Mathématiques - Cjoint.com · 2019. 1. 14. · Terminale STG Spécialités « mercatique », ... Imprimé au Cned - Institut de RENNES 7, rue du Clos Courtel 35050 RENNES CEDEX 9

Mathématiques

Rédaction

Philippe BARDY

Jean-Philippe BAURENS

Laurent ECHIVARD

Direction pédagogique

Jean-Michel LE LAOUÉNAN

Terminale STG

Spécialités « mercatique », « comptabilité et finance des entreprises », « gestion des systèmes d’information »

Devoirs 1 à 8

7-MA53-DVPA00-10

Devoirs

Ce cours a été rédigé et publié dans le cadre de l’activité du Centre National d’Enseignement à Distance, Institut de Rennes. Toute autre utilisation, notamment à but lucratif, est interdite.

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Référence : 7-MA53-DVPA00-10

Imprimé au Cned - Institut de RENNES 7, rue du Clos Courtel 35050 RENNES CEDEX 9

Devoir 01-MA53-10 7

evoir 01 à envoyer à la correction

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Important > La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur de code.

> Veuillez rédiger ce devoir après avoir étudié la séquence 1.

Exercice 1 - (4 points)

Cet exercice est de type QCM : pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher la réponse que vous pensez être exacte.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.

Vous répondrez en indiquant le numéro de la question, suivi de la lettre qui vous semble correspondre à la bonne réponse, sans justifications.

Le graphique ci-dessous donne l’indice CAC 40 lors d’une semaine boursière.

2550

2650Lundi

2600

2650

2700

2750

2800

2700Mardi

2695Mercredi

2775Jeudi

2780Vendredi

Cac 40

� Le taux d’évolution du CAC 40 du Lundi au Mardi, arrondi à 2 chiffres après la virgule, est de :

a. 0,89% b. 1,89% c. 18,9% d. 50%

� Le taux d’évolution du CAC 40 du Mardi au Mercredi, arrondi à 2 chiffres après la virgule est de :

a. 0,19% b. –1,9% c. –5% d. –0,19%

� Le taux d’évolution globale du CAC 40 du Lundi au Vendredi , arrondi à deux chiffres après la virgule est de :

a. 4,91% b. 4,68% c. 30% d. 0,47%

� Le taux moyen d’évolution du Lundi au Jeudi, arrondi à 2 chiffres après la virgule est de :

a. 8,33% b. 14,83% c. 1,55% d. 1,57%

8 Devoir 01-MA53-10


Un médicament voit sa consommation augmenter de 10% la première année, de 20% par an pendant 2 ans puis de 30% par an pendant 3 ans.

� Calculer le taux global de croissance au bout de 6 ans.

� Quel est le taux annuel moyen de croissance.


Une personne reçoit 50 000 € en héritage.

Le premier janvier 2002 elle a placé cette somme à intérêts composés au taux annuel de 6,25% pour une durée de 12 ans.

� De quelle somme dispose-t-elle au bout de 12 ans ?

� Une publicité faite par une autre banque annonce : « Gagnez de l’argent avec le placement « GÉNÉREUX » qui rapporte 100% en 12 ans ».

a) Ce placement est-il plus ou moins intéressant que le précédent ?

b) Déterminer le taux annuel moyen de ce placement qui est aussi un placement à intérêts composés.


� Une entreprise E a réalisé un chiffre d’affaires de 3 200 000 euros en 2004 et un chiffre d’affaires de 3 049 600 euros en 2005.

a) Calculer l’indice du chiffre d’affaires en 2005 par rapport au chiffre d’affaires en 2004 (pris comme base 100).

b) L’indice du chiffre d’affaires de l’entreprise E en 2006 par rapport au chiffre d’affaires en 2004 (pris comme base 100) est 102. Calculer le chiffre d’affaires de l’entreprise en 2006.

