Mathématiques Appliquées à la Physiqueww2.cnam.fr/physique/MAP/2011-10-29_MAP_equadif_PN.pdf · Par ailleurs: dis PN dis PO dis ON x x y() ( )=+ =−++22 et la pente de la normale

1/50 Mathématiques Appliquées à la Physique

© Najla FOURATI – ENNOURI, Patrick HOFFMANN. 2011-09-29

MMaatthhéémmaattiiqquueess AApppplliiqquuééeess àà llaa PPhhyyssiiqquuee

Equations différentielles ordinaires

Newton: "Il est utile de résoudre des équations différentielles…"



Table des matières

Mathématiques Appliquées à la Physique 1 1 Equations différentielles 3

1.1. Définitions et solutions des équations différentielles 3 1.2. Sur les équations différentielles du premier ordre 4

1.2.1 Equations à variables séparables: 5 1. Exemple: "Application non précisée" ............................................................................................. 5 2. Exemple: "Loi de Malthus"............................................................................................................. 6 3. Exemple: "Vitesse d'un parachute" ................................................................................................. 6 4. Exemple: "Décharge d'un condensateur" ........................................................................................ 7

1.2.2 Equations homogènes 8 5. Exemple: "Application non précisée" ............................................................................................. 9 6. Exemple: "Miroir convergent.......................................................................................................... 9 7. Exemple: "Cinématique et rotation uniforme" .............................................................................. 11

1.2.3 Equations linéaires d'ordre 1 14 8. Exemple: "Charge d'un condensateur à travers une résistance" .................................................... 14 9. Contre-exemple: "Le mouvement d'un pendule simple" ............................................................... 14 10. Exemple: "Application non précisée": .......................................................................................... 15 11. Exemple: "Vitesse d'un amortisseur": ........................................................................................... 17 12. Exemple: "Signal sinusoïdal sur un circuit RC ":.......................................................................... 18 13. Exemple: "Chaîne de désintégrations radioactives ": .................................................................... 18 14. Exemple: "Distribution des vitesses d'un fluide visqueux ": ......................................................... 19

1.2.4 Equation de Bernoulli 20 15. Exemple: "Application non précisée": .......................................................................................... 20 16. Exemple: "Frottements dans un fluide":........................................................................................ 21 17. Exemple: "Adiabatique réversible d'un gaz parfait":..................................................................... 22

1.3. Sur les équations différentielles d'ordre deux non linéaires 24 1.3.1 Equations avec réduction d'ordre: 24

18. Exemple: "Application non précisée": .......................................................................................... 25 19. Exemple: "Equilibre de la chaînette": ........................................................................................... 26 20. Exemple: "Trajectoire plane": ....................................................................................................... 28

1.4. Sur les équations différentielles linéaires d'ordre deux 31 1.4.1 Equation à coefficients constants 32

21. Exemple: "Oscillateur harmonique":............................................................................................. 32 22. Exemple: "Distribution de la température d'une barre longue": .................................................... 34

1.4.2 Equation de l"oscillateur amorti": 34 23. Exemple: "Décharge d'un condensateur dans une bobine": .......................................................... 36 24. Exemple: "Relaxation d'une suspension": ..................................................................................... 37

1.4.3 Equation de l'oscillateur activé par un signal sinusoïdal: 38 25. Exemple: "Véhicule sur une route ondulée en sinusoïdes": .......................................................... 42 26. Exemple: "Alimentation sinusoïdale d'un circuit RLC":............................................................... 43

1.4.4 Equations de Bessel 45 27. Exemple: "Application non précisée": .......................................................................................... 46

1.4.5 Equations besseliennes 47 28. Exemple: "La corde de Bernoulli": ............................................................................................... 47 29. Exemple: "Le tambour":................................................................................................................ 49 30. Exemple: "Le pendule en chewing-gum":..................................................................................... 50



1 Equations différentielles

1.1. Définitions et solutions des équations différentielles

Une équation différentielle ordinaire d'ordre n est une relation entre une variable x , la fonction y de cette

variable y f (x)= et ses dérivées successives d fy 'd x

= , 2

2

d fy ''d x

= … ( )n

nn

d fyd x

= , jusqu'à la dérivée

( )ny d'ordre n:

( )(n)x ; y ; y ' ; y '' ; y ''' ... y 0Φ =

L'ensemble de ses solutions, comprend la solution générale qui dépend de n constantes arbitraires:

( )1 2 nF x ; y ; C ; C ... C 0= (Théorème de Cauchy)

et éventuellement une ou plusieurs solutions singulières, dont les structures ne s'apparentent pas à la solution

générale:

( )i 1 2 px ; y ; ; ... 0 ; p n , iϕ λ λ λ = < ∈

De nombreux problème de Physique aboutissent à des équations différentielles. Pour leurs résolutions, il est

préalable d'identifier dans la relation: la variable, la fonction et l'ordre de la dérivée la plus élevée.

Par exemple le mouvement rectiligne d'une particule rapide, de charge q dans un champ électrique variable est

donné par une équation différentielle du troisième ordre:

( ) ( ) ( )2q E t q x ''' t m x '' t+ α =

et la décroissance radioactive d'une substance constituée de N particules se déduit à partir de l'équation

différentielle du premier ordre:

( ) ( )N ' t N t= − λ

La première étape de la résolution du problème physique consistera à déterminer l'expression de la solution

générale de l'équation différentielle. Lors d'une deuxième étape, pour obtenir la solution du problème posé, il

faudra souvent à l'aide des conditions aux limites données, calculer des valeurs pour les constantes arbitraires.

Le propos de ce chapitre se limite à la recherche de la solution générale de l'équation différentielle:

( ) ( )?

(n)1 2 nx ; y ; y ' ; y ''... y 0 F x ; y ; C ; C ... C 0Φ = ⇒ =

En fait la quasi-totalité des équations différentielles rencontrées se limiteront à l'ordre deux. Certaines méthodes

de résolution consistant à ramener le problème à des équations d'ordres inférieurs, nous commencerons par

étudier les équations différentielles d'ordre 1.



1.2. Sur les équations différentielles du premier ordre

D'après le théorème de Cauchy, une équation différentielle d'ordre 1: ( )x ; y ; y ' 0Φ = , admet une solution

générale qui dépend d'une constante arbitraire λ :

( )F x ; y ; 0λ =

C'est l'équation d'une famille de courbe dans le plan x O y. Si une solution singulière existe:

( )E x ; y 0=

elle correspond à une enveloppe de la famille de courbes.

Lecture facultative : Lors de la détermination de la solution générale, il est parfois utile de connaître

préalablement une solution particulière de l'équation différentielle. La recherche de solutions singulières peut

alors être faite, en déduisant directement l'expression de l'enveloppe à partir de l'équation différentielle.

Pratiquement on suit le schéma:

( )x ; y ; y ' 0

y ' 0x y

Φ = ⎫⎪

∂Φ ∂Φ ⎬+ = ⎪∂ ∂ ⎭ en éliminant y' ( )1 x ; y 0→ ψ =

( )x ; y ; y ' 0

0y '

Φ = ⎫⎪

∂Φ ⎬= ⎪∂ ⎭ en éliminant y' ( )2 x ; y 0→ ψ =

L'enveloppe, si elle existe est un facteur commun à ( )1 x ; yψ et ( )2 x ; yψ :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1

2 2

x ; y x ; y E x ; y 0E x ; y 0

x ; y x ; y E x ; y 0ψ = χ = ⎫⎪ ⇒ =⎬ψ = χ = ⎪⎭

Une dernière remarque sur la structure de l'équation différentielle du premier ordre:

( )x ; y ; y ' 0Φ =



Les définitions de la variable et de la fonction sont relatives et permettent l'écriture de l'équation sous la forme:

( ) ( )1 d x 1x ; y ; y ' x ; y ; y ; x ; x ' 0 / x 'x ' d y y '

⎛ ⎞Φ = Φ = Ψ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Donc avant la résolution, il faut s'assurer qu'une des deux structures n'est pas plus simple à résoudre. Dans le

cas des méthodes élémentaires, nous traiterons successivement les équations résolues en ( )y ' F x ; y= , puis

en ( )y F x ; y '= , les équations incomplètes ( )F y ; y ' 0= , ( )F x ; y ' 0= et les polynômes en y'.

