Mathématiques - Vive-les-mathsvive-les-maths.net/site/controles/cahier2.pdf · Maths deuxième année : exercices MAT Lycée cantonal de Porrentruy 2.1 Géométrie 2D : norme, produit

MathématiquesExercices de deuxième année

Conseils

1. Pour vérifier que les exercices sont bien compris, il ne sert à rien de lireses corrections. Il faut être capable d’expliquer l’exercice, de le refairejuste et sans aucune aide extérieure !

2. Les définitions et les résultats du cours (dont le QuickQuiz) doivent êtreconnus sur le bout des doigts !

3. Il est important de respecter les points suivants en rédigeant :

⋆ chaque étape importante doit être expliquée en français ;

⋆ les résultats utilisés doivent être cités (Pythagore, Viète, etc) ;

⋆ PO : la rédaction doit être propre (qualité de l’écriture, orthographe);

⋆ AM : l’alignement et la mise en page doivent être corrects (bonnelisibilité, exercice non dispersé sur plusieurs pages) ;

⋆ Rm : la syntaxe mathématique doit rigoureusement être respectée.

Nomenclature

z Exercices élémentaires : doivent pouvoir être faits sans aucune difficulté.

♥ Objectifs de base qu’il faut maîtriser en 3 minutes. Ils seront testés dansles contrôles de devoirs. Un générateur aléatoire de contrôles de devoirsest disponible sur

http://www.vive-les-maths.net/

♦ Exercices qui introduisent des outils mathématiques utiles pour résoudredes exercices de réflexion. Leurs résolutions utilise principalement desobjectifs de base.

Exercices de réflexion : nécessitent de maîtriser les objectifs de base et lesoutils, mais aussi de trouver une stratégie afin de pouvoir les résoudre.Ces exercices servant de révision pour les TÉs, il est suggéré d’indiquerceux qui sont terminés en cochant la case X.

♠ Exercices de compléments théoriques : à considérer comme faisant partiedu cours et à réviser en tant que tel !

http://www.vive-les-maths.net/

Table des matières

Thèmes des exercices de deuxième année2.1 Géométrie 2D : norme, produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Analyse : dérivée et équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Géométrie 2D : calcul de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Analyse : factorisation de dérivées (avec les règles) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Factorisation de dérivées pour réviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Analyse : comportement des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 Analyse : la règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Analyse : comportement des fonctions irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 Analyse : définition de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Analyse : graphe de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.10 Géométrie 2D : boîte à outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.10.1 Sur les positions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10.2 Outils concernant les cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.11 Géométrie 2D : problèmes de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.12 Analyse : boîte à outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.13 Analyse : problèmes d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.14 Analyse : problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.14.1 Problèmes d’optimisation pour réviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.14.2 Problèmes d’optimisation avancés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.15 Analyse : continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.16 Analyse : études de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.17 Analyse : problèmes de taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.18 Analyse : dérivées implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.19 Analyse : quelques calculs de limites particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Bibliographie 34

i

Cours de MathématiquesMaths deuxième année : exercices MAT

Lycée cantonal de Porrentruy

2.1 Géométrie 2D : norme, produit scalaire et déterminant

Il est très important de réviser la section 1.8 du cahier des exercices de première année, disponiblesur www.vive-les-maths.net.

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de calculer les principales grandeursassociées aux polygones (périmètre, aire et angle).

La norme de ~v est ‖~v‖ = ‖(v1v2

)‖ =

√v21 + v22

Le produit scalaire de ~v et de ~w est ~v • ~w =(v1v2

)•(w1

w2

)= v1w1 + v2w2

Le déterminant de ~v et de ~w est det(~v, ~w

)=

∣∣∣∣v1 w1

v2 w2

∣∣∣∣ = v1w2 − v2w1

Propriétés de la norme, du produit scalaire et du déterminant

⋆ La longueur du vecteur ~v est donnée par ‖~v‖

⋆ L’angle α se trouve grâce à cos(α) =~v • ~w

‖~v‖ · ‖~w‖⋆ La projection orthogonale est donnée par

v′ = ‖~v‖ cos(α) = ~v • ~w

‖~w‖⋆ L’aire signée du parallélogramme est donnée

parA = det

(~v, ~w

)

~w

~v

v′

A

α

♥ Exercice 180 : géométrie 2D - périmètre, aire et angle (6 fois 5 minutes) RéviserQQ49

ActiverQQ50

RéviserQQ51

ActiverQQ53

ActiverQQ55

ActiverQQ57

ActiverOB28

1. Soit A(1; 2), B(2; 5) et C(4; 6) trois points.

Calculer l’angle β du triangle ABC.

2. Soit A(0; 4), B(−1; 2) et C(1;−2) trois points.

Calculer l’angle ABC du triangle ABC.

3. Soit A(6; 4), B(5;−1) et C(3;−2) trois points.

Calculer l’angle ACB du triangle ABC.


Calculer le périmètre et l’aire du triangle ABC.

5. Soit A(6;−1), B(3; 6) et C(8; 4) trois points.




♠ Exercice 181 : propriétés fondamentales du produit scalaire et du déterminant

Démontrer les équivalences suivantes.

1. Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul.

2. Deux vecteurs sont parallèles si et seulement si leur déterminant est nul.

Version 4.990 page 1 S. Perret

www.vive-les-maths.net

Lycée cantonal de PorrentruyMaths deuxième année : exercices MAT

Cours de Mathématiques

2.2 Analyse : dérivée et équation de la tangente

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de dériver des fonctions et d’écrirel’équation de la tangente à une fonction f en un point x0 (il faut prononcer «x zéro»).

La dérivée f ′(x0) est la pente de la tangente à f en x0

L’équation de la tangente à la fonction f en x0 esty = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

b

f

tangen

teà f en

x0

de pente f

′ (x0)

point(x0; f(x0)

)de la tangente

♥ Exercice 182 : équation de tangentes à une fonction (5 minutes)ActiverQQ33

ActiverQQ34

ActiverQQ35

ActiverOB19

Utiliser les règles de dérivation suivantes pour faire ce qui est indiqué ci-dessous.

(f ± g)′ = f ′ ± g′ (λf)′ = λf ′ (xr)′= rxr−1

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 2x4 + 3x3 en x = −2 en expliquantrigoureusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

♥ Exercice 183 : équation de tangentes à une fonction (5 minutes)

Utiliser la règle de dérivation suivante pour faire ce qui est indiqué ci-dessous.(gn(x)

)′= ngn−1(x) · g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = (3− 5x)4 en x = 1 en expliquant rigoureu-sement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).


Utiliser la règle de dérivation suivante pour faire ce qui est indiqué ci-dessous.(

1

g(x)

)′= − 1

g2(x)· g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) =1

3− 5xen x = 2 en expliquant rigoureuse-

ment la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).


Utiliser la règle de dérivation suivante pour faire ce qui est indiqué ci-dessous.(√

g(x))′

=1

2√

g(x)· g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 4√5x+ 4 en x = 1 en expliquant rigou-

reusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

♥ Exercice 186 : équation de tangentes à une fonction (5 minutes)ActiverQQ29 Utiliser la règle de dérivation suivante pour faire ce qui est indiqué ci-dessous.

(eg(x)

)′= eg(x) · g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 3e2x en x = ln(3) en expliquant rigoureu-sement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

S. Perret page 2 Version 4.990




Utiliser la règle de dérivation suivante pour faire ce qui est indiqué ci-dessous.

(ln(g(x)

) )′=

1

g(x)· g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 4 ln(x2) en x = e3 en expliquant rigoureu-sement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).



(sin

(g(x)

) )′= cos

(g(x)

)· g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 2 sin(6x) en x = π4 en expliquant rigou-




(cos

(g(x)

) )′= − sin

(g(x)

)· g′(x) qui est un cas

particulier de

(f(g(x))

)′= f ′(g(x)) · g′(x)

Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 3 cos(6x) en x = π3 en expliquant rigou-


♥ Exercice 190 : équation de tangentes à une fonction (8 fois 5 minutes)

1. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 3x4 + 2x2 en x = −1 en expliquantrigoureusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

2. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = (3x + 5)3 en x = −1 en expliquantrigoureusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

3. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) =1

3x+ 5en x = −1 en expliquant

rigoureusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

4. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 2√5x− 1 en x = 2 en expliquant


5. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 5e2x en x = ln(2) en expliquantrigoureusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

6. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 5 ln(x3) en x = e2 en expliquantrigoureusement la démarche utilisée (il y a au moins trois façons de faire).

7. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 3 sin(7x) en x = π6 en expliquant


8. Établir l’équation de la tangente à la fonction f(x) = 2 cos(7x) en x = π4 en expliquant





2.3 Géométrie 2D : calcul de distance

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent d’utiliser les propriétés du produitscalaire et du déterminant pour calculer des distances dans le plan.

La distance entre deux points A et B est donnée par ‖−−→AB‖.

La distance entre un point A et une droite d est donnée par la hauteur duparallélogramme engendré par le vecteur qui relie un point de la droiteP0 et le point A et le vecteur directeur de la droite. La hauteur étantégale à l’aire du parallélogramme divisé par sa base, on a

δ(A, d) =det(

−−→P0A, ~d)

‖~d‖

δ est la distance signée, et la distance d est la valeur absolue de δ.

d

b

P0

~d

−−→P0A

bA

hauteur

La distance entre un point A et une droite d est donnée par la projectionorthogonale du vecteur qui relie un point de la droite P0 et le point A

sur le vecteur normal de la droite. Ainsi

δ(A, d) =

−−→P0A • ~n‖~n‖

δ est la distance signée, et la distance d est la valeur absolue de δ.

d b

P0

−−→P0A

bA

distance

~n

La distance entre deux droites qui sont sécantes est nulle.La distance entre deux droites qui ne sont pas sécantes est

d(d1, d2) = d(P1, d2) si P1 ∈ d1ou

d(d1, d2) = d(d1, P2) si P2 ∈ d2

z Exercice 191 : trop facile pour les contrôles de devoirsActiverQQ59

ActiverQQ60

ActiverQQ62

1. Calculer la distance du point A(4;−2) à la droite d :

x = 1 + 2λy = 4 − 5λ , λ ∈ R.

2. Calculer la distance du point A(3; 5) à la droite d’équation d : 2x− 7y = 14.

♥ Exercice 192 : géométrie 2D - calcul de distance (2 fois 5 minutes)

ActiverQQ64

ActiverOB29

1. On considère les droites suivantes.

d1 : 3x− 6y = 9 et d2 :

x = 2 + 8λy = −5 + 4λ , λ ∈ R

Montrer que les droites ne sont pas sécantes et calculer la distance qui les sépare.

2. On considère les droites suivantes.

d1 : 4x− 10y = 20 et d2 :

x = 11 + 15λy = −2 + 6λ , λ ∈ R

Montrer que les droites ne sont pas sécantes et calculer la distance qui les sépare.




2.4 Analyse : factorisation de dérivées (avec les règles)

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent d’appliquer les règles de dérivationet de factoriser l’expression obtenue.

(fg)′ = f ′g + fg′(f

g

)′=

f ′g − fg′

g2

♥ Exercice 193 : dérivation à l’aide des règles (10 fois 5 minutes) RéviserQQ34

RéviserQQ35

ActiverOB20

1. À l’aide des règles de dérivation, factoriser la dérivée de f(x) =(x3 − 2)2

(x2 − 2)3.

On peut s’arrêter de factoriser dès que cela suffit pour faire un tableau de signes

2. À l’aide des règles de dérivation, factoriser la dérivée de f(x) =(12x2 − 1)2

4x− 1.

On peut s’arrêter de factoriser dès que cela suffit pour faire un tableau de signes

3. On considère les fonctions f(x) =x3 + 18x

x2 + 2et g(x) =

√ecos(x) .

À l’aide des règles de dérivation, factoriser la dérivée de f (en vue de faire un tableau designes) et dériver la fonction g (sans faire de simplifications).

4. On considère les fonctions f(x) =(2x+ 1)3

(x+ 2)2et g(x) = sin

(ln(x2

)).


5. On considère la fonction f(x) = (x2 + 9)3 · e−x .À l’aide des règles de dérivation, factoriser la dérivée de f (en vue de faire un tableau designes).

6. On considère la fonction f(x) = 2(x3 + 6x2 + 24x+ 48) · e−12x et g(x) = cos

(ln

(x2

)).


7. À l’aide des règles de dérivation, factoriser la dérivée de ln

((2x+ 1)6

(3x− 2)3

).

On peut s’arrêter de factoriser dès que cela suffit pour faire un tableau de signes.

8. On considère les fonctions f(x) = ln

(3

2x2 + 1

)et g(x) = cos

(sin

(x3

)).


9. On considère la fonction f(x) =2 ln4(3x6) + 5x4

x4.

À l’aide des règles de dérivation, factoriser la dérivée de f (en vue de faire un tableau designes).

10. On considère les fonctions f(x) =6 ln(4x3) + 2x4

x3et g(x) = cos

(√sin (x)

).





2.4.1 Factorisation de dérivées pour réviser

z Exercice 194 : Factorisations de dérivées

1. Faire le tableau de signes de la dérivée de f(x) =2x3(x3 − 2)3

(x3 − 1)2.

2. Faire le tableau de signes de la dérivée de f(x) =2x3(x3 − 2)2

(x3 − 3)2.

z Exercice 195 : Factorisations de dérivées

Calculer et factoriser les dérivées suivantes en faisant le moins d’étapes possibles.

Après avoir vu la section sur les études de fonction, le lecteur reviendra sur cet exercice et abor-dera l’étude de ces fonctions (sans la dérivée seconde lorsque cette dernière n’est pas indiquée).

Note : la dérivée seconde f ′′ est simplement la dérivée de la dérivée (f ′)′.

fonction à dériver dérivée(s) factorisée(s)

a) f1(x) =x(x− 1)2

(2x − 3)5f ′1(x) =

−(x− 1)(x+ 1)(4x − 3)

(2x− 3)6

b) f2(x) =x(x− 1)4

(2x − 3)5f ′2(x) =

−(x− 1)3(7x− 3)

(2x− 3)6

c) f3(x) =x3 − 6x2

(x+ 3)2f ′3(x) =

x(x− 3)(x+ 12)

(x+ 3)3, f ′′

3 (x) =18(7x − 6)

(x+ 3)4

d) f4(x) =x3 − x2

(2x− 1)(4x − 1)2f ′4(x) =

x(5x− 2)

(2x− 1)2(4x− 1)3

e) f5(x) = ln

(2

2x2 + 1

)f ′5(x) =

−4x

2x2 + 1, f ′′

5 (x) =8(x+ 1√

2

)(x− 1√

2

)

(2x2 + 1)2

f) f6(x) =x

ln(x2)f ′6(x) =

ln(x2)− 2

ln2(x2), f ′′

6 (x) =2(4− ln(x2)

)

x ln3(x2)

g) f7(x) = (2x2 + 3x+ 2)e−x f ′7(x) = (1− x)(2x+ 1)e−x , f ′′

7 (x) = x(2x− 5)e−x

h) f8(x) = (x− 3)e−1

x−1 f ′8(x) =

(x− 2)(x+ 1)e−1

x−1

(x− 1)2, f ′′

8 (x) =(5x− 7)e−

1

x−1

(x− 1)4




2.5 Analyse : comportement des fonctions rationnelles

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de calculer des limites et d’étudier lecomportement des fonctions (comment leur graphe se comporte au bord du domaine de définition).

Comportement asymptotique local

⋆ Si a 6∈ D et si limx→a

f(x) = b ∈ R, alors f a un trou en (a; b)


f(x) = ±∞, alors f a une AV d’équation x = a

f est une fonction rationnelle si f(x) =polynôme du numérateur

polynôme du dénominateur

Comportement asymptotique à l’infini

⋆ Si le degré du numérateur est plus petit que celui du dénominateur,alors f a une AH d’équation y = 0.

⋆ Si le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur,alors f a une AH d’équation y = h où h est le quotient des coefficients dominants.