� Le tableau suivant donne les indices des bénéfices de l’entreprise E de 2000 à 2006, où le bénéfice de l’entreprise en 2000 est pris comme indice de base 100.

année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

indice 100 100,8 97,8 103,1 99 103,1 102,9

a) En quelle(s) année(s) l’entreprise E a-t-elle réalisé le bénéfice le plus important ? Déterminer, sous forme de pourcentage, le taux d’évolution du bénéfice en 2000 à ce bénéfice maximum.

b) En quelle(s) année(s) l’entreprise E a-t-elle réalisé le bénéfice le plus faible ? Déterminer, sous forme de pourcentage, le taux d’évolution du bénéfice en 2000 à ce bénéfice minimum.

c) Une entreprise F annonce que l’indice de son bénéfice en 2006 par rapport à son bénéfice en 2000 est 105. Peut-on en déduire que l’entreprise F a réalisé en 2006 un bénéfice plus important que l’entreprise E ?


Le tableau ci-dessous donne l’évolution du montant horaire brut du SMIC (Salaire minimum interprofessionnel de croissance) en France du 1er juillet 2000 au 1er juillet 2005.

Smic horaire brut en euros

1 juillet 2000 6,411 juillet 2001 6,671 juillet 2002 6,831 juillet 2003 7,191 juillet 2004 7,611 juillet 2005 8,03

Source : (INSEE : TEF 2005-2006)

Devoir 01-MA53-10 9

� Quel était le Smic horaire brut au 1er juillet 1999 sachant qu’il a augmenté entre le 1er juillet 1999 et le 1er juillet 2000 de 3,2 % ?

� Déterminer le taux d’évolution du Smic horaire brut entre le 1er juillet 2000 et le 1er juillet 2005.

� Si la croissance relative du Smic horaire brut avait été constante entre le 1er juillet 2000 et le 1er juillet 2005, quel aurait été le taux équivalent annuel d’évolution du Smic horaire brut pour obtenir le même niveau au 1 juillet 2005 ?

� On construit un tableau d’indices en prenant comme base 100 le 1er juillet 2000.

Recopier, puis compléter l’extrait de feuille de calcul ci-dessous. Donner des valeurs décimales arrondies au dixième.

A B C D E F G

1 Date 1/07/00 1 /07/01 1/07/02 1/07/03 1/07/04 1/07/05

2 Smic horaire brut

6,41 6,67 6,83 7,19 7,61 8,03

3 Indices 100 125,3

� Quelle formule, à recopier sur la plage D3:G3, peut-on entrer dans la cellule C3 ?

■

N’oubliez pas de joindre la notice individuelle que vous trouverez dans ce livret, avec le 1er devoir, pour leprofesseur correcteur.

Devoir 02-MA53-10 11






Pour chaque question, indiquer la ou les bonnes réponse. On ne demande pas de justification.

Vous répondrez en indiquant le n° de la question et la ou les lettres des bonnes réponses.

� On considère la fonction f définie pour tout réel x par : f(x) = 3x² – 6x + 1.

Une équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d’abscisse 2 est :

a. � y = 2x – 3 b. � y = 6x – 11 c. � y = 6x + 1

Pour les questions 2, 3 et 4 on utilisera le tableau de variation d’une fonction g définie et dérivable sur [– 12 ; 20] :

Valeurs de x – 12 – 5 7 20

Signe de g ’ (x) – 0 + 0 –Variation de g 7 0

–4 –6

� On peut dire que :

a. � g est positive sur [– 12 ; – 5] b. � g est positive sur [–5 ; 7] c. � g est négative ou nulle sur [– 5 ; 20]

� L’équation g(x) = 2 possède :

a. � une unique solution b. � aucune solution c. � on ne peut pas savoir

� On cherche à comparer g(0)et g(8) :

a. � g(0) < g(8) b. � g(0) > g(8) c. � on ne peut pas savoir


Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes.

� f x xx

x( ) = − +31

52 � g x x x x x( ) ( )( )= − + +2 3 23 4

� h xx

x( )

( )

( )= −

+7 13

4 52 � k x x x x( ) ( )= + + +34 3 2 13 4 (pour x > 0).

