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Mathématiques pour le traitement du signal
C. Jauberthie - E. Montseny
v1 - 2015/2016
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Table des matières
1 Séries 7
1.1 Rappels sur les suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Dénitions et premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Propriétés et théorème important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Intégration 31
3 Transformation de Fourier et peigne de Dirac 33
4 Résolution d'équations diérentielles linéaires 35
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Résolution des équations diérentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Méthodologie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 EDO linéaires d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.3 EDO linéaires à coecients constants d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . 41
5 Algèbre linéaire 47
5.1 Espaces Vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.3 Familles libres et génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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5.1.4 Bases, dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.1 Rappels sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.1 Des applications linéaires aux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.2 Dénitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3 Structure deMm,n(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.4 Propriétés et opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.5 Matrices de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Réduction d'endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4.1 Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres . . . . . . . 65
5.4.2 Diagonalisation de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 Probabilités et statistiques 69
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Introduction et références
Le but de ce cours est d'introduire de manière la plus pragmatique possible, sans pourautant sacrier la rigueur, quelques-unes des nombreuses notions d'analyse et d'algèbre in-dispensables pour le traitement du signal et l'ingénierie en général.
Les notions abordées sont vastes et nécessitent chacune un module à part entière pourêtre correctement approfondies ; ainsi, elles sont étudiées dans ce cours dans leur forme laplus simple an de donner les bases nécessaires au lecteur désireux d'en savoir plus et ainsilui permettre de se référer à des ouvrages spécialisés ; quelques ouvrages de référence, réputéspour leur qualité pédagogique et leur rigueur, sont donnés ci-dessous, à titre informatif.
Quelques ouvrages pour s'entraîner : Mathématiques, Jean-Marie Monier, édition Dunod (il en existe plein pour à peu près
toutes les classes préparatoires !) Les maths en tête, tome d'Analyse ou tome d'Algèbre, Xavier Gourdon, édition El-
lipses (une référence, mais un peu plus dicile d'accès). Analyse numérique et équations diérentielles, Jean-Pierre Demailly, EDP Sciences.
Tout autre ouvrage de mathématiques pour licence ou classes préparatoires. Tous les petits exemples et exercices éparpillés dans ce poly !
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Chapitre 1
Séries
Pré-requis indispensables : Notions sur les suites numériques. Notions classiques sur les fonctions d'une variable réelle et calculs d'intégrales simples. Calculs de dérivées et primitives usuelles. Calculs de limites et règles de comparaison classiques (exp/ln/pol - fonctions trigo). Notions d'équivalence (∼) de fonctions en un point. Développements limités usuels. Techniques basiques de décompositions en éléments simples.
1.1 Rappels sur les suites numériques
On se cantonne dans ce cours aux suites numériques réelles, mais les résultats s'étendentsans diculté au cas des suites complexes.
Dénition 1.1.1
Une suite numérique est une application à valeur réelle (ou complexe) dont l'argumentest un nombre entier, soit : u : N 7→ R. Par commodité, on note u = (un)n∈N ou u =(un)n≥0 un tel objet.
Les suites peuvent être dénies de manière explicite (expression de un en fonction de n),ou alors par récurrence (expression de un+1 en fonction de un, un−1 etc. et de conditions ini-tiales). Dans ce cours, les suites servant essentiellement pour l'étude de séries, on manipuleraprincipalement des suites explicitement dénies, mais il est important de savoir manipulerles relations de récurrence !
Exemples : Voici quelques exemples de suites numériques classique. Suite arithmétique (dénie par récurrence) : vn+1 = vn + a ∀n > 1, v(0) = 0. Suite géométrique (dénition explicite) : un = an pour tout n ∈ N, avec a > 0. wn = 2n
n! ∀n > 1.
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Naïvement, on peut noter qu'une suite est une fonction dont l'argument n est déni surun ensemble dénombrable (N ou un sous-ensemble de N le plus souvent, ou encore Z) au lieud'être une variable x dénie sur un continuum de valeurs (R,C etc.)
Ainsi, on peut additionner et multiplier des suites (lorsqu'elles ont le même ensemble dedénition évidemment) comme on peut le faire pour les fonctions, et un grand nombre denotions élémentaires sur les fonctions se transpose sans dicultés aux suites ; en particulier,les notions de limite (à l'inni), de borne, de croissance, nous seront utiles.
Dénition 1.1.2
Soit une suite u = (un)n∈N. u est dite bornée si ∃ M ∈ R tel que ∀n ∈ N, |un| 6M . On dit que la suite u converge vers l si la limite de u à l'inni est égale à l, i.e.∀ε ≥ 0, il existe un indice N ∈ N à partir duquel on est assuré que :
|un − l| 6 ε, ∀n > N. (1.1)
Le nombre l est également appelé limite de la suite u ; elle est unique (trèssimple à démontrer, à faire pour s'amuser).
u est dite majorée (resp. minorée) si ∃ M ∈ R (resp. m ∈ R) tel que un 6 M(resp. un > m) pour tout n. On notera que u est majorée et minorée équivaut à ubornée.
u est dite croissante si un+1 > un pour tout n ∈ N. La dénition d'une suitedécroissante est alors évidente.
Important : La notion de "propriété valable à partir d'un certain rang", implicitement intro-duite dans la dénition précédente, est essentielle dans tout ce cours sur les suites et sériesnumériques ; il convient de bien se familiariser avec cette notion qui est à la base de nombreuxrésultat et raisonnements.
Bien sûr, toutes les règles usuelles de calcul de limites dans le cadre des fonctions de lavariable réelle (comparaison polynôme-exponentielle-logarithme, fractions rationnelles, etc.)restent valables dans le cadre des suites.
Exemples : Reprenons les suites de l'exemple précédent : Quelle que soit la valeur de a, on se doute bien qu'une telle suite va tendre vers +∞. Pour
le montrer, il faut exprimer vn en fonction de n en exploitant la relation de récurrence :vn = vn−1 + a = vn−2 + 2a = ... = an.
La convergence de un dépend de la valeur de a ; si a < 1, la suite converge vers 0, si a > 1est elle évidemment divergente (sa limite est +∞). Si a = 1, sa limite vaut 1.
Pour wn le résultat est moins immédiat, car on est a priori en présence d'une forme indéter-minée. Soit m > 2 un nombre entier. A partir d'un certain rang n > m, on peut écrire :
2n
n!=
2m
m!
2n−m
n!/m!=
2m
m!
2n−m
n(n− 1)... (m+ 1)︸ ︷︷ ︸=n−(n−m+−1)
62m
m!︸︷︷︸Cte
2n−m
mn−m︸ ︷︷ ︸→0 car m>2
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Une autre démonstration plus élégante utilise la notion d'équivalence à l'inni (cf. après ladénition 1.1.5) et la formule de Stirling.
Exercices : Calculer les limites des suites :
an = 3n2+5n+25n3−5n2 → 0
bn = 3n+22n−3 →
32
cn = nlnn → +∞
dn = (−1)n
2n → 0
Attention : une suite (de même qu'une fonction) peut ne pas avoir de limite !Exemple : La suite dénie par un = n cos
(nπ2
)n'a pas de limite (tracer ses valeurs dans le
plan en s'aidant du cercle trigo).
Proposition 1.1.3 (Stabilité)
Si u et v sont deux suites convergentes vers a et b respectivement, alors u + v et uv
convergent vers a + b et ab respectivement ; le résultat reste valable pouru
vsi b 6= 0.
Enn, λu converge vers λa.
On donne ci-après un résultat de convergence utile pour l'étude des séries.
Proposition 1.1.4
Toute suite croissante majorée est convergente.
Démonstration : Évidente avec un raisonnement par l'absurde : une suite croissante nonconvergente a nécessairement pour limite +∞, ce qui est contradictoire avec l'hypothèsede suite majorée.
Dénition 1.1.5 (Équivalence de deux suites)
Deux suites numériques u := (un)n>0 et v := (vn)n>0 sont dites équivalentes (lorsquen → +∞) si et seulement si u − v négligeable devant v, i.e. s'il existe une suite (εn)n>0
avec limn→+∞
εn = 0 telle qu'à partir d'un certain rang un = vn + εnvn1. On le note u ∼
∞v.
Lorsque vn ne s'annule pas à partir d'un certain rang, cette dénition peut égalements'écrire plus simplement :
u ∼∞v ⇔ lim
n→+∞
unvn
= 1. (1.2)
Remarque importante : On notera que la relation ∼ est conservée par le produit (u1 ∼ u2 et v1 ∼v2⇒ u1v1 ∼ u2v2) et par l'élévation à n'importe quelle puissance α ∈ R (u ∼ v ⇒ uα ∼ vα, doncen particulier pour la notion d'inverse avec α = −1) mais n'est pas compatible avec l'addition 2
et encore moins avec la composition d'équivalents !
1. En d'autres termes, un est égal à vn plus éventuellement quelquechose de négligeable devant vn, ce quiest plus faible que d'imposer u− v → 0, qui est susant mais non nécessaire.
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Il n'y a pas de règle générale pour la composition. Par exemple x + 1 ∼∞x, et pourtant ex+1 =
exe1 ex ; en réalité, il faut s'assurer au préalable que la diérence entre la fonction et sonéquivalent (i.e. ce que l'on décide de négliger) tende bien vers 0 ! Pour la composition par le log,c'est plus logique, il faut s'assurer que l'équivalent ne s'approche pas de la valeur 1 au voisinagedu point.
La notion d'équivalence entre suites sera essentielle dans l'étude des séries numériques. Ilest indispensable de savoir manipuler les calculs de limites et les règles de développementslimités usuels (qui seront utilisés en 1
nqui est voisin de 0) an d'établir simplement ces
équivalences.
Exemples : On peut reprendre l'exemple wn = 2n
n! ∀n > 1 déjà traité, et utiliser la formule de
Stirling : n! ∼∞
√2πnn+ 1
2 e−n. Ainsi, on a après calculs :
wn ∼∞1√2π
e−n lnn −→n→+∞
0.
Soit la suite dénie par zn = 1√n
ln(
1 + 1√n
)> 0. Un DL de ln(1 + x) avec x = 1√
n(proche
de 0 lorsque n → +∞) permet d'écrire : ln(
1 + 1√n
)∼∞
1√n, et par suite zn ∼∞
1n , donc la
suite (zn)n∈N converge vers 0.
1.2 Séries numériques
1.2.1 Dénitions et premiers résultats
Les séries numériques sont aux suites ce que les intégrales sont aux fonctions : une somme ;elles constituent un premier pas vers un objet plus général : les séries de fonctions. Lesapplications sont nombreuses, tant de manière directe (séries de fourier, résolutions d'EDP,etc.) qu'indirectes (calculs d'intégrales complexes par exemple).
Dénition 1.2.1 (Série numérique)
Soit (uk)k∈N une suite numérique. Le nombre
Sn =n∑k=0
uk (1.3)
est appelée somme partielle d'indice n (de la suite (uk)). En considérant cette sommepour tout n, on obtient une suite (la suite des sommes partielles), notée (Sn)n∈N, quel'on appelle généralement la série de terme général uk. Elle est fréquemment notée demanière synthétique
∑k∈N
uk ou encore∑uk lorsqu'aucune confusion n'est à craindre.
2. Considérer par exemple − 1n + 1
n3 et 1n + 1
n2 à l'inni : leur somme est égale à 1n2 + 1
n3 ∼∞1n2 , alors que
la somme de leurs équivalents est égale à 0.
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Remarque : Attention de ne pas confondre la suite (un)n∈N et la série∑
n∈N un ! Ceci est d'autantplus facile que l'on a vite tendance à mélanger les indices k et n (muets !) dans les expressionssynthétiques des séries ; il faut apprendre à jongler avec les notations et ne pas s'attacher auxnoms des indices utilisés.
Exemples : Soit la suite uk = k. Alors Sn = 0+1+2+3+ ...+n ; c'est une somme arithmétiquequi vaut : Sn = n(n+1)
2 (résultat bien connu depuis le lycée). Soit la suite uk = ak avec a ∈ R \ 0, 1. Alors Sn = 1 + a+ a2 + ...+ an ; la somme partielle
s'exprime : Sn = 1−an+1
1−a (résultat bien connu également !).
Dénition 1.2.2 (Convergence d'une série numérique)
La série∑
k∈N uk est dite convergente si et seulement si la suite des sommes partielles(Sn)n∈N converge (en tant que suite donc) vers une limite nie S, appelée somme de
la série ; elle peut se noter S =+∞∑k=0
uk (à ne pas confondre avec∑k∈N
uk qui représente la
série en tant qu'objet mathématique !).
Si au contraire limn7→∞
Sn = ±∞, on dit que la série est divergente.
Exemples : Reprenons les exemples précédents. uk = k ; la série
∑k∈N uk est évidemment divergente (somme innie de terme positifs de
plus en plus grands...). uk = ak ; d'après l'expression de Sn et l'étude de sa limite lim
n 7→∞Sn, on peut dire que
∑k∈N uk
est une série convergente si et seulement si 0 6 |a| < 1 et que sa somme vaut 11−a . Si |a| > 1,
la série est divergente.N.B. Si a = 1, alors Sn = n+ 1 −→
n→+∞+∞ donc la série
∑uk diverge également.
Remarque importante : Pour des raisons évidentes, la nature d'une série est inchangée
lorsque l'on ajoute ou retranche un nombre ni de termes (un nombre ni de nombresajoutés ou retranchés ne saurait porter une somme à une valeur innie...) ; couplée à la notionde propriété "à partir d'un certain rang" évoquée pour les suites, elle est très utile dans le cadrede l'étude de la nature d'une série !
Proposition 1.2.3 (Stabilité)
Soient∑
n∈N un et∑
n∈N vn convergentes respectivement vers a et b. Alors∑
n∈N un +∑n∈N vn et
∑n∈N λun (λ ∈ R) convergent respectivement vers a+ b et λa (l'ensemble des
séries numériques convergentes est un espace vectoriel).
La proposition qui suit est essentielle pour l'étude de la nature des séries numériques.Elle doit constituer le premier réexe de tout étudiant avant de se lancer dans les calculs.
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Proposition 1.2.4 (Condition nécessaire de convergence)
Si la série∑
n∈N un converge, alors nécessairement un −→n→+∞
0. Dans le cas contraire, la
série est dite grossièrement divergente.
Attention : la réciproque de ce théorème est évidemment fausse (il sut de considérer∑n∈N
1nqui diverge et pourtant un −→
n→+∞0).
Exercice : Soit la série de terme général un = 1n(n+1) .
La série est-elle grossièrement divergente ? Montrer que la série
∑n>0 un converge en calculant sa somme (une décomposition en élé-
ments simple pourra aider...).Sol : on a un = 1
n −1
n+1 , donc les termes s'annulent deux à deux dans la somme partielle et ona Sn = 1 + 1
n+1 −→n→+∞1 ; la somme de la série est donc égale à 1, et elle est évidemment, de fait,
convergente.
A quelques exceptions académiques près, calculer la somme d'une série de manière ana-lytique relève du miracle (de même que le calcul d'intégrales et de primitives générales estimpossible). Cependant, il n'est pas toujours nécessaire de calculer leur somme : connaîtreleur nature nous sut. De nombreux résultats existent pour nous aider dans cette tâche ;c'est l'objet des sections suivantes.
Quoi qu'il en soit, l'étude de la nature d'une série∑un se fera selon des étapes
séquentielles bien déterminées :
Si un 9 0 alors la série diverge grossière d'après la prop. 1.2.4. Sinon, si un est de signe constant (à partir d'un certain rang), on cherche à appliquer
les règles de la section 1.2.2. Sinon, on cherche à établir la convergence absolue, cf. la prop-def 1.2.13. Sinon, si un est de signe alterné alors on peut essayer le thm 1.2.15. Sinon, utiliser les résultats sur les séries de signe quelconque (cf. thm 1.2.16).
1.2.2 Séries à termes positifs
Avant toute chose, il convient de xer la terminologie.
Dénition 1.2.5 (Séries à termes positifs)
Une série∑n∈N
un est dite à termes positifs si un > 0 à partir d'un certain rang.
Nous avons déjà évoqué le fait que la nature d'une série ne saurait saurait être remise encause par l'ajout ou le retrait d'un nombre ni de termes ; c'est ce qui motive la dénitionprécédente.
De plus, il est évident que la notion de série à termes positifs englobe nalement lesséries à termes de signe constant (à partir d'un certain rang toujours) dans la mesure où le
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cas des séries à termes négatifs se traite en considérant vn = −un > 0 pour l'étudier. Quoiqu'il en soit, il conviendra de toujours vérier au préalable que le terme général unentre bien dans ce cadre avant d'appliquer une des méthodes données dans cettesection !
Le premier résultat ci-dessous est directement déduit du théorème 1.1.4 sur les suites.
Théorème 1.2.6
Soit∑n∈N
un une série à termes positifs. Alors la suite des sommes partielles (Sn)n∈N est
croissante, et on a∑n∈N
un convergente si et seulement si (Sn) est majorée.
Démonstration : On a Sn+1 = Sn + un+1 > un, donc (Sn) est bien une suite croissante ;ainsi, d'après la proposition 1.1.4, si elle est majorée alors elle est convergente, i.e.
∑n∈N
un
convergente.
Exemple : La série∑n∈N∗
1n2 est convergente car 1
k26 1
k(k−1) = 1k−1 −
1k , d'où Sn majorée par
Sn =n∑k=1
1n2 6 1 +
n∑k=2
(1
k−1 −1k
)= 2− 1
n 6 2.
Attention, cela ne signie en aucun cas que la somme de la série vaut 2 !
On donne ci-après quelques techniques classiques pour la détermination de la nature (i.e.dire si elle est convergente ou divergente sans nécessairement avoir à calculer sa somme)d'une série numérique à termes positifs. Il est indispensable de tous les connaître dans lamesure où chacun d'entre eux peut servir ou se révéler peu utile selon l'expression de un.
Un certain nombre des théorèmes qui seront donnés par la suite nécessite de disposer deséries "type" dont on connaît la nature, dans la mesure où ils sont basés sur des comparaisons,équivalences, etc. On donne donc ci-après un résultat qu'il est essentiel de connaîtrepour l'étude des séries numériques.
Proposition 1.2.7 (Séries de Riemann et de Bertrand)
La série (dite de Riemann) de la forme :∑n∈N∗
1
nα(1.4)
converge si et seulement si α > 1.
Un résultat plus général est donné par la série de Bertrand de la forme :∑n∈N∗
1
nα (ln n)β(1.5)
qui converge si et seulement si α > 1 (quelque soit β) ou si α = 1 et β > 1.
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Démonstration : Plusieurs preuves possibles ; notamment une assez simple, basée sur le théo-rème de comparaison avec une intégrale).
On dispose désormais d'une large classe de séries sur laquelle il sera possible de s'appuyerpour utiliser les théorèmes qui suivent.
On introduit ci-après deux règles simples permettant de déterminer la nature d'une sérienumérique en étudiant son terme général. L'une (d'Alembert) est particulièrement utilelorsque l'on est en présence de fonctions puissance ou de factorielles dans le terme généralun, l'autre (Cauchy) lorsque l'on est en présence de puissances nièmes dans le terme généralun.
Théorème 1.2.8 (Règle de d'Alembert)
Soit∑n∈N
un une série à termes positifs telle que limn→+∞
|un+1||un| = l. Alors :
Si l < 1, la série∑n∈N
un converge.
Si l > 1, la série∑n∈N
un diverge.
Si l = 1, on ne peut conclure par cette méthode.
Exemple : Soit la série∑n∈N∗
an
n! avec a > 0. Alors cette série converge d'après le thm. 1.2.8 car
un+1
un= a
n+1 −→n→+∞0 < 1.
Théorème 1.2.9 (Règle de Cauchy)
Soit∑n∈N
un une série à termes positifs telle que lim supn→+∞
n√|un| = l. Alors :
Si l < 1, la série∑n∈N
un converge.
Si l > 1, la série∑n∈N
un diverge.
Si l = 1, on ne peut conclure par cette méthode.
Exemple : Soit la série de terme général un =(
n1+2n
)n. On a n
√un = n
1+2n −→n→+∞
12 < 1 donc la
série∑n∈N
un converge d'après le thm. 1.2.9.
Dans les lignes qui suivent, on introduit toute une série de théorèmes très utiles, permet-tant de déterminer la nature d'une série en la comparant à une autre série dont on connaîtraitla nature (à ce titre, le théorème 1.2.7 est essentiel).
Théorème 1.2.10 (Comparaison)
Soient∑n∈N
un et∑n∈N
vn deux séries à termes positifs telles que un 6 vn à partir d'un
certain rang. Alors :
14
∑n∈N
vn convergente ⇒∑n∈N
un convergente.
∑n∈N
un divergente ⇒∑n∈N
vn divergente.
Démonstration : Ce résultat est particulièrement intuitif (d'accord ?). Pour le démontrer pro-prement, il sut de se référer au théorème 1.2.6. Si vn est convergente, alors la suite dessommes partielles (Svn)n∈N est une suite majorée ; notons M un majorant. Comme un 6 vnpour tout n 3, il est clair que Sun 6 Svn 6M , donc (Sun)n∈N est une suite majorée, et parsuite
∑n∈N
un est une série convergente toujours d'après le théorème 1.2.6.
On démontre le second point de manière similaire ((Svn)n∈N n'est pas majoré).
Il est important de noter que ce théorème peut s'utiliser dans les deux sens, tant pourmontrer qu'une série converge que pour montrer qu'elle diverge.
Exemples : La série∑n>1
1n2+√nconverge car 1
n2+√n6 1
n2 avec∑n>1
1n2 converge (Riemann).
La série∑n>1
lnnn diverge car lnn
n > 1n pour n > 1 et
∑n>1
1n diverge d'après le thm 1.2.10.
Théorème 1.2.11 (Équivalence)
Soient∑n∈N
un et∑n∈N
vn deux séries à termes positifs telles que un ∼ vn lorsque n→ +∞.
Alors∑n∈N
un et∑n∈N
vn sont de même nature (i.e. convergent ou divergent toutes deux).
Exemple : Soit série déjà traitée plus haut :∑n>1
un avec un = 1n2+√n.
On sait que n2 +√n ∼∞n2 (car
√n évidemment négligeable devant n2 à l'inni), donc
un ∼∞1n2 ; comme
∑n>1
1n2 converge (Riemann), on en déduit que
∑n>1
un converge d'après le
thm 1.2.11. Considérons maintenant la série de terme général un = 1√
nln(
1 + 1√n
)> 0. On a vu dans
la section 1.1 que un ∼∞1n . Or
∑n>1
1n diverge (Riemann toujours !), donc il en va de même de∑
n>1un d'après le thm 1.2.11.
Enn, cette dernière règle peut s'avérer très utile pour établir la nature d'une série enpassant par un calcul d'intégrale (ou du moins que l'on peut se prononcer sur sa nature).
Théorème 1.2.12 (Comparaison avec une intégrale)
Soit une fonction f : R+ → R positive et décroissante. Alors, l'intégrale (impropre)+∞∫1
f(x)dx et la série∑n>1
f(n) sont de même nature.
3. après avoir au besoin "placé" l'indice 0 au rang n0 à partir quel c'est vrai pour tout n ; on rappelle quel'ajout/retrait d'un nombre ni de termes ne change pas la nature d'une série
15
Exemple : On va utiliser ce théorème pour établir les conditions de convergence des séries deRiemann données en début de cette section. Soit la fonction f : x 7→ 1
xα avec α > 1 dénie sur[1,∞[ ; elle est positive et décroissante, donc en vertue le théorème 1.2.12, la nature de l'intégrale+∞∫1
f(x)dx déterminera la nature de la série de Riemann associée∑n>1
1nα . Or ∀X > 1 :
X∫1
1
nαdx =
1
−α+ 1
[x−α+1
]X1
=1
−α+ 1
(X−α+1 − 1
). (1.6)
La convergence de cette intégrale lorsque X → +∞ est évidemment fonction de la valeur de α :elle converge (vers 1
α−1) si α > 1 et diverge sinon.
Remarque importante : Il est essentiel de noter que tous les résultats donnés dans cette sectionpeuvent s'utiliser en cascade ! En eet, on peut par exemple déterminer dans un premier tempsun équivalent vn à notre terme général un, puis, an de déterminer la nature de
∑vn, utiliser
un autre résultat tel qu'une comparaison ou encore Cauchy/d'Alembert ; une fois la nature de∑vn établie, on peut alors conclure quant à la nature de
∑un.
1.2.3 Séries à termes de signe quelconque
Lorsque le terme général un n'est pas de signe constant, l'étude de sa nature est moinssimple, mais on dispose malgré tout de nombreux résultats. On ne présentera que quelquesrésultats dans ce cours, le lecteur désireux d'en apprendre plus trouvera son bonheur danstout livre traitant des séries numériques.
La première chose à étudier lorsque l'on est confronté à une série à termes de signequelconque est d'étudier sa convergence absolue.
Proposition-Dénition 1.2.13 (Convergence absolue)
Une série∑n∈N
un est dite absolument convergente lorsque la série∑n∈N|un| est conver-
gente. On peut alors montrer que toute série absolument convergente est conver-
gente.
Si une série est convergente mais n'est pas absolument convergente 4, elle est ditesemi-convergente.
Exemple :∑n∈N
cos(n)n2+1
n'est pas une série à terme général de signe constant. Cependant, on peut
montrer qu'elle est absolument convergente (et donc convergente) par comparaison avec unesérie de Riemann : | cos(n)
n2+1| 6 1
n2 , avec∑n∈N
1n2 converge.
4. Par exemple, la série∑
n∈N∗
(−1)nn .
16
Si la convergence absolue ne donne rien, d'autres résultats existent, notamment pour lesséries dites alternées (i.e. dont le terme général un change de signe à chaque coup.
Dénition 1.2.14 (Série alternée)
On appelle série alternée toute série de la forme∑n∈N
(−1)n an avec an de signe constant
pour tout n.
Théorème 1.2.15
Soit∑n∈N
(−1)n an une série alternée. Si la suite (an)n∈N est décroissante et tend vers 0,
alors la série est convergente, et on a les encadrements et majorations suivants :
... 6 S2n−1 6 S2n+1 6 ... 6 S 6 ... 6 S2n+2 6 S2n 6 ... (1.7)
Rn 6 an+1. (1.8)
On comprend aisément que la convergence de ce genre de série soit notablement moinscontraignante que la convergence absolue dans la mesure où les termes successifs ont lapossibilité de se "compenser" (puisqu'ils ont un signe opposé) et amener la série à convergeralors qu'elle divergerait en valeur absolue.
Exemple : En utilisant ce théorème, on montre sans diculté que la série∑n∈N∗
(−1)n
n est convergente
(an = 1n) alors que l'on sait que la série
∑n∈N∗
1n est divergente.
Pour les séries de signe quelconque qui n'entrerait pas dans ce cadre, les résultats sontmoins nombreux. On en citera un, le plus connu, basé sur la transformation d'Abel, qui estaux séries ce que l'intégration par partie est aux intégrales. Le principal résultat de cettetransformation est le suivant.
Théorème 1.2.16 (Règle d'Abel)
Soit une série de la forme∑n∈N
unvn avec :
(i) (un)n∈N une suite décroissante vers 0,
(ii) ∃M > 0 tel que |n∑k=0
vn| 6M pour tout n.
Alors la série∑n∈N
unvn est convergente.
Remarque : On notera qu'en prenant vn = (−1)n, on retrouve le théorème des séries alternées, lacondition (ii) étant trivialement vériée (M = 1).
17
1.3 Séries entières
Les séries entières sont un cas particuliers simple de séries de fonctions où les fonctionsfn sont des monômes de la forme anx
n. Leur structure particulière fait que leur étude est, inne, assez similaires à celle des séries numériques.
On les retrouve dans de nombreux domaines d'application : développements en sériesentières, séries de Taylor, résolutions d'équations diérentielles, analyse complexe, etc.
Dénition 1.3.1 (Série entière)
On appelle série entière une série (de fonctions) de la forme∑n∈N
anxn avec x une variable
réelle et (an)n∈N une suite numérique.
Remarque : Même si on se bornera dans ce cours à l'étude des séries entières réelles, le cadre s'étendsans diculté aux séries entières complexes
∑anz
n où z ∈ C. Bien que non indispensable pournous, c'est un cadre important puisque sous-jacent aux séries de Fourier (cf. section 1.4)
Exemples : Un exemple bien connu :∑
n∈Nxn
n! , c'est-à-dire an = 1n! ∀n. On sait depuis nos
petites classes que la valeur de cette somme n'est autre que ex, pour tout x ∈ R.∑
n∈N sin(n)xn est un autre example de série entière.
De même que pour les séries numériques et les séries de fonctions, la question de laconvergence des séries entières se pose ; la notion centrale pour les séries est celle de rayonde convergence, et elle est assez simple à appréhender car assez intuitive (contrairement auxconvergences propres aux séries de fonctions telles que la convergence uniforme ou normale).
En eet,∑xn est une série géométrique dont le résultat de convergence est bien connu
(cf. section 1.2.1) : il faut et sut que |x| < 1. Une série entière n'est pas exactement unesérie géométrique (du fait de la présence de an), mais on se doute bien que comme an estmultiplié par xn dont la croissance est géométrique, il va falloir qu'asymptotiquement lestermes an compensent l'éventuelle croissance géométrique des xn pour que la série puisseconverger.
Vu autrement - car la variable est x (les an eux sont xés !) - une telle série ne pourraconverger que d'une part si les an ont une croissance asymptotiquement au plus géométrique(sinon le terme xn, géométrique lui, sera dominé par leur croissance), et d'autre part si |x| estchoisi sur une certains plage de valeurs (éventuellement innie) qui sera telle que le produitanx
n soit sommable, i.e. que la série∑anx
n converge. C'est sur cela que s'appuie la notionde rayon de convergence d'une série entière.
Proposition-Dénition 1.3.2 (Rayon de convergence)
Soit une série entière∑n∈N
anxn. On appelle rayon de convergence le nombre (ni ou
18
inni) :R = sup r > 0 tel que la suite (anr
n)n∈N est bornée 5. (1.9)
On a alors les résultats suivants :
(i) Pour tout |x| < R, la série (numérique)∑anx
n converge.
(ii) Pour tout |x| > R, la série diverge.Pour |x| = R, elle peut converger ou diverger selon les cas.
(iii) Enn, la série (de fonctions)∑anx
n converge normalement (et donc uniformément)sur tout intervalle de la forme [0, r] avec r < R (ce qui implique évidemment (i)).
Exemple : Il est bien connu que la série géométrique∑xn converge si et seulement si x < 1 (et sa
somme est alors égale à 11−x . Dans le cas contraire, elle diverge. Son rayon de convergence est
donc R = 1, et on notera que sur son rayon de convergence (i.e. pour x = 1, la série diverge).
Ces résultats de convergence, en particulier (iii), sont essentiels, car ils garantissent uncertain nombre de résultats bien pratiques, qui sont la conséquences de résultats propresaux séries de fonctions uniformément convergentes : continuité de la somme, dérivation dela somme, permutation
∫−∑
etc. que l'on verra dans le théorème 1.3.4. Dans un premiertemps, on propose ci-dessous deux règles simples, directement issues des règles de d'Alem-bert et de Cauchy pour les séries numériques, permettant le calcul pratique du rayon deconvergence d'une série entière.
Proposition 1.3.3 (Calcul pratique du rayon de convergence)
Soit une série entière∑anx
n. Alors, le rayon de convergence R de cette série entière estégal à R = 1
λavec λ donné par l'une des deux méthodes suivantes (lorsque ces limites
existent !) :
Règle de d'Alembert : λ = limn→+∞
|an+1
an|,
Règle de Cauchy : λ = limn→+∞
n√|an|.
Démonstration : Triviale en utilisant ces critères sur la série numérique de terme général anxn.
Exemples : Avec ces résultats, on montre facilement que : La série
∑ xn
n! a un RC égal à +∞.
La série∑nα xn a un RC égal à 1. (avec α ∈ R).
La série∑n!xn a un RC égal à 0. (On pouvait s'en douter ; d'accord ?)
Lorsque le rayon de convergence est déterminé, on sait qu'une série entières y converge(en tant que série de fonction) normalement, et donc uniformément. Ce résultat garantit unensemble de résultats très pratiques dont on en donne deux ci-dessous.
5. i.e. tel qu'il existe M > 0 tel que pour tout n on ait |anrn| 6M .
19
Théorème 1.3.4 (Dérivation et primitive d'une série entière)
Soit une série entière∑anx
n de rayon de convergence R. Alors :
(i) La fonction f : x 7→+∞∑n=0
anxn (fonction somme de la série entière) est une fonction
continue et même dérivable sur ]−R,R[, et sa dérivée est une série entière de mêmerayon de convergence R et donnée, pour tout x ∈]−R,R[, par :
f ′(x) =+∞∑n=1
nanxn−1 (ce qui en prenant x = 0 implique : a1 = f ′(0)). (1.10)
et son rayon de convergence est R.
(ii) Ce résultat s'étend par récurrence à toutes les dérivées de f , qui est de classe C∞,et on a pour tout x ∈]−R,R[, par :
f (m)(x) =+∞∑n=m
n(n− 1) ... (n−m+ 1) an xn−m (1.11)
ce qui implique, en prenant x = 0 :
∀n , an =f (n)(0)
n!et donc pour tout x ∈]−R,R[, f(x) =
+∞∑n=0
fn(0)
n!xn (1.12)
(iii) Une primitive de la série entière f est une série entière de même rayon de convergenceR et donnée, pour tout x ∈]−R,R[, par :
+∞∑n=0
ann+ 1
xn+1. (1.13)
Remarque : Il est inutile de retenir par c÷ur les formules du théorème précédent : il sut pourles retrouver de savoir intégrer et dériver les monômes xn !
Exemple : D'après l'exemple précédent, on sait que+∞∑n=0
xn = 11−x , ∀x ∈] − 1, 1[. En utilisant le
résultat (1.13) du dernier théorème, on peut armer que ln(1 + x) admet le DSE suivant, demême rayon de convergence :
ln(1− x) =+∞∑n=0
xn
n.
Exercice important : Déduire de l'exemple précédent le DSE de 11+x et de ln(1 + x).
La relation (1.12) du Théorème 1.3.4 donne à s'interroger sur les conditions sous lesquelles
20
une fonction f donnée serait développable en série entière, c'est-à-dire serait égale, surun certain domaine de convergence, à une série entière, qui prendrait à la forme (1.12).
Sans entrer dans les détails, il existe certaines conditions pour lesquelles ont est assuréde l'existence d'un tel développement (une condition nécessaire est évidemment que f soitde classe C∞ ; d'accord ?). Son calcul se ferait alors en utilisant les dérivées successives de f ,en vertu de l'expression (1.12).
Il est indispensable de connaître l'expression du développement en série entière (DSE)usuels donnés ci-après et de savoir les manipuler en utilisant les résultats de dérivation etintégration du Théorème 1.3.4, permettant ainsi d'avoir accès à une large classe de DSEclassiques.
21
Développements en série entières de fonctions usuelles
∀x ∈ R, ex = 1 + x+x2
2+ ... =
+∞∑n=0
xn
n!,
∀x ∈ R, sinx = x− x3
3!+x5
5!+ ... =
+∞∑p=0
(−1)px2p+1
(2p+ 1)!,
∀x ∈ R, cosx = 1− x2
2!+x4
4!+ ... =
+∞∑p=0
(−1)px2p
(2p)!,
∀x ∈ R, shx = x+x3
3!+x5
5!+ ... =
+∞∑p=0
x2p+1
(2p+ 1)!,
∀x ∈ R, chx = 1 +x2
2!+x4
4!+ ... =
+∞∑p=0
x2p
(2p)!,
∀x ∈]− 1, 1[,∀α ∈ R, (1 + x)α = 1 +αx
1!+α(α− 1)x2
2!... =
+∞∑n=0
α(α− 1)...(α− n+ 1)xn
n!
De cette dernière (α = −1) on peut tirer les classiques classique DSE :
∀x ∈]− 1, 1[,1
1− x= 1 + x+ x2 − ... =
+∞∑n=0
xn
∀x ∈]− 1, 1[,1
1 + x= 1− x+ x2 − ... =
+∞∑n=0
(−1)n xn
,
et par intégration :
∀x ∈]− 1, 1[, ln(1− x) = −x− x2
2+x3
3− ... = −
+∞∑n=1
xn
n
∀x ∈]− 1, 1[, ln(1 + x) = x− x2
2+x3
3− ... =
+∞∑n=1
(−1)n−1 xn
n.
Le lecteur désireux de s'entraîner pourra utiliser les résultats précédents pour déterminer
les DSE (classiques) de√
1 + x,1√
1 + x,
1
1 + x2et arctanx.
Exercice : Donner le développement en série entières de la fonction 1(x+1)2
.
22
1.4 Séries de Fourier
1.4.1 Dénitions
Les séries de Fourier sont un outil de choix pour l'étude des signaux périodiques. Lerésultat essentiel de cette section est que tout signal périodique (assez régulier) peut êtreécrit comme étant la somme de signaux élémentaires sinusoïdaux.
Dénition 1.4.1 (Coecients de Fourier)
Soit f une fonction T -périodique, à valeur réelle ou complexe. On appelle coecients
de Fourier exponentiels de f la suite de nombres complexes dénie par :
cn =1
T
∫ a+T
a
f(t)e−2inπtT dt, ∀n ∈ Z (1.14)
Si la fonction f est à valeurs réelles, on utilise souvent les coecients de Fourier
trigonométriques de f :
a0 =1
T
∫ a+T
a
f(t)dt, (1.15)
an =2
T
∫ a+T
a
f(t) cos
(2πnt
T
)dt, ∀n ∈ N∗, (1.16)
bn =2
T
∫ a+T
a
f(t) sin
(2πnt
T
)dt,∀n ∈ N∗.
Remarque Importante : Dans certains ouvrages, le coecient a0 est déni selon la même formuleque les coecients an (avec un coecient 2
T donc). Il s'agit purement d'une convention n'ayantaucune conséquence autre que celle de se souvenir de remplacer a0 par 2a0 dans toutes lesformules l'impliquant (Dirichlet, Parseval etc.). L'utilisation de l'une ou l'autre des dénitionsdépend surtout des us et coutumes des diérentes branches de la physique et de l'ingénierie.
De même, il est fréquent de trouver ces formules exprimées en fonction de la pulsation fonda-mentale ω0 := 2π
T ; là encore, il sut de remplacer.
Les coecients cn sont souvent appelés spectre de f . Ces coecients étant complexes,on les représente habituellement sur deux graphiques, l'un dédié au module, et l'autre à laphase :
23
On reparlera plus en détail de cette notion de spectre fréquentiel d'un signal avec latransformation de Fourier.
Remarque : Si les coecients an et bn sont souvent utilisés lorsqu'on manipule des fonctions réelles,les coecients cn présentent l'intérêt, en plus d'être plus synthétiques, de permettre l'analogieavec la transformée de Fourier (continue) f d'une fonction non périodique f (cf. chapitre dédiéà la transformation de Fourier).
Exemple : Soit la fonction 2π-périodique h dénie par (cf. gure 1.1) :
h(t) =
1 si t ∈ [0, π]0 si t ∈ [π, 2π]
Ses coecients de Fourier sont donnés par :
a0 = 1/2, an = 0 ∀n ∈ N∗
bn = 0 ni n pair et 2nπ si n est impair.
Soit la fonction L-périodique g dénie par (cf. gure 1.2) :
g(t) =
2L t si t ∈ [0, L2 ]
2− 2L t si t ∈ [L2 , L]
(1.17)
Ses coecients de Fourier sont donnés par :
a0 = 1/2, an = 0 ni n pair et −4n2π2 si n est impair.
bn = 0 ∀n ∈ N (f est paire).(1.18)
Dénition 1.4.2 (Synthèse)
On appelle développement en série de Fourier (DSF) de f (on parle aussi de syn-thèse de Fourier ) la série : ∑
n∈Z
cn e2iπntT , (1.19)
ou, dans le cas des coecients trigonométriques :
a0 +∑n>1
an cos
(2πnt
T
)+ bn sin
(2πnt
T
). (1.20)
On a alors le résultat fondamental suivant.
Théorème 1.4.3 (Théorème de Dirichlet)
Soit f une fonction T−périodique, de classe C1 par morceaux. Alors, le DSF de f converge
24
simplement vers f(t−)+f(t+)2
(demi-somme entre les limites à gauche et à droite), soit :
∀t, f(t−) + f(t+)
2=∑n∈Z
cn e2iπntT , (1.21)
ou encore, en utilisant les coecients trigonométriques :
∀t, f(t−) + f(t+)
2= a0 +
∑n>1
an cos
(2πnt
T
)+ bn sin
(2πnt
T
). (1.22)
Concrètement, ça signie que en tout point de continuité de la fonction f , le DSF de f
vaut f(t). Si f est discontinue en t, son DSF est égal à f(t−)+f(t+)2
.
Ainsi, toute fonction périodique f est entièrement caractérisée par un ensemble dénom-brable de coecients ann∈N et bnn∈N∗ : on peut recomposer la fonction f par la seuleconnaissance de ces coecients, qui traduisent la contribution de la neme harmonique (fré-quence n
T) dans le signal f 6. Dit autrement, toute fonction périodique f (susemment régu-
lière) est une superposition (pondér ée) de signaux monochromatiques aux fréquencesmultiples de la fréquence fondamentale 1
T(T étant la période fondamentale de f).
Cette propriété est à la base du développement de l'analyse harmonique. Outre unereprésentation intuitive des signaux, elle permet de simplier de nombreux problèmes enutilisant une telle décomposition, de telle sorte que l'analyse de Fourier se retrouve dansà peu près toutes les sciences de l'ingénieur : mécanique, acoustique, traitement du signal,analyse des système linéaires, etc.
En particulier, on peut noter l'importance de ce développement dans l'optique de latransmission de ces signaux dans des systèmes linéaires invariants (ex : ltrage). En eet,ceux-ci ayant pour fonctions propres les signaux monochromatiques :
Ainsi, sous réserve de connaitre F (nω0) ∀n ∈ Z, le développement en série de Fourier del'entrée permet de déduire aisément le développement en série de Fourier de la sortie :
6. Concernant les coecients cn, leur interprétation est identique mais ceux-ci nécessite de manipulerdes fréquences négatives (puisque k ∈ Z) qui n'ont pas d'interprétation physique parlante mais qui sontnécessaires au formalisme mathématique des séries de Fourier.
25
Cette remarque sur F (nω0), n ∈ Z mènera par la suite à la notion de réponse fréquentielleF (ω), ω ∈ R (Fourier) et de fonction de transfert F (p), p ∈ C (Laplace) du système.
Remarque : La formule (1.21) pour une fonction continue s'écrit :
∀t, f(t) =∑n∈Z
cn e2iπntT .
Cette écriture ressemble étrangement à une décomposition de la fonction f sur une base (defonctions) ; la notion de base est eectivement sous-jacente au développement en séries de Fou-rier.
Exemple : Reprenons l'exemple de la fonction triangle g traitée précédemment. Cette fonction estde classe C1 par morceaux et est continue. Ainsi, elle s'identie en tout point à son développementen série de Fourier :
∀t ∈ R, g(t) =1
2+∑p>0
−4
(2p+ 1)2π2cos(
2π(2p+ 1) t
L).
De plus, on peut (par exemple) aisément en déduire l'égalité (loin d'être triviale) suivante, enprenant t = L
2π : ∑p>0
−4
(2p+ 1)2π2cos(2p+ 1) =
1
π− 1
2.
On donne ci-après un exemple de synthèse de Fourier pour les deux signaux g et h dont on acalculé les coecients de fourier précédemment.
26
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t0 5 10 15
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
0 5 10 15−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t0 5 10 15
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
Figure 1.1 Synthèse de Fourier de la fonction h jusqu'à la première, 5e et 21e harmonique.
27
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
t
Figure 1.2 Synthèse de Fourier de la fonction g (L = 6) jusqu'à la première, 5e et 9e
harmonique.
28
1.4.2 Propriétés et théorème important
Notons tout d'abord que, dans le cas où f est une fonction a valeurs réelles, on a lesrelations suivantes entre les coecients exponentiels et trigonométriques :
c0 = a0, ∀n ∈ N∗, cn =an − ibn
2, c−n =
an + ibn2
= c−n
et réciproquement :
a0 = c0 ; ∀n ∈ N∗, an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n).
On a la propriété :
Proposition 1.4.4
Si f est impaire, alors an = 0 ∀n ∈ N et bn = 4T
∫ T/20
f(t) sin(
2πntT
)dt,∀n ∈ N∗.
Si f est paire, alors bn = 0 ∀n ∈ N∗ et an = 4T
∫ T/20
f(t) cos(
2πntT
)dt, ∀n ∈ N (et bien sûr
a0 = 2T
∫ T/20
f(t)dt).
Le théorème qui suit est fondamental : il donne une relation directe entre l'énergie d'unsignal périodique et ses coecients de Fourier.
Théorème 1.4.5 (Formule de Parseval)
Soit f ∈ L2([0, T ]) une fonction T -périodique. Alors :
1
T
∫ a+T
a
|f(t)|2 dt =∑n∈Z
|cn|2 . (1.23)
Si on utilise les coecients trigonométriques (fonction a valeurs réelles) :
1
T
∫ a+T
a
|f(t)|2 dt = a20 +
1
2
∑n>1
|an|2 + |bn|2 .
Remarque : Comme souvent en mathématiques, ce théorème peut être employé de plusieurs ma-nières. On peut utiliser cette relation pour donner l'expression de l'énergie d'un signal à partirde ses coecients de fourier, mais aussi par exemple pour calculer explicitement la valeur d'unesérie numérique "compliquée" (comme on l'a fait en utilisant le théorème de Dirichlet dans unexemple précédent).
29
30
Chapitre 2
Intégration
cf. cours de C. Jauberthie
31
32
Chapitre 3
Transformation de Fourier et peigne de
Dirac
cf. cours de C. Jauberthie
33
34
Chapitre 4
Résolution d'équations diérentielles
linéaires
Pré-requis indispensables : Fonctions usuelles et propriétés. Savoir calculer des dérivées et primitives usuelles.
4.1 Introduction
Les équations diérentielles (ordinaires, ou EDO, pour les distinguer des équations auxdérivées partielles, plus générales) sont des équations régissant l'évolution de phénomènesdynamiques ; de ce fait, il est évident qu'elles sont omniprésentes dans tous les domaines dela physique et il est indispensable de savoir les aborder avec méthode.
Ne seront abordées dans ce cours que les équations linéaires linéaires d'ordre 1 et 2 àcoecients constants, sachant que la majorité des résultats et techniques qui seront présentéss'étendent sans dicultés aux EDO linéaires d'ordre n. En dehors de ce cadre (coecients nonconstants et ordre supérieur ou égal à 2, et a fortiori non linéaire), il existe d'innombrablesrésultats, cas particuliers, astuces, etc. qui nécessitent la lectures d'ouvrages dédiés.
Notons enn que, comme pour les intégrales, les séries, etc., le nombre d'équations dié-rentielles que l'on peut résoudre analytiquement est dans l'absolu très maigre... bien souvent,il faut faire appel à des méthodes de résolution numérique (Runge-Kutta etc.).
Dénition 4.1.1 (Équation diérentielle)
Une équation diérentielle est une équation dont la solution est une fonction y, etimpliquant les dérivées successives de cette dernière :
y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), ..., y(n−1)(t)), ∀t > t0, (4.1)
avec F : Ω ⊂ Rn → R, et n un entier non nul, appelé ordre de l'EDO (c'est le plus hautdegré de dérivation de y présent dans l'équation).
35
Une solution y(t) d'une telle EDO devra évidemment être n fois dérivable sur Ω etvérier la relation (4.1) à chaque instant t.
Remarques : Il existe une autre forme de (4.1), un peu plus générale, dite non résolue :
G(t, y(t), y′(t), ..., y(n−1)(t), y(n)(t)
)= 0, ∀t > t0.
Il est fréquent de rencontrer des systèmes d'équations diérentielles, c'est-à-dire un ensembled'équations diérentielles scalaires couplées les unes aux autres ; elles sont alors de la forme(4.1) mais avec F à valeurs dans Rp.
Si l'on adjoint à l'équation (4.1) des conditions initiales, c'est-à-dire des valeurs imposéesà l'instant 1 t = 0 pour y, y′, ...y(n−1) (position initiale, vitesse initiale, etc. par exemple),et que l'on cherche les solutions de (4.1) satisfaisant ces conditions initiales, on parle deproblème de Cauchy.
On peut montrer que, sous des hypothèses peu contraignantes sur la fonction F (continueet localement Lipschitzienne), on dispose d'un résultat fondamental, le théorème deCauchy-Lipschitz, assurant l'existence et l'unicité d'une solution y(t) au problème de Cauchy.
Dans le cadre des équations diérentielles linéaires à coecients continus dans lequel on seplacera dans ce cours (coecients constants en particulier), ce théorème est immédiatementvérié et nous assure l'existence et l'unicité de solutions aux équations que l'on étudiera.
Dénition 4.1.2 (Équation diérentielle linéaire)
Une équation diérentielle est dite linéaire lorsque F est une fonction linéaire de y, y′, ..., y(n−1) ;l'équation prend alors la forme :
an(t)y(n)(t) + ...+ a1(t)y′(t) + a0(t)y(t) = u(t), ∀t > t0,
y(0) = y0, y′(0) = y1, ..., y
(p−1)(0) = yp−1 (C.I.),(4.2)
où les ai : I → R et u : I → R (appelé second membre ou terme source) sont desfonctions continues.
Lorsque les ai(t) sont des constantes, l'équation est dite à coecients constants.
Alors on a le résultat suivant, dont la démonstration est admise.
Théorème 4.1.3 (Cauchy-Lipschitz )
Le problème de Cauchy (4.2) admet une unique solution y(t) dénie sur tout I.
Exemples : Équation (non linéaire) de l'évolution de l'angle θ d'un pendule simple de longueurl, sans viscosité : θ(t) +
g
lsin(θ(t)) = 0,
θ(0) =π
4, θ(0) = 0.
1. Il s'agit bien sûr d'une convention : toute autre instant initial t0 est possible.
36
Équation (linéaire) de la décharge d'un condensateur dans un circuit RC :
u(t) +RC u′(t) = 0,
u(0) = u0.
4.2 Résolution des équations diérentielles linéaires
4.2.1 Méthodologie générale
On abordera dans ce cours la méthodologie pour les EDO linéaires à coecients constants,principalement d'ordre 1 et 2 (même si le cas général sera brièvement traité pour l'ordre 1,et des indications seront données pour l'ordre n à coecient constant).
Résoudre ces équations diérentielles se déroulera toujours en 3 étapes fondamentales :
(i) Résolution de l'équation homogène (sans second membre) → polynôme caractéris-tique, racines → solution générale yh(t) de l'équation homogène.
(ii) Détermination d'une solution particulière yp(t) de l'équation avec second membre(intuition, règles de second membre polynomial/exponentiel, ou méthode de la variationde la constante).
(iii) Alors on a la solution globale : y(t) = yh(t) + yp(t), et on identie les constantesprésentes dans yh(t) en utilisant les conditions initiales.
4.2.2 EDO linéaires d'ordre 1
Le cas des EDO linéaires d'ordre 1 sera traité dans le cas général (i.e. coecients nonconstants) fait de sa simplicité. Une EDO d'ordre linéaire d'ordre 1 est de la forme 2 :
y′(t) = a(t)y(t) + u(t),y(0) = y0.
(4.3)
où a(t) et u(t) sont des fonctions continues 3 et y0 ∈ R (condition initiale).
(i) Résolution de l'équation homogène
On considère donc dans un premier temps l'équation sans second membre :
y′(t) = a(t)y(t). (4.4)
2. Ou plus précisément le problème de Cauchy qui y est associé.3. Cette hypothèse sur u(t) peut en réalité être aaiblie.
37
En divisant par 4 y(t), on peut écrire : y′(t)y(t)
= −a(t), ce qui donne après intégration
ln |y(t)| =∫ t
0a(s)ds+K et par suite |y(t)| = B eA(t), où A(t) est une primitive de la fonction
a(t).
On a donc démontré la proposition suivante (quitte à poser C = −B si B < 0) :
Proposition 4.2.1 (Solutions de l'équation homogène)
Les solutions de l'équation homogène sont de la forme :
yh(t) = C eA(t), C ∈ R, (4.5)
où A(t) est une primitive de a(t).
Notons que dans le cas où a(t) = a constante, on a le résultat classique :
yh(t) = Ceat, C ∈ R, (4.6)
résultat qui peut également s'obtenir par la méthode du polynôme caractéristique (cf.section 4.2.3).
Remarque : Un résultat essentiel bien que non approfondi dans ce cours est que l'ensemble dessolution de l'équation homogène (4.4), muni des lois classiques d'addition et de multiplicationpar un scalaire, est un espace vectoriel de dimension 1. On constate alors dans l'expression(4.5) que eA(t) est une base de cet espace vectoriel. Ce résultat, fondamental, s'étend aux EDOd'ordre n à coecients constants (on est alors en présence d'un e.v. de dimension n, engendrélà-encore par une base de fonctions exponentielles).
(ii) Solution particulière de l'équation avec second membre
On considère cette fois l'équation complète :
y′(t) = a(t)y(t) + u(t), (4.7)
et on en cherche une solution particulière, sans se soucier des conditions initiales 5.
C'est l'étape la plus délicate de la résolution. Elle peut se faire à l'intuition dans des cassimples, soit par une méthode systématique appelée variation de la constante ; enn, quelquesrègles existent également pour le cas spécique des équations à coecients constants.
4. Cette opération est licite en vertu du théorème de Cauchy-Lipschitz, qui garantit que y(t) 6= 0∀t pourtoute solution autre que la solution identiquement nulle. En eet, supposons qu'il existe une solution non iden-tiquement nulle, qui s'annule en un instant t0 ; le problème de Cauchy sur [t0,+∞[ : y′(t) = a(t)y(t), y(t0) = 0admet une unique solution (par Cauchy-Lipschitz), qui ne peut donc être que la solution identiquement nullepuisque celle-ci en est également solution.
5. Ce point est important : on lit parfois qu'on considère l'EDO avec second membre et conditions initialesnulles ; ce n'est pas une nécessité : il faut retenir que la valeur prise en t = 0 par la solution particulièreimporte peu puisqu'elles sera corrigée par la dernière étape de résolution
38
I Méthode de la variation de la constanteElle présente l'avantage d'être très simple (sur le principe du moins) et d'être toutle temps valable. Son inconvénient étant de nécessiter à son tour la résolution d'uneéquation diérentielle, qui peut s'avérer impossible analytiquement.Le nom de cette méthode est explicite : elle consiste à rechercher une solution par-ticulière sous la même forme que celle de yh mais en considérant que la constante Cest cette fois une fonction du temps :
yp(t) = C(t) eA(t),
l'objectif étant alors de déterminer une fonction C(t). Pour cela, on injecte cettesolution dans l'équation (4.7), et on fait apparaître, après simplication (à faire pours'entraîner !), une équation (elle aussi diérentielle !) vériée par C(t) :
C ′(t) = u(t) e−A(t). (4.8)
Après résolution de cette nouvelle équation diérentielle (dont il sut de trouver unesolution Cp(t), peu importe laquelle, le plus simple sera le mieux !), on a entièrementdéterminé notre solution particulière qui s'exprimera yp(t) = Cp(t) e
−A(t).
I Cas à coecients constants : second membre polynôme-exponentielSi a(t) = a, il existe des règles bien pratiques pour la recherche de solution particulièredans le cas où le second membre u(t) possède une forme bien particulière. On donneci-après un des principaux résultats.
Proposition 4.2.2
Si u(t) = P (t)ert où r est un réel et P un polynôme à coecients réels, alors (4.7) admetune solution de la forme
yp(t) = Q(t)ert, si r 6= a,
yp(t) = tQ(t)ert, si r = a,
où Q est un polynôme de même degré que P .
Démonstration : La fonction t 7→ ert étant continûment dérivable et non nulle sur I, onpeut rechercher une solution de (4.7) sous la forme : y(t) = u(t)ert. On a :
y′p(t) = a yp(t)+u(t)⇐⇒ u′(t)ert+u(t)rert = a u(t)ert+Q(t)ert ⇐⇒ u′(t)+u(t)(r−a) = Q(t).
- si r = a, alors u est une primitive de Q c'est à dire un polynome de degré q + 1,- si r 6= a, alors si u polynome de degré p, par identication des coecients on a p = q.
Ainsi, ce résultat renseigne sur la structure de la solution particulière. Il reste évi-demment à poser yp(t) de cette forme, l'injecter dans l'équation (4.7) et résoudrepour pleinement la déterminer !
39
Exemple : yp(t) = −(t2 +2t+3)et est une solution particulière de y′(t) = 2y(t)+(t2 +1)et.
I Principe de superpositionPour nir, signalons une propriété fondamentale des EDO linéaires, très pratique pourles calculs de solutions particulières.
Proposition 4.2.3 (Principe de superposition)
Soient ypu et ypv deux solutions particulières respectives d'une EDO du premier ordrey′ = ay+ u lorsque le second membre u(t) est respectivement u(t) = f(t) et u(t) = g(t).
Alors, ypu + ypv est une solution particulière de cette même équation diérentielle avecpour second membre u(t) = f(t) + g(t).
En pratique, cela signie que pour trouver une solution particulière à une EDO dontle second membre est une somme de termes simples, il sut de trouver une solutionparticulière pour chacun des termes source, la solution particulière globale étant alorsla somme de ces solutions particulières élémentaires.
Exemple : On cherche une solution particulière à l'EDO suivante :
y′(t) = ay(t) +Q(t) cos(ωt). (4.9)
Comme cos(ωt) = eiωt+e−iωt
2 , on sait alors qu'il nous sura de trouver une solution particu-lière pour chacune des équations suivantes (avec R(t) qui est simplement Q(t)/2) :
y′(t) = ay(t) +R(t)eiωt et y′(t) = ay(t) +R(t)e−iωt,
chose qui sera aisée en utilisant la proposition 4.2.2 ; en additionnant ces deux solutionsparticulières, on a alors une solution particulière de (4.9) d'après le principe de superposition.
Second membre polynomial-sinusoïdal : Du fait du principe de superposition, on peutaisément déduire de la proposition 4.2.2 une règle concernant les second membres sinusoi-daux. Il est en eet aisé de montrer que si u(t) = Q1(t) cos(ωt + ϕ) + Q2(t) cos(ωt + ϕ),alors on pourra chercher une solution particulière sous la forme yp(t) = P1(t) cos(ωt+ ϕ) +P2(t) cos(ωt+ ϕ).
(iii) Solution globale
On sait alors que l'unique solution du problème (4.3) est donnée par la somme de de"la" solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière précédemmentdéterminées :
y(t) = yh(t) + yp(t). (4.10)
Cette dernière étape (très simple) consiste simplement à déterminer la valeur de la constanteC présente dans yh en utilisant la condition initiale en posant yh(0) + yp(0) = y0, qui devientC + yp(0) = y0, soit C = y0 − yp(0).
Exercice d'application : Soit l'équation diérentielle dénie sur [1,+∞[ :
ty′(t) = 2y(t) + t3; y(1) = 3.
40
(i) Solutions générales de l'équation homogène données par :
yh(t) = Ce2 ln|t| = Ct2, C ∈ R (4.11)
(ii) Détermination d'une solution particulière par variation de la constante : on cherche yp sousla forme yp(t) = C(t)t2, et donc y′p(t) = C ′(t)t2 + 2tC(t) ; en reportant dans l'EDO (4.11),on obtient :
tC ′(t)t3 + 2t2C(t) = 2C(t)t2 + t3 ⇔ C ′(t) = 1.
On peut donc prendre C(t) = t, ce qui donne la solution particulière :
yp(t) = t3.
(iii) Les solutions de (4.11) sur [1,+∞[ ont donc pour expression y(t) = C(t)t2 + t3, C ∈ R, etla solution telle que y(1) = 3 est donc obtenue pour C = 2 :
y(t) = 2t2 + t3.
Cas vectoriel
Dans le cas vectoriel Y ′(t) = A(t)Y (t), où A(t) est une matrice n× n, il n'existe pas deméthode générale permettant le calcul analytique des solutions Yh(t) de l'équation homogène.De nombreux résultats existent cependant.
En particulier, si la matrice A(t) est constante, il est possible d'étendre le résultat scalaireen dénissant la notion bien pratique d'exponentielle de matrice (on en reparlera dans lechapitre d'algèbre linéaire) ; les résultats sont alors similaires à ceux établis dans le casscalaire (à coecients constants).
4.2.3 EDO linéaires à coecients constants d'ordre 2
On s'intéresse aux équations à coecients constants car mis à part les EDO d'ordre 1(inclu), il n'y a pas de méthode systématique permettant de résoudre les EDO à coecientsvariables.
Une EDO du second ordre à coecients constants est de la forme :y′′(t) = ay′(t) + by(t) + u(t),
y(0) = y0, y′(0) = y1,
(4.12)
où I est un intervalle de R et a, b ∈ R, ler second membre u : I → R est une fonctioncontinue, et y0, y1 les conditions initiales sur y.
La méthodologie introduite dans la section 4.2.1 reste évidemment valable.
41
(i) Résolution de l'équation homogène
On dispose du résultat fondamental suivant :
Théorème 4.2.4
Soient r1 et r2 les deux racines de l'équation caractéristique de (4.12) :
r2 − ar − b = 0, (4.13)
et ∆ son discriminant.
Alors, les solutions de l'équation homogène sont de la forme : si ∆ > 0 (r1 et r2 racines distinctes réelles) :
y(t) = C1er1t + C2e
r2t, C1, C2 ∈ R,
si ∆ = 0 ( racine réelle double r1 = r2 = α) :
y(t) = (C1t+ C2)eαt, C1, C2 ∈ R,
si ∆ < 0 (racines complexes conjuguées : r1 = r2 = α + iω) :
y(t) = C1er1t + C2e
r1t, C1, C2 ∈ R,
ce qui peut être écrit, de manière équivalente :
y(t) = (C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt)) eαt, C1, C2 ∈ R.
Démonstration : La fonction t 7→ er1t étant deux fois dérivable et non nulle sur I, on peutchercher les solutions sur I de l'équation homogène sous la forme y(t) = u(t)er1t. On a alors :
y′(t) =(u′(t) + r1u(t)
)er1t et y′′(t) =
(u′′(t) + 2r1u
′(t) + r21u(t)
)er1t,
d'où :y′′(t) = ay′(t) + by(t)
⇐⇒ (u′′(t) + 2r1u′(t) + r2
1u(t))er1t = [b(u′(t) + r1u(t)) + au(t)] er1t
⇐⇒[u′′(t) + (2r1 − b)u′(t) +
(r2
1 − br1 − a)u(t)
]er1t = 0,
soit, puisque r1 racine de (4.13) et er1t > 0 :
u′′(t) + (2r1 − b)u′(t) = 0.
On pose ∆ = b2 + a et on distingue alors 3 cas diérents :
si ∆ > 0 alors les racines de (4.13) sont b±√
∆2 donc r1 6= b
2 =⇒ 2r1 − b 6= 0. En posantz = u′, on se ramène donc à l'équation du premier ordre suivante :
z′(t) + (2r1 − b)z(t) = 0,
42
dont les solutions sont données par z(t) = Ce−(2r1−b)t, C ∈ R. Les solutions u sont doncdonnées par les primitives de z c'est à dire par :
u(t) = − 1(2r1−b)Ce
−(2r1−b)t + C1, C, C1 ∈ R.
On a alors :
y(t) =(− 1
(2r1−b)Ce−(2r1−b)t + C1
)er1t = − 1
(2r1−b)Ce(b−r1)t + C1e
r1t,
soit, en posant C2 = − 1(2r1−b)C et puisque r2 = b− r1 :
y(t) = C2er2t + C1e
r1t.
si ∆ = 0 alors r1 = r2 = b2 , d'où u
′′(t) = 0 et donc u(t) = C1t+ C2, C1, C2 ∈ R. si ∆ < 0 alors r1 = r2. La démarche est la même que dans le cas ∆ > 0, la seule diérence
étant que, comme r1 et r2 sont complexes, C1 et C2 le sont aussi. Comme l'on cherchedes solutions à valeurs réelles, on prendra C1 = C2. Ainsi les solutions s'écriront :
y(t) = C1er1t + C1e
r1t = 2Re(C1er1t) ∈ R,
c'est à dire :
y(t) = 2Re(
(Re(C1) + iIm(C1)) e(Re(r1)+iIm(r1))t)
= 2 [Re(C1) cos(Im(r1)t)− Im(C1) sin(Im(r1)t)] eRe(r1)t
= [µ2 cos(Im(r1)t) + µ1 sin(Im(r1)t)] eRe(r1)t
avec µ1 = −2Im(C1) et µ2 = 2Re(C1).
Remarque : Comme établi dans la preuve ci-dessus, les solutions de l'équation homogène formentun sous espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel C2(I,R) des fonctions deux foiscontinûment dérivables sur I à valeur dans R.
(ii) Solution particulière de l'équation avec second membre
Comme dans le cas des systèmes du premier ordre, cette étape est la plus délicate. Oncherche une solution particulière yp(t) à l'équation diérentielle avec second membre sans sesoucier de la condition initiale.
Les techniques dont on dispose sont les mêmes :
I Méthode de la variation de la constanteLa démarche est similaire à celle eectuée dans le cadre des systèmes du premier ordre,et considérer l'expression de la solution de l'équation homogène yh en considérant queles constantes sont des fonctions de t et vériant :
yp(t) = C1(t)v1(t) + C2(t)v2(t),
y′p(t) = C1(t)v′1(t) + C2(t)v′2(t).
43
et injecter cette solution particulière dans l'équation avec second membre. On obtientalors le système :
C ′1(t)v1(t) + C ′2(t)v2(t) = 0,
C ′1(t)v′1(t) + C ′2(t)v′2(t) = b(t).
La résolution de ce système (diérentiel) permet de déterminer C1(t) et C2(t) et ainsidéterminer la solution particulière recherchée.
I Second membre polynôme-exponentielDe même que dans le cadre des équations d'ordre 1, il existe des résultats bien pra-tiques pour la détermination d'un second membre lorsque le second membre de l'équa-tion est polynomal et/ou exponentiel.
Proposition 4.2.5
Si u(t) = P (t)ert où r est un réel et P un polynôme à coecients réels, l'EDO avec secondmembre admet une solution de la forme :
yp(t) = Q(t)ert, si r n'est pas racine de l'équation caractéristique (4.13),
yp(t) = tQ(t)ert, si r est racine simple de l'équation caractéristique (4.13),
yp(t) = t2Q(t)ert, si r est racine double de l'équation caractéristique (4.13),
où Q(t) est un polynôme de même degré que P (t).
Démonstration : Similaire à celle de la proposition 4.2.2.
Ici encore, ce résultat renseigne sur la structure de la solution particulière. Il faut alorsposer yp(t) de cette forme, l'injecter dans l'équation et résoudre pour pleinementla déterminer.
I Principe de superpositionCelui-ci reste valable (il est valable quel que soit l'ordre de l'EDO, c'est une propriétéde la linéarité de l'équation) : pour trouver la solution particulière, il sut de déter-miner une solution particulière pour chaque terme qui compose le second membre, etadditionner le tout.
Second membre polynomial-sinusoïdal : Ici encore, on peut utiliser les résultats ci-dessous pour traiter les second membre de type sinusoïdal, en faisant toutefois attentionaux diérents cas possible (fonction des racines de l'éq caractéristique) de la proposition4.2.5. Un example sera traité en TD.
(iii) Solution globale
On sait alors que l'unique solution du problème (4.12) est donnée par la somme de"la" solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière précédemment
44
déterminées :y(t) = yh(t) + yp(t). (4.14)
Cette dernière étape, toujours très simple, consiste à déterminer la valeur des constantes C1
et C2 présentes dans yh en utilisant les conditions initiales y(0) = y0 et y′(0) = y1.
45
46
Chapitre 5
Algèbre linéaire
Pré-requis indispensables :
Dans ce cours, K désigne un corps commutatif, typiquement R ou C muni des lois usuellesd'addition et de multiplication. On utilisera souvent l'abréviation e.v. pour espace vecto-riel. Bien que beaucoup de notions introduites dans ce chapitre soient généralisables, noustravaillerons essentiellement sur des esapces vectoriels de dimension nie.
5.1 Espaces Vectoriels
5.1.1 Dénitions
Soient E un ensemble et K un corps commutatif. On note + (resp. . ) une loi interne surE (resp. loi externe), c'est-à-dire opérant sur deux éléments de E (resp. sur un élément deE et un élément de K) :
+ : E × E → E(x, y) 7→ x+ y
,. : K× E → E
(x, λ) 7→ λ.x
Dénition 5.1.1
On dit que (E,+, .) est un espace vectoriel sur K (ou K-e.v) si :
• (E,+) est un groupe commutatif (ou abélien) : la loi + est commutative sur E : ∀ x, y ∈ E, x+ y = y + x la loi + est associative : ∀ x, y, z ∈ E, x+ (y + z) = (x+ y) + z il existe un élément neutre dans E, noté 0E, vériant : ∀ x ∈ E, x+ 0E = x tout élément x de E admet un symétrique pour +, noté (−x), tel que : x +
(−x) = 0E(moyen mnémotechnique pour les axiomes du groupe commutatif : CANS)
47
• La loi externe . vérie : ∀ λ, µ ∈ K, ∀ x ∈ E, (λ+ µ).x = λ.x+ µ.x, ∀ λ ∈ K, ∀ x, y ∈ E, λ.(x+ y) = λ.x+ λ.y ∀ λ, µ ∈ K, (λµ).x = λ.(µ.x) ∀ x ∈ E, 1K.x = x
Terminologie : Les éléments de K sont communément appelés des scalaires et ceux de E desvecteurs.
Les espaces vectoriels sont donc des ensembles d'objets de même nature (communémentappelés vecteurs dans le cas classique E = RN) possédant certaines propriétés et munis d'uneloi d'addiction et de multiplication par un scalaire.
Attention : Dans ce chapitre, on veillera à toujours garder à l'esprit la nature des objets que l'onmanipule. Ne pas confondre la loi sur le corps K et la loi sur l'espace vectoriel E, qui agissentsur des objets de nature diérente. Par exemple, lorsqu'on écrit (λµ).x, λµ est un produit entredeux éléments du corps K, alors que le . désigne le produit entre un élement de K (ici λµ) et unélément x de E. La notation + est quant à elle utilisée pour K et E.
Exemple : 1. Rn est un R-e.v s'il est muni des lois + et . dénies pour tous x, y ∈ Rn, λ ∈ Rpar :
x+ y := (x1 + y1, ..., xn + yn)
λ.x := (λx1, ..., λxn)
2. C0(I,R) = fonctions continues de I ⊂ R dans R est un R-e.v s'il est muni des lois + et. dénies pour tous f, g ∈ E, λ ∈ R par :
∀ x ∈ I, (f + g)(x) := f(x) + g(x) et ∀ x ∈ I, (λ.f)(x) := λf(x)
Proposition 5.1.2
Soit E un K-e.v. Pour tout λ ∈ K et x ∈ E, on a :
λ.x = 0E ⇔ (λ = 0K ou x = 0E)
Démonstration : (⇐) λ.0E = λ.(0E + 0E) ⇔ λ.0E = λ.0E + λ.0E donc λ.0E + (−(λ.0E))︸ ︷︷ ︸0E
=
λ.0E + λ.0E + (−(λ.0E))︸ ︷︷ ︸0E
d'où 0E = λ.0E + 0E et donc 0E = λ.0E
(⇒)Soient λ ∈ K et x ∈ E tels que λ.x = 0E . Si λ 6= 0K, alors x = (λ−1λ).x =λ−1.(λ.x) = λ−1.0E = 0E .
48
5.1.2 Sous-espaces vectoriels
Dénition 5.1.3
Soit un K-e.v E et une partie non vide F ⊂ E. On dit que F est un sous-espace
vectoriel (s.e.v) de E si :
1. F est stable pour + : ∀ x, y ∈ F , on a x+ y ∈ F2. F est stable pour . : ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ F , on a λ.x ∈ F .
Remarque : Ces conditions peuvent se résumer à : F stable par combinaison linéaire, i.e. ∀ λ ∈ K,∀ x, y ∈ F , λ.x+ y ∈ F.
Exemple : 1. R×0 est un s.e.v de R2. Plus généralement, tout ensemble de la forme (x, λ.x),λ ∈ K est un s.e.v de R2.
2. C1(I,R) = fonctions continuement diérentiables de I ⊂ R dans R est un s.e.v deC0(I,R).
La proposition suivante est utile pour établir qu'un ensemble est un espace vectoriel.
Proposition 5.1.4
Tout sous-espace vectoriel est un espace vectoriel.
Démonstration : (F,+) groupe commutatif :
I la commutativité et l'associativité de + dans F découle des propriétés de + dans E.
I neutre : comme F stable pour +, on a (−1).x+ x = ((−1) + 1).x = 0E ∈ F , donc 0Eneutre pour + dans F .
I symétrique : ∀ x ∈ F , (−1).x ∈ F est le symétrique de x pour +, noté −x.Les axiomes sur la loi . se vérient grâce aux propriétés de . sur E.
5.1.3 Familles libres et génératrices
Dénition 5.1.5
Soit E un K-e.v et x1, ..., xp des éléments de E. On appelle combinaison linéaire de
x1, ..., xp tout élément de la forme :
λ1.x1 + ...+ λp.xp, où λi ∈ K pour tout i = 1 : p.
On pourra noter cette combinaison :p∑i=1
λi.xi .
Exemple : E = R4, soient x1, x2, x3 des vecteurs de R4. Alors y = 3.x1− 2.x3 est une combinaisonlinéaire de x1, x2, x3
49
Dénition 5.1.6
On dit que la famille (x1, ..., xp) d'éléments de E est libre si :
∀ λ1, ..., λp dans K,p∑i=1
λi.xi = 0E ⇒ λi = 0K pour tout i = 1 : p.
Dans le cas contraire, on dit que la famille est liée :
∃ λ1, ..., λp dans K non tous nuls tels que
p∑i=1
λi.xi = 0E.
Lorsqu'une famille est libre, on dit aussi que les vecteurs qui la constituent sont linéaire-ment indépendants ; cela signie qu'aucun vecteur de la famille ne peut s'exprimer commecombinaison linéaire des autres. Cette notion généralise la notion de vecteurs colinéaires dansR2.
Exemples : 1. E = R2. Les vecteurs x1 = (1, 2) et x2 = (−3,−6) sont liés car 3.x1 + x2 = 0 (ilssont colinéaires). En revanche, soit x3 = (−1, 3) ; la famille (x1, x3) est libre car ∀ λ1, λ3
dans K :
λ1.x1 + λ3.x3 = 0R2 ⇔
λ1 − λ3 = 02λ1 + 3λ3 = 0
⇔
λ1 = 0λ3 = 0.
2. E = R3. Les vecteurs x1 = (1, 2,−1), x2 = (−1, 0, 4) et x3 = (2, 2,−5) ne forment pas unefamille libre (i.e. elle est liée) car x3 = x1 − x2, soit encore x1 − x2 − x3 = 0.
Proposition-Dénition 5.1.7
Soit E un K-e.v et A une partie non vide de E. L'ensemble des combinaisons linéairesdes éléments de A est un s.e.v de E, appelé sous-espace vectoriel engendré par A,et noté V ect(A). C'est le plus petit s.e.v contenant A.
Si de plus V ect(A) = E, on dit que A engendre E, ou encore que la famille A estgénératrice.
Démonstration : I Montrons que V ect(A) est un s.e.v de E. Tout d'abord V ect(A) est nonvide puisqu'il contient évidemment 0E (qui est combinaison linéaire de n'importe quelsai ∈ A avec des coecients nuls). Ensuite, il est clair que V ect(A) ⊂ E puisque ses élémentssont des combinaisons linéaires d'éléments de A, donc de E, et donc appartient à E puisquec'est un espace vectoriel. Enn, montrons que V ect(A) est stable par combinaison linéaire.Soient λ ∈ K et x, y ∈ E. Alors :
λ.x+ y = λ.
r1∑i=1
λi.ai +
r2∑j=1
µj .aj =
r1∑i=1
(λλi).ai +
r2∑j=1
µj .aj .
Il est clair que cette expression peut se mettre sous la forme d'une combinaison linéaire
50
d'élements de A :
λ.x+ y =
r3∑i=1
νi.ai,
donc λ.x+ y ∈ V ect(A).
I Soit H un s.e.v tel que A ⊂ H. On a V ect(A) ⊂ H. En eet, soit x ∈ V ect(A), alorsx est une combinaison linéaire d'éléments de A, donc de H, et par stabilité de H, x ∈ H.Ainsi, tout s.e.v contenant A contient aussi V ect(A), ce qui montre que V ect(A) est le pluspetit sous-espace vectoriel contenant A.
5.1.4 Bases, dimension
Proposition-Dénition 5.1.8
Une famille E = (e1, ..., en) d'éléments de E est une base si elle est libre et génératrice,ce qui est équivalent à l'assertion suivante :
∀x ∈ E, ∃! (x1, ..., xn) ∈ Kn tel que x =n∑i=1
xi.ei. (5.1)
Dit autrement : tout élément x se décompose de manière unique sur la base E . Lesscalaires xii=1:n sont appelés coordonnées de x dans la base E .
Démonstration : On va montrer l'équivalence entre la dénition d'une base et l'assertion (5.1).
(⇒) E base de E, donc E génératrice : tout élément x de E s'écrit comme combinaison
linéaire de la famille E : x =n∑i=1
xi.ei. Cette décomposition est unique. En eet, si x =
n∑i=1
x′i.ei, alors 0E =n∑i=1
(xi − x′i).ei, ce qui entraîne xi = x′i puisque E est libre.
(⇐) Si ∀x ∈ E, ∃! (x1, ..., xn) ∈ Kn tel que x =∑n
i=1 xi.ei, il est évident que la familleE est génératrice. Elle est également libre puisque 0E =
∑ni=1 0.ei est, par unicité, la seule
combinaison linéaire qui soit nulle.
Le notion de base est essentielle en algèbre linéaire. Elle permet d'établir que tout élémentd'un espace vectoriel est entièrement caractérisé par un nombre dénombrable (ni dans notrecas) de coecients.
Exemple : eii=1:n avec ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) ∈ Rn, le 1 étant à la ième position, est une basede Rn, appelée base canonique.
Remarque importante : Il convient de bien faire la distinction entre un vecteur et ses coor-données, surtout dans Rn. Un vecteur de Rn est un n-uplet de nombres réels, il existe indé-pendemment d'une base (c'est simplement un ensemble de n nombres). Ses coordonnées sontdes coecients qui correspondent à sa décomposition sur une base donné (elles dépendent donc
51
de la base). Ainsi, lorsqu'on écrit (2, 1, 2) sans précision supplémentaire, il s'agit du vecteur(2, 1, 2) ∈ Rn. La représentation d'un vecteur par ses coordonnées se faisant avec la même nota-tion (n-uplet), il faudra impérativement associer une base à n-uplet de coordonnées (on remarqueque l'écriture d'un vecteur coïncide avec ses coordonnées dans la base canonique).
Dénition 5.1.9
Un espace vectoriel E est de dimension nie s'il existe une famille nie génératrice deE.
Théorème-Dénition 5.1.10 (admis)
Tout espace de dimension nie admet au moins une base nie. Le nombre d'élémentsd'une base de E, identique pour toutes les bases, est appelé dimension de E.
Exemple : E = R2. La famille ((1, 1), (1, 0)) est une base de E (le montrer !). Ainsi, E est un e.vde dimension 2.
Les résultats qui suivent sont utiles en pratique.
Proposition 5.1.11 (admise)
Soit E un espace de dimension n nie. Alors
Toute famille libre a au plus n éléments Toute famille génératrice a au moins n éléments.
Ainsi, toute famille libre de n éléments est une base. De même, toute
famille génératrice de n éléments est une base.
Soit F un s.e.v de E. Si dim(F ) = dim(E), alors F = E.
5.2 Applications linéaires
5.2.1 Rappels sur les applications
Soient X, Y deux ensembles, et f : X → Y une application. L'élément y ∈ Y tel quey = f(x) est l'image de x par f . Un élément x ∈ X tel que f(x) = y est un antécédent dey par f.
Dénition 5.2.1
L'application f est dite : injective si ∀ x1, x2, f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2 (unicité de l'antécédent s'il existe) surjective si ∀ y ∈ Y , ∃x ∈ X tel que y = f(x) (existence d'au moins un
antécédent) bijective si elle est injective et surjective (existence et unicité de l'antécédent)
Dénition 5.2.2
Soient E,F,G trois espaces vectoriels, et soient les applications f : E → F , g : E → F ,
52
h : F → G. On dénit les opérations suivantes : la somme de f et g : ∀x ∈ E, (f + g)(x) := f(x) + g(x) la composition de h par f : ∀x ∈ E, (g f) (x) := h(f(x)).
5.2.2 Applications linéaires
Dénition 5.2.3
Soient E,F deux e.v. Une application f : E → F est linéaire (ou est un morphismed'e.v) si :
∀ x, y ∈ E, f(x+ y) = f(x) + f(y) ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ E, f(λ.x) = λ.f(x)Si de plus E = F , on dit que f est un endomorphisme.
Remarque : 1. Les deux conditions de linéarité peuvent se résumer en une seule : ∀ x, y ∈E, ∀ λ ∈ K, f(λ.x+ y) = λ.f(x) + f(y)
2. Pour toute application linéaire f , on a f(0E) = 0F car f(0E) = f(x− x) = f(x)− f(x) =0F .
Attention : La notation . est utilisée à la fois pour la loi externe sur E et sur F.
Notation : L'ensemble des applications linéaires (resp. des endomorphismes) de E dans F est notéL(E,F ) (resp. L(E)). Ce sont tous deux des espaces vectoriels.
Exemple : 1.f : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (x+ y, x− y)∈ L(R3,R2)
2.C0(R,R)→ Rf 7→ f(0)
∈ L(C0(R,R),R)
Dénition 5.2.4
Soient E,F deux e.v, et f ∈ L(E,F ). On appelle noyau de f l'ensemble noté ker(f)déni par :
ker(f) := f−1(0F) = x ∈ E ; f(x) = 0F ⊂ E.
On appelle image de f l'ensemble noté Im f déni par :
Im f := f(E) = y ∈ F ; ∃x ∈ E tel que y = f(x) ⊂ F.
Exemple : Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ x + y ∈ R. On a ker(f) =
(x, y) ∈ R2 / x+ y = 0
=(x, y) ∈ R2 / x = −y
= λ.(−1, 1), λ ∈ R, donc ker(f) = V ect((−1, 1)).
Im f = R car ∀z ∈ R, ∃(x, y) ∈ R2 tel que x+ y = z (il en existe une innité en fait).
Proposition 5.2.5
Soient E,F deux e.v, et f ∈ L(E,F ). On a les assertions suivantes :
53
1. ker(f) et Im f sont respectivement des s.e.v de E et F
2. f injective ⇔ ker(f) = 0E3. f surjective ⇔ Im f = F.
Démonstration : 1. Le fait que ker(f) et Im f sont des s.e.v est immédiat.
2. (⇒) f injective. Soit x ∈ ker(f). On a alors f(x) = 0F = f(0E). L'injectivité de fentraine x = 0E , donc ker(f) = 0E.(⇐) ker(f) = 0E. On a f(x1) = f(x2)⇔ f(x1)− f(x2) = 0F ⇔ f(x1− x2) = 0F , etdonc x1 − x2 ∈ ker(f), soit x1 = x2 puisque ker(f) = 0E .
3. f surjective ⇔ f(E) = F ⇔ Im f = F.
Ce résultat est utile en pratique pour établir qu'un ensemble est un espace vectoriel : ilsut de l'exprimer comme étant le noyau d'une certaine application linéaire.
Exemple : 1. L'application f : (x, y) ∈ R2 7→ x + y est surjective car Im f = R, mais n'est pasinjective car ker(f) 6= 0E (cf. exemple précédent)
2. L'ensembleE1 = (x, y, z)/x+ 2y − z = 0 est un espace vectoriel. En eet, soit f : (x, y, z) ∈R3 7→ x+ 2y − z. Alors, E1 = ker(f), donc E est un s.e.v de R3.
Le théorème qui suit est important dans la mesure où il relie la dimension de E et ladimension des noyau et image d'une application linéaire sur E ; il peut ainsi servir à établircertaines propriétés sur les applications (injective, bijective), les familles (liées, libres) etc.
Théorème 5.2.6 (Théorème du rang)
Soient E,F deux e.v de dimension nie, et f ∈ L(E,F ). Alors
dim(E) = dim(ker(f)) + rg(f),
où rg(f) := dim(Im f) est appelé rang de f.
Remarque : On montre facilement que le rang de f est égal au rang de la famille de vecteurs (deF ) constituée des images des vecteurs de la base de E : rg(f) = rg(f(e1), ..., f(en)), soit encorele nombre de vecteurs libres parmis cette famille.
Exemple : Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ x + y ∈ R. Comme vu précédemment, ker(f) = V ect((−1, 1)),donc dim(ker(f))=1. On en déduit d'après le théorème du rang que dim(Im f) = rg(f) =dim(R2)−1 = 1. On en déduit que Im f = R (inclu et de même dimension) et donc que f est surjective.
54
5.3 Matrices
5.3.1 Des applications linéaires aux matrices
Soient E,F deux e.v, B = (e1, ..., en) une base de E, B′ = (e′1, ..., e′m) base de F , et f ∈
L(E,F ). Soit x ∈ E. Alors x admet une (unique) décomposition sur B :
f(x) = f
(n∑j=1
xj.ej
)=
n∑j=1
xj.f(ej) (avec xj ∈ K).
Ainsi, on constate que la seule connaissance des images des vecteurs de base ej par f sutà caractériser l'application f . Comme f(ej) ∈ F , on peut décomposer chaque f(ej) sur B′ :
f(x) =n∑j=1
xj.
m∑i=1
aij.e′i.
L'application f est donc entièrement caractérisée par les coecients aiji=1:m, j=1:n (scalairesde K), que l'on regroupe dans un objet appelé matrice : a11 ... a1n
......
am1 ... amn
.
Un intérêt des matrices est qu'elles permettent une manipulation simpliée et intuitive desapplications linéaires. Ainsi, les applications de L(E,F ) seront avantageusement assimiléesà leurs représentations matricielles. Le but des paragraphes qui suivent est de dénir unensemble de règles sur les matrices correspondant aux règles sur L(E,F ).
5.3.2 Dénitions et notations
Dénition 5.3.1
Une matrice est un ensemble (ni) de coecients aiji=1:m, j=1:n de K, généralementreprésentés par un tableau : a11 ... a1n
......
am1 ... amn
.
Si m = 1 (resp. n = 1) on parle de matrice ligne (resp. colonne). On utilise souvent lestermes de vecteur ligne et vecteur colonne.Si m = n, on dit que la matrice est carrée.
Notations : On note Mm,n(K) l'ensemble des matrices à éléments dans K de m lignes et ncolonnes, et plus simplementMn(K) pour les matrices carrées de taille n× n.
55
Un élément x de E sera représenté par ses composantes dans la base B considérée pour E, lamatrice colonne correspondante étant notée [x]B (ou x si aucune confusion n'est à craindre) :
[x]B =
x1...xn
(avec x =n∑j=1
xj .ej)
On noteMij l'élément i, j deM ; pour une matrice colonne u, on note ui la i-ème composantede u.
Dénition 5.3.2
Soient E,F deux e.v, B = (e1, ..., en) une base de E, B′ = (e′1, ..., e′n) une base de F .
Une application f ∈ L(E,F ) sera désormais représentée par sa matrice (aij)i=1:n, j=1:m,où aij est la i-ième composante de f(ej) dans la base B′, soit :
[f ]B′
B :=
a11 ... a1n...
...am1 ... amn
où ∀j = 1 : n, f(ej) =m∑i=1
aij.e′i
Dit autrement, chaque colonne de [f ]B′
B est l'image de ej par f exprimée dans la base B′.La matrice [f ]B
′
B est appelée matrice représentative de f relativement aux bases
B et B′.
Remarque (importante) : La matrice représentative d'une application linéaire dépend des bases
considérées sur E et F !
Exemple : Soit f : (x, y) ∈ R2 7→ (x + y, x − y, y) ∈ R3. La matrice de f relativement aux basescanoniques de R2 et R3 est donnée par :
1 11 −10 1
e1
e2
e3
f(e1) f(e2)
56
5.3.3 Structure de Mm,n(K)
Proposition-Dénition 5.3.3
On dénit surMm,n(K) une loi interne + et une loi externe . qui lui confèrent la structurede K-e.v :
+ : Mm,n(K)×Mm,n(K)→Mm,n(K)(A,B) 7→ A+B
où (A+B)ij := aij + bij
. : K×Mm,n(K)→Mm,n(K)(λ,A) 7→ λ.A
où (λ.A)i,j := λaij
Démonstration : (Mm,n(K),+) groupe commutatif :
I ∀A,B,C ∈Mm,n(K), A+B = B+A car aij +bij = bij +aij ; pour les mêmes raisons,(A+B) + C = A+ (B + C)
I neutre : la matrice nulle 0m,n est neutre pour +
I symétrique : ∀ A ∈Mm,n(K), il existe un symétrique (−A) déni par (−A)ij = −aij .
De plus, pour tout λ, µ ∈ K et A,B ∈Mm,n(K), la loi . vérie :
I λ.(A+B) = λ.A+λ.B car (λ.(A+B))ij = λ(A+B)ij = λ(aij + bij) = λaij +λbij =(λ.A)ij + (λ.B)ij
I (λ+µ).A = λ.A+µ.A car ((λ+ µ).A)ij = (λ+µ)aij = λaij+µaij = (λ.A)ij+(µ.A)ij =(λ.A+ µ.A)ij
Ces lois sur les matrices correspondent aux opérations que l'on peut eectuer sur lesapplications de L(E,F ). Ainsi, la somme de deux applications f, g de L(E,F ) s'eectue en
additionnant leurs matrices respectives : [f + g]B′
B = [f ]B′
B +[g]B′
B . De même, la multiplication
par un scalaire λ se traduit par une multiplication de la matrice par λ : [λ.f ]B′
B = λ. [f ]B′
B .
On dénit ci-après une troisième loi sur les matrices, à savoir un produit interne entrematrices.
Dénition 5.3.4
(multiplication de matrices) Soient A ∈Mm,n(K) et B ∈Mn,p(K). On dénit la matriceproduit de A par B, noté A×B ou plus simplement AB, comme suit :
(AB)ij =n∑k=1
aik bkj.
La martice résultante est de taille m×p.
57
Remarque : 1. Ce produit n'est déni que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre delignes de B.
2. Ce produit n'est en général pas commutatif.
Exemple : Soient A =
(1 0 −22 1 1
)et B =
1 −30 1−1 0
. Alors AB =
(3 −31 −5
). On re-
marque que le produit BA est quant à lui impossible à cause des dimensions qui ne concordentpas (nombre de colonnes de B diérents du nombre de lignes de A).
De même que précédemment, il s'avère que cette loi × sur les matrices correspond à uneopération sur les applications qu'elles représentent. C'est l'objet de la proposition suivante.
Proposition 5.3.5
Soient E,F,G trois espaces vectoriels de dimensions m,n, p nies, et de bases respectivesE = (e1, ..., em), F = (e′1, ..., e
′n), G = (e′′1, ..., e
′′p). Soient enn f ∈ L(E,F ) et g ∈ L(F,G).
La composition de g par f se traduit par un produit de leurs matrices :
[g f ]GE = [g]GF [f ]FE .
Démonstration : On note A = [f ]FE , B = [g]GF et C = [g f ]GE . On va montrer que C = BA.Par dénition de C, on a pour tout j = 1 : m,
(g f) (ej) =
p∑i=1
cij e′′i .
Par ailleurs :
(g f) (ej) = g(f(ej)) = g
(n∑k=1
akj e′k
)par dénition de A
=n∑k=1
akj g(e′k)
=n∑k=1
akj
p∑i=1
bik e′′i =
p∑i=1
(n∑k=1
bikakj
)e′′i ,
et, puisque la décomposition sur une base est unique :
∀ i = 1 : m, j = 1 : p, cij =
n∑k=1
bikakj = (BA)ij ,
d'où C = BA.
Enn, l'objet de la proposition qui suit est d'établir que le résultat d'une applicationlinéaire f appliquée sur un élément x (i.e f(x)) n'est autre que le produit (matriciel) entrela matrice représentative de f et la matrice colonne des coordonnées de x dans la baseconsidérée.
58
Proposition 5.3.6
Soient E,F deux espaces vectoriels de dimensions m,n nies, et de base respective B =(e1, ..., em), B′ = (e′1, ..., e
′n). Soit f ∈ L(E,F ). Alors, pour tout x ∈ E, les composantes
de f(x) dans la base B′ s'expriment :
[f(x)]B′ = [f ]B′
B [x]B .
Démonstration : On note A = [f ]B′B , X = [x]B, Y = [f(x)]B′ . Pour tout x ∈ E, on a par
dénition de Y :
f(x) =
n∑i=1
yi e′i.
Par ailleurs :
f(x) = f
m∑j=1
xj ej
=
m∑j=1
xj f (ej) =
m∑j=1
xj
n∑i=1
aij e′i
=
n∑i=1
m∑j=1
aijxj
e′i =
n∑i=1
(AX)i e′i
d'où :∀ i = 1 : n, yi = (AX)i.
Ainsi, Y = AX.
On peut constater que cette représentation matricielle permet de visualiser le caractèrelinéaire de la fonction f, qui s'écrit comme le produit (matriciel) entre une constante (ma-tricielle) A et la "variable" x, généralisant ainsi la représentation classique de R dans R :x 7→ ax.
5.3.4 Propriétés et opérations sur les matrices
Proposition-Dénition 5.3.7 (rang)
Soit A ∈Mm,n(K). On appelle rang de A le rang de la famille constituée des colonnesde A, qui est aussi égal au rang des lignes de A.
Notons que les notions de noyau et d'image sont les mêmes que pour les applicationslinéaires :
ker(A) = X ∈ Kn / AX = 0KmImA = AX, X ∈ Kn .
En particulier, le rang d'une matrice est égal au rang de l'application linéaire quelle repré-sente :
rg(A) = rg(f).
59
Exemple : Soit la matrice A suivante :
A =
1 0 11 −1 20 2 −21 1 0
.
Alors rg(A) = 2. En eet, en notant C1, C2, C3 les colonnes de A, on a rg(A) = rg((C1, C2, C3)).Or (C1, C2, C3) est liée car C3 = C1−C2, donc rg(A) ≤ 2. En revanche, (C1, C2) est libre, doncrg(A) = 2, et la matrice (ou l'application qu'elle représente) n'est pas surjective. De plus, lethéorème du rang indique que dim(ker(A)) = 3 − 2 = 1, l'application n'est donc pas injectivecar ker(A) 6= 0R3. Cherchons une base de ker(A).
X = (x, y, z) ∈ ker(A)⇐⇒ AX = 0R4 ⇐⇒
x+ z = 0x− y + 2 z = 02y − 2z = 0x+ y = 0.
⇐⇒y = −xz = −x
Donc X = (x,−x,−x) = x (1,−1,−1). Une base de ker(A) est (1,−1,−1).
Dénition 5.3.8 (transposée)
SoitA ∈Mm,n(K). On appelle matrice transposée de A la matrice notéeAT ∈Mn,m(K)(parfois notée tA) dénie par :
∀i = 1 : n, ∀j = 1 : m,(AT)ij
= Aji.
Si A = AT , on dit que A est symétrique.
Dit autrement : les lignes de AT sont constituées des colonnes de A.
Exemple : Soit A =
1 12 13 1
, alors AT =
(1 2 31 1 1
).
Dénition 5.3.9
Soit A ∈Mn(K). On dit que A est inversible s'il existe une matrice A′ ∈Mn(K) telle que :
AA′ = A′A = In.
Si A est inversible, on note A−1 son inverse. On appelle trace de A le scalaire :
tr(A) :=n∑i=1
aii (somme des éléments diagonaux)
60
Exemple : Soit A =
(0 11 2
). Alors tr(A) = 0 + 2 = 2. De plus, A est inversible. En eet, soit
A′ =
(a′11 a′12
a′21 a′22
). Alors :
AA′ = I2 ⇔
a′21 = 1a′22 = 0a′11 + 2a′21 = 0a′12 + 2a′22 = 1
⇔ A′ =
(−2 11 0
).
On a donc bien A′A = AA′ = I2 donc A−1 =
(−2 11 0
).
On donne dans la proposition qui suit quelques propriétés utiles lors des calculs.
Proposition 5.3.10
1. ∀ A ∈Mm,n(K),(AT)T
= A
2. ∀ A ∈Mm,n(K), ∀ B ∈Mn,p(K), (AB)T = BTAT
3. ∀ A,B ∈Mm,n(K), tr(A+B) = tr(A)+ tr(B)
4. ∀ A ∈Mm,n(K), ∀ B ∈Mn,m(K), tr(AB) = tr(BA)
5. Si A ∈Mn(K) est inversible, on a AT inversible et(AT)−1
= (A−1)T
6. Si A,B ∈Mn(K) inversibles, on a AB inversible et (AB)−1 = B−1A−1.
Démonstration : 1. évident
2.((AB)T
)ij
= (AB)ji =∑k
ajk bki =∑k
bki ajk =(BTAT
)ij
3. évident
4. tr(AB) =∑i
(AB)ii =∑i
∑jaij bji =
∑j
∑ibji aij =
∑j
(BA)jj = tr(BA)
5. Il est évident que A′ est inversible. De plus, AT(A−1
)T=(A−1A
)Td'après 2, d'où
AT(A−1
)T= In, de même pour
(A−1
)TAT .
6. AB (AB)−1 = ABB−1A−1 = AInA−1 = In, de même pour (AB)−1AB, d'où le résul-
tat.
Dénition 5.3.11 (déterminant)
Soit A ∈M2(K). On dénit le déterminant de la matrice A, noté |A|, par :
|A| =∣∣∣∣ a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12.
61
Pour A ∈M3(K), on dénit alors :
|A| =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣ .Enn, pour A ∈Mn(K), on dénit le determinant développé selon la ligne i :
|A| =n∑j=1
(−1)i+j aij |Mij|
où Mij est la (sous-)matrice A à laquelle on a "enlevé" la ligne i et la colonne j (lesdéterminants |Mij s'appellent les mineurs de A).
Remarque importante : Cette formule est valable quelle que soit la ligne de développement ichoisie. De plus, le développement du déterminant peut se faire, de la même manière, selon unecolonne j en inversant les rôles de i et j, le résultat étant évidemment le même.
Exemple :
∣∣∣∣∣∣1 2 30 0 52 1 1
∣∣∣∣∣∣ = (−1)1+1 1
∣∣∣∣ 0 51 1
∣∣∣∣ + (−1)1+2 2
∣∣∣∣ 0 52 1
∣∣∣∣ + (−1)1+3 3
∣∣∣∣ 0 02 1
∣∣∣∣ = −15.
(développement par rapport à la première ligne). Il est bien sûr plus judicieux de faire le déve-
loppement selon la seconde ligne : |A| = (−1)2+3 5
∣∣∣∣ 1 22 1
∣∣∣∣ = −15.
On a également les propriétés suivantes, intéressantes pour les calculs de déterminants,utiles notamment pour la réduction d'endomorphismes.
Proposition 5.3.12 (Propriétés du déterminant)
Soit une matrice A ∈Mn(K). Alors :
1. Permuter deux lignes ou deux colonnes change le signe du déterminant.
2. Si une ligne ou une colonne de A possède un facteur commun α, ce nombre peut-êtremis en facteur du déterminant.
3. Tout opération de la forme :
Li ← Li +n∑k=1k 6=i
Lk
laisse le déterminant inchangé. Cette dernière propriété est essentielle pour faireapparaître des 0 dans le déterminant (méthode de pivot), simpliant ainsi notable-ment les calculs, en particuliers pour les calculs de valeurs propres.
62
Exemples : 1.
∣∣∣∣∣∣1 2 34 5 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣4 5 61 2 37 8 9
∣∣∣∣∣∣ .2.
∣∣∣∣∣∣1 2 3−2 8 67 8 9
∣∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣∣∣1 2 3−1 4 37 8 9
∣∣∣∣∣∣3.
∣∣∣∣∣∣1 2 12 −1 −22 1 1
∣∣∣∣∣∣ =L3←L3−L2
∣∣∣∣∣∣1 2 12 −1 −20 2 3
∣∣∣∣∣∣ =L2←L2−2L1
∣∣∣∣∣∣1 2 10 −5 −40 2 3
∣∣∣∣∣∣ = −7.
5.3.5 Matrices de changement de base
Comme on l'a vu, l'écriture des vecteurs et matrices dépendent des bases dans lesquellesils sont exprimés. En pratique, on est souvent amené à se placer dans des bases non cano-niques pour simplier certains problèmes. Les matrices de passage permettent de ramenerces opérations de changement de base à une multiplication matricielle.
Proposition-Dénition 5.3.13
Soient B et B′ deux bases d'un e.v E. On appelle matrice de passage de la base Bà la base B′ la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de la base B′ exprimés dansla base B :
PB,B′ = [e′1|...|e′n]B .
Ainsi, pour exprimer dans la base B un vecteur x ∈ E exprimé en base B′, il sutd'eectuer le produit :
[x]B = PB,B′ [x]B′
On a de plus la propriété :PB′,B = (PB,B′)
−1 .
De même, pour les applications linéaires, on peut envisager d'eectuer un changementde base sur E et/ou F .
Proposition 5.3.14
Soient f ∈ L(E,F ), E ,E ′ deux bases de E et F ,F ′ deux bases de F . On note A = [f ]FE ,
A′ = [f ]F′
E ′ , P la matrice de passage de la base E à E ′ et Q la matrice de passage de labase F à F ′. On a alors la relation suivante :
A′ = Q−1AP. (5.2)
Remarques : 1. En d'autres termes : la matrice représentative de f dans les nouvelles basesE ′,F ′ s'obtient en pré et post multipliant la matrice de f dans les anciennes bases par desmatrices de passage. Bien entendu, la relation (5.2) peut-être écrite de diverses manières ;
63
l'essentiel est d'en retenir une et de s'y tenir, notamment concernant l'expression desmatrices de changement de base en jeu qui sont souvent source d'erreur et de confusion.
2. Ce genre d'opération est très utilisé pour la réduction d'endomorphismes (diagonalisationet triangularisation de matrices, etc.).
Exemple : Soit f ∈ L(R2) (endomorphisme) et E la base canonique de R2, avec [f ]EE =
(13 −511 −3
).
Soient deux vecteurs u1 =
(11
), u2 =
(−11
)de E. On note B= (u1, u2) une nouvelle base
de E. Exprimons la matrice de f dans la nouvelle base B. Calculons la matrice de passage :
PE,B =
(1 −11 1
)e1
e2.
u1 u2
On doit maintenant calculer son inverse. Pour cela, on exprime la relation entre les vecteursu1, u2 et la base canonique e1, e2 :
u1 = e1 + e2
u2 = −e1 + e2,
et on inverse cette relation en resolvant le système pour exprimer e1, e2 en fonction de u1, u2 :e1 = u1 − e2
e2 = u2 + e1 = u2 + u1 − e2⇐⇒
e1 = 1
2(u1 − u2)e2 = 1
2(u2 + u1).
Ainsi :
P−1E,B = 1
2
(1 1−1 1
)u1
u2
e1 e2
, et [f ]BB = P−1E,B [f ]EE PE,B =
(8 −160 2
)On peut constater que ce changement de base a "transformé" la matrice en une matrice ditetriangulaire (qui n'a que des 0 en dessous de la diagonale). Cette opération est un cas particulierde réduction d'endomorphisme.
5.4 Réduction d'endomorphismes
Rappel : Un endomorphisme f ∈ L(E) est une application linéaire de E dans E. La matricereprésentative d'un endomorphisme est donc une matrice carrée de taille n.
Dans cette section on s'intéressera principalement à introduire les notions clés à la dia-gonalisation d'endomorphismes, c'est-à-dire à la diagonalisation de leur matrice repré-sentative (lorsque cela est possible) par changement de bases. D'autres réductions moinsexigeantes existent mais ne sont pas présentées ici car plus techniques ; cependant, elles sontbasées sur les même notions, et le lecteur désireux d'en apprendre plus pourra se référer àn'importe quel ouvrage d'algèbre linéaire pour en savoir plus.
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5.4.1 Valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres
La notion de valeur propre (ou vecteur propre, ou direction propre) est essentielle, on larencontre dans toutes les disciplines scientiques sous une forme ou une autre. Bien qu'ap-pliquée aux matrices ici, la terminologie s'applique bien entendu de la même manière auxendomorphismes que ces matrices représentent.
Dénition 5.4.1
On appelle valeur propre - vecteur propre tout couple (λ, x) ∈ K×E \ 0E tel que :
Ax = λx.
L'ensemble des valeurs propres d'une matrice est appelé spectre de la matrice et estnoté Sp(A).
Remarque : Selon la nature du vecteur propre (vecteur de Rn, fonction etc.), on pourra parler dedirection propre ou encore fonction propre.
Soit λ une valeur propre de A ; si x est un vecteur propre associé à λ, il est solution de :
Ax = λx⇔ (A− λIn)x = 0E ⇔ x ∈ ker(A− λIn).
Déterminer l'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre revient donc àdéterminer ker(A− λIn) (c'est-à-dire en déterminer une base).
Dénition 5.4.2
On appelle sous-espace propre associé à la valeur propre λ le s.e.v noté Eλ :
Eλ := ker(A− λIn).
Ces notions sont à la base du processus de diagonalisation (ou autre réduction en général)d'une matrice.
Exemple : Soit la matrice A =
(1 01 2
). Sachant que 1 est valeur propre de cette matrice,
déterminons le sous-espace propre E1 :
v ∈ E1 ⇔ Av = 1.v ⇔ (A− 1In) v = 0R2 ⇔(
0 01 1
)(v1
v2
)=
(00
)⇔
0 = 0v1 + v2 = 0
⇔ v2 = −v1.
Ainsi, v ∈ E1 ⇔ v =
(v1
−v1
)= v1
(1−1
). On a donc déterminé une base de E1, à savoir le
vecteur (1,−1), E1 est de dimension 1. On pourrait en faire de même avec la valeur propre 2 etdeterminer E2 (on trouve (0, 1) comme vecteur de base).
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5.4.2 Diagonalisation de matrices
La diagonalisation d'une matrice consiste à déterminer un changement de base telle quela matrice soit diagonale dans cette base. Lorsqu'elle est possible, cette opération est intéres-sante car elle simplie considérablement les calculs faisant intervenir la matrice en question.Si cela n'est pas possible, d'autres réduction existent (triangularisation, réduction de Jordanetc.).
Les grandes étapes d'un processus de diagonalisation sont :
1. Détermination des valeurs propres de la matriceLa plupart du temps, on utilise le théorème 5.4.3.
2. Détermination des sous-espaces propres associés à chaque valeur proprePour chaque valeur propre λ, on détermine une base du sous-espace Eλ en posant(A− λIn)x = 0E.
3. La matrice est-elle diagonalisable ?Après chaque calcul de sous-espace propre de l'étape précédente, on se réfère le théo-rème 5.4.4 pour savoir celui-ci est mis en défaut ou pas en s'assurant que la dimensionde l'espace propre est bien égale à la multiplicité de la valeur propre associée. Si àl'issue du processus il ne l'a jamais été, alors la matrice est diagonalisable.
4. Diagonalisation de A.Si A est diagonalisable, alors on sait que la matrice est diagonale lorsqu'elle est expriméedans la base constituée de ses vecteurs propres, ou, plus précisemment, constituée desvecteurs de base des diérents sous-espaces propres Eλi (on peut montrer qu'ils formentune base de E). On note v1, ..., vn ces vecteurs de base, P la matrice de passage de labase canonique à la base des vecteurs propres P = [v1|...|vn], et D =diag (λ1, ..., λn).Alors, on a :
D = P−1AP , ou encore A = PDP−1.
Ainsi, l'application linéaire représentée par A dans la base canonique est représentéepar une matrice diagonale dans la base des vecteurs propres. En pratique comme enthéorie, la notion de diagonalisation de matrice (et de manière générale de réductiond'endomorphisme) est très importante, car elle permet de transformer un problèmefaisant intervenir la matrice A en un problème simplié équivalent faisant intervenirla matrice diagonale D, en utilisant la relation ci-dessus. Du fait de sa structure inté-ressante, on pourra résoudre des problèmes de manière plus aisée, et "repasser" à lasolution du problème original en utilisant la matrice P .
Voici les théorèmes fondamentaux utilisés dans les précédents points.
Théorème-Dénition 5.4.3
Soit A ∈ Mn(K). On appelle polynôme caractéristique de A, noté pA, le polynômedéni par :
pA(λ) = det(A− λIn).
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On a alors le résultat fondamental suivant : les valeurs propres de la matrice A sontdonnées par les racines du polynôme caractéristique (c'est-à-dire qu'elles sont solution depA(λ) = 0).
Exemple : Soit la matrice A =
(1 01 2
). Dans un précédent exemple, il a été armé que 1 et 2
sont valeurs propres. On va ici le montrer en calculant son polynôme caratéristique :
pA(λ) = det(A− λIn) =
∣∣∣∣ 1− λ 01 2− λ
∣∣∣∣ = (1− λ)(2− λ).
Les valeurs propres de A étant les racines de pA, on en déduit immédiatement que celles-ci sont1 et 2.
Théorème 5.4.4
Une matrice A est diagonalisable si et seulement si :
1. Son polynôme caractéristique est sous la forme : pA(λ) = Kr∏i=1
(λ− λi)mi , c'est-à-
dire qu'il est le produit de polynômes de degré un élevés à une puissance entière mi
(on dit qu'il est scindé).
2. La multiplicité mi de la valeur propre λi est égale à la dimension du sous-espacepropre associé Eλi .
En particulier, si pA(λ) n'admet que des racines simples, la matrice est diagonalisable.
Exemple : pA(λ) = (λ− 1)2(λ+ 5) est scindé ; pA(λ) = (λ2 + 3λ− 1)(λ+ 5) n'est pas scindé dansR (mais il l'est dans C !) : on voit ici l'importance de ne pas perdre de vue le corp K sur lequelon travaille.
Exemple : Soit la matrice A =
(1 01 2
). On déroule les diérentes étapes :
1. Déjà fait lors d'un exemple précédent : les valeurs propres sont 1 et 2. Ces valeurs propressont de mutiplicité 1 (car pA(λ) = (1− λ)1 (2− λ)1).
2. Les sous-espacesE1 etE2 ont été determinés dans un précédent exemple : E1 =Vect ((1,−1))et E2 =Vect ((0, 1)).
3. La dimension des sous-espaces propres est égale à la multiplicité des valeurs propres (égalesà 1), le polynôme caractéristique est scindé dans R, donc la matrice A est diagonalisable.
4. La matrice de passage s'exprime P =
(1 0−1 1
), et on a :
D =
(1 00 2
)= P−1AP.
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68
Chapitre 6
Probabilités et statistiques
cf. cours de C. Jauberthie
69
![[05] Formes Géometriques Usuelles](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/55cf8548550346484b8c571c/05-formes-geometriques-usuelles.jpg)