⋆ Si le degré du numérateur est égal à un de plus que celui du dénominateur,alors f a une AO d’équation y = mx+ h avec

m = limx→±∞

f(x)

xet h = lim

x→±∞

(f(x)−mx

)

♥ Exercice 196 : comportement asymptotique local et à l’infini (6 fois 5 minutes) ActiverQQ32

ActiverOB21

1. Étudier le comportement asymptotique local et à l’infini de la fonction

f(x) =3x3 + 8x+ 2

3(x− 1)(x − 2)


f(x) =x2 − 2x− 8

2(x− 1)2(x+ 2)


f(x) =2x2 − 4x+ 5

2(x+ 1)


f(x) =4x3 − 7x+ 3

3(x− 2)2(x− 1)


f(x) =6x4 + 5x2 + 1

3x2(x− 1)


f(x) =3x4 + x2 − 4

2(x− 2)4(x− 1)




2.6 Analyse : la règle de l’Hospital

La règle de l’Hospital permet de calculer des limites, aussi quand elles ne peuvent pas êtrecalculées en simplifiant des facteurs. C’est un outil fondamental pour les fonctions irrationnelles.

Soit a ∈ R ∪ ±∞. La règle de l’Hospital dit que

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

si la limite de gauche est de type (00) ou (±∞±∞)

et si la limite de droite existe.

z Exercice 197 : la règle de l’HospitalActiverQQ36 Indiquer le type de chaque limite, puis calculer la limite avec ou sans la règle de l’Hospital.

a) limx→1

3x3 − 9x+ 6

2x3 − 3x2 + 1b) lim

x→2

x3 − 3x2 + 4

x2 − x− 2c) lim

x→−3

x2 + x− 6

2x3 + 9x2 − 27

d) limx→0

x

x+ sin(x)e) lim

x>→0

sin(√x)

xf) lim

x→0

sin(2x)

x

g) limx→+∞

3x

e2x − 1h) lim

x→−∞

3x

e2x − 1i) lim

x→0

3x

e2x − 1

j) limx

>→0

ln(x)− 1

x− ek) lim

x→e

ln(x)− 1

x− el) lim

x→+∞

ln(x)− 1

x− e

2.7 Analyse : comportement des fonctions irrationnelles

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de calculer des limites et d’étudier lecomportement des fonctions (comment leur graphe se comporte au bord du domaine de définition).

Comportement asymptotique local


f(x) = b ∈ R, alors f a un trou en (a; b)


f(x) = ±∞, alors f a une AV d’équation x = a

Comportement asymptotique à l’infini

⋆ Si limx→±∞

f(x) = h ∈ R, alors f a une AH d’équation y = h.

⋆ Si limx→±∞

f(x) = ±∞, alors f a une AO d’équation y = mx+ h ssi

m = limx→±∞

f(x)

x∈ R et h = lim

x→±∞

(f(x)−mx

)∈ R

♥ Exercice 198 : comportement asymptotique local ou à l’infini (2 fois 5 minutes)ActiverOB22 1. Étudier le comportement asymptotique local et à l’infini de la fonction

f(x) =4x+ 3

5x− 2e23x


f(x) =−4x

2 ln(x)− 3




♥ Exercice 199 : comportement asymptotique local ou à l’infini (8 fois 5 minutes)

1. Étudier le comportement asymptotique local de la fonction

f(x) = 2x e34x

2. Étudier le comportement asymptotique à l’infini de la fonction

f(x) = 2x e34x


f(x) =(4x2 − 2x+ 3

)e53x


f(x) =32x − 4

e32x


f(x) = −2 ln2(x6) + 4


f(x) = 3 ln(x3) + 2x+ 5

7. Étudier le comportement asymptotique à l’infini de la fonction

f(x) =2 ln(x9) + 4x2 + 3x− 5

x


f(x) =4 ln(x+ 2)

−3x− 3

♠ Exercice 200 : compléments sur le comportement asymptotique à l’infini

1. Lire attentivement la section «Compléments sur le comportement asymptotique à l’in-fini»qui se trouve dans le cours.

2. Démontrer le théorème de l’asymptote parabolique.




2.8 Analyse : définition de la dérivée

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de calculer des limites et de com-prendre comment la définition de la dérivée permet de calculer des dérivées.

en vert, la sécanteen bleu, le déplacement dela sécante vers la tangenteréalisé grâce à la limiteen rouge, la tangente

f

(x+∆x; f(x+∆x))

= (x1; f(x1))

(x; f(x)) bb

b

b

b

b

∆x = x1 − x

⇐⇒ x1 = x+∆x

f(x

+∆x)−f(x)

=f(x

1)−f(x)

pentede la

tangente

pentede la

sécante

pentede la

sécante

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x= lim

x1→x

f(x1)− f(x)

x1 − x

♥ Exercice 201 : définition de la dérivée (5 fois 5 minutes)ActiverOB17 1. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) = 3x2 + 4x+ 7.

2. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) = 2x3 − 7x+ 5.

Rappel : (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 et a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2).

3. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) =2x+ 7

3x.

4. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) =4

3x+ 7.

5. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) =√2x+ 7.

♥ Exercice 202 : définition de la dérivée (5 fois 5 minutes)

1. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) = 5x2 − 7x+ 2.

2. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) = 4x3 + 3x+ 7.

Rappel : (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 et a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2).

3. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) =3x− 1

7x.

4. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) =6

7x− 5.

5. À l’aide de la définition de la dérivée, calculer la dérivée de f(x) =√7x− 3.




2.9 Analyse : graphe de la dérivée d’une fonction

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de vérifier la bonne compréhensionde ce qu’est la dérivée.

La dérivée f ′(x0) est la pente de la tangente à f en x0

♥ Exercice 203 : graphe de la dérivée d’une fonction (4 fois 5 minutes) ActiverOB18a) Voici le graphe d’une fonction.

Dessiner le graphe de sa dérivée sur le repère en dessous.

y

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

b) Voici le graphe d’une fonction.Dessiner le graphe de sa dérivée sur le repère en dessous.

y

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

c) Voici le graphe d’une fonction.Dessiner le graphe de sa dérivée sur le repère en dessous.

y

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

d) Voici le graphe d’une fonction.Dessiner le graphe de sa dérivée sur le repère en dessous.

y

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

x




2.10 Géométrie 2D : boîte à outils

On utilise les objectifs de base pour définir quelques outils en géométrie qui seront bien utilespour les exercices de réflexion qui viennent ultérieurement.

♦ Exercice 204 : construction de vecteurs de longueur 1 (10 minutes)

1. Donner, pour chaque vecteur ~vi, le vecteur de même sens et de longueur 1, noté vi.

~v1 =

(13

0

)~v2 =

(4

−3

)~v3 =

(5

12

)~v4 =

(3

1

)

2. Soit ~v un vecteur non nul. Trouver une formule pour v qui est un vecteur parallèle à ~v, demême sens et de longueur 1. Démontrer cette formule.

♦ Exercice 205 : décomposition d’un vecteur (10 minutes)

On considère les deux vecteurs ~v =

(−3

2

)et ~w =

(2

1

).

Décomposer ~v en deux vecteurs ~a et ~b, où ~a est parallèle à ~w et ~b orthogonal à ~w.

♦ Exercice 206 : angle entre deux droites (5 minutes)

Calculer l’angle entre la droite d1 :

x=1+ λ

y =2− λ, λ ∈ R et la droite d2 : x+ 2y = 2.

2.10.1 Sur les positions relatives

Les positions relatives aux positions de deux objets relativement à eux-même. On s’intéressenotamment aux ensembles d’intersection de ces deux objets.

♠ Exercice 207 : étude de la position relative de deux droites dans le plan

Lorsqu’on étudie la position relative de 2 droites dans le plan, il y a 3 situations possibles.

Disons que la droite d1 est de vecteur directeur ~d1 et que la droite d2 est de vecteur directeur ~d2.

droites droites droites

d1d2

b

I

d1

d2

d1d2

d1 ∩ d2 = d1 ∩ d2 = d1 ∩ d2 =

Compléter le tableau en décrivant une condition simple qui permet de distinguer ces situations,puis décrire les différentes stratégies pour déterminer l’intersection selon la situation.




♠ Exercice 208 : étude de la position relative d’une droite et d’un cercle

Lorsqu’on étudie la position relative d’une droite et d’un cercle, il y a 3 situations possibles.

Ils sont Ils sont Ils sont

r b

C

C

dr b

C

C

db

r b

C

Cd

b

b

d ∩ C = d ∩ C = d ∩ C =

Compléter le tableau en décrivant une condition simple qui permet de distinguer ces situations.