12 Devoir 02-MA53-10


Partie A

Soit f la fonction définie par : f(x) = – x3 + 27x² – 96x – 200 sur l’intervalle [0 ; 20] et C sa représentation graphique dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 2 unités sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 100 unités sur l’axe des ordonnées).

� a) Vérifier que, pour tout x de [0 ; 20], f ’(x) = – 3 (x – 2) (x – 16).

b) Étudier le signe de cette dérivée.

c) Dresser le tableau de variation complet de f.

d) Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 0 2 6 10 16 20

f(x)

� Tracer la représentation graphique C de la fonction f sur votre copie en respectant les unités.

Partie B

Une entreprise fabrique des pièces métalliques. La production journalière est comprise entre 0 et 20 000 pièces. On exprimera cette quantité produite, q, en milliers de pièces. Donc q ∈ [0 ; 20].

Les coûts de fabrication journaliers se répartissent comme suit :

- les charges fixes s’élèvent à 200 €,

- les charges de fabrication dépendent du nombre de pièces fabriquées. Pour une production journalière de q milliers de pièces ces charges de fabrication s’élèvent à (q² – 27q + 250) euros par millier de pièces fabriquées.

� Montrer que le coût total journalier de fabrication de q milliers de pièces, C(q), exprimé en euros, est égal à :

C(q) = q 3 – 27 q 2 + 250 q + 200.

� Chaque millier de pièces est vendu 154 €.

a) Déterminer la recette totale R(q) d’une journée, si toutes les pièces fabriquées sont vendues.

b) Exprimer le bénéfice B(q) réalisé lors de la vente des q milliers de pièces produites dans une journée.

c) Démontrer que l’équation B(q) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 20].

En utilisant la courbe C donner un encadrement de α par deux nombres entiers consécutifs.

A l’aide de la calculatrice, mais en donnant les résultats nécessaires, donner la valeur approchée par excès de α à 10–1 près. A quoi correspond cette valeur ?

d) Déterminer le nombre de pièces que l’entreprise doit produire dans une journée pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est alors ce bénéfice ?

�

N’oubliez pas d’envoyer la notice individuelle si vous ne l’avez pas jointe avec le 1er devoir.







Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j� �

, unité 1 cm.

� Tracer les droites D1 , D2 , D3 et D4 d’équation respective :

D1 : y = – 2 x + 5 ; D2 : y = − +2

33x ; D3 : x = 4 ; D4 : y = 3

� Déterminer graphiquement l’ensemble des points M ( x ; y ) dont les coordonnées vérifient le système :

y x

y x

x

y

≥ − +

≥ − +

≤ ≤≤ ≤

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

2 5

2

33

0 4

0 3

On hachurera la zone qui ne convient pas.

� Lire, sur le graphique, tous les couples à valeurs entières qui sont dans l’ensemble des solutions.

Exercice 2- (12 points)

Cet exercice comporte deux annexes.

Un atelier de couture fabrique pour un carnaval des costumes fantaisie, masculins ou féminins.

Puisqu’il y a trois ouvriers, l’atelier dispose pour cela d’au maximum 105 heures par semaine et de 84 mètres de tissu au maxi-mum.

Pour fabriquer un costume féminin, il faut 9 heures de travail et 10 mètres de tissu, pour fabriquer un costume masculin, il faut 14 heures de travail et 7 mètres de tissu.

Soit x le nombre de costumes féminins, et y celui des costumes masculins fabriqués en une semaine.

� a) Montrer que les nombres x et y doivent vérifier le système (S) suivant, avec x et y entiers :

9 14 105

10 7 84

0

0

x y

x y

x

y

+ ≤+ ≤

≥≥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(S)

b) On a représenté sur le graphique fourni en annexe 1 les droites d et d’ d’équation respective :

y x= − +9

14

15

2 et y x= − +10

712 .


En transformant les deux premières inéquations du système, montrer que ces droites permettent la résolution graphique du système (S). Résoudre alors graphiquement le système (S). (On hachurera les zones du plan qui ne conviennent pas).

c) À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

– l’atelier peut-il fabriquer 5 costumes féminins et 4 costumes masculins dans la semaine ?