1.2.1 Equations à variables séparables:

( ) ( )y ' F x G y=

Après séparation des variables:

( ) ( )d y F x d xG y

=

La résolution s'obtient après détermination de 2 quadratures (intégrations):

( ) ( )d y F x d x cstG y

= +∫ ∫

1. Exemple: "Application non précisée"

x yy ' e 0++ =

Les variables de cette équation peuvent se séparer:

y yx y x xd yy ' e 0 e e e d y e d xd x

−++ = ⇒ = − ⇒ = −

En prenant les primitives de chaque côté il vient:

y y yx x xe d y e d x cst e e cst e e cst− − −= − + ⇒ − = − + ⇒ = −∫ ∫

cst est une constante arbitraire.

On obtient alors la solution générale en prenant le logarithme de chacun des membres:

( )xy ln e cst= − −



2. Exemple: "Loi de Malthus"

La population N d'une colonie de bactéries obéit à la loi de Malthus: "Son augmentation à chaque instant est

proportionnelle à sa valeur à cet instant": ( )d N N t /d t += + λ λ ∈

C'est une équation à variable séparable:

t cst cst td N t Ln N t cst N e N e eN

λ + λ= λ ⇒ = λ + ⇒ = ⇒ =

cst t cst tN e e N e eλ λ= ⇒ = ± ; en introduisant la constante arbitraire réelle: cstK e= ± ∈ ,

on obtient la valeur instantanée de la population:

tN K e λ=

3. Exemple: "Vitesse d'un parachute"

Une modélisation de la vitesse d'un parachutiste est donnée par l'équation à variable

séparable:

( )2d v g v t ; g , 0d t

= − λ λ >

⇒

22

1 d vd v gd t d t

g v 1 vg

= ⇒ =λ− λ −

Posons comme nouvelle variable u telle que:

2 2u v u vg gλ λ

= ⇒ ± =

comme v est strictement positif:

gu v d u d v d v d ug gλ λ

= → = ⇒ =λ

l'équation obtenue est alors:

2 2

1 g d ud ug d t g d t

1 u 1 uλ = ⇒ = λ− −

Les primitives usuelles, fournissant:



( )2

d u ar tanh u1 u−∫

les quadratures de chacun des membres de la dernière égalité donnent:

( ) ( )2

d u ar tanh u g t cst u tanh g t cst v1 u g

λ= = λ + ⇔ = λ + =

−∫

⇒

( )gv tanh g t cst= λ +λ

4. Exemple: "Décharge d'un condensateur"

La décharge d'un condensateur C dans une résistance R obéit à la loi:

( ) ( ) ( )Q t d QR i t 0 / i tC d t

+ = =

⇒

( ) ( )Q td Q 1Q t ; 0d t R C R C

= − = − λ λ = >

C'est une équation à variable séparable:

⇒

t cst cst td Q t Ln Q t cst Q e Q e eQ

− λ + − λ= − λ ⇒ = − λ + ⇒ = ⇒ =

tcst t cst t cst R CQ e e Q e e e e

−− λ − λ= ⇒ = ± = ± ; en introduisant la constante arbitraire:

cstK e= ± ∈ , on obtient la loi de décharge d'un condensateur:

R Ct

Q K e−

=



1.2.2 Equations homogènes

Une équation différentielle du premier ordre est qualifiée d'homogène lorsqu'elle peut se mettre sous la forme:

yy ' Fx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Pour la résoudre, on pose:

( ) ( )y xt x y t x d y t d x x d t

x= ⇒ = ⇒ = +

⇒

d y d ty ' t xd x d x

= = +

L'équation différentielle devient à variable séparable:

( ) ( ) ( )d t d t d t d xt x F t F t t xd x d x F t t x

+ = ⇒ − = ⇒ =−

⇒

( )d t d xcst Ln x

F t t x+ = =

−∫ ∫

⇒

( ) ( )dt

cstF t tx C e C t ; C e−= = Ψ = ± ∈∫

( ) ( )dt

F t tyx C / C t ex

−⎛ ⎞= Ψ ∈ Ψ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫et

Remarquons que si y et x représentent les coordonnées cartésiennes du plan, certains problèmes peuvent se

traiter plus naturellement en coordonnées polaires. Dans ce cas en posant:

x r cos d x d r cos r sin dy r sin d y d r sin r cos d= θ ⇒ = θ − θ θ⎧

⎨ = θ ⇒ = θ + θ θ⎩

on obtient directement une équation à variables séparables en ( )r ,θ :

( )d r sin r cos d F tand r cos r sin d

θ + θ θ= θ

θ − θ θ



5. Exemple: "Application non précisée"

2 2x yy 'x y+

=

En divisant haut et bas par 2x , on retrouve bien la structure homogène:

( )

2

2 2 2 22

2

y 1x y x y t 1 1xy ' F F t tyx y x x t tx

++ +⎛ ⎞= = = = = = +⎜ ⎟⎝ ⎠

d t 1 d t 1 d xt x t x t d td x t d x t x

+ = + ⇒ = ⇒ =

⇒

( ) ( ) ( )2

2 2 2t ln x cst t ln x 2 cst ln C x ; ln C 2 cst2= + ⇒ = + = =

⇒

( ) ( )2

2 2 2 *2

yt ln C x y x ln C x ; Cx += = ⇒ = ± ∈

6. Exemple: "Miroir convergent

On veut déterminer dans le plan xOy, la section d'un miroir qui réfléchit chacun des rayons issus de O dans une

direction parallèle à Ox. En appliquant les lois de Descartes sur la réflexion et avec la figure:



on note pour M, 2 2x 0 ; y 0 ; dis(ON) dis(OM) x y< > = = + et ( )ytan 0

dis PNα = > .

Par ailleurs: ( ) ( ) ( ) 2 2dis PN dis PO dis ON x x y= + = − + +

et la pente de la normale ( )n x , qui est également bissectrice de l'angle, étant négative, on écrit:

( ) ( )2 2

1 yn ' x tany ' x x y x

−− = = − α =

+ −

D’où l'équation du profil cherché, comme solution de l'équation différentielle formée:

( )2 2x y x

y ' xy

+ −=

C'est une équation homogène: ( )

2y1 1x yy ' x fy xx

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Posons: 21 t 1d ty t x y ' x t

d x t+ −

= ⇒ = + = ⇒

2 2t x d t t d x 1 t d x d x+ = + − ⇒

2 2

d x t d tx 1 t 1 t

=+ − −

En posant: 2 t d tu 1 t d uu

= + ⇒ = ⇒

( )2

d 1 ud x u d u d ux u u 1 u 1 u

− −= = =

− − −

Ln x Ln 1 u cst= − − +

⇒

2 2

K K Kx1 u 1 1 t y1 1

x

= = =− − + ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 2y K y K1 1 1 1x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2y K 2 K K1 1 1x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



2 22 2

2 2

y 2 K K y K 2 K xx x x

= + ⇒ = +

C'est une famille de paraboles dont les distances focales valent: K2

.

7. Exemple: "Cinématique et rotation uniforme"

Dans le plan un point M se déplace sur une

droite passant par un point fixe O, avec une

vitesse v proportionnelle à la dis(OM):

( )v C dis OM ; C += ∈ .