2.10.2 Outils concernant les cercles

Lorsqu’on résout des problèmes utilisant des cercles, on adapte les méthodes déjà connues. Il n’ya rien de fondamentalement nouveau à part la définition d’un cercle !

Le cercle C est définit comme l’ensemble des points P dont la distance au centre C estégale au rayon r, c’est-à-dire

C =P ∈ R2 :

∥∥−−→CP∥∥ = r

Le cercle centré en C(xc; yc) de rayon r est d’équation (x− xc)2 + (y − yc)

2 = r2

♦ Exercice 209 : équation cartésienne du cercle (10 minutes) RéviserQQ52Décrire, géométriquement, l’ensemble des solutions de chacune des équations suivantes.

a) x2 + y2 + 6x− 8y = −16 b) x2 + y2 − 2x+ 4y = −14 c) 2x2 + 2y2 − 9x+ 4y = 8

On utilise la forme canonique (voir l’exercice réflexe R4 sur www.vive-les-maths.net) despolynômes de degré 2.

♦ Exercice 210 : distance entre une droite et un cercle (5 minutes)

Calculer la distance entre la droite d :

x=1+ λ

y =2− λ, λ ∈ R et le cercle C : x2 + y2 +6x− 10y = 2.

♦ Exercice 211 : intersection entre une droite et un cercle (10 minutes)

On considère la droite d passant A(1; 1) et B(2; 4), et le cercle C centré en C(2; 1) et de rayon 3.

Calculer les points d’intersection une fois à l’aide de la représentation cartésienne de d ; une autrefois avec la représentation paramétrique.

♦ Exercice 212 : le cercle de Thalès (10 minutes)

Soit A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points. Montrer que l’ensemble des points P (x; y) tels que letriangle ABP est rectangle en P correspond au cercle passant par A centré au milieu de [AB].


www.vive-les-maths.net



2.11 Géométrie 2D : problèmes de géométrie

Exercice 213 (temps estimé pour les TEs : 40 minutes)

Dans un repère orthonormé, on donne la droite π : 4x + 5y = 76 et les points A(27;−31),B(47;−47).

On considère aussi la droite d :

x = 11 + 17λy = 24 + 4λ

, λ ∈ R.

1. Montrer que la droite π est strictement parallèle à la droite (AB).

2. Calculer la distance entre les droites π et (AB).

3. Calculer les coordonnées du point d’intersection S de la droite d avec la droite π.

4. Calculer l’angle (aigu) que forme la droite d avec la droite π.

5. Calculer l’aire du triangle SAB.

6. Calculer les coordonnées du point symétrique A′ de A par rapport à la droite π.

7. Soit le cercle centré au point Ω(−57,−13), de rayon r =√1476.

(a) Montrer que la droite (AB) est tangente à ce cercle (sans calcul d’intersection).

(b) Calculer les coordonnées du point de tangence T .


Dans un repère orthonormé, on donne les points A(−5; 9), B(13; 18) et S(−9;−13).

On considère aussi la droite d :

x = 13 + 2λy = 18 + 11λ

, λ ∈ R.

1. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (AB).

2. Calculer l’angle (aigu) que forme la droite (SB) avec la droite π : 2x+ 11y = 89.

3. Vérifier que la droite d est perpendiculaire à la droite π.

4. Montrer que la projection orthogonale du point S sur la droite π est le point A.

5. Existe-t-il un cercle centré au point Ω(37; 15) et tangent à la fois à la droite (AB) et à ladroite π ? Si oui, donner l’équation de ce cercle ; sinon, expliquer pourquoi.

On considère le cercle Γ, de centre A, de rayon√621.

6. Calculer la distance du point A à la droite d et en déduire le nombre de points d’intersectionde la droite d avec le cercle Γ.

7. Déterminer l’équation du cercle centré en S et dont les points d’intersection avec la droite π

sont les mêmes que ceux du cercle Γ avec la droite π.


Dans un repère orthonormé, on donne les droites d1, d’équation 8x−y−52 = 0, et d2, d’équation7x+ 4y − 299 = 0, ainsi que les points A(63; 62), B(67; 94) et P (15; 68).

1. Établir une représentation cartésienne de la droite (AB).

2. Montrer que la droite (AB) est strictement parallèle à la droite d1.

3. Calculer l’angle aigu d’intersection des droites d1 et d2.

4. Déterminer le point I d’intersection des droites d1 et d2.

5. Établir une représentation paramétrique de la droite d passant par P et perpendiculaire àla droite d1.

6. (a) Trouver les points (deux solutions) de la droite d équidistants des droites d1 et d2.

(b) Vérifier que l’un de ces points est le point A.

7. Déterminer l’équation du cercle Σ de centre A et tangent aux droites d1 et d2.





1. Écrire une équation cartésienne du cercle de diamètre AB avec A(3; 2) et B(−1; 6).

2. Écrire une équation cartésienne du cercle passant par les points A(3; 1), B(−1; 3) et dontle centre appartient à la droite d’équation 3x− y − 2 = 0.


Établir des équations cartésiennes des droites parallèles à la droite d : 2x+y−7 = 0 et tangentesau cercle d’équation x2 + y2 + 10x− 2y + 6 = 0 .


On se donne le triangle de sommets A(−2;−4), B(2; 2) et C(6;−2).

1. Calculer le périmètre, l’aire et les angles de ce triangle.

2. Établir l’équation cartésienne de la médiane issue du sommet C.

3. Déterminer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

4. Écrire l’équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle ABC.


On donne les points A(49; 16) et B(59; 76), ainsi que la droite d :

x = 9 + 5λy = 72 − 7λ

, λ ∈ R.

1. Déterminer l’angle aigu entre la droite (AB) et la droite d.

2. Déterminer le point C de la droite d tel que le triangle ABC soit isocèle en C.


On considère les points A(17; 31) et B(30; 24), et la droite d : x+ 11y = 116.

Déterminer, par calcul, le point C à coordonnées entières qui se trouve sur d de sorte que l’airedu triangle ABC soit d’aire égale à 111.


On considère les points A(−25; 13) et C(−7; 37), et aussi la droite d qui passe par (11; 14) et quiest parallèle à

( 3−4

).

Déterminer, par calcul, les points B et D tels que ABCD est un rectangle sachant que B ∈ d.


On se donne le cercle d’équation cartésienne suivante.

C : x2 + y2 + 4x− 6y = 12

1. Pourquoi n’existe-t-il pas de tangentes au cercle passant par le point P1(−3; 4) ?

2. Trouver la ou les tangentes passant par le point P2(−5; 7).

3. Trouver la ou les tangentes passant par le point P3(5; 2).

4. Trouver la ou les tangentes passant par le point P4(−7; 0).





Soit les trois points A(−3; 5), B(1; 2) et C(−3;−1).

Donner une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle ABC.


Soit les trois points A(−3; 5), B(1; 2) et C(−3;−1).

Donner une équation cartésienne du cercle inscrit au triangle ABC.

♠ Exercice 225 : preuve du résultat de la section 21 de cours de géométrie plane

Montrer que si deux équations cartésiennes décrivent la même droite, alors elles sont multiplesl’une de l’autre (par un nombre non nul), et réciproquement.




2.12 Analyse : boîte à outils

On utilise les objectifs de base pour définir quelques outils en analyse qui seront bien utiles pourles exercices de réflexion qui viennent ultérieurement.

L’angle entre deux fonctions est donnée par l’angle entre les tangentes à ces fonctions.

Un optimum (maximum, minimum) se trouve là où la dérivée s’annule et change de signe.

Un point d’inflexion se trouve là où la dérivée seconde s’annule et change de signe.

♦ Exercice 226 : tangentes à un point quelconque (10 minutes)

Déterminer les équations des tangentes à f(x) = 12x

2 − 4x+ 10 qui passent par P (3;−2).

♦ Exercice 227 : angle entre deux courbes (10 minutes)

Sous quel angle (aigu) se coupent les graphes des fonctions f(x) = 2x3 et g(x) = 8− 6x3 ?

♦ Exercice 228 : zéros, optima (maximum, minimum) et point d’inflexion (10 minutes)

Déterminer, les zéros, les optima et le point d’inflexion de la fonction f(x) = x3 − x2 − x + 1.Utiliser ces informations pour esquisser le graphe de f .

♦ Exercice 229 : optimisation (10 minutes)

On dispose d’une clôture d’une longueur de 200 mètres pour construire un enclos rectangulairele long d’un mur rectiligne. Déterminer les dimensions d’un tel enclos dont l’aire est maximale.

♦ Exercice 230 : optimisation (10 minutes)

On veut construire un enclos rectangulaire d’un demi-hectare le long d’un mur rectiligne. Pourcela, on peut aller acheter une clôture que l’on paie 2 francs par mètre. Déterminer les dimensionsd’un tel enclos pour lequel le coût est minimal, et son coût.

♦ Exercice 231 : optimisations (15 minutes)

On considère la fonction f définie par f(x) = x2. On considère un rectangle dont les côtés sontparallèles aux axes, inscrit dans le triangle curviligne défini par le graphe de la fonction f , l’axedes x et la droite verticale d’équation x = 2.

1. Déterminer l’aire du plus grand rectangle.

2. Déterminer le périmètre du plus petit rectangle.




2.13 Analyse : problèmes d’analyse

Les parties indiquées en rouge dans les exercices qui suivent ne peuvent être réalisées qu’avec lathéorie vue en troisième année. Elles sont remplacées par des questions en vert.

Exercice 232 (tiré de [Lyc19] ; temps estimé pour les TEs : 40 minutes)

On considère les fonctions f(x) = ln(x2 + 1) et g(x) = ln(2x + 4) représentées graphiquementci-dessous : y

b

b

b

b

A

B

C

O

f

g

S

x

1. Calculer les coordonnées des points A, B, C.

2. Donner l’équation de l’asymptote (verticale) de g.

3. Prouver que l’origine O est bien le minimum de f .

4. Calculer les coordonnées des points d’inflexion de f .

5. Établir l’équation de t, tangente au graphe de f en B.

6. Déterminer les abscisses des points du graphe de f en lesquels la pente des tangentes vaut 12 .

7. Calculer l’angle α entre les deux courbes au point C.

8. Déterminer la longueur du plus grand segment vertical qu’on peut inclure dans la surface S.

9. Calculer l’aire finie comprise entre le graphe de g et le segment [BC].


Les parties de cet exercice sont indépendantes.

A. Soit les fonctions f et g définies par f(x) = 2xe−x et g(x) = e−x dont les graphes sontreprésentés ci-dessous. y

b

b

bA

B

O x

(a) Dans le premier quadrant, déterminer le maximum de chacune des deux fonctions.

(b) Calculer les coordonnées du point A.

(c) Calculer l’angle aigu d’intersection des deux courbes au point A.

(d) Déterminer les coordonnées du point d’inflexion de f .

(e) Calculer l’aire du triangle curviligne OAB.

(f) On considère les points P et Q qui sont respectivement des points des graphes de f etde g, sur la même verticale, dont l’abscisse est entre 0 et celle de A. Déterminer l’airemaximale du triangle APQ qu’on peut ainsi obtenir.

(g) Même question, mais, cette fois, l’abscisse de P et Q est plus grande que celle de A.

B. Soit la fonction h définie par h(x) = ln

(2x− 1

3x− 2

).

(a) Déterminer le domaine de définition de la fonction h.

(b) Montrer que la courbe représentative de la fonction h admet deux tangentes parallèles àdroite d’équation y = −x+ 5.





Les parties A et B sont indépendantes.

A. On considère les fonctions f et g données par f(x) =2x

1 + x2et g(x) = x, et dont les

graphes sont esquissés ci-dessous.

(a) Déterminer les coordonnées des points A et B.

(b) Calculer le maximum, le minimum et les pointsd’inflexion de f .

(c) Déterminer l’aire du domaine grisé.

(d) Calculer l’angle aigu d’intersection entre les graphesde f et g au point O.

(e) Dans la partie droite de la zone grisée, déterminer lesegment vertical de la plus grande longueur.

(f) On considère un rectangle dont les côtés sont paral-lèles aux axes, le coin inférieur gauche est l’origine etle coin supérieur droit est un point P du graphe de f

dont l’abscisse est entre 1 et 3.

Déterminer la valeur du plus petit et du plus grandpérimètre possible pour un tel rectangle.

y

b

b

b

A

B

O y = f(x)

y = g(x)x

B. On considère les fonctions h et u données par h(x) = sin2(2x) et u(x) = 2 · sin(2x)− 1.

a) Étudier la parité des fonctions h et u. b) Dessiner le graphe de la fonction u.

c) Résoudre l’équation h(x) = u(x). d) Calculer la limite limx→0

h(x)

3x2.


On considère les courbes Cf et Cg définies par

Cf : y = −x2 + 2x+ 3 et Cg : y = (3− x)ex

et dont les représentations graphiques, relativement à un repèreorthonormé, se trouvent ci-contre.

1. a) Donner les coordonnées des points d’intersection K, L et Mde Cf avec les axes.

b) Vérifier que L est également un point de Cg.c) Montrer que les courbes Cf et Cg sont tangentes en K.

2. Calculer l’angle aigu d’intersection de Cf et Cg au point L.

3. a) Quelle est la pente de la droite (KL) ?

b) Calculer la valeur de x pour laquelle la tangente à lacourbe Cf au point d’abscisse x est parallèle à la droite (KL).

y

bb b

bK

LMOCf

Cgx

4. a) Calculer∫(3− x)ex dx et vérifier la réponse.

b) Calculer l’aire du domaine grisé.

5. On appelle P un point de la courbe Cg situé dans le premier quadrant (x > 0 et y > 0) etI sa projection orthogonale sur l’axe Ox.

Quelles sont les coordonnées du point P pour lesquelles l’aire du triangle POI est maximale ?

6. Déterminer la distance minimale et maximale entre le point (0; 2) et un point d’ordonnéepositive ou nulle du graphe de f .





Les trois sections sont indépendantes.

1. Calculer limx→3

sin(x2 − 9)

ln(2x− 5).

2. Soient les fonctions f et g définies par f(x) = (x2 + 1)2 et g(x) = 5− x2.

(a) Calculer les coordonnées des points d’intersection entre les graphes de f et g. Le pointd’intersection le plus à gauche sera appelé A.

(b) Établir le tableau de variation de f et démontrer que la fonction f ′′ est positive.

(c) Montrer que f et g sont paires, puis esquisser les graphes de f et de g.

(d) Établir l’équation de la droite t, tangente au graphe de g en A.

(e) Déterminer la tangente à f qui passe par le point (1140 ; 1).

(f) Calculer l’angle aigu d’intersection entre les graphes de f et de g au point A.

(g) Calculer l’aire du domaine se situant entre les graphes des deux fonctions.

3. Soit la fonction h donnée par

h(x) =1

x2 + 1

dont le graphe est représenté ci-contre.

y

b b

bb

h

x

On désire construire un rectangle comme indiqué sur la figure. Quelles sont les dimensionsdu rectangle de plus grande surface ?


Les parties de cet exercice sont indépendantes.

1. Soit les fonctions définies par f(x) = ln(3x), g(x) = ln(5x− 4) et h(x) =ln(5x− 4)

−x2 + 4x− 3.

(a) Montrer que le point A(2; ln(6)) appartient aux graphes des trois fonctions.

(b) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe d’équation y = f(x) au point A.

(c) Calculer l’angle aigu d’intersection des courbes représentatives de f et g au point A.

(d) Déterminer la tangente à la courbe y = f(x) qui passe par le point (0;−1).

(e) Déterminer le domaine de définition de la fonction h et calculer limx→1

h(x).

2. On considère les points A(π3 ;12) et B(−π

2 ; 0). Soit la fonction t définie par t(x) = cos(x) et lafonction affine l dont le graphe est la droite (OA).

(a) Démontrer que les points A et B sont sur le graphe de t.

(b) Esquisser les représentations graphique de t et l sur l’intervalle [−2, 2]. Placer les pointsA et B et dessiner le triangle curviligne OAB en coloriant son intérieur.

(c) Déterminer l’expression fonctionnelle de la fonction affine l.

(d) Déterminer l’aire du triangle curviligne OAB.

3. Calculer∫(2x+ 5)e−x dx. Vérifier la réponse obtenue.

4. Un maraîcher désire construire une serre dont l’armature de forme cylindrique sera compo-sée de quatre arcs en forme de demi-cercle de rayon x et de quatre barres horizontales delongueur y. Pour construire cette armature, il dispose de 120 mètres de tubes métalliques.

Déterminer les dimensions x et y pour que le volume de la serre soit maximal.





Les parties A et B sont indépendantes.

A. On considère le cercle trigonométrique. Sur ce cercle, on considère le point E le plus à droite.On place un point P sur le cercle de sorte que l’angle α = EOP puisse varier entre 0 et π

2 .On note C la projection orthogonale de P sur l’axe des x, et S la projection orthogonale deP sur l’axe des y.

Déterminer l’angle α pour lequel la longueur du chemin EPSOCP soit maximale, et faire demême pour trouver la longueur minimale.

À remarquer : la partie du chemin EP est sur le cercle.

B. On considère les courbes (c) et (h) ayant pour équations respectives :

(c) : x2 + y2 − 2x = 27 (h) : y =6√3

x

1. Calculer les trois points d’intersection des courbes (c) et (h) qui seront notés, du plus àgauche au plus à droite, A, B et C.

2. Vérifier, par calcul, que les courbes (c) et (h) sont tangentes au point A.

3. Calculer l’angle sous lequel ces courbes se coupent en C.

4. Esquisser ces deux courbes.

5. On appelle D le domaine limité par les arcs BC de ces deux courbes. Par rotation autourde l’axe des x, le domaine D engendre un solide de révolution. Calculer le volume de cedernier.


On considère la parabole d’équation y = −x2+x+6 ; un point M de la parabole dont l’abscisse x

peut varier entre 0 et 3 ; le point N , projection orthogonale de M sur l’axe des x ; le point E(0; 2).

1. Représenter graphiquement la parabole après avoir déterminé son sommet S et ses pointsd’intersection A et B avec l’axe des x (unité : 5mm).

2. Calculer l’aire du domaine délimité par l’arc ASB de la parabole et l’axe des x.

3. Déterminer l’équation de la tangente à la parabole qui passe par le point (3; 9).

4. Calculer l’abscisse x du point M de la parabole de sorte que l’aire du triangle MNE soitégale à celle du triangle ONE, O étant l’origine des axes.

5. Calculer l’abscisse x du point M de la parabole de sorte que l’aire du trapèze ONME soitmaximale.

6. On suppose maintenant que l’abscisse x du point M de la parabole vaut 2. Calculer alorsle volume du solide engendré par la rotation du trapèze ONME autour de l’axe des y.Ce volume peut aussi être calculé à l’aide d’une intégrale.




2.14 Analyse : problèmes d’optimisation


On considère un triangle rectangle OBC d’hypoténuse 30 cm où B est un point sur l’axe des x

d’abscisse positive et C est un point sur l’axe des y d’ordonnée positive.

En faisant tourner le triangle OBC autour de l’axe des x, on génère un cône. Quelles sont lesdimensions du cône de volume maximal et que vaut ce volume maximal ?


À partir d’un carton de 40 centimètres de largeur et de 80 centimètres de longueur, une entreprisecherche à fabriquer une boîte à Pizza en pliant les bords comme montré sur le schéma ci-dessous.En gris, on voit la quantité de carton qui sera découpée et recyclée.

L’entreprise aimerait que lorsque ces cartons sont pliés, leur volume soit le plus grand possible.Quel est alors le rayon maximal qu’une pizza doit avoir pour pouvoir entrer dans le carton ?

xcm

xcm

xcm

xcm

x cm

x cm

x cm

x cm

40cm

80 cm

Exercice 242 (tiré de [CRM06] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

Un rectangle ABCD est inscrit dans un demi-cercle dediamètre égal à 2.

Déterminer le rectangle d’aire maximale en prenant α

comme variable.

Puis calculer l’aire de ce rectangle. b b

bb

bα

O A

BC

D

Exercice 243 (tiré de [BV14] ; temps estimé pour les TEs : 20 minutes)

Un homme dans un bateau à rames est à 2 km du point A le plus proche de la rive (on supposepour simplifier que la rive est une droite) ; il veut atteindre une maison située en un point B,6 km plus bas sur le rivage par rapport au point A. Il projette de ramer jusqu’à un point P quiest entre A et B à x km du point A, et il parcourra à pied le reste du trajet. Supposons qu’ilrame à 3 km/h et qu’il marche à 5 km/h.

Optimiser le temps total T (x) qu’il mettra pour atteindre la maison.


Un camion doit faire un trajet de 150 kilomètres.

En roulant à une vitesse constante v, sa consommation est de 6 + v2

300 litres par heure. Le prixdu carburant est de CHF 1.80 par litre et on paie le chauffeur CHF 75 par heure.

Quelle doit être la vitesse du camion pour que le coût du trajet soit minimal ? Quel est ce coût ?





Un navire doit parcourir 40 kilomètres contre un courant de 10 km/h. La consommation (en litres)de carburant par heure est égale au double du carré de la vitesse du navire. Pour simplifier, onsuppose qu’il navigue à vitesse constante.

1. Quelle est la vitesse du navire qui minimise la consommation de carburant ?

2. Si le réservoir du navire ne peut pas contenir plus de 3 000 litres, est-ce que le navire peutréussir une telle expédition ?

Exercice 246 (tiré de [Jav19] ; temps estimé pour les TEs : 20 minutes)

On fait tourner un rectangle de périmètre 60 centimètres autour de l’un de ses axes de symétrie.Déterminer les dimensions du rectangle pour que le corps de révolution ainsi obtenu ait le plusgrand volume.


On fabrique un cornet de forme conique en rejoignant les bords rectilignes d’un secteur circulaired’angle α et de rayon fixé R.

Rα

En pliant le secteur, on obtient uncône de rayon r et de hauteur h.

Déterminer le volume maximal associé.

2.14.1 Problèmes d’optimisation pour réviser

Tous les exercices d’optimisations vus dans le cahier d’exercices de première année (qui setrouve sur http://www.vive-les-maths.net) peuvent être refaits avec les techniques dedeuxième année (dérivée et tableau de signes de la dérivée).


Parmi tous les rectangles de périmètre donné p, quel est celui dont l’aire est maximale ? Quelleest son aire ?


Un aquarium (sans couvercle) dont la hauteur vaut 1.5m doit avoir un volume de 300m3. Quellessont les dimensions et la surface de l’aquarium de surface minimale ?


On considère les triangles ayant un sommet à l’origine, et un côté horizontal dont les extrémitésse trouvent sur la partie positive de la parabole f(x) = 1− x2.

Trouver le ou les triangles dont l’aire est un optimum. Puis déterminer s’il s’agit d’un minimumou d’un maximum.


http://www.vive-les-maths.net




On donne les fonctions f(x) = 5e−x et g(x) = −5e−x

On considère un rectangle ABCD défini ainsi : A est un point du graphe de f d’abscisse positive,B un point du graphe de g tel que AB est vertical et les points C et D appartiennent à l’axe Oy.

Parmi tous les rectangles possibles, déterminer les dimensions de celui qui a le plus petit péri-mètre.


Ci-contre, on voit le graphe de la fonction :

f(x) = 3xe−x

2

On considère un triangle OAB défini ainsi : A est unpoint du graphe de f d’abscisse positive, B un pointsur l’axe Ox tel que AB est vertical (O est l’originedu plan).

Parmi tous les triangles possibles, trouver celui ouceux pour lesquels l’aire est maximale.

y

f

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7

x

2.14.2 Problèmes d’optimisation avancés

Exercice 253 (tiré de [Jav19] ; temps estimé pour les TEs : 20 minutes)

En se basant sur le schéma ci-dessous, déterminer, parmi tous les triangles ABC isocèles desommet A inscrit dans un cercle de rayon 1, lequel admet une aire maximale.

Indications : travailler dans le triangle BOC et utiliser le théorème de l’angle au centre. Laformule sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) est aussi utile (d’où vient-elle ?)


Deux couloirs de largeurs 1m et 2m se rencontrent à angle droit. On transporte une barre rigideparallèlement au sol.

Quelle est la longueur maximale que peut avoir cette barre si l’on veut pouvoir la transporterd’un couloir dans l’autre ?




2.15 Analyse : continuité

Le premier exercice exhibe deux fonctions qui ne sont pas continues. Le deuxième explique pour-quoi les fonctions données sont, en général, continues.

f est continue en x0 si limx→x0

f(x) = f(x0).

f est continue si elle est continue en chaque x0 ∈ D.

♠ Exercice 255 : deux fonctions non continues

Voici les graphes des fonctions ent (la partieentière de x) et sgn (le signe de x sous laconvention que sgn(0) = 0).

1. Démontrer, par un argument de limite,que ces deux fonctions définies sur R nesont pas continues.

2. Sans la convention, sgn est définie surR \ 0. Est-elle encore non continue ?

graphe de ent graphe de sgny

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

x

y

2

−2

2−2

x

♠ Exercice 256 : construction de fonctions continues RéviserQQ25

ActiverQQ30

ActiverQQ31

Les fonctions élémentaires suivantes sont continues (cela se voit sur leur graphe).

• Les monômes : xn avec n ∈ N.

• Les racine n-ièmes : n√x avec n ∈ N.

• Les fonctions trigonométriques : cos(x), sin(x) et tan(x).

• Les exponentielles et les logarithmes : ax, loga(x) (pour a > 0 et a 6= 1).

Soit f et g deux fonctions continues sur leur domaine de définition Df et Dg. Soit aussi λ ∈ R.

1. (a) Déterminer le plus grand domaine de définition de f ± g.

(b) Montrer, à l’aide des propriétés des limites, que f ± g est continue sur ce domaine.

2. (a) Déterminer le plus grand domaine de définition de λf .

(b) Montrer, à l’aide des propriétés des limites, que λf est continue sur ce domaine.

3. (a) Déterminer le plus grand domaine de définition de fg.

(b) Montrer, à l’aide des propriétés des limites, que fg est continue sur ce domaine.

4. (a) Déterminer le plus grand domaine de définition de fg.

(b) Montrer, à l’aide des propriétés des limites, que fg

est continue sur ce domaine.

5. (a) Déterminer le plus grand domaine de définition de f g.(b) Montrer directement que f g est continue sur ce domaine.

Moralité.Les fonctions écrites comme une combinaison (±, · , ÷, )

des fonctions élémentaires continues sont continues.

Méditer sur le fait que la moralité implique que les fonctions suivantes sont continues,

a) f1(x) = |x| b) f2(x) =x3 − 1

x4 + 2xc) f3(x) = cos

(ln |1 + x|

)d) f4(x) = e

− 1

x2




2.16 Analyse : études de fonctions


On considère la fonction f définie dans l’encadré ci-dessous et les factorisations de f ′ et f ′′.

f(x) = x4e−x f ′(x) = x3(4− x)e−x f ′′(x) = x2(x− 2)(x− 6)e−x

Compléter les tableaux de comportement suivants.

x

f(x)

comp.

de f

x

f ′(x)

comp.

de f

x

f ′′(x)

comp.

de f

Compléter le tableau de comportement suivant.

x

f(x)

f ′(x)

f ′′(x)

comp.

de f

En déduire, en utilisant le fait que la fonction a une asymptote horizontale à droite d’équationy = 0, la représentation graphique du graphe de f que l’on dessinera ci-dessous.

y

2

4

6

2 4 6 8 10−2

x





On considère la fonction f définie dans l’encadré ci-dessous et les factorisations de f , f ′ et f ′′.

f(x) =x3 + x2 − 2

x2 − 2=

(x− 1)(x2 + 2x+ 2)

x2 − 2f ′(x) =

x2(x2 − 6)

(x2 − 2)2f ′′(x) =

4x(x2 + 6)

(x2 − 2)3

En utilisant le fait que la fonction a deux asymptotes verticales d’équations x = −√2 ∼= −1.41

et x =√2 ∼= 1.41, compléter les tableaux de comportement suivants.

x

f(x)

comp.

de f

x

f ′(x)

comp.

de f

x

f ′′(x)

comp.

de f

Compléter le tableau de comportement suivant.

x

f(x)

f ′(x)

f ′′(x)

comp.

de f

En déduire, en utilisant le fait que la fonction a une asymptote oblique d’équation y = x+ 1, lareprésentation graphique du graphe de f que l’on dessinera ci-dessous.

y

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4−1−2−3−4

x





On considère la fonction f définie dans l’encadré ci-dessous et les factorisations de f ′ et f ′′.

f(x) =1

8ln3(x2) f ′(x) =

3 ln2(x2)

4xf ′′(x) =

3 ln(x2)(4− ln(x2)

)

4x2

En utilisant le fait que la fonction a une asymptote verticale d’équation x = 0, compléter lestableaux de comportement suivants.

x

f(x)

comp.

de f

x

f ′(x)

comp.

de f

x

f ′′(x)

comp

de f

Compléter le tableau de comportement suivant.x

f(x)

f ′(x)

f ′′(x)

comp

de f

En déduire la représentation graphique des tangentes aux points d’inflexion et du graphe de f

que l’on dessinera ci-dessous. y

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

−2

−4

2 4 6 8 10 12 14−2−4−6−8−10−12−14

x





On considère la fonction f définie dans l’encadré ci-dessous et les factorisations de f et f ′.

f(x) =x3 + 9x2

2(x2 − 1)=

x2(x+ 9)

2(x2 − 1)f ′(x) =

x(x− 3)(x2 + 3x+ 6)

2(x2 − 1)2

En utilisant le fait que la fonction a deux asymptotes verticales d’équations x = −1 et x = 1,compléter le tableau de comportement suivant (ce tableau ne contient pas la ligne de la dérivéeseconde, car elle est difficile à factoriser (il faut résoudre une équation du troisième degré dans lesnombres complexes, car le lemme de Gauss ne permet de trouver aucune solution rationnelle)).

x

f(x)

f ′(x)

comp

de f

En déduire, en utilisant le fait que la fonction a une asymptote oblique d’équation y = 12x + 9

2qui est coupée par la fonction au point (−9; 0), la représentation graphique du graphe de f quel’on dessinera ci-dessous.

y

2

4

6

8

10

12

14

−2

−4

−6

−8

2 4 6 8−2−4−6−8−10−12−14−16

x

Une optimisation de la distance verticale entre la fonction et l’asymptote oblique pour x < −9 ditque le maximum de cette distance verticale se trouve en x ∼= −17.944. Cette distance maximalevaut environ 0.014.

Un élève en OS physique et application des maths peut affirmer que le seul point d’inflexion esten x ∼= −26.901.




z Exercice 261 : tout est cohérent !

Voici un tableau de comportement qu’un élève a trouvé en faisant une seule erreur lors del’étude d’une fonction continue qui admet deux asymptotes verticales. Trouver et corriger l’erreur.

x −3 −1 1 2

f(x) + + 2 + + 0 −f ′(x) + − 0 − − − −f ′′(x) + + + + + + +

comp.

de f

Résumé des étapes d’une étude de fonction f

1. Déterminer la parité de f .

2. Étudier le comportement asymptotique (local et à l’infini) de f .

3. Établir le tableau de comportement de f .

4. Si précisé : établir l’équation des tangentes aux points d’inflexion de f ;ou déterminer la pente de f en ses points d’inflexion ;ou chercher les points d’intersection entre f et son asymptote oblique.

5. Faire le graphe de f en se basant sur ce qui a été analysé précédemment.


Étudier la fonction définie par f(x) =x3

2x2 − 1.


Étudier la fonction définie par f(x) = 5x e−x2

.


Étudier la fonction définie par f(x) =1− 12 ln(x)

x3.





On considère la fonction f définie par f(x) =2x4

x3 − 1.

1. Étudier la fonction f . Durant l’étude, vous montrerez que la dérivée seconde est la suivante :

f ′′(x) =12x2 (x3 + 2)

(x3 − 1)3

2. Déterminer la pente de la tangente au point d’inflexion.

3. Représenter graphiquement la fonction f (unité : 2 carrés).


Étudier, puis représenter graphiquement (unité : 1cm) la fonction définie par

f(x) =

(1− 4

x

)· ex

Durant l’étude, vous montrerez que la dérivée seconde est f ′′(x) =(x− 2)(x2 − 2x+ 4)

x3· ex.


1. Étudier la fonction f(x) = 2x2 ln(x)− x2 avec la dérivée seconde.

2. En déduire l’étude de la fonction g(x) = x2 ln(x2)− x2 avec la dérivée seconde.


1. Étudier la fonction suivante sans la dérivée seconde, mais en calculant l’intersection entrela fonction et son asymptote oblique.

f(x) =(x+ 1)4

x3 + 1

2. Que remarque-t-on d’étrange ? Aurait-on pu réagir plus tôt et se simplifier la vie ?


Étudier soigneusement la fonction suivante avec la dérivée seconde.

f(x) = (x− 2)e−1

x

Durant l’étude, montrer qu’elle admet l’asymptote oblique y = x− 3.


On considère la fonction f définie par f(x) =3x

1− 2 ln(x).

1. Étudier la fonction f .

Durant l’étude, vous montrerez que la dérivée seconde est f ′′(x) =30− 12 ln(x)

x(1− 2 ln(x)

)3 .

2. Déterminer l’équation de la tangente t au point d’inflexion.

3. Représenter graphiquement la fonction f avec la tangente t (unité : 1 carré).





Soit la fonction f définie par f(x) =(x+ 1)3

(x− 1)2.

1. Faire l’étude complète (avec dérivée seconde) de f .

2. Calculer les coordonnées du point d’intersection de la courbe représentative de f avecl’asymptote oblique.

3. Représenter graphiquement la fonction en prenant 8mm ou 10mm pour une unité.


Faire l’étude complète de la fonction f suivante :

f(x) = (x2 + x− 12)e

−2x

Représenter graphiquement la fonction en prenant 15mm ou 16mm pour une unité.



f(x) =(ln(x)− 2

)(ln(x) + 1

)



Faire l’étude sans la dérivée seconde de la fonction f suivante :

f(x) =x3 + 2

x2 + 1




f(x) = e2x − 4ex − 5



Étudier (y compris la dérivée seconde) puis représenter (unité : 2 cm, format paysage) la fonctiondonnée par

f(x) =2 + ln(x2)

x


Faire l’étude complète (avec dérivée seconde) de la fonction f suivante :

f(x) =5x3 − 19x2 − 57x+ 135

x3 − 7x2 + 11x− 5





2.17 Analyse : problèmes de taux d’accroissement

Exercice 278 (tiré de [Mül19] ; temps estimé pour les TEs : 15 minutes)

1. Si les arêtes d’un cube de 2 cm de côtés croissent de 1 cm/min, comment le volume croît-il ?

2. Si l’aire d’une sphère de 10 cm de rayon croît de 5cm2/min, comment le rayon croît-il ?

3. Soit un cône dont le rayon de la base est égal à la hauteur. Si le volume de ce cône hautde 10 cm croît de 15cm3/min, comment la hauteur croît-elle ?


1. Une brèche s’est ouverte dans les flancs d’un pétrolier. Supposons que le pétrole s’écoulantdu tanker s’étend autour de la brèche selon un disque dont le rayon augmente de 2 m/s.

À quelle vitesse augmente la surface de la marée noire quand son rayon vaut 60 m?

2. Une échelle longue de 5 mètres est appuyée contre un mur. Quand l’extrémité posée sur lesol est à une distance de 4 mètres du mur, l’échelle glisse à une vitesse de 2 m/s.

À quelle vitesse l’extrémité appuyée contre le mur glisse-t-elle alors vers le bas ?


À l’altitude de 4000 pieds, une fusée s’élève verticalement à une vitesse de 880 pieds par seconde.Une caméra au sol, située à 3000 pieds de la rampe de lancement, la filme.

À quelle vitesse doit augmenter l’angle d’élévation de cette caméra pour qu’elle ne perde pas devue la fusée ?

2.18 Analyse : dérivées implicites


1. Calculer la dérivée de y par rapport à x au point P (3; 4), y étant défini par la relationimplicite x2 + y2 = 25. Esquisser la situation. Que représente la réponse trouvée ?

2. Retrouver ce résultat en n’utilisant que des outils de géométrie plane.


On considère courbe définie par la relation implicite(x2 + y2

)2= 2(x2 − y2).

1. Déterminer les points d’intersection de la courbe avec les axes du repère.

2. Déterminer les points à tangente horizontale et les points à tangente verticale.

3. Exprimer y en fonction de x et prouver qu’en (0; 0), les tangentes à la courbe sont y = ±x.

4. Exprimer x en fonction de y et prouver qu’en (0; 0), on retrouve les tangentes ci-dessus.

5. Dessiner cette courbe et en déduire la relation implicite pour un «trèfle à 4 feuilles».

6. Utiliser GeoGebra pour dessiner la courbe donnée par la relation implicite x2+y2 = 1+x2

3 y.

2.19 Analyse : quelques calculs de limites particuliers

z Exercice 283 : les limites de la règle de l’Hospital

La règle de l’Hospital ne s’applique pas au calcul des limites ci-dessous, bien que celles-ci existent.Expliquer pourquoi et calculer ces limites par une autre méthode.

a) limx→+∞

x+ sin(x)

xb) lim

x→0

3x

x2 + 1c) lim

x→0

sin( 1x)

1x




♠ Exercice 284 : trois limites particulières

On devine sur le graphe ci-dessous que limx→0

sin(x)

x= 1. La preuve de ce résultat est dans le cours.

y

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

−0.202 4 6 8 10 12 14−2−4−6−8−10−12−14

bb

x

1. Pourquoi cette limite ne pas être prouvée par la règle de l’Hospital ?limx→0

sin(x)

x= 1

2. Calculer les limites avec Hospital.a) lim

x<→0

e1

x

xb) lim

x→±∞

(x− 1

x− 2

)2x−3

Pour b), faire différemment de l’exercice 290 en utilisant un logarithme !


Calculer les limites suivantes en utilisant l’identité remarquable (a+ b)(a− b) = a2 − b2.

a) limx→1

√x − 1

x− 1b) lim

x→1

√x2 + x −

√2

x− 1c) lim

x→5

x− 5√2x− 1 − 3

d) limx→0

x2√x2 + 1 − 1


Étudier le comportement asymptotique à l’infini des fonctions suivantes.

a) g(x) =√x2 + x+ 1−

√x2 + 1 b) f(x) = 2x+

√4x2 − 2x+ 4

♠ Exercice 287 : un théorème pour le comportement à l’infini des racines

Démontrer que√x2 + bx+ c et

∣∣x+ b2

∣∣ ont le même comportement asymptotique à l’infini.


Calculer les limites suivantes en utilisant le résultat deviné à l’exercice 284.

a) limx→1

sin(2x− 2)

x− 1b) lim

x→0

sin(2x)

sin(3x)c) lim

x→0

sin(x)

2x2 + 3xd) lim

x→0

tan(3x)

x


Calculer les limites suivantes en utilisant le résultat deviné à l’exercice 284.

a) limx→0

sin(x)

x2b) lim

x→0

cos(x)− 1

xc) lim

x→0

cos(x)− 1

x2


Calculer les limites suivantes en utilisant la définition du nombre e (voir QQ29).

a) limn→−∞

(1 +

1

n

)n

b) limx→±∞

(1 +

1

2x

)x

c) limx→0

(x− 1

x− 2

)2x−3

d) limx→±∞

(x− 1

x− 2

)2x−3


Bibliographie

[BV14] F. Borlon-Vangénéberg : M(a)th’ notes de cours. http://borlon.net/maths/,2009 - 2014.

[CRM06] CRM : Fundamentum de mathématique : analyse. Commission romande de mathé-matique, Éditions du Tricorne, 2006.

[Jav19] Jean-Philippe Javet : Activités mathématiques proposées aux élèves du gymnase demorges. http://www.gymomath.ch, 2014 - 2019.

[Lyc19] Lycée cantonal de Porrentruy : Examens de mathématiques. Tiré des problèmesdes examens de mathématiques du Lycée cantonal de Porrentruy, Jura, Suisse, juillet2019.

[Mül19] Didier Müller : Nymphomath. http://nymphomath.ch, mai 2004 - juin 2019.

35

http://borlon.net/maths/

http://www.gymomath.ch

http://nymphomath.ch

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Mathématiques - Vive-les-mathsvive-les-maths.net/site/controles/cahier2.pdf · Maths deuxième année : exercices MAT Lycée cantonal de Porrentruy 2.1 Géométrie 2D : norme, produit