� Un costume féminin est vendu 200 euros, un costume masculin 280 euros.

On suppose que toute sa production est vendue.

a) Exprimer en fonction de x et y le chiffre d’affaires R de l’atelier.

b) On utilise un tableur pour déterminer le couple ( ; )x y qui lui fournira le chiffre d’affaires maximum.

On donne en annexe 2 la feuille de calcul du chiffre d’affaire. Par exemple, la cellule E6 donne le chiffre d’affaires correspon-dant à la vente de 2 costumes féminins et 3 costumes masculins.

Pour remplir ce tableau, on a rentré les prix de vente dans les cellules B1 et F1, puis on a rentré une formule dans la cellule B4 et effectué un « copier-glisser » dans les autres cellules du tableau.

Donner la formule rentrée en B4.

c) Dans le tableau, certaines cellules correspondent à des valeurs de x et y que l’atelier ne peut pas produire simultanément (par exemple, il ne peut pas produire 7 costumes féminins et 6 costumes masculins ).

Barrer les cellules correspondant aux valeurs de x et y que l’atelier ne peut pas produire.

d) En déduire le chiffre d’affaires maximum possible, et indiquer les valeurs de x et y correspondantes.


Annexe 1

y

O

x

5

5 10 15

10

15

d'

d

Annexe 2

A B C D E F G H I J K

1 Prix d’un cost. fém. : 200 Prix d’un cost. m.: 280

2

3 x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8

4 0 0 280 560 840 1120 1400 1680 1960 2240

5 1 200 480 760 1040 1320 1600 1800 2160 2440

6 2 400 680 960 1240 1520 1800 2080 2360 2640

7 3 600 880 1160 1440 1720 2000 2280 2560 2840

8 4 800 1080 1360 1640 1920 2200 2480 2760 3040

9 5 1000 1280 1560 1840 2120 2400 2680 2960 3240

10 6 1200 1480 1760 2040 2320 2600 2880 3160 3440

11 7 1400 1680 1960 2240 2520 2800 3080 3360 3640

12 8 1600 1880 2160 2440 2720 3000 3280 3560 3840

x est le nombre de costumes féminins, et y celui des costumes masculins fabriqués en une semaine.

�







Une collectivité territoriale décide de réaliser un forage pour rechercher une nappe d’eau chaude permettant de chauffer des immeubles par géothermie. Le devis fourni par l’entreprise spécialisée indique qu’il y a des frais fixes d’un montant de 12 000 €, que le premier mètre de forage coûte 200 €, le deuxième 240 €, et ainsi de suite, chaque mètre supplémentaire coûtant 40 € de plus que le précédent.

On appelle Cn le coût du nième mètre de forage, frais fixes exclus.

� a) Calculer C1, C2, C3.

b) Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. Quelle est la nature de la suite (Cn) ? Sa raison ?

c) Calculer le coût de forage du 15e mètre.

� A quelle profondeur le coût de forage du mètre atteint-il 1 000 €.

� Quel est le coût total d’un forage de 30 m ?

� La collectivité territoriale a décidé de consacrer un budget de 60 000 € à ce forage.

A quelle profondeur pourra-t-on forer ? (on pourra utiliser la calculatrice, à condition de donner les résultats permettant de répondre à la question).


Une entreprise doit livrer 24 000 pièces au 31 décembre. Elle en a 2 000 en stock.

Elle prévoit d’en fabriquer un nombre N au mois de mars, et d’augmenter chaque mois de N cette quantité.

� Exprimer en fonction de N la quantité fabriquée en avril. Celle fabriquée en août.

� Déterminer la valeur minimale de N permettant de satisfaire la commande.


Le tableau ci-contre donne la population mondiale en millions d’habitants entre 1950 et 2000.

Année PopulationTaux d ‘évolution arrondi

à 0,1 %Population simulée

1950 2500 P0 = 2500

1960 3014 + 20,6 % P10 ≈ 1970 3683 + 22,2 % P20 ≈ 3572

1980 4453 P30 ≈

1990 5201 P40 ≈ 5103

2000 6080 P50 =


� Calculer les taux d’évolution de la population entre 1970 et 1980, entre 1980 et 1990 et entre 1990 et 2000 (on arrondira à 0,1 %).