Cette droite tourne uniformément autour de O

avec la vitesse angulaire ω . On veut déterminer

la trajectoire du point M dans le plan lorsque: 1C 1 s−= ω = . Pour cela on exprime la vitesse

en coordonnées polaires: v r I r J••

= + θ

Avec:

r C r rv C r I r J r I r J

1

•

•

⎧ = =⎪ ⇒ = + ω = +⎨⎪θ = ω =⎩

D'après la figure: r C r ytan 1 et tan

r xr

•

•α = = = θ =

ωθ

La pente de la tangente à la courbe est:

( )y1tan tan xy ' tan tan y1 tan tan 1x

+α + θ= β = α + θ = =

− α θ −

L'équation différentielle que l'on obtient vérifie les solutions du problème posé:

x yy 'x y+

=−

C'est bien une équation homogène: ( )y1x y xy ' F x ; yyx y 1x

++= = =

− −

Posons: y d tt y ' x tx d x

= ⇒ = + ⇒



d t 1 ty ' x td x 1 t

+= + =

−

2 2d t 1 t 1 t 1 t 1 t t t 1 tx t td x 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t

+ + − + − += − = − = − =

− − − − − −

⇒

2

d x 1 t d tx 1 t

−= ⇒

+

2 2 2

d x 1 t d t t d td t cst cstx 1 t 1 t 1 t

−= + = − +

+ + +∫ ∫ ∫ ∫

⇒

( )2

2 2

d 1 td x d t 1 cstx 1 t 2 1 t

+= − +

+ +∫ ∫ ∫

⇒

( ) ( ) ( )( ) ( )arctan t2 21 1ln x Arc tan t ln 1 t cst ln e ln 1 t cst2 2

= − + + = − + +

⇒

( )

( )

arctan t

2

arctan t

2

ex K1 t

ey K t1 t

⎧=⎪

+⎪⎨⎪ =⎪ +⎩

Comme: ( ) 2 22

1arctan t tan t 1 t 1 tancos

θ = ⇔ θ = ⇒ + = + θ = ⇒θ

2 22 2

2 2 2 2 2

1 1 1 t 1 tcos sin 11 t 1 t 1 t 1 t 1 t

+θ = ⇒ θ = − = − = ⇒

+ + + + +

2

2

1cos1 t

tsin1 t

⎧ θ =⎪ +⎪⎨⎪ θ =⎪ +⎩

L'équation paramétrique de la trajectoire s'écrit donc: x K e cos

y K e sin

θ

θ

⎧ = θ⎪⎨

= θ⎪⎩

Il s'agit de spirales logarithmiques dont l'expression en coordonnées polaires s'écrit: r K e θ=



En fait dès l'énoncé, l'expression du problème est de nature polaire. Il eut été préférable d'utiliser tout de suite la

résolution en polaire sur:

y1x y xy ' yx y 1x

++= =

− −

x r cos d x d r cos r sin dyy ' Fy r sin d y d r sin r cos dx= θ ⇒ = θ − θ θ⎧⎛ ⎞= ⇒ ⎨⎜ ⎟ = θ ⇒ = θ + θ θ⎝ ⎠ ⎩

on obtient directement une équation à variables séparables en ( )r ,θ :

( )d r sin r cos d yy ' F F tand r cos r sin d x

θ + θ θ ⎛ ⎞= = = θ⎜ ⎟θ − θ θ ⎝ ⎠

d r sin r cos d 1 tand r cos r sin d 1 tan

θ + θ θ + θ=

θ − θ θ − θ

( )( ) ( ) ( )d r sin r cos d 1 tan d r cos r sin d 1 tanθ + θ θ − θ = θ − θ θ + θ

( )( ) ( ) ( )d r sin r cos d cos sin d r cos r sin d cos sinθ + θ θ θ − θ = θ − θ θ θ + θ

( )( )

2 2

2 2

d r sin cos sin cos cos sin

r d cos sin cos sin sin cos 0

θ θ − θ − θ − θ θ +

θ θ − θ θ + θ + θ θ =

d rd r r d 0 d Ln r cstr

− + θ = ⇒ = θ ⇒ = θ + ⇒

r K e θ=



1.2.3 Equations linéaires d'ordre 1 L'équation différentielle du premier ordre est qualifiée de linéaire par rapport aux fonctions y et y' , lorsqu'elle

est constituée d'une somme de termes où ces fonctions n'apparaissent qu'au premier degré en y ou y':

( ) ( ) ( )A x y ' B x y C x 0+ + =

8. Exemple: "Charge d'un condensateur à travers une résistance"

Elle conduit à: d q qR Ed t C

+ =

qui est une équation linéaire en ( ) ( )d qq t ; td t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

9. Contre-exemple: "Le mouvement d'un pendule simple"

A travers le théorème de l'énergie potentielle, le mouvement obéit à l'équation:

( ) ( )2

2 20 0v 2 g 1 cos ; t ; , v , g

•

+ϕ ϕ ϕ ϕ− = − = ∈

A cause des termes en 2

ou cos•ϕ ϕ , l'équation n'est pas linéaire.

Une équation linéaire, peut se mettre sous la forme:

( ) ( )y ' a x y b x= +

On nomme second membre le terme ( )b x . Connaissant une solution particulière ( )1y x de cette équation,

posons: ( ) ( ) ( )1z x y x y x= − . Cette nouvelle fonction obéit à l'équation sans second membre:

( )z ' a x z=

Qui est directement intégrable, car à variables séparables.

Si on ne connaît pas une solution particulière ( )1y x , on résout tout d'abord l'équation sans second membre:

( ) ( ) ( ) ( )a x dxd zz ' a x z a x d x z x K e ; Kz

∫= ⇒ = ⇒ = ∈



Puis on cherche une solution particulière évidente* ou sous la forme: ( ) ( ) ( )1

a x dxy x x e ∫= λ

C'est la méthode de "variation de la constante" introduite par Lagrange.

Il vient par report dans l'équation différentielle complète:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1a x dx a x dx

y ' x ' x e x e a x∫ ∫= λ + λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a x dx a x dx a x dx' x e x e a x a x x e b x∫ ∫ ∫λ + λ = λ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a x dx a x dx' x e b x x b x e dx

−∫ ∫λ = ⇒ λ = ∫

En posant par exemple: cst = 0 ⇒ ( ) ( ) ( )1

a x dxx b x e d x

− ∫λ = ∫

⇒

( ) ( ) ( )1y x z x ; K y x ; K= + ∈

( ) ( ) ( ) ( )a x dx a x dxy x K e b x e d x / K

−⎛ ⎞∫ ∫= + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠∫

* Pour la recherche des solutions" évidentes", on pourra essayer prioritairement de reporter dans l'équation

différentielle, avecα ∈ , les familles:

n1 1 1 1 1 1

xy ; y x ; y x ; y sin x ; y cos x ; y e ... etcα= α = α = α = α = α =

10. Exemple: "Application non précisée":

yy ' x 1x 1

+ = −−

Cette équation linéaire admet comme équation sans second membre associée:

zz ' 0x 1

+ =−

Avec:

( ) ( ) ( )1y x ; K z x ; K y x ; K= − ∈

⇒

( )d x 1d z d x d zz x 1 z x 1

− −−= ⇒ =

− −

⇒

ln z ln x 1 ln K ; K= − − + ∈



⇒

Kzx 1

=−

Pour la recherche d'une solution particulière ( )1y x :

Existe-t-il une solution évidente? Il semble intéressant d'essayer la famille:

( ) ( ) ( ) ( )21 1y x x 1 y ' x 2 x 1= α − ⇒ = α −

Reportons ces fonctions dans l'équation complète:

( ) ( ) 2x 12 x 1 x 1 3 1

x 1α −

α − + = − ⇒ α =−

⇒

( ) 2

1

x 1y

3−

=

Sans solution évidente, on utilise la méthode de variation de la constante de Lagrange:

Cherchons la solution particulière sous la forme:

( ) ( ) ( )( )1 1 2

C x C' x C xy y '

x 1 x 1 x 1= ⇒ = −

− − −

⇒

( ) ( )( )

( )( )2 2

C ' x C x C xx 1

x 1 x 1 x 1− + = −

− − −

(Le terme en ( )C x doit toujours disparaitre dans la méthode de Lagrange)

⇒

( ) ( ) ( ) ( ) 32 x 1

C ' x x 1 C x cst3−

= − ⇒ = +

( ) 2

1

x 1cst 0 y

3−

= ⇒ =

La solution générale de l'équation est donc:

( ) 2x 1Kyx 1 3

−= +

−



11. Exemple: "Vitesse d'un amortisseur":

La vitesse d'un amortisseur soumise à une force de traction

sinusoïdale ( )A sin tω et avec un frottement vλ de

l'air proportionnel à la vitesse, est gouvernée par

l'équation:

( ) etv ' A sin t v A, , += ω − λ ω λ ∈

( )u t étant solution de l'équation sans second membre:

1u ' u v u v= − λ ⇒ = +

d u d t Ln u tu

= − λ ⇒ = − λ + constante

⇒

tu K e / K−λ= ∈

N'ayant pas de solution évidente, posons:

( ) ( ) ( )1 1t t tv C t e v C ' t e C t e−λ −λ −λ= ⇒ = − λ

Le report dans l'équation différentielle donne:

( ) ( ) ( ) ( )t t tC ' t e C t e A sin t C t e−λ −λ −λ− λ = ω − λ

( ) ( )tC ' t e A sin tλ= ω

Pour l'intégration de ( )C' t , exprimons le sinus sous forme exponentielle en passant dans les complexes:

( ) ( ) ( )( )i t i t i t i tt e e AC' t A e e e

2 i 2 i

−−

ω ωλ + ω λ ωλ −

= = −

⇒

( )( )

( )( )

( )

i t i tA e eC t cst2 i i i

−λ + ω λ ω⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟λ + ω λ − ω⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

i t i ti e i eAC t cst2 i

−λ + ω λ ω⎛ ⎞λ − ω λ + ω⎜ ⎟= − +⎜ ⎟λ + ω λ + ω⎝ ⎠

( ) ( )2 2

ti t i tA eC t e e cst

i i2

λ−ω ω⎛ λ λ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ω − + ω +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ + ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )2 2

t i t i t i t i tA e e e e eC t cst2 2 i

λ − −ω ω ω ω⎛ ⎞+ += − ω + λ +⎜ ⎟

λ + ω ⎝ ⎠



( ) ( ) ( )2 2

tA eC t cos t sin t cstλ

= − ω ω + λ ω +λ + ω

( )1 2 2

Acst 0 v sin t cos t= ⇒ = λ ω − ω ωλ + ω

⇒

( )2 2t Av K e sin t cos t−λ= + λ ω − ω ω

λ + ω

12. Exemple: "Signal sinusoïdal sur un circuit RC ":

La charge du condensateur obéit alors à l'équation:

0d q qR E sin td t C

+ = ω

⇒

0Ed q qsin td t R R C

= ω −

Cette équation est formellement identique à celle de l'exercice

précédent en transposant:

0E 1v q ; A ;R R C

λ

La solution générale est alors:

( )( )0 2 2 2

tRC sin t R C cos t

q K e E C1 R C

− ω − ω ω= +

+ ω

13. Exemple: "Chaîne de désintégrations radioactives ":

L'Uranium naturel est constitué en grande majorité par l'isotope 238U , sa lente désintégration radioactive (demi-

vie = 94,5 10× années), s'effectue dans une chaîne se terminant par:

210 210 206

5 jours 138 jours( stable )Bi Po Pb

−β α

λ= μ=→ →

On montre que le nombre ( )N t de noyaux de polonium 210 est fourni par l'équation

t etd N N A e A, ,d t +

− λ+ μ = μ λ ∈



L'équation sans second membre associée s'écrit:

td M M 0 M K e / Kd t

−μ+ μ = ⇒ = ∈

Avec: ( ) ( )1tN t ;K K e N t−μ= +

Cherchons avec Lagrange la solution particulière sous la forme:

( ) ( )1tN C t e / C t−μ= ∈

Il vient: ( ) t tC ' t e A e−μ −λ=

Dans la méthode de "variation de la constante": le terme en ( )C t disparaît toujours de l'égalité !

( ) ( ) ( )( )

( )

tt eC ' t A e C t A cst

μ −λμ −λ

μ −λ= ⇒ = +

( ) ( )1

tecst 0 N t A− λ

μ − λ= ⇒ =

⇒

( ) ( )

tt eN t K e A

−λ−μ

μ −λ= +

14. Exemple: "Distribution des vitesses d'un fluide visqueux ":

A partir de l'équation de Navier-Stokes, on montre que la répartition radiale des

vitesses d'un fluide visqueux obéit à l'équation suivante:

2

2

d v 1 d v A 0 / Ad r r d r ++ + = ∈

Posons: ( ) ( ) ( )d v yy r r v ' r y ' A 0d r r

= = ⇒ + + =

( ) ( ) ( )1y r z r y r= + avec: zz ' 0r

+ =

⇒

K d z d r Kz ln z ln r cst z / Kr z r r

= = − ⇒ = − + ⇒ = ∈

La solution particulière est de la forme: 1C(r)y

r= ⇒

2C ' rA 0 C' A r C A cstr 2+ = ⇒ = − ⇒ = − +



( )1A rcst 0 y t2

= ⇒ = −

⇒

( ) K A ry rr 2

= −

Comme: ( ) ( ) K A rv r y r d r d rr 2

⎛ ⎞= = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( )2A rv r K ln r cst

4= − +

Pour un fluide visqueux, la vitesse est toujours finie et nulle sur la paroi:

( ) ( )2

finieA rr 0 v 0 v r cst

4→ ⇒ → ⇒ = − +

( ) ( )2 2

2A R rr R v r 0 v r 1

4 R⎛ ⎞

→ ⇒ → ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

la répartition radiale est parabolique.

1.2.4 Equation de Bernoulli C'est une équation de la forme est:

( ) ( ) ny ' f x y g x y= +

Divisons l'équation par ny :

( ) ( )1n ny ' y f x y g x− −= +

En posant: ( ) ( ) ( )1 n nz x y z ' x 1 n y y '− −= ⇒ = −

On obtient une équation linéaire en ( )z x :

( ) ( )z ' f x z g x1 n

= +−


3 3y ' x y x y= −

Divisons l'équation par 3y :

3 3 2y ' y x x y− −= −



2 3z y z ' 2 y y '− −= ⇒ = −

⇒

3z ' x x z2

−= −

3z ' 2 x z 2 x= −

1u ' 2 x u z u z= ⇒ = +

2 2xd u 2 x d x ln u x cst u K eu

= ⇒ = + ⇒ =

( ) 3 31

2 2 2x x xz C x e C ' e 2 x C ' 2 x e−= ⇒ = − ⇒ = −

3 2xC 2 x e d x cst−= − +∫

Comme:

( )3 22 2 2 2x x x xd e 2 x e d x 2 x e d x x d e− − − −= − ⇒ − =∫ ∫

Intégrons par partie:

( ) ( )3 2 2 22 2 2 2x x x xC 2 x e d x cst x d e cst x e e d x cst− − − −= − + = + = − +∫ ∫ ∫

( )2 2 22 2 2 2 2 2x x x x x xC x e e 2 x d x cst x e d e cst x e e cst− − − − − −= − + = + + = + +∫ ∫2

1cst 0 z x 1= ⇒ = +

⇒

22

2x 1z x 1 K ey

= + + =

⇒

2 2x

1yx 1 K e

=+ +

16. Exemple: "Frottements dans un fluide":

Un véhicule lancé est freiné par les frottements fluide et turbulent. Durant les premiers instants, la vitesse est

gouvernée par l'équation différentielle:

( ) 2 etd v v t v , , 0 td t += − α − β λ − α β λ ∈ ≤ < λ

En divisant par 2v :



( )2 1v ' v v t− −= − α − β λ −

Posons: ( )1u v u ' u t−= ⇒ = α + β λ −

1z ' z u z u= α ⇒ = +

td z d t ln z t cst z K ez

α= α ⇒ = α + ⇒ =

( ) ( ) ( )1t t tu C t e C ' e t C ' t e −α α α= ⇒ = β λ − ⇒ = β λ −

t tC e t e d t cst− −α αβ λ= − − β +

α ∫

Comme la différentielle: ( )t td e e d t− −α α= − α ⇒

( )t tC e t d e cst− −α αβ λ β= − + +

α α ∫

t t tC e t e e d t cst− − −α α αβ λ β ⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦α α ∫

tt t eC e t e cst

−− −

αα α⎡ ⎤β λ β

= − + + +⎢ ⎥α α α⎣ ⎦

1 2cst 0 u tβ β β λ= ⇒ = + −

α α α

⇒

2t 1u K e t

vα β β β λ

= + + − = ⇒α α α

( )2

tve t 1α

α χ= ∈χ + αβ + β − α λ

17. Exemple: "Adiabatique réversible d'un gaz parfait":

La transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, vérifie la relation:

d P d V 0P V

+ γ =

Le facteur γ est généralement considéré comme constant. Cependant en introduisant en une dépendance linéaire

de la température, la relation à vérifier devient:

