimal, les opérations surles durées nécessitent quelques adaptations. Deux méthodes sont alors possibles :

33

• Convertir toutes les données à additionner, soustraire ou multiplier dans la même unité en no-tation décimale, effectuer l’opération comme d’habitude puis éventuellement reconvertir enécriture hexagésimale (méthode souvent lourde en calculs)

• Effectuer directement les opérations en notation sexagésimale mais en faisant bien attention :on ne peut additionner, soustraire ou multiplier par un nombre que des durées exprimées dansla même unités. Il faudra alors faire parfois quelques petites adaptations, par exemple quandle nombre de minutes obtenu par addition ou multiplication dépasse 60, ou quand la durée àsoustraire a un nombre de minutes plus élevé.

Exemple : Effectuer les opérations2 h 56 mn 37 s + 3 h 37 mn 28 s ; 5 h 3 mn 12 s − 2 h 55 mn 53 set4 h 13 mn 50 s× 6.

PREUVE : • 2 h 56 mn 37 s+3 h 37 mn 28 s = 5 h 93 mn 65 s. Or65 s = (60+5) s = 1 mn+5 s,donc5 h 93 mn 65 s = 5 h 94 mn 5 s. De même,94 mn = (60+34) mn = 1 h 34 mn donc finalement

2 h 56 mn 37 s + 3 h 37 mn 28 s = 5 h 93 mn 65 s = 6 h 34 mn 5 s.

• On ne peut pas effectuer ici directement l’opération pour les secondes, puisqu’il y en aurait12 − 53 ; on écrit alors que3 mn 12 s = 2 mn + 1 mn + 12 s = 2 mn + 72 s. De même, on nepeut pas faire directement l’opération pour les minutes, puisqu’il y en aurait2 − 55 ; on écrit donc5 h 2 mn 72 s = 4 h 62 mn 72 s donc

5 h 3 mn 12 s− 2 h 55 mn 53 s = 4 h 62 mn 72 s− 2 h 55 mn 53 s = 2 h 7 mn 19 s.

• 4 h 13 mn 50 s × 6 = 24 h 78 mn 300 s mais 30060

= 5 donc300 s = 5 mn et 24 h 78 mn 300 s =24 h 83 mn et83 mn = (60 + 23) mn = 1 h 23 mn donc finalement

4 h 13 mn 50 s× 6 = 25 h 23 mn = 1 j 1 h 23 mn.

2

Vitesse

Définition : La vitesse moyenned’un mobile en mouvement est la distance parcourue pendantune unité de temps.

Les unités de vitesse les plus courantes sont le kilomètre par heure (km/h oukm.h−1) et le mètrepar seconde (m/s oum.s−1). Mais on peut aussi utiliser le mètre par heure (m/h) pour des déplace-ments lents, le kilomètre par seconde (km/s) pour des déplacements rapides, ou toute autre unitéobtenue en divisant une longueur par une durée.

Pour passer d’une unité de vitesse à une autre :→ on convertit l’unité de longueur dans l’unité demandée→ on convertit l’unité de durée dans l’unité demandée→ on effectue le quotient des mesures obtenues.

Exemple : Convertir16, 2 km/h enm/s.

PREUVE : 16, 2 km = 16 200 m ; 1 h = 3 600 s donc16, 2 km/h = 16 2003 600

= 4, 5 m/s. 2

On a la relation suivante :

vitesse moyenne= distancedurée

Ainsi, si la vitesse est constante, la distance et la durée sont proportionnelles. Mais ce n’est pastoujours le cas, par exemple pour un cycliste qui va plus viteen descente qu’en montée ! ! !

34

Chapitre 2

Initiation à la statistique

Nous proposons dans ce chapitre de découvrir la statistiqueau travers d’exemples concrets perme-ttant de comprendre comment des outils mathématiques sont utiles pour décrire et résumer un ensem-ble de données (numériques ou pas). L’objectif de ce cours n’est pas d’étudier ces outils dans un cadreabstrait mais bien de savoir les utiliser dans des situations réelles, on peut parler ici de méthodolo-gie statistique. Plus précisément, dans le cadre d’une étude préalablement définie, nous souhaitons,à partir d’un recueil de données, mettre en forme ces données(tableaux, diagrammes) et les résumerou les compléter à l’aide de valeurs caractéristiques (moyenne, médiane, variance, écart-type, taux devariation).

2.1 Population

Avant toute enquête statistique, il faut définir avec précision la population que l’on souhaiteétudier. Une population peut être un ensemble de personnes,d’objets, de situations, de pays,... Onnotera souventΩ (oméga majuscule) la population étudiée. Un élément de la population s’appelleun individu ou uneunité statistique, on noteraω (oméga minuscule) un individu quelconque. Lenombre d’éléments de la population s’appelle lataille de la population. Une partie de la populations’appelle unéchantillon.

2.2 Variable

Nous allons présenter cette notion à l’aide d’un exemple concret.On souhaite faire une enquête statistique sur la populationdes étudiants inscrits au DAEU à l’uni-

versité de Toulouse le Mirail en 2009 (pour simplifier et pouvoir englober l’ensemble des individus,nous allons nous limiter à 20 étudiants, bien sûr, cela ne représenterait qu’un échantillon de la popu-lation). On distribue pour cela des fiches de renseignements:

NOM :Prénom :Sexe :Option 1 :Option 2 :Niveau d’étude envisagé (Bac, L, M, D) :Nombre d’inscriptions au baccalauréat :Distance domicile-UTM (en km) :Salarié (oui ou non) :

35

Chaque renseignement demandé est unevariable. On notera souvent X (Y ou Z) la variableétudiée.

Dans notre enquête, les variables sont : Nom, Prénom, Sexe, Option 1, Option 2, Niveau d’étude,Nombre d’inscriptions au baccalauréat, Distance domicile-UTM, Salarié. Pour simplifier un peu, nousallons noter X la variable “Niveau d’étude”, Y la variable “Nombre d’inscriptions au bac” et Z lavariable “Distance domicile-UTM”.

Les résultats obtenus sur un échantillon de 20 individus sont exposés dans le tableau 2.1 que l’onappelletableau de données(toute ressemblance avec des personnes ... est purement fortuite).

Chaque réponse ou résultat possible est unemodalité ou unevaleur de la variable.Par exemple :– Les modalités de la variable Sexe sont masculin et féminin.– Les modalités de la variable Option 1 sont mathématiques, géographie, histoire et économie.

Fiche N° Nom Prénom Sexe Option 1 Option 2 X Y Z Salarié

1 Bauland Damien M Mathématiques Economie Licence 1 7,3 N2 Besson Juliette F Géographie Economie Licence 1 10,2 O3 Bouton Lucien M Economie Histoire Bac 0 8,3 O4 Branti Charles M Economie Géographie Licence 2 21,5 O5 Dagot Elodie F Géographie Economie Licence 3 25,9 N6 Dalas Christine F Mathématiques Histoire Bac 0 11,1 O7 Dauchy Sylvain M Géographie Histoire Licence 1 14,5 O8 Faucher Cécile F Economie Mathématiques Master 2 10,1 N9 Fortin Antoine M Mathématiques Histoire Bac 2 8,1 O10 Hague Pierre M Histoire Géographie Bac 1 12,6 O11 Labbé Paul M Géographie Economie Licence 1 16,1 O12 Lafor Emilie F Economie Histoire Master 1 21,8 O13 Léger Sidonie F Géographie Mathématiques Licence 3 36,5 O14 Mollet Jérémie M Géographie Histoire Master 4 17 N15 Nadler Alice F Histoire Histoire Licence 0 5,9 N16 Noël Cécile F Mathématiques Economie Licence 0 34,5 O17 Nugier Nicole F Mathématiques Géographie Licence 2 11,3 O18 Pelusi Sébastien M Histoire Histoire Bac 0 12,8 O19 Rabin Guy M Economie Géographie Doctorat 1 5,2 N20 Renoir Fabien M Géographie Mathématiques Bac 1 7,4 O

TAB. 2.1 – Tableau de données

Pour une variable X donnée, à chaque individu de la population est associée une et une seulemodalité de la variable X. On dit que X est une application de l’ensemble de départ dans l’ensembledes modalités (noté E). On peut noter X(ω) la valeur prise par X pour l’individuω et résumer cela parle schéma

X : Ω → Eω 7→ X(ω)

Ce formalisme permet de faire le lien avec les applications définies au chapitre 1 mais nous n’al-lons pas l’utiliser dans la suite de ce chapitre.

Un couple(ω, X(ω)) s’appelle unedonnée. L’ensemble des données pour une variable X s’ap-pelle unesérie statistique. En clair, chaque colonne du tableau de données est une sériestatistique.

En considérant l’ensemble des modalités, on distingue différents types de variables.

2.2.1 Le type qualitatif nominal

Une variable est de typequalitatif nominal (ou nominale) lorsque les modalités sont des caté-gories non hiérarchisées. Chaque modalité est simplement désignée par son nom.

36

Par exemple, les variables Nom, Prénom, Sexe, Option 1, Option 2 et Salarié sont qualitativesnominales : les réponses possibles ne sont pas des nombres etil n’y a pas d’ordre entre les modalités.

2.2.2 Le type qualitatif ordinal

Une variable est de typequalitatif ordinal (ou ordinale) lorsqu’il existe un ordre naturel entre lesmodalités bien que ces modalités ne soient pas des nombres.

Par exemple, la variable « Niveau d’étude envisagé » est qualitative ordinale puisque ses modalitésne sont pas des nombres mais il y a clairement un ordre entre les modalités (Bac, Licence, Master etDoctorat) qui correspond à des durées d’études.

2.2.3 Le type quantitatif

Une variable est de typequantitatif lorsque les modalités sont des nombres qui résultent d’unemesure, d’un comptage. On parlera alors plus souvent de valeurs de la variable plutôt que de modal-ités.

Lorsque l’ensemble des modalités E est constitué de valeurs« isolées » c’est-à-dire plus précisé-ment lorsque la variable ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs entre deux valeurs données, onparlera de typequantitatif discret . C’est le cas en particulier lorsque E est un ensemble fini ou estune partie de l’ensemble des entiers naturels.

Lorsque l’ensemble des modalités est un intervalle, c’est-à-dire qu’entre deux valeurs observées,tout nombre réel est une valeur possible de la variable, on parlera de typequantitatif continu .

– La variable “Nombre d’inscriptions au Baccalauréat” est de type quantitatif discret (ou dis-crète).

– La variable Distance domicile-UTM est de type quantitatifcontinu (ou continue).Il est important de bien identifier le type d’une variable carles traitements statistiques sont dif-

férents selon les catégories. Cependant, la plupart du temps, il n’y a pas de confusion possible (onvoit mal comment on pourrait calculer la moyenne d’une variable nominale). Notez bien que c’estl’ensemble des modalités, c’est-à-dire l’ensemble des réponses possibles, qui permet de connaître letype de la variable.

2.3 Effectifs et fréquences

Considérons la variable “Option 1” dont les modalités sont Mathématiques, Géographie, Histoireet Economie.

L’ effectif de la modalité « Mathématiques » est le nombre d’individus qui ont choisi les mathé-matiques comme Option 1. Ici, l’effectif est 5.

La fréquence de la modalité « Mathématiques » est le nombre d’individus qui ont choisi lesmathématiques comme Option 1 divisé par la taille de la population . Ici, la fréquence de la modalité“Mathématiques” est5

20= 0, 25. Cette fréquence peut être exprimée en pourcentage :0, 25 = 25%.

En faisant de même pour chaque modalité, on peut remplir letableau d’effectifs et de fréquencesde la variable “Option 1”. C’est le tableau 2.2.

Dans la colonne “effectifs”, on trouve ladistribution des effectifs de la variable “Option 1”.Dans la colonne “fréquences”, on trouve ladistribution des fréquencesde la variable “Option

1”.On peut représenter ces résultats à l’aide de différents diagrammes. Par exemple, pour représenter

les effectifs, on peut faire undiagramme en barrescomme sur la figure 2.1.

37

Option 1 Effectifs Fréquences

Mathématiques 5 520

= 0, 25 = 25%Géographie 7 7

20= 0, 35 = 35%

Histoire 3 320

= 0, 15 = 15%Economie 5 5

20= 0, 25 = 25%

Somme 20 1 = 100%

TAB. 2.2 – Tableau d’effectifs et de fréquences

FIG. 2.1 – Diagramme en barres

38

L’axe horizontal n’est pas gradué. On peut également graduer l’axe vertical avec les fréquences,le diagramme obtenu aura la même allure.

Pour représenter les fréquences, on peut utiliser undiagramme en secteurscomme sur la figure2.2.

Mathématiques

Géographie

Histoire

Economie

FIG. 2.2 – Diagramme en secteurs

On calcule les angles (en degrés) de la façon suivante :Angle correspondant à la modalité “Mathématiques” :0, 25 × 360 = 90.Angle correspondant à la modalité “Géographie” :0, 35 × 360 = 126.Angle correspondant à la modalité “Histoire” :0, 15 × 360 = 54.Angle correspondant à la modalité “Economie” :0, 25 × 360 = 90.

Exercice :Faire le tableau d’effectifs et de fréquences de la variable“Nombre d’inscriptions aubac” puis représenter les résultats à l’aide d’undiagramme en bâtons: dans ce graphique, l’axehorizontal (axe des abscisses) est gradué avec les valeurs de la variable et au-dessus de chaque valeur,on trace un segment dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif. Ce type de diagrammes convientpour les variables quantitatives discrètes. Nous allons voir au paragraphe suivant le cas des variablesquantitatives continues.

2.4 Regroupement en classes

Lorsqu’une variable a beaucoup de modalités (c’est toujours le cas avec les variables quantitativescontinues), on est amené à regrouper de façon cohérente des modalités avant de faire un traitementstatistique. On dit que l’on fait unregroupement en classes. Ce type de traitement ne concerne pasuniquement les variables quantitatives, par exemple, les catégories socioprofessionnelles peuvent êtrevues comme un regroupement en classes des métiers, mais il sera quasiment systématique avec lesvariables quantitatives continues et dans ce cas, les classes seront des intervalles consécutifs.

Prenons l’exemple de la variable “Distance domicile-université” que nous avons noté Z dans letableau de données 2.1 :

On peut faire un tableau d’effectifs et de fréquences après regroupement en classes d’amplitude10 km en prenant comme première classe l’intervalle[0 ; 10[ (les crochets indiquent que 0 est dansla classe[0 ; 10[ et non 10). L’amplitude d’une classe est la longueur de l’intervalle. On obtient letableau d’effectifs et de fréquences de la table 2.3.

Plusieurs remarques sur la constitution des classes :

39

– Deux classes quelconques sont disjointes et la réunion desclasses recouvre l’ensemble desmodalités.

– Les classes n’ont pas forcément la même amplitude.– Pour les calculs ultérieurs de moyenne, de variance et d’écart-type, on considérera que la classe

est représentée par son centre, c’est-à-dire le milieu de l’intervalle (le centre de la classe[10; 20[est 10+20

2= 15).

Pour représenter graphiquement ces résultats, on peut par exemple faire unpolygone des effectifs(ou des fréquences), on considère alors les centres des classes. Voir la figure 2.3.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0

2

4

6

8

10

Distance en km

Effe

ctifs

FIG. 2.3 – Polygone des effectifs

Précisons que pour faire ce diagramme lorsque les classes n’ont pas la même amplitude, il fautcalculer les densités d’effectifs en divisant chaque effectif par l’amplitude de la classe puis graduerl’axe des ordonnées (axe vertical) avec les densités d’effectifs. Ce cas de figure ne sera pas développédans ce cours.

2.5 La médiane

La médianed’une variable ordinale ou quantitative est la modalité quipartage la population endeux parties égales : l’une présentant des modalités inférieures à la médiane, l’autre présentant desmodalités supérieures à la médiane.

Pour déterminer la médiane, on calcule d’abord les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées :– L’effectif cumulé d’une modalité est la somme des effectifs des modalités qui lui sont in-

férieures ou égales.– La fréquence cumuléed’une modalité est la somme des fréquences des modalités quilui sont

inférieures ou égales.Considérons l’exemple de la variable “Nombre d’inscriptions au bac” que nous avons notée Y

dans le tableau de données 2.1, on obtient le tableau d’effectifs cumulés et de fréquences cumuléesde la table 2.4.

Par exemple, dire que l’effectif cumulé de la modalité 2 est 17 signifie que 17 étudiants ont passéle bac au plus 2 fois.

40

On peut noter que le dernier effectif cumulé est toujours la taille de la population et la dernièrefréquence cumulée est toujours100%.

Précisons maintenant comment on détermine la médiane, les méthodes sont différentes selon quela série statistique est regroupée en classes ou pas.

2.5.1 Détermination de la médiane sans regroupement en classes

Si une variable est étudiée sur une population de taille N, lamédiane est la modalité dont l’effectifcumulé est immédiatement supérieur àN

2ou, de façon équivalente, dont la fréquence cumulée est

immédiatement supérieure à0, 5 = 50%.Remarque : Il est inutile de calculer à la fois les effectifs cumulés et les fréquences cumulées pour

déterminer la médiane, il faut choisir.Par exemple, pour la variable Y dont nous avons fait le tableau des effectifs cumulés 2.4, 13 est

le premier effectif cumulé qui dépasse202

= 10 (65% est la première fréquence cumulée qui dépasse50%). La médiane est donc la valeur 1. Concrètement, cela signifie que dans cette population de 20étudiants la moitié ont passé le bac au plus une fois, la moitié ont passé le bac au moins une fois.

2.5.2 Approfondissement : Détermination de la médiane avecregroupementen classes

Si une variable quantitative a été regroupée en classes, il faut d’abord repérer la classe dans laque-lle se trouve la médiane : c’est celle dont l’effectif cumuléest immédiatement supérieur àN

2(N

désigne toujours la taille de la population). Notons[a; b[ la classe dans laquelle se trouve la médiane,N2 l’effectif cumulé de cette classe etN1 l’effectif cumulé de la classe qui précède, on calcule lamédianem avec la formule (qui sera expliquée un peu plus loin) :

m = a + (b − a) ×N2− N1

N2 − N1

Par exemple, si on reprend la variable Z (Distance domicile-université), on obtient le tableaud’effectifs cumulés 2.5.

On peut représenter ces données par lediagramme cumulatif de la figure 2.4.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

5

10

15

20

25

Distance en km

Effe

ctifs

cu

mu

lés

FIG. 2.4 – Diagramme cumulatif

41

Distance (en km) Effectifs Fréquences

[0 ;10[ 6 30%[10 ;20[ 9 45%[20 ;30[ 3 15%[30 ;40[ 2 10%

Somme 20 1 = 100%

TAB. 2.3 – Tableau d’effectifs et de fréquences

Y Effectifs Effectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées

0 5 5 25% 25%1 8 8+5=13 40% 65%2 4 13+4=17 20% 85%3 2 17+2=19 10% 95%4 1 19+1=20 5% 100%

TAB. 2.4 – Tableau d’effectifs cumulés et de fréquences cumulées

Distance (en km) Effectifs Effectifs cumulés

[0 ;10[ 6 6[10 ;20[ 9 15[20 ;30[ 3 18[30 ;40[ 2 20

TAB. 2.5 – Tableau d’effectifs cumulés

42

La médiane de Z est donc dans l’intervalle[10; 20[, dont l’effectif cumulé est 15 et l’effectifcumulé de la classe qui précède est 6, on a donc :

m = 10 + (20 − 10) ×202− 6

15 − 6= 10 + 10 × 4

9= 14, 44

Concrètement, cela signifie que dans cette population de 20 étudiants la moitié habite à moins de14,44 km de l’université et la moitié habite à plus de 14,44 kmde l’université.

Graphiquement, on peut lire la médiane sur le diagramme cumulatif en traçant la droite (horizon-tale) passant par l’effectifN

2:

La médiane 14,44 correspond à l’abscisse du point de la courbe 2.4 d’ordonnée202

= 10.Bien sûr, on peut également utiliser les fréquences cumulées pour faire un calcul analogue et

retrouver le même résultat (exercice).Essayons maintenant de mieux comprendre la formule de calcul de la médiane à partir du dia-

gramme cumulatif :Sur l’intervalle [a; b[ dans lequel se trouve la médiane, la courbe est un segment de droite qui

relie le point de coordonnées(a; N1) au point de coordonées(b; N2) et la médianem correspond àl’abscisse du point d’ordonnéeN

2. Cette ligne droite traduit géométriquement une situationde pro-

portionnalité entre les mesures horizontales et verticales, c’est-à-dire que le tableau ci-dessous est untableau de proportionnalité :

Mesures horizontales ("de combien on avance")m − a b − aMesures verticales ("de combien on monte") N

2− N1 N2 − N1

D’où l’égalité des produits en croix :

(m − a)(N2 − N1) = (b − a)(N

2− N1)

En divisant par(N2 − N1) dans les deux membres, on a :

m − a = (b − a)N2− N1

N2 − N1

Puis en ajoutant le nombrea dans les deux membres, on retrouve la formule :

m = (b − a)N2− N1

N2 − N1

+ a

2.6 La moyenne

A partir d’ici et jusqu’à la fin du chapitre, nous ne considérons que des variables quantitatives.

SoitX une variable quantitative dont les valeurs sont notées, dans l’ordre croissant,x1, x2, x3, ...,xk d’effectifs respectifsn1, n2, n3, ...,nk (ces notations permettrons d’écrire des formules générales,on peut aussi très bien comprendre les définitions suivantesà l’aide des exemples que nous allonsdonner).

Lamoyenned’une variable quantitativeX, notéeX, est la somme des valeurs prises parX diviséepar la taille de la population (notéeN).

43

Plus précisément, si chaque valeurxi (cette notation permet de désigner une valeurquelconquedela variable, l’indicei étant un entier entre1 etk) de X a pour effectifni, la moyenne est :

X =n1 × x1 + n2 × x2 + n3 × x3 + · · ·+ nk × xk

N

Par exemple, avec la variableY dont nous avons dressé le tableau d’effectifs 2.4, on obtient :

Y =5 × 0 + 8 × 1 + 4 × 2 + 2 × 3 + 1 × 4

20= 1, 3

Ce qui signifie qu’en moyenne, les 20 étudiants inscrits au DAEU ont passé 1,3 fois le bac. Il fautbien comprendre que ce calcul de moyenne est rendu plus concis grâce à l’écriture précédente dutableau d’effectifs mais il s’agit bien, tout simplement, d’additionner les 20 valeurs de la colonneYdu tableau de données 2.1 puis de diviser par 20 !

Si on a fait un regroupement en classes, on prend pour le calcul, à la place desxi, les centres desclasses, notésci, affectés de l’effectif de la classe :

X =n1 × c1 + n2 × c2 + n3 × c3 + · · ·+ nk × ck

N

oùk désigne le nombre de classes.Cela revient à considérer qu’à l’intérieur d’un intervalle, tous les individus prennent la même

valeur (le milieu de l’intervalle), c’est bien sûr une approximation de la réalité. C’est-à-dire que pourla variable “Distance domicile-université”, il ne revientpas tout à fait au même d’additionner les 20valeurs et de diviser par 20 ou bien de faire le calcul après regroupement en classes mais l’écart estfaible. On peut s’aider du tableau de calcul 2.6.

Distance (en km) Centres (ci) Effectifs (ni) ni × ci

[0 ;10[ 5 6 30[10 ;20[ 15 9 135[20 ;30[ 25 3 75[30 ;40[ 35 2 70

Somme 20 310

TAB. 2.6 – Tableau de calcul de moyenne

Puis terminer le calcul :31020

= 15, 5.C’est-à-dire qu’en moyenne, ces étudiants du DAEU habitentà 15,5 km de l’université.

On peut également calculer la moyenne lorsqu’on connaît la fréquencefi de chaque valeurxi

même sans connaître la taille de la population, en effet :

X =n1 × x1 + n2 × x2 + n3 × x3 + · · ·+ nk × xk

N

X =n1

N× x1 +

n2

N× x2 +

n3

N× x3 + · · · + nk

N× xk

X = f1 × x1 + f2 × x2 + f3 × x3 + · · · + fk × xk

44

Par exemple,Y = 0, 25 × 0 + 0, 4 × 1 + 0, 2 × 2 + 0, 1 × 3 + 0, 05 × 4 = 1, 3.

Donnons enfin deux propriétés de la moyenne qui permettent dans certains cas de simplifier lescalculs.

SoientX une variable quantitative eta un nombre fixé (positif ou négatif) :– Si on multiplie chaque valeur deX par le nombrea, la moyenne est multipliée para.– Si on ajoute le nombrea à chaque valeur deX, on ajoutea à la moyenne.

2.7 Variance et écart type

Pour compléter l’information fournie par la médiane et la moyenne, que l’on appelle caractéris-tiques detendance centrale, on a parfois besoin de mesurer ladispersion de la série statistique.Nous allons voir deux indicateurs, étroitement liés, qui permettent de mesurer la dispersion autour dela moyenne.

2.7.1 La variance

La variance d’une variable quantitativeX permet de mesurer la dispersion deX autour de samoyenne, il faut donc calculerX avant de calculer la variance.

Prenons d’abord un exemple simple. Voici les notes obtenuespar deux étudiants du DAEU lorsdes 4 épreuves terminales (Français, Langue, Option 1 et Option 2) :

– Les notes de Pierre sont 2, 3, 14 et 13 ; sa moyenne est2+3+14+134

= 8.– Les notes de Paul sont 7, 7, 8 et 10 ; sa moyenne est7+7+8+10

4= 8.

Pierre et Paul ont la même moyenne mais les notes de Pierre s’écartent beaucoup de cette moyennetandis que celles de Paul sont regroupées autour de 8. La variance permet de mesurer cette différence.

SoitX une variable quantitative définie sur une populationΩ de tailleN dont les valeurs sontx1,x2, x3, ...,xk d’effectifs respectifsn1, n2, n3, ...,nk. La variancedeX, notée Var(X), est définie par :

V ar(X) =n1 × (x1 − X)2 + n2 × (x2 − X)2 + n3 × (x3 − X)2 + · · ·+ nk × (xk − X)2

N

ou encore

V ar(X) =n1 × x1

2 + n2 × x22 + n3 × x3

2 + · · ·+ nk × xk2

N− X2

Remarques :– L’équivalence entre les deux formules n’est pas évidente mais la démonstration ne demande

que des connaissances mathématiques élémentaires et un étudiant à l’aise en calcul littéral peutla faire en exercice.

– La première formule permet de bien comprendre ce que mesurela variance : c’est la moyennedes carrés des écarts à la moyenne, en particulier, c’est un nombrepositif.

– La deuxième formule est souvent plus pratique pour faire les calculs mais deux erreurs appa-raissent fréquemment : il faut bien comprendre que dans cette formule, seules les valeursxi

sont élevées au carré et ne pas oublier de soustraire le carréde la moyenne.

Exemples :

45

– La variance de la variable « note de Pierre » est :22+32+142+132

4− 82 = 30, 5.

– La variance de la variable « note de Paul » est :2×72+82+102

4− 82 = 1, 5.

Exercice : Faire les calculs avec la première formule pour vérifier sur ces exemples simples que l’ontrouve bien les mêmes résultats.

Avec un exemple plus consistant, on peut s’aider d’un tableau de calcul. Reprenons la variable“Distance domicile-université” (là encore les centresci jouent le rôle desxi). On construit le tableaude calcul de moyenne et de variance de la table 2.7.

Distance (en km) Centres (ci) Effectifs (ni) ni × ci ni × ci2

[0 ;10[ 5 6 30 150[10 ;20[ 15 9 135 2025[20 ;30[ 25 3 75 1875[30 ;40[ 35 2 70 2450

Somme 20 310 6500

TAB. 2.7 – Tableau de calcul de moyenne et de variance

Puis on termine le calcul : Var(Z)=650020

− 15, 52 = 84, 75.La variance est donc 84,75. Ce nombre n’est pas facile à interpréter tel quel, d’abord parce que

l’élévation au carré nous amène ici à une quantité exprimée en km2, mais aussi parce qu’on ne peutpas dire dans l’absolu si une dispersion est forte ou faible.Par contre il est possible de comparer : onpeut dire dans l’exemple précédent que les notes de Pierre sont plus dispersées que celles de Paul.

Terminons avec deux propriétés de la variance qui permettent dans certains cas de simplifier lescalculs mais aussi peut-être de mieux comprendre la différence entre une mesure de tendance centraleet une mesure de dispersion (qui est invariante lorsqu’on “translate” une série statistique) :

SoientX une variable quantitative eta un nombre fixé (positif ou négatif) :– Si on multiplie chaque valeur deX par le nombrea, la variance est multipliée para2.– Si on ajoute le nombrea à chaque valeur deX, la variance reste inchangée.

Exercice : Calculer la variance de la variableY “Nombre d’inscriptions au bac”.

2.7.2 Ecart type

L’ écart-type d’une variable quantitativeX, notéσ(X) (σ se lit “sigma”), est la racine carrée dela variance :

σ(X) =√

V ar(X)

L’écart-type s’exprime dans la même unité que la variable, il est donc plus facile à interpréter quela variance, c’est toujours un nombre positif qui est du mêmeordre de grandeur que la moyenne desécarts entre les modalités et la moyenne.

Exemples :– L’écart type de la variable « note de Pierre » est :

√30, 5 = 5, 52.

– La variance de la variable « note de Paul » est :√

1, 5 = 1, 22.

46

Exercice : Calculer les écarts types des variablesY etZ du tableau de données.

Quant aux propriétés de l’écart type, elles résultent immédiatement de celles de la variance quenous venons d’énoncer :

SoientX une variable quantitative eta un nombre fixé (positif ou négatif) :– Si on multiplie chaque valeur deX par le nombrea, l’écart type est multiplié par|a| (lire

“valeur absolue” dea), c’est-à-direa si a est positif et−a si a est négatif.– Si on ajoute le nombrea à chaque valeur deX, l’écart type reste inchangé.

2.8 Taux de variation

L’utilisation des taux de variation est fréquente dans la vie courante : inflation, croissance, soldes,taux de prêts ou intérêts d’un placement, ... Pour bien comprendre comment les manipuler, revenonsd’abord sur la notion depourcentage, en effet, les taux de variation sont généralement exprimésenpourcentage (on parle aussi, de façon équivalente, depourcentage de variation).

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100, il faut avant tout le voir commeune notation :

a% =a

100(a = 100 × a%)

Par exemple :12% = 12100

= 0, 12 ; 12 = 100 × 12%.On utilise les pourcentages pour écrire un rapport entre deux grandeurs de même nature (ex-

primées dans la même unité), ainsi un pourcentagen’est pas une unité(mais une notation) et unpourcentagen’a pas d’unité (cela n’a pas de sens de dire12% de km). Ils servent simplement à ex-primer un rapport dans le language courant. Nous allons utiliser les pourcentages dans la suite pourexprimer des taux de variation mais n’oublions pas que les pourcentages ne sont pas toujours des tauxde variation, nous les avons déjà utilisés au sujet des fréquences. Dans ce cas, il s’agissait du rapportentre le nombre d’individus prenant telle modalité et le nombre total d’individus dans la populationet l’expression en pourcentage permettait de se ramener à unnombre entre 0 et 100 plutôt qu’entre 0et 1.

Venons en à la notion detaux de variation.Soitx une valeur donnée eta un nombre (positif ou négatif, supérieur à−100).Si x subit une variation dea%, la nouvelle valeur sera :

x +a

100x =

(

1 +a

100

)

× x

Autrement dit, six varie dea%, x est multiplié par(1 + a

100

).

On appelleramultiplicateur associé au taux de variationa% le nombre1 + a100

.Prenons tout de suite un exemple où le taux de variation est négatif pour bien comprendre que les

formules proposées s’adaptent tout à fait à ce cas. Imaginons qu’une veste à 130 euros est soldée à30%, c’est-à-dire subit une variation de−30%. Le nouveau prix sera :

130 +−30

100× 130 =

(

1 +−30

100

)

× 130 = (1 − 0, 3) × 130 = 0, 7 × 130 = 91

Le nouveau prix sera donc de 91 euros. On peut remarquer au passage que le multiplicateur 0,7associé au taux de variation−30% ne dépend pas du prix initial et si une vendeuse souhaite afficherde nouveaux prix avec réduction de30% le dernier calcul (multiplier par 0,7) est beaucoup plus rapideque celui proposé dans le premier membre !

47

C’est le multiplicateur qui sera utile pour bien comprendredans la suite les variations successiveset il faudra savoir passer rapidement du multiplicateur au taux de variation correspondant et inverse-ment. La relation entre les deux est très simple mais il ne faut pas s’embrouiller avec l’expression dutaux en pourcentage :

Multiplicateur= Taux de variation+ 1

Et de façon équivalente :Taux de variation= Multiplicateur− 1

Nous venons de voir comment calculer une nouvelle valeur connaissant la valeur de départ etle taux de variation, donnons maintenant une méthode pour trouver le taux de variation lorsqu’onconnaît la valeur de départ (V1) et la valeur d’arrivée (V2) :

Multiplicateur=V2

V1

Puis on soustrait 1 pour avoir le taux de variation :

Taux de variation=V2

V1− 1

Là encore ce calcul est très simple mais il ne faut pas oublierà la fin d’exprimer le taux en pourcentage.Exemple : La population française est passée de 40,125 millions en 1946 à 49,724 millions en

1968 (ce sont deux années de recensement), quel est le taux devariation sur cette période ?

49, 724

40, 125= 1, 2392

Le multiplicateur est 1,2392, c’est-à-dire que la population française a été multipliée par 1,2392 surcette période.

Taux de variation=49, 724

40, 125− 1 = 1, 2392− 1 = 0, 2392 = 23, 92%

La population française a augmenté de 23,92% entre 1946 et 1968.Notons au passage que la calculatrice est utile pour calculer le multiplicateur mais qu’ensuite, il

s’agit de soustraire 1 et de déplacer la virgule : avec un peu d’habitude, le taux de variation se litdirectement avec l’écriture décimale du multiplicateur. Il faut être un peu plus prudent lorsqu’il s’agitd’une baisse et avoir en tête la remarque (évidente) suivante :

– Si le taux de variation est positif, c’est-à-dire si le multiplicateur est supérieur à 1, il s’agit d’uneaugmentation.

– Si le taux de variation est négatif, c’est-à-dire si le multiplicateur est compris entre 0 et 1, ils’agit d’une diminution.

Remarque : Une autre façon équivalente de définir le taux de variation connaissant la valeur de départV1 et la valeur d’arrivéeV2 (mais le multiplicateur apparaît de façon moins évidente) est :

Taux de variation=V2 − V1

V1

Regardons enfin comment traiter le cas devariations successiveset pour simplifier, commençons parétudier le cas de deux variations successives :

Soitx une valeur donnée qui subit deux variations successives dea% puisb%.

xa%−→ y

b%−→ z

48

y =(

1 +a

100

)

x

z =

(

1 +b

100

)

y =

(

1 +b

100

) (

1 +a

100

)

x

Le multiplicateur permettant de passer dex àz est(1 + b

100

) (1 + a

100

). Or :

(

1 +b

100

) (

1 +a

100

)

=

(

1 +b

100+

a

100+

ab

100 × 100

)

= 1 +a + b + ab

100

100

Et donc le pourcentage de variation globale esta + b + ab100

et nona + b : il ne faut pas additionnerles taux de variation !

Par exemple, si un article augmente de20% puis de40%, le multiplicateur global est1, 2× 1, 4 =1, 68 soit un taux de variation global de68% (et non60%).

De façon générale, si l’on an variations successives, le multiplicateur permettant de passer de lapremière à la dernière valeur est le produit desn multiplicateurs. Une fois qu’on a trouvé le multipli-cateur global, on n’a plus qu’à calculer le taux de variationcorrespondant (en soustrayant 1).

Exemple : Le gouvernement annonce trois augmentations du tabac :6% par an pendant 3 ans. Decombien est le taux d’augmentation globale ?

(1 + 6

100

)3 = 1, 063 = 1, 191016, soit une augmentation globale de19, 1% (et non18%).

On peut noter au passage que dans le cas particulier où il y an variations successives et identiquesdea%, le multiplicateur est

(1 + a

100

)n.

49

Chapitre 3

Équations, inéquations, systèmes

Uneéquationest une relation d’égalité entre des nombres, dans laquelleapparaît une ou plusieursinconnues, qui sont des quantités que l’on cherche à déterminer. Une équation modélise donc unproblème : c’est la première étape pour déterminer la valeurde ces quantités inconnues.

Une inéquationest une relation d’inégalité, (le signe = de l’équation est remplacé par l’un dessignes<, 6, > ou>), dans laquelle apparaissent aussi des inconnues.

Lorsque plusieurs quantités sont à déterminer dans un même problème, on a en général plusieurséquations et on parle alors desystème d’équations.

Résoudre une équation d’inconnuex, c’est trouver toutes les valeursdex vérifiant l’égalité. Lesvaleurs trouvées sont appeléessolutions de l’équation.

Un nombre est solution d’une équation si, en remplaçant l’inconnue par ce nombre, on obtientune égalité VRAIE.

Prenons, par exemple, l’équation6x + 3 = 21.

• 2 n’est pas une solution car, en remplaçantx par 2, on a, dans le premier membre de l’équation,6 × 2 + 3 qui est égal à 15.

L’égalité6 × 2 + 3 = 21 est donc FAUSSE.• En revanche, 3 est solution car6 × 3 + 3 = 21.

On dispose de méthodes pour résoudre certaines équations, mais il n’est pas nécessaire de con-naître ces méthodes pour vérifier si un nombre est, ou n’est pas, solution d’une équation. Il suffit deremplacer l’inconnue par ce nombre, d’effectuer le calcul,et de vérifier si l’égalité est exacte.

Exemple : On ne peut pas résoudre l’équation2x3 − 7x2 − 7x + 12 = 0 mais on peut vérifierque 1 et 4 sont solutions de cette équation.

En effet :2 × 13 − 7 × 12 − 7 × 1 + 12 = 2 − 7 − 7 + 12 = 0 et

2 × 43 − 7 × 42 − 7 × 4 + 12 = 128 − 112 − 28 + 12 = 0.

Pour pouvoir résoudre des équations ou inéquations, il est indispensable de maîtriser le “calcullittéral”. On va donc commencer par quelques rappels concernant ce type de calcul.

3.1 Calcul littéral

En algèbre, des lettres représentent des nombres. Pour commencer, on précise quelques conventionsd’écriture : le signe× peut être sous-entendu entre :

50

→ un nombre et une lettre ;→ deux lettres ;→ un nombre (ou une lettre) et une parenthèse.

Le calcul littéral donne les règles de calcul et de transformation des expressions contenant deslettres.

3.1.1 Réduire

Définition : Réduireune expression littérale, c’est l’écrire avec le moins de termes possible.

Propriété :On ne peut réduire une expression littérale qu’en additionnant des termes de même nature,c’est-à-dire qui contiennent la même lettre affectée du même exposant.

Exemples :• 5x − 2x + x2 − 2 − 5x2 = 3x − 4x2 − 2 ;• 8b3 − 2b + b3 + 5b = 9b3 + 3b ;• x2 + 2y2 − 5x2 = −4x2 + 2y2.

3.1.2 Supprimer les parenthèses

Propriété :

• Quand les parenthèses sont précédées du signe “+” et qu’elles ne sont pas suivies de “×” ou de“÷”, on peut supprimer ce signe+ et les parenthèses.

• Quand les parenthèses sont précédées du signe “−” et qu’elles ne sont pas suivies de “×” ou de“÷”, on peut supprimer ce signe− et les parenthèses, à condition de remplacer chaque terme delaparenthèse par son opposé :−(a + b) = −a − b = −1 × (a + b).

Exemples :• (8 − 2x) + (−6x + 1) + (5 − x) = 8 − 2x − 6x + 1 + 5 − x = 14 − 9x ;• (7 − a) − (3a − 1) − (−5a + 4) = 7 − a − 3a + 1 + 5a − 4 = 4 + a.

3.1.3 Développer

Définition : Développerune expression, c’est la transformer en une somme et/ou différence determes.

On utilise la distributivité: a, b, k étant 3 nombres réels,

k × (a + b) = k × a + k × b

(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemple :3(5x + 4) = 3 × (5x + 4) = 3 × 5x + 3 × 4 = 15x + 12.

Plus généralement, développer, c’est effectuer dans une expression toutes les multiplications pos-sibles, en tenant compte des ordres de priorité des opérations, puis “enlever” toutes les parenthèses(Attention aux signes !). Après avoir développé une expression, il faut la “réduire”, c’est-à-dire ef-fectuer toutes les additions possibles (voir 1.1).

Exemples

(2x + 1)(3x − 5) = 2x × 3x + 2x × (−5) + 1 × (3x) + 1 × (−5)

= 6x2 − 10x + 3x − 5 = 6x2 − 7x − 5

51

(x − 2)2 − (x − 3)(2x + 5) = x2 − 4x + 4 − (2x2 + 5x − 6x − 15)

= x2 − 4x + 4 − 2x2 − 5x + 6x + 15

= −x2 − 3x + 19

3.1.4 Factoriser

Définition :Factoriser, c’est l’opération inverse de développer : on transforme une expressionen un produit de facteurs.

On utilise la distributivitédans le sens inverse :a, b, k étant 3 nombres relatifs,

k × a + k × b = k × (a + b) = (a + b) × k

Exemple :10x + 15 = 5 × (2x + 3).

À la différence du développement où il suffit d’appliquer lesrègles de calcul, la factorisationnécessite un petit travail de réflexion.

→ Dans un premier temps, il faut regarder s’il existe unfacteur commun. Par exemple, dans l’ex-pression

(x + 2)(x − 5) − 4(x + 2)

(x + 2) est multiplié par(x − 5) et par−4 (attention au signe !). Que faire alors ? On écrit le facteurcommun d’abord, puis on ouvre une grande parenthèse (ou mêmeun crochet), où l’on enfourne leséléments qui étaient multipliés par le facteur commun (c’est la distributivité !). Concrètement, celadonne :

(x + 2)(x − 5) − 4(x + 2) = (x + 2) [(x − 5) − 4]

Il n’y a plus ensuite qu’à simplifier l’intérieur du crochet,en faisant très attention aux problèmesde signes qui peuvent se poser quand on retire les éventuelles parenthèses. Finalement, on obtientl’expression factorisée :

(x + 2)(x − 9)

Malheureusement, les choses ne sont pas toujours aussi simples !

→ Il arrive que le facteur commun soit caché, parce qu’il est multiplié par une constante. Par ex-emple, dans l’expression

(x + 2)(x − 5) − 4x − 8

le facteur commun(x + 2) se cache, et cette expression donne en fait la même chose que précédem-ment.

→ Il peut arriver (mais pas dans les exercices que nous traiterons cette année) que le facteur commun se cache

Essayons, par exemple, de factoriser

A = x2 − 16 + (x − 3)(x − 4).

Il n’y a pas de facteur commun évident. En revanche, la première partie de l’expression fait intervenirl’identité remarquable :

x2 − 16 = (x + 4)(x − 4)

On peut donc terminer la factorisation :

A = (x + 4)(x − 4) + (x − 3)(x − 4) = (x − 4) [(x + 4) + (x − 3)]

= (x − 4)(x + 4 + x − 3) = (x − 4)(2x + 1)

52

→ Si vraiment rien ne marche, en dernier recours, développeren espérant un miracle, qui se produitdans de rares cas ! Par exemple, dans l’expression

B = 2x2 − 6x + 29 + 2(x + 2)(x − 5)

il n’y a pas de facteur commun évident, et2x2 − 6x + 29 n’est pas le développement d’un produitremarquable. On développe donc allègrement :

B = 2x2 − 6x + 29 + 2(x2 − 5x + 2x − 10)

= 2x2 − 6x + 29 + 2x2 − 10x + 4x − 20

= 4x2 − 12x + 9

et là, on reconnaît(2x − 3)2.

Exemple : Factoriser l’expressionC = 18x2 − 24x + 8 − (x + 1)(6x − 4) − 3x + 2.

PREUVE : Aucun facteur commun ne saute aux yeux. La première partie de l’expression faitpenser à une identité remarquable, mais18x2 et 8 ne sont pas des carrés parfaits. Avant de se résoudreà développer (on trouverait12x2 − 29x + 14 qui n’est pas facilement factorisable !), il vaut mieuxexaminer de plus près chacun des éléments deC. On s’aperçoit que18x2 − 24x + 8 = 2(9x2 −12x + 4) = 2(3x − 2)2. Or 3x − 2 apparaît plusieurs fois dansC puisque6x − 4 = 2(3x − 2) et−3x + 2 = −(3x − 2). On a donc trouvé le facteur commun ! On écrit alors :

C = 2(3x − 2)2 − 2(x + 1)(3x − 2) − (3x − 2)

= (3x − 2) [2(3x − 2) − 2(x + 1) − 1] = (3x − 2)(6x − 4 − 2x − 2 − 1)

= (3x − 2)(4x − 7)

2

3.2 Équations à une inconnue

3.2.1 Généralités sur les équations à une inconnue

Des problèmes de la vie courante peuvent être résolus grâce àune équation. Pour ce faire, il fauttravailler avec méthode :

• Choisir l’inconnue (en général, le texte guide)• Traduire l’énoncé en une équation mathématique• Résoudre l’équation• Conclure le problème.

Vocabulaire :L’expression écrite à gauche du signe= est lepremier membrede l’équation ; l’expression écrite

à droite est sondeuxième membre.On dit que deux équations sontéquivalentessi elles ont les mêmes solutions. On obtient une

équation équivalente à une équation donnée en ajoutant ou enretranchant un même nombre aux deuxmembres, ou bien en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre différent de0.

Pour résoudre une équation, on transformera l’équation donnée en équations de plus en plus sim-ples.

53

3.2.2 Équations du premier degré à 1 inconnue

Définition : Uneéquation du premier degré à 1 inconnueest une équation :• qui n’a qu’une inconnue (problème où il n’y a qu’une quantitéà déterminer), le plus souventnotéex ;• qui peut s’écrire, après transformation, sous la formeax = b, oùa et b sont obtenus à partirde nombres donnés dans l’énoncé.

Exemple : 3 × x + 5 = 2 ; 4 − 2 × x = −8 + 5 × x...

Exemple élémentaire d’une mise en équation :On considère le problème suivant : 2 paquets degâteaux et 4 paquets de bonbons coûtent ensemble 20 euros. Les paquets de bonbons coûtent 3 euroschacun. Quel est le prix d’un paquet de gâteaux ?

PREUVE : Les 4 paquets de bonbons coûtent ensemble :4 × 3 = 12 eurosLe prix des 2 paquets de gâteaux est donc :20 − 12 = 8 eurosLe prix d’un paquet de gâteaux est donc finalement8 ÷ 2 = 4 euros. 2

Le passage par une équation permet de proposer une solution qui ne demande, pour toute réflexion,que la transcription du problème sous forme d’une relation où intervient l’inconnue. On note le plussouventx l’inconnue, mais tout autre symbole pourrait être utilisé.L’exemple précédent peut donc setraiter de la façon suivante :

PREUVE : Soitx le prix d’un paquet de gâteaux. Alors :

2 × x + 4 × 3 = 20

2 × x + 12 = 20

2 × x = 20 − 12 = 8

x = 8 ÷ 2 = 4.

Un paquet de gâteaux côute donc 4 euros. 2

L’utilisation des équations permet une résolution plus simple de problèmes dont l’énoncé peutêtre complexe.

Exemple : Une vache compte le nombre de ses petits veaux et se dit : “si j’avais eu 2 fois plus depetits veaux que cette année, j’aurais eu seulement 3 veaux de moins que la Marguerite, qui est lafierté du cheptel.” Or, avec 5 veaux de plus, la Marguerite aurait eu 4 fois plus de veaux que notrepetite vache. Combien notre vache a-t-elle eu de petits veaux cette année ?

PREUVE : Soitx le nombre de veaux de notre petite vache.D’après les pensées de celles-ci, la Marguerite a eu :

2 × x + 3

veaux.La phrase supplémentaire nous apprend, en outre, que la Marguerite a eu :

4 × x − 5

veaux.

54

On peut résumer l’information en écrivant l’équation :

2 × x + 3 = 4 × x − 5

2 × x + 8 = 4 × x

8 = 4 × x − 2 × x

8 = 2 × x

x = 8 ÷ 2 = 4

2

Essayer de résoudre sans recours aux équations ce petit problème demanderait bien plus d’énergieque de passer par une mise en équation !

Méthode de résolution :

La résolution d’une équation linéaire peut toujours se faire suivant le schéma suivant :•Étape 1On isole les termesfaisant intervenir l’inconnuex et les termes ne faisant pas intervenir

x dans chacun des deux membres de l’équation.Remarque :Pour faire disparaître un terme d’un côté d’une équation de type égalité, on ajoute aux

deux membres de l’égalité l’opposé de ce terme.• Étape 2On conclut :→ Si on parvient à une équation du type0×x = 0 ou0 = 0, alors l’équation admet pour solution

tous les nombres réels(n’importe quelle valeur pourx convient !)→ Si on a une équation du type0 × x = b ou 0 = b avecb 6= 0, alors l’équation n’admet

aucune solution.→ Si on a une équation du typea× x = b aveca 6= 0, alors l’équation admet une unique solution

qui est x = b ÷ a .

Exemple : Résoudre l’équation2x + 3 = 4x − 5

PREUVE : Étape 1 :Pour faire disparaître 3 du membre de gauche, on ajoute−3 aux deux mem-bres de l’égalité. Dans le membre de gauche, on obtient donc le terme constant+3−3 = 0 (disparitiondu “3”) et dans le membre de droite, le−3 vient s’ajouter au seul autre terme constant qui est−5 pourdonner le terme constant−5 − 3 = −8. L’équation devient donc :

2x + 3 − 3 = 4x − 5 − 3

c’est-à-dire :2x = 4x − 8

Pour faire disparaître4x du membre de droite, on ajoute−4x aux deux membres de l’égalité. L’équa-tion devient alors :

2x − 4x = 4x − 8 − 4x

c’est-à-dire :−2x = −8

Étape 2 :On a une équation du typeax = b aveca = −2 6= 0 et b = −8. La solution est doncunique et c’est

x = (−8) ÷ (−2) = 8 ÷ 2 = 4.

2

55

Remarques :

• Attention ! Lorsqu’on divise par un nombre, il faut absolument être sûr que ce nombre est nonnul. Ainsi, lors du passage deax = b àx = b ÷ a, on a effectué une division para. Ce passage n’estpossible que si on est certain quea est différent de 0. C’est un “piège” classique que l’on peut voirapparaître dans les problèmes sur les équations.

Exemple : Résoudre l’équation(y − 1)x = y − 1, où l’inconnue estx.

PREUVE : Si on a aucune hypothèse sur le réely, il faut bien se garder de direx = y−1y−1

= 1. Lavéritable solution se formule de la manière suivante :

→ soity 6= 1, et alors x = 1

→ soity = 1 et alors x est n’importe quel réel. 2

• Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Exemple : Résoudre l’équation34x = 7

5.

PREUVE : Cette équation a pour solutionx = 75÷ 3

4= 7

5× 4

3= 28

15. 2

Voici deux exemples d’exercices qui conduisent à résoudre une équation à une inconnue.

1. Traduire un énoncé par une équation :

Exemple : Des amis se rendent ensemble dans un restaurant et partagentéquitablement les frais.S’ils paient chacun 21 euros, il manque 17 euros ; s’ils paient chacun 24 euros, il y a 7 euros de trop.

On désigne parn le nombre de personnes qui se sont rendues ensemble dans ce restaurant. Parmiles équations suivantes, quelle(s) est(sont) celle(s) quipermette(nt) de trouver ce nombre de person-nes ?

a)21n − 17 = 24n + 7 ; b) 21n − 7 = 24n + 17 ; c) 21n17

= 24n7

d) 21n + 17 = 24n − 7 ; e) (21 + 17)n = (24 − 7)n.

PREUVE : Analysons la phrase : “S’ils paient chacun 21 euros, il manque 17 euros”. Sin per-sonnes paient 21 euros, la somme versée est21 × n = 21n. La note est donc égale à21n + 17.

Analysons la phrase : “S’ils paient chacun 24 euros, il y a 7 euros de trop”. La somme versée, eneuros, est24 × n = 24n. La note est donc égale à24n − 7.

Ainsi, en regroupant les deux informations, on obtient l’équation :21n + 17 = 24n − 7. Cetteéquation est celle de la réponse d). Aucune des autres équations proposées n’est équivalente à celle-ci.

Réponse d). 2

2. Retrouver un nombre à l’aide d’une équation :

Exemple : On choisit un nombrex. On lui ajoute145

et on multiplie le résultat par27. Puis on ajoute

6 au nombre obtenu et on divise le résultat par27. Le résultat final est 30. Quel(s) nombre(s) a-t-on

choisi ?a) 31

5; b) 41

5; c) 6, 2 ; d) 8, 2 ; e)28, 7.

PREUVE : On traduit l’énoncé par une équation :[(

x + 145

)× 2

7+ 6

]÷ 2

7= 30.

On résout l’équation :[

27x + 4

5+ 6

]÷ 2

7= 30, soit

[27x + 34

5

]÷ 2

7= 30. D’où x + 119

5= 30

x = 30 − 119

5=

150

5− 119

5=

31

5= 6, 2

Réponses a) et c). 2

56

3.3 Approfondissement : Inéquations à une inconnue

3.3.1 Généralités sur les inéquations

Une inéquation à une inconnue est une inégalité où figure une lettre dont on ne connaît pas la

valeur.

Exemple : 2x2 + 1 < 4x et 2x − 5 > 8 sont des inéquations à une inconnuex. Mais5x + 7y 6 10

est une inéquation à deux inconnuesx ety.

Résoudre une inéquation à une inconnue, c’est trouver toutes les valeursde l’inconnue pour lesquelles

l’inégalité est vraie. Ce sont les solutions de l’inéquation.

L’ensemble des solutions d’une inéquation se donne souventsous forme d’un intervalle, dont on

rappelle la signification, pour certains d’entre eux :

l’intervalle est l’ensemble des nombresx tels que

]a; b[ a < x < b

[a; b] a 6 x 6 b

[a; b[ a 6 x < b

] −∞; b[ x < b

]a; +∞[ a < x

Par exemple, l’intervalle]2, 5] désigne l’ensemble des nombres supérieurs strictement à 2 et in-

férieurs ou égaux à 5. Les nombres 3,1 ;73

; 4,99 ; 5 appartiennent à cet ensemble alors que les nombres

−4 ; 1,8 ; 2 ; 6,2 n’appartiennent pas à cet ensemble.

On dit que deux inéquations sont équivalentes si elles ont les mêmes solutions. On obtient une in-

équation équivalente à une équation donnée en ajoutant ou enretranchant un même nombre aux deux

membres ; ou bien en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre strictement

positif. Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre strictement né-

gatif, il faut changer le sens de l’inéquation pour obtenir une inéquation équivalente.

Pour résoudre une inéquation, on transforme l’inéquation en inéquations de plus en plus simples.

57

3.3.2 Inéquations du premier degré

Définition : On appelleinéquation du premier degré à une inconnue, toute inéquation qui se

ramène à la formeax < b (ouax + b < 0), le signe< pouvant être remplacé par6, > ou>.

Ceci revient à étudier le signe deax + b aveca 6= 0. On distingue les trois cas suivants :

• ax + b = 0 équivaut àax = −b : doncx = − ba

cara 6= 0.

• ax + b > 0 équivaut àax > −b donc

x > − b

asi a > 0 etx < − b

asi a < 0.

• ax + b < 0 équivaut àax < −b donc

x < − b

asi a > 0 etx > − b

asi a > 0.

Rappel :On change le sens d’une inégalité lorsqu’on multiplie les deux membres par un même

réel négatif.

On peut donc donner le signe deax + b sous forme de tableau lorsquea 6= 0 en distingant deux

cas :

• Lorsquea > 0 :

x −∞ − ba

+∞ax + b − 0 +

Conclusion : Sia > 0, alors

ax + b > 0 pourx ∈]− b

a, +∞

[

ax + b < 0 pourx ∈]−∞,− b

a

[

ax + b = 0 pourx = − ba.

• Lorsquea < 0 :

x −∞ − ba

+∞ax + b + 0 −

Conclusion : Sia < 0, alors

ax + b < 0 pourx ∈]− b

a, +∞

[

ax + b > 0 pourx ∈]−∞,− b

a

[

ax + b = 0 pourx = − ba.

On peut faire le tableau des signes qui résume les deux cas. Onobtient :

58

x −∞ − ba

+∞ax + b signe de− a 0 signe dea

Pour les inéquations simples du type2x − 3 > 5x + 6, on procède comme pour résoudre une

équation, à ceci près que lorsqu’on multiple ou divise les deux membres par un nombre négatif,

l’inéquation change de sens. On écrit par exemple que2x − 3 > 5x + 6 équivaut à

2x − 5x > 6 + 3 soit − 3x > 9

ce qui donnex 6 −3 et on écrit alors que l’ensemble des solutions estS =] −∞,−3].

Voici deux exemples de problèmes conduisant à une inéquation à une inconnue.

1. Traduire un énoncé par une inéquation :

Exemple : Un club propose, pour la location d’un court de tennis, deux formules :- abonnement de 40 euros, puis 8 euros de l’heure ;- sans abonnement, 11 euros de l’heure.

À partir de quelle duréet (en heures), la formule d’abonnement est-elle plus avantageuse ?

PREUVE : L’énoncé se traduit par l’inéquation :40 + 8t < 11t. Donc40 < 3t et t > 403

, ce quidonnet > 13, 333. À partir de 14 heures, la formule d’abonnement est plus avantageuse. 2

2. Utiliser un encadrement :

Exemple : Un escalier de 10 marches a un dénivelé de 2 mètres. Les normesen vigueur indiquentque la hauteurh d’une marche doit être liée à sa profondeurp par la relation, en centimètres :60 6 2h + p 6 63.

2m

e???

h

p

59

Parmi les nombres suivants, lesquels sont des valeurs acceptables pour l’encombrement au soleexprimé en mètres ?

a) 6,1 ; b) 5,8 ; c) 2,2 ; d) 2,1 ; e) 1,8.

PREUVE : La hauteurh d’une marche est200 ÷ 10 = 20 centimètres. On remplaceh par savaleur dans la relation donnée :

60 6 40 + p 6 63

soit, en mètres,0, 20 6 p 6 0, 23. Il y a 10 profondeurs de marches dans l’encombrement au sol :

2 6 e 6 2, 3.

Réponses c) et d). 2

3.4 Approfondissement : Systèmes linéaires

3.4.1 Généralités sur les systèmes linéaires

Dans certains problèmes de la vie courante, il peut y avoir plusieurs inconnues à déterminer. On

les trouve le plus souvent en exploitant plusieurs informations. Voici un petit problème introductif :

Exemple : Nicolas pose la devinette suivante à Marie :

“Je pense à 2 nombres : leur somme est 10. Devine ces 2 nombres.”

Marie : “Je ne peux pas ; il y a plusieurs solutions !”

Nicolas : “J’ai oublié de te dire que l’un des nombres choisisest égal à l’autre nombre augmenté

de 6.”

Marie : “Cette fois, j’ai deviné tes deux nombres.”

Mathématisation :x ety désignent les nombres choisis par Nicolas, avec :y > x.→ La première information se traduit parx + y = 10

→ La deuxième information se traduit pary = x + 6 (cary > x).→ On a donc à résoudre le système à 2 équations et 2 inconnuesx ety :

x + y = 10

y = x + 6

Résoudre un système d’équations, c’est trouver toutes les solutionsde ce système.On fait précéder les deux équations d’une accolade pour signaler que l’on a un système d’équa-

tions, c’est-à-dire que les deux équations doivent avoir lieu simultanément.

60

PREUVE : On remplacey parx + 6 dans la première équation. Le système est alors équivalentau système suivant :

x + x + 6 = 10

y = x + 6

c’est-à-dire :

2x = 10 − 6 = 4

y = x + 6

ou encore

x = 4 ÷ 2 = 2

y = x + 6.

On remplace alorsx par 2 dans la deuxième équation. On a doncx = 2 ety = 8.Le couple(2; 8) est l’unique solution du problème.On peut vérifier que pourx = 2 ety = 8, on a bien :

2 + 8 = 10

8 = 2 + 6

2

Définition : Une équation du premier degré à deux inconnuesx et y est une équation de la

formeax + by = c, dans laquellea, b et c sont des nombres donnés.

Exemple : 7x − 3y = 17 est une équation du premier degré à deux inconnuesx ety.

Un couple de valeurs numériques est solution d’une telle équation lorsqu’on obtient une égalitévraie en remplaçant les inconnues par ces valeurs.

Exemple : Le couple(2;−1) est une solution de l’équation7x − 3y = 17.En effet7 × 2 − 3 × (−1) = 17.Le couple(−1; 2) n’est pas solution de cette équation.En effet7 × (−1) − 3 × 2 = −13 6= 17.

Pour obtenir un couple solution d’une équation à deux inconnues, on peut fixer la valeur d’uneinconnue et calculer la valeur de l’autre.

Exemple : Calculonsx pour que le couple(x; 2) soit solution de l’équation7x − 3y = 17.En remplaçanty par 2 dans l’équation, on obtient7x − 3 × 2 = 17, d’où 7x = 17 + 6. On en

déduitx = 237

. Le couple(

237; 2

)est une solution de l’équation7x − 3y = 17.

Une équation du premier degré à deux inconnues a une infinité de solutions. On va généralisermaintenant à des systèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

61

Définition : Un système linéaireest un ensemble d’équations :

• qui peuvent faire intervernir plusieurs inconnues (problèmes où il y a plusieurs quantités à

déterminer), le plus souvent notéesx, y, z, etc... ;

• pour lesquels les relations reliant les inconnues aux autres nombres de l’énoncé sont des

équations du premier degré (on dit aussi relations linéaires)

Remarque :Il faut bien avoir à l’esprit qu’un système est un ensemble solidaire d’équations quisont liées. Ainsi, on ne résout pas une équation, puis une autre, puis une autre... Ce genre de stratégies,de résolution en chaîne après manipulation des équations debase, peut, particulièrement au delà de3 inconnues, conduire à une solution erronée. Ainsi, même sicela peut paraître contraignant, il estconseillé de procéder avec rigueur lors de la résolution dessystèmes d’équations, le mieux étant derecopier à chaque étape les parties inchangées du système.

Méthode de résolution :

Pour déterminer de manière uniqueN inconnues, il faut au moinsN équations. Ainsi, lorsqu’ily a strictement moins d’équations que d’inconnues (comme dans le cas d’une équation du premierdegré à deux inconnues), le système ne pourra pas avoir de solution unique : on aura alors, soit uneinfinité de solutions (ce qui ne veut pas dire que tous les nombres sont solutions !) ou bien aucunesolution (si les équations du système sont contradictoires).

3.4.2 Systèmes linéaires comportant autant d’équations que d’inconnues

La résolution de ce type de système linéaire peut se faire selon plusieurs méthodes voisines. Onva ici en présenter une, illustrée sur un système de 3 équations à 3 inconnues :Exemple :Étude du système :

x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 5z = 2x

7x + 8y + 9z = 3y + 4

• Étape 1 :Dans tous les cas, on commence parordonner les inconnues, c’est-à-dire regrouperles inconnues dans les membres de gauche et les mettre toujours dans le même ordre (par exemple,les “x” en premier, les “y′′ en deuxième et les “z” en dernier) ; on place également les constantes dansles termes de droite.

PREUVE : Le système équivaut alors à :

x + 2y + 3z = 1

4x − 2x + 5y + 5z = 2x − 2x

7x + 8y − 3y + 9z = 3y − 3y + 4

62

c’est-à-dire à :

x + 2y + 3z = 1

2x + 5y + 5z = 0

7x + 5y + 9z = 4

2

• Étape 2 :Une fois que les équations sont ordonnées, on dispose de plusieurs stratégies pourrésoudre ce système. Nous présentons ici la méthode par substitution qui est généralement celle queles étudiants préfèrent. Elle consiste à remplacer successivement des inconnues par leurs relationsavec les autres : ainsi,

→ on exprimex en fonction dey et dez dans la première équation puis on injecte ce résultatdans les 2 autres ;

→ on exprime ensuitey en fonction dez dans la deuxième équation puis on injecte ce résultatdans la dernière

→ la dernière équation ne dépend alors plus que dez que l’on détermine ;→ on conclut en effectuant le processus inverse (remplacerz par sa valeur dans la deuxième

équation et trouvery, puis remplacery etz par leur valeur dans la première équation pour trouverx).

PREUVE : On part du système :

x + 2y + 3z = 1

2x + 5y + 5z = 0

7x + 5y + 9z = 4

→ On exprimex en fonction dey et z dans la première équation et on substituex dans les 2autres :

x = 1 − 2y − 3z

2(1 − 2y − 3z) + 5y + 5z = 0

7(1 − 2y − 3z) + 5y + 9z = 4

c’est-à-dire

x = 1 − 2y − 3z

2 − 4y − 6z + 5y + 5z = 0

7 − 14y − 21z + 5y + 9z = 4.

On réordonne les 2 dernières équations du nouveau système :

x = 1 − 2y − 3z

y − z = −2

−9y − 12z = −3.

63

→ On exprime alorsy en fonction dez dans la deuxième équation et on substituey dans ladernière :

x = 1 − 2y − 3z

y = z − 2

−9(z − 2) − 12z = −3.

c’est-à-dire

x = 1 − 2y − 3z

y = z − 2

−21z = −21.

→ On détermine alorsz :

x = 1 − 2y − 3z

y = z − 2

z = −21−21

= 1.

puis on déterminey :

x = 1 − 2y − 3z

y = 1 − 2 = −1

z = 1.

et enfin on déterminex :

x = 1 − 2(−1) − 3 × 1 = 1 + 2 − 3 = 0

y = −1

z = 1.

La solution de ce système est donc(x ; y ; z) = (0 ; −1 ; 1). 2

• Étape 3 :Après résolution du système, une petitevérification permet de dire si on ne s’est pastrompé.

PREUVE : Vérifions que la solution(x ; y ; z) = (0 ; −1 ; 1) est bien correcte. Le système dedépart était :

x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 5z = 2x

7x + 8y + 9z = 3y + 4

Or, on a :→ x + 2y + 3z = 0 + 2× (−1) + 3× 1 = −2 + 3 = 1 : la première équation est bien vérifiée par

la solution proposée ;→ 4x + 5y + 5z = 4 × 0 + 5 × (−1) + 5 × 1 = −5 + 5 = 0 et 2x = 2 × 0 = 0 : la deuxième

équation est bien vérifiée par la solution proposée ;→ 7x+8y+9z = 7×0+8×(−1)+9×1 = −8+9 = 1 et3y+4 = 3×(−1)+4 = −3+4 = 1 :

la dernière équation est bien vérifiée par la solution proposée. 2

On vient d’illustrer la méthode de résolution avec un système qui admet une unique solution (uneseule valeur possible pour chaque inconnue).

64

Chapitre 4

Géométrie plane

4.1 Droite graduée

SoitD une droite. On choisitO un point origine. SoitI un point deD différent deO. La distanceOI sera notre unité de mesure. Donc la distanceOI vaut1. Les deux pointsO et I définissent uneorientation deD : l’orientation qui va deO versI.

On dit que le couple(O, I) est un repère cartésiende la droiteD.Pour tout pointM surD on définit l’abscisse deM dans le repère(O, I) de la façon suivante.– Si l’on va deO à M en suivant l’orientation de la droite (deO versI), alors l’abscisse deM

est la distanceOM .– Si l’on va deO àM en suivant le sens contraire à l’orientation de la droite (M et I ne sont pas

du même coté deO), alors l’abscisse deM est l’opposé de la distanceOM .On note parfoisxM l’abscisse deM . Attention : cette abscisse dépend deM mais aussi du repère

cartésien(O, I). Pour être parfaitement rigoureux, il faudrait dire quexM est l’abscisse deM sur ladroiteD rapportée au repère(O, I).

On appellef : D → R l’application qui envoie un pointM deD sur son abscissexM :

f : D // R

M

// xM

Cette applicationf est une bijection. On l’appelle parfois lagraduationassociée au repère(O, I).Il est équivalent de se donner un repère cartésien ou une graduation. On peut dire quexM est

l’abscisse deM sur la droiteD graduée parf .Sur le dessin, l’orientation de la droiteD est parfois représentée par une flêche.Regardons la figure 4.1. Sur cette figure, l’abscisse du pointN est−3. Doncf(N) = −3. De

même l’abscisse du pointM est2. L’abscisse de l’origineO est0. L’abscisse deI est1.

Soit D une droite munie d’un repère cartésien(O, I). SoientM et N deux points deD, tels quexN < xM .

SoitP un point deD.

65

O IN M

−3 0 1 2

FIG. 4.1 – Droite graduée

L’abscissexP est supérieure ou égale àxN si et seulement siP est sur la demi-droite[N, M).Dans notre exemple, cela signifie queP est à droite deN .

L’abscissexP est inférieure ou égale àxM si et seulement siP est sur la demi-droite(N, M ].Dans notre exemple, cela signifie queP est à gauche deM .

On a donc les équivalences suivantes• P ∈ [N, M) ⇐⇒ xP ≥ xN

• P ∈ (N, M ] ⇐⇒ xP ≤ xM

• P ∈ [N, M ] ⇐⇒ xN ≤ xP ≤ xM

Si P et Q sont deux points deD alors la distancePQ entreP et Q est la valeur absolue de ladifférencexQ − xP . Cette distance est parfois notéed(P, Q). Donc

d(P, Q) = PQ = |xQ − xP |.

L’abscisse du milieu deP etQ est la moyenne

xP + xQ

2

des abscisses.Dans l’exemple de la figure4.1, le milieu deO et M estI. On calculex0+xM

2= 0+2

2= 1 qui est

bien l’abscisse deI.

On peut utiliser une droiteD graduée parf : D → R pour représenter les solutions d’uneinéquation à une inconnue.

Par exemple, les solutions de l’inéquationx−3 ≥ 0 sont représentées par le graphique de la figure4.2. On a tracé en gras les pointsP dont l’abscissexP satisfait l’inéquationxP − 3 ≥ 0.

O I

3

FIG. 4.2 – Solutions de l’équationxP − 3 ≥ 0

De la même manière, les solutions de l’inéquationx − 2 < 0 sont représentées sur la figure 4.3.On voit que le système d’inéquations

x − 3 ≥ 0

x − 2 < 0

n’a pas de solutions car les parties grasses dans les figures 4.2 et 4.3 ne se rencontrent pas.

66

O I

2

FIG. 4.3 – Solutions de l’équationxP − 2 < 0

Considérons maintenant le système

2x + 3 ≥ −1

x + 5 > 2x + 2

Les manipulations habituelles montrent qu’il est équivalent au système

x ≥ −2

x < 3

La figure 4.4 montre d’abord les solutions de l’équationx ≥ −2, puis celles de l’équationx < 3,et enfin les solutions du systèmes formé de ces deux inéquations.

IO

IO

IO

FIG. 4.4 – Résolution graphique du système d’inéquationsx ≥ −2 etx < 3

4.2 Repérage d’un point dans le plan

On a vu au paragraphe précédent comment repérer un point sur une droite graduée, à l’aide deson abscisse. Dans ce paragraphe, nous verrons comment repérer un point dans le planP. Comme on

67

pouvait s’y attendre, nous aurons besoin de deux nombres réels (les deux coordonnées) pour repérerun point. L’une s’appelle l’abscisse, l’autre l’ordonnée.

Tout d’abord, nous devons choisir trois pointsO, I etJ dans le planP. On suppose que ces troispoints ne sont pas alignés.

On dit que le triplet(O, I, J) est un repère cartésien du planP. Le pointO est encore appeléoriginedu repère.

Le couple de points(O, I) est un repère de la droite(OI).Le couple de points(O, J) est un repère de la droite(OJ).SoitM un point du planP.Nous traçons la droite passant parM et parallèle à la droite(OJ). Cette droite coupe la droite

(OI) en un point que nous appelonsM1. Appelonsx l’abscisse deM1 sur la droite(OI) munie durepère(O, I).

Nous traçons maintenant la droite passant parM et parallèle à la droite(OI). Cette droite coupela droite(OJ) en un point que nous appelonsM2. Soit y l’abscisse deM2 sur la droite(OJ) muniedu repère(O, J).

Les nombres réelsx ety sont lescoordonnéesdeM dans le repère(O, I, J). Le couple(x, y) estparfois appelé lecodedeM dans le repère(O, I, J). On dit quex est l’abscissedeM dans le repère(O, I, J). On dit quey est l’ordonnéedeM dans le repère(O, I, J). Le couple(x, y) sera parfois noté(x; y). Cette variante est particulièrement utile lorsquex et y sont des nombres réels. Ainsi(1, 2; 3)ne sera pas confondu avec(1; 2, 3).

Cette construction est représentée sur la figure 4.5.Attention ! Le réely est l’ordonnée deM dans le repère(O, I, J). Il est aussi l’abscisse deM2 sur

la droite(OJ) munie du repère(O, J).

O

J

I

MM2

y

M1 x

FIG. 4.5 – Repérage d’un point dans le plan

La droite(OI) est souvent appeléeaxe des abscisses. On la note parfois(Ox) et on place la lettreminusculex près de la flêche qui marque l’orientation de(OI).

68

La droite(OJ) est de même appeléeaxe des ordonnées. On la note parfois(Oy) et on place lalettre minusculey près de la flêche qui marque l’orientation de(OJ).

Si les axes(OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère estorthogonal.Si les distancesOI etOJ sont égales, on dit que le repère estnormé.Si les axes(OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et si les distancesOI et OJ sont égales, on dit

que le repère estorthonormé.On note parfoisxM l’abscisse du pointM etyM son ordonnée.On appelleg : P → R × R l’application qui envoie un pointM deP sur le couple(xM , yM)

formé de son abscisse et de son ordonnée :

g : P // R × R

M

// (xM , yM)

Cette application est une bijection deP dansR×R. Il est équivalent de se donner un pointM deP ou de se donner ses coordonnées(xM , yM).

Si P et Q sont deux points du planP, appelonsR le milieu du segment[PQ]. Les coordonnéesdeR se déduisent facilement de celles deP etQ. En effet,

xR =xP + xQ

2etyR =

yP + yQ

2.

Revenons à l’exemple de la figure 4.5. Les coordonnées deO dont (0, 0). Les coordonnées deI sont(1, 0). Les coordonnées deJ sont(0, 1). Les coordonnées deM sont(3, 2). AppelonsN lemilieu du segment[IM ]. Il a pour coordonnées

xN =xI + xM

2=

1 + 3

2= 2 etyN =

yI + yM

2=

0 + 2

2= 1.

Cette situation est illustrée par la figure 4.6.

4.3 Théorème de Pythagore, repères orthonormés, distances

On dit que le triangleABC estrectangleenA si les droites(AB) et (AC) sont perpendiculaires.Le théorème de Pythagore affirme que pour un tel triangle, lesdistancesAB = d(A, B), AC =d(A, C) etBC = d(B, C) satisfont l’équation

AB2 + AC2 = BC2.

Réciproquement, si les longueurs des trois cotés d’un triangleABC satisfont l’équation ci-dessus,alors ce triangle est rectangle enA.

Nous admettrons ce théorème.Mais nous pouvons l’illustrer sur un exemple. Le triangleABC de la figure 4.7 est rectangle en

A. Le repère(O, I, J) est orthogonal. On suppose que la distanceOI = OJ est égale à l’unité delongueur. Donc le repère(O, I, J) est orthonormé.

La droite (AB) est parallèle à l’axe des abscisses. La distanceAB est égale à4 (regarder lesgraduations en pointillés).

69

O

I

MM2

y

M1 x

J N

FIG. 4.6 – Milieu du segment[IM ]

La droite(AC) est parallèle à l’axe des ordonnées. La distanceAC est égale à3.La distanceBC est plus difficile à évaluer car la droiteBC n’est parallèle ni à l’axe des abscisses

ni à l’axe des ordonnées. On trace le cercle de centreB et de rayonBC. On constate que ce cerclepasse par le pointJ . DoncBC et BJ sont deux rayons du même cercle. Ainsi, la distanceBC estégale àBJ et cette dernière distance est égale à5. On vérifie que

42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 52,

donc on a bien

AB2 + AC2 = BC2.

Le pythagorisme est une tradition philosophique et religieuse de l’antiquité. Elle aurait été ini-tiée par un certain Pythagore de Samos qui aurait vécu au Vième siècle avant J.-C. Le théorème dePythagore faisait partie de l’enseignement mathématique de cette secte. Des énoncés similaires étaientconnus en Égypte, à Babylone, et en Inde.

Nous présentons maintenant une application importante du théorème de Pythagore. Soit(O, I, J)un repère orthonormé du planP. On suppose connues les coordonnées de deux pointsA etB dans cerepère. On veut calculer la distanceAB entre ces deux points. Soient(xA, yA) les coordonnées deA.Soient(xB, yB) les coordonnées deB. Alors la distanceAB est donnée par le formule

d(A, B) = AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2.

Un exemple de cette situation est illustrée par la figure 4.8.Dans cet exemple, les coordonnées du pointA sont(1, 4). Les coordonnées du pointB sont(7, 1).

On considère le pointH de coordonnéesxH = xA et yH = yB. Autrement dit, l’abscisse deH estl’abscisse deA, et l’ordonnée deH est l’ordonnée deB. Donc la droite(AH) est parallèle à l’axe

70

O I

JA

C

B

y

x

FIG. 4.7 – Un triangle rectangle

O I

J

xB − xH = 6

A

H B

yA − yH = 3

y

x

AB =√

HA2 + HB2 =√

32 + 62 =√

45 ≈ 6, 71

FIG. 4.8 – Un calcul de distance

71

des ordonnées (elle est “verticale”). Et la droite(BH) est parallèle à l’axe de abscisses (elle est“horizontale”). Donc le triangleHAB est rectangle enH. Or il est clair que la distanceHB est lavaleur absolue dexB − xH . DoncHB2 = |xB − xH |2 = (xB − xH)2. De même la distanceHA estla valeur absolue deyA − yH . DoncHA2 = |yA − yH |2 = (yA − yH)2. On en déduit

AB2 = HA2+HB2 = (yA−yH)2+(xB−xH)2 = (yA−yB)2+(xB−xA)2 = (xB−xA)2+(yB−yA)2

comme annoncé.

4.4 Calculs d’aires

Je souhaite repeindre un mur rectangulaire avec de la peinture Clémentine. Ce mur fait6 mètresde haut et12 mètres de large. Un litre de peinture permet de peindre9 mètres carrés de mur. Combiende litres de peinture faut il acheter ?

Pour répondre à cette question, je dois déterminer l’aire du mur à repeindre. Sur la figure 4.9 jereprésente un rectangle dont la largeur vaut12 unités de mesure et la hauteur vaut6 unités de mesure.

FIG. 4.9 – Un mur de12 mètres sur6

Si l’unité de mesure des longueurs est le mètre, alors chaquepetit carré représente une aire deun mètre carré. L’aire de ce rectangle, exprimée en mètres carrés, est donc le nombre de petits carréscontenus dans le rectangle.

J’en compte72 et je remarque que72 = 6 × 12.

L’aire d’un rectangle est le produit des longueurs des cotés.

Dans le cas présent, je dois peindre72 mètres carrés. Comme un litre permet de peindre9 mètrescarrés, j’aurai besoin de72/9 = 8 litres de peinture pour chaque couche.

Notons que les carrés sont des rectangles particuliers : ilsont une longueur est une largeur égales(on parle alors du coté du carré).

L’aire d’un carré est le carré du coté (le produit du coté par lui même).

72

CD

A B

G F

E

FIG. 4.10 – Un carré

A B

C D

FIG. 4.11 – Un triangle rectangle

73

Donc si on multiplie par deux le coté d’un carré, son aire est multipliée par22 = 4 comme on levoit sur la figure 4.10. Le petit carréABCD a une aire égale à42 = 16 et le grand carréAEFG aune aire égale à82 = 64.

Considérons maintenant le triangleABC rectangle enA qui est représenté sur la figure 4.11.On peut le compléter avec le pointD pour former un rectangleABDC. L’aire de ce rectangle est

AB × AC = 12 × 6 = 72.L’aire du triangleABC est la moitié de l’aire du rectangleABDC. Donc cette aire vaut72/2 =

36.

L’aire d’un triangleABC rectangle enA est égale àAB×AC2

.

Soit maintenant un triangle quelconque. Par exemple, considérons le triangleABC de la figure4.12. On choisit un des trois cotés du triangle et on l’appelle la base. Par exemple, nous choisirons icile cotéAB comme base. Par abus de langage, la distanceAB est aussi appelée la base du triangle. IciAB = 12.

Traçons la droite perpendiculaire à(AB) passant par le troisième sommetC. Cette droite coupe ladroite(AB) en un pointH. La droite(CH) est appelée lahauteurdu triangle. Le pointH est appeléle piedde la hauteur. Par abus de langage, la distanceCH est aussi appelée la hauteur du triangle. IciCH = 6.

Il est clair que l’aire du triangleABC vaut la moitié de l’aire du rectangleABDE. Or l’aire dece rectangle estAB × AE = AB × HC.

A B

C

H

E D

FIG. 4.12 – Aire d’un triangle

L’aire d’un triangleABC de baseAB et de hauteurCH est le demi-produit de la basepar la hauteur, c’est-à-dire

AB × HC

2.

Pour finir, nous nous intéressons à l’aire d’un disque. Un cercle de centreO et de rayonr estformé de l’ensemble des points du plan situés à distancer du centreO. Le disque de centreO et derayonr est formé de l’ensemble des points du plan situés à distance inférieure ou égale àr du centreO. Donc le disque est formé du cercle et de son intérieur. Le cercle est la frontière du disque.

Sur la figure 4.13 on a représenté un disque de centreO et de rayonr = 4.

74

L

O

FIG. 4.13 – Aire d’un disque

On voit que ce disque est contenu dans un carré de coté2r. Donc son aire est plus petite que(2r)2 = 4r2. En fait on sait depuis l’antiquité que

L’aire d’un disque de rayonr estπr2 oùπ = 3, 14159 . . ..

On constate que si le rayonr est multiplié par2, l’aire du disque est multipliée par4. C’estlogique : on a vu que le carré a la même propriété.

Malheureusement, ce mystérieux nombreπ n’est pas connu exactement ! Comme faire pour cal-culer une bonne valeur approchée de ce nombre ? Comment les anciens faisaient-ils ?

Revenons à la figure 4.13La zone ombrée est contenue dans le disque. Elle est constituée de32 carrés de coté1 (et d’aire

1). Donc l’aire du disque de rayon4 est au moins32.Doncπr2 = π × 42 ≥ 32. On en déduit queπ ≥ 32

16= 2.

Remarquons aussi que la zone délimitée par la ligneL contient le disque. Elle est constituée de60 carrés de coté1 (et d’aire1). Donc l’aire du disque de rayon4 est au plus60.

Doncπr2 = π × 42 ≤ 60. On en déduit queπ ≤ 6016

= 3, 75.Donc on a prouvé que2 ≤ π ≤ 3, 75.Comment obtenir une meilleure approximation ? En considérant des disques plus grands !

4.5 Équations de droites

Soit (O, I, J) un repère du planP. Soit D une droite parallèle à l’axe des ordonnées(OJ). LesdroitesD et(OI) se coupent en un pointU . L’ordonnée deU est nulle :yU = 0. On notexU l’abscissedeU .

Tous les points de la droiteD ont la même abscisse queU : si P ∈ D alorsxP = xU .Réciproquement, siP est un point de coordonnées(xP , yP ) et sixP = xU alors la droite passant

parP et parallèle à(OJ) passe aussi par le pointU . DoncP ∈ D.Ainsi D est l’ensemble des points dont l’abscisse est égale àxU . Posonsu = xU . On écrit

D = P ∈ P, P de coordonnées(xP , yP ), tels quexP = u.

75

O I

J

D

U

P

FIG. 4.14 – Une droite parallèle à l’axe des ordonnées

On dit queD estla droite d’équationx = u.Elle est représentée sur la figure 4.14. Dans cette figure, la valeur dexU = u est3.

Considérons maintenant une droite deP qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées(OJ). Parexemple la droiteD représentée sur la figure 4.15.

On appelleB le point d’intersection deD avec l’axe des ordonnées(OJ). Ce point a pour co-ordonnées(0, yB). On poseb = yB. Dans notre exemple, nous avonsb = −1. Donc B a pourcoordonnées(0,−1)

On appelleP le point d’intersection entre la droiteD et la droite verticale d’équationx = 1. Dansnotre exemple, le pointP a pour coordonnées(1;−0, 5).

On appelleQ le point d’intersection entre la droiteD et la droite verticale d’équationx = 2. Dansnotre exemple, le pointQ a pour coordonnées(2, 0).

On appelleR le point d’intersection entre la droiteD et la droite verticale d’équationx = 3. Dansnotre exemple, le pointR a pour coordonnées(3; 0, 5).

On définit de même le pointS de coordonnées(4, 1) et le pointT de coordonnées(5; 1, 5).Tous les pointsB, P , Q, R, S, T sont sur la droiteD et d’abscisses0, 1, 2, 3, 4, 5. Chaque fois

que l’abscisse augmente de1, l’ordonnée augmente de0, 5. On notea = 0, 5 et on dit quea est lapentede la droiteD. On dit aussi que c’est le coefficient directeur deD.

Si cette pente est positive, alors la droite “monte”. Si elleest négative, la droite “descend”. Si lapente est nulle, la droite est parallèle à l’axe des abscisses.

Plus la pente est grande en valeur absolue, plus la droite estinclinée vers le haut (pente positive)ou le bas (pente négative).

On verifie que siM est point de coordonnées(x, y) sur la droiteD alors

y = ax + b c’est-à-direy = 0, 5 × x − 1.

On dit queD est ladroite d’équationy = 0, 5x− 1.On écrit

76

O I

J

D

B

T

PQ

RS

FIG. 4.15 – Une droite non-parallèle à l’axe des ordonnées

D = M ∈ P, P de coordonnées(x, y), tels quey = 0, 5x − 1.Pour toute droiteD qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, on noteb l’ordonnée du point

d’intersection deD avec l’axe des ordonnées et on notea la pente deD. Alors l’équation deD esty = ax + b et

D = M ∈ P, P de coordonnées(x, y), tels quey = ax + b.

Revenons à l’exemple de la figure 4.15. La droiteD coupe le plan en deux demi-plans : le demi-plan au dessus deD est notéQ et le demi-plan au dessous deD est notéR.

Si M est un point de coordonnées(x, y) qui appartient àQ alorsy > 0, 5x−1 carM est au-dessusde la droite.

Si M est un point de coordonnées(x, y) qui appartient àR alorsy < 0, 5x − 1 car M est au-dessous de la droite.

Et siM est sur la droite alorsy = 0, 5x − 1 comme on l’a déjà vu.

SoientD et D′ deux droites d’équations respectivesy = ax + b et y = a′x + b′. Alors D et D′

sont parallèles si et seulement sia = a′. De même,D et D′ sont perpendiculaires si et seulement sia × a′ = −1.

4.6 Approfondissement : Représentations graphiques et systèmes

linéaires

Nous voulons résoudre le système

3x + 2y = −1

4x + y = 2et interpréter graphiquement le résultat.

77

On applique la méthode de substitution en exprimanty = 2− 4x dans la deuxième équation et enremplaçant dans la première. Le système est donc équivalentà

3x + 2(−4x + 2) = −1

y = −4x + 2

3x − 8x + 4 = −1

y = −4x + 2

−5x = −5

y = −4x + 2

x = 1

y = −4x + 2

x = 1

y = −4 + 2 = −2

ce qui donne l’unique solution(1 , −2) du système.

Maintenant, nous donnons une interprétation graphique de la solution.• On exprimey en fonction dex, à l’aide de chacune des équations :

y = −1, 5 x − 0, 5 ety = −4x + 2

• Dans un repère(O, I, J) on trace les droitesD etD′ d’équations respectivesy = −1, 5 x− 0, 5

ety = −4x + 2. Les droitesD etD′ sont sécantes en un pointA.• La solution(1 , −2) du système correspondant aux coordonnées du pointA commun àD etD′.

Cette construction est illustrée par la figure 4.16.

4.7 Approfondissement : Graphes de fonctions

Alice envisage de souscrire un abonnement téléphonique.La compagnie Connexia propose un abonnement téléphonique mensuel à20 euros pour les deux

premières heures de communication. Au-delà de deux heures,chaque seconde de communication estfacturée1/3 centime d’euros (un tiers de centime d’euros).

Appelonsc la consomation mensuelle d’Alice. AppelonspC le prix payé par Alice si elle souscritl’abonnement proposé par Connexia.

La consomationc est mesurée en heures. C’est un nombre réel positif ou nul. Leprix payépC estmesuré en dizaines d’euros. C’est un nombre réel positif ou nul.

On notef : R+ → R+ la fonction qui à chaque consomation (en heures) associe le prix corre-spondant (en dizaines euros).

Cette fonction est représentée sur la figure 4.17. Le repère(O, I, J) choisi est orthogonal.La distance horizontaleOI représente une heure de communication.La distance verticaleOJ représente10 euros.Il n’y a aucune raison de choisir un repère orthonormé car lesdistances horizontales et verticales

représentent des grandeurs de natures différentes (du temps ou de l’argent).Pourc compris entre0 et2, le prix est constant égal à2. Ensuite, le prix augmente de60× 60× 1

3

centimes d’euros par heure supplémentaire. Cela fait12 euros par heure, soit1, 2 dizaines d’euros parheure supplémentaire. Donc l’ordonnée augmente de de1, 2 quand l’abscisse augmente de1.

78

IO

J

A

D

D′

FIG. 4.16 – Solution graphique d’un système d’équations

O

J

I

prix

(en

diza

ines

d’eu

ros)

durée des appels (en heures)

c = 3

p = 3, 2

FIG. 4.17 – Graphe de la fonctionf

79

L’ensemble des points de coordonnées(c, f(c)) est appelégraphede la fonctionf . Dans notrecas, ce graphe est formé d’un segment horizontal, suivi d’une demi-droite de coefficient directeur1, 2.

Le graphe nous permet de trouver graphiquement le prix à payer pour chaque durée de communi-cation.

Par exemple, pourc = 3, je trace la droite d’équationc = 3. Elle coupe le graphe def en un pointd’ordonnée3, 2. Donc le prix correspondant à3 heures de communications est3, 2 dizaines d’euros(soit32 euros).

Alice, s’intéresse aussi à l’offre concurrente proposée par l’opérateur Téléphonis. Téléphonis fac-ture0, 4 centimes d’euros par seconde dès la première seconde.

On noteg : R+ → R+ la fonction qui à chaque consomation (en heures) associe le prix corre-spondant (en dizaines euros).

Si c est la durée de communication en heures etpT le prix en dizaines d’euros facturé par Télé-phonis, on a

pT = g(c) =0, 4

1000× 3600 × c = 1, 44 × c.

Cette fonction est représentée sur la figure 4.18. Le repère(O, I, J) choisi est le même que pourla figure 4.17.

Ici, pour une consomationc de3 heures on a une facturationg(c) de43, 2 euros (4, 32 dizainesd’euros soit encore43 euros et12 centimes).

O

J

I

prix

(en

diza

ines

d’eu

ros)


c = 3

p = 4, 32

FIG. 4.18 – Graphe de la fonctiong

Alice est perplexe. Afin de comparer les offres de Connexia etTéléphonis, elle reporte sur lemême graphique (voir la figure 4.19) les graphes des fonctionsf et g.

On constate que les deux graphes se croisent en un pointA d’ordonnéeyA = 2 et d’abscissecA ≈ 1, 4.

80

O

J

I

prix

(en

diza

ines

d’eu

ros)


Téléphonis

Connexia

A

cA ≈ 1.388889

FIG. 4.19 – Graphe des fonctionsf et g

Pour connaître l’abscisse exacte deA on cherche à résoudre l’équation

f(x) = g(x).

On déduit de la figure que l’unique solution à cette équation est comprise entre1 et2. Orf(x) = 2

dans cet intervalle. Il faut donc résoudre l’équationf(x) = 2 = g(x) = 1, 44x.L’unique solution est 2

1,44≈ 1, 388889 que l’on arrondit à1, 39.

Ainsi cA est proche de1, 4 ainsi que l’observation de la figure 4.19 le laissait prévoir.La position relative des graphes def et g montre que six < xA alorsf(x) > g(x). En revanche,

si x > xA alorsf(x) < g(x).Donc si la consomation mensuelle d’Alicec est inférieure àcA ≈ 1, 39, l’offre de Téléphonis est

plus intéressante pour elle.Si sa consomation dépasse1, 39 heures par mois, l’offre de Connexia sera moins onéreuse pour

Alice.

On appellemaximumd’une fonctionh sur un intervalleI, la plus grande valeur prise par lafonctionh surI.

On appelleminimumd’une fonctionh sur un intervalleI, la plus petite valeur prise par la fonctionh surI.

Par exemple, le minimum de la fonctionf (tarif de Connexia) sur l’intervalle[0, 5] est 2 carf(0) = 2 et pour tout réel positifx on af(x) ≥ 2.

De même, le minimum de la fonctiong (tarif de Téléphonis) surR est0 carg(0) = 0 et pour toutréelx ∈ [0, 5] on ag(x) ≥ 0.

On dit qu’une fonctionh estcroissantesur un intervalleI si et seulement si pour tous réelsx ety dansI on a

81

x ≤ y =⇒ h(x) ≤ h(y).

Le graphe de la fonctionh est alors ascendant sur l’intervalleI.On dit qu’une fonctionh estdécroissantesur un intervalleI si et seulement si pour tous réelsx

ety dansI on a

x ≤ y =⇒ h(x) ≥ h(y).

Le graphe de la fonctionh est alors descendant sur l’intervalleI.Dans notre exemple, les fonctionsf et g sont croissantes surR, ce qui est logique pour un tarif.On dit qu’une fonction estmonotonesur un intervalleI si elle est croissante surI ou décroissante

surI.

82

Deuxième partie

Les exercices

83

Chapitre 1

Généralités sur les nombres


Déterminer à quel ensemble appartient un nombre.

Exercice 1 : Déterminer le plus petit ensemble auquel appartiennent lesnombres suivants :

a)−483

; b) 135

; c) 307

; d)−7 ; e)821.

Exercice 2 : Donner le plus petit ensemble parmi IN, ID,Q, IR auquel chaque nombre appartient :

a) 0, 0005 ; b) 3,6×√

43

; c) 643

; d)√

2516

; e)√

499

.

Exercice 3 : Reconnaître à quels ensembles appartiennent les nombres suivants :

a = −13 ; b = 235

; c = −253

; d = 5265

; e = 34 ; f =√

4 ; g = 2 −√

7.

Exercice 4 : Parmi les nombres suivants :

a = 4, 567 ; b = 0, 001 ; c = −0, 001 ; d = 6545 ; e = 0, 004 ; f =√

π ; g = − 3100

;

h = 13

; i = −229

; j =√

3 ; k =√

144 ; ℓ = 0 ; m = 2π

; n = −236

; o =√√

81

a) Quels sont ceux qui sont décimaux ?b) Quels sont ceux qui sont rationnels mais non décimaux ?c) Quels sont ceux qui ne sont pas rationnels ?

84

Exercice 5 : Remplacer les pointillés par∈ ou /∈ : a)−7 · · · · · · IR ; b) 14, 4432 · · · · · · ID ;c) 17

3· · · · · ·Q ; d) 3

40· · · · · · ID ; e) −6

7· · · · · · IR ; f)

√8 · · · · · ·ZZ ; g)−

√12 · · · · · · IN.

Exercice 6 : Remplacer les pointillés par∈, /∈, ⊂, 6⊂ : a)−153· · · · · ·ZZ ; b)

√9 · · · · · · IN ;

c) ZZ · · · · · ·Q ; d) π · · · · · ·Q ; e) IN · · · · · ·Q∗ ; f) 0, 001 · · · · · · IR+.

Comparaison des décimaux

Exercice 7 : Compléter par< ou> :729 · · · · · ·635 ; 207, 5 · · · · · · 702, 4 ; 78, 4 · · · · · ·78, 58 ; 614, 88 · · · · · · 614, 877.

Exercice 8 : Compléter par< ou> : 48 · · · · · · − 3, 7 ; 0 · · · · · · 8 ; −7 · · · · · · − 9 ; 3, 15 · · · · · · 3, 51−0, 2 · · · · · · 0 ; −100 · · · · · · − 95 ; −0, 03 · · · · · · 0, 02 ; −0, 04 · · · · · · − 0, 40.

Exercice 9 : Ranger par ordre croissant les nombres : 13,5 ; 15,3 ; 20,30 ; 17,81 ; 15,11 ; 2,03 ; 13,63.

Exercice 10 : Ranger par ordre croissant les nombres :39, 7 ; −73, 47 ; −9, 83 ; 1, 61 ; −61 ; −4, 8 ;39.

Exercice 11 : Ranger par ordre décroissant les nombres : 0,18 ; 1,45 ; 0,2 ; 0,07 ; 1,04 ; 0,9 ; 0,01.

Donner la valeur approchée d’un réel avec une calculatrice.

Exercice 12 : Donner les valeurs approchées de√

2 au cent millième près a) par défaut ; b) par excès ;c) arrondie.

Exercice 13 : Donner l’approximation décimale de√

2, −√

2 et π par défaut et par excès au dixmillième près.

Exercice 14 : Donner le plus petit nombre décimal à deux chiffres après la virgule et supérieur à 53.

85

Exercice 15 : Donner le plus grand nombre décimal à trois chiffres après lavirgule et inférieur à 12.

Exercice 16 : a) Arrondir à l’unité les nombres : 6,2 ; 32,73 ; 74,512 ; 408,196 ; 3,18 ; 0,704 ; 1,053 ;0,179 ;7 562, 9.

b) Arrondir au dixième les nombres : 4,383 ; 41,63 ; 128,534 ; 408,196 ; 7,49 ; 0,704 ; 1,053 ;0,179 ;7 562, 98.


Exercice 17 : Simplifier et calculer :a = (+7)+(−7) ; b = (+18)−(+29) ; c = (−18)−(−29) ; d = (−5)+(−7) ; e = (−14)+(+5) .

Exercice 18 : Calculer :a = 6, 2− 9 ; b = −7, 5 +4, 1 ; c = −7− 13 ; d = −0, 1− 0, 1 ; e = −17 +21 ; f = −5, 3+ 5, 3.

Exercice 19 : Calculer2 × (3 − 2 × (3 − 2 × 3)).

Exercice 20 : Quel est le chiffre des unités du produit :11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 ?

Exercice 21 : Compléter la multiplication ci-dessous :

• 8 •× • • 5

3 4 2 0

• • • 2

• 8 •• • • 4 0

Exercice 22 : Calculer :a = 14− 3× 2 + 1 ; b = 3× 5 + 42 ; c = 3× (5 + 42) ; d = 3× (5 + 4)2 ; e = 4, 5− 0, 2× 10−1.

Exercice 23 : Calculer :a = 5× (2− 8) ; b = 7− 14× 3 + 5 ; c = −3 + 2× 52 ; d = (3− 2× 4)2 ; e = −52 − 2× (−8).

86


Exercice 24 : Dans la division euclidienne par 7 :1. quels sont les restes possibles ?2. quels sont les dividendes possibles lorsque le quotient euclidien vaut :

a) 31 ? b) 41 ? c) 64 ?

Exercice 25 : Combien vaut le diviseur dans les divisions euclidiennes suivantes ?1. Le quotient vaut 13, le reste 7 et le dividende 202.2. Le quotient vaut 18, le reste 4 et le dividende 238.3. Le quotient vaut 4, le reste 3 et le dividende 203.

Exercice 26 : Dans un collège, 143 élèves sont inscrits en classe de troisième.Pour chacun des sports basket, football, rugby, dire combien d’équipes à respectivement 5, 11 et

15 joueurs ont peut former et combien d’élèves dans chaque cas ne pourront pas être intégrés dansune équipe.

Exercice 27 : Quel est le chiffre des unités de313 ?

Calculer lePGCD et lePPCM de deux entiers.

Exercice 28 : ** Utiliser la méthode des divisions euclidiennes successives pour calculer lesPGCDdea et b. En déduire lePPCM dea et b.

1. a = 898 425 et b = 6 375 ; 2. a = 2 940 et b = 6 358 ; 3. a = 600 et b = 8 390 ; 4. a = 3 596 etb = 3 393.

Exercice 29 : * 1) Calculer lePGCD de 420 et 224 par la méthode des divisions euclidiennessuccessives.

2) On veut faire carreler une pièce rectangulaire de 4,20m sur 2,24m. Sachant que les carreauxemployés sont des carrés dont la longueur est un nombre entier de centimètres compris entre 10 et 25,calculer cette longueur.

87

1.4 Calculs avec les fractions

Simplification de fractions

Exercice 30 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes :

a) 432192

; b) 1104716

; c) 54081

; d) 21603144

.

Exercice 31 : Simplifier les fractions suivantes :2416

; 8435

; 231132

.

Calculer avec les rationnels

Exercice 32 : Écrire une fraction égale à715

et de dénominateur 45.

Exercice 33 : Mettre 730

et 145

au même dénominateur.

Exercice 34 : Écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur 1000, lenombre obtenu en addi-tionnant 20 dixièmes et 8 millièmes ?

Exercice 35 : Ranger les 4 fractions suivantes dans l’ordre croissant :43

; 13

; 76

; 27.

Exercice 36 : * Calculera = 7

3+ 3

7; b = 5

10− 5

25; c = 1

3− 1

7+ 3

4; d = 5 + 1

5; e = 4 × 1

4; f = 1

6+ 5

6; g = 4

9× 5

9;

h = 425

+ 2 ; i = 73× 3

5; j = 7 × 3

5× 4

3; k = 7

12÷ 2

3; ℓ = 11 ÷ 7

5; m = 7 ÷ 1

7; n =

10

7

5.

Exercice 37 : Calculer a) la moitié du tiers de 60 ; b) le tiers de trois cinquièmes ; c) le double del’inverse de deux tiers.

Exercice 38 : J’ai dépensé les deux cinquièmes des trois quarts de 300 euros. Combien ai-je dépensé ?

Exercice 39 : Les deux tiers d’un champ rectangulaire sont partagés en quatre lots de même aire.Quelle fraction de l’aire totale du champ représente l’airede chaque lot ?

88

Exercice 40 : J’ai mangé le quart d’une tarte. Le chat a mangé le tiers de ce qui restait. Quelle partde tarte reste-t-il maintenant ?

Exercice 41 : * Simplifier le plus possible les fractions suivantes :a = 1

0,5; b = 0,5

0,25; c = 0,75

0,25; d = 1,5

1,75; e = 2,25

0,75; f = 0,75

2; g = 5

0,4.

Exercice 42 : ** Écrire sous forme de fractions les plus simples possiblesles nombres ci-dessous :

A =3

2− 4

5

1

3− 2

7

; B =6

5+ 1

3

− 2

3+ 1

2

; C =11

4− 1

2

7

3+ 5

6

; D =1

2+ 1

3

1

4+ 1

5

; E =6

5− 3

7

4

3+ 1

2

× − 1

2+ 4

3

5

4−1

.

Exercice 43 : *** Écrire sous forme de fractions irréductibles le nombre

A = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+

1

32+

1

64+

1

128.

Exercice 44 : *** Après avoir simplifié, lorsque c’est possible, chacune des fractions, calculer :A = 1

3− 2

5+ 3

4; B = 24

28− 3

14+ 25

35; C = 15

42× 26

39× 14

35; D =

(2 + 2

5

) (14− 2

3

); E =

(34

+ 53

)× 1

3× 2− 4

7

2

3− 1

2

; F =1

2−2+ 2

3

1+ 3

4− 1

3

.

1.5 Calculs avec les puissances

Puissances de dix

Exercice 45 : Calculer102 ; 10−2 ; 107 ; 10−6 ; 104 ; 10−3.

Exercice 46 : Écrire sous forme d’une puissance de 10 :105 × 102 ; 10 × 102 ; 104×103

105 .

Exercice 47 : Écrire deux mille milliards comme le produit d’un entier parune puissance de 10.

Déterminer l’écriture scientifique d’un nombre décimal.

89

Exercice 48 : Écrire en notation scientifique les nombres suivants :a = 3600 ; b = 0, 02 ; c = 1

4; d = 10−2

103 ; e = 4 × 10−2 × 0, 02.

Exercice 49 : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants, ainsique l’écriture décimale dee,f et g :

a = 340 000 000 ; b = −0, 0348 ; c = 0, 0000034 238 ; d = 238 590 ; e = 0, 0002 × 10−3 ;f = 12, 46 × 104 ; g = 0, 013.

Calculs avec les puissances

Exercice 50 : Calculer :82 ; 34 ; 43 ; 3−1 ; 2−3 ; 250 ; 0, 91 ;(

23

)2; 0, 32.

Exercice 51 : Calculer le quart de1616. Écrire le résultat sous la forme d’une puissance de 4.

Exercice 52 : Quel est le nombre de chiffres de l’entier29 × 58 ?

Exercice 53 : Comparer les nombres suivants :a = 234

; b = 342

; c = 423

.

Exercice 54 : Écrire sous la forme2n × 3p × 5q avecn ∈ ZZ, p ∈ ZZ, q ∈ ZZ :

A =53 × 83 × 92

152 × 124; B =

123 × 15−3

5−2 × 23.

Exercice 55 : * Simplifier les nombres suivants :

A =(23 × 54)3

(22 × 72)4; B = (33 × 74)3 × (52 × 33 × 112)−4.

Exercice 56 : ** Simplifier l’écriture deA = (0,2)3×104

23×81÷ −83×15

(−12)5.

Exercice 57 : * Calculer et simplifier :

a =(223)15

21000; b =

(0, 06)4 × (1, 6)−3

30 × (0, 0002)−10.

90

Exercice 58 : Simplifier les écritures des nombres suivants :A = 10−3 × 1002 × 105 ; B =0, 2 × 10−4 × 103 ; C = 10−2+3×10−1−25×10−3

4×10−1−50×10−2 .

Exercice 59 : * Calculer et simplifier

A =

(2

3

)3

×(

5

4

)3

× (12)3 ; B = 10−2 × 1003 × 10−3 ; C =4002 × 103 × 50−2

205 × 10−3.

Exercice 60 : Simplifier les expressions suivantes :

a =−6

18× 10

103; b =

106

10−3× 10−2

(103)2; c =

(6 × 10−3) × 2

83; d =

2−4 × 27

25;

e =

(1

3

)227

20; f =

(53)2

254; g =

22.53

23.54.125; h =

(0, 5

0, 25

)2

;

i =

(0, 01

0, 05

)3

; j =0, 000025

0, 05; k =

(0, 000000003)2

(0, 001)3.

Exercice 61 : ** Simplifier

A =(52 × 10−5)3

(5 × 10−3)5×

(102

5

)2

; B = 223 × (0, 5)24 ; C =

(2

3

)108

× (1, 5)107.

Exercice 62 : Écrire sous la forme2n × 3k × 5p, oùn, k et p sont des entiers relatifs, les nombressuivants :

A = 25×15−3×95

18−3×102 ; B = 1502×84

907×30−2 ; C = 422×214×87

726×703×155 ; D = 454×276×1057

426×245×757 .

Exercice 63 : ** Écrire sous la forme2a×3b×5c×7d×11e, oùa, b, c, d ete sont des entiers relatifs,les nombres suivants :

A =

(214 × 27−5

9−2 × 423

)2

; B =

(635 × 162

250−2 × 242

)3

;

C =[568 × 81−2 × 257]3

[505 × 7003]4; D =

(35−5 × 724]4

[982 × 1054]3

)2

.

Exercice 64 : ** Écrire sous la forme2a×3b×5c×7d×11e, oùa, b, c, d ete sont des entiers relatifs,les nombres suivants :

A = 0, 0014 × 42000−3 ; B = 98004

0,035 ; C = 5603×7002

0,00105−2 ; D = 55003

0,0002642 .

91

Exercice 65 : *** Écrire sous la forme2a × 3b × 5c × 7d × 11e, où a, b, c, d et e sont des entiersrelatifs, les nombres suivants :

A =0, 000252

810002; B =

0, 00000882

6303; C = (2 7003 × 240 0004)2 × (0, 000163 × 0, 000000152)3 ;

D = (5124 × 0, 0000365)3 × (0, 02432 × 9004)−1.

Exercice 66 : Calculer le plus vite possible a)982 ; b) 10042 ; c) 9902 ; d) 1, 0012 ; e)1032.

1.6 Calculer avec les irrationnels

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Exercice 67 : Donner la valeur exacte :√49 ;

√121 ;

√25 ;

√16 ;

√0, 09 ;

√1, 44 ;

√2, 25 ;

√0, 01 ;

√8100 ;

√10 000 ;

√400.

Exercice 68 : ** Exprimer les nombres suivants à l’aide de√

2 et/ou√

3 :a = 4

√2 + 5

√2 ; b =

√3 +

√2 + 7

√2 + 3

√3 ; c =

√18 +

√50 ; d =

√75 −

√27.

Exercice 69 : ** On donneM =√

175 × 1√7. SimplifierM .

Exercice 70 : ** Écrire les nombres suivants sous la formea√

b oùa et b sont des entiers :a)3

√75 −

√27 ; b) 2

√7 −

√63 ; c)

√8 +

√18 ; d)

√2(√

2 +√

3) ; e)√

24 +√

54.

Exercice 71 : *** Écrire les nombres suivants sous la formea√

b oùa et b sont des entiers :a) (

√2 − 3

√3)(

√3 − 2

√2) + 13 ; b)

√50 −

√32 ; c)

√300 −

√243 ;

d)√

2 −√

200 + 7√

8 − 2√

72.

Exercice 72 : *** Simplifier les nombres suivants :a) (2

√5 − 5

√2)(

√2 +

√5) ; b) (

√3 +

√2)2 + (

√6 − 1)2 − (

√3 +

√8)2 ; c)

√15−

√3√

6−1.

92

Exercice 73 : ** Simplifier les nombres suivants :a)

√0, 036 ; b)

√0, 09 ; c)

√

1, 6 × 105 ; d) 1√0,25

.

Exercice 74 : *** 1) Écrire (3 −√

11)2 sous la formea + b√

11 oùa et b sont des nombres entiersrelatifs.

2) Quel est le signe de3 −√

11 ?3) En déduire une autre écriture de

√

20 − 6√

11.

Exercice 75 : *** Rendre rationnel le dénominateur des fractions suivantes :

4√2

; 101−

√3

; 2√5+

√2.

Exercice 76 : *** Montrer que les nombres suivants sont des entiers naturels :

a = (√

3 +√

5)2 + (√

15 − 1)2; b =

√7 +

√5√

7 −√

5+

√7 −

√5√

7 +√

5.

Exercice 77 : *** Calculer A =√

2−1√2+1

+ 8√

2.


Suites proportionnelles et tableaux de proportionnalité

Exercice 78 : Les tableaux suivants sont-ils de proportionnalité ?

17 7 12 5

34 14 24 10;

3 8 7 5

12 32 21 20

Exercice 79 : Déterminer les nombresa etb figurant dans le tableau ci-dessous sachant que les suitessont proportionnelles.

SuiteS1 37 5 42 74

SuiteS2 44, 4 6 a b

93

Exercice 80 : ** Sans calculer le coefficient de proportionnalité, compléter le tableau suivant, sachantque les deux suites sont proportionnelles :

SuiteS1 47 94 141 14, 1 108, 1 10, 81 151, 81

SuiteS2 92

Exercice 81 : Compléter les 4 tableaux de proportionnalité suivants :

2, 8 3, 9

2, 1;

7, 3 4, 2

6, 51;

3, 4

2, 4 1, 5;

8

4, 5 2, 5.

Applications de la proportionnalité à des petits problèmes

Exercice 82 : * Pour 3,4 euros j’ai acheté 5 baguettes de pain. Pour 4,76 euros j’aurais 7 baguettes.Sans calculer le prix d’une baguette, calculer le prix de 12 baguettes, 2 baguettes, 3 baguettes, 15

baguettes.

Exercice 83 : Avec 300 litres de lait, on peut fabriquer 75kg de beurre. Quelle quantité de lait faut-ilpour fabriquer 100kg de beurre ? Avec 250 litres de lait, quel poids de beurre peut-on fabriquer ?

Exercice 84 : Avec 27 oeufs, on prépare 9 omelettes. Combien faut-il d’oeufs pour faire 25 omelettes ?Avec 255 oeufs combien prépare-t-on d’omelettes ?

Exercice 85 : En travaillant 6 jours, j’ai gagné 210 euros. Combien gagnerai-je en travaillant 21jours ? Combien de jours devrai-je travailler pour gagner 490 euros ?

Exercice 86 : Une voiture a consommé 21,16 litres pour faire 264,5km. Quelle est la consommationmoyenne de cette voiture pour 1km ? pour 100km ?

Exercice 87 : Un livre de 250 pages a2 cm d’épaisseur . Quelle est l’épaisseur d’une feuille ?

94

Exercice 88 : * En fin de semaine, les employés A, B et C d’un salon de coiffurese répartissentles pourboires laissés par leurs clients proportionnellement à leur temps de travail. A a travaillé 30heures, B 21 heures et C 32 heures. Le montant total des pourboires s’élève à 224,10 euros.

Calculer la répartition de cette somme entre les trois employés.

Exercice 89 : ** À deux, nous gâchons deux tonnes de ciment en 2 heures. Combien en gâcherions-nous à cinq en cinq heures ?

Exercice 90 : * Une voiture possède un réservoir d’une contenance de 35 litres d’essence. Cettevoiture consomme 7,5 litres d’essence aux 100km. On a commencé un voyage de 250km avec leréservoir plein aux 4/5 de sa contenance.

Combien restera-t-il dans le réservoir à la fin du trajet ?


Changement d’unités de longueur, aire, volume et masse

Exercice 91 : Convertir enm, puis encm : 12, 25 km ; 35 dm ; 0, 425 hm ; 0, 2 mm.

Exercice 92 : Convertir enm2, puis enha : 15, 3 m2 ; 1 500 cm2 ; 2480 a ; 1, 35 km2.

Exercice 93 : Convertir enm3, puis en litres :12 dm3 ; 12, 25 dam3 ; 350 ml ; 125 dl.

Exercice 94 : Convertir eng puis enkg : 5 000 cg ; 24, 78 dag ; 12, 8 t ; 3 560 mg.

Exercice 95 : Combien de bouteilles de 2 litres peut-on remplir avec le contenu d’un container cu-bique d’arête40 cm ?

95

Exercice 96 : Sur un champ de 8 hectares, il est tombé uniformément une hauteur d’eau de1 mm.Quelle est la quantité d’eau tombée sur ce champ ?

Échelles

Exercice 97 : Le périmètre d’un triangle isocèle est égal à 120,4cm. Sa base mesure 29,4cm.1) Calculer la longueur des côtés égaux.2) On veut représenter ce triangle à l’échelle 1/7. Calculerles dimensions du dessin. Faire la figure.

Exercice 98 : Le croquis d’un jardin est à l’échelle 1/200.1) On veut représenter un massif de 8m de diamètres. Calculer encm le diamètre du massif sur

le croquis.2) Une allée a 5cm de long sur le croquis. Calculer sa longueur réelle en mètres.

Exercice 99 : Un rectangle étant donné, on décide de construire un nouveaurectangle dont lalongueur est une fois et demie celle du premier rectangle, etdont la largeur est la moitié de celledu rectangle initial. À quelle proportion de l’aire du premier rectangle est égale l’aire du nouveaurectangle ?

Exercice 100 : Un carré bleu a une aire double de l’aire du carré rouge. Calculer le rapport deslongueurs de la diagonale bleue à la diagonale rouge.

Exercice 101 : La Tour Eiffel pèse 9000 tonnes pour 300 mètres de haut. Combien pèserait, enkg,une réplique exacte de 1,50m de haut fabriquée avec les mêmes matériaux ?

Exercice 102 : Un cube a des arêtes qui mesurent 8cm. On augmente celles-ci de 3cm. Calculerl’augmentation du volume du cube.

Problèmes de durées

Exercice 103 : Quelle est la notation sexagésimale de4, 32 h?

96

Exercice 104 : Convertir en heures, minutes, secondes les durées :

1, 2 j ; 12, 56 h ; 5 684 s ; 2561, 25 mn.

Exercice 105 : Donner, en notation décimale, la valeur en heures, au centième près, des durées :

2 h 32 mn 50 s ; 2, 12 j ; 562 mn.

Exercice 106 : Calculer :

1 h 47 mn 24 s + 5 h 32 mn 56 s ; (39 mn 25 s) × 2 ; 12 h 53 mn 36 s + 7 h 21 mn 34 s ;

1 h 30 mn − 48 mn ; 2 h 36 mn − 53 mn 40 s ; 3 × 6 h 52 mn 16 s.

Exercice 107 : La projection d’un film dure1 h 57 mn. Ce film passe à la télévision et débute à20 h 42 mn. Mais il est entrecoupé de trois publicités qui durent chacune2 mn. A quelle heure finira-t-il exactement ?

Exercice 108 : Peut-on enregistrer sur une cassette de30 mn, quatre chansons dont les durées sont :6 mn 39 s ; 5 mn 42 s ; 5 mn 37 s et12 mn 13 s?

Exercice 109 : On calcule le temps de cuisson d’une viande rouge proportionnellement au poids dela viande : il faut 15 min pour 0,5 kg. ( 1/ 4 d’heure par livre).Quelle durée doit-on prévoir pour unecôte de 3,7 kg ?

Vitesse

Exercice 110 : Convertir12 km/h et50 km/h enm/s ; 50 m/s et200 m/s enkm/h.

Exercice 111 : Une voiture a parcouru27 km en15 mn. Quelle était sa vitesse moyenne ?

Exercice 112 : Je parcours 7,2km en une heure en marchant à une vitesse constante. Quelle distanceai-je parcourue en 40 minutes ? Combien de temps me faudra-t-il pour parcourir 16,2km ?

97

Chapitre 2

Statistique

Exercice 1 :Dans les exemples suivants, indiquer quelle est lapopulation étudiée, préciser ce qu’est unindi-

vidu de la population, lavariable étudiée et letype de cette variable (penser à la nature desmodal-ités).

1. On souhaite connaître les catégories socioprofessionnelles des actifs en France en 2008.2. On s’intéresse aux mentions obtenues par les bacheliers reçus en 2008.3. On mesure le P.I.B. (produit intérieur brut) dans chaque pays en 2008.4. On s’intéresse aux langues parlées dans le monde en 2008.5. On s’intéresse à l’âge des étudiants inscrits au DAEU.6. On s’intéresse au nombre d’enfants des personnels de l’université du Mirail.7. On compte le nombre de personnes par logement dans la ville deToulouse en 1999.

Exercice 2 :Le tableau 2.1 indique le nombre de chômeurs (exprimé en milliers) au sens du BIT (Bureau

International du Travail), selon le sexe et l’âge, en France(Mars 1989).

Hommes Femmes

Moins de 25 ans 249 342,6

de 25 à 50 ans 565,1 827,9

50 ans et plus 168,5 155,2

TAB. 2.1 – Chômeurs en France en mars 1989

1. Quel est le pourcentage de femmes parmi les chômeurs ?2. Quel est le pourcentage de jeunes de moins de 25 ans parmi les chômeurs ?3. Quel est le pourcentage de femmes parmi les chômeurs de moinsde 25 ans ?4. Représenter à l’aide de diagrammes en secteurs les classes d’âge pour les hommes puis pour

les femmes.

98

Exercice 3 :Le tableau 2.2 donne la répartition des veufs français de 20 à30 ans qui se sont à nouveau mariés

en 1967 (source I.N.S.E.E.).

Age 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Effectif 4 7 11 13 23 32 37 45 70 56 82

TAB. 2.2 – Veufs français de 20 à 30 ans qui se sont à nouveau mariésen 1967

1. Calculer les effectifs cumulés.2. Déterminer la médiane.3. Calculer la moyenne, la variance et l’écart type.

Exercice 4 :On s’intéresse à la population des pays de l’Union Européenne en 1995 (en millions d’habitants).

On obtient le tableau d’effectifs 2.3.

Allemagne 81,59

France 57,98

Italie 57,19

Pays-Bas 15,5

Belgique 10,11

Luxembourg 0,41

Royaume-Uni 58,26

Danemark 5,12

Irlande 3,55

Espagne 39,62

Portugal 9,82

Grèce 10,45

Suède 8,78

Autriche 7,97

Finlande 5,11

TAB. 2.3 – Population des pays de l’Union Européenne en 1995

1. Quelle est la variable étudiée, les modalités et le type de cette variable ?2. Quelle est la taille de la population ?3. Représenter ce tableau à l’aide d’un diagramme en barres.

99

Exercice 5 :Les températures (en degrés) relevées sous abri à 8 heures aumois d’avril 1984 à Madrid sont

données dans le tableau 2.4.

Températures Nombre de jours

[5 ;9[ 3

[9 ;11[ 4

[11 ;13[ 5

[13 ;15[ 7

[15 ;21[ 11

TAB. 2.4 – Températures à 8 heures en avril 1984 à Madrid

1. Quelle est la population étudiée ? Quelle est la variable et le type de cette variable ?2.A l’aide d’une diagramme cumulatif, estimer graphiquementla médiane puis la calculer. Quelle

est l’information fournie par la médiane ?3. Calculer la température moyenne, la variance et l’écart type (on pourra s’aider d’un tableau de

calcul).

Exercice 6 :Les résultats d’un concours sont donnés dans le tableau 2.5 (notes sur 20).

Notes [0 ;5[ [5 ;8[ [8 ;10[ [10 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20]

Effectifs 17 16 26 30 24 11

TAB. 2.5 – Répartition des notes obtenues

1. Quelle est la population étudiée ? Quelle est la variable et le type de cette variable ?2. Faire le tableau de distribution des fréquences (en %).3. On sait que25% des candidats sont admis. Déterminer à l’aide d’un diagramme cumulatif la

note à partir de laquelle un candidat est admis puis calculerce nombre.4. Calculer la note moyenne et l’écart type.

Exercice 7 :La répartition des chômeurs en avril 1975 (Source: Enquête emploi INSEE) est donnée dans le

tableau 2.6.1. Calculer l’âge moyen des chômeurs et l’écart type.2. Calculer la médiane.

100

Exercice 8 :1. Le prix du litre d’essence est de 5F le1er janvier 1993. Il augmente de25% dans les six

premiers mois, puis diminue de25% dans les six derniers mois de l’année 1993. Quel est le prix dulitre d’essence au1er janvier 1994 ?

2. Lorsqu’une hausse dea% est suivie d’une baisse dea%, y a-t-il toujours globalement unebaisse ? Qu’en est-il si la baisse a lieu avant la hausse ?

Exercice 9 :1. Votre employeur vous propose deux types d’augmentation, soit 0, 2% par mois, soit2, 5% dans

l’année. Quel est votre choix ?2. Quel salaire devez-vous avoir pour qu’une augmentation de3% soit plus intéressante qu’une

augmentation de 150 euros ?

Exercice 10 :Un gouvernement fait le pari de ne pas dépasser8% d’inflation une certaine année. Les résultats

mensuels sont donnés dans le tableau 2.7.Le pari est-il gagné ?

Exercice 11 :Certains disent « les femmes gagnent en moyenne33% de moins que les hommes » alors que

d’autres disent « les hommes gagnent en moyenne50% de plus que les femmes ». Qu’en pensez-vous ?

Exercice 12 :Sachant que l’augmentation de la population d’un pays a été de2, 7% en 5 ans, et que les variations

annuelles sont données dans le tableau 2.8, calculer le tauxde variation en 2003.

Exercice 13 :Le taux de chômage est le rapport entre le nombre de chômeurs et le nombre d’actifs.1. Sur une population de 50 millions d’individus, il y a 22 millions d’actifs dont 2 millions de

chômeurs. Quel est le taux de chômage ?2. Si le nombre de chômeurs augmente de50% alors que la population active reste stable, quel est

le taux de variation du taux de chômage ?3. De façon générale, montrer que si le nombre d’actifs est stable le taux de variation du nombre

de chômeurs est égal au taux de variation du taux de chômage.

101

Classes d’âge Nombre de chômeurs

[16 ;18[ 41700

[18 ;25[ 277200

[25 ;40[ 246600

[40 ;50[ 134100

[50 ;60[ 88600

[60 ;65] 38900

TAB. 2.6 – Chomeurs en avril 1975

Mois J F M A M J J A S O N D

Inflation (en%) 0,8 0,4 0,5 0,3 0,8 0,7 0,5 0,9 1,1 1,2 0,6 0,1

TAB. 2.7 – Inflation

Année 2001 2002 2003 2004 2005

Pourcentage de variation 1,1 -0,02 ? 1,2 1,1

TAB. 2.8 – Variations annuelles de population

102

Chapitre 3

Équations

3.1 Développer une expression

Exercice 1 :Développer et ordonner les expressions :A(x) = 3(x − 7) − 2(x + 4) ; B(x) = x−1

4− 2x+2

3− 1 ; C(x) = 2

3

(x2− 1

)− 1

2

(3 − x

3

)+ 2.

Exercice 2 :Développer et ordonner les expressions :A(x) = (x + 5)2 ; B(x) = (x − 3)2 ; C(x) = (x + 5)(2x − 1) ; D(x) = (x + 3)2 − (x + 2)2.

Exercice 3 :Développer et ordonner les expressions :A(x) = x(2x− 1)(−x + 3) ; B(x) = (3x + 1)2(−2x + 1)2 ; C(x) = (2x− 3)(−2x + 1)(x− 5).

Exercice 4 :Développer les expressions :1. (2x − y)(−2x + y) ;2. (3x + y)(−2y + x) ;3. (2x − y)(−2x + y)(x − y) ;4. (x + 2y)(2x− y)2.

Exercice 5 :Développer les expressions :1. (x + y − z)2 ;2. (x + y + z)(x + y − z) ;3. (x + y + z)(x + y − z)(x − y − z).

Exercice 6 :Développer les expressions :A(x) =

(x−12

)2+ x

(x+43

); B(x) =

(2x−1

3

) (2x+1

3

)− 1.

103

3.2 Factoriser une expression

Exercice 7 :Factoriser les expressions suivantes, en reconnaissant lefacteur commun :A(x) = (x − 3)(2x + 1) − (5x + 2)(x − 3) ; B(x) = (2x + 7)(x + 2) + (x + 2) ;C(x) = (x − 2)(5x + 1) + 3(2x − 4)(8x − 5) ; D(x) = (2x − 1)(3x − 2) + 7(4 − 8x)(x + 5).

Exercice 8 :Factoriser les expressions :A(x) = 3(x + 1)2 − (x + 3)(2x + 2) ; B(x) = (3x − 2)(x + 1) − (6x − 4)(x + 3).

Exercice 9 :Factoriser les expressions :A(x) = (5x − 3)2 − (5x − 3) ; B(x) = (4x + 7)2 + 4x + 7.

Exercice 10 :Factoriser l’expression :A(x) = (x − 2)(4x − 1) + (1 − 4x)(x + 2).

Exercice 11 :Factoriser l’expression :A(x) = (2x − 3)2 + (x + 6)(3 − 2x) + 4x − 6.

104

Chapitre 4

Géométrie

4.1 Droite graduée

Exercice 1 :On se donne une droiteD et un repère(O, I) pour cette droite. On appelleA, B et C les points

d’abscisses respectives3, −2, et1, 5.1. Faites une figure.2. Calculer l’abscisse du milieu du segment[AB]. On appelleM ce point. Représentez le sur la

figure.3. Quels sont les points qui sont deux fois plus proches deA que deB ? Représentez les sur la

figure.

Exercice 2 : ***

1. Résoudre le système

2x + 3 ≥ x − 2

x − 6 ≥ 5x + 2

2. Donnez une représentation graphique de l’ensemble des solutions.

Exercice 3 : ***Un kilo de tomates rondes coûte1, 5 euros. Un kilo de tomates branches coûte2, 5 euros. Alice

dispose d’une somme limitée pour acheter des tomates. Elle sait que si elle achète uniquement destomates rondes, elle peut en acheter au moins3 kilos. En revanche, si elle achète uniquement destomates branches, elle ne pourra même pas en acheter2 kilos. Que peut-on dire sur le budget dontdispose Alice pour acheter des tomates ?

4.2 Repères du plan

Exercice 4 :

105

Soit(O, I, J) un repère cartésien du planP. SoitA le point de coordonnées(2, 3). SoitB le pointde coordonnées(3, 2).

1. Tracer la droite(AB).2. Donner les coordonnées du milieu du segment[AB]. On appelleM ce milieu. Porter le point

M sur la figure.3. Soit C le point d’intersection des droites(AB) et (OI). Lisez sur votre figure les coordonnées

du pointC.4. SoitD l’unique point de la droite(AB) dont l’abscisse est1. Représentez ce point sur la figure

et lisez les coordonnées deD.5.SoitE l’unique point de la droite(AB) dont l’ordonnée est3. Représentez ce point sur le figure

et lisez les coordonnées deD.

Exercice 5 :Regardez la figure 4.1.

O

J

D

A

C

B

I K

L

E

y

x

FIG. 4.1 – Exercice

1. Donnez les coordonnées des pointsA, B, C , D etE dans le repère(O, I, J).2. Donnez les coordonnées des pointsA, B, C, D etE dans le repère(O, K, L).3. Donnez les coordonnées des pointsA, B, C, D etE dans le repère(O, J, I).4. Le repère(O, I, J) est-il orthogonal ? Même question pour le repère(O, K, L) ? Pour le repère

(O, J, I) ? Pour le repère(O, C, E)?Sur la figure 4.1, la distanceJE est égale à trois unités de mesure.5. Le repère(O, I, J) est-il normé ? Est-il orthonormé ?6. Le repère(O, K, L) est-il normé ? Est-il orthonormé ?

106

4.3 Distances, aires

Exercice 6 :On reprend les données de la figure 4.1. Notons que le repère(O, I, J) est orthonormé.1. Calculer les distancesOI, IK, KE, CE, CA, BD, DA.2. Le triangleAKE est-il rectangle ?

Exercice 7 :La figure 4.2 représente le planP muni du repère orthonormé(A, I, J). Calculez l’aire de la zone

ombrée.

J

IA

FIG. 4.2 – Exercice

Exercice 8 : ***SoientA, B etC trois points du planP. On veut montrer l’inégalité triangulaire :

d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C). (4.1)

1. Montrer que siA = B, alors l’inégalité (4.1) est vraie. Même question siB = C ou siA = C.2. On suppose désormais que les pointsA etB sont distincts. On choisit comme unité de mesure

la distanceAB. SoitD un point du plan tel que le repère(A, B, D) soit orthonormé. Faites une figure.3.Quelles sont les coordonnées deA et deB dans ce repère ? On appellexC etyC les coordonnées

deC dans le repère(A, B, D). Exprimez les distancesAB, AC etBC en fonction dexC etyC.4. Conclure.

107

4.4 Approfondissement : Équations de droites et autres équa-

tions

Exercice 9 :Revenons à la situation de la figure 4.1.1. Calculez l’équation de la droite(DJ).2. Calculez l’équation de la droite(DI).3. En déduire que les pointsD, I etJ ne sont pas alignés.4. Montrez queK appartient à la droite(DJ). En déduire queD, J etK sont alignés.

Exercice 10 :1. Soit (O, I, J) un repère orthonormé du planP. SoientA et B deux points deP. On suppose

que leurs abscissesxA etxB sont distinctes. Montrer que le coefficient directeur de la droite(AB) est

yB − yA

xB − xA

.

2. On considère les les pointsD etJ de la figure 4.1. Calculer le coefficient directeur de la droite(DJ).

Exercice 11 :Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan. SoitA le point de coordonnées(3, 4).1. Donner l’équation du cercleC de centreA et de rayon5.2. Vérifiez à l’aide de cette équation que ce cercle passe par l’origineO.

Exercice 12 :Le planP est muni d’un repère cartésien(O, I, J). SoientD et D′ les deux droites d’équations

respectivesy = 2x − 4 ety = 2x + 5.

1. Résoudre le système

y = 2x − 4

y = 2x + 5

2. En déduire queD etD′ sont parallèles.

Exercice 13 :Le planP est muni d’un repère(O, I, J). SoientD etD′ deux droites qui ne sont pas parallèles à

l’axe des ordonnées(OJ). Montrer qu’elles ont le même coefficient directeur si et seulement si ellessont parallèles.

Exercice 14 :1.Soit(O, I, J) un repère orthonormé du planP. SoientA, B, etC trois points deP. On suppose

quexA, xB etxC sont deux à deux distinctes. Montrer queA, B etC sont alignés si et seulement si

yB − yA

xB − xA

=yC − yA

xC − xA

.

2. Montrez que les pointsD, J etK de la figure 4.1 sont alignés.

108

4.5 Approfondissement : Fonctions

Exercice 15 :La figure 4.3 représente le graphe de la fonction “valeur absolue” x 7→ |x|.

xO

y

J

I

FIG. 4.3 – Graphe de la fonction “valeur absolue”

1. Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?2. La fonction “valeur absolue” est elle monotone sur les intervalles[2, 8], [−3, 3], [−10, 0] ?3. Donner le minimum et le maximum de la fonction “valeur absolue” sur les trois intervalles

ci-dessus.

Exercice 16 :La figure 4.4 représente le graphe de la fonction “racine carrée”x 7→ √

x.1. Le repère utilisé pour construire ce graphe est-il orthonormé ?2. Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?3. La fonction “racine carrée” est elle monotone ? sur quels intervalles ?4. Donner le minimum et le maximum de la fonction “racine carrée” sur l’intervalle [1, 4].5. Déterminer graphiquement une approximation des nombres

√2 et

√5.

109

FIG. 4.4 – Graphe de la fonction “racine carrée”

110

Troisième partie

Les solutions des exercices

111

Chapitre 1

Généralités sur les nombres


Exercice 1 : a) −483

= −16 ∈ ZZ ; 135

= 2, 6 ∈ ID ; 307

= 4, 285714 : il y a une période donc lenombre ne peut pas être décimal et30

7∈ Q ; −7 ∈ ZZ ; 821 ∈ IN.

Exercice 2 : a) 0, 0005 ∈ ID ; b) 3,6×√

43

= 3,6×23

= 1, 2 × 2 = 2, 4 ∈ ID ; c) 643

= 21, 3 ∈ Q (ne peut

pas être décimal car développement périodique) ; d)√

2516

= 54

= 1, 25 ∈ ID ;

e)√

499

= 73

= 2, 3 ∈ Q (pas décimal car périodique).

Exercice 3 : a ∈ ZZ ; b = 4, 6 ∈ ID ; c = 8, 3 ∈ Q (pas décimal car existence d’une période) ;d = 0, 8 ∈ ID ; e ∈ IN ; f = 2 ∈ IN ; g ∈ IR car

√7 /∈ Q.

Exercice 4 : a) les décimaux sont les nombresa, b, c, d, e, g, k (= 12) ; ℓ, o (= 3).b) Les nombres non décimaux mais rationnels sonth = 0, 3 ; i = 2, 4 ; n = −23

6= −3, 83.

c) Les nombres non rationnels sont tous ceux qui reste, soitf , j etm.

Exercice 5 : a) −7 ∈ IR ; b) 14, 4432 ∈ ID ; c) 173

∈ Q ; d) 340

∈ ID (= 0, 075) ; e) −67∈ IR ; f)√

π /∈ ZZ ; g)−√

12 /∈ IN.

Exercice 6 : a)−153∈ ZZ (= −5) ; b)

√9 ∈ IN (= 3) ; c) ZZ ⊂ Q ; d) π /∈ Q ; e) IN 6⊂ Q∗ car0 ∈ IN ;

f) 0, 001 ∈ IR+.

112

Exercice 7 : 729 > 635 ; 207, 5 < 702, 4 ; 78, 4 < 78, 58 ; 614, 88 > 614, 877.

Exercice 8 : 48 > −3, 7 ; 0 < 8 ; −7 > −9 ; 3, 15 < 3, 51 ; −0, 2 < 0 ; −100 < −95 ;−0, 03 < 0, 02 ; −0, 04 > −0, 40.

Exercice 9 : 2, 03 < 13, 5 < 13, 63 < 15, 11 < 15, 3 < 17, 81 < 20, 30.

Exercice 10 : −73, 47 < −61 < −9, 83 < −4, 8 < 1, 61 < 39 < 39, 7.

Exercice 11 : 1, 45 > 1, 04 > 0, 9 > 0, 2 > 0, 18 > 0, 07 > 0, 01.

Exercice 12 : On lit sur la calculatrice pour√

2 : 1,414213562. Il ne faut garder que 5 chiffres aprèsla virgule ce qui donne :

a) par défaut : 1,41421 ; b) par excès : 1,41422 ; c) arrondie : 1,41421 (car le chiffre suivant est un3).

Exercice 13 : Pourπ, on lit sur la calculatrice 3,141592654. On a donc le tableausuivant :

nombre par défaut à10−4 près par excès à10−4 près√

2 1, 4142 1, 4143

−√

2 −1, 4143 −1, 4142

π 3, 1415 3, 1416

Exercice 14 : Le plus petit nombre décimal à deux chiffres après la virguleet supérieur à 53 est 53,01.

Exercice 15 : Le plus grand nombre décimal à trois chiffres après la virgule et inférieur à 12 est11,999.

Exercice 16 : On arrondit par défaut si le chiffre suivant est 0 ; 1 ; 2 ; 3 ou 4 et par excès si le chiffresuivant est 5 ; 6 ; 7 ; 8 ou 9.

a) 6 ; 33 ; 75 ; 408 ; 3 ; 1 ; 1 ; 0 ; 7563.b) 4,4 ; 41,6 ; 128,5 ; 408,2 ; 7,5 ; 0,7 ; 1,1 ; 0,2 ; 7563.

113


Exercice 17 : a = 7 − 7 = 0 ; b = 18 − 29 = −11 ; c = −18 + 29 = 11 ; d = −5 − 7 = −12 ;e = −14 + 5 = −9.

Exercice 18 : a = −2, 8 ; b = −3, 4 ; c = −20 ; d = −0, 2 ; e = 4 ; f = 0.

Exercice 19 : 2× (3−2× (3−2×3)) = 2× (3−2× (3−6)) = 2× (3−2× (−3)) = 2× (3+6) =2 × 9 = 18.

Exercice 20 : On a15 = 3 × 5 et 16 = 2 × 8 donc le nombre en question est en particulier multiplede15 × 16 = 24 × 10 donc aussi de 10 et le chiffre des unités est donc 0.

Exercice 21 : On a d’abord3420 ÷ 5 = 684, ce qui permet de compléter la première ligne. Laquatrième ligne est alors un multiple entier de 684 dont le chiffre des unités est 2. Il y a 2 possibilités :3 × 684 = 2052 ou bien8 × 684 = 5452. Enfin, la cinquième ligne ne peut être que 684 car c’estle seul nombre de 3 chiffres multiple de 684. Enfin, comme le nombre de la sixième ligne n’a que 5chiffres, la quatrième ligne ne peut être que 2052 et on peut finir de compléter la multiplication :

6 8 4

× 1 3 5

3 4 2 0

2 0 5 2

6 8 4

9 2 3 4 0

Exercice 22 : a = 14 − 6 + 1 = 9 ; b = 15 + 16 = 31 ; c = 3 × (5 + 16) = 3 × 21 = 63 ;d = 3 × 81 = 243 ; e = 4, 5 − 0, 02 = 4, 48.

Exercice 23 : a = 5 × (−6) = −30 ; b = 7 − 42 + 5 = −30 ; c = −3 + 50 = 47 ; d = (−5)2 = 25 ;e = −25 + 16 = −9.

114


Exercice 24 : 1. Le reste doit être entier et strictement inférieur à 7. Lesrestes possibles sont donc0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.

2. On rappelle quen = d × q + r où n est le dividende,d le diviseur,q le quotient etr le reste.On a donc ici, avecd = 7, n = 7 × q + r, etr ∈ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

a) Pourq = 31, n ∈ 217; 218; 219; 220; 221; 222; 223 ;b) Pourq = 41, n ∈ 287; 288; 299; 290; 291; 292; 293 ;c) Pourq = 64, n ∈ 448; 449; 450; 451; 452; 453; 454.

Exercice 25 : On rappelle quen = d× q + r oùn est le dividende,d le diviseur,q le quotient etr lereste (avec0 6 r < d). On a doncd = n−r

qet on doit avoird > r.

d = n−rq

et on doit avoird > r.1. d = 202−7

13= 195

13= 15 > 7 ; le diviseur vaut donc 15.

2. d = 238−418

= 23418

= 13 > 4 ; le diviseur vaut donc 13.3. d = 203−3

4= 50 > 3 ; le diviseur vaut donc 50.

Exercice 26 : On fait d’abord la division euclidienne de 143 par 5 :143 = 28× 5 + 3 : on peut doncformer 28 équipes de basket et il reste 3 élèves non intégrés.

On fait ensuite la division euclidienne de 143 par 11 :143 = 11 × 13 : on peut donc former 13équipes de foot et tous les élèves sont alors intégrés.

On fait enfin la division euclidienne de 143 par 15 :143 = 15 × 9 + 8 : on peut donc former 9équipes de rugby et il reste 8 élèves non intégrés.

Exercice 27 : On écrit les unités des puissances successives de 3 : 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,... On a uncycle de longueur 4. Ainsi pour la puissance 12, le chiffre des unités est 1, et le chiffre des unités de313 est 3 (13 = 4 × 3 + 1).

Exercice 28 : On effectue les divisions euclidiennes successives des restes et la suite des restesobtenus est

• Pour 1.898 425 ; 6 375 ; 5 925 ; 450 ; 75 ; 0. Le dernier reste non nul est donc75 ; on en tirePGCD(a, b) = 75 etPPCM(a, b) = a×b

PGCD(a,b)= 76 366 125.

• Pour 2.6 358 ; 2 940 ; 478 ; 72 ; 46 ; 26 ; 20 ; 6 ; 2 ; 0. Le dernier reste non nul est donc 2 ; on entire PGCD(a, b) = 2 etPPCM(a, b) = a×b

PGCD(a,b)= 9 346 260.

• Pour 3.8 390 ; 600 ; 590 ; 10 ; 0. Le dernier reste non nul est donc10 ; on en tirePGCD(a, b) =

10 etPPCM(a, b) = a×bPGCD(a,b)

= 503 400.• Pour 4.3 596 ; 3 393 ; 203 ; 145 ; 58 ; 29 ; 0 doncPGCD(3 596; 3 393) = 29. PGCD(a, b) ×

PPCM(a, b) = ab doncPPCM(a, b) = abPPCM(a,b)

= 420 732.

115

Exercice 29 : 1) On effectue les divisions euclidiennes successives des restes et la suite des restesobtenus est 196 ; 28 ; 0. Le dernier reste non nul est donc 28 ; c’est lePGCD de 420 et 224.

2) La longueur du côté des carreaux en centimètres doit diviser 420 et 224. Or le plus grand di-viseur commun est 28 ; les autres diviseurs divisent nécessairement 28. Comme les seuls diviseurs de28 sont 1, 2, 4, 7, 14 et 28 et que la longueur du côté est un nombre entre 10 et 15, la seule solutionacceptable est une longueur de 14cm.

1.4 Calculs avec les fractions

Exercice 30 : a) 432192

= 21696

= 10848

= 5424

= 2712

= 94

; b) 1104716

= 552358

= 276179

etPGCD(276; 179) = 1 ; c)54081

= 609

= 203

; d) 21603144

= 720148

et on ne peut pas faire mieux car48 = 3 × 24.

Exercice 31 : 2416

= 8×38×2

= 32

; 8435

= 7×127×5

= 125

; 231132

= 3×773×44

= 7×114×11

= 74.

Exercice 32 : On a45 = 15 × 3 donc 715

= 3×73×15

= 2145

.

Exercice 33 : 30 = 2×15 et45 = 3×15 donc le dénominateur commun choisi sera2×3×15 = 90 :730

= 2190

et 145

= 290

.

Exercice 34 : 2010

+ 81000

= 20001000

+ 81000

= 20081000

.

Exercice 35 : Le dénominateur commun est3 × 2 × 7 = 42 ; 43

= 5642

; 13

= 1442

; 76

= 4942

; 27

= 1242

. Ona donc2

7< 1

3< 7

6< 4

3.

Exercice 36 : a = 5821

; b = 12− 1

5= 3

10; c = 28−12+63

84= 79

84; d = 26

5; e = 1 ; f = 1 ; g = 20

81; h = 54

25;

i = 75

; j = 285

; k = 712

× 32

= 78

; ℓ = 11 × 57

= 557

; m = 7 × 7 = 49 ; n = 107× 1

5= 2

7.

Exercice 37 : a) 12

(13× 60

)= 1

2× 20 = 10 ; b) 1

3× 3

5= 1

5; c) 2 ×

(23

)−1= 2 × 3

2= 3.

116

Exercice 38 : La dépense est de25

(34× 300

)= 2×3×300

5×4= 90 euros.

Exercice 39 : Un lot représente14× 2

3, soit 1

6du terrain.

Exercice 40 : Le chat a mangé le tiers des 3/4 de la tarte, soit1/4 de la tarte. Il reste donc2/4, soitla moitié de la tarte.

Exercice 41 : a = 2 ; b = 5025

= 2 ; c = 7525

= 3 ; d = 150175

= 3032

= 1516

; e = 22575

= 4515

= 3 ;f = 75

200= 3

8; g = 50

4= 25

2.

Exercice 42 : A = 15−810

× 21 = 14710

; B =23

15

− 1

6

= − 233×5

× 6 = −465

; C =9

4

19

6

= 94×

619

= 2738

;

D =5

6

9

20

= 56× 20

9= 50

27; E =

27

35

11

6

×5

6

1

4

= 2735

× 611

× 56× 4 = 108

77.

Exercice 43 : A = 128+64+32+16+8+4+2+1128

= 255128

.

Exercice 44 : A = 20−24+4560

= 4160

; B = 67− 3

14+ 5

7= 19

14; C = 5

14× 2

3× 2

5= 2

21; D = 7

5×

(− 5

12

)=

− 712

; E = 2912

× 13×

10

7

1

6

= 29×10×62×6×3×7

= 14521

; F =− 5

6

17

12

= −1017

.

1.5 Calculs avec les puissances

Exercice 45 : 102 = 100 ; 10−2 = 0, 01 ; 107 = 10 000 000 ; 10−6 = 0, 000 001 ; 104 = 10 000 ;10−3 = 0, 001.

Exercice 46 : 105 × 102 = 107 ; 10 × 102 = 103 ; 104×103

105 = 102.

Exercice 47 : 2 000 milliards, c’est2 000 000 000 000, c’est-à-dire2 × 1012.

117

Exercice 48 : a = 3, 6 × 103 ; b = 2 × 10−2 ; c = 2, 5 × 10−1 (car c = 0, 25) ; d = 1 × 10−5 ;e = 8 × 10−4 (care = 0, 08 × 10−2).

Exercice 49 : a = 3, 4 × 108 ; b = −3, 48 × 10−2 ; c = 3, 4238 × 10−6 ; d = 2, 3859 × 105 ;e = 2 × 10−7 ; f = 1, 246× 105 ; g = 1 × 10−6 (carg = (10−2)3).

e = 0, 000 000 2 ; f = 124 600 et g = 0, 000 001.

Exercice 50 : 82 = 64 ; 34 = 92 = 81 ; 43 = 64 ; 3−1 = 13

; 2−3 = 18

= 0, 125 ; 250 = 1 ; 0, 91 = 0, 9 ;(

23

)2= 4

9; 0, 32 = 0, 09.

Exercice 51 : 141616 = 1

4× (42)16 = 432−1 = 431.

Exercice 52 : 29 × 58 = 2 × 28 × 58 = 2 × 108 qui a donc 9 chiffres (un 2 puis huit 0).

Exercice 53 : a = 281 ; b = 316 < 416 = 232 et c = 48 = 216 donc on aa > b > c.

Exercice 54 : A = 53 × 29 × 34 × 5−2 × 3−2 × 3−4 × 2−8 = 2 × 3−2 × 5 et

B =123 × 52

153 × 23=

26 × 33 × 52

33 × 53 × 23=

23

5= 23 × 5−1.

Exercice 55 : A = 2 × 28 × 512 × 2−8 × 7−8 = 2 × 512 × 7−8 ;

B = 39 × 712 × 5−8 × 3−12 × 11−8 = 3−3 × 5−8 × 712 × 11−8.

Exercice 56 : A = 23×10−3×104×35×210

23×34×29×3×5= 214×35×5

212×35×5= 4.

Exercice 57 : a = 223×15−1000 = 2−655 ; b = 24 × 34 × 10−8 × 2−12 × 103 × 5−1 × 2−1 × 3−1 × 210 ×10−40 = 2−4 × 33 × 5−6 × 2−40 × 5−40 = 2−44 × 33 × 5−46.

118

Exercice 58 : A = 10−3+4+5 = 106 ; B = 2 × 10−1−4+3 = 0, 02 ;

C =(10 + 300 − 25)10−3

(40 − 50)10−2= −285 × 10−2.

Exercice 59 : A = 23×53×26×33

33×26 = 23 × 53 = 1 000 ; B = 10−2 × 106 × 10−3 = 10 ;

C =24 × 104 × 103 × 5−2 × 10−2

25 × 105 × 10−3=

103

2 × 25=

1000

50= 20.

Exercice 60 : a = −13×10−2 ; b = 106+3−2−6 = 10 ; c = 22×3

29 ×10−3 = 3128

×10−3 ; d = 27−4−5 = 14

;e = 1

32

33

20 = 3 ; f = 56

58 = 125

; g = 22×53

23×57 = 12×54 = 8 × 10−4 ; h = 4 ; i = 1

53 = 8 × 10−3 ;

j = 25×10−6

5×10−2 = 5 × 10−4 ; k = 32×10−18

10−9 = 9 × 10−9.

Exercice 61 : A = 56×10−11

57×10−15 = 15× 104 = 2 000 ; B = 223

224 = 12

; C =(

23

)108 ×(

32

)107= 2

3.

Exercice 62 : A = 25×310×36×23

33×53×22×52 = 26 × 313 × 5−5 ; B = 32×52×102×212

314×107×3−2×10−2 = 29 × 3−10 × 5−1 ;

C =22 × 32 × 72 × 34 × 74 × 221

218 × 312 × 73 × 103 × 35 × 55= 22 × 3−11 × 5−8 × 73 ;

D =54 × 38 × 318 × 37 × 57 × 77

26 × 36 × 76 × 215 × 35 × 37 × 514= 2−21 × 315 × 5−3 × 7.

Exercice 63 : A =(

34×74×3−15

3−4×23×33×73

)2

= 2−6 × 3−20 × 72 ;

B =

(75 × 310 × 28

5−4 × 10−2 × 26 × 32

)3

= 212 × 324 × 518 × 715 ;

C =(78 × 224 × 3−8 × 514)3

(25 × 510 × 73 × 106)4= 228 × 3−24 × 5−22 × 712 ;

D =[5−5 × 7−5 × 212 × 38]8

[22 × 74 × 34 × 54 × 74]6= 284 × 340 × 5−64 × 7−88.

Exercice 64 : A = 10−12 × 7−3 × 3−3 × 2−3 × 10−9 = 2−24 × 3−3 × 5−21 × 7−3 ;

B =24 × 78 × 108

35 × 10−10= 222 × 3−5 × 518 × 78 ;

C =29 × 73 × 103 × 72 × 104

3−2 × 5−2 × 7−2 × 10−10= 226 × 32 × 519 × 77 ;

D =53 × 113 × 106

26 × 32 × 112 × 10−12= 212 × 3−2 × 521 × 11.

119

Exercice 65 : A = 54×10−10

38×106 = 2−16 × 3−8 × 5−12 ;

B =26 × 112 × 10−14

36 × 76 × 103= 26 × 112 × 3−6 × 7−6 × 10−17;

C = (39 × 106 × 212 × 34 × 1016)2 × (212 × 10−15 × 32 × 52 × 1016)3 = 211 × 332 × 5−43 ;

D = (236 × 210 × 310 × 10−30)3 × (310 × 10−8 × 38 × 108)−1 = 248 × 312 × 5−90.

Exercice 66 : a) 982 = (100 − 2)2 = 10 000 − 400 + 4 = 9 604 ;b) 1 0042 = (1 000 + 4)2 = 1 000 000 + 8 000 + 16 = 1 008 016 ;c) 9902 = (1 000 − 10)2 = 1 000 000− 20 000 + 100 = 980 100 ;d) 1, 0012 = (1 + 0, 001)2 = 1 + 0, 002 + 0, 000 001 = 1, 002 001 ;e)1032 = (100 + 3)2 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609.

1.6 Calculer avec les irrationnels

Exercice 67 :√

49 = 7 ;√

121 = 11 ;√

25 = 5 ;√

16 = 4 ;√

0, 09 =√

32 × 10−2 = 0, 3 ;√

1, 44 =√122 × 10−2 = 1, 2 ;

√2, 25 =

√152 × 10−2 = 1, 5 ;

√0, 01 = 0, 1 ;

√8100 =

√92 × 102 = 90 ;√

10 000 = 100 ;√

400 = 20.

Exercice 68 : a = 9√

2 ; b = 8√

2 + 4√

3 ; c =√

9 × 2 +√

25 × 2 = 3√

2 + 5√

2 = 8√

2 ;d =

√25 × 3−

√9 × 3 = 5

√3− 3

√3 = 2

√3 (car

√25 × 3 =

√25√

3 et√

25 = 5 et de même pourles autres).

Exercice 69 : M =√

1757

car√

a√b

=√

ab

; puisM =√

7×257

=√

25 = 5.

Exercice 70 : a) 3√

75 −√

27 = 3√

3 × 25 −√

33 = 3 × 5√

3 − 3√

3 =√

3(15 − 3) = 12√

3 ;b) 2

√7 −

√63 = 2

√7 −

√9 × 7 = 2

√7 − 3

√7 = −

√7 ;

c)√

8 +√

18 =√

23 +√

2 × 9 = 2√

2 + 3√

2 = 5√

2 ;d)

√2(√

2 +√

3) = 2 +√

6 ;e)

√24 +

√54 =

√4 × 6 +

√9 × 6 = 2

√6 + 3

√6 = 5

√6.

120

Exercice 71 : a) (√

2 − 3√

3)(√

3 − 2√

2) + 13 =√

6 − 4 − 9 + 6√

6 + 13 = 7√

6 ;b)

√50 −

√32 =

√2 × 52 −

√2 × 42 = 5

√2 − 4

√2 =

√2 ;

c)√

300 −√

243 =√

3 × 102 −√

3 × 92 = 10√

3 − 9√

3 =√

3 ;d)

√2 −

√200 + 7

√8 − 2

√72 =

√2 −

√2 × 102 + 7

√2 × 22 − 2

√2 × 62 =

√2(1 − 10 + 2 ×

7 − 2 × 6) =√

2(1 − 10 + 14 − 12) = −7√

2.

Exercice 72 : a) (2√

5 − 5√

2)(√

2 +√

5) = 2√

10 + 10 − 10 − 5√

10 = −3√

10 ;b) (

√3+

√2)2+(

√6−1)2−(

√3+

√8)2 = 3+2+2

√6+6+1−2

√6−3−8−

√24 = 1−2

√6 × 4 =

1 − 4√

6 ; c)√

15−√

3√6−1

= (√

15−√

3)(√

6+1)

(√

6−1)(√

6+1)=

√32×5×2+

√15−

√32×2−

√3

(√

6)2−1= 3

√10+

√15−3

√2−

√3

5.

Exercice 73 : a)√

0, 036 =√

360 × 10−4 = 10−2√

23 × 32 × 5 = 6√

10 × 10−2 = 350

√10 ; b)√

0, 09 = 0, 3 ; c)√

1, 6 × 105 =√

16 × 104 = 4 × 102 = 400 ; d) 1√0,25

= 10,5

= 2.

Exercice 74 : 1) (3 −√

11)2 = 9 + 11 − 6√

11 = 20 − 6√

11.

2) 3 −√

11 = (3−√

11)(3+√

11)

3+√

11= 9−11

3+√

11= − 2

3+√

11< 0.

3)√

20 − 6√

11 =√

(3 −√

11)2 = −(3 −√

11) =√

11 − 3.

Exercice 75 : 4√2

= 4√

22

= 2√

2 ;

10

1 −√

3=

10(1 +√

3)

(1 −√

3)(1 +√

3)=

10(1 +√

3)

1 − 3=

10(1 +√

3)

−2= −5(1 +

√3) ;

2√5 +

√2

=2(√

5 −√

2)

(√

5 +√

2)(√

5 −√

2)=

2(√

5 −√

2)

5 − 2=

2

3(√

5 −√

2).

Exercice 76 : a = 3 + 5 + 2√

15 + 15 + 1 − 2√

15 = 24 ;

b =(√

7 +√

5)2

7 − 5+

(√

7 −√

5)2

7 − 5=

1

2

(

7 + 5 + 2√

35 + 7 + 5 − 2√

35)

= 12.

Exercice 77 : A = (√

2−1)(√

2−1)

(√

2+1)(√

2−1)+ 8

√2 = 2+1−2

√2

2−1+ 8

√2 = 3 − 2

√2 + 8

√2 = 3 + 6

√2.

121


Exercice 78 : 3417

= 147

= 2412

= 105

= 2 donc le premier tableau est bien de proportionnalité (decoefficient 2).12

3= 32

8= 20

5= 4 mais 21

7= 3 donc le deuxième tableau n’est pas un tableau de

proportionnalité.

Exercice 79 : On constate que44,437

= 65

= 1, 2. Pour que le tableau soit de proportionnalité, ildoit donc être de coefficient 1,2. Donca

42= b

74= 1, 2. Ceci donnea = 42 × 1, 2 = 50, 4 et

b = 74 × 1, 2 = 88, 8.

Exercice 80 : On constate que94 = 2 × 47 ; 141 = 3 × 47 donc d’après la proportionnalité, ondoit avoir2 × 92 = 184 et 3 × 92 = 276 aux deuxième et troisième cases de la deuxième ligne. Laquatrième colonne doit être le dixième de la troisième.

On a également la propriété suivante : siab

= cd

= k, alorsa = kb etc = kd donc(a+c) = k(b+d)et du coup,a+c

b+d= k également, ce qui permet de trouver la cinquième colonne, enadditionnant la

deuxième et la quatrième.Pour la sixième, on divise la cinquième par 10.Enfn, pour la septième, on additionne la troisième et la sixième. On obtient donc le tableau suiv-

ant :

SuiteS1 47 94 141 14, 1 108, 1 10, 81 151, 81

SuiteS2 92 184 276 27, 6 211, 6 21, 16 197, 16

Exercice 81 : Pour cet exercice, le mieux est d’utiliser les produits en croix.Pour le premier tableau,d = 2,1×3,9

2,8= 2, 925 ; pour le deuxième,b = 7,3×6,51

4,2= 11, 315 ; pour le

troisième,c = 3,4×1,52,4

= 2, 125 et pour le quatrième,a = 8×4,52,5

= 14, 4.

Exercice 82 : Le prix des baguettes étant proportionnel à leur nombre (avec pour coefficient deproportionnalité le prix d’une baguette), on va faire un tableau de proportionnalité avec, en premièreligne, le nombre de baguettes et en deuxième ligne le prix.

nombre de baguettes 5 7 12 2 3 15

prix total 3, 4 4, 76 8, 16 1, 36 2, 04 10, 2

Pour 12 baguettes, on fait la somme des deux premières colonnes car on sait que la proportionnal-ité est conservée par addition de colonnes. Pour 2 baguettes, on fait de même la différence des deuxpremières colonnes ou bien on divise la troisième par 6. Pour3 baguettes, on peut faire la différencede la première et la quatrième colonne, ou diviser la troisième par 4 ; enfin, pour 15 baguettes, il y abeaucoup de possibilités (par exemple 3 fois la première, ou5 fois la cinquième).

122

Exercice 83 : Le poids du beurre fabriqué doit être proportionnel avec la quantité de lait donc on varemplir un tableau de proportionnalité :

lait en litres 300 x 250

beurre enkg 75 100 y

On a donc30075

= 4 = x100

= 250y

, soitx = 300×10075

= 400 ety = 250×75300

= 62, 5.Il faut donc 400 litres de lait pour fabriquer 100kg de beurre et avec 250 litres de lait, on fait 62,5

kg de beurre. Le coefficient de proportionnalité pour passer dela première à la deuxième ligne est de1/4.

Exercice 84 : Le nombre d’omelettes doit être proportionnel au nombre d’oeufs donc on va remplirun tableau de proportionnalité :

nombres d’oeufs 27 x 255

nombre d’omelettes 9 25 y

On a donc279

= 3 = x25

= 255y

, soitx = 3 × 25 = 75 et 255y

= 3, soity = 2553

= 85.Il faut donc 75 oeufs pour 25 omelettes et avec 255 oeufs, on fait 85 omelettes. Le coefficient de

proportionnalité est de1/3 pour passer de la première à la deuxième ligne (on peut aussi dire 3 pourpasser de la deuxième à la première, c’est-à-dire 3 oeufs paromelette).

Exercice 85 : La somme gagnée doit être proportionnelle au nombre de jourstravaillés donc on varemplir un tableau de proportionnalité :

nombre de jour 6 21 y

somme gagnée 210 x 490

On a donc2106

= 35 = x21

= 490y

, soitx = 21 × 35 = 735 ety = 49035

= 14.En travaillant 21 jours, je gagnerai donc 735 euros et il me faudra travailler 14 jours pour gagner

490 euros. Le coefficient de proportionnalité pour passer dela première à la deuxième ligne est de 35.

Exercice 86 : La consommation étant proportionnelle à la distance parcourue, on peut faire untableau :

nombre dekm 264, 5 1 100

nombre de litres 21, 16 x y

On a doncx1

= y

100= 21,16

264,5, soitx = 0, 08 ety = 100 × x = 8.

La voiture consomme 0,08 litre pour faire 1 kilomètre, ce quifait 8 litres aux cent kilomètres.

123

Exercice 87 : Attention au piège ici, une feuille fait 2 pages donc le livrecomporte2502

= 125 feuilles(et non 250...). On obtient alors directement l’épaisseur d’une feuille en divisant l’épaisseur totale dulivre par le nombre de feuilles (en supposant qu’il n’y a pas de couverture...) Cette épaisseur est donc2

125= 0, 016 cm = 0, 16 mm.

Exercice 88 : La somme gagnée en pourboire étant proportionnelle au tempsde travail, on va faireun tableau de proportionnalité :

nombre d’heures30 21 32 83

somme gagnée x y z 224, 10

La dernière colonne représente le nombre total d’heures et la somme totale à partager. On a donc

x

30=

y

21=

z

32=

224, 10

83= 2, 7

2,7 représente ici la somme gagnée par heure (ou le coefficient de proportionnalité pour passerde la première à la deuxième ligne). On a doncx = 30 × 2, 7 = 81 ; y = 21 × 2, 7 = 56, 7 etz = 32 × 2, 7 = 86, 4.

Ainsi, l’employé A a gagné 81 euros de pourboire, l’employé Ben a gagné 56,70 euros et l’em-ployé C 86,40 euros.

Exercice 89 : La difficulté de cet exercice vient du fait qu’il y a deux proportionnalités à la fois : surla durée, sur le nombre de personnes et sur la quantité de ciment. Il n’est toutefois pas nécessaire defaire ici un tableau ; on peut raisonner directement :

En 1 heure à 2, on fait donc la moitié du travail, soit 1 tonne deciment. On peut dire alors qu’unepersonne fait 0,5 tonne de ciment à l’heure. À cinq personnes, ça fera5×0, 5 = 2, 5 tonnes par heure.Donc en cinq heures, ça fera2, 5 × 5 = 12, 5 tonnes.

Ainsi, à cinq en cinq heures, on gâchera 12,5 tonnes de ciment.

Exercice 90 : Dans un premier temps, on cherche le nombre de litres consommés pendant le trajet.Pour cela, on peut faire un tableau élémentaire de proportionnalité (produit en croix)

nombre dekm 100 250

nombre de litres 7, 5 x

On a donc100 × x = 250 × 7, 5, soitx = 250×7,5100

= 18, 75.On consomme donc 18,75 litres d’essence pour le trajet. Il y avait au départ les 4/5 du réservoir,

soit 4×355

= 28 litres. Il reste donc28 − 18, 75 = 9, 25 litres après le trajet.

124


Exercice 91 : Pour ne pas se tromper, on place les données dans un tableau deconversion :

km hm dam m dm cm mm

1 2, 2 5 0 0 0

3, 5 0

0, 4 2 5 0

0, 0 0 0 2

On a alors immédiatement12, 25 km = 12 250 m = 1 225 000 cm ; 35 dm = 3, 5 m = 350 cm ;0, 425 hm = 42, 5 m = 4 250 cm.

Exercice 92 : Pour le deuxième exercice, il faut savoir que1 a = 1 dam2 et1 ha = 1 hm2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2

0, 00 15 30

0, 00 00 15 00

24 80 00

1, 35 00 00

On a alors15, 3 m2 = 0, 00153 ha ; 1 500 cm2 = 0, 15 m2 = 0, 000015 ha ; 2480 a = 24, 8 ha =

248 000 ha ; 1, 35 km2 = 135 ha = 1 350 000 m2.

Exercice 93 : Ici, il faut savoir que1 l = 1 dm3 et1 dl = 0, 1 l...

dam3 m3 dm3 cm3

0, 012

12 250, 000

0, 000 350

0, 012 500

On a alors12 dm3 = 12 l = 0, 012 m3 ; 12, 25 dam3 = 12 250 m3 = 12 250 000 l ; 350 ml =

0, 35 l = 0, 00035 m3 ; 125 dl = 12, 5 l = 0, 0125 m3.

125

Exercice 94 : Comme dans les exercices précédents, on peut faire un tableau. Mais on peut essayeraussi de travailler directement :

5 000 cg = 50 g = 0, 05 kg ; 24, 78 dag = 247, 8 g = 0, 2478 kg ; 12, 8 t = 12 800 kg = 12 800 000 g ;3 560 mg = 3, 56 g = 0, 00356 kg.

Exercice 95 : On commence par calculer le volume du cube :(40)3 cm3 = 64 000 cm3 = 64 dm3 =

64 l. On pourra donc remplir642

= 32 bouteilles de 2 litres.

Exercice 96 : La difficulté ici est qu’il faut tout mettre dans la même unité. On exprime par exemplela hauteur en mètres, soit0, 001 m et la superficie du terrain enm2. On aura alors le résultat enm3.

8 ha = 8 hm2 = 80 000 m2. Le volume d’eau tombée sur le terrain est donc80 000 × 0, 001 =

80 m3, ce qui correspond à80 000 l.

Exercice 97 : Le périmètre est la somme des côtés. Ici, il vaut120, 4 cm et la base mesure29, 4 cm.La somme des 2 côtés égaux vaut donc120, 4 − 29, 4 = 91 cm. Un des deux côtés égaux du triangleisocèle mesure donc45, 5 cm.

Pour représenter le triangle à l’échelle1/7, il faut diviser toutes les longueurs par 7, ce qui donne4, 2 cm pour la base et6, 5 cm pour les 2 côtés égaux.

Exercice 98 : 1) Sur le croquis, le diamètre mesure donc8200

= 0, 04 m = 4 cm. Le diamètre dumassif mesure donc4 cm sur le croquis.

2) Pour avoir la longueur réelle de l’allée, il faut multiplier par 200, ce qui donne5 × 200 =1 000 cm = 10 m. L’allée fait donc réellement 10 mètres de long.

Exercice 99 : On aL′ = 1, 5 × L et ℓ′ = 0, 5 × ℓ. Le nouveau rectangle a pour superficieL′ × ℓ′ =

1, 5 × 0, 5 × L × ℓ = 0, 75 × L × ℓ. On a doncL′×ℓ′

L×ℓ= 0, 75 = 3

4.

L’aire du nouveau rectangle est donc égale au trois-quart decelle de l’ancien.

Exercice 100 : Si le carré a pour côtéc, son aire vauta = c2 et sa diagonale vérified2 = 2c2, soitd =

√2 c. On aa′ = 2a, soit(c′)2 = 2c2 et c′ =

√2 c. D’où d′ =

√2 c′ = 2 c =

√2 ×

√2 c =

√2d.

Le rapport des longueurs des diagonales est donc de√

2.

126

Exercice 101 : On souhaite connaître l’échelle de la réplique. Toutes les proportions étant conservéesla hauteur l’est aussi et le rapport est donc300

1,5= 200. La réplique est donc 200 fois plus petite : elle est

au1/200. Mais attention, le poids est proportionnel au volume et nonà la hauteur, et comme1 m dela réplique représente200 m de la vraie,1 m3 de la réplique représente donc(200)3 = 8 000 000 m3

de la vraie. On a donc pour le poids de la réplique enkg, 9 000 0008 000 000

= 98

= 1, 125. La réplique pèse1, 125 kg.

Exercice 102 : Le nouveau cube a donc des arêtes de11 cm et un volume de113 = 1331 cm3. Onpourra donc dire que le volume du cube a augmenté de113 − 83 = 1331 − 512 = 819 cm3.

Exercice 103 : 0, 32 h représentent0, 32×60 = 19, 2 mn = 19 mn+0, 2 mn et0, 2 mn représentent0, 2 × 60 = 12 s donc19, 2 mn = 19 mn 12 s et4, 32 h = 4 h 19 mn 12 s.

Exercice 104 : 1, 2 j = 1 j + 0, 2 j avec0, 2 = 0, 2 × 24 = 4, 8 h = 4 h + 0, 8 h et 0, 8 h =0, 8 × 60 mn = 48 mn. Ainsi, 1, 2 j = 1 j 4 h 48 mn.

De même12, 56 h = 12 + 0, 56 h avec0, 56 h = 0, 56 × 60 mn = 33, 6 mn = 33 mn + 0, 6 mnet0, 6 mn = 0, 6 × 60 s = 36 s donc12, 56 h = 12 h 33 mn 36 s.

5 68460

= 94, 73 donc5 684 = 60×94+48 (division euclidienne). Ainsi,5 684 s = 94 mn 48 s avec94 = 60 + 34 donc5 684 s = 1 h 34 mn 48 s.

2561, 25 mn = 2561 mn + 0, 25 mn, avec0, 25 mn = 0, 25 × 60 s = 15 s et 2 56160

= 42, 683donc2 561 = 42 × 60 + 41 (division euclidienne) et2 561 mn = 42 h 41 mn et 2 561, 25 mn =

42 h 41 mn 15 s .

Exercice 105 : 5060

= 0, 83 donc32 mn 50 s = 32, 83mn et 32,8360

= 0, 5472 donc2 h32 mn 50 s =

2, 5472h ≈ 2, 55 h.2, 12 j = 2 j+0, 12 j = 48 h+0, 12 j avec0, 12 j = 0, 12×24 h = 2, 88 h donc2, 12 j = 50, 88 h.56260

= 9, 36 donc562 mn ≈ 9, 37 h.

Exercice 106 : 1 h 47 mn 24 s + 5 h 32 mn 56 s = 6 h 71 mn 80 s avec80 s = 1 mn 20 s et 72 mn =1 h 12 mn donc1 h 47 mn 24 s + 5 h 32 mn 56 s = 6 h 71 mn 80 s = 7 h 12 mn 20 s.

(39 mn 25 s)× 2 = 78 mn50 s = 1 h 18 mn 50 s.12 h 53 mn 36 s+ 7 h 21 mn 34 s = 19 h 74 mn 70 s avec70 s = 1 mn 10 s et75 mn = 1 h 15 mn

donc12 h 53 mn 36 s + 7 h 21 mn 34 s = 19 h 75 mn 10 s = 20 h 15 mn 10 s.1 30 mn − 48 mn = 90 mn − 48 mn = 42 mn.2 36 mn−53 mn 40 s = 1 h 96 mn−53 mn 40 s = 1 h 95 mn 60 s−53 mn 40 s = 1 h42 mn 20 s.3 × 6 h 52 mn 16 s = 18 h 156 mn 48 s = 20 h36 mn 48 s.

127

Exercice 107 : La durée totale des publicités est donc6 mn et pour savoir l’heure de la fin du film, ilfaut faire20 h 42 mn + 1 h 57 mn + 6 mn = 21 h 105 mn avec105 mn = 60 mn + 45 mn. La fin dufilm a donc lieu à22 h 45 mn.

Exercice 108 : La durée totale des 4 chansons est6 mn 39 s+5 mn 42 s+5 mn 37 s+12mn 13 s =

28 mn 131 s avec131 s = 120 s + 21 s donc la durée totale est de30 mn 21 s et la cassette n’est doncpas assez longue (il manquera la fin de la quatrième chanson).

Exercice 109 : Pour la cuisson, il faut30 mn pour1 kg donc30 × 3, 7 mn = 111 mn pour3, 7 kgavec111 mn = 60 mn + 51 mn. Le temps de cuisson du rôti est donc de1 h 51 mn.

Exercice 110 : 12 km = 12 000 m et 1 h = 2 600 s donc 12 0003 600

= 12036

= 103

donc12 km/h ≈3, 33 m/s. De même,50 000

3 600= 13, 8 donc50 km/h ≈ 13, 89 m/s.

Inversement50 × 3 600 = 180 000 donc50 m/s = 180 000 m/h = 180 km/h et 200 × 3 600 =720 000 donc200 m/s = 720 000 m/h = 720 km/h.

Exercice 111 : La voiture a parcouru27 km en 1/4 h, ce qui ferait27 × 4 = 108 km en 1 h. Lavitesse moyenne est donc de108 km/h.

Exercice 112 : La vitesse étant constante, la distance parcourue est donc proportionnelle à la durée.On fait un tableau de proportionnalité en prenant pour unitéde temps la minute.

durée enmn 60 40 y

distance enkm 7, 2 x 16, 2

On a donc7,260

= x40

= 16,2y

doncx = 7,2×4060

= 4, 8 ety = 16,2×607,2

= 135, avec135 = 2 × 60 + 15

J’ai donc parcouru4, 8 km en40 mn et il me faut135 mn = 2 h 15 mn pour parcourir16, 2 km.

128

Chapitre 2

Statistique

Exercice 1 :1. La populationΩ : La population active en France en 2008.Un individuω : Un actif français en 2008.La variableX : « catégorie socio-professionnelle » de type qualitatif nominal2. La populationΩ : Les bacheliers reçus en 2008.Un individuω : Un bachelier reçu en 2008.La variableX : “Mention au bac” de type qualitatif ordinal (les modalitéssont Passable, Assez

bien, Bien et Très bien)3. La populationΩ : Les pays en 2008.Un individuω : Un pays en 2008.La variableX : « le P.I.B. » , variable quantitative continue.4. La populationΩ : Les langues parlées dans le monde en 2008.Un individuω : Une langue.La variableX : “Nombre de personnes qui parlent la langue”, variable quantitative continue (bien

qu’il s’agisse a priori d’un nombre entier, il est impossible de déterminer ce nombre à l’unité près etil fluctue en permanence : on serait conduit à traiter cette variable comme une variable continue).

Une autre façon de formaliser une telle étude statistique :La populationΩ : Tous les hommes et femmes en 2008.Un individuω : Un homme ou une femme en 2008.La variableX : “La langue maternelle”, variable qualitative nominale.5. La populationΩ : Les étudiants inscrits au DAEU.Un individuω : Un étudiant inscrit au DAEU.La variableX : « l’âge » , variable quantitative qui peut être considérée comme discrète si l’on

compte en nombre d’années révolues ou continue si l’on considère qu’il s’agit d’une mesure du tempspouvant prendre toutes les valeurs dans un intervalle.

6. La populationΩ : Le personnel de l’université de Toulouse le Mirail.Un individuω : Un personnel de l’université de Toulouse le Mirail.La variableX : « le nombre d’enfants », variable quantitative discrète.7. La populationΩ : Les logements de la ville de Toulouse.Un individuω : Un logement de la ville de Toulouse.La variableX : « le nombre d’habitant », variable quantitative discrète.

129

Bien sûr, décrire un individu lorsqu’on a bien identifié la population ne pose aucun problème maisil peut être utile pour bien identifier la variable de penser qu’à chaque individu est associéune etune seule modalitéde la variable.

Exercice 2 :1. Nombre de femmes au chômage :342, 6 + 827, 9 + 155, 2 = 1325, 7Nombre d’hommes au chômage :249 + 565, 1 + 168, 5 = 982, 6Nombre de chômeurs :1325, 7 + 982, 6 = 2308, 3Donc le pourcentage de femmes parmi les chômeurs est :1325,7

2308,3= 0, 5743 = 57, 43%.

2. Nombre de chômeurs de moins de 25 ans :249 + 342, 6 = 591, 6.Donc le pourcentage de jeunes de moins de 25 ans parmi les chômeurs est :591,6

2308,3= 0, 2562 =

25, 63%.3. Le pourcentage de femmes parmi les chômeurs de moins de 25 ansest : 342,6

591,6= 0, 5791 =

57, 91%.4. Il s’agit, pour la population des hommes puis celle des femmes de faire le tableau de fréquences

en divisant par 982,6 pour les hommes et 1325,7 pour les femmes puis de multiplier ces fréquencespar 360 degrés pour dessiner les secteurs des deux diagrammes.

Exercice 3 :1. Les effectifs cumulés sont donnés dans le tableau 2.1.

Age 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Effectif 4 7 11 13 23 32 37 45 70 56 82

Effectifs cumulés 4 11 22 35 58 90 127 172 242 298 380

TAB. 2.1 – Effectifs cumulés

2. On calcule d’abord3802

= 190.La médiane est la valeur dont l’effectif cumulé est immédiatement supérieur à 190 :m = 28.C’est-à-dire que la moitié des veufs français de moins de 30 ans remariés en 1967 ont moins de

28 ans et la moitié ont plus de 28 ans.3. On utilise le tableau de calcul de la table 2.2.

Age 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Somme

Effectif (ni) 4 7 11 13 23 32 37 45 70 56 82 380

nixi 80 147 242 299 552 800 962 1215 1960 1624 2460 10341

ni(xi2) 1600 3087 5324 6877 13248 20000 25012 32805 54880 47096 73800 283729

TAB. 2.2 – Tableau de calcul

La moyenne est :10341380

= 27, 21.La variance est :283729

380− 27, 212 = 6, 10.

L’écart type est :√

6, 10 = 2, 47.Finalement, la moyenne d’âge est de 27,21 ans avec un écart type de 2,47 ans.

130

Exercice 4 :1. Sur l’ensemble de la population de l’U.E. en 1995, on étudie la variable « nationalité » dont les

modalités sont les 15 pays de l’U.E., c’est une variable nominale.2. La taille de la population est 371,46 millions.3. Il faut graduer l’axe des ordonnées avec les effectifs et dessiner un rectangle pour chaque pays

dont la hauteur correspond à l’effectif (c’est-à- dire ici la population du pays).

Exercice 5 :1. La population étudiée est : les jours du mois d’avril 1984.La variable étudiée est la température à Madrid à 8 heures, detype quantitatif continu.2. On commence par donner les effectifs cumulés dans le tableau2.3.

Températures Effectifs Effectifs cumulés

[5 ;9[ 3 3

[9 ;11[ 4 7

[11 ;13[ 5 12

[13 ;15[ 7 19

[15 ;21[ 11 30


Sur le diagramme cumulatif, on peut lire que la médiane est approximativement 14 degrés.La médianem est dans la classe[13; 15[ et on a :

m = 13 + 2 × 15 − 12

19 − 12= 13, 86

La médiane est 13,86 degrés, c’est-à-dire qu’au mois d’avril 1984 à 8h du matin à Madrid, il y a eu15 jours où il faisait plus de 13,86 degrés et 15 jours où il faisait moins.

3. On utilise le tableau de calcul de la table 2.4

Températures Centresci Effectifsni ni × ci ni × (ci2)

[5 ;9[ 7 3 21 147

[9 ;11[ 10 4 40 400

[11 ;13[ 12 5 60 720

[13 ;15[ 14 7 98 1372

[15 ;21[ 18 11 198 3564

Somme 30 417 6203

TAB. 2.4 – Tableau de calcul

La moyenne est :41730

= 13, 9.La variance est :6203

30− 13, 92 = 13, 5567.

L’écart type est :√

13, 5567 = 3, 6819.Finalement, la température moyenne est 13,9 degrés avec un écart type de 3,69 degrés.

131

Exercice 6 :La population est l’ensemble des candidats au concours.La variable est la note obtenue, c’est une variable quantitative.Pour répondre aux différentes questions nous faisons le tableau 2.5.

Notes [0 ;5[ [5 ;8[ [8 ;10[ [10 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20] Somme

Effectifs 17 16 26 30 24 11 124

Fréquences (%) 13.71 12.90 20.97 24.19 19.35 8.87 100

Fréquences cumulées 13.71 26.61 47.58 71.77 91.12 100

Centresci 2.5 6.5 9 11 14 18

nici 42.5 104 234 330 336 198 1244.5

ni(ci2) 106.25 676 2106 3630 4704 3564 14786.25


En utilisant le polygone des fréquences cumulées, on peut lire que la note pour être admis estenviron 13.

La moyenne est1244,5124

= 10, 04, l’écart type est√

14786,25124

− 10, 042 = 4, 29.

Exercice 7 :En prenant les exercices précédents comme modèle, on trouve:1. L’âge moyen est 33,8798 ans et l’écart type est 13,1398 ans.2. La médiane est 30,76 ans.

Exercice 8 :1. 5 ×

(1 + 25

100

)×

(1 − 25

100

)= 4, 6875.

Le nouveau prix est 4,6875 francs.Remarque :1, 25 × 0, 75 = 0, 9375 et0, 9375 − 1 = −0, 0625, il y a donc une baisse de6, 25%.2. Lorsqu’il y a une hausse dea% suivie d ?une baisse dea%, le multiplicateur global est :

(

1 +a

100

)

×(

1 − a

100

)

= 1 −( a

100

)2

6 1

Il y a donc globalement une baisse.Si la baisse a lieu avant la hausse, la conclusion est la même puisque la multiplication est commu-

tative.

Exercice 9 :1.

(1 + 0,2

100

)12= 1, 02426 soit une augmentation de2, 43%, ce qui est moins intéressant que les

2, 5% annuels.2. On cherche le salairex tel quex × 3

100> 200.

C’est le cas pourx > 200×1003

= 6666, 67 euros.

132

Exercice 10 :1, 008 × 1, 004 × · · · × 1, 001 = 1, 0819 soit 8, 19% d’inflation : le pari est perdu (les optimistes

diront qu’il est presque gagné).

Exercice 11 :Soit F le salaire moyen des femmes et H celui des hommes :La première phrase ditF = (1 − 33

100)H = 0, 67H.

La deuxième phrase ditH = (1 + 50100

)F et doncF = 11,5

H = 0, 67H.Ainsi, les deux phrases sont équivalentes.

Exercice 12 :Notonsx le pourcentage cherché.1, 011 × 0, 9998 × (1 + x

100) × 1, 012 × 1, 011 = 1, 027.

D’où : x = 100 ×(

1,0271,011×0,9998×1,012×1,011

− 1)

= −0, 69.

La troisième année, la population a baissé de 0,69%.

Exercice 13 :1. 2

22× 100 = 9, 09. Soit 9,09% de chômeurs.

2. Le nombre de chômeurs après l’augmentation est :2 × 1, 5 = 3 millions.Le nouveau taux de chômage est donc :3

22= 0, 1363 = 13, 63%.

Le taux de variation du taux de chômage est :13,639,09

− 1 = 0, 5 = 50%.3. Plus généralement, notonsN le nombre d’actifs,C1 puisC2 le nombre de chômeurs.Le multiplicateur du nombre de chômeurs est :C2

C1.

Le multiplicateur du taux de chômage (le nombre d’actifs restant stable) est :C2

NC1

N

= C2

C1.

Les multiplicateurs sont les mêmes donc les taux de variation aussi.

133

Chapitre 3

Équations

3.1 Développer une expression

Exercice 1 : Développer et ordonner les expressions :A(x) = 3(x − 7) − 2(x + 4) ; B(x) = x−1

4− 2x+2

3− 1 ; C(x) = 2

3

(x2− 1

)− 1

2

(3 − x

3

)+ 2.

A(x) = 3x − 21 − 2x − 8 = x − 29 ;

B(x) =3(x − 1) − 4(2x + 2) − 12

12=

3x − 3 − 8x − 8 − 12

12=

−5x − 23

12= − 5

12x − 23

12

C(x) =x

3− 2

3− 3

2+

x

6+ 2 = x

(1

3+

1

6

)

+1

6(12 − 9 − 4) =

1

2x − 1

6

Exercice 2 : Développer et ordonner les expressions :A(x) = (x + 5)2 ; B(x) = (x − 3)2 ; C(x) = (x + 5)(2x − 1) ; D(x) = (x + 3)2 − (x + 2)2.

A(x) = x2 + 2 × x × 5 + 52 = x2 + 10x + 25 ; B(x) = x2 − 2 × x × 3 + 32 = x2 − 6x + 9 ;C(x) = 2x2 − x + 10x − 5 = 2x2 + 9x − 5 ; D(x) = x2 + 6x + 9 − (x2 + 4x + 4) = 2x + 5.

Exercice 3 : Développer et ordonner les expressions :A(x) = x(2x− 1)(−x + 3) ; B(x) = (3x + 1)2(−2x + 1)2 ; C(x) = (2x− 3)(−2x + 1)(x− 5).

A(x) = x(−2x2 + 6x + x − 3) = −2x3 + 7x2 − 3x

B(x) = (9x2 + 6x + 1)(4x2 − 4x + 1)

= 36x4 − 36x3 + 9x2 + 24x3 − 24x2 + 6x + 4x2 − 4x + 1

= 36x4 − 12x3 − 11x2 + 2x + 1

134

C(x) = (−4x2 + 2x + 6x − 3)(x − 5) = (−4x2 + 8x − 3)(x − 5)

= −4x3 + 20x2 + 8x2 − 40x − 3x + 15

= −4x3 + 28x2 − 43x + 15

Exercice 4 : Développer les expressions :a) (2x−y)(−2x+y) ; b) (3x+y)(−2y +x) ; c) (2x−y)(−2x+y)(x−y) ; d) (x+2y)(2x−y)2.

(2x − y)(−2x + y) = −4x2 + 2xy + 2xy − y2 = −4x2 + 4xy − y2

(3x + y)(−2y + x) = −6xy + 3x2 − 2y2 + xy = 3x2 − 5xy − 2y2

(2x − y)(−2x + y)(x − y) = (−4x2 + 4xy − y2)(x − y)

= −4x3 + 4x2y − xy2 + 4x2y − 4xy2 + y3

= −4x3 + 8x2y − 5xy2 + y3

(x + 2y)(2x − y)2 = (x + 2y)(4x2 − 4xy + y2)

= 4x3 − 4x2y + xy2 + 8x2y − 8xy2 + 2y3

= 4x3 + 4x2y − 7xy2 + 2y3

Exercice 5 : Développer les expressions :a) (x + y − z)2 ; b) (x + y + z)(x + y − z) ; c) (x + y + z)(x + y − z)(x − y − z).

(x + y − z)2 = (x + y)2 − 2(x + y)z + z2 = x2 + 2xy + y2 − 2xz − 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy − 2xz − 2yz

(x + y + z)(x + y − z) = (x + y)2 − z2 = x2 + 2xy + y2 − z2

= x2 + y2 − z2 + 2xy

(x + y + z)(x + y − z)(x − y − z) = (x2 + y2 − z2 + 2xy)(x − y − z)

= x3 − x2y − x2z + xy2 − y3 − y2z

−xz2 + yz2 + z3 + 2x2y − 2xy2 − 2xyz

= x3 − y3 + z3 + x2y − x2z − xy2 − xz2 − y2z + yz2 − 2xyz

Exercice 6 : Développer les expressions :A(x) =

(x−12

)2+ x

(x+43

); B(x) =

(2x−1

3

) (2x+1

3

)− 1.

A(x) = x2−2x+14

+ x2+4x3

= 3x2−6x+3+4x2+16x12

= 712

x2 + 56x + 1

4.

B(x) = 4x2−19

− 1 = 49x2 − 10

9.

135

3.2 Factoriser une expression

Exercice 7 : Factoriser les expressions suivantes, en reconnaissant lefacteur commun :A(x) = (x − 3)(2x + 1) − (5x + 2)(x − 3) ; B(x) = (2x + 7)(x + 2) + (x + 2) ;C(x) = (x − 2)(5x + 1) + 3(2x − 4)(8x − 5) ; D(x) = (2x − 1)(3x − 2) + 7(4 − 8x)(x + 5).

A(x) = (x − 3)[(2x + 1) − (5x + 2)] = (x − 3)(−3x − 1) ;B(x) = (x + 2)[(2x + 7) + 1] = (x + 2)(2x + 8) = 2(x + 2)(x + 4) ;C(x) = (x−2)(5x+1)+6(x−2)(8x−5) = (x−2)[(5x+1)+6(8x−5)] = (x−2)(53x−29) ;D(x) = (2x − 1)(3x − 2) − 28(2x − 1)(x + 5) = (2x − 1)[(3x − 2) − 28(x + 5)] = (2x −

1)(−25x − 142).

Exercice 8 : Factoriser les expressions :A(x) = 3(x + 1)2 − (x + 3)(2x + 2) ; B(x) = (3x − 2)(x + 1) − (6x − 4)(x + 3).

A(x) = 3(x + 1)2 − 2(x + 3)(x + 1) = (x + 1)[3(x + 1) − 2(x + 3)] = (x + 1)(x − 3) ;B(x) = (3x− 2)(x+1)− 2(3x− 2)(x+3) = (3x− 2)[(x+1)− 2(x+3)] = (3x− 2)(−x− 5).

Exercice 9 : Factoriser les expressions :A(x) = (5x − 3)2 − (5x − 3) ; B(x) = (4x + 7)2 + 4x + 7.

A(x) = (5x − 3)[(5x − 3) − 1] = (5x − 3)(5x − 4) ;B(x) = (4x + 7)[(4x + 7) + 1] = (4x + 7)(4x + 8) = 4(x + 2)(4x + 7).

Exercice 10 : Factoriser l’expression :A(x) = (x − 2)(4x − 1) + (1 − 4x)(x + 2).

A(x) = (x − 2)(4x − 1) − (4x − 1)(x + 2) = (4x − 1)[(x − 2) − (x + 2)] = −4(4x − 1).

Exercice 11 : Factoriser l’expression :A(x) = (2x − 3)2 + (x + 6)(3 − 2x) + 4x − 6.A(x) = (2x−3)2−(x+6)(2x−3)+2(2x−3) = (2x−3)[(2x−3)−(x+6)+2] = (2x−3)(x−7)

136

Chapitre 4

Géométrie

4.1 Droite graduée

Exercice 1 :1. On construit la figure 4.1.

0−2 31

P2B O M I A

C

P1

1, 5

4/3

8

FIG. 4.1 – Solution de l’exercice 1

2. Le milieuM du segment[AB] a pour abscisse

xM =xA + xB

2=

3 − 2

2= 0, 5.

On le porte sur la figure.3. Soit P un point de la droiteD. La distanced(P, A) est |xP − xA| = |xP − 3|. La distance

d(P, B) est|xP − xB| = |xP + 2|.TrouverP (ouxP , cela revient au même) revient à résoudre l’équation

|xP + 2| = 2|xP − 3|.Cette équation est équivalente àxP + 2 = 2(xP − 3) OU xP + 2 = −2(xP − 3).Ceci est encore équivalent àxP = 8 OU xP = 4/3.On appelle doncP1 le point d’abscisse4/3 etP2 le point d’abscisse8. On les porte tous deux sur

la figure.

137

Exercice 2 :1. Le système donné est équivalent à

x ≥ −5

4x ≤ −8

soit encore

x ≥ −5

x ≤ −2

soitx ∈ [−5,−2].2. La figure 4.2 montre d’abord les solutions de l’équationx ≥ −5, puis celles de l’équation

x ≤ −2, et enfin les solutions du système formé de ces deux inéquations.

IO

IO

IO

FIG. 4.2 – Résolution graphique du système d’inéquationsx ≥ −5 etx ≤ −2

Exercice 3 :Soitx le budget (en euros) d’Alice pour acheter des tomates.Si Alice achète uniquement des tomates rondes, elle peut acheter x/(1, 5) kilo. On déduit de

l’énoncé que

x

1, 5≥ 3

doncx ≥ 1, 5 × 3 = 4, 5.Si Alice achète uniquement des tomates branches, elle peut acheterx/(2, 5) kilo. On déduit de

l’énoncé que

x

2, 5< 2

doncx < 2, 5 × 2 = 5.Doncx ∈ [4, 5; 5[. Le budget d’Alice est supérieur ou égal à4, 5 et strictement inférieur à5.

138

4.2 Repères du plan

Exercice 4 :1. On trace la droite(AB) sur la figure 4.3.

B

A

M

C

D

J

O I

FIG. 4.3 – Solution de l’exercice 4

2. Le milieu M du segment[AB] a pour coordonnéesxM = xA+xB

2= 2+3

2= 5/2 et yM =

yA+yB

2= 3+2

2= 5/2. On le porte sur la figure.

3. On voit sur la figure queC a pour coordonnées(5, 0).4. On voit sur la figure queD a pour coordonnées(1, 4).5. On voit sur la figure queE n’est autre que le pointA de coordonnées(2, 3).

Exercice 5 :1. Dans le repère(O, I, J), le pointA a pour coordonnées(4,−2), le pointB a pour coordonnées

(−1,−2), le pointC a pour coordonnées(1, 2), le pointD a pour coordonnées(−2, 2), le pointE apour coordonnées(3, 1).

2. La distanceOK est deux fois la distanceOI. Plus précisément, l’abscisse deK dans le repère(O, I) de la droite(OI) est égale à2. L’abscisse deK dans le repère(O, K) de la droite(OI) estégale à1. En passant du repère(O, I) au repère(O, K), toutes les abscisses seront divisées par deux.

Regardons maintenant l’axe des ordonnées(OJ). La distanceOL est trois fois la distanceOJ .Plus précisément, l’abscisse deL dans le repère(O, J) de la droite(OJ) est égale à3. L’abscisse deL dans le repère(O, L) de la droite(OJ) est égale à1. En passant du repère(O, J) au repère(O, L),toutes les abscisses seront divisées par trois.

Au total, en passant du repère(O, I, J) au repère(O, K, L), les abscisses sont divisées par deuxet les ordonnées sont divisées par trois.

139

Dans le repère(O, K, L), le pointA a pour coordonnées(2,−2/3), le pointB a pour coordonnées(−1/2,−2/3), le pointC a pour coordonnées(1/2, 2/3), le pointD a pour coordonnées(−1, 2/3),le pointE a pour coordonnées(3/2, 1/3).

3. La seule différence entre les repères(O, I, J) et (O, J, I) est que les abscisses et les ordonnéessont interverties.

Donc, dans le repère(O, J, I), le pointA a pour coordonnées(−2, 4), le pointB a pour coordon-nées(−2,−1), le pointC a pour coordonnées(2, 1), le pointD a pour coordonnées(2,−2), le pointE a pour coordonnées(1, 3).

4. Les droites(OI) et (OJ) sont perpendiculaires donc le repère(O, I, J) est orthogonal.La droite(OK) est la droite(OI). La droite(OL) est la droite(OJ). Donc les droites(OK) et

(OL) sont perpendiculaires et le repère(O, K, L) est orthogonal.Les droites(OJ) est(OI) sont perpendiculaires donc le repère(O, J, I) est orthogonal.Il est clair que les droites(OC) et (OE) ne sont pas perpendiculaires (elles forment un angle

aigu). Donc le repère(O, C, E) n’est par orthogonal.5. La distanceOI est trois fois plus petite que la distanceJE. DoncOI = 1. De mêmeOJ = 1.

Donc le repère(O, I, J) est normé. Comme il est orthogonal, on déduit qu’il est orthonormé.6. La distanceOK est égale à2. Donc le repère(O, K, L) n’est pas normé. Et donc il n’est pas

orthonormé (bien qu’il soit orthogonal).

4.3 Distances, aires

Exercice 6 :1. La distanceOI est égale à1. Il est clair aussi que la distanceIK est égale à1. Pour calculer les

autres distances, on utilise la formule du cours :

d(K, E) = KE =√

(xE − xK)2 + (yE − yK)2 =√

(3 − 2)2 + (1 − 0)2 =√

2 ≈ 1, 41.

De même

d(C, E) = CE =√

(xE − xC)2 + (yE − yC)2 =√

(3 − 1)2 + (1 − 2)2 =√

5 ≈ 2, 24.

Et

d(C, A) = CA =√

(xA − xC)2 + (yA − yC)2 =√

(4 − 1)2 + (−2 − 2)2 = 5.

Et

d(B, D) = BD =√

(xD − xB)2 + (yD − yB)2 =√

(−2 + 1)2 + (2 + 2)2 =√

17 ≈ 4, 12.

Et

d(A, D) = AD =√

(xD − xA)2 + (yD − yA)2 =√

(−2 − 4)2 + (2 + 2)2 =√

52 ≈ 7, 21.

140

2. Pour savoir si le triangleAKE est rectangle enK, on utilise le théorème de Pythagore.On commence par calculer les trois distancesKA, KE etAE. On a

d(K, A) = AK =√

(xK − xA)2 + (yK − yA)2 =√

(2 − 4)2 + (0 + 2)2 =√

8.

Et

d(K, E) = KE =√

(xK − xE)2 + (yK − yE)2 =√

(2 − 3)2 + (0 − 1)2 =√

2.

Et

d(E, A) = AE =√

(xE − xA)2 + (yE − yA)2 =√

(3 − 4)2 + (1 + 2)2 =√

10.

Maintenant on demande si l’égalitéKE2+KA2 = AE2 est vraie. Cette égalité s’écrit2+8 = 10.Elle est donc clairement vraie.

Le triangleAKE est rectangle enK.

Exercice 7 :On commence par donner un nom à tous les sommets du polygoneBEJFGDC comme indiqué

sur la figure 4.4.

C

B

F

E

G

DJ

J

A I

FIG. 4.4 – Un calcul d’aire

La zone ombrée est obtenue en retranchant au rectangleAEFG le rectangleABCD et le triangleEFJ .

Donc l’aire de cette zone est l’aire du rectangleAEFG moins l’aire du rectangleABCD moinsl’aire du triangleEFJ .

L’aire du rectangleAEFG estAE × EF = 10 × 8 = 80.L’aire du rectangleABCD estAB × BC = 6 × 4 = 24.L’aire du triangleEFJ est le demi produit de la baseEF = 8 par la hauteur2. Donc l’aire du

triangleEFJ est(8 × 2)/2 = 8.Au total, l’aire de la zone ombrée vaut

80 − 24 − 8 = 48.

141

Exercice 8 :1. Si A = B alors l’inégalité à démontrer s’écrit

d(A, C) ≤ d(A, A) + d(A, C)

qui est vraie card(A, A) = 0.

Si B = C alors l’inégalité à démontrer s’écrit

d(A, B) ≤ d(A, B) + d(B, B)

qui est vraie card(B, B) = 0.

Si A = C alors l’inégalité à démontrer s’écrit

d(A, A) ≤ d(A, B) + d(B, A)

qui est vraie card(A, A) = 0 et le membre de droite est positif ou nul car c’est la somme de deuxdistances.

2. Les pointsA, B, C, D sont représentés sur la figure 4.5.

A B

CD

FIG. 4.5 – Inégalité triangulaire

3. Les coordonnées deA dans le repère(A, B, D) sont(0, 0). Celles deB sont(1, 0). Celles deCsont(xC , yC). On peut calculer les longueurs des cotés du triangleABC :

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 =√

(1 − 0)2 + (0 − 0)2 = 1.

Et

AC =√

(xC − xA)2 + (yC − yA)2 =√

x2C + y2

C .

Et

142

BC =√

(xC − xB)2 + (yC − yB)2 =√

(xC − 1)2 + y2C.

4. L’inégalité à démontrer

AC ≤ AB + BC (4.1)

s’écrit

√

x2C + y2

C ≤ 1 +√

(xC − 1)2 + y2C

qui est équivalente à

(√

x2C + y2

C

)2

≤(

1 +√

(xC − 1)2 + y2C

)2

(4.2)

car siu et v sont deux nombres réels positifs ou nuls alorsu ≤ v ⇔ u2 ≤ v2.L’inéquation (4.2) s’écrit

x2C + y2

C ≤ 1 + (xC − 1)2 + y2C + 2

√

(xC − 1)2 + y2C

ou encore

x2C + y2

C ≤ 1 + x2C − 2xC + 1 + y2

C + 2√

(xC − 1)2 + y2C


2xC ≤ 2 + 2√

(xC − 1)2 + y2C


xC − 1 ≤√

(xC − 1)2 + y2C. (4.3)

Comme les inéquations 4.2 et 4.3 sont équivalentes, il suffitde montrer que 4.3 est satisfaite.Notons que sixC − 1 est négatif, alors 4.3 est vraie car le membre de gauche est négatif et celui

de droite est positif ou nul.Supposons donc quexC − 1 est positif. Pour montrer 4.3 il suffit de montrer que

(xC − 1)2 ≤(√

(xC − 1)2 + y2C

)2


(xC − 1)2 ≤ (xC − 1)2 + y2C

qui est équivalente à0 ≤ y2

C .

Mais cette dernière inéquation est trivialement vraie pourtoute valeur deyC car le carré d’unnombre réel est toujours positif.

143

4.4 Approfondissement : Équations de droites et autres équa-

tions

Exercice 9 :1. Les coordonnées du pointD dans le repère(O, I, J) sont (−2, 2). Celles deJ sont (0, 1).

Cherchons l’équation de la droite(DJ). Cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées(OJ).Son équation est de la formey = ax + b. Il nous faut déterminera et b.

Puisque le pointD est sur la droite(DJ), ses coordonnées satisfont l’équation. Donc

2 = a × (−2) + b. (4.4)

De même, le pointJ est sur la droite(DJ), donc ses coordonnées satisfont l’équation. Ainsi

1 = a × 0 + b. (4.5)

Pour déterminera et b, on doit résoudre le système formé des équations (4.4) et (4.5) :

2 = −2a + b

1 = 0 × a + b

Ce système est équivalent à

2 = −2a + b

b = 1

et à

2 = −2a + 1

b = 1

et à

a = −1/2

b = 1

L’équation de la droite(DJ) esty = −0, 5 × x + 1.2. Maintenant, nous cherchons l’équation de la droite(DI).Les coordonnées du pointD dans le repère(O, I, J) sont(−2, 2). Celles deI sont(1, 0). Cher-

chons l’équation de la droite(DI). Cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées(OJ). Sonéquation est de la formey = ax + b. Il nous faut déterminera et b.

Puisque le pointD est sur la droite(DI), ses coordonnées satisfont l’équation. Donc

2 = a × (−2) + b. (4.6)

De même, le pointI est sur la droite(DI), donc ses coordonnées satisfont l’équation. Ainsi

0 = a × 1 + b. (4.7)

144


2 = −2a + b

0 = a + b


2 = −2a + b

a + b = 0

et à

b = 2a + 2

a + (2 + 2a) = 0

et à

b = 2a + 2

3a = −2

et à

a = −2/3

b = 2/3

L’équation de la droite(DI) esty = −(2/3) × x + 2/3.3. Les droites(DI) et (DJ) sont différentes (par exemple elles n’ont pas le même coefficient

directeur). Donc les pointsD, I etJ ne sont pas alignés.4.Pour savoir siK appartient à(DJ) on remplacex ety par les coordonnées deK dans l’équation

de cette droite. On fait doncx = 2 et y = 0 dans l’équationy = −0, 5 × x + 1 et on obtient0 = −0, 5 × 2 + 1 qui est une égalité vraie. DoncK ∈ (DJ) et les trois pointsD, J , K sont alignés.

Exercice 10 :1. Cherchons l’équation de la droite(AB). Cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées

(OJ) carxA 6= xB. Son équation est de la formey = ax + b. Il nous faut déterminera et b.Puisque le pointA est sur la droite(AB), ses coordonnées satisfont l’équation. Donc

yA = a × xA + b. (4.8)

De même, le pointB est sur la droite(AB), donc ses coordonnées satisfont l’équation. Ainsi

yB = a × xB + b. (4.9)


yA = axA + b

yB = axB + b


145

b = yA − axA

yB = axB + yA − axA

et à

b = yA − axA

yB − yA = a(xB − xA)

et à

a = yB−yA

xB−xA

b = yA − xAyB−yA

xB−xA

carxB 6= xA.On voit que le coefficient directeur de(AB) est

a =yB − yA

xB − xA

.

2. Les coordonnées deD sont(−2, 2). Celles deJ sont(0, 1). Donc le coefficient directeur de(DJ) est

1 − 2

0 − (−2)=

−1

2.

Exercice 11 :1. Le cercleC est l’ensemble des pointsP du plan tels queAP = 5. Appelons(x, y) les coordon-

nées deP . La conditionAP = 5 est équivalente àAP 2 = 25 soit encore à(x−xA)2+(y−yA)2 = 25.CommexA = 3 etyA = 4, le cercleC a pour équation

(x − 3)2 + (y − 4)2 = 25

que l’on peut développer en

x2 + y2 − 6x − 8y + 9 + 16 − 25 = 0

soitx2 + y2 − 6x − 8y = 0.

2.L’origine O a pour coordonnées(0, 0). En remplaçantx ety par0 et0 dans l’équation ci-dessus,on obtient l’égalité0 = 0 qui est vraie. Donc l’origineO appartient au cercle.

Exercice 12 :

1. Le système

y = 2x − 4

y = 2x + 5est équivalent à

y = 2x − 4

2x − 4 = 2x + 5soit

y = 2x − 4

−4 = 5qui n’a

évidemment pas de solutions car−4 6= 5.2.Si un pointP de coordonnées(x, y) appartient àD et àD′ alorsx ety sont solution du système

étudié à la précédente question. Comme ce système n’admet aucune solution, on déduit queD etD′

ne se rencontrent pas. Donc elles sont parallèles.

146

Exercice 13 :CommeD n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle admet une équation de la formey = ax+b

aveca et b réels eta est le coefficient directeur deD. De mêmeD′ a une équationy = a′x + b′.L’intersection deD etD′ est l’ensemble des pointsP de coordonnées(x, y) satisfaisant le système

y = ax + b

y = a′x + b′

qui est équivalent à

y = ax + b

ax + b = a′x + b′

soit

y = ax + b

x(a − a′) = b′ − b(4.10)

Si a − a′ est non nul alors ce système est équivalent à

x = b′−ba−a′

y = a b′−ba−a′

+ b

Donc il y a un unique point d’intersection entreD etD′. Ces deux droites sont sécantes. Elles nesont pas parallèles.

Supposons maintenant quea = a′. Le système 4.10 est équivalent à

y = ax + b

0 = b′ − b

Si b = b′ alorsD = D′ et les droites sont égales donc parallèles.Si b 6= b′ alors le système n’a pas de solution, doncD et D′ ne se rencontrent pas. Elles sont

parallèles.

Exercice 14 :1. Les pointsA, B et C sont deux à deux distincts car leurs abscisses sont distinctes. Ils sont

alignés si et seulement si les droites(AB) et (AC) sont parallèles. En vertu de l’exercice précé-dent, celà revient à dire que les coefficients directeurs de ces deux droites sont égaux. Le coefficientdirecteur de(AB) est

yB − yA

xB − xA

.

Celui de(AC) est

yC − yA

xC − xA

.

147

On obtient donc la condition nécessaire et suffisante

yB − yA

xB − xA

=yC − yA

xC − xA

pour queA, B etC soient alignés.2. On applique la condition ci-dessus aux trois pointsD, J et K de coordonnées respectives

(−2, 2), (0, 1) et (2, 0). On obtient l’égalité

1 − 2

0 − (−2)=

0 − 2

2 − (−2)

qui est vraie.

4.5 Approfondissement : Fonctions

Exercice 15 :1. La valeur absolue|x| est définie pour tout réelx. Donc l’ensemble de définition de la fonction

“valeur absolue” estR.2. Si x et y sont dans[2, 8] alors ils sont positifs donc|x| = x et |y| = y. Doncx ≤ y implique

|x| ≤ |y|. Donc la fonction “valeur absolue” est croissante sur l’intervalle[2, 8]. En particulier elle estmonotone sur cet intervalle. Cela se traduit par le fait que son graphe est ascendant sur cet intervalle.

Si x et y sont dans[−10, 0] alors ils sont négatifs donc|x| = −x et |y| = −y. Doncx ≤ yimplique |x| = −x ≥ −y = |y|. Donc la fonction “valeur absolue” est décroissante sur l’intervalle[−10, 0]. En particulier elle est monotone sur cet intervalle. Cela se traduit par le fait que son grapheest descendant sur cet intervalle.

Sur l’intervalle[−3, 3] la fonction “valeur absolue” n’est pas croissante car−3 ≤ 0 et |−3| ≥ |0|.Mais elle n’est pas décroissante non plus car0 ≤ 3 et |0| ≤ |3|. Donc elle n’est pas monotone surl’intervalle [−3, 3].

3. Sur l’intervalle[2, 8] la fonction est croissante. Donc pour toutx ∈ [2, 8], on a2 = |2| ≤ |x| ≤|8| = 8. Le maximum de la fonction “valeur absolue” sur[2, 8] est8. Le minimum de cette fonctionsur[2, 8] est2.

Sur l’intervalle [−10, 0] la fonction est décroissante. Donc pour toutx ∈ [−10, 0], on a10 =| − 10| ≥ |x| ≥ |0| = 0. Le maximum de la fonction “valeur absolue” sur[−10, 0] est 10. Leminimum de cette fonction sur[−10, 0] est0.

Pour étudier la fonction “valeur absolue” sur l’intervalle[−3, 3] on observe qu’elle est d’aborddécroissante sur l’intervalle[−3, 0] puis croissante sur l’intervalle[0, 3].

Donc le minimum est atteint en0 et c’est|0| = 0.Le maximum de la fonction sur[−3, 0] est | − 3| = 3 car la fonction est décroissante sur cet

intervalle. Le maximum de la fonction sur[0, 3] est |3| = 3 car la fonction est croissante sur cetintervalle.

Au total, le maximum de la fonction sur[−3, 3] est3.

148

Exercice 16 :1. Le repère utilisé dans la figure 4.4 est orthogonal car les deux axes sont perpendiculaires. Mais

il n’est pas normé car la graduation verticale est plus grande la graduation horizontale. Donc ce repèren’est pas orthonormé.

2. La racine carrée√

x est définie pour tout réelx positif ou nul. Donc l’ensemble de définitionde la fonction “racine carrée” estR+.

3. Si 0 ≤ x ≤ y alors√

x ≤ √y. Donc la fonction “racine carrée” est croissante surR+. Elle est

donc aussi croissante sur tout intervalle contenu dansR+.4. Sur l’intervalle[1, 4] la fonction “racine carrée” est croissante. Ainsi, pour tout x ∈ [1, 4], on

a 1 ≤ x ≤ 4 donc1 =√

1 ≤ √x ≤

√4 = 2. Donc le maximum de la fonction “racine carrée” sur

l’intervalle [1, 4] est2 et son minimum est1.5. Cherchons une approximation de

√2. Sur la figure 4.6, on trace la droite d’équationx = 2.

Elle coupe le graphe de la fonction “racine carrée” en un point d’ordonnée comprise entre1, 4 et1, 5.Donc1, 4 ≤

√2 ≤ 1, 5.

Cherchons une approximation de√

5. Sur la figure 4.6, on trace la droite d’équationx = 5. Ellecoupe le graphe de la fonction “racine carrée” en un point d’ordonnée comprise entre2, 2 et 2, 3.Donc2, 2 ≤

√5 ≤ 2, 3.

149

FIG. 4.6 – Graphe de la fonction “racine carrée”

150

Chapitre 5

Archives

5.1 Un contrôle terminal

Voici le contrôle terminal posé l’an dernier.

151

Petit formulaire

Statistique

SoitX une variable quantitative dont les valeurs sont notées, dans l’ordre croissant,x1, x2, x3, ...,xk d’effectifs respectifsn1, n2, n3, ...,nk.

La moyennede X, notéeX, est la somme des valeurs prises parX divisée par la taille de lapopulation (notéeN).

Plus précisément, si chaque modalitéxi a pour effectifni, la moyenne est :

X =n1 × x1 + n2 × x2 + n3 × x3 + · · ·+ nk × xk

N.

La variancedeX, notée Var(X), est définie par :


N

ou encore

V ar(X) =n1 × x1

2 + n2 × x22 + n3 × x3

2 + · · ·+ nk × xk2

N− X2.

L’ écart type est la racine carrée de la variance.

⋆

Le taux de variation d’une quantité est l’accroissement divisé par la valeur initiale.Si VI est la valeur initiale etVF la valeur finale, alors l’accroissement estVF − VI et le taux de

variation est

T =VF − VI

VI

.

⋆ ⋆

Géométrie

Coordonnées du milieuM d’un segment[PQ] : xM =xP +xQ

2etyM =

yP +yQ

2.

Théorème de Pythagore :

Un triangleABC est rectangle enA si et seulement siAB2 + AC2 = BC2.

Application au calcul de distance entre deux points du plan :

d(P, Q) = PQ =√

(xQ − xP )2 + (yQ − yP )2

⋆ ⋆ ⋆

152

DAEU A (Mathématiques) Examen mai 2009

Durée : 3 heures.

Exercice 1 :QCM et questions courtes [4 points] (feuille à part, à rendre avec la copie)

Pour les exercices qui suivent, il est demandé de justifierles résultats trouvés.

Exercice 2 : [4 points] Expressions littérales et équations :

a) Développer et réduire l’expressionU = 8x(x2 + 2) − x2(4x + 2) − (2 − 3x)

b) Développer et réduire l’expressionV = 3(x + y)(1 − 2x) − (−x + y)(2y + x) + xy

c) Factoriser au maximum l’expressionW = (x + 2)(x − 3) − (x + 2) + (x + 2)2

d) Résoudre l’équation :x − 5 = 3x − 4

Exercice 3 : [6 points] Voici les résultats d’un devoir :

Notes sur 20 6 8 10 11 12 14 16 17 19

Effectifs 2 4 4 2 5 3 2 2 1

a) Quelle est la variable, son type ? Quel est le nombre d’élèves notés ?b) Déterminer les effectifs cumulés et la médiane. Quelle est sa signification ?c) Calculer le pourcentage des élèves ayant obtenu la note 12/20.d) Quel est le nombre d’élèves ayant eu au moins 10/20 ? Exprimer ce résultat en pourcentage.e) Calculer la note moyenne et l’écart-type de ce devoir (détailler dans un tableau).

Exercice 4 : [6 points] Dans le plan muni d’un repère orthonormé(O, I, J), gradué en cm, on donneles pointsA(−2; 6), B(−1; 2) etC(3; 3).

a) Déterminer par ses coordonnées le milieuM du segment[AB]

b) Calculer les distancesAB, AC etBC. Que peut-on dire du triangleABC ?c) Calculer l’aire du triangleABC.d) Vérifier que l’équation de la droite(BC) esty = 1

4x + 9

4.

e) Les pointsD(2;−1) etE(499; 127) sont-ils sur(BC) ?f) Représenter les pointsA, B, C, M , et les droites(OI), (OJ), (AB) et (BC).

153

Exercice 1 :[4 points] (feuille à rendre avec la copie)

Pour les questions de type QCM, entourer la ou les bonnes réponses.

1. Écrirea = 34− 9

5sous forme de fraction irréductible.a =

Ce nombre est-il a) entier ? b) décimal ? c) rationnel ? d) réel?

2. Calculer le PGCD des nombres 570 et 513.

3. Donner la valeur approchée par excès au centième de 15,8572.

4. Un commerçant augmente le prix d’un article de12% puis décide au bout d’un mois de baisser lenouveau prix de12%. Par rapport au prix initial, le prix final :

a) est inchangé ; b) a augmenté de1, 44% ; c) a diminué de1, 44% ; d) a diminué de0, 144%.

5. Je donne 25 euros afin de régler l’achat de 5 boîtes de sucre et on me rend 2 euros. Combien coûteune boîte de sucre ?

6. La distance de la Terre au Soleil est d’environ1, 5 × 108 kilomètres. Sachant que la lumièreparcourt3 × 105 kilomètres par seconde, combien faut-il de temps à la lumière émise par le Soleilpour atteindre la Terre ?

a) une demi-seconde ; b) environ cinquante seconde ; c) un peuplus de huit minutes ; d) un peumoins d’un quart d’heure.

7. CalculerT = −5+32×2+412×2+10

.

154

5.2 Un contrôle posé lors d’un regroupement

Voici un contrôle posé l’an dernier à l’occasion d’un regroupement. On donne le corrigé àla suite.

155

Université Toulouse 2, S.E.D.

D.A.E.U. A, année 2008-2009

Contrôle de mathématiques du 28 mars

⋆ ⋆ ⋆

Documents interdits. Calculatrice autorisée. On demande de justifier toutes les réponses. La no-tation tiendra le plus grand compte de la qualité de la rédaction. On trouvera ci-dessous un petitformulaire.

⋆ ⋆ ⋆

Petit formulaire

SoitX une variable quantitative dont les valeurs sont notées, dans l’ordre croissant,x1, x2, x3, ...,xk d’effectifs respectifsn1, n2, n3, ...,nk.

La moyennede X, notéeX, est la somme des valeurs prises parX divisée par la taille de lapopulation (notéeN).

Plus précisément, si chaque modalitéxi a pour effectifni, la moyenne est :

X =n1 × x1 + n2 × x2 + n3 × x3 + · · ·+ nk × xk

N.

On peut également calculer la moyenne lorsqu’on connaît la fréquencefi de chaque modalité

X = f1 × x1 + f2 × x2 + f3 × x3 + · · ·+ fk × xk.

La variancedeX, notée Var(X), est définie par :


Nou encore

V ar(X) =n1 × x1

2 + n2 × x22 + n3 × x3

2 + · · ·+ nk × xk2

N− X2.

– L’équivalence entre les deux formules n’est pas évidente.– La première formule permet de bien comprendre ce que mesurela variance : c’est la moyenne

des carrés des écarts à la moyenne, en particulier, c’est un nombrepositif.– La deuxième formule dit que la variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

L’ écart type est la racine carrée de la variance.

⋆

Le taux de variation d’une quantité est l’accroissement divisé par la valeur initiale.Si VI est la valeur initiale etVF la valeur finale, alors l’accroissement estVF − VI et le taux de

variation est

T =VF − VI

VI

.

⋆ ⋆ ⋆

156


vidu de la population, lavariable étudiée et letype de cette variable.1. On s’intéresse à la date d’admission des patients d’un hopital.2. On s’intéresse à l’âge légal de départ à la retraite dans les divers pays européens.3. On vérifie la date du dernier contrôle technique subi par les véhicules en circulation.4. On s’intéresse à la surface des appartements construits à Toulouse en 2008.5.On demande aux habitants de la région Aquitaine pour quelle liste ils vont voter aux prochaines

élections européennes.6. On s’intéresse au nombre d’étudiants inscrits dans chaque licence de l’université du Mirail.7.On relève le numéro d’immatriculation de toutes les voitures qui empruntent la rocade le 2 avril

entre 8 heures et midi.

Exercice 2 : Un opérateur téléphonique veut savoir si ses abonnés au téléphone portable sont satisfaitsde leur forfait. Il fait une enquête auprès de 300 abonnés au téléphone portable.

Le tableau 5.1 résume les réponses obtenues.

Forfait Ultra-Prime Forfait Super-Plus Total

Satisfait 150 50 200

Non satisfait 50 50 100

Total 200 100 300

TAB. 5.1 – Tableau croisé d’effectifs

1. Quelle est la population ? Qu’est-ce qu’un individu ? Quel est l’échantillon ? Quelles sont lesvariables en jeu ? leur type ?

2. Quel est l’effectif de la modalité “Satisfait” dans cet échantillon ?3. Calculer la fréquence correspondante.4. Calculer la fréquence de la modalité “Forfait Ultra-Prime”dans cet échantillon.5. Quel est le pourcentage de non-satisfaits dans l’échantillon.6. Calculer la proportion de non-satisfaits parmi les abonnésau forfait Ultra-Prime.7. Calculer la proportion de non-satisfaits parmi les abonnésau forfait Super-Plus.8. Calculer la proportion d’abonnés à chacun des deux forfaitsparmi les clients satisfaits.9. Calculer la proportion d’abonnés à chacun des deux forfaitsparmi les clients non-satisfaits.10. Parmi les 300 abonnés interrogés, quel pourcentage représentent les abonnés satisfaits au

forfait Ultra-Prime ?11.Selon vous, les deux forfaits donnent ils également satisfaction à leurs abonnés ?

Exercice 3 :Un médecin traitant note le nombre d’interventions chirurgicales déjà subies par ses patients. Il

obtient les résultats du tableau 5.2.1. Quelle est la population ? Qu’est ce qu’un individu ? Quelle est la variable étudiée ? Son type ?

Ses modalités ?2. Calculez la médiane.3. Calculez la moyenne.4. Calculer la variance et l’écart type.

157

Exercice 4 :Un concessionnaire automobile a vendu trente véhicules en janvier 2009. Les prix de ces trente

véhicules sont les suivants :8000 euros,10000 euros,10000 euros,16000 euros,20000 euros,10000euros,8000 euros,16000 euros,12000 euros,10000 euros,8000 euros,20000 euros,8000 euros,10000 euros,12000 euros,10000 euros,10000 euros,16000 euros,18000 euros,20000 euros,16000euros,18000 euros,10000 euros,12000 euros,12000 euros,14000 euros,10000 euros,10000 euros,16000 euros,14000 euros.

1. Quelle est la population ? Qu’est ce qu’un individu ? Quelle est la variable étudiée ? Son type ?Ses modalités ?

2. Calculez la médiane.3. Quel est le mode ?4. Calculez la moyenne.5. Calculer la variance et l’écart type.

Exercice 5 : On se préoccupe du temps d’attente des usagers d’un bureau deposte. Pendant lasemaine du 26 janvier on relève le temps d’attente de chaque usager et on obtient les résultats dutableau 5.3.

Aucun usager n’a attendu plus de 10 minutes.1. Quelle est la population ? La variable concernée ? Son type ? L’échantillon ?2. Calculer la médiane de cette variable.3. Calculer la moyenne de cette variable.4. Calculer sa variance, son écart type.

Exercice 6 :1. Un lecteur de DVD coûte 80 euros hors taxe. S’il est vendu en France, on lui applique un taux

de TVA de19, 6%. Quel est le prix TTC de ce lecteur en France ?2.Le même lecteur de DVD est vendu en Irlande. Le prix hors taxesest toujours de 80 euros, mais

le taux de TVA en Irlande est de21%. Quel est le prix TTC de ce lecteur en Irlande ?3. Le même lecteur de DVD est vendu au Royaume Uni. Le prix hors taxes est toujours de 80

euros. Le prix TTC est de 92 euros. Quel est le taux de TVA appliqué à ce lecteur au Royaume Uni ?

Nombre d’interventions Fréquence

Aucune 30 %

Une 30 %

Deux 20 %

Trois 10 %

Quatre 5 %

Cinq 5%

TAB. 5.2 – Nombre d’interventions

158

Exercice 7 :1. Il y avait 27000 étudiants inscrits à l’Université du Mirailpour l’année scolaire 2000/2001. Il

y avait 25000 étudiants inscrits à l’Université du Mirail pour l’année scolaire 2001/2002. Quel est letaux de variation entre l’année scolaire 2000/2001 et l’année scolaire 2001/2002 ?

2. Il y avait à nouveau 27000 étudiants inscrits à l’Universitédu Mirail pour l’année scolaire2002/2003. Quel est le taux de variation entre l’année scolaire 2001/2002 et l’année scolaire 2002/2003 ?

3. Quel est le taux de variation entre l’année scolaire 2000/2001 et l’année scolaire 2002/2003 ?

Exercice 8 : En 2007 j’ai dépensé 2000 euros de fioul pour chauffer ma maison.1. En 2008 le prix du fioul a augmenté de30% par rapport à 2007. Quelle sera ma facture de fioul

en 2008 si je consomme la même quantité de fioul qu’en 2007 ?2. Afin de limiter mes dépenses, j’ai diminué de30% ma consommation de fioul en 2008 par

rapport à 2007. Quelle a été ma facture de fioul en 2008 ?

Exercice 9 : Un importateur américain achète du Roquefort en France pourle revendre aux restau-rants de New York.

1. Le Roquefort arrive de France au prix de10 dollars le kilo. Pour faire entrer le Roquefort surle territoire Américain, l’importateur doit acquitter un droit de douane de100%. Au total, quel est leprix de revient d’un kilo de Roquefort ?

2. Suite à un différend commercial, les États-Unis triplent les droits de douane sur le Roquefort.Quel est le nouveau prix de revient d’un kilo de Roquefort ? Quel est le taux de variation de ce dernierprix ?

Exercice 10 : Supprimez les parenthèses et réduisez les expressions suivantes1. A = 2x − 3y + (2x − 2y) − (6x − 7y) ;2. B = −5a + (−2b + a) − (−a + b) ;3. C = 3 + ((5a − b) − (b − a)) + b ;4. D = 1 + 2x − (3 + 5x − y) + 3y ;5. E = 1 − (−(x − 1)) + 1.

Temps d’attente en minutesNombre d’usagers

[0 ;1[ 121

[1 ;3[ 122

[3 ;6[ 65

[6 ;10] 18

TAB. 5.3 – Temps d’attente

159

Exercice 11 : Développez et réduisez les expressions suivantes1. F = 3(a + 2b) − 5(2b − a) + (b − 2a) − (−a + b) ;2. G = 5(2 − x + y) − (−1 + x − 2y) + (x − 3) ;3. H = (2 − x)(x − 3) + (x − 5)(x − 1) + 3(2x − 1) ;4. I = (x − y)(2x + y) − (x + 2y)(−y + x) − y(x + y) ;5. J = (x + 2 + y)(1 − x) + (x − y)(1 + y) + x2 − y(x − 1) ;

Exercice 12 : Factorisez les expressions suivantes1. K = 2y(x + 2) − 3(x + 2) ;2. L = (a − 1)b − 2c(a − 1) ;3. M = 6(a + b)(a − 2b) + 5(a + 3b)(a + b) ;4. N = 5(x + 2)2 − (2x + 3)(x + 2) ;5. O = 6b + 6 + a(b + 1).

Exercice 13 : Résoudre les équations1. 3x − 9 = 0 ;2. 2x + 7 = 3x + 4 ;3. (x − 2) + 3(x − 1) = 2(x − 4) + 2x − 7 ;4.−(x − 2) + 2x + 5 = 5x − 2(3 + 2x) + 13 ;5. (x + 3)(x − 2) = (x − 5)(x + 6) ;

Exercice 14 : Dupont et Durand vont à Paris, chacun avec sa voiture. Dupontpart à 9h et Durandpart à 10h. Ils suivent le même itinéraire. Dupont roule à 100km/h et Durand roule à 120 km/h.

1. À quelle heure vont ils se croiser ?2. Quelle distance auront ils parcourue à ce moment là ?

Exercice 15 : Marie a deux enfants. L’aîné, Marc, est né quand elle avait 20ans. Le cadet, Olivier,est né deux ans plus tard.

Cette année, Marie remarque qu’elle a le même âge que ses deuxfils réunis : son âge est la sommedes âges de Marc et d’Olivier.

1. Quel âge a Marie cette année ?2. Quels âges ont Marc et Olivier cette année ?

160

Université Toulouse 2, S.E.D.

D.A.E.U. A, année 2008-2009

Corrigé du contrôle de mathématiques du 28 mars

⋆ ⋆ ⋆


vidu de la population, lavariable étudiée et letype de cette variable.1. On s’intéresse à la date d’admission des patients d’un hopital.Un individu est un patient de cet hopital. La population est l’ensemble des patients. On étudie la

variabledate d’admissiondu patient. C’est une variable qualitative ordinale.2. On s’intéresse à l’âge légal de départ à la retraite dans les divers pays européens.Un individu est un pays de l’union. La population est l’ensemble des pays de l’union. La variable

étudiée est l’âge légal de départ à la retraite dans le pays considéré. C’est une variable quantitative.3. On vérifie la date du dernier contrôle technique subi par les véhicules en circulation.Un individu est un véhicule en circulation. La population est l’ensemble des véhicules en circu-

lation. La variable étudiée est ladate du dernier contrôle technique. C’est une variable qualitativeordinale.

4. On s’intéresse à la surface des appartements construits à Toulouse en 2008.Un individu est un appartement construit à Toulouse en 2008.La population est l’ensemble des

appartements construits à Toulouse en 2008. La variable étudiée est lasurfacede l’appartement. C’estune variable quantitative.

5.On demande aux habitants de la région Aquitaine pour quelle liste ils vont voter aux prochainesélections européennes.

Un individu est un habitant de la région Aquitaine (un électeur en fait). La population est l’ensem-ble des électeurs. La variable étudiée est l’intention de vote. C’est une variable qualitative nominale.

6. On s’intéresse au nombre d’étudiants inscrits dans chaque licence de l’université du Mirail.Un individu est une licence du Mirail. La population est l’ensemble des licences du Mirail. La

variable étudiée est lenombre d’étudiants inscritsdans cette licence. C’est une variable quantitative.7.On relève le numéro d’immatriculation de toutes les voitures qui empruntent la rocade le 2 avril

entre 8 heures et midi.Un individu est une voiture qui emprunte la rocade le 2 avril entre 8 heures et midi. La population

est l’ensemble de ces voitures. La variable étudiée est lenuméro d’immatriculation. C’est une variablequalitative nominale.

161

Exercice 2 : Un opérateur téléphonique veut savoir si ses abonnés au téléphone portable sont satisfaitsde leur forfait. Il fait une enquête auprès de 300 abonnés au téléphone portable.

Le tableau 5.4 résume les réponses obtenues.1. Quelle est la population ? Qu’est-ce qu’un individu ? Quel est l’échantillon ? Quelles sont les

variables en jeu ? leur type ?Un individu est un abonné. La population est l’ensemble des abonnés de cet opérateur. L’échantil-

lon est constitué des 300 abonnés consultés. Les variables étudiées sont leforfait choisi(type qualitatifnominal) et lasatisfaction(type qualitatif nominal).

2. Quel est l’effectif de la modalité “Satisfait” dans cet échantillon ?C’est 200.3. Calculer la fréquence correspondante.C’est200/300 = 66, 67%.4. Calculer la fréquence de la modalité “Forfait Ultra-Prime”dans cet échantillon.C’est200/300 = 66, 67%.5. Quel est le pourcentage de non-satisfaits dans l’échantillon.C’est100/300 = 33, 33%.6. Calculer la proportion de non-satisfaits parmi les abonnésau forfait Ultra-Prime.C’est50/200 = 25%.7. Calculer la proportion de non-satisfaits parmi les abonnésau forfait Super-Plus.C’est50/100 = 50%.8. Calculer la proportion d’abonnés à chacun des deux forfaitsparmi les clients satisfaits.Parmi les satisfaits il y a150/200 = 75% d’abonnés au forfait Ultra-Prime et50/200 = 25%

d’abonnés au forfait Super-Plus.9. Calculer la proportion d’abonnés à chacun des deux forfaitsparmi les clients non-satisfaits.Parmi les insatisfaits il y a50/100 = 50% d’abonnés au forfait Ultra-Prime et50/100 = 50%

d’abonnés au forfait Super-Plus.10. Parmi les 300 abonnés interrogés, quel pourcentage représentent les abonnés satisfaits au

forfait Ultra-Prime ?C’est150/300 = 50%.11.Selon vous, les deux forfaits donnent ils également satisfaction à leurs abonnés ?Le forfait Ultra-Prime satisfait mieux ses abonnés (75% de satisfaits) que le forfait Super-Plus

(50% de satisfaits).

Exercice 3 :Un médecin traitant note le nombre d’interventions chirurgicales déjà subies par ses patients. Il

obtient les résultats du tableau 5.5.1. Quelle est la population ? Qu’est ce qu’un individu ? Quelle est la variable étudiée ? Son type ?

Ses modalités ?La population est l’ensemble des patients du médecin traitant. Un individu est un patient. La vari-

able étudiée est lenombre d’interventions chirurgicales déjà subiespar le patient. C’est une variablede type quantitatif. Ses modalités sont des nombres entiers(on trouve ici0, 1, 2, 3, 4, 5.)

2. Calculez la médiane.Les fréquences cumulées sont données dans le tableau 5.6.La médiane est donc1.3. Calculez la moyenne.

162

Forfait Ultra-Prime Forfait Super-Plus Total

Satisfait 150 50 200

Non satisfait 50 50 100

Total 200 100 300

TAB. 5.4 – Tableau croisé d’effectifs

Nombre d’interventions Fréquence

Aucune 30 %

Une 30 %

Deux 20 %

Trois 10 %

Quatre 5 %

Cinq 5%

TAB. 5.5 – Nombre d’interventions

.

Nombre d’interventions Fréquence Fréquence cumulée

Aucune 30 % 30%

Une 30 % 60%

Deux 20 % 80%

Trois 10 % 90%

Quatre 5 % 95%

Cinq 5% 100%

TAB. 5.6 – Fréquences et fréquences cumulées

163

4. Calculer la variance et l’écart type.On complète le tableau 5.7.La moyenne est1, 45.La moyenne des carrés est4, 05.La variance est4, 05 − (1, 45)2 ≈ 1, 95.L’écart type est

√1, 95 ≈ 1, 4.

Exercice 4 :Un concessionnaire automobile a vendu trente véhicules en janvier 2009. Les prix de ces trente

véhicules sont les suivants :8000 euros,10000 euros,10000 euros,16000 euros,20000 euros,10000euros,8000 euros,16000 euros,12000 euros,10000 euros,8000 euros,20000 euros,8000 euros,10000 euros,12000 euros,10000 euros,10000 euros,16000 euros,18000 euros,20000 euros,16000euros,18000 euros,10000 euros,12000 euros,12000 euros,14000 euros,10000 euros,10000 euros,16000 euros,14000 euros.

1. Quelle est la population ? Qu’est ce qu’un individu ? Quelle est la variable étudiée ? Son type ?Ses modalités ?

Un individu est une voiture vendue. La population est l’ensemble des voitures vendues par ceconcessionnaire en janvier 2009. La variable étudiée est leprix de la voiture. Cette variable est detype quantitatif. Les modalités sont des entiers (on trouveici 8000, 10000, 12000, 14000, 16000,18000, 20000.)

2. Calculez la médiane.On calcule les effectifs et les effectifs cumulés et on les porte dans le tableau 5.8.La médiane est donc12000 euros.3. Quel est le mode ?C’est la modalité de plus grand effectif. Donc c’est10000 euros.4. Calculez la moyenne.5. Calculer la variance et l’écart type.On complète de la tableau 5.9.La moyenne du prix est384

30= 12, 8 milliers d’euros.

La moyenne des carrés est5352/30 = 178, 4La variance est178, 4 − (12, 8)2 ≈ 14, 56L’écart type est

√14, 56 ≈ 3, 82 milliers d’euros.

Exercice 5 : On se préoccupe du temps d’attente des usagers d’un bureau deposte. Pendant lasemaine du 26 janvier on relève le temps d’attente de chaque usager et on obtient les résultats dutableau 5.10.

Aucun usager n’a attendu plus de 10 minutes.1. Quelle est la population ? La variable concernée ? Son type ? L’échantillon ?Un individu est un usager du bureau de poste. La population est l’ensemble des usagers. La vari-

able étudiée est le temps d’attente de cet usager. Son type est quantitatif. L’échantillon est formé detous les usagers qui se sont présentés au bureau de poste pendant la semaine du 26 janvier.

2. Calculer la médiane de cette variable.On calcule les effectifs cumulés dans le tableau 5.11.Or 326/2 = 163. Donc la médiane est dans l’intervalle[1; 3[.3. Calculer la moyenne de cette variable.4. Calculer sa variance, son écart type.On complète le tableau 5.12.La moyenne est741

326≈ 2, 27 minutes.

La moyenne des carrés est2986,5326

≈ 9, 16.La variance est9, 16 − (2, 27)2 ≈ 4.L’écart type est

√4 = 2 minutes.

164

Nombre d’interventionsxi Fréquencefi xifi x2i fi

Aucune 30% 0 0

Une 30% 0, 3 0, 3

Deux 20% 0, 4 0, 8

Trois 10% 0, 3 0, 9

Quatre 5% 0, 2 0, 8

Cinq 5% 0, 25 1, 25

Total 100% 1, 45 4, 05

TAB. 5.7 – Calcul de la moyenne et de la variance

Prix en milliers d’euros Effectif Effectif cumulé

8 4 4

10 10 14

12 4 18

14 2 20

16 5 25

18 2 27

20 3 30


Prix en milliers d’eurosxi Effectif ni nixi nix2i

8 4 32 256

10 10 100 1000

12 4 48 576

14 2 28 392

16 5 80 1280

18 2 36 648

20 3 60 1200

Total 30 384 5352


165

Temps d’attente en minutesNombre d’usagers

[0 ;1[ 121

[1 ;3[ 122

[3 ;6[ 65

[6 ;10] 18

TAB. 5.10 – Temps d’attente

Temps d’attente en minutesEffectif Effectif cumulé

[0 ;1[ 121 121

[1 ;3[ 122 243

[3 ;6[ 65 308

[6 ;10] 18 326


Temps d’attentexi Effectif ni nixi nix2i

0, 5 121 60, 5 30, 25

2 122 244 488

4, 5 65 292, 5 1316, 25

8 18 144 1152

Total 326 741 2986, 5


166

Exercice 6 :1. Un lecteur de DVD coûte 80 euros hors taxe. S’il est vendu en France, on lui applique un taux

de TVA de19, 6%. Quel est le prix TTC de ce lecteur en France ?Le prix TTC est80 × (1 + 0, 196) = 95, 68 euros.2.Le même lecteur de DVD est vendu en Irlande. Le prix hors taxesest toujours de 80 euros, mais

le taux de TVA en Irlande est de21%. Quel est le prix TTC de ce lecteur en Irlande ?Le prix TTC est80 × (1 + 0, 21) = 96, 8 euros.3. Le même lecteur de DVD est vendu au Royaume Uni. Le prix hors taxes est toujours de 80

euros. Le prix TTC est de 92 euros. Quel est le taux de TVA appliqué à ce lecteur au Royaume Uni ?Le taux est92−80

80= 15%.

Exercice 7 :1. Il y avait 27000 étudiants inscrits à l’Université du Mirailpour l’année scolaire 2000/2001. Il

y avait 25000 étudiants inscrits à l’Université du Mirail pour l’année scolaire 2001/2002. Quel est letaux de variation entre l’année scolaire 2000/2001 et l’année scolaire 2001/2002 ?

Le taux de variation entre 2000/1 et 2001/2 est25000−2700027000

= −7, 4%.2. Il y avait à nouveau 27000 étudiants inscrits à l’Universitédu Mirail pour l’année scolaire

2002/2003. Quel est le taux de variation entre l’année scolaire 2001/2002 et l’année scolaire 2002/2003 ?Le taux de variation entre 2001/2 et 2002/3 est27000−25000

25000= +8%.

3. Quel est le taux de variation entre l’année scolaire 2000/2001 et l’année scolaire 2002/2003 ?Le taux de variation entre 2000/1 et 2002/3 est0.

Exercice 8 : En 2007 j’ai dépensé 2000 euros de fioul pour chauffer ma maison.1. En 2008 le prix du fioul a augmenté de30% par rapport à 2007. Quelle sera ma facture de fioul

en 2008 si je consomme la même quantité de fioul qu’en 2007 ?Je paierai2000 × 1, 3 = 2600 euros de fioul si je consomme la même quantité qu’en 2007.2. Afin de limiter mes dépenses, j’ai diminué de30% ma consommation de fioul en 2008 par

rapport à 2007. Quelle a été ma facture de fioul en 2008 ?Si je diminue de30% ma consommation je ne paierai que2600 × 0, 7 = 1820 euros.

Exercice 9 : Un importateur américain achète du Roquefort en France pourle revendre aux restau-rants de New York.

1. Le Roquefort arrive de France au prix de10 dollars le kilo. Pour faire entrer le Roquefort surle territoire Américain, l’importateur doit acquitter un droit de douane de100%. Au total, quel est leprix de revient d’un kilo de Roquefort ?

Un kilo de Roquefort revient à10 dollars plus10 dollars de taxes soit20 dollars.2. Suite à un différend commercial, les États-Unis triplent les droits de douane sur le Roquefort.

Quel est le nouveau prix de revient d’un kilo de Roquefort ? Quel est le taux de variation de ce dernierprix ?

Les droit de douane sont triplés. Donc il faut maintenant payer 30 dollars par kilo de Roquefortaux douanes. Le prix de revient du kilo est donc de10 + 30 = 40 dollars.

Le prix de revient du kilo est passé de20 à 40 donc le taux de variation est40−2020

= 1 soit 100%d’augmentation.

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Exercice 10 : Supprimez les parenthèses et réduisez les expressions suivantes1. A = 2x − 3y + (2x − 2y) − (6x − 7y) ;A = 2x − 3y + 2x − 2y − 6x + 7y = −2x + 2y2. B = −5a + (−2b + a) − (−a + b) ;B = −5a − 2b + a + a − b = −3a − 3b3. C = 3 + ((5a − b) − (b − a)) + b ;C = 3 + 5a − b − b + a + b = 6a − b + 34. D = 1 + 2x − (3 + 5x − y) + 3y ;D = 1 + 2x − 3 − 5x + y + 3y = −3x + 4y − 25. E = 1 − (−(x − 1)) + 1.E = 1 + x − 1 + 1 = x + 1

Exercice 11 : Développez et réduisez les expressions suivantes1. F = 3(a + 2b) − 5(2b − a) + (b − 2a) − (−a + b) ;F = 3a + 6b − 10b + 5a + b − 2a + a − b = 7a − 4b2. G = 5(2 − x + y) − (−1 + x − 2y) + (x − 3) ;G = 10 − 5x + 5y + 1 − x + 2y + x − 3 = 8 − 5x + 7y3. H = (2 − x)(x − 3) + (x − 5)(x − 1) + 3(2x − 1) ;H = 2x − 6 − x2 + 3x + x2 + 5 − 5x − x + 6x − 3 = 5x − 44. I = (x − y)(2x + y) − (x + 2y)(−y + x) − y(x + y) ;I = 2x2 − y2 − 2xy + xy + xy − x2 + 2y2 − 2xy − yx − y2 = x2 − 3xy5. J = (x + 2 + y)(1 − x) + (x − y)(1 + y) + x2 − y(x − 1) ;J = x + 2 + y − x2 − 2x − xy + x − y + xy − y2 + x2 − xy + y = −y2 − xy + y + 2

Exercice 12 : Factorisez les expressions suivantes1. K = 2y(x + 2) − 3(x + 2) ;K = (x + 2)(2y − 3) ;2. L = (a − 1)b − 2c(a − 1) ;L = (a − 1)(b − 2c) ;3. M = 6(a + b)(a − 2b) + 5(a + 3b)(a + b) ;M = (a + b)(6(a − 2b) + 5(a + 3b)) = (a + b)(6a − 12b + 5a + 15b) = (a + b)(11a + 3b) ;4. N = 5(x + 2)2 − (2x + 3)(x + 2) ;N = (x + 2)(5(x + 2) − (2x + 3)) = (x + 2)(5x + 10 − 2x − 3) = (x + 2)(3x + 7) ;5. O = 6b + 6 + a(b + 1).O = (b + 1)(6 + a).

Exercice 13 : Résoudre les équations1. 3x − 9 = 0 ;3x = 9 donc une seule solutionx = 9

3= 3.

2. 2x + 7 = 3x + 4 ;−x = −3 donc une seule solutionx = −3

−1= 3.

3. (x − 2) + 3(x − 1) = 2(x − 4) + 2x − 7 ;0.x = −10 donc il n’y a pas de solution.4.−(x − 2) + 2x + 5 = 5x − 2(3 + 2x) + 13 ;0.x = 0 donc tous les nombres réels sont solution.5. (x + 3)(x − 2) = (x − 5)(x + 6) ;0.x2 + 0.x = −24 donc il n’y a pas de solution.

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Exercice 14 : Dupont et Durand vont à Paris, chacun avec sa voiture. Dupontpart à 9h et Durandpart à 10h. Ils suivent le même itinéraire. Dupont roule à 100km/h et Durand roule à 120 km/h.

1. À quelle heure vont ils se croiser ?2. Quelle distance auront ils parcourue à ce moment là ?Soit t le temps écoulé (en heures) depuis le départ de Dupont lorsqu’il est rattrapé par Durand.Dupont a parcourut× 100 kilomètres. Durand a roulé une heure de moins que Dupont. Donc il a

parcouru(t − 1) × 120 kilomètres.Puisqu’ils se retrouvent au même endroit, on a l’équation

100t = 120(t − 1).

On résout cette équation et on trouve20t = 120 donct = 12020

= 6.Donc Dupont et Durand se croisent6 heures après le départ de Dupont c’est-à-dire à15 heures.

Ils ont alors parcouru600 kilomètres.

Exercice 15 : Marie a deux enfants. L’aîné, Marc, est né quand elle avait 20ans. Le cadet, Olivier,est né deux ans plus tard.

Cette année, Marie remarque qu’elle a le même âge que ses deuxfils réunis : son âge est la sommedes âges de Marc et d’Olivier.

1. Quel âge a Marie cette année ?2. Quels âges ont Marc et Olivier cette année ?Appelonsx l’âge de Marc cette année.L’âge de Marie est20 + x.L’âge d’Olivier estx − 2.On a donc20 + x = x + (x − 2).On résout cette équation et on trouvex = 22.Donc Marc a22 ans. Olivier a20 ans et Marie a42 ans.

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