� Calculer le taux d’évolution de la population entre 1950 et 2000.

En déduire le taux d’évolution décennal (sur 10 ans) moyen sur cette période (on arrondira à 0,1 %). Comparer avec les taux réels du tableau.

� On veut faire une simulation de l’évolution de la population mondiale. Pour cela on calcule le taux d’évolution annuel moyen correspondant au taux décennal précédent.

a) Montrer que ce taux est de 1,8 % d’augmentation par an (arrondi à 0,1 %).

b) On note Pn la population mondiale calculée avec ce taux annuel, n années après 1950.

Calculer P10, P30 et P50 (on fera les calculs exacts, et on arrondira à l’unité).

� Dans un de ses livres, Albert Jacquard affirme : « Un accroissement d’une population de 2 % par an peut sembler bien faible, il correspond pourtant à un doublement en 35 ans, donc à un quadruplement en 70 ans, à une multiplication par 7 en moins d’un siècle. »

a) Vérifier la première affirmation sur le doublement.

b) Avec le taux d’accroissement de 1,8 % par an, calculer P35. Y a-t-il doublement de la population en 35 ans ?

c) Combien d’années faut-il pour qu’il y ait doublement de la population avec 1,8 % d’augmentation par an ? (on pourra utiliser la calculatrice, à condition de donner les résultats permettant de répondre à la question).

� Toujours avec ce même taux, par combien est multipliée la population en un siècle ?


Un particulier emprunte 150 000 € et veut rembourser sur 15 ans au taux de 7,5 % par an.

� a) Il souhaite rembourser par annuités constantes, la première étant versée un an après l’emprunt.

Quelle sera la valeur de cette annuité ?

b) Il obtient de sa banque un décalage de remboursement d’une année. La première annuité sera versée deux ans après l’emprunt, et la dernière (la 15e) 16 ans après.

Quelle sera alors la valeur de cette annuité ?

� Il souhaite rembourser par 180 mensualités constantes, la première étant versée un mois après l’emprunt.

a) Calculer le taux mensuel équivalent au taux de 7,5 % par an.

b) Quelle sera la valeur de cette mensualité ? ■







Soit la fonction f définie sur [0,5 ; 12] par f x xx

x( ) ln( )= − − +45

2 .

� On désigne par f ’ la dérivée de f sur [0,5 ; 12].

a. Calculer f ’(x )

b. Montrer que f xx x

x'( )

( )( )= − +5 12

pour tout x de [ 0,5 ; 12 ].

c. Etudier le signe de f ’(x) puis dresser le tableau de variations de f .

� a. Montrer que l’équation f x( ) = 0 admet 2 solutions sur [0,5 ; 12].

b. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les valeurs décimales de f x( ) arrondies à 10 – 2 près.

x 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

f x( )

c. En déduire un encadrement à 0,1 près de la plus petite des solutions de l’équation f x( ) = 0 .


� Soit Un( ) une suite numérique définie par U e

0= et U U

n n+ = ( )1

2 .

a. Calculer U U U1 2 3, , .

b. La suite Un( ) est-elle arithmétique ? Géométrique ?

� Soit Vn( ) une suite numérique définie par V U

n n= ( )ln .

a. Calculer V V V V0 1 2 3, , , .

b. Montrer que la suite Vn( ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c. Donner l’expression de Vn en fonction de n .

d. En déduire l’expression de Un

en fonction de n .



Partie A

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [ 0 ; 18 ] par f x x( ) ln( )= +2 1 .

On appelle c la courbe de la fonction f dans un repère orthogonal.(Unités : 1 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm sur l’axe des ordonnées)

� Montrer que f xx

'( ) =+

2

2 1 et étudier son signe pour tout x de [ 0 ; 18 ].

� Donner le tableau de variation de f .