( )0 0d P d Va T 0 / ; aP V

+ γ + = γ ∈

Le gaz parfait vérifiant: d P d V d TP V T

+ = ⇒



0 21d T aT Td V V V

γ −⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

C'est une équation de Bernoulli vis-à-vis de la fonction ( )T V ⇒

02

1T ' 1 aT V T V

γ −⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

En posant: 2

1 T 'u u 'T T

−= ⇒ = ⇒

0 1 au ' uV V

γ −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

01

1u z u / z ' z

Vγ −⎛ ⎞

= + = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 0 10

d z d V1 z K Vz V

γ −= γ − ⇒ =

( ) 0 0

0

1 11

a au C V V C' V C'V V

γ − γ −γ= ⇒ = ⇒ =

( )0

0

0

1

10 0

V aC ' a V C a cst cst1 1 V

− γ− γ

γ −

−⇒ = ⇒ = + = +

− γ γ −

⇒

( )0

0

11 11

00

a acst 0 u V u11 V

γ −γ −

− −= ⇒ = ⇒ =

γ −γ −

⇒

0 1

0

a 1u K V1 T

γ − −= + = ⇒

γ −

0 1

0

1T aK V1

γ −=

−+

γ −

0

01

1T /

V aγ −

γ −= χ∈χ −

Remarque: comme P V R T= , on retrouve comme limite le résultat classique:

( )0

0

0

a 0P V cst P Va P V R 1

γγ→

= ⎯⎯⎯→ =+ γ −

constante



1.3. Sur les équations différentielles d'ordre deux non linéaires D'après le théorème de Cauchy, une équation différentielle d'ordre 2: ( )x ; y ; y ' ; y" 0Φ = , admet une

solution générale qui dépend de deux constantes arbitraire 1 2λ λet :

( )1 2F x ; y ; ; 0λ λ =

Il peut exister des solutions particulières, dépendant au plus d'un paramètre, qui ne s'apparentent pas à la

solution générale:

( )E x ; y ; 0λ =

Beaucoup de modèles physiques aboutissent à des équations linéaires d'ordre deux. Cette importante catégorie

sera traitée plus loin. Nous commençons ici par les rares cas d'équations non linéaires intégrables.

1.3.1 Equations avec réduction d'ordre:

Si la fonction n'apparaît pas explicitement: ( )x ; y ' ; y" 0Φ = , on intègre l'équation du premier ordre:

( )x ; u ; u ' 0Φ = , et on termine par une quadrature:

( ) ( )1 2 1 2y x ; ; u x ; d xλ λ = λ + λ∫ .

Si la variable n'apparaît pas explicitement: ( )y ; y ' ; y" 0Φ = , en posant comme nouvelle variable:

d p d p d y d pp y ' y" pd x d y d x d y

= ⇒ = = = , on intègre une équation d'ordre 1:

( ) ( )1y ; p ; p ' 0 p y ;Ψ = ⇒ = ϕ λ , suivi d'une quadrature:

( ) 21

d yxy ;

= + λϕ λ∫

Une équation est qualifiée d'homogène si:

( ) ( )x ; y ; y ' ; y" x ; C y ; C y ' ; C y" 0 CΦ = Φ = ∀

Le changement de fonction ( ) ( )z xy x e= ramène alors au cas i):

( )x ; z ' ; z" 0Ψ =

Si la fonction n'apparaît pas explicitement: ( )x ; y ' ; y" 0Φ = , on intègre l'équation du premier ordre:

( )x ; u ; u ' 0Φ = , et on termine par une quadrature:

( ) ( )1 2 1 2y x ; ; u x ; d xλ λ = λ + λ∫ .



Si la variable n'apparaît pas explicitement: ( )y ; y ' ; y" 0Φ = , en posant comme nouvelle variable:

d p d p d y d pp y ' y" pd x d y d x d y

= ⇒ = = = , on intègre une équation d'ordre 1:

( ) ( )1y ; p ; p ' 0 p y ;Ψ = ⇒ = ϕ λ , suivi d'une quadrature:

( ) 21

d yxy ;

= + λϕ λ∫

Une équation est qualifiée d'homogène si:

( ) ( )x ; y ; y ' ; y" x ; C y ; C y ' ; C y" 0 CΦ = Φ = ∀

Le changement de fonction ( ) ( )z xy x e= ramène alors au cas i):

( )x ; z ' ; z" 0Ψ =


( ) 22x y y" y x y '= −

Cette équation est homogène par rapport aux fonctions y, y', y":

( ) 22x C y C y" C y x C y '= −

On pose donc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z x dx z x dxz x | y x e y ' x z x e y z= = =∫ ∫⇒

⇒

( ) ( )2 2 z x dxy" y ' z y z ' y z y z ' z z ' e= + = + = + ∫

L'équation différentielle devient:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2z x dx z x dx z x dx z x dxx e z z ' e e x z e⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

⇒

( ) ( ) 22 2x z z ' 1 x z+ = −

⇒

2

2 1z ' z 0x x

+ − =

On obtient une équation du premier ordre, qui est ici linéaire:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 12u x | u ' u 0 z x ; u x ; z xx

+ = ⇒ λ = λ +



2 d u 2 d u 2 d xu ' u 0 ux d x x u x

+ = ⇒ = − ⇒ = −

⇒

12ln u 2 ln x cst u

xλ

= − + ⇒ =

La solution particulière cherchée sous la forme: ( )

1 2

C xz

x= donne:

( ) 12 2

C' 1 1C x x cst z / cst 0x x x

= ⇒ = + ⇒ = =

⇒

( ) 11 2

1z x ;x xλ

λ = +

Comme: ( ) ( )z x dxy x e= ∫ , l'intégration de z(x) donne:

1 12 22

1z d x d x ln xx x xλ − λ⎛ ⎞

= + + λ = + + λ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

D'où: 1

2ln xxy e− λ

+ + λ= ⇒

1 1 2

2Kxy K x e / K ; K= ∈

19. Exemple: "Equilibre de la chaînette":

Les équations de la statique appliquées à une chaînette ou à un

câble conduisent à l'équation:

( ) 21y" 1 y '= +α

En posant: 2

22

d y d y d p d p 1y ' p 1 pd x d x d x d x

= = ⇒ = ⇒ = +α

Les variables se séparent:



( )21 12

d p d x x xLn p 1 p p Sh1 p

⎛ ⎞= ⇒ + + = + λ ⇒ = + λ⎜ ⎟α α α⎝ ⎠+

Une dernière quadrature donne la fonction "chaînette":

1 2xy Ch ⎛ ⎞= α + λ + λ⎜ ⎟α⎝ ⎠



20. Exemple: "Trajectoire plane":

Un mouvement plan est tel que le rayon de courbure de la trajectoire vaut, au signe près, deux fois la "normale":

cR 2 N M= − .

Quelque soit la courbe, la "normale" s'exprime par:

2 2 22

2

d x d yds d yN M y y y 1 y 1 y 'd x d x d x

+= = = + = +

Et la courbure vaut:

( )3

2c 2

1 y"R 1 y '

=+

On obtient alors la relation:

( )3 2

2c 2

1 y" 1 1R 2 N M 2 y 1 y '1 y '

− −= = = ⇒

++

( )2

y" 12 y1 y '−

= ⇒+

22 y"y y ' 1 0+ + =

De cette équation différentielle on va déduire l'équation de la trajectoire.

La variable n'apparaissant pas, posons: d p d p d y d py ' p y" pd x d y d x d y

= ⇒ = = =



Le report dans l'équation différentielle donne: 2d p2 y p p 1 0d y

+ + =

Les variables se séparent:

( )22

2 p d p d y ln y ln 1 p cst1 p y

−= ⇒ = − + + ⇒

+

2

K K d y d yy p y ' 1 d x1 p y d x K 1

y

±= ⇒ = = ± − = ⇒ =

+−

La dernière quadrature n'est pas très évidente:

( )2 2

1 K K 2 y d yd y y d y 2d xK K y y K y y1y

± − +± ±= = = ⇒

− −−

( )2 2

K 2 y d yK d y 1d x2 2K y y K y y

−= ±

− −∓

La constante arbitraire R semble plus adaptée: KR2

= ⇒

( )2 2

2 R 2 y d yd y 1d x R22 R y y 2 R y y

−= ±

− −∓

( )2

2

ydRd x R d 2 R y y

y y2R R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ± −⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

( )2

2

ydRd x R d 2 R y yy y1 1 2R R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ± −

⎛ ⎞− + − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

( )2

2

ydRd x R d 2 R y y

y1 1R

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ± −

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

( )2

2

yd 1Rd x R d 2 R y yy1 1R

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= −⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

∓ ∓



En restant dans les abscisses positives l'intégration donne:

20 0

yx R Arccos 1 2 R y y x / R ; xR +

⎛ ⎞= − − − + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

C'est en fait, l'équation d'une cycloïde. Car pour 0x 0= , en posant:

22 2

2

y 2 y y| cos 1 sin 1 cosR R R

θ θ = − ⇒ θ = − θ = +

2 etR sin 2 y R y R cos R y⇒ θ = + θ = −

On obtient la représentation paramétrique classique de la cycloïde:

( )( )

x R siny R 1 cos= θ − θ⎧

⎨ = − θ⎩



1.4. Sur les équations différentielles linéaires d'ordre deux

La structure générale est: ( ) ( ) ( )y" p x y ' q x y s x+ + =

Sous cette forme, le terme ( )s x est qualifié de second membre.

