Devoir surveillé 10

Des appareils de Ruhmkor� chez Jules Vernes ; le galvanomètre, un

appareil de mesure à cadre mobile

Durée : 2h

Samedi 23 juin

Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Néanmoins, le candidat prendra soin de tourner 7 fois son stylo dans sa bouche et de véri�er que l'erreur ne vient pas

de lui.

LES CALCULATRICES SONT AUTORISÉES.Le sujet comporte 2 exercices indépendants.

MPSI Devoir surveillé 10 - Induction et conversion électromécanique du puissance 2017-2018

1 Des appareils de Ruhmkor� chez Jules Vernes

Jules Verne utilise dans ses romans les dernières innovations technologiques de son temps. Ainsi, dans� Voyage au centre de la Terre �, les explorateurs utilisent des lampes à décharge alimentées par desappareils de Ruhmkor� (documents 1 et 4), conçus par Heinrich Ruhmkor� vers 1850.Cette partie est consacrée à l'étude de ce type d'appareil, dont le fonctionnement est basé sur le phénomèned'induction (documents 2 et 3).

DOCUMENT 1 : texte de Jules Verne et photo d'une reconstitution de la lanterne(site http://www.j-verne.de/verne_technik01_1)

� Les instruments comprenaient [...] deux appareils de Ruhmkor�. L'appareil de M. Ruhmkor�consiste en une pile de Bunsen, mise en activité au moyen du bichromate de potasse qui ne donneaucune odeur. Une bobine d'induction met l'électricité produite par la pile en communicationavec une lanterne d'une disposition particulière ; dans cette lanterne se trouve un serpentin deverre où le vide a été fait, et dans lequel reste seulement un résidu de gaz carbonique ou d'azote.Quand l'appareil fonctionne, ce gaz devient lumineux en produisant une lumière blanchâtre etcontinue. �

DOCUMENT 2 : machine de Ruhmkor� (Cours de Physique de H. Gossin, 1892

Fondé sur l'induction volta-électrique, l'appareil de Ruhmkor� se compose d'une bobine isolantesur laquelle se trouvent enroulés deux �ls, l'un gros communiquant avec la pile, c'est le cir-cuit primaire, l'autre �n dans lequel doit circuler le courant induit, c'est le circuit secondaire;ce dernier atteint, dans certains appareils, une longueur de 150000 m et se trouve superposéà l'autre. On obtient les courants induits en établissant dans l'inducteur des interruptionssuccessives.

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Pour déterminer la valeur de l'inductance L1 de la bobine de l'enroulement primaire, celle-ci est montéeen série avec un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance R. Le circuit ainsiconstitué est alimenté par un générateur de basses fréquences (GBF) délivrant une tension sinusoïdale.On note e(t) = Em cos(ωt) la force électromotrice du GBF et i(t) = Im cos(ωt+ϕ) l'intensité du courantélectrique le traversant (en convention générateur). L'inductance du circuit est L1 , la capacité C et larésistance totale du circuit Rtot.On notera i(t) la grandeur complexe associée à i(t) :

i(t) = Im exp(jωt) = Im exp(jϕ) exp(jωt).

1.1 Faire le schéma électrique du circuit. Établir la relation entre Em et Im. En déduire l'expression del'amplitude Im de i(t).

1.2 Établir l'expression de la pulsation ω0 à la résonance en amplitude de i(t).

1.3 Proposer un protocole expérimental permettant de déterminer la valeur de l'inductance L1. Quellespeuvent être les sources d'erreurs in�uant sur la précision de la valeur obtenue ?

DOCUMENT 3 : schéma électrique modélisant l'appareil de Ruhmkor�

Une pile au bichromate de potassium délivre une tension continue de valeur 2 V ; elle estmodélisée par l'association série d'une source idéale de tension de force électromotrice e et d'unrésistor de résistance r.Pour ioniser le gaz à l'intérieur de la lanterne, une tension de plusieurs milliers de volts peutêtre nécessaire.Pour générer une telle tension, on utilise un appareil de Ruhmkor� qui est un transformateurélévateur de tension. Le transformateur est caractérisé par ses coe�cients d'inductances, L1

est l'inductance propre du primaire, L2 celle du secondaire et M est le coe�cient d'inductancemutuelle avec |M | <

√L1L2. La tension u2 est appliquée aux bornes de la lanterne;

Dans un premier temps la lanterne est éteinte, donc i 2 (t) = 0 A , et l'interrupteur K est ouvert.