� Déterminer une équation de la tangente T à la courbe c au point d’abscisse 0.

�Tracer la tangente T et la courbe c.

Partie B

Une entreprise construit une quantité x de maisons ( )0 18≤ ≤x dont le coût de production est donné par la formule

f x x( ) ln( )= +2 1 en millions d’euros.

Chaque maison est vendue au prix de 400 000 €.

� Montrer que le chiffre d’affaire pour la vente de x maisons est donné par :

g x x( ) ,= 0 4 millions d’euros.

� Tracer la représentation graphique de g dans le même repère que c.

� L’entreprise est elle bénéficiaire quand elle vend 5 maisons ? 15 maisons ?

� Lire graphiquement la quantité minimale de maisons que doit vendre l’entreprise pour être bénéficiaire. Vérifier par calcul.

■







Trois usines fabriquent des ampoules électriques. L’usine A en fabrique 20%, l’usine B 50% et l’usine C 30%.

La probabilité qu’une ampoule de l’usine A soit bonne est 0,9, celle qu’une ampoule de B le soit est 0,96 et celle qu’une ampoule de C soit bonne est 0,8.

On prend une ampoule au hasard.

� Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’usine A et soit bonne.

� Construire un arbre probabiliste traduisant la situation.

� Calculer la probabilité que l’ampoule soit bonne.

� Calculer la probabilité qu’elle provienne de l’usine A sachant qu’elle est bonne.

� Les évènements « l’ampoule est bonne » et « l’ampoule provient de A » sont-ils indépendants ?

� Les évènements « l’ampoule est bonne » et « l’ampoule provient de B » sont-ils indépendants ?


Autour d’une table de jeu se trouvent quatre joueurs dont un tricheur. On suppose que la probabilité pour un tricheur d’obtenir un as en tirant une carte dans un jeu de 52 cartes est égale à 1. Pour un non tricheur, le tirage se fait au hasard.

� On choisit au hasard un joueur qui tire une carte. Quelle est la probabilité que ce soit un as ?

� SI c’est un as qui est tiré, on exclut le joueur, car il paraît « qu’il y a 9 chance sur 10 que ce soit le tricheur ».

Cette affirmation est-elle vraie ?


� Deux tireurs A et B s’entraînent simultanément. La probabilité que A touche la cible est 0,8 et celle que B la touche est 0,875, les deux évènements étant indépendants.

a. Calculer la probabilité que A et B touchent tous deux la cible.

b. Construire un arbre probabiliste traduisant la situation.

c. Calculer la probabilité que A seul touche la cible.

d. Calculer la probabilité que la cible soit atteinte par au moins un des tireurs.

e. Calculer la probabilité que A touche la cible sachant que la cible est atteinte par au moins un des tireurs.


� Les deux tireurs A et B sont maintenant en compétition. A tire en premier et la probabilité qu’il touche la cible est 0,7. S’il réussit, la probabilité que B touche la cible est 0,75. Si A rate la cible, la probabilité que B la touche est 0,8.

a. Calculer la probabilité que A et B touchent tous deux la cible.

b. Construire un arbre probabiliste traduisant la situation.

c. Calculer la probabilité que A seul touche la cible.

d. Calculer la probabilité que la cible soit atteinte par au moins un des tireurs.

e. Calculer la probabilité que A touche la cible sachant que la cible est atteinte par au moins un des tireurs. ■






Exercice 1 - (8 points )

On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [–4 ; 3], et on note f ' la fonction dérivée de f .

La courbe représentative de f est la courbe Γ donnée ci-dessous.

On admet que la courbe Γ possède les propriétés suivantes :

• la courbe Γ passe par le point A(0 ; 5) ;• la tangente en A à la courbe Γ passe par le point B(–2 ; 4) ;• la courbe Γ admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 0,5.

0 1-1-2-3-4-5-6 2 3 4 5 6

x

y

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

Attention > Collez l’étiquette codée MA53 – DEVOIR 07 sur la 1re page de votre devoir. Si vous ne

l’avez pas reçue, écrivez le code MA53 – DEVOIR 07, ainsi que vos nom et prénom.