Deux solutions particulières ( ) ( )1 2ety x y x seront linéairement indépendantes si leur rapport est différent

d'une constante: ( )( )

1

2

y xcst

y x≠ ; dans ce cas leur wronskien ( )W x n'est pas nul:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )def 1 2

1 2 1 21 2

y x y xW x y x y ' x y ' x y x

y ' x y ' x= = −

Inversement si ( )W x 0= , on déduit que les deux solutions particulières ( ) ( )1 2ety x y x ne sont pas

linéairement indépendantes et ne permettent pas d'exprimer la solution générale.

La connaissance de deux solutions linéairement indépendantes conduit la solution générale:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2y x y x y x /= λ + λ λ λ ∈et

ou plus généralement:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2y x y x y x / ; ; y ; y⎡ ⎤= λ + λ λ λ ∈⎣ ⎦ℜ

En introduisant l'équation sans second membre:

( ) ( )z" p x z ' q x z 0+ + =

dont la solution générale est de la forme:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2z x ; ; z x z xλ λ = λ + λ ,

la connaissance d'une seule solution particulière ( )1y x de l'équation complète, permet d'exprimer sa solution

générale sous la forme:

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1y x ; ; z x ; ; y xλ λ = λ λ +

Sans solution "évidente", on détermine une solution particulière ( )1y x de l'équation complète telle que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2y x C x z x C x z x= +



avec: ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 11 2et

s x z x s x z xC' x C' x

x x− −

= =ω ω

et où: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x z x z ' x z ' x z xω = − Si on connaît une solution particulière ( )1z x de l'équation sans second membre, il est possible de déterminer une deuxième solution linéairement indépendante par quadratures:

( ) ( )( )

( )

p x d x

2 1 21

ez x z xz x

−∫= ∫

1.4.1 Equation à coefficients constants

d a d bz" a z ' b z 0 ; 0d x d x

+ + = = =

En cherchant des solutions particulière de la forme: ( ) ( )1

r xz x e= , on est conduit à résoudre l'équation

caractéristique: 2r a r b 0+ + =

si 1 2r r≠ ∈ ⇒

( ) 1 21 2r x r xz x A e B e / r ; r ; A; B⎡ ⎤= + ∈⎣ ⎦ℜ

si 1 2r r= ∈ ⇒

( ) ( ) r xz x A x B e / r ; A; B⎡ ⎤= + ∈⎣ ⎦ℜ

21. Exemple: "Oscillateur harmonique":

Une masse attachée à un ressort oscille sans frottement. L'équation du mouvement

( )x t est:

2

2

d xm k x m g 0d t

+ + =

Où etm, k g sont des constantes réelles positives. En posant: 2 km

Ω = , il vient:

2x '' x g+ Ω =



L'équation associée sans second membre: 2z '' z 0+ Ω = est nommée "équation de l'oscillateur harmonique",

elle permet d'écrire: 1x z x= +

En cherchant une solution particulière constante: 1x cst x ' x" 0= ⇒ = =

on vérifie l'équation 21 2

g0 cst g cst x+ Ω = ⇒ = = −Ω

Pour l'équation sans second membre: 2 2 2z '' z 0 r 0 r i+ Ω = ⇒ + Ω = ⇒ = ± Ω ⇒

( ) i t i tz t C e D e C ; DΩ − Ω⎡ ⎤= + ∈⎣ ⎦ℜ

⇒

( ) ( ) ( )z t A cos t B sin t / A ; BΩ Ω= + ∈

ou:

( ) ( )z t A cos t / A ;Ω= + ϕ ϕ∈

⇒

( ) ( ) 2

gx t A cos tΩ= + ϕ −Ω



22. Exemple: "Distribution de la température d'une barre longue":

Une barre métallique très longue est encastrée dans un mur chaud dont la température excède celle de l'air de la

valeur 0θ .

Le régime permanent atteint, l'excès θ de température sur l'air, pour la position x sur la barre est gouverné par

l'équation:

22

2

d 0 / cstd xθ− κ θ = κ =

C'est une équation sans second membre. On cherche des solutions particulières de la forme: ir xeθ = . Ce qui

conduit à l'équation caractéristique: 2 2

ir xr 0 r e±− κ = ⇒ = ± κ ⇒ θ = ⇒

r x r xA e B e / A ; B cst−θ = + =

1.4.2 Equation de l"oscillateur amorti": Nous verrons plus loin plusieurs applications physiques obéissant à l'équation différentielle linéaire du second

ordre sans second membre qui suit:

2y" 2 y' y 0 / ; cst+ α + Ω = α Ω =

La solution générale étant de la forme: ( )y t ; A ; B , on cherche des solutions particulières de la forme:

ir ty e= . L'équation caractéristique s'écrit alors:

2 2r 2 r 0+ α + Ω =

⇒

2 2r = − α ± α − Ω

Trois classes de solutions sont possibles:



i) 2 2α > Ω , posons : 2 21 2etr rβ = α − Ω ⇒ = − α + β = − α − β ⇒

( ) ( )t ty A e B e / A ; Bβ − α − β + α= + ∈

ii) 2 2α = Ω , ⇒

( )ty e A B t / A ; B− α= + ∈

iii) 2 2α < Ω , posons : 2 21 2etr i r iβ = Ω − α ⇒ = − α + β = − α − β ⇒

( ) ( ){ }i t i ty C e D e / C ; D

− α + β − α − β= ℜ + ∈

{ }i t i tty e C e D eβ − β− α= ℜ + ⇒

( ) ( ){ }ty e C cos t i sin t D cos t i sin t− α= ℜ β + β + β − β ⇒

( ) ( ) ( ) ( ){ }ty e cos t C D i sin t C D− α= ℜ β + + β − ⇒

( ) ( )( )ty e A cos t B sin t | A ; B− α= β + β ∈

En récapitulant, les solutions de l'oscillateur amorti s'écrivent:

( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2t t

t

t

i) y A e B e

ii) y A B t e

iii) y e A cos t B sin t

A ; B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

α −Ω − α − α −Ω + α

− α

− α

α > Ω ⇒ = +

α = Ω ⇒ = +

⎡ ⎤α < Ω ⇒ = Ω − α + Ω − α⎢ ⎥⎣ ⎦

∈



23. Exemple: "Décharge d'un condensateur dans une bobine":

Pour la tension u à ses bornes, la décharge d'un condensateur

dans un circuit RLC aboutit à l'équation:

2

2

d u R d u 1 u 0d t L d t L C

+ + =

En posant: 2etR 1

2 L L Cα = Ω = , on est ramené à l'exemple "Oscillateur amorti".

Les solutions sont donc:

( ) ( ) L C

2 2

2 2

2 2 2 2

1 R 1 R

L C 4 L L C 4 L

R 4 R 41 1 1 12 L2 L R C R C

1R2 L

R2 L

t t

tt

t

Li) R 2 u A e B eC

Lii) R 2 u A B t e A B t eC

Liii) R 2 u e A cos t B sin tC

A ; B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

− − − − +

−−

−

> ⇒ = +

= ⇒ = + = +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∈



24. Exemple: "Relaxation d'une suspension":

Par rapport à l'équilibre, l'élongation ( )x t d'une suspension aboutit à

l'équation:

2

2

d x d xm f k x 0d t d t

+ + =

En posant: 2etf k

2 m mα = Ω = ,

là encore on est également ramené à l'exemple "Oscillateur amorti".