1.4 La tension u1(t) possédant la valeur U0 depuis longtemps, on ferme l'interrupteur K à l'instantt = 0, u1 passe alors instantanément de U0 à 0 V. Déterminer l'expression de i1(t) pour t > 0.

1.5 Déterminer l'expression de u2(t) pour t > 0 et montrer que la relation donnant la valeur maximale

|U2| de u2(t) est : |U2| =M

L1

U0. À quel instant est-elle obtenue ?

1.6 À quelle condition sur u2(t) la lanterne s'allume-t-elle ? En déduire la nécessité d'interruptionssuccessives à l'aide de l'interrupteur K.

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1.7 Résolution de problème : la réponse à cette question nécessite de l'initiative. Le candidat est invitéà consigner ses pistes de recherche et à y consacrer un temps su�sant. La qualité de la démarchechoisie et son explicitation seront évaluées tout autant que le résultat �nal.On suppose que la lanterne exposée sur la photo du document 1 contient du diazote sous faiblepression (quelques Pa). À l'aide des documents proposés dans cette partie, estimer la valeur del'inductance L2 de la bobine du circuit secondaire nécessaire à l'allumage de cette lanterne. Onprendra L1 = 5 mH. Commenter l'ordre de grandeur de la valeur de l'inductance L2 trouvée.

DOCUMENT 4 : courbe de Paschen donnant la tension de claquage en fonctiondu produit (pression du gaz × distance) entre les électrodes (Wikipedia) (1 Torr =133,3 Pa)

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2 Le galvanomètre : un appareil de mesure à cadre mobile

Attention, cet exercice est ancien. Certaines notations et certains schémas peuvent surprendre.

On considère une bobine plate de N spires rectangulaires de dimensions et d (�gures 1) pouvanttourner autour d'un axe �xe vertical Oz. Cette bobine est soumise à l'action de 2 ressorts spiraux quitendent à la ramener vers une position d'équilibre α = 0.

Le cadre est placé dans un champ magnétique ~B0 radial qui règne dans les entrefers formés par lespôles N et S d'un aimant permanent et un cylindre intérieur, ferromagnétique.

La norme ~B0 du vecteur ~B0 qui agit sur toute la longueur des côtés horizontaux du cadre, sera supposéeconstante dans le domaine de variation de α.

La position angulaire de la bobine est repérée à l'aide d'une aiguille solidaire du cadre mobile et quise déplace devant un cadran gradué.

Le cadre mobile de résistance R0 et d'inductance propre négligeable est parcourue par un courant i1qui passe par les ressorts spiraux, le cadre est en parallèle avec une résistance extérieure R traversée parle courant i2 ; on a i = i1 + i2.

2.1 Ecrire le théorème du moment cinétique appliqué au cadre mobile en mouvement, sous l'action ducouple dû à l'interaction entre le courant i 1 et ~B0 et du couple produit par le ressort spiral que l'onsupposera proportionnel à l'angle α.On note

• Φ0 = NldB0, homogène un �ux magnétique ;

• J le moment d'inertie du cadre mobile par rapport à l'axe Oz ;

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• D la constante de torsion du ressort spiral en N ·m · rad−1.

2.2 Montrer, en utilisant la loi de l'homme en couverture1 sur la maille formée par la bobine et larésistance R (�gures 1), que l'équation de mouvement du cadre mobile s'écrit sous la forme

Jd2αdt2

+ Adαdt

+Dα = γi

où i = i1 + i2 et exprimer A et γ en fonction de Φ0, R, R0.

2.3 On pose

λ =ω

ω0

; ω20 =

D

J; β =

A

2√DJ

avec ω0 =2π

T0

où T0 est la période propre du cadre mobile ; β est le facteur d'amortissement.En utilisant la notation complexe, montrer que pour i = I

√2 cos(ωt) la solution particulière de

l'équation de mouvement peut être mise sous la forme

αp(t) =Φ0R

D(R +R0)I√

2Ka(λ) cos(ωt−Ψ)

avec Ka(λ) est une grandeur sans dimension.Exprimer Ka et Ψ en fonction de λ et β.

2.4 La déviation αp pour un courant continu i = 10 mA est telle que αp = π6radian, en déduire

l'amplitude maximale αp,max pour un courant i = 10√

2 cos(ωt) (i en mA) ; ω = 2πf ; f = 50 Hz ;T0 = 2 s ; β = 1/4.

1un personnage facile pour �nir

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