� Placer les points A et B et tracer la tangente en A à la courbe Γ .

� a. Déterminer f( )0 .

b. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f x( ) = 3 , et donner pour chaque solution un encadrement par deux entiers consécutifs.

� a. Déterminer f ' 0( ) .

b. Résoudre graphiquement l’équation f '( ) .x = 0 Justifier votre réponse.

c. Résoudre graphiquement l’inéquation f '( ) .x ≤ 0

� Dresser le tableau de variation de la fonction f .

� On admet qu’il existe deux réels a et b tels que pour tout x de [−4 ; 3], f( ) (ax b) , xx e= + 0 5 .

a. Calculer f '( )x en fonction de a , b et x .

b. Montrer que b = 5 et a = −2.

� Compléter le tableau de valeurs suivant, par des valeurs décimales arrondies à 10 3− près.

x 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94

f x( )

En déduire une valeur approchée à 10 2− près, de la solution positive de l’équation f x( ) = 3 .


Une entreprise fabrique et vend x centaines d’objets, pour des valeurs de x comprises dans l’intervalle [ ; ]2 6 .

On admet que le coût de fabrication, en fonction du nombre x , est donné par f x x e x( ) , , ,= + − +0 75 0 75 0 51 en milliers d’euros.

Chaque objet fabriqué est vendu 8 euros.

On note g x( ) le montant, en milliers d’euros, de la vente de x centaines d’objets. On a donc g x x( ) , .= 0 8

On suppose dans la suite que toute la production est écoulée, c’est à dire que chaque objet fabriqué est vendu.

� L’entreprise réalise-t-elle un profit lorsqu’elle fabrique (et vend) deux cents objets ? Six cents objets ?

� a. Déterminer f x'( ) puis étudier son signe.

b. Donner le tableau de variations de f pour x appartenant à [ ; ]2 6 .

c. Tracer la courbe C représentant f et la droite D représentant g dans un repère orthogonal.(Unités : 2 cm pour l’axe des abscisses, 2 cm pour l’axe des ordonnées)

d. Déterminer graphiquement la valeur α à 0,1 près, à partir de laquelle l’entreprise sera bénéficiaire.

� On appelle B x( ) le bénéfice réalisé par l’entreprise pour la vente de x centaines d’objets.

a. Montrer que B x x e x( ) , , ,= − − +0 05 0 75 0 51 .

b. A partir de quelle valeur de x a-t-on B x( ) ≥ 0 ? Justifier.

c. A l’aide de B x( ) et de tableaux de valeurs, donner une valeur de α à un objet près.Expliquer la méthode employée.



Un capital C1 de 10 000 € est placé à intérêts composés à un taux de 6,5 % l’an durant quatre ans et demi.

Un autre capital C2

de 10 000 € est placé idem à un taux annuel t durant cinq ans et neuf mois.

� Calculer le capital final acquis par le placement de C1 (à 10 – 2 près).

� Déterminer la valeur de t (à 10– 2 près) pour que le capital final acquis par le placement de C2

soit égal au capital final acquis

par le placement de C1 . ■







Le tableau ci-dessous fournit la répartition des notes de trois classes de 30 élèves au devoir commun de mathématiques.

Notes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Classe A : effectifs0 0 0 0 1 0 0 1 3 4 6 2 5 3 2 0 2 0 1 0 0

Classe B : effectifs 0 0 0 0 2 1 2 2 1 2 5 3 2 1 1 3 1 2 2 0 0

Classe C : effectifs 0 0 0 0 3 4 1 2 0 0 5 1 0 0 4 4 3 1 2 0 0

� Déterminer à l’aide d’une calculatrice pour chaque série la moyenne, la médiane et le mode (note la plus fréquente). Que remarquez vous?

� Représenter chacune de ces séries à l’aide d’un diagramme en bâtons (on pourra utiliser un tableur).

� Déterminer à la calculatrice l’écart type de chaque série arrondi au centième près.

� Faire les diagrammes en boîtes de chaque série. Commenter les résultats en utilisant ces diagrammes.


Le Monde du mercredi 3 mai 2006 publie les chiffres suivants concernant les dépenses de formation professionnelle par les entreprises en France (Source : Dares).

Année 1999 2000 2001 2002 2003

Rang de l’année x i 1 2 3 4 5

Dépense en milliardsd’euros y i

8,57 8,91 9,20 9,19 9,30

� Représenter le nuage de points de la série double Mi (x i ; y i ) dans un repère orthogonal.

Unités: 2cm pour 1 en abscisse et 10cm pour 1 en ordonnées. On placera l’origine au point I ( 0 ; 8,5).

� On ajuste dans un premier temps ce nuage de points par la droite (M1M4).

Tracer cette droite et déterminer graphiquement la dépense que l’on pourrait prévoir par cet ajustement en 2005.

� On ajuste dans un second temps ce nuage par la droite de régression D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.


a. Déterminer les coordonnées de G, point moyen du nuage.

b. Donner une équation de D, les coefficients seront arrondis à 10-2 près.Tracer D sur le graphique.

c. Déterminer, par le calcul, la dépense que l’on pourrait prévoir pour l’année 2005 à l’aide de cet ajustement.

d. Toujours à partir de cet ajustement, à partir de quelle année, les dépenses dépasseront-elles 10 milliards d’euros?


M. PICSOU a créé dans son entreprise une nouvelle activité en janvier 2005.

À la fin du mois d’octobre, il décide d’étudier l’évolution de cette activité.

Il demande, alors, au service comptable de lui fournir, mois par mois, le montant des charges supportées par l’entreprise ainsi que le chiffre d’affaires pour cette nouvelle activité.

Celui-ci lui communique le tableau récapitulatif suivant :

Mois Janvier février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre

Rang xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Montant, en €, des charges y

i

5000 5150 5300 5430 5570 5740 5860 6000 6120 6260

Chiffre d’affaires, en € z

i

2300 2550 2800 3000 3300 3500 3900 4250 4500 5000

M. PICSOU veut savoir à partir de quel moment il pourra envisager un profit sur cette nouvelle activité.

Partie A : Évolution du montant des charges

Une représentation graphique du nuage de points Ai de coordonnées ( )x y

i i ; dans un repère orthogonal est donnée en

annexe.

On décide de réaliser un ajustement affine.

� À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D obtenue par la méthode des moindres carrés : les coefficients seront donnés à l’unité près. La tracer sur le graphique en annexe.

� En supposant que le modèle reste valable pour les six mois suivants, extrapoler graphiquement le montant des charges pour le mois de mars 2006 (arrondir à la centaine d’euros la plus proche).

� Retrouver le résultat précédent par un calcul.

Partie B : Évolution du chiffre d’affaires

Le service comptable informe M. PICSOU qu’un ajustement du nuage des points Bi de coordonnées ( )x z

i i ; relatif au chiffre

d’affaires de son entreprise peut être donné par la fonction f définie sur l’intervalle 1 15 ; ⎡⎣ ⎤⎦ par f x e x( ) .,= 2200 0 08

� Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle 1 15 ; ⎡⎣ ⎤⎦ .

� Reproduire et compléter le tableau suivant (arrondir à la dizaine d’euros) :

x 1 2 6 8 10 12 15

f x( ) 4900

� Tracer la courbe représentative C de la fonction f sur le graphique en annexe.

Partie C : Conclusion

M. PICSOU espérait dégager un profit sur la nouvelle activité à partir du mois de février 2006.

À la lecture du graphique, que va-t-il constater ?


Annexe à rendre avec le devoir

1

A2A1

A3

A4

A5

A6A7

A8A9

A10

5 10 14 15

+

++

++

+

+

++

+

+

+

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

Montant des charges en euros

■

Documents

Mathématiques - Cjoint.com · 2019. 1. 14. · Terminale STG Spécialités « mercatique », ... Imprimé au Cned - Institut de RENNES 7, rue du Clos Courtel 35050 RENNES CEDEX 9