Les solutions sont donc:

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

k f k f

m 4 m m 4 m

f 4 k f 4 k1 1 1 12 m2 m f f

f kmm2

f2 m

t t

t t

t

i) f 2 k m x A e B e

ii) f 2 k m x A B t e A B t e

iii) f 2 k m x e A cos t B sin t

A ; B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

− − − − +

− −

−

> ⇒ = +

= ⇒ = + = +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞< ⇒ = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∈



1.4.3 Equation de l'oscillateur activé par un signal sinusoïdal: Plusieurs applications physiques obéissent à l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients

constants, dont le second membre est une fonction sinusoïdale:

( )2x" 2 x ' x cos t ; ; ; ;+ α + Ω = χ ω α Ω χ ω ∈

L'équation sans second membre associée a été traitée plus haut avec l'exemple "Oscillateur amorti": 2y" 2 y ' y 0+ α + Ω =

Dont la solution générale ( )y t ; A ; B permet d'exprimer la solution de l'équation complète:

( ) ( ) ( )1x t ; A ; B y t ; A ; B x t= +

assujettie à la connaissance d'une solution particulière ( )1x t . Pour cette dernière il semble évident d'essayer

de la chercher sous la forme: ( )1 etx A cos t / A += ω − ϕ ∈ ϕ∈

On déterminera les constantes etA ϕ par identification dans l'équation différentielle complète.

( )1x A cos t= ω − ϕ ⇒

( )1x ' A sin t= − ω ω − ϕ ⇒

( )21x" A cos t= − ω ω − ϕ

⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2A cos t 2 A sin t A cos t cos t− ω ω − ϕ − α ω ω − ϕ + Ω ω − ϕ = χ ω

⇒

( ) ( ) ( ) ( )2 2 A cos t 2 A sin t cos tΩ − ω ω − ϕ − α ω ω − ϕ = χ ω

Pour déterminer la phase ϕ , considérons 2 valeurs particulières de tω :

Si ( ) ( )ett cos t 1 sin t 0ω = ϕ ⇒ ω − ϕ = ω − ϕ =

⇒

( ) ( )2 22 2

AA cos cos

Ω − ωΩ − ω = χ ϕ ⇒ ϕ =

χ

Si ( ) ( )ett cos t 0 sin t 12π

ω = ϕ + ⇒ ω − ϕ = ω − ϕ =

⇒

2 A2 A cos sin sin2π α ω⎛ ⎞− α ω = χ ϕ − = χ ϕ ⇒ ϕ =⎜ ⎟ χ⎝ ⎠



⇒

( ) ( )2 2 2 2

2 2tan arctan⎛ ⎞α ω α ω⎜ ⎟ϕ = ⇔ ϕ =⎜ ⎟Ω − ω Ω − ω⎝ ⎠

Pour obtenir l'amplitude A:

( )2 22 2

2 2A2 Asin cos 1

⎛ ⎞Ω − ω⎛ ⎞α ω ⎜ ⎟ϕ + ϕ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟χ χ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

( )2 2 2 2 2A

4

χ=

α ω + Ω − ω

Ce qui donne la solution particulière cherchée:

( )

( ) ( )1 2 22 2 2 2 2

cos t 2x / tan4

χ ω − ϕ α ω= ϕ =

Ω − ωα ω + Ω − ω

Puis les solutions générales:

( ) ( ) ( )1x t ; A ; B y t ; A ; B x t= +

⇒

( ) ( ) ( )

( )2 2 2 2 2

cos tx t ; A ; B y t ; A ; B

4

χ ω − ϕ= +

α ω + Ω − ω

Sachant que la phase ϕ est telle que: ( )2 2

2tan α ωϕ =

Ω − ω

⇒



( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

t t

t

t

x A e B ei) cos t

4

cos tii) x A B t e

4

x e A cos t B sin t

iii) cos t

4

A ; B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

α − Ω − α − α −Ω + α

− α

− α

= +α > Ω ⇒ χ ω − ϕ

+α ω + Ω − ω

χ ω − ϕα = Ω ⇒ = + +

α ω + Ω − ω

⎡ ⎤= Ω − α + Ω − α⎢ ⎥⎣ ⎦α < Ω ⇒ χ ω − ϕ

+α ω + Ω − ω

∈

Remarques: dans une application physique réaliste, ( )x t doit rester fini. Par conséquent lorsque la variable

temporelle est suffisamment importante, les termes exponentiels deviennent négligeables, et la solution s'exprime

alors sous la forme:

( ) ( )

( ) ( )2 22 2 2 2 2

cos t 2t x t | tan4

χ ω − ϕ α ω→ ∞ ⇒ ϕ =

Ω − ωα ω + Ω − ω∼

L'influence des conditions initiales caractérisées par les constantes A et B, a disparu et l'expression ne dépend

plus que de la solution particulière déterminée.

L'excitation est un signal de pulsation ω : ( )cos tω et la réponse ( )cos tω − ϕ présente la même

pulsation mais avec un déphasage ϕ tel que:

( )2 2

2tan α ωϕ =

Ω − ω

Le rapport des amplitudes, c'est-à-dire le gain γ est donné par:



( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 22 2e

AX 4 4

χ Ω Ωγ = = =χ

α ω + Ω − ω α ω + Ω − ω

( )( )

2

2 2 2 2 24

Ω= = ωα ω + Ω − ω

γ γ

Ce gain dépend de la pulsation d'excitation. Le tracé de la courbe montre un maximum pour une pulsation Rω

dite de résonance:

2 2R

d 0 2dγ= ⇒ ω = Ω − α

ω

Pour la résonance, le gain vaut:

( )2

R 2 22Ω

γ ω =α Ω − α

On observe que:

Ω = α ⇒ γ → ∞

Ces données seront critiques et déterminantes pour les applications physiques ( structures métalliques, circuits

électriques etc…)



25. Exemple: "Véhicule sur une route ondulée en sinusoïdes":

La masse m subit une excitation sinusoïdale:

( ) ( )E E EX t X cos t i | X ; += ω ω ∈

A travers un ressort de raideur k . L'amortisseur fluide est caractérisé

par le coefficient f .

La position de la masse est gouvernée par l'équation:

( )2

E2

d x d xm f k x X cos t 0d t d t

⎡ ⎤+ + − ω =⎣ ⎦

Soit: ( )Ef k kx" x ' x X cos tm m m

+ + = ω

En posant: 2E

f k k; ; X2 m m m +α = Ω = χ = ∈ ⇒

( )2x" 2 x ' x cos t+ α + Ω = χ ω

On retrouve l'exemple précédemment traité: "Oscillateur activé par un signal sinusoïdal", d'où:

( )

( )

( ) ( )

( )

E

2 2 2

2E

2 22 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

k f k f

m 4 m m 4 m

f 4 k f 4 k1 1 1 12 m2 m f f

f2 m

f2 m

t t

t

t

x A e B ei) f 2 k m k X cos t

f k m

f X cos tii) f 2 k m x A B t e

f m16 m f 4

x e A cos t B sin t

iii) f 2 k m

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

− − − − +

−

−

= +> ⇒ ω − ϕ

+ω + − ω

ω − ϕ= ⇒ = + +

ω + − ω

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

< ⇒( )

( )E

2 2 2 2

k X cos t

f k m

A ; B

⎤⎥⎥⎦

ω − ϕ+

ω + − ω

∈



26. Exemple: "Alimentation sinusoïdale d'un circuit RLC":

Un circuit RLC en série alimenté par une tension sinusoïdale. La charge q du condensateur conduit à l'équation:

( )2

2

d q d q 1L R q E cos td t d t C

+ + = ω

En posant: 2 etR 1 E;

2 L L C Lχ =α = Ω = , on est ramené à

( )2q" 2 q ' q cos t+ α + Ω = χ ω

( ) ( ) ( ) 21q t ; A ;B p t ; A ;B q t | p" 2 p ' p 0⇒ = + + α + Ω =

D'après l'exemple: "Oscillateur activé par un signal sinusoïdal" , vu plus haut:

⇒

( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2t t

t

t

i) p A e B e

ii) p A B t e

iii) p e A cos t B sin t

A ; B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

α −Ω − α − α −Ω + α

− α

− α

α > Ω ⇒ = +

α = Ω ⇒ = +

⎡ ⎤α < Ω ⇒ = Ω − α + Ω − α⎢ ⎥⎣ ⎦

∈

et:

( )

( ) ( )1 2 22 2 2 2 2

cos t 2q | tan4

χ ω − ϕ α ω= ϕ =

Ω − ωα ω + Ω − ω

La solution générale est telle que: 1q p q= + .



En revenant aux notations initiales:

( )

( )1 2

2 2 2 2 2

E C cos t R Cq | tan1 L CR C 1 L C

ω − ϕ ω= ϕ =

− ωω + − ω

⇒

( )

( )

( ) ( )( )

( )

2 2 2 2

L C

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

1 R 1 R

L C 4 L L C 4 L

R 4 R 41 1 1 12 L2 L R C R C

1R2 L

R2 L

t t

tt

t

q A e B eE C cos tLi) R 2

C R C 1 L C

q A B t e A B t e

E C cos tLii) R 2C R C 1 L C

q e A cos t B sin t

Liii) R 2C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

− − − − +

−−

−

= +

ω − ϕ> ⇒ +

ω + − ω

= + = +

ω − ϕ= ⇒ +

ω + − ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

< ⇒( )

( )2 2 2 2 2

E C cos t

R C 1 L C

A ; B

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ω − ϕ

+ω + − ω

∈



1.4.4 Equations de Bessel

De nombreuses applications se ramènent à la résolution de l'équation de Bessel:

( )2 2 2x y" x y ' x y 0+ + − ν = ν ∈

En cherchant des solutions particulières sous la forme de séries entières, on obtient une première solution

particulière ( )J xν nommée fonction de Bessel de première espèce:

( ) ( )( )

defCV

r 2 r

r 0

1x xJ x / x R2 r! r 1 2ν

ν ∞

=

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= < → ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ ν + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

Dans le cas où ν ∉ , la solution générale de l'équation de Bessel s'écrit:

( ) ( ) ( )y x A J x B J x /ν −ν= + ν ∉

Si nν = ∈ , ( ) ( )( )

rn 2 r

nr 0

1x xJ x2 r! n r ! 2

∞

=

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

avec en particulier: ( ) ( )( )0

r2 4 2 r

21x 1 x x. . . . . .J x 1

2 4 2 2r!

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Mais ( ) ( )n nJ x J x−et ne sont pas linéairement indépendants. En cherchant une deuxième solution

particulière, on obtient alors la fonction de Weber ( )nY x ou fonction de Bessel de seconde espèce:

( ) ( ) ( )

( )( )

def2 r nn 1

n nr 0

r 2 r n

r 0

n r 1 !2 x 1 xY x Ln J x2 r! 2

11 x 1 1 1 11 1r! n r ! 2 2 r 2 n r

... ...

−−

=

+∞

=

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= γ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎡ ⎤− ⎧ ⎫⎛ ⎞− + + + + +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟π + +⎝ ⎠⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

∑

∑

Avec: r 0

1 1 1 1 1 1lim 1 1 12 r 2 n r 2 n

... ... ...→

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ + + + + = + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ ⎩ ⎭⎩ ⎭,

Ici γ est la constante d'Euler: 0.5772156649015325...γ =

La solution générale de l'équation de Bessel entière:

( )2 2 2x y" x y ' x n y 0 | n+ + − = ∈

Etant alors: ( ) ( ) ( )n ny x A J x B Y x | n= + ∈




2

1 1y" y ' 1 y 0x 4 x

⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

En multipliant par 2x l'équation:

2 2 1x y" x y ' x y 04

⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

on retrouve une équation de Bessel pour 12

ν = , la solution générale s'écrira donc:

( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2y x A J x B J x−= +

Remarques pour 12

ν = ± En posant: ( ) ( ) ( )12

u xy x u x x

x−

= = ⇒

1 3 1 3 32 2 2 2 21 3

et2 4

y ' u ' x u x y" u" x u ' x u x− − − − −

= − = − +

Le report dans l'équation différentielle conduit à la relation: u" u 0+ =

Qui caractérise l'oscillateur harmonique dont la solution générale est:

( ) ( ) ( )u x C sin x D cos x / C;D= + ∈

⇒ ( ) ( ) ( )sin x cos xy x C D

x x= +

En comparant pour les valeurs initiales les développements en série entière des fonctions "circulaires" et des

fonctions de Bessel "demi-entières", on déduit que:

( ) ( )1/ 22J x sin xx

=π

et ( ) ( )1/ 22J x cos xx− =

π



1.4.5 Equations besseliennes Certaines équations rencontrées dans les applications, après changement de variable ou de fonction conduisent

à l'équation de Bessel. On les nommera équations besseliennes. Voici deux formes couramment rencontrées dans

les applications:

i) ay" y ' b y 0 / a ;bx

+ + = ∈

Avec: 1 a

2−

ν =

on obtient la solution générale sous la forme:

( ) ( ) ( )y x A x J x b B x Y x bν νν ν= +

Ou plus généralement:

ii) 2

ma cy" y ' b x y 0 / a ;b;c mx x

⎛ ⎞+ + + = ∈ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

et

En posant:

( ) ( )2 m 2

21 a 4 c 2 b

u x xm 2 m 2

+− −ν = =

+ +et

On obtient la solution générale sous la forme:

( ) ( )( ) ( )( )1 a 1 a

2 2x xy x A x J u B x Y u− −

ν ν= +

28. Exemple: "La corde de Bernoulli":

Une corde de masse linéique uniforme, accroché à un point fixe est susceptible

d'osciller autour de la verticale. Soit Ox l'axe vertical et Oy l'axe horizontal, pour un

léger écart du fil par rapport à la verticale, Daniel Bernoulli a déterminé en 1732

l'équation du mouvement de la corde:



2

2

y yg xt x x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Par la méthode de séparation des variables, on pose: ( ) ( ) ( )y x ; t x t= ψ τ , il vient en se limitant aux

solutions périodiques dans le temps:

2" " 'g cst⎛ ⎞τ ψ ψ= + = = − ω⎜ ⎟τ ψ ψ⎝ ⎠

Le choix de l'origine temporelle et de l'amplitude initiale impliquent:

( ) ( ) ( ) ( )20

0

A 1t 0

" t A cos t t t cos t=→

τ= − ω ⇒ τ = ω − ω ⎯⎯⎯⎯→ τ = ω

τ

⇒

2

x " ' 0gω

ψ + ψ + ψ =

Cette équation besselienne détermine la dépendance spatiale, en effet: 21 1" ' 0

x g xω

⇒ ψ + ψ + ψ =

Avec: 2

a 1 ; b ; c 0 ; m 1gω

= = = = −

Ce qui donne: ( ) x0 et u x 2g

ν = = ω

D'où: ( ) 0 0x xx A J 2 B Y 2g g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ = ω + ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Le mouvement complet de la corde s'exprimera sous la forme:

( ) ( )0 0x xy x A J 2 B Y 2 cos tg g

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ω + ω ω⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Quelques "clichés " instantanés du mouvement de la corde.

29. Exemple: "Le tambour":

L'impulsion initiale appliquée sur le tambour

cylindrique de rayon R, est effectuée au centre

de celui-ci. Les ondes circulaires engendrées

ont une amplitude radiale ( )z r donnée par

l'équation:

2

1z" z ' z 0r c

λ+ + =

La constante c est la célérité des ondes et λ

est un coefficient caractérisant, suivant les

conditions aux limites, les harmoniques

possibles.

C'est une équation "besselienne", en effet en posant dans la première forme:

2a 1 et bcλ

= =

Il vient: ( ) 0 0z r A J r B Y rc c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞λ λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



30. Exemple: "Le pendule en chewing-gum":

Une petite masse unité est attachée à un fil de longueur qui s'allonge comme fonction linéaire du temps sous la

forme: g t= ; g étant l'accélération de la pesanteur (c'est aussi le mouvement d'une charge sous une

grue).

On montre que l'équation gouvernant les petites oscillations est alors:

2

2

d dt 2 0d t d tθ θ+ + θ =

Cette équation "besselienne" avec:

a 2 ; b 1 ; c 0 ; m 1= = = = −

admet comme solution générale:

( ) ( ) ( )1 1A Br J 2 t Y 2 t

t tθ = +

Documents

Mathématiques Appliquées à la Physiqueww2.cnam.fr/physique/MAP/2011-10-29_MAP_equadif_PN.pdf · Par ailleurs: dis PN dis PO dis ON x x y() ( )=+ =−++22 et la pente